Ingenieria_Economica_6ta_Edicion_Leland

SECCIÓN 19.4 Valor esperado y desviación estándar 717
suma de (valor de la muestra – promedio de la muestra) 2
Muestra: s 2 = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
tamaño de la muestra – 1
[19.11]
En general, la ecuación [19.11] de la varianza muestral se aplica en una forma más
conveniente en términos del cálculo.
s
2
2
2
ΣXi n 2 ΣfX
i i
n
= − X = − X
n − 1 n − 1 n – 1 n − 1
La desviación estándar utiliza el promedio muestral como base sobre la cual medir
la dispersión de la información mediante el cálculo de (X – – X), que puede tener un
signo menos o un signo más. Para medir en forma precisa la dispersión en ambas
direcciones del promedio, (X – – X) se eleva al cuadrado. Con la finalidad de retornar
a la dimensión de la variable misma, se extrae la raíz cuadrada de la ecuación [19.11].
El término (X – – X) 2 se denomina desviación cuadrada media, e históricamente se ha
hecho referencia a s como la raíz de la desviación cuadrada media. La f i en la
segunda forma de la ecuación [19.12] utiliza la frecuencia para calcular s 2 .
Una forma sencilla de combinar el promedio y la desviación estándar consiste
en determinar el porcentaje o fracción de la muestra que está dentro de ±1, ±2 o ±3
desviaciones estándar de la media, es decir,
–
X ± ts para t = 1, 2 o 3 [19.13]
En términos de probabilidad, esto se expresa como:
P( – X – ts ≤ X ≤ – X + ts) [19.14]
Prácticamente todos los valores muestrales estarán siempre dentro del rango de – X de
±3s, pero el porcentaje dentro de ±ls variará dependiendo de la forma como los puntos
de información están distribuidos alrededor de – X. El ejemplo siguiente ilustra el
cálculo de s para estimar σ e incorpora s con el promedio muestral utilizando – X ± ts.
2
EJEMPLO 19.6
a) Utilice las dos muestras del ejemplo 19.5 para estimar la varianza de la población y la
desviación estándar para las facturas de electricidad. b) Determine los porcentajes de cada
muestra que están dentro de los rangos de 1 y 2 desviaciones estándar de la media.
Solución
a) Solamente para fines de ilustración, se aplican las dos reacciones diferentes con el
objetivo de calcular s de las dos muestras. Para la muestra 1 (Norteamérica) con n = 7,
se utiliza X para identificar los valores. La tabla 19.3 presenta el cálculo de Σ(X – – X) 2
para la Ecuación [19.11], con X = $116.29. Los valores resultantes s 2 y s son:
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