082-Engineering-Mathematics-Anthony-Croft-Robert-Davison-Martin-Hargreaves-James-Flint-Edisi-5-2017

490 Chapter 16 Further topics in integration
∫ ∞
since f (d)is a constant. But
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
The result
∫ ∞
−∞
−∞
f(t)δ(t −d)dt = f(d)
∫ ∞
−∞
δ(t−d)dt=1
f(t)δ(t −d)dt=f(d)
f(t)δ(t −d)dt = f(d)
δ(t −d)dt =1andhence
is known as the sifting property of the delta function. By multiplying a function, f (t),
by δ(t −d) and integrating from −∞ to ∞ we siftfrom the function the value f (d).
Example16.13 Evaluate the following integrals:
(a)
∫ ∞
−∞
Solution (a) We use
∫ ∞
t 2 δ(t −2)dt
−∞
(b)
∫ ∞
f(t)δ(t −d)dt = f(d)
withf(t) =t 2 andd = 2.Hence
∫ ∞
−∞
0
e t δ(t −1)dt
t 2 δ(t −2)dt=f(2)=2 2 =4
(b) We note thatthe expression e t δ(t −1) is0everywhere except att = 1.Hence
∫ ∞
0
e t δ(t−1)dt =
∫ ∞
−∞
e t δ(t −1)dt
EXERCISES16.4
Using ∫ ∞
f(t)δ(t −d)dt = f(d)
−∞
with f (t) = e t andd = 1 gives
∫ ∞
0
e t δ(t−1)dt =f(1)=e 1 =e
1 Evaluate
∫ ∞
(a) e t δ(t)dt
−∞
∫ ∞
(b) e t δ(t −4)dt
−∞
∫ ∞
(c) e t δ(t +3)dt
−∞
∫ ∞
(d)4 t 2 δ(t −3)dt
−∞