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3.5.1 Beta Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5.2 Why Is A Beta Prior Conjugate to the Bernoulli Likelihood? . . . . . . . 30
3.5.3 Multiple Ways to Specify a Beta Prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Using Bayes’ Rule to Calculate a Posterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Bayesian Inference Goals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Why Markov Chain Monte Carlo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Markov Chain Monte Carlo Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 The Metropolis Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Introducing PyMC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Inferring a Binomial Proportion with Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . 38
4.5.1 Inferring a Binonial Proportion with Conjugate Priors Recap . . . . . . . 39
4.5.2 Inferring a Binomial Proportion with PyMC3 . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 Bibliographic Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Bayesian Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1 Frequentist Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Bayesian Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Bayesian Linear Regression with PyMC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 What are Generalised Linear Models? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 Simulating Data and Fitting the Model with PyMC3 . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Bibliographic Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Full Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Bayesian Stochastic Volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1 Stochastic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Bayesian Stochastic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 PyMC3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3.1 Obtaining the Price History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3.2 Model Specification in PyMC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3.3 Fitting the Model with NUTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.4 Full Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III Time Series Analysis 71
7 Introduction to Time Series Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1 What is Time Series Analysis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 How Can We Apply Time Series Analysis in Quantitative Finance? . . . . . . . . 74
7.3 Time Series Analysis Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Time Series Analysis Roadmap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5 How Does This Relate to Other Statistical Tools? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8 Serial Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1 Expectation, Variance and Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.1 Example: Sample Covariance in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78