CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL
CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL
------ Teoría Local de Curvas - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo3 - Año 2004 - - - - - - 4 Definiciones 1.4. Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. Al plano que pasa por α(s), determinado por los vectores t, n se le llama plano osculador a la curva en α(s). Al punto Q = α(s)+ρ(s) n(s) se le llama centro de curvatura a la curva en α(s). A la circunferencia contenida en el plano osculador, de centro Q y radio ρ(s) se le llama circunferencia osculatriz a la curva en α(s). Observaciones 1.2. La curva α(s) no está, en general, contenida en un plano. El plano osculador es, sin embargo, el que “está más cerca” de la curva en un entorno de α(s). No daremos aquí una versión precisa de esta afirmación. Por otra parte, la circunferencia osculatriz es la circunferencia que mejor aproxima a la curva en una entorno de α(s), hecho que tampoco probamos. En adelante nos restringiremos a curvas con curvatura k(s) = 0. Tenemos definido aquí el versor n(s) y es natural completar con un tercer versor para tener una terna ortonormal. Definiciones 1.5. Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. El vector b(s) =t(s) ∧ n(s) se llama versor binormal a la curva en α(s). La terna { t, n, b} se llama triedro de Frenet de la curva en α(s). El plano por α(s) con vectores b, n se llama plano normal a la curva en α(s). El plano por α(s) con vectores t, b se llama plano rectificante a la curva en α(s). Completamos las definiciones con un último parámetro escalar, la torsión, para ello veamos antes la siguiente propiedad. Proposición 1.3. Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. Entonces, el vector b ′ (s) es colineal con n(s).
------ Teoría Local de Curvas - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo3 - Año 2004 - - - - - - 5 Demostración: Como |b(s)| = 1, constante, del 1.1 tenemos que b ′ (s)⊥b(s) (i). Por otra parte, derivando la expresión b = t ∧ n, tenemos: de donde b ′ ⊥t (ii). b ′ = t ′ ∧ n + t ∧ n ′ = kn∧ n + t ∧ n ′ = t ∧ n ′ Combinando (i) y(ii), se tiene que b ′ es colineal con n, la tesis. Definición 1.6. Al escalar τ(s) tal que b ′ (s) =−τ(s) n(s) le llamaremos torsión de la curva en α(s) 2 . L.Q.Q.D. Observar que la variación de b con s corresponde a la variación del plano osculador (perpendicular a b), por lo tanto τ(s) mide con que rapidez la curva “se sale” de un plano. Para reforzar esta interpretación, tenemos el siguiente teorema. Teorema 1.4. Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. Entonces, Demostración (⇒): τ(s) ≡ 0 en todo I ⇔ α(I) está contenido en un plano τ(s) ≡ 0 en todo I ⇒ b ′ (s) ≡ 0 en todo I ⇒ b(s) =bo (constante) en todo I Así (α(s).bo) ′ = α ′ (s).bo = t.bo =0. Entonces α(s).bo = C (constante) y por lo tanto (α(s) − α(so)) .bo =0 ∀ s ∈ I probándose que α(s) pertenece al plano perpendicular a bo por α(so) para todo s ∈ I. 2 Algunos autores definen τ con el signo opuesto.
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Demostración:<br />
Como |b(s)| = 1, constante, del 1.1 tenemos que b ′ (s)⊥b(s) (i).<br />
Por otra parte, derivando la expresión b = t ∧ n, tenemos:<br />
de donde b ′ ⊥t (ii).<br />
b ′ = t ′ ∧ n + t ∧ n ′ = kn∧ n + t ∧ n ′ = t ∧ n ′<br />
Combinando (i) y(ii), se tiene que b ′ es colineal con n, la tesis.<br />
Definición 1.6.<br />
Al escalar τ(s) tal que b ′ (s) =−τ(s) n(s) le llamaremos torsión de la curva en α(s) 2 .<br />
L.Q.Q.D.<br />
Observar que la variación de b con s corresponde a la variación del plano osculador (perpendicular a b),<br />
por lo tanto τ(s) mide con que rapidez la curva “se sale” de un plano. Para reforzar esta interpretación,<br />
tenemos el siguiente teorema.<br />
Teorema 1.4.<br />
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0.<br />
Entonces,<br />
Demostración (⇒):<br />
τ(s) ≡ 0 en todo I ⇔ α(I) está contenido en un plano<br />
τ(s) ≡ 0 en todo I ⇒ b ′ (s) ≡ 0 en todo I ⇒ b(s) =bo (constante) en todo I<br />
Así (α(s).bo) ′ = α ′ (s).bo = t.bo =0.<br />
Entonces α(s).bo = C (constante) y por lo tanto<br />
(α(s) − α(so)) .bo =0 ∀ s ∈ I<br />
probándose que α(s) pertenece al plano perpendicular a bo por α(so) para todo s ∈ I.<br />
2 Algunos autores definen τ con el signo opuesto.
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