XIX Sympozjum Srodowiskowe PTZE - materialy.pdf

XIX Sympozjum PTZE, Worliny 2009
�
�
�
�
Lagrangean method for solving long line
and hyperbolic heat conduction equations
Barbara Grochowicz and Witold Kosiński
University of Technology, Opole, Poland
Polish-Japanese Institue of Information Technology, Warszawa, Poland
Kazimierz Wielki University, Bydgoszcz, Poland
e-mail: bgrochowicz@wp.pl, wkos@pjwstk.edu.pl
Abstract A new method of deriving long line (telegraph) equation is proposed which is based
on a variational principle of stationary action. The same method is used in showing that a
semi-linear governing equation appearing in the hyperbolic model of heat conduction, proposed
by the second author, can be derived as well, as the Euler-Lagrange equation of the variational
principle. The main idea is based on the observation, that for dissipative systems the variation
of time derivatives of a field is different from the time derivative of the variation of the field.
Hence from the same action integral containing a density of a Lagrangean and known for a
conservative system, equations of a dissipative system may be obtained by the variational
principle, provided a particular form of the non-commutativity of operations: variation and
time differentiation, is assumed. Then a new solution method for both equations: long line and
hyperbolic heat conduction ones, both written as a telegraph equation, however, with different
material coefficients, is proposed and applied.
Keywords
Telegraph equation, long line equation, hyperbolic heat conduction, Lagrangean density,
variational principle, solution method
W liniach telekomunikacyjnych i w wysokonapięciowych liniach elektroenergetycznych znacznej
dlugości, trzeba uwzględniać falowy charakter zjawisk elektrycznych. Równania opisujące zjawiska
związane z rozprzestrzenieniem się fali elektromagnetycznej w środowisku otaczającym przewody
linii są równaniami różniczkowymi cząstkowymi, a zmiennymi niezależnymi w tych równaniach są
wspólrzedne przestrzeni trójwymiarowej i czas. W przypadku wspomnianych linii można przyjąć,
że fala elektromagnetyczna rozchodzi się w jednym tylko kierunku wytyczonym przez linię, a
więc równania różniczkowe są równaniami dwóch zmiennych - czasu t i odleglości x liczonej od
początku lub od końca linii. W takim przypadku można mówić o parametrach rozlożonych wzdluż
linii. Jeśli parametry linii są równomiernie rozlożone wzdluż linii, to linię taką nazywamy linią
dlugą jednorodną. Linie elektryczne, w których można zauważyć wplyw rozlożenia parametrów na
przebiegi prądów i napięć, nazywamy liniami dlugimi. Należą do nich linie, których dlugość l nie
jest pomijalnie mala w porównaniu z dlugością fali elektromagnetycznej λ odpowiadającej danej
częstotliwości f.
Linię dwuprzewodową, jednorodną, symetryczną o zadanej dlugości l charakteryzują cztery
parametry jednostkowe, dwa parametry podlużne: rezystancja R0, indukcyjność L0 oraz dwa
parametry poprzeczne: pojemność C0i uplywność G0. Korzystajac z obu praw Kirchhoffa
wyprowadza się dla napięcia u(x, t) oraz prądu i(x, t) uklad dwóch równań różniczkowych
1