CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL

------ Teoría Local de Curvas - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo3 - Año 2004 - - - - - - 2
Derivando 1 se tiene:
β ′ (s).β(s)+β(s).β ′ (s) =0 ⇒ β ′ (s).β(s) =0 ⇒ β ′ (s)⊥β(s)
1.2. Definiciones y justificaciones
Definiciones 1.1.
Sea α(s) curva parametrizada respecto a la longitud de arco.
El versor t(s) =α ′ (s) se llama versor tangente a la curva en α(s).
El número k(s) =|α ′′ (s)| se llama curvatura de la curva α(s).
Observar que |t(s)| = |α ′ (s)| =1,(t es un versor, vector de módulo 1).
L.Q.Q.D.
Observar que en este caso definimos la curvatura siempre positiva a diferencia de lo hecho en el caso
plano.
Para motivar la denominación de “curvatura” para |α ′′ (s)| = k(s), veremos que k(s) nos da una idea
de la rapidez con que la curva cambia su dirección.
Para eso, sean so,s∈ I y ϕ(s) el ángulo que forman t(s) yt(so).
Como |t(s)| = |t(so)| = 1, se tiene que
ϕ(s)
|t(s) − t(so)| =2sen
2
Cuando s → so, ϕ(s) → 0=ϕ(so) y|t(s) − t(so)| ≈ϕ(s) =ϕ(s) − ϕ(so). Por lo tanto,
α ′′ (so) = lim
s→so
|t(s) − t(so)|
s − so
= lim
s→so
ϕ(s) − ϕ(so)
s − so
= ϕ ′ (s)
O sea que k(so) =ϕ ′ (so) mide la rapidez con que cambia el ángulo de la tangente con respecto a una
tangente fija.
En una recta, ϕ(s) es siempre 0 y por lo tanto la curvatura es 0 para todo s. Como veremos a
continuación, la recta es la única curva que cumple esto.
1
Los productos escalares y vectoriales se derivan siguiendo la regla de derivación de productos numéricos, “la derivada
del primero por el segundo más el primero por la derivada del segundo”. En el caso del producto vectorial debe mantener
el orden del producto pues no es conmutativo.