XIX Sympozjum Srodowiskowe PTZE - materialy.pdf

XIX Sympozjum PTZE, Worliny 2009
�
�
�
�
cząstkowych dwóch zmiennych: czasu t i odleglości od początku linii x:
∂u(x, t)
∂x
=
∂i(x, t)
−R0i(x, t) − L0
∂t
∂i(x, t)
∂x
=
∂u(x, t)
−G0u(x, t) − C0 ,
∂t
(1)
który nosi nazwę równań linii dlugiej. Jeśli przyjmiemy w dotychczas wyprowadzonych równaniach
R0 = 0, to po zróżniczkowaniu obu równań względem drugiej zmiennej i wyeliminowaniu drugiej
pochodnej mieszanej prądu, otrzymamy równanie drugiego rzędu dla napięcia
∂2u(x, t)
∂x2 ∂u(x, t) ∂
= L0G0 + C0L0
∂t
2u(x, t)
∂t2 . (2)
Równanie to nosi czasam nazwe równania telegrafistów, albo telegrafu.
Z drugiej strony w modelu zaproponowanym przez drugiego autora (W.K.) dla opisy dynamicznych
efektów przewodnictwa ciepla przy bardzo niskich temperaturach, gdzie eksperymentalnie
jest obserwowane zjawisko drugiego dźwięku, tj. falowy charakter przewodnictwa ciepla,
wychodzi się z zalożenia, że stan ciala (przy zaniedbaniu efektów mechanicznych) jest opisywany
przez temperaturę bezwględną ϑ i termiczną wewnętrzną zmienną stanu β, dla której przyjmuje się
tzw. kinetyczne równanie ewolucji. W przypadku liniowym to równanie, wzbogacane o równanie
konstytutywne dla strumienia ciepla q, które mówi o jego proporcjonalności do gradientu β, tzn.
q = −κ∇β, wraz równaniem bilansu energii, prowadzą do ukladu dwóch równań rózniczkowych
∂β
∂ϑ
= γ(ϑ − β) , cv
∂t ∂t = κ∂2 β
, (3)
∂x2 gdzie cv reprezentuje pojemność cieplną, κ wspólczynnik przewodnictwa ciepla, zaś γ = 1/τ0 jest
odwrotnością termicznego czasu relaksacji τ0. Jeśli zróżniczkujemy pierwsze równanie względem
czasu i wyrugujemy pochodna czasową ϑ z drugiego równania, to otrzymamy równanie drugiego
rzędu dla β
∂2β(x, t)
∂t2 ∂β(x, t)
= −γ
∂t
+ c2 ∂
t
2β(x, t)
∂x2 , (4)
gdzie ct = ± � κ/cvτ0 jest characterystyczną prędkością propagacji fali termicznej, tzw. drugim
dźwiękiem.
Bezpośrednia inspekcja obu równań: (2) oraz (4) wskazuje na ich pelne podobieństwao z dokladnością
do stalych materialowych (wspólczynników). Pytanie postawione w niniejszej prezentacji
jest, czy jest możliwe ich otrzymanie jako konsekwencji pewnej zasady wariacyjnej w postaci
wynikowych równań Eulera-Lagrange’a. Podejmując spostrzeżenie Vujanovica z [1], który zauważyl,
że zasada wariacyjnej stacjonarnego dzialania sformulowana dla ukladu zachowawczego
może być przeniesiona dla ukladu dyssypatywnego, o ile się zauważy, że dla tego drugiego nie
zachodzi przemiennośc operacji brania wariacji czasowej pochodnej pola a różniczkowaniem względem
czasu vwariacji pola. W szczególności, klasyczne równanie falowe (u,tt = c2u,xx ) jest konsekwencja
zasady wariacyjnej, w której gęstość Lagrangianu jest dobrze określona (L(u, u,t , u,x ) =
(u,t ) 2 − (cu,x ) 2 ). Odrzucając jednak przemienność tych operacji i postulując, że
∂u(x, t) δu(x, t)
δ �= (5)
∂t ∂t
i wyprowadzając z zasady stacjonarnego dzialania odpowiadajace jej równanie Eulera-Lagrange’a,
otrzymujemy równanie telegrafistów. Ta nowa, wariacyjna metoda wyprowadzenia tego typu równań
jest wykorzystana do poszukiwania szczególnych i nowych rozwiązań.
[1] B. Vujanovic : A Variational Principle for Non-Conservative Dynamical Systems, ZAMM
- Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 55 (6), 321–331, 1975.
submitted to XIX SYMPOZJUM ŚRODOWISKOWE PTZE, Ostróda , czerwiec 2009
2