Nå får jeg det til

Olav Lunde
Nå får jeg det til!
Om tilpasset opplæring i matematikk
INFO VEST FORLAG 2009

Nå får jeg det til!
Olav Lunde
Olav Lunde
NÅ FÅR JEG DET TIL!
NÅ FÅR JEG DET TIL!
Om tilpasset opplæring i matematikk
Om tilpasset opplæring i matematikk
eller
Hvordan Bob-Kåre eller kan mestre matten!
Hvordan Bob-Kåre kan mestre matten!
Info Vest Forlag
2009
ISBN 978-82-90910-34-6
Info Vest Forlag
2009
1
3

INNHOLD
Hvem er Bob-Kåre?............................................................................ 9
Et bakteppe.......................................................................................... 10
1. Problemet: Bob-Kåre har store vansker med matematikken!............ 15
2. Hva kjennetegner en elev med matematikkvansker?.......................... 19
3. Hvordan kan vi kartlegge matematikkvansker?.................................. 25
4. Hva må vi ellers vite om Bob-Kåre?................................................... 33
5. Hvorfor har ikke Bob-Kåre lært matematikken?................................ 39
6. Hva betyr det at noe er lært?............................................................... 45
7. Har Bob-Kåre en lærevanske når han ikke lærer?.............................. 47
8. Hva skal Bob-Kåre lære?.................................................................... 51
9. Hvordan får vi Bob-Kåre til å ville lære?............................................ 57
10. Hva med de andre vanskene Bob-Kåre har?....................................... 63
11. Skal Bob-Kåre henvises til PPT for utredning?.................................. 69
12. Hva skal jeg si til foreldrene?.............................................................. 71
Noen vanlige spørsmål om matematikkvansker................................. 73
Tillegg:
A Stegmodell i matematikk..................................................................... 77
B Noen sentrale, matematiske begreper................................................. 78
C Matematikkens hus.............................................................................. 80
D Hvordan tallene preger en dag i 1. klasse.
(Av Kari Haukås Lunde)..................................................................... 81
E Oppgavene i oversiktsdelen av Olav Lundes kartlegging................... 84
Referanser................................................................................85
5

Nå får jeg det til!
3
6

Forord
I arbeidet mitt med matematikkvansker innen PPT og ved Sørlandet kompetansesenter, opplever
jeg altfor ofte å møte elever som i mange år har strevet med matematikken, men ikke fått den hjelpen
de hadde behov for. Forskningen viser klart at jo tidligere en elev får hjelp med vanskene sine, desto
større er sjansen for å kunne mestre matematikken.
Tanken er at denne boken skal være til hjelp for læreren som har en eller flere elever i klassen som
ikke får til matematikken og som ber om hjelp. Boken er derfor praktisk vinklet uten særlig teori.
Mange har hjulpet meg i arbeidet med å velge ut hva som burde være med i en slik bok. Først og
fremst vil jeg takke min kone Kari som med sin bakgrunn som matematikkinteressert lærer har vært
med i mange diskusjoner og lest kladdene.
Jeg vil også takke rektor Marta Gudmestad som har lest manus og kommet med synspunkter på
hva som burde være med – og hvordan det burde skrives!
Og en takk til de mange elevene med matematikkvansker, lærerne deres og foreldrene som har
vist meg at elevene både kan og vil lære matematikk!!! I den sammenheng: En spesiell takk til Lister
PPT.
Kapitlene kan leses uavhengig av hverandre, men er bygd opp rundt figuren på motstående side.
Dette er sentrale problemstillinger vi må tenke gjennom når vi skal utforme den tilpassede opplæringen
og vurdere behov for spesialpedagogiske tiltak.
Hvert kapitel kan isolert sett være tema for kollegiet ved en skole å ta opp på en intern planleggingsdag,
helst sammen med PPT.
Det er mitt håp at denne boken kan bidra til å gjøre skolegangen bedre for noen elever med matematikkvansker.
- Det trengs.
Bryne, januar 2009
Olav Lunde
7

8

Nå får jeg det til!
Hvem er Bob-Kåre?
Hvem er Bob-Kåre?
Jeg har hatt Bob-Kåre i tankene da jeg laget denne boken.
Bob-Kåre Jeg har hatt er Bob-Kåre en virkelig i elev tankene selv da om jeg laget har endret denne litt boken. slik at han ikke kan gjenkjennes. Nedenfor
er gitt Bob-Kåre en kort beskrivelse er en virkelig av Bob-Kåre. elev selv Noen om jeg av punktene har endret har litt jeg slik tatt at fra han andre ikke elever, kan slik gjenkjennes. at det gir
et Nedenfor mer omfattende er gitt en bilde kort av beskrivelse situasjonen av og Bob-Kåre. vanskene i Noen matematikk. av punktene har jeg tatt fra andre elever,
slik at det gir et mer omfattende bilde av situasjonen og vanskene i matematikk.
• Gutt, 4. årstrinn om våren
• Henvist av skolen til PPT pga. store lærevansker, spesielt i
matematikk. Fikk omtrent ikke til noe på M-3-prøven (!)
• Strever med lesing/skriving: Forveksler bokstaver når han leser og
skriver, mulig dysleksi? Skolen vil gjerne at PPT ser på om det kan
være noe felles siden han strever slik både med norskfaget og med
matematikken. Kan det være slik at leseferdigheten hemmer ham i
matematikken?
• Kan av og til forveksle siffer (f. eks. 5 og 3 og tall 21/12)
• OK sosialt, OK motorisk, OK syn og hørsel, OK hjemme.
• Usikker på litt større tall, usikker på ener/tier, sier ofte bare ”husker
ikke”
• Vansker med å forstå muntlige beskjeder fra læreren. De må ofte
gjentas spesielt for Bob-Kåre.
• ”Det han lærer den ene dagen, er borte neste dag”, sier læreren
• Virker ukonsentrert, ”følger ikke med” i timene
• Regner bedre i hodet enn på papiret (M-prøven).
PPT finner i sin utredning at
• Evnenivå er i ”nederste del av normalområdet”.
Mange lærere sier at de kjenner igjen disse vanskene, og at de finner dem hos elever på både
lavere og høyere årstrinn enn Bob-Kåre er.
Mange lærere sier at de kjenner igjen disse vanskene, og at de finner dem hos elever på både lavere
og høyere årstrinn enn Bob-Kåre er.
Det er Bob-Kåre som utbryter: ”Nå får jeg det til!”
Det er Bob-Kåre som utbryter: ”Nå får jeg det til!”
5
9

Et bakteppe
Hvorfor er matematikk så vanskelig for noen barn?
Det har vi ikke noe godt svar på!
I snart hundre år har vi vært klar over at det er slik. Noen mennesker har store vansker med å lære
matematiske begreper og fremgangsmåter når de skal regne ut enkle ting. Vanskene er langt større
enn det en skulle forvente ut fra deres generelle intelligens og den ferdigheten de ellers har.
Likevel har det vært forsket lite på dette. Kanskje er grunnen den at mange har sett på det å kunne
lese godt, som langt viktigere enn å kunne regne. Og det er klart at dårlig lese- og skriveferdighet er
noe som kan virke hemmende på nesten alle områder både som barn, ungdom og voksen.
Men dårlig matematisk ferdighet er langt mer skadelig for Bob-Kåre enn det som har vært den
vanlige oppfatningen. Noen enkle eksempler: 1
• Forstå hele tall, brøk, desimaltall, prosent - helt avgjørende for å styre med tid og penger.
(”SALG: Minus 10 %”)
2
• Forstå spatiale relasjoner - helt avgjørende når en skal lese et kart eller en hustegning
• Forstå funksjoner – helt avgjørende for å forstå hvordan strømregningen varierer med
termostatinnstillingen, og hvordan diabetiske symptom varierer med anstrengelse og sjokolade.
• Forstå et diagram – helt avgjørende for å lese værsidene i avisen og for å finne ut om jeg
har brukt mer eller mindre strøm siste måneden.
Matematikken er viktig. Og den omgir oss hele dagen.
Det er sagt at vi i snitt bearbeider om lag 1000 henvisninger til matematiske tall og problemstillinger
i timen! 3 Det blir 16 000 tanker med matematisk innhold hver dag. Og hele 6 000 000 i året!
Tenk da hvilken frustrasjon et menneske opplever som ikke får til å bruke den fantastiske redskapen
som matematikken er!
På min jernbanebillett (se fig. 1) fra NSB finner jeg 91 siffer fordelt på 22 tall. Tallene er i ulike
format: Som datoer (27.09.2007), som tid (09:02) og som pris (314.00). Tallene er fra en-sifrede til
åtte-sifrede. De brukes også som ”navn”, dvs. betegnelse på et bestemt sete.
Dette krever mange matematiske tanker, og det krever leseferdighet og begrepsforståelse. Det er
også interessant å se at delingstegnet (:) brukes for å angi time/minutt, og at tom plass i prisen gjengis
med *. Det er ikke mange feil tanker knyttet til denne billetten før det kan gi store konsekvenser for
Bob-Kåres fungering i hverdagen.
1 McCloskey, M., 2007, kap. 19
2 Spatiale relasjoner = det å oppfatte forholdet mellom linjer, flater, rom og romrelasjoner.
Spatial ferdighet = ferdighet til å oppfatte størrelser og tenke i romrelasjoner, f. eks. telle antall murstein
som ligger systematisk stablet når en bare ser to sider av stabelen.
3 Ljungblad, A.-L., 2006, side 32
10

Nå får jeg det til!
Fig. 1. Togbillett fra NBS.
Ut fra billetten finner vi i alle fall 6 sentrale emner som bør beherskes innen elementær matematikk
4 :
Ut fra billetten finner vi i alle fall 6 sentrale emner som bør beherskes innen elementær
1. Telling – kunne heltallene i riktig rekkefølge for å finne stolen.
matematikk 4 :
1.
2.
Telling
Tallforståelse
– kunne
–
heltallene
oppfatte hva
i riktig
ulike
rekkefølge
tall står for
for
(antall/nummer
å finne stolen.
i en rekke). Både telling
og tallforståelse krever ferdighet i rekkeoppfatning (sekvensiering). Dette har sammenheng
med å kunne
2. Tallforståelse – oppfatte
oppfatte
hva
de
ulike
ulike
tall
elementene
står for (antall/nummer
i en mengde. Og
i en
hvis
rekke).
en skal
Både
kommunisere
telling
og tallforståelse
med konduktøren
krever
eller
ferdighet
en passasjer
i rekkeoppfatning
som har satt seg på
(sekvensiering).
plassen, må en kunne
Dette
navngi
har
sammenheng med å kunne oppfatte de ulike elementene i en mengde. Og hvis en skal
tallene. - Og hva betyr det åtte-sifrede tallet?
kommunisere med konduktøren eller en passasjer som har satt seg på plassen, må en
3. kunne Sammenligne navngi tallene. to for - Og å finne hva betyr sete og det forstå åtte-sifrede pris og tallet? tidsangivelse– da må en vite tallenes
rekkefølge og tallenes avstand på en tenkt tallinje.
3. Sammenligne to tall for å finne sete og forstå pris og tidsangivelse– da må en vite
4. tallenes Plass-verdi rekkefølge (ener/tier) og tallenes – må kunne avstand dette på for en tenkt å forstå tallinje. pris og tid (som er forskjellige mht.
4. Plass-verdi
plass-verdi)
(ener/tier) – må kunne dette for å forstå pris og tid (som er forskjellige mht.
5. plass-verdi) Utregning (aritmetikk) – ved Mva (og vite hva det betyr), og veksle penger ved betalingen
hvis en (aritmetikk) ikke bare bruker – ved kort… Mva (og vite hva det betyr), og veksle penger ved
5. Utregning
6. betalingen Overslagsregning hvis en ikke (estimering) bare bruker – kunne kort… orientere seg i vognen for å lett finne plassen
6. Overslagsregning eller se om det nok (estimering) å betale med – kunne en 100-kroning. orientere seg Dette i vognen er da for i tillegg å lett en finne romlig plassen eller
eller visuo-spatial se om det 5 ferdighet.
nok å betale med en 100-kroning. Dette er da i tillegg en romlig eller
visuo-spatial 5 ferdighet.
Noe av det første vi ser i en slik oppstilling, er at forståelsen og tolkningen av matematisk informasjonen
Noe av alltid det første henger vi sammen ser i en med slik den oppstilling, situasjonen er hvor at forståelsen en finner den, og tolkningen i dette tilfellet av på matematisk en togbillett.
Det er derfor alltid meget henger viktig sammen at eleven med er den kjent situasjonen med den og hvor de situasjonene finner den, hvor i dette matematikken tilfellet på skal en
informasjonen
togbillett. forstås og brukes. Det er Spesielt derfor meget gjelder viktig dette ved at såkalte eleven tekststykker. er kjent med den og de situasjonene hvor
matematikken
For elever
skal
med
forstås
matematikkvansker,
og brukes. Spesielt
er det
gjelder
ofte innen
dette
disse
ved såkalte
områdene
tekststykker.
en finner påfallende store
vansker. For elever Det med er interessant matematikkvansker, å merke seg er at det alt ofte dette innen bygger disse på områdene egenskaper en finner ved måten påfallende hjernen store vår
vansker. fungerer på. Det er interessant å merke seg at alt dette bygger på egenskaper ved måten hjernen vår
fungerer på.
Når vi skal løse problem, bruker vi begreper til å tenke med. Det ser ut til at det hos elever med
matematikkvansker Når vi skal løse problem, spesielt bruker relasjonsbegrepene vi begreper til å som tenke er ufullstendige. med. Det ser ut Med til at relasjonsbegreper det hos elever med tenker
vi på begreper som spesielt før/etter, er relasjonsbegrepene stor/liten, over/under som osv. er Det ufullstendige. er rimelig å anta Med en relasjonsbegreper
nær sammenheng
matematikkvansker
mellom språkferdighet, leseferdighet og matematisk ferdighet. 6
4 Varma, S.; Schwartz, D.L. & McCandliss, B.C., 2007.
5 Visuell = som har med synsevne og/eller tolkning av synspåvirkning å gjøre.
4 Varma, S.; Schwartz, D.L. & McCandliss, B.C., 2007. 7
5 Visuell = som har med synsevne og/eller tolkning av synspåvirkning å gjøre.
6 Helland, T. ,2002.
11

Hva er forskjellen på B og 3?
Hva er forskjellen på B og 3?
De har ulik form. Vi kan beskrive begge som satt sammen av rette og/eller buede linjer hvor
buen Hva går til er høye forskjellen eller venstre og på den B og rette 3? linjen er loddrett. Den ene buede linjen står oppå den
andre. Når vi oppfatter tall og bokstaver, skal vi tolke dem og gi dem mening: B står for en
bestemt lyd, mens 3 står for et bestemt antall. Denne oppfatningen og tolkningen bygger på hva vi
De har ulik form. Vi kan beskrive begge som satt sammen av rette og/eller buede linjer hvor
buen går til høye eller venstre og den rette linjen er loddrett. Den ene buede linjen står oppå den
De har ulik form. Vi kan beskrive begge som satt sammen av rette og/eller buede linjer hvor
andre. Når vi oppfatter tall og bokstaver, skal vi tolke dem og gi dem mening: B står for en
buen går til høye eller venstre og den rette linjen er loddrett. Den ene buede linjen står oppå den
bestemt har lært lyd, andre. tidligere mens Når vi 3 og oppfatter står som for et ligger tall bestemt og bokstaver, lagret antall. i hukommelsen skal Denne vi tolke oppfatningen dem vår. og gi dem og mening: tolkningen B står for bygger en bestemt på hva vi
har lært tidligere lyd, mens og 3 står som for ligger et bestemt lagret antall. i hukommelsen Denne oppfatningen vår. og tolkningen bygger på hva vi har lært
tidligere og som ligger lagret i hukommelsen vår.
tolke Noen dem. av de 7 elevene som har matematikkvansker, strever med å oppfatte slike ulike former og
tolke dem. 7 Noen av de elevene som har matematikkvansker, strever med å oppfatte slike ulike former og
tolke dem. 7
vi Det leser, er lett
Det
skriver å tenke
er lett
og seg
å tenke
regner at både
seg
med. bokstaver
at både
Men
bokstaver
så og enkelt siffer
og siffer
er er det tankeverktøy
er tankeverktøy
nok ikke. 8 av samme type: symboler som
vi leser, skriver og regner med. Men så enkelt er det nok ikke. 8 av samme type: symboler som
vi leser, skriver og regner med. Men så enkelt er det nok ikke. 8
Når en elev skal lese, tolke og si bokstaven B, høres det som ”b” i både bok, bil og blomst.
Når en elev skal lese, tolke og si bokstaven B, høres det som ”b” i både bok, bil og blomst. Barnet
Barnet
tolkningen
kan kan høre høre av lyden lyden
bokstaven som som koples koples
når med den
med bokstaven, står
bokstaven,
først, og i den midten er og lik den
eller hver er gang. sist
lik
i
hver Dessuten et ord.
gang. endres Dessuten ikke tolkningen endres ikke
tolkningen av bokstaven av bokstaven når den når står den først, står i midten først, i eller midten sist i eller et ord. sist i et ord.
Men med Men sifferet med sifferet 3 er 3 det er det ikke slik! 3 kan 3 kan stå for stå en for mengde mengde ulike ting, ulike alt avhengig ting, alt av sammen-
avhengig av
sammenhengen. Det Det kan kan stå for stå tre for store tre hus store eller hus tre eller små karameller. tre små karameller. Det er samme Det antall, er men samme ellers antall, svært men
ellers svært ulikt. ulikt. 3 kan også 3 kan være også ren informasjon være ren informasjon i et telefonnummer, i et telefonnummer, eller det kan være et eller ordningstall det kan (den være et
ordningstall tredje bilen). (den Da tredje er antallet bilen). bare Da én er (1)!!! antallet bare én (1)!!!
ordningstall (den tredje bilen). Da er antallet bare én (1)!!!
Tradisjonelt
Tradisjonelt
har en
har
betraktet
en betraktet
siffer
siffer
og
og
bokstaver
bokstaver
som
som
om de
var
var
samme
samme
type
type
verktøy.
verktøy.
Det kan
Det kan
være en av grunnene til at en har sett på matematikkvansker som en slags form for lesevansker. Men
være en av grunnene til at en har sett på matematikkvansker som en slags form for lesevansker.
nyere forskning viser at det er ulike deler av hjernen som er aktive ved leseprosessen og ved matematisk
forskning viser at det er ulike deler av hjernen som er aktive ved leseprosessen og ved
Men nyere
matematisk
matematisk tenking.
tenking.
I leseinnlæringen er det vanlig å undervise slik: Barnet møter et ord, deler opp ordet i ulike lyder
I leseinnlæringen som så settes sammen er det til vanlig et ord. å undervise slik: Barnet møter et ord, deler opp ordet i ulike
lyder lyder som som så så settes sammen til et ord.
Mange settes elever sammen tenker til også et ord. på denne måten når de ser et matematisk tall som består av flere siffer.
Mange elever Men bokstaver tenker og også siffer på fungerer denne ikke måten på samme når de måten. ser et L er matematisk fortsatt L selv tall om som det bytter består plass av flere
siffer. siffer. med S. Men bytter 6-sifferet plass med 2-sifferet, forandres hele tolkningen.
Noen av de elevene som har matematikkvansker, strever med å oppfatte slike ulike former og
Det er lett å tenke seg at både bokstaver og siffer er tankeverktøy av samme type: symboler som
Når en elev skal lese, tolke og si bokstaven B, høres det som ”b” i både bok, bil og blomst.
Barnet kan høre lyden som koples med bokstaven, og den er lik hver gang. Dessuten endres ikke
Men med sifferet 3 er det ikke slik! 3 kan stå for en mengde ulike ting, alt avhengig av
sammenhengen. Det kan stå for tre store hus eller tre små karameller. Det er samme antall, men
ellers svært ulikt. 3 kan også være ren informasjon i et telefonnummer, eller det kan være et
Tradisjonelt har en betraktet siffer og bokstaver som om de var samme type verktøy. Det kan
være en av grunnene til at en har sett på matematikkvansker som en slags form for lesevansker.
Men nyere forskning viser at det er ulike deler av hjernen som er aktive ved leseprosessen og ved
I leseinnlæringen er det vanlig å undervise slik: Barnet møter et ord, deler opp ordet i ulike
Mange elever tenker også på denne måten når de ser et matematisk tall som består av flere
Men Men bokstaver bokstaver og siffer og siffer fungerer fungerer ikke ikke på samme på samme måten. måten. L er L fortsatt er fortsatt L selv L om selv det om bytter det bytter plass plass
med med S. S. Men Men bytter bytter 6-sifferet 6-sifferet plass plass med med 2-sifferet, 2-sifferet, forandres forandres hele hele tolkningen. tolkningen.
L LO OS
S
6 96 29 2
L L O O S S
6 6 9 9 2 2
L LO OS
S
6 96 29 2
Fig. Fig. 2: Illustrasjon 2: Illustrasjon av prosessen av prosessen ved å ved lese å lese bokstaver bokstaver og tall. og (Ljungblad, tall. (Ljungblad, 2006, 2006, her brukt her brukt
med med tillatelse.) tillatelse.)
6 Helland, 6 Helland, T. ,2002. T. ,2002.
7 Hansen, 7 Hansen, A., A., 2006. 2006.
8 Det 8 Det følgende følgende er med er med samtykke samtykke fra forfatteren fra forfatteren i hovedsak i hovedsak hentet hentet fra Ljungblad, fra Ljungblad, A.-L., A.-L., 2006, 2006, s. 8-12. s. 8-12.
7 Hansen, A., 2006.
8 Det følgende er med samtykke fra forfatteren i hovedsak hentet fra Ljungblad, A.-L., 2006, s. 8-12.
12
8
8

Tankearbeidet som vi gjør når vi leser og regner, er ulikt. Det er vist ved å fotografere hvordan
ulike deler av hjernen fungerer ved de to prosessene. 9 Det er faktisk også ulikt ved små og ved store
tall!
Sifferne hører til i den matematiske tenkingen. Denne tenkingen har to grunnpilarer. Den ene er
aritmetikk hvor vi regner og beskriver hvor mange ting det er i en mengde. Den andre er geometri
hvor vi beskriver en, to eller flere dimensjoner av det tredimensjonale rommet.
La oss se litt til på ordet LOS og tallet 692. Vi har nok ulik oppfatning av hva som menes med
LOS. Men likevel snakker vi greit sammen om fenomenet.
Ser vi på 692, er det lett å tro at det er et helt presist begrep som alle oppfatter likt. Men slik er
det ikke. Ikke alle elevene oppfatter 692 som et tall i nærheten av 700.
Ann-Louise Ljungblad forteller om en samtale hun hadde med en elev om hva det betyr at klokken
er 5. Hun fikk denne forklaringen: ”Hvis klokken er 5 på en søndag, da er det sent. Men hvis
den er 5 på en hverdag, så er det mer vanlig tid. Og på fredag er det veldig tidlig når klokka er 5, for
da er det så mye jeg skal gjøre. Det er viktig om det er moro og hvor lenge jeg skal være oppe.”
Ja, det er ikke så enkelt med de matematiske tankene. De styres også av den situasjonen (den
konteksten) som de tenkes i.
Når vi skal arbeide med elever som har matematikkvansker, er det viktig å ha innsikt i hvordan
eleven tenker faglig. Derfor er dette et viktig spørsmål: ”Hvordan tenkte du nå?”
Tilpasset opplæring
Det er ikke alltid vi får noe godt svar. Ikke alltid vet eleven selv hvordan han/hun har tenkt.
Elevene er ulike, og det må vi tilpasse oss etter. 10 Som ledd i tilpasningen av den vanlig undervisningen
bør skolen iverksette tiltak uten at det foreligger en sakkyndig utredning, og innenfor skolens
ordinære ressursrammer. Disse tiltakene kan være av ulik art, som for eksempel bedre bruk av delingstimer
til tolærersystem eller gruppedeling. Dersom skolen arbeider bevisst med generell tilrettelegging,
vil en kunne begrense antall elever som får behov for spesialundervisning.
Peder Haug sier at Kunnskapsløftet har en smal definisjon av hva tilpasset opplæring er, nærmest
en form for individualisert undervisning. 11 Og han legger til: ”Skulen vår er ikkje konstruert for
denne forståinga av tilpassa opplæring.”
Han sier at loven gir en bred oppfatning av hva tilpasset opplæring er, nemlig om hvordan en kan
gjøre den ordinære undervisningen best mulig for flest mulig av elevene. Den smale definisjonen
dekker mer det vi tenker på med spesialundervisning. Departementet 10 sier dette slik:
For enkelte elever vil likevel ikke en tilpasning innenfor rammen av vanlig undervisning
være nok til at de får et tilfredsstillende utbytte av det ordinære opplæringstilbudet. Da
aktualiseres behovet for spesialundervisning. Det innebærer en mer omfattende individuell
tilpasning, som blant annet kan omfatte avvik fra reglene om innholdet i opplæringen slik
det går fram av læreplanverkene for skoleslagene.
Det blir en glidende overgang mellom det vi kaller tilpasset opplæring og spesialundervisning.
Vanligvis lager en denne tilpassede opplæringen ut fra en oppfatning av hva eleven mestrer eller
ikke mestrer i de ulike fagene. Det vil si at oppmerksomheten rettes mot det pedagogiske produktet.
12
9 Se f. eks. Stanescu-Cosson, R; Pinel, P.; van de Moortele, P.-F.; Le Bihan, D.; Cohen, L. & Dehaene, S.,
2000.
10 Se ”Veiledning om Spesialundervisning i grunnskole og videregående opplæring.” Revidert utgave,
2004. Utdannings- og forskningsdepartementet, Oslo
11 Haug, P., 2006, s. 22ff
12 Se Lillestølen, R., 1996, s. 250f
13

En stiller spørsmålet: ”Hvordan klarer eleven posisjonssystemet?” ”Hvordan er forståelsen av
desimaltall?” Oppmerksomheten rettes mot selve regnefunksjonen, slik vi ser at det blir gjort i f. eks.
M-prøvene 13 og i ”Alle teller” 14 . Dette kalles den fagrelaterte funksjonsanalytiske angrepsmåten,
og det er den som dominerer i den pedagogiske praksisen i Norge.
Svakheten ved denne fagrelaterte funksjonsanalysen som grunnlag for den tilpassede opplæringen,
er at den ikke retter oppmerksomheten mot de bakenforliggende kognitive prosessene. 15 Med
kognitive funksjoner mener vi de mentale (psykologiske) prosesser som ligger til grunn for kunnskapstilegnelse
(læring), bruk av kunnskap (det å vite) og bearbeidelse av en iakttakelse (tolkning).
Hvis vi måler forståelsen av desimaltall, kan det gi viktig informasjon om det pedagogiske ståstedet,
men det sier lite om barnets læringspotensiale og andre bakenforliggende kognitive forutsetninger.
Det er disse bakenforliggende prosessene vi må få en dypere forståelse av hvis vi skal bli i stand
til å avdekke hva som har forstyrret læreprosessen og kunne endre denne slik at læringen kan skje
uforstyrret. 16 Derfor må vi både kjenne fagets egenart og vite noe om de kognitive prosessene som
læringen forutsetter. 17 Vi trenger derfor også en kognitiv funksjonsanalytisk profil.
Vi ser ofte at når det ensidig er den fagrelaterte funksjonsanalysen som legges til grunn for utformingen
av den tilpassede opplæringen, blir det detaljert arbeid med det som ikke mestres. Og vi
ser det utformet som ”tempodifferensiering”, gjerne beskrevet som ulike spor i læreboken, merket
med ulike farger, eller ulike former for ”stegmodeller”. 18 Denne tenkingen gir seg ofte utslag i at en
begynner å snakke om ”trapp” eller ”trinn” og bestemte progresjoner om hva som skal læres.
På den andre siden ser vi at hvis vi legger til grunn en kombinasjon av en kognitiv funksjonsanalyse
og faganalyse, blir utformingen langt mer fleksibel. Ofte kalles dette for dynamisk undervisning
19 og bygger på prinsippene om dynamisk kartlegging. I kap. 3 tar vi opp hvordan en slik dynamisk
kartlegging kan gjøres. Denne formen for kartlegging forsøker å kombinere disse to aspektene:
det faganalytiske og det kognitivt analytiske.
Hva mener vi i grunnen med at kartleggingen eller testingen skal være dynamisk? Ofte defineres
det som en interaktiv tilnærming til å undersøke funksjoner innen psykologisk fungering, innen språk
og tale eller innen skolefaglige områder. Denne interaktive tilnærmingen kan faktisk ha preg av en
samtale mellom den som tester, og den som blir testet, og noe av det sentrale en forsøker å finne svar
på, er hvordan eleven reagerer på ny informasjon eller sagt med andre ord: ”Hva trenger eleven av
hjelp for å få til oppgaven?”
Skal vi få Bob-Kåre til å si at ”nå får jeg det til”, må han få en undervisning som han mestrer. Da
må vi snakke med Bob-Kåre, høre hva han har å si selv. Vi bruker dynamisk kartlegging som redskap
til dette. Ut fra det skal vi så kunne utforme undervisningen. Men den må hele tiden endres etter som
eleven lærer. Da også må vi lytte til Bob-Kåre.
Ofte blir den dynamiske undervisningen preget av aktiviteter, samtaler mellom elevene og undringer.
Den kan lett virke både kaotisk og lite lærerstyrt. Men forskning viser at slik språklig basert
læring medfører at elever som yter lavt, lærer mer og løser flere oppgaver enn de gjør innen en tradisjonell,
skriftlig basert læringssituasjon. 20 Det ser også ut til at de bedre er i stand til å bruke det
lærte i nye situasjoner.
Da arbeider vi i det Vygotsky kaller ”den nære sonen”. 21
Denne boken bygger på tenking rundt dynamisk kartlegging og dynamisk undervisning.
13 Prøver i matematikk for årstrinnene 2-9. Forhandles av PP-tjenestens Materialservice, Jaren.
14 Utarbeidet av A. McIntosh. Forhandles av Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen, Trondheim.
15 Lillestølen, op. cit., side 250.
16 Lunde, O., 2006, s. 4ff
17 Lunde, O., 2004.
18 Se Tillegg A: ”Stegmodellen i matematikk”.
19 Dalvang, T. & Lunde, O., 2005.
20 Rivard, L.P., 2004.
21 Se Lunde, O., 2001.
14

1. Problemet: Bob-Kåre har store
vansker med matematikken
Mange elever i norsk skole har store vansker med matematikken. Dette er en påstand vi ofte møter.
Resultatene fra de internasjonale undersøkelsene (PISA og TIMSS) tyder også på at elevene i norsk
skole ikke er spesielt gode i matematikk. Spørsmålet blir da hvor mange er ”mange”, og hva betyr
det at vanskene er ”store”.
Undersøkelser i Norge tyder på at mellom 10 og 15 % av elevene har så store vansker med faget
at de ikke får utbytte av den undervisningen som blir gitt, og at de ikke vil få bestått karakter ved
grunnkurset i videregående. 22 De har et klart behov for tilpasset opplæring i faget eller spesialpedagogisk
hjelp.
Fra Sverige har vi en omfattende undersøkelse som viser at ca. 15 % av avgangselevene i grunnskolen
har en matematisk ferdighet og forståelse som tilsvarer gjennomsnittet i 4. klasse. 23 Jeg tror
vi ville finne omtrent det samme også i Norge.
Det er de enkle, dagligdagse ferdighetene som beherskes best. Samtidig er dette stoff som er
lite profilert i”skole-matematikken”. – Det de kan, synes de å ha tilegnet seg i ulike ”ikke-skolske”
situasjoner. – Men da kan de lære – uten vansker!
Vi ser ofte to ulike måter vanskene utvikler seg på. Den ene måten gjelder de elevene som begynner
på første årstrinn og tydelig mangler forkunnskap og modenhet for å lære matematikken slik den
er utformet etter Kunnskapsløftet. De strever fra første dag og trenger en nivåtilpasset undervisning,
kanskje også i andre fag i tillegg til matematikken.
Imidlertid ser vi også en del elever som klarer seg rimelig bra de første årene, men strever etter
hvert mer og mer. Ofte ser vi at når de er kommet til 4. årstrinn, går det hele i stå. Det kan se ut som
om det er forventningene til språkbruk og abstraksjon, som nå skaper vanskene. Det er ofte en påfallende
forskjell mellom lærebøker for 3. årstrinn utover våren og de lærebøkene eleven skal starte
med om høsten på 4. årstrinn når det gjelder teksten som brukes. Ofte ser vi at disse elevene også
strever med å lese og skrive.
Målene i K06
Mange av disse elevene vil ha store vansker med å nå de målene som er satt opp i Kunnskapsløftet.
Det er uklart hvordan vi skal forstå kompetansemålene under synsvinkelen tilpasset opplæring. 24 De
skal sikre at alle oppnår de mest grunnleggende kunnskapene og ferdighetene. Men de er diffuse.
Og det er uklart om de er absolutte krav. Departementet sier at kompetansemålene skal tolkes som at
hver enkelt elev skal stimuleres til høyest mulig grad av måloppnåelse 25 – hva nå det må bety.
Et resultat av dette er kanskje at de nasjonale prøvene i stedet får den styrende effekten som det
var tenkt at Kunnskapsløftet skulle ha.
I praksis vil det si at vi står rimelig fritt med hensyn til å utforme tiltak for elever med matematikkvansker
slik at de skal klare kompetansemålene, og at vi heller ikke bør la oss styre av de nasjonale
prøvene.
- Men det er ikke alltid så lett…
22 Knudsen, G., 1999.
23 Engström, A. & Magne, O. 2003.
24 Haug, P. & Bachmann, K., 2007.
25 Utd. & forskningsdep., 2005, referert hos Haug & Bacmann, 2007, side 17
15

”Har du store vansker i matematikk, da er du dum!”
Dette er en vanlig oppfatning, men den er feil. De fleste elevene som strever med matematikken
i skolen, har evner nok til å kunne gjøre det bedre. Det er dette potensialet det er viktig å få fram
gjennom den tilpassede opplæringen og de spesialpedagogiske tiltakene.
Det er et stort problem hvis eleven, foreldrene og læreren har en holdning om at vanskene skyldes
svake evner og/eller manglende innsats og tenking. Det å ikke få til matematikkoppgaver som andre
elever klarer greit, vil medføre at eleven selv og medelevene ser på vedkommende som dum. Og er
du dum, da kan du jo ikke få til matematikken!
Derfor ser vi ofte at vanskene og den manglende motivasjonen sprer seg til andre fag. I verste fall
kan det utløse skulking og at en gir opp hele skolen.
Vi kan si at matematikkvanskene starter ”i hodet”, men blir et følelsesmessig og sosialt problem. 26
Når vi skal gi hjelp for matematikkvanskene, er det av og til der vi må begynne: Bygge opp elevens
tro på egne muligheter til å mestre!
Er dyskalkuli og matematikkvansker det samme?
Ofte ser vi at uttrykket dyskalkuli brukes om det å ha vansker med matematikken. Ofte brukes
det da likt med dysleksi, dvs. spesifikke lese- og skrivevansker. Da blir dyskalkuli å se på som det
samme som spesifikke matematikkvansker.
Da skal det være en viss forskjell eller diskrepans mellom elevens ferdighetsnivå i matematikk og
det nivå en kan forvente ut fra personens evner. For å bruke denne betegnelsen, kreves det vanligvis
at eleven skal ligge 2-3 år under det en kunne forvente ut fra evnenivå.
Det er et problem at det ikke betyr det samme i småskolen som på ungdomstrinnet å ligge 2-3
år etter. Vi får også problemer med å plassere elevens faglige nivå på et bestemt årstrinn, og vi har
problem med å vurdere evnenivå. Det tar tid å foreta en grundig vurdering av evnenivå, og det er
bare PPT som kan gjøre det.
Vi kan si at dyskalkuli er en smal definisjon av det å ha store vansker med matematikken. Ofte
blir det antatt at dette er en medfødt tilstand, og derfor brukes også ofte betegnelsen utviklingsmessig
dyskalkuli. En regner da ikke med de elevene som har vansker med matematikken ut fra andre
grunner.
Matematikkvansker kan vi si er en bred definisjon. Da vurderer vi elevens ferdighet ut fra det som
er forventet på gjeldende årstrinn. Dette er i stor grad en rent skjønnsmessig vurdering, men til hjelp
i arbeidet kan en bruke ulike kartleggingsverktøy.
Ofte brukes også dyskalkuli og matematikkvansker som like begreper. Det kan medføre en del
forvirring. Forskningen viser oss meget ulike tall når det gjelder hyppigheten av slike vansker. 27 Vi
har antydet at om lag 15 % av elevene har – kanskje unødvendige - vansker med matematikkfaget.
Men noen forskningsrapporter viser et omfang av dyskalkuli på mellom 1-2 %. Det avhenger helt av
hvordan forskerne har definert vanskene, og hvordan de måler dem. Det er vanlig å snakke om 3-6
% som har spesifikke matematikkvansker.
26 Også det følelsesmessige sitter i hjernen, men språklig snakker vi ofte som om hjernen (”hodet”) er kaldt
og rasjonelt, mens følelsene sitter ”i hjertet”. Slik er det jo ikke. Læring vil alltid være kombinert med
følelser, og begge deler foregår i hjernen.
27 Geary, D.C., 2004.
16

Det avhenger helt av hvordan forskerne har definert vanskene, og hvordan de måler dem. Det er
vanlig å snakke om 3-6 % som har spesifikke matematikkvansker.
Hvordan definerer vi store matematikkvansker?
Hvordan definerer vi store matematikkvansker?
En enkel måte å definere store (kanskje spesifikke) matematikkvansker på er denne, beregnet
En enkel måte å definere store (kanskje spesifikke) matematikkvansker på er denne, beregnet
brukt på småskoletrinnet:
brukt på småskoletrinnet:
Vedvarende vansker med lære eller forstå tallbegrep (f. eks. 4

Det samme gjelder for spesialpedagogisk hjelp. Der er ikke noe krav om bestemte betegnelser,
men at den eleven som ”ikkje har eller (…) ikkje kan få tilfredsstillande utbytte av det ordinære
opplæringstilbodet,
Det er PPT som
har
skal
rett til
utrede
spesialundervisning.”
om eleven har utbytte eller kan få det. Det er denne utredningen som
Det kalles er PPT sakkyndig som skal vurdering. utrede om Skolen eleven skal har deretter utbytte lage eller en kan individuell få det. opplæringsplan Det er denne utredningen (IOP) for hvordan
kalles undervisningen sakkyndig vurdering. skal utformes Skolen videre. skal deretter lage en individuell opplæringsplan (IOP) for
som
hvordan undervisningen skal utformes videre.
Denne sakkyndige utredningen fra PPT skal i tillegg til å vurdere om eleven har utbytte av den
Denne ordinære sakkyndige undervisningen, utredningen vurdere fra PPT om en skal kan i tillegg hjelpe til eleven å vurdere på andre om eleven måter har innenfor utbytte det av ordinære den
ordinære opplæringstilbudet, undervisningen, samt vurdere vurdere om hva en som kan hjelpe vil være eleven et forsvarlig på andre opplæringstilbud.
måter innenfor det ordinære
opplæringstilbudet, samt vurdere hva som vil være et forsvarlig opplæringstilbud.
PPT skal uttale seg detaljert om dette, gjerne med angivelse av innhold og omfang av den spesialpedagogiske
PPT skal uttale seg
hjelpen,
detaljert
dvs.
om
antall
dette,
timer
gjerne
eleven
med
trenger:
angivelse 31 ”Utdanningsdirektoratet
av innhold og omfang
mener
av den
derfor
spesialpedagogiske hjelpen, dvs. antall timer eleven trenger:
at det ut i fra ordlyden i oppl. § 5-3, lovens intensjoner og 31 ”Utdanningsdirektoratet mener
departementets retningslinjer er klart at
derfor at det ut i fra ordlyden i oppl. § 5-3, lovens intensjoner og departementets retningslinjer er
PPT sin vurdering skal inneholde en angivelse av omfanget av spesialundervisningen hvor dette er
klart at PPT sin vurdering skal inneholde en angivelse av omfanget av spesialundervisningen hvor
mulig…”
dette er mulig…”
Det er
Det
denne
er denne
informasjonen
informasjonen
som
som
skal
skal
danne
danne
grunnlaget
grunnlaget
for utarbeidelsen
for utarbeidelsen
av IOP.
av IOP. 32 32
Oppsummering Oppsummering og og konklusjon konklusjon
Det er Det et er forvirrende et forvirrende bilde bilde vi får vi når får vi når begynner vi begynner å se å på se hva på betegnelsene hva betegnelsene betyr, betyr, og hvordan og hvordan de de
brukes. brukes.
Jeg Jeg foreslår foreslår at at vi vi bruker betegnelsene matematikkvansker i vid i vid betydning, og spesifikke og spesifikke matematikkvansker
der der det ser det ut ser til ut å til gi en å gi mer en presis mer presis beskrivelse beskrivelse av vanskene av vanskene eleven eleven har. Men har. ofte Men er det
matematikkvansker
ofte er vanskelig det vanskelig å dra noen å dra klar noen grense klar grense mellom mellom de to betegnelsene.
de to betegnelsene.
Det Det viser også Sjöberg Sjöberg i sin doktorav-
i sin
doktoravhandling om om emnet. emnet. Med Med utgangspunkt i
i 200 200 skoleelever, velger velger han han ut ut 13 13 elever med
store store vansker vansker i matematikk. i Disse Disse analyserer
Spesifikke
han han grundig grundig og og konkluderer konkluderer med med at at han han hos
Matematikkvansker
hos
matematikkvansker
15-20 %
disse disse elevene elevene ikke ikke finner finner noen noen av de av kjennetegn de kjennetegn
faglitteraturen som faglitteraturen bruker bruker til til å å beskrive beskrive
(dyskalkuli) 5-6 %
som
dyskalkuli.
dyskalkuli. 33
33
Vi kan
Vi kan
si
si
at
at
vi
vi
har
har en
en
bred
bred
og
og
en
en
smal
smal
definisjon
av matematikkvansker. 34 Den smale
34 Den smale
definisjon av matematikkvansker.
definisjonen kan vi kalle spesifikke
definisjonen kan vi kalle spesifikke matematikkvansker.
Det er dette som ofte kalles
Fig. 3: Sammenhengen mellom matematikkvansker og
matematikkvansker. Det er dette som ofte kalles dyskalkuli (spesifikke matematikkvansker).
dyskalkuli. 35 Det er vanlig å si at 5-6 % av
elevene
dyskalkuli.
i skolen 35 har
Det
kjennetegn
er vanlig å
på
si
slike
at 5-6
vansker.
% av elevene i skolen har kjennetegn på slike vansker.
Den
Den
brede
brede
definisjonen
definisjonen
kan
kan
vi kalle
vi kalle
matematikkvansker.
matematikkvansker.
Det
Det
omfatter
omfatter
da de
da
elvene
de elvene
som
som
har
har
spesifikke spesifikke matematikkvansker, matematikkvansker, men men også også de elevene de elevene som har som vansker har vansker med matematikken med matematikken av andre av andre
grunner. Det kan Det være kan språkvansker, være språkvansker, svake svake evner, evner, misoppfatninger, misoppfatninger, svakt svakt startgrunnlag startgrunnlag i første i første
grunner.
klasse, klasse, to-språklighet to-språklighet og andre og andre forhold. forhold. Det er Det vanlig er vanlig å si at å si 15 at - 15 20 -% 20 av % elevene av elevene i skolen i skolen har slike har slike
matematikkvansker. matematikkvansker. Kjennetegnene Kjennetegnene er ofte er ofte de samme de samme som som for spesifikke for spesifikke matematikkvansker, matematikkvansker, men men
omfanget av vanskene (”store vansker”) er ofte det som skiller når vi ser på elevens totalsituasjon og
31 faglig fungering ellers.
Brev datert 24. juli 2007. Referanse: Direktoratets offentlige brevjournal for 30 juli 2007, løpenummer
14924/2007. Hvis vi bruker disse betegnelsene, ligner det på betegnelsene lese- og skrivevansker (bred) og
32 IOP dysleksi = Individuell (smal). opplæringsplan, se Opplæringsloven §5.5.
33 Sjöberg, G., 2006, s. 227.
34 Hansen, Jess, Pedersen & Rønn, 2006.
35 Av og til kalles det utviklingsdyskalkuli for å poengtere at det er medfødte egenskaper som utvikler seg til
slike vansker.
31 Brev datert 24. juli 2007. Referanse: Direktoratets offentlige brevjournal for 30 juli 2007, løpenummer
14924/2007.
15
32 IOP = Individuell opplæringsplan, se Opplæringsloven §5.5.
33 Sjöberg, G., 2006, s. 227.
34 Hansen, Jess, Pedersen & Rønn, 2006.
35 Av og til kalles det utviklingsdyskalkuli for å poengtere at det er medfødte egenskaper som utvikler seg
til slike vansker.
18

2. Hva kjennetegner en elev
med matematikkvansker?
Kjennetegnene er de samme om vi tenker ut fra en bred eller en smal definisjon. Det er styrken på
kjennetegnene og mengden av dem som varierer.
I årenes løp har det vært gjort en rekke forsøk på å sette opp kjennetegn, og jeg har notert nærmere
200 slike. Men det som ofte går igjen, er forbausende store vansker med grunnleggende begreper
som det å kunne si hva klokken er, regne ut priser og vekslepenger og måle opp ting, f. eks. ved
matlaging. Disse elevene strever også med hoderegning og det å kunne anslå mengder (estimering).
Alt dette må vi se i forhold til alder og funksjonsmåte ellers for å si noe om dette er tegn på matematikkvansker.
Lærerne har ofte en god oppfatning av hva det er eleven strever med. 36 På småskoletrinnet fokuserte
de på at matematikkvanskene viste seg som vansker med tall og telling. På mellomtrinnet
nevnes arbeidet med symboler (sifferne, operasjonssymbolene) og forståelsen av dette. På ungdomstrinnet
nevnes manglende ferdighet innen de fire regningsartene og at disse elevene har en tendens til
å bli sittende i ro og være passive i timene. Det nevnes også andre atferdstrekk som at elevene blir
urolige, ukonsentrerte, glemmer lekser og bøker – og skulker matematikktimene.
Et interessant resultat var at mange av lærerne mente at L97 har gjort at svake lese- og skriveferdigheter
spiller en viktigere rolle i forhold til læring i matematikk enn tidligere.
Et sentralt kjennetegn er at vanskene ofte oppleves som en stagnasjon eller tilbakegang i forhold
til en normal, faglig utvikling i matematikk. Det blir et brudd med den jevne, faglige utviklingen
som de fleste elevene følger. 37
Hva sier forskningen om kjennetegn?
Det er lite vi med sikkerhet vet om slike kjennetegn, men disse fire punktene synes det å være stor
enighet om: 38
1) Store vansker med telleferdigheten og grunnleggende tallkombinasjoner, f. eks.
6+3=?
2) Overgangen fra konkret til mental (abstrakt) representasjon er et kritisk punkt. (Kan
svare rett på muntlig oppgave: Hvis du har tre karameller og får to til, hvor mange har
du da, men er hjelpesløs med oppgaven 3+2=?)
3) Store vansker med sekvensiering: visuell persepsjon og visuell bearbeiding av informasjonen
er svak.
4) Influert av leseferdighet, språkferdighet og begrepsforståelse. Resultatet kan være
misoppfatninger.
Det er da flere former for matematikkvansker med ulike årsaker og kjennetegn.
36 Sjøvoll, J., 2003
37 Ostad, S., 2001, poengterer dette.
38 Gersten, Jordan & Flojo, 2005.
19

Telleferdigheten er meget sentral, og selve grunnlaget for telleferdigheten synes til dels å være
medfødt. De grunnleggende trekkene ved telleferdigheten er å vite at hvert objekt bare skal telles
en gang, at telleordene alltid er i en fast rekkefølge, at det telleordet jeg sier ved siste objekt også
representerer antallet, at objektene kan telles vilkårlig (ikke alltid fra venstre mot høyre) og at ulike
objekter kan telles sammen (mus og elefanter for å finne antall dyr).
Dette bør mestres uten vansker ved slutten av første årstrinn.
Senere kommer også det å kunne telle med to om gangen, tre om gangen osv.
Hvis eleven ikke mestrer disse ferdighetene, kan det medføre store vansker med enkel regning
senere. 39 Det er derfor viktig å undersøke om eleven mestrer slike enkle, grunnleggende ferdigheter.
Ofte tar vi det for gitt at eleven mestrer disse, ser bare på det som nå er vanskene, og glemmer
disse grunnleggende funksjonene.
Abstrahert tall-fakta 40 er viktig (se punkt 2 ovenfor). Mange elever med matematikkvansker
synes ikke å kunne hente fram slik abstrakt tall-fakta fra hukommelsen. De må alltid telle seg fram
til hva 2+2 blir. Innen utgangen av 3. årstrinn bør de kunne ”tier-venner”, addisjonstabellen og
subtraksjonstabellen.
Mange elever med tegn på matematikkvansker utvikler ikke tallfakta. De har store vansker med
å huske resultatene av enkle oppgaver innen de fire regningsartene (”tall-fakta”). Dette kan være
tilfelle selv om de er fortrolige med algebraiske og aritmetiske begreper, og da virker det meget
rart. Elevene er nødt til å rekonstruere resultatet igjen og igjen. De teller høyt, bruker fingrene eller
setter tegn på papiret. Vanskelighetene med å huske ser ut til å være vedvarende til tross for at en i
undervisningen arbeider med dette, og vanskene kan fortsette gjennom hele småskoletrinnet og på
ungdomstrinnet.
Mange mener at svekket hukommelsesfunksjon og måten kunnskapen lagres på, er et sentralt
kjennetegn ved matematikkvansker. 41 Under oppgaveløsning i matematikk trenger en ofte å holde
flere ulike alternative handlinger i tankene samtidig (”arbeidshukommelsen”). Hos noen er denne
funksjonen svak, og det kan vise seg som matematikkvansker. 42
Det tredje vi med sikkerhet vet om kjennetegn, er at elever med matematikkvansker svært ofte
strever med rekkefølgen eller det vi kaller sekvensoppfatning. Mønstre som gjentar seg og, symmetri
har også noe med sekvenser å gjøre. Det er denne ferdigheten som gjør at en er i stand til å forstå
ordenstallene, dvs. kunne se forskjellen på ”5 biler” (hvor det er antallet som er sentralt), og ”den 5.
bilen” (hvor det er en bestemt posisjon i en sekvens som er sentralt).
Mye av vår forståelse av tallsystemet avhenger av denne oppfatningen av sekvens og det å se
mønstre som gjentas i bestemte rekkefølger.
De matematiske begrepene er viktige, og mange elever med matematikkvansker har uklare begreper.
Lettest ser vi dette ved relasjonsbegrepene (først/sist, i midten, stor/liten, foran/etter osv.) Men
det kan også danne seg rene matematiske misoppfatninger som forstyrrer tenkingen.
En slik misoppfatning kan være at ”lengste tallet alltid er størst”. Da blir 2,5 mindre enn 0,125.
Selv om vi finner slike klare kjennetegn hos elever med matematikkvansker, synes forskningen
også å fremheve trekk som ikke direkte er egenskaper hos eleven: Den sammenhengen (konteksten)
som matematikken presenteres i, ser ut til å være meget viktig for hvordan matematikken mestres.
Med andre ord: eleven må ha en forståelse av problemet og også kunne vurdere mulige løsninger i
lys av sammenhengen problemet er i. 43
39 Mazzucco & Thompson, 2005.
40 Tall-fakta er et uttrykk som ofte brukes på addisjonstabellen (2+2=4), subtraksjonstabellen etc.
41 Ostad, S, 2006, s. 30f.
42 Bull & Espy, 2006, side 114f.
43 Montague, M. & van Garden, 2003.
20

Sammenhengen er viktig for alle elever når de skal lære noe. Men kanskje er sammenhengen
av ekstra stor betydning for elever med matematikkvansker siden de ofte har en litt svekket hukommelsesfunksjon.
Da kan nettopp det å kunne knytte kunnskapen til konkrete sammenhenger være en
støtte i forståelsen og bruken av matematikken.
Tre ulike former for matematikkvansker
Det er vanlig å skille mellom tre ulike former for vansker. 44
Prosedurale – tellevansker, ”umodne” strategier, hyppige ”regnefeil”, vansker med å oppfatte og
bruke sekvenser, ”algoritmene”. (Sier: ”kan ikke!!!”) Ofte lese-/skriveproblem også. (God prognose,
men tar tid)
Semantiske – henter ikke ”tall-fakta” fra hukommelsen, svak forståelse og overføringsferdighet.
Språk- og begrepsvansker. Påfallende rask eller sein løsningstid. (Sier: ”husker ikke”…) Ofte lese-/
skriveproblem. (Språkferdigheten er ofte avgjørende for bedring.)
Visuo-spatiale – ”oppfatte” - vansker med former, mønstre og ”ting” i forhold til hverandre,
relasjoner og posisjoner i en rekke (”tallrekken”) Obs: visuelle illustrasjoner i lærebøkene kan være
vanskelige å oppfatte… (Sier: ”ser det ikke”…) Ikke sammenheng med språk, lesing/skriving.
Disse tre formene sier noe om hva matematikkvanskene i hovedsak kan være preget av: om det
har noe med selve utføringen av regneoperasjonene å gjøre, noe med den begrepsmessige forståelsen
av matematikk eller mer det som går på det visuelle og romlige, dvs. som har med form og det å
kunne se tall i forhold til hverandre.
Det er sjelden vi finner de helt rene typene. Som oftest er det en blanding. Men det å ha en slik
oppsummering kan være en god hjelp når en skal utforme hva den tilpassede opplæringen skal vektlegge.
Kjennetegn på elevenes læringsmåte
Vi kan fokusere på rent matematiske kjennetegn, men det er kanskje viktigere å se på kjennetegn
på deres måte å lære på. På side 16 definerte vi matematikkvansker, og der inngår elevens
læringsmåte som en sentral faktor. Vi vet lite om dette er kjennetegn som hører sammen med matematikkvansker,
eller om det er kjennetegn som utvikler seg som en konsekvens av det å ikke få til
matematikken. - Men de er viktige for læringen, og vi må ta hensyn til dem når vi skal utforme den
tilpassede opplæringen.
Vi bør se om noe av dette kjennetegner eleven:
Aktivitetsnivået er enten påfallende lavt eller påfallende høyt. Jeg tror det har noe med hvor eleven
befinner seg: er det frustrasjon over ikke å få det til eller er det oppgitthet? Det er lett å forveksle
dette med ADHD-symptom.
Også oppmerksomheten er ofte svak. De er lette å avlede – det er de elevene som først hører lyder
utenfor klasserommet og avbryter… De kan ha vansker med å følge med i en aktivitet over tid.
Utholdenheten ser ofte ut til å være liten. De gir fort opp, ofte uten å ha prøvd en gang.
Den motorisk kontrollen kan være dårlig og ligge flere år etter det som vi ser hos andre elever. I
så fall bruker disse elevene mye krefter på det å skrive og få tallene på plass ved siden av, over/under
hverandre og plassere de ulike tegnene. Og når det gjelder former (geometri) som de kanskje skal
lage i papir, strever de mye.
44 Jeg har ofte brukt fire ulike former (Lunde, O, 2001), men har da satt det inn i en annen sammenheng.
Har her valgt å gruppere i tre basert på Geary, 2004, siden hovedfokus nå er kjennetegn og gruppering av
kjennetegn.
21

Ofte ser vi at retningsoppfatning (høyre/venstre) er svak. Mange kan streve med å vite hva som
er høyre/venstre til 5. årstrinn.
Det virker av og til som de ikke husker det som nettopp ble sagt… Det kan være lurt å tenke over
hva eleven husker og hva som faller vanskelig.
Språket er viktig når en skal lære matematikk. Mange av elevene som strever med matematikken,
har også en forsinket språkutvikling og/eller de kan ha spesifikke språkvansker 45 .
Abstraksjonsferdigheten er som tidligere sagt ofte svak, ikke bare innen matematikken, men også
på andre områder. De kan streve med å ta ut den abstrakte informasjonen som ligger i ulike matematiske
begreper. Det å ”ta bort” ved subtraksjon kan lett tolkes som å fysisk fjerne noe.
Det virker fort inn på generaliseringsferdighet, dvs. å kunne bruke det en har lært i nye situasjoner.
Kan en ikke det, kan en jo ikke løse oppgaver uten at de er helt like de eleven har hatt tidligere.
Hvorfor er kjennetegn så viktige?
Noen av de mest påfallende kjennetegn er knyttet til selve regneferdigheten. På side 8-9 så vi på
6 sentrale emner i forbindelse med å forholde seg til en togbillett. Faktisk er dette noen av de beste
og raskeste indikasjoner på matematikkvansker innen de laveste årstrinnene i skolen.
La oss se nærmere på dem:
1. Telling – er en verbal prosess ofte knyttet til motorikk. Svært ofte bruker elevene fingrene når
de teller. Senere kan vi faktisk se at det rykker i kroppen på dem når de skal regne ut noe.
2. Antallsforståelse. Dette er vanskelig å definere. Det har noe med i tankene å kunne bevege
seg mellom den virkelige verden og kvantitetene der, og så over i en matematisk, abstrakt verden. Vi
ser at elever med matematikkvansker ofte har vansker med å oppfatte raskt hva et bestemt terningmønster
betyr. De må tenke påfallende lenge for å kople at når terningen viser fem prikker, ”ser de”
at det er fem uten å måtte telle de fem prikkene, og at dette betyr at de skal flytte fem ruter fram på
Ludo-brettet.
De strever med raskt å kunne se at 15 er mer enn 11. 46
Faktisk ser det ut som at antallsforståelsen er like viktig ved matematikklæringen som fonologisk
bevissthet 47 er ved leseopplæringen. 48
3. Sammenligning av to tall. Det ser ut til at vi har et senter i hjernen 49 som er spesialisert til å
foreta sammenligninger, ikke bare av tall, men også av andre størrelser som for eksempel lengder,
lysstyrke og vinkler. Jo mindre avstanden er mellom to tall, desto lengre tid bruker hjernen på å
finne hvilket av dem som er størst. Det virker som om hjernen har en slags mental tall-linje som den
foretar sammenligningene på. Sammenligner vi lengden på to pinner, går det jo fortere jo mer ulike
de er.
45 Spesifikke språkvansker er forstyrrelser i språkets fonologiske (lydmessige), syntaktiske (grammatikalske),
semantiske (forståelsesmessige) og pragmatiske (utførende, tale) aspekter. Vi ser umiddelbart hvordan
vansker innen disse områdene vil kunne virke inn på den matematiske læringen.
46 Se nettsiden www.primarygames.co.uk. Et artig program som illustrerer dette, er ”Give the Dog a
Bone”. (Se Primary Games, vol. 2) Det kan brukes for å arbeide med slike sammenligninger. Nettstedet
har mange gode og enkle dataprogram som tar opp alle disse 6 kjennetegnene.
47 Fonologisk bevissthet defineres som bevisstheten om talespråkets minste lydenheter, dvs. de enhetene
som er under ordnivå. (Stavelser og språklyder). Dette kan sammenlignes med å forstå sifferne og posisjonene
de har.
48 Gersten & Chard, 2001.
49 Varma, Schwartz & Candliss, 2007. Senteret kalles intra-parietale sulcus.
22

4. Plassverdi er viktig i matematikken. Det å forstå enere, tiere, hundrer er avgjørende for matematisk
ferdighet. Dette forutsetter en klar begrepsmessig struktur, så slik sett er det likhet mellom
å dele opp ord og binde dem sammen og dele opp tall i siffer og sette dem sammen. Enkelt sagt så
må en kunne relasjonsbegrepene, dvs. begreper som først/sist; foran/bak osv. Og det er faktisk det
samme senteret i hjernen som foretar denne sekvensieringsprosessen både ved bokstavsammensetning
og ved sifferne! 50
5. Aritmetikk. Når vi utfører regneoppgaver, vil det lette prosessen meget hvis vi kan basere operasjonene
på ”tall-fakta” som er lagret i hukommelsen. Også i aritmetikken bruker vi en slags mental
tallinje. Det er derfor viktig at elevene lærer å tenke og bruke en slik tallinje, først fysisk, og så at
den lagres som et hukommelsesbilde.
6. Estimering Eksakt aritmetikk er verbal og basert på å kunne hente fram verbal informasjon fra
hukommelsen. Men ”omtrentlig” aritmetikk er spatial og kombinerer informasjon som er lagret med
en visuell bearbeiding omtrent som det som skjer ved sammenligning av to tall. Det vil si at hvis en
elev er svak visuo-spatialt, kan vedkommende klare eksakte regneoperasjoner fint, men ikke kunne
foreta overslagsregning.
Det er forholdsvis enkelt å lage en liten test på hvert av disse områdene. Dette er beskrevet i kap.
3 om kartlegging.
Det er viktig å vite litt om hvorfor kjennetegnene er viktige og hvilke prosesser som brukes. Det
er disse seks områdene som er sentrale ved den matematiske fungeringen, og vi skal senere se på hva
en kan gjøre for å styrke dem hvis de fungerer svakt.
Til en viss grad fungerer de 6 områdene uavhengig av hverandre. Det er grunnen til at så mange
elever med matematikkvansker gir oss et uklart bilde av hva de kan og ikke kan. Det er da det er lett
å feiltolke det hele og tenke at de ikke ”gidder å tenke”, eller at det er faglige hull som de må fylle,
eller at her gjelder det å trene og drille.
Det gir liten faglig fremgang.
Oppsummering og konklusjon
Vi kan av og til se at det som ofte oppleves som vanskelig å forstå i matematikken, kan eleven
klare greit, mens andre ting blir vanskelige. Vi har to ulike tallsentra i hjernen. Det ene er språklig
basert, mens det andre er visuelt-romlig basert. Hvis vi f. eks. legger sammen 3 og 4, bruker vi det
språklige, men hvis vi skal sammenligne om 4 er større enn 3, bruker vi det andre. En elev kan derfor
løse 3+4 helt greit, men ikke kunne svare på om det er 3 eller 4 som er størst!
Hovedkonklusjonen er at eleven ofte strever med helt enkle ting – ting som læreren lett kan oppfatte
som at det mestres OK.
Det er viktig å få tak i hvordan eleven har tenkt. Noen elever har den misoppfatningen at når en
skal subtrahere, så skal en alltid trekke det minste fra det største tallet. Hvis det står 23 – 15 =, så går
det ikke. Da tenker en 5-3 og svaret blir feil. Men hvis oppgaven i stedet var 25 – 13 =, og eleven
tenker at en skal trekke det minste fra det største, blir det rett.
Ved å velge tilfeldige tall i en slik oppgave, vil halvparten av oppgavene bli rette selv om tenkingen
er feil.
- Det er i grunnen ganske bra å ha 50% av oppgavene riktig!
Det er derfor det er så viktig å vite noe om hva som kan ligge bak de kjennetegnene vi ser hos
eleven. Matematikk er først og fremst å tenke, og derfor er spørsmålet ”Hvordan tenkte du nå?”
meget viktig å stille til elever med matematikkvansker.
50 Det skjer i høyre fusiform gyrus – både ord og tall har morfologisk struktur, dvs. er bygd opp av små
enheter. (Se Varma, et.al., 2007)
23

24

Nå får Nå jeg får Nå det jeg får til! det jeg til! det til!
3. Hvordan kan vi kartlegge
3. 3. 3. Hvordan kan kan vi kan vi vi kartlegge
matematikkvansker?
matematikkvansker?
Nå får jeg det til!
Vi bruker tester og prøver for å kartlegge om en elev har matematikkvansker. I prinsippet gjelder det
Vi bruker Vi bruker tester Vi bruker tester å og finne prøver og tester om prøver eleven for og prøver å for kartlegge har å kartlegge de for kjennetegnene å om kartlegge om elev om elev har vi en har har elev sett har på i matematikkvansker. kap. 2. I prinsippet I prinsippet I gjelder prinsippet gjelder gjelder
det å det finne å finne det om å eleven om finne eleven om har eleven de har de har kjennetegnene de kjennetegnene vi har vi sett har på vi sett har i kap. på sett i kap. 2. på 2. i kap. 2.
Vi har ingen tester som enkelt kan finne elever med matematikkvansker, enten vi definerer det
Vi har Vi ingen har Vi ingen bredt tester har tester eller ingen som smalt. som tester enkelt enkelt Noe som kan av enkelt finne kan problemet finne elever kan elever finne er med at elever det med som med matematikkvansker, være et klart enten kjennetegn enten vi definerer vi enten definerer på vi matematikkvansker
det definerer det det
bredt bredt eller bredt eller smalt. hos smalt. eller en Noe elev smalt. Noe på av 4. problemet
3. årstrinn, av Noe problemet
Hvordan
av ikke problemet er behøver at er det at å er det som være at som kan det for kan som være
vi en være elev kan et
kartlegge
på klart være et 2. klart årstrinn. kjennetegn et kjennetegn klart kjennetegn på på på
matematikkvansker hos en hos elev en hos elev på 4. en på årstrinn, elev 4. årstrinn, på 4. ikke årstrinn, ikke behøver behøver ikke å være behøver å være det å for det være en for elev det en for elev på 2. en på årstrinn. elev 2. årstrinn. på 2. årstrinn.
matematikkvansker?
Hva Hva er Hva det er Hva det er vi skal det vi er skal det
vi skal
vi kartlegge skal
kartlegge
kartlegge med med med prøvene med
prøvene og prøvene og testene? og
og
testene?
testene?
Tenk Tenk at du at Tenk har Vi du bruker gitt Tenk har at du en gitt at elev har tester en du gitt elev har denne og gitt denne prøver elev oppgaven: elev denne oppgaven: for
denne
å oppgaven: kartlegge 245 oppgaven: – 245 78 – = om 78 245 ? en Og = – 245 ? 78 eleven Og – = har
78 eleven ? Og skriver =
matematikkvansker.
? eleven skriver Og som eleven skriver som svar skriver svar 274. som 274. I
som svar prinsippet
svar 274. 274.
gjelder
Svaret Svaret er galt, Svaret er det galt, å ja Svaret finne er vel. ja galt, vel. er om Det galt, ja eleven Det gir vel. ja i gir vel. så har Det i fall de Det så gir kjennetegnene grunnlag fall gir i så grunnlag i så fall fall for grunnlag grunnlag å for vi starte har å starte for sett helt for å på å helt starte fra starte i kap. fra helt helt 2. begynnelsen fra fra begynnelsen av med av med hva av hva med hva sub-
subtraksjon subtraksjon er.
er. Vi har er. er. ingen tester som enkelt kan finne elever med matematikkvansker, enten vi definerer det
Men Men hvis hvis Men bredt setter vi Men hvis setter eller opp hvis opp stykket setter smalt. vi setter stykket opp som opp Noe stykket som i boksen stykket av i som boksen problemet her som i boksen og her i boksen veksler og her veksler her at og (”låner”), det og veksler (”låner”), veksler som men (”låner”), kan (”låner”), men gjør være gjør men men et gjør 10gjør klart 10det kjennetegn feil 10 veg, så på får
det feil det veg, feil det veg, så feil matematikkvansker en får så dette veg, en får dette svaret! så en får dette svaret! en Eleven svaret! dette hos Eleven har en svaret! Eleven elev tenkt, har på Eleven men tenkt, har 4. årstrinn, tenkt, men har feil tenkt, men ikke (eller tenkt behøver men feil har (eller feil tenkt meget å (eller være har feil en uklar har (eller det en for retningsoppfatning). har en en elev på 2. årstrinn. Eleven
245 245 245
meget meget uklar meget uklar kan uklar mye retningsoppfatning). teknisk subtraksjon. Eleven Eleven kan Eleven Kanskje mye kan mye teknisk kan er teknisk forståelsen mye teknisk subtraksjon. noe subtraksjon. svak Kanskje Kanskje siden er resultatet Kanskje er er
større enn det første
forståelsen forståelsen forståelsen noe tallet. svak noe svak siden Kanskje noe siden svak resultatet vi resultatet siden må arbeide er resultatet større er større med enn er retningsoppfatning større det enn første det enn første tallet. det første tallet. Kanskje og tallet. overslagsregning Kanskje vi Kanskje må vi må vi for -78 må denne -78 eleven, -78 og ikke
arbeide arbeide med arbeide med Hva
enkle
med
prosedyrer
retningsoppfatning
er det
i
og
vi
subtraksjon. og overslagsregning og kartlegge
En
overslagsregning
skal merke
for denne for denne
seg
med
at
for eleven,
det
denne eleven,
prøvene
kan
og
bli
eleven, ikke og ikke
galt å tolke
og
og =274 ikke
enkle
testene? =274 prosedyrefeil =274 som
enkle enkle prosedyrer prosedyrer enkle i i subtraksjon. En skal En skal merke merke seg at seg det at kan det bli kan galt bli galt å tolke å tolke enkle enkle
tegn
prosedyrer
på at denne
i subtraksjon.
eleven har
En
matematikkvansker
skal merke seg at
av
det
den
kan
prosedurale
bli galt å tolke
formen.
enkle
Vi må forsøke å få en
prosedyrefeil prosedyrefeil som
forståelse Tenk som tegn at tegn som
av du på
hvorfor har at på tegn gitt denne at
feilen på denne elev at eleven denne
ble eleven har
gjort. oppgaven: eleven har har 245 matematikkvansker – 78 = ? av Og den av eleven den av skriver den som svar 274.
prosedurale prosedurale formen. formen. Vi formen. må Vi forsøke må Vi forsøke må å få forsøke en å få forståelse en å forståelse få en av forståelse hvorfor av hvorfor av feilen hvorfor feilen ble gjort. ble feilen gjort. ble gjort.
Svaret Se på de er to galt, oppgavene: ja vel. Det 51 gir i så fall grunnlag for å starte helt fra begynnelsen av med hva
Se på Se de på to de Se subtraksjon to på oppgavene: de to oppgavene: 51
er.
51 51
1. Regn 1. Regn ut:
Men hvis vi setter opp stykket som i boksen her og veksler (”låner”), men gjør
1. Regn ut: ut:
10
det feil veg, så får en dette svaret! Eleven har tenkt, men tenkt feil (eller har en
2. Finn 2. Finn summen 2. summen Finn summen av av av
meget uklar retningsoppfatning). Eleven kan mye teknisk subtraksjon. 635 Kanskje 635 er 635
245
124
forståelsen
124 124 noe svak siden resultatet
tallene tallene
er
635
større tallene 635 og
enn
33. og 635 det
33.
første og 33. tallet. Kanskje + 33 + 33 vi + må 33 -78
+ 635 arbeide + 635 + med 635 retningsoppfatning og overslagsregning for denne eleven, = 965 = og 965 ikke = 965
= enkle = prosedyrer =
=274
i subtraksjon. En skal merke seg at det kan bli galt å tolke enkle
prosedyrefeil som tegn på at denne eleven har matematikkvansker av den
prosedurale formen. Vi må forsøke å få en forståelse av hvorfor feilen ble gjort.
Vi ser Vi at ser oppgave Vi at oppgave ser Se Vi at på 1 ser oppgave kan de at 1 to eleven kan oppgave oppgavene: eleven 1 kan få 1 til, eleven kan få uavhengig 51 til, eleven uavhengig få til, få uavhengig til, forståelse uavhengig forståelse forståelse av av forståelse av posisjonssystemet, av mens mens eleven eleven mens mens eleven eleven
nok vil nok ha vil en nok ha tendens vil nok tendens ha vil til ha tendens å til avsløre å tendens avsløre til manglende å avsløre til manglende å avsløre manglende forståelse manglende forståelse hvis forståelse hvis han forståelse setter han hvis setter opp hvis han stykket opp setter han stykket setter opp i oppgave stykket i oppgave stykket 2 i oppgave slik 2 i slik oppgave 2 slik 2 slik
den tredje den tredje boksen den boksen tredje den viser. tredje boksen viser. 1. Regn boksen viser. ut: viser.
Dette Dette illustrerer illustrerer Dette Dette forskjellen illustrerer forskjellen illustrerer forskjellen på en forskjellen på en ikke-diagnostisk på en på ikke-diagnostisk en og 2. en og Finn en diagnostisk og summen og diagnostisk oppgave. oppgave. I oppgave. I oppgave 1 I oppgave har I 1 har 6351 har 1 har vi
vi som vi som lærere vi lærere som som ikke lærere ikke noen noen ikke mulighet 124 mulighet noen til mulighet å til oppdage å oppdage til til å å elevens oppdage elevens manglende tallene elevens manglende 635 manglende og 33.
forståelse/misoppfatninger, + 33 mens vi
mens mens vi i oppgave vi mens i oppgave i vi i 2 oppgave kan 2 2 + kan avdekke kan 635 2 avdekke kan den. avdekke den. Det er Det den. dette er Det dette som er som er dette kjernen som kjernen i det i kjernen det i analytiske det analytiske i det analytiske arbeidet arbeidet som
arbeidet =
som skal 965 gjøres som for
skal skal gjøres gjøres skal for å gjøres for tolke å tolke for = å kjennetegnene tolke kjennetegnene på på på matematikkvansker. Derfor Derfor det Derfor viktig det er viktig hvilke det viktig hvilke prøver hvilke prøver og og tester prøver og vi bruker. og
tester tester vi bruker. vi tester bruker. vi bruker.
Nasjonalt Læremiddelsenter/Telemarksforskning har utgitt slike diagnostiske prøver som kan
være et meget godt utgangspunkt for å analysere elevens matematiske forståelse. De har tester innen
51 Det 51 følgende Det følgende 51 Det er ulike følgende basert Vi matematiske basert på Nygaard på oppgave basert Nygaard på & områder Zernichow, Nygaard 1 & kan Zernichow, eleven og & for Zernichow, 2006 få ulike 2006 til, årstrinn uavhengig 2006 samt av veiledningshefte forståelse av posisjonssystemet, for tolkning av resultatene mens eleven og
nok forslag vil ha til en undervisningstiltak.
tendens å avsløre manglende forståelse hvis han setter opp stykket i oppgave 2 slik
den tredje boksen viser.
23 23
Dette illustrerer forskjellen på en ikke-diagnostisk
23
og en diagnostisk oppgave. I oppgave 1 har
51 Det følgende er basert på Nygaard & Zernichow, 2006
vi som lærere ikke noen mulighet til å oppdage elevens manglende forståelse/misoppfatninger,
mens vi i oppgave 2 kan avdekke den. Det er dette som er kjernen i det analytiske arbeidet som
25
skal gjøres for å tolke kjennetegnene på matematikkvansker. Derfor er det viktig hvilke prøver og
tester vi bruker.

Statisk vs dynamisk. testing
Det er viktig at testen/prøven består av diagnostiske oppgaver, men det kan likevel være vanskelig
å forstå elevens tenkemåte. Ofte må vi spørre eleven om hvordan han tenkte. Men det er ikke alltid
vi får noe svar som er forståelig for oss eller noe svar i det hele tatt.
Vi har to hovedformer for kartlegging. Den ene kalles ofte statisk testing. 52 Hovedhensikten er
å finne det nivå eleven eller klassen/gruppen er på. Disse prøvene/testene er ofte preget av oppstilte
stykker med en rett/galt struktur (”bare ett rett svar”), og det avgjøres om eleven kan eller ikke kan
finne det rette svaret. Det er fasit, og en regner ut skårer (poeng) for eleven.
Oppgavene bør være av diagnostisk type, slik at en kan finne mulige kjennetegn på matematikkvansker,
spesielt i form av misoppfatninger. Fokus er på matematikkens innhold. Men en kan
også arbeide med å analysere feilene for å se etter andre kjennetegn, f. eks. retningsoppfatning eller
sekvensering. Da blir fokus på kjennetegnene.
Olav Lunde
Den statiske testingen har visse begrensninger. For det første fokuserer den på hva som er lært
tidligere, dvs. på et ”læringsprodukt”. Olav Lunde Den gir oss svært liten informasjon om elevens måte å lære
på.
Nasjonalt Læremiddelsenter/Telemarksforskning har utgitt slike diagnostiske prøver som kan
være et meget godt utgangspunkt for å analysere elevens matematiske forståelse. De har tester
For det andre sier den innen ikke Nasjonalt ulike noe matematiske om Læremiddelsenter/Telemarksforskning hvordan områder barn og reagerer ulike på årstrinn undervisningen har utgitt samt slike veiledningshefte diagnostiske og på selve prøver for tolkning som prøvesituasjonen.
Mange elever med matematikkvansker kan ha hatt så mange nederlag i skolen at alt
kan av
resultatene være et og meget forslag godt til utgangspunkt undervisningstiltak. for å analysere elevens matematiske forståelse. De har tester
innen ulike matematiske områder og for ulike årstrinn samt veiledningshefte for tolkning av
som minner om prøver, hemmer resultatene og og blokkerer forslag til undervisningstiltak.
følelsesmessig for at eleven kan få vist hva han kan.
Matematikkangst og prestasjonsangst Statisk vs dynamisk. er ikke uvanlig. testing En ser at eleven trommer med fingrene på
bordet, biter seg i leppen, puster Det og stønner – og sitter med krumme tær!
Statisk
er viktig
vs
at
dynamisk.
testen/prøven består
testing
av diagnostiske oppgaver, men det kan likevel være
vanskelig å forstå elevens tenkemåte. Ofte må vi spørre eleven om hvordan han tenkte. Men det er
Og for det tredje gir ikke denne formen for kartlegging tilstrekkelig informasjon som grunnlag for
ikke alltid Det vi er får viktig noe svar at testen/prøven som er forståelig består for av oss diagnostiske eller noe svar oppgaver, i det hele men tatt. det kan likevel være
å utvikle annerledes undervisningsopplegg.
vanskelig å forstå elevens tenkemåte. Ofte må vi spørre eleven om hvordan han tenkte. Men det er
Vi ikke har alltid to hovedformer vi får noe svar for som kartlegging. er forståelig Den for oss ene eller kalles noe ofte svar statisk i det hele testing. tatt.
52 Hovedhensikten er
Det vi da trenger å vite å finne noe om, det nivå er elevens eller læringspotensiale, klassen/gruppen er på. dvs. Disse de mulighetene prøvene/testene
Vi har to hovedformer for kartlegging. Den ene kalles ofte statisk testing. 52 eleven er ofte preget har til av
Hovedhensikten er
oppstilte stykker med en rett/galt struktur (”bare ett rett svar”), og det avgjøres om eleven kan eller
å mestre oppgaven i en gitt å situasjon. finne det nivå (Se eleven fig. 4.) eller Læringspotensialet klassen/gruppen er på. Disse er trolig prøvene/testene langt mer ofte sentralt preget for av
ikke
oppstilte
kan finne
stykker
det rette
med
svaret.
en rett/galt
Det
struktur
er fasit,
(”bare
og regner
ett rett
ut
svar”),
skårer
og
(poeng)
det avgjøres
for eleven.
om eleven kan eller
utformingen av undervisningen Oppgavene ikke kan enn finne intelligensnivået bør det være rette svaret. av diagnostisk Det er.
fasit, type, og en regner slik at ut skårer en kan (poeng) finne for mulige eleven. kjennetegn på
matematikkvansker,
Den andre formen for kartlegging Oppgavene kalles bør spesielt være i
dynamisk av form diagnostisk av misoppfatninger.
testing. type, 53 Den slik at Fokus
kan en er
gi kan på
oss finne matematikkens
et mål mulige for kjennetegn innhold. Men
læringspotensialet.
Da undersøker retningsoppfatning en en hvordan kan også eleven arbeide eller sekvensering. arbeider med å analysere og Da tenker blir feilene fokus ved på for å kjennetegnene. finne å se ut etter hvor andre mye kjennetegn, og hva f. slags eks.
på
en matematikkvansker, kan også arbeide spesielt med i å form analysere av misoppfatninger. feilene for Fokus å se er etter på matematikkens andre kjennetegn, innhold. f. Men eks.
hjelp en må gi eleven for at Den retningsoppfatning han statiske skal få testingen til eller oppgaven. har sekvensering. visse begrensninger. Da blir fokus For på det kjennetegnene. første fokuserer den på hva som er lært
tidligere, Den dvs. statiske på et testingen ”læringsprodukt”. har visse begrensninger. Den gir oss svært For det liten første informasjon fokuserer om den elevens på hva som måte er å lært lære
Selve hovedtanken med på. tidligere, kartleggingen dvs. på et ”læringsprodukt”. blir på en måte Den snudd gir oss på svært hodet: liten informasjon Nå skal om en elevens hjelpe måte eleven å lære
til å få rett svar på alle oppgavene For
på.
det andre på prøven! sier den ikke Og noe så må om en hvordan merke barn seg reagerer hva slags på undervisningen hjelp og hvor og på mye selve
hjelp eleven behøvde for prøvesituasjonen. å få til For oppgaven. det andre Mange sier Da den elever har ikke med en noe matematikkvansker et om grunnlag hvordan barn for kan reagerer utformingen ha hatt på så undervisningen mange av nederlag en annerledes
og i på skolen selve at
alt som prøvesituasjonen. minner om prøver, Mange hemmer elever med og matematikkvansker blokkerer følelsesmessig kan ha hatt for så at mange eleven nederlag kan få vist i skolen hva han at
undervisning.
kan. alt Matematikkangst som minner om prøver, og prestasjonsangst hemmer og blokkerer ikke uvanlig. følelsesmessig En ser for at at eleven eleven trommer kan få vist med hva fingrene han
kan. Matematikkangst og prestasjonsangst er ikke uvanlig. En ser at eleven trommer med fingrene
Fra Vygotsky har vi på uttrykket bordet, biter
på bordet, ”den seg i
biter seg nære leppen,
i leppen, sone” puster og
puster (den stønner
og stønner proksimale – og sitter med
– og sitter med utviklingssonen). krumme tær!
krumme tær! Dynamisk
kartlegging er en måte å kartlegge
Og for det
Og for denne
tredje gir
det tredje nære
ikke denne
gir ikke sonen
formen
denne formen på. Det
for
for
kartlegging tilstrekkelig informasjon som
er trolig ved å arbeide her, at kartlegging eleven får tilstrekkelig det beste informasjon læringsresultatet.
Da får vi et bilde undervisningsopplegg.
av undervisningsopplegg.
hva eleven kan (forkunnskap) og
som
grunnlag for å utvikle annerledes
Matematisk ferdighet
grunnlag for å utvikle annerledes
Matematisk ferdighet
hva eleven nesten kan. Det Det vi da vi trenger da trenger å vite å vite noe noe om, om, er er elevens elevens Framgangsmåter
Framgangsmåter Nøyaktighet
Nøyaktighet
læringspotensiale, læringspotensiale, dvs. dvs. de de mulighetene mulighetene eleven eleven
Dette kan vi sammenfatte har har til i å til ”globefiguren” mestre å mestre oppgaven oppgaven i en (se i en gitt fig. gitt situasjon.
4). 54
Ulike emner i i matematikk
Den statiske kartleggingen
(Se
har (Se fig. fig. 4.)
hovedfokus 4.) Læringspotensialet på den
er
øvre er trolig trolig delen
av globen, mens dynamisk undervisningen kartlegging enn enn intelligensnivået har fokus på er. er.
langt langt
mer mer sentralt sentralt for for utformingen av av
"L E D S A G E R V A N S K E R" R"
den
nedre delen.
Den Den andre andre formen for for kartlegging kalles
"Tenking"
dynamisk testing. testing.
Og så må vi være oppmerksomme 53 53
Den Den kan kan gi gi oss oss et et mål for for Holdninger
Strategier
Erfaringer
læringspotensialet. Da
på Da undersøker ”ledsagervanskene”,
dvs. forhold som eleven forstyrrer eleven arbeider arbeider læringen, og og tenker tenker ved men ved å finne å ikke finne ut ut har hvor
mye og hva slags hjelp en må gi eleven for at
en en hvordan
Modning etc.
noe med verken faget matematikk mye og hva
han skal få
eller slags hjelp
til oppgaven.
med en egenskaper må gi eleven hos for at
han skal få til oppgaven.
Læringsforutsetninger
eleven å gjøre. Slike ledsagervansker Selve hovedtanken kan f. med eks. kartleggingen være sykdom
hjemme, mobbing på – en eller på
Selve hovedtanken med kartleggingen blir
blir
måte
en måte lavt snudd
snudd blodsukkerinnhold på
på
hodet:
hodet:
Nå
Nå
skal
skal
en
en
hjelpe
hjelpe på
eleven til å få rett svar på alle oppgavene på Fig. 4: Sammenhengen mellom læringsforutsetninger
grunn av manglende frokost. eleven til å få rett svar på alle oppgavene på Fig. 4: Sammenhengen mellom læringsforutsetninger
52 Kalles også kvantitativ testing.
53 Kalles også kvalitativ testing.
54 Lunde, 1997
26
prøven! Og så må en merke seg hva slags (læringspotensialet) og matematisk ferdighet, slik vi kan
prøven! Og så må en merke seg hva slags (læringspotensialet) måle den ved tester. og matematisk ferdighet, slik vi kan
måle den ved tester.
52 Kalles også kvantitativ testing.
52 Kalles 53 Kalles også også kvantitativ kvalitativ testing.
53 Kalles også kvalitativ testing.
24
24

hovedfok
Og så må vi være oppmerksomme på ”ledsagervanskene”, dvs. forhold som forstyrrer læringen,
men ikke har noe med verken faget matematikk eller med egenskaper hos eleven å gjøre. Slike
ledsagervansker kan f. eks. være sykdom hjemme, mobbing – eller lavt blodsukkerinnhold på
grunn av manglende frokost.
Individuell kartlegging
Som oftest er spørsmålet om en bestemt elev har matematikkvansker og hva en da skal gjøre.
Men i grunnen er det flere ting en ønsker å få vurdert. For det første: Er denne elevens vansker så
omfattende at det er nødvendig med ekstra hjelp? For det andre: Kan jeg tilpasse undervisningen
slik at eleven bedre mestrer matematikken?
Det kan ofte være nødvendig å kombinere bruken av statisk og dynamisk kartlegging for å kunne
svare på begge disse spørsmålene. Da bruker en først den statiske testen, og så følger en dette opp
med dynamisk testing for å få grunnlag for tiltakene.
Hvis en primært ønsker å vurdere nivået hos en elev i forhold til årstrinnet, vil en kvantitativ test
være best. Mest brukt av disse er de såkalte M-prøvene som utgis av PP-tjenestens Materialservice.
Det finnes prøver for hvert årstrinn fra 2. til 9. trinn. De dekker de ulike emnene på årstrinnet og
oppsummerer resultatene i en oversikt. Prøveresultatene gir innen hvert av emnene en samlet indikasjone
på om resultatet er OK, om det er grunn til å følge nøye med, eller om det kreves iverksetting
av undervisningsmessige tiltak.
Slik sett kan M-prøvene danne grunnlaget for å gi en faglig tilpasset undervisning i matematikk
være til hjelp ved utarbeidelse av individuelle læreplaner.
Oppgavene er til en viss grad
preget av diagnostisk utforming og
en kan finne kjennetegn på matematikkvansker
ved å analysere elevenes
svar og se på arbeidsmåte og tenking.
En kan også bruke M-prøvene ut fra
en dynamisk tenking hvor en hjelper
eleven gjennom samtale og ulike
”hint” til å få rett svar. Da får en et
bilde av type hjelp og omfanget av
det eleven nesten kan mestre, dvs. det
som ligger i den nære sonen.
Et annet slikt materiale
er Hammervold & Ostad’s
”Basiskunnskaper i matematikk”.
Den er laget for 2., 4. og 7. årstrinn
og kan brukes på samme måten som
M-prøvene. 55
McIntosh har utviklet et materiell for kartlegging av barns talloppfatning og tallforståelse.
Materialet omfatter skriftlige tester for 1. - 10. trinn, veiledning for gjennomføring og vurdering av
testene, vurderingsskjemaer, samt veiledning til elevintervjuer og en håndbok. Oppgavene i testene
har henvisninger til kapitler i håndboka, der det finnes nærmere forklaring på hva oppgavene skal
teste av forståelse. Boka beskriver vanlige misoppfatninger, hvorfor de forekommer, og det gis konkrete
forslag til hvordan lærerne kan jobbe videre ut fra resultatene på testene. Boka kan også brukes
når man skal planlegge undervisningen. 56
Hvis problemet primært er å utforme en annerledes undervisning for en elev som tydelig ikke
mestrer matematikken, kan en med fordel bruke en dynamisk kartlegging. Den aller enkleste er
faktisk meget god, men forutsetter at pedagogen har god innsikt i matematikkdidaktikk og matematikkvansker,
se fig. 5.
Individuell kartlegging
Som oftest er spørsmålet om en bestemt elev har matematikkvansker og hva en da skal gjøre.
Men i grunnen er det flere ting en ønsker å få vurdert. For det første: Er denne elevens vansker så
omfattende at det er nødvendig med ekstra hjelp? For det andre: Kan jeg tilpasse undervisningen
slik at eleven bedre mestrer matematikken?
Det kan ofte være nødvendig å kombinere bruken av statisk og dynamisk kartlegging for å
kunne svare på begge disse spørsmålene. Da bruker en først den statiske testen, og så følger en
dette opp med dynamisk testing for å få grunnlag for tiltakene.
Hvis en primært ønsker å vurdere nivået hos en elev i forhold til årstrinnet, vil en kvantitativ test
være best. Mest brukt av disse er de såkalte M-prøvene som utgis av PP-tjenestens
Materialservice. Det finnes prøver for hvert årstrinn fra 2. til 9. trinn. De dekker de ulike emnene
på årstrinnet og oppsummerer resultatene i en oversikt. Prøveresultatene gir innen hvert av emnene
en samlet indikasjone på om resultatet er OK, om det er grunn til å følge nøye med, eller om det
kreves iverksetting av undervisningsmessige tiltak.
Slik sett kan M-prøvene danne grunnlaget for å gi en faglig tilpasset undervisning i matematikk
være til hjelp ved utarbeidelse av
individuelle læreplaner.
Oppgavene er til en viss grad
preget av diagnostisk utforming
og en kan finne kjennetegn på
matematikkvansker ved å
analysere elevenes svar og se på
arbeidsmåte og tenking. En kan
også bruke M-prøvene ut fra en
dynamisk tenking hvor en hjelper
eleven gjennom samtale og ulike
”hint” til å få rett svar. Da får en
et bilde av type hjelp og omfanget
av det eleven nesten kan mestre,
dvs. det som ligger i den nære
sonen.
Et annet slikt materiale er
Hammervold & Ostad’s
54 Lunde, 1997
Fig. 5: Eksempel på enkel dynamisk test. (Hentet fra Heuvel-
Panhuizen & Gravemeijer, 1991.)
25
55 Utgitt på Universitetsforlaget, Oslo.
56 Bestilles fra www.matematikksenteret.no
27

Da gir en eleven et blankt ark hvor en har skrevet et tall øverst. Det velger en ut fra hva en tror
vil passe for denne eleven. Og så skal eleven lage så mange ulike oppgaver han kan der svaret blir
dette tallet. Hele prosessen har form som en dialog mellom eleven og pedagogen, og eleven setter
ord på hvordan han har tenkt. En kan på denne måten få et rimelig bra bilde av de tre hovedformene
for matematikkvansker.
Jeg har laget et omfattende materiale for dynamisk kartlegging av matematikkvansker. 57 Det er
også utgitt i Danmark og Sverige. Det består av en oversiktskartlegging (som tar ca. 30 minutter) og
14 deltester som skal brukes etter behov for å utdype deler av elevens læringspotensiale. Materialet
er utarbeidet for 3.-4. årstrinn, men deler av det kan brukes på lavere årstrinn. Det fungerer også bra
for elever på høyere årstrinn, men en må da gjerne utelate noen av de enkleste oppgavene.
Ideen er å finne indikasjoner på forstyrrelser i læringen. Materialet fokuserer derfor mindre på
selve den matematiske ferdigheten. Det er beregnet brukt på enkeltelever og er preget av dialog
elev - lærer.
Mange som har arbeidet med å kartlegge elever med matematikkvansker, har konkludert med at
dette er et meget sammensatt fenomen. Mange elever sliter vel så mye med handlingslammelse og
slurv, som med manglende forståelse. Det er tydeligvis noe som gjør at de ikke får vist hva de kan på
klasseprøver og heller ikke på individuelle prøver. Ved klasseobservasjoner blir en ofte slått av hvor
lite noen elever klarer å få gjort og at det ”oser indre motstand” av dem.
Mitt materiell inneholder også en holdningstest mht. matematikk og et observasjonsverktøy for
prestasjonsangst som to av de 14 deltestene.
Hva viste kartleggingen om Bob-Kåre?
Bob-Kåre ble kartlagt med oversiktsdelen av dette materialet, og lærerens kommentarer er gjengitt
i boksen ved siden av. Oppgavene er gjengitt i Tillegg E. Arket han laget med inndelingene, er
vist på neste side.
Hvis vi ser på det han gjør og lærerens kommentarer, kan vi få et bra bilde av Bob-Kåres ferdigheter
innen de 6 områdene. Men det kan være vanskelig å få oversikten når en arbeider med kartleggingen.
Det viktigste med kartleggingen er utformingen av tiltak basert på de mulighetene (læringspotensialet)
som Bob-Kåre har.
57 Lunde, 1997, InfoVest Forlag
28

Nå får jeg det til!
Nå får jeg det til!
Eleven har problemer med å legge arket med den lengste siden mot seg. Han viser hvor ”lengst”
er på arket, men jeg må vise ham ”siden”.
Det å tegne sirkelen midt på går greit, og han greier også å tegne strek ut til hvert av hjørnene og
til hver av kantene. Han greier også å peke på det rommet som er øverst til venstre på arket, men
når han skal skrive et 1- tall i den smale delen av rommet, må han ha gjentatt oppgaven med hint
Eleven har om problemer start. Lurer med på å ordet legge ”smale”. arket med den lengste siden mot seg. Han viser hvor ”lengst”
er på arket, Han men har jeg også må noe vise problem ham ”siden”. med å skrive tallet som kommer før 36. Gjentar ordet ”før”, og han får
Det å tegne gjentatt sirkelen oppgaven. midt på Det går å greit, telle og to om han gangen greier også (6-8-10…) å tegne går strek greit og ut til også hvert det av å skrive hjørnene tallet og ”etter”
til hver av 29. kantene. Når han Han får greier spørsmål også om å å peke skrive på en det halv rommet med tall, som får er han øverst det ikke til venstre til. Løsningen på arket, må men vises.
når han skal Han skrive skulle et også 1- tall skrive i den en smale del oppgitte delen tall. av rommet, 12 går greit, må han men ha han gjentatt skriver oppgaven 64 i stedet med for 74. hint 192 får
om start. han Lurer ikke på til, ordet 21 går ”smale”. greit, mens 203 får han ikke til uansett mengde hjelp.
Han har også Når han noe skal problem tegne med 5 streker, å skrive der tallet 2 av strekene som kommer skal være før 36. like Gjentar lange og ordet en av ”før”, strekene og han skal får være
gjentatt oppgaven. mindre enn Det de andre å telle strekene, to om gangen må han (6-8-10…) ha en gjentagelse går greit av og oppgaven også det å før skrive han får tallet det ”etter” til. Han fikk
29. Når han også får beskjed spørsmål om om å tegne å skrive fire firkanter en halv i med det samme tall, får rommet, han det men ikke skjønte til. Løsningen ikke oppgaven må vises. og tegnet
Han skulle tre også trekanter skrive i stedet. en del oppgitte Han tegnet tall. imidlertid 12 går greit, en strek men som han han skriver tror er 64 4 cm i stedet uten for problemer. 74. 192 får
han ikke til, Å tegne 21 går en greit, klokke mens som 203 viser får halv han fire, ikke går til også uansett bra. mengde Det å si hjelp. hvor bredt han tror arket er, har han
Når han skal
ikke
tegne
sjanse
5
til
streker,
å klare
der
uansett
2 av
hvor
strekene
mye hjelp
skal
han
være
får.
like lange og en av strekene skal være
Han får også en regneoppgave der han skal finne ut hvor mye av spikeren som stikker ut når han
mindre enn de andre strekene, må han ha en gjentagelse av oppgaven før han får det til. Han fikk
har spikret den inn i en bjelke som er 8 cm tykk. Dette går til dels bra. Han tegner en fin
også beskjed om å tegne fire firkanter i det samme rommet, men skjønte ikke oppgaven og tegnet
illustrasjon, men klarer ikke regnestykket. Han viser likevel at han tenker på rett måte. Oppgaven
tre trekanter i stedet. Han tegnet imidlertid en strek som han tror er 4 cm uten problemer.
der han skal på butikken og handle sjokolade, må han vises løsningen på. Han har ti kroner og
Å tegne en
skal
klokke
kjøpe
som
en sjokolade
viser halv
til
fire,
4 kr
går
og en
også
til 5.
bra.
Hvor
Det
mye
å si
har
hvor
han
bredt
da igjen?
han tror
Han
arket
teller
er,
på
har
fingrene
han
og
ikke sjanse kommer til å klare til slutt uansett fram hvor til rett mye løsning. hjelp han får.
Han får også Den en siste regneoppgave regneoppgaven der han han får skal er antageligvis finne ut hvor alt mye for vanskelig av spikeren for ham. som stikker Han skal ut når regne han ut hvor
har spikret mange den inn poser i en tomatsuppe bjelke som han er 8 trenger cm tykk. når Dette han skal går lage til dels til alle bra. i klassen. Han tegner Hver en pose fin rekker til 4
illustrasjon, elever. men klarer Han får ikke mye regnestykket. hjelp og tips om Han løsning viser og likevel tegner at en han illustrasjon. tenker på På rett siste måte. oppgave Oppgaven skal han
der han skal tegne på et butikken hus etter og anvisning handle sjokolade, fra testleder. må Det han eneste vises løsningen han ikke får på. med Han seg har av ti instruksjonene, kroner og er
skal kjøpe røyken sjokolade fra pipa til på 4 taket. kr og en Ellers til 5. greide Hvor han mye oppgaven har han bra. da igjen? Han teller på fingrene og
kommer til slutt fram til rett løsning.
Den siste regneoppgaven han får er antageligvis alt 27 for vanskelig for ham. Han skal regne ut hvor
mange poser tomatsuppe han trenger når han skal lage til alle i klassen. Hver pose rekker til 4
elever. Han får mye hjelp og tips om løsning og tegner en illustrasjon. På siste oppgave skal han
tegne et hus etter anvisning fra testleder. Det eneste han ikke får med seg av instruksjonene, er
røyken fra pipa på taket. Ellers greide han oppgaven bra.
27
29

Nedenfor er gjengitt en liten tabell jeg ofte bruker for å få oversikt. Av og til skifter jeg ut de seks
sentrale emnene innen den grunnleggende matematikken med de tre formene for matematikkvansker:
prosedurale, semantiske og visuo-spatiale.
Analyseskjema for kartlegging av matematikkvansker
Vanske som skal
mestres
1.
Telling
2.
Antallsforståelse
3.
Sammenligning
av to tall
4.
Plassverdi
5.
Aritmetikk
6.
Estimering
Kjennetegn
(hos eleven)
TILTAK
(Innhold og undervisningsform)
Konklusjon
Vi har tidligere drøftet seks sentrale kjennetegn på matematikkvansker (se kap. 2). Det er enkelt
å lage en liten test på om eleven mestrer disse områdene på et nivå som tilsvarer årstrinnet. På www.
matematikk.org er det i menyen et valg som heter Treningsleir hvor en meget enkelt kan lage en
liten sjekk ut fra områder og mål i lærplanen (1.-3. årstrinn), eller ut fra Fagtreet, dvs. en struktur
av delemner. En kan velge mellom vanskegrader. Jeg liker best å bruke Fagtreet. Oppgavene kan
skrives ut på papir. Programmet lager også fasit.
Dette kan selvsagt også være et godt redskap til å lage gode oppgaver hvor eleven kan arbeide
med å lære seg disse seks grunnleggende områdene.
30

Noen praktiske tips om hva en bør se etter under kartleggingen
Først og fremst er det viktig å få inntrykk av hvordan eleven fungerer på enkle oppgaver innen
tallbehandling. Noen enkle addisjonsoppgaver og subtraksjonsoppgaver gir ofte en god informasjon
når en vet hvilke kjennetegn en skal se etter.
Andre enkle oppgaver kan være å be eleven telle så langt han/hun kan, lese av en lengde på en
linjal, skrive noen tall etter diktat, f. eks. 129. Enkelte elever skriver da kanskje 10029.
Ofte kan det være en hjelp å få et bilde av hvordan hukommelsen fungerer hos eleven, både det
vi kaller korttidshukommelse og langtidshukommelse. En får et godt bilde av korttidshukommelsen
ved å si tre, fire og deretter fem ensifrede tall langsomt og be eleven gjenta dem etterpå. 58 En kan
også be eleven gjenta dem baklengs, men da bør en bare bruke to, tre og fire tall. Det krever mer
kapasitet i korttidsminnet (arbeidshukommelsen) å si tallene baklengs.
I mitt materiell 59 er det en enkel test for langtidshukommelsen hvor eleven får høre en liten historie
og så litt senere skal gjenfortelle den eller svare på spørsmål fra historien. En kan godt lage en
liten historie og bruke slik.
Språkferdigheten er viktig ved matematikklæringen. Noen enkle oppgaver som gir et inntrykk av
språkferdigheten, kan være å be eleven si navnet på så mange dyr han/hun husker. Relasjonsbegrepene
er viktige. Spør om en dag er kortere enn en uke, om bestemor er eldre enn en jente, om eleven er
lengre enn du er selv. En ”vanskelig” setning kan være slik: ”Lise er lysere enn Eva. Hvem av dem
er mørkest?”
Formgjenkjenning og dannelsen av mentale bilder er viktig. Du kan få et lite inntrykk av dette
ved å be eleven lage en tegning av en sirkel under en firkant. Da får du også mye informasjon om
begrepene sirkel og firkant – og relasjonsbegrepet under. Skal eleven gjøre dette, må han/hun lage
seg et mentalt bilde av hva ordene betyr og så tegne det.
Det viser seg at det er mange elever som strever med problemløsning fordi de ikke forstår innholdet
av hva de leser, og ikke fordi de strever med matematikk. Gudrun Malmer har utarbeidet
et kartleggingsmateriell for dette (ALP) som analyserer leseforståelsen innenfor problemløsning i
matematikk. 60
Hvis slike enkle oppgaver ikke fungerer greit i forhold til det som er vanlig på dette årstrinnet, kan
det være at eleven har store vansker med matematikken på grunn av slike ting.
I mitt materiell er det oppgaver som også sier noe om persepsjon, koordinering, motorikk,
konsentrasjon, begreper og generelt det vi kaller tallforståelse. 61 I den senere tiden har en også
begynt å snakke om numeralitet og beskriver det som ”den matematikken hverdagen trenger”. 62
Hverdagsmatematikk i kombinasjon med grunnleggende matematikkferdigheter er viktig. Gjennom
kartleggingen bør en danne seg et bilde av disse områdene, noe dette materialet kan bidra til.
Matematikkvansker er ofte følelsesladet. Det kan derfor være bra å følge med på hvordan eleven
arbeider med ulike oppgaver og gjerne få i gang en liten samtale der han/hun forteller til deg hvordan
han/hun tenker. Det enkle spørsmålet ”Hvordan tenkte du nå?” har ofte hjulpet meg. Men husk at
ikke alle elevene kan sette ord på tankene sine – og noen har også spesifikke språkvansker (se kap.
10).
58 En slik serie kan være: 3-9-4; 7-2-5; 9-4-1; 3-5-2-7; 2-5-3-9-1; 8-3-5-1-7.
59 Lunde, 1997, side 126.
60 Se www.ganforlag.no. Dette materiellet kan kjøpes derfra.
61 På engelsk kalles dette ”number sense” og defineres meget ulikt. Se Gersten & Chard, 2001 og Witzel
m.fl. 2007. Det er videre enn ”antallsforståelse”.
62 Lundetræ, K., 2007, s. 41
31

Oppsummering og konklusjon
Kartlegging og diagnostisering har ofte blitt svært fokusert innen tilpasset opplæring og spesialpedagogisk
arbeid. Men all kartlegging og diagnostisering har i liten grad ført til en bedret spesialundervisning
for elevene. Ofte sitter en med inntrykk av at kartleggingen gjøres uten perspektiv på
hva resultatene skal brukes til. Det er faglig uetisk.
Fokus bør rettes mot kunnskapens kvalitet (kap. 6) og hva som spesialpedagogisk kan gjøres for
å bedre denne kvaliteten (se kap. 8, 9 og 10).
32

4. Hva må vi ellers vite om Bob-Kåre?
4. Hva må vi ellers vite om Bob-Kåre?
Vi må vite noe om Bob-Kåre innen tre områder: For det første må vi vite noe om Bob-Kåres
læringsforutsetninger. Det betyr å vite noe om hva eleven kan og ikke kan i matematikk, og
hvordan han/hun fungerer kognitivt. Det er det vi finner når
vi
Vi
kartlegger
må vite noe
eleven
om
(kap.3).
Bob-Kåre innen tre områder: For det første
må vi vite noe om Bob-Kåres læringsforutsetninger. Det
betyr
Men
å
hvis
vite noe
vi skal
om hva
få en
eleven
grundig
kan
vurdering
og ikke kan
av
i matematikk,
Bob-Kåres
Elevens læringsforutsetninger
læringspotensial, må vi også vite noe om hans situasjon
og hvordan han/hun fungerer kognitivt. Det er det vi finner
hjemme og hvordan han fungerer sosialt både på skolen og i
når vi kartlegger eleven (kap.3).
fritiden. Som regel vet læreren mye om dette, slik at en har
et godt Men grunnlag hvis vi for skal å vurdere få en grundig læringspotensialet. vurdering av Bob-Kåres
læringspotensial, må vi også vite noe om hans situasjon Undervisningens
Det viktigste med all kartlegging er å få ideer om hvilke
hjemme og hvordan han fungerer sosialt både på skolen og i
tiltak som bør settes i verk. Tidligere så vi på at form
Undervisningens
matematikkvansker
fritiden. Som regel
ble
vet læreren
definert
mye
som
om dette,
forstyrrelser
slik at en har
i
samspillet godt grunnlag mellom for å vurdere læringspotensialet.
elevens læringsmåte,
innhold
undervisningsformen Det viktigste med og all innholdet kartlegging (se er figuren). å få ideer Når om vi hvilke skal
utforme tiltak som tiltak bør ved settes matematikkvansker, i verk. Tidligere så er vi det på at mye matematikkvansker
vi har ble en oppfatning definert som av forstyrrelser hva som har skapt i samspillet vanskene. mellom Vi Fig. 6: De tre sentrale faktorene ved
enklere
hvis
må elevens derfor læringsmåte, også vite noe undervisningsformen om to andre forhold, nemlig og innholdet hvordan matematikkvansker, basert på Magne,
(se
1998.
har figuren). den undervisningen Når skal utforme vært som tiltak eleven ved har matematikkvansker,
fått tidligere, og
hva er har det mye innholdet enklere i den hvis vært. vi har (Se en oppfatning figur 6.) Det av hva er dette som har vi nå skapt skal vanskene. se nærmere Vi må på og derfor så lage også en vite
modell noe om for to hvordan andre forhold, vi kan systematisere nemlig hvordan denne har informasjonen den undervisningen på en vært enkel som måte. eleven har fått tidligere,
og hva har innholdet i den vært. (Se figur 6.) Det er dette vi nå skal se nærmere på og så lage en
modell for hvordan vi kan systematisere denne informasjonen på en enkel måte.
Undervisningens form og innhold
Det eneste vi med sikkerhet vet om en elev med matematikkvansker, er at eleven ikke har lært
tilfredsstillende Undervisningens ut fra den undervisningen form og han har innhold fått.
Hovedprinsippet er at eleven ”andre gangen” må få en undervisning som er annerledes enn
Det eneste vi med sikkerhet vet om en elev med matematikkvansker, er at eleven ikke har lært
første gangen. For eleven har nemlig lært noe første gangen også: ”Matematikk kan jeg ikke
tilfredsstillende ut fra den undervisningen han har fått.
lære!” Det er denne holdningen vi må endre til ”Jeg kan!” Og det klarer vi først og fremst ved at
eleven Hovedprinsippet selv opplever å er mestre at eleven matematikken. ”andre gangen” må få en undervisning som er annerledes enn første
gangen.
Når vi lærer,
For eleven
lærer
har
vi samtidig
nemlig lært
noe
noe
om
første
sammenhengen
gangen også:
som
”Matematikk
læringen foregår
kan
i.
jeg
Sammenhengen
ikke lære!” Det
er er kanskje denne slik: holdningen 63 vi må endre til ”Jeg kan!” Og det klarer vi først og fremst ved at eleven selv
opplever
• Det
å mestre
brukes
matematikken.
lærebok
Når • vi Læreboken lærer, lærer inneholder vi samtidig oppgaver noe om som sammenhengen skal løses som læringen foregår i. Sammenhengen
er kanskje • Oppgavene slik: 63 er nummerert og skal løses i en bestemt rekkefølge
• • Der Det er brukes ett rett lærebok svar – og mange feil svar. Eleven med matematikkvansker er nok best
• kjent Læreboken med alle inneholder feilaktige oppgaver svarene som – og skal med løses blanke svar…
• • Undervisningen Oppgavene nummerert skjer i klasserommet. og skal løses Eleven i en bestemt sitter rekkefølge på pulten og regner, og læreren
• sitter Der enten er ett rett bak svar kateteret – og mange eller går feil rundt svar. mellom Eleven pultene med matematikkvansker og gir kort hjelp er til nok elever best som kjent
spør med alle de feilaktige svarene – og med blanke svar…
• • Den Undervisningen rette måten vises skjer på i tavlen, klasserommet. og eleven Eleven må av sitter og til på skrive pulten dette og regner, ned og læreren sitter
enten bak kateteret eller går rundt mellom pultene og gir kort hjelp til elever som spør
63 Mellin-Olsen, • Den S., 1997. rette måten vises på tavlen, og eleven må av og til skrive dette ned
• Det hele varer i 45 minutter. Da er det over for denne gangen…
31
63 Mellin-Olsen, S., 1997.
33

Jo flere likhetstrekk det er når eleven møter matematikken ”for andre gang”, desto mer hemmende
virkning har det på læringsutbyttet. Vi må altså utforme rammene rundt den tilpassede opplæringen
på en annen måte. Men også innholdet og selve undervisningsformen har betydning. Elever med
matematikkvansker er ofte langt bedre til å anvende matematikk til å løse praktiske problem angående
måling, tid, penger, hoderegning/overslagsregning og lese ut matematisk informasjon fra f.
eks. aviser enn det som skoleprestasjonene tyder på. 64 Det er jo underlig at elevene ser ut til å kunne
bruke en matematikk som de etter testene skulle mangle…
Derfor må vi vite noe om hvordan undervisningen har vært tidligere.
De matematiske kompetansene
I forbindelse med de tidligere nasjonale prøvene, møtte vi uttrykket matematiske kompetanser.
Dette brukes ofte som en betegnelse på de ferdighetene eleven skal ha fått som resultat av den matematiske
undervisningen. 65
Ofte beskriver vi 8 slike og mener da at de gir et godt bilde av den matematiske ferdighet og forståelse
hos eleven. Vi vet at disse kompetansene er viktige element i den matematiske læringen, men
de kan variere mye i ulike læreverk og i måten læreren utformer undervisningen på.
To ting er viktige nå: For det første må vi se om eleven tidligere har hatt ”hull”, dvs. at noen av
disse områdene ikke har vært arbeidet med. For det andre skal vi forsøke å lage opplegget slik at det
ser annerledes ut enn første gangen.
Jeg har her valgt å samle disse delferdighetene, slik at de mer samsvarer med de formene for
matematikkvansker som vi beskrev i kap. 3, nemlig å forstå (semantisk), å bruke (visuo-spatialt),
og å kunne prosedyrene (proseduralt). I tillegg har jeg tatt med det emosjonelle. (Se figur 7.) Ofte
bygger eleven opp holdninger til faget, og disse kan lett blokkere for videre læring.
La oss se litt nærmere på dem:
”Forstå”
Dette har noe med det å
kunne resonnere, tenke og
kommunisere tenkingen. Vi
"Forstå"
"Prosedyrer" "Prosedyrer"
kan stille oss spørsmål om Resonnement,
Tallforståelse,
eleven har hatt gode muligheter
til å selv stille spørsmål tankegang og
bruk av symboler
Resonnement,
Tallforståelse,
tankegang og
bruk av symboler
kommunikasjon
og fremgangsmåter
og undre seg over ting i matematikken,
eller presenteres det
kommunikasjon
og fremgangsmåter
hele som ”Slik er det!” - Har
eleven arbeidet med å forklare
matematiske sammenhenger
og begrunne sine meninger
om hvordan løsninger kan
være? - Har eleven lært det
matematiske språket med alle
fagordene, slik som vinkel,
brøk, teller, operant, addisjon
osv. Dette er nødvendig for å
kunne snakke om matematikken
"Bruk"
og ikke i stand til sekvensiell prosessering av
"Emosjonelt"
"Bruk"
og ikke i stand til sekvensiell prosessering av
Problembehandling og
Holdninger, "Emosjonelt" "angst"
Problembehandling bruk av matematisk 32 og
Totalsituasjonen
Holdninger, "angst"
bruk forståelse av matematisk i 32
eleven Totalsituasjonen
har
forståelse hverdagssituasjoner i
eleven har
hverdagssituasjoner
Fig. 7: Fire matematiske kompetanseområder.
Fig. 7: Fire matematiske kompetanseområder.
64 Johnsen, F., 2004.
65 Niss, M., 2001.
34

”Bruk”
Dette er problemløsning og det å kunne bruke matematikken i hverdagen. Skal en kunne ”se” løsninger
og legge en tallstruktur på hverdagen, krever det visuo-spatial ferdighet og også sekvensiell
ferdighet. 66 En kan stille spørsmål om eleven selv har hatt mulighet til å løse matematiske problem,
gjerne knyttet til hans eller hennes egen hverdag? - Har det vært arbeidet med å beskrive ulike hverdagssituasjoner
og se på sammenhenger ved å lage modeller? Slike modeller kan være helt enkle
tegninger (nærmest illustrasjoner), og de kan være kompliserte funksjoner.
”Prosedyrer”
Skal eleven mestre matematikken, må de seks emnene vi har drøftet tidligere, fungere. En må
stille spørsmål om eleven er vant med å bruke symboler, ikke bare tall og operasjonssymbolene, men
også diagrammer og tabeller. - Hvilke hjelpemidler er eleven fortrolig med? Det er viktig å kunne
bruke kalkulator, men også en linjal (og en tallinje) kan være viktige hjelpemiddel.
”Emosjonelt”
Noen elever har det vi kaller ”matematikk-angst”. Det har bygd seg opp følelser og holdninger
som helt kan blokkere for den videre læringen av matematikken. 67 En kan da stille spørsmål om
eleven har opplevd mange nederlag i faget, noe som lett kan gi et redusert selvbilde. Vi vet at elever
med svakt selvbilde ofte også har matematikkvansker. 68 Dette blir lett en ond sirkel som må brytes:
Du får ikke til matematikken og får dårligere selvbilde. På grunn av det dårlige selvbildet får du ikke
til matematikken.
Muligens har dette sammenheng med at angsten som oppstår i tilknytning til matematikkvanskene,
påvirker hukommelsesfunksjonene (se kap. 2 om kjennetegn) og tenkingen og således den
matematiske ferdigheten. 69
Kompass for å finne retningen mot mestring 70
Ved hjelp av disse fire områdene kan vi beskrive den tidligere undervisningssituasjonen eleven
har vært i. Ofte kaller vi slike situasjoner for kontekster (sammenhenger) fordi elevens opplevelse av
situasjonen bygger på hele situasjonen – også det som ikke har noe med matematikken å gjøre.
Den tilpassede opplæringen skal være en ny situasjon, en ny kontekst. Vi kan kalle den for K 2
i
motsetning til K 1
som var den første – og hvor matematikkvanskene oppstod. - Husk at det er viktig
at K 1
er forskjellig fra K 2
.
Ofte vil det være slik at lærerne diskuterer hvordan undervisningen har vært og skal være. En
hjelp ved denne samtalen kan være å ta i bruk det vi nå har beskrevet ved å sette det sammen i en
modell, kompassmodellen.
Vi tenker oss nå at vanskene har oppstått i et samspill mellom de tre delene av den innerste sirkelen
sett i forhold til de 4 områdene i den ytterste sirkelen, se figurene 6 og 7. Når dette kombineres,
får vi et ”kompass”, se figur 8. K 1
er den nåværende situasjonen (eller konteksten), og pilen viser
retningen mot den nye situasjonen, K 2
. - Det er der mestringen skal skje!
66 Helland, T., 2002, bruker betegnelsen visuo-sekvensielle vansker og poengterer at det er vansker med å
overføre informasjon fra korttidshukommelsen til langtidshukommelsen, samt vansker med å huske og
gjenkalle helheter (spesielt presentert verbalt) og ikke i stand til sekvensiell prosessering av bitene i informasjonen
(til en helhet). Det er denne helhetsoppfatningen som er sentral ved problemløsning, dvs. ved
bruk av matematikken.
67 Johnsen, F., 2004.
68 Linnanmäki, K. 2006.
69 Aschraft & Kirk, 2001.
70 Det følgende er basert på en artikkel om dette av Dalvang & Lunde, 2006.
35

Dette kan vi bruke på flere måter i en pedagogisk planleggingssamtale. En måte er å se på hvilket
av de 4 områdene som eleven ser ut til å streve mest med ut fra hvilke kjennetegn eleven har, og så
se på de tre feltene i den innerste sirkelen i forhold til den.
I figur 8 er dette illustrert ved at eleven ser ut til å streve mye med å forstå. Derfor er det stilt inn
en rød pil på denne. Vi dreier så den innerste sirkelen og ser på samspillet mellom de læringsforutsetningene
eleven har for å mestre kommunikasjonen, hvordan undervisningen har vært utformet for
å gi rom for arbeid med tenking og resonnering, og innholdsmessig hvilken kommunikasjon som har
vært dominerende.
"Forstå"
Resonnement,
tankegang og
kommunikasjon
"Prosedyrer"
Tallforståelse,
bruk av symboler
og fremgangsmåter
"Bruk"
Problembehandling og
bruk av matematisk
forståelse i
hverdagssituasjoner
Elevens læringsforutsetninger
Undervisningens
K1
form
Undervisningens
innhold
"Emosjonelt"
Holdninger, "angst"
Totalsituasjonen
eleven har
K2
Fig. 8: Kompassmodellen
Ut fra det som da avtegner seg, kan vi utforme den nye situasjonen (K 2
) ut fra de to prinsippene
om at a) eventuelle huller skal nå dekkes, og b) den nye situasjonen skal være annerledes enn den
første. Ofte blir det en avvegning mellom disse to prinsippene.
Vi kan også bruke modellen som et verktøy for utformingen av matematikkundervisningen for
mange elever hvor en forsøker å tilpasse til den enkelte. Da kan en velge det emneområdet som er
aktuelt i den ytterste sirkelen, og så se på hvordan elevenes forutsetninger er (hva kan de fra før osv.),
og på hvilke konsekvenser det gir for undervisningen og for innholdet ved å dreie på den innerste
sirkelen.
En modell er en illustrering eller konstruksjon som er en gjengivelse i en forenklet form. Modellen
bruker vi til å studere egenskaper og oppførsel av fenomener enklere og mer effektivt enn om det
gjøres direkte. Det er enklere å først bruke en slik modell i en pedagogisk planleggingssamtale enn
å direkte begynne å prøve ut den tilpassede opplæringen på eleven(e).
36

Derfor kan vi også omforme kompassmodellen til å få fram samspillet ut fra de 6 emnene vi har
sett på tidligere, nemlig Telling, Antallsforståelse, Sammenligning av to tall, Plassverdi, Utregninger
(aritmetikk) og Estimering (overslagsregning). Da skifter en ut de 4 områdene med disse 6 emnene.
Selv synes jeg at bruken av de fire områdene gir det beste totalbildet av elevens situasjon og hva
som bør gjøres. Detaljene får jeg ved å bruke skjemaet (tabellen). Dette er en enkel måte til raskt å
komme i gang med tilpasset opplæring for en elev med matematikkvansker.
Oppsummering og konklusjon
Ut fra kjennetegnene og det vi vet om eleven, kan vi ved hjelp av denne kompassmodellen lage
en grov skisse av hvordan den tilpassede opplæringen skal utformes. Detaljene som skal settes inn,
vil vi komme tilbake til i kap. 8.
Det ser ut til at vi har et bedre utgangspunkt for utformingen av den tilpassede opplæringen ved å
bruke en slik modell, enn ved å bruke tradisjonelle matematikkprøver som grunnlag. Det er praktisk
talt ikke noen effekt av den tradisjonelt utformede spesialpedagogiske og kompensatoriske hjelpen i
skolen når det gjelder matematikkvansker. 71
Vi må vite noe om elevens totale situasjon, noe om den forkunnskapen eleven har innen matematikken
og forsøke å gjøre undervisningen annerledes enn tidligere.
Husk: Det betyr ikke at det som har vært gjort før, er dårlig, og at det nye er så mye bedre.
Kjernen er at eleven lærer bedre når det er annerledes.
71 Se f. eks. Kavale & Forness, 1999 og Magne, 2003, sidene 22-24.
37

38

5. Hvorfor har ikke Bob-Kåre lært
matematikken?
Det vet vi lite om! Men det er et naturlig spørsmål fra foreldre, og det er tanker enhver lærer gjør
seg.
Vi har tidligere sett på 6 områder som ser ut til å være sentrale kjennetegn på om en elev har matematikkvansker.
Det er sammensatte prosesser som ligger bak disse.
Telling består i alle fall av tre viktige element, nemlig en verbal prosess (si navnene som verbale
symboler), en motorisk prosess hvor fingrene brukes (peketelling, flytte objekter) og en sekvensiell
ferdighet (forståelse av hvordan tellingen skal foregå). Det å lære seg selve tallrekken, er ikke så
vanskelig. Det viktige er at barnet lærer de grunnleggende reglene som ligger bak tellingen. Disse
reglene inkluderer en-til-en korrespondanse (bare ett tallord skal knyttes til hvert objekt som telles),
fast rekkefølge (tallordene skal alltid brukes i en bestemt rekkefølge), og mengdeforståelse ( at verdien
på det siste ordet som sies, også betegner antallet som er talt).
Svært ofte lærer barna å telle fra venstre mot høyre, og de teller objektene i ”fast” rekkefølge.
Det er viktig at de også kan bruke tellingen mer fleksibelt, men at de har med seg regelen om at hvert
objekt bare skal telles en gang.
Antallsforståelse er viktig og et meget omfattende fenomen. Men noe av det grunnleggende som
vi ser svikter hos barn med matematikkvansker, synes å være evnen til å gruppere sammen ulike
objekter og se dem som en samlet mengde. Også det motsatte er viktig: det å kunne identifisere
enkelte objekter i en mengde og se for seg at en mengde kan deles opp. Disse prosessene ser ut til å
ha sammenheng med ferdighet i å diskriminere mellom ulike mengder. (Hva er mest av 3 eller 5?)
Dette har også sammenheng med ferdighet i å oppfatte visuelle mønstre og sette observasjonene inn
i en meningssammenheng. Noe av dette er medfødte prosesser, men noe er også lært. Nærmere 95
% av barn fra hjem med høy sosial status, klarer oppgaven ”Hva er størst av 4 eller 5?”. Bare 20 %
av barna fra hjem med lav sosial status klarer denne oppgaven. 72
Sammenligning av to tall er en sammensatt prosess som trolig er en kombinasjon av medfødte
og tillærte egenskaper. Plassverdi, enkel aritmetikk og overslagsregning (estimering) er også slike
sammensatte prosesser.
Vi vil alltid tolke det vi ser av slike kjennetegn ut fra oppfatninger om årsaksforhold. Dette illustreres
ved at Sjøvoll (2003) finner at hele 75 % av lærerne mener at matematikkvansker først og
fremst skyldes lese- og skrivevansker eller manglende språk- og begrepsforståelse. Dette er forståelig
fordi tekstoppgavene i matematikk setter krav også til det å kunne lese. Har eleven problemer på
dette området, vil det også føre til problemer når oppgaven skal løses. Eleven blir rett og slett ”slått
ut i første runde”! Men det at eleven har problemer med å lese eller å forstå begreper, sier ingenting
om at vedkommende har problemer med å forstå logikken i faget matematikk.
På samme måte som vi finner forskjeller mellom individer, finner vi også forskjeller innen hvert
individ. Det er ikke vanskelig å påvise forskjeller innen en elevs regneferdighet: En elev løser ett
og samme problem på ulike måter avhengig av sammenhengen det presenteres i (dvs. av konteksten
oppgaven står i).
Om en elev kan følge en bestemt regneregel (strategi), sier det ikke så mye om forståelsen av det
matematiske, - men kanskje mer om hvor godt regelen ble lært og husket. Det å glemme er neppe
det samme som det vi tenker på når vi skal drøfte årsaker til matematikkvansker!
Vi skal i det følgende se på 4 ulike forklaringsmåter til matematikkvansker. 73 Den medisinske/
nevrologiske, den psykologiske, den sosiologiske og den didaktiske.
72 Gersten, Jordan & Flojo, 2005, side 297.
73 Lunde, O., 2008, s. 106ff.
39

Den medisinske/nevrologiske forklaringsmåten
Fokus rettes her mot elevens kognitive funksjoner og deres basis i hjernen. Disse funksjonenes
møte med miljøet er avgjørende for prestasjonene Bob-Kåre gjør på ulike områder.
Det dreier seg om hvordan informasjonen bearbeides i hjernen via funksjoner som hukommelse,
oppmerksomhet og forestillingssystemer. Tradisjonelt har definisjonen av spesifikke matematikkvansker
(”utviklingsdyskalkuli”) vært knyttet til nevropsykologiske forklaringsmåter om atferd.
I Norge har Fritz Johnsen arbeidet ut fra en slik modell. Han viser til at bestemte deler av hjernen
synes å være meget sentrale ved løsningen av forskjellige regneoppgaver (møtet med det ytre miljøets
krav), slik vi har skissert i forbindelse med de seks grunnleggende ferdighetene.
Men også det vi kaller metakognisjon avhenger av funksjoner i hjernen og da spesielt knyttet til
det vi kaller ”hjernens kommandosystem”. 74 Metakognisjon består av overvåking og regulering av
de kognitive prosessene og er sentral i planlegging, problemløsning, evaluering og ulike sider ved
språklig læring. Sagt på en annen måte: En må vite hva en vet (og ikke vet), og hva en skal gjøre.
Vesentlige funksjoner blir da det å starte på en oppgave, bearbeide informasjonen, lage en plan og
gjennomføre den. Spesifikke matematikkvansker dreier seg oftest ikke om skader, sier Johnsen, men
er uttrykk for normalt forekommende forskjeller i og ferdigheter på genetisk grunnlag. Alle mennesker
har sterke og svake sider. Hos noen er deler av eller hele matematikken en slik svak side, og
av og til i en slik grad at det faller utenom normal variasjon. 75
Psykologiske forklaringsmåter
Årsaken til matematikkvanskene søkes i manglende anstrengelse/motivasjon eller konsentrasjonsvansker
hos eleven, i angst (prestasjonsangst) og holdninger til faget matematikk, eller i ulike
kognitive funksjoner, f. eks. tankestrategier, persepsjon, hukommelse og lignende. Enkelt kan vi si
at elevens ”ytre miljø” påvirker (forstyrrer) det ”indre miljøet” slik at vansker oppstår. Også språkferdigheten
og begrepsutviklingen er eksempler på slike psykologiske forklaringsmåter.
Vi finner slike forklaringsmåter innenfor både smale og brede definisjoner av matematikkvansker.
I Norge er det spesielt Snorre Ostad som har arbeidet med matematikkvansker ut fra et psykologisk
fokus. Ostad har arbeidet med ”backup-” og ”retrieval-strategier”, og forskningen hans viser
at elever med matematikkvansker bruker færre og mer primitive strategier enn elever uten vansker
gjør. 76
De siste årene har han også rettet fokus mot det han kaller ”subvokal tale” (indre eller privat tale).
Det er tale som ikke klart og entydig adresseres til en eller flere tilhørere og det utgjør en stor del av
førskolebarns verbale ytringer i naturlige gruppe- eller klasseromssituasjoner. 77 Han vil undersøke
om en mangelfull eller uhensiktsmessig fonologisk prosessering kan bidra til utviklingen av matematikkvansker.
Ostad viser til at språklyder (fonologiske prosesser) blir aktivisert når en elev løser oppgaver i
matematikk. Han gir som eksempel at når en elev leser en oppgave i læreboka og skal skrive den i
kladdeboka, sier eleven tallene (og annen informasjon) inni seg. Da fungerer denne private, indre
talen som et forflytningsredskap. Men slike fonologiske prosesser er viktige både for å gjøre kunnskapstilegnelsen
(læringen) mer funksjonell, og som framhentingsredskap for bruken av kunnskapen.
74 Dette er lokalisert til pannelappen og de prefrontale områdene.
75 Johnsen, F., 2005.
76 Ostad, S., 1999.
77 Ostad, S., 2003.
40

Opp gjennom førskoleårene vil barnet gradvis beherske prosesser som innebærer ”å tenke i ord”
uten å uttale dem. Barn som aktivt bruker en slik indre stemme når de skal løse oppgaver, har bedre
prestasjoner enn barn som har liten bevissthet om bruk av indre stemme. Det å stimulere til bruk av
privat tale, vil da kunne være et virksomt middel til å forebygge lærevansker.
Begrepsutviklingen og språkferdigheten har stor betydning for den matematiske kompetansen.
Det gjelder både hvordan situasjoner (erfaringer) og oppgaver tolkes og forstås, men også hvordan
dette kommuniseres. Når informasjon (ny kunnskap) skal lagres i hukommelsen, må den kodes (gis
en slags etikett for å kunne kjennes igjen og hentes fram igjen). Da er det begrepene som er helt
sentrale ifølge Magne Nyborg. 78 Da vil en kunne konkludere med at en manglende språkferdighet
kan være årsak til matematikkvansker
Men vi kan også forstå situasjoner, og vi kan løse problem uten å ikle disse en språkdrakt. Dette
kalles ofte ”taus kunnskap”. Mye matematisk ferdighet og forståelse har sitt opphav i slik ”taus
kunnskap”. 79 Da er det mentale, visuelle bilder som blir brukt i tenkingen. Disse er lagret i hukommelsen
vår, og vi snakker jo også om ”hukommelsesbilder”. Et bedre ord er kanskje forestillinger.
Det er summen eller syntesen av slike hukommelsesbilder eller forestillinger som er grunnlaget
for våre begreper. Vi må ikke tenke på begrepene som ord, men svært ofte er det nettopp det vi gjør.
Språket, dvs. ord og setninger, er en oversettelse eller en beskrivelse av ikke-språklige bilder som står
for enheter, hendelser, sammenhenger og konklusjoner. Ofte kaller vi dette for erfaringer.
Erfaringene oppleves og knyttes til følelser. Før de skaper slike følelser, blir de tolket. Opplevelsene,
tolkningene og følelsene er i grunnen det vi mener med tenking (”kognisjon”). Denne tenkingen gjør
at vi i hjernen skaper et ikke-språklig kart over hendelser som er logisk forbundet med hverandre.
80
Nye hendelser og problemstillinger kan settes inn i slike kart, og da vil en kunne se løsningen. I
dagligtale bruker vi jo nettopp dette utrykket å ”se løsningen”.
Mange elever med matematikkvansker kjennetegnes ved angst og følelsesmessige blokkeringer
som forstyrrer læringssekvensen. Vi kan ha ulik oppfatning om det er matematikken i seg selv som
kan skape slike reaksjoner, eller om det er en følgetilstand av det å ikke mestre faget. Dette ligger tett
til en negativ selvoppfatning, noe som kan ha ødeleggende virkning på matematikklæringen. 81
Olof Magne har vært opptatt av angst i matematikklæringen, og han beskriver trinnene som preger
utviklingen slik: 82
• Uro oppstår: Eleven opplever vanskene, andre får det til…
• Konflikt truer: Eleven strever. Han har håp om å få det til, men er redd for å mislykkes og hva
det kan medføre.
• Forventningene blir skremmende: Eleven gir opp. Han kan bli passiv og bare ”late som om han
gjør noe”, eller aktivt utagerende: Velger å gjøre andre ting enn å arbeide med matematikk.
Magne mener at slike psykologiske reaksjonsmønstre kan forklare det vi observerer av typiske
atferdsmønstre hos elever med matematikkvansker.
78 Nyborg, M., 1999.
79 Polanyi, M., 2000.
80 Damasio, 2002, side 179
81 Linnanmäki, 2006.
82 Magne, O., 1997.
41

Sosiologiske forklaringsmåter
Sosiale og kulturelle forhold, miljøfaktorer, sosial deprivasjon og lignende forhold kan forstyrre
læringssekvensen i matematikk og gi vansker. Eleven kan f. eks. komme fra et understimulert miljø
og har ikke de nødvendige læringsforutsetningene i form av erfaringer (og språkferdighet). Det ”ytre
miljøet” (den konteksten hvor læringen skjer) har medført at læringsforutsetningene mangler, er
utilstrekkelige eller kanskje annerledes enn det undervisningen i skolen forutsetter. Slik sett formes
også elevens ”indre miljø” som forutsetning for å lære, men det har ikke skjedd noen strukturelle
endringer i eleven. Eleven fungerer helt normalt ut fra det samlede sett av påvirkninger. Det kan
være tilfelle ved tospråklige elever som har vansker med skolematematikken. 83
Den matematiske ferdigheten og forståelsen som de har fra sitt morsmål, blir ikke automatisk
overført til skolesituasjoner basert på et annet språk. Matematikken er absolutt ikke et kulturuavhengig
fag!
De senere årene har en innen matematikkdidaktikken fokusert på konteksten, dvs. den sitasjonen
eller sammenhengen hvor læringen foregår. Forskning viser at læring er kontekstavhengig, og
mange nyere læreverk fokuserer sterkt på å bygge opp slike kontekster.
Også foreldrenes forhold til og oppfatning av hvor viktig det er å lære matematikk, virker inn på
barnets læring. Barnet lærer ved å imitere de voksnes atferd, og de lærer fra de voksne hvordan læringen
skal skje. Trude Fosse 84 viser hvordan førskolebarn som leker skole, utformet norsktimer og
matematikktimer på ulike måter. Hun stiller det retoriske spørsmålet: ”Hvor har de det fra?”
Didaktiske forklaringsmåter
Fokus rettes her mot feil undervisningsmetoder, ensidig ferdighetstrening, gal progresjon m.v.
overfor denne bestemte eleven med sine spesifikke hindringer for læring, ofte knyttet til de tre andre
forklaringsmåtene, når han/hun skal møte matematikken for første – og for andre gang.
Fra mange hold rettes det kritikk mot den tradisjonelle matematikkundervisningen hvor timen
starter med gjennomgang av gårdsdagens lekse, så følger gjennomgang av nytt stoff. Deretter skal
eleven øve seg på bestemte oppgaver. Alt er samlet på et par sider i læreboka og skal gjøres ferdig
hjemme.
Som et alternativ til denne undervisningsformen, har en de siste årene rettet fokus mot en konstruktivistisk
og dynamisk utformet undervisning som fokuserer på å arbeide i elevens nære sone
hvor eleven i langt større grad enn ellers selv oppdager og utvikler den matematiske forståelsen. 85
Denne konstruktivistisk og dynamisk pregede undervisningsformen har blitt fremholdt som velegnet
for elever med matematikkvansker. 86
Matematikkopplæring som baserer seg på et konstruktivistisk læringssyn, vil trolig egne seg spesielt
godt til opplæring av elever med matematikkvansker, blant annet fordi den i mindre grad krever
at elevene skal memorere kunnskapsstoff med lite meningsbærende elementer. De indre kognitive
prosessene og det ytre miljøet kan ikke holdes atskilt. Hovedideen innenfor konstruktivismen er at
mennesker konstruerer mentale modeller eller representasjoner av egen fysisk og sosial virkelighet
gjennom handling, aktivitet, tenking og refleksjon. Med mentale forestillinger menes forestillinger
som skapes i personens egen tankeverden og representerer erfaringer fra virkeligheten. Erfaringene
som i begynnelsen er konkrete, utvikles etter hvert til forestillinger på det mentale planet løsrevet fra
den fysiske virkeligheten. Dette er vesentlig ved logisk tenking.
83 ”Påfører vi minoritetsspråklige elever lærevansker i matematikk i skolen?” Se Lunde, 2005.
84 Fosse, T., 1996.
85 Dalvang & Lunde, 2005. (Se også Rossing, 2007, om hvordan slik matematikkundervisning kan utformes.)
86 Holm, M., 2002.
42

I Norge har Forum for matematikkmestring ved Sørlandet kompetansesenter, rettet søkelyset på
disse forholdene og de mulighetene det gir for å utforme en tilpasset opplæring for elever med matematikkvansker
og også forebygge slike vansker.
Oppsummering og konklusjon
Kjennetegnene på vansker i matematikk er stort sett de samme uansett forklaringsmåte. Men når
det gjelder utformingen av tiltak, har den spesialpedagogiske årsaksforståelsen en viss betydning.
Olof Magne 87 hevder at matematikkvansker ikke skyldes en bestemt faktor, men er et resultat
av samspill mellom flere. Han sier også at en ikke ut fra bestemte regnefeil kan si noe om mulige
årsaksforhold (bortsett fra enkelte misoppfatninger).
Vanskene i matematikk er satt sammen av faktorer fra tre ”årsaksdimensjoner”, nemlig stimulusdimensjonen
(rammefaktorer, skole, læreplan), responsdimensjonen (elevens individuelle særtrekk,
evner, erfaringer etc.) og den sosiale dimensjonen (sosial interaksjon, normer, forventninger, kontekstsituasjonen).
Vi ser at en slik multi-faktorell samspillsmodell tar opp alle de fire forklaringsmåtene og samtidig
kan gi en presis beskrivelse av hvordan vanskene arter seg for en bestemt elev i en gitt situasjon.
87 Magne, O., 2003
43

44

6. Hva betyr det at noe er lært?
Det å ha lært noe, kan bety ulike ting.
Det kan bety at eleven bare skal kjenne igjen stoff. Det er slik vi tenker når vi gir oppgaver hvor
eleven skal sette kryss for rett svar ut fra valgalternativer. Vi tenker av og til også at noe er lært når
det kan gjengis ut fra bestemte stikkord. Ofte stiller vi som lærere spørsmål som halve setninger, og
så skal eleven komme med det rette svaret. ”Tre pluss to bli lik ???” Og vi kan se på det at noe er
lært som kan brukes til å løse problemer. I matematikken gir vi da ofte tekstoppgaver. Da er tanken
at en skal vise gjennom ferdighet hva en har lært.
Det at noe er lært, betyr at det mestres. Men mestringsbegrepet kan ha flere ulike betydninger. En
betydning kan være at eleven får realisert sitt læringspotensial. En annen måte å tenke mestring på,
er å se på elevens egen, subjektive opplevelse. Læringen er alltid ledsaget av følelser, og det som er
knyttet til ”gode følelser” læres raskere og med bedre motstand mot glemsel, enn det som er knyttet
til ”vonde følelser”.
Vi må derfor også ha med i tankene at eleven har erfart at det ofte fins muligheter og ubrukte
sider i en selv, at en alltid har en plass i arbeidsfellesskapet på skolen, at det å ha erfart at å arbeide
godt med en oppgave kan gjøres på mange ulike måter, og at mestring handler om å ha erfart at en
er viktig.
Disse situasjonene kan være kjente eller nye. Ofte vil vi si at når det vi vet kan brukes også i nye
situasjoner, da er det lært. 88
Overføring av læring
Enkelt kan vi si at da er det som ble lært i en situasjon blitt overført til en ny situasjon. Den ene
situasjonen er en læringssituasjon, den andre er en brukssituasjon. Jo mer like de to situasjonene er,
desto lettere blir overføringen av ”det lærte” mellom situasjonene.
Dette har betydning for hvordan vi kartlegger vansker og utformer tester og prøver. Men det har
også betydning for hvordan vi utformer undervisningssituasjonen. Den bør utformes mest mulig lik
den situasjonen hvor vi vil at matematikken skal brukes.
Først og fremst tenker vi at matematikken skal brukes i hverdagssituasjoner for å løse problemer
der. Da må vi også i undervisningen fokusere på hverdagsmatematikk og legge dette mest mulig opp
til den situasjonen eleven er i nå.
Hverdagsmatematikk
Matematikken i samfunnet blir på flere områder mer og mer skjult, og mange regner lite. Mange
betalingssystemer er for eksempel automatisert. Selv om mye skjer automatisk, er det for den enkelte
nødvendig å kunne kontrollere og vurdere tallmateriale.
Dette kan foregå på tre nivå 89 :
88 Magne Nyborg legger vekt på en slik tolkning av det å ha lært: At det kan brukes i nye situasjoner.
89 Se www.vox.no.
45

Det første nivået dreier seg om å kjenne til og kunne bruke matematisk informasjon. Det kan f. eks.
være å lese en bruksanvisning der trinnene er nummerert, kunne bygge med Lego (telle festepunkter,
vurdere form og størrelse), bruke en matoppskrift, forstå kalender med datoer, lese buss- og togtabeller
og kunne klokken, forstå reglene i Ludo, bruke terning til å trille med, forstå fotballresultater, lese
værkartet i avisen eller på skjermen. Alt dette krever god tallforståelse og oppfatning av former og
relasjoner. Det siste vil si at ting står i forhold til hverandre, f. eks. først, sist eller i midten.
Det andre nivået er å kunne regne og bearbeide den matematiske informasjonen. Det må vi når
vi skal kjøpe noe og betale med penger. Målestokk trenger vi når vi skal lage en tegning av rommet
eller bruke et kart. Spill som Monopol og Yatzy krever regning og bearbeiding av matematisk
informasjon. Statistikk er også slik anvendt matematikk: Hvor mange røde gensere har du, og hvor
mange er blå? Og kjører du bil, må du kunne vurdere fri høyde under en jernbanebro!
Det tredje nivået er å kunne trekke ut resultater og kommunisere matematisk informasjon. Det
kan være slike ting som bruken av ukepenger, sammenligne priser og regne om valuta når en er i
utlandet. I og med at en skal kunne kommunisere resultatene, må en kunne skrive tall og også ha en
språkferdighet med hensyn til de vanlige matematiske begrepene.
De tre nivåene i hverdagsmatematikken griper inn i hverandre. Som elev i første årstrinn kan du
være med foreldrene på ferie i utlandet. Men skal du ha forståelse av at det er andre slags penger de
bruker, må du gjøre bruk av de to andre nivåene samtidig.
Hvordan kan jeg da få eleven til å lære?
Det er omtrent umulig å gi noe enkelt svar på dette.
Men kanskje er der en gevinst å hente i å se mulighetene elevene har, ikke bare vanskene! Ofte
vil lærere som har elever med lærevansker, ha fokus på de mange vanskene som elevene strever med,
og ha minimale forventninger om hva elevene kan oppnå. Forsøk ble gjort med å gi lærerne informasjon
om ulike undervisningsmåter i matematikk som var utformet for vanlig klasseromsbruk, fulgt
opp av veiledning i å tilpasse dette til de behovene elevene med matematikkvansker hadde. En fant
da at det utviklet seg et rikt og inspirerende miljø for matematisk tenking og problemløsning. 90 Dette
viste igjen både på elevenes holdning til matematikken og til deres prestasjoner.
Oppsummering og konklusjon:
Det er viktig å utforme hjelpen i matematikk etter de behovene eleven har og våge å prøve nye
måter å undervise på. Det er også viktig å utforme matematikkundervisningen med tanke på de situasjonene
hvor matematikken skal brukes. Det å bygge opp rundt hverdagsmatematikk, synes ofte
å være bra. Se Tillegg B hvor det er vist hvordan en kan legge en tallstruktur på hverdagen i første
klasse.
Elever med matematikkvansker tenker ofte at ”Matematikk kan jeg ikke lære!” Det er denne
holdningen vi må endre til ”Jeg kan!” Og det klarer vi først og fremst ved at eleven selv opplever å
mestre matematikken.
- Og så se om eleven bruker den matematiske forståelsen og ferdigheten i det daglige, f. eks. når
han eller hun er ordensmann og skal finne fram antall melkekartonger – når to av elevene er hjemme
på grunn av sykdom!
90 Clarke & Faragher, 2004.
46

7. Har Bob-Kåre en lærevanske når han
ikke lærer?
Han har i alle fall vansker med å lære!
I kap. 1 foreslo jeg at vi bruker betegnelsene matematikkvansker i vid betydning og spesifikke
matematikkvansker der det ser ut til å gi en mer presis beskrivelse av vanskene eleven har. Men ofte
er det vanskelig å dra noen klar grense mellom de to betegnelsene.
Lærevanske vil si at det er en elev som har vansker med selve læringsprosessen. Vi har da lett for
å tenke at da er det noe i vegen med eleven, og så må vi rette på det.
Nyere forskning begynner å se på det tradisjonelle lærevanskebegrepet som litt utgått på dato. 91
Kjernen i begrepet var en uventet underytelse hos eleven. Til tross for mye forskning rundt dette,
finner vi ingen enighet om hvilke elever det gjelder eller hvilke kjennetegn de har.
På engelsk har vi flere betegnelser som ofte blir oversatt til lærevansker på norsk. Learning disabilities
blir ofte oversatt til spesifikke lærevansker. Begrepet dyskalkuli faller inn under dette.
Men så brukes også mye uttrykket learning difficulties. Da konstaterer en bare et en elev har
vansker med å lære bestemte fag eller deler av et fag uten å si noe om eleven ellers. Den bruken vi
har av matematikkvansker, faller ofte inn under dette.
Og så brukes learning disorders. Det kan vi kanskje best oversette med læringsforstyrrelse.
Denne forstyrrelsen kan komme fra eleven selv, men også forhold utenom skolen kan forstyrre læringen.
Ofte finner vi at det er de samme elevene som har vansker i flere fag – eller at de har flere ulike
former for lærevansker.
Selv er jeg skeptisk til bruken av lærevanske-begrepet. Jeg mener det er bedre å fokusere på målet
for den tilpassede opplæringen og de spesialpedagogiske tiltakene. Målet er mestring. 92
En annen klassifikasjon av lærevansker i matematikk
Gunnar Sjöberg 93 vil ikke snakke om elever med matematikkvansker. I stedet snakker han om
elever i matematikkvansker. Og det gir oss en litt annerledes måte å tenke på.
Gjennom en omfattende undersøkelse av ungdomsskoleelever i Umeå, konkluderer han med at
han ikke finner elever med de tradisjonelle lærevanske-etikettene. I stedet viser materialet hans at de
elevene som er i matematikkvansker, kan beskrives på fire ulike måter.
Først er det statistene. Dette er ofte jenter. Som statistene i en filminnspilling, deltar disse i
matematikktimene ved å holde seg i bakgrunnen og gjøre så lite vesen av seg som mulig. De stiller
ingen krav, de bråker lite og søker ikke lærerens oppmerksomhet. Ved første blikk ser det ut som om
de arbeider med matematikken også. De har bøkene framme, de holder i blyanten og kalkulatoren
ligger på pulten. Men når en ser nærmere etter, bruker de tiden enten til diskret kontakt med andre
elever eller er bare helt passive. De har ingen ambisjoner og forventninger om å få til matematikken.
Ofte er disse elevene ganske aktive på fritiden og fungerer godt sosialt.
91 Lyon et.al., 2002.
92 Lunde,2001
93 Sjöberg, G., 2006.
47

Den andre gruppen kaller Sjöberg for ”fighters”. De er nesten motsetningen til den andre gruppen.
De stiller krav, tar konflikter og prøver selv å bestemme hva de skal og ikke skal gjøre. De
skulker gjerne matematikktimene, og de hadde liten stabilitet i fritidsaktiviteter. Ofte var også hjemmesituasjonene
deres preget av uro og skiftninger.
Fighterne ligner på statistene ved at de ikke er aktive overfor det å lære matematikk. De leverer
sjelden noe hjemmearbeid. Men de ville noe, og de hadde planer for egen fremtid.
Capselevene var tydelig umodne og helt uinteresserte i skolen og i matematikk. De pratet åpenlyst
om andre ting enn matematikk i timene, og de gjorde aldri noe hjemmearbeid. De gjorde seg bemerket
i klassen ved å skape uro og småbråk og avviste hele skolen. Men så endret det seg den siste
tiden før de skulle over i videregående. Da økte arbeidsinnsats og ønske om å lære matematikk.
Askepottene er som i eventyret. De klarte seg godt de første årene på skolen i matematikk, men
så stoppet det helt opp. Hele matematikken ble et stort mysterium, og tro på egen mestring forsvant.
Noen av askepottene opplever forandring og gjør god fremgang.
Denne siste gruppen er etter min mening meget interessant. Ofte ser vi at det er rundt overgangen
fra tredje til fjerde klasse at det stopper opp. Ostad sier at matematikkvansker kjennetegnes ved en
brå stagnasjon i den vanlige, matematiske utviklingen.
Stoppen kommer kanskje av misoppfatninger. Eleven har lært de matematiske begrepene feil, og
så fungerer det ikke lenger. Det er ikke lett hvis en mener at multiplikasjon alltid gjør større – og så
ser at det ikke stemmer med brøk og desimaler. Det er som en propp som stenger for flyten i læringen.
Da må vi finne den matematiske Plumbo som fjerner pluggen….
I den daglige skolesituasjonen er det vel ofte slik vi opplever elevene og prøver å forholde oss til
dem. Derfor synes jeg denne måten å beskrive på, også sier noe om hvordan eleven selv opplever å
ha matematikkvansker, og hvordan eleven prøver å forholde seg til vanskene. Og kanskje sier disse
betegnelsene også noe om hva som er med og utløser og forsterker slike vansker.
Hvis vi ser på lærebøkene i matematikk for barnetrinnet og mellomtrinnet, ser vi ofte en stor forskjell
i krav om leseferdighet. Det kan være at leseferdigheten ikke er god nok på mellomtrinnet for
noen elever, og slik dras da oppmerksomheten hos eleven bort fra matematikken.
Sammensatte lærevansker – hva er det?
Innen Statped 94 er matematikkvansker lagt til sentra for sammensatte lærevansker. Og så langt er
det fornuftig: Matematikkvansker er så absolutt en sammensatt vanske.
Men hva er en sammensatt lærevanske? Det er et særnorsk uttrykk som etter hvert har begynt å
få innpass i fagmiljøet. Vanligvis tenker vi på fire ulike elevgrupper: 95
- elever som har lærevansker og behov for tilpasset opplæring på grunn av store funksjonshemninger,
for eksempel cerebral parese, autisme eller sansedefekter
- elever som har særlig omfattende lærevansker, f.eks. psykisk utviklingshemming
- elever som har kombinasjon av flere vansker, f. eks. lærevansker og atferdsvansker
- elever for hvem det gjennom årene har bygget seg opp et betydelig misforhold mellom
læreforutsetninger og tilegnelse av sosiale og faglige ferdigheter”
To av disse punktene er viktige for matematikkvansker. Det ene er at svært ofte finner vi matematikkvansker
i kombinasjon med andre vansker. Ofte gjelder det lese- og skrivevansker og konsentrasjonsvansker
(ADHD). Da blir det feil å sette i verk tiltak for disse vanskene hver for seg. Vi
må se dem samlet.
94 Statlig spesialpedagogisk støttesystem
95 Basert på Notat av Jarl Formo, Sørlandet kompetansesenter, datert 7. des. 2007
48

Nå får jeg det til!
konsentrasjonsvansker (ADHD). Da blir det feil å sette i verk tiltak for disse vanskene hver for
seg. Det Vi andre må se poenget dem samlet. er at det over tid har bygd seg opp et misforhold mellom læringsforutsetninger
og tilegnelsen av sosiale og faglige ferdigheter. Det gjelder for matematikkvansker, og for å hindre
Det andre poenget er at det over tid har bygd seg opp et misforhold mellom
læringsforutsetninger
slikt misforhold, er det
og
viktig
tilegnelsen
å forebygge.
av sosiale og faglige ferdigheter. Det gjelder for
matematikkvansker, Internasjonalt begynner og for å en hindre å bruke slikt lignende misforhold, uttrykk. er det Spesielt viktig synes å forebygge. jeg complex barriers to learning
Internasjonalt sier noe nytt. begynner en å bruke lignende uttrykk. Spesielt synes jeg complex barriers to
learning Tidligere sier har noe vi nytt. ofte satt et skille mellom generelle lærevansker og spesifikke lærevansker. Jeg
tror Tidligere det mer har korrekt vi ofte å satt tenke et skille et spektrum mellom av generelle læringsbarrierer lærevansker som og på spesifikke den ene lærevansker. siden handler Jeg om
tror forhold det knyttet er mer til korrekt eleven å selv, tenke og et på spektrum den andre av siden læringsbarrierer til forhold utenfor som på personen. den ene siden Disse handler barrierene om
forhold hindrer knyttet eller forstyrrer til eleven læringsprosessen.
selv, og på den andre siden til forhold utenfor personen. Disse barrierene
hindrer eller forstyrrer læringsprosessen.
Tenk mestring stedet for vansker!
Tenk mestring i stedet for vansker!
Når vi tenker og snakker om lærevansker er det lett å fokusere på hva som hindrer. Men hvis vi
tenker Når mestring, vi tenker er og det snakker lettere om å se lærevansker etter det som er det fremmer lett å mestringen. fokusere på hva Og som hensikten hindrer. med Men tilpasset hvis vi
tenker opplæring mestring, er jo nettopp er det å lettere få til mestring. å se etter det som fremmer mestringen. Og hensikten med en
tilpasset opplæring er jo nettopp å få til mestring.
Hvis vi tenker læringsbarrierer i stedet for vansker, kan vi se på lærevansker som noe som forstyrrer
Hvis
selve
vi
læringssekvensen.
tenker læringsbarrierer
Dette er
i
skissert
stedet for
i figur
vansker,
9.
kan vi se på lærevansker som noe som
forstyrrer selve læringssekvensen. Dette er skissert i figur 9.
Læringssekvensen starter i en undervisningssituasjon. Utformingen av undervisningen (bl.a. undervisningsmateriell),
samt individuelle egenskaper hos eleven, vil være med og styre hva eleven
Læringssekvensen starter i en undervisningssituasjon. Utformingen av undervisningen (bl.a.
undervisningsmateriell), samt individuelle egenskaper hos eleven, vil være med og styre hva eleven
oppfatter og tolker. Dette har sammenheng med sosiale og faglige rammefaktorer som fagplan,
oppfatter og tolker. Dette har sammenheng med sosiale og faglige rammefaktorer som fagplan,
materiell,
materiell,
ressurser
ressurser
og
og
lærerkompetanse.
lærerkompetanse.
Denne
Denne oppfatningen
oppfatningen
har
har
betydning
betydning
for
for
den
den
videre
videre
læringen.
læringen.
Eleven
Eleven
oppfatter
oppfatter
og tolker
og tolker
ut fra
ut
sammenhengen
og hvordan og hvordan ferdigheten ferdigheten kan kan ha ha betydning betydning for for egen egen mestring mestring av av hverdagssituasjoner. hverdagssituasjoner. I
fra
sammenhengen
I denne denne prosessen prosessen er er språk språk og og begreper begreper viktig viktig da det da er det sentralt er sentralt i tenkingen. i tenkingen. Og det Og er det viktig er hva viktig eleven hva
eleven vet og vet kan og fra kan før, fra da før, ny kunnskap da ny kunnskap alltid vil alltid bli vil satt bli sammen satt sammen med det med eleven det eleven vet fra vet tidligere. fra tidligere. Men
Men denne denne prosessen prosessen kan også kan også bli forstyrret bli forstyrret av sosiale av sosiale og faglige og faglige forhold forhold utenfor utenfor eleven. eleven.
Inni hodet hos eleven
Sanse
Oppfatte
Erfare
Språk og
begreper
(Tenking)
Vet fra før
(Tidligere
erfaringer)
Handling
(I tankene/
motorisk)
"Undervisningen"
Den spesialpedagogiske tenkingen
"Forstyrrelser"
"Kartlegging/testing"
Sosiale og faglige rammefaktorer utenfor eleven
Fig.9: Lærevansker sett som en forstyrrelse av læringssekvensen.
Det vi kartlegger, er læringspotensialet og mestringen hos eleven. Det er ut fra denne kartleggingen
at vi kan trekke konklusjoner om hva det kan være som har forstyrret læringssekvensen, og
også om hva som kan gjøres med undervisningssituasjonen. Det er informasjonen vi kan hente ut av
å se på læringssekvensen som danner grunnlaget for utformingen av den tilpassede opplæringen slik
vi beskrev dette i forbindelse med ”kompassmodellen”.
45
49

Oppsummering og konklusjon
Vi kartlegger bare resultatet av en forstyrrelse i læringsprosessen. Også de verktøy vi velger å
bruke og vår tolkning av dem, er forhold utenom eleven. Denne prosessen fra undervisningen eller
læringsarenaen til kartlegging/testing, er den vanlige læringssekvensen. Det er den som kan bli forstyrret,
og da får vi manglende mestring.
Vår forståelse fra kartleggingen skal danne grunnlag for tilrettelegging av tiltakene. Da tenker vi
den andre vegen, slik det er skissert i figuren. Det er dette jeg betegner som ”den spesialpedagogiske
tenkingen”. Den fokuserer på mestring og blir en prosess preget av dynamisk tilpasning mellom
elevens kognitive funksjoner og den konteksten eleven er i. Begge deler må vi vite noe om!
50

8. Hva skal Bob-Kåre lære?
Han skal lære matematikk!
Hva er så det? Vi har ingen allment anerkjent definisjon av matematikk. Ofte sier vi at det er en
vitenskap som har fokus på begreper som mengde, struktur, rom og endring (!). Matematikken har
sitt utgangspunkt i undersøkelsen av figurer og regning med tall, og den har utviklet seg videre gjennom
bruken av abstrahering og logiske slutninger.
Hvis vi ser på Læreplanen, ser vi at fokus der er på tallforståelse og innsikt i hvordan tall og tallbehandling
inngår i system og mønstre. Videre nevnes geometri, måling og statistikk.
Alt dette er områder som ofte er meget viktige for å kunne mestre daglige situasjoner. Jeg tenker
på antall og mengder, på penger og tid, på retninger og former. Med et samleord kaller vi ofte dette
for hverdagsmatematikk. Det er i grunnen en form for anvendt matematikk hvor situasjonen der det
skal brukes, er viktig for å forstå.
Noen sentrale, matematiske ferdigheter
For å kunne mestre slike daglige situasjoner og også det vi kaller ”skolematematikken”, gjør vi
bruk av noen sentrale ferdigheter i matematikken. Jeg har her valgt å sette opp 10 punkter som et
utgangspunkt for arbeidet med hva Bob-Kåre skal lære. Rekkefølgen på punktene er tilfeldig, og alle
må det arbeides med mer eller mindre samtidig.
1. Svært mye av den matematiske læringen og forståelsen bygger på erfaringer som eleven
har gjort. Ikke alle elevene har slike erfaringer fordi mer og mer av matematikken i hverdagen
er skjult. Tenk bare på handling nå og i gamle dager. Da kjøpte en i måleenheter
(snes egg, kvart kilo kaffe, liter melk). Nå brukes ”enheter” av en annen form: En kartong
egg, en pose kaffe, en melkekartong. Lek er en fin arena for barn til å gjøre slike matematiske
erfaringer. Får en mistanke om at eleven ikke har tilstrekkelige egne erfaringer, må
en lage situasjoner hvor slike erfaringer kan gjøres. De fleste læreverkene har forslag til
slike aktiviteter.
2. Lære ” tall-fakta”. Med tall-fakta tenker en på det å kunne addisjonstabellen (og de andre
tabellene) og kunne noen tall-par” (5+5=10). Det er viktig å ha disse tall-fakta lagret i hukommelsen
slik at de hurtig kan hentes fram. Mange elever med matematikkvansker må
regne ut slike enkle ting, og det tar lang tid. Dette må øves inn. En fin måte å øve dette på
er å bruke f. eks. Ludo (først med en terning, deretter med to), spille Yatzi og andre slike
spill.
3. Lage tegninger og tenke og forklare ut fra slike enkle tegninger. Ofte tenker vi i hukommelsesbilder,
eller vi lager oss mentale skisser å tenke i. Ikke alle elevene er like flinke
til dette. Da kan det være en hjelp å lage slike skisser på papiret til å begynne med. Etter
hvert vil eleven kunne lage dem direkte i hodet. Da har eleven fått et godt hjelpemiddel
til å tenke matematikk! I praksis starter en med å lage slike skisser knyttet til kjente lekesituasjoner
og hverdagssituasjoner. Bordet skal dekkes, og en skal hente glass. For å vite
hvor mange, kan en lage en skisse av det ferdige bordet i hodet og telle glassene en trenger.
Som et trinn på vegen til å utvikle denne ferdigheten, kan en lage en skisse av bordet på
papir og telle glassene der.
51

4. Det å kunne snakke matematikk er viktig! Eleven må kunne de vanligste matematiske
begrepene (se liste i Tillegg B). Eleven må kunne forklare tenkingen og helst også kunne
vite svaret. Det er ikke alltid en har bruk for det nøyaktige svaret. Ofte er det tilstrekkelig
med et overslag. Når en handler i butikken, er det ofte slike overslag en gjør i hodet før
en kommer til kassen.
5. Eleven må se sammenhengene mellom problemet slik det er uttrykt matematisk (med tall
og symboler) og problemet i egen hverdag. Det er denne koblingen som er grunnlaget
for den matematiske forståelsen. Og den er også grunnlaget for en annen viktig ferdighet:
Kunne bruke den matematiske forståelsen over i nye hverdagssituasjoner! Det er
da matematikken begynner å bli et kraftig redskap til å løse problem. Du har i grunnen
ikke lært noe før du kan bruke det i nye situasjoner. Det nye er ikke lært selv om det kan
gjengis! - Kanskje vi i skolen har lagt for stor vekt på å gjengi stoffet og ikke nok vekt på
det å bruke det?
6. Telleferdigheten er sentral, og er den god, er den med både å øke forståelsen og redusere
tidsbruken. Eleven må øve på å kunne telle fremover ut fra et gitt tall, f. eks. begynne med
53 og så telle videre med 1, 2, med 3, med 5 osv. En bør også telle bakover ut fra et gitt
tall, f. eks. 97 og telle bakover med 1, med 2, med 5 og med 10.
7. Bruke tall-linjen til å gjøre beregninger og vise tallstørrelser i forhold til hverandre. Denne
kan også hjelpe til med å forstå posisjonene (enere-tiere) 96 og illustrere resultatet av enkle
regneoperasjoner. Ofte kan det være fint å tape fast et målebånd på pulten. Etter hvert kan
en bruke målebånd til å måle opp og finne størrelser som kan sammenlignes. En bør også
ta i bruk andre måleredskap som vekt, litermål, termometer og klokke. Alle disse er også
preget av en form for skala. Ofte tenker vi i en slik mental tall-linje. Ikke alle elevene
klarer det så abstrakt. Da er det en fin hjelp å ha tall-linjen visuelt foran seg. Etter hvert vil
den bli abstrahert og ligge lagret mentalt. Da blir den et godt redskap for den matematiske
tenkingen. Når en skal se hva klokken er, sammenligner en visernes stilling med indre
bilder som gir meningsinnholdet. Derfor går det raskere å oppfatte tidspunkt ved hjelp av
en analog klokke enn ved hjelp av en digital klokke.
8. Vise mønstre i tallfakta, f. eks. at 4+4=8, 4+5=9 – og at 5+4 også blir 9. (Hvorfor det?)
8+10=18, 18+10=28, 28+10=38. Også andre mønstre og geometriske figurer bør eleven få
hjelp med å oppdage. Mønstre og system går igjen, både i naturen og i det vi lager.
9. Eleven må kunne lese og skrive tallene. Det krever språkferdighet, men også en forståelse
av hva dette er. Tall og bokstaver er ikke like. Dette så vi på i Innledningskapitlet, side
11. I forbindelse med å kunne lese og skrive tallene, må eleven ha forståelse av plassverdi
og av null som plassholder. Eleven må også forstå bruken av posisjoner, dvs. enere, tiere,
hundrer. Etter hvert kommer også desimaltallene inn – og brøk. Da er det fint å kunne
kombinere dette med bruken av tall-linjen.
10. Kunne ordne tallene etter størrelse i en rekke. Mange elever med matematikkvansker
strever med slik rekkeoppfatning eller det vi ofte kaller sekvensering. Dette har også noe
med den ordinale bruken av tall, f. eks. ”den tredje bilen” i en rekke. Hvis eleven har en
svak sekvenseringsferdighet, kan det være meget vanskelig å forstå og bruke enere, tiere
og hundrer. En må kunne ”se” for seg i hodet noe om plassering, dvs. noe om hva som er
først, sist og i midten. Noen elever strever med å danne seg slike mentale bilder av rekkefølger.
Det kan også skape problemer i felleslek – vite når det er ens egen tur hvis en
står i kø.
96 Et undervisningsopplegg om ”Å bruke tallinje”, se Erdal m.fl., 2006.
52

Arbeid med de grunnleggende ferdighetene
Disse 10 punktene er ofte aktiviteter som det arbeides med i første klasse – uten at det gir effekt.
Grunnen er at disse ferdighetene ikke er grunnleggende i og for seg, selv om vi sier at de er sentrale
for den senere matematikkmestringen.
En elev med matematikkvansker er ofte kjennetegnet av svikt på en eller flere av de 6 grunnleggende
ferdighetene. Har eleven en slik svikt, nytter det lite å arbeide isolert med de 10 sentrale
punktene over. De må arbeides med i kombinasjon med de 6 grunnleggende ferdighetene.
Sagt med andre ord: For en elev med matematikkvansker må en ta utgangspunkt i de 6 grunnleggende
ferdighetene og så arbeide med de 10 punktene ut fra hva eleven mestrer og ikke mestrer innen
de 6 områdene. Det er denne mestringen innen de 6 områdene som er den sentrale begrunnelsen for
kartleggingsarbeidet.
De 6 grunnleggende ferdighetene er følgende:
1. Telling – en verbal prosess knyttet til motorikk
2. Antallsforståelse – i tankene bevege seg mellom en virkelig verden og en abstrakt hvor kvantitet
er kjennetegn
3. Sammenligne – to tall og andre fenomen
4. Plassverdi – bearbeide detaljer og helheter
5. Aritmetikk – regneferdighet basert på tall-fakta og tall-linje
6. Estimering – enkel, omtrentlig regneferdighet
Alle disse ferdighetene er knyttet til bestemte hjernefunksjoner og de kan delvis lokaliseres. De
fungerer til dels uavhengig av hverandre. Det er en av grunnene til at vi kan få så helt rare resultat
når vi kartlegger en elev med matematikkvansker. En kan finne at eleven klarer helt fint 3+4=7, men
har store vansker med å kunne svare på hva som er størst av 3 og 5!
Det er viktig å vite litt om bakgrunnen for slike resultat. Hvis ikke kan en lett bare si at denne
eleven er dum – og har bare lært noe enkelt utenat uten å forstå. Svikt innen hvert av disse 6 områdene
behøver ikke ha noe med evner å gjøre. Men en elev med generelt svake evner, vil ofte streve
med de fleste av disse 6 ferdighetene.
Noen forslag til arbeid med de 6 grunnleggende ferdighetene
I de fleste lærerveiledningene kan en finne gode tips om hvordan en kan arbeide med disse 6 emnene.
Spesielt liker jeg lærerveiledningen til Multi som er utgitt på Gyldendal. Mange forslag kan en
også finne i Matematikkdagheftene som LAMIS utgir en gang i året. 97 & 98 Praktiske opplegg kan en
også finne på to gode nettsteder, nemlig www.matematikk.org og på www.matematikksenteret.no.
Nedenfor har jeg listet opp noen aktiviteter som direkte har sammenheng med hvert av de 6
emnene og kan være et startpunkt. Aktivitetene griper inn i hverandre, og samme aktivitet kan ofte
brukes for å arbeide med flere av emnene. I Tillegg D er beskrevet hvordan slikt arbeid kan utformes
for hele klassen samlet og bli en del av de daglige aktivitetene i klassen.
97 Mer stoff om disse heftene finnes på www.lamis.no Til nå er der utgitt 7 hefter (det første i 2002), og de
finnes på mange skoler. En kan få tilsendt heftet ved å henvende seg til LAMIS.
98 LAMIS har også utgitt et hefte i anledning Abeldagen: ”Matematikk i skolegården”. Kan bestilles fra
www.lamis.no.
53

1. Telling
• Telle bokstaver i navnet sitt, telle dager, måneder, uker. Telle elever hvis noen er syke –
hvor mange er da friske? Hvor mange skal ha melk?
• Finne kongler eller blader når en har uteskole. Hvem fant flest?
• Hvor mange skritt er det når du går fra ett sted til et annet?
• Telle sko / skopar i klassen. Blir det samme tallet? Hvis vi teller det ene, kan vi da tenke
oss fram til det andre tallet?
• Telle klosser, knapper, steiner osv. Kan vi gruppere dem på en lur måte slik at de er enklere
å telle? (Gruppere på f. eks. 10.)
• Telle fingrer, tær, føtter på flere elever. – Hvis vi har fire elever, kan vi da lett gjette hvor
mange tær de har til sammen?
• Bruk klasserommet, skolegården og lag telleoppgaver.
• Som hjemmelekse: Telle ting hjemme (leker, sko, jumprer, jakker); skrive ned og sammenligne.
2. Antallsforståelse
• Bruk elevenes navn: Hvem har færrest bokstaver i navnet sitt? Hvem har like mange?
Hvordan kan vi kontrollere det? Legge så mange brikker som det er bokstaver i navnet –
like mange (kontrollere en for en). Forskjell kan forstås med at det ene navnet har flere
eller færre bokstaver.
• Alle mulige former for terningspill.
• Synge sanger og vise, f. eks. ”10 små indianere”, andre telleregler.
• Lese eventyr: ”De tre bukkene Bruse”, ”Gullhår og de tre bjørnene”.
• Være med i butikken og handle, få noen penger til å kjøpe for (f. eks. lørdagsgodt),
• Bruke tall-linje og sette inn antall på den etter å ha ryddet i lekene og funnet hvor mange
av hvert slag. Lage kategorier. Det samme kan en gjøre ved å undersøke alderen til alle
i klassen (telle måneder), i familien og sette dette inn i tall-linje. Vise antallet også med
tall-brikker.
• I Matematikkdagheftene fra 2005, 2006 og 2007 er der mange forslag til aktiviteter som
direkte går på antallsforståelse.
• Lage ”Matematikkens hus”, brette og snakke om huset. Se Tillegg C. Denne oppgaven
gir også mye om former og kunne følge en instruksjon i sekvens.
3. Sammenligninger (av to eller flere størrelser)
• Telle ting og sammenligne hvem som har flest/færrest.
• Måle seg selv og de andre elevene. Sammenligne størrelsene på en tallinje som limes fast
på veggen. Snakk om hvor stor forskjellene er.
99
• Bruke tannfelling, se video fra Snøball forlag. (Sendt til alle skolene i Norge. )
• Lage statistikk ved f. eks. å telle biler på ulike parkeringsplasser eller som kjører forbi.
Hvor var der flest/færrest. Lage grupper etter farge og type bil. Sammenligne hvilke biler
det er flest/færrest av.
• Sortere f. eks. leker og lage statistikk ved hjelp av tall og så sammenligne tallene og finne
hvor stor forskjellen er mellom de ulike tallene.
• Kjøp en amaryllis før jul! Amaryllisen måles hver dag og en sammenligner veksten for
hver dag med starten og med forrige dag, sammenligner hver uke osv. 100
• Utgangspunkt i dato, uke og måned. Sammenligne antall dager i hver måned.
99 Se dette nettstedet: http://www.skoleipraksis.no/matematikk1-4/infoark/matteheftet.pdf
100 Dette er beskrevet i Lunde, K. H., 2003.
54

• Kjøp en amaryllis før jul! Amaryllisen måles hver dag og en sammenligner veksten for
hver dag med starten og med forrige dag, sammenligner hver uke osv. 100
• Utgangspunkt i dato, uke og måned. Sammenligne antall dager i hver måned.
4. Plassverdi (enere, tiere, hundrer + desimal og og brøk) 101
• Fortellingen om gjeter David i Multi (Gyldendal), 2. 2. og 3. 3. årstrinn - lærerressursboken.
Dette kan fungere som eksempel på utformingen av slike aktiviteter.
• La eleven få være med på undring over hva en skal gjøre når en har 11 gjenstander – og
bare 10 siffer. La elevene finne løsninger!
• Telle steiner, knapper eller andre ting, gruppere i tiere og så gruppere tierne i hundrer.
Snakk om hvorfor dette er så lurt.
• Bruke ”Base ”Base 10”-materiell eller lignende eller lignende materiell
materiell som illustrerer som illustrerer posisjonssystemet. posisjonssystemet.
• Bruke Unifix og knytte det opp mot tall-linjen.
• Bruke Abakus og vise sammenhengen mellom
dato og og kulene på på Abacusen. Abacusen. Se figur10. Se figur10. Antall
kuler Antall på kuler tier-bøylen på tier-bøylen likt med symbolet er likt (sifferet)
med
symbolet for antall (sifferet) tiere i det for tosifrede antall tiere dato-tallet i det på
kalenderen. tosifrede dato-tallet på kalenderen.
• Eggekartonger kan være et et godt hjelpemiddel til
•
å til illustrere å illustrere mengder mengder og og posisjoner.
Bruke et digitalt et digitalt termometer termometer med desimalangi- med
Fig.10: Bruk av abacus knyttet til dato og
forståelse av plassverdi.
desimalangivelse og måle ute og innetemperatur og måle hver ute dag. og
•
innetemperatur hver dag.
Brøk – ta utgangspunkt i daglige situasjoner, f. eks. dele opp frukt i deler, dele pizza etc.
• Brøk – ta utgangspunkt i daglige situasjoner, f. eks. dele opp frukt i deler, dele pizza
Del et tau inn i f. eks. 5 like store deler og fortell at det ligger tall også mellom disse deetc.
lene. Hva skal vi kalle disse tallene?
• Del et tau inn i f. eks. 5 like store deler og fortell at det ligger tall også mellom disse
delene. Hva skal vi kalle disse tallene?
5. Enkel aritmetikk
• Om dette er det mange oppgaver i matematikkbøkene og på nettstedet www.matematikk.
5. Enkel aritmetikk
org. Plukk ut de oppgavene du synes passer for den eleven du har. Det viktig å velge
• oppgavene Om dette slik er at eleven det mange har ca. 95 oppgaver % dem i riktig. matematikkbøkene - Da oppleves og og bekreftes på nettstedet mestringen!
www.matematikk.org. Plukk ut de oppgavene du synes passer for den eleven du har.
Det viktig å velge oppgavene slik at eleven har ca. 95 % av dem riktig. - Da oppleves
• Kast og bekreftes terninger mestringen! og legg sammen/subtraher.
• Spill Kast ”Flaske-bingo” terninger og legg og sammen/subtraher.
lignende spill.
•
102
Bruk
Spill
dataprogrammet
”Flaske-bingo” og
”De
lignende
Fire”.
spill.
• Bruk dataprogrammet ”De Fire”. 102
6. Estimering
• Poenget er å vurdere antall, mengder, avstander osv. – og så kontrollere det. – Hvor
mange seigmenn er det i en pose?
Dette er beskrevet i Lunde, K. H., 2003.
• Ta utgangspunkt i en handlekvittering. Hvor mange varer? Hva tror du dette har kostet?
102 Laget av (Stryk over summen.) (www.infovestforlag.no)
• Det å kunne regne raskt i hodet – men bare ”sånn omtrent” (De fleste lærerveiledninger
har ideer om dette).
• Syltetøyglass med erter. Gjette hvor mange, 51 deretter telle dem.
•
102
Bruke deler av dataprogrammet ”De Fire” og andre dataprogrammer.
101 Lindland, E., 2007, s. 20ff
102 Laget av Olav Lunde i samarbeid med Helge Moen. Forhandles av InfoVest Forlag.
(www.infovestforlag.no)
55

Sammenhengen mellom hva en finner på kartleggingen
og de tiltak en setter i gang
Det er meget viktig at kartleggingen danner grunnlaget for det videre arbeidet, og at en hele tiden
har klart for seg hvorfor eleven arbeider nettopp med den bestemte aktviteten.
Ut fra et kartleggingsverktøy kan en finne holdepunkt for hvordan disse 6 emnene mestres og
notere dette. På analysearket er det en kolonne til høyre med overskriften ”Tiltak”. Her kan en notere
inn ulike aktiviteter som en planlegger eleven skal arbeide med. Slik kan en få en klar, detaljert
beskrivelse av hva det er eleven skal lære i matematikken. Den vil være et godt utgangspunkt hvis
det skal lages en individuell opplæreplan (IOP).
Oppsummering og konklusjon
Det er ofte i slutten av første årstrinn og deretter i andre og tredje årstrinn at det er aktuelt å sette
i gang med slik tilpasset opplæring på grunn av at eleven har matematikkvansker. Mye av det som
her er beskrevet, ser meget enkelt ut, og ofte tror en at dette kan eleven. Men det er ikke sjelden å
finne elever på ungdomstrinnet som strever med så enkle aktiviteter som de som her er beskrevet
under de 6 punktene.
Vi må utforme dette for den enkelte eleven. Vi kan godt kalle det for ”skreddersøm” – laget etter
mål, dvs. laget på bakgrunn av en kartlegging. Vi må ”tilpasse den tilpassede opplæringen”. 103
Alternativet til skreddersømmen er ”konfeksjonssøm” – en bruker vanlig undervisning basert på
lærebok fra et lavere klassetrinn.
103 Lunde, O., 2008. (Se også Mjøs, M., 2006)
56

9. Hvordan får vi Bob-Kåre til å ville lære?
Her har jeg ikke noe godt svar!
Mange gode opplegg er blitt laget på grunnlag av solid kartlegging, men har ikke fungert.
Barrierene for å lære er fortsatt like store. Det er disse barrierene vi må prøve å komme over. Ofte
er de av emosjonell art. Det å ville lære har noe med motivasjon å gjøre, og det å ha tro på at det går
å lære til tross for mange nederlag.
Jeg tror vi som pedagoger må våge å prøve nye veger og også våge å mislykkes med det vi setter
i gang. Da må vi prøve andre ting.
Det er tre prinsipp jeg tror vi må legge til grunn for dette arbeidet:
For det første at eleven ikke har lært på den måten som har vært prøvd. Da må vi prøve noe annet.
Ikke fordi det andre var dårlig undervisning eller at det nye er bedre i og for seg. Muligheten for at
det nå skal fungere ligger i at det er annerledes.
For det andre vet vi at elevene er ulike. Den samme varmen som smelter smøret, hardner egget.
Det som fungerer fint for en elev, behøver ikke ha noen positiv virkning på en annen elev. Det er
derfor viktig å kjenne til ulike didaktiske innfallsvinkler og kunne skifte mellom dem om nødvendig.
Det er noe av dette som ligger i utrykket om at vi skal lage skreddersøm, ikke basere oss på konfeksjon.
Og for det tredje må vi kanskje tenke omveisløsninger og hjelpemidler. Du tar ikke brillene fra
en svaksynt elev og setter i gang med trening av synsstyrken. Du lar ham bruke brillene og flytter
ham kanskje lenger fram så han ser bedre – eller får tak i bøker med større typer. Du passer på at han
har godt lys. For en elev som har strevd med å lære og huske multiplikasjonstabellen, må en kanskje
tenke bruk av kalkulator.
Men ut fra forskning og erfaring vet vi noe om hva som kan fungere. I det følgende skal jeg skissere
noen innfallsvinkler som ofte har vist seg å fungere godt.
Knytt undervisningen til det daglige
Matematikk kan vi se på som en måte å tenke på. Samtidig skal mye av den matematiske ferdigheten
og forståelsen være automatisert. Den mest effektive måten å kombinere tenking, ferdighet og
forståelse på, er at dette er blitt automatisert. Skal noe automatiseres, krever det ofte mange gjentagelser.
Det er kjedelig og øker sjelden viljen til å lære.
Da må vi prøve å få gjentagelsene til å bli en del av det daglige!
Vi kan legge en ”tallstruktur” på hverdagen og så hjelpe eleven til å forstå hverdagssituasjonene
på denne bakgrunnen. Ved å tenke slik kan en få tallene til å prege hele dagen i småskolen (og kanskje
også på høyere årstrinn). 104
Dagen kan starte med å trekke ordenselever som så skal finne ut hvilken dato det er i dag. Hver
elev har et navnekort som ligger i en plastlomme. Kortet trekkes langsomt ut, slik at bare en bokstav
vises om gangen og elevene lyderer seg fram: I…n…g…e…b…o…r…g. I dag er Ingeborg ordenselev.
Det samme gjøres med et guttenavn.
104 Det følgende bygger på en artikkel av K. H. Lunde i Tangenten nr. 4/2005: ”Hvordan tallene preger en
dag i 1. klasse”. (Se Tillegg D hvor artikkelen er gjengitt.)
57

I tillegg til alt det som har med bokstaver og lesing å gjøre, er det mye matematikk som kan brukes
her. Det går å telle bokstaver og sammenligne flest/færrest. Det går å telle klapp (stavelser) i navnene.
De viser med fingrene hvor mange. Dette kan de parkoble for å visualisere relasjonsordene.
De fører fingrene mot hverandre, og har de like mange stavelser/bokstaver i navnene sine, blir ingen
fingre stående alene. Er der forskjell vises det med antall fingre. Etter hvert kan en også ta med at
dette kan uttrykkes som enkel aritmetikk: addisjons- eller subtraksjonsstykke.
Hva heter dagen, og hva slags tall har den? Da kan en bruke Abakus og avrivningskalender. Den
ene ordenseleven river av kalenderen, og den andre legger en kule på abakusen. De adderer og subtraherer.
De forteller og viser hvordan tallet skrives.
En kan trekke et ”dagens tall” og se hva en kan finne ut om det: Hva er halvparten, det dobbelte,
en mer, partall, oddetall, de fire regningsartene, noen tallfakta, vise det på tall-linje.
Også henting av melkekartongene inneholder mye matematikk. Ordenselevene må sjekke melkelista,
finneantall kartonger melk, sjekke om noen er borte og finne ut ”hvor mange”.
Det går å legge inn en rekke slike aktiviteter i klassen. Noen har også valgt å sjekke temperaturen
inne og ute hver dag og visualisere dette med søylediagram eller kurver (lage statistikk ut av det).
Da er det lurt å bruke et digitalt termometer. I begynnelsen kan en lime over desimalene slik at en
bare ser heltallene.
Jeg tror at slike matematiske aktiviteter som gjentas hver dag, blir en del av elevens tenking og
forståelse og at det skjer uten det tradisjonelle kravet om læring. I begynnelsen er det kanskje bare
noen få elever som forstår hva som skjer, men når dette er gjentatt hver dag i kanskje 3 år, blir det
kjent, en del av hverdagstenkingen og automatisert.
En liten historie som bekrefter dette: En dag var Antons tall 13 og datoen var 31. januar. En jente
som var veldig observant, sa at Antons tall var det samme som datoen.
Det måtte undersøkes! Det kan en undersøke ved å holde Antons tall bak abakusen som viste tre
tiere og en ener. Var dette det samme? Nei, sa noen og begrunnet det med antall tiere og enere.
Ved stadige gjentagelser tror jeg at flere og flere ser sammenhenger og forskjeller på slike ”reverstall”.
Og det gjør noe med selvbildet hos elevene at de selv oppdager det!
Også den såkalte ”Amaryllismatematikken” kan brukes slik. 105
For de som vil gå mer inn i selve matematikkundervisningen i grunnskolen, viser jeg til en helt
ny bok av Pernille Pind: ”Matematik for alle – Håndbog i matematikundervisning.” Forlaget Pind
og Bjerre, Skødsrup, 2009.
En grunnleggende tenking om hvordan læring skjer
Matematikkopplæring som baserer seg på et konstruktivistisk læringssyn, vil trolig egne seg spesielt
godt til opplæring av elever med matematikkvansker, blant annet fordi den i mindre grad krever
at elevene skal memorere kunnskapsstoff med lite meningsbærende elementer. De indre kognitive
prosessene og det ytre miljøet kan ikke holdes atskilt. Hovedidèen innenfor konstruktivismen er at
mennesker konstruerer mentale modeller eller representasjoner av egen fysisk og sosial virkelighet
gjennom handling, aktivitet, tenking og refleksjon. Med mentale forestillinger menes forestillinger
som skapes i personens egen tankeverden og som representerer erfaringer fra virkeligheten.
Erfaringene som i begynnelsen er konkrete, utvikles etter hvert til forestillinger på det mentale planet
løsrevet fra den fysiske virkeligheten. Dette er vesentlig ved logisk tenking. 106
Nyere forskning 107 tyder på at en presist tilpasset undervisning fokusert på de sentrale elementene
for matematisk forståelse og ferdighet, gir best resultat, ikke minst når den kombineres med konstruktivistisk
didaktikk.
105 Lunde, K.H., 2003.
106 Holm, M., 2002.
107 Kroesbergen & Van Luit, 2005
58

Elever med matematikkvansker har ofte en lang historie med nederlag, og selvbildet er ofte negativt.
Det er derfor viktig å lede dem til å oppdage og forstå matematikken. Ofte kalles dette mediert
læring, dvs. formidling gjennom tilrettelegging, styring og veiledning ut fra lærerens forståelse av
hva som gagner det enkelte barn. Undervisning blir et samspill mellom en mediator (læreren) og en
aktivt handlende elev. Lærerens rolle blir å sørge for at det hele tiden er utfordringer tilstede som
samsvarer med elevens utviklingsnivå. I tillegg må læreren gjennom en utviklende dialog støtte oppunder
og skyve elevens utviklingsnivå fremover.
Ved utformingen av tiltakene for elever med matematikkvansker, kan det være vel så viktig å
skape trygghet, tro på egne muligheter og selvtillit hvor samspillet lærer-elev blir annerledes enn
tidligere. Det blir å lage en ny ”didaktisk kontrakt” som er preget av konstruktivistisk læringssyn. 108
Da legger en vekt på aktiv tenking og refleksjon. De interne kognitive prosessene og det ytre miljøet
henger sammen. Eleven konstruerer mentale modeller eller representasjoner (mentale bilder) av
egen fysisk og sosial virkelighet gjennom handling, aktivitet, tenking og refleksjon.
Direkte instruksjon eller strategi-instrukjon?
Vi kan skille mellom to ulike retninger når vi skal utforme selve undervisningen. Den ene kan vi
kalle direkte instruksjon. Den er preget av oppgaver gitt av læreren, bruk av faste modeller og algoritmer.
Vekten legges på den prosedyremessige delen, på faktakunnskap og automatisering. Eleven
må lære det vi kan kalle tellestrategier, og læreren viser direkte hvordan dette er. Ved subtraksjon
skal eleven lære å veksle og algoritmen for dette vises og forklares, og eleven skal så bruke den.
Hvis undervisningen utformes som strategi-instruksjon, blir arbeidet mer preget av måter å lære
og å huske på, f. eks. huske tallfakta og bruk av gjenkallingsstrategier innen telling og de fire regningsartene
hvor eleven selv oppdager dette. Vekten legges på den begrepsmessige delen ved at
eleven i størst mulig grad selv oppdager og setter ord på oppdagingene.
Mye tyder på at strategier kan læres ved bruk av indre tale og bli internalisert, slik at de fungerer
som gjenkallingsstrategier. 109 Da tenker en at kunnskapen først blir lagret ved at den får en
språkdrakt som ”indre stemme”. Dette er en slags korttidslagring før selve lagringen og memoreringen
i hukommelsen av fonologisk basert materiale. Strategiene blir sagt høyt (1•3=3, 2•3=6, osv).
Gradvis blir så dette endret til lavere stemme, med hvisking og at elevene sier tabellene inni seg. Et
slikt opplegg kan gi økt bruk av gjenkallings-strategier ved multiplikasjon.
Ofte vil en strategi-instruksjon også omfatte en rekke av de vanlige aktivitetene eleven gjør. Det
legges en slags ”tallstruktur” på hverdagen. Det kan være å bruke avrivningskalender og abakus som
illustrasjon på sifferplasseringen i dato og navngi datoen tallmessig, nummerere ordensmannsfunksjonen
og oppgavene elevene har da med f. eks. ordenstall (første oppgave, andre oppgave), måle
opp klasserommet, hente melkekartonger (og telle opp hvor mange ved å trekke fra de som kanskje
er syke, ikke skal ha melk osv.) og klassifisere knapper og stein og mye annet som skjer i klasserommet.
Verkstedspedagogikk har vist seg å fungere godt ved slik strategi-instruksjon. Samspillet mellom
det å kunne fremgangsmåtene i matematikk (prosedyrekunnskap) og det å forstå hva som gjøres
(konseptuell kunnskap), er viktig. Problemstillingen er ikke å bruke den ene fremfor den andre, men
å lage et samspill mellom dem og veksle mellom dem. Vekten bør trolig legges på strategiundervisning.
Strategi-instruksjon gir både prosedyrekunnskap og konseptuell kunnskap.
Manglende samspill mellom disse to formene for kunnskap medfører trolig at det blir vanskelig
å hente fram informasjon fra langtidsminnet. 110 Det er denne framhentingen som er det sentrale i
matematikkmestringen.
108 Milo et. Al., 2004.
109 Askeland, M., 2005.
110 Rittle-Johnson et.al., 2001
59

Lage egen lærebok!
For noen elever er det bra at de får være med og utforme sin egen lærebok. Noen lager to, en de
bruker på skolen og en de bruker hjemme. Da gjør en det ofte slik at i boken på skolen møter eleven
de nye tingene, mens i boken de har hjemme, er det kjent stoff som gjentas og arbeides videre med.
Begge bøkene legger vekt på en kombinasjon av direkte instruksjon og strategi-instruksjon, knytter
dette til hverdagen og prøver å gjenta den samme matematiske ideen over tid.
Nedenfor er gjengitt noen sider fra en slik bok (elev på 4. årstrinn).
Et fast element som går igjen hver uke, er bruk av tall-linjen slik at den blir visualisert som et
”indre bilde” etter hvert. Et annet fast element er bruken av terninger og spillkort. De fleste elevene
er kjent med dette, og det er også noe de møter i spill med foreldre og jevnaldrende. Jeg tror det er
meget viktig at de er fortrolige med terninger og kort, slik at de kan være med de andre elevene uten
å føle at dette mestrer de ikke.
60

Oppsummering og konklusjon
Ofte er det helt avgjørende for læringsresultatet at eleven selv vil lære! Men det er ofte det som
er vanskeligst å få til. Ofte blir det å gjette og våge å starte, og så ha alternativer når en ser at dette
ikke fungerer godt. Hvor lenge en skal holde på før en begynner med en ny aktivitet, må en vurdere
ut fra den aktuelle eleven og situasjonen rundt eleven.
Det er meget viktig å komme hurtig i gang med slike tilpassede opplegg. Nyere forskning 111
viser faktisk at vi kan redusere antall elever med ulike lærevansker med opptil 70 % (!!!) ved tidlig
å sette inn hjelpetiltak (f. eks. i form av en skreddersydd tilpasset opplæring) og også tenke forebyggende.
112
111 Lyon et.al., 2002.
112 Lunde, O., 2008.
61

62

10. Hva med de andre vanskene
Bob-Kåre har?
Det er sjelden at en elev bare strever med matematikken, og at alle de andre fagene går uten vansker,
men slike elever finnes.
Om lag halvparten av elevene med matematikkvansker, strever også med å lese og skrive. Mindre
kjent er det at mange også har vansker med språket og med konsentrasjonen. Slike vansker kan faktisk
være årsaken til matematikkvanskene. Da er det viktig å arbeide også med de vanskene og ikke
bare se på matematikken.
Tradisjonelt har fokus vært på lese- og skrivevansker, og ofte vil skolen sette i verk tiltak på
dette feltet i løpet av 2.-3. årstrinn hvis ikke eleven mestrer dette noenlunde bra. Det kan hende at
matematikken kommer i skyggen av dette arbeidet, og at eleven på den måten også utvikler matematikkvansker.
Språkvansker
Er det de matematiske begrepene som er vanskelige, er det ordene som brukes, har det noe med
matematisk struktur å gjøre? Mye av dette vet vi lite om, men vi vet at det er en sammenheng her.
Språk er et sett av felles symboler i en gitt kultur. Matematikken er et språk da det består av symboler.
Språkvansker er forstyrrelser i språkets fonologiske 113 , syntaktiske 114 , semantiske 115 og/eller
pragmatiske 116 aspekter. Elever med språkvansker har vansker med å oppfatte, huske og bearbeide
tale. Matematikkvansker blir da vansker med å oppfatte, huske og bearbeide numerisk og kvantitativ
informasjon.
Samspillet mellom språkvansker og matematikkvansker vil da dreie seg om disse områdene eller
noen av dem. Ser vi at eleven strever med alle eller noen av disse områdene i matematikken, må vi
også se på om eleven har språkvansker. Ofte vil det være nødvendig å snakke med en logoped om
det.
Vi kaller det spesifikke språkvansker når utviklingen ellers er normal etter alderen. Vi regner ofte
med at ca. 7 prosent av alle barn har slike vansker, og at det forekommer tre ganger så ofte hos gutter
som hos jenter. Noen ser ut til å vokse det av seg, mens andre kan ha slike symptom fram til voksen
alder. 117 I gjennomsnitt må vi regne med å finne ett til to barn i hver skoleklasse som har spesifikke
språkvansker. De fleste av disse barna vil med stor sannsynlighet også få store lese- og skrivevansker
og matematikkvansker. 118
113 Fonologiske = lydmessige
114 Syntaktiske = ordenes sammenstilling til setningsdeler, setninger og perioder (”rekkefølge”)
115 Semantiske = ordenes meningsinnhold, deres betydning
116 Pragmatiske = bruken av språket (sammen med andre), omfatter det å forstå hva andre sier og selv
kunne uttrykke seg. Tidligere skilte en ofte mellom impressive og ekspressive språkvansker.
117 Lian & Ottem, 2007.
118 Lunde, O., 2003.
63

Det er ikke lett å se eller høre at en elev har slike spesifikke språkvansker. Derfor kan barnets
vansker lett oppleves av omgivelsene som helt uforståelige siden enkelte områder av språkferdigheten
kan se helt fin ut.
Elever med forsinket språkutvikling hører ikke inn under denne gruppen. Slike språkvansker
kommer i tillegg til de 7 prosentene, og enkelte elever kan ha forsinket språkutvikling. Disse vanskene
vil på samme måten ha innvirkning på matematikkferdigheten.
Marit Høines sier at ofte er det ikke selve matematikken som er problemet, men møtet med det
matematiske språket og kommunikasjonen rundt dette. 119 Jeg tror hun har et viktig poeng her!
Når vi skal lese et større tall, f. eks. 23648, må vi begynne å tenke bakfra mot venstre. Vi tenker
oss kanskje et mellomrom mellom 3 og 6. Da har vi analysert tallet. Men når vi skal si tallet, begynner
vi foran og leser mot høyre: tjuetre tusen og seks hundre og førtiåtte. For å makte dette, kreves
samspill av visuell ferdighet, sekvensferdighet, tallforståelse og språkferdighet.
Ved utformingen av tiltakene ved matematikkvansker, støter vi da på noen problemstillinger vi
må ta hensyn til: Det gjelder både for elever med spesifikke språkvansker og for elever med forsinket
språkutvikling eller andre former for språkvansker. 120
1. Oversetting. Eleven må foreta en oversettelse mellom f. eks. tallet 19 (med plass/verdiforståelse)
til det verbale tallsystemet. Typiske kjennetegn her: 195 skrives 10095 eller 100905. Mulig
at ordet ”og” er det som skaper noe av problemet? Både elever med språkvansker og elever med
matematikkvansker har svekket funksjon i det vi kaller korttidshukommelsen.
2. Telling og tall-fakta. Barn med språkvansker kan ha betydelig svekket tellefunksjon, men
normal forståelse av telleprinsippene og selve antallsforståelsen. Mye tyder på at det er korttidshukommelsen
som styrer både selve tellingen og forståelse og bruk av tall-fakta (f. eks. 5+5=10, 4+4=8,
4•2=8 osv). Tallfakta må først lagres i hukommelsen, deretter kunne hentes fram igjen ved behov.
3. Den indre talen. Leseferdighet og matematikkferdighet har en rekke felles komponenter, og
språklyder aktiviseres når eleven løser matematikkoppgaver. Gjelder det en oppstilt oppgave i addisjon,
transformerer eleven gjerne først tallsymbolene i oppgaven til fonologisk informasjon, dvs, til
verbale uttrykk. Det er prosesseringen av denne fonologiske informasjonen som gir løsningen. 121
Elever med matematikkvansker har vansker med denne indre talen
4. Sammenheng lesing – matematikk. Dette er to adskilte prosesser som bruker ulike deler av
hjernen, selv om det er samspill. Derfor ser vi at mange elever med lesevansker, ikke har vansker
med regneferdigheten. Men for lesesvake kan det være en fordel at de får en visuell støtte under
arbeidet med matematikk. De skriver ofte ned hele regnestykket, mens de lesesterke bare skriver
svaret. 122 Det å lage skissetegninger av problemet i matematikk, kan også være til hjelp.
5. Språkvansker og matematikklæring. Sekundæreffekten av språkvanskene er ofte mer ødeleggende
enn selve språkvansken og kan gi vansker innen sosial fungering og med læring av f. eks.
matematikk. Elever med språkvansker får ofte en undervisning som ligger på lavere nivå enn for
elever uten språkvansker, men med samme IQ.
Svake elever lærer best matematikk ved å bruke språk, f. eks. i diskusjoner med medelever. 123
Dette medfører at elever med matematikkvansker ofte opplever en ekstra hindring i selve undervisningssituasjonen.
119 Høines, M., 1987.
120 Grauberg, E., 1998.
121 Ostad, S., 2008, og Askeland, M. 2005.
122 Reikerås, E., 2007
123 Rivard, L.P., 2004.
64

6. Noen praktiske konsekvenser:
• Vi må bruke visuelle hjelpemidler, f. eks. tall-linje, og arbeide for at den bli mental, dvs.
lagret som et hukommelsesbilde og brukes slik i tankene.
• Vi må bygge opp mentale bilder som er visuelt basert, ikke bare språklig. – Da må vi
bruke ulike former for konkretiseringsmateriell.
• Øve forståelsen mht. matematiske uttrykk, f. eks. ikke bare skrive 7+2= , men også si det
høyt samtidig. (Se Tillegg B.)
• Reflektere over matematikktekstenes innhold – sette andre ord på dem – oversette dem
til dagligtale.
• Eleven må få arbeide med å utvikle skrivingen som tankeredskap - en støtte i den matematiske
forståelsen og bruken.
• Fokusere på ordforråd og setningsbygning – det vil ha positiv innvirkning på forståelsen
av matematikken både i skolen og utenfor skolen.
• Skape indre bilder gjennom lytting – og så sette ord på disse ved å beskrive dem.
Lesevansker
Det å kunne lese godt blir viktigere og viktigere for matematikklæringen jo høyere årstrinn en
er på. Spesielt når eleven begynner på fjerde årstrinn, øker kravene om god leseferdighet. Da blir
lærebøkene mer preget av at eleven skal lese selv, mens de første årene var mer preget av illustrasjoner
og oppstilte stykker. 124 Mange elever opplever det som et nytt fag de møter etter sommerferien
mellom 3. og 4. klasse!
Det er fire spesielle områder ved det matematiske språket som nå skal leses: 124
• Bruk av uklart subjekt. Verbene er ofte passive, det brukes ord som man og vi, utsagn
som ”Skriv hva som…” , ”Regn ut….”
• Logikk i språket. ”Alle kvadrater er rektangler”, men ikke alle rektangler er kvadrater”.
- ”Hva skjer når en ganger med hundre?”
• Bruk av spørresetninger. Mange av oppgavene er formulert som spørsmål.
• Ord med forskjellig betydning i matematikken og i hverdagen. Ord som forhold, funksjon,
rot og potens har ulik betydning i hverdagen og innen matematikken. 125
Noen elever strever bare med lesing/skriving, noen bare med matematikk og noen med begge deler.
Vanligvis regner en at ca. 20 % av elevene i småskolen strever med lesing, skriving og regning,
og at en tredel av disse strever både med lesing og matematikk. 126 Det sier seg selv at en elev som
både strever med noen eller alle av de 6 grunnleggende ferdighetene i matematikk og i tillegg strever
med lesing av enkel tekst, har det vanskelig i skolen.
Noen elever har også spesifikke lese- og skrivevansker. Da har de vært til utredning ved PPT, og
det vil være satt i gang tiltak rundt dette. I det følgende tenker jeg på de elevene som ikke har vært
undersøkt for sine lesevansker, men hvor det er tydelig at leseferdigheten gjør det vanskeligere å lære
matematikk. Ofte vil dette gjelde elever fra tredje årstrinn og oppover.
124 Pind, 2008, side 13ff.
125 Se også Lunde, 2003.
126 Reikerås, E., 2006.
65

En mulighet til å støtte elevene i arbeidet med matematikken, kan være å bruke et skjema når
eleven skal arbeide med problemløsningsoppgaver og tekststykker i matematikken. 127 Elevene skal
arbeide sammen i par og snakke sammen om punktene i skjemaet. De har et slikt arbeidsark som
støtte: Det egner seg også godt sammen med en voksen, f. eks. mor, far eller læreren.
Arbeidsgang (To elever arbeider sammen)
Les oppgaven høyt (A leser)
Gjenfortell oppgaven med egne ord. (B gjenforteller)
- Hva handler oppgaven om?
- Hvordan skal den løses?
- Hva er spørsmålet?
- Hva vet vi?
- Hva annet vet vi om dette?
Finn og velg en løsningsstrategi sammen.
Gi et overslag.
Regn ut resultatet.
Vurder resultatet med overslaget og med spørsmålet i oppgaven.
Sett kryss
Les oppgaven høyt. Dette er leseavkoding, dvs. om eleven rent teknisk er i stand til å lese teksten.
Hvis ikke blir det hele meningsløst!
Gjenfortell oppgaven med egne ord. Dette er for å avklare om eleven har forstått teksten. I
tillegg til å øke selve leseforståelsen, vil slik gjenfortelling ofte sette i gang tankeprosesser om selve
oppgaven.
Hva handler oppgaven om? Det viktige her er om eleven er i stand til å sortere ut informasjonen
og sette den sammen med tidligere erfaring og kunnskap. Det er vel en erfaring mange av oss
har gjort, at samtale og diskusjon ofte gjør at en bedre kan vurdere informasjon og se sammenhenger.
Elevene må kunne forstå både matematiske uttrykk og matematiske symboler i teksten.
Finn og velg løsningsstrategi. Gjennom dette koples den funksjonelle leseferdigheten med den
matematiske ferdigheten og forståelsen. Da må en ha fokus på det sentrale i oppgaven, og en må
kunne noen strategier eller fremgangsmåter for hvordan en matematisk kan løse slike problem.
Gi et overslag. For å kunne dette, må eleven ha hverdagserfaring og en god tallforståelse.
Gjennom det å snakke om hva resultatet kan bli, blir disse to ferdighetene koplet sammen.
Regn ut resultatet. Her er kunnskap om prosedyrene viktig. For noen elever kan det være nødvendig
at de gjør selve utregningen på en kalkulator. Har de vært med og velge løsningsstrategi og
drøftet hva som kan være sannsynlig svar, er det viktig at de også mestrer selve utregningen selv om
det skjer på en kalkulator. I voksen alder vil de trolig ha mer nytte av å kunne bruke en kalkulator
godt enn mange av ”blyant-og-papir”-utregningene som ofte er tidkrevende.
Sammenligne resultatet. Dette er viktig for selve forståelsen av det matematiske. Tekstoppgavene
kan i seg selv være vanskelige for eleven, men mye tyder på at tallforståelsen er en nødvendig forutsetning
for at eleven skal kunne forstå det matematiske i tekstoppgavene. 128
127 Lunde, O., 1997, side 197ff og Andersen, M. W., 2006. Andersen har laget skjemaet for arbeid med
tekststykker.
128 Se også Garcia, et. al., 2006. De finner at ved tekststykker er det ikke den semantiske strukturen i seg
selv som i hovedsak bestemmer vanskegraden på oppgaven. Derimot synes plasseringen av ”den ukjente
mengden” i teksten, å være avgjørende. Det vanskeligste er når dette kommer i begynnelsen av tekstoppgaven,
og det er vanskeligere for elever med lærevansker i matematikk enn for andre elever. - Det å
skrive om tekstoppgavene, men beholde ord og begreper og det matematiske problemet, kan altså bidra til
at elever med matematikkvansker bedre mestrer slike oppgaver.
66

Språk og tallforståelse utvikles uavhengig av hverandre, og lesing og matematikk er atskilte fenomen.
Men i mange situasjoner både i skolen og utenfor skolen, må de brukes samtidig og i kombinasjon.
Det å bruke et slikt skjema en stund, kan hjelpe eleven til å få til denne kombinasjonen. Etter hvert
vil eleven kunne mestre kombinasjonen uten å bruke skjemaet og uten å samarbeide med andre.
Andre vansker
Mange elever med matematikkvansker, har også vansker med konsentrasjonen. Vi får et samspill
mellom matematikkvanskene og konsentrasjonsvanskene, slik at begge blir forsterket. Om
det ene er årsaken til det andre, er vanskelig å si. Men igjen finner vi at det er de grunnleggende
ferdighetene som må mestres og spesielt bruken av matematiske begreper. Disse må automatiseres
(”overlæres”). 129 (Se Tillegg B.)
To-språklige elever kan ofte streve med matematikken. Språkferdigheten betyr mye for god matematikklæring,
og noen to-språklige har ikke den nødvendige språkferdigheten. Mange av de matematiske
begrepene er abstrakte. Enkelte to-språklige elever har på overflaten et godt dagligspråk,
men mangler begrepsinnholdet i de abstrakte begrepene.
Hvis eleven har matematikkvansker og er to-språklig, bør en vurdere begrepsforståelse og språkferdighet,
gjerne i samarbeid med PPT. Vil du lese mer om dette, så se artikkelen min om ”Matte på
to språk”. 130
Store lærevansker vil selvsagt virke inn på matematikklæringen. Jeg tenker på kognitive vansker
(svakt evnenivå) og på genetiske vansker som Downs syndrom, Fragilt X og Turners syndrom.
I slike tilfeller vil PPT og andre være aktive, og en må lage et helhetlig opplegg hvor også matematikken
er med.
Det samme vil også gjelde ved sosiale/emosjonelle vansker og ved vansker med syn eller hørsel.
Oppsummering og konklusjon
God læring avhenger av gode læreforutsetninger og bygger på tidligere erfaringer. Elevene er
ulike, og kan ha svært ulike læringsforutsetninger og erfaringer. Spesielt er dette tilfelle når eleven
har språkvansker, konsentrasjonsvansker, lesevansker eller andre store vansker.
Bruk av læringsstrategier har vist seg å være til god hjelp ved utformingen av den tilpassede opplæringen
for elever med lærevansker i matematikk. 131 Bruk av slike læringsstrategier bidrar til å systematisere
informasjonen, lagre den og hente den fram igjen når den skal brukes til å løse oppgaver.
Hvis en bare ser på matematikken når en skal utforme tiltakene, vil en ofte oppleve at eleven ikke
lærer. Det er derfor viktig å utforme helhetlige opplegg for slike elever i samarbeid med PPT og/
eller andre instanser.
129 Zentall, et. al., 1994. Jeg viser også til artikkel av Vetrhus, 2003, om tiltak for elever med matematikkvansker
og ADHD, og til den nye boken av Vetrhus & Bjelland: Dette gidder jeg ikke lærer” AD/HD i
skolen. InfoVest forlag, 2007.
130 Lunde, O., 2001. Se også Michael Wahl Andersen, 2008, kap. 3 om ”dansk som andetsprog i matematikundervisningen”.
131 Lunde, Hole & Hansen, 1999, kap. 9. - For praktisk utforming av dette, viser jeg til to bøker av Kari
Hole: ”Læringsstrategier i tilpasset opplæring” og ”Bruk av læringsstrategier for elever med ulike lærevansker.”
Begge bøkene er utgitt på InfoVest Forlag.
67

68

11. Skal Bob-Kåre henvises til PPT for
utredning?
En advarsel: Ikke vent og se om matematikken kommer av seg selv. Som regel gjør den ikke det!
Sett i gang med tiltak (tilpasset opplæring) så raskt som mulig, helst i løpet av vinteren i første
årstrinn! Denne boken er tenkt som en hjelp nettopp til å komme raskt i gang.
Hvis eleven ikke har en rimelig god og merkbar fremgang i matematikk i løpet av et halvt års tid,
bør eleven henvises til PPT. Har en mistanke om språkvansker eller andre mer omfattende vansker,
må eleven henvises raskest mulig.
Hva kan PPT gjøre?
PPT kan gå inn i saken på tre måter:
Den enkleste måten er at du som lærer kontakter PPT og ber om en drøfting om elevens situasjon
og hva som bør og kan gjøres. Denne kan være anonymisert, men som regel er det best at foreldrene
har gitt et muntlig samtykke til slik drøfting.
I slike samtaler kan ”kompassmodellen” være til hjelp. Den kan gi et godt bilde av situasjonen
slik den er nå og også skissere en veg videre. PPT kan så bidra med å utforme hjelpetiltakene. Ofte
kan det dreie seg om materiell, organisering og kompetanse. Da arbeider PPT systemrettet.
Det neste trinn kan være at du som lærer får hjelp til å tilpasse den tilpassede opplæringen. 132 Da
skal foreldrene ha gitt samtykke, og PPT vil trolig foreta en enkel undersøkelse av eleven enten på
sitt kontor eller på skolen. De vil også ha en samtale med læreren.
Vi kan kalle dette å utforme den tilpassede opplæringen etter skreddersøm. På første nivå var det
mer det vi kan kalle konfeksjon. For å lage slik skreddersøm, må vi først ha noen mål. Det er tre
slike mål som da må tas:
• En faganalytisk funksjonsprofil. Det vil si: ”Hva kan og hva kan ikke eleven innen matematikken?
- Hva er det eleven strever mest med?” Dette vil det ofte være læreren som
tar, og da kan en bruke M-prøvene eller helst en dynamisk kartlegging (se kap. 3).
• En kognitiv funksjonsanalyse. PPT tar en evnetest eller bruker lignende verktøy for å få
et bilde av hvordan eleven lærer og hva som er sterke og svake sider.
• En sosiologisk mulighetsanalyse. Med den skal en få et bilde av hvordan eleven fungerer
i klassen, hjemme, i fritiden, hva kan foreldrene hjelpe med osv. Hvilken kompetanse har
skolen? Hva slags materiell er der? Hvordan er skolens ressurser?
På bakgrunn av dette kan en så utforme den tilpassede hjelpen, og PPT vil følge opp og vurdere
fremgangen.
Det tredje nivå PPT kan gå inn på, er meget omfattende. Da foretar PPT det som kalles sakkyndig
vurdering, og hjelpen vil da bli gitt som enkeltvedtak.
132 Lunde, O., 2008.
69

Den sakkyndige vurderingen er omfattende og omtalt i skolelovens §5. PPT skal innhente opplysninger
om elevens utvikling, utrede om eleven har utbytte av det ordinære undervisningstilbudet
og om eleven har spesielle lærevansker og/eller om det er andre forhold som er viktige for opplæringen.
Den sakkyndige uttalelsen skal beskrive realistiske opplæringsmål for eleven, om hjelpen
kan gis innenfor det ordinære opplæringstilbudet og hva som vil være et forsvarlig opplæringstilbud.
Da skal skolen også lage en individuell opplæringsplan, en IOP på grunnlag av den sakkyndige uttalelsen.
70

12. Hva skal jeg si til foreldrene?
Fortell om din bekymring!
Trolig har foreldrene selv merket at matematikklæringen ikke fungerer som de hadde ventet, og
de vil da føle det som en lettelse at du tar opp dette. Men der og da oppleves det vondt for foreldrene…
Ofte er det av verdi å lytte til hva foreldrene har å fortelle om elevens matematiske fungering
hjemme og i fritiden. Du kan gjennom en slik samtale få et grovt bilde av elevens læringsforutsetninger.
Det er viktig å få fram om det er spesielle sykdommer eller hendelser, bruk av medisiner
osv. som kan hindre faglig framgang og om det er spesielle interesser, ferdigheter og erfaringer som
en kan dra nytte av. Ofte lærer eleven bedre hvis matematikken blir knyttet til kjent stoff (”kjent
kontekst”) og interesser. En hobby som frimerkesamling, kan være en fin innfallsvinkel til matematikken!
Hvis det er aktuelt å vurdere henvisning til PPT, bør du fortelle foreldrene litt om hva PPT gjør.
Hva kan foreldrene gjøre?
Mange foreldre spør hva de skal gjøre hjemme.
Det er ikke alltid så lurt å komme med en lang liste over aktiviteter. Det kan lett lage en presset
situasjon, og eleven lærer kanskje enda mindre.
Jeg foreslår følgende to temaer som en kan snakke med foreldrene om:
For det første hvordan leksesituasjonen er. Snakk med foreldrene om mengden av lekser, hvordan
eleven arbeider med dette og hvordan foreldrene hjelper. Ofte kommer det da fram endringer
både når det gjelder arbeidsformen og mengden lekser.
Noen ganger kan det være en idè at foreldrene får vite hva som skal arbeides med på skolen de
nærmeste dagene og kan snakke litt om det hjemme på forhånd. Ofte kan en slik ”forbereding” bidra
til at eleven blir mer aktivt med i timene på skolen og da også får en bedret følelse overfor matematikken.
Det andre en bør snakke om, er aktiviteter som ikke direkte har med leksene å gjøre, men med
reelle hverdagssituasjoner hjemme som inneholder matematikk og/eller spill. Jeg tenker på aktiviteter
som å dekke bord, finne fram bestemte antall, være med og snakke om innkjøp. Når det gjelder
spill, har de fleste mye matematikk. Ludo med først en terninger, deretter to, og alle andre terningsspill.
Yatzy er jo ren talltrening! - Også kortspill er fint å bruke.
Matematikkdagheftene som LAMIS utgir har mange slike ideer, og en kan jo tipse foreldrene om
slike. 133
All erfaring viser at eleven tilegner seg matematikken bedre når der er et tett samarbeid mellom
skolen og foreldrene.
133 I boken min om ”Kartlegging og undervisning ved lærevansker i matematikk” (InfoVest forlag, 1997),
har jeg på sidene 172-173 laget et opplegg for 8 uker med en oppgave hjemme hver dag. Alle oppgavene
krever samarbeid med en annen person hjemme, og de er annerledes enn de tradisjonelle leksene. Ofte
kan det gi endring i følelsene knyttet til matematikkfaget å få slike oppgaver et par måneder – og foreldrene
blir engasjert sammen med eleven på en annerledes måte.
71

72

Noen vanlige spørsmål om
matematikkvansker 134
Spørsmål: Hei! Jobber som spesialpedagog på en liten skole og har ansvaret for å teste/kartlegge
ulike elever før evt. videre vurdering hos PPT. Vi har behov for noen tester/kartleggingsmateriell i
matematikk for elev på 2.trinn. Det går på helt grunnleggende begreper som trengs for matematikkopplæringen
først og fremst. Har du noen forslag til hva jeg kan bruke?
Svar: Det er vanskelig det du spør om... Vi har ikke noen gode tester/kartleggingsmateriell for
nettopp dette, men noe kan du bruke - med litt sunn skepsis!
Jeg antar at det dreier seg om en elev som har store vansker med matematikken, siden du antyder
at det er før henvisning til PPT.
Da foreslår jeg følgende:
a) Bruk M-prøven, 2. klasse. Den finnes ikke for første. Det kan være et problem for en svak
elev ved at eleven får lite til. Du kan få mer informasjon ut av testen ved å bruke den dynamisk.
Bestilles fra PP-tjenestens Materialservice, Boks 115, 2714 Jaren.
b) Hammervold & Ostad har et kartleggingsverktøy som kan brukes. ”Basiskunnskaper i matematikk”.
Universitetsforlaget. Den er laget for 2., 4. og 7. årstrinn og kan brukes på samme måten
som M-prøvene.
c) Materiell laget av Allistair McIntosh: ”Alle teller”. Du finner stoff om dette hos NSMO
(Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen, www.matematikksenteret.no) Det har tester for
hvert årstrinn pluss en god veiledning til hva en kan gjøre ved spesielle vansker innen tallforståelse.
Der er det egen test for 1. årstrinn.
d) Det som jeg liker best, er det jeg selv har laget: Lundes ”Kartlegging av læringsforutsetninger
for matematikk”. InfoVest Forlag, 1997. Dette bygger på prinsippet om dynamisk testing, og ser mer
på forutsetninger og utforming av ev. hjelpetiltak, enn på hva eleven kan og ikke kan. (Se www.
infovestforlag.no) Dette er ikke laget for første/andre klasse, men du kan enkelt tilpasse det slik.
Spørsmål: Er dyskalkuli og matematikkvansker det samme?
Svar: Både ja og nei! Dyskalkuli brukes ofte likt med spesifikke matematikkvansker, dvs. at
eleven har store vansker i matematikkfaget uten å ha tilsvarende vansker i andre fag.
Hovedkjennetegnet på både dyskalkuli og matematikkvansker er at personen har store vansker
med å håndtere tall, ofte i forholdsvis enkle sammenhenger. Vanskene kan gi seg utslag på mange
måter og derfor er det ofte vanskelig å stille en klar diagnose. Men ting som grunnleggende matematikk,
håndtering av økonomi og budsjett eller utregning av hvor mye en skal ha igjen etter å ha
handlet, er vanlige problem for elever med matematikkvansker/dyskalkuli.
134 De følgende spørsmål og svar er basert på mange spørsmål jeg har fått fra lærere og foreldre, og på
stoff hentet fra LD Talk på nettstedet www.ncld.org. Dette er nettsiden til National Center for Learning
Disabilities. De som svarer er M. Mazzocco, D. Berch og N. C. Jordan. Alle tre er meget sentrale
innen arbeidet med matematikkvansker.
For de som måtte ønske å gå dypere inn i den teoretiske begrunnelsen for svarene, viser jeg til Lunde, O.:
”Matematikkvansker”, kap. 3 i Rygvold & Ogden (red.): ”Innføring i spesialpedagogikk.” Gyldendal
Akademisk, Oslo 2008.
73

Andre tegn på slike vansker kan være at det er påfallende vanskelig å holde orden på høyre/venstre,
forstå noter, ha dårlig hukommelse, ha problemer med å kople ansikter og navn, følge med i resultater
i spill og på sport, lære seg klokken – og bruker ofte lengre tid enn vanlig på å ta førerkort.
Personer med diagnosen dyskalkuli kan normalt søke om dispensasjon for matematikk, og likevel
komme inn på videre studier selv om man ikke har bestått eksamen i faget. Det er PPT som foretar
utredning og setter en slik diagnose.
Spørsmål: Jeg skriver for jeg lurer på om jeg kan ha dyskalkuli. Har nettopp fått vite om denne
tilstanden og har vært inne på siden til dyskalkuli.net. 135 Jeg er straks 24 år gammel og har helt siden
jeg begynte på skolen, hatt store problemer med matematikken.
Jeg har gode karakterer i andre fag, men har, med et nødskrik, klart å bestå i matte. Jeg liker
matte, men forstår ikke så mye, samme hvor mye jeg prøver. Det går bare ikke inn.
Utallige ganger har jeg lagt ut i det vide og breie under tentamen i matte, men det går ikke!
Det samme med hva er høyre og hva er venstre, osv. Kanskje du kan gi meg råd og veiledning om
hva jeg kan gjøre?
Svar: Jeg tror du bør få undersøkt nærmere om du har slike spesielle vansker med matematikken.
Ut fra det du skriver, begynner jeg å tenke i slike baner. Det du strever med er ganske typisk - og
ofte helt uforståelig! Andre ting (som i grunnen er mye vanskeligere) går jo helt fint. Men når det
gjelder forholdsvis enkle ting i matematikk (og som andre klarer uten problem), strever du. - Og da
kommer ofte vonde følelser og liten tro på seg selv!
Vi vet så altfor lite om dette. Og vi opplever også i dag at elever sliter med slike ting i skolen
uten å få noe hjelp. Jeg vet ikke hva du gjør og hvor du bor. Men hvis du vil ta dette opp og gjøre
noe med det, er det PPT i din hjemmekommune du må ta kontakt med. Det har du full rett til etter
skoleloven. Hjelpen der er gratis.
Hvis PPT sier at de ikke har kapasitet eller vet nok om matematikkvansker til å hjelpe deg, skal
du be om at de tar kontakt med det kompetansesenteret for sammensatte lærevansker (Statped) som
din kommune hører inn under. De skal bistå PPT i slikt arbeid og har kompetanse til det.
Du kan se mer om matematikkvansker på nettsiden vår: www.statped.no/sorlandet/matematikk.
Spørsmål: Hva slags undervisningsopplegg skal jeg bruke for en elev som strever mye med i
matematikken og spesielt med problemløsning?
Svar: Det avhenger i stor grad av hvilken form for vansker eleven har. Jeg tenker på vansker
med talloppfatningen, det å forstå operasjonene og fremgangsmåtene, hukommelsen, oppmerksomheten
og det å forstå ord og uttrykk (kunne begrepene). Alt dette er faktorer som det har vist seg har
stor innflytelse på det å kunne løse problemer i matematikk. Og har eleven lesevansker, blir jo all
tekst vanskelig.
Det er viktig å finne ut hva eleven kan og ikke kan i matematikk, og så knytte dette opp mot reelle
problem i hverdagen. Ideer om dette kan du finne på dette nettstedet: www.matematikk.org.
Spørsmål: Jeg synes at elevene jeg har veldig ofte strever med å organisere informasjonen de får
i undervisningen og når de skal løse problem. De kan på en måte en god del matematikk, men de vet
ikke når og hvor de skal bruke den. Hvordan kan jeg få dem til å forstå hva de skal gjøre?
135 Dette er en nettside om matematikkvansker som drives av Vivvi Sagerup, som selv har store matematikkvansker.
Les hennes beretning om dette i Spesialpedagogikk nr. 4/2006: ”Slik kan det være!”
74

Svar: Det du beskriver er i grunnen det vi kaller for ”vansker med utførende funksjoner” (executive
functions). Dette er viktige ferdigheter som det å kunne planlegge, styre handlingsimpulser,
styre oppmerksomheten eller det å velge ut strategier for arbeidet.
Barn med ulike lærevansker har ofte vansker nettopp med disse tingene. De får, som du sier, på
en måte ikke brukt det de kan.
Jeg har ikke noe enkelt svar på dette. For noen elever kan det være en hjelp å ha støtte i en ytre
struktur når de arbeider. Vi vet også at alle disse funksjonene har sammenheng med elevens begrepsforståelse.
Vi har tidligere sett på et skjema som kan være til hjelp i dette arbeidet.
Hvis eleven strever med disse tingene i stor grad, bør du ta kontakt med PPT og få en utredning.
Slike vansker som de du beskriver, kan ha sammenheng med elevens nevropsykologiske fungering
også.
Spørsmål: Det er ikke uvanlig at foreldre spør om matematikkvanskene kunne vært forhindret.
Ofte forteller de at de selv har hatt slike vansker, men aldri tenkt på at det var noe barna kunne få.
Svar: Det avhenger av så mangt… Noen teoretikere vil si ja, det kan forebygges, andre vil si nei.
Jeg mener at en stor del av vanskene kan forebygges ved at det arbeides systematisk med matematiske
begreper og bruk av matematisk tenking i hverdagen før barnet begynner på skolen. 136
Selv om matematikkferdigheten har mye med biologiske forhold (hjernen) å gjøre, betyr ikke det
at det er ”låst” slik. Dette er funksjoner som kan arbeides med og som da bedrer seg. Og skyldes
vanskene manglende erfaringer eller forsinket språk, sier det seg selv at ved å arbeide med dette, vil
også matematikkferdigheten bli bedre.
Når du snakker med foreldre om slike ting, så pass på at du ikke skaper dårlig samvittighet. De
kan jo ikke ha gjort noe de ikke visste om! Poengter at det fortsatt er veldig viktig hva foreldrene er
med og gjør sammen med skolen.
Spørsmål: Sønnen min som nå går på ungdomstrinnet, strever med matematikken. Han har også
lesevansker. Han klarer ikke ”se” hva 10-1 blir, men må telle seg fram til svaret 9. Han kan klare
logiske resonnement og løse ”nøtter” i hodet og er slett ikke dum. Dette tar så veldig lang tid at han
får lite gjort og blir lei det hele. Hva kan jeg gjøre?
Svar: Dette er faktisk ganske vanlig: De helt enkle matematiske ferdighetene fungerer ikke
slik som her, men mer kompliserte problemer går greit. Da er det lett å tenke at ”han gidder ikke
tenke”…
Det er spesielle deler av hjernen som styrer denne funksjonen med å kunne se for seg en tall-linje
og tenke slik.
Jeg synes du skal snakke med læreren om dette. Hvis det er et stort problem og eleven ikke har
vært utredet ved PPT, synes jeg dere skal henvise ham dit. Enten kan han arbeide direkte med å bedre
denne funksjonen med å ”se” løsningen på enkle aritmetikkoppgaver, eller så kan han lære seg andre
måter å finne det ut på som ikke tar så lang tid.
Spørsmål: Bør en elev med matematikkvansker og som går i tredje årstrinn, få bruke kalkulator?
Svar: Dette er et viktig spørsmål. For det første må eleven lære å bruke en kalkulator. Ellers
kan en oppleve at eleven faktisk gjør flere feil med kalkulator enn uten! For det andre: Barn i denne
alderen bør bare bruke kalkulatoren av og til og da på mer kompliserte utregninger. Det vi ofte kaller
”tall-fakta”, bør eleven prøve å lagre i hukommelsen og kunne kalle dem fram derfra. Hvis det ikke
går, er det jo bedre at han bruker kalkulator og får det til, enn bare blir sittende passiv.
136 Lunde, O., 2008.
75

Spørsmål: Jeg har en elev som er 7 år, men strever med å huske navnene på sifferne 6,7,8 og 9.
Hun vet hva de står for (kan legge riktig antall kuber når jeg legger sifferet foran henne), men hun
klarer ikke huske hva sifferet heter. Det er litt forvirrende og skaper vansker også i forhold til de
andre elevene.
Svar: I 7-års alderen er det vanlig å mestre dette uten vansker. Jeg tror denne eleven kan ha
spesifikke språkvansker. Jeg ville snakket med en logoped om dette problemet. Det har neppe noe
med matematikk som sådan å gjøre.
76

Tillegg:
A: Stegmodell i matematikk
Det kalles også ”stegark” og omtales ofte som en god måte å gi elevene tilpasset opplæring på.
Det hevdes at slike stegark gir bedre faglig oversikt over det elevene skal lære samtidig som det gir
et godt bilde av hver enkelt elevs kompetanse.
Bjørnar Alseth og Mona Rosseland er noe betenkt på ensidig bruk av denne modellen, og jeg deler
deres betenkeligheter. 137
Det er begrenset hvor mange steg en kan dele stoffet inn i, og det vil være umulig å splitte dette
i forhold til den enkelte elevens kompetanse. Ofte blir stegarkene fokusert på konkrete mål som det
er lett å identifisere og så teste. Det kan lett gå ut over forståelsen i faget.
Ikke alle elevene har den samme faglige progresjonen slik stegarkene legger opp til, og de trenger
heller ikke den samme arbeidsmengden på ulike deler. Dette er det ofte vanskelig å justere i stegarkene.
Og mange elever lærer best i samarbeid med andre, ikke ved å sitte alene med slike oppgaver. Det
hele kan bli for individualisert! Og da er det ofte de svake elevene som kommer dårligst ut. Slik sett
kan bruken av stegark faktisk hindre en tilpasset opplæring!
Mye kalles for ”stegmodellen”, men nedenfor er gjengitt utformingen av denne arbeidsformen
slik den først ble brukt i Norge.
Etter modell fra den svenske Kunskapsskolan satte Pedagogisk Senter i samarbeid med 6 skoler i Karmøy i
gang et arbeid med å utvikle en norsk stegmodell. Arbeidet ble satt i gang høsten 2002 med midler fra utdanningskontoret
og Karmøy kommune.
Lærestoffet for mellom og ungdomstrinnet er nå inndelt i 50 ulike steg (de to siste stegene tar for seg noe
av pensumet på videregående skole) Stegmodellen er bygd opp med følgende elementer:
• En stegtest som viser forkunnskaper i forhold til det aktuelle steget,
• Et steg med mål, matematiske gloser, forslag til oppgaver der elevene lager sin personlige vei – alt
etter hva slags forkunnskaper de har. De fleste steg vil også inneholde forslag til aktivitet og matematiske
oppgaver som ligger på internett.
• Et aktivitetssteg eller prosjektsteg for hvert 4. steg som omfatter fagstoff for de tre foregående
steg. Aktivitetssteget vil som regel være bygd opp som et ”oppdrag” med mål, forslag til aktivitet
og vurderingskriterier.
• En avsluttende stegtest. Elever som klarer stegtesten, går videre til neste steg. Elever som har
”store hull” vil fortsette en tid med å arbeide på samme steg – gjerne ved hjelp av andre metoder
– før de tar testen på nytt. Da går de videre til neste steg selv om de fortsatt mangler en del kunnskaper
.
Stegmodellen er tilrettelagt for tilpasset opplæring der den enkelte elev får arbeide med det steg han har
kompetanse og forutsetning for. Det betyr at en elev i 6. klasse kan arbeide med et steg som ”hører hjemme”
i 7. Klasse, mens sidemannen arbeider med et steg der lærestoffet er hentet fra 4. klasse eller i ungdomsskolen
for den slags skyld...
Opplegget går langt i forhold til individuell tilpasning og forutsetter at skolen har tilrettelagt undervisningen
med nyere undervisnings- og organiseringsformer.
(Hentet fra: http://www.karmoyped.no/prosjekt/stegmodellen.htm)
137 http://www.fiboline.no/presentasjoner/20070823_stegark_læringsmaal.pdf
77

B: Noen sentrale, matematiske begreper 138
Bør arbeides med i
barnehagen
Bør mestres
ved start i 1. årstrinn
Bør arbeides med i
1.- 2. årstrinn
1.
Farge
Blå, rød, gul, grønn, hvit,
brun, sort, lilla, rosa, grå
Primærfargene (for eksempel
knyttet til barnas
klær)
(Ut fra beskrivelsen, bruker
de langt mer enn bare
primærfargene.)
Blå, rød, gul, hvit, sort,
grønn
Primærfargene, og litt
om fargeblanding
Alle grunnfargene
De vanlige fargene. Utgangspunkt
i regnbuen
Lyse/mørke farger
Primærfargene + blande primærfargene.
Fargesirkelen
Benevning av de vanlige fargene
og erfaring med fargeblanding.
Rød/gul, blå/gul, rød/blå,
Lage lysere og mørkere blandinger,
lage brunt.
2.
Form
Rund, firkantet, trekantet,
”eggeform”
Lang, kort
firkant, trekant, sirkel,
Kvadrat, rektangel, trekant
Firkant, sirkel (runding)
Eggform, sylinder
3.
Plass/posisjon
Over-under
Foran-bak/etter
Først-sist
På, under
Turtaking (kø, før, etter)
Ved siden av
Først, sist, foran, bak,
under, over, i midten,
ved siden av,
Foran, bak,
Opp, ned, i, på oppå,
inni, bort,
Over, under, bak, foran, imellom,
ved siden av, først, sist
I midten, opp på, øverst, nederst,
midt i mellom
Ordenstall
Nest først, nest sist
4.
Størrelse/ sortering
Størst – minst
Sortering etter størrelse &
farger
Liten – stor
Store – små
Størst, minst, lengst,
kortest
Større/mindre enn – lavere/høyere
Tykk/tynn
Stor, liten
Større-størst, stor-liten,
Mindre, minst
Tykk, tynn - kort-lang
Nest størst, nest minst
Høy-lav, bred, smal,
Flest, færrest, flere enn, færre
enn,
5.
Retning
Forover, bakover, ved
siden av, over, under, opp
ned,
Høyre – venstre (spesielt
innen trafikkopplegg)
Fram, tilbake, framover,
bakover, ut, inn
Sidelengs,
Over/under
Bort, opptil, ned, til
opp
Høyre-venstre
Forover – bakover til siden
Hit-dit, fram, tilbake
6.
Måling (vekt,
lengde)
Kilo, meter, høyde (måler
hvor høye vi er, f. eks.)
Kort, lang, tung lett,
(Baking, matlaging, lek,
nedbørsmåling, regler,
samtaler, sanger)
Lett, tung
Størrelse – for eksempel
en elefant er tyngre enn
ei mus.
Tung, tyngre tyngst
Lett – lettere enn
Kort, lang, høy-lav
Meter – kilo
Kg, m, cm, i forb. m/ konkreter
Tyngst, lettest
”Hva veier mest?”
Måling i centimeter, lengde og
bredde.
Sammenligninger
7.
Vær og temperatur
Kaldt – varmt
Sol – regn – overskyet –
tåke
Kalender hvor vi finner dagen,
sol, regn, snø, skyer,
kaldt, varmt,
Varmt, kaldt, snø, regn,
vind, sol, skyet
Varme/kuldegrader –
kunne forskjellen
Værtypene
Torden og lyn, storm,
Varmegrader (+)
Kuldegrader (-)
Temperatur, kaldt, varmt
Gradestokk, pluss, minus, sol,
regn, vindstille, blåser, overskyet,
blå himmel, skyer, lyn, torden,
mørke og høye skyer, rim, is, snø
osv.
Frost
138 Oppstillingen her er basert på Nyborg (se Lunde, et.al., 1999, s. 152f.) og samarbeid med førskolelærere
og lærere.
78

8.
Tall og telling
Telle til 20 (el. mer)
mengde-trening,
bursdagsfeiring
1-24 i advent
En – ti
Telle opp til 10-20
Telle til 10 uten nødv. å
ha mengdebegr.
Telle rekker - oppover/nedover
Spes: Jobbing med 1-10
Tellestreker
Tall: 0-10 (9)
Trekk fra, legge til
Innenfor 0-9, teller tallstrekr, ordne
i 5 og 5. ordenstall med datoene.
To like = et par
9.
Funksjoner (hva
ting brukes til, for
eksempel spise,
drikke, verktøy)
Verktøy, hageredskaper,
bestikk
Barna smører maten selv,
Lek med plastelina, formingsmateriell:
sakser,
koster bøtter, snekring,
fiskeredskaper
Gaffel, kniv, skje, kopp,
tallerken, hammer, sag,
glass,
Tørst, sulten, mett
”renslighet”, vaske hender
bestikk – vite hva de
ulike tingene brukes til
dekketøy
verktøy: sag, hammer,
skrujern
flaske, nål
Tas opp i de vanlige rutiner og aktiviteter,
Vi er obs. på begrep som
dukker opp, disse forklares der og
da, event. som tema i samlinger
Tallerken, kniv, gaffel, kopp, servere
= dekke bord, nål, tråd
- Kommer naturlig inn gjennom
aktiviteter
10.
Tid (år, dager…)
År, måneder,
Regne ut hvor mange
dager til ulike aktiviteter,
f. eks.
Kalender
Dag, uke, helg, årstid, år
Navn på ukedagene
Årstidene
Navn på noen ukedager,
uke, år
Timer
År-mnd.- dager
Dato
Kalender hver dag
Kalender: årstall, mnd, dag, dato,
Årstider
Merkedager
Klokka: Hele timer
11.
Familie
Nærmeste familie: mor,
far, søsken, besteforeldre,
kusiner/fettere, tanter/
onkler
Bilder av fam. i garderobe,
snakker om dem
Mor, far, søsken,
besteforeldre,tante, onkel,
fetter, kusine, bestefar,
bestemor, morfar,
farfar, farmor, oldemor,
oldefar
Foreldre
Søskenbarn
Hvem bor hjemme hos meg?
Hvem er i min familie?
Foreldre, besteforeldre, tanter,
onkler, fettere, kusiner
Meg selv: Bli kjent med familien til
eleven. Familieskjema
Oldeforeldre, søskenbarn
Aleneforeldre,
Ordet ”ste-” er viktig for
noen
12.
Andre viktige
områder
Bordskikk
Lære å ”ordne opp”i konflikter
selv
selvstendighet
Selvoppfatning
Sosialt samspill, inkluderende,
Basis-kompetanse
Språk
Stille, rolig
Bråk, uro
Venner
Kunne gå/klare seg på
toalettet
Kle av/på seg selv
Knytte sko
Utedagen.
Årssyklusen i naturen
Naturmateriale til telling. Mengder,
størrelset osv.
Utedagen: Naturmaterialer som
utgangspunkt for sammenligninger
av størrelser og tyngde/
avstand.
79

C: Matematikkens Hus
”Matematikkens hus” –
bretting av et matematikkhus
Start med et kvadrat( kan gå ut fra A4
eller A3) og rive det til et kvadrat.
Brett så dobbelt med brettekanten mot
deg
Brett tilbake og brett nærmeste side
inntil midten.
Snu arket 180 grader og gjør likedan.
Vend arket med bretteflippene ned
Ha kortsida nærmest deg og brett kortsiden
inntil midtlinjen og gjør likedan med
den andre siden.
Åpne og brett ut den øverste bretteflipp
(høyre) slik at du får en trekant (taket på
huset).
Gjør det samme med den venstre bretteflipp.
Nå har du laget taket.
bretteflipp.
Nå har du laget taket.
Du kan åpne huset ved å brette ut
flippene og tegne til det tallet huset ditt har
fått.
Er tallet 2 kan du tegne to dører, to
vinduer, to mennesker som bor i huset.
Matematikk i Matematikkens Hus:
Brett ut arket og finn geometriske figurer .
(trekanter, firkanter osv….)
Hjørner og vinkler
Lage regnefortellinger med ting tegnet i
huset.
76
Hvem bor i huset? Få elevene til å lage
fortellinger der de bruker tallene.
Øv og fortell hvorledes vi brettet huset.
i Ma
Brett ut arket
(treka
Hjørner og
Lage regne
huset.
Hvem bor i
fortellinger der
Øv og fortel
Alle elevene
Still husene
Hvorledes
Står alle numr
Partall - odd
Lage møns
us
retting av
A4 eller
ten mot
side inntil
edan.
ned
rett
ikedan
retteflipp
aket på
tre
ut
Du kan åpne huset ved å brette ut
flippene og tegne til det tallet huset ditt
har fått.
Er tallet 2 kan du tegne to dører, to vinduer,
to mennesker som bor i huset.
80
Alle elevene får ulik tall på huset.
Still husene i rekke
Hvorledes står husnummer i ei gate? Står
alle numrene etter hverandre?
Partall - oddetall
Lage mønstre…

D: Hvordan tallene preger en dag i 1. klasse
: Hvordan tallene preger en dag i 1. klasse
(Av Kari Haukås Lunde. Tidligere publisert i Tangenten nr. 4/2005, side 2ff.)
(Av Kari D: Haukås Hvordan Lunde. tallene Tidligere publisert preger i en Tangenten dag i 1. nr. klasse 4/2005, side 2ff.)
(Av Kari Haukås Lunde. Tidligere publisert i Tangenten nr. 4/2005, side 2ff.)
Etter en åpningssang og morgenhilsen ” Good morning boys and girls” er tretten
lærevillige førsteklassinger klar til å trekke dagens ordenselever og finne ut hva slags dato
Etter en det åpningssang er. og morgenhilsen ” Good morning boys and girls” er tretten
Etter en åpningssang og morgenhilsen ” Good morning boys and girls” er tretten lærevillige
førsteklassinger
ærevillige førsteklassinger klar til å
klar
trekke
til å trekke
dagens
dagens
ordenselever
ordenselever
og
og
finne
finne
ut
ut
hva
hva
slags
slags dato
dato
”Jeg håper det blir meg”, ser jeg de fleste tenker med sine forventningsfulle øyne. det
et er. Spenningen er. er til å ta og føle på.
”Jeg håper det Alle ”Jeg blir ser på håper meg”, plastlomma det ser blir jeg meg”, som de jeg ser fleste holder jeg de opp. tenker fleste Den med er tenker delt sine forventningsfulle øyne.
penningen er i to til med rom å ta sine – og et rom forventningsfulle føle på. jentenavnene øyne. og Spenningen ett for guttenavnene. er til å ta
Helt og øverst føle på. ligger ett farget ark i hvert rom, og under det
Alle ser på plastlomma som jeg holder opp. Den er delt
fargete
Alle
arket
ser på
ligger
plastlomma
navnene
som jeg
på
holder
elevene.
opp. Den
Alle
to rom – et er
navneskiltene rom for jentenavnene har jeg laminert. og ett for guttenavnene.
elt øverst ligger delt ett i to farget rom – et ark rom i hvert for jentenavnene rom, og under og ett for det guttenavnene.
Jeg trekker Helt fram øverst navneskiltet ligger ett farget sent slik ark i at hvert elevene rom, ser og
argete arket ligger navnene på elevene. Alle
bare under en det bokstav fargete om arket gangen. ligger De navnene lyderer på seg elevene. fram Alle til
avneskiltene I..n..g..e har jeg
navneskiltene b.o..r..g. laminert.
har I jeg dag laminert. ble det Ingeborg. Vi gjør det
Jeg trekker samme fram med navneskiltet et guttenavn. sent Vi har slik alltid at to elevene ordenselever, ser en
jente og Jeg en trekker gutt. fram navneskiltet sent slik at elevene ser
are en bokstav om gangen. De lyderer seg fram til
bare en bokstav om gangen. De lyderer seg fram til I..n..g..e b.o..r..g. I dag ble det Ingeborg.
..n..g..e b.o..r..g. I tillegg
Vi gjør I dag til alt
det samme ble som det har
med Ingeborg. med bokstaver
et guttenavn. Vi og
Vi gjør lesing
har alltid det å gjøre, er det mye matematikk som vi
to ordenselever, en jente og en gutt.
amme med et kan guttenavn. utnytte her. Vi Vi har teller alltid ”klapp”(stavinger) to ordenselever, i navnene, og vi teller bokstavene. Vi må
finne ut I hvem tillegg som til alt har som flest har eller med færrest bokstaver bokstaver- og lesing ”klapp” å gjøre, ( stavinger) det mye i navnet matematikk sitt.
ente og en gutt.
som vi
kan Her utnytte lærer de her. om Vi relasjonsordene teller ”klapp”(stavinger) ( flere-flest i – navnene, færre-færrest og vi teller ) satt bokstavene. inn i meningsfull Vi må finne
I tillegg sammenheng. til ut alt hvem som som har Elevene med har flest bokstaver viser eller med færrest og fingrene lesing bokstaver- sine å gjøre, hvor ”klapp” mange er ( det stavinger) ”klapp” mye matematikk i ordenselevene navnet sitt. som har vi i
an utnytte navnene her. Vi sine. teller Deretter ”klapp”(stavinger) parkobler for i å navnene, visualisere og relasjonsordene. vi teller bokstavene. De fører fingrene Vi må
inne ut hvem mot som hverandre, Her har lærer flest og de eller har om de relasjonsordene færrest like mange bokstaver- ”klapp”, ( flere-flest ”klapp” blir det – færre-færrest ingen ( stavinger) fingrer ) som i satt navnet blir inn stående i sitt.
meningsfull alene.
Er det sammenheng. forskjell, vises Elevene det viser med antall med fingrene fingrer som sine hvor blir stående mange ”klapp” alene. Dette ordenselevene forstår elevene har i navnene
klasse. om sine. relasjonsordene Noen Deretter har parkobler kommet ( flere-flest vi for så å langt visualisere – færre-færrest at de relasjonsordene. uttrykker ) satt inn forkskjellen i De en fører meningsfull fingrene med et mot
i
Her lærer 1. de
ammenheng. subtraksjonsstykke.
Elevene hverandre, viser og har med de like fingrene mange ”klapp”, sine hvor blir det mange ingen ”klapp” fingrer som ordenselevene blir stående alene. har Er i det
avnene sine. Deretter forskjell, vises det med antall fingrer som blir stående alene. Dette forstår elevene i 1. klasse.
Det å ta utgangspunkt parkobler vi i navnene for å visualisere til barna , tror relasjonsordene. jeg er veldig lurt. Barn De fører er opptatt fingrene av seg
ot hverandre, Noen har kommet så langt at de uttrykker forkskjellen med et subtraksjonsstykke.
selv og og har navnet de like sitt. Så mange her ligger ”klapp”, det et blir stor det læringspotensiale. ingen fingrer Ideen som blir om å stående bruke navnene alene.
r det forskjell, har jeg vises Det fått å det av ta utgangspunkt noen med lærere antall ved fingrer i navnene skolen som til som barna blir hadde stående , tror vært jeg alene. på er et veldig kurs Dette lurt. i begynneropplæring forstår Barn er elevene opptatt av i
seg
. klasse. lesing. Noen selv Jeg og har navnet har prøvd kommet sitt. å Så utvikle her så ligger det langt videre det et at stor i forhold læringspotensiale. de til uttrykker Ideen forkskjellen om å bruke med navnene et har
ubtraksjonsstykke. matematikk.
jeg fått av noen lærere ved skolen som hadde vært på et kurs i begynneropplæring i lesing.
Jeg Så er har turen prøvd kommet å utvikle til å det finne videre ut hva i forhold dagen til heter, matematikk.
Det å ta utgangspunkt i navnene til barna , tror jeg er veldig lurt. Barn er opptatt av seg
og hva slags tall den har. Vi bruker
elv og navnet avrivningskalender sitt. Så Så er her turen ligger kommet og det til abakus. et å stor finne læringspotensiale. ut hva Dette dagen gjør heter, og Ideen hva slags om å tall bruke den har. navnene Vi bruker
ar jeg fått av ordenselevene. avrivningskalender noen lærere Den ved og ene skolen abakus. ordenseleven som Dette hadde gjør river vært ordenselevene. av på et kurs Den i begynneropplæring ene ordenseleven river i av
esing. Jeg har kalenderen, prøvd kalenderen, å utvikle og og den det andre videre legger legger i forhold en kule en på til kule abakusen. på Elevene teller kulene som er på abakusen,
og Elevene de teller teller hvor kulene mange som det er på etter abakusen, at
atematikk. abakusen.
og de har teller lagt hvor på. mange De sammenligner det er etter tallet at de på har kalenderen
sammenligner og til kulene å finne tallet på ut på abakusen. hva kalenderen dagen De og adderer heter, kulene på
lagt på.
Så er turen De kommet
g hva slags og subtraherer. tall den De forteller har. hvordan Vi bruker tallene
vrivningskalender skrives, og både en-sifrede abakus. og to- Dette sifrede. gjør En
rdenselevene. dag Den var det ene liten ordenseleven gutt som lurte river på hvorfor av 77
alenderen, og kalenderen den andre startet på legger 1 etter en 31. Ja, kule vi lurte på i
bakusen. Elevene lag. Da teller plutselig kulene sa som en annen er på gutt abakusen, at det var
bare 31 dager i den måneden. Mange er nå
g de teller hvor mange det er etter at de har lagt på.
bevisst på at antall dager i månedene varierer
e sammenligner tallet på kalenderen og kulene på
fra 31-30 og med februar med 28 dager.
77
81

usen. De abakusen. adderer De og adderer subtraherer. og subtraherer. De forteller De forteller hvordan hvordan tallene tallene skrives, skrives, både både en-sifrede
- sifrede. og En to- sifrede. dag var En det dag en var liten det gutt en liten som gutt lurte som på lurte hvorfor på hvorfor kalenderen kalenderen startet startet på på 1 etter
31. Ja, vi lurte i lag. Da plutselig sa en annen gutt at det var bare 31 dager i den måneden.
a, vi lurte i lag. Da plutselig sa en annen gutt at det var bare 31 dager i den måneden.
Mange er nå bevisst på at antall dager i månedene varierer fra 31-30 og med februar med
ge er nå 28 bevisst dager.
Vi på startet at antall med en dager hjemmelaget i månedene ”abakus”. varierer Den fra var 31-30 laget av og en med vedskive februar og to med blomsterpinner
( en pinne for enerne og en for tierne). På enerpinnen var det plass til bare ni kuler.
ager.
Vi Og startet da det med ble den en 10. hjemmelaget i en måned, hadde ”abakus”. vi diskusjon Den var om laget hva vi av skulle en vedskive gjøre med og den to tiende
i startet blomsterpinner med kula..( en Ide hjemmelaget ( som en pinne jeg har for fått enerne ”abakus”. av Tone og en Dalvang.) for Den tierne). var Vi kom På laget enerpinnen omsider av en fram var vedskive til det å plass ta i bruk til og den bare to andre
sterpinner ni kuler. ( pinnen, pinne Og da
som
det for fikk
ble enerne navnet
den 10. og tierpinnen.
i en måned, for tierne). En
hadde
kule På på
vi
tierpinnen enerpinnen diskusjon
tilsvarte
om hva det vi
10
skulle plass enerkuler.
gjøre til En bare med
dag var
ler. Og den da tiende det den ble gått
kula..( den i stykker, 10. Ide i som
og en da måned, jeg
gikk
har
jeg
fått hadde over
av Tone
til vi en diskusjon Dalvang.)
to bøylers om abakus
Vi kom hva med
omsider vi skulle ti kuler
fram gjøre på
til
hver
å med ta
bøyle.
i
bruk den andre pinnen, som fikk navnet tierpinnen. En kule på tierpinnen tilsvarte 10
tiende kula..( Ide som jeg har fått av Tone Dalvang.) Vi kom omsider fram til å ta i
enerkuler. Den En 10.januar dag var den med gått ny i stykker, abakus og plass da gikk til jeg ti enere over til på en enerbøylen. to bøylers Hva abakus gjorde med vi ti nå??
den andre kuler pinnen,
Elevene på hver var bøyle. som fikk navnet tierpinnen. En kule på tierpinnen tilsvarte 10
vant med den hjemmelagete abakusen med bare plass til ni kuler på enerpinnen.
kuler. En dag var den gått i stykker, og da gikk jeg over til en to bøylers abakus med ti
Den Og 10.januar så fikk vi den med nye abakusen og ( plass kjøpt på til Okani) ti enere med på enerbøylen. plass til ti kuler Hva på gjorde enerpinnen. vi nå??
r på hver bøyle.
Elevene var vant med den hjemmelagete abakusen med bare plass til ni kuler på
Skulle vi ha ti enere eller skulle vi ha en tier. Dette ble en høylydt diskusjon blant seksåringene.
Noen mente en kule på tierbøylen , og andre mente ti enere på enerbøylen. Alle var
en 10.januar enerpinnen. med Og ny så abakus fikk vi og den plass nye abakusen til ti enere ( kjøpt på enerbøylen. på Okani) med Hva plass gjorde til ti vi kuler nå?? på
ene var enerpinnen. vant sta og med stod den på sitt. hjemmelagete Heldigvis kom vi abakusen fram til enighet. med Vi bare kunne plass velge til mellom ni kuler ti enere på eller en
pinnen. Og Skulle så tier. fikk Begge vi vi ha deler den ti enere var nye like eller abakusen riktige. skulle Tenk vi ( ha kjøpt alt en som tier. på en Okani) Dette del seksåringer ble med en høylydt plass lærte til diskusjon her ti om kuler tier blant på og ener.
pinnen. seksåringene.
Og ved stadig
Noen
gjentakelse
mente en kule
får flere
på tierbøylen
og flere tak
, og
på
andre
dette.
mente ti enere på enerbøylen.
Alle var sta og stod på sitt. Heldigvis kom vi fram til enighet. Vi kunne velge mellom ti
Skulle vi enere ha eller ti Tid enere – tier. måned eller Begge –uker- skulle deler dager vi var ha er like tema en riktige. tier. vi skal Dette Tenk arbeide alt ble som med. en en høylydt Hvordan del seksåringer diskusjon skal jeg visualisere lærte blant her det
åringene. om Noen tier slik og at mente ener. de får Og en litt ved kule forståelse stadig på tierbøylen gjentakelse og føling med får , og flere hvor andre og mange flere mente uker tak på ett ti dette. enere år er? Det på gjorde enerbøylen. jeg slik:
var sta og Tid stod – måned på sitt. –uker- Heldigvis dager kom er tema vi fram vi skal til arbeide enighet. Vi kunne velge mellom ti
e eller en
Jeg har to syltetøyglass. I det ene glasset med
med. tier. Hvordan Begge skal deler jeg var visualisere like riktige. det slik Tenk at de alt får som litt en del seksåringer lærte her
påklistret merkelapp: ÅR - 2005 – 52 uker er det 52
ier og ener. forståelse Og ved og føling stadig med gjentakelse hvor mange får uker flere ett og år flere er? Det tak på dette.
gjorde
steiner
jeg slik:
- en stein for hver uke. Det andre glasset har
id – måned merkelapp: –uker- dager ÅR - er 2005 tema - UKE vi skal …. arbeide
Jeg har to syltetøyglass. I det ene glasset med
. Hvordan skal jeg visualisere det slik at de får litt
påklistret I merkelapp: det glasset ligger ÅR - det 2005 så mange – 52 uker steiner er som det 52 vi
åelse og steiner føling har - uker. med en stein Hver hvor for mandag mange hver uke. ved uker Det ny ett start andre år på er? glasset uka Det tar har vi
e jeg slik: merkelapp: en stein ÅR fra - glasset 2005 - merket UKE …. ÅRET 2005 over til det
Jeg har to I syltetøyglass. andre det glasset glasset ligger merket I det det med så ene mange UKE. glasset Elevene steiner som med teller vi hvor har
uker. mange Hver mandag uker vi ved har ny igjen start av på uka 2005, tar og vi hvor en stein mange
istret merkelapp: ÅR - 2005 – 52 uker er det 52 fra
glasset uker merket vi har ÅRET kommet 2005 til over i år til 2005. det andre En mandag glasset da merket en
er - en stein for hver uke. Det andre glasset har med UKE. Elevene teller hvor
mange elev uker hadde vi har tellet igjen at det av var 2005, bare 48 og uker hvor igjen mange til vi uker skulle vi feire har kommet nyttår, utbrøt til i år han: 2005. ” Jippi En , bare
elapp: ÅR -
mandag 482005 uker da en til -
elev vi UKE skal hadde sende ….
tellet opp at raketter”. det var bare Vi 48 var uker jo så igjen vidt til ferdig vi skulle med jul feire og nyttår, utbrøt og syns det
det glasset han: ” var ligger Jippi en stund , det bare så til 48 det. mange uker Dette til vi steiner viser skal sende seks-åringenes som opp vi raketter”. har oppfatning Vi var av jo tid.
. Hver mandag så vidt ferdig ved med jul og nyttår og syns det var en stund til det.
Dette viser
Vi
seks-åringenes
teller ny start i tierhauger, på uka
oppfatning
og tar vi vi subtraherer en stein
av tid.
og fra adderer. Ved den ukentlige gjentakelse får vi
et merket ÅRET flere og 2005 flere over med oss. til det Og andre vi får telling glasset i en merket meningsfull med UKE. sammenheng. Elevene Og gjett teller om hvor de andre
ge uker vi Vi har følger teller igjen med i av tierhauger, om 2005, de teller og riktig. vi hvor subtraherer mange uker og adderer. vi har Ved kommet den til i år 2005. En
dag da en ukentlige elev hadde gjentakelse tellet får at vi det flere var og bare flere 48 med uker oss. igjen Og vi til får vi telling skulle i feire nyttår, utbrøt
en meningsfull ”Antons sammenheng. tall” er et annet Og gjett ord for om dagens de andre tall. følger Anton med er om
” Jippi , bare 48 uker til vi skal sende opp raketter”. Vi var jo
de teller en tøydokke riktig. som er med oss nesten hver morgen. Han bor i
idt ferdig med jul og nyttår og syns det var en stund til det.
”Antons skapet i tall” klasserommet et annet vårt og ord er for veldig dagens interessert tall. Anton i tall. Han
e viser seks-åringenes oppfatning av tid.
er en
tøydokke har en som eske er med med tall oss opptil nesten 20. hver Nesten morgen. hver morgen Han bor trekker i skapet i
i teller klasserommet i tierhauger, han et tall vårt og og forteller og vi er subtraherer veldig om det interessert i gåteform og adderer. i til tall. elevene. Han Ved har Her den putter
tall jeg opptil får inn vi de 20. flere matematiske Nesten og flere hver ordene med morgen som oss. vi Og trekker jobber vi får med han telling akkurat et tall i og
eske
tlige gjentakelse med
eningsfull sammenheng. da. Det kan være Og halvparten, gjett om det de dobbelte, andre følger en mer, med partall om
osv…. Det å koble det læringsmessige til dokker, er lurt. Da
ller riktig.
har jeg ungene med meg. Der har jeg lært 78 mye av førskolelærere.
et Av annet og til har ord vi ikke for tid dagens til Antons tall. tall. Anton Da lager er vi en litt
Antons tall”
okke som er historie med oss rundt nesten det. Anton hver hadde morgen. ikke Han lyst å bor komme i skapet ut idag. i
erommet vårt Han og var er trøtt veldig osv…Etter interessert jul det i elevene tall. Han som har hjelper en Anton eske
tall opptil
å
20.
trekke
Nesten
tall, og
hver
å fortelle
morgen
om tallet
trekker
i gåteform.
han
Da
et
må
tall
elevene
bruke matematikkordene (halvparten, en mer
og
osv.).
82
78

m hjelper Anton å trekke tall, og å fortelle om tallet i gåteform. Da må elevene bruke
tematikkordene (halvparten, en mer osv.).
En dag var Antons tall 13, og det var på samme dag som den 31. januar. Da var det
jente som er veldig observant En dag var på Antons både tall på 13, bokstaver og det var og på tall. samme ”Kari, dag som i dag den var 31. Antons januar. Da tall var det
t samme som datoen. jente som Ja, da er veldig måtte observant vi undersøke på både det. på bokstaver Hvordan og kunne tall. ”Kari, vi i gjøre dag var det? Antons . Vi tall det
ldt Antons tall samme (13) som bak datoen. abakusen Ja, da som måtte viste undersøke 3 tierer og det. 1 Hvordan ener (datoen). kunne vi gjøre ”Var det? . det Vi holdt
me?” ”Nei”, Antons sa noen. tall (13)” bak 31 abakusen har tre som tierer, viste men 3 tierer 13 og har 1 ener bare (datoen). en…..osv. ”Var det En det flott samme?”
pdagelse, og den ”Nei”, samme noen. jenta ” 31 har tre ved tierer, annen men 13 anledning har bare en…..osv. kommet En med flott den oppdagelse, samme og den
stand, men da med samme et jenta annet har tall ved ( annen 21- 12). anledning Ved kommet stadig gjentakelse med den samme så påstand, tror jeg men at flere da med og et annet
tall ( 21- og forskjellen 12). Ved stadig mellom gjentakelse slike så ”reversal-tall”. tror jeg at flere og Og flere tenk ser sammenhengen hvor stolte og
re ser sammenhengen
forskjellen mellom slike ”reversal-tall”. Og tenk hvor stolte disse seksåringene er som er
se seksåringene er som er med og finner ut av ting selv ( konstruerer sine kunnskaper)..
med og finner ut av ting selv ( konstruerer sine kunnskaper)..
Seinere på dagen er det tid for matpause og hente
Seinere på dagen er det tid for matpause og
lk. Ordenselevene må sjekke melkelista som henger i
hente melk. Ordenselevene må sjekke melkelista som
sserommet og
henger
finne
i
ut
klasserommet
hvor mange
og finne
melk
ut
vi
hvor
skal
mange
ha i
melk
dag.
vi
det noen borte skal , skal ha i de dag. ha Er melk……Fine det noen borte , skal mattesituasjoner
de ha melk……
m vi senere tar Fine utgangspunkt mattesituasjoner i når som vi lager vi senere regnefortellinger
tar utgangspunkt
skal lære å skrive i når dette vi lager med regnefortellinger tall og tegn. (Algoritmer)
og skal lære å skrive
dette med tall og tegn. (Algoritmer)
Jeg prøver å sette de matematiske tema inn en naturlig
menheng for dem. Jeg Slik prøver som å da sette det var matematiske fastelavn tema og inn vi en
ulle lære om areal. naturlig Så sammenheng tellet vi antall for dem. boller Slik som på plata. da det Vi var
tte la det være fastelavn litt plass og rundt vi skulle bollen, lære om snakket areal. Så vi tellet om. vi Men antall
a har dette med boller areal på å plata. gjøre. Vi måtte Vi definerte la det være areal litt som plass hvor rundt
r plata var – hvor
bollen,
mange
snakket
boller
vi om.
det
Men
var
hva
plass
har dette
til. Plata
med areal
var
å gjøre. Vi definerte areal som hvor stor plata var –
sten så stor som 30 boller ( i den størrelsen vi hadde lage
hvor mange boller det var plass til. Plata var nesten
m.) Da kunne vi
så stor
si at
som
en bolle
30 boller
var
(
som
i den
en
størrelsen
måleenhet.
vi hadde
Neste
lage
ng ville vi finne dem.) ut hvor Da kunne stort vi langbordet si at en bolle i rommet var som en vårt måleenhet.
Neste som gang måleenhet? ville vi finne Vi ut lette hvor stort i ranselen langbordet om i
var.
a kunne vi da bruke
t var noen bøker rommet vi kunne vårt var. bruke. Hva kunne Da ble vi da vi bruke enige som om måleenhet? at det kunne Vi lette være i ranselen lurt om å bruke det var noen
kstavboka som bøker har en vi kunne størrelse bruke. som Da A4 ble – vi ark. enige Alle om at de det tretten kunne elevene være lurt tok å bruke sine bokstavboka bøker og som
dem på bordet. har Bordet en størrelse var nesten som A4 så – stort ark. Alle som de 13 tretten bokstavbøker. elevene tok sine Så viss bøker vi og skulle la dem kjøpe på bordet.
duk, måtte alle Bordet ta med var seg nesten sine så stort bøker som og 13 legge bokstavbøker. på. Videre Så viss vil vi jeg skulle jobbe kjøpe med en duk, å snakke måtte alle ta
d elevene om lurere med seg måter sine bøker å finne og ut legge hvor på. stor Videre bordplata vil jeg jobbe er. med å snakke med elevene om lurere
måter å finne ut hvor stor bordplata er.
Elevene blir veldig oppmerksomme på tall og hvorledes hverdagen deres er
lbelagt. Jeg prøver å la
Elevene
ungene
blir
få
veldig
tid til
oppmerksomme
å tenke og forstå
på tall
i områdene
og hvorledes
TPG
hverdagen
( tall, problem
deres er tallbelagt.
Jeg prøver å la ungene få tid til å tenke og forstå i områdene TPG ( tall, problem og
geometri ). Olof Magne bruker disse orda i boka ” Barn oppdager matematikk”.
geometri ). Olof Magne bruker disse orda i boka ” Barn oppdager matematikk”. Deretter
retter arbeider
arbeider
vi med
vi
det
med
skriftlige.
det skriftlige.
Vi har
Vi har
så
så
vidt
vidt
begynt
begynt med
med
det
det
abstrakte:
abstrakte:
det å
det
lage
å
enkle
lage
addisjonsstykker
som som tar tar utgangspunkt i noe noe selvopplært. selvopplært. Dette Dette er enspennende er enspennende måte å arbeide
kle addisjonsstykker
te å arbeide med matematikk på. på. Og Og gjett gjett om om disse disse små små tannløse tannløse seksåringene seksåringene er med er når med jeg laget
r jeg laget søylediagram for for tannfelling! Jeg får Jeg stadig får beskjed stadig om beskjed å oppdatere om diagrammet. å oppdatere Elevene
grammet. Elevene teller rutene teller – rutene – for en hver rute mistet for tann, hver og mistet så kontrollteller tann, og så de kontrollteller om det stemmer de med det
det stemmer med oppgitte det tall oppgitte for mistet tall tenner. for mistet tenner.
79
83

E: Oppgavene i oversiktsdelen av Olav Lundes kartlegging
Den fullstendige kartleggingen er beskrevet i boken ”Kartlegging og undervisning ved lærevansker
i matematikk”, InfoVest forlag, 1997. Her er bare selve oppgaveteksten (uten
kommentarer etc.) gjengitt. Kartleggingsmateriellet finnes også som eget kopisett som kan
kjøpes fra InfoVest Forlag (www.infovestforlag.no).
1. Legg arket slik at den lengste siden er mot deg.
2. Midt på arket tegner du en sirkel som er omtrent så stor som en fem-kroning.
3. Fra sirkelen tegner du en strek ut til hvert av hjørnene.
4. Tegn en strek fra sirkelen ut til hver av kantene.
5. Nå ser du at arket har blitt delt i mange rom. Kan du peke på det rommet som er øverst til
venstre på arket?
6. Nå skal du skrive et 1-tall i det rommet du pekte på. Skriv tallet i den smale delen av rommet.
- Når du har gjort det, skal du sette nummer på de andre rommene også.
7. Pek på rom nr. 1. - Kan du skrive det tallet som kommer før 36?
8. Nå skal du telle med 2 om gangen. Du begynner med 6, og så kommer 8. Skriv tallene i rom
nr. 1. Stopp når du kommer til 20.
9. Skriv i rom nr. 1 det tallet som kommer etter 29.
10. Pek på rom nr. 2. - Kan du skrive ”en halv” med tall?
11. I det samme rommet skal du nå skrive 12. Så skal du skrive 74, 192, 21, 203.
12. Kan du skrive det tallet som er 2 mer enn 999?
13. Kan du peke på rom nr. 3? - Her skal du tegne 5 streker. 2 av strekene skal være like lange.
Den midterste skal være mindre enn alle de andre strekene.
14. I det samme rommet skal du nå tegne fire firkanter på rekke. Den siste i rekken skal være
halvparten av de andre.
15. I rom nr. 4 skal du lage en strek som du tror er 4 cm lang.
16. I det samme rommet skal du tegne en klokke som viser halv fire.
17. Skriv hvor bredt du tror dette arket er.
18. Finn rom nr. 5. - Hør godt etter nå. Jeg skal lese opp et regnestykke to ganger, og så skal
du finne svaret. Ikke skriv noe før jeg har lest det to ganger. En spiker er 10 cm lang. Han
blir slått inn i en bjelke som er 8 cm tykk. Hvor mange cm av spikeren stikker utenfor bjelken?
- Du kan godt tegne eller skrive hvordan du tenker.
19. Nå skal du få høre en ny oppgave: - Lars har et eple. Han delte det på midten. Til slutt
delte han hver av disse igjen. Hvor mange biter har han da? - Du kan godt tegne eller
skrive hvordan du tenkte. Skriv eller tegn svaret i rom nr. 6.
20. Finn rom nr. 7. - Nå skal jeg lese noe igjen to ganger, og så skal du tegne eller skrive svaret
i rom nr. 7. - Du skal kjøpe sjokolade i butikken og har fått en 10-kroning av bestemor. I butikken
finner du 2 sjokolader du liker godt. Den ene sjokoladen koster 4 kroner og den andre
5 kroner. Hvor mange kroner får du tilbake når du betaler med 10-kroningen i kassen?
21. Nå skal jeg lese en ny oppgave: - Tenk deg at du skal lage tomatsuppe til hele klassen.
Hver pose med suppe rekker til 4 elever. Hvor mange poser trenger du? - Skriv eller tegn
svaret i det samme rommet.
22. Kan du finne det siste rommet? - Nå skal jeg si hvordan et hus ser ut, og så skal du tegne
det etterpå. Jeg leser dette bare to ganger, så du må høre godt etter. - Huset har 3 vinduer
og en dør. Taket er skrått. Det er pipe med røk på taket. Ved siden av huset står en flaggstang
med flagg. Solen skinner. - Nå kan du tegne i det siste rommet.
84

85

86

87

88

89

www.infovestforlag.no
ISBN 978-82-90910-34-7