электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

где угловые скобки соответствуют операции усреднения
по случайному гауссову полю скорости V i
(t).
При выводе уравнения (3.4) из (3.1), (3.2) кроме
неравенства (3.3) используется следующее соотношение
(являющееся следствием формулы Фуруцу – Новикова
[29–31]):
Уравнение (3.4) и без условия (3.3) может соответствовать
уравнению (3.1), если наряду с (3.5) выполнены
равенства
u = u ,
(см. [32]) и если в (3.1) предварительно провести
замену
η η
→ min( ) = ν .
ρ ρ
Такое расцепление корреляций возможно при
точном разделении временных масштабов, связанных
с крупномасштабными инерционными
движениями и движениями с характерным масштабом
вязкой диссипации [32, 23].
2. Вместо того чтобы для нахождения среднего
поля скорости
‹ i› u приближенно решать (см., например,
[32]) проблему замыкания при рассмотрении
непосредственно уравнения (3.4) воспользуемся
исходным уравнением, из которого точно следует
именно уравнение (3.4). Это исходное уравнение
имеет вид n- мерного уравнения РХ [10, 13, 22]:
Если взять операцию ротора от левой части
уравнения (3.6), то в точности получится уравнение
Гельмгольца (1.3), в котором только надо удалить
член ν Δ ω i
r r
и произвести замену u→
u+ Vt
r
().
Уравнение (3.6), как показано в [13], имеет следующее
точное решение для случая произвольной
размерности пространства (n = 1, 2, 3 и т. д.):
r
ui
(,) xt =
r r
n
r r r r
ˆ (3.7)
= d ξu ( ξδξ ) ( − x + B( t) + tu ( ξ)) det A
где
∫
∂
u
∂ui
Vk
∂x
01
1
r
k
=
0k
− −
∂ui
∂ui
+ ( uj
+ Vj( t))
= 0 (3.6)
∂t
∂x
тождеств [13]:
j
r r r r r
∂δξ
( − x + B( t) + tu0( ξ))
∂xm
r r r r
−1 ∂δξ− x + B t + tu0
≡−Akm
∂ξk
r r r r r r
1
tu0 1
u0
r r
δξ (
1
−ξ)
≡
det Aˆ
0i
0
t
0
dV τ
i
τ ˆ
∂u
n
A≡ Anm
= δnm
+ t ,
0
∂ ξm
Bt
i() = ∫ ( )
i
∂t
k
j
i
∂ui
uj
∂x
∂u
i
+ uj
= ν∆
∂xj
=−∆ ν
i
j
u
∂ui
= uj
∂x
i
u
i
, (3.4)
(3.5)
det  – детерминант матрицы Â, а u ( ) 0 i
x r – произвольное
гладкое начальное поле скорости. Решение
(3.7) удовлетворяет уравнению (3.6) только при
таких временах, для которых при любых значениях
пространственных координат величина детерминанта
матрицы Â является положительной, т.е.
det  > 0. Поэтому везде далее будем это учитывать и,
соответственно, не будет использоваться знак модуля
при написании det Â, если не оговорено обратное.
Решение (3.7) только в случае потенциальности
начального поля скорости является потенциальным
безвихревым, соответствуя нулевому полю
вихря, для всех последующих моментов времени.
Наоборот, оно является вихревым и определяет
эволюцию поля вихря при ненулевом начальном
поле вихря (см. следующий параграф). Далее
ограничимся рассмотрением только вихревых
решений (3.7). Отметим, однако, что в [24] получено
именно потенциальное решение двумерного
уравнения РХ (3.6) (при B r = 0 в (3.6)) в лагранжевом
представлении, которое точно следует и
из (3.7) при n = 2, как уже отмечено во Введении в
связи с возможностью описания решения уравнения
Сивашинского (В.2) с помощь потенциального
решения (3.7).
Для одномерного случая с n = 1 имеем в (3.7)
det ˆ du
A= 1+
t dξ
и решение (3.7) точно совпадает с решениями, приведенными
в [33, 34]. Решение (3.7) получается,
если использовать интегральное представление
для неявного решения уравнения (3.6) в виде
r r r r
u( xt ,) u ( x Bt () tuxt ( ,))
с использованием дельта-функции и следующих
r
( ( ) ( ξ)) ;
δξ ( − ξ+ ( ( ξ) − ( ξ)))
≡
(3.8)
(3.9)
где А -1 km – матрица обратная матрице А km .
После усреднения по случайному полю B i
(t) (с
гауссовой плотностью распределения вероятностей)
из (3.7) можно получить точное решение
≡
Выпуск 14, Май 2019 | 29