электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

=
∫
H = ωkuk
=
r 2
∂ uo
ξ( ω + ω ( )) ⋅
∂ξ
j
2
r r r r r
⋅δξ
( − x + B( t) + tu ( ξ))
3
d u0k 0k t
0 j
После усреднения в (4.1) – (4.3) по случайному
r
гауссову полю Bt () с учетом (3.2) получаем выражения,
в которых под знаком интеграла в (4.1) –
(4.3) надо на место дельта – функции подставить
экспоненту с нормирующим множителем, как и в
(3.10). Только после указанного усреднения обеспечивается
существование на любом отрезке
времени не только самих усредненных величин
поля вихря и спиральности, но и соответствующих
им высших производных и более высоких
моментов. В частности, это имеет место для величины
энстрофии (интеграла от квадрата завихренности
по всему пространству) и более высоких
моментов поля вихря, для которых явные аналитические
выражения элементарно получаются в
следующем параграфе без решения какой-либо проблемы
замыкания.
2. В лагранжевых переменных выражения,
соответствующие эйлеровым полям вихря (4.1),
(4.2) и спиральности (4.3), можно представить в
r
виде (в случае, когда Bt () = 0:
ω ( r
r
) 0
a
ω ( at ,) =
det Aat ˆ r
(4.4)
( , )
r
r r ∂u0i
( a)
( ω0i( a) + tω0m( a) )
r
∂am
ωi
( at ,) =
det Aat ˆ r
(4.5)
( , )
0
(4.3)
Представления для трехмерных полей вихря
(4.2) и скорости (3.7) точно удовлетворяют трехмерному
уравнению Гельмгольца (1.3), в котором,
как отмечено выше, надо удалить последний член
в правой части (1.3) и ввести случайное поле скорости
Vt () для описания эффективной вязкости.
r
В этом можно убедиться путем прямой подстановки
в (1.3) решения (4.2) и (3.7). Для этого надо
при рассмотрении нелинейных членов использовать
равенство r r r r r
δξ ( − x + B( t) + tu0( ξ))
⋅
r r r r r
⋅δξ
(
1− x + B( t) + tu0( ξ1))
=
r r r r r
= δξ ( − x + B( t) + tu0( ξ))
⋅
r r r r r r
⋅δξ ( − ξ+ tu ( ( ξ) −u( ξ)))
,
1 0 1 0
а также тождества: (3.8), (3.9) и
r
−1 ∂u0k
ω0m( ξ) = Amk ( ω0k + tω0
j
) .
∂ξ
j
где
r2
r
r r r ∂ u0
( a)
( u0k( a) ω0k( a) + tω0k( a) ( ))
r
∂a0k
2
Hat ( ,) =
det Aat ˆ r
( , )
( r
ˆ
∂u
) 0 i
a
det A= det( δim
+ t ) .
∂a
Из (4.4) – (4.6) следует, что для лагранжевой
жидкой частицы сингулярность величины вихря
в двумерном и трехмерном случаях, а также
сингулярность спиральности имеет место при
t → t 0
, когда ˆ r
det Aat ( , ) → 0 и величина конечного
времени существования соответствующих гладких
полей определяется из лагранжевого аналога
условия (3.11). При этом из (4.5) и (4.6) следует,
что трехмерный эффект растяжения вихревых
линий приводит только к более слабому степенному,
а не взрывному возрастанию величин вихря
и спиральности в отличие от катастрофического
процесса обрушения вихревых волн за конечное
время t 0
именно для дивергентного течения сжимаемой
среды.
Отметим, что в [23] (см. формулу (23) в [23])
получено представление решения уравнения ЭГ
(1.3) (при нулевой вязкости) в виде
ω ( r
) ( r
,)
0 k
a ∂Ri
at
ωi
=
(4.7)
J ∂a
В (4.7) J = det (∂x n
∕ ∂a m
) – якобиан преобразования
к лагранжевым переменным a r . При этом
ωr ( a r ) 0
– новый инвариант Коши (совпадающий с
начальной завихренностью) и характеризуемый
нулевой дивергенцией
∂ω ( r
) 0 k
a
= 0 , a
∂a
i
k
r
x=
R( at ,) и
i
r
dR V ( ,) ,
n Rt
dt =
r r
k
m
(4.6)
где V r n
– компонента скорости нормальная к вектору
завихренности так что для нее divVn
≠ 0 [22].
r
В отличие от (4.1) и (4.2), выражение (4.7) не
дает явного представления для решения уравнения
ЭГ, поскольку в (4.7) не приведена какая-либо
определенная зависимость для якобиана и вектора
R r . В то же время, имеется структурное соответствие
между (4.7) и (4.1), (4.2), а для случая
движения лагранжевых жидких частиц по инерции,
по крайней мере, для якобиана в (4.7) можно
32 | Выпуск 14, Май 2019