The Nucleon-Nucleon Interaction in a Chiral Effective Field Theory

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etrachtet wurde. In diesem Fall sind solche Vohersagen nicht möglich. • Im Modellraum niedriger Impulskomponenten kann man auch die Nichtlokalitäten im Ortsraum studieren. Wir haben gezeigt, daß für typische Werte des Abschneideparameters das effektive Potential V(x, x') hochgradig nichtlokal ist und daß es vom ursprünglichen lokalen Potential sehr abweicht. Nur für sehr große Werte des Abschneideparameters bekommt man das ursprüngliche lokale Potential wieder. Während diese Doktorarbeit aufgeschrieben wurde, wurde eine ähnliche Arbeit von Bogner und Mitarbeitern [214] durchgeführt. Dies spricht für eine große Aktivität in diesem Feld. In dieser Arbeit hat man effektive Potentiale im Niederimpulsbereich unter Anwendung der Methode gefalteter Diagramme ("folded-diagrams") abgeleitet, die von Kuo, Lee and Ratcliff [215] entwickelt wurde. Als Ausgangspunkt wurden das Bonn-A und das Paris Potential gewählt. Diese Methode führt zu nicht hermiteschen effektiven Potentialen und zur Erhaltung der "half-shell" NN T-Matrix. 2. Zweitens haben wir den realistischen Fall der Kernwechselwirkung betrachtet und eine neue Methode, nämlich den Projektionsformalismus, zur Herleitung der Kräfte zwischen mehreren (zwei, drei, ... ) Nukleonen aus effektiven chiralen Lagrangdichten vorgestellt. Dazu mussten wir zuerst die Regeln für das Abzählen der Impulspotenzen ("power counting") modifizieren, die ursprünglich von Weinberg vorgeschlagen wurden. Diese Modifizierung war notwendig, da im Projektionsformalismus der gesamte Fockraum in die Unterräume mit bestimmter Anzahl von Nukleonen und Pionen aufgespalten wird. Während in zeitgeordneter Störungstheorie die resultierenden Wellenfunktionen nur bis zu einer bestimmten Ordnung in der chiralen Entwicklung orthonormal sind, taucht dieses Problem im Projektionsformalismus gar nicht auf. Ferner hängt das Zweinukleonenpotential in den vorausgehenden Rechnungen im Rahmen der zeitgeordneten Störungstheorie explizit von der Gesamtenergie zweier Nukleonen ab. Diese explizite Energieabhängigkeit des Potentials führt zu Schwierigkeiten bei Anwendungen auf Systeme mit drei und mehr Nukleonen (obwohl sich diese Energieabhängigkeit mit bestimmten N-Teilchen Wechselwirkungen zur führender Ordnung wegkürzt). Wir fassen jetzt die Hauptergebnisse des dritten Kapitels zusammen: • Wir sind von dem allgemeinsten chiral invarianten Hamiltonoperator für nichtrelativistische Nukleonen und Pionen ausgegangen und zerlegten den vollen Fockraum in zwei Unterräume r] and A. Der erste Unterraum enthält nur rein nukleonische Zustände, während im zweiten alle übrigen Zustände enthalten sind. Um einen effektiven Hamiltonoperator herzuleiten, der nur im r]-Raum wirkt, haben wir eine unitäre Transformation durchgeführt, die durch einen Operator AAr] parametrisiert ist, siehe (3.190). Nach einer Projektion A i auf die Zustände mit i Pionen wird aus der Entkopplungsgleichung (3.192) ein unendliches System (3.205) von gekoppelten Gleichungen. Wir haben bewiesen, daß dieses Gleichungssystem störungstheoretisch nach Potenzen der Skala Q kleiner Impulse gelöst werden kann. Dazu haben wir entsprechende Abzählregeln für Impulspotenzen entwickelt und damit die Ordnungen aller Terme in der Gleichung (3.192) analysiert. Wir konnten eine rekursive Vorschrift zur Lösung dieses Gleichungssystems formulieren, so daß die Operatoren A i Ar] für jede endliche Zahl i der Pionen und zu jeder benötigten Ordnung in der Q-Entwicklung berechnet werden können. Der effektive, nur im r]-Unterraum wirkende Hamiltonoperator Heff kann dann aus der Gleichung (3.197) mit Hilfe dieser Regeln (3.223)-(3.229) hergeleitet werden. • Unter Anwendung des Projektionsformalismus haben wir die expliziten Ausdrücke für das Zweinukleonenpotential zur nächstführenden Ordnung angegeben (die führende 111
IV Ordnung des Potentials besteht aus dem Einpionaustausch und zwei Kontaktwechselwirkungen). Insbesondere haben wir auch die Selbstenergie- und Vertexkorrekturen zu solchen Kontaktwechselwirkungen berechnet, die früher nicht betrachtet wurden. • Wir diskutierten ausführlich Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen unserem und dem aus der zeitgeordneten Störungstheorie hergeleiteten Potential. Speziell stellte sich heraus, daß in unserem Formalismus der isoskalare spinunabhängige zentrale und der isovektorielle spinabhängige Anteil, die zu dem Zweipionaustausch gehören, sich wegheben. Darauf wurde zuerst in der Referenz [108] hingewiesen, wobei in dieser Arbeit ein anderer Formalismus benutzt wurde. Der Wegfall der oben angegebenen Beiträge tritt unter Benutzung der zeitgeordneten Störungstheorie nicht auf. Jedoch die wichtigsten Eigenschaften des Potentials im Projektionsformalismus sind seine Energieunabhängigkeit und die Orthonormalität der entsprechenden Wellenfunktionen. • Wir haben die Renormierung des Zweinukleonenpotentials zu der nächstführenden Ordnung (NLO) durchgeführt. Insbesondere haben wir gezeigt, daß alle auftretenden ultravioleten Divergenzen durch eine entsprechende Umdefinition der axialen Kopplungskonstanten gA sowie der verschiedenen Kontaktwechselwirkungen beseitigt werden können. Die renormierten Ausdrücke für das NLO Potential stimmen mit den von der Münchner Gruppe überein, wobei die letzteren mit Hilfe von Feynmann Diagrammen abgeleitet wurden. • Im Abschnitt 3.8.1 haben wir auch die Struktur des Potentials in der nächst-nächstführenden Ordnung (NNLO) im Rahmen unseres Formalismus diskutiert. Dabei hat sich herausgestellt, daß die Ergebnisse in beiden Methoden (im Projektionsformalismus und in der zeitgeordneten Störungstheorie ) gleich sind. Das NNLO Potential wurde mit einer anderer Methode von der Münchner Gruppe berechnet (die aber zu den gleichen Ergebnissen führt) [108]. • Im Abschnitt 3.8.3 haben wir den Projektionsformalismus verallgemeinert, um die Effekte der virtuellen Anregung der ß-Resonanz im Rahmen der "small scale expansion" berücksichtigen zu können. Wir diskutierten die führenden Beiträge der intermediären ß-Anregungen zum Potential. Auch in diesem Fall liefern die beiden Methoden zur Herleitung des Potentials die gleichen Ergebnisse. • Desweiteren haben wir die führenden Beiträge zu der Dreinukleonenkraft betrachtet. Wie in der zeitgeordneten Störungstheorie kürzen sich die verschiedenen Beiträge führender Ordnung gegenseitig weg, so daß die führende Dreinukleonenkraft verschwindet. Der Mechanismus dieses sich Weghebens ist aber in unserem Formalismus anders. Er hängt nicht mit dem Wegheben von Termen zusammen, die durch die Iteration des energieabhängigen Zweinukleonenpotentials erzeugt werden, wie es in der zeitgeordneten Störungstheorie der Fall ist. Stattdessen kann dieses Wegheben in unserem Formalismus auf das Auftreten von den "reduziblen" Diagrammen zurückgeführt werden, deren gen aue Bedeutung im Abschnitt 3.8.1 erklärt ist. Diese Diagramme dienen zur Sicherstellung der Orthonormalität der Wellenfunktionen und werden deswegen manchmal als Wellenfunktionsrenormierungsgraphen bezeichnet. • Wir haben auch die allgemeinste Lagrangdichte d�/.;S.3) für Kontaktwechselwirkungen mit vier nukleonischen Beinchen bis zur Ordnung ßi = 3 konstruiert, die reparametrisierungsinvariant ist (Reparametrisierungsinvarianz ist eine Folge der Lorentzinvarianz der ursprünglichen Theorie, siehe [182]). Die in den vorangehenden Rechnungen [74], [76], [78], [127] verwandte Lagrandichte enthält vierzehn freie Parameter
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Appendix E Anti-symmetrization of t
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