электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

шей, чем скорость роста интегральной энтропии,
приведенная в формуле (49.6) в [4]. Действительно, в
(49.6) присутствует член, пропорциональный коэффициенту
второй вязкости, а в (2.9) такого члена
уже нет при условии (2.11). Этому уменьшению скорости
роста энтропии в (2.9) соответствует при условии
(2.11) и относительное уменьшение скорости
диссипации кинетической энергии в (2.5) по сравнению
с выражением (79.1) в [4]. При этом имеет место
сходство с принципом минимума производства
энтропии И. Пригожина (см. в [10]).
Итак, для дивергентных течений сжимаемой
среды получено дополнительное уравнение (2.11),
которое замыкает эту систему (1.1), (1.2), исходя из
требования положительной определенности скорости
роста интегральной энтропии в (2.9) и отрицательной
определенности скорости диссипации
интегральной кинетической энергии в (2.5). Поэтому
уравнение (2.11) для дивергентных течений
сжимаемой среды должно заменять условие бездивергентности,
обычно используемое для замыкания
системы (1.1), (1.2) в случае приближения
несжимаемой среды.
3. Новое дивергентное решение
уравнения НС
1. Условие (2.11) определяет точную взаимную
компенсацию нормальных напряжений давления
и нормальных вязких напряжений сжимаемого
дивергентного течения. В результате такой компенсации
обращается в нуль второй член в правой
части уравнения (1.1). Уравнение (1.1) при этом
точно совпадает с n- мерным обобщением уравнения
Бюргерса:
∂u
∂
∂u
u
i
i
+
j
= ∆
i
t ∂xj
ρ
(3.1)
При этом система (1.2), (3.1) уже является замкнутой
и описывает эволюцию плотности и поля
скорости движения среды по инерции при наличии
затухания, связанного только с действием сдвиговых
вязких напряжений, соответствующих ненулевой
правой части уравнения (3.1).
Если же в (3.1) коэффициент вязкости равен
нулю, то из (3.1) получается n- мерное уравнение
РХ, для которого в [13] получено точное вихревое
решение, рассмотренное далее и обобщенное для
случая учета внешнего трения или эффективной
вязкости. Отметим, что в отличие от проведенного
η
u
здесь и в [13] рассмотрения вихревых решений,
ранее исследовались лишь безвихревое решение
уравнения (3.1), соответствующее потенциальному
течению и получаемое при использовании модификации
нелинейного преобразования Коула –
Хопфа [27, 28].
u → u + V()
t ,
Пусть в (3.1) осуществлена замена
где V i
(t) случайное гауссово дельта-коррелированное
во времени по ле скорости, для которого
V() tV( τ ) = 2νδ δ( t−τ
)
i j ij
V()
t = 0
i
i i i
(3.2)
имеют место соотношения
В (3.2) δ ij
– символ Кронекера, δ – дельта-функция
Дирака – Хэвисайда, а коэффициент ν характеризует
действие сил вязкости. Он в общем
случае может зависеть от времени, описывая эффективную
турбулентную вязкость, но может и
совпадать с постоянным коэффициентом кинематической
вязкости, когда рассматриваемое случайное
поле скорости соответствует молекулярным
флуктуациям. Ограничимся рассмотрением
случая, когда этот коэффициент в (3.2) является
постоянным, но достаточно большим по величине
так, что имеет место неравенство, позволяющее
пренебречь членом в правой части (3.1):
η
ν >>
(3.3)
min( ρ)
где min (ρ) – абсолютный минимум величины
плотности среды в пространстве и во времени.
Указанная замена в (3.1) с введением случайного
поля скорости, как уже отмечалось во Введении,
соответствует применяемому в [15] методу
получения стохастического уравнения НС не за
счет использования случайной силы, а путем добавления
случайной скорости к полю скорости,
входящему в обычное детерминированное уравнение
НС. Здесь, в отличие от [15], рассмотрен
случай, когда такое случайное поле скорости зависит
только от времени (в [15] такое поле скорости
называется дрейфовой частью крупномасштабного
неоднородного случайного поля) и его
учет эквивалентен введению силы объемной вязкости,
которая по структуре совпадает с обычной
силой трения в уравнении НС.
Из уравнения (3.1), усредненного с учетом (3.2)
при условии (3.3), получаем уравнение
28 | Выпуск 14, Май 2019