The Nucleon-Nucleon Interaction in a Chiral Effective Field Theory

etrachtet wurde. In diesem Fall sind solche Vohersagen nicht möglich.
• Im Modellraum niedriger Impulskomponenten kann man auch die Nichtlokalitäten im
Ortsraum studieren. Wir haben gezeigt, daß für typische Werte des Abschneideparameters
das effektive Potential V(x, x') hochgradig nichtlokal ist und daß es vom
ursprünglichen lokalen Potential sehr abweicht. Nur für sehr große Werte des Abschneideparameters
bekommt man das ursprüngliche lokale Potential wieder.
Während diese Doktorarbeit aufgeschrieben wurde, wurde eine ähnliche Arbeit von Bogner
und Mitarbeitern [214] durchgeführt. Dies spricht für eine große Aktivität in diesem Feld.
In dieser Arbeit hat man effektive Potentiale im Niederimpulsbereich unter Anwendung
der Methode gefalteter Diagramme ("folded-diagrams") abgeleitet, die von Kuo, Lee and
Ratcliff [215] entwickelt wurde. Als Ausgangspunkt wurden das Bonn-A und das Paris
Potential gewählt. Diese Methode führt zu nicht hermiteschen effektiven Potentialen und
zur Erhaltung der "half-shell" NN T-Matrix.
2. Zweitens haben wir den realistischen Fall der Kernwechselwirkung betrachtet und eine neue
Methode, nämlich den Projektionsformalismus, zur Herleitung der Kräfte zwischen mehreren
(zwei, drei, ... ) Nukleonen aus effektiven chiralen Lagrangdichten vorgestellt. Dazu
mussten wir zuerst die Regeln für das Abzählen der Impulspotenzen ("power counting") modifizieren,
die ursprünglich von Weinberg vorgeschlagen wurden. Diese Modifizierung war
notwendig, da im Projektionsformalismus der gesamte Fockraum in die Unterräume mit bestimmter
Anzahl von Nukleonen und Pionen aufgespalten wird. Während in zeitgeordneter
Störungstheorie die resultierenden Wellenfunktionen nur bis zu einer bestimmten Ordnung
in der chiralen Entwicklung orthonormal sind, taucht dieses Problem im Projektionsformalismus
gar nicht auf. Ferner hängt das Zweinukleonenpotential in den vorausgehenden
Rechnungen im Rahmen der zeitgeordneten Störungstheorie explizit von der Gesamtenergie
zweier Nukleonen ab. Diese explizite Energieabhängigkeit des Potentials führt zu Schwierigkeiten
bei Anwendungen auf Systeme mit drei und mehr Nukleonen (obwohl sich diese
Energieabhängigkeit mit bestimmten N-Teilchen Wechselwirkungen zur führender Ordnung
wegkürzt). Wir fassen jetzt die Hauptergebnisse des dritten Kapitels zusammen:
• Wir sind von dem allgemeinsten chiral invarianten Hamiltonoperator für nichtrelativistische
Nukleonen und Pionen ausgegangen und zerlegten den vollen Fockraum in zwei
Unterräume r] and A. Der erste Unterraum enthält nur rein nukleonische Zustände,
während im zweiten alle übrigen Zustände enthalten sind. Um einen effektiven Hamiltonoperator
herzuleiten, der nur im r]-Raum wirkt, haben wir eine unitäre Transformation
durchgeführt, die durch einen Operator AAr] parametrisiert ist, siehe (3.190).
Nach einer Projektion A i auf die Zustände mit i Pionen wird aus der Entkopplungsgleichung
(3.192) ein unendliches System (3.205) von gekoppelten Gleichungen. Wir haben
bewiesen, daß dieses Gleichungssystem störungstheoretisch nach Potenzen der Skala
Q kleiner Impulse gelöst werden kann. Dazu haben wir entsprechende Abzählregeln
für Impulspotenzen entwickelt und damit die Ordnungen aller Terme in der Gleichung
(3.192) analysiert. Wir konnten eine rekursive Vorschrift zur Lösung dieses Gleichungssystems
formulieren, so daß die Operatoren A i Ar] für jede endliche Zahl i der Pionen
und zu jeder benötigten Ordnung in der Q-Entwicklung berechnet werden können.
Der effektive, nur im r]-Unterraum wirkende Hamiltonoperator Heff kann dann aus der
Gleichung (3.197) mit Hilfe dieser Regeln (3.223)-(3.229) hergeleitet werden.
• Unter Anwendung des Projektionsformalismus haben wir die expliziten Ausdrücke für
das Zweinukleonenpotential zur nächstführenden Ordnung angegeben (die führende
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