электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

уравнения (3.4) (и уравнения (1.1) при условии
(2.11)) в следующем виде
r
n ˆ 1
ui = ∫ d ξu0i( ξ) det A ⋅
n
(2 πν t )
r r r r (3.10)
2
⎡ ( x −ξ
−tu0( ξ))
⎤
⋅exp
⎢−
⎥.
⎣ 4ν
t ⎦
Усредненное решение (3.10), в отличие от (3.7),
является уже сколь угодно гладким на любом неограниченном
отрезке изменения времени, а не только
при условии положительности детерминанта
матрицы Â.
r
3. Без учета сил вязкости, когда в (3.7) Bt () = 0,
гладкое решение (3.7), как уже отмечалось, определено
лишь при условии det  > 0 [13]. Оно соответствует
ограниченному интервалу времени 0 ≤ t < t 0
,
где величина предельного минимального времени
существования решения определяется из решения
следующего алгебраического уравнения порядка
n (и последующей минимизации полученного
выражения, зависящего от пространственных
координат, по этим координатам):
ˆ du ( x )
det At ( ) = + t = , n=
dx
где det Û 0
– детерминант трехмерной матрицы
U 0nm
= ∂u 0n
∕ ∂x m
, а
ˆ ∂u01 ∂u02 ∂u01 ∂u02
detU
–
012
= −
∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
детерминант аналогичной матрицы в двумерном
случае для переменных (x 1
, x 2
). При этом det Û 013
, det
Û 023
– детерминанты матриц в двумерном случае
для переменных (x 1
, x 3
) и (x 2
, x 3
), соответственно.
Отметим, что в двумерном случае (3.11) точно
совпадает с условием коллапса, полученным в [24] в
связи задачей о распространении фронта пламени,
исследованной на основании уравнения Сивашинского
(В.2). Для точного совпадения надо при этом
в (3.11) заменить
t→ bt =
01 1
1 0 1
ˆ r
det A( t)
= 1+ tdivu0
+
+ det ˆ = 0,
= 2
2
t U012
n
ˆ r
det A( t)
= 1+ tdivu0
+
2
+ t (detUˆ ˆ ˆ
012
+ detU013 + det U023)
+
+ ˆ = 0 = 3
3
t det U0
, n
Us 0
1
() (exp( γ t ) − )
1
γ
0
.
(3.11)
В одномерном случае при n = 1 из (3.11) имеем минимальное
временя возникновения сингулярности
1
t0
= > 0.
du01( x1)
max
dx
В частности, при начальном распределении
2
x1
u01( x1) = aexp( − ), a > 0
2
L
получаем
для значения
x
L
t0
=
a
1 1max
При этом сама реализация сингулярности может
иметь место только при положительных значениях
координаты x 1
> 0, когда уравнение (3.11) имеет
положительное решение для величины времени.
Это означает, что сингулярность (коллапс)
гладкого решения никогда не сможет наступить в
случае, когда начальное поле скорости отлично от
нуля только при отрицательных значениях пространственной
координаты x 1
< 0.
Аналогичным образом определяется минимальная
величина времени опрокидывания волны t 0
и
при n > 1. Так для (3.11) в двумерном случае (при
начальном поле скорости с нулевой дивергенцией)
для начальной функции тока в виде
0 1 2
x x
= a LL exp( − − ), a>
0
2 2
1 2
1 2 2 2
L1 L2
1
ψ ( x , x ) =
минимальная величина времени существования
гладкого решения получается равной
e LL
1 2
t .
0
=
2a
Указанное минимальное время существования
гладкого решения в рассматриваемом примере реализуется
для значений пространственных переменных,
соответствующих точкам эллипса
x
L
= x =
x
+ = 1
2 2
1 2
2 2
1
L2
Согласно (3.11) необходимым условием реализации
сингулярности является условие существования
действительного положительного решения
квадратного (при n = 2) или кубического
уравнения (при n = 3) относительно переменной
e
2
L
2
.
.
30 | Выпуск 14, Май 2019