Ingenieria_Economica_6ta_Edicion_Leland

732 CAPÍTULO 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
probabilidad de uso más común en todas las aplicaciones, la cual sitúa exactamente la
mitad de la probabilidad en cualquier lado de la media o del valor esperado. Se utiliza
para variables continuas durante todo el rango de números. La normal se usa para predecir
en forma precisa muchos tipos de resultados, tales como valores IQ*, errores en manufactura
en determinadas características como tamaño, volumen, peso, etcétera; y la distribución
de ingresos por ventas, costos y muchos otros parámetros de un negocio alrededor
de una media específica, razón por la cual es factible aplicarla en esta situación.
La distribución normal identificada por el símbolo N(µ,σ 2 ), donde µ es el valor esperado
o media, y σ 2 es la varianza, o medida de dispersión, puede describirse de la siguiente
manera:
• La media µ ubica la distribución de probabilidad (figura 19.15a) y la dispersión de la
distribución varía con la varianza s 2 (figura l9.15b), haciéndose más dispersa y más
plana para valores mayores de la varianza.
• Cuando se toma una muestra, las estimaciones se identifican como media muestral
–
X para µ y desviación estándar muestral s para σ.
• La distribución normal de probabilidad f(X) para una variable X es bastante complicada,
ya que su fórmula es:
⎡ X
f( X) = exp – ( – )
2
1 ⎧ µ ⎤⎫
⎨ ⎢ 2 ⎥⎬
σ 2π
⎩ ⎣ 2σ
⎦⎭
donde exp representa el número e = 2.71828+ y se eleva a la potencia del término
–[ ]. En resumen, si X recibe valores diferentes, para una media dada µ y desviación
estándar σ, se desarrolla una curva parecida a las de la figura 19.15a y b.
Puesto que f(X) es tan inmanejable, se desarrollan muestras aleatorias y afirmaciones de
probabilidad utilizando una transformación, denominada distribución estándar normal
(DEN), la cual utiliza µ y σ (población) o –X y s (muestra) para calcular los valores de la
variable Z.
desviación de la media X – µ
Población: Z = ––––––––––––––––––––– = ––––––– [19.21]
desviación estándar s
X – – X
Muestra: Z = ––––––– [19.22]
s
La DEN para Z (figura 19.l5c) es la misma que para X, excepto que ésta siempre tiene una
media de 0 y una desviación estándar de 1, y se identifica por el símbolo N(0,l). Por
consiguiente, los valores de probabilidad bajo la curva DEN pueden determinarse
exactamente. Siempre es posible transferir de vuelta los valores originales de la información
de la muestra despejando la ecuación [19.21] para X:
X = Zσ + µ [19.23]
Diversas afirmaciones de probabilidad para Z y X se resumen en la siguiente tabla y se
muestran en la curva de distribución para Z en la figura 19.15c.
*Coeficiente intelectual, por las siglas en inglés.
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