Nå får jeg det til
En praktisk vinklet håndbok om hvordan elevene kan mestre matematikken. Boken tar utgangspunkt i hvordan læreren raskt kan oppdage elever med vansker i matematikk og deretter utforme presise hjelpetiltak.
En praktisk vinklet håndbok om hvordan elevene kan mestre matematikken. Boken tar utgangspunkt i hvordan læreren raskt kan oppdage elever med vansker i matematikk og deretter utforme presise hjelpetiltak.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Olav Lunde<br />
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
Om <strong>til</strong>passet opplæring i matematikk<br />
INFO VEST FORLAG 2009
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
Olav Lunde<br />
Olav Lunde<br />
NÅ FÅR JEG DET TIL!<br />
NÅ FÅR JEG DET TIL!<br />
Om <strong>til</strong>passet opplæring i matematikk<br />
Om <strong>til</strong>passet opplæring i matematikk<br />
eller<br />
Hvordan Bob-Kåre eller kan mestre matten!<br />
Hvordan Bob-Kåre kan mestre matten!<br />
Info Vest Forlag<br />
2009<br />
ISBN 978-82-90910-34-6<br />
Info Vest Forlag<br />
2009<br />
1<br />
3
INNHOLD<br />
Hvem er Bob-Kåre?............................................................................ 9<br />
Et bakteppe.......................................................................................... 10<br />
1. Problemet: Bob-Kåre har store vansker med matematikken!............ 15<br />
2. Hva kjennetegner en elev med matematikkvansker?.......................... 19<br />
3. Hvordan kan vi kartlegge matematikkvansker?.................................. 25<br />
4. Hva må vi ellers vite om Bob-Kåre?................................................... 33<br />
5. Hvorfor har ikke Bob-Kåre lært matematikken?................................ 39<br />
6. Hva betyr <strong>det</strong> at noe er lært?............................................................... 45<br />
7. Har Bob-Kåre en lærevanske når han ikke lærer?.............................. 47<br />
8. Hva skal Bob-Kåre lære?.................................................................... 51<br />
9. Hvordan får vi Bob-Kåre <strong>til</strong> å ville lære?............................................ 57<br />
10. Hva med de andre vanskene Bob-Kåre har?....................................... 63<br />
11. Skal Bob-Kåre henvises <strong>til</strong> PPT for utredning?.................................. 69<br />
12. Hva skal <strong>jeg</strong> si <strong>til</strong> foreldrene?.............................................................. 71<br />
Noen vanlige spørsmål om matematikkvansker................................. 73<br />
Tillegg:<br />
A Stegmodell i matematikk..................................................................... 77<br />
B Noen sentrale, matematiske begreper................................................. 78<br />
C Matematikkens hus.............................................................................. 80<br />
D Hvordan tallene preger en dag i 1. klasse.<br />
(Av Kari Haukås Lunde)..................................................................... 81<br />
E Oppgavene i oversiktsdelen av Olav Lundes kartlegging................... 84<br />
Referanser................................................................................85<br />
5
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
3<br />
6
Forord<br />
I arbei<strong>det</strong> mitt med matematikkvansker innen PPT og ved Sørlan<strong>det</strong> kompetansesenter, opplever<br />
<strong>jeg</strong> altfor ofte å møte elever som i mange år har strevet med matematikken, men ikke fått den hjelpen<br />
de hadde behov for. Forskningen viser klart at jo tidligere en elev får hjelp med vanskene sine, desto<br />
større er sjansen for å kunne mestre matematikken.<br />
Tanken er at denne boken skal være <strong>til</strong> hjelp for læreren som har en eller flere elever i klassen som<br />
ikke får <strong>til</strong> matematikken og som ber om hjelp. Boken er derfor praktisk vinklet uten særlig teori.<br />
Mange har hjulpet meg i arbei<strong>det</strong> med å velge ut hva som burde være med i en slik bok. Først og<br />
fremst vil <strong>jeg</strong> takke min kone Kari som med sin bakgrunn som matematikkinteressert lærer har vært<br />
med i mange diskusjoner og lest kladdene.<br />
Jeg vil også takke rektor Marta Gudmestad som har lest manus og kommet med synspunkter på<br />
hva som burde være med – og hvordan <strong>det</strong> burde skrives!<br />
Og en takk <strong>til</strong> de mange elevene med matematikkvansker, lærerne deres og foreldrene som har<br />
vist meg at elevene både kan og vil lære matematikk!!! I den sammenheng: En spesiell takk <strong>til</strong> Lister<br />
PPT.<br />
Kapitlene kan leses uavhengig av hverandre, men er bygd opp rundt figuren på motstående side.<br />
Dette er sentrale problems<strong>til</strong>linger vi må tenke gjennom når vi skal utforme den <strong>til</strong>passede opplæringen<br />
og vurdere behov for spesialpedagogiske <strong>til</strong>tak.<br />
Hvert kapitel kan isolert sett være tema for kollegiet ved en skole å ta opp på en intern planleggingsdag,<br />
helst sammen med PPT.<br />
Det er mitt håp at denne boken kan bidra <strong>til</strong> å gjøre skolegangen bedre for noen elever med matematikkvansker.<br />
- Det trengs.<br />
Bryne, januar 2009<br />
Olav Lunde<br />
7
8
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
Hvem er Bob-Kåre?<br />
Hvem er Bob-Kåre?<br />
Jeg har hatt Bob-Kåre i tankene da <strong>jeg</strong> laget denne boken.<br />
Bob-Kåre Jeg har hatt er Bob-Kåre en virkelig i elev tankene selv da om <strong>jeg</strong> laget har endret denne litt boken. slik at han ikke kan gjenkjennes. Nedenfor<br />
er gitt Bob-Kåre en kort beskrivelse er en virkelig av Bob-Kåre. elev selv Noen om <strong>jeg</strong> av punktene har endret har litt <strong>jeg</strong> slik tatt at fra han andre ikke elever, kan slik gjenkjennes. at <strong>det</strong> gir<br />
et Nedenfor mer omfattende er gitt en bilde kort av beskrivelse situasjonen av og Bob-Kåre. vanskene i Noen matematikk. av punktene har <strong>jeg</strong> tatt fra andre elever,<br />
slik at <strong>det</strong> gir et mer omfattende bilde av situasjonen og vanskene i matematikk.<br />
• Gutt, 4. årstrinn om våren<br />
• Henvist av skolen <strong>til</strong> PPT pga. store lærevansker, spesielt i<br />
matematikk. Fikk omtrent ikke <strong>til</strong> noe på M-3-prøven (!)<br />
• Strever med lesing/skriving: Forveksler bokstaver når han leser og<br />
skriver, mulig dysleksi? Skolen vil gjerne at PPT ser på om <strong>det</strong> kan<br />
være noe felles siden han strever slik både med norskfaget og med<br />
matematikken. Kan <strong>det</strong> være slik at leseferdigheten hemmer ham i<br />
matematikken?<br />
• Kan av og <strong>til</strong> forveksle siffer (f. eks. 5 og 3 og tall 21/12)<br />
• OK sosialt, OK motorisk, OK syn og hørsel, OK hjemme.<br />
• Usikker på litt større tall, usikker på ener/tier, sier ofte bare ”husker<br />
ikke”<br />
• Vansker med å forstå muntlige beskjeder fra læreren. De må ofte<br />
gjentas spesielt for Bob-Kåre.<br />
• ”Det han lærer den ene dagen, er borte neste dag”, sier læreren<br />
• Virker ukonsentrert, ”følger ikke med” i timene<br />
• Regner bedre i ho<strong>det</strong> enn på papiret (M-prøven).<br />
PPT finner i sin utredning at<br />
• Evnenivå er i ”nederste del av normalområ<strong>det</strong>”.<br />
Mange lærere sier at de kjenner igjen disse vanskene, og at de finner dem hos elever på både<br />
lavere og høyere årstrinn enn Bob-Kåre er.<br />
Mange lærere sier at de kjenner igjen disse vanskene, og at de finner dem hos elever på både lavere<br />
og høyere årstrinn enn Bob-Kåre er.<br />
Det er Bob-Kåre som utbryter: ”<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!”<br />
Det er Bob-Kåre som utbryter: ”<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!”<br />
5<br />
9
Et bakteppe<br />
Hvorfor er matematikk så vanskelig for noen barn?<br />
Det har vi ikke noe godt svar på!<br />
I snart hundre år har vi vært klar over at <strong>det</strong> er slik. Noen mennesker har store vansker med å lære<br />
matematiske begreper og fremgangsmåter når de skal regne ut enkle ting. Vanskene er langt større<br />
enn <strong>det</strong> en skulle forvente ut fra deres generelle intelligens og den ferdigheten de ellers har.<br />
Likevel har <strong>det</strong> vært forsket lite på <strong>det</strong>te. Kanskje er grunnen den at mange har sett på <strong>det</strong> å kunne<br />
lese godt, som langt viktigere enn å kunne regne. Og <strong>det</strong> er klart at dårlig lese- og skriveferdighet er<br />
noe som kan virke hemmende på nesten alle områder både som barn, ungdom og voksen.<br />
Men dårlig matematisk ferdighet er langt mer skadelig for Bob-Kåre enn <strong>det</strong> som har vært den<br />
vanlige oppfatningen. Noen enkle eksempler: 1<br />
• Forstå hele tall, brøk, desimaltall, prosent - helt avgjørende for å styre med tid og penger.<br />
(”SALG: Minus 10 %”)<br />
2<br />
• Forstå spatiale relasjoner - helt avgjørende når en skal lese et kart eller en hustegning<br />
• Forstå funksjoner – helt avgjørende for å forstå hvordan strømregningen varierer med<br />
termostatinns<strong>til</strong>lingen, og hvordan diabetiske symptom varierer med anstrengelse og sjokolade.<br />
• Forstå et diagram – helt avgjørende for å lese værsidene i avisen og for å finne ut om <strong>jeg</strong><br />
har brukt mer eller mindre strøm siste måneden.<br />
Matematikken er viktig. Og den omgir oss hele dagen.<br />
Det er sagt at vi i snitt bearbeider om lag 1000 henvisninger <strong>til</strong> matematiske tall og problems<strong>til</strong>linger<br />
i timen! 3 Det blir 16 000 tanker med matematisk innhold hver dag. Og hele 6 000 000 i året!<br />
Tenk da hvilken frustrasjon et menneske opplever som ikke får <strong>til</strong> å bruke den fantastiske redskapen<br />
som matematikken er!<br />
På min jernbanebillett (se fig. 1) fra NSB finner <strong>jeg</strong> 91 siffer fordelt på 22 tall. Tallene er i ulike<br />
format: Som datoer (27.09.2007), som tid (09:02) og som pris (314.00). Tallene er fra en-sifrede <strong>til</strong><br />
åtte-sifrede. De brukes også som ”navn”, dvs. betegnelse på et bestemt sete.<br />
Dette krever mange matematiske tanker, og <strong>det</strong> krever leseferdighet og begrepsforståelse. Det er<br />
også interessant å se at delingstegnet (:) brukes for å angi time/minutt, og at tom plass i prisen gjengis<br />
med *. Det er ikke mange feil tanker knyttet <strong>til</strong> denne billetten før <strong>det</strong> kan gi store konsekvenser for<br />
Bob-Kåres fungering i hverdagen.<br />
1 McCloskey, M., 2007, kap. 19<br />
2 Spatiale relasjoner = <strong>det</strong> å oppfatte forhol<strong>det</strong> mellom linjer, flater, rom og romrelasjoner.<br />
Spatial ferdighet = ferdighet <strong>til</strong> å oppfatte størrelser og tenke i romrelasjoner, f. eks. telle antall murstein<br />
som ligger systematisk stablet når en bare ser to sider av stabelen.<br />
3 Ljungblad, A.-L., 2006, side 32<br />
10
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
Fig. 1. Togbillett fra NBS.<br />
Ut fra billetten finner vi i alle fall 6 sentrale emner som bør beherskes innen elementær matematikk<br />
4 :<br />
Ut fra billetten finner vi i alle fall 6 sentrale emner som bør beherskes innen elementær<br />
1. Telling – kunne heltallene i riktig rekkefølge for å finne stolen.<br />
matematikk 4 :<br />
1.<br />
2.<br />
Telling<br />
Tallforståelse<br />
– kunne<br />
–<br />
heltallene<br />
oppfatte hva<br />
i riktig<br />
ulike<br />
rekkefølge<br />
tall står for<br />
for<br />
(antall/nummer<br />
å finne stolen.<br />
i en rekke). Både telling<br />
og tallforståelse krever ferdighet i rekkeoppfatning (sekvensiering). Dette har sammenheng<br />
med å kunne<br />
2. Tallforståelse – oppfatte<br />
oppfatte<br />
hva<br />
de<br />
ulike<br />
ulike<br />
tall<br />
elementene<br />
står for (antall/nummer<br />
i en mengde. Og<br />
i en<br />
hvis<br />
rekke).<br />
en skal<br />
Både<br />
kommunisere<br />
telling<br />
og tallforståelse<br />
med konduktøren<br />
krever<br />
eller<br />
ferdighet<br />
en passasjer<br />
i rekkeoppfatning<br />
som har satt seg på<br />
(sekvensiering).<br />
plassen, må en kunne<br />
Dette<br />
navngi<br />
har<br />
sammenheng med å kunne oppfatte de ulike elementene i en mengde. Og hvis en skal<br />
tallene. - Og hva betyr <strong>det</strong> åtte-sifrede tallet?<br />
kommunisere med konduktøren eller en passasjer som har satt seg på plassen, må en<br />
3. kunne Sammenligne navngi tallene. to for - Og å finne hva betyr sete og <strong>det</strong> forstå åtte-sifrede pris og tallet? tidsangivelse– da må en vite tallenes<br />
rekkefølge og tallenes avstand på en tenkt tallinje.<br />
3. Sammenligne to tall for å finne sete og forstå pris og tidsangivelse– da må en vite<br />
4. tallenes Plass-verdi rekkefølge (ener/tier) og tallenes – må kunne avstand <strong>det</strong>te på for en tenkt å forstå tallinje. pris og tid (som er forskjellige mht.<br />
4. Plass-verdi<br />
plass-verdi)<br />
(ener/tier) – må kunne <strong>det</strong>te for å forstå pris og tid (som er forskjellige mht.<br />
5. plass-verdi) Utregning (aritmetikk) – ved Mva (og vite hva <strong>det</strong> betyr), og veksle penger ved betalingen<br />
hvis en (aritmetikk) ikke bare bruker – ved kort… Mva (og vite hva <strong>det</strong> betyr), og veksle penger ved<br />
5. Utregning<br />
6. betalingen Overslagsregning hvis en ikke (estimering) bare bruker – kunne kort… orientere seg i vognen for å lett finne plassen<br />
6. Overslagsregning eller se om <strong>det</strong> nok (estimering) å betale med – kunne en 100-kroning. orientere seg Dette i vognen er da for i <strong>til</strong>legg å lett en finne romlig plassen eller<br />
eller visuo-spatial se om <strong>det</strong> 5 ferdighet.<br />
nok å betale med en 100-kroning. Dette er da i <strong>til</strong>legg en romlig eller<br />
visuo-spatial 5 ferdighet.<br />
Noe av <strong>det</strong> første vi ser i en slik opps<strong>til</strong>ling, er at forståelsen og tolkningen av matematisk informasjonen<br />
Noe av alltid <strong>det</strong> første henger vi sammen ser i en med slik den opps<strong>til</strong>ling, situasjonen er hvor at forståelsen en finner den, og tolkningen i <strong>det</strong>te <strong>til</strong>fellet av på matematisk en togbillett.<br />
Det er derfor alltid meget henger viktig sammen at eleven med er den kjent situasjonen med den og hvor de situasjonene finner den, hvor i <strong>det</strong>te matematikken <strong>til</strong>fellet på skal en<br />
informasjonen<br />
togbillett. forstås og brukes. Det er Spesielt derfor meget gjelder viktig <strong>det</strong>te ved at såkalte eleven tekststykker. er kjent med den og de situasjonene hvor<br />
matematikken<br />
For elever<br />
skal<br />
med<br />
forstås<br />
matematikkvansker,<br />
og brukes. Spesielt<br />
er <strong>det</strong><br />
gjelder<br />
ofte innen<br />
<strong>det</strong>te<br />
disse<br />
ved såkalte<br />
områdene<br />
tekststykker.<br />
en finner påfallende store<br />
vansker. For elever Det med er interessant matematikkvansker, å merke seg er at <strong>det</strong> alt ofte <strong>det</strong>te innen bygger disse på områdene egenskaper en finner ved måten påfallende hjernen store vår<br />
vansker. fungerer på. Det er interessant å merke seg at alt <strong>det</strong>te bygger på egenskaper ved måten hjernen vår<br />
fungerer på.<br />
<strong>Nå</strong>r vi skal løse problem, bruker vi begreper <strong>til</strong> å tenke med. Det ser ut <strong>til</strong> at <strong>det</strong> hos elever med<br />
matematikkvansker <strong>Nå</strong>r vi skal løse problem, spesielt bruker relasjonsbegrepene vi begreper <strong>til</strong> å som tenke er ufullstendige. med. Det ser ut Med <strong>til</strong> at relasjonsbegreper <strong>det</strong> hos elever med tenker<br />
vi på begreper som spesielt før/etter, er relasjonsbegrepene stor/liten, over/under som osv. er Det ufullstendige. er rimelig å anta Med en relasjonsbegreper<br />
nær sammenheng<br />
matematikkvansker<br />
mellom språkferdighet, leseferdighet og matematisk ferdighet. 6<br />
4 Varma, S.; Schwartz, D.L. & McCandliss, B.C., 2007.<br />
5 Visuell = som har med synsevne og/eller tolkning av synspåvirkning å gjøre.<br />
4 Varma, S.; Schwartz, D.L. & McCandliss, B.C., 2007. 7<br />
5 Visuell = som har med synsevne og/eller tolkning av synspåvirkning å gjøre.<br />
6 Helland, T. ,2002.<br />
11
Hva er forskjellen på B og 3?<br />
Hva er forskjellen på B og 3?<br />
De har ulik form. Vi kan beskrive begge som satt sammen av rette og/eller buede linjer hvor<br />
buen Hva går <strong>til</strong> er høye forskjellen eller venstre og på den B og rette 3? linjen er loddrett. Den ene buede linjen står oppå den<br />
andre. <strong>Nå</strong>r vi oppfatter tall og bokstaver, skal vi tolke dem og gi dem mening: B står for en<br />
bestemt lyd, mens 3 står for et bestemt antall. Denne oppfatningen og tolkningen bygger på hva vi<br />
De har ulik form. Vi kan beskrive begge som satt sammen av rette og/eller buede linjer hvor<br />
buen går <strong>til</strong> høye eller venstre og den rette linjen er loddrett. Den ene buede linjen står oppå den<br />
De har ulik form. Vi kan beskrive begge som satt sammen av rette og/eller buede linjer hvor<br />
andre. <strong>Nå</strong>r vi oppfatter tall og bokstaver, skal vi tolke dem og gi dem mening: B står for en<br />
buen går <strong>til</strong> høye eller venstre og den rette linjen er loddrett. Den ene buede linjen står oppå den<br />
bestemt har lært lyd, andre. tidligere mens <strong>Nå</strong>r vi 3 og oppfatter står som for et ligger tall bestemt og bokstaver, lagret antall. i hukommelsen skal Denne vi tolke oppfatningen dem vår. og gi dem og mening: tolkningen B står for bygger en bestemt på hva vi<br />
har lært tidligere lyd, mens og 3 står som for ligger et bestemt lagret antall. i hukommelsen Denne oppfatningen vår. og tolkningen bygger på hva vi har lært<br />
tidligere og som ligger lagret i hukommelsen vår.<br />
tolke Noen dem. av de 7 elevene som har matematikkvansker, strever med å oppfatte slike ulike former og<br />
tolke dem. 7 Noen av de elevene som har matematikkvansker, strever med å oppfatte slike ulike former og<br />
tolke dem. 7<br />
vi Det leser, er lett<br />
Det<br />
skriver å tenke<br />
er lett<br />
og seg<br />
å tenke<br />
regner at både<br />
seg<br />
med. bokstaver<br />
at både<br />
Men<br />
bokstaver<br />
så og enkelt siffer<br />
og siffer<br />
er er <strong>det</strong> tankeverktøy<br />
er tankeverktøy<br />
nok ikke. 8 av samme type: symboler som<br />
vi leser, skriver og regner med. Men så enkelt er <strong>det</strong> nok ikke. 8 av samme type: symboler som<br />
vi leser, skriver og regner med. Men så enkelt er <strong>det</strong> nok ikke. 8<br />
<strong>Nå</strong>r en elev skal lese, tolke og si bokstaven B, høres <strong>det</strong> som ”b” i både bok, bil og blomst.<br />
<strong>Nå</strong>r en elev skal lese, tolke og si bokstaven B, høres <strong>det</strong> som ”b” i både bok, bil og blomst. Barnet<br />
Barnet<br />
tolkningen<br />
kan kan høre høre av lyden lyden<br />
bokstaven som som koples koples<br />
når med den<br />
med bokstaven, står<br />
bokstaven,<br />
først, og i den midten er og lik den<br />
eller hver er gang. sist<br />
lik<br />
i<br />
hver Dessuten et ord.<br />
gang. endres Dessuten ikke tolkningen endres ikke<br />
tolkningen av bokstaven av bokstaven når den når står den først, står i midten først, i eller midten sist i eller et ord. sist i et ord.<br />
Men med Men sifferet med sifferet 3 er 3 <strong>det</strong> er <strong>det</strong> ikke slik! 3 kan 3 kan stå for stå en for mengde mengde ulike ting, ulike alt avhengig ting, alt av sammen-<br />
avhengig av<br />
sammenhengen. Det Det kan kan stå for stå tre for store tre hus store eller hus tre eller små karameller. tre små karameller. Det er samme Det antall, er men samme ellers antall, svært men<br />
ellers svært ulikt. ulikt. 3 kan også 3 kan være også ren informasjon være ren informasjon i et telefonnummer, i et telefonnummer, eller <strong>det</strong> kan være et eller ordningstall <strong>det</strong> kan (den være et<br />
ordningstall tredje bilen). (den Da tredje er antallet bilen). bare Da én er (1)!!! antallet bare én (1)!!!<br />
ordningstall (den tredje bilen). Da er antallet bare én (1)!!!<br />
Tradisjonelt<br />
Tradisjonelt<br />
har en<br />
har<br />
betraktet<br />
en betraktet<br />
siffer<br />
siffer<br />
og<br />
og<br />
bokstaver<br />
bokstaver<br />
som<br />
som<br />
om de<br />
var<br />
var<br />
samme<br />
samme<br />
type<br />
type<br />
verktøy.<br />
verktøy.<br />
Det kan<br />
Det kan<br />
være en av grunnene <strong>til</strong> at en har sett på matematikkvansker som en slags form for lesevansker. Men<br />
være en av grunnene <strong>til</strong> at en har sett på matematikkvansker som en slags form for lesevansker.<br />
nyere forskning viser at <strong>det</strong> er ulike deler av hjernen som er aktive ved leseprosessen og ved matematisk<br />
forskning viser at <strong>det</strong> er ulike deler av hjernen som er aktive ved leseprosessen og ved<br />
Men nyere<br />
matematisk<br />
matematisk tenking.<br />
tenking.<br />
I leseinnlæringen er <strong>det</strong> vanlig å undervise slik: Barnet møter et ord, deler opp or<strong>det</strong> i ulike lyder<br />
I leseinnlæringen som så settes sammen er <strong>det</strong> <strong>til</strong> vanlig et ord. å undervise slik: Barnet møter et ord, deler opp or<strong>det</strong> i ulike<br />
lyder lyder som som så så settes sammen <strong>til</strong> et ord.<br />
Mange settes elever sammen tenker <strong>til</strong> også et ord. på denne måten når de ser et matematisk tall som består av flere siffer.<br />
Mange elever Men bokstaver tenker og også siffer på fungerer denne ikke måten på samme når de måten. ser et L er matematisk fortsatt L selv tall om som <strong>det</strong> bytter består plass av flere<br />
siffer. siffer. med S. Men bytter 6-sifferet plass med 2-sifferet, forandres hele tolkningen.<br />
Noen av de elevene som har matematikkvansker, strever med å oppfatte slike ulike former og<br />
Det er lett å tenke seg at både bokstaver og siffer er tankeverktøy av samme type: symboler som<br />
<strong>Nå</strong>r en elev skal lese, tolke og si bokstaven B, høres <strong>det</strong> som ”b” i både bok, bil og blomst.<br />
Barnet kan høre lyden som koples med bokstaven, og den er lik hver gang. Dessuten endres ikke<br />
Men med sifferet 3 er <strong>det</strong> ikke slik! 3 kan stå for en mengde ulike ting, alt avhengig av<br />
sammenhengen. Det kan stå for tre store hus eller tre små karameller. Det er samme antall, men<br />
ellers svært ulikt. 3 kan også være ren informasjon i et telefonnummer, eller <strong>det</strong> kan være et<br />
Tradisjonelt har en betraktet siffer og bokstaver som om de var samme type verktøy. Det kan<br />
være en av grunnene <strong>til</strong> at en har sett på matematikkvansker som en slags form for lesevansker.<br />
Men nyere forskning viser at <strong>det</strong> er ulike deler av hjernen som er aktive ved leseprosessen og ved<br />
I leseinnlæringen er <strong>det</strong> vanlig å undervise slik: Barnet møter et ord, deler opp or<strong>det</strong> i ulike<br />
Mange elever tenker også på denne måten når de ser et matematisk tall som består av flere<br />
Men Men bokstaver bokstaver og siffer og siffer fungerer fungerer ikke ikke på samme på samme måten. måten. L er L fortsatt er fortsatt L selv L om selv <strong>det</strong> om bytter <strong>det</strong> bytter plass plass<br />
med med S. S. Men Men bytter bytter 6-sifferet 6-sifferet plass plass med med 2-sifferet, 2-sifferet, forandres forandres hele hele tolkningen. tolkningen.<br />
L LO OS<br />
S<br />
6 96 29 2<br />
L L O O S S<br />
6 6 9 9 2 2<br />
L LO OS<br />
S<br />
6 96 29 2<br />
Fig. Fig. 2: Illustrasjon 2: Illustrasjon av prosessen av prosessen ved å ved lese å lese bokstaver bokstaver og tall. og (Ljungblad, tall. (Ljungblad, 2006, 2006, her brukt her brukt<br />
med med <strong>til</strong>latelse.) <strong>til</strong>latelse.)<br />
6 Helland, 6 Helland, T. ,2002. T. ,2002.<br />
7 Hansen, 7 Hansen, A., A., 2006. 2006.<br />
8 Det 8 Det følgende følgende er med er med samtykke samtykke fra forfatteren fra forfatteren i hovedsak i hovedsak hentet hentet fra Ljungblad, fra Ljungblad, A.-L., A.-L., 2006, 2006, s. 8-12. s. 8-12.<br />
7 Hansen, A., 2006.<br />
8 Det følgende er med samtykke fra forfatteren i hovedsak hentet fra Ljungblad, A.-L., 2006, s. 8-12.<br />
12<br />
8<br />
8
Tankearbei<strong>det</strong> som vi gjør når vi leser og regner, er ulikt. Det er vist ved å fotografere hvordan<br />
ulike deler av hjernen fungerer ved de to prosessene. 9 Det er faktisk også ulikt ved små og ved store<br />
tall!<br />
Sifferne hører <strong>til</strong> i den matematiske tenkingen. Denne tenkingen har to grunnpilarer. Den ene er<br />
aritmetikk hvor vi regner og beskriver hvor mange ting <strong>det</strong> er i en mengde. Den andre er geometri<br />
hvor vi beskriver en, to eller flere dimensjoner av <strong>det</strong> tredimensjonale rommet.<br />
La oss se litt <strong>til</strong> på or<strong>det</strong> LOS og tallet 692. Vi har nok ulik oppfatning av hva som menes med<br />
LOS. Men likevel snakker vi greit sammen om fenomenet.<br />
Ser vi på 692, er <strong>det</strong> lett å tro at <strong>det</strong> er et helt presist begrep som alle oppfatter likt. Men slik er<br />
<strong>det</strong> ikke. Ikke alle elevene oppfatter 692 som et tall i nærheten av 700.<br />
Ann-Louise Ljungblad forteller om en samtale hun hadde med en elev om hva <strong>det</strong> betyr at klokken<br />
er 5. Hun fikk denne forklaringen: ”Hvis klokken er 5 på en søndag, da er <strong>det</strong> sent. Men hvis<br />
den er 5 på en hverdag, så er <strong>det</strong> mer vanlig tid. Og på fredag er <strong>det</strong> veldig tidlig når klokka er 5, for<br />
da er <strong>det</strong> så mye <strong>jeg</strong> skal gjøre. Det er viktig om <strong>det</strong> er moro og hvor lenge <strong>jeg</strong> skal være oppe.”<br />
Ja, <strong>det</strong> er ikke så enkelt med de matematiske tankene. De styres også av den situasjonen (den<br />
konteksten) som de tenkes i.<br />
<strong>Nå</strong>r vi skal arbeide med elever som har matematikkvansker, er <strong>det</strong> viktig å ha innsikt i hvordan<br />
eleven tenker faglig. Derfor er <strong>det</strong>te et viktig spørsmål: ”Hvordan tenkte du nå?”<br />
Tilpasset opplæring<br />
Det er ikke alltid vi får noe godt svar. Ikke alltid vet eleven selv hvordan han/hun har tenkt.<br />
Elevene er ulike, og <strong>det</strong> må vi <strong>til</strong>passe oss etter. 10 Som ledd i <strong>til</strong>pasningen av den vanlig undervisningen<br />
bør skolen iverksette <strong>til</strong>tak uten at <strong>det</strong> foreligger en sakkyndig utredning, og innenfor skolens<br />
ordinære ressursrammer. Disse <strong>til</strong>takene kan være av ulik art, som for eksempel bedre bruk av delingstimer<br />
<strong>til</strong> tolærersystem eller gruppedeling. Dersom skolen arbeider bevisst med generell <strong>til</strong>rettelegging,<br />
vil en kunne begrense antall elever som får behov for spesialundervisning.<br />
Peder Haug sier at Kunnskapsløftet har en smal definisjon av hva <strong>til</strong>passet opplæring er, nærmest<br />
en form for individualisert undervisning. 11 Og han legger <strong>til</strong>: ”Skulen vår er ikkje konstruert for<br />
denne forståinga av <strong>til</strong>passa opplæring.”<br />
Han sier at loven gir en bred oppfatning av hva <strong>til</strong>passet opplæring er, nemlig om hvordan en kan<br />
gjøre den ordinære undervisningen best mulig for flest mulig av elevene. Den smale definisjonen<br />
dekker mer <strong>det</strong> vi tenker på med spesialundervisning. Departementet 10 sier <strong>det</strong>te slik:<br />
For enkelte elever vil likevel ikke en <strong>til</strong>pasning innenfor rammen av vanlig undervisning<br />
være nok <strong>til</strong> at de får et <strong>til</strong>fredss<strong>til</strong>lende utbytte av <strong>det</strong> ordinære opplærings<strong>til</strong>bu<strong>det</strong>. Da<br />
aktualiseres behovet for spesialundervisning. Det innebærer en mer omfattende individuell<br />
<strong>til</strong>pasning, som blant annet kan omfatte avvik fra reglene om innhol<strong>det</strong> i opplæringen slik<br />
<strong>det</strong> går fram av læreplanverkene for skoleslagene.<br />
Det blir en glidende overgang mellom <strong>det</strong> vi kaller <strong>til</strong>passet opplæring og spesialundervisning.<br />
Vanligvis lager en denne <strong>til</strong>passede opplæringen ut fra en oppfatning av hva eleven mestrer eller<br />
ikke mestrer i de ulike fagene. Det vil si at oppmerksomheten rettes mot <strong>det</strong> pedagogiske produktet.<br />
12<br />
9 Se f. eks. Stanescu-Cosson, R; Pinel, P.; van de Moortele, P.-F.; Le Bihan, D.; Cohen, L. & Dehaene, S.,<br />
2000.<br />
10 Se ”Veiledning om Spesialundervisning i grunnskole og videregående opplæring.” Revidert utgave,<br />
2004. Utdannings- og forskningsdepartementet, Oslo<br />
11 Haug, P., 2006, s. 22ff<br />
12 Se Lillestølen, R., 1996, s. 250f<br />
13
En s<strong>til</strong>ler spørsmålet: ”Hvordan klarer eleven posisjonssystemet?” ”Hvordan er forståelsen av<br />
desimaltall?” Oppmerksomheten rettes mot selve regnefunksjonen, slik vi ser at <strong>det</strong> blir gjort i f. eks.<br />
M-prøvene 13 og i ”Alle teller” 14 . Dette kalles den fagrelaterte funksjonsanalytiske angrepsmåten,<br />
og <strong>det</strong> er den som dominerer i den pedagogiske praksisen i Norge.<br />
Svakheten ved denne fagrelaterte funksjonsanalysen som grunnlag for den <strong>til</strong>passede opplæringen,<br />
er at den ikke retter oppmerksomheten mot de bakenforliggende kognitive prosessene. 15 Med<br />
kognitive funksjoner mener vi de mentale (psykologiske) prosesser som ligger <strong>til</strong> grunn for kunnskaps<strong>til</strong>egnelse<br />
(læring), bruk av kunnskap (<strong>det</strong> å vite) og bearbeidelse av en iakttakelse (tolkning).<br />
Hvis vi måler forståelsen av desimaltall, kan <strong>det</strong> gi viktig informasjon om <strong>det</strong> pedagogiske ståste<strong>det</strong>,<br />
men <strong>det</strong> sier lite om barnets læringspotensiale og andre bakenforliggende kognitive forutsetninger.<br />
Det er disse bakenforliggende prosessene vi må få en dypere forståelse av hvis vi skal bli i stand<br />
<strong>til</strong> å avdekke hva som har forstyrret læreprosessen og kunne endre denne slik at læringen kan skje<br />
uforstyrret. 16 Derfor må vi både kjenne fagets egenart og vite noe om de kognitive prosessene som<br />
læringen forutsetter. 17 Vi trenger derfor også en kognitiv funksjonsanalytisk profil.<br />
Vi ser ofte at når <strong>det</strong> ensidig er den fagrelaterte funksjonsanalysen som legges <strong>til</strong> grunn for utformingen<br />
av den <strong>til</strong>passede opplæringen, blir <strong>det</strong> <strong>det</strong>aljert arbeid med <strong>det</strong> som ikke mestres. Og vi<br />
ser <strong>det</strong> utformet som ”tempodifferensiering”, gjerne beskrevet som ulike spor i læreboken, merket<br />
med ulike farger, eller ulike former for ”stegmodeller”. 18 Denne tenkingen gir seg ofte utslag i at en<br />
begynner å snakke om ”trapp” eller ”trinn” og bestemte progresjoner om hva som skal læres.<br />
På den andre siden ser vi at hvis vi legger <strong>til</strong> grunn en kombinasjon av en kognitiv funksjonsanalyse<br />
og faganalyse, blir utformingen langt mer fleksibel. Ofte kalles <strong>det</strong>te for dynamisk undervisning<br />
19 og bygger på prinsippene om dynamisk kartlegging. I kap. 3 tar vi opp hvordan en slik dynamisk<br />
kartlegging kan gjøres. Denne formen for kartlegging forsøker å kombinere disse to aspektene:<br />
<strong>det</strong> faganalytiske og <strong>det</strong> kognitivt analytiske.<br />
Hva mener vi i grunnen med at kartleggingen eller testingen skal være dynamisk? Ofte defineres<br />
<strong>det</strong> som en interaktiv <strong>til</strong>nærming <strong>til</strong> å undersøke funksjoner innen psykologisk fungering, innen språk<br />
og tale eller innen skolefaglige områder. Denne interaktive <strong>til</strong>nærmingen kan faktisk ha preg av en<br />
samtale mellom den som tester, og den som blir testet, og noe av <strong>det</strong> sentrale en forsøker å finne svar<br />
på, er hvordan eleven reagerer på ny informasjon eller sagt med andre ord: ”Hva trenger eleven av<br />
hjelp for å få <strong>til</strong> oppgaven?”<br />
Skal vi få Bob-Kåre <strong>til</strong> å si at ”nå får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>”, må han få en undervisning som han mestrer. Da<br />
må vi snakke med Bob-Kåre, høre hva han har å si selv. Vi bruker dynamisk kartlegging som redskap<br />
<strong>til</strong> <strong>det</strong>te. Ut fra <strong>det</strong> skal vi så kunne utforme undervisningen. Men den må hele tiden endres etter som<br />
eleven lærer. Da også må vi lytte <strong>til</strong> Bob-Kåre.<br />
Ofte blir den dynamiske undervisningen preget av aktiviteter, samtaler mellom elevene og undringer.<br />
Den kan lett virke både kaotisk og lite lærerstyrt. Men forskning viser at slik språklig basert<br />
læring medfører at elever som yter lavt, lærer mer og løser flere oppgaver enn de gjør innen en tradisjonell,<br />
skriftlig basert læringssituasjon. 20 Det ser også ut <strong>til</strong> at de bedre er i stand <strong>til</strong> å bruke <strong>det</strong><br />
lærte i nye situasjoner.<br />
Da arbeider vi i <strong>det</strong> Vygotsky kaller ”den nære sonen”. 21<br />
Denne boken bygger på tenking rundt dynamisk kartlegging og dynamisk undervisning.<br />
13 Prøver i matematikk for årstrinnene 2-9. Forhandles av PP-tjenestens Materialservice, Jaren.<br />
14 Utarbei<strong>det</strong> av A. McIntosh. Forhandles av Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen, Trondheim.<br />
15 Lillestølen, op. cit., side 250.<br />
16 Lunde, O., 2006, s. 4ff<br />
17 Lunde, O., 2004.<br />
18 Se Tillegg A: ”Stegmodellen i matematikk”.<br />
19 Dalvang, T. & Lunde, O., 2005.<br />
20 Rivard, L.P., 2004.<br />
21 Se Lunde, O., 2001.<br />
14
1. Problemet: Bob-Kåre har store<br />
vansker med matematikken<br />
Mange elever i norsk skole har store vansker med matematikken. Dette er en påstand vi ofte møter.<br />
Resultatene fra de internasjonale undersøkelsene (PISA og TIMSS) tyder også på at elevene i norsk<br />
skole ikke er spesielt gode i matematikk. Spørsmålet blir da hvor mange er ”mange”, og hva betyr<br />
<strong>det</strong> at vanskene er ”store”.<br />
Undersøkelser i Norge tyder på at mellom 10 og 15 % av elevene har så store vansker med faget<br />
at de ikke får utbytte av den undervisningen som blir gitt, og at de ikke vil få bestått karakter ved<br />
grunnkurset i videregående. 22 De har et klart behov for <strong>til</strong>passet opplæring i faget eller spesialpedagogisk<br />
hjelp.<br />
Fra Sverige har vi en omfattende undersøkelse som viser at ca. 15 % av avgangselevene i grunnskolen<br />
har en matematisk ferdighet og forståelse som <strong>til</strong>svarer gjennomsnittet i 4. klasse. 23 Jeg tror<br />
vi ville finne omtrent <strong>det</strong> samme også i Norge.<br />
Det er de enkle, dagligdagse ferdighetene som beherskes best. Samtidig er <strong>det</strong>te stoff som er<br />
lite profilert i”skole-matematikken”. – Det de kan, synes de å ha <strong>til</strong>egnet seg i ulike ”ikke-skolske”<br />
situasjoner. – Men da kan de lære – uten vansker!<br />
Vi ser ofte to ulike måter vanskene utvikler seg på. Den ene måten gjelder de elevene som begynner<br />
på første årstrinn og tydelig mangler forkunnskap og modenhet for å lære matematikken slik den<br />
er utformet etter Kunnskapsløftet. De strever fra første dag og trenger en nivå<strong>til</strong>passet undervisning,<br />
kanskje også i andre fag i <strong>til</strong>legg <strong>til</strong> matematikken.<br />
Imidlertid ser vi også en del elever som klarer seg rimelig bra de første årene, men strever etter<br />
hvert mer og mer. Ofte ser vi at når de er kommet <strong>til</strong> 4. årstrinn, går <strong>det</strong> hele i stå. Det kan se ut som<br />
om <strong>det</strong> er forventningene <strong>til</strong> språkbruk og abstraksjon, som nå skaper vanskene. Det er ofte en påfallende<br />
forskjell mellom lærebøker for 3. årstrinn utover våren og de lærebøkene eleven skal starte<br />
med om høsten på 4. årstrinn når <strong>det</strong> gjelder teksten som brukes. Ofte ser vi at disse elevene også<br />
strever med å lese og skrive.<br />
Målene i K06<br />
Mange av disse elevene vil ha store vansker med å nå de målene som er satt opp i Kunnskapsløftet.<br />
Det er uklart hvordan vi skal forstå kompetansemålene under synsvinkelen <strong>til</strong>passet opplæring. 24 De<br />
skal sikre at alle oppnår de mest grunnleggende kunnskapene og ferdighetene. Men de er diffuse.<br />
Og <strong>det</strong> er uklart om de er absolutte krav. Departementet sier at kompetansemålene skal tolkes som at<br />
hver enkelt elev skal stimuleres <strong>til</strong> høyest mulig grad av måloppnåelse 25 – hva nå <strong>det</strong> må bety.<br />
Et resultat av <strong>det</strong>te er kanskje at de nasjonale prøvene i ste<strong>det</strong> får den styrende effekten som <strong>det</strong><br />
var tenkt at Kunnskapsløftet skulle ha.<br />
I praksis vil <strong>det</strong> si at vi står rimelig fritt med hensyn <strong>til</strong> å utforme <strong>til</strong>tak for elever med matematikkvansker<br />
slik at de skal klare kompetansemålene, og at vi heller ikke bør la oss styre av de nasjonale<br />
prøvene.<br />
- Men <strong>det</strong> er ikke alltid så lett…<br />
22 Knudsen, G., 1999.<br />
23 Engström, A. & Magne, O. 2003.<br />
24 Haug, P. & Bachmann, K., 2007.<br />
25 Utd. & forskningsdep., 2005, referert hos Haug & Bacmann, 2007, side 17<br />
15
”Har du store vansker i matematikk, da er du dum!”<br />
Dette er en vanlig oppfatning, men den er feil. De fleste elevene som strever med matematikken<br />
i skolen, har evner nok <strong>til</strong> å kunne gjøre <strong>det</strong> bedre. Det er <strong>det</strong>te potensialet <strong>det</strong> er viktig å få fram<br />
gjennom den <strong>til</strong>passede opplæringen og de spesialpedagogiske <strong>til</strong>takene.<br />
Det er et stort problem hvis eleven, foreldrene og læreren har en holdning om at vanskene skyldes<br />
svake evner og/eller manglende innsats og tenking. Det å ikke få <strong>til</strong> matematikkoppgaver som andre<br />
elever klarer greit, vil medføre at eleven selv og medelevene ser på vedkommende som dum. Og er<br />
du dum, da kan du jo ikke få <strong>til</strong> matematikken!<br />
Derfor ser vi ofte at vanskene og den manglende motivasjonen sprer seg <strong>til</strong> andre fag. I verste fall<br />
kan <strong>det</strong> utløse skulking og at en gir opp hele skolen.<br />
Vi kan si at matematikkvanskene starter ”i ho<strong>det</strong>”, men blir et følelsesmessig og sosialt problem. 26<br />
<strong>Nå</strong>r vi skal gi hjelp for matematikkvanskene, er <strong>det</strong> av og <strong>til</strong> der vi må begynne: Bygge opp elevens<br />
tro på egne muligheter <strong>til</strong> å mestre!<br />
Er dyskalkuli og matematikkvansker <strong>det</strong> samme?<br />
Ofte ser vi at uttrykket dyskalkuli brukes om <strong>det</strong> å ha vansker med matematikken. Ofte brukes<br />
<strong>det</strong> da likt med dysleksi, dvs. spesifikke lese- og skrivevansker. Da blir dyskalkuli å se på som <strong>det</strong><br />
samme som spesifikke matematikkvansker.<br />
Da skal <strong>det</strong> være en viss forskjell eller diskrepans mellom elevens ferdighetsnivå i matematikk og<br />
<strong>det</strong> nivå en kan forvente ut fra personens evner. For å bruke denne betegnelsen, kreves <strong>det</strong> vanligvis<br />
at eleven skal ligge 2-3 år under <strong>det</strong> en kunne forvente ut fra evnenivå.<br />
Det er et problem at <strong>det</strong> ikke betyr <strong>det</strong> samme i småskolen som på ungdomstrinnet å ligge 2-3<br />
år etter. Vi får også problemer med å plassere elevens faglige nivå på et bestemt årstrinn, og vi har<br />
problem med å vurdere evnenivå. Det tar tid å foreta en grundig vurdering av evnenivå, og <strong>det</strong> er<br />
bare PPT som kan gjøre <strong>det</strong>.<br />
Vi kan si at dyskalkuli er en smal definisjon av <strong>det</strong> å ha store vansker med matematikken. Ofte<br />
blir <strong>det</strong> antatt at <strong>det</strong>te er en medfødt <strong>til</strong>stand, og derfor brukes også ofte betegnelsen utviklingsmessig<br />
dyskalkuli. En regner da ikke med de elevene som har vansker med matematikken ut fra andre<br />
grunner.<br />
Matematikkvansker kan vi si er en bred definisjon. Da vurderer vi elevens ferdighet ut fra <strong>det</strong> som<br />
er forventet på gjeldende årstrinn. Dette er i stor grad en rent skjønnsmessig vurdering, men <strong>til</strong> hjelp<br />
i arbei<strong>det</strong> kan en bruke ulike kartleggingsverktøy.<br />
Ofte brukes også dyskalkuli og matematikkvansker som like begreper. Det kan medføre en del<br />
forvirring. Forskningen viser oss meget ulike tall når <strong>det</strong> gjelder hyppigheten av slike vansker. 27 Vi<br />
har anty<strong>det</strong> at om lag 15 % av elevene har – kanskje unødvendige - vansker med matematikkfaget.<br />
Men noen forskningsrapporter viser et omfang av dyskalkuli på mellom 1-2 %. Det avhenger helt av<br />
hvordan forskerne har definert vanskene, og hvordan de måler dem. Det er vanlig å snakke om 3-6<br />
% som har spesifikke matematikkvansker.<br />
26 Også <strong>det</strong> følelsesmessige sitter i hjernen, men språklig snakker vi ofte som om hjernen (”ho<strong>det</strong>”) er kaldt<br />
og rasjonelt, mens følelsene sitter ”i hjertet”. Slik er <strong>det</strong> jo ikke. Læring vil alltid være kombinert med<br />
følelser, og begge deler foregår i hjernen.<br />
27 Geary, D.C., 2004.<br />
16
Det avhenger helt av hvordan forskerne har definert vanskene, og hvordan de måler dem. Det er<br />
vanlig å snakke om 3-6 % som har spesifikke matematikkvansker.<br />
Hvordan definerer vi store matematikkvansker?<br />
Hvordan definerer vi store matematikkvansker?<br />
En enkel måte å definere store (kanskje spesifikke) matematikkvansker på er denne, beregnet<br />
En enkel måte å definere store (kanskje spesifikke) matematikkvansker på er denne, beregnet<br />
brukt på småskoletrinnet:<br />
brukt på småskoletrinnet:<br />
Vedvarende vansker med lære eller forstå tallbegrep (f. eks. 4
Det samme gjelder for spesialpedagogisk hjelp. Der er ikke noe krav om bestemte betegnelser,<br />
men at den eleven som ”ikkje har eller (…) ikkje kan få <strong>til</strong>fredss<strong>til</strong>lande utbytte av <strong>det</strong> ordinære<br />
opplærings<strong>til</strong>bo<strong>det</strong>,<br />
Det er PPT som<br />
har<br />
skal<br />
rett <strong>til</strong><br />
utrede<br />
spesialundervisning.”<br />
om eleven har utbytte eller kan få <strong>det</strong>. Det er denne utredningen som<br />
Det kalles er PPT sakkyndig som skal vurdering. utrede om Skolen eleven skal har deretter utbytte lage eller en kan individuell få <strong>det</strong>. opplæringsplan Det er denne utredningen (IOP) for hvordan<br />
kalles undervisningen sakkyndig vurdering. skal utformes Skolen videre. skal deretter lage en individuell opplæringsplan (IOP) for<br />
som<br />
hvordan undervisningen skal utformes videre.<br />
Denne sakkyndige utredningen fra PPT skal i <strong>til</strong>legg <strong>til</strong> å vurdere om eleven har utbytte av den<br />
Denne ordinære sakkyndige undervisningen, utredningen vurdere fra PPT om en skal kan i <strong>til</strong>legg hjelpe <strong>til</strong> eleven å vurdere på andre om eleven måter har innenfor utbytte <strong>det</strong> av ordinære den<br />
ordinære opplærings<strong>til</strong>bu<strong>det</strong>, undervisningen, samt vurdere vurdere om hva en som kan hjelpe vil være eleven et forsvarlig på andre opplærings<strong>til</strong>bud.<br />
måter innenfor <strong>det</strong> ordinære<br />
opplærings<strong>til</strong>bu<strong>det</strong>, samt vurdere hva som vil være et forsvarlig opplærings<strong>til</strong>bud.<br />
PPT skal uttale seg <strong>det</strong>aljert om <strong>det</strong>te, gjerne med angivelse av innhold og omfang av den spesialpedagogiske<br />
PPT skal uttale seg<br />
hjelpen,<br />
<strong>det</strong>aljert<br />
dvs.<br />
om<br />
antall<br />
<strong>det</strong>te,<br />
timer<br />
gjerne<br />
eleven<br />
med<br />
trenger:<br />
angivelse 31 ”Utdanningsdirektoratet<br />
av innhold og omfang<br />
mener<br />
av den<br />
derfor<br />
spesialpedagogiske hjelpen, dvs. antall timer eleven trenger:<br />
at <strong>det</strong> ut i fra ordlyden i oppl. § 5-3, lovens intensjoner og 31 ”Utdanningsdirektoratet mener<br />
departementets retningslinjer er klart at<br />
derfor at <strong>det</strong> ut i fra ordlyden i oppl. § 5-3, lovens intensjoner og departementets retningslinjer er<br />
PPT sin vurdering skal inneholde en angivelse av omfanget av spesialundervisningen hvor <strong>det</strong>te er<br />
klart at PPT sin vurdering skal inneholde en angivelse av omfanget av spesialundervisningen hvor<br />
mulig…”<br />
<strong>det</strong>te er mulig…”<br />
Det er<br />
Det<br />
denne<br />
er denne<br />
informasjonen<br />
informasjonen<br />
som<br />
som<br />
skal<br />
skal<br />
danne<br />
danne<br />
grunnlaget<br />
grunnlaget<br />
for utarbeidelsen<br />
for utarbeidelsen<br />
av IOP.<br />
av IOP. 32 32<br />
Oppsummering Oppsummering og og konklusjon konklusjon<br />
Det er Det et er forvirrende et forvirrende bilde bilde vi får vi når får vi når begynner vi begynner å se å på se hva på betegnelsene hva betegnelsene betyr, betyr, og hvordan og hvordan de de<br />
brukes. brukes.<br />
Jeg Jeg foreslår foreslår at at vi vi bruker betegnelsene matematikkvansker i vid i vid betydning, og spesifikke og spesifikke matematikkvansker<br />
der der <strong>det</strong> ser <strong>det</strong> ut ser <strong>til</strong> ut å <strong>til</strong> gi en å gi mer en presis mer presis beskrivelse beskrivelse av vanskene av vanskene eleven eleven har. Men har. ofte Men er <strong>det</strong><br />
matematikkvansker<br />
ofte er vanskelig <strong>det</strong> vanskelig å dra noen å dra klar noen grense klar grense mellom mellom de to betegnelsene.<br />
de to betegnelsene.<br />
Det Det viser også Sjöberg Sjöberg i sin doktorav-<br />
i sin<br />
doktoravhandling om om emnet. emnet. Med Med utgangspunkt i<br />
i 200 200 skoleelever, velger velger han han ut ut 13 13 elever med<br />
store store vansker vansker i matematikk. i Disse Disse analyserer<br />
Spesifikke<br />
han han grundig grundig og og konkluderer konkluderer med med at at han han hos<br />
Matematikkvansker<br />
hos<br />
matematikkvansker<br />
15-20 %<br />
disse disse elevene elevene ikke ikke finner finner noen noen av de av kjennetegn de kjennetegn<br />
faglitteraturen som faglitteraturen bruker bruker <strong>til</strong> <strong>til</strong> å å beskrive beskrive<br />
(dyskalkuli) 5-6 %<br />
som<br />
dyskalkuli.<br />
dyskalkuli. 33<br />
33<br />
Vi kan<br />
Vi kan<br />
si<br />
si<br />
at<br />
at<br />
vi<br />
vi<br />
har<br />
har en<br />
en<br />
bred<br />
bred<br />
og<br />
og<br />
en<br />
en<br />
smal<br />
smal<br />
definisjon<br />
av matematikkvansker. 34 Den smale<br />
34 Den smale<br />
definisjon av matematikkvansker.<br />
definisjonen kan vi kalle spesifikke<br />
definisjonen kan vi kalle spesifikke matematikkvansker.<br />
Det er <strong>det</strong>te som ofte kalles<br />
Fig. 3: Sammenhengen mellom matematikkvansker og<br />
matematikkvansker. Det er <strong>det</strong>te som ofte kalles dyskalkuli (spesifikke matematikkvansker).<br />
dyskalkuli. 35 Det er vanlig å si at 5-6 % av<br />
elevene<br />
dyskalkuli.<br />
i skolen 35 har<br />
Det<br />
kjennetegn<br />
er vanlig å<br />
på<br />
si<br />
slike<br />
at 5-6<br />
vansker.<br />
% av elevene i skolen har kjennetegn på slike vansker.<br />
Den<br />
Den<br />
brede<br />
brede<br />
definisjonen<br />
definisjonen<br />
kan<br />
kan<br />
vi kalle<br />
vi kalle<br />
matematikkvansker.<br />
matematikkvansker.<br />
Det<br />
Det<br />
omfatter<br />
omfatter<br />
da de<br />
da<br />
elvene<br />
de elvene<br />
som<br />
som<br />
har<br />
har<br />
spesifikke spesifikke matematikkvansker, matematikkvansker, men men også også de elevene de elevene som har som vansker har vansker med matematikken med matematikken av andre av andre<br />
grunner. Det kan Det være kan språkvansker, være språkvansker, svake svake evner, evner, misoppfatninger, misoppfatninger, svakt svakt startgrunnlag startgrunnlag i første i første<br />
grunner.<br />
klasse, klasse, to-språklighet to-språklighet og andre og andre forhold. forhold. Det er Det vanlig er vanlig å si at å si 15 at - 15 20 -% 20 av % elevene av elevene i skolen i skolen har slike har slike<br />
matematikkvansker. matematikkvansker. Kjennetegnene Kjennetegnene er ofte er ofte de samme de samme som som for spesifikke for spesifikke matematikkvansker, matematikkvansker, men men<br />
omfanget av vanskene (”store vansker”) er ofte <strong>det</strong> som skiller når vi ser på elevens totalsituasjon og<br />
31 faglig fungering ellers.<br />
Brev datert 24. juli 2007. Referanse: Direktoratets offentlige brevjournal for 30 juli 2007, løpenummer<br />
14924/2007. Hvis vi bruker disse betegnelsene, ligner <strong>det</strong> på betegnelsene lese- og skrivevansker (bred) og<br />
32 IOP dysleksi = Individuell (smal). opplæringsplan, se Opplæringsloven §5.5.<br />
33 Sjöberg, G., 2006, s. 227.<br />
34 Hansen, Jess, Pedersen & Rønn, 2006.<br />
35 Av og <strong>til</strong> kalles <strong>det</strong> utviklingsdyskalkuli for å poengtere at <strong>det</strong> er medfødte egenskaper som utvikler seg <strong>til</strong><br />
slike vansker.<br />
31 Brev datert 24. juli 2007. Referanse: Direktoratets offentlige brevjournal for 30 juli 2007, løpenummer<br />
14924/2007.<br />
15<br />
32 IOP = Individuell opplæringsplan, se Opplæringsloven §5.5.<br />
33 Sjöberg, G., 2006, s. 227.<br />
34 Hansen, Jess, Pedersen & Rønn, 2006.<br />
35 Av og <strong>til</strong> kalles <strong>det</strong> utviklingsdyskalkuli for å poengtere at <strong>det</strong> er medfødte egenskaper som utvikler seg<br />
<strong>til</strong> slike vansker.<br />
18
2. Hva kjennetegner en elev<br />
med matematikkvansker?<br />
Kjennetegnene er de samme om vi tenker ut fra en bred eller en smal definisjon. Det er styrken på<br />
kjennetegnene og mengden av dem som varierer.<br />
I årenes løp har <strong>det</strong> vært gjort en rekke forsøk på å sette opp kjennetegn, og <strong>jeg</strong> har notert nærmere<br />
200 slike. Men <strong>det</strong> som ofte går igjen, er forbausende store vansker med grunnleggende begreper<br />
som <strong>det</strong> å kunne si hva klokken er, regne ut priser og vekslepenger og måle opp ting, f. eks. ved<br />
matlaging. Disse elevene strever også med hoderegning og <strong>det</strong> å kunne anslå mengder (estimering).<br />
Alt <strong>det</strong>te må vi se i forhold <strong>til</strong> alder og funksjonsmåte ellers for å si noe om <strong>det</strong>te er tegn på matematikkvansker.<br />
Lærerne har ofte en god oppfatning av hva <strong>det</strong> er eleven strever med. 36 På småskoletrinnet fokuserte<br />
de på at matematikkvanskene viste seg som vansker med tall og telling. På mellomtrinnet<br />
nevnes arbei<strong>det</strong> med symboler (sifferne, operasjonssymbolene) og forståelsen av <strong>det</strong>te. På ungdomstrinnet<br />
nevnes manglende ferdighet innen de fire regningsartene og at disse elevene har en tendens <strong>til</strong><br />
å bli sittende i ro og være passive i timene. Det nevnes også andre atferdstrekk som at elevene blir<br />
urolige, ukonsentrerte, glemmer lekser og bøker – og skulker matematikktimene.<br />
Et interessant resultat var at mange av lærerne mente at L97 har gjort at svake lese- og skriveferdigheter<br />
spiller en viktigere rolle i forhold <strong>til</strong> læring i matematikk enn tidligere.<br />
Et sentralt kjennetegn er at vanskene ofte oppleves som en stagnasjon eller <strong>til</strong>bakegang i forhold<br />
<strong>til</strong> en normal, faglig utvikling i matematikk. Det blir et brudd med den jevne, faglige utviklingen<br />
som de fleste elevene følger. 37<br />
Hva sier forskningen om kjennetegn?<br />
Det er lite vi med sikkerhet vet om slike kjennetegn, men disse fire punktene synes <strong>det</strong> å være stor<br />
enighet om: 38<br />
1) Store vansker med telleferdigheten og grunnleggende tallkombinasjoner, f. eks.<br />
6+3=?<br />
2) Overgangen fra konkret <strong>til</strong> mental (abstrakt) representasjon er et kritisk punkt. (Kan<br />
svare rett på muntlig oppgave: Hvis du har tre karameller og får to <strong>til</strong>, hvor mange har<br />
du da, men er hjelpesløs med oppgaven 3+2=?)<br />
3) Store vansker med sekvensiering: visuell persepsjon og visuell bearbeiding av informasjonen<br />
er svak.<br />
4) Influert av leseferdighet, språkferdighet og begrepsforståelse. Resultatet kan være<br />
misoppfatninger.<br />
Det er da flere former for matematikkvansker med ulike årsaker og kjennetegn.<br />
36 Sjøvoll, J., 2003<br />
37 Ostad, S., 2001, poengterer <strong>det</strong>te.<br />
38 Gersten, Jordan & Flojo, 2005.<br />
19
Telleferdigheten er meget sentral, og selve grunnlaget for telleferdigheten synes <strong>til</strong> dels å være<br />
medfødt. De grunnleggende trekkene ved telleferdigheten er å vite at hvert objekt bare skal telles<br />
en gang, at telleordene alltid er i en fast rekkefølge, at <strong>det</strong> telleor<strong>det</strong> <strong>jeg</strong> sier ved siste objekt også<br />
representerer antallet, at objektene kan telles vilkårlig (ikke alltid fra venstre mot høyre) og at ulike<br />
objekter kan telles sammen (mus og elefanter for å finne antall dyr).<br />
Dette bør mestres uten vansker ved slutten av første årstrinn.<br />
Senere kommer også <strong>det</strong> å kunne telle med to om gangen, tre om gangen osv.<br />
Hvis eleven ikke mestrer disse ferdighetene, kan <strong>det</strong> medføre store vansker med enkel regning<br />
senere. 39 Det er derfor viktig å undersøke om eleven mestrer slike enkle, grunnleggende ferdigheter.<br />
Ofte tar vi <strong>det</strong> for gitt at eleven mestrer disse, ser bare på <strong>det</strong> som nå er vanskene, og glemmer<br />
disse grunnleggende funksjonene.<br />
Abstrahert tall-fakta 40 er viktig (se punkt 2 ovenfor). Mange elever med matematikkvansker<br />
synes ikke å kunne hente fram slik abstrakt tall-fakta fra hukommelsen. De må alltid telle seg fram<br />
<strong>til</strong> hva 2+2 blir. Innen utgangen av 3. årstrinn bør de kunne ”tier-venner”, addisjonstabellen og<br />
subtraksjonstabellen.<br />
Mange elever med tegn på matematikkvansker utvikler ikke tallfakta. De har store vansker med<br />
å huske resultatene av enkle oppgaver innen de fire regningsartene (”tall-fakta”). Dette kan være<br />
<strong>til</strong>felle selv om de er fortrolige med algebraiske og aritmetiske begreper, og da virker <strong>det</strong> meget<br />
rart. Elevene er nødt <strong>til</strong> å rekonstruere resultatet igjen og igjen. De teller høyt, bruker fingrene eller<br />
setter tegn på papiret. Vanskelighetene med å huske ser ut <strong>til</strong> å være vedvarende <strong>til</strong> tross for at en i<br />
undervisningen arbeider med <strong>det</strong>te, og vanskene kan fortsette gjennom hele småskoletrinnet og på<br />
ungdomstrinnet.<br />
Mange mener at svekket hukommelsesfunksjon og måten kunnskapen lagres på, er et sentralt<br />
kjennetegn ved matematikkvansker. 41 Under oppgaveløsning i matematikk trenger en ofte å holde<br />
flere ulike alternative handlinger i tankene samtidig (”arbeidshukommelsen”). Hos noen er denne<br />
funksjonen svak, og <strong>det</strong> kan vise seg som matematikkvansker. 42<br />
Det tredje vi med sikkerhet vet om kjennetegn, er at elever med matematikkvansker svært ofte<br />
strever med rekkefølgen eller <strong>det</strong> vi kaller sekvensoppfatning. Mønstre som gjentar seg og, symmetri<br />
har også noe med sekvenser å gjøre. Det er denne ferdigheten som gjør at en er i stand <strong>til</strong> å forstå<br />
ordenstallene, dvs. kunne se forskjellen på ”5 biler” (hvor <strong>det</strong> er antallet som er sentralt), og ”den 5.<br />
bilen” (hvor <strong>det</strong> er en bestemt posisjon i en sekvens som er sentralt).<br />
Mye av vår forståelse av tallsystemet avhenger av denne oppfatningen av sekvens og <strong>det</strong> å se<br />
mønstre som gjentas i bestemte rekkefølger.<br />
De matematiske begrepene er viktige, og mange elever med matematikkvansker har uklare begreper.<br />
Lettest ser vi <strong>det</strong>te ved relasjonsbegrepene (først/sist, i midten, stor/liten, foran/etter osv.) Men<br />
<strong>det</strong> kan også danne seg rene matematiske misoppfatninger som forstyrrer tenkingen.<br />
En slik misoppfatning kan være at ”lengste tallet alltid er størst”. Da blir 2,5 mindre enn 0,125.<br />
Selv om vi finner slike klare kjennetegn hos elever med matematikkvansker, synes forskningen<br />
også å fremheve trekk som ikke direkte er egenskaper hos eleven: Den sammenhengen (konteksten)<br />
som matematikken presenteres i, ser ut <strong>til</strong> å være meget viktig for hvordan matematikken mestres.<br />
Med andre ord: eleven må ha en forståelse av problemet og også kunne vurdere mulige løsninger i<br />
lys av sammenhengen problemet er i. 43<br />
39 Mazzucco & Thompson, 2005.<br />
40 Tall-fakta er et uttrykk som ofte brukes på addisjonstabellen (2+2=4), subtraksjonstabellen etc.<br />
41 Ostad, S, 2006, s. 30f.<br />
42 Bull & Espy, 2006, side 114f.<br />
43 Montague, M. & van Garden, 2003.<br />
20
Sammenhengen er viktig for alle elever når de skal lære noe. Men kanskje er sammenhengen<br />
av ekstra stor betydning for elever med matematikkvansker siden de ofte har en litt svekket hukommelsesfunksjon.<br />
Da kan nettopp <strong>det</strong> å kunne knytte kunnskapen <strong>til</strong> konkrete sammenhenger være en<br />
støtte i forståelsen og bruken av matematikken.<br />
Tre ulike former for matematikkvansker<br />
Det er vanlig å skille mellom tre ulike former for vansker. 44<br />
Prosedurale – tellevansker, ”umodne” strategier, hyppige ”regnefeil”, vansker med å oppfatte og<br />
bruke sekvenser, ”algoritmene”. (Sier: ”kan ikke!!!”) Ofte lese-/skriveproblem også. (God prognose,<br />
men tar tid)<br />
Semantiske – henter ikke ”tall-fakta” fra hukommelsen, svak forståelse og overføringsferdighet.<br />
Språk- og begrepsvansker. Påfallende rask eller sein løsningstid. (Sier: ”husker ikke”…) Ofte lese-/<br />
skriveproblem. (Språkferdigheten er ofte avgjørende for bedring.)<br />
Visuo-spatiale – ”oppfatte” - vansker med former, mønstre og ”ting” i forhold <strong>til</strong> hverandre,<br />
relasjoner og posisjoner i en rekke (”tallrekken”) Obs: visuelle illustrasjoner i lærebøkene kan være<br />
vanskelige å oppfatte… (Sier: ”ser <strong>det</strong> ikke”…) Ikke sammenheng med språk, lesing/skriving.<br />
Disse tre formene sier noe om hva matematikkvanskene i hovedsak kan være preget av: om <strong>det</strong><br />
har noe med selve utføringen av regneoperasjonene å gjøre, noe med den begrepsmessige forståelsen<br />
av matematikk eller mer <strong>det</strong> som går på <strong>det</strong> visuelle og romlige, dvs. som har med form og <strong>det</strong> å<br />
kunne se tall i forhold <strong>til</strong> hverandre.<br />
Det er sjelden vi finner de helt rene typene. Som oftest er <strong>det</strong> en blanding. Men <strong>det</strong> å ha en slik<br />
oppsummering kan være en god hjelp når en skal utforme hva den <strong>til</strong>passede opplæringen skal vektlegge.<br />
Kjennetegn på elevenes læringsmåte<br />
Vi kan fokusere på rent matematiske kjennetegn, men <strong>det</strong> er kanskje viktigere å se på kjennetegn<br />
på deres måte å lære på. På side 16 definerte vi matematikkvansker, og der inngår elevens<br />
læringsmåte som en sentral faktor. Vi vet lite om <strong>det</strong>te er kjennetegn som hører sammen med matematikkvansker,<br />
eller om <strong>det</strong> er kjennetegn som utvikler seg som en konsekvens av <strong>det</strong> å ikke få <strong>til</strong><br />
matematikken. - Men de er viktige for læringen, og vi må ta hensyn <strong>til</strong> dem når vi skal utforme den<br />
<strong>til</strong>passede opplæringen.<br />
Vi bør se om noe av <strong>det</strong>te kjennetegner eleven:<br />
Aktivitetsnivået er enten påfallende lavt eller påfallende høyt. Jeg tror <strong>det</strong> har noe med hvor eleven<br />
befinner seg: er <strong>det</strong> frustrasjon over ikke å få <strong>det</strong> <strong>til</strong> eller er <strong>det</strong> oppgitthet? Det er lett å forveksle<br />
<strong>det</strong>te med ADHD-symptom.<br />
Også oppmerksomheten er ofte svak. De er lette å avlede – <strong>det</strong> er de elevene som først hører lyder<br />
utenfor klasserommet og avbryter… De kan ha vansker med å følge med i en aktivitet over tid.<br />
Utholdenheten ser ofte ut <strong>til</strong> å være liten. De gir fort opp, ofte uten å ha prøvd en gang.<br />
Den motorisk kontrollen kan være dårlig og ligge flere år etter <strong>det</strong> som vi ser hos andre elever. I<br />
så fall bruker disse elevene mye krefter på <strong>det</strong> å skrive og få tallene på plass ved siden av, over/under<br />
hverandre og plassere de ulike tegnene. Og når <strong>det</strong> gjelder former (geometri) som de kanskje skal<br />
lage i papir, strever de mye.<br />
44 Jeg har ofte brukt fire ulike former (Lunde, O, 2001), men har da satt <strong>det</strong> inn i en annen sammenheng.<br />
Har her valgt å gruppere i tre basert på Geary, 2004, siden hovedfokus nå er kjennetegn og gruppering av<br />
kjennetegn.<br />
21
Ofte ser vi at retningsoppfatning (høyre/venstre) er svak. Mange kan streve med å vite hva som<br />
er høyre/venstre <strong>til</strong> 5. årstrinn.<br />
Det virker av og <strong>til</strong> som de ikke husker <strong>det</strong> som nettopp ble sagt… Det kan være lurt å tenke over<br />
hva eleven husker og hva som faller vanskelig.<br />
Språket er viktig når en skal lære matematikk. Mange av elevene som strever med matematikken,<br />
har også en forsinket språkutvikling og/eller de kan ha spesifikke språkvansker 45 .<br />
Abstraksjonsferdigheten er som tidligere sagt ofte svak, ikke bare innen matematikken, men også<br />
på andre områder. De kan streve med å ta ut den abstrakte informasjonen som ligger i ulike matematiske<br />
begreper. Det å ”ta bort” ved subtraksjon kan lett tolkes som å fysisk fjerne noe.<br />
Det virker fort inn på generaliseringsferdighet, dvs. å kunne bruke <strong>det</strong> en har lært i nye situasjoner.<br />
Kan en ikke <strong>det</strong>, kan en jo ikke løse oppgaver uten at de er helt like de eleven har hatt tidligere.<br />
Hvorfor er kjennetegn så viktige?<br />
Noen av de mest påfallende kjennetegn er knyttet <strong>til</strong> selve regneferdigheten. På side 8-9 så vi på<br />
6 sentrale emner i forbindelse med å forholde seg <strong>til</strong> en togbillett. Faktisk er <strong>det</strong>te noen av de beste<br />
og raskeste indikasjoner på matematikkvansker innen de laveste årstrinnene i skolen.<br />
La oss se nærmere på dem:<br />
1. Telling – er en verbal prosess ofte knyttet <strong>til</strong> motorikk. Svært ofte bruker elevene fingrene når<br />
de teller. Senere kan vi faktisk se at <strong>det</strong> rykker i kroppen på dem når de skal regne ut noe.<br />
2. Antallsforståelse. Dette er vanskelig å definere. Det har noe med i tankene å kunne bevege<br />
seg mellom den virkelige verden og kvantitetene der, og så over i en matematisk, abstrakt verden. Vi<br />
ser at elever med matematikkvansker ofte har vansker med å oppfatte raskt hva et bestemt terningmønster<br />
betyr. De må tenke påfallende lenge for å kople at når terningen viser fem prikker, ”ser de”<br />
at <strong>det</strong> er fem uten å måtte telle de fem prikkene, og at <strong>det</strong>te betyr at de skal flytte fem ruter fram på<br />
Ludo-brettet.<br />
De strever med raskt å kunne se at 15 er mer enn 11. 46<br />
Faktisk ser <strong>det</strong> ut som at antallsforståelsen er like viktig ved matematikklæringen som fonologisk<br />
bevissthet 47 er ved leseopplæringen. 48<br />
3. Sammenligning av to tall. Det ser ut <strong>til</strong> at vi har et senter i hjernen 49 som er spesialisert <strong>til</strong> å<br />
foreta sammenligninger, ikke bare av tall, men også av andre størrelser som for eksempel lengder,<br />
lysstyrke og vinkler. Jo mindre avstanden er mellom to tall, desto lengre tid bruker hjernen på å<br />
finne hvilket av dem som er størst. Det virker som om hjernen har en slags mental tall-linje som den<br />
foretar sammenligningene på. Sammenligner vi lengden på to pinner, går <strong>det</strong> jo fortere jo mer ulike<br />
de er.<br />
45 Spesifikke språkvansker er forstyrrelser i språkets fonologiske (lydmessige), syntaktiske (grammatikalske),<br />
semantiske (forståelsesmessige) og pragmatiske (utførende, tale) aspekter. Vi ser umiddelbart hvordan<br />
vansker innen disse områdene vil kunne virke inn på den matematiske læringen.<br />
46 Se nettsiden www.primarygames.co.uk. Et artig program som illustrerer <strong>det</strong>te, er ”Give the Dog a<br />
Bone”. (Se Primary Games, vol. 2) Det kan brukes for å arbeide med slike sammenligninger. Nettste<strong>det</strong><br />
har mange gode og enkle dataprogram som tar opp alle disse 6 kjennetegnene.<br />
47 Fonologisk bevissthet defineres som bevisstheten om talespråkets minste lydenheter, dvs. de enhetene<br />
som er under ordnivå. (Stavelser og språklyder). Dette kan sammenlignes med å forstå sifferne og posisjonene<br />
de har.<br />
48 Gersten & Chard, 2001.<br />
49 Varma, Schwartz & Candliss, 2007. Senteret kalles intra-parietale sulcus.<br />
22
4. Plassverdi er viktig i matematikken. Det å forstå enere, tiere, hundrer er avgjørende for matematisk<br />
ferdighet. Dette forutsetter en klar begrepsmessig struktur, så slik sett er <strong>det</strong> likhet mellom<br />
å dele opp ord og binde dem sammen og dele opp tall i siffer og sette dem sammen. Enkelt sagt så<br />
må en kunne relasjonsbegrepene, dvs. begreper som først/sist; foran/bak osv. Og <strong>det</strong> er faktisk <strong>det</strong><br />
samme senteret i hjernen som foretar denne sekvensieringsprosessen både ved bokstavsammensetning<br />
og ved sifferne! 50<br />
5. Aritmetikk. <strong>Nå</strong>r vi utfører regneoppgaver, vil <strong>det</strong> lette prosessen meget hvis vi kan basere operasjonene<br />
på ”tall-fakta” som er lagret i hukommelsen. Også i aritmetikken bruker vi en slags mental<br />
tallinje. Det er derfor viktig at elevene lærer å tenke og bruke en slik tallinje, først fysisk, og så at<br />
den lagres som et hukommelsesbilde.<br />
6. Estimering Eksakt aritmetikk er verbal og basert på å kunne hente fram verbal informasjon fra<br />
hukommelsen. Men ”omtrentlig” aritmetikk er spatial og kombinerer informasjon som er lagret med<br />
en visuell bearbeiding omtrent som <strong>det</strong> som skjer ved sammenligning av to tall. Det vil si at hvis en<br />
elev er svak visuo-spatialt, kan vedkommende klare eksakte regneoperasjoner fint, men ikke kunne<br />
foreta overslagsregning.<br />
Det er forholdsvis enkelt å lage en liten test på hvert av disse områdene. Dette er beskrevet i kap.<br />
3 om kartlegging.<br />
Det er viktig å vite litt om hvorfor kjennetegnene er viktige og hvilke prosesser som brukes. Det<br />
er disse seks områdene som er sentrale ved den matematiske fungeringen, og vi skal senere se på hva<br />
en kan gjøre for å styrke dem hvis de fungerer svakt.<br />
Til en viss grad fungerer de 6 områdene uavhengig av hverandre. Det er grunnen <strong>til</strong> at så mange<br />
elever med matematikkvansker gir oss et uklart bilde av hva de kan og ikke kan. Det er da <strong>det</strong> er lett<br />
å feiltolke <strong>det</strong> hele og tenke at de ikke ”gidder å tenke”, eller at <strong>det</strong> er faglige hull som de må fylle,<br />
eller at her gjelder <strong>det</strong> å trene og drille.<br />
Det gir liten faglig fremgang.<br />
Oppsummering og konklusjon<br />
Vi kan av og <strong>til</strong> se at <strong>det</strong> som ofte oppleves som vanskelig å forstå i matematikken, kan eleven<br />
klare greit, mens andre ting blir vanskelige. Vi har to ulike tallsentra i hjernen. Det ene er språklig<br />
basert, mens <strong>det</strong> andre er visuelt-romlig basert. Hvis vi f. eks. legger sammen 3 og 4, bruker vi <strong>det</strong><br />
språklige, men hvis vi skal sammenligne om 4 er større enn 3, bruker vi <strong>det</strong> andre. En elev kan derfor<br />
løse 3+4 helt greit, men ikke kunne svare på om <strong>det</strong> er 3 eller 4 som er størst!<br />
Hovedkonklusjonen er at eleven ofte strever med helt enkle ting – ting som læreren lett kan oppfatte<br />
som at <strong>det</strong> mestres OK.<br />
Det er viktig å få tak i hvordan eleven har tenkt. Noen elever har den misoppfatningen at når en<br />
skal subtrahere, så skal en alltid trekke <strong>det</strong> minste fra <strong>det</strong> største tallet. Hvis <strong>det</strong> står 23 – 15 =, så går<br />
<strong>det</strong> ikke. Da tenker en 5-3 og svaret blir feil. Men hvis oppgaven i ste<strong>det</strong> var 25 – 13 =, og eleven<br />
tenker at en skal trekke <strong>det</strong> minste fra <strong>det</strong> største, blir <strong>det</strong> rett.<br />
Ved å velge <strong>til</strong>feldige tall i en slik oppgave, vil halvparten av oppgavene bli rette selv om tenkingen<br />
er feil.<br />
- Det er i grunnen ganske bra å ha 50% av oppgavene riktig!<br />
Det er derfor <strong>det</strong> er så viktig å vite noe om hva som kan ligge bak de kjennetegnene vi ser hos<br />
eleven. Matematikk er først og fremst å tenke, og derfor er spørsmålet ”Hvordan tenkte du nå?”<br />
meget viktig å s<strong>til</strong>le <strong>til</strong> elever med matematikkvansker.<br />
50 Det skjer i høyre fusiform gyrus – både ord og tall har morfologisk struktur, dvs. er bygd opp av små<br />
enheter. (Se Varma, et.al., 2007)<br />
23
24
<strong>Nå</strong> får <strong>Nå</strong> <strong>jeg</strong> får <strong>Nå</strong> <strong>det</strong> <strong>jeg</strong> får <strong>til</strong>! <strong>det</strong> <strong>jeg</strong> <strong>til</strong>! <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
3. Hvordan kan vi kartlegge<br />
3. 3. 3. Hvordan kan kan vi kan vi vi kartlegge<br />
matematikkvansker?<br />
matematikkvansker?<br />
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
Vi bruker tester og prøver for å kartlegge om en elev har matematikkvansker. I prinsippet gjelder <strong>det</strong><br />
Vi bruker Vi bruker tester Vi bruker tester å og finne prøver og tester om prøver eleven for og prøver å for kartlegge har å kartlegge de for kjennetegnene å om kartlegge om elev om elev har vi en har har elev sett har på i matematikkvansker. kap. 2. I prinsippet I prinsippet I gjelder prinsippet gjelder gjelder<br />
<strong>det</strong> å <strong>det</strong> finne å finne <strong>det</strong> om å eleven om finne eleven om har eleven de har de har kjennetegnene de kjennetegnene vi har vi sett har på vi sett har i kap. på sett i kap. 2. på 2. i kap. 2.<br />
Vi har ingen tester som enkelt kan finne elever med matematikkvansker, enten vi definerer <strong>det</strong><br />
Vi har Vi ingen har Vi ingen bredt tester har tester eller ingen som smalt. som tester enkelt enkelt Noe som kan av enkelt finne kan problemet finne elever kan elever finne er med at elever <strong>det</strong> med som med matematikkvansker, være et klart enten kjennetegn enten vi definerer vi enten definerer på vi matematikkvansker<br />
<strong>det</strong> definerer <strong>det</strong> <strong>det</strong><br />
bredt bredt eller bredt eller smalt. hos smalt. eller en Noe elev smalt. Noe på av 4. problemet<br />
3. årstrinn, av Noe problemet<br />
Hvordan<br />
av ikke problemet er behøver at er <strong>det</strong> at å er <strong>det</strong> som være at som kan <strong>det</strong> for kan som være<br />
vi en være elev kan et<br />
kartlegge<br />
på klart være et 2. klart årstrinn. kjennetegn et kjennetegn klart kjennetegn på på på<br />
matematikkvansker hos en hos elev en hos elev på 4. en på årstrinn, elev 4. årstrinn, på 4. ikke årstrinn, ikke behøver behøver ikke å være behøver å være <strong>det</strong> å for <strong>det</strong> være en for elev <strong>det</strong> en for elev på 2. en på årstrinn. elev 2. årstrinn. på 2. årstrinn.<br />
matematikkvansker?<br />
Hva Hva er Hva <strong>det</strong> er Hva <strong>det</strong> er vi skal <strong>det</strong> vi er skal <strong>det</strong><br />
vi skal<br />
vi kartlegge skal<br />
kartlegge<br />
kartlegge med med med prøvene med<br />
prøvene og prøvene og testene? og<br />
og<br />
testene?<br />
testene?<br />
Tenk Tenk at du at Tenk har Vi du bruker gitt Tenk har at du en gitt at elev har tester en du gitt elev har denne og gitt denne prøver elev oppgaven: elev denne oppgaven: for<br />
denne<br />
å oppgaven: kartlegge 245 oppgaven: – 245 78 – = om 78 245 ? en Og = – 245 ? 78 eleven Og – = har<br />
78 eleven ? Og skriver =<br />
matematikkvansker.<br />
? eleven skriver Og som eleven skriver som svar skriver svar 274. som 274. I<br />
som svar prinsippet<br />
svar 274. 274.<br />
gjelder<br />
Svaret Svaret er galt, Svaret er <strong>det</strong> galt, å ja Svaret finne er vel. ja galt, vel. er om Det galt, ja eleven Det gir vel. ja i gir vel. så har Det i fall de Det så gir kjennetegnene grunnlag fall gir i så grunnlag i så fall fall for grunnlag grunnlag å for vi starte har å starte for sett helt for å på å helt starte fra starte i kap. fra helt helt 2. begynnelsen fra fra begynnelsen av med av med hva av hva med hva sub-<br />
subtraksjon subtraksjon er.<br />
er. Vi har er. er. ingen tester som enkelt kan finne elever med matematikkvansker, enten vi definerer <strong>det</strong><br />
Men Men hvis hvis Men bredt setter vi Men hvis setter eller opp hvis opp stykket setter smalt. vi setter stykket opp som opp Noe stykket som i boksen stykket av i som boksen problemet her som i boksen og her i boksen veksler og her veksler her at og (”låner”), <strong>det</strong> og veksler (”låner”), veksler som men (”låner”), kan (”låner”), men gjør være gjør men men et gjør 10gjør klart 10<strong>det</strong> kjennetegn feil 10 veg, så på får<br />
<strong>det</strong> feil <strong>det</strong> veg, feil <strong>det</strong> veg, så feil matematikkvansker en får så <strong>det</strong>te veg, en får <strong>det</strong>te svaret! så en får <strong>det</strong>te svaret! en Eleven svaret! <strong>det</strong>te hos Eleven har en svaret! Eleven elev tenkt, har på Eleven men tenkt, har 4. årstrinn, tenkt, men har feil tenkt, men ikke (eller tenkt behøver men feil har (eller feil tenkt meget å (eller være har feil en uklar har (eller <strong>det</strong> en for retningsoppfatning). har en en elev på 2. årstrinn. Eleven<br />
245 245 245<br />
meget meget uklar meget uklar kan uklar mye retningsoppfatning). teknisk subtraksjon. Eleven Eleven kan Eleven Kanskje mye kan mye teknisk kan er teknisk forståelsen mye teknisk subtraksjon. noe subtraksjon. svak Kanskje Kanskje siden er resultatet Kanskje er er<br />
større enn <strong>det</strong> første<br />
forståelsen forståelsen forståelsen noe tallet. svak noe svak siden Kanskje noe siden svak resultatet vi resultatet siden må arbeide er resultatet større er større med enn er retningsoppfatning større <strong>det</strong> enn første <strong>det</strong> enn første tallet. <strong>det</strong> første tallet. Kanskje og tallet. overslagsregning Kanskje vi Kanskje må vi må vi for -78 må denne -78 eleven, -78 og ikke<br />
arbeide arbeide med arbeide med Hva<br />
enkle<br />
med<br />
prosedyrer<br />
retningsoppfatning<br />
er <strong>det</strong><br />
i<br />
og<br />
vi<br />
subtraksjon. og overslagsregning og kartlegge<br />
En<br />
overslagsregning<br />
skal merke<br />
for denne for denne<br />
seg<br />
med<br />
at<br />
for eleven,<br />
<strong>det</strong><br />
denne eleven,<br />
prøvene<br />
kan<br />
og<br />
bli<br />
eleven, ikke og ikke<br />
galt å tolke<br />
og<br />
og =274 ikke<br />
enkle<br />
testene? =274 prosedyrefeil =274 som<br />
enkle enkle prosedyrer prosedyrer enkle i i subtraksjon. En skal En skal merke merke seg at seg <strong>det</strong> at kan <strong>det</strong> bli kan galt bli galt å tolke å tolke enkle enkle<br />
tegn<br />
prosedyrer<br />
på at denne<br />
i subtraksjon.<br />
eleven har<br />
En<br />
matematikkvansker<br />
skal merke seg at<br />
av<br />
<strong>det</strong><br />
den<br />
kan<br />
prosedurale<br />
bli galt å tolke<br />
formen.<br />
enkle<br />
Vi må forsøke å få en<br />
prosedyrefeil prosedyrefeil som<br />
forståelse Tenk som tegn at tegn som<br />
av du på<br />
hvorfor har at på tegn gitt denne at<br />
feilen på denne elev at eleven denne<br />
ble eleven har<br />
gjort. oppgaven: eleven har har 245 matematikkvansker – 78 = ? av Og den av eleven den av skriver den som svar 274.<br />
prosedurale prosedurale formen. formen. Vi formen. må Vi forsøke må Vi forsøke må å få forsøke en å få forståelse en å forståelse få en av forståelse hvorfor av hvorfor av feilen hvorfor feilen ble gjort. ble feilen gjort. ble gjort.<br />
Svaret Se på de er to galt, oppgavene: ja vel. Det 51 gir i så fall grunnlag for å starte helt fra begynnelsen av med hva<br />
Se på Se de på to de Se subtraksjon to på oppgavene: de to oppgavene: 51<br />
er.<br />
51 51<br />
1. Regn 1. Regn ut:<br />
Men hvis vi setter opp stykket som i boksen her og veksler (”låner”), men gjør<br />
1. Regn ut: ut:<br />
10<br />
<strong>det</strong> feil veg, så får en <strong>det</strong>te svaret! Eleven har tenkt, men tenkt feil (eller har en<br />
2. Finn 2. Finn summen 2. summen Finn summen av av av<br />
meget uklar retningsoppfatning). Eleven kan mye teknisk subtraksjon. 635 Kanskje 635 er 635<br />
245<br />
124<br />
forståelsen<br />
124 124 noe svak siden resultatet<br />
tallene tallene<br />
er<br />
635<br />
større tallene 635 og<br />
enn<br />
33. og 635 <strong>det</strong><br />
33.<br />
første og 33. tallet. Kanskje + 33 + 33 vi + må 33 -78<br />
+ 635 arbeide + 635 + med 635 retningsoppfatning og overslagsregning for denne eleven, = 965 = og 965 ikke = 965<br />
= enkle = prosedyrer =<br />
=274<br />
i subtraksjon. En skal merke seg at <strong>det</strong> kan bli galt å tolke enkle<br />
prosedyrefeil som tegn på at denne eleven har matematikkvansker av den<br />
prosedurale formen. Vi må forsøke å få en forståelse av hvorfor feilen ble gjort.<br />
Vi ser Vi at ser oppgave Vi at oppgave ser Se Vi at på 1 ser oppgave kan de at 1 to eleven kan oppgave oppgavene: eleven 1 kan få 1 <strong>til</strong>, eleven kan få uavhengig 51 <strong>til</strong>, eleven uavhengig få <strong>til</strong>, få uavhengig <strong>til</strong>, forståelse uavhengig forståelse forståelse av av forståelse av posisjonssystemet, av mens mens eleven eleven mens mens eleven eleven<br />
nok vil nok ha vil en nok ha tendens vil nok tendens ha vil <strong>til</strong> ha tendens å <strong>til</strong> avsløre å tendens avsløre <strong>til</strong> manglende å avsløre <strong>til</strong> manglende å avsløre manglende forståelse manglende forståelse hvis forståelse hvis han forståelse setter han hvis setter opp hvis han stykket opp setter han stykket setter opp i oppgave stykket i oppgave stykket 2 i oppgave slik 2 i slik oppgave 2 slik 2 slik<br />
den tredje den tredje boksen den boksen tredje den viser. tredje boksen viser. 1. Regn boksen viser. ut: viser.<br />
Dette Dette illustrerer illustrerer Dette Dette forskjellen illustrerer forskjellen illustrerer forskjellen på en forskjellen på en ikke-diagnostisk på en på ikke-diagnostisk en og 2. en og Finn en diagnostisk og summen og diagnostisk oppgave. oppgave. I oppgave. I oppgave 1 I oppgave har I 1 har 6351 har 1 har vi<br />
vi som vi som lærere vi lærere som som ikke lærere ikke noen noen ikke mulighet 124 mulighet noen <strong>til</strong> mulighet å <strong>til</strong> oppdage å oppdage <strong>til</strong> <strong>til</strong> å å elevens oppdage elevens manglende tallene elevens manglende 635 manglende og 33.<br />
forståelse/misoppfatninger, + 33 mens vi<br />
mens mens vi i oppgave vi mens i oppgave i vi i 2 oppgave kan 2 2 + kan avdekke kan 635 2 avdekke kan den. avdekke den. Det er Det den. <strong>det</strong>te er Det <strong>det</strong>te som er som er <strong>det</strong>te kjernen som kjernen i <strong>det</strong> i kjernen <strong>det</strong> i analytiske <strong>det</strong> analytiske i <strong>det</strong> analytiske arbei<strong>det</strong> arbei<strong>det</strong> som<br />
arbei<strong>det</strong> =<br />
som skal 965 gjøres som for<br />
skal skal gjøres gjøres skal for å gjøres for tolke å tolke for = å kjennetegnene tolke kjennetegnene på på på matematikkvansker. Derfor Derfor <strong>det</strong> Derfor viktig <strong>det</strong> er viktig hvilke <strong>det</strong> viktig hvilke prøver hvilke prøver og og tester prøver og vi bruker. og<br />
tester tester vi bruker. vi tester bruker. vi bruker.<br />
Nasjonalt Læremiddelsenter/Telemarksforskning har utgitt slike diagnostiske prøver som kan<br />
være et meget godt utgangspunkt for å analysere elevens matematiske forståelse. De har tester innen<br />
51 Det 51 følgende Det følgende 51 Det er ulike følgende basert Vi matematiske basert på Nygaard på oppgave basert Nygaard på & områder Zernichow, Nygaard 1 & kan Zernichow, eleven og & for Zernichow, 2006 få ulike 2006 <strong>til</strong>, årstrinn uavhengig 2006 samt av veiledningshefte forståelse av posisjonssystemet, for tolkning av resultatene mens eleven og<br />
nok forslag vil ha <strong>til</strong> en undervisnings<strong>til</strong>tak.<br />
tendens å avsløre manglende forståelse hvis han setter opp stykket i oppgave 2 slik<br />
den tredje boksen viser.<br />
23 23<br />
Dette illustrerer forskjellen på en ikke-diagnostisk<br />
23<br />
og en diagnostisk oppgave. I oppgave 1 har<br />
51 Det følgende er basert på Nygaard & Zernichow, 2006<br />
vi som lærere ikke noen mulighet <strong>til</strong> å oppdage elevens manglende forståelse/misoppfatninger,<br />
mens vi i oppgave 2 kan avdekke den. Det er <strong>det</strong>te som er kjernen i <strong>det</strong> analytiske arbei<strong>det</strong> som<br />
25<br />
skal gjøres for å tolke kjennetegnene på matematikkvansker. Derfor er <strong>det</strong> viktig hvilke prøver og<br />
tester vi bruker.
Statisk vs dynamisk. testing<br />
Det er viktig at testen/prøven består av diagnostiske oppgaver, men <strong>det</strong> kan likevel være vanskelig<br />
å forstå elevens tenkemåte. Ofte må vi spørre eleven om hvordan han tenkte. Men <strong>det</strong> er ikke alltid<br />
vi får noe svar som er forståelig for oss eller noe svar i <strong>det</strong> hele tatt.<br />
Vi har to hovedformer for kartlegging. Den ene kalles ofte statisk testing. 52 Hovedhensikten er<br />
å finne <strong>det</strong> nivå eleven eller klassen/gruppen er på. Disse prøvene/testene er ofte preget av opps<strong>til</strong>te<br />
stykker med en rett/galt struktur (”bare ett rett svar”), og <strong>det</strong> avgjøres om eleven kan eller ikke kan<br />
finne <strong>det</strong> rette svaret. Det er fasit, og en regner ut skårer (poeng) for eleven.<br />
Oppgavene bør være av diagnostisk type, slik at en kan finne mulige kjennetegn på matematikkvansker,<br />
spesielt i form av misoppfatninger. Fokus er på matematikkens innhold. Men en kan<br />
også arbeide med å analysere feilene for å se etter andre kjennetegn, f. eks. retningsoppfatning eller<br />
sekvensering. Da blir fokus på kjennetegnene.<br />
Olav Lunde<br />
Den statiske testingen har visse begrensninger. For <strong>det</strong> første fokuserer den på hva som er lært<br />
tidligere, dvs. på et ”læringsprodukt”. Olav Lunde Den gir oss svært liten informasjon om elevens måte å lære<br />
på.<br />
Nasjonalt Læremiddelsenter/Telemarksforskning har utgitt slike diagnostiske prøver som kan<br />
være et meget godt utgangspunkt for å analysere elevens matematiske forståelse. De har tester<br />
For <strong>det</strong> andre sier den innen ikke Nasjonalt ulike noe matematiske om Læremiddelsenter/Telemarksforskning hvordan områder barn og reagerer ulike på årstrinn undervisningen har utgitt samt slike veiledningshefte diagnostiske og på selve prøver for tolkning som prøvesituasjonen.<br />
Mange elever med matematikkvansker kan ha hatt så mange nederlag i skolen at alt<br />
kan av<br />
resultatene være et og meget forslag godt <strong>til</strong> utgangspunkt undervisnings<strong>til</strong>tak. for å analysere elevens matematiske forståelse. De har tester<br />
innen ulike matematiske områder og for ulike årstrinn samt veiledningshefte for tolkning av<br />
som minner om prøver, hemmer resultatene og og blokkerer forslag <strong>til</strong> undervisnings<strong>til</strong>tak.<br />
følelsesmessig for at eleven kan få vist hva han kan.<br />
Matematikkangst og prestasjonsangst Statisk vs dynamisk. er ikke uvanlig. testing En ser at eleven trommer med fingrene på<br />
bor<strong>det</strong>, biter seg i leppen, puster Det og stønner – og sitter med krumme tær!<br />
Statisk<br />
er viktig<br />
vs<br />
at<br />
dynamisk.<br />
testen/prøven består<br />
testing<br />
av diagnostiske oppgaver, men <strong>det</strong> kan likevel være<br />
vanskelig å forstå elevens tenkemåte. Ofte må vi spørre eleven om hvordan han tenkte. Men <strong>det</strong> er<br />
Og for <strong>det</strong> tredje gir ikke denne formen for kartlegging <strong>til</strong>strekkelig informasjon som grunnlag for<br />
ikke alltid Det vi er får viktig noe svar at testen/prøven som er forståelig består for av oss diagnostiske eller noe svar oppgaver, i <strong>det</strong> hele men tatt. <strong>det</strong> kan likevel være<br />
å utvikle annerledes undervisningsopplegg.<br />
vanskelig å forstå elevens tenkemåte. Ofte må vi spørre eleven om hvordan han tenkte. Men <strong>det</strong> er<br />
Vi ikke har alltid to hovedformer vi får noe svar for som kartlegging. er forståelig Den for oss ene eller kalles noe ofte svar statisk i <strong>det</strong> hele testing. tatt.<br />
52 Hovedhensikten er<br />
Det vi da trenger å vite å finne noe om, <strong>det</strong> nivå er elevens eller læringspotensiale, klassen/gruppen er på. dvs. Disse de mulighetene prøvene/testene<br />
Vi har to hovedformer for kartlegging. Den ene kalles ofte statisk testing. 52 eleven er ofte preget har <strong>til</strong> av<br />
Hovedhensikten er<br />
opps<strong>til</strong>te stykker med en rett/galt struktur (”bare ett rett svar”), og <strong>det</strong> avgjøres om eleven kan eller<br />
å mestre oppgaven i en gitt å situasjon. finne <strong>det</strong> nivå (Se eleven fig. 4.) eller Læringspotensialet klassen/gruppen er på. Disse er trolig prøvene/testene langt mer ofte sentralt preget for av<br />
ikke<br />
opps<strong>til</strong>te<br />
kan finne<br />
stykker<br />
<strong>det</strong> rette<br />
med<br />
svaret.<br />
en rett/galt<br />
Det<br />
struktur<br />
er fasit,<br />
(”bare<br />
og regner<br />
ett rett<br />
ut<br />
svar”),<br />
skårer<br />
og<br />
(poeng)<br />
<strong>det</strong> avgjøres<br />
for eleven.<br />
om eleven kan eller<br />
utformingen av undervisningen Oppgavene ikke kan enn finne intelligensnivået bør <strong>det</strong> være rette svaret. av diagnostisk Det er.<br />
fasit, type, og en regner slik at ut skårer en kan (poeng) finne for mulige eleven. kjennetegn på<br />
matematikkvansker,<br />
Den andre formen for kartlegging Oppgavene kalles bør spesielt være i<br />
dynamisk av form diagnostisk av misoppfatninger.<br />
testing. type, 53 Den slik at Fokus<br />
kan en er<br />
gi kan på<br />
oss finne matematikkens<br />
et mål mulige for kjennetegn innhold. Men<br />
læringspotensialet.<br />
Da undersøker retningsoppfatning en en hvordan kan også eleven arbeide eller sekvensering. arbeider med å analysere og Da tenker blir feilene fokus ved på for å kjennetegnene. finne å se ut etter hvor andre mye kjennetegn, og hva f. slags eks.<br />
på<br />
en matematikkvansker, kan også arbeide spesielt med i å form analysere av misoppfatninger. feilene for Fokus å se er etter på matematikkens andre kjennetegn, innhold. f. Men eks.<br />
hjelp en må gi eleven for at Den retningsoppfatning han statiske skal få testingen <strong>til</strong> eller oppgaven. har sekvensering. visse begrensninger. Da blir fokus For på <strong>det</strong> kjennetegnene. første fokuserer den på hva som er lært<br />
tidligere, Den dvs. statiske på et testingen ”læringsprodukt”. har visse begrensninger. Den gir oss svært For <strong>det</strong> liten første informasjon fokuserer om den elevens på hva som måte er å lært lære<br />
Selve hovedtanken med på. tidligere, kartleggingen dvs. på et ”læringsprodukt”. blir på en måte Den snudd gir oss på svært ho<strong>det</strong>: liten informasjon <strong>Nå</strong> skal om en elevens hjelpe måte eleven å lære<br />
<strong>til</strong> å få rett svar på alle oppgavene For<br />
på.<br />
<strong>det</strong> andre på prøven! sier den ikke Og noe så må om en hvordan merke barn seg reagerer hva slags på undervisningen hjelp og hvor og på mye selve<br />
hjelp eleven behøvde for prøvesituasjonen. å få <strong>til</strong> For oppgaven. <strong>det</strong> andre Mange sier Da den elever har ikke med en noe matematikkvansker et om grunnlag hvordan barn for kan reagerer utformingen ha hatt på så undervisningen mange av nederlag en annerledes<br />
og i på skolen selve at<br />
alt som prøvesituasjonen. minner om prøver, Mange hemmer elever med og matematikkvansker blokkerer følelsesmessig kan ha hatt for så at mange eleven nederlag kan få vist i skolen hva han at<br />
undervisning.<br />
kan. alt Matematikkangst som minner om prøver, og prestasjonsangst hemmer og blokkerer ikke uvanlig. følelsesmessig En ser for at at eleven eleven trommer kan få vist med hva fingrene han<br />
kan. Matematikkangst og prestasjonsangst er ikke uvanlig. En ser at eleven trommer med fingrene<br />
Fra Vygotsky har vi på uttrykket bor<strong>det</strong>, biter<br />
på bor<strong>det</strong>, ”den seg i<br />
biter seg nære leppen,<br />
i leppen, sone” puster og<br />
puster (den stønner<br />
og stønner proksimale – og sitter med<br />
– og sitter med utviklingssonen). krumme tær!<br />
krumme tær! Dynamisk<br />
kartlegging er en måte å kartlegge<br />
Og for <strong>det</strong><br />
Og for denne<br />
tredje gir<br />
<strong>det</strong> tredje nære<br />
ikke denne<br />
gir ikke sonen<br />
formen<br />
denne formen på. Det<br />
for<br />
for<br />
kartlegging <strong>til</strong>strekkelig informasjon som<br />
er trolig ved å arbeide her, at kartlegging eleven får <strong>til</strong>strekkelig <strong>det</strong> beste informasjon læringsresultatet.<br />
Da får vi et bilde undervisningsopplegg.<br />
av undervisningsopplegg.<br />
hva eleven kan (forkunnskap) og<br />
som<br />
grunnlag for å utvikle annerledes<br />
Matematisk ferdighet<br />
grunnlag for å utvikle annerledes<br />
Matematisk ferdighet<br />
hva eleven nesten kan. Det Det vi da vi trenger da trenger å vite å vite noe noe om, om, er er elevens elevens Framgangsmåter<br />
Framgangsmåter Nøyaktighet<br />
Nøyaktighet<br />
læringspotensiale, læringspotensiale, dvs. dvs. de de mulighetene mulighetene eleven eleven<br />
Dette kan vi sammenfatte har har <strong>til</strong> i å <strong>til</strong> ”globefiguren” mestre å mestre oppgaven oppgaven i en (se i en gitt fig. gitt situasjon.<br />
4). 54<br />
Ulike emner i i matematikk<br />
Den statiske kartleggingen<br />
(Se<br />
har (Se fig. fig. 4.)<br />
hovedfokus 4.) Læringspotensialet på den<br />
er<br />
øvre er trolig trolig delen<br />
av globen, mens dynamisk undervisningen kartlegging enn enn intelligensnivået har fokus på er. er.<br />
langt langt<br />
mer mer sentralt sentralt for for utformingen av av<br />
"L E D S A G E R V A N S K E R" R"<br />
den<br />
nedre delen.<br />
Den Den andre andre formen for for kartlegging kalles<br />
"Tenking"<br />
dynamisk testing. testing.<br />
Og så må vi være oppmerksomme 53 53<br />
Den Den kan kan gi gi oss oss et et mål for for Holdninger<br />
Strategier<br />
Erfaringer<br />
læringspotensialet. Da<br />
på Da undersøker ”ledsagervanskene”,<br />
dvs. forhold som eleven forstyrrer eleven arbeider arbeider læringen, og og tenker tenker ved men ved å finne å ikke finne ut ut har hvor<br />
mye og hva slags hjelp en må gi eleven for at<br />
en en hvordan<br />
Modning etc.<br />
noe med verken faget matematikk mye og hva<br />
han skal få<br />
eller slags hjelp<br />
<strong>til</strong> oppgaven.<br />
med en egenskaper må gi eleven hos for at<br />
han skal få <strong>til</strong> oppgaven.<br />
Læringsforutsetninger<br />
eleven å gjøre. Slike ledsagervansker Selve hovedtanken kan f. med eks. kartleggingen være sykdom<br />
hjemme, mobbing på – en eller på<br />
Selve hovedtanken med kartleggingen blir<br />
blir<br />
måte<br />
en måte lavt snudd<br />
snudd blodsukkerinnhold på<br />
på<br />
ho<strong>det</strong>:<br />
ho<strong>det</strong>:<br />
<strong>Nå</strong><br />
<strong>Nå</strong><br />
skal<br />
skal<br />
en<br />
en<br />
hjelpe<br />
hjelpe på<br />
eleven <strong>til</strong> å få rett svar på alle oppgavene på Fig. 4: Sammenhengen mellom læringsforutsetninger<br />
grunn av manglende frokost. eleven <strong>til</strong> å få rett svar på alle oppgavene på Fig. 4: Sammenhengen mellom læringsforutsetninger<br />
52 Kalles også kvantitativ testing.<br />
53 Kalles også kvalitativ testing.<br />
54 Lunde, 1997<br />
26<br />
prøven! Og så må en merke seg hva slags (læringspotensialet) og matematisk ferdighet, slik vi kan<br />
prøven! Og så må en merke seg hva slags (læringspotensialet) måle den ved tester. og matematisk ferdighet, slik vi kan<br />
måle den ved tester.<br />
52 Kalles også kvantitativ testing.<br />
52 Kalles 53 Kalles også også kvantitativ kvalitativ testing.<br />
53 Kalles også kvalitativ testing.<br />
24<br />
24
hovedfok<br />
Og så må vi være oppmerksomme på ”ledsagervanskene”, dvs. forhold som forstyrrer læringen,<br />
men ikke har noe med verken faget matematikk eller med egenskaper hos eleven å gjøre. Slike<br />
ledsagervansker kan f. eks. være sykdom hjemme, mobbing – eller lavt blodsukkerinnhold på<br />
grunn av manglende frokost.<br />
Individuell kartlegging<br />
Som oftest er spørsmålet om en bestemt elev har matematikkvansker og hva en da skal gjøre.<br />
Men i grunnen er <strong>det</strong> flere ting en ønsker å få vurdert. For <strong>det</strong> første: Er denne elevens vansker så<br />
omfattende at <strong>det</strong> er nødvendig med ekstra hjelp? For <strong>det</strong> andre: Kan <strong>jeg</strong> <strong>til</strong>passe undervisningen<br />
slik at eleven bedre mestrer matematikken?<br />
Det kan ofte være nødvendig å kombinere bruken av statisk og dynamisk kartlegging for å kunne<br />
svare på begge disse spørsmålene. Da bruker en først den statiske testen, og så følger en <strong>det</strong>te opp<br />
med dynamisk testing for å få grunnlag for <strong>til</strong>takene.<br />
Hvis en primært ønsker å vurdere nivået hos en elev i forhold <strong>til</strong> årstrinnet, vil en kvantitativ test<br />
være best. Mest brukt av disse er de såkalte M-prøvene som utgis av PP-tjenestens Materialservice.<br />
Det finnes prøver for hvert årstrinn fra 2. <strong>til</strong> 9. trinn. De dekker de ulike emnene på årstrinnet og<br />
oppsummerer resultatene i en oversikt. Prøveresultatene gir innen hvert av emnene en samlet indikasjone<br />
på om resultatet er OK, om <strong>det</strong> er grunn <strong>til</strong> å følge nøye med, eller om <strong>det</strong> kreves iverksetting<br />
av undervisningsmessige <strong>til</strong>tak.<br />
Slik sett kan M-prøvene danne grunnlaget for å gi en faglig <strong>til</strong>passet undervisning i matematikk<br />
være <strong>til</strong> hjelp ved utarbeidelse av individuelle læreplaner.<br />
Oppgavene er <strong>til</strong> en viss grad<br />
preget av diagnostisk utforming og<br />
en kan finne kjennetegn på matematikkvansker<br />
ved å analysere elevenes<br />
svar og se på arbeidsmåte og tenking.<br />
En kan også bruke M-prøvene ut fra<br />
en dynamisk tenking hvor en hjelper<br />
eleven gjennom samtale og ulike<br />
”hint” <strong>til</strong> å få rett svar. Da får en et<br />
bilde av type hjelp og omfanget av<br />
<strong>det</strong> eleven nesten kan mestre, dvs. <strong>det</strong><br />
som ligger i den nære sonen.<br />
Et annet slikt materiale<br />
er Hammervold & Ostad’s<br />
”Basiskunnskaper i matematikk”.<br />
Den er laget for 2., 4. og 7. årstrinn<br />
og kan brukes på samme måten som<br />
M-prøvene. 55<br />
McIntosh har utviklet et materiell for kartlegging av barns talloppfatning og tallforståelse.<br />
Materialet omfatter skriftlige tester for 1. - 10. trinn, veiledning for gjennomføring og vurdering av<br />
testene, vurderingsskjemaer, samt veiledning <strong>til</strong> elevintervjuer og en håndbok. Oppgavene i testene<br />
har henvisninger <strong>til</strong> kapitler i håndboka, der <strong>det</strong> finnes nærmere forklaring på hva oppgavene skal<br />
teste av forståelse. Boka beskriver vanlige misoppfatninger, hvorfor de forekommer, og <strong>det</strong> gis konkrete<br />
forslag <strong>til</strong> hvordan lærerne kan jobbe videre ut fra resultatene på testene. Boka kan også brukes<br />
når man skal planlegge undervisningen. 56<br />
Hvis problemet primært er å utforme en annerledes undervisning for en elev som tydelig ikke<br />
mestrer matematikken, kan en med fordel bruke en dynamisk kartlegging. Den aller enkleste er<br />
faktisk meget god, men forutsetter at pedagogen har god innsikt i matematikkdidaktikk og matematikkvansker,<br />
se fig. 5.<br />
Individuell kartlegging<br />
Som oftest er spørsmålet om en bestemt elev har matematikkvansker og hva en da skal gjøre.<br />
Men i grunnen er <strong>det</strong> flere ting en ønsker å få vurdert. For <strong>det</strong> første: Er denne elevens vansker så<br />
omfattende at <strong>det</strong> er nødvendig med ekstra hjelp? For <strong>det</strong> andre: Kan <strong>jeg</strong> <strong>til</strong>passe undervisningen<br />
slik at eleven bedre mestrer matematikken?<br />
Det kan ofte være nødvendig å kombinere bruken av statisk og dynamisk kartlegging for å<br />
kunne svare på begge disse spørsmålene. Da bruker en først den statiske testen, og så følger en<br />
<strong>det</strong>te opp med dynamisk testing for å få grunnlag for <strong>til</strong>takene.<br />
Hvis en primært ønsker å vurdere nivået hos en elev i forhold <strong>til</strong> årstrinnet, vil en kvantitativ test<br />
være best. Mest brukt av disse er de såkalte M-prøvene som utgis av PP-tjenestens<br />
Materialservice. Det finnes prøver for hvert årstrinn fra 2. <strong>til</strong> 9. trinn. De dekker de ulike emnene<br />
på årstrinnet og oppsummerer resultatene i en oversikt. Prøveresultatene gir innen hvert av emnene<br />
en samlet indikasjone på om resultatet er OK, om <strong>det</strong> er grunn <strong>til</strong> å følge nøye med, eller om <strong>det</strong><br />
kreves iverksetting av undervisningsmessige <strong>til</strong>tak.<br />
Slik sett kan M-prøvene danne grunnlaget for å gi en faglig <strong>til</strong>passet undervisning i matematikk<br />
være <strong>til</strong> hjelp ved utarbeidelse av<br />
individuelle læreplaner.<br />
Oppgavene er <strong>til</strong> en viss grad<br />
preget av diagnostisk utforming<br />
og en kan finne kjennetegn på<br />
matematikkvansker ved å<br />
analysere elevenes svar og se på<br />
arbeidsmåte og tenking. En kan<br />
også bruke M-prøvene ut fra en<br />
dynamisk tenking hvor en hjelper<br />
eleven gjennom samtale og ulike<br />
”hint” <strong>til</strong> å få rett svar. Da får en<br />
et bilde av type hjelp og omfanget<br />
av <strong>det</strong> eleven nesten kan mestre,<br />
dvs. <strong>det</strong> som ligger i den nære<br />
sonen.<br />
Et annet slikt materiale er<br />
Hammervold & Ostad’s<br />
54 Lunde, 1997<br />
Fig. 5: Eksempel på enkel dynamisk test. (Hentet fra Heuvel-<br />
Panhuizen & Gravemeijer, 1991.)<br />
25<br />
55 Utgitt på Universitetsforlaget, Oslo.<br />
56 Bes<strong>til</strong>les fra www.matematikksenteret.no<br />
27
Da gir en eleven et blankt ark hvor en har skrevet et tall øverst. Det velger en ut fra hva en tror<br />
vil passe for denne eleven. Og så skal eleven lage så mange ulike oppgaver han kan der svaret blir<br />
<strong>det</strong>te tallet. Hele prosessen har form som en dialog mellom eleven og pedagogen, og eleven setter<br />
ord på hvordan han har tenkt. En kan på denne måten få et rimelig bra bilde av de tre hovedformene<br />
for matematikkvansker.<br />
Jeg har laget et omfattende materiale for dynamisk kartlegging av matematikkvansker. 57 Det er<br />
også utgitt i Danmark og Sverige. Det består av en oversiktskartlegging (som tar ca. 30 minutter) og<br />
14 deltester som skal brukes etter behov for å utdype deler av elevens læringspotensiale. Materialet<br />
er utarbei<strong>det</strong> for 3.-4. årstrinn, men deler av <strong>det</strong> kan brukes på lavere årstrinn. Det fungerer også bra<br />
for elever på høyere årstrinn, men en må da gjerne utelate noen av de enkleste oppgavene.<br />
Ideen er å finne indikasjoner på forstyrrelser i læringen. Materialet fokuserer derfor mindre på<br />
selve den matematiske ferdigheten. Det er beregnet brukt på enkeltelever og er preget av dialog<br />
elev - lærer.<br />
Mange som har arbei<strong>det</strong> med å kartlegge elever med matematikkvansker, har konkludert med at<br />
<strong>det</strong>te er et meget sammensatt fenomen. Mange elever sliter vel så mye med handlingslammelse og<br />
slurv, som med manglende forståelse. Det er tydeligvis noe som gjør at de ikke får vist hva de kan på<br />
klasseprøver og heller ikke på individuelle prøver. Ved klasseobservasjoner blir en ofte slått av hvor<br />
lite noen elever klarer å få gjort og at <strong>det</strong> ”oser indre motstand” av dem.<br />
Mitt materiell inneholder også en holdningstest mht. matematikk og et observasjonsverktøy for<br />
prestasjonsangst som to av de 14 deltestene.<br />
Hva viste kartleggingen om Bob-Kåre?<br />
Bob-Kåre ble kartlagt med oversiktsdelen av <strong>det</strong>te materialet, og lærerens kommentarer er gjengitt<br />
i boksen ved siden av. Oppgavene er gjengitt i Tillegg E. Arket han laget med inndelingene, er<br />
vist på neste side.<br />
Hvis vi ser på <strong>det</strong> han gjør og lærerens kommentarer, kan vi få et bra bilde av Bob-Kåres ferdigheter<br />
innen de 6 områdene. Men <strong>det</strong> kan være vanskelig å få oversikten når en arbeider med kartleggingen.<br />
Det viktigste med kartleggingen er utformingen av <strong>til</strong>tak basert på de mulighetene (læringspotensialet)<br />
som Bob-Kåre har.<br />
57 Lunde, 1997, InfoVest Forlag<br />
28
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
Eleven har problemer med å legge arket med den lengste siden mot seg. Han viser hvor ”lengst”<br />
er på arket, men <strong>jeg</strong> må vise ham ”siden”.<br />
Det å tegne sirkelen midt på går greit, og han greier også å tegne strek ut <strong>til</strong> hvert av hjørnene og<br />
<strong>til</strong> hver av kantene. Han greier også å peke på <strong>det</strong> rommet som er øverst <strong>til</strong> venstre på arket, men<br />
når han skal skrive et 1- tall i den smale delen av rommet, må han ha gjentatt oppgaven med hint<br />
Eleven har om problemer start. Lurer med på å or<strong>det</strong> legge ”smale”. arket med den lengste siden mot seg. Han viser hvor ”lengst”<br />
er på arket, Han men har <strong>jeg</strong> også må noe vise problem ham ”siden”. med å skrive tallet som kommer før 36. Gjentar or<strong>det</strong> ”før”, og han får<br />
Det å tegne gjentatt sirkelen oppgaven. midt på Det går å greit, telle og to om han gangen greier også (6-8-10…) å tegne går strek greit og ut <strong>til</strong> også hvert <strong>det</strong> av å skrive hjørnene tallet og ”etter”<br />
<strong>til</strong> hver av 29. kantene. <strong>Nå</strong>r han Han får greier spørsmål også om å å peke skrive på en <strong>det</strong> halv rommet med tall, som får er han øverst <strong>det</strong> ikke <strong>til</strong> venstre <strong>til</strong>. Løsningen på arket, må men vises.<br />
når han skal Han skrive skulle et også 1- tall skrive i den en smale del oppgitte delen tall. av rommet, 12 går greit, må han men ha han gjentatt skriver oppgaven 64 i ste<strong>det</strong> med for 74. hint 192 får<br />
om start. han Lurer ikke på <strong>til</strong>, or<strong>det</strong> 21 går ”smale”. greit, mens 203 får han ikke <strong>til</strong> uansett mengde hjelp.<br />
Han har også <strong>Nå</strong>r han noe skal problem tegne med 5 streker, å skrive der tallet 2 av strekene som kommer skal være før 36. like Gjentar lange og or<strong>det</strong> en av ”før”, strekene og han skal får være<br />
gjentatt oppgaven. mindre enn Det de andre å telle strekene, to om gangen må han (6-8-10…) ha en gjentagelse går greit av og oppgaven også <strong>det</strong> å før skrive han får tallet <strong>det</strong> ”etter” <strong>til</strong>. Han fikk<br />
29. <strong>Nå</strong>r han også får beskjed spørsmål om om å tegne å skrive fire firkanter en halv i med <strong>det</strong> samme tall, får rommet, han <strong>det</strong> men ikke skjønte <strong>til</strong>. Løsningen ikke oppgaven må vises. og tegnet<br />
Han skulle tre også trekanter skrive i ste<strong>det</strong>. en del oppgitte Han tegnet tall. imidlertid 12 går greit, en strek men som han han skriver tror er 64 4 cm i ste<strong>det</strong> uten for problemer. 74. 192 får<br />
han ikke <strong>til</strong>, Å tegne 21 går en greit, klokke mens som 203 viser får halv han fire, ikke går <strong>til</strong> også uansett bra. mengde Det å si hjelp. hvor bredt han tror arket er, har han<br />
<strong>Nå</strong>r han skal<br />
ikke<br />
tegne<br />
sjanse<br />
5<br />
<strong>til</strong><br />
streker,<br />
å klare<br />
der<br />
uansett<br />
2 av<br />
hvor<br />
strekene<br />
mye hjelp<br />
skal<br />
han<br />
være<br />
får.<br />
like lange og en av strekene skal være<br />
Han får også en regneoppgave der han skal finne ut hvor mye av spikeren som stikker ut når han<br />
mindre enn de andre strekene, må han ha en gjentagelse av oppgaven før han får <strong>det</strong> <strong>til</strong>. Han fikk<br />
har spikret den inn i en bjelke som er 8 cm tykk. Dette går <strong>til</strong> dels bra. Han tegner en fin<br />
også beskjed om å tegne fire firkanter i <strong>det</strong> samme rommet, men skjønte ikke oppgaven og tegnet<br />
illustrasjon, men klarer ikke regnestykket. Han viser likevel at han tenker på rett måte. Oppgaven<br />
tre trekanter i ste<strong>det</strong>. Han tegnet imidlertid en strek som han tror er 4 cm uten problemer.<br />
der han skal på butikken og handle sjokolade, må han vises løsningen på. Han har ti kroner og<br />
Å tegne en<br />
skal<br />
klokke<br />
kjøpe<br />
som<br />
en sjokolade<br />
viser halv<br />
<strong>til</strong><br />
fire,<br />
4 kr<br />
går<br />
og en<br />
også<br />
<strong>til</strong> 5.<br />
bra.<br />
Hvor<br />
Det<br />
mye<br />
å si<br />
har<br />
hvor<br />
han<br />
bredt<br />
da igjen?<br />
han tror<br />
Han<br />
arket<br />
teller<br />
er,<br />
på<br />
har<br />
fingrene<br />
han<br />
og<br />
ikke sjanse kommer <strong>til</strong> å klare <strong>til</strong> slutt uansett fram hvor <strong>til</strong> rett mye løsning. hjelp han får.<br />
Han får også Den en siste regneoppgave regneoppgaven der han han får skal er antageligvis finne ut hvor alt mye for vanskelig av spikeren for ham. som stikker Han skal ut når regne han ut hvor<br />
har spikret mange den inn poser i en tomatsuppe bjelke som han er 8 trenger cm tykk. når Dette han skal går lage <strong>til</strong> dels <strong>til</strong> alle bra. i klassen. Han tegner Hver en pose fin rekker <strong>til</strong> 4<br />
illustrasjon, elever. men klarer Han får ikke mye regnestykket. hjelp og tips om Han løsning viser og likevel tegner at en han illustrasjon. tenker på På rett siste måte. oppgave Oppgaven skal han<br />
der han skal tegne på et butikken hus etter og anvisning handle sjokolade, fra testleder. må Det han eneste vises løsningen han ikke får på. med Han seg har av ti instruksjonene, kroner og er<br />
skal kjøpe røyken sjokolade fra pipa <strong>til</strong> på 4 taket. kr og en Ellers <strong>til</strong> 5. greide Hvor han mye oppgaven har han bra. da igjen? Han teller på fingrene og<br />
kommer <strong>til</strong> slutt fram <strong>til</strong> rett løsning.<br />
Den siste regneoppgaven han får er antageligvis alt 27 for vanskelig for ham. Han skal regne ut hvor<br />
mange poser tomatsuppe han trenger når han skal lage <strong>til</strong> alle i klassen. Hver pose rekker <strong>til</strong> 4<br />
elever. Han får mye hjelp og tips om løsning og tegner en illustrasjon. På siste oppgave skal han<br />
tegne et hus etter anvisning fra testleder. Det eneste han ikke får med seg av instruksjonene, er<br />
røyken fra pipa på taket. Ellers greide han oppgaven bra.<br />
27<br />
29
Nedenfor er gjengitt en liten tabell <strong>jeg</strong> ofte bruker for å få oversikt. Av og <strong>til</strong> skifter <strong>jeg</strong> ut de seks<br />
sentrale emnene innen den grunnleggende matematikken med de tre formene for matematikkvansker:<br />
prosedurale, semantiske og visuo-spatiale.<br />
Analyseskjema for kartlegging av matematikkvansker<br />
Vanske som skal<br />
mestres<br />
1.<br />
Telling<br />
2.<br />
Antallsforståelse<br />
3.<br />
Sammenligning<br />
av to tall<br />
4.<br />
Plassverdi<br />
5.<br />
Aritmetikk<br />
6.<br />
Estimering<br />
Kjennetegn<br />
(hos eleven)<br />
TILTAK<br />
(Innhold og undervisningsform)<br />
Konklusjon<br />
Vi har tidligere drøftet seks sentrale kjennetegn på matematikkvansker (se kap. 2). Det er enkelt<br />
å lage en liten test på om eleven mestrer disse områdene på et nivå som <strong>til</strong>svarer årstrinnet. På www.<br />
matematikk.org er <strong>det</strong> i menyen et valg som heter Treningsleir hvor en meget enkelt kan lage en<br />
liten sjekk ut fra områder og mål i lærplanen (1.-3. årstrinn), eller ut fra Fagtreet, dvs. en struktur<br />
av delemner. En kan velge mellom vanskegrader. Jeg liker best å bruke Fagtreet. Oppgavene kan<br />
skrives ut på papir. Programmet lager også fasit.<br />
Dette kan selvsagt også være et godt redskap <strong>til</strong> å lage gode oppgaver hvor eleven kan arbeide<br />
med å lære seg disse seks grunnleggende områdene.<br />
30
Noen praktiske tips om hva en bør se etter under kartleggingen<br />
Først og fremst er <strong>det</strong> viktig å få inntrykk av hvordan eleven fungerer på enkle oppgaver innen<br />
tallbehandling. Noen enkle addisjonsoppgaver og subtraksjonsoppgaver gir ofte en god informasjon<br />
når en vet hvilke kjennetegn en skal se etter.<br />
Andre enkle oppgaver kan være å be eleven telle så langt han/hun kan, lese av en lengde på en<br />
linjal, skrive noen tall etter diktat, f. eks. 129. Enkelte elever skriver da kanskje 10029.<br />
Ofte kan <strong>det</strong> være en hjelp å få et bilde av hvordan hukommelsen fungerer hos eleven, både <strong>det</strong><br />
vi kaller korttidshukommelse og langtidshukommelse. En får et godt bilde av korttidshukommelsen<br />
ved å si tre, fire og deretter fem ensifrede tall langsomt og be eleven gjenta dem etterpå. 58 En kan<br />
også be eleven gjenta dem baklengs, men da bør en bare bruke to, tre og fire tall. Det krever mer<br />
kapasitet i korttidsminnet (arbeidshukommelsen) å si tallene baklengs.<br />
I mitt materiell 59 er <strong>det</strong> en enkel test for langtidshukommelsen hvor eleven får høre en liten historie<br />
og så litt senere skal gjenfortelle den eller svare på spørsmål fra historien. En kan godt lage en<br />
liten historie og bruke slik.<br />
Språkferdigheten er viktig ved matematikklæringen. Noen enkle oppgaver som gir et inntrykk av<br />
språkferdigheten, kan være å be eleven si navnet på så mange dyr han/hun husker. Relasjonsbegrepene<br />
er viktige. Spør om en dag er kortere enn en uke, om bestemor er eldre enn en jente, om eleven er<br />
lengre enn du er selv. En ”vanskelig” setning kan være slik: ”Lise er lysere enn Eva. Hvem av dem<br />
er mørkest?”<br />
Formgjenkjenning og dannelsen av mentale bilder er viktig. Du kan få et lite inntrykk av <strong>det</strong>te<br />
ved å be eleven lage en tegning av en sirkel under en firkant. Da får du også mye informasjon om<br />
begrepene sirkel og firkant – og relasjonsbegrepet under. Skal eleven gjøre <strong>det</strong>te, må han/hun lage<br />
seg et mentalt bilde av hva ordene betyr og så tegne <strong>det</strong>.<br />
Det viser seg at <strong>det</strong> er mange elever som strever med problemløsning fordi de ikke forstår innhol<strong>det</strong><br />
av hva de leser, og ikke fordi de strever med matematikk. Gudrun Malmer har utarbei<strong>det</strong><br />
et kartleggingsmateriell for <strong>det</strong>te (ALP) som analyserer leseforståelsen innenfor problemløsning i<br />
matematikk. 60<br />
Hvis slike enkle oppgaver ikke fungerer greit i forhold <strong>til</strong> <strong>det</strong> som er vanlig på <strong>det</strong>te årstrinnet, kan<br />
<strong>det</strong> være at eleven har store vansker med matematikken på grunn av slike ting.<br />
I mitt materiell er <strong>det</strong> oppgaver som også sier noe om persepsjon, koordinering, motorikk,<br />
konsentrasjon, begreper og generelt <strong>det</strong> vi kaller tallforståelse. 61 I den senere tiden har en også<br />
begynt å snakke om numeralitet og beskriver <strong>det</strong> som ”den matematikken hverdagen trenger”. 62<br />
Hverdagsmatematikk i kombinasjon med grunnleggende matematikkferdigheter er viktig. Gjennom<br />
kartleggingen bør en danne seg et bilde av disse områdene, noe <strong>det</strong>te materialet kan bidra <strong>til</strong>.<br />
Matematikkvansker er ofte følelsesla<strong>det</strong>. Det kan derfor være bra å følge med på hvordan eleven<br />
arbeider med ulike oppgaver og gjerne få i gang en liten samtale der han/hun forteller <strong>til</strong> deg hvordan<br />
han/hun tenker. Det enkle spørsmålet ”Hvordan tenkte du nå?” har ofte hjulpet meg. Men husk at<br />
ikke alle elevene kan sette ord på tankene sine – og noen har også spesifikke språkvansker (se kap.<br />
10).<br />
58 En slik serie kan være: 3-9-4; 7-2-5; 9-4-1; 3-5-2-7; 2-5-3-9-1; 8-3-5-1-7.<br />
59 Lunde, 1997, side 126.<br />
60 Se www.ganforlag.no. Dette materiellet kan kjøpes derfra.<br />
61 På engelsk kalles <strong>det</strong>te ”number sense” og defineres meget ulikt. Se Gersten & Chard, 2001 og Witzel<br />
m.fl. 2007. Det er videre enn ”antallsforståelse”.<br />
62 Lun<strong>det</strong>ræ, K., 2007, s. 41<br />
31
Oppsummering og konklusjon<br />
Kartlegging og diagnostisering har ofte blitt svært fokusert innen <strong>til</strong>passet opplæring og spesialpedagogisk<br />
arbeid. Men all kartlegging og diagnostisering har i liten grad ført <strong>til</strong> en bedret spesialundervisning<br />
for elevene. Ofte sitter en med inntrykk av at kartleggingen gjøres uten perspektiv på<br />
hva resultatene skal brukes <strong>til</strong>. Det er faglig uetisk.<br />
Fokus bør rettes mot kunnskapens kvalitet (kap. 6) og hva som spesialpedagogisk kan gjøres for<br />
å bedre denne kvaliteten (se kap. 8, 9 og 10).<br />
32
4. Hva må vi ellers vite om Bob-Kåre?<br />
4. Hva må vi ellers vite om Bob-Kåre?<br />
Vi må vite noe om Bob-Kåre innen tre områder: For <strong>det</strong> første må vi vite noe om Bob-Kåres<br />
læringsforutsetninger. Det betyr å vite noe om hva eleven kan og ikke kan i matematikk, og<br />
hvordan han/hun fungerer kognitivt. Det er <strong>det</strong> vi finner når<br />
vi<br />
Vi<br />
kartlegger<br />
må vite noe<br />
eleven<br />
om<br />
(kap.3).<br />
Bob-Kåre innen tre områder: For <strong>det</strong> første<br />
må vi vite noe om Bob-Kåres læringsforutsetninger. Det<br />
betyr<br />
Men<br />
å<br />
hvis<br />
vite noe<br />
vi skal<br />
om hva<br />
få en<br />
eleven<br />
grundig<br />
kan<br />
vurdering<br />
og ikke kan<br />
av<br />
i matematikk,<br />
Bob-Kåres<br />
Elevens læringsforutsetninger<br />
læringspotensial, må vi også vite noe om hans situasjon<br />
og hvordan han/hun fungerer kognitivt. Det er <strong>det</strong> vi finner<br />
hjemme og hvordan han fungerer sosialt både på skolen og i<br />
når vi kartlegger eleven (kap.3).<br />
fritiden. Som regel vet læreren mye om <strong>det</strong>te, slik at en har<br />
et godt Men grunnlag hvis vi for skal å vurdere få en grundig læringspotensialet. vurdering av Bob-Kåres<br />
læringspotensial, må vi også vite noe om hans situasjon Undervisningens<br />
Det viktigste med all kartlegging er å få ideer om hvilke<br />
hjemme og hvordan han fungerer sosialt både på skolen og i<br />
<strong>til</strong>tak som bør settes i verk. Tidligere så vi på at form<br />
Undervisningens<br />
matematikkvansker<br />
fritiden. Som regel<br />
ble<br />
vet læreren<br />
definert<br />
mye<br />
som<br />
om <strong>det</strong>te,<br />
forstyrrelser<br />
slik at en har<br />
i<br />
samspillet godt grunnlag mellom for å vurdere læringspotensialet.<br />
elevens læringsmåte,<br />
innhold<br />
undervisningsformen Det viktigste med og all innhol<strong>det</strong> kartlegging (se er figuren). å få ideer <strong>Nå</strong>r om vi hvilke skal<br />
utforme <strong>til</strong>tak som <strong>til</strong>tak bør ved settes matematikkvansker, i verk. Tidligere så er vi <strong>det</strong> på at mye matematikkvansker<br />
vi har ble en oppfatning definert som av forstyrrelser hva som har skapt i samspillet vanskene. mellom Vi Fig. 6: De tre sentrale faktorene ved<br />
enklere<br />
hvis<br />
må elevens derfor læringsmåte, også vite noe undervisningsformen om to andre forhold, nemlig og innhol<strong>det</strong> hvordan matematikkvansker, basert på Magne,<br />
(se<br />
1998.<br />
har figuren). den undervisningen <strong>Nå</strong>r skal utforme vært som <strong>til</strong>tak eleven ved har matematikkvansker,<br />
fått tidligere, og<br />
hva er har <strong>det</strong> mye innhol<strong>det</strong> enklere i den hvis vært. vi har (Se en oppfatning figur 6.) Det av hva er <strong>det</strong>te som har vi nå skapt skal vanskene. se nærmere Vi må på og derfor så lage også en vite<br />
modell noe om for to hvordan andre forhold, vi kan systematisere nemlig hvordan denne har informasjonen den undervisningen på en vært enkel som måte. eleven har fått tidligere,<br />
og hva har innhol<strong>det</strong> i den vært. (Se figur 6.) Det er <strong>det</strong>te vi nå skal se nærmere på og så lage en<br />
modell for hvordan vi kan systematisere denne informasjonen på en enkel måte.<br />
Undervisningens form og innhold<br />
Det eneste vi med sikkerhet vet om en elev med matematikkvansker, er at eleven ikke har lært<br />
<strong>til</strong>fredss<strong>til</strong>lende Undervisningens ut fra den undervisningen form og han har innhold fått.<br />
Hovedprinsippet er at eleven ”andre gangen” må få en undervisning som er annerledes enn<br />
Det eneste vi med sikkerhet vet om en elev med matematikkvansker, er at eleven ikke har lært<br />
første gangen. For eleven har nemlig lært noe første gangen også: ”Matematikk kan <strong>jeg</strong> ikke<br />
<strong>til</strong>fredss<strong>til</strong>lende ut fra den undervisningen han har fått.<br />
lære!” Det er denne holdningen vi må endre <strong>til</strong> ”Jeg kan!” Og <strong>det</strong> klarer vi først og fremst ved at<br />
eleven Hovedprinsippet selv opplever å er mestre at eleven matematikken. ”andre gangen” må få en undervisning som er annerledes enn første<br />
gangen.<br />
<strong>Nå</strong>r vi lærer,<br />
For eleven<br />
lærer<br />
har<br />
vi samtidig<br />
nemlig lært<br />
noe<br />
noe<br />
om<br />
første<br />
sammenhengen<br />
gangen også:<br />
som<br />
”Matematikk<br />
læringen foregår<br />
kan<br />
i.<br />
<strong>jeg</strong><br />
Sammenhengen<br />
ikke lære!” Det<br />
er er kanskje denne slik: holdningen 63 vi må endre <strong>til</strong> ”Jeg kan!” Og <strong>det</strong> klarer vi først og fremst ved at eleven selv<br />
opplever<br />
• Det<br />
å mestre<br />
brukes<br />
matematikken.<br />
lærebok<br />
<strong>Nå</strong>r • vi Læreboken lærer, lærer inneholder vi samtidig oppgaver noe om som sammenhengen skal løses som læringen foregår i. Sammenhengen<br />
er kanskje • Oppgavene slik: 63 er nummerert og skal løses i en bestemt rekkefølge<br />
• • Der Det er brukes ett rett lærebok svar – og mange feil svar. Eleven med matematikkvansker er nok best<br />
• kjent Læreboken med alle inneholder feilaktige oppgaver svarene som – og skal med løses blanke svar…<br />
• • Undervisningen Oppgavene nummerert skjer i klasserommet. og skal løses Eleven i en bestemt sitter rekkefølge på pulten og regner, og læreren<br />
• sitter Der enten er ett rett bak svar kateteret – og mange eller går feil rundt svar. mellom Eleven pultene med matematikkvansker og gir kort hjelp er <strong>til</strong> nok elever best som kjent<br />
spør med alle de feilaktige svarene – og med blanke svar…<br />
• • Den Undervisningen rette måten vises skjer på i tavlen, klasserommet. og eleven Eleven må av sitter og <strong>til</strong> på skrive pulten <strong>det</strong>te og regner, ned og læreren sitter<br />
enten bak kateteret eller går rundt mellom pultene og gir kort hjelp <strong>til</strong> elever som spør<br />
63 Mellin-Olsen, • Den S., 1997. rette måten vises på tavlen, og eleven må av og <strong>til</strong> skrive <strong>det</strong>te ned<br />
• Det hele varer i 45 minutter. Da er <strong>det</strong> over for denne gangen…<br />
31<br />
63 Mellin-Olsen, S., 1997.<br />
33
Jo flere likhetstrekk <strong>det</strong> er når eleven møter matematikken ”for andre gang”, desto mer hemmende<br />
virkning har <strong>det</strong> på læringsutbyttet. Vi må altså utforme rammene rundt den <strong>til</strong>passede opplæringen<br />
på en annen måte. Men også innhol<strong>det</strong> og selve undervisningsformen har betydning. Elever med<br />
matematikkvansker er ofte langt bedre <strong>til</strong> å anvende matematikk <strong>til</strong> å løse praktiske problem angående<br />
måling, tid, penger, hoderegning/overslagsregning og lese ut matematisk informasjon fra f.<br />
eks. aviser enn <strong>det</strong> som skoleprestasjonene tyder på. 64 Det er jo underlig at elevene ser ut <strong>til</strong> å kunne<br />
bruke en matematikk som de etter testene skulle mangle…<br />
Derfor må vi vite noe om hvordan undervisningen har vært tidligere.<br />
De matematiske kompetansene<br />
I forbindelse med de tidligere nasjonale prøvene, møtte vi uttrykket matematiske kompetanser.<br />
Dette brukes ofte som en betegnelse på de ferdighetene eleven skal ha fått som resultat av den matematiske<br />
undervisningen. 65<br />
Ofte beskriver vi 8 slike og mener da at de gir et godt bilde av den matematiske ferdighet og forståelse<br />
hos eleven. Vi vet at disse kompetansene er viktige element i den matematiske læringen, men<br />
de kan variere mye i ulike læreverk og i måten læreren utformer undervisningen på.<br />
To ting er viktige nå: For <strong>det</strong> første må vi se om eleven tidligere har hatt ”hull”, dvs. at noen av<br />
disse områdene ikke har vært arbei<strong>det</strong> med. For <strong>det</strong> andre skal vi forsøke å lage opplegget slik at <strong>det</strong><br />
ser annerledes ut enn første gangen.<br />
Jeg har her valgt å samle disse delferdighetene, slik at de mer samsvarer med de formene for<br />
matematikkvansker som vi beskrev i kap. 3, nemlig å forstå (semantisk), å bruke (visuo-spatialt),<br />
og å kunne prosedyrene (proseduralt). I <strong>til</strong>legg har <strong>jeg</strong> tatt med <strong>det</strong> emosjonelle. (Se figur 7.) Ofte<br />
bygger eleven opp holdninger <strong>til</strong> faget, og disse kan lett blokkere for videre læring.<br />
La oss se litt nærmere på dem:<br />
”Forstå”<br />
Dette har noe med <strong>det</strong> å<br />
kunne resonnere, tenke og<br />
kommunisere tenkingen. Vi<br />
"Forstå"<br />
"Prosedyrer" "Prosedyrer"<br />
kan s<strong>til</strong>le oss spørsmål om Resonnement,<br />
Tallforståelse,<br />
eleven har hatt gode muligheter<br />
<strong>til</strong> å selv s<strong>til</strong>le spørsmål tankegang og<br />
bruk av symboler<br />
Resonnement,<br />
Tallforståelse,<br />
tankegang og<br />
bruk av symboler<br />
kommunikasjon<br />
og fremgangsmåter<br />
og undre seg over ting i matematikken,<br />
eller presenteres <strong>det</strong><br />
kommunikasjon<br />
og fremgangsmåter<br />
hele som ”Slik er <strong>det</strong>!” - Har<br />
eleven arbei<strong>det</strong> med å forklare<br />
matematiske sammenhenger<br />
og begrunne sine meninger<br />
om hvordan løsninger kan<br />
være? - Har eleven lært <strong>det</strong><br />
matematiske språket med alle<br />
fagordene, slik som vinkel,<br />
brøk, teller, operant, addisjon<br />
osv. Dette er nødvendig for å<br />
kunne snakke om matematikken<br />
"Bruk"<br />
og ikke i stand <strong>til</strong> sekvensiell prosessering av<br />
"Emosjonelt"<br />
"Bruk"<br />
og ikke i stand <strong>til</strong> sekvensiell prosessering av<br />
Problembehandling og<br />
Holdninger, "Emosjonelt" "angst"<br />
Problembehandling bruk av matematisk 32 og<br />
Totalsituasjonen<br />
Holdninger, "angst"<br />
bruk forståelse av matematisk i 32<br />
eleven Totalsituasjonen<br />
har<br />
forståelse hverdagssituasjoner i<br />
eleven har<br />
hverdagssituasjoner<br />
Fig. 7: Fire matematiske kompetanseområder.<br />
Fig. 7: Fire matematiske kompetanseområder.<br />
64 Johnsen, F., 2004.<br />
65 Niss, M., 2001.<br />
34
”Bruk”<br />
Dette er problemløsning og <strong>det</strong> å kunne bruke matematikken i hverdagen. Skal en kunne ”se” løsninger<br />
og legge en tallstruktur på hverdagen, krever <strong>det</strong> visuo-spatial ferdighet og også sekvensiell<br />
ferdighet. 66 En kan s<strong>til</strong>le spørsmål om eleven selv har hatt mulighet <strong>til</strong> å løse matematiske problem,<br />
gjerne knyttet <strong>til</strong> hans eller hennes egen hverdag? - Har <strong>det</strong> vært arbei<strong>det</strong> med å beskrive ulike hverdagssituasjoner<br />
og se på sammenhenger ved å lage modeller? Slike modeller kan være helt enkle<br />
tegninger (nærmest illustrasjoner), og de kan være kompliserte funksjoner.<br />
”Prosedyrer”<br />
Skal eleven mestre matematikken, må de seks emnene vi har drøftet tidligere, fungere. En må<br />
s<strong>til</strong>le spørsmål om eleven er vant med å bruke symboler, ikke bare tall og operasjonssymbolene, men<br />
også diagrammer og tabeller. - Hvilke hjelpemidler er eleven fortrolig med? Det er viktig å kunne<br />
bruke kalkulator, men også en linjal (og en tallinje) kan være viktige hjelpemiddel.<br />
”Emosjonelt”<br />
Noen elever har <strong>det</strong> vi kaller ”matematikk-angst”. Det har bygd seg opp følelser og holdninger<br />
som helt kan blokkere for den videre læringen av matematikken. 67 En kan da s<strong>til</strong>le spørsmål om<br />
eleven har opplevd mange nederlag i faget, noe som lett kan gi et redusert selvbilde. Vi vet at elever<br />
med svakt selvbilde ofte også har matematikkvansker. 68 Dette blir lett en ond sirkel som må brytes:<br />
Du får ikke <strong>til</strong> matematikken og får dårligere selvbilde. På grunn av <strong>det</strong> dårlige selvbil<strong>det</strong> får du ikke<br />
<strong>til</strong> matematikken.<br />
Muligens har <strong>det</strong>te sammenheng med at angsten som oppstår i <strong>til</strong>knytning <strong>til</strong> matematikkvanskene,<br />
påvirker hukommelsesfunksjonene (se kap. 2 om kjennetegn) og tenkingen og således den<br />
matematiske ferdigheten. 69<br />
Kompass for å finne retningen mot mestring 70<br />
Ved hjelp av disse fire områdene kan vi beskrive den tidligere undervisningssituasjonen eleven<br />
har vært i. Ofte kaller vi slike situasjoner for kontekster (sammenhenger) fordi elevens opplevelse av<br />
situasjonen bygger på hele situasjonen – også <strong>det</strong> som ikke har noe med matematikken å gjøre.<br />
Den <strong>til</strong>passede opplæringen skal være en ny situasjon, en ny kontekst. Vi kan kalle den for K 2<br />
i<br />
motsetning <strong>til</strong> K 1<br />
som var den første – og hvor matematikkvanskene oppstod. - Husk at <strong>det</strong> er viktig<br />
at K 1<br />
er forskjellig fra K 2<br />
.<br />
Ofte vil <strong>det</strong> være slik at lærerne diskuterer hvordan undervisningen har vært og skal være. En<br />
hjelp ved denne samtalen kan være å ta i bruk <strong>det</strong> vi nå har beskrevet ved å sette <strong>det</strong> sammen i en<br />
modell, kompassmodellen.<br />
Vi tenker oss nå at vanskene har oppstått i et samspill mellom de tre delene av den innerste sirkelen<br />
sett i forhold <strong>til</strong> de 4 områdene i den ytterste sirkelen, se figurene 6 og 7. <strong>Nå</strong>r <strong>det</strong>te kombineres,<br />
får vi et ”kompass”, se figur 8. K 1<br />
er den nåværende situasjonen (eller konteksten), og pilen viser<br />
retningen mot den nye situasjonen, K 2<br />
. - Det er der mestringen skal skje!<br />
66 Helland, T., 2002, bruker betegnelsen visuo-sekvensielle vansker og poengterer at <strong>det</strong> er vansker med å<br />
overføre informasjon fra korttidshukommelsen <strong>til</strong> langtidshukommelsen, samt vansker med å huske og<br />
gjenkalle helheter (spesielt presentert verbalt) og ikke i stand <strong>til</strong> sekvensiell prosessering av bitene i informasjonen<br />
(<strong>til</strong> en helhet). Det er denne helhetsoppfatningen som er sentral ved problemløsning, dvs. ved<br />
bruk av matematikken.<br />
67 Johnsen, F., 2004.<br />
68 Linnanmäki, K. 2006.<br />
69 Aschraft & Kirk, 2001.<br />
70 Det følgende er basert på en artikkel om <strong>det</strong>te av Dalvang & Lunde, 2006.<br />
35
Dette kan vi bruke på flere måter i en pedagogisk planleggingssamtale. En måte er å se på hvilket<br />
av de 4 områdene som eleven ser ut <strong>til</strong> å streve mest med ut fra hvilke kjennetegn eleven har, og så<br />
se på de tre feltene i den innerste sirkelen i forhold <strong>til</strong> den.<br />
I figur 8 er <strong>det</strong>te illustrert ved at eleven ser ut <strong>til</strong> å streve mye med å forstå. Derfor er <strong>det</strong> s<strong>til</strong>t inn<br />
en rød pil på denne. Vi dreier så den innerste sirkelen og ser på samspillet mellom de læringsforutsetningene<br />
eleven har for å mestre kommunikasjonen, hvordan undervisningen har vært utformet for<br />
å gi rom for arbeid med tenking og resonnering, og innholdsmessig hvilken kommunikasjon som har<br />
vært dominerende.<br />
"Forstå"<br />
Resonnement,<br />
tankegang og<br />
kommunikasjon<br />
"Prosedyrer"<br />
Tallforståelse,<br />
bruk av symboler<br />
og fremgangsmåter<br />
"Bruk"<br />
Problembehandling og<br />
bruk av matematisk<br />
forståelse i<br />
hverdagssituasjoner<br />
Elevens læringsforutsetninger<br />
Undervisningens<br />
K1<br />
form<br />
Undervisningens<br />
innhold<br />
"Emosjonelt"<br />
Holdninger, "angst"<br />
Totalsituasjonen<br />
eleven har<br />
K2<br />
Fig. 8: Kompassmodellen<br />
Ut fra <strong>det</strong> som da avtegner seg, kan vi utforme den nye situasjonen (K 2<br />
) ut fra de to prinsippene<br />
om at a) eventuelle huller skal nå dekkes, og b) den nye situasjonen skal være annerledes enn den<br />
første. Ofte blir <strong>det</strong> en avvegning mellom disse to prinsippene.<br />
Vi kan også bruke modellen som et verktøy for utformingen av matematikkundervisningen for<br />
mange elever hvor en forsøker å <strong>til</strong>passe <strong>til</strong> den enkelte. Da kan en velge <strong>det</strong> emneområ<strong>det</strong> som er<br />
aktuelt i den ytterste sirkelen, og så se på hvordan elevenes forutsetninger er (hva kan de fra før osv.),<br />
og på hvilke konsekvenser <strong>det</strong> gir for undervisningen og for innhol<strong>det</strong> ved å dreie på den innerste<br />
sirkelen.<br />
En modell er en illustrering eller konstruksjon som er en gjengivelse i en forenklet form. Modellen<br />
bruker vi <strong>til</strong> å studere egenskaper og oppførsel av fenomener enklere og mer effektivt enn om <strong>det</strong><br />
gjøres direkte. Det er enklere å først bruke en slik modell i en pedagogisk planleggingssamtale enn<br />
å direkte begynne å prøve ut den <strong>til</strong>passede opplæringen på eleven(e).<br />
36
Derfor kan vi også omforme kompassmodellen <strong>til</strong> å få fram samspillet ut fra de 6 emnene vi har<br />
sett på tidligere, nemlig Telling, Antallsforståelse, Sammenligning av to tall, Plassverdi, Utregninger<br />
(aritmetikk) og Estimering (overslagsregning). Da skifter en ut de 4 områdene med disse 6 emnene.<br />
Selv synes <strong>jeg</strong> at bruken av de fire områdene gir <strong>det</strong> beste totalbil<strong>det</strong> av elevens situasjon og hva<br />
som bør gjøres. Detaljene får <strong>jeg</strong> ved å bruke skjemaet (tabellen). Dette er en enkel måte <strong>til</strong> raskt å<br />
komme i gang med <strong>til</strong>passet opplæring for en elev med matematikkvansker.<br />
Oppsummering og konklusjon<br />
Ut fra kjennetegnene og <strong>det</strong> vi vet om eleven, kan vi ved hjelp av denne kompassmodellen lage<br />
en grov skisse av hvordan den <strong>til</strong>passede opplæringen skal utformes. Detaljene som skal settes inn,<br />
vil vi komme <strong>til</strong>bake <strong>til</strong> i kap. 8.<br />
Det ser ut <strong>til</strong> at vi har et bedre utgangspunkt for utformingen av den <strong>til</strong>passede opplæringen ved å<br />
bruke en slik modell, enn ved å bruke tradisjonelle matematikkprøver som grunnlag. Det er praktisk<br />
talt ikke noen effekt av den tradisjonelt utformede spesialpedagogiske og kompensatoriske hjelpen i<br />
skolen når <strong>det</strong> gjelder matematikkvansker. 71<br />
Vi må vite noe om elevens totale situasjon, noe om den forkunnskapen eleven har innen matematikken<br />
og forsøke å gjøre undervisningen annerledes enn tidligere.<br />
Husk: Det betyr ikke at <strong>det</strong> som har vært gjort før, er dårlig, og at <strong>det</strong> nye er så mye bedre.<br />
Kjernen er at eleven lærer bedre når <strong>det</strong> er annerledes.<br />
71 Se f. eks. Kavale & Forness, 1999 og Magne, 2003, sidene 22-24.<br />
37
38
5. Hvorfor har ikke Bob-Kåre lært<br />
matematikken?<br />
Det vet vi lite om! Men <strong>det</strong> er et naturlig spørsmål fra foreldre, og <strong>det</strong> er tanker enhver lærer gjør<br />
seg.<br />
Vi har tidligere sett på 6 områder som ser ut <strong>til</strong> å være sentrale kjennetegn på om en elev har matematikkvansker.<br />
Det er sammensatte prosesser som ligger bak disse.<br />
Telling består i alle fall av tre viktige element, nemlig en verbal prosess (si navnene som verbale<br />
symboler), en motorisk prosess hvor fingrene brukes (peketelling, flytte objekter) og en sekvensiell<br />
ferdighet (forståelse av hvordan tellingen skal foregå). Det å lære seg selve tallrekken, er ikke så<br />
vanskelig. Det viktige er at barnet lærer de grunnleggende reglene som ligger bak tellingen. Disse<br />
reglene inkluderer en-<strong>til</strong>-en korrespondanse (bare ett tallord skal knyttes <strong>til</strong> hvert objekt som telles),<br />
fast rekkefølge (tallordene skal alltid brukes i en bestemt rekkefølge), og mengdeforståelse ( at verdien<br />
på <strong>det</strong> siste or<strong>det</strong> som sies, også betegner antallet som er talt).<br />
Svært ofte lærer barna å telle fra venstre mot høyre, og de teller objektene i ”fast” rekkefølge.<br />
Det er viktig at de også kan bruke tellingen mer fleksibelt, men at de har med seg regelen om at hvert<br />
objekt bare skal telles en gang.<br />
Antallsforståelse er viktig og et meget omfattende fenomen. Men noe av <strong>det</strong> grunnleggende som<br />
vi ser svikter hos barn med matematikkvansker, synes å være evnen <strong>til</strong> å gruppere sammen ulike<br />
objekter og se dem som en samlet mengde. Også <strong>det</strong> motsatte er viktig: <strong>det</strong> å kunne identifisere<br />
enkelte objekter i en mengde og se for seg at en mengde kan deles opp. Disse prosessene ser ut <strong>til</strong> å<br />
ha sammenheng med ferdighet i å diskriminere mellom ulike mengder. (Hva er mest av 3 eller 5?)<br />
Dette har også sammenheng med ferdighet i å oppfatte visuelle mønstre og sette observasjonene inn<br />
i en meningssammenheng. Noe av <strong>det</strong>te er medfødte prosesser, men noe er også lært. Nærmere 95<br />
% av barn fra hjem med høy sosial status, klarer oppgaven ”Hva er størst av 4 eller 5?”. Bare 20 %<br />
av barna fra hjem med lav sosial status klarer denne oppgaven. 72<br />
Sammenligning av to tall er en sammensatt prosess som trolig er en kombinasjon av medfødte<br />
og <strong>til</strong>lærte egenskaper. Plassverdi, enkel aritmetikk og overslagsregning (estimering) er også slike<br />
sammensatte prosesser.<br />
Vi vil alltid tolke <strong>det</strong> vi ser av slike kjennetegn ut fra oppfatninger om årsaksforhold. Dette illustreres<br />
ved at Sjøvoll (2003) finner at hele 75 % av lærerne mener at matematikkvansker først og<br />
fremst skyldes lese- og skrivevansker eller manglende språk- og begrepsforståelse. Dette er forståelig<br />
fordi tekstoppgavene i matematikk setter krav også <strong>til</strong> <strong>det</strong> å kunne lese. Har eleven problemer på<br />
<strong>det</strong>te områ<strong>det</strong>, vil <strong>det</strong> også føre <strong>til</strong> problemer når oppgaven skal løses. Eleven blir rett og slett ”slått<br />
ut i første runde”! Men <strong>det</strong> at eleven har problemer med å lese eller å forstå begreper, sier ingenting<br />
om at vedkommende har problemer med å forstå logikken i faget matematikk.<br />
På samme måte som vi finner forskjeller mellom individer, finner vi også forskjeller innen hvert<br />
individ. Det er ikke vanskelig å påvise forskjeller innen en elevs regneferdighet: En elev løser ett<br />
og samme problem på ulike måter avhengig av sammenhengen <strong>det</strong> presenteres i (dvs. av konteksten<br />
oppgaven står i).<br />
Om en elev kan følge en bestemt regneregel (strategi), sier <strong>det</strong> ikke så mye om forståelsen av <strong>det</strong><br />
matematiske, - men kanskje mer om hvor godt regelen ble lært og husket. Det å glemme er neppe<br />
<strong>det</strong> samme som <strong>det</strong> vi tenker på når vi skal drøfte årsaker <strong>til</strong> matematikkvansker!<br />
Vi skal i <strong>det</strong> følgende se på 4 ulike forklaringsmåter <strong>til</strong> matematikkvansker. 73 Den medisinske/<br />
nevrologiske, den psykologiske, den sosiologiske og den didaktiske.<br />
72 Gersten, Jordan & Flojo, 2005, side 297.<br />
73 Lunde, O., 2008, s. 106ff.<br />
39
Den medisinske/nevrologiske forklaringsmåten<br />
Fokus rettes her mot elevens kognitive funksjoner og deres basis i hjernen. Disse funksjonenes<br />
møte med miljøet er avgjørende for prestasjonene Bob-Kåre gjør på ulike områder.<br />
Det dreier seg om hvordan informasjonen bearbeides i hjernen via funksjoner som hukommelse,<br />
oppmerksomhet og fores<strong>til</strong>lingssystemer. Tradisjonelt har definisjonen av spesifikke matematikkvansker<br />
(”utviklingsdyskalkuli”) vært knyttet <strong>til</strong> nevropsykologiske forklaringsmåter om atferd.<br />
I Norge har Fritz Johnsen arbei<strong>det</strong> ut fra en slik modell. Han viser <strong>til</strong> at bestemte deler av hjernen<br />
synes å være meget sentrale ved løsningen av forskjellige regneoppgaver (møtet med <strong>det</strong> ytre miljøets<br />
krav), slik vi har skissert i forbindelse med de seks grunnleggende ferdighetene.<br />
Men også <strong>det</strong> vi kaller metakognisjon avhenger av funksjoner i hjernen og da spesielt knyttet <strong>til</strong><br />
<strong>det</strong> vi kaller ”hjernens kommandosystem”. 74 Metakognisjon består av overvåking og regulering av<br />
de kognitive prosessene og er sentral i planlegging, problemløsning, evaluering og ulike sider ved<br />
språklig læring. Sagt på en annen måte: En må vite hva en vet (og ikke vet), og hva en skal gjøre.<br />
Vesentlige funksjoner blir da <strong>det</strong> å starte på en oppgave, bearbeide informasjonen, lage en plan og<br />
gjennomføre den. Spesifikke matematikkvansker dreier seg oftest ikke om skader, sier Johnsen, men<br />
er uttrykk for normalt forekommende forskjeller i og ferdigheter på genetisk grunnlag. Alle mennesker<br />
har sterke og svake sider. Hos noen er deler av eller hele matematikken en slik svak side, og<br />
av og <strong>til</strong> i en slik grad at <strong>det</strong> faller utenom normal variasjon. 75<br />
Psykologiske forklaringsmåter<br />
Årsaken <strong>til</strong> matematikkvanskene søkes i manglende anstrengelse/motivasjon eller konsentrasjonsvansker<br />
hos eleven, i angst (prestasjonsangst) og holdninger <strong>til</strong> faget matematikk, eller i ulike<br />
kognitive funksjoner, f. eks. tankestrategier, persepsjon, hukommelse og lignende. Enkelt kan vi si<br />
at elevens ”ytre miljø” påvirker (forstyrrer) <strong>det</strong> ”indre miljøet” slik at vansker oppstår. Også språkferdigheten<br />
og begrepsutviklingen er eksempler på slike psykologiske forklaringsmåter.<br />
Vi finner slike forklaringsmåter innenfor både smale og brede definisjoner av matematikkvansker.<br />
I Norge er <strong>det</strong> spesielt Snorre Ostad som har arbei<strong>det</strong> med matematikkvansker ut fra et psykologisk<br />
fokus. Ostad har arbei<strong>det</strong> med ”backup-” og ”retrieval-strategier”, og forskningen hans viser<br />
at elever med matematikkvansker bruker færre og mer primitive strategier enn elever uten vansker<br />
gjør. 76<br />
De siste årene har han også rettet fokus mot <strong>det</strong> han kaller ”subvokal tale” (indre eller privat tale).<br />
Det er tale som ikke klart og entydig adresseres <strong>til</strong> en eller flere <strong>til</strong>hørere og <strong>det</strong> utgjør en stor del av<br />
førskolebarns verbale ytringer i naturlige gruppe- eller klasseromssituasjoner. 77 Han vil undersøke<br />
om en mangelfull eller uhensiktsmessig fonologisk prosessering kan bidra <strong>til</strong> utviklingen av matematikkvansker.<br />
Ostad viser <strong>til</strong> at språklyder (fonologiske prosesser) blir aktivisert når en elev løser oppgaver i<br />
matematikk. Han gir som eksempel at når en elev leser en oppgave i læreboka og skal skrive den i<br />
kladdeboka, sier eleven tallene (og annen informasjon) inni seg. Da fungerer denne private, indre<br />
talen som et forflytningsredskap. Men slike fonologiske prosesser er viktige både for å gjøre kunnskaps<strong>til</strong>egnelsen<br />
(læringen) mer funksjonell, og som framhentingsredskap for bruken av kunnskapen.<br />
74 Dette er lokalisert <strong>til</strong> pannelappen og de prefrontale områdene.<br />
75 Johnsen, F., 2005.<br />
76 Ostad, S., 1999.<br />
77 Ostad, S., 2003.<br />
40
Opp gjennom førskoleårene vil barnet gradvis beherske prosesser som innebærer ”å tenke i ord”<br />
uten å uttale dem. Barn som aktivt bruker en slik indre stemme når de skal løse oppgaver, har bedre<br />
prestasjoner enn barn som har liten bevissthet om bruk av indre stemme. Det å stimulere <strong>til</strong> bruk av<br />
privat tale, vil da kunne være et virksomt middel <strong>til</strong> å forebygge lærevansker.<br />
Begrepsutviklingen og språkferdigheten har stor betydning for den matematiske kompetansen.<br />
Det gjelder både hvordan situasjoner (erfaringer) og oppgaver tolkes og forstås, men også hvordan<br />
<strong>det</strong>te kommuniseres. <strong>Nå</strong>r informasjon (ny kunnskap) skal lagres i hukommelsen, må den kodes (gis<br />
en slags etikett for å kunne kjennes igjen og hentes fram igjen). Da er <strong>det</strong> begrepene som er helt<br />
sentrale ifølge Magne Nyborg. 78 Da vil en kunne konkludere med at en manglende språkferdighet<br />
kan være årsak <strong>til</strong> matematikkvansker<br />
Men vi kan også forstå situasjoner, og vi kan løse problem uten å ikle disse en språkdrakt. Dette<br />
kalles ofte ”taus kunnskap”. Mye matematisk ferdighet og forståelse har sitt opphav i slik ”taus<br />
kunnskap”. 79 Da er <strong>det</strong> mentale, visuelle bilder som blir brukt i tenkingen. Disse er lagret i hukommelsen<br />
vår, og vi snakker jo også om ”hukommelsesbilder”. Et bedre ord er kanskje fores<strong>til</strong>linger.<br />
Det er summen eller syntesen av slike hukommelsesbilder eller fores<strong>til</strong>linger som er grunnlaget<br />
for våre begreper. Vi må ikke tenke på begrepene som ord, men svært ofte er <strong>det</strong> nettopp <strong>det</strong> vi gjør.<br />
Språket, dvs. ord og setninger, er en oversettelse eller en beskrivelse av ikke-språklige bilder som står<br />
for enheter, hendelser, sammenhenger og konklusjoner. Ofte kaller vi <strong>det</strong>te for erfaringer.<br />
Erfaringene oppleves og knyttes <strong>til</strong> følelser. Før de skaper slike følelser, blir de tolket. Opplevelsene,<br />
tolkningene og følelsene er i grunnen <strong>det</strong> vi mener med tenking (”kognisjon”). Denne tenkingen gjør<br />
at vi i hjernen skaper et ikke-språklig kart over hendelser som er logisk forbun<strong>det</strong> med hverandre.<br />
80<br />
Nye hendelser og problems<strong>til</strong>linger kan settes inn i slike kart, og da vil en kunne se løsningen. I<br />
dagligtale bruker vi jo nettopp <strong>det</strong>te utrykket å ”se løsningen”.<br />
Mange elever med matematikkvansker kjennetegnes ved angst og følelsesmessige blokkeringer<br />
som forstyrrer læringssekvensen. Vi kan ha ulik oppfatning om <strong>det</strong> er matematikken i seg selv som<br />
kan skape slike reaksjoner, eller om <strong>det</strong> er en følge<strong>til</strong>stand av <strong>det</strong> å ikke mestre faget. Dette ligger tett<br />
<strong>til</strong> en negativ selvoppfatning, noe som kan ha ødeleggende virkning på matematikklæringen. 81<br />
Olof Magne har vært opptatt av angst i matematikklæringen, og han beskriver trinnene som preger<br />
utviklingen slik: 82<br />
• Uro oppstår: Eleven opplever vanskene, andre får <strong>det</strong> <strong>til</strong>…<br />
• Konflikt truer: Eleven strever. Han har håp om å få <strong>det</strong> <strong>til</strong>, men er redd for å mislykkes og hva<br />
<strong>det</strong> kan medføre.<br />
• Forventningene blir skremmende: Eleven gir opp. Han kan bli passiv og bare ”late som om han<br />
gjør noe”, eller aktivt utagerende: Velger å gjøre andre ting enn å arbeide med matematikk.<br />
Magne mener at slike psykologiske reaksjonsmønstre kan forklare <strong>det</strong> vi observerer av typiske<br />
atferdsmønstre hos elever med matematikkvansker.<br />
78 Nyborg, M., 1999.<br />
79 Polanyi, M., 2000.<br />
80 Damasio, 2002, side 179<br />
81 Linnanmäki, 2006.<br />
82 Magne, O., 1997.<br />
41
Sosiologiske forklaringsmåter<br />
Sosiale og kulturelle forhold, miljøfaktorer, sosial deprivasjon og lignende forhold kan forstyrre<br />
læringssekvensen i matematikk og gi vansker. Eleven kan f. eks. komme fra et understimulert miljø<br />
og har ikke de nødvendige læringsforutsetningene i form av erfaringer (og språkferdighet). Det ”ytre<br />
miljøet” (den konteksten hvor læringen skjer) har medført at læringsforutsetningene mangler, er<br />
u<strong>til</strong>strekkelige eller kanskje annerledes enn <strong>det</strong> undervisningen i skolen forutsetter. Slik sett formes<br />
også elevens ”indre miljø” som forutsetning for å lære, men <strong>det</strong> har ikke skjedd noen strukturelle<br />
endringer i eleven. Eleven fungerer helt normalt ut fra <strong>det</strong> samlede sett av påvirkninger. Det kan<br />
være <strong>til</strong>felle ved tospråklige elever som har vansker med skolematematikken. 83<br />
Den matematiske ferdigheten og forståelsen som de har fra sitt morsmål, blir ikke automatisk<br />
overført <strong>til</strong> skolesituasjoner basert på et annet språk. Matematikken er absolutt ikke et kulturuavhengig<br />
fag!<br />
De senere årene har en innen matematikkdidaktikken fokusert på konteksten, dvs. den sitasjonen<br />
eller sammenhengen hvor læringen foregår. Forskning viser at læring er kontekstavhengig, og<br />
mange nyere læreverk fokuserer sterkt på å bygge opp slike kontekster.<br />
Også foreldrenes forhold <strong>til</strong> og oppfatning av hvor viktig <strong>det</strong> er å lære matematikk, virker inn på<br />
barnets læring. Barnet lærer ved å imitere de voksnes atferd, og de lærer fra de voksne hvordan læringen<br />
skal skje. Trude Fosse 84 viser hvordan førskolebarn som leker skole, utformet norsktimer og<br />
matematikktimer på ulike måter. Hun s<strong>til</strong>ler <strong>det</strong> retoriske spørsmålet: ”Hvor har de <strong>det</strong> fra?”<br />
Didaktiske forklaringsmåter<br />
Fokus rettes her mot feil undervisningsmetoder, ensidig ferdighetstrening, gal progresjon m.v.<br />
overfor denne bestemte eleven med sine spesifikke hindringer for læring, ofte knyttet <strong>til</strong> de tre andre<br />
forklaringsmåtene, når han/hun skal møte matematikken for første – og for andre gang.<br />
Fra mange hold rettes <strong>det</strong> kritikk mot den tradisjonelle matematikkundervisningen hvor timen<br />
starter med gjennomgang av gårdsdagens lekse, så følger gjennomgang av nytt stoff. Deretter skal<br />
eleven øve seg på bestemte oppgaver. Alt er samlet på et par sider i læreboka og skal gjøres ferdig<br />
hjemme.<br />
Som et alternativ <strong>til</strong> denne undervisningsformen, har en de siste årene rettet fokus mot en konstruktivistisk<br />
og dynamisk utformet undervisning som fokuserer på å arbeide i elevens nære sone<br />
hvor eleven i langt større grad enn ellers selv oppdager og utvikler den matematiske forståelsen. 85<br />
Denne konstruktivistisk og dynamisk pregede undervisningsformen har blitt fremholdt som velegnet<br />
for elever med matematikkvansker. 86<br />
Matematikkopplæring som baserer seg på et konstruktivistisk læringssyn, vil trolig egne seg spesielt<br />
godt <strong>til</strong> opplæring av elever med matematikkvansker, blant annet fordi den i mindre grad krever<br />
at elevene skal memorere kunnskapsstoff med lite meningsbærende elementer. De indre kognitive<br />
prosessene og <strong>det</strong> ytre miljøet kan ikke holdes atskilt. Hovedideen innenfor konstruktivismen er at<br />
mennesker konstruerer mentale modeller eller representasjoner av egen fysisk og sosial virkelighet<br />
gjennom handling, aktivitet, tenking og refleksjon. Med mentale fores<strong>til</strong>linger menes fores<strong>til</strong>linger<br />
som skapes i personens egen tankeverden og representerer erfaringer fra virkeligheten. Erfaringene<br />
som i begynnelsen er konkrete, utvikles etter hvert <strong>til</strong> fores<strong>til</strong>linger på <strong>det</strong> mentale planet løsrevet fra<br />
den fysiske virkeligheten. Dette er vesentlig ved logisk tenking.<br />
83 ”Påfører vi minoritetsspråklige elever lærevansker i matematikk i skolen?” Se Lunde, 2005.<br />
84 Fosse, T., 1996.<br />
85 Dalvang & Lunde, 2005. (Se også Rossing, 2007, om hvordan slik matematikkundervisning kan utformes.)<br />
86 Holm, M., 2002.<br />
42
I Norge har Forum for matematikkmestring ved Sørlan<strong>det</strong> kompetansesenter, rettet søkelyset på<br />
disse forholdene og de mulighetene <strong>det</strong> gir for å utforme en <strong>til</strong>passet opplæring for elever med matematikkvansker<br />
og også forebygge slike vansker.<br />
Oppsummering og konklusjon<br />
Kjennetegnene på vansker i matematikk er stort sett de samme uansett forklaringsmåte. Men når<br />
<strong>det</strong> gjelder utformingen av <strong>til</strong>tak, har den spesialpedagogiske årsaksforståelsen en viss betydning.<br />
Olof Magne 87 hevder at matematikkvansker ikke skyldes en bestemt faktor, men er et resultat<br />
av samspill mellom flere. Han sier også at en ikke ut fra bestemte regnefeil kan si noe om mulige<br />
årsaksforhold (bortsett fra enkelte misoppfatninger).<br />
Vanskene i matematikk er satt sammen av faktorer fra tre ”årsaksdimensjoner”, nemlig stimulusdimensjonen<br />
(rammefaktorer, skole, læreplan), responsdimensjonen (elevens individuelle særtrekk,<br />
evner, erfaringer etc.) og den sosiale dimensjonen (sosial interaksjon, normer, forventninger, kontekstsituasjonen).<br />
Vi ser at en slik multi-faktorell samspillsmodell tar opp alle de fire forklaringsmåtene og samtidig<br />
kan gi en presis beskrivelse av hvordan vanskene arter seg for en bestemt elev i en gitt situasjon.<br />
87 Magne, O., 2003<br />
43
44
6. Hva betyr <strong>det</strong> at noe er lært?<br />
Det å ha lært noe, kan bety ulike ting.<br />
Det kan bety at eleven bare skal kjenne igjen stoff. Det er slik vi tenker når vi gir oppgaver hvor<br />
eleven skal sette kryss for rett svar ut fra valgalternativer. Vi tenker av og <strong>til</strong> også at noe er lært når<br />
<strong>det</strong> kan gjengis ut fra bestemte stikkord. Ofte s<strong>til</strong>ler vi som lærere spørsmål som halve setninger, og<br />
så skal eleven komme med <strong>det</strong> rette svaret. ”Tre pluss to bli lik ???” Og vi kan se på <strong>det</strong> at noe er<br />
lært som kan brukes <strong>til</strong> å løse problemer. I matematikken gir vi da ofte tekstoppgaver. Da er tanken<br />
at en skal vise gjennom ferdighet hva en har lært.<br />
Det at noe er lært, betyr at <strong>det</strong> mestres. Men mestringsbegrepet kan ha flere ulike betydninger. En<br />
betydning kan være at eleven får realisert sitt læringspotensial. En annen måte å tenke mestring på,<br />
er å se på elevens egen, subjektive opplevelse. Læringen er alltid ledsaget av følelser, og <strong>det</strong> som er<br />
knyttet <strong>til</strong> ”gode følelser” læres raskere og med bedre motstand mot glemsel, enn <strong>det</strong> som er knyttet<br />
<strong>til</strong> ”vonde følelser”.<br />
Vi må derfor også ha med i tankene at eleven har erfart at <strong>det</strong> ofte fins muligheter og ubrukte<br />
sider i en selv, at en alltid har en plass i arbeidsfellesskapet på skolen, at <strong>det</strong> å ha erfart at å arbeide<br />
godt med en oppgave kan gjøres på mange ulike måter, og at mestring handler om å ha erfart at en<br />
er viktig.<br />
Disse situasjonene kan være kjente eller nye. Ofte vil vi si at når <strong>det</strong> vi vet kan brukes også i nye<br />
situasjoner, da er <strong>det</strong> lært. 88<br />
Overføring av læring<br />
Enkelt kan vi si at da er <strong>det</strong> som ble lært i en situasjon blitt overført <strong>til</strong> en ny situasjon. Den ene<br />
situasjonen er en læringssituasjon, den andre er en brukssituasjon. Jo mer like de to situasjonene er,<br />
desto lettere blir overføringen av ”<strong>det</strong> lærte” mellom situasjonene.<br />
Dette har betydning for hvordan vi kartlegger vansker og utformer tester og prøver. Men <strong>det</strong> har<br />
også betydning for hvordan vi utformer undervisningssituasjonen. Den bør utformes mest mulig lik<br />
den situasjonen hvor vi vil at matematikken skal brukes.<br />
Først og fremst tenker vi at matematikken skal brukes i hverdagssituasjoner for å løse problemer<br />
der. Da må vi også i undervisningen fokusere på hverdagsmatematikk og legge <strong>det</strong>te mest mulig opp<br />
<strong>til</strong> den situasjonen eleven er i nå.<br />
Hverdagsmatematikk<br />
Matematikken i samfunnet blir på flere områder mer og mer skjult, og mange regner lite. Mange<br />
betalingssystemer er for eksempel automatisert. Selv om mye skjer automatisk, er <strong>det</strong> for den enkelte<br />
nødvendig å kunne kontrollere og vurdere tallmateriale.<br />
Dette kan foregå på tre nivå 89 :<br />
88 Magne Nyborg legger vekt på en slik tolkning av <strong>det</strong> å ha lært: At <strong>det</strong> kan brukes i nye situasjoner.<br />
89 Se www.vox.no.<br />
45
Det første nivået dreier seg om å kjenne <strong>til</strong> og kunne bruke matematisk informasjon. Det kan f. eks.<br />
være å lese en bruksanvisning der trinnene er nummerert, kunne bygge med Lego (telle festepunkter,<br />
vurdere form og størrelse), bruke en matoppskrift, forstå kalender med datoer, lese buss- og togtabeller<br />
og kunne klokken, forstå reglene i Ludo, bruke terning <strong>til</strong> å trille med, forstå fotballresultater, lese<br />
værkartet i avisen eller på skjermen. Alt <strong>det</strong>te krever god tallforståelse og oppfatning av former og<br />
relasjoner. Det siste vil si at ting står i forhold <strong>til</strong> hverandre, f. eks. først, sist eller i midten.<br />
Det andre nivået er å kunne regne og bearbeide den matematiske informasjonen. Det må vi når<br />
vi skal kjøpe noe og betale med penger. Målestokk trenger vi når vi skal lage en tegning av rommet<br />
eller bruke et kart. Spill som Monopol og Yatzy krever regning og bearbeiding av matematisk<br />
informasjon. Statistikk er også slik anvendt matematikk: Hvor mange røde gensere har du, og hvor<br />
mange er blå? Og kjører du bil, må du kunne vurdere fri høyde under en jernbanebro!<br />
Det tredje nivået er å kunne trekke ut resultater og kommunisere matematisk informasjon. Det<br />
kan være slike ting som bruken av ukepenger, sammenligne priser og regne om valuta når en er i<br />
utlan<strong>det</strong>. I og med at en skal kunne kommunisere resultatene, må en kunne skrive tall og også ha en<br />
språkferdighet med hensyn <strong>til</strong> de vanlige matematiske begrepene.<br />
De tre nivåene i hverdagsmatematikken griper inn i hverandre. Som elev i første årstrinn kan du<br />
være med foreldrene på ferie i utlan<strong>det</strong>. Men skal du ha forståelse av at <strong>det</strong> er andre slags penger de<br />
bruker, må du gjøre bruk av de to andre nivåene samtidig.<br />
Hvordan kan <strong>jeg</strong> da få eleven <strong>til</strong> å lære?<br />
Det er omtrent umulig å gi noe enkelt svar på <strong>det</strong>te.<br />
Men kanskje er der en gevinst å hente i å se mulighetene elevene har, ikke bare vanskene! Ofte<br />
vil lærere som har elever med lærevansker, ha fokus på de mange vanskene som elevene strever med,<br />
og ha minimale forventninger om hva elevene kan oppnå. Forsøk ble gjort med å gi lærerne informasjon<br />
om ulike undervisningsmåter i matematikk som var utformet for vanlig klasseromsbruk, fulgt<br />
opp av veiledning i å <strong>til</strong>passe <strong>det</strong>te <strong>til</strong> de behovene elevene med matematikkvansker hadde. En fant<br />
da at <strong>det</strong> utviklet seg et rikt og inspirerende miljø for matematisk tenking og problemløsning. 90 Dette<br />
viste igjen både på elevenes holdning <strong>til</strong> matematikken og <strong>til</strong> deres prestasjoner.<br />
Oppsummering og konklusjon:<br />
Det er viktig å utforme hjelpen i matematikk etter de behovene eleven har og våge å prøve nye<br />
måter å undervise på. Det er også viktig å utforme matematikkundervisningen med tanke på de situasjonene<br />
hvor matematikken skal brukes. Det å bygge opp rundt hverdagsmatematikk, synes ofte<br />
å være bra. Se Tillegg B hvor <strong>det</strong> er vist hvordan en kan legge en tallstruktur på hverdagen i første<br />
klasse.<br />
Elever med matematikkvansker tenker ofte at ”Matematikk kan <strong>jeg</strong> ikke lære!” Det er denne<br />
holdningen vi må endre <strong>til</strong> ”Jeg kan!” Og <strong>det</strong> klarer vi først og fremst ved at eleven selv opplever å<br />
mestre matematikken.<br />
- Og så se om eleven bruker den matematiske forståelsen og ferdigheten i <strong>det</strong> daglige, f. eks. når<br />
han eller hun er ordensmann og skal finne fram antall melkekartonger – når to av elevene er hjemme<br />
på grunn av sykdom!<br />
90 Clarke & Faragher, 2004.<br />
46
7. Har Bob-Kåre en lærevanske når han<br />
ikke lærer?<br />
Han har i alle fall vansker med å lære!<br />
I kap. 1 foreslo <strong>jeg</strong> at vi bruker betegnelsene matematikkvansker i vid betydning og spesifikke<br />
matematikkvansker der <strong>det</strong> ser ut <strong>til</strong> å gi en mer presis beskrivelse av vanskene eleven har. Men ofte<br />
er <strong>det</strong> vanskelig å dra noen klar grense mellom de to betegnelsene.<br />
Lærevanske vil si at <strong>det</strong> er en elev som har vansker med selve læringsprosessen. Vi har da lett for<br />
å tenke at da er <strong>det</strong> noe i vegen med eleven, og så må vi rette på <strong>det</strong>.<br />
Nyere forskning begynner å se på <strong>det</strong> tradisjonelle lærevanskebegrepet som litt utgått på dato. 91<br />
Kjernen i begrepet var en uventet underytelse hos eleven. Til tross for mye forskning rundt <strong>det</strong>te,<br />
finner vi ingen enighet om hvilke elever <strong>det</strong> gjelder eller hvilke kjennetegn de har.<br />
På engelsk har vi flere betegnelser som ofte blir oversatt <strong>til</strong> lærevansker på norsk. Learning disabilities<br />
blir ofte oversatt <strong>til</strong> spesifikke lærevansker. Begrepet dyskalkuli faller inn under <strong>det</strong>te.<br />
Men så brukes også mye uttrykket learning difficulties. Da konstaterer en bare et en elev har<br />
vansker med å lære bestemte fag eller deler av et fag uten å si noe om eleven ellers. Den bruken vi<br />
har av matematikkvansker, faller ofte inn under <strong>det</strong>te.<br />
Og så brukes learning disorders. Det kan vi kanskje best oversette med læringsforstyrrelse.<br />
Denne forstyrrelsen kan komme fra eleven selv, men også forhold utenom skolen kan forstyrre læringen.<br />
Ofte finner vi at <strong>det</strong> er de samme elevene som har vansker i flere fag – eller at de har flere ulike<br />
former for lærevansker.<br />
Selv er <strong>jeg</strong> skeptisk <strong>til</strong> bruken av lærevanske-begrepet. Jeg mener <strong>det</strong> er bedre å fokusere på målet<br />
for den <strong>til</strong>passede opplæringen og de spesialpedagogiske <strong>til</strong>takene. Målet er mestring. 92<br />
En annen klassifikasjon av lærevansker i matematikk<br />
Gunnar Sjöberg 93 vil ikke snakke om elever med matematikkvansker. I ste<strong>det</strong> snakker han om<br />
elever i matematikkvansker. Og <strong>det</strong> gir oss en litt annerledes måte å tenke på.<br />
Gjennom en omfattende undersøkelse av ungdomsskoleelever i Umeå, konkluderer han med at<br />
han ikke finner elever med de tradisjonelle lærevanske-etikettene. I ste<strong>det</strong> viser materialet hans at de<br />
elevene som er i matematikkvansker, kan beskrives på fire ulike måter.<br />
Først er <strong>det</strong> statistene. Dette er ofte jenter. Som statistene i en filminnspilling, deltar disse i<br />
matematikktimene ved å holde seg i bakgrunnen og gjøre så lite vesen av seg som mulig. De s<strong>til</strong>ler<br />
ingen krav, de bråker lite og søker ikke lærerens oppmerksomhet. Ved første blikk ser <strong>det</strong> ut som om<br />
de arbeider med matematikken også. De har bøkene framme, de holder i blyanten og kalkulatoren<br />
ligger på pulten. Men når en ser nærmere etter, bruker de tiden enten <strong>til</strong> diskret kontakt med andre<br />
elever eller er bare helt passive. De har ingen ambisjoner og forventninger om å få <strong>til</strong> matematikken.<br />
Ofte er disse elevene ganske aktive på fritiden og fungerer godt sosialt.<br />
91 Lyon et.al., 2002.<br />
92 Lunde,2001<br />
93 Sjöberg, G., 2006.<br />
47
Den andre gruppen kaller Sjöberg for ”fighters”. De er nesten motsetningen <strong>til</strong> den andre gruppen.<br />
De s<strong>til</strong>ler krav, tar konflikter og prøver selv å bestemme hva de skal og ikke skal gjøre. De<br />
skulker gjerne matematikktimene, og de hadde liten stabilitet i fritidsaktiviteter. Ofte var også hjemmesituasjonene<br />
deres preget av uro og skiftninger.<br />
Fighterne ligner på statistene ved at de ikke er aktive overfor <strong>det</strong> å lære matematikk. De leverer<br />
sjelden noe hjemmearbeid. Men de ville noe, og de hadde planer for egen fremtid.<br />
Capselevene var tydelig umodne og helt uinteresserte i skolen og i matematikk. De pratet åpenlyst<br />
om andre ting enn matematikk i timene, og de gjorde aldri noe hjemmearbeid. De gjorde seg bemerket<br />
i klassen ved å skape uro og småbråk og avviste hele skolen. Men så endret <strong>det</strong> seg den siste<br />
tiden før de skulle over i videregående. Da økte arbeidsinnsats og ønske om å lære matematikk.<br />
Askepottene er som i eventyret. De klarte seg godt de første årene på skolen i matematikk, men<br />
så stoppet <strong>det</strong> helt opp. Hele matematikken ble et stort mysterium, og tro på egen mestring forsvant.<br />
Noen av askepottene opplever forandring og gjør god fremgang.<br />
Denne siste gruppen er etter min mening meget interessant. Ofte ser vi at <strong>det</strong> er rundt overgangen<br />
fra tredje <strong>til</strong> fjerde klasse at <strong>det</strong> stopper opp. Ostad sier at matematikkvansker kjennetegnes ved en<br />
brå stagnasjon i den vanlige, matematiske utviklingen.<br />
Stoppen kommer kanskje av misoppfatninger. Eleven har lært de matematiske begrepene feil, og<br />
så fungerer <strong>det</strong> ikke lenger. Det er ikke lett hvis en mener at multiplikasjon alltid gjør større – og så<br />
ser at <strong>det</strong> ikke stemmer med brøk og desimaler. Det er som en propp som stenger for flyten i læringen.<br />
Da må vi finne den matematiske Plumbo som fjerner pluggen….<br />
I den daglige skolesituasjonen er <strong>det</strong> vel ofte slik vi opplever elevene og prøver å forholde oss <strong>til</strong><br />
dem. Derfor synes <strong>jeg</strong> denne måten å beskrive på, også sier noe om hvordan eleven selv opplever å<br />
ha matematikkvansker, og hvordan eleven prøver å forholde seg <strong>til</strong> vanskene. Og kanskje sier disse<br />
betegnelsene også noe om hva som er med og utløser og forsterker slike vansker.<br />
Hvis vi ser på lærebøkene i matematikk for barnetrinnet og mellomtrinnet, ser vi ofte en stor forskjell<br />
i krav om leseferdighet. Det kan være at leseferdigheten ikke er god nok på mellomtrinnet for<br />
noen elever, og slik dras da oppmerksomheten hos eleven bort fra matematikken.<br />
Sammensatte lærevansker – hva er <strong>det</strong>?<br />
Innen Statped 94 er matematikkvansker lagt <strong>til</strong> sentra for sammensatte lærevansker. Og så langt er<br />
<strong>det</strong> fornuftig: Matematikkvansker er så absolutt en sammensatt vanske.<br />
Men hva er en sammensatt lærevanske? Det er et særnorsk uttrykk som etter hvert har begynt å<br />
få innpass i fagmiljøet. Vanligvis tenker vi på fire ulike elevgrupper: 95<br />
- elever som har lærevansker og behov for <strong>til</strong>passet opplæring på grunn av store funksjonshemninger,<br />
for eksempel cerebral parese, autisme eller sansedefekter<br />
- elever som har særlig omfattende lærevansker, f.eks. psykisk utviklingshemming<br />
- elever som har kombinasjon av flere vansker, f. eks. lærevansker og atferdsvansker<br />
- elever for hvem <strong>det</strong> gjennom årene har bygget seg opp et betydelig misforhold mellom<br />
læreforutsetninger og <strong>til</strong>egnelse av sosiale og faglige ferdigheter”<br />
To av disse punktene er viktige for matematikkvansker. Det ene er at svært ofte finner vi matematikkvansker<br />
i kombinasjon med andre vansker. Ofte gjelder <strong>det</strong> lese- og skrivevansker og konsentrasjonsvansker<br />
(ADHD). Da blir <strong>det</strong> feil å sette i verk <strong>til</strong>tak for disse vanskene hver for seg. Vi<br />
må se dem samlet.<br />
94 Statlig spesialpedagogisk støttesystem<br />
95 Basert på Notat av Jarl Formo, Sørlan<strong>det</strong> kompetansesenter, datert 7. des. 2007<br />
48
<strong>Nå</strong> får <strong>jeg</strong> <strong>det</strong> <strong>til</strong>!<br />
konsentrasjonsvansker (ADHD). Da blir <strong>det</strong> feil å sette i verk <strong>til</strong>tak for disse vanskene hver for<br />
seg. Det Vi andre må se poenget dem samlet. er at <strong>det</strong> over tid har bygd seg opp et misforhold mellom læringsforutsetninger<br />
og <strong>til</strong>egnelsen av sosiale og faglige ferdigheter. Det gjelder for matematikkvansker, og for å hindre<br />
Det andre poenget er at <strong>det</strong> over tid har bygd seg opp et misforhold mellom<br />
læringsforutsetninger<br />
slikt misforhold, er <strong>det</strong><br />
og<br />
viktig<br />
<strong>til</strong>egnelsen<br />
å forebygge.<br />
av sosiale og faglige ferdigheter. Det gjelder for<br />
matematikkvansker, Internasjonalt begynner og for å en hindre å bruke slikt lignende misforhold, uttrykk. er <strong>det</strong> Spesielt viktig synes å forebygge. <strong>jeg</strong> complex barriers to learning<br />
Internasjonalt sier noe nytt. begynner en å bruke lignende uttrykk. Spesielt synes <strong>jeg</strong> complex barriers to<br />
learning Tidligere sier har noe vi nytt. ofte satt et skille mellom generelle lærevansker og spesifikke lærevansker. Jeg<br />
tror Tidligere <strong>det</strong> mer har korrekt vi ofte å satt tenke et skille et spektrum mellom av generelle læringsbarrierer lærevansker som og på spesifikke den ene lærevansker. siden handler Jeg om<br />
tror forhold <strong>det</strong> knyttet er mer <strong>til</strong> korrekt eleven å selv, tenke og et på spektrum den andre av siden læringsbarrierer <strong>til</strong> forhold utenfor som på personen. den ene siden Disse handler barrierene om<br />
forhold hindrer knyttet eller forstyrrer <strong>til</strong> eleven læringsprosessen.<br />
selv, og på den andre siden <strong>til</strong> forhold utenfor personen. Disse barrierene<br />
hindrer eller forstyrrer læringsprosessen.<br />
Tenk mestring ste<strong>det</strong> for vansker!<br />
Tenk mestring i ste<strong>det</strong> for vansker!<br />
<strong>Nå</strong>r vi tenker og snakker om lærevansker er <strong>det</strong> lett å fokusere på hva som hindrer. Men hvis vi<br />
tenker <strong>Nå</strong>r mestring, vi tenker er og <strong>det</strong> snakker lettere om å se lærevansker etter <strong>det</strong> som er <strong>det</strong> fremmer lett å mestringen. fokusere på hva Og som hensikten hindrer. med Men <strong>til</strong>passet hvis vi<br />
tenker opplæring mestring, er jo nettopp er <strong>det</strong> å lettere få <strong>til</strong> mestring. å se etter <strong>det</strong> som fremmer mestringen. Og hensikten med en<br />
<strong>til</strong>passet opplæring er jo nettopp å få <strong>til</strong> mestring.<br />
Hvis vi tenker læringsbarrierer i ste<strong>det</strong> for vansker, kan vi se på lærevansker som noe som forstyrrer<br />
Hvis<br />
selve<br />
vi<br />
læringssekvensen.<br />
tenker læringsbarrierer<br />
Dette er<br />
i<br />
skissert<br />
ste<strong>det</strong> for<br />
i figur<br />
vansker,<br />
9.<br />
kan vi se på lærevansker som noe som<br />
forstyrrer selve læringssekvensen. Dette er skissert i figur 9.<br />
Læringssekvensen starter i en undervisningssituasjon. Utformingen av undervisningen (bl.a. undervisningsmateriell),<br />
samt individuelle egenskaper hos eleven, vil være med og styre hva eleven<br />
Læringssekvensen starter i en undervisningssituasjon. Utformingen av undervisningen (bl.a.<br />
undervisningsmateriell), samt individuelle egenskaper hos eleven, vil være med og styre hva eleven<br />
oppfatter og tolker. Dette har sammenheng med sosiale og faglige rammefaktorer som fagplan,<br />
oppfatter og tolker. Dette har sammenheng med sosiale og faglige rammefaktorer som fagplan,<br />
materiell,<br />
materiell,<br />
ressurser<br />
ressurser<br />
og<br />
og<br />
lærerkompetanse.<br />
lærerkompetanse.<br />
Denne<br />
Denne oppfatningen<br />
oppfatningen<br />
har<br />
har<br />
betydning<br />
betydning<br />
for<br />
for<br />
den<br />
den<br />
videre<br />
videre<br />
læringen.<br />
læringen.<br />
Eleven<br />
Eleven<br />
oppfatter<br />
oppfatter<br />
og tolker<br />
og tolker<br />
ut fra<br />
ut<br />
sammenhengen<br />
og hvordan og hvordan ferdigheten ferdigheten kan kan ha ha betydning betydning for for egen egen mestring mestring av av hverdagssituasjoner. hverdagssituasjoner. I<br />
fra<br />
sammenhengen<br />
I denne denne prosessen prosessen er er språk språk og og begreper begreper viktig viktig da <strong>det</strong> da er <strong>det</strong> sentralt er sentralt i tenkingen. i tenkingen. Og <strong>det</strong> Og er <strong>det</strong> viktig er hva viktig eleven hva<br />
eleven vet og vet kan og fra kan før, fra da før, ny kunnskap da ny kunnskap alltid vil alltid bli vil satt bli sammen satt sammen med <strong>det</strong> med eleven <strong>det</strong> eleven vet fra vet tidligere. fra tidligere. Men<br />
Men denne denne prosessen prosessen kan også kan også bli forstyrret bli forstyrret av sosiale av sosiale og faglige og faglige forhold forhold utenfor utenfor eleven. eleven.<br />
Inni ho<strong>det</strong> hos eleven<br />
Sanse<br />
Oppfatte<br />
Erfare<br />
Språk og<br />
begreper<br />
(Tenking)<br />
Vet fra før<br />
(Tidligere<br />
erfaringer)<br />
Handling<br />
(I tankene/<br />
motorisk)<br />
"Undervisningen"<br />
Den spesialpedagogiske tenkingen<br />
"Forstyrrelser"<br />
"Kartlegging/testing"<br />
Sosiale og faglige rammefaktorer utenfor eleven<br />
Fig.9: Lærevansker sett som en forstyrrelse av læringssekvensen.<br />
Det vi kartlegger, er læringspotensialet og mestringen hos eleven. Det er ut fra denne kartleggingen<br />
at vi kan trekke konklusjoner om hva <strong>det</strong> kan være som har forstyrret læringssekvensen, og<br />
også om hva som kan gjøres med undervisningssituasjonen. Det er informasjonen vi kan hente ut av<br />
å se på læringssekvensen som danner grunnlaget for utformingen av den <strong>til</strong>passede opplæringen slik<br />
vi beskrev <strong>det</strong>te i forbindelse med ”kompassmodellen”.<br />
45<br />
49
Oppsummering og konklusjon<br />
Vi kartlegger bare resultatet av en forstyrrelse i læringsprosessen. Også de verktøy vi velger å<br />
bruke og vår tolkning av dem, er forhold utenom eleven. Denne prosessen fra undervisningen eller<br />
læringsarenaen <strong>til</strong> kartlegging/testing, er den vanlige læringssekvensen. Det er den som kan bli forstyrret,<br />
og da får vi manglende mestring.<br />
Vår forståelse fra kartleggingen skal danne grunnlag for <strong>til</strong>rettelegging av <strong>til</strong>takene. Da tenker vi<br />
den andre vegen, slik <strong>det</strong> er skissert i figuren. Det er <strong>det</strong>te <strong>jeg</strong> betegner som ”den spesialpedagogiske<br />
tenkingen”. Den fokuserer på mestring og blir en prosess preget av dynamisk <strong>til</strong>pasning mellom<br />
elevens kognitive funksjoner og den konteksten eleven er i. Begge deler må vi vite noe om!<br />
50
8. Hva skal Bob-Kåre lære?<br />
Han skal lære matematikk!<br />
Hva er så <strong>det</strong>? Vi har ingen allment anerkjent definisjon av matematikk. Ofte sier vi at <strong>det</strong> er en<br />
vitenskap som har fokus på begreper som mengde, struktur, rom og endring (!). Matematikken har<br />
sitt utgangspunkt i undersøkelsen av figurer og regning med tall, og den har utviklet seg videre gjennom<br />
bruken av abstrahering og logiske slutninger.<br />
Hvis vi ser på Læreplanen, ser vi at fokus der er på tallforståelse og innsikt i hvordan tall og tallbehandling<br />
inngår i system og mønstre. Videre nevnes geometri, måling og statistikk.<br />
Alt <strong>det</strong>te er områder som ofte er meget viktige for å kunne mestre daglige situasjoner. Jeg tenker<br />
på antall og mengder, på penger og tid, på retninger og former. Med et samleord kaller vi ofte <strong>det</strong>te<br />
for hverdagsmatematikk. Det er i grunnen en form for anvendt matematikk hvor situasjonen der <strong>det</strong><br />
skal brukes, er viktig for å forstå.<br />
Noen sentrale, matematiske ferdigheter<br />
For å kunne mestre slike daglige situasjoner og også <strong>det</strong> vi kaller ”skolematematikken”, gjør vi<br />
bruk av noen sentrale ferdigheter i matematikken. Jeg har her valgt å sette opp 10 punkter som et<br />
utgangspunkt for arbei<strong>det</strong> med hva Bob-Kåre skal lære. Rekkefølgen på punktene er <strong>til</strong>feldig, og alle<br />
må <strong>det</strong> arbeides med mer eller mindre samtidig.<br />
1. Svært mye av den matematiske læringen og forståelsen bygger på erfaringer som eleven<br />
har gjort. Ikke alle elevene har slike erfaringer fordi mer og mer av matematikken i hverdagen<br />
er skjult. Tenk bare på handling nå og i gamle dager. Da kjøpte en i måleenheter<br />
(snes egg, kvart kilo kaffe, liter melk). <strong>Nå</strong> brukes ”enheter” av en annen form: En kartong<br />
egg, en pose kaffe, en melkekartong. Lek er en fin arena for barn <strong>til</strong> å gjøre slike matematiske<br />
erfaringer. Får en mistanke om at eleven ikke har <strong>til</strong>strekkelige egne erfaringer, må<br />
en lage situasjoner hvor slike erfaringer kan gjøres. De fleste læreverkene har forslag <strong>til</strong><br />
slike aktiviteter.<br />
2. Lære ” tall-fakta”. Med tall-fakta tenker en på <strong>det</strong> å kunne addisjonstabellen (og de andre<br />
tabellene) og kunne noen tall-par” (5+5=10). Det er viktig å ha disse tall-fakta lagret i hukommelsen<br />
slik at de hurtig kan hentes fram. Mange elever med matematikkvansker må<br />
regne ut slike enkle ting, og <strong>det</strong> tar lang tid. Dette må øves inn. En fin måte å øve <strong>det</strong>te på<br />
er å bruke f. eks. Ludo (først med en terning, deretter med to), spille Yatzi og andre slike<br />
spill.<br />
3. Lage tegninger og tenke og forklare ut fra slike enkle tegninger. Ofte tenker vi i hukommelsesbilder,<br />
eller vi lager oss mentale skisser å tenke i. Ikke alle elevene er like flinke<br />
<strong>til</strong> <strong>det</strong>te. Da kan <strong>det</strong> være en hjelp å lage slike skisser på papiret <strong>til</strong> å begynne med. Etter<br />
hvert vil eleven kunne lage dem direkte i ho<strong>det</strong>. Da har eleven fått et godt hjelpemiddel<br />
<strong>til</strong> å tenke matematikk! I praksis starter en med å lage slike skisser knyttet <strong>til</strong> kjente lekesituasjoner<br />
og hverdagssituasjoner. Bor<strong>det</strong> skal dekkes, og en skal hente glass. For å vite<br />
hvor mange, kan en lage en skisse av <strong>det</strong> ferdige bor<strong>det</strong> i ho<strong>det</strong> og telle glassene en trenger.<br />
Som et trinn på vegen <strong>til</strong> å utvikle denne ferdigheten, kan en lage en skisse av bor<strong>det</strong> på<br />
papir og telle glassene der.<br />
51
4. Det å kunne snakke matematikk er viktig! Eleven må kunne de vanligste matematiske<br />
begrepene (se liste i Tillegg B). Eleven må kunne forklare tenkingen og helst også kunne<br />
vite svaret. Det er ikke alltid en har bruk for <strong>det</strong> nøyaktige svaret. Ofte er <strong>det</strong> <strong>til</strong>strekkelig<br />
med et overslag. <strong>Nå</strong>r en handler i butikken, er <strong>det</strong> ofte slike overslag en gjør i ho<strong>det</strong> før<br />
en kommer <strong>til</strong> kassen.<br />
5. Eleven må se sammenhengene mellom problemet slik <strong>det</strong> er uttrykt matematisk (med tall<br />
og symboler) og problemet i egen hverdag. Det er denne koblingen som er grunnlaget<br />
for den matematiske forståelsen. Og den er også grunnlaget for en annen viktig ferdighet:<br />
Kunne bruke den matematiske forståelsen over i nye hverdagssituasjoner! Det er<br />
da matematikken begynner å bli et kraftig redskap <strong>til</strong> å løse problem. Du har i grunnen<br />
ikke lært noe før du kan bruke <strong>det</strong> i nye situasjoner. Det nye er ikke lært selv om <strong>det</strong> kan<br />
gjengis! - Kanskje vi i skolen har lagt for stor vekt på å gjengi stoffet og ikke nok vekt på<br />
<strong>det</strong> å bruke <strong>det</strong>?<br />
6. Telleferdigheten er sentral, og er den god, er den med både å øke forståelsen og redusere<br />
tidsbruken. Eleven må øve på å kunne telle fremover ut fra et gitt tall, f. eks. begynne med<br />
53 og så telle videre med 1, 2, med 3, med 5 osv. En bør også telle bakover ut fra et gitt<br />
tall, f. eks. 97 og telle bakover med 1, med 2, med 5 og med 10.<br />
7. Bruke tall-linjen <strong>til</strong> å gjøre beregninger og vise tallstørrelser i forhold <strong>til</strong> hverandre. Denne<br />
kan også hjelpe <strong>til</strong> med å forstå posisjonene (enere-tiere) 96 og illustrere resultatet av enkle<br />
regneoperasjoner. Ofte kan <strong>det</strong> være fint å tape fast et målebånd på pulten. Etter hvert kan<br />
en bruke målebånd <strong>til</strong> å måle opp og finne størrelser som kan sammenlignes. En bør også<br />
ta i bruk andre måleredskap som vekt, litermål, termometer og klokke. Alle disse er også<br />
preget av en form for skala. Ofte tenker vi i en slik mental tall-linje. Ikke alle elevene<br />
klarer <strong>det</strong> så abstrakt. Da er <strong>det</strong> en fin hjelp å ha tall-linjen visuelt foran seg. Etter hvert vil<br />
den bli abstrahert og ligge lagret mentalt. Da blir den et godt redskap for den matematiske<br />
tenkingen. <strong>Nå</strong>r en skal se hva klokken er, sammenligner en visernes s<strong>til</strong>ling med indre<br />
bilder som gir meningsinnhol<strong>det</strong>. Derfor går <strong>det</strong> raskere å oppfatte tidspunkt ved hjelp av<br />
en analog klokke enn ved hjelp av en digital klokke.<br />
8. Vise mønstre i tallfakta, f. eks. at 4+4=8, 4+5=9 – og at 5+4 også blir 9. (Hvorfor <strong>det</strong>?)<br />
8+10=18, 18+10=28, 28+10=38. Også andre mønstre og geometriske figurer bør eleven få<br />
hjelp med å oppdage. Mønstre og system går igjen, både i naturen og i <strong>det</strong> vi lager.<br />
9. Eleven må kunne lese og skrive tallene. Det krever språkferdighet, men også en forståelse<br />
av hva <strong>det</strong>te er. Tall og bokstaver er ikke like. Dette så vi på i Innledningskapitlet, side<br />
11. I forbindelse med å kunne lese og skrive tallene, må eleven ha forståelse av plassverdi<br />
og av null som plassholder. Eleven må også forstå bruken av posisjoner, dvs. enere, tiere,<br />
hundrer. Etter hvert kommer også desimaltallene inn – og brøk. Da er <strong>det</strong> fint å kunne<br />
kombinere <strong>det</strong>te med bruken av tall-linjen.<br />
10. Kunne ordne tallene etter størrelse i en rekke. Mange elever med matematikkvansker<br />
strever med slik rekkeoppfatning eller <strong>det</strong> vi ofte kaller sekvensering. Dette har også noe<br />
med den ordinale bruken av tall, f. eks. ”den tredje bilen” i en rekke. Hvis eleven har en<br />
svak sekvenseringsferdighet, kan <strong>det</strong> være meget vanskelig å forstå og bruke enere, tiere<br />
og hundrer. En må kunne ”se” for seg i ho<strong>det</strong> noe om plassering, dvs. noe om hva som er<br />
først, sist og i midten. Noen elever strever med å danne seg slike mentale bilder av rekkefølger.<br />
Det kan også skape problemer i felleslek – vite når <strong>det</strong> er ens egen tur hvis en<br />
står i kø.<br />
96 Et undervisningsopplegg om ”Å bruke tallinje”, se Erdal m.fl., 2006.<br />
52
Arbeid med de grunnleggende ferdighetene<br />
Disse 10 punktene er ofte aktiviteter som <strong>det</strong> arbeides med i første klasse – uten at <strong>det</strong> gir effekt.<br />
Grunnen er at disse ferdighetene ikke er grunnleggende i og for seg, selv om vi sier at de er sentrale<br />
for den senere matematikkmestringen.<br />
En elev med matematikkvansker er ofte kjennetegnet av svikt på en eller flere av de 6 grunnleggende<br />
ferdighetene. Har eleven en slik svikt, nytter <strong>det</strong> lite å arbeide isolert med de 10 sentrale<br />
punktene over. De må arbeides med i kombinasjon med de 6 grunnleggende ferdighetene.<br />
Sagt med andre ord: For en elev med matematikkvansker må en ta utgangspunkt i de 6 grunnleggende<br />
ferdighetene og så arbeide med de 10 punktene ut fra hva eleven mestrer og ikke mestrer innen<br />
de 6 områdene. Det er denne mestringen innen de 6 områdene som er den sentrale begrunnelsen for<br />
kartleggingsarbei<strong>det</strong>.<br />
De 6 grunnleggende ferdighetene er følgende:<br />
1. Telling – en verbal prosess knyttet <strong>til</strong> motorikk<br />
2. Antallsforståelse – i tankene bevege seg mellom en virkelig verden og en abstrakt hvor kvantitet<br />
er kjennetegn<br />
3. Sammenligne – to tall og andre fenomen<br />
4. Plassverdi – bearbeide <strong>det</strong>aljer og helheter<br />
5. Aritmetikk – regneferdighet basert på tall-fakta og tall-linje<br />
6. Estimering – enkel, omtrentlig regneferdighet<br />
Alle disse ferdighetene er knyttet <strong>til</strong> bestemte hjernefunksjoner og de kan delvis lokaliseres. De<br />
fungerer <strong>til</strong> dels uavhengig av hverandre. Det er en av grunnene <strong>til</strong> at vi kan få så helt rare resultat<br />
når vi kartlegger en elev med matematikkvansker. En kan finne at eleven klarer helt fint 3+4=7, men<br />
har store vansker med å kunne svare på hva som er størst av 3 og 5!<br />
Det er viktig å vite litt om bakgrunnen for slike resultat. Hvis ikke kan en lett bare si at denne<br />
eleven er dum – og har bare lært noe enkelt utenat uten å forstå. Svikt innen hvert av disse 6 områdene<br />
behøver ikke ha noe med evner å gjøre. Men en elev med generelt svake evner, vil ofte streve<br />
med de fleste av disse 6 ferdighetene.<br />
Noen forslag <strong>til</strong> arbeid med de 6 grunnleggende ferdighetene<br />
I de fleste lærerveiledningene kan en finne gode tips om hvordan en kan arbeide med disse 6 emnene.<br />
Spesielt liker <strong>jeg</strong> lærerveiledningen <strong>til</strong> Multi som er utgitt på Gyldendal. Mange forslag kan en<br />
også finne i Matematikkdagheftene som LAMIS utgir en gang i året. 97 & 98 Praktiske opplegg kan en<br />
også finne på to gode nettsteder, nemlig www.matematikk.org og på www.matematikksenteret.no.<br />
Nedenfor har <strong>jeg</strong> listet opp noen aktiviteter som direkte har sammenheng med hvert av de 6<br />
emnene og kan være et startpunkt. Aktivitetene griper inn i hverandre, og samme aktivitet kan ofte<br />
brukes for å arbeide med flere av emnene. I Tillegg D er beskrevet hvordan slikt arbeid kan utformes<br />
for hele klassen samlet og bli en del av de daglige aktivitetene i klassen.<br />
97 Mer stoff om disse heftene finnes på www.lamis.no Til nå er der utgitt 7 hefter (<strong>det</strong> første i 2002), og de<br />
finnes på mange skoler. En kan få <strong>til</strong>sendt heftet ved å henvende seg <strong>til</strong> LAMIS.<br />
98 LAMIS har også utgitt et hefte i anledning Abeldagen: ”Matematikk i skolegården”. Kan bes<strong>til</strong>les fra<br />
www.lamis.no.<br />
53
1. Telling<br />
• Telle bokstaver i navnet sitt, telle dager, måneder, uker. Telle elever hvis noen er syke –<br />
hvor mange er da friske? Hvor mange skal ha melk?<br />
• Finne kongler eller blader når en har uteskole. Hvem fant flest?<br />
• Hvor mange skritt er <strong>det</strong> når du går fra ett sted <strong>til</strong> et annet?<br />
• Telle sko / skopar i klassen. Blir <strong>det</strong> samme tallet? Hvis vi teller <strong>det</strong> ene, kan vi da tenke<br />
oss fram <strong>til</strong> <strong>det</strong> andre tallet?<br />
• Telle klosser, knapper, steiner osv. Kan vi gruppere dem på en lur måte slik at de er enklere<br />
å telle? (Gruppere på f. eks. 10.)<br />
• Telle fingrer, tær, føtter på flere elever. – Hvis vi har fire elever, kan vi da lett gjette hvor<br />
mange tær de har <strong>til</strong> sammen?<br />
• Bruk klasserommet, skolegården og lag telleoppgaver.<br />
• Som hjemmelekse: Telle ting hjemme (leker, sko, jumprer, jakker); skrive ned og sammenligne.<br />
2. Antallsforståelse<br />
• Bruk elevenes navn: Hvem har færrest bokstaver i navnet sitt? Hvem har like mange?<br />
Hvordan kan vi kontrollere <strong>det</strong>? Legge så mange brikker som <strong>det</strong> er bokstaver i navnet –<br />
like mange (kontrollere en for en). Forskjell kan forstås med at <strong>det</strong> ene navnet har flere<br />
eller færre bokstaver.<br />
• Alle mulige former for terningspill.<br />
• Synge sanger og vise, f. eks. ”10 små indianere”, andre telleregler.<br />
• Lese eventyr: ”De tre bukkene Bruse”, ”Gullhår og de tre bjørnene”.<br />
• Være med i butikken og handle, få noen penger <strong>til</strong> å kjøpe for (f. eks. lørdagsgodt),<br />
• Bruke tall-linje og sette inn antall på den etter å ha ryd<strong>det</strong> i lekene og funnet hvor mange<br />
av hvert slag. Lage kategorier. Det samme kan en gjøre ved å undersøke alderen <strong>til</strong> alle<br />
i klassen (telle måneder), i familien og sette <strong>det</strong>te inn i tall-linje. Vise antallet også med<br />
tall-brikker.<br />
• I Matematikkdagheftene fra 2005, 2006 og 2007 er der mange forslag <strong>til</strong> aktiviteter som<br />
direkte går på antallsforståelse.<br />
• Lage ”Matematikkens hus”, brette og snakke om huset. Se Tillegg C. Denne oppgaven<br />
gir også mye om former og kunne følge en instruksjon i sekvens.<br />
3. Sammenligninger (av to eller flere størrelser)<br />
• Telle ting og sammenligne hvem som har flest/færrest.<br />
• Måle seg selv og de andre elevene. Sammenligne størrelsene på en tallinje som limes fast<br />
på veggen. Snakk om hvor stor forskjellene er.<br />
99<br />
• Bruke tannfelling, se video fra Snøball forlag. (Sendt <strong>til</strong> alle skolene i Norge. )<br />
• Lage statistikk ved f. eks. å telle biler på ulike parkeringsplasser eller som kjører forbi.<br />
Hvor var der flest/færrest. Lage grupper etter farge og type bil. Sammenligne hvilke biler<br />
<strong>det</strong> er flest/færrest av.<br />
• Sortere f. eks. leker og lage statistikk ved hjelp av tall og så sammenligne tallene og finne<br />
hvor stor forskjellen er mellom de ulike tallene.<br />
• Kjøp en amaryllis før jul! Amaryllisen måles hver dag og en sammenligner veksten for<br />
hver dag med starten og med forrige dag, sammenligner hver uke osv. 100<br />
• Utgangspunkt i dato, uke og måned. Sammenligne antall dager i hver måned.<br />
99 Se <strong>det</strong>te nettste<strong>det</strong>: http://www.skoleipraksis.no/matematikk1-4/infoark/matteheftet.pdf<br />
100 Dette er beskrevet i Lunde, K. H., 2003.<br />
54
• Kjøp en amaryllis før jul! Amaryllisen måles hver dag og en sammenligner veksten for<br />
hver dag med starten og med forrige dag, sammenligner hver uke osv. 100<br />
• Utgangspunkt i dato, uke og måned. Sammenligne antall dager i hver måned.<br />
4. Plassverdi (enere, tiere, hundrer + desimal og og brøk) 101<br />
• Fortellingen om gjeter David i Multi (Gyldendal), 2. 2. og 3. 3. årstrinn - lærerressursboken.<br />
Dette kan fungere som eksempel på utformingen av slike aktiviteter.<br />
• La eleven få være med på undring over hva en skal gjøre når en har 11 gjenstander – og<br />
bare 10 siffer. La elevene finne løsninger!<br />
• Telle steiner, knapper eller andre ting, gruppere i tiere og så gruppere tierne i hundrer.<br />
Snakk om hvorfor <strong>det</strong>te er så lurt.<br />
• Bruke ”Base ”Base 10”-materiell eller lignende eller lignende materiell<br />
materiell som illustrerer som illustrerer posisjonssystemet. posisjonssystemet.<br />
• Bruke Unifix og knytte <strong>det</strong> opp mot tall-linjen.<br />
• Bruke Abakus og vise sammenhengen mellom<br />
dato og og kulene på på Abacusen. Abacusen. Se figur10. Se figur10. Antall<br />
kuler Antall på kuler tier-bøylen på tier-bøylen likt med symbolet er likt (sifferet)<br />
med<br />
symbolet for antall (sifferet) tiere i <strong>det</strong> for tosifrede antall tiere dato-tallet i <strong>det</strong> på<br />
kalenderen. tosifrede dato-tallet på kalenderen.<br />
• Eggekartonger kan være et et godt hjelpemiddel <strong>til</strong><br />
•<br />
å <strong>til</strong> illustrere å illustrere mengder mengder og og posisjoner.<br />
Bruke et digitalt et digitalt termometer termometer med desimalangi- med<br />
Fig.10: Bruk av abacus knyttet <strong>til</strong> dato og<br />
forståelse av plassverdi.<br />
desimalangivelse og måle ute og innetemperatur og måle hver ute dag. og<br />
•<br />
innetemperatur hver dag.<br />
Brøk – ta utgangspunkt i daglige situasjoner, f. eks. dele opp frukt i deler, dele pizza etc.<br />
• Brøk – ta utgangspunkt i daglige situasjoner, f. eks. dele opp frukt i deler, dele pizza<br />
Del et tau inn i f. eks. 5 like store deler og fortell at <strong>det</strong> ligger tall også mellom disse deetc.<br />
lene. Hva skal vi kalle disse tallene?<br />
• Del et tau inn i f. eks. 5 like store deler og fortell at <strong>det</strong> ligger tall også mellom disse<br />
delene. Hva skal vi kalle disse tallene?<br />
5. Enkel aritmetikk<br />
• Om <strong>det</strong>te er <strong>det</strong> mange oppgaver i matematikkbøkene og på nettste<strong>det</strong> www.matematikk.<br />
5. Enkel aritmetikk<br />
org. Plukk ut de oppgavene du synes passer for den eleven du har. Det viktig å velge<br />
• oppgavene Om <strong>det</strong>te slik er at eleven <strong>det</strong> mange har ca. 95 oppgaver % dem i riktig. matematikkbøkene - Da oppleves og og bekreftes på nettste<strong>det</strong> mestringen!<br />
www.matematikk.org. Plukk ut de oppgavene du synes passer for den eleven du har.<br />
Det viktig å velge oppgavene slik at eleven har ca. 95 % av dem riktig. - Da oppleves<br />
• Kast og bekreftes terninger mestringen! og legg sammen/subtraher.<br />
• Spill Kast ”Flaske-bingo” terninger og legg og sammen/subtraher.<br />
lignende spill.<br />
•<br />
102<br />
Bruk<br />
Spill<br />
dataprogrammet<br />
”Flaske-bingo” og<br />
”De<br />
lignende<br />
Fire”.<br />
spill.<br />
• Bruk dataprogrammet ”De Fire”. 102<br />
6. Estimering<br />
• Poenget er å vurdere antall, mengder, avstander osv. – og så kontrollere <strong>det</strong>. – Hvor<br />
mange seigmenn er <strong>det</strong> i en pose?<br />
Dette er beskrevet i Lunde, K. H., 2003.<br />
• Ta utgangspunkt i en handlekvittering. Hvor mange varer? Hva tror du <strong>det</strong>te har kostet?<br />
102 Laget av (Stryk over summen.) (www.infovestforlag.no)<br />
• Det å kunne regne raskt i ho<strong>det</strong> – men bare ”sånn omtrent” (De fleste lærerveiledninger<br />
har ideer om <strong>det</strong>te).<br />
• Syltetøyglass med erter. Gjette hvor mange, 51 deretter telle dem.<br />
•<br />
102<br />
Bruke deler av dataprogrammet ”De Fire” og andre dataprogrammer.<br />
101 Lindland, E., 2007, s. 20ff<br />
102 Laget av Olav Lunde i samarbeid med Helge Moen. Forhandles av InfoVest Forlag.<br />
(www.infovestforlag.no)<br />
55
Sammenhengen mellom hva en finner på kartleggingen<br />
og de <strong>til</strong>tak en setter i gang<br />
Det er meget viktig at kartleggingen danner grunnlaget for <strong>det</strong> videre arbei<strong>det</strong>, og at en hele tiden<br />
har klart for seg hvorfor eleven arbeider nettopp med den bestemte aktviteten.<br />
Ut fra et kartleggingsverktøy kan en finne holdepunkt for hvordan disse 6 emnene mestres og<br />
notere <strong>det</strong>te. På analysearket er <strong>det</strong> en kolonne <strong>til</strong> høyre med overskriften ”Tiltak”. Her kan en notere<br />
inn ulike aktiviteter som en planlegger eleven skal arbeide med. Slik kan en få en klar, <strong>det</strong>aljert<br />
beskrivelse av hva <strong>det</strong> er eleven skal lære i matematikken. Den vil være et godt utgangspunkt hvis<br />
<strong>det</strong> skal lages en individuell opplæreplan (IOP).<br />
Oppsummering og konklusjon<br />
Det er ofte i slutten av første årstrinn og deretter i andre og tredje årstrinn at <strong>det</strong> er aktuelt å sette<br />
i gang med slik <strong>til</strong>passet opplæring på grunn av at eleven har matematikkvansker. Mye av <strong>det</strong> som<br />
her er beskrevet, ser meget enkelt ut, og ofte tror en at <strong>det</strong>te kan eleven. Men <strong>det</strong> er ikke sjelden å<br />
finne elever på ungdomstrinnet som strever med så enkle aktiviteter som de som her er beskrevet<br />
under de 6 punktene.<br />
Vi må utforme <strong>det</strong>te for den enkelte eleven. Vi kan godt kalle <strong>det</strong> for ”skreddersøm” – laget etter<br />
mål, dvs. laget på bakgrunn av en kartlegging. Vi må ”<strong>til</strong>passe den <strong>til</strong>passede opplæringen”. 103<br />
Alternativet <strong>til</strong> skreddersømmen er ”konfeksjonssøm” – en bruker vanlig undervisning basert på<br />
lærebok fra et lavere klassetrinn.<br />
103 Lunde, O., 2008. (Se også Mjøs, M., 2006)<br />
56
9. Hvordan får vi Bob-Kåre <strong>til</strong> å ville lære?<br />
Her har <strong>jeg</strong> ikke noe godt svar!<br />
Mange gode opplegg er blitt laget på grunnlag av solid kartlegging, men har ikke fungert.<br />
Barrierene for å lære er fortsatt like store. Det er disse barrierene vi må prøve å komme over. Ofte<br />
er de av emosjonell art. Det å ville lære har noe med motivasjon å gjøre, og <strong>det</strong> å ha tro på at <strong>det</strong> går<br />
å lære <strong>til</strong> tross for mange nederlag.<br />
Jeg tror vi som pedagoger må våge å prøve nye veger og også våge å mislykkes med <strong>det</strong> vi setter<br />
i gang. Da må vi prøve andre ting.<br />
Det er tre prinsipp <strong>jeg</strong> tror vi må legge <strong>til</strong> grunn for <strong>det</strong>te arbei<strong>det</strong>:<br />
For <strong>det</strong> første at eleven ikke har lært på den måten som har vært prøvd. Da må vi prøve noe annet.<br />
Ikke fordi <strong>det</strong> andre var dårlig undervisning eller at <strong>det</strong> nye er bedre i og for seg. Muligheten for at<br />
<strong>det</strong> nå skal fungere ligger i at <strong>det</strong> er annerledes.<br />
For <strong>det</strong> andre vet vi at elevene er ulike. Den samme varmen som smelter smøret, hardner egget.<br />
Det som fungerer fint for en elev, behøver ikke ha noen positiv virkning på en annen elev. Det er<br />
derfor viktig å kjenne <strong>til</strong> ulike didaktiske innfallsvinkler og kunne skifte mellom dem om nødvendig.<br />
Det er noe av <strong>det</strong>te som ligger i utrykket om at vi skal lage skreddersøm, ikke basere oss på konfeksjon.<br />
Og for <strong>det</strong> tredje må vi kanskje tenke omveisløsninger og hjelpemidler. Du tar ikke brillene fra<br />
en svaksynt elev og setter i gang med trening av synsstyrken. Du lar ham bruke brillene og flytter<br />
ham kanskje lenger fram så han ser bedre – eller får tak i bøker med større typer. Du passer på at han<br />
har godt lys. For en elev som har strevd med å lære og huske multiplikasjonstabellen, må en kanskje<br />
tenke bruk av kalkulator.<br />
Men ut fra forskning og erfaring vet vi noe om hva som kan fungere. I <strong>det</strong> følgende skal <strong>jeg</strong> skissere<br />
noen innfallsvinkler som ofte har vist seg å fungere godt.<br />
Knytt undervisningen <strong>til</strong> <strong>det</strong> daglige<br />
Matematikk kan vi se på som en måte å tenke på. Samtidig skal mye av den matematiske ferdigheten<br />
og forståelsen være automatisert. Den mest effektive måten å kombinere tenking, ferdighet og<br />
forståelse på, er at <strong>det</strong>te er blitt automatisert. Skal noe automatiseres, krever <strong>det</strong> ofte mange gjentagelser.<br />
Det er kjedelig og øker sjelden viljen <strong>til</strong> å lære.<br />
Da må vi prøve å få gjentagelsene <strong>til</strong> å bli en del av <strong>det</strong> daglige!<br />
Vi kan legge en ”tallstruktur” på hverdagen og så hjelpe eleven <strong>til</strong> å forstå hverdagssituasjonene<br />
på denne bakgrunnen. Ved å tenke slik kan en få tallene <strong>til</strong> å prege hele dagen i småskolen (og kanskje<br />
også på høyere årstrinn). 104<br />
Dagen kan starte med å trekke ordenselever som så skal finne ut hvilken dato <strong>det</strong> er i dag. Hver<br />
elev har et navnekort som ligger i en plastlomme. Kortet trekkes langsomt ut, slik at bare en bokstav<br />
vises om gangen og elevene lyderer seg fram: I…n…g…e…b…o…r…g. I dag er Ingeborg ordenselev.<br />
Det samme gjøres med et guttenavn.<br />
104 Det følgende bygger på en artikkel av K. H. Lunde i Tangenten nr. 4/2005: ”Hvordan tallene preger en<br />
dag i 1. klasse”. (Se Tillegg D hvor artikkelen er gjengitt.)<br />
57
I <strong>til</strong>legg <strong>til</strong> alt <strong>det</strong> som har med bokstaver og lesing å gjøre, er <strong>det</strong> mye matematikk som kan brukes<br />
her. Det går å telle bokstaver og sammenligne flest/færrest. Det går å telle klapp (stavelser) i navnene.<br />
De viser med fingrene hvor mange. Dette kan de parkoble for å visualisere relasjonsordene.<br />
De fører fingrene mot hverandre, og har de like mange stavelser/bokstaver i navnene sine, blir ingen<br />
fingre stående alene. Er der forskjell vises <strong>det</strong> med antall fingre. Etter hvert kan en også ta med at<br />
<strong>det</strong>te kan uttrykkes som enkel aritmetikk: addisjons- eller subtraksjonsstykke.<br />
Hva heter dagen, og hva slags tall har den? Da kan en bruke Abakus og avrivningskalender. Den<br />
ene ordenseleven river av kalenderen, og den andre legger en kule på abakusen. De adderer og subtraherer.<br />
De forteller og viser hvordan tallet skrives.<br />
En kan trekke et ”dagens tall” og se hva en kan finne ut om <strong>det</strong>: Hva er halvparten, <strong>det</strong> dobbelte,<br />
en mer, partall, od<strong>det</strong>all, de fire regningsartene, noen tallfakta, vise <strong>det</strong> på tall-linje.<br />
Også henting av melkekartongene inneholder mye matematikk. Ordenselevene må sjekke melkelista,<br />
finneantall kartonger melk, sjekke om noen er borte og finne ut ”hvor mange”.<br />
Det går å legge inn en rekke slike aktiviteter i klassen. Noen har også valgt å sjekke temperaturen<br />
inne og ute hver dag og visualisere <strong>det</strong>te med søylediagram eller kurver (lage statistikk ut av <strong>det</strong>).<br />
Da er <strong>det</strong> lurt å bruke et digitalt termometer. I begynnelsen kan en lime over desimalene slik at en<br />
bare ser heltallene.<br />
Jeg tror at slike matematiske aktiviteter som gjentas hver dag, blir en del av elevens tenking og<br />
forståelse og at <strong>det</strong> skjer uten <strong>det</strong> tradisjonelle kravet om læring. I begynnelsen er <strong>det</strong> kanskje bare<br />
noen få elever som forstår hva som skjer, men når <strong>det</strong>te er gjentatt hver dag i kanskje 3 år, blir <strong>det</strong><br />
kjent, en del av hverdagstenkingen og automatisert.<br />
En liten historie som bekrefter <strong>det</strong>te: En dag var Antons tall 13 og datoen var 31. januar. En jente<br />
som var veldig observant, sa at Antons tall var <strong>det</strong> samme som datoen.<br />
Det måtte undersøkes! Det kan en undersøke ved å holde Antons tall bak abakusen som viste tre<br />
tiere og en ener. Var <strong>det</strong>te <strong>det</strong> samme? Nei, sa noen og begrunnet <strong>det</strong> med antall tiere og enere.<br />
Ved stadige gjentagelser tror <strong>jeg</strong> at flere og flere ser sammenhenger og forskjeller på slike ”reverstall”.<br />
Og <strong>det</strong> gjør noe med selvbil<strong>det</strong> hos elevene at de selv oppdager <strong>det</strong>!<br />
Også den såkalte ”Amaryllismatematikken” kan brukes slik. 105<br />
For de som vil gå mer inn i selve matematikkundervisningen i grunnskolen, viser <strong>jeg</strong> <strong>til</strong> en helt<br />
ny bok av Pernille Pind: ”Matematik for alle – Håndbog i matematikundervisning.” Forlaget Pind<br />
og Bjerre, Skødsrup, 2009.<br />
En grunnleggende tenking om hvordan læring skjer<br />
Matematikkopplæring som baserer seg på et konstruktivistisk læringssyn, vil trolig egne seg spesielt<br />
godt <strong>til</strong> opplæring av elever med matematikkvansker, blant annet fordi den i mindre grad krever<br />
at elevene skal memorere kunnskapsstoff med lite meningsbærende elementer. De indre kognitive<br />
prosessene og <strong>det</strong> ytre miljøet kan ikke holdes atskilt. Hovedidèen innenfor konstruktivismen er at<br />
mennesker konstruerer mentale modeller eller representasjoner av egen fysisk og sosial virkelighet<br />
gjennom handling, aktivitet, tenking og refleksjon. Med mentale fores<strong>til</strong>linger menes fores<strong>til</strong>linger<br />
som skapes i personens egen tankeverden og som representerer erfaringer fra virkeligheten.<br />
Erfaringene som i begynnelsen er konkrete, utvikles etter hvert <strong>til</strong> fores<strong>til</strong>linger på <strong>det</strong> mentale planet<br />
løsrevet fra den fysiske virkeligheten. Dette er vesentlig ved logisk tenking. 106<br />
Nyere forskning 107 tyder på at en presist <strong>til</strong>passet undervisning fokusert på de sentrale elementene<br />
for matematisk forståelse og ferdighet, gir best resultat, ikke minst når den kombineres med konstruktivistisk<br />
didaktikk.<br />
105 Lunde, K.H., 2003.<br />
106 Holm, M., 2002.<br />
107 Kroesbergen & Van Luit, 2005<br />
58
Elever med matematikkvansker har ofte en lang historie med nederlag, og selvbil<strong>det</strong> er ofte negativt.<br />
Det er derfor viktig å lede dem <strong>til</strong> å oppdage og forstå matematikken. Ofte kalles <strong>det</strong>te mediert<br />
læring, dvs. formidling gjennom <strong>til</strong>rettelegging, styring og veiledning ut fra lærerens forståelse av<br />
hva som gagner <strong>det</strong> enkelte barn. Undervisning blir et samspill mellom en mediator (læreren) og en<br />
aktivt handlende elev. Lærerens rolle blir å sørge for at <strong>det</strong> hele tiden er utfordringer <strong>til</strong>stede som<br />
samsvarer med elevens utviklingsnivå. I <strong>til</strong>legg må læreren gjennom en utviklende dialog støtte oppunder<br />
og skyve elevens utviklingsnivå fremover.<br />
Ved utformingen av <strong>til</strong>takene for elever med matematikkvansker, kan <strong>det</strong> være vel så viktig å<br />
skape trygghet, tro på egne muligheter og selv<strong>til</strong>lit hvor samspillet lærer-elev blir annerledes enn<br />
tidligere. Det blir å lage en ny ”didaktisk kontrakt” som er preget av konstruktivistisk læringssyn. 108<br />
Da legger en vekt på aktiv tenking og refleksjon. De interne kognitive prosessene og <strong>det</strong> ytre miljøet<br />
henger sammen. Eleven konstruerer mentale modeller eller representasjoner (mentale bilder) av<br />
egen fysisk og sosial virkelighet gjennom handling, aktivitet, tenking og refleksjon.<br />
Direkte instruksjon eller strategi-instrukjon?<br />
Vi kan skille mellom to ulike retninger når vi skal utforme selve undervisningen. Den ene kan vi<br />
kalle direkte instruksjon. Den er preget av oppgaver gitt av læreren, bruk av faste modeller og algoritmer.<br />
Vekten legges på den prosedyremessige delen, på faktakunnskap og automatisering. Eleven<br />
må lære <strong>det</strong> vi kan kalle tellestrategier, og læreren viser direkte hvordan <strong>det</strong>te er. Ved subtraksjon<br />
skal eleven lære å veksle og algoritmen for <strong>det</strong>te vises og forklares, og eleven skal så bruke den.<br />
Hvis undervisningen utformes som strategi-instruksjon, blir arbei<strong>det</strong> mer preget av måter å lære<br />
og å huske på, f. eks. huske tallfakta og bruk av gjenkallingsstrategier innen telling og de fire regningsartene<br />
hvor eleven selv oppdager <strong>det</strong>te. Vekten legges på den begrepsmessige delen ved at<br />
eleven i størst mulig grad selv oppdager og setter ord på oppdagingene.<br />
Mye tyder på at strategier kan læres ved bruk av indre tale og bli internalisert, slik at de fungerer<br />
som gjenkallingsstrategier. 109 Da tenker en at kunnskapen først blir lagret ved at den får en<br />
språkdrakt som ”indre stemme”. Dette er en slags korttidslagring før selve lagringen og memoreringen<br />
i hukommelsen av fonologisk basert materiale. Strategiene blir sagt høyt (1•3=3, 2•3=6, osv).<br />
Gradvis blir så <strong>det</strong>te endret <strong>til</strong> lavere stemme, med hvisking og at elevene sier tabellene inni seg. Et<br />
slikt opplegg kan gi økt bruk av gjenkallings-strategier ved multiplikasjon.<br />
Ofte vil en strategi-instruksjon også omfatte en rekke av de vanlige aktivitetene eleven gjør. Det<br />
legges en slags ”tallstruktur” på hverdagen. Det kan være å bruke avrivningskalender og abakus som<br />
illustrasjon på sifferplasseringen i dato og navngi datoen tallmessig, nummerere ordensmannsfunksjonen<br />
og oppgavene elevene har da med f. eks. ordenstall (første oppgave, andre oppgave), måle<br />
opp klasserommet, hente melkekartonger (og telle opp hvor mange ved å trekke fra de som kanskje<br />
er syke, ikke skal ha melk osv.) og klassifisere knapper og stein og mye annet som skjer i klasserommet.<br />
Verkstedspedagogikk har vist seg å fungere godt ved slik strategi-instruksjon. Samspillet mellom<br />
<strong>det</strong> å kunne fremgangsmåtene i matematikk (prosedyrekunnskap) og <strong>det</strong> å forstå hva som gjøres<br />
(konseptuell kunnskap), er viktig. Problems<strong>til</strong>lingen er ikke å bruke den ene fremfor den andre, men<br />
å lage et samspill mellom dem og veksle mellom dem. Vekten bør trolig legges på strategiundervisning.<br />
Strategi-instruksjon gir både prosedyrekunnskap og konseptuell kunnskap.<br />
Manglende samspill mellom disse to formene for kunnskap medfører trolig at <strong>det</strong> blir vanskelig<br />
å hente fram informasjon fra langtidsminnet. 110 Det er denne framhentingen som er <strong>det</strong> sentrale i<br />
matematikkmestringen.<br />
108 Milo et. Al., 2004.<br />
109 Askeland, M., 2005.<br />
110 Rittle-Johnson et.al., 2001<br />
59
Lage egen lærebok!<br />
For noen elever er <strong>det</strong> bra at de får være med og utforme sin egen lærebok. Noen lager to, en de<br />
bruker på skolen og en de bruker hjemme. Da gjør en <strong>det</strong> ofte slik at i boken på skolen møter eleven<br />
de nye tingene, mens i boken de har hjemme, er <strong>det</strong> kjent stoff som gjentas og arbeides videre med.<br />
Begge bøkene legger vekt på en kombinasjon av direkte instruksjon og strategi-instruksjon, knytter<br />
<strong>det</strong>te <strong>til</strong> hverdagen og prøver å gjenta den samme matematiske ideen over tid.<br />
Nedenfor er gjengitt noen sider fra en slik bok (elev på 4. årstrinn).<br />
Et fast element som går igjen hver uke, er bruk av tall-linjen slik at den blir visualisert som et<br />
”indre bilde” etter hvert. Et annet fast element er bruken av terninger og spillkort. De fleste elevene<br />
er kjent med <strong>det</strong>te, og <strong>det</strong> er også noe de møter i spill med foreldre og jevnaldrende. Jeg tror <strong>det</strong> er<br />
meget viktig at de er fortrolige med terninger og kort, slik at de kan være med de andre elevene uten<br />
å føle at <strong>det</strong>te mestrer de ikke.<br />
60
Oppsummering og konklusjon<br />
Ofte er <strong>det</strong> helt avgjørende for læringsresultatet at eleven selv vil lære! Men <strong>det</strong> er ofte <strong>det</strong> som<br />
er vanskeligst å få <strong>til</strong>. Ofte blir <strong>det</strong> å gjette og våge å starte, og så ha alternativer når en ser at <strong>det</strong>te<br />
ikke fungerer godt. Hvor lenge en skal holde på før en begynner med en ny aktivitet, må en vurdere<br />
ut fra den aktuelle eleven og situasjonen rundt eleven.<br />
Det er meget viktig å komme hurtig i gang med slike <strong>til</strong>passede opplegg. Nyere forskning 111<br />
viser faktisk at vi kan redusere antall elever med ulike lærevansker med opp<strong>til</strong> 70 % (!!!) ved tidlig<br />
å sette inn hjelpe<strong>til</strong>tak (f. eks. i form av en skreddersydd <strong>til</strong>passet opplæring) og også tenke forebyggende.<br />
112<br />
111 Lyon et.al., 2002.<br />
112 Lunde, O., 2008.<br />
61
62
10. Hva med de andre vanskene<br />
Bob-Kåre har?<br />
Det er sjelden at en elev bare strever med matematikken, og at alle de andre fagene går uten vansker,<br />
men slike elever finnes.<br />
Om lag halvparten av elevene med matematikkvansker, strever også med å lese og skrive. Mindre<br />
kjent er <strong>det</strong> at mange også har vansker med språket og med konsentrasjonen. Slike vansker kan faktisk<br />
være årsaken <strong>til</strong> matematikkvanskene. Da er <strong>det</strong> viktig å arbeide også med de vanskene og ikke<br />
bare se på matematikken.<br />
Tradisjonelt har fokus vært på lese- og skrivevansker, og ofte vil skolen sette i verk <strong>til</strong>tak på<br />
<strong>det</strong>te feltet i løpet av 2.-3. årstrinn hvis ikke eleven mestrer <strong>det</strong>te noenlunde bra. Det kan hende at<br />
matematikken kommer i skyggen av <strong>det</strong>te arbei<strong>det</strong>, og at eleven på den måten også utvikler matematikkvansker.<br />
Språkvansker<br />
Er <strong>det</strong> de matematiske begrepene som er vanskelige, er <strong>det</strong> ordene som brukes, har <strong>det</strong> noe med<br />
matematisk struktur å gjøre? Mye av <strong>det</strong>te vet vi lite om, men vi vet at <strong>det</strong> er en sammenheng her.<br />
Språk er et sett av felles symboler i en gitt kultur. Matematikken er et språk da <strong>det</strong> består av symboler.<br />
Språkvansker er forstyrrelser i språkets fonologiske 113 , syntaktiske 114 , semantiske 115 og/eller<br />
pragmatiske 116 aspekter. Elever med språkvansker har vansker med å oppfatte, huske og bearbeide<br />
tale. Matematikkvansker blir da vansker med å oppfatte, huske og bearbeide numerisk og kvantitativ<br />
informasjon.<br />
Samspillet mellom språkvansker og matematikkvansker vil da dreie seg om disse områdene eller<br />
noen av dem. Ser vi at eleven strever med alle eller noen av disse områdene i matematikken, må vi<br />
også se på om eleven har språkvansker. Ofte vil <strong>det</strong> være nødvendig å snakke med en logoped om<br />
<strong>det</strong>.<br />
Vi kaller <strong>det</strong> spesifikke språkvansker når utviklingen ellers er normal etter alderen. Vi regner ofte<br />
med at ca. 7 prosent av alle barn har slike vansker, og at <strong>det</strong> forekommer tre ganger så ofte hos gutter<br />
som hos jenter. Noen ser ut <strong>til</strong> å vokse <strong>det</strong> av seg, mens andre kan ha slike symptom fram <strong>til</strong> voksen<br />
alder. 117 I gjennomsnitt må vi regne med å finne ett <strong>til</strong> to barn i hver skoleklasse som har spesifikke<br />
språkvansker. De fleste av disse barna vil med stor sannsynlighet også få store lese- og skrivevansker<br />
og matematikkvansker. 118<br />
113 Fonologiske = lydmessige<br />
114 Syntaktiske = ordenes sammens<strong>til</strong>ling <strong>til</strong> setningsdeler, setninger og perioder (”rekkefølge”)<br />
115 Semantiske = ordenes meningsinnhold, deres betydning<br />
116 Pragmatiske = bruken av språket (sammen med andre), omfatter <strong>det</strong> å forstå hva andre sier og selv<br />
kunne uttrykke seg. Tidligere skilte en ofte mellom impressive og ekspressive språkvansker.<br />
117 Lian & Ottem, 2007.<br />
118 Lunde, O., 2003.<br />
63
Det er ikke lett å se eller høre at en elev har slike spesifikke språkvansker. Derfor kan barnets<br />
vansker lett oppleves av omgivelsene som helt uforståelige siden enkelte områder av språkferdigheten<br />
kan se helt fin ut.<br />
Elever med forsinket språkutvikling hører ikke inn under denne gruppen. Slike språkvansker<br />
kommer i <strong>til</strong>legg <strong>til</strong> de 7 prosentene, og enkelte elever kan ha forsinket språkutvikling. Disse vanskene<br />
vil på samme måten ha innvirkning på matematikkferdigheten.<br />
Marit Høines sier at ofte er <strong>det</strong> ikke selve matematikken som er problemet, men møtet med <strong>det</strong><br />
matematiske språket og kommunikasjonen rundt <strong>det</strong>te. 119 Jeg tror hun har et viktig poeng her!<br />
<strong>Nå</strong>r vi skal lese et større tall, f. eks. 23648, må vi begynne å tenke bakfra mot venstre. Vi tenker<br />
oss kanskje et mellomrom mellom 3 og 6. Da har vi analysert tallet. Men når vi skal si tallet, begynner<br />
vi foran og leser mot høyre: tjuetre tusen og seks hundre og førtiåtte. For å makte <strong>det</strong>te, kreves<br />
samspill av visuell ferdighet, sekvensferdighet, tallforståelse og språkferdighet.<br />
Ved utformingen av <strong>til</strong>takene ved matematikkvansker, støter vi da på noen problems<strong>til</strong>linger vi<br />
må ta hensyn <strong>til</strong>: Det gjelder både for elever med spesifikke språkvansker og for elever med forsinket<br />
språkutvikling eller andre former for språkvansker. 120<br />
1. Oversetting. Eleven må foreta en oversettelse mellom f. eks. tallet 19 (med plass/verdiforståelse)<br />
<strong>til</strong> <strong>det</strong> verbale tallsystemet. Typiske kjennetegn her: 195 skrives 10095 eller 100905. Mulig<br />
at or<strong>det</strong> ”og” er <strong>det</strong> som skaper noe av problemet? Både elever med språkvansker og elever med<br />
matematikkvansker har svekket funksjon i <strong>det</strong> vi kaller korttidshukommelsen.<br />
2. Telling og tall-fakta. Barn med språkvansker kan ha betydelig svekket tellefunksjon, men<br />
normal forståelse av telleprinsippene og selve antallsforståelsen. Mye tyder på at <strong>det</strong> er korttidshukommelsen<br />
som styrer både selve tellingen og forståelse og bruk av tall-fakta (f. eks. 5+5=10, 4+4=8,<br />
4•2=8 osv). Tallfakta må først lagres i hukommelsen, deretter kunne hentes fram igjen ved behov.<br />
3. Den indre talen. Leseferdighet og matematikkferdighet har en rekke felles komponenter, og<br />
språklyder aktiviseres når eleven løser matematikkoppgaver. Gjelder <strong>det</strong> en opps<strong>til</strong>t oppgave i addisjon,<br />
transformerer eleven gjerne først tallsymbolene i oppgaven <strong>til</strong> fonologisk informasjon, dvs, <strong>til</strong><br />
verbale uttrykk. Det er prosesseringen av denne fonologiske informasjonen som gir løsningen. 121<br />
Elever med matematikkvansker har vansker med denne indre talen<br />
4. Sammenheng lesing – matematikk. Dette er to adskilte prosesser som bruker ulike deler av<br />
hjernen, selv om <strong>det</strong> er samspill. Derfor ser vi at mange elever med lesevansker, ikke har vansker<br />
med regneferdigheten. Men for lesesvake kan <strong>det</strong> være en fordel at de får en visuell støtte under<br />
arbei<strong>det</strong> med matematikk. De skriver ofte ned hele regnestykket, mens de lesesterke bare skriver<br />
svaret. 122 Det å lage skissetegninger av problemet i matematikk, kan også være <strong>til</strong> hjelp.<br />
5. Språkvansker og matematikklæring. Sekundæreffekten av språkvanskene er ofte mer ødeleggende<br />
enn selve språkvansken og kan gi vansker innen sosial fungering og med læring av f. eks.<br />
matematikk. Elever med språkvansker får ofte en undervisning som ligger på lavere nivå enn for<br />
elever uten språkvansker, men med samme IQ.<br />
Svake elever lærer best matematikk ved å bruke språk, f. eks. i diskusjoner med medelever. 123<br />
Dette medfører at elever med matematikkvansker ofte opplever en ekstra hindring i selve undervisningssituasjonen.<br />
119 Høines, M., 1987.<br />
120 Grauberg, E., 1998.<br />
121 Ostad, S., 2008, og Askeland, M. 2005.<br />
122 Reikerås, E., 2007<br />
123 Rivard, L.P., 2004.<br />
64
6. Noen praktiske konsekvenser:<br />
• Vi må bruke visuelle hjelpemidler, f. eks. tall-linje, og arbeide for at den bli mental, dvs.<br />
lagret som et hukommelsesbilde og brukes slik i tankene.<br />
• Vi må bygge opp mentale bilder som er visuelt basert, ikke bare språklig. – Da må vi<br />
bruke ulike former for konkretiseringsmateriell.<br />
• Øve forståelsen mht. matematiske uttrykk, f. eks. ikke bare skrive 7+2= , men også si <strong>det</strong><br />
høyt samtidig. (Se Tillegg B.)<br />
• Reflektere over matematikktekstenes innhold – sette andre ord på dem – oversette dem<br />
<strong>til</strong> dagligtale.<br />
• Eleven må få arbeide med å utvikle skrivingen som tankeredskap - en støtte i den matematiske<br />
forståelsen og bruken.<br />
• Fokusere på ordforråd og setningsbygning – <strong>det</strong> vil ha positiv innvirkning på forståelsen<br />
av matematikken både i skolen og utenfor skolen.<br />
• Skape indre bilder gjennom lytting – og så sette ord på disse ved å beskrive dem.<br />
Lesevansker<br />
Det å kunne lese godt blir viktigere og viktigere for matematikklæringen jo høyere årstrinn en<br />
er på. Spesielt når eleven begynner på fjerde årstrinn, øker kravene om god leseferdighet. Da blir<br />
lærebøkene mer preget av at eleven skal lese selv, mens de første årene var mer preget av illustrasjoner<br />
og opps<strong>til</strong>te stykker. 124 Mange elever opplever <strong>det</strong> som et nytt fag de møter etter sommerferien<br />
mellom 3. og 4. klasse!<br />
Det er fire spesielle områder ved <strong>det</strong> matematiske språket som nå skal leses: 124<br />
• Bruk av uklart subjekt. Verbene er ofte passive, <strong>det</strong> brukes ord som man og vi, utsagn<br />
som ”Skriv hva som…” , ”Regn ut….”<br />
• Logikk i språket. ”Alle kvadrater er rektangler”, men ikke alle rektangler er kvadrater”.<br />
- ”Hva skjer når en ganger med hundre?”<br />
• Bruk av spørresetninger. Mange av oppgavene er formulert som spørsmål.<br />
• Ord med forskjellig betydning i matematikken og i hverdagen. Ord som forhold, funksjon,<br />
rot og potens har ulik betydning i hverdagen og innen matematikken. 125<br />
Noen elever strever bare med lesing/skriving, noen bare med matematikk og noen med begge deler.<br />
Vanligvis regner en at ca. 20 % av elevene i småskolen strever med lesing, skriving og regning,<br />
og at en tredel av disse strever både med lesing og matematikk. 126 Det sier seg selv at en elev som<br />
både strever med noen eller alle av de 6 grunnleggende ferdighetene i matematikk og i <strong>til</strong>legg strever<br />
med lesing av enkel tekst, har <strong>det</strong> vanskelig i skolen.<br />
Noen elever har også spesifikke lese- og skrivevansker. Da har de vært <strong>til</strong> utredning ved PPT, og<br />
<strong>det</strong> vil være satt i gang <strong>til</strong>tak rundt <strong>det</strong>te. I <strong>det</strong> følgende tenker <strong>jeg</strong> på de elevene som ikke har vært<br />
undersøkt for sine lesevansker, men hvor <strong>det</strong> er tydelig at leseferdigheten gjør <strong>det</strong> vanskeligere å lære<br />
matematikk. Ofte vil <strong>det</strong>te gjelde elever fra tredje årstrinn og oppover.<br />
124 Pind, 2008, side 13ff.<br />
125 Se også Lunde, 2003.<br />
126 Reikerås, E., 2006.<br />
65
En mulighet <strong>til</strong> å støtte elevene i arbei<strong>det</strong> med matematikken, kan være å bruke et skjema når<br />
eleven skal arbeide med problemløsningsoppgaver og tekststykker i matematikken. 127 Elevene skal<br />
arbeide sammen i par og snakke sammen om punktene i skjemaet. De har et slikt arbeidsark som<br />
støtte: Det egner seg også godt sammen med en voksen, f. eks. mor, far eller læreren.<br />
Arbeidsgang (To elever arbeider sammen)<br />
Les oppgaven høyt (A leser)<br />
Gjenfortell oppgaven med egne ord. (B gjenforteller)<br />
- Hva handler oppgaven om?<br />
- Hvordan skal den løses?<br />
- Hva er spørsmålet?<br />
- Hva vet vi?<br />
- Hva annet vet vi om <strong>det</strong>te?<br />
Finn og velg en løsningsstrategi sammen.<br />
Gi et overslag.<br />
Regn ut resultatet.<br />
Vurder resultatet med overslaget og med spørsmålet i oppgaven.<br />
Sett kryss<br />
Les oppgaven høyt. Dette er leseavkoding, dvs. om eleven rent teknisk er i stand <strong>til</strong> å lese teksten.<br />
Hvis ikke blir <strong>det</strong> hele meningsløst!<br />
Gjenfortell oppgaven med egne ord. Dette er for å avklare om eleven har forstått teksten. I<br />
<strong>til</strong>legg <strong>til</strong> å øke selve leseforståelsen, vil slik gjenfortelling ofte sette i gang tankeprosesser om selve<br />
oppgaven.<br />
Hva handler oppgaven om? Det viktige her er om eleven er i stand <strong>til</strong> å sortere ut informasjonen<br />
og sette den sammen med tidligere erfaring og kunnskap. Det er vel en erfaring mange av oss<br />
har gjort, at samtale og diskusjon ofte gjør at en bedre kan vurdere informasjon og se sammenhenger.<br />
Elevene må kunne forstå både matematiske uttrykk og matematiske symboler i teksten.<br />
Finn og velg løsningsstrategi. Gjennom <strong>det</strong>te koples den funksjonelle leseferdigheten med den<br />
matematiske ferdigheten og forståelsen. Da må en ha fokus på <strong>det</strong> sentrale i oppgaven, og en må<br />
kunne noen strategier eller fremgangsmåter for hvordan en matematisk kan løse slike problem.<br />
Gi et overslag. For å kunne <strong>det</strong>te, må eleven ha hverdagserfaring og en god tallforståelse.<br />
Gjennom <strong>det</strong> å snakke om hva resultatet kan bli, blir disse to ferdighetene koplet sammen.<br />
Regn ut resultatet. Her er kunnskap om prosedyrene viktig. For noen elever kan <strong>det</strong> være nødvendig<br />
at de gjør selve utregningen på en kalkulator. Har de vært med og velge løsningsstrategi og<br />
drøftet hva som kan være sannsynlig svar, er <strong>det</strong> viktig at de også mestrer selve utregningen selv om<br />
<strong>det</strong> skjer på en kalkulator. I voksen alder vil de trolig ha mer nytte av å kunne bruke en kalkulator<br />
godt enn mange av ”blyant-og-papir”-utregningene som ofte er tidkrevende.<br />
Sammenligne resultatet. Dette er viktig for selve forståelsen av <strong>det</strong> matematiske. Tekstoppgavene<br />
kan i seg selv være vanskelige for eleven, men mye tyder på at tallforståelsen er en nødvendig forutsetning<br />
for at eleven skal kunne forstå <strong>det</strong> matematiske i tekstoppgavene. 128<br />
127 Lunde, O., 1997, side 197ff og Andersen, M. W., 2006. Andersen har laget skjemaet for arbeid med<br />
tekststykker.<br />
128 Se også Garcia, et. al., 2006. De finner at ved tekststykker er <strong>det</strong> ikke den semantiske strukturen i seg<br />
selv som i hovedsak bestemmer vanskegraden på oppgaven. Derimot synes plasseringen av ”den ukjente<br />
mengden” i teksten, å være avgjørende. Det vanskeligste er når <strong>det</strong>te kommer i begynnelsen av tekstoppgaven,<br />
og <strong>det</strong> er vanskeligere for elever med lærevansker i matematikk enn for andre elever. - Det å<br />
skrive om tekstoppgavene, men beholde ord og begreper og <strong>det</strong> matematiske problemet, kan altså bidra <strong>til</strong><br />
at elever med matematikkvansker bedre mestrer slike oppgaver.<br />
66
Språk og tallforståelse utvikles uavhengig av hverandre, og lesing og matematikk er atskilte fenomen.<br />
Men i mange situasjoner både i skolen og utenfor skolen, må de brukes samtidig og i kombinasjon.<br />
Det å bruke et slikt skjema en stund, kan hjelpe eleven <strong>til</strong> å få <strong>til</strong> denne kombinasjonen. Etter hvert<br />
vil eleven kunne mestre kombinasjonen uten å bruke skjemaet og uten å samarbeide med andre.<br />
Andre vansker<br />
Mange elever med matematikkvansker, har også vansker med konsentrasjonen. Vi får et samspill<br />
mellom matematikkvanskene og konsentrasjonsvanskene, slik at begge blir forsterket. Om<br />
<strong>det</strong> ene er årsaken <strong>til</strong> <strong>det</strong> andre, er vanskelig å si. Men igjen finner vi at <strong>det</strong> er de grunnleggende<br />
ferdighetene som må mestres og spesielt bruken av matematiske begreper. Disse må automatiseres<br />
(”overlæres”). 129 (Se Tillegg B.)<br />
To-språklige elever kan ofte streve med matematikken. Språkferdigheten betyr mye for god matematikklæring,<br />
og noen to-språklige har ikke den nødvendige språkferdigheten. Mange av de matematiske<br />
begrepene er abstrakte. Enkelte to-språklige elever har på overflaten et godt dagligspråk,<br />
men mangler begrepsinnhol<strong>det</strong> i de abstrakte begrepene.<br />
Hvis eleven har matematikkvansker og er to-språklig, bør en vurdere begrepsforståelse og språkferdighet,<br />
gjerne i samarbeid med PPT. Vil du lese mer om <strong>det</strong>te, så se artikkelen min om ”Matte på<br />
to språk”. 130<br />
Store lærevansker vil selvsagt virke inn på matematikklæringen. Jeg tenker på kognitive vansker<br />
(svakt evnenivå) og på genetiske vansker som Downs syndrom, Fragilt X og Turners syndrom.<br />
I slike <strong>til</strong>feller vil PPT og andre være aktive, og en må lage et helhetlig opplegg hvor også matematikken<br />
er med.<br />
Det samme vil også gjelde ved sosiale/emosjonelle vansker og ved vansker med syn eller hørsel.<br />
Oppsummering og konklusjon<br />
God læring avhenger av gode læreforutsetninger og bygger på tidligere erfaringer. Elevene er<br />
ulike, og kan ha svært ulike læringsforutsetninger og erfaringer. Spesielt er <strong>det</strong>te <strong>til</strong>felle når eleven<br />
har språkvansker, konsentrasjonsvansker, lesevansker eller andre store vansker.<br />
Bruk av læringsstrategier har vist seg å være <strong>til</strong> god hjelp ved utformingen av den <strong>til</strong>passede opplæringen<br />
for elever med lærevansker i matematikk. 131 Bruk av slike læringsstrategier bidrar <strong>til</strong> å systematisere<br />
informasjonen, lagre den og hente den fram igjen når den skal brukes <strong>til</strong> å løse oppgaver.<br />
Hvis en bare ser på matematikken når en skal utforme <strong>til</strong>takene, vil en ofte oppleve at eleven ikke<br />
lærer. Det er derfor viktig å utforme helhetlige opplegg for slike elever i samarbeid med PPT og/<br />
eller andre instanser.<br />
129 Zentall, et. al., 1994. Jeg viser også <strong>til</strong> artikkel av Vetrhus, 2003, om <strong>til</strong>tak for elever med matematikkvansker<br />
og ADHD, og <strong>til</strong> den nye boken av Vetrhus & Bjelland: Dette gidder <strong>jeg</strong> ikke lærer” AD/HD i<br />
skolen. InfoVest forlag, 2007.<br />
130 Lunde, O., 2001. Se også Michael Wahl Andersen, 2008, kap. 3 om ”dansk som an<strong>det</strong>sprog i matematikundervisningen”.<br />
131 Lunde, Hole & Hansen, 1999, kap. 9. - For praktisk utforming av <strong>det</strong>te, viser <strong>jeg</strong> <strong>til</strong> to bøker av Kari<br />
Hole: ”Læringsstrategier i <strong>til</strong>passet opplæring” og ”Bruk av læringsstrategier for elever med ulike lærevansker.”<br />
Begge bøkene er utgitt på InfoVest Forlag.<br />
67
68
11. Skal Bob-Kåre henvises <strong>til</strong> PPT for<br />
utredning?<br />
En advarsel: Ikke vent og se om matematikken kommer av seg selv. Som regel gjør den ikke <strong>det</strong>!<br />
Sett i gang med <strong>til</strong>tak (<strong>til</strong>passet opplæring) så raskt som mulig, helst i løpet av vinteren i første<br />
årstrinn! Denne boken er tenkt som en hjelp nettopp <strong>til</strong> å komme raskt i gang.<br />
Hvis eleven ikke har en rimelig god og merkbar fremgang i matematikk i løpet av et halvt års tid,<br />
bør eleven henvises <strong>til</strong> PPT. Har en mistanke om språkvansker eller andre mer omfattende vansker,<br />
må eleven henvises raskest mulig.<br />
Hva kan PPT gjøre?<br />
PPT kan gå inn i saken på tre måter:<br />
Den enkleste måten er at du som lærer kontakter PPT og ber om en drøfting om elevens situasjon<br />
og hva som bør og kan gjøres. Denne kan være anonymisert, men som regel er <strong>det</strong> best at foreldrene<br />
har gitt et muntlig samtykke <strong>til</strong> slik drøfting.<br />
I slike samtaler kan ”kompassmodellen” være <strong>til</strong> hjelp. Den kan gi et godt bilde av situasjonen<br />
slik den er nå og også skissere en veg videre. PPT kan så bidra med å utforme hjelpe<strong>til</strong>takene. Ofte<br />
kan <strong>det</strong> dreie seg om materiell, organisering og kompetanse. Da arbeider PPT systemrettet.<br />
Det neste trinn kan være at du som lærer får hjelp <strong>til</strong> å <strong>til</strong>passe den <strong>til</strong>passede opplæringen. 132 Da<br />
skal foreldrene ha gitt samtykke, og PPT vil trolig foreta en enkel undersøkelse av eleven enten på<br />
sitt kontor eller på skolen. De vil også ha en samtale med læreren.<br />
Vi kan kalle <strong>det</strong>te å utforme den <strong>til</strong>passede opplæringen etter skreddersøm. På første nivå var <strong>det</strong><br />
mer <strong>det</strong> vi kan kalle konfeksjon. For å lage slik skreddersøm, må vi først ha noen mål. Det er tre<br />
slike mål som da må tas:<br />
• En faganalytisk funksjonsprofil. Det vil si: ”Hva kan og hva kan ikke eleven innen matematikken?<br />
- Hva er <strong>det</strong> eleven strever mest med?” Dette vil <strong>det</strong> ofte være læreren som<br />
tar, og da kan en bruke M-prøvene eller helst en dynamisk kartlegging (se kap. 3).<br />
• En kognitiv funksjonsanalyse. PPT tar en evnetest eller bruker lignende verktøy for å få<br />
et bilde av hvordan eleven lærer og hva som er sterke og svake sider.<br />
• En sosiologisk mulighetsanalyse. Med den skal en få et bilde av hvordan eleven fungerer<br />
i klassen, hjemme, i fritiden, hva kan foreldrene hjelpe med osv. Hvilken kompetanse har<br />
skolen? Hva slags materiell er der? Hvordan er skolens ressurser?<br />
På bakgrunn av <strong>det</strong>te kan en så utforme den <strong>til</strong>passede hjelpen, og PPT vil følge opp og vurdere<br />
fremgangen.<br />
Det tredje nivå PPT kan gå inn på, er meget omfattende. Da foretar PPT <strong>det</strong> som kalles sakkyndig<br />
vurdering, og hjelpen vil da bli gitt som enkeltvedtak.<br />
132 Lunde, O., 2008.<br />
69
Den sakkyndige vurderingen er omfattende og omtalt i skolelovens §5. PPT skal innhente opplysninger<br />
om elevens utvikling, utrede om eleven har utbytte av <strong>det</strong> ordinære undervisnings<strong>til</strong>bu<strong>det</strong><br />
og om eleven har spesielle lærevansker og/eller om <strong>det</strong> er andre forhold som er viktige for opplæringen.<br />
Den sakkyndige uttalelsen skal beskrive realistiske opplæringsmål for eleven, om hjelpen<br />
kan gis innenfor <strong>det</strong> ordinære opplærings<strong>til</strong>bu<strong>det</strong> og hva som vil være et forsvarlig opplærings<strong>til</strong>bud.<br />
Da skal skolen også lage en individuell opplæringsplan, en IOP på grunnlag av den sakkyndige uttalelsen.<br />
70
12. Hva skal <strong>jeg</strong> si <strong>til</strong> foreldrene?<br />
Fortell om din bekymring!<br />
Trolig har foreldrene selv merket at matematikklæringen ikke fungerer som de hadde ventet, og<br />
de vil da føle <strong>det</strong> som en lettelse at du tar opp <strong>det</strong>te. Men der og da oppleves <strong>det</strong> vondt for foreldrene…<br />
Ofte er <strong>det</strong> av verdi å lytte <strong>til</strong> hva foreldrene har å fortelle om elevens matematiske fungering<br />
hjemme og i fritiden. Du kan gjennom en slik samtale få et grovt bilde av elevens læringsforutsetninger.<br />
Det er viktig å få fram om <strong>det</strong> er spesielle sykdommer eller hendelser, bruk av medisiner<br />
osv. som kan hindre faglig framgang og om <strong>det</strong> er spesielle interesser, ferdigheter og erfaringer som<br />
en kan dra nytte av. Ofte lærer eleven bedre hvis matematikken blir knyttet <strong>til</strong> kjent stoff (”kjent<br />
kontekst”) og interesser. En hobby som frimerkesamling, kan være en fin innfallsvinkel <strong>til</strong> matematikken!<br />
Hvis <strong>det</strong> er aktuelt å vurdere henvisning <strong>til</strong> PPT, bør du fortelle foreldrene litt om hva PPT gjør.<br />
Hva kan foreldrene gjøre?<br />
Mange foreldre spør hva de skal gjøre hjemme.<br />
Det er ikke alltid så lurt å komme med en lang liste over aktiviteter. Det kan lett lage en presset<br />
situasjon, og eleven lærer kanskje enda mindre.<br />
Jeg foreslår følgende to temaer som en kan snakke med foreldrene om:<br />
For <strong>det</strong> første hvordan leksesituasjonen er. Snakk med foreldrene om mengden av lekser, hvordan<br />
eleven arbeider med <strong>det</strong>te og hvordan foreldrene hjelper. Ofte kommer <strong>det</strong> da fram endringer<br />
både når <strong>det</strong> gjelder arbeidsformen og mengden lekser.<br />
Noen ganger kan <strong>det</strong> være en idè at foreldrene får vite hva som skal arbeides med på skolen de<br />
nærmeste dagene og kan snakke litt om <strong>det</strong> hjemme på forhånd. Ofte kan en slik ”forbereding” bidra<br />
<strong>til</strong> at eleven blir mer aktivt med i timene på skolen og da også får en bedret følelse overfor matematikken.<br />
Det andre en bør snakke om, er aktiviteter som ikke direkte har med leksene å gjøre, men med<br />
reelle hverdagssituasjoner hjemme som inneholder matematikk og/eller spill. Jeg tenker på aktiviteter<br />
som å dekke bord, finne fram bestemte antall, være med og snakke om innkjøp. <strong>Nå</strong>r <strong>det</strong> gjelder<br />
spill, har de fleste mye matematikk. Ludo med først en terninger, deretter to, og alle andre terningsspill.<br />
Yatzy er jo ren talltrening! - Også kortspill er fint å bruke.<br />
Matematikkdagheftene som LAMIS utgir har mange slike ideer, og en kan jo tipse foreldrene om<br />
slike. 133<br />
All erfaring viser at eleven <strong>til</strong>egner seg matematikken bedre når der er et tett samarbeid mellom<br />
skolen og foreldrene.<br />
133 I boken min om ”Kartlegging og undervisning ved lærevansker i matematikk” (InfoVest forlag, 1997),<br />
har <strong>jeg</strong> på sidene 172-173 laget et opplegg for 8 uker med en oppgave hjemme hver dag. Alle oppgavene<br />
krever samarbeid med en annen person hjemme, og de er annerledes enn de tradisjonelle leksene. Ofte<br />
kan <strong>det</strong> gi endring i følelsene knyttet <strong>til</strong> matematikkfaget å få slike oppgaver et par måneder – og foreldrene<br />
blir engasjert sammen med eleven på en annerledes måte.<br />
71
72
Noen vanlige spørsmål om<br />
matematikkvansker 134<br />
Spørsmål: Hei! Jobber som spesialpedagog på en liten skole og har ansvaret for å teste/kartlegge<br />
ulike elever før evt. videre vurdering hos PPT. Vi har behov for noen tester/kartleggingsmateriell i<br />
matematikk for elev på 2.trinn. Det går på helt grunnleggende begreper som trengs for matematikkopplæringen<br />
først og fremst. Har du noen forslag <strong>til</strong> hva <strong>jeg</strong> kan bruke?<br />
Svar: Det er vanskelig <strong>det</strong> du spør om... Vi har ikke noen gode tester/kartleggingsmateriell for<br />
nettopp <strong>det</strong>te, men noe kan du bruke - med litt sunn skepsis!<br />
Jeg antar at <strong>det</strong> dreier seg om en elev som har store vansker med matematikken, siden du antyder<br />
at <strong>det</strong> er før henvisning <strong>til</strong> PPT.<br />
Da foreslår <strong>jeg</strong> følgende:<br />
a) Bruk M-prøven, 2. klasse. Den finnes ikke for første. Det kan være et problem for en svak<br />
elev ved at eleven får lite <strong>til</strong>. Du kan få mer informasjon ut av testen ved å bruke den dynamisk.<br />
Bes<strong>til</strong>les fra PP-tjenestens Materialservice, Boks 115, 2714 Jaren.<br />
b) Hammervold & Ostad har et kartleggingsverktøy som kan brukes. ”Basiskunnskaper i matematikk”.<br />
Universitetsforlaget. Den er laget for 2., 4. og 7. årstrinn og kan brukes på samme måten<br />
som M-prøvene.<br />
c) Materiell laget av Allistair McIntosh: ”Alle teller”. Du finner stoff om <strong>det</strong>te hos NSMO<br />
(Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen, www.matematikksenteret.no) Det har tester for<br />
hvert årstrinn pluss en god veiledning <strong>til</strong> hva en kan gjøre ved spesielle vansker innen tallforståelse.<br />
Der er <strong>det</strong> egen test for 1. årstrinn.<br />
d) Det som <strong>jeg</strong> liker best, er <strong>det</strong> <strong>jeg</strong> selv har laget: Lundes ”Kartlegging av læringsforutsetninger<br />
for matematikk”. InfoVest Forlag, 1997. Dette bygger på prinsippet om dynamisk testing, og ser mer<br />
på forutsetninger og utforming av ev. hjelpe<strong>til</strong>tak, enn på hva eleven kan og ikke kan. (Se www.<br />
infovestforlag.no) Dette er ikke laget for første/andre klasse, men du kan enkelt <strong>til</strong>passe <strong>det</strong> slik.<br />
Spørsmål: Er dyskalkuli og matematikkvansker <strong>det</strong> samme?<br />
Svar: Både ja og nei! Dyskalkuli brukes ofte likt med spesifikke matematikkvansker, dvs. at<br />
eleven har store vansker i matematikkfaget uten å ha <strong>til</strong>svarende vansker i andre fag.<br />
Hovedkjennetegnet på både dyskalkuli og matematikkvansker er at personen har store vansker<br />
med å håndtere tall, ofte i forholdsvis enkle sammenhenger. Vanskene kan gi seg utslag på mange<br />
måter og derfor er <strong>det</strong> ofte vanskelig å s<strong>til</strong>le en klar diagnose. Men ting som grunnleggende matematikk,<br />
håndtering av økonomi og budsjett eller utregning av hvor mye en skal ha igjen etter å ha<br />
handlet, er vanlige problem for elever med matematikkvansker/dyskalkuli.<br />
134 De følgende spørsmål og svar er basert på mange spørsmål <strong>jeg</strong> har fått fra lærere og foreldre, og på<br />
stoff hentet fra LD Talk på nettste<strong>det</strong> www.ncld.org. Dette er nettsiden <strong>til</strong> National Center for Learning<br />
Disabilities. De som svarer er M. Mazzocco, D. Berch og N. C. Jordan. Alle tre er meget sentrale<br />
innen arbei<strong>det</strong> med matematikkvansker.<br />
For de som måtte ønske å gå dypere inn i den teoretiske begrunnelsen for svarene, viser <strong>jeg</strong> <strong>til</strong> Lunde, O.:<br />
”Matematikkvansker”, kap. 3 i Rygvold & Ogden (red.): ”Innføring i spesialpedagogikk.” Gyldendal<br />
Akademisk, Oslo 2008.<br />
73
Andre tegn på slike vansker kan være at <strong>det</strong> er påfallende vanskelig å holde orden på høyre/venstre,<br />
forstå noter, ha dårlig hukommelse, ha problemer med å kople ansikter og navn, følge med i resultater<br />
i spill og på sport, lære seg klokken – og bruker ofte lengre tid enn vanlig på å ta førerkort.<br />
Personer med diagnosen dyskalkuli kan normalt søke om dispensasjon for matematikk, og likevel<br />
komme inn på videre studier selv om man ikke har bestått eksamen i faget. Det er PPT som foretar<br />
utredning og setter en slik diagnose.<br />
Spørsmål: Jeg skriver for <strong>jeg</strong> lurer på om <strong>jeg</strong> kan ha dyskalkuli. Har nettopp fått vite om denne<br />
<strong>til</strong>standen og har vært inne på siden <strong>til</strong> dyskalkuli.net. 135 Jeg er straks 24 år gammel og har helt siden<br />
<strong>jeg</strong> begynte på skolen, hatt store problemer med matematikken.<br />
Jeg har gode karakterer i andre fag, men har, med et nødskrik, klart å bestå i matte. Jeg liker<br />
matte, men forstår ikke så mye, samme hvor mye <strong>jeg</strong> prøver. Det går bare ikke inn.<br />
Utallige ganger har <strong>jeg</strong> lagt ut i <strong>det</strong> vide og breie under tentamen i matte, men <strong>det</strong> går ikke!<br />
Det samme med hva er høyre og hva er venstre, osv. Kanskje du kan gi meg råd og veiledning om<br />
hva <strong>jeg</strong> kan gjøre?<br />
Svar: Jeg tror du bør få undersøkt nærmere om du har slike spesielle vansker med matematikken.<br />
Ut fra <strong>det</strong> du skriver, begynner <strong>jeg</strong> å tenke i slike baner. Det du strever med er ganske typisk - og<br />
ofte helt uforståelig! Andre ting (som i grunnen er mye vanskeligere) går jo helt fint. Men når <strong>det</strong><br />
gjelder forholdsvis enkle ting i matematikk (og som andre klarer uten problem), strever du. - Og da<br />
kommer ofte vonde følelser og liten tro på seg selv!<br />
Vi vet så altfor lite om <strong>det</strong>te. Og vi opplever også i dag at elever sliter med slike ting i skolen<br />
uten å få noe hjelp. Jeg vet ikke hva du gjør og hvor du bor. Men hvis du vil ta <strong>det</strong>te opp og gjøre<br />
noe med <strong>det</strong>, er <strong>det</strong> PPT i din hjemmekommune du må ta kontakt med. Det har du full rett <strong>til</strong> etter<br />
skoleloven. Hjelpen der er gratis.<br />
Hvis PPT sier at de ikke har kapasitet eller vet nok om matematikkvansker <strong>til</strong> å hjelpe deg, skal<br />
du be om at de tar kontakt med <strong>det</strong> kompetansesenteret for sammensatte lærevansker (Statped) som<br />
din kommune hører inn under. De skal bistå PPT i slikt arbeid og har kompetanse <strong>til</strong> <strong>det</strong>.<br />
Du kan se mer om matematikkvansker på nettsiden vår: www.statped.no/sorlan<strong>det</strong>/matematikk.<br />
Spørsmål: Hva slags undervisningsopplegg skal <strong>jeg</strong> bruke for en elev som strever mye med i<br />
matematikken og spesielt med problemløsning?<br />
Svar: Det avhenger i stor grad av hvilken form for vansker eleven har. Jeg tenker på vansker<br />
med talloppfatningen, <strong>det</strong> å forstå operasjonene og fremgangsmåtene, hukommelsen, oppmerksomheten<br />
og <strong>det</strong> å forstå ord og uttrykk (kunne begrepene). Alt <strong>det</strong>te er faktorer som <strong>det</strong> har vist seg har<br />
stor innflytelse på <strong>det</strong> å kunne løse problemer i matematikk. Og har eleven lesevansker, blir jo all<br />
tekst vanskelig.<br />
Det er viktig å finne ut hva eleven kan og ikke kan i matematikk, og så knytte <strong>det</strong>te opp mot reelle<br />
problem i hverdagen. Ideer om <strong>det</strong>te kan du finne på <strong>det</strong>te nettste<strong>det</strong>: www.matematikk.org.<br />
Spørsmål: Jeg synes at elevene <strong>jeg</strong> har veldig ofte strever med å organisere informasjonen de får<br />
i undervisningen og når de skal løse problem. De kan på en måte en god del matematikk, men de vet<br />
ikke når og hvor de skal bruke den. Hvordan kan <strong>jeg</strong> få dem <strong>til</strong> å forstå hva de skal gjøre?<br />
135 Dette er en nettside om matematikkvansker som drives av Vivvi Sagerup, som selv har store matematikkvansker.<br />
Les hennes beretning om <strong>det</strong>te i Spesialpedagogikk nr. 4/2006: ”Slik kan <strong>det</strong> være!”<br />
74
Svar: Det du beskriver er i grunnen <strong>det</strong> vi kaller for ”vansker med utførende funksjoner” (executive<br />
functions). Dette er viktige ferdigheter som <strong>det</strong> å kunne planlegge, styre handlingsimpulser,<br />
styre oppmerksomheten eller <strong>det</strong> å velge ut strategier for arbei<strong>det</strong>.<br />
Barn med ulike lærevansker har ofte vansker nettopp med disse tingene. De får, som du sier, på<br />
en måte ikke brukt <strong>det</strong> de kan.<br />
Jeg har ikke noe enkelt svar på <strong>det</strong>te. For noen elever kan <strong>det</strong> være en hjelp å ha støtte i en ytre<br />
struktur når de arbeider. Vi vet også at alle disse funksjonene har sammenheng med elevens begrepsforståelse.<br />
Vi har tidligere sett på et skjema som kan være <strong>til</strong> hjelp i <strong>det</strong>te arbei<strong>det</strong>.<br />
Hvis eleven strever med disse tingene i stor grad, bør du ta kontakt med PPT og få en utredning.<br />
Slike vansker som de du beskriver, kan ha sammenheng med elevens nevropsykologiske fungering<br />
også.<br />
Spørsmål: Det er ikke uvanlig at foreldre spør om matematikkvanskene kunne vært forhindret.<br />
Ofte forteller de at de selv har hatt slike vansker, men aldri tenkt på at <strong>det</strong> var noe barna kunne få.<br />
Svar: Det avhenger av så mangt… Noen teoretikere vil si ja, <strong>det</strong> kan forebygges, andre vil si nei.<br />
Jeg mener at en stor del av vanskene kan forebygges ved at <strong>det</strong> arbeides systematisk med matematiske<br />
begreper og bruk av matematisk tenking i hverdagen før barnet begynner på skolen. 136<br />
Selv om matematikkferdigheten har mye med biologiske forhold (hjernen) å gjøre, betyr ikke <strong>det</strong><br />
at <strong>det</strong> er ”låst” slik. Dette er funksjoner som kan arbeides med og som da bedrer seg. Og skyldes<br />
vanskene manglende erfaringer eller forsinket språk, sier <strong>det</strong> seg selv at ved å arbeide med <strong>det</strong>te, vil<br />
også matematikkferdigheten bli bedre.<br />
<strong>Nå</strong>r du snakker med foreldre om slike ting, så pass på at du ikke skaper dårlig samvittighet. De<br />
kan jo ikke ha gjort noe de ikke visste om! Poengter at <strong>det</strong> fortsatt er veldig viktig hva foreldrene er<br />
med og gjør sammen med skolen.<br />
Spørsmål: Sønnen min som nå går på ungdomstrinnet, strever med matematikken. Han har også<br />
lesevansker. Han klarer ikke ”se” hva 10-1 blir, men må telle seg fram <strong>til</strong> svaret 9. Han kan klare<br />
logiske resonnement og løse ”nøtter” i ho<strong>det</strong> og er slett ikke dum. Dette tar så veldig lang tid at han<br />
får lite gjort og blir lei <strong>det</strong> hele. Hva kan <strong>jeg</strong> gjøre?<br />
Svar: Dette er faktisk ganske vanlig: De helt enkle matematiske ferdighetene fungerer ikke<br />
slik som her, men mer kompliserte problemer går greit. Da er <strong>det</strong> lett å tenke at ”han gidder ikke<br />
tenke”…<br />
Det er spesielle deler av hjernen som styrer denne funksjonen med å kunne se for seg en tall-linje<br />
og tenke slik.<br />
Jeg synes du skal snakke med læreren om <strong>det</strong>te. Hvis <strong>det</strong> er et stort problem og eleven ikke har<br />
vært utre<strong>det</strong> ved PPT, synes <strong>jeg</strong> dere skal henvise ham dit. Enten kan han arbeide direkte med å bedre<br />
denne funksjonen med å ”se” løsningen på enkle aritmetikkoppgaver, eller så kan han lære seg andre<br />
måter å finne <strong>det</strong> ut på som ikke tar så lang tid.<br />
Spørsmål: Bør en elev med matematikkvansker og som går i tredje årstrinn, få bruke kalkulator?<br />
Svar: Dette er et viktig spørsmål. For <strong>det</strong> første må eleven lære å bruke en kalkulator. Ellers<br />
kan en oppleve at eleven faktisk gjør flere feil med kalkulator enn uten! For <strong>det</strong> andre: Barn i denne<br />
alderen bør bare bruke kalkulatoren av og <strong>til</strong> og da på mer kompliserte utregninger. Det vi ofte kaller<br />
”tall-fakta”, bør eleven prøve å lagre i hukommelsen og kunne kalle dem fram derfra. Hvis <strong>det</strong> ikke<br />
går, er <strong>det</strong> jo bedre at han bruker kalkulator og får <strong>det</strong> <strong>til</strong>, enn bare blir sittende passiv.<br />
136 Lunde, O., 2008.<br />
75
Spørsmål: Jeg har en elev som er 7 år, men strever med å huske navnene på sifferne 6,7,8 og 9.<br />
Hun vet hva de står for (kan legge riktig antall kuber når <strong>jeg</strong> legger sifferet foran henne), men hun<br />
klarer ikke huske hva sifferet heter. Det er litt forvirrende og skaper vansker også i forhold <strong>til</strong> de<br />
andre elevene.<br />
Svar: I 7-års alderen er <strong>det</strong> vanlig å mestre <strong>det</strong>te uten vansker. Jeg tror denne eleven kan ha<br />
spesifikke språkvansker. Jeg ville snakket med en logoped om <strong>det</strong>te problemet. Det har neppe noe<br />
med matematikk som sådan å gjøre.<br />
76
Tillegg:<br />
A: Stegmodell i matematikk<br />
Det kalles også ”stegark” og omtales ofte som en god måte å gi elevene <strong>til</strong>passet opplæring på.<br />
Det hevdes at slike stegark gir bedre faglig oversikt over <strong>det</strong> elevene skal lære samtidig som <strong>det</strong> gir<br />
et godt bilde av hver enkelt elevs kompetanse.<br />
Bjørnar Alseth og Mona Rosseland er noe betenkt på ensidig bruk av denne modellen, og <strong>jeg</strong> deler<br />
deres betenkeligheter. 137<br />
Det er begrenset hvor mange steg en kan dele stoffet inn i, og <strong>det</strong> vil være umulig å splitte <strong>det</strong>te<br />
i forhold <strong>til</strong> den enkelte elevens kompetanse. Ofte blir stegarkene fokusert på konkrete mål som <strong>det</strong><br />
er lett å identifisere og så teste. Det kan lett gå ut over forståelsen i faget.<br />
Ikke alle elevene har den samme faglige progresjonen slik stegarkene legger opp <strong>til</strong>, og de trenger<br />
heller ikke den samme arbeidsmengden på ulike deler. Dette er <strong>det</strong> ofte vanskelig å justere i stegarkene.<br />
Og mange elever lærer best i samarbeid med andre, ikke ved å sitte alene med slike oppgaver. Det<br />
hele kan bli for individualisert! Og da er <strong>det</strong> ofte de svake elevene som kommer dårligst ut. Slik sett<br />
kan bruken av stegark faktisk hindre en <strong>til</strong>passet opplæring!<br />
Mye kalles for ”stegmodellen”, men nedenfor er gjengitt utformingen av denne arbeidsformen<br />
slik den først ble brukt i Norge.<br />
Etter modell fra den svenske Kunskapsskolan satte Pedagogisk Senter i samarbeid med 6 skoler i Karmøy i<br />
gang et arbeid med å utvikle en norsk stegmodell. Arbei<strong>det</strong> ble satt i gang høsten 2002 med midler fra utdanningskontoret<br />
og Karmøy kommune.<br />
Lærestoffet for mellom og ungdomstrinnet er nå inndelt i 50 ulike steg (de to siste stegene tar for seg noe<br />
av pensumet på videregående skole) Stegmodellen er bygd opp med følgende elementer:<br />
• En stegtest som viser forkunnskaper i forhold <strong>til</strong> <strong>det</strong> aktuelle steget,<br />
• Et steg med mål, matematiske gloser, forslag <strong>til</strong> oppgaver der elevene lager sin personlige vei – alt<br />
etter hva slags forkunnskaper de har. De fleste steg vil også inneholde forslag <strong>til</strong> aktivitet og matematiske<br />
oppgaver som ligger på internett.<br />
• Et aktivitetssteg eller prosjektsteg for hvert 4. steg som omfatter fagstoff for de tre foregående<br />
steg. Aktivitetssteget vil som regel være bygd opp som et ”oppdrag” med mål, forslag <strong>til</strong> aktivitet<br />
og vurderingskriterier.<br />
• En avsluttende stegtest. Elever som klarer stegtesten, går videre <strong>til</strong> neste steg. Elever som har<br />
”store hull” vil fortsette en tid med å arbeide på samme steg – gjerne ved hjelp av andre metoder<br />
– før de tar testen på nytt. Da går de videre <strong>til</strong> neste steg selv om de fortsatt mangler en del kunnskaper<br />
.<br />
Stegmodellen er <strong>til</strong>rettelagt for <strong>til</strong>passet opplæring der den enkelte elev får arbeide med <strong>det</strong> steg han har<br />
kompetanse og forutsetning for. Det betyr at en elev i 6. klasse kan arbeide med et steg som ”hører hjemme”<br />
i 7. Klasse, mens sidemannen arbeider med et steg der lærestoffet er hentet fra 4. klasse eller i ungdomsskolen<br />
for den slags skyld...<br />
Opplegget går langt i forhold <strong>til</strong> individuell <strong>til</strong>pasning og forutsetter at skolen har <strong>til</strong>rettelagt undervisningen<br />
med nyere undervisnings- og organiseringsformer.<br />
(Hentet fra: http://www.karmoyped.no/prosjekt/stegmodellen.htm)<br />
137 http://www.fiboline.no/presentasjoner/20070823_stegark_læringsmaal.pdf<br />
77
B: Noen sentrale, matematiske begreper 138<br />
Bør arbeides med i<br />
barnehagen<br />
Bør mestres<br />
ved start i 1. årstrinn<br />
Bør arbeides med i<br />
1.- 2. årstrinn<br />
1.<br />
Farge<br />
Blå, rød, gul, grønn, hvit,<br />
brun, sort, lilla, rosa, grå<br />
Primærfargene (for eksempel<br />
knyttet <strong>til</strong> barnas<br />
klær)<br />
(Ut fra beskrivelsen, bruker<br />
de langt mer enn bare<br />
primærfargene.)<br />
Blå, rød, gul, hvit, sort,<br />
grønn<br />
Primærfargene, og litt<br />
om fargeblanding<br />
Alle grunnfargene<br />
De vanlige fargene. Utgangspunkt<br />
i regnbuen<br />
Lyse/mørke farger<br />
Primærfargene + blande primærfargene.<br />
Fargesirkelen<br />
Benevning av de vanlige fargene<br />
og erfaring med fargeblanding.<br />
Rød/gul, blå/gul, rød/blå,<br />
Lage lysere og mørkere blandinger,<br />
lage brunt.<br />
2.<br />
Form<br />
Rund, firkantet, trekantet,<br />
”eggeform”<br />
Lang, kort<br />
firkant, trekant, sirkel,<br />
Kvadrat, rektangel, trekant<br />
Firkant, sirkel (runding)<br />
Eggform, sylinder<br />
3.<br />
Plass/posisjon<br />
Over-under<br />
Foran-bak/etter<br />
Først-sist<br />
På, under<br />
Turtaking (kø, før, etter)<br />
Ved siden av<br />
Først, sist, foran, bak,<br />
under, over, i midten,<br />
ved siden av,<br />
Foran, bak,<br />
Opp, ned, i, på oppå,<br />
inni, bort,<br />
Over, under, bak, foran, imellom,<br />
ved siden av, først, sist<br />
I midten, opp på, øverst, nederst,<br />
midt i mellom<br />
Ordenstall<br />
Nest først, nest sist<br />
4.<br />
Størrelse/ sortering<br />
Størst – minst<br />
Sortering etter størrelse &<br />
farger<br />
Liten – stor<br />
Store – små<br />
Størst, minst, lengst,<br />
kortest<br />
Større/mindre enn – lavere/høyere<br />
Tykk/tynn<br />
Stor, liten<br />
Større-størst, stor-liten,<br />
Mindre, minst<br />
Tykk, tynn - kort-lang<br />
Nest størst, nest minst<br />
Høy-lav, bred, smal,<br />
Flest, færrest, flere enn, færre<br />
enn,<br />
5.<br />
Retning<br />
Forover, bakover, ved<br />
siden av, over, under, opp<br />
ned,<br />
Høyre – venstre (spesielt<br />
innen trafikkopplegg)<br />
Fram, <strong>til</strong>bake, framover,<br />
bakover, ut, inn<br />
Sidelengs,<br />
Over/under<br />
Bort, opp<strong>til</strong>, ned, <strong>til</strong><br />
opp<br />
Høyre-venstre<br />
Forover – bakover <strong>til</strong> siden<br />
Hit-dit, fram, <strong>til</strong>bake<br />
6.<br />
Måling (vekt,<br />
lengde)<br />
Kilo, meter, høyde (måler<br />
hvor høye vi er, f. eks.)<br />
Kort, lang, tung lett,<br />
(Baking, matlaging, lek,<br />
nedbørsmåling, regler,<br />
samtaler, sanger)<br />
Lett, tung<br />
Størrelse – for eksempel<br />
en elefant er tyngre enn<br />
ei mus.<br />
Tung, tyngre tyngst<br />
Lett – lettere enn<br />
Kort, lang, høy-lav<br />
Meter – kilo<br />
Kg, m, cm, i forb. m/ konkreter<br />
Tyngst, lettest<br />
”Hva veier mest?”<br />
Måling i centimeter, lengde og<br />
bredde.<br />
Sammenligninger<br />
7.<br />
Vær og temperatur<br />
Kaldt – varmt<br />
Sol – regn – overskyet –<br />
tåke<br />
Kalender hvor vi finner dagen,<br />
sol, regn, snø, skyer,<br />
kaldt, varmt,<br />
Varmt, kaldt, snø, regn,<br />
vind, sol, skyet<br />
Varme/kuldegrader –<br />
kunne forskjellen<br />
Værtypene<br />
Torden og lyn, storm,<br />
Varmegrader (+)<br />
Kuldegrader (-)<br />
Temperatur, kaldt, varmt<br />
Gradestokk, pluss, minus, sol,<br />
regn, vinds<strong>til</strong>le, blåser, overskyet,<br />
blå himmel, skyer, lyn, torden,<br />
mørke og høye skyer, rim, is, snø<br />
osv.<br />
Frost<br />
138 Opps<strong>til</strong>lingen her er basert på Nyborg (se Lunde, et.al., 1999, s. 152f.) og samarbeid med førskolelærere<br />
og lærere.<br />
78
8.<br />
Tall og telling<br />
Telle <strong>til</strong> 20 (el. mer)<br />
mengde-trening,<br />
bursdagsfeiring<br />
1-24 i advent<br />
En – ti<br />
Telle opp <strong>til</strong> 10-20<br />
Telle <strong>til</strong> 10 uten nødv. å<br />
ha mengdebegr.<br />
Telle rekker - oppover/nedover<br />
Spes: Jobbing med 1-10<br />
Tellestreker<br />
Tall: 0-10 (9)<br />
Trekk fra, legge <strong>til</strong><br />
Innenfor 0-9, teller tallstrekr, ordne<br />
i 5 og 5. ordenstall med datoene.<br />
To like = et par<br />
9.<br />
Funksjoner (hva<br />
ting brukes <strong>til</strong>, for<br />
eksempel spise,<br />
drikke, verktøy)<br />
Verktøy, hageredskaper,<br />
bestikk<br />
Barna smører maten selv,<br />
Lek med plastelina, formingsmateriell:<br />
sakser,<br />
koster bøtter, snekring,<br />
fiskeredskaper<br />
Gaffel, kniv, skje, kopp,<br />
tallerken, hammer, sag,<br />
glass,<br />
Tørst, sulten, mett<br />
”renslighet”, vaske hender<br />
bestikk – vite hva de<br />
ulike tingene brukes <strong>til</strong><br />
dekketøy<br />
verktøy: sag, hammer,<br />
skrujern<br />
flaske, nål<br />
Tas opp i de vanlige rutiner og aktiviteter,<br />
Vi er obs. på begrep som<br />
dukker opp, disse forklares der og<br />
da, event. som tema i samlinger<br />
Tallerken, kniv, gaffel, kopp, servere<br />
= dekke bord, nål, tråd<br />
- Kommer naturlig inn gjennom<br />
aktiviteter<br />
10.<br />
Tid (år, dager…)<br />
År, måneder,<br />
Regne ut hvor mange<br />
dager <strong>til</strong> ulike aktiviteter,<br />
f. eks.<br />
Kalender<br />
Dag, uke, helg, årstid, år<br />
Navn på ukedagene<br />
Årstidene<br />
Navn på noen ukedager,<br />
uke, år<br />
Timer<br />
År-mnd.- dager<br />
Dato<br />
Kalender hver dag<br />
Kalender: årstall, mnd, dag, dato,<br />
Årstider<br />
Merkedager<br />
Klokka: Hele timer<br />
11.<br />
Familie<br />
Nærmeste familie: mor,<br />
far, søsken, besteforeldre,<br />
kusiner/fettere, tanter/<br />
onkler<br />
Bilder av fam. i garderobe,<br />
snakker om dem<br />
Mor, far, søsken,<br />
besteforeldre,tante, onkel,<br />
fetter, kusine, bestefar,<br />
bestemor, morfar,<br />
farfar, farmor, oldemor,<br />
oldefar<br />
Foreldre<br />
Søskenbarn<br />
Hvem bor hjemme hos meg?<br />
Hvem er i min familie?<br />
Foreldre, besteforeldre, tanter,<br />
onkler, fettere, kusiner<br />
Meg selv: Bli kjent med familien <strong>til</strong><br />
eleven. Familieskjema<br />
Oldeforeldre, søskenbarn<br />
Aleneforeldre,<br />
Or<strong>det</strong> ”ste-” er viktig for<br />
noen<br />
12.<br />
Andre viktige<br />
områder<br />
Bordskikk<br />
Lære å ”ordne opp”i konflikter<br />
selv<br />
selvstendighet<br />
Selvoppfatning<br />
Sosialt samspill, inkluderende,<br />
Basis-kompetanse<br />
Språk<br />
S<strong>til</strong>le, rolig<br />
Bråk, uro<br />
Venner<br />
Kunne gå/klare seg på<br />
toalettet<br />
Kle av/på seg selv<br />
Knytte sko<br />
Utedagen.<br />
Årssyklusen i naturen<br />
Naturmateriale <strong>til</strong> telling. Mengder,<br />
størrelset osv.<br />
Utedagen: Naturmaterialer som<br />
utgangspunkt for sammenligninger<br />
av størrelser og tyngde/<br />
avstand.<br />
79
C: Matematikkens Hus<br />
”Matematikkens hus” –<br />
bretting av et matematikkhus<br />
Start med et kvadrat( kan gå ut fra A4<br />
eller A3) og rive <strong>det</strong> <strong>til</strong> et kvadrat.<br />
Brett så dobbelt med brettekanten mot<br />
deg<br />
Brett <strong>til</strong>bake og brett nærmeste side<br />
inn<strong>til</strong> midten.<br />
Snu arket 180 grader og gjør likedan.<br />
Vend arket med bretteflippene ned<br />
Ha kortsida nærmest deg og brett kortsiden<br />
inn<strong>til</strong> midtlinjen og gjør likedan med<br />
den andre siden.<br />
Åpne og brett ut den øverste bretteflipp<br />
(høyre) slik at du får en trekant (taket på<br />
huset).<br />
Gjør <strong>det</strong> samme med den venstre bretteflipp.<br />
<strong>Nå</strong> har du laget taket.<br />
bretteflipp.<br />
<strong>Nå</strong> har du laget taket.<br />
Du kan åpne huset ved å brette ut<br />
flippene og tegne <strong>til</strong> <strong>det</strong> tallet huset ditt har<br />
fått.<br />
Er tallet 2 kan du tegne to dører, to<br />
vinduer, to mennesker som bor i huset.<br />
Matematikk i Matematikkens Hus:<br />
Brett ut arket og finn geometriske figurer .<br />
(trekanter, firkanter osv….)<br />
Hjørner og vinkler<br />
Lage regnefortellinger med ting tegnet i<br />
huset.<br />
76<br />
Hvem bor i huset? Få elevene <strong>til</strong> å lage<br />
fortellinger der de bruker tallene.<br />
Øv og fortell hvorledes vi brettet huset.<br />
i Ma<br />
Brett ut arket<br />
(treka<br />
Hjørner og<br />
Lage regne<br />
huset.<br />
Hvem bor i<br />
fortellinger der<br />
Øv og fortel<br />
Alle elevene<br />
S<strong>til</strong>l husene<br />
Hvorledes<br />
Står alle numr<br />
Partall - odd<br />
Lage møns<br />
us<br />
retting av<br />
A4 eller<br />
ten mot<br />
side inn<strong>til</strong><br />
edan.<br />
ned<br />
rett<br />
ikedan<br />
retteflipp<br />
aket på<br />
tre<br />
ut<br />
Du kan åpne huset ved å brette ut<br />
flippene og tegne <strong>til</strong> <strong>det</strong> tallet huset ditt<br />
har fått.<br />
Er tallet 2 kan du tegne to dører, to vinduer,<br />
to mennesker som bor i huset.<br />
80<br />
Alle elevene får ulik tall på huset.<br />
S<strong>til</strong>l husene i rekke<br />
Hvorledes står husnummer i ei gate? Står<br />
alle numrene etter hverandre?<br />
Partall - od<strong>det</strong>all<br />
Lage mønstre…
D: Hvordan tallene preger en dag i 1. klasse<br />
: Hvordan tallene preger en dag i 1. klasse<br />
(Av Kari Haukås Lunde. Tidligere publisert i Tangenten nr. 4/2005, side 2ff.)<br />
(Av Kari D: Haukås Hvordan Lunde. tallene Tidligere publisert preger i en Tangenten dag i 1. nr. klasse 4/2005, side 2ff.)<br />
(Av Kari Haukås Lunde. Tidligere publisert i Tangenten nr. 4/2005, side 2ff.)<br />
Etter en åpningssang og morgenhilsen ” Good morning boys and girls” er tretten<br />
lærevillige førsteklassinger klar <strong>til</strong> å trekke dagens ordenselever og finne ut hva slags dato<br />
Etter en <strong>det</strong> åpningssang er. og morgenhilsen ” Good morning boys and girls” er tretten<br />
Etter en åpningssang og morgenhilsen ” Good morning boys and girls” er tretten lærevillige<br />
førsteklassinger<br />
ærevillige førsteklassinger klar <strong>til</strong> å<br />
klar<br />
trekke<br />
<strong>til</strong> å trekke<br />
dagens<br />
dagens<br />
ordenselever<br />
ordenselever<br />
og<br />
og<br />
finne<br />
finne<br />
ut<br />
ut<br />
hva<br />
hva<br />
slags<br />
slags dato<br />
dato<br />
”Jeg håper <strong>det</strong> blir meg”, ser <strong>jeg</strong> de fleste tenker med sine forventningsfulle øyne. <strong>det</strong><br />
et er. Spenningen er. er <strong>til</strong> å ta og føle på.<br />
”Jeg håper <strong>det</strong> Alle ”Jeg blir ser på håper meg”, plastlomma <strong>det</strong> ser blir <strong>jeg</strong> meg”, som de <strong>jeg</strong> ser fleste holder <strong>jeg</strong> de opp. tenker fleste Den med er tenker delt sine forventningsfulle øyne.<br />
penningen er i to <strong>til</strong> med rom å ta sine – og et rom forventningsfulle føle på. jentenavnene øyne. og Spenningen ett for guttenavnene. er <strong>til</strong> å ta<br />
Helt og øverst føle på. ligger ett farget ark i hvert rom, og under <strong>det</strong><br />
Alle ser på plastlomma som <strong>jeg</strong> holder opp. Den er delt<br />
fargete<br />
Alle<br />
arket<br />
ser på<br />
ligger<br />
plastlomma<br />
navnene<br />
som <strong>jeg</strong><br />
på<br />
holder<br />
elevene.<br />
opp. Den<br />
Alle<br />
to rom – et er<br />
navneskiltene rom for jentenavnene har <strong>jeg</strong> laminert. og ett for guttenavnene.<br />
elt øverst ligger delt ett i to farget rom – et ark rom i hvert for jentenavnene rom, og under og ett for <strong>det</strong> guttenavnene.<br />
Jeg trekker Helt fram øverst navneskiltet ligger ett farget sent slik ark i at hvert elevene rom, ser og<br />
argete arket ligger navnene på elevene. Alle<br />
bare under en <strong>det</strong> bokstav fargete om arket gangen. ligger De navnene lyderer på seg elevene. fram Alle <strong>til</strong><br />
avneskiltene I..n..g..e har <strong>jeg</strong><br />
navneskiltene b.o..r..g. laminert.<br />
har I <strong>jeg</strong> dag laminert. ble <strong>det</strong> Ingeborg. Vi gjør <strong>det</strong><br />
Jeg trekker samme fram med navneskiltet et guttenavn. sent Vi har slik alltid at to elevene ordenselever, ser en<br />
jente og Jeg en trekker gutt. fram navneskiltet sent slik at elevene ser<br />
are en bokstav om gangen. De lyderer seg fram <strong>til</strong><br />
bare en bokstav om gangen. De lyderer seg fram <strong>til</strong> I..n..g..e b.o..r..g. I dag ble <strong>det</strong> Ingeborg.<br />
..n..g..e b.o..r..g. I <strong>til</strong>legg<br />
Vi gjør I dag <strong>til</strong> alt<br />
<strong>det</strong> samme ble som <strong>det</strong> har<br />
med Ingeborg. med bokstaver<br />
et guttenavn. Vi og<br />
Vi gjør lesing<br />
har alltid <strong>det</strong> å gjøre, er <strong>det</strong> mye matematikk som vi<br />
to ordenselever, en jente og en gutt.<br />
amme med et kan guttenavn. utnytte her. Vi Vi har teller alltid ”klapp”(stavinger) to ordenselever, i navnene, og vi teller bokstavene. Vi må<br />
finne ut I hvem <strong>til</strong>legg som <strong>til</strong> alt har som flest har eller med færrest bokstaver bokstaver- og lesing ”klapp” å gjøre, ( stavinger) <strong>det</strong> mye i navnet matematikk sitt.<br />
ente og en gutt.<br />
som vi<br />
kan Her utnytte lærer de her. om Vi relasjonsordene teller ”klapp”(stavinger) ( flere-flest i – navnene, færre-færrest og vi teller ) satt bokstavene. inn i meningsfull Vi må finne<br />
I <strong>til</strong>legg sammenheng. <strong>til</strong> ut alt hvem som som har Elevene med har flest bokstaver viser eller med færrest og fingrene lesing bokstaver- sine å gjøre, hvor ”klapp” mange er ( <strong>det</strong> stavinger) ”klapp” mye matematikk i ordenselevene navnet sitt. som har vi i<br />
an utnytte navnene her. Vi sine. teller Deretter ”klapp”(stavinger) parkobler for i å navnene, visualisere og relasjonsordene. vi teller bokstavene. De fører fingrene Vi må<br />
inne ut hvem mot som hverandre, Her har lærer flest og de eller har om de relasjonsordene færrest like mange bokstaver- ”klapp”, ( flere-flest ”klapp” blir <strong>det</strong> – færre-færrest ingen ( stavinger) fingrer ) som i satt navnet blir inn stående i sitt.<br />
meningsfull alene.<br />
Er <strong>det</strong> sammenheng. forskjell, vises Elevene <strong>det</strong> viser med antall med fingrene fingrer som sine hvor blir stående mange ”klapp” alene. Dette ordenselevene forstår elevene har i navnene<br />
klasse. om sine. relasjonsordene Noen Deretter har parkobler kommet ( flere-flest vi for så å langt visualisere – færre-færrest at de relasjonsordene. uttrykker ) satt inn forkskjellen i De en fører meningsfull fingrene med et mot<br />
i<br />
Her lærer 1. de<br />
ammenheng. subtraksjonsstykke.<br />
Elevene hverandre, viser og har med de like fingrene mange ”klapp”, sine hvor blir <strong>det</strong> mange ingen ”klapp” fingrer som ordenselevene blir stående alene. har Er i <strong>det</strong><br />
avnene sine. Deretter forskjell, vises <strong>det</strong> med antall fingrer som blir stående alene. Dette forstår elevene i 1. klasse.<br />
Det å ta utgangspunkt parkobler vi i navnene for å visualisere <strong>til</strong> barna , tror relasjonsordene. <strong>jeg</strong> er veldig lurt. Barn De fører er opptatt fingrene av seg<br />
ot hverandre, Noen har kommet så langt at de uttrykker forkskjellen med et subtraksjonsstykke.<br />
selv og og har navnet de like sitt. Så mange her ligger ”klapp”, <strong>det</strong> et blir stor <strong>det</strong> læringspotensiale. ingen fingrer Ideen som blir om å stående bruke navnene alene.<br />
r <strong>det</strong> forskjell, har <strong>jeg</strong> vises Det fått å <strong>det</strong> av ta utgangspunkt noen med lærere antall ved fingrer i navnene skolen som <strong>til</strong> som barna blir hadde stående , tror vært <strong>jeg</strong> alene. på er et veldig kurs Dette lurt. i begynneropplæring forstår Barn er elevene opptatt av i<br />
seg<br />
. klasse. lesing. Noen selv Jeg og har navnet har prøvd kommet sitt. å Så utvikle her så ligger <strong>det</strong> langt videre <strong>det</strong> et at stor i forhold læringspotensiale. de <strong>til</strong> uttrykker Ideen forkskjellen om å bruke med navnene et har<br />
ubtraksjonsstykke. matematikk.<br />
<strong>jeg</strong> fått av noen lærere ved skolen som hadde vært på et kurs i begynneropplæring i lesing.<br />
Jeg Så er har turen prøvd kommet å utvikle <strong>til</strong> å <strong>det</strong> finne videre ut hva i forhold dagen <strong>til</strong> heter, matematikk.<br />
Det å ta utgangspunkt i navnene <strong>til</strong> barna , tror <strong>jeg</strong> er veldig lurt. Barn er opptatt av seg<br />
og hva slags tall den har. Vi bruker<br />
elv og navnet avrivningskalender sitt. Så Så er her turen ligger kommet og <strong>det</strong> <strong>til</strong> abakus. et å stor finne læringspotensiale. ut hva Dette dagen gjør heter, og Ideen hva slags om å tall bruke den har. navnene Vi bruker<br />
ar <strong>jeg</strong> fått av ordenselevene. avrivningskalender noen lærere Den ved og ene skolen abakus. ordenseleven som Dette hadde gjør river vært ordenselevene. av på et kurs Den i begynneropplæring ene ordenseleven river i av<br />
esing. Jeg har kalenderen, prøvd kalenderen, å utvikle og og den <strong>det</strong> andre videre legger legger i forhold en kule en på <strong>til</strong> kule abakusen. på Elevene teller kulene som er på abakusen,<br />
og Elevene de teller teller hvor kulene mange som <strong>det</strong> er på etter abakusen, at<br />
atematikk. abakusen.<br />
og de har teller lagt hvor på. mange De sammenligner <strong>det</strong> er etter tallet at de på har kalenderen<br />
sammenligner og <strong>til</strong> kulene å finne tallet på ut på abakusen. hva kalenderen dagen De og adderer heter, kulene på<br />
lagt på.<br />
Så er turen De kommet<br />
g hva slags og subtraherer. tall den De forteller har. hvordan Vi bruker tallene<br />
vrivningskalender skrives, og både en-sifrede abakus. og to- Dette sifrede. gjør En<br />
rdenselevene. dag Den var <strong>det</strong> ene liten ordenseleven gutt som lurte river på hvorfor av 77<br />
alenderen, og kalenderen den andre startet på legger 1 etter en 31. Ja, kule vi lurte på i<br />
bakusen. Elevene lag. Da teller plutselig kulene sa som en annen er på gutt abakusen, at <strong>det</strong> var<br />
bare 31 dager i den måneden. Mange er nå<br />
g de teller hvor mange <strong>det</strong> er etter at de har lagt på.<br />
bevisst på at antall dager i månedene varierer<br />
e sammenligner tallet på kalenderen og kulene på<br />
fra 31-30 og med februar med 28 dager.<br />
77<br />
81
usen. De abakusen. adderer De og adderer subtraherer. og subtraherer. De forteller De forteller hvordan hvordan tallene tallene skrives, skrives, både både en-sifrede<br />
- sifrede. og En to- sifrede. dag var En <strong>det</strong> dag en var liten <strong>det</strong> gutt en liten som gutt lurte som på lurte hvorfor på hvorfor kalenderen kalenderen startet startet på på 1 etter<br />
31. Ja, vi lurte i lag. Da plutselig sa en annen gutt at <strong>det</strong> var bare 31 dager i den måneden.<br />
a, vi lurte i lag. Da plutselig sa en annen gutt at <strong>det</strong> var bare 31 dager i den måneden.<br />
Mange er nå bevisst på at antall dager i månedene varierer fra 31-30 og med februar med<br />
ge er nå 28 bevisst dager.<br />
Vi på startet at antall med en dager hjemmelaget i månedene ”abakus”. varierer Den fra var 31-30 laget av og en med vedskive februar og to med blomsterpinner<br />
( en pinne for enerne og en for tierne). På enerpinnen var <strong>det</strong> plass <strong>til</strong> bare ni kuler.<br />
ager.<br />
Vi Og startet da <strong>det</strong> med ble den en 10. hjemmelaget i en måned, hadde ”abakus”. vi diskusjon Den var om laget hva vi av skulle en vedskive gjøre med og den to tiende<br />
i startet blomsterpinner med kula..( en Ide hjemmelaget ( som en pinne <strong>jeg</strong> har for fått enerne ”abakus”. av Tone og en Dalvang.) for Den tierne). var Vi kom På laget enerpinnen omsider av en fram var vedskive <strong>til</strong> <strong>det</strong> å plass ta i bruk <strong>til</strong> og den bare to andre<br />
sterpinner ni kuler. ( pinnen, pinne Og da<br />
som<br />
<strong>det</strong> for fikk<br />
ble enerne navnet<br />
den 10. og tierpinnen.<br />
i en måned, for tierne). En<br />
hadde<br />
kule På på<br />
vi<br />
tierpinnen enerpinnen diskusjon<br />
<strong>til</strong>svarte<br />
om hva <strong>det</strong> vi<br />
10<br />
skulle plass enerkuler.<br />
gjøre <strong>til</strong> En bare med<br />
dag var<br />
ler. Og den da tiende <strong>det</strong> den ble gått<br />
kula..( den i stykker, 10. Ide i som<br />
og en da måned, <strong>jeg</strong><br />
gikk<br />
har<br />
<strong>jeg</strong><br />
fått hadde over<br />
av Tone<br />
<strong>til</strong> vi en diskusjon Dalvang.)<br />
to bøylers om abakus<br />
Vi kom hva med<br />
omsider vi skulle ti kuler<br />
fram gjøre på<br />
<strong>til</strong><br />
hver<br />
å med ta<br />
bøyle.<br />
i<br />
bruk den andre pinnen, som fikk navnet tierpinnen. En kule på tierpinnen <strong>til</strong>svarte 10<br />
tiende kula..( Ide som <strong>jeg</strong> har fått av Tone Dalvang.) Vi kom omsider fram <strong>til</strong> å ta i<br />
enerkuler. Den En 10.januar dag var den med gått ny i stykker, abakus og plass da gikk <strong>til</strong> <strong>jeg</strong> ti enere over <strong>til</strong> på en enerbøylen. to bøylers Hva abakus gjorde med vi ti nå??<br />
den andre kuler pinnen,<br />
Elevene på hver var bøyle. som fikk navnet tierpinnen. En kule på tierpinnen <strong>til</strong>svarte 10<br />
vant med den hjemmelagete abakusen med bare plass <strong>til</strong> ni kuler på enerpinnen.<br />
kuler. En dag var den gått i stykker, og da gikk <strong>jeg</strong> over <strong>til</strong> en to bøylers abakus med ti<br />
Den Og 10.januar så fikk vi den med nye abakusen og ( plass kjøpt på <strong>til</strong> Okani) ti enere med på enerbøylen. plass <strong>til</strong> ti kuler Hva på gjorde enerpinnen. vi nå??<br />
r på hver bøyle.<br />
Elevene var vant med den hjemmelagete abakusen med bare plass <strong>til</strong> ni kuler på<br />
Skulle vi ha ti enere eller skulle vi ha en tier. Dette ble en høylydt diskusjon blant seksåringene.<br />
Noen mente en kule på tierbøylen , og andre mente ti enere på enerbøylen. Alle var<br />
en 10.januar enerpinnen. med Og ny så abakus fikk vi og den plass nye abakusen <strong>til</strong> ti enere ( kjøpt på enerbøylen. på Okani) med Hva plass gjorde <strong>til</strong> ti vi kuler nå?? på<br />
ene var enerpinnen. vant sta og med stod den på sitt. hjemmelagete Heldigvis kom vi abakusen fram <strong>til</strong> enighet. med Vi bare kunne plass velge <strong>til</strong> mellom ni kuler ti enere på eller en<br />
pinnen. Og Skulle så tier. fikk Begge vi vi ha deler den ti enere var nye like eller abakusen riktige. skulle Tenk vi ( ha kjøpt alt en som tier. på en Okani) Dette del seksåringer ble med en høylydt plass lærte <strong>til</strong> diskusjon her ti om kuler tier blant på og ener.<br />
pinnen. seksåringene.<br />
Og ved stadig<br />
Noen<br />
gjentakelse<br />
mente en kule<br />
får flere<br />
på tierbøylen<br />
og flere tak<br />
, og<br />
på<br />
andre<br />
<strong>det</strong>te.<br />
mente ti enere på enerbøylen.<br />
Alle var sta og stod på sitt. Heldigvis kom vi fram <strong>til</strong> enighet. Vi kunne velge mellom ti<br />
Skulle vi enere ha eller ti Tid enere – tier. måned eller Begge –uker- skulle deler dager vi var ha er like tema en riktige. tier. vi skal Dette Tenk arbeide alt ble som med. en en høylydt Hvordan del seksåringer diskusjon skal <strong>jeg</strong> visualisere lærte blant her <strong>det</strong><br />
åringene. om Noen tier slik og at mente ener. de får Og en litt ved kule forståelse stadig på tierbøylen gjentakelse og føling med får , og flere hvor andre og mange flere mente uker tak på ett ti <strong>det</strong>te. enere år er? Det på gjorde enerbøylen. <strong>jeg</strong> slik:<br />
var sta og Tid stod – måned på sitt. –uker- Heldigvis dager kom er tema vi fram vi skal <strong>til</strong> arbeide enighet. Vi kunne velge mellom ti<br />
e eller en<br />
Jeg har to syltetøyglass. I <strong>det</strong> ene glasset med<br />
med. tier. Hvordan Begge skal deler <strong>jeg</strong> var visualisere like riktige. <strong>det</strong> slik Tenk at de alt får som litt en del seksåringer lærte her<br />
påklistret merkelapp: ÅR - 2005 – 52 uker er <strong>det</strong> 52<br />
ier og ener. forståelse Og ved og føling stadig med gjentakelse hvor mange får uker flere ett og år flere er? Det tak på <strong>det</strong>te.<br />
gjorde<br />
steiner<br />
<strong>jeg</strong> slik:<br />
- en stein for hver uke. Det andre glasset har<br />
id – måned merkelapp: –uker- dager ÅR - er 2005 tema - UKE vi skal …. arbeide<br />
Jeg har to syltetøyglass. I <strong>det</strong> ene glasset med<br />
. Hvordan skal <strong>jeg</strong> visualisere <strong>det</strong> slik at de får litt<br />
påklistret I merkelapp: <strong>det</strong> glasset ligger ÅR - <strong>det</strong> 2005 så mange – 52 uker steiner er som <strong>det</strong> 52 vi<br />
åelse og steiner føling har - uker. med en stein Hver hvor for mandag mange hver uke. ved uker Det ny ett start andre år på er? glasset uka Det tar har vi<br />
e <strong>jeg</strong> slik: merkelapp: en stein ÅR fra - glasset 2005 - merket UKE …. ÅRET 2005 over <strong>til</strong> <strong>det</strong><br />
Jeg har to I syltetøyglass. andre <strong>det</strong> glasset glasset ligger merket I <strong>det</strong> <strong>det</strong> med så ene mange UKE. glasset Elevene steiner som med teller vi hvor har<br />
uker. mange Hver mandag uker vi ved har ny igjen start av på uka 2005, tar og vi hvor en stein mange<br />
istret merkelapp: ÅR - 2005 – 52 uker er <strong>det</strong> 52 fra<br />
glasset uker merket vi har ÅRET kommet 2005 <strong>til</strong> over i år <strong>til</strong> 2005. <strong>det</strong> andre En mandag glasset da merket en<br />
er - en stein for hver uke. Det andre glasset har med UKE. Elevene teller hvor<br />
mange elev uker hadde vi har tellet igjen at <strong>det</strong> av var 2005, bare 48 og uker hvor igjen mange <strong>til</strong> vi uker skulle vi feire har kommet nyttår, utbrøt <strong>til</strong> i år han: 2005. ” Jippi En , bare<br />
elapp: ÅR -<br />
mandag 482005 uker da en <strong>til</strong> -<br />
elev vi UKE skal hadde sende ….<br />
tellet opp at raketter”. <strong>det</strong> var bare Vi 48 var uker jo så igjen vidt <strong>til</strong> ferdig vi skulle med jul feire og nyttår, utbrøt og syns <strong>det</strong><br />
<strong>det</strong> glasset han: ” var ligger Jippi en stund , <strong>det</strong> bare så <strong>til</strong> 48 <strong>det</strong>. mange uker Dette <strong>til</strong> vi steiner viser skal sende seks-åringenes som opp vi raketter”. har oppfatning Vi var av jo tid.<br />
. Hver mandag så vidt ferdig ved med jul og nyttår og syns <strong>det</strong> var en stund <strong>til</strong> <strong>det</strong>.<br />
Dette viser<br />
Vi<br />
seks-åringenes<br />
teller ny start i tierhauger, på uka<br />
oppfatning<br />
og tar vi vi subtraherer en stein<br />
av tid.<br />
og fra adderer. Ved den ukentlige gjentakelse får vi<br />
et merket ÅRET flere og 2005 flere over med oss. <strong>til</strong> <strong>det</strong> Og andre vi får telling glasset i en merket meningsfull med UKE. sammenheng. Elevene Og gjett teller om hvor de andre<br />
ge uker vi Vi har følger teller igjen med i av tierhauger, om 2005, de teller og riktig. vi hvor subtraherer mange uker og adderer. vi har Ved kommet den <strong>til</strong> i år 2005. En<br />
dag da en ukentlige elev hadde gjentakelse tellet får at vi <strong>det</strong> flere var og bare flere 48 med uker oss. igjen Og vi <strong>til</strong> får vi telling skulle i feire nyttår, utbrøt<br />
en meningsfull ”Antons sammenheng. tall” er et annet Og gjett ord for om dagens de andre tall. følger Anton med er om<br />
” Jippi , bare 48 uker <strong>til</strong> vi skal sende opp raketter”. Vi var jo<br />
de teller en tøydokke riktig. som er med oss nesten hver morgen. Han bor i<br />
idt ferdig med jul og nyttår og syns <strong>det</strong> var en stund <strong>til</strong> <strong>det</strong>.<br />
”Antons skapet i tall” klasserommet et annet vårt og ord er for veldig dagens interessert tall. Anton i tall. Han<br />
e viser seks-åringenes oppfatning av tid.<br />
er en<br />
tøydokke har en som eske er med med tall oss opp<strong>til</strong> nesten 20. hver Nesten morgen. hver morgen Han bor trekker i skapet i<br />
i teller klasserommet i tierhauger, han et tall vårt og og forteller og vi er subtraherer veldig om <strong>det</strong> interessert i gåteform og adderer. i <strong>til</strong> tall. elevene. Han Ved har Her den putter<br />
tall <strong>jeg</strong> opp<strong>til</strong> får inn vi de 20. flere matematiske Nesten og flere hver ordene med morgen som oss. vi Og trekker jobber vi får med han telling akkurat et tall i og<br />
eske<br />
tlige gjentakelse med<br />
eningsfull sammenheng. da. Det kan være Og halvparten, gjett om <strong>det</strong> de dobbelte, andre følger en mer, med partall om<br />
osv…. Det å koble <strong>det</strong> læringsmessige <strong>til</strong> dokker, er lurt. Da<br />
ller riktig.<br />
har <strong>jeg</strong> ungene med meg. Der har <strong>jeg</strong> lært 78 mye av førskolelærere.<br />
et Av annet og <strong>til</strong> har ord vi ikke for tid dagens <strong>til</strong> Antons tall. tall. Anton Da lager er vi en litt<br />
Antons tall”<br />
okke som er historie med oss rundt nesten <strong>det</strong>. Anton hver hadde morgen. ikke Han lyst å bor komme i skapet ut idag. i<br />
erommet vårt Han og var er trøtt veldig osv…Etter interessert jul <strong>det</strong> i elevene tall. Han som har hjelper en Anton eske<br />
tall opp<strong>til</strong><br />
å<br />
20.<br />
trekke<br />
Nesten<br />
tall, og<br />
hver<br />
å fortelle<br />
morgen<br />
om tallet<br />
trekker<br />
i gåteform.<br />
han<br />
Da<br />
et<br />
må<br />
tall<br />
elevene<br />
bruke matematikkordene (halvparten, en mer<br />
og<br />
osv.).<br />
82<br />
78
m hjelper Anton å trekke tall, og å fortelle om tallet i gåteform. Da må elevene bruke<br />
tematikkordene (halvparten, en mer osv.).<br />
En dag var Antons tall 13, og <strong>det</strong> var på samme dag som den 31. januar. Da var <strong>det</strong><br />
jente som er veldig observant En dag var på Antons både tall på 13, bokstaver og <strong>det</strong> var og på tall. samme ”Kari, dag som i dag den var 31. Antons januar. Da tall var <strong>det</strong><br />
t samme som datoen. jente som Ja, da er veldig måtte observant vi undersøke på både <strong>det</strong>. på bokstaver Hvordan og kunne tall. ”Kari, vi i gjøre dag var <strong>det</strong>? Antons . Vi tall <strong>det</strong><br />
ldt Antons tall samme (13) som bak datoen. abakusen Ja, da som måtte viste undersøke 3 tierer og <strong>det</strong>. 1 Hvordan ener (datoen). kunne vi gjøre ”Var <strong>det</strong>? . <strong>det</strong> Vi holdt<br />
me?” ”Nei”, Antons sa noen. tall (13)” bak 31 abakusen har tre som tierer, viste men 3 tierer 13 og har 1 ener bare (datoen). en…..osv. ”Var <strong>det</strong> En <strong>det</strong> flott samme?”<br />
pdagelse, og den ”Nei”, samme noen. jenta ” 31 har tre ved tierer, annen men 13 anledning har bare en…..osv. kommet En med flott den oppdagelse, samme og den<br />
stand, men da med samme et jenta annet har tall ved ( annen 21- 12). anledning Ved kommet stadig gjentakelse med den samme så påstand, tror <strong>jeg</strong> men at flere da med og et annet<br />
tall ( 21- og forskjellen 12). Ved stadig mellom gjentakelse slike så ”reversal-tall”. tror <strong>jeg</strong> at flere og Og flere tenk ser sammenhengen hvor stolte og<br />
re ser sammenhengen<br />
forskjellen mellom slike ”reversal-tall”. Og tenk hvor stolte disse seksåringene er som er<br />
se seksåringene er som er med og finner ut av ting selv ( konstruerer sine kunnskaper)..<br />
med og finner ut av ting selv ( konstruerer sine kunnskaper)..<br />
Seinere på dagen er <strong>det</strong> tid for matpause og hente<br />
Seinere på dagen er <strong>det</strong> tid for matpause og<br />
lk. Ordenselevene må sjekke melkelista som henger i<br />
hente melk. Ordenselevene må sjekke melkelista som<br />
sserommet og<br />
henger<br />
finne<br />
i<br />
ut<br />
klasserommet<br />
hvor mange<br />
og finne<br />
melk<br />
ut<br />
vi<br />
hvor<br />
skal<br />
mange<br />
ha i<br />
melk<br />
dag.<br />
vi<br />
<strong>det</strong> noen borte skal , skal ha i de dag. ha Er melk……Fine <strong>det</strong> noen borte , skal mattesituasjoner<br />
de ha melk……<br />
m vi senere tar Fine utgangspunkt mattesituasjoner i når som vi lager vi senere regnefortellinger<br />
tar utgangspunkt<br />
skal lære å skrive i når <strong>det</strong>te vi lager med regnefortellinger tall og tegn. (Algoritmer)<br />
og skal lære å skrive<br />
<strong>det</strong>te med tall og tegn. (Algoritmer)<br />
Jeg prøver å sette de matematiske tema inn en naturlig<br />
menheng for dem. Jeg Slik prøver som å da sette <strong>det</strong> var matematiske fastelavn tema og inn vi en<br />
ulle lære om areal. naturlig Så sammenheng tellet vi antall for dem. boller Slik som på plata. da <strong>det</strong> Vi var<br />
tte la <strong>det</strong> være fastelavn litt plass og rundt vi skulle bollen, lære om snakket areal. Så vi tellet om. vi Men antall<br />
a har <strong>det</strong>te med boller areal på å plata. gjøre. Vi måtte Vi definerte la <strong>det</strong> være areal litt som plass hvor rundt<br />
r plata var – hvor<br />
bollen,<br />
mange<br />
snakket<br />
boller<br />
vi om.<br />
<strong>det</strong><br />
Men<br />
var<br />
hva<br />
plass<br />
har <strong>det</strong>te<br />
<strong>til</strong>. Plata<br />
med areal<br />
var<br />
å gjøre. Vi definerte areal som hvor stor plata var –<br />
sten så stor som 30 boller ( i den størrelsen vi hadde lage<br />
hvor mange boller <strong>det</strong> var plass <strong>til</strong>. Plata var nesten<br />
m.) Da kunne vi<br />
så stor<br />
si at<br />
som<br />
en bolle<br />
30 boller<br />
var<br />
(<br />
som<br />
i den<br />
en<br />
størrelsen<br />
måleenhet.<br />
vi hadde<br />
Neste<br />
lage<br />
ng ville vi finne dem.) ut hvor Da kunne stort vi langbor<strong>det</strong> si at en bolle i rommet var som en vårt måleenhet.<br />
Neste som gang måleenhet? ville vi finne Vi ut lette hvor stort i ranselen langbor<strong>det</strong> om i<br />
var.<br />
a kunne vi da bruke<br />
t var noen bøker rommet vi kunne vårt var. bruke. Hva kunne Da ble vi da vi bruke enige som om måleenhet? at <strong>det</strong> kunne Vi lette være i ranselen lurt om å bruke <strong>det</strong> var noen<br />
kstavboka som bøker har en vi kunne størrelse bruke. som Da A4 ble – vi ark. enige Alle om at de <strong>det</strong> tretten kunne elevene være lurt tok å bruke sine bokstavboka bøker og som<br />
dem på bor<strong>det</strong>. har Bor<strong>det</strong> en størrelse var nesten som A4 så – stort ark. Alle som de 13 tretten bokstavbøker. elevene tok sine Så viss bøker vi og skulle la dem kjøpe på bor<strong>det</strong>.<br />
duk, måtte alle Bor<strong>det</strong> ta med var seg nesten sine så stort bøker som og 13 legge bokstavbøker. på. Videre Så viss vil vi <strong>jeg</strong> skulle jobbe kjøpe med en duk, å snakke måtte alle ta<br />
d elevene om lurere med seg måter sine bøker å finne og ut legge hvor på. stor Videre bordplata vil <strong>jeg</strong> jobbe er. med å snakke med elevene om lurere<br />
måter å finne ut hvor stor bordplata er.<br />
Elevene blir veldig oppmerksomme på tall og hvorledes hverdagen deres er<br />
lbelagt. Jeg prøver å la<br />
Elevene<br />
ungene<br />
blir<br />
få<br />
veldig<br />
tid <strong>til</strong><br />
oppmerksomme<br />
å tenke og forstå<br />
på tall<br />
i områdene<br />
og hvorledes<br />
TPG<br />
hverdagen<br />
( tall, problem<br />
deres er tallbelagt.<br />
Jeg prøver å la ungene få tid <strong>til</strong> å tenke og forstå i områdene TPG ( tall, problem og<br />
geometri ). Olof Magne bruker disse orda i boka ” Barn oppdager matematikk”.<br />
geometri ). Olof Magne bruker disse orda i boka ” Barn oppdager matematikk”. Deretter<br />
retter arbeider<br />
arbeider<br />
vi med<br />
vi<br />
<strong>det</strong><br />
med<br />
skriftlige.<br />
<strong>det</strong> skriftlige.<br />
Vi har<br />
Vi har<br />
så<br />
så<br />
vidt<br />
vidt<br />
begynt<br />
begynt med<br />
med<br />
<strong>det</strong><br />
<strong>det</strong><br />
abstrakte:<br />
abstrakte:<br />
<strong>det</strong> å<br />
<strong>det</strong><br />
lage<br />
å<br />
enkle<br />
lage<br />
addisjonsstykker<br />
som som tar tar utgangspunkt i noe noe selvopplært. selvopplært. Dette Dette er enspennende er enspennende måte å arbeide<br />
kle addisjonsstykker<br />
te å arbeide med matematikk på. på. Og Og gjett gjett om om disse disse små små tannløse tannløse seksåringene seksåringene er med er når med <strong>jeg</strong> laget<br />
r <strong>jeg</strong> laget søylediagram for for tannfelling! Jeg får Jeg stadig får beskjed stadig om beskjed å oppdatere om diagrammet. å oppdatere Elevene<br />
grammet. Elevene teller rutene teller – rutene – for en hver rute mistet for tann, hver og mistet så kontrollteller tann, og så de kontrollteller om <strong>det</strong> stemmer de med <strong>det</strong><br />
<strong>det</strong> stemmer med oppgitte <strong>det</strong> tall oppgitte for mistet tall tenner. for mistet tenner.<br />
79<br />
83
E: Oppgavene i oversiktsdelen av Olav Lundes kartlegging<br />
Den fullstendige kartleggingen er beskrevet i boken ”Kartlegging og undervisning ved lærevansker<br />
i matematikk”, InfoVest forlag, 1997. Her er bare selve oppgaveteksten (uten<br />
kommentarer etc.) gjengitt. Kartleggingsmateriellet finnes også som eget kopisett som kan<br />
kjøpes fra InfoVest Forlag (www.infovestforlag.no).<br />
1. Legg arket slik at den lengste siden er mot deg.<br />
2. Midt på arket tegner du en sirkel som er omtrent så stor som en fem-kroning.<br />
3. Fra sirkelen tegner du en strek ut <strong>til</strong> hvert av hjørnene.<br />
4. Tegn en strek fra sirkelen ut <strong>til</strong> hver av kantene.<br />
5. <strong>Nå</strong> ser du at arket har blitt delt i mange rom. Kan du peke på <strong>det</strong> rommet som er øverst <strong>til</strong><br />
venstre på arket?<br />
6. <strong>Nå</strong> skal du skrive et 1-tall i <strong>det</strong> rommet du pekte på. Skriv tallet i den smale delen av rommet.<br />
- <strong>Nå</strong>r du har gjort <strong>det</strong>, skal du sette nummer på de andre rommene også.<br />
7. Pek på rom nr. 1. - Kan du skrive <strong>det</strong> tallet som kommer før 36?<br />
8. <strong>Nå</strong> skal du telle med 2 om gangen. Du begynner med 6, og så kommer 8. Skriv tallene i rom<br />
nr. 1. Stopp når du kommer <strong>til</strong> 20.<br />
9. Skriv i rom nr. 1 <strong>det</strong> tallet som kommer etter 29.<br />
10. Pek på rom nr. 2. - Kan du skrive ”en halv” med tall?<br />
11. I <strong>det</strong> samme rommet skal du nå skrive 12. Så skal du skrive 74, 192, 21, 203.<br />
12. Kan du skrive <strong>det</strong> tallet som er 2 mer enn 999?<br />
13. Kan du peke på rom nr. 3? - Her skal du tegne 5 streker. 2 av strekene skal være like lange.<br />
Den midterste skal være mindre enn alle de andre strekene.<br />
14. I <strong>det</strong> samme rommet skal du nå tegne fire firkanter på rekke. Den siste i rekken skal være<br />
halvparten av de andre.<br />
15. I rom nr. 4 skal du lage en strek som du tror er 4 cm lang.<br />
16. I <strong>det</strong> samme rommet skal du tegne en klokke som viser halv fire.<br />
17. Skriv hvor bredt du tror <strong>det</strong>te arket er.<br />
18. Finn rom nr. 5. - Hør godt etter nå. Jeg skal lese opp et regnestykke to ganger, og så skal<br />
du finne svaret. Ikke skriv noe før <strong>jeg</strong> har lest <strong>det</strong> to ganger. En spiker er 10 cm lang. Han<br />
blir slått inn i en bjelke som er 8 cm tykk. Hvor mange cm av spikeren stikker utenfor bjelken?<br />
- Du kan godt tegne eller skrive hvordan du tenker.<br />
19. <strong>Nå</strong> skal du få høre en ny oppgave: - Lars har et eple. Han delte <strong>det</strong> på midten. Til slutt<br />
delte han hver av disse igjen. Hvor mange biter har han da? - Du kan godt tegne eller<br />
skrive hvordan du tenkte. Skriv eller tegn svaret i rom nr. 6.<br />
20. Finn rom nr. 7. - <strong>Nå</strong> skal <strong>jeg</strong> lese noe igjen to ganger, og så skal du tegne eller skrive svaret<br />
i rom nr. 7. - Du skal kjøpe sjokolade i butikken og har fått en 10-kroning av bestemor. I butikken<br />
finner du 2 sjokolader du liker godt. Den ene sjokoladen koster 4 kroner og den andre<br />
5 kroner. Hvor mange kroner får du <strong>til</strong>bake når du betaler med 10-kroningen i kassen?<br />
21. <strong>Nå</strong> skal <strong>jeg</strong> lese en ny oppgave: - Tenk deg at du skal lage tomatsuppe <strong>til</strong> hele klassen.<br />
Hver pose med suppe rekker <strong>til</strong> 4 elever. Hvor mange poser trenger du? - Skriv eller tegn<br />
svaret i <strong>det</strong> samme rommet.<br />
22. Kan du finne <strong>det</strong> siste rommet? - <strong>Nå</strong> skal <strong>jeg</strong> si hvordan et hus ser ut, og så skal du tegne<br />
<strong>det</strong> etterpå. Jeg leser <strong>det</strong>te bare to ganger, så du må høre godt etter. - Huset har 3 vinduer<br />
og en dør. Taket er skrått. Det er pipe med røk på taket. Ved siden av huset står en flaggstang<br />
med flagg. Solen skinner. - <strong>Nå</strong> kan du tegne i <strong>det</strong> siste rommet.<br />
84
85
86
87
88
89
www.infovestforlag.no<br />
ISBN 978-82-90910-34-7