электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

ваемых здесь дивергентных течений сжимаемой
среды.
Действительно, для дивергентных течений невязкой
среды имеют место следующие из уравнения ЭГ
(1.3) (при ν = 0 в (1.3)) уравнения баланса энстрофии
в двумерном и трехмерном случаях:
dΩ 2 = −
2 2
d ξω divu
dt
∫
dΩ3
3 ∂ui
= 2 d ξωiωk
− (5.4)
dt
∫
∂ ζ
k
3 2 r
− d ξω divu
∫
Из (5.4) видно, что в трехмерном случае эволюция
энстрофии Ω 3
во времени определяется не только
эффектом растяжения вихревых нитей (первым
членом справа), но и вторым членом, обусловленным
конечностью величины дивергенции поля скорости.
Для двумерного течения эволюция во времени энстрофии
Ω 2
осуществляется только при отличии от
нуля дивергенции поля скорости течения.
Для решения (3.7) величина дивергенции поля
скорости имеет вид [13]:
∂uk
=
∂xk
(5.5)
det ˆ
n ∂ A r r r r r
= ∫ d ξ δξ ( − x + B( t) + tu0( ξ))
.
∂t
Интеграл по всему неограниченному пространству
от правой части (5.5) равен нулю в
силу выполнения тождеств (3.9) и условия обращения
в нуль на бесконечности для начального
поля скорости. В результате, для рассматриваемого
решения имеет место равенство
n
∫ d xdivu r
= 0 ,
обеспечивающее закон сохранения полной массы
жидкости и точной взаимной интегральной компенсации
интенсивностей распределенных источников
и стоков.
Для трехмерного случая в (5.4) можно на основе
(3.7), (3.8), (3.9), (4.2) и (5.5) получить точные
выражения для первого и второго членов в
правой части (5.4), которые описывают вклад в
скорость роста энстрофии от эффекта растяжения
вихревых нитей и от ненулевой дивергенции
поля скорости, соответственно. Нетрудно
убедиться в том, что точно такие же выражения
для указанных двух членов получаются и при
прямом дифференцировании выражения для
энстрофии в (5.2), в результате которого имеет
место равенство
i
dΩ 3 =
dt
∂u
∂u
= 2 d ξω ( + tω ) ω / det Aˆ
−
∫
3 0i
0i
0i 0k 0m
∂ξk
∂ξm
∂u
∂ det Aˆ
− d ξω ( + tω
) / det Aˆ
∫
3 0i
2 2
0i
0k
∂ξk
∂t
.
(5.6)
В (5.6) первый и второй члены в правой части
точно соответствуют первому и второму члену
в правой части (5.4). Из (5.6) следует, что для невязкого
случая оба эти члена стремятся к бесконечности
при t → t 0
, когда det  → 0 согласно (3.11).
Первый член в правой части (5.6) соответствует эффекту
растяжению вихревых нитей. Его подынтегральное
выражение пропорционально величине
O (1 ∕ det Â). Очевидно, что он вносит относительно
меньший вклад в скорость взрывного возрастания
энстрофии по сравнению со вторым членом в
(5.6), подынтегральное выражение которого пропорционально
величине O (1 ∕ det 2 Â) и который
существует только для случая дивергентных течений
с ненулевой дивергенцией поля скорости.
Поскольку, как отмечено выше, учет вязкости (в
частности, при учете внешнего трения, когда выполнено
условие (5.3)) приводит к регуляризации
даже дивергентных решений уравнения НС, то
можно ожидать, что это возможно и для решений
с нулевой дивергенцией. Для них аналогичная регуляризация,
видимо, окажется возможной в силу
относительно более слабого (в отмеченном выше
смысле) эффекта растяжения вихревых линий по
сравнению с процессом обрушения волн в дивергентном
течении. Этот вопрос также обсуждается
в следующем параграфе.
4. Из (2.11) и (5.5) после усреднения с гауссовой
плотностью распределения вероятности для случайного
поля B k
(t) получаем с учетом (3.2) следующее
представление для давления
(5.7)
Выражение для плотности, соответствующее
уравнениям (1.2) и (3.6) имеет вид [12]:
r r
n
r r r v
ρ = d ξρ ( ξ ) δ ( ξ − x + B( t) + tu ( ξ )).
(5.8)
∫
η
p = ( ζ + ) ⋅
3
det ˆ
n ∂ A 1
⋅∫
d ξ
⋅
n
∂t
(2 tπν
)
r r r r
2
⎡ ( ξ − x + tu0( ξ))
⎤
⋅exp
⎢−
⎥
⎣ 4ν
t ⎦
0 0
После усреднения в (5.8) с учетом (3.2) получаем
гладкое при любых временах выражение для
плотнос ти среды
34 | Выпуск 14, Май 2019