CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL

------ Teoría Local de Curvas - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo3 - Año 2004 - - - - - - 3
Teorema 1.2.
Sea α : I → IR 3 / |α ′ (s)| ≡1yk(s) =|α ′′ (so)|.
Entonces
Demostración:
k(s) ≡ 0 en todo I ⇔ α(I) está contenido en una recta
α ′′ (s) ≡ 0 en todo I ⇔ α ′ (s) =
cte = v en todo I ⇔ α(s) =sv+ u con v, u constantes
Las ecuaciones α(s) =sv+ us∈ I, definen segmentos de rectas en el espacio, por lo que el teorema
queda probado.
Ejemplo 1.1.
L.Q.Q.D.
Sea P (t) =(rcos(t), rsen(t)), parametrización de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r. Una
parametrización respecto a la longitud de arco será
s
s
α(s) = rcos , rsen
r r
⇒ α ′′ (s) =− 1
s
s
cos , sen ⇒ k(s) =
r r r
1
r
El ejemplo concuerda con lo señalado más arriba sobre la interpretación de la curvatura: cuanto mayor
es el radio de la circunferencia, más lentamente se “dobla” y menor es la curvatura.
Este ejemplo nos lleva a la siguiente definición.
Definición 1.2.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. El número ρ(s) = 1
k(s) se
llama radio de curvatura de la curva en α(s).
Definición 1.3.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. El versor n(s) = α′′ (s)
k(s) se
llama versor normal a la curva en α(s).
Observación 1.1.
Como t(s) =α ′ (s) tiene módulo constante, del lema 1.1 obtenemos que α ′ (s) ⊥ α ′′ (s) ⇒ t(s) ⊥ n(s).