082-Engineering-Mathematics-Anthony-Croft-Robert-Davison-Martin-Hargreaves-James-Flint-Edisi-5-2017

494 Chapter 16 Further topics in integration
REVIEWEXERCISES16
1 Show f (x) =x n andg(x) =x m areorthogonalon
[−k,k] ifn +mis an odd number.
2 Show f (t) = sint andg(t) = cost are orthogonal on
[a,a +nπ].
3 Show f (t) = sinht andg(t) = cosht are orthogonal
over [−k,k].
4 Determine the values ofkforwhich ∫ ∞
0 t k dt exists.
5 Evaluate ifpossible
∫ ∞
(a) u(t)dt
∫0
∞
(b) e −1000t dt
−∞
∫ 0 1
(c)
−2 x +1 dx
∫ ∞
(d) u(t)e −t dt
−∞
∫ 2 1
(e)
−2 x 2 −1 dx
(Note thatu(t)is the unitstepfunction.)
6 Find the values ofkforwhich ∫ ∞
0 e kt dt exists.
7 Evaluate
∫ ∞
(a) (t 2 +1)δ(t −1)dt
−∞
∫ ∞
(b) te t δ(t −2)dt
−∞
∫ ∞
(c) (t 2 +t +2)δ(t −1)dt
−∞
∫ ∞ δ(t +2)
(d)
−∞ t 2 +1 dt
∫ ∞
(e) δ(t +1)δ(t +2)dt
−∞
8 (a) Evaluate
∫ ∞
(t 2 +1)δ(2t)dt
−∞
[Hint: substitutez = 2t.]
(b) Show
∫ ∞
f(t)δ(nt)dt = 1 f(0), n>0
−∞ n
9 Evaluate
∫ ∞
(a) (1+t)δ(t −2)dt
0
∫ ∞
(b) tδ(1+t)dt
−∞
∫ ∞
(c) (1+t)δ(−t)dt
−∞
∫ 0
(d) δ(t−6)+δ(t+6)dt
−∞
∫ 4k
(e) δ(t +k)+δ(t +3k)+δ(t +5k)dt
−2k
k > 0
10 Thefunctiong(t)ispiecewise continuous and
defined by
{ 2t 0t1
g(t) =
3 1<t2
Evaluate
∫ 1
(a) g(t)dt
0
∫ 1.5
(b) g(t)dt
0
∫ 1.7
(c) g(t)dt
0.5
∫ 2
(d) g(t)dt
1
∫ 1.5
(e) g(t)dt
1.3
11 Given
⎧
⎨1+t −1t<3
f(t)= t−1 3t4
⎩
0 otherwise
evaluate
∫ 2
(a) f(t)dt
−1
∫ 4
(b) f(t)dt
−1
∫ 5
(c) f(t)dt
0
∫ ∞
(d) f(t)δ(t −2)dt
−∞
∫ ∞
(e) f(t)u(t)dt
−∞