curvas alabeadas regulares. fórmulas de frenet-serret - Casanchi

CURVAS ALABEADAS REGULARES. LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET. CARLOS S. CHINEA
CURVAS ALABEADAS REGULARES.
FÓRMULAS DE FRENET-SERRET
1. Las curvas alabeadas:
Definición 1: Consideremos el conjunto de pares Γ = ( [ a,
b]
, f ( ϕ)
) , donde [ b]
intervalo cerrado de números reales y ( ϕ )
: [ a,
b]
3
M
a, es un
f es una función vectorial continua
f → siendo M 3 el espacio métrico tridimensional asociado al espacio
vectorial euclídeo tridimensional sobre R.
Diremos que dos de estos pares, ( [ a , b]
, f ( ϕ)
) , ( [ c , d]
, g(
ϕ)
) , son equivalentes
propiamente (respectivamente impropiamente) si existe una función continua h tal que
es h : [ a,
b]
→ [ c,
d]
estrictamente creciente (respectivamente decreciente) tal que
h(a)=c, h(b)=d (respectivamente h(a)=d, h(b)=c) tal que g( h(
ϕ ) = f ( ϕ)),
a ≤ ϕ ≤ b .
Obviamente, tal relación en el conjunto Γ es de equivalencia, puesto que es reflexiva,
simétrica y transitiva. Las clases de equivalencia son los subconjunto de Γ formados
por todos los pares equivalentes entre sí.
Cada una de estas clases de equivalencia se denomina arco de curva alabeada, y cada
uno de los representantes de la clase de equivalencia, esto es, cada par ( [ a , b]
, f ( ϕ)
) ,
se denomina representación paramétrica de la curva alabeada.
JUNIO, 2006, MARCHENA 1

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- Arco de curva alabeada:
Ω =
{ ( [ a b ] , f ( ) ) , ( [ a , b ] , f ( ϕ)
) ,..., ( [ a , b ] , f ( ϕ)
) ,... }
1,
1 1
2 2 2
ϕ k k k
- Representaciones paramétricas de un arco de curva alabeada:
( [ , b ] , f ( ϕ ) ) , i = 1,
2,...,
k,...
ai i i
2. Curvas alabeadas regulares:
Definición 2: Una representación paramétrica ( [ , b]
, f ( ϕ)
)
a de un arco de curva
alabeada Ω se dice que es regular si f es de clase C 1 en [a,b] y de derivada no nula en
[a,b]:
1
( [ a , b]
, f ( ϕ ) ) rep.
par.
regular ⇔ f ∈C
, ∀ϕ
∈[
a,
b]
∧ f '(
ϕ)
≠ 0,
∀ϕ
∈[
a,
b]
Teorema 1: Si es ( [ , b]
, f ( ϕ)
)
a una representación paramétrica regular del arco de
curva alabeada Ω, entonces, para todo punto del intervalo [a,b] existe un entorno
donde la función f es uno a uno:
Demostración:
( [ , b]
, f ( ϕ) ) repr.
par.
reg ⇒ ∀ϕ
∈ [ a,
b]
, ∃E(
ϕ ) / f uno a uno
a o
o
∀ o ∈ [ a, b]
, f '(
ϕo
) ≠ 0 ∧ f '(
ϕo
) = ( x1'
( ϕo
), x2'
( ϕo
), x3'(
ϕo
) ) ≠ ( 0,
0,
0)
⇒ x1'
( ϕo
) ≠ 0
la continuidad de la derivada: ∃ ( ϕ ) / ∀ϕ
∈ E(
ϕ ) , x1'
( ϕ)
≠ 0
ϕ , y por
E o
o
Por lo tanto, si existieran ϕ1, ϕ2
∈ E( ϕo
) / f ( ϕ1)
= f ( ϕ2
) ⇒ x1(
ϕ1)
= x1(
ϕ2
) , y en este
caso, al tratarse de una función continua y derivable, podría aplicársele el teorema de
Rolle: ∃ϕ ∈ ( ϕ ϕ ) / x '(
ϕ)
= 0 , lo cual sería obviamente contradictorio.
1 , 2 1
Luego, f ha de ser inyectiva, uno a uno.
: → se dice que es un cambio de
parámetro admisible si se verifican las dos condiciones siguientes:
Definición 3: Una aplicación sobreyectiva h [ a,
b]
[ c,
d]
a) h (ϕ)
es de clase C 1 en [a,b].
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dh(
ϕ)
dϕ
b) ≠ 0,
∀ϕ
∈ [ a,
b]
Teorema 2: Si h [ a,
b]
[ c,
d]
a) h(ϕ) es uno a uno.
: → es un cambio de parámetro admisible se verifica que:
−1
b) La función inversa h : [ c,
d ] → [ a,
b]
admisible.
Demostración:
es también un cambio de parámetro
a) Puesto que h’(ϕ) es continua y h’(ϕ) es no nula, será h’(ϕ)>0 o bien h’(ϕ)

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Dos representaciones regulares, ( [ a , b]
, f ( ϕ)
) y ( [ c d]
, g(
h)
)
, , se dice que tienen la
misma orientación si el cambio de parámetro h : [ a,
b]
→ [ c,
d]
es una función
estrictamente creciente, y se dice que tienen distinta orientación si es función
estrictamente decreciente.
3. El parámetro longitud de arco:
Una curva paramétrica ( [ a b]
, f ( ϕ)
)
intervalo P { a
n b}
=
= = ϕ ϕ ϕ ,...,
, 1
, se dice que es rectificable si para cada partición del
0 existe un número real positivo M tal que la longitud
de la poligonal sobre el intervalo definida por la partición P es menor que M:
n
L(
P)
f ( ϕ k ) − f ( ϕ k −1)
< M
= ∑
k = 1
En una curva rectificable, se denomina longitud del arco sobre [a,b] al supremo del
conjunto infinito de las poligonales sobre [a,b] para cualesquiera particiones:
l f
{ L(
P)
/ P ∈ [ a,
b]
}
( a,
b)
= sup Ρ
en los arcos de curvas regulares es inmediato probar que son rectificables y que la
longitud del arco viene dada por la integral
Teorema 3: Si es ( [ a b]
, f ( ϕ)
)
regular y es [ a, b]
b
l f ( a,
b)
= ∫
a
df
dx
. dx
, una representación paramétrica de un arco de curva
0 ∈
df
ϕ , entonces la función α(
ϕ)
= ∫ . dϕ
verifica que:
dϕ
⎧ l f ( ϕ0,
ϕ),
si ϕ ≥ ϕ0
a) α(
ϕ)
= ⎨
⎩−
l f ( ϕ0,
ϕ),
si ϕ < ϕ0
b) ( a,
b)
= α( b)
−α
( a)
l f
c) La aplicación : [ a, b]
[ α(
a),
α(
b)
]
Demostración:
ϕ
ϕ
α → es un cambio de parámetro admisible.
a) y b) resultan inmediatamente de las propiedades de la integral Riemann. En cuanto
df
a c) se deduce en particular que es α sobreyectiva y que siendo continua, será:
0
dϕ
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d α =
df dα
. dϕ
⇒ =
dϕ
dϕ
df
≠ 0
dϕ
luego, es un cambio de parámetro admisible.
Teorema 4: La representación paramétrica regular ( [ α a ), α(
b)
] , g(
α ) )
En efecto:
( no es única.
1) El punto ϕ0 utilizado en la definición de α puede ser un punto cualquiera
del intervalo [ a, b]
.
2) El arco de curva regular admite, obviamente otras representaciones
a , b , f ϕ .
distintas de ( [ ] ( ) )
Definición 5: Si consideramos la representación paramétrica regular ( [ a b]
, f ( ϕ)
)
, de un
arco de curva regular, Γ, y el cambio de parámetro admisible definido por la longitud
de arco, α, se tiene:
la representación ( [ α( ), α(
b)
] , w(
α)
)
[ a, b]
[ α(
a),
α(
) ]
α : → b
a donde w ( α ) = f ( ϕ),
α = α(
ϕ)
, se llama
representación natural del arco de curva regular Γ.
Teorema 5: Si es ( [ α a ), α(
b)
] , w(
α ) )
( una representación paramétrica natural de un
arco de curva regular Ω, se cumple:
dw
1º) = 1
dα
2º) α 2 − α1
= lw
( α1,
α 2 )
3º) Si ( [ β a ), β ( b)
] , u(
β ) )
( es otra representación natural del arco de curva regular Ω,
entonces se tiene la relación α = ± β + k , siendo k una constante.
4º) Si m(ϕ) una representación regular cualquiera de Ω, de la misma orientación que
d α dm
w ( α ) , entonces se verifica que = . Si fuera de contraria orientación se tendría
dϕ
dϕ
que
dα
dϕ
dm
−
dϕ
= .
Demostración:
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1º) Se tiene que es
α ϕ)
ϕ
= ∫ 2
ϕ
1
dw dα
dw
. dϕ
⇒ =
dϕ
dϕ
dϕ
2º) De la expresión de la longitud del arco:
3º) Se tiene, del apartado 1º) anterior:
( , por lo cual es:
l w
dw
dw dw dϕ
dϕ
= . = = 1
dα
dϕ
dα
dα
dϕ
ϕ
2
2
dw
( α1
, α 2 ) = ∫ . dα
= 1.
α = α 2 −α
1
α ∫ d
d
ϕ
2 ≥ α1
⇒ lw
1
si α ( α , α ) = α −α
si α ( α , α ) = α −α
2 < α1
⇒ lw
dα
dw ⎫
= ± ⎪
dϕ
dϕ
⎪ dα
dβ
⎬ ⇒ = ± ⇒ α = ± β + k
dβ
dw ⎪ dϕ
dϕ
= ±
dϕ
dϕ
⎪⎭
−1
4º) Si m(ϕ) tiene la misma orientación que w(α) existe un h : [ a,
b]
→ [ c,
d]
/ h ∈ C y
dα
dh
además con h’>0 en [a,b]. Es decir, f es creciente en [a,b] ⇒ = > 0
dϕ
dϕ
dm dm dα
dα
dα
dm
= . = 1.
> 0 ⇒ =
dϕ
dα
dϕ
dϕ
dϕ
dϕ
d dh
caso de tener distinta orientación será = < 0 , por lo cual
dϕ
dϕ
4. Vector tangente:
1
1
α
ϕ
ϕ
2
2
1
2
2
1
1
dα
dm
= −
dϕ
dϕ
Del teorema anterior podemos deducir las consecuencias inmediatas siguientes:
a) El vector derivada de f(α) con respecto a α, donde es α el parámetro
longitud de arco, es unitario:
df ( α)
t = = 1
dα
df ( α)
El vector unitario t = se denomina vector tangente a la curva.
dα
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b) Para otra representación paramétrica natural del mismo arco de curva
c, d , f ( β ) se tiene que
dada por ( [ ] )
c) Si es ( [ , d]
, f ( ϕ)
)
df df dα
t β = = . = t.
1 ±
dβ
dα
dβ
( ± ) = t
c una representación paramétrica regular cualquiera del
mismo arco de curva, se tiene:
df df dα
df
= . ⇒ t = =
dϕ
dα
dϕ
dα
df
dϕ
dα
dϕ
d) La recta tangente a la curva m(ϕ) en el punto ϕ0 será:
m ( ϕ ) = m(
ϕ 0 ) + λ.
t
e) El plano normal a la curva m(ϕ) en el punto ϕ0 es:
( m( ϕ ) − m(
ϕ0
) ) . t = 0
5. Vector normal. Curvatura. Plano osculador:
Definición 6: Se define el vector curvatura de un arco de curva en un punto como la
segunda derivada con respecto al parámetro longitud de arco. Esto es:
Dada una representación paramétrica ( [ , b]
, f ( ϕ)
)
a del arco de curva regular Ω, se tiene
que si es α(ϕ) el parámetro longitud de arco, y es f suficientemente derivable con
continuidad, se tiene:
df df d
Vector tangente: t = f '= = = f&
. ϕ'
d d dα
2
d f d ⎛ df ⎞ dt
Vector curvatura: k = f " = = = = t'
2 ⎜ ⎟
dα
dα
⎝ dα
⎠ dα
α
ϕ
ϕ
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Teorema 6: El vector curvatura, k, de un arco de curva regular Ω cualquiera, es
independiente de la representación paramétrica natural elegida. Además, k es paralelo
al plano normal a la curva en cada punto de la misma.
Demostración:
Sean dos representaciones paramétricas naturales del mismo arco de curva y
consideremos el correspondiente vector tangente y de curvatura:
( [ a , b ] , f ( α)
) ,
siendo 2
1 ( ) 1
1
1
1
t
1
df1
= , k
dα
df
dβ
2
1
2
2
( [ a2
, b2
] , f 2 ( β ) ) , t2
= , k2
= 2
df df dα
t = = . = t . ± 1 = ± t , o, si llamamos
dβ
dα
dβ
d f
dα
dt
dα
dt
dα
dt dβ
dβ
dα
1
d f
=
dα
2
d f
dβ
dα
ψ
dβ
JUNIO, 2006, MARCHENA 8
2
= escribimos:
2
k 1 =
1
2 =
1
= ψ 2
= ψ 2
2
= ψ.
k2
. ψ = ψ . k2
= k2
Veamos ahora la dirección del vector de curvatura, llamando t al vector tangente y k al
vector de curvatura, tendremos:
d(
t.
t)
dt
t. t = 1 ⇒ = 0 ⇒ 2.
t.
= 0 ⇒ 2.
t.
k = 0 ⇒ t.
k = 0 ⇒ t↵k(
perpend.)
dα
dα
Definición 7: Se llama curvatura del arco de curva Ω en el punto f ( α0
) al módulo del
vector de curvatura en dicho punto. El inverso de la curvatura se llama radio de
curvatura del arco de curva en dicho punto:
1
Curvatura: k 0 = k(
α0
) , Radio de curvatura. R 0 =
k0
Se llama punto de inflexión del arco de curva a cualquier punto en el que la curvatura
sea nula (esto puede ocurrir pues la derivada segunda del vector f(α) podría ser nula,

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aunque nunca la primera derivada, por el carácter regular del arco de curva). En un
punto de inflexión, por tanto, el radio de curvatura es infinito.
Se llama vector normal al arco de curva a un vector unitario n tal que verifique:
O sea:
Teorema 7: Si es ( [ α a ), α(
b)
] , f ( α ) )
k ( α) = k0.
n(
α)
dt(
α)
= k0.
n(
α)
[5_1]
dt
( una representación paramétrica de un arco de
curva regular Ω, se verifica:
1)
∆θ
dθ
k =
=
∆α
dα
∆α
→ 0
lim , siendo ∆θ = angulo ( t(
α),
t(
α + ∆α)
)
2
2
d f
2) k = f ". f " ( f " = , α: parámetro longitud de arco)
2
dα
3)
k
2
( )
( ) 3
f&
∧ &f
&
f&
. f&
2
2
= ( &
d f
f & = , ϕ: otro parámetro)
2
dϕ
Demostración:
⎛ ∆ ⎞
1) De ser ∆t = t(
α + ∆α)
− t(
α)
= 2.
sen⎜
⎟ = ∆θ
+ φ(
∆θ
)
⎝ 2 ⎠
( φ( ∆θ ) : inf initesimo de ∆θ
)
2
2
2) k = k(
α
) = k(
α).
k(
α)
= f ". f "
θ
Se tiene:
dt
∆t
∆θ
+ φ(
∆θ
)
k = = lim = lim
=
dα
∆α
∆α
∆α
→ 0 ∆α
→ 0
∆θ
dθ
= lim =
∆α
dα
∆α
JUNIO, 2006, MARCHENA 9

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3) Si llamamos
5_4º) es
df df dϕ
f '= , f&
= , ϕ'
= , se tiene que f '
dα
dϕ
dα
f&
. ϕ',
f&
dα
= → ϕ'
=
dϕ
1
f&
→ f '=
f&
. Veamos las derivadas:
f&
= y, por el teorema
1
'
−1
f&
. &f
&
df&
dϕ
( f&
⎡ − ) ' ( f&
. f&
⎤
= ) 2 = − , ( f&
) '=
. = &
. ϕ'
1
ϕ' = , ϕ"
= ( ϕ'
)'=
f
4
f&
⎢
⎣
⎥
⎦ f&
dϕ
dα
&f
& f&
( f&
. &f
&)
−2
f " = ( f ')
'=
( f&
. ϕ ')
'=
( f&
) '. ϕ'+
f&
. ϕ"
= − = ( f&
. f&
) [ &f
&.(
f&
. f&
) − f&
.( f&
. &f
&)
]=
2
4
f&
f&
=
− 2 ( f&
. f&
) . [ f&
∧ ( &f
& ∧ f&
) ]
∧ ( f&
&f
&)
2 ( f&
. f&
)
( f&
. f&
)( . &f
& ∧ f&
)
4 ( f&
. f&
)
( )
( ) 3
&f
& f&
f&
. f&
2
2
& ⎤
∧
⎡ 2
f
por tanto: k = f ". f " = ⎢
⎣
∧
⎥
⎦
=
=
2
[5_1]
y, por consiguiente k =
&f & ∧ f&
3
f&
Definición 7: Dados tres puntos de un arco de curva alabeada regular, A, B y C, se
llama plano osculador al arco de curva en el punto A al plano que definen los tres
puntos cuando B y C se aproximan infinitamente al punto A, esto es, el limite del plano
que pasa por los tres puntos cuando B, C � A.
Definición 8: Dados tres puntos de un arco de curva alabeada regular, A, B y C, se
llama círculo osculador al arco de curva en el punto A al círculo que definen los tres
puntos cuando B y C se aproximan infinitamente al punto A, esto es, el limite del
círculo que define la circunferencia que pasa por los tres puntos cuando B, C � A.
Teorema 8: El plano osculador queda definido por los vectores tangente y de
curvatura, no estando determinado en aquellos puntos de curvatura nula.
Demostración:
Sea w un vector perpendicular al plano osculador y P un punto fijo de dicho plano con
vector de posición g. Se verifica, entonces, para el plano osculador en el punto A de
vector de posición f(α0):
o bien, podemos escribir
( f ( α 0 ) − g).
w = 0
f α
). w = g.
w = r
( 0
JUNIO, 2006, MARCHENA 10

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si consideramos la función v( x)
= f ( α 0 ). w − r , verifica obviamente que para todo punto
M del plano osculador es v( M ) = f ( α 0 ). w − r = 0 , por lo cual, si consideramos los
puntos A, B y C de la curva (de valores respectivos del parámetro longitud de arco α0,
α1 y α2) se tendrá:
A : v(
α ) =
0
B : v(
α ) =
1
C : v(
α ) =
2
f ( α ). w − p =
0
f ( α ). w − p =
1
f ( α ). w − p =
Aplicando el Teorema de Rolle a las igualdades anteriores se tiene que
∃x
∈ R /
1
∃x
2
∃x
3
∈ R /
∈ R /
α < x
1
1
0
α < x
x
< x
1
3
1
2
0
0
0
< α ∧ v'(
x ) =
< α ∧ v'(
x ) =
< x
2
2
1
1
2
∧ v"
( x ) =
como, por definición de plano osculador, B,C�A, también α1,α2�α0 y, asimismo
también h1, h2, h3�α0. Es decir, en el límite se tiene que
v'(
α ) =
0
v"
( α ) =
0
f '(
α ). w =
0
f " ( α ). w =
de lo cual se deduce que el vector w es perpendicular tanto al vector f’(α0) como al
vector f”(α0) , es decir es perpendicular en el punto A(α0) a los vectores tangente t y
de curvatura k. En definitiva, pues, la ecuación vectorial del plano osculador es de la
forma:
0
3
0
0
f =
f + λ t(
α ) + λ k(
α )
0
1.
0 2 0
JUNIO, 2006, MARCHENA 11
0
0
0

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Teorema 9: El círculo osculador en un punto f(α0) está contenido en el plano osculador
y su radio es el radio de curvatura del arco de curva en dicho punto.
Demostración:
Si es g el vector de posición del centro del círculo osculador, la ecuación de la
2
circunferencia se puede escribir ( f ( α ) − g).(
f ( α)
− g)
= r en el punto f(α).
Si consideramos la función
2
( f ( α)
− g)(
. f ( ) − g)
v( α ) = α − r
Esta función se anula obviamente en los puntos A, B, C de valores respectivos α0, α1 y
α2 para el parámetro longitud de arco.
v(
α ) =
0
v(
α ) =
1
v(
α ) =
Aplicando el Teorema de Rolle:
∃x
∈ R / α < x < α ∧ v'(
x ) = 0 ⇒
∃x
∃x
1
2
3
∈ R / α < x
∈ R / x
1
0
1
< x
3
1
2
2
2
( f ( α0
) − g)(
. f ( α0
) − g)
− r = 0
2
( f ( α1)
− g)(
. f ( α1)
− g)
− r = 0
2
( f ( α ) − g)(
. f ( α ) − g)
− r = 0
< α ∧ v'(
x ) = 0 ⇒
< x
2
1
2
1
∧ v"
( x ) = 0 ⇒
3
2
2
2
( f ( x1)
− g)
. f '(
x1)
= 0
( f ( x2
) − g)
. f '(
x2
) = 0
( f ( x ) − g)
. f " ( x ) + f '(
x ). f '(
x ) = 0
Puesto que B,C�A, también α1, α2 --> α0, y asimismo x1, x2, x3�α0. En el limite, por
tanto es:
( f ( α0
) − g)
. f '(
α0
) = 0
( f ( α ) − g)
. f " ( α ) + f '(
α ). f '(
x ) = 0
0
0
0
3
3
JUNIO, 2006, MARCHENA 12
3
[5_3]
Como todo los puntos del círculo osculador están en el plano osculador también lo
estará el centro de dicho círculo, luego es:
o bien
y de las ecuaciones [5_3]:
1
2
f α ) − g = λ . t + λ . k [5_4]
( 0
1 2
( f − g).
f '=
λ
. f '. f '+
λ . f '. f " = 0 ⇒ λ = 0
f α ) − g = λ . f '(
α ) + λ . f " ( α )
( 0
1 0 2 0
f '. f ' 1
( f − g).
f " = λ1.
f '. f " + λ2.
f ". f " = − f '. f '⇒
λ2
= − = − 2
f ". f " k
1
3
3

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por tanto, de la ecuación [5_4]:
1
1
g = f ( α 0 ) − λ2.
k = f ( α 0 ) + . k . n = f ( α 0 ) + . n
2
k
k
1
El radio de círculo osculador es por tanto: r = = R0
(radio de curvatura del arco de
k
curva en el punto).
6. Vector binormal. Torsión. Plano rectificante:
Definición 9: Se define el vector binormal en un punto ϕ0 de un arco de curva regular
como el producto vectorial de los vectores tangente y normal al arco de curva en dicho
punto:
b ϕ ) = t(
ϕ ) ∧ n(
ϕ )
( 0 0 0
Estos tres vectores constituyen un triedro formado por vectores unitarios
perpendiculares que es variable en cada punto, esto es, es un triedro móvil o
intrínseco, definiendo cada dos de ellos un plano:
JUNIO, 2006, MARCHENA 13

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Teorema 10:
Plano normal: m ( ϕ) = m(
ϕ0)
+ λ.
n(
ϕ0
) + µ . b(
ϕ0
)
Plano osculador: m ( ϕ) = m(
ϕ0
) + λ.
t(
ϕ0
) + µ . n(
ϕ0
)
Plano rectificante: m ϕ) = m(
ϕ ) + λ.
t(
ϕ ) + µ . b(
ϕ )
Se verifican las siguientes situaciones:
( 0
0
0
db
1) = −T
(α ). n
[6_1]
d
2)
3)
4)
α
Demostración:
∆φ
T α)
= lim =
∆α
∆α
→ 0
dφ
dα
T
f '.( f " ∧ f '''
f ''.
f ''
=
f ',
f '',
f '''
2
f ''
T
( f&
.( &f
& ∧ &f&
& ) [ f&
, &f
&,
&f&
& ]
= 2
2
( f&
∧ &f
&)
f&
∧ &f
&
( donde es ∆φ = angulo ( b(
α),
b(
α + ∆α)
)
( ) [ ]
= (parámetro longitud de arco α)
= (parámetro cualquiera ϕ)
JUNIO, 2006, MARCHENA 14

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1) Veamos que el vector b’ es perpendicular tanto a b como a t, por lo que ha de tener
la dirección del vector n, perpendicular a ambos.
⎧b.
t = 0
b = t ∧ n ⇒ ⎨ ⇒ ( b.
t)'=
0 ⇒ b'.
t + b.
t'=
0 ⇒ b'.
t + b.
k = 0 ∧ b.
k = 0 ⇒ b'.
t = 0
⎩b.
n = 0
b . b = 1⇒
( b.
b)'=
0 ⇒ 2.
b.
b'=
0 ⇒ b.
b'=
0
Por tanto, b’ es perpendicular tanto a t como a b, luego tiene la dirección perpendicular
es decir la dirección de n. Existirá un factor de proporcionalidad, pues, entre b’ y n. Si
llamamos –T a ese factor, podemos escribir
db
T (α ). n
dα
− =
⎛ ∆θ
⎞
2) De ser ∆b = b(
α + ∆α)
− b(
α)
= 2.
sen⎜
⎟ = ∆θ
+ φ(
∆θ
)
⎝ 2 ⎠
( φ( ∆θ ) : inf initesimo de ∆θ
)
Se tiene:
db(
α)
= T ( α)
. n(
α)
dα
db
∆b
∆θ
+ φ(
∆θ
)
T = = lim = lim
=
dα
∆α
∆α
∆α
→ 0 ∆α
→ 0
∆θ
dθ
= lim =
∆α
dα
∆α
3) Se tiene:
2
b = t ∧ n ⇒ b'=
−T.
n = ( t ∧ n)'⇒
n.
b'=
−T.
n = −T
= n.
( t ∧ n)
'⇒
⇒ T = n.(
n ∧ t)'=
n.(
n'∧t
+ n ∧ t')
=
f " ⎛ f ''
' f ''
⎞
⎜
f ''
f ' f ''⎟
= ( f ''
'∧
f ')
2
k ⎜
∧ + ∧
k k ⎟
⎝
⎠ k
por tanto:
T =
f ''.(
f ''
'∧
f ')
[ f ',
f '',
f ''
']
= 2
2
( f ". f " ) f ''
3) Se tiene, para las primeras derivadas de la función f con respecto al parámetro
longitud de arco las expresiones siguientes en función de las derivadas con respecto a
otro parámetro ϕ:
f ' f&
2
= . ϕ'
, f " & f&.
ϕ' f&
3
= + . ϕ"
, f '''
= & f&
& . ϕ' + 3.
&f
&.
ϕ'.
ϕ'
'+
f&
. ϕ''
'
efectuando operaciones, y teniendo en cuenta que :
2
3
f&
.
[ ( ) ( ) ] ( &f
& &f&
&
&
)
f&.
' f&
. ''
&f&
& . ' 3.
&f
&.
'. ''
f&
∧
ϕ + ϕ ∧ ϕ + ϕ ϕ + . '''
=
f '.( f ''∧
f '''
) = f&
. φ
'.
ϕ
( ) 3
f&
. f&
JUNIO, 2006, MARCHENA 15

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y que es, por [5_2]:
se tiene, finalmente:
f
''.
f
''
=
f '.(
T =
( )
( ) 3
f&
∧ &f
&
f&
. f&
f ''
f ''.
∧
f
2
f ''
')
''
=
f&
. ( &f
& ∧ &f&
& )
3 ( f&
. f&
)
2 ( f&
∧ &f
&)
3 ( f&
. f&
)
=
( )
( ) 2
f&
. &f
& ∧ &f&
&
f&
∧ &f
&
Definición 10: Se llama torsión de una curva alabeada en un punto a la magnitud T(α)
tal que
db
= −T
(α ). n
dα
7. Las fórmulas de Frenet-Serret:
Teorema 11:
Dada una curva alabeada regular definida por la función f(α) se verifican en cada punto
las las relaciones siguientes, llamando k0 a la curvatura y T a la torsión:
dt
1) = k0
. n
dα
dn
2) k0
. t T.
b
d
+ − =
α
db
3) = −T.
n
dα
Demostración:
1) Es la expresión [5_1] de definición de la curvatura.
2) De ser n. n = 1 ⇒ n.
n'=
0 ⇒ n ⊥ n'⇒
n’ está contenido en el plano rectificante, por lo
cual puede expresarse en función de los vectores directores de dicho plano:
n = λ . t + λ . b [7_1]
' 1 2
JUNIO, 2006, MARCHENA 16

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esto quiere decir que, multiplicando por t: n '. t = λ 1 . t.
t + λ2.
b.
t = λ1
; análogamente, si
multiplicamos por b: n '. b = λ 1 t.
b + λ2.
b.
b = λ2
.
n.
t = 0 ⇒ n'.
t + n.
t'
= 0 ⇒ n'.
t = −n.
t'
= −n.
k0.
n = −k
0 ⇒ λ1
= −k
0
n.
b = 0 ⇒ n'.
b + n.
b'=
0 ⇒ n'.
b = −n.
b'=
−n.(
−T.
n)
= T ⇒ λ = T
sustituyendo en [7_1]: n = λ . t + λ . b = −k
. t + T.
b , por tanto:
' 1 2
0
3) Es la expresión [6_1] para la torsión.
dt
=
dα
dn
=
dα
db
=
dα
− k . t
0
dn
k0
. t T.
b
d
+ − =
α
FÓRMULAS DE FRENET--SERRET
k . t
0
− T.
n
+ T.
b
2
⎛ dt ⎞
⎜ ⎟
⎜ dα
⎟ ⎛ 0
⎜ dn ⎟
⎜
= ⎜−
k
⎜ dα
⎟
⎜ ⎟
⎜
db ⎝ 0
⎜ ⎟
⎝ dα
⎠
f&
∧ &f
&
Curvatura: k 0 = f ''
k0
= 3
f&
Torsión:
T =
[ f ',
f '',
f ''']
f ''.
f ''
T =
k0
0
− T
0 ⎞ ⎛ t ⎞
⎟ ⎜ ⎟
T ⎟.
⎜n
⎟
0 ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝b
⎠
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0
[ ]
( ) 2
f&
, &f
&,
&f&
&
f&
∧ f&

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8. Bibliografía:
CARMO, M.P. DO: Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza
Universidad Textos 135. Alianza, 1990
FRENET, F.: "Sur les courbes à double courbure." Thèse. Toulouse, 1847. Abstract in
J. de Math. 17, 1852.
GRAY, A.: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2 nd
ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 186, 1997.
HICKS, N.J.: Notas sobre Geometría Diferencial. Ed. Hispano Europea, 1974
HSIUNG, C.C.: A first course in differential geometry. John Wiley. 1981
KLINGENBERG, W.: Curso de geometría diferencial. Ed. Alhambra, 1973
KREYSZIG, E.: "Formulae of Frenet." §15 in Differential Geometry. New York: Dover,
pp. 40-43, 1991.
LIPSCHUTZ, L.M.: Theory and problems of differential geometry. McGraw-Hill, 1969
LOPEZ DE LA RICA, A; DE LA VILLA, AGUSTIN; "Geometría Diferencial". Edisofer
1997.
MILLMAN, R.S.; PAKER, G.D.: Elements of differential geometry. Prentice Hall,
1977
MONTESDEOCA, A.: Apuntes de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Col.
Textos Universitarios, 1996
O'NEILL, B.: Elementos de Geometría Diferencial. Limusa-Wiley, 1972
SERRET, J. A.: "Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double
courbure." J. de Math. 16, 1851.
JUNIO, 2006, MARCHENA 18