электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

r
n 1
d ξρ0( ξ ) ⋅
(2 )
n
tπν
ρ = ∫ r r r (5.9)
2
⎡ ( ξ − x + tu0( ξ))
⎤
⋅exp
⎢−
⎥
⎣ 4tν
⎦
При замене ρ → ω, ρ 0
→ ω 0
в (5.9) получаем выражение
для двумерного поля вихря, поскольку выражения
(5.8) и (4.1) имеют одинаковую структуру.
6. О существовании бездивергентных
решений уравнения НС
Полученное выше гладкое дивергентное решение
уравнения НС (1.1) в виде (3.10), (5.7) уже
самим фактом своего аналитического представления
для произвольных гладких начальных условий
доказывает, что для этого уравнения решена проблема
о существовании и единственности. Важно,
что для моделирования эффекта вязкости при
этом вводилось именно случайное гауссово дельта
– коррелированное во времени поле скорости,
что приводит к эффективной силе вязкости, которая
структурно точно соответствует силе вязкости
в уравнении НС в отличие от рассмотренных
в [16, 17] более высоких производных, чем лапласиан в
определении силы вязкости.
Проведем сравнительный анализ интегральных
величин для дивергентных и бездивергентных
течений, характеризующих эволюцию во
времени интегральной кинетической энергии, конечность
которой в [8] является основным критерием
существования решения уравнения НС.
Для этого рассмотрим уравнение баланса интегральной
кинетичес кой энергии (2.5) при условии
(2.11), которое заменило предположение о нулевой
дивергенции поля скорости и обеспечило
замкнутость системы уравнений (1.1), (1.2) для случая
дивергентных течений сжимаемой среды. При
этом из (2.5) получаем выражение
dE
= −η F;
dt
(6.1)
3 ∂ui
2
F=
∫ dx( )
∂xk
Уравнение баланса (6.1) по форме точно совпадает
с уравнением баланса интегральной кинетической
энергии для бездивергентного течения несжимаемой
жидкости, приведенным в [4] (см. формулу
(16.3)). В отличие от формулы (16.3) из [4] в формулу
(6.1) входит именно дивергентное поле скорости,
имеющее ненулевую дивергенцию и описывающее
движение сжимаемой среды. При этом для дивергентного
течения функционал F в (6.1) связан с энстрофией
3 2
Ω
3
=∫ d x ( rotu r
)
следующим соотношением
F =Ω
3+
D3;
r
D3
= ∫ d x( divu)
3 2
(6.2)
При этом для дивергентного решения уравнения
НС правая часть (6.2) при прочих равных условиях
заведомо превышает величину функционала
F = F 0
= Ω 3
для решения с нулевой дивергенцией
поля скорости.
Для полученного точного решения выражение
для энстрофии Ω 3
в правой части (6.2) имеет вид
(5.2), а для интеграла от квадрата дивергенции из
(5.5) и (3.8) получаем выражение
∫
det Aˆ
ξ ⎛ ∂ ⎞
⎜ ∂t
⎟
⎝ ⎠
3
D3
= d ⎜ ⎟ A
(6.3)
Из сравнения (6.3) и (5.2) следует, что вблизи
сингулярности решения при t → t 0
(см.(3.11)) величины
первого и второго членов в правой части
(6.2) имеют одинаковый порядок величины.
Сделаем, кроме того, для функционала F в (6.1)
следующую оценку сверху на основе использования
неравенства Коши – Буняковского:
Согласно (6.2) – (6.4) дивергентные течения при
прочих равных условиях имеют заведомо большую
величину функционала F по сравнению с бездивергентными
течениями, для которых отсутствует
второе слагаемое в квадратной скобке в правой
части (6.4). Из этого рассмотрения ясно, что вывод
о существовании гладких без дивер-гентных
решений для урав нения НС должен следовать из
доказанного факта существования ди вергентных
гладких решений уравнения НС на неограниченном
интервале времени при учете эффективной
вязкости или внешнего трения при условии (5.3).
Выводы
Итак, в (3.10), (5.7) и (5.9) представлено аналитическое
решение уравнения НС (1.1) и уравнения
неразрывности (1.2) для дивергентных течений,
имеющих ненулевую величину дивергенции поля
2
/ det ˆ
2
2 3 3 2 3 2
F ⎡
r r
dxu u⎤
r r
= ∆ ≤ dxu dx( ∆ u)
=
⎣∫ ⎦ ∫ ∫
3 r2 3 r 2 r 2
= d xu d x ⎡
⎣( rotrotu) + ( graddivu)
⎤
⎦
∫
∫
(6.4)
Выпуск 14, Май 2019 | 35