Ingenieria_Economica_6ta_Edicion_Leland
Ing economica
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74 CAPÍTULO 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dineroP g =?i = dadag = dadaP g =?i = dadag = dada0 1 2A 13A 1 (1 + g)A 1 (1 + g) 24A 1 (1 + g) 3n0 1 2 3 4A 1 (1 – g)A n –11 (1 – g) 3A 1 (1 – g) 2A 1 (1 – g)na)A 1 (1 + g) n –1A 1b)Figura 2.17Diagrama de flujo de efectivo de una serie gradiente geométrico a) creciente y b) decreciente y valor presente P g .una cantidad inicial A 1 , la cual no se considera una cantidad base, como en el gradientearitmético. La relación para determinar el valor presente total P g para toda la seriede flujo de efectivo puede derivarse al multiplicar cada flujo de efectivo en la figura2.17a por el factor P/F: 1/(1 + i) n .PgA1=( 1+i)1A1( 1+g)A1( 1+g)+ +13( 1+i)( 1+i)⎡ 1 g= A+ i+ 1+⎢⎣1( 1+i)1 2( 1+g)+( 1+i)232A1( 1+g)+ L+n( 1+i)n−1( 1+g)⎤+ L+n( 1+i)⎥⎦n−1[2.20]Se multiplican ambos lados por (1 + g)/(1 + i), se resta la ecuación [2.20] del resultado,se factoriza P g y se obtiene:Se despeja P g y se simplifica.gP⎛1+1 gg1 An1+ i− ⎞⎝ ⎠ = ⎡ ( + )⎢⎣( 1+i)Pgn1 + 11 ⎤−1 + i⎥⎦n⎛ g−⎛1+⎞ ⎞= A ⎜1⎝ + i ⎠ ⎟1 1 g≠i⎜ ⎟[2.21]⎝ i−g ⎠El término entre corchetes en la ecuación [2.21] es el factor de valor presente de laserie gradiente geométrico para valores de g que no son iguales a la tasa de interési. La notación estándar usada es (P/A,g,i,n). Cuando g = i, sustituya i por g en laecuación [2.20] para obtenerPg=⎛ 1 1 1 1 ⎞A1⎜ + + + L+⎟⎝ ( 1+i) ( 1+i) ( 1+i) ( 1+i)⎠www.FreeLibros.me
SECCIÓN 2.6 Factores para series gradiente geométrico 75El término 1/(1 + i) aparece n veces, de modo quePg=nA1( 1+i)[2.22]En resumen, la relación de ingeniería económica y las fórmulas de factor para calcularP g en el periodo t = 0 para una serie gradiente geométrico que inicia en elperiodo 1 en la cantidad A 1 y aumenta por una tasa constante de g cada periodo, sonP g = A 1 (P/A,g,i,n) [2.23][2.24]Es posible derivar factores para los valores equivalentes de A y F; sin embargo, esmás fácil determinar la cantidad P g y luego multiplicarla por los factores A/P o F/P.Como con las series de gradiente aritmético, en las hojas de cálculo no existenfunciones directas para las series gradiente geométrico. Una vez que se han ingresadolos flujos de efectivo, P y A se determinan usando las funciones VPN y PAGO,respectivamente. Sin embargo, siempre es una opción desarrollar en la hoja de cálculouna función que utilice la ecuación del factor para determinar un valor de P, F oA. En el ejemplo 2.11 se demuestra este enfoque para encontrar el valor presente deuna serie gradiente geométrico con las ecuaciones [2.24].EJEMPLO 2.11Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, Inc., desarrollaron unainnovación en un deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificacióncuesta sólo $8 000 y se espera que dure 6 años con un valor de salvamento de $1 300 parael mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1 700 el primeraño, y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente dela modificación y del costo de mantenimiento, tanto a mano como con computadora. Latasa de interés es de 8% anual.Solución a manoEl diagrama de flujo de efectivo (figura 2.18) muestra el valor de salvamento como unflujo de efectivo positivo y todos los costos como negativos. Con la ecuación [2.24] y g ≠i calcule P g . La P T total esP =−8 000 − P + 1 300( P/ F, 8%, 6)Tg6⎡1−(. 1 11/. 1 08)⎤=−8 000 −1 700⎢PF⎣ −⎥⎦+ 13 000( / , 8%, 6)008 . 011 .=−8 000 − 1 700( 5. 9559) + 819. 26 = $ −17 305.85[2.25]www.FreeLibros.me
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74 CAPÍTULO 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
P g =?
i = dada
g = dada
P g =?
i = dada
g = dada
0 1 2
A 1
3
A 1 (1 + g)
A 1 (1 + g) 2
4
A 1 (1 + g) 3
n
0 1 2 3 4
A 1 (1 – g)
A n –1
1 (1 – g) 3
A 1 (1 – g) 2
A 1 (1 – g)
n
a)
A 1 (1 + g) n –1
A 1
b)
Figura 2.17
Diagrama de flujo de efectivo de una serie gradiente geométrico a) creciente y b) decreciente y valor presente P g .
una cantidad inicial A 1 , la cual no se considera una cantidad base, como en el gradiente
aritmético. La relación para determinar el valor presente total P g para toda la serie
de flujo de efectivo puede derivarse al multiplicar cada flujo de efectivo en la figura
2.17a por el factor P/F: 1/(1 + i) n .
P
g
A1
=
( 1+
i)
1
A1
( 1+
g)
A1
( 1+
g)
+ +
1
3
( 1+
i)
( 1+
i)
⎡ 1 g
= A
+ i
+ 1+
⎢
⎣1
( 1+
i)
1 2
( 1+
g)
+
( 1+
i)
2
3
2
A1
( 1+
g)
+ L+
n
( 1+
i)
n−1
( 1+
g)
⎤
+ L+
n
( 1+
i)
⎥
⎦
n−1
[2.20]
Se multiplican ambos lados por (1 + g)/(1 + i), se resta la ecuación [2.20] del resultado,
se factoriza P g y se obtiene:
Se despeja P g y se simplifica.
g
P
⎛1+
1 g
g
1 A
n
1+ i
− ⎞
⎝ ⎠ = ⎡ ( + )
⎢
⎣( 1+
i)
P
g
n
1 + 1
1 ⎤
−
1 + i
⎥
⎦
n
⎛ g
−
⎛1+
⎞ ⎞
= A ⎜
1
⎝ + i ⎠ ⎟
1 1 g≠
i
⎜ ⎟
[2.21]
⎝ i−
g ⎠
El término entre corchetes en la ecuación [2.21] es el factor de valor presente de la
serie gradiente geométrico para valores de g que no son iguales a la tasa de interés
i. La notación estándar usada es (P/A,g,i,n). Cuando g = i, sustituya i por g en la
ecuación [2.20] para obtener
P
g
=
⎛ 1 1 1 1 ⎞
A1
⎜ + + + L+
⎟
⎝ ( 1+
i) ( 1+
i) ( 1+
i) ( 1+
i)
⎠
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