электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

скорости (5.5). Из (3.10) явно следует и ограниченность
интеграла энергии в трехмерном случае
1
=
2
∫
3
E0
d ζ u
что удовлетворяет основному требованию при
формулировке проблемы существования решения
уравнения НС [8]. Наряду с этим выполнено
и указанное в [8] требование неограниченной
гладкости решения для любых интервалов времени
при описании полей скорости и давления.
Отметим, что для полученного точного решения
(3.7) и без усреднения (например, в случае
r
Bt () = 0) интеграл энергии
1 3 r 2
E00
=
2
∫ d xu =
1 3 r 2
= d ξu ˆ
0
det A<∞
2
∫
остается конечным для любого конечного момента
времени, хотя в пределе t → ∞ энергия тоже стремится
к бесконечности степенным образом как O(t 3 )
(см.(3.11)). При этом решение (3.7), (4.2) может быть
продолжено на любое конечное время t *
≥ t 0
в пространстве
Соболева H 0 (R 3 ). Это означает, что и для
случая идеальной (невязкой) среды энергия течения
удовлетворяет требованию, предъявляемому
в [8] для доказательства существования решения
уравнения НС.
При этом, однако, уже интеграл энстрофии в
(5.2) имеет взрывное неограниченное возрастание
(за конечное время t 0
, определяемое из (3.11)),
когда
1
Ω3
≅O( ) t − t
0
2
,
в случае одного действительного положительного
корня уравнения (3.11). Это означает, что полученное
точное решение уравнения ЭГ в виде
(3.7) и (4.2) не может быть продолжено уже в пространстве
Соболева H 1 (R 3 ) на время t *
≥ t 0
, т.е. уже
при q = 1 в определении нормы (В.1). Только учет
вязкости позволяет избежать указанного сингулярного
поведения энстрофии и более высоких
моментов поля вихря, что означает возможность
продолжения решения ЭГ и НС для любых t *
≥ t 0
в
пространстве Соболева H q (R 3 ) уже при любых q ≥ 1.
В [8] при формулировке проблемы существования
решения трехмерного уравнения НС предложено
ограничиться только рассмотрением случая решений
с нулевой дивергенцией поля скорости. При
этом в [8] отмечена важность рассмотрения именно
трехмерных потоков, для которых эффект растяжения
вихревых нитей за конечное время может
приводить к ограничению существования решения
уравнения НС только в малом.
Полученный вывод о существовании гладких
дивергентных решений трехмерного уравнения
НС за счет учета даже малой вязкости указывает и
на допустимость положительного решения проблемы
существования гладких бездивергентных
решений на неограниченном интервале времени.
Действительно, как установлено в (5.6), эффект
растяжения вихревых линий дает гораздо меньший
вклад в реализацию сингулярности решения чем
эффект обрушения вихревой волны в дивергентном
сжимаемом течении. На такую возможность
указывает и неравенство (6.4), а также равенство
(6.2), определяющие величину скорости изменения
интегральной кинетической энергии.
Отметим также, что полученное в [13] точное
решение уравнений ЭГ и РХ дает замкнутое
описание эволюции во времени для энстрофии и
любых более высоких моментов полей вихря, скорости,
давления и плотности. Возможность замкнутого
статистического описания для режимов
турбулентности без давления (моделируемых с
помощью нелинейного трехмерного уравнения
РХ (3.6)) была отмечена впервые в 1991г. в [13].
Отметим, что в работе А.М. Полякова [35] в 1995г.
для трехмерного уравнения РХ со случайной силой
типа белого шума (дельта – коррелированной
во времени) развит общий теоретико – полевой
подход к теории турбулентности и установлена
связь между нарушением галилеевой инвариантностью
и перемежаемостью. При этом, однако,
только в одномерном случае получено конкретное
решение проблемы замыкания в виде (см.
формулу (41) в [35]) явного выражения для распределения
вероятности w (x, y) величины разности
скоростей u в точках удаленных друг от друга
на расстояние y.
В настоящей работе развит подход, позволяющий
уже точно учитывать и давление, благодаря
чему получено аналитическое решение полного
уравнения НС для течения вязкой сжимаемой среды.
При этом фактически решена основная задача
теории турбулентности [1], когда может быть дано
точное представление для совместного характери-
36 | Выпуск 14, Май 2019