электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

времени t. Например, в случае двумерного течения
с нулевой начальной дивергенцией поля скорости
r
divu
0
= 0 необходимым и достаточным условием
реализации сингулярности (коллапса) решения за
конечное время согласно (3.11) является условие
detU
012
< 0
(3.12)
Для рассмотренного выше примера из (3.12)
следует неравенство
2 2
x1 x1
1
+ >
2 2
,
L L 2
1 2
при выполнении которого для n = 2 имеется действительное
положительное решение квадратного
уравнения в (3.11), для которого получено приведенное
выше минимальное значение времени коллапса
t
e LL
1 2
0
= > 0
2a
Наоборот, если начальное поле скорости определено
в виде финитной функции с носителем в
области
2 2
x1 x2
1
+ ≤
2 2
,
L L 2
1 2
то неравенство (3.12) нарушается и уже оказывается
невозможным возникновение сингулярности
за конечное время и решение остается гладким
неограниченное время даже без учета эффектов
вязкости.
Условие существования действительного положительного
решения уравнения (3.11) (см., например,
(3.12)) является необходимым и достаточным
условием реализации сингулярности (коллапса)
решения в отличие от достаточного, но не необходимого
интегрального критерия, предложенного в
[22] (см. формулу (38) в [22]) и имеющего вид
dI
3 r 2
( ) ˆ
t= 0
=− d xdivu0det U
0
0;
dt
∫
>
3 2
I=
dxdet
Uˆ
∫
(3.13)
Действительно, согласно этому критерию, предложенному
в [22], коллапс решения невозможен
для случая, когда начальное поле скорости является
r
бездивергентным, т.е. divu
0
= 0 . При этом, однако,
нарушение критерия (3.13) не исключает возможности
коллапса решения в силу того, что критерий
(3.13) не определяет необходимое условие реализации
коллапса. В самом деле, в рассмотренном выше
примере (при определении минимального времени
реализации коллапса
.
e LL
1 2
t0
=
)
2a
для двумерного сжимаемого течения начальное
условие соответст вовало именно начальному
r
полю скорости с divu
0
= 0 в (3.11) при n = 2.
4. На основе решения (3.7) можно, с использованием
(3.8) и лагранжевых переменных a r (где
x r = x r (, t a r ) = a r + tu r ( a
r )),
представить выражение для матрицы первых производных
от скорос ти Û im
= ∂u i
∕ ∂x m
в виде:
Uˆ
r
at Uˆ
r r
aA at (3.14)
−1
im( , ) =
0ik ( )
km( , )
При этом выражение (3.14) точно совпадает с
приведенной в [21] формулой (30) для лагранжевой
эволюции во времени матрицы первых производных
скорости, удовлетворяющей трехмерному
уравнению РХ (3.6) (в [22] уравнение (3.6) рассмотрено
только при Bt () = 0). В частности, в одномерном
r
случае при n = 1 из (3.7) и (3.8) получаем в лагранжевом
представлении частный случай формулы (3.14):
∂uxt
(,)
( )
∂x
x=
x( at ,)
0
du0( a)
= da
du0( a)
1+
t
da
, (3.15)
где а – координата жидкой частицы в начальный
момент времени t = 0.
Решение (3.15) также совпадает с формулой (14)
в [22] и описывает катастрофический процесс
обрушения простой волны за конечное время t 0
,
оценка которого приведена выше на основе решения
уравнения (3.11) при использовании переменных
Эйлера.
4. Точное аналитическое решение
уравнения ЭГ и Римана – Хопфа (РХ)
1. Полю скорости (3.7) соответствует точное решение
для поля вихря, имеющего в двумерном и
трехмерном случаях следующий вид [13]:
r
ω(,)
xt =
r r
2
r r r r (4.1)
= d ξω ( ξ ) δ ( ξ − x + B( t) + tu ( ξ ))
∫
0 0
r
ωi
(,) xt =
r
r
3 ∂u0i
( ξ )
d ξω (
0i( ξ) + tω0
j
) ⋅ (4.2)
= ∫
∂ξ
j
r r r r r
⋅δξ
( − x + B( t) + tu0( ξ))
r r
где ω
0
= rotu0
в (4.2), а в (4.1) ω 0
– начальное распределение
завихренности в двумерном случае.
Решению (4.2), (3.7) соответствует следующее точное
выражение для спиральности
Выпуск 14, Май 2019 | 31