Ingenieria_Economica_6ta_Edicion_Leland
Ing economica
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68 CAPÍTULO 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dineroFigura 2.11Serie gradientearitmético convencionalsin la cantidad base.0 1 2 3 4 5n –1G2G3G4Gn(n –2)G(n –1)GEl flujo de efectivo en el año n (CF n ) se calcula comoCF n = cantidad base + (n – 1)GSi se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama de flujo de efectivogeneralizado de gradiente aritmético (creciente), como se muestra en la figura 2.11.Observe que el gradiente empieza entre los años 1 y 2. A éste se le denomina gradienteconvencional.EJEMPLO 2.9Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Esperaobtener ingresos de $80 000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se esperaque los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200 000en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo.SoluciónLa cantidad base es $80 000 y el aumento total de ingresos esAumento en 9 años = 200 000 – 80 000 = 120 000Gradiente = aumenton –1120 000= = $ 15 000 por año9–1El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 2.12.G = $15 000$200 000$185 000$170 000$155 000$140 000$125 000$110 000$95 000$80 0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9AñoFigura 2.12Diagrama para la serie gradiente, ejemplo 2.9.www.FreeLibros.me
SECCIÓN 2.5 Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) 69En el presente texto se derivan tres factores para los gradientes aritméticos: elfactor P/G para el valor presente, el factor A/G para serie anual y el factor F/G parael valor futuro. Existen varias formas para derivarlos. Aquí se usa el factor de valorpresente con pago único (P/F,i,n); aunque se llega al mismo resultado utilizando losfactores F/P, F/A o P/A.En la figura 2.11 el valor presente en el año 0 sólo del gradiente es igual a lasuma de los valores presentes de los pagos individuales, donde cada valor se consideracomo una cantidad futura.P= GPFi ( / , , 2) + 2GPFi ( / , , 3) + 3GPFi( / , , 4)+ K+ [( n– 2) G]( PFin / , , – 1) + [( n– 1) G]( PFin / , , )Factorice G y aplique la fórmula P/F:⎡ 1 2 3P=G⎢+ +⎣( 1+i) ( 1+i) ( 1+i)2 3 4 1n – 2 n – 1 ⎤+ L + +n–n( 1+i)( 1+i)⎥ [2.11]⎦Al multiplicar ambos lados de la ecuación [2.11] por (1 + i) 1 se obtiene:1 ⎡ 1 2 3P( 1+ i)= G⎢+ +⎣( 1+i) ( 1+i) ( 1+i)n – 2 n – 1 ⎤+ L + +nn( 1+i)– ( 1+i)– ⎥ [2.12]⎦1 2 3 2 1Reste la ecuación [2.11] de la ecuación [2.12] y simplifique⎡ 1 11 1 ⎤ ⎡ n ⎤iP = G⎢+ + L + + Gn n n⎣ + i + i + i + i⎥ –1 2 – 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )⎢⎦ ⎣( 1+i)⎥ [2.13]⎦La expresión entre corchetes que se encuentra a la izquierda es la misma que la quese presenta en la ecuación [2.4], donde se derivó el factor P/A. Sustituya la formacerrada del factor P/A de la ecuación [2.6] en la ecuación [2.13] y despeje P paraobtener una relación simplificada.[2.14]La ecuación [2.14] es la relación general para convertir un gradiente aritmético G(sin incluir la cantidad base) para n años en un valor presente en el año 0. La figura2.13a se convierte en el flujo de efectivo equivalente que se indica en la figura2.13b. El factor de valor presente de gradiente aritmético, o factor P/G, se expresaen dos formas distintas:on1⎡( 1+i) – 1 n ⎤( PGin / , , ) =–i⎢ni( i)( i )n⎣ 1+ 1+⎥⎦n( 1+i) – in–1( PGin / , , ) =2 ni ( 1+i)[2.15]www.FreeLibros.me
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SECCIÓN 2.5 Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) 69
En el presente texto se derivan tres factores para los gradientes aritméticos: el
factor P/G para el valor presente, el factor A/G para serie anual y el factor F/G para
el valor futuro. Existen varias formas para derivarlos. Aquí se usa el factor de valor
presente con pago único (P/F,i,n); aunque se llega al mismo resultado utilizando los
factores F/P, F/A o P/A.
En la figura 2.11 el valor presente en el año 0 sólo del gradiente es igual a la
suma de los valores presentes de los pagos individuales, donde cada valor se considera
como una cantidad futura.
P= GPFi ( / , , 2) + 2GPFi ( / , , 3) + 3GPFi
( / , , 4)
+ K
+ [( n– 2) G]( PFin / , , – 1) + [( n– 1) G]( PFin / , , )
Factorice G y aplique la fórmula P/F:
⎡ 1 2 3
P=
G⎢
+ +
⎣( 1+
i) ( 1+
i) ( 1+
i)
2 3 4 1
n – 2 n – 1 ⎤
+ L + +
n–
n
( 1+
i)
( 1+
i)
⎥ [2.11]
⎦
Al multiplicar ambos lados de la ecuación [2.11] por (1 + i) 1 se obtiene:
1 ⎡ 1 2 3
P( 1+ i)
= G⎢
+ +
⎣( 1+
i) ( 1+
i) ( 1+
i)
n – 2 n – 1 ⎤
+ L + +
n
n
( 1+
i)
– ( 1+
i)
– ⎥ [2.12]
⎦
1 2 3 2 1
Reste la ecuación [2.11] de la ecuación [2.12] y simplifique
⎡ 1 1
1 1 ⎤ ⎡ n ⎤
iP = G⎢
+ + L + + G
n n n
⎣ + i + i + i + i
⎥ –
1 2 – 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
⎢
⎦ ⎣( 1+
i)
⎥ [2.13]
⎦
La expresión entre corchetes que se encuentra a la izquierda es la misma que la que
se presenta en la ecuación [2.4], donde se derivó el factor P/A. Sustituya la forma
cerrada del factor P/A de la ecuación [2.6] en la ecuación [2.13] y despeje P para
obtener una relación simplificada.
[2.14]
La ecuación [2.14] es la relación general para convertir un gradiente aritmético G
(sin incluir la cantidad base) para n años en un valor presente en el año 0. La figura
2.13a se convierte en el flujo de efectivo equivalente que se indica en la figura
2.13b. El factor de valor presente de gradiente aritmético, o factor P/G, se expresa
en dos formas distintas:
o
n
1⎡( 1+
i) – 1 n ⎤
( PGin / , , ) =
–
i
⎢
n
i( i)
( i )
n
⎣ 1+ 1+
⎥
⎦
n
( 1+
i) – in–
1
( PGin / , , ) =
2 n
i ( 1+
i)
[2.15]
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