CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL

------ Teoría Local de Curvas - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo3 - Año 2004 - - - - - - 6
Demostración (⇐):
Si α(s) pertenece a un plano π para todo s y u un versor perpendicular a π, entonces α(s) − α(so)⊥u
para todo s osea(α(s) − α(so)) .u =0 ∀ s ∈ I.
Derivando, tenemos t(s).u =0.
Derivando nuevamente queda k(s) n(s).u =0 ∀ s ∈ I.
Si juntamos las últimas dos conclusiones se tiene t(s) ⊥ u y n(s) ⊥ u ∀ s ∈ I, por lo tanto b(s) es
colineal con u ∀ s ∈ I y b(s) =±u ∀ s ∈ I.
Como b(s) es continua, b(s) es constante y por lo tanto b ′ (s) ≡ 0, lo que significa que τ(s) ≡ 0, lo que
se quería probar.
Observación 1.3.
L.Q.Q.D.
La torsión, a diferencia de la curvatura, es una magnitud con signo. Existe una interpretación de ese
signo en términos de la orientación en el espacio que define la curva, tema en el que no entramos.
Observación 1.4.
El triedro de Frenet {t, n, b}, la curvatura y la torsión no dependen del sistemas de coordenadas, su
definición se hizo independiente de cualquier referencial, tampoco lo hacen del origen que se tomen
para las longitudes de arco ni de la parametrización, dicho con otras palabras son intrínsecos a la curva.
1.3. Fórmulas de Frenet
Las siguientes fórmulas nos dan las derivadas de los versores del triedro de Frenet:
⎧
⎪⎨ t
⎪⎩
′ = kn
n ′ = −kt+ τb
b ′ = −τ n
o también (notación):
Demostración:
La primera es la definición de n (t ′ = α ′′ ).
⎛
t
⎜
⎝
′
n ′
b ′
⎞ ⎛
0
⎟ ⎜
⎠ = ⎝ −k
k
0
⎞ ⎛ ⎞
0 t
⎟ ⎜ ⎟
τ ⎠ ⎝ n ⎠
0 −τ 0 b