электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019
Очередной номер нашего журнала - не совсем обычный. Нами постоянно анализируется не только интерес читателей к журналу, но и то, как новая наука кардиометрия понимается рядовыми врачами и насколько они применяют её на практике. Бесспорно, математические основы гемодинамики очень тяжелы в понимании не только врачу, но даже подготовленному человеку. Очередной номер нашего журнала - не совсем обычный. Нами постоянно анализируется не только интерес читателей к журналу, но и то, как новая наука кардиометрия понимается рядовыми врачами и насколько они применяют её на практике. Бесспорно, математические основы гемодинамики очень тяжелы в понимании не только врачу, но даже подготовленному человеку.
равенства нулю дивергенции поля скорости длятечений несжимаемой жидкости.Для этого получим уравнения баланса энергии иэнтропии, которые следуют из (1.1), (1.2), а также изобычных термодинамических соотношений [26]. Вслучае однокомпонентной среды эти соотношенияимеют вид [26] (см. (14.3), (15.6) и (15.7) в [26]):pε = Ts − +Φρdp− sdT + = dΦρpdε= Tds + dρ2ρ(2.1)В (2.1)–(2.3) Т – температура, а ε, s, Ф – внутренняяэнергия, энтропия и термодинамическийпотенциал или свободная энергия Гиббса (единицымассы среды), соответственно [26]. При этомуравнение (2.3) непосредственно следует из уравнения(14.3) в [26] и точно согласуется с уравнениями(2.1) и (2.2) (совпадающими с уравнениями(15.7) и (15.6) в [26], соответственно) при любыхФ. Для рассматриваемой однокомпонентной средыпри условии неизменности ее числа частиц будемдалее предполагать, что в (2.1) и (2.2) dФ = 0 илиФ = Ф 0= const.Уравнение (2.3) используется далее в форме(см. также [4] на стр. 272):∂ε∂sp ∂ρ= T +2∂t ∂t ρ ∂t(2.2)(2.3)(2.4)2. На основе уравнений (1.1), (1.2) можно получитьследующее уравнение баланса интегральнойкинетической энергии12E =2∫ d nxρu:dEdt∫∂ud x( )∂xn i 2=− η +n ⎡ η r ⎤+ ∫ d x ⎢p− ( ζ + ) divu divu3⎥⎣⎦Для бездивергентного течения несжимаемойвязкой среды формула (2.5) точно совпадает с формулой(16.3) в [4] и служит ее обобщением для случаятечения сжимаемой вязкой среды. Для выводауравнения (2.5) достаточно скалярно умножитьуравнение (1.1) на вектор ρ u i, уравнение (1.2) умножитьна скаляр u r 2 2 , сложить получившиесявыражения и проинтегрировать по всему пространству.k(2.5)Отметим, что в случае идеальной (невязкой) средыиз (2.5) следует, что интегральная кинетическаяэнергия является инвариантом только для бездивергентныхтечений, а для дивергентных теченийинвариантом является лишь полная интегральнаяэнергия23Eh= dxρ ( + ρε)∫сохранение которой предполагается и для вязкойсреды [4].3. Выведем для вязкой сжимаемой среды уравнениебаланса полной энергии и соответствующее емууравнение баланса энтропии, исходя из уравнений(1.1), (1.2), (2.1) и (2.4). В отличие от вывода, приведенногов [4], используем непосредственно уравнение(2.1), записанное с учетом отмеченного вышеравенства Ф = Ф 0= const. В результате, с учетом (2.1)получаем из (2.4):В уравнении 1(2.6) 2E =2∫ d nвторой член в правой части сxρuучетом (1.2) удобно представить в видеru2∂ p ρ s( ρε) = ( ε + )∂ + ρT∂∂t ρ ∂t ∂t∂ρrΦ0=−div( Φ0ρu).∂t= 0 ,,(2.6)При этом из (1.1), (1.2) и (2.6) получаем следующееуравнение баланса полной энергии:r 2∂ u( ρ + ρε)=∂t2r 2⎡ u⎤uk( ρ( +Φ0)+ p−∂⎢⎥2=− ⎢r 2 ⎥ +∂xuk ⎢ η r ∂( ζ ) divu) η ( )⎥⎢− + −(2.7)3 xk2 ⎥⎣∂ ⎦∂ B+ T( ( ρs) − ),∂tT∂ui2 ⎡ η r⎤rB = η( ) − p − ( ζ + ) divu divu∂x⎢3⎥⎣ ⎦kКак и в [4], из (2.7) с учетом требования равенстванулю производной по времени от интегральнойполной энергииdEhdtполучаем следующее уравнение баланса энтропии∂ B( ρs)= ,∂tT(2.8)где выражение В приведено в (2.7).Уравнения баланса энергии и энтропии (2.7), (2.8)не совпадают с уравнениями, приведенными в [4] в26 | Выпуск 14, Май 2019
формулах (49.3) и (49.4), соответственно. Однако, изуравнения баланса (2.7) в точности можно получитьэти уравнения (49.3), (49.4), а также приведенное в[4] уравнение баланса интегральной энтропии(49.6). Для этого в (2.7) надо использовать вместоуравнения (2.6) эквивалентное ему представление∂ ρ( ρε) = T∂ ( ρs)+Φ∂0∂t ∂t ∂t(применяемое в [4] без учета (2.1) и предположенияо равенстве Ф = Ф 0= const). Более существенно,что кроме этого для получения совпадения (2.7)с (49.3) в [4], надо градиент давления в (2.7), согласно[4], выразить в виде∂ p p s= ρ ∂ ( ε + ) −ρT∂∂x ∂x ρ ∂xk k kкоторый следует из термодинамического соотношения(2.3) (если к левой и правой части (2.3) добавитьчлен dp∕ρ). Такое термодинамическое представлениедля градиента давления, входящего в (2.7) (ив (1.1)), соответствует обычному представлению одавлении, которое полностью описывает нормальныенапряжения для сжимаемой и несжимаемойсреды только при нулевой вязкости. Оно не соответствуеттому новому представлению о давлении,которое возникает именно в случае описания динамикивязкой сжимаемой среды в (1.1) в силу появлениядополнительных нормальных напряжений,пропорциональных дивергенции поля скорости (см.об этом и в [4] на стр. 275).Это утверждение о не вполне адекватном представленииградиента давления (в формулах (2.7) и(1.1)) на основе использования термодинамическогосоотношения (2.3) подтверждается далее из полученнойв следующем пункте фундаментальнойсвязи (2.10) между скоростями изменения во времениинтегральной энтропии и интегральной кинетическойэнергии. Действительно, соотношение (2.10)непосредственно следует из (2.5) и уравнения балансаинтегральной энтропии, записанного именнов виде (2.9) на основе (2.8). С другой стороны, этосоотношение (2.10) заведомо не может быть полученоиз (2.5) и уравнения баланса интегральной энтропиив форме, приведенной в [4] (см. (49.6) в [4]).4. Из уравнения баланса энтропии (2.8) следуетуравнение баланса интегральной энтропииS= ∫3dxρs,в виде (для простоты, мы здесь, как и в (2.7) и (2.8)не приводим членов, описывающих потоки, обусловленныеградиентом температуры):d 3 1 ∂uSi 2= η dx ( )dt∫−T ∂xk(2.9)3 1 r⎡η r⎤−∫d x divu p ( ) divuT⎢ − ζ +3⎥⎣⎦Уравнение баланса (2.9), как уже отмечено впредыдущем пункте, существенно отличается отуравнения баланса интегральной энтропии приведенногов [4] (см. формулу (49.6) в [4]).Из (2.9) и (2.5) в случае постоянной температурыT = T 0в (2.9) непосредственно следует точное выполнениефундаментального соотношенияdS dET0= − ,(2.10)dt dt(оно также приведено в [4] на стр. 422) междускоростью изменения механической энергии искоростью нарастания интегральной энтропии.Выражение для скорости dE ∕ dt, представленноев формуле (79.1) в [4], не выводится непосредственноиз (1.1), (1.2), как это сделано для уравнения(2.5), а лишь вводится на основе соотношения (2.10),исходя из представленного в [4] уравнения балансаинтегральной энтропии (49.6). При этом ясно, чтоименно формула (2.5) для величины dE ∕ dt являетсяобобщением формулы (16.3) в [4] на случай дивергентныхтечений сжимаемой среды, а не формула(79.1), как это утверждается в [4] без обоснованиявывода (79.1) на основе уравнения Навье – Стокса(1.1) и уравнения неразрывности (1.2).5. Таким образом, из (2.5) и (2.9) следует, что отрицательнаяопределенность скорости диссипацииинтегральной кинетической энергии и соответствующаяположительная определенность скоростироста интегральной энтропии возможны длядивергентных течений сжимаемой среды лишь приусловии обращения в нуль второго члена в правойчасти (2.5) и (2.9), когда выполнено соотношение:η rp = ( ζ + ) divu(2.11)3Из уравнения (2.11) следует, что скорость уменьшенияинтегральной кинетической энергии дивергентныхтечений в (2.5) определяется уже тольковязкой диссипацией, как и для случая бездивергентныхтечений (см. (16.3) в [4]).При выполнении уравнения (2.11) положительноопределенная величина скорости роста интегральнойэнтропии в (2.9) оказывается заметно мень-Выпуск 14, Май 2019 | 27
- Page 1 and 2: Выпуск 14, Май 2019 | 95
- Page 3 and 4: Кардио-окулометрич
- Page 5 and 6: 56 Перспективы прим
- Page 7 and 8: Dr. Hong LeiЧунцинская Ш
- Page 9 and 10: Воронова Ольга Кон
- Page 11 and 12: Дорогой читатель!О
- Page 13 and 14: Рис. 1. Формирование
- Page 15 and 16: QT - длительность ин
- Page 17 and 18: 4. Руденко М.Ю., Зерн
- Page 19 and 20: Закономерности дви
- Page 21 and 22: Рис. 1. Физические м
- Page 23 and 24: ОРИГИНАЛЬНОЕ ИССЛЕ
- Page 25 and 26: Соболева Н 1 (R 3 ) для
- Page 27: Отметим, что обычно
- Page 31 and 32: где угловые скобки
- Page 33 and 34: времени t. Например,
- Page 35 and 36: использовать явное
- Page 37 and 38: rn 1d ξρ0( ξ ) ⋅(2 )ntπνρ =
- Page 39 and 40: стического функцио
- Page 41 and 42: ОТЧЕТ Подача: 15.1.2019;
- Page 43 and 44: Рис. 2. Изменения ам
- Page 45 and 46: г)Время Лактат КрФ
- Page 47 and 48: Визит Владимира Зе
- Page 49 and 50: Руководству, в том
- Page 51 and 52: методической погре
- Page 53 and 54: ЛЕКЦИИЗаконы и акс
- Page 55 and 56: Использование зако
- Page 57 and 58: ОРИГИНАЛЬНОЕ ИССЛЕ
- Page 59 and 60: ОРИГИНАЛЬНОЕ ИССЛЕ
- Page 61 and 62: эффициент корреляц
- Page 63 and 64: а)б)Рис. 5. Диаграмма
- Page 65 and 66: рисунке 9 представл
- Page 67 and 68: ОРИГИНАЛЬНОЕ ИССЛЕ
- Page 69 and 70: мулов, одна из кото
- Page 71 and 72: Таблица 3. Основные
- Page 73 and 74: ния [14]. Наименьшее
- Page 75 and 76: 14. Rudenko M., Voronova O., Zernov
- Page 77 and 78: ВведениеИспользов
формулах (49.3) и (49.4), соответственно. Однако, из
уравнения баланса (2.7) в точности можно получить
эти уравнения (49.3), (49.4), а также приведенное в
[4] уравнение баланса интегральной энтропии
(49.6). Для этого в (2.7) надо использовать вместо
уравнения (2.6) эквивалентное ему представление
∂ ρ
( ρε) = T
∂ ( ρs)
+Φ
∂
0
∂t ∂t ∂t
(применяемое в [4] без учета (2.1) и предположения
о равенстве Ф = Ф 0
= const). Более существенно,
что кроме этого для получения совпадения (2.7)
с (49.3) в [4], надо градиент давления в (2.7), согласно
[4], выразить в виде
∂ p p s
= ρ ∂ ( ε + ) −ρT
∂
∂x ∂x ρ ∂x
k k k
который следует из термодинамического соотношения
(2.3) (если к левой и правой части (2.3) добавить
член dp∕ρ). Такое термодинамическое представление
для градиента давления, входящего в (2.7) (и
в (1.1)), соответствует обычному представлению о
давлении, которое полностью описывает нормальные
напряжения для сжимаемой и несжимаемой
среды только при нулевой вязкости. Оно не соответствует
тому новому представлению о давлении,
которое возникает именно в случае описания динамики
вязкой сжимаемой среды в (1.1) в силу появления
дополнительных нормальных напряжений,
пропорциональных дивергенции поля скорости (см.
об этом и в [4] на стр. 275).
Это утверждение о не вполне адекватном представлении
градиента давления (в формулах (2.7) и
(1.1)) на основе использования термодинамического
соотношения (2.3) подтверждается далее из полученной
в следующем пункте фундаментальной
связи (2.10) между скоростями изменения во времени
интегральной энтропии и интегральной кинетической
энергии. Действительно, соотношение (2.10)
непосредственно следует из (2.5) и уравнения баланса
интегральной энтропии, записанного именно
в виде (2.9) на основе (2.8). С другой стороны, это
соотношение (2.10) заведомо не может быть получено
из (2.5) и уравнения баланса интегральной энтропии
в форме, приведенной в [4] (см. (49.6) в [4]).
4. Из уравнения баланса энтропии (2.8) следует
уравнение баланса интегральной энтропии
S= ∫
3
dxρs
,
в виде (для простоты, мы здесь, как и в (2.7) и (2.8)
не приводим членов, описывающих потоки, обусловленные
градиентом температуры):
d 3 1 ∂u
S
i 2
= η dx ( )
dt
∫
−
T ∂xk
(2.9)
3 1 r⎡
η r⎤
−∫
d x divu p ( ) divu
T
⎢ − ζ +
3
⎥
⎣
⎦
Уравнение баланса (2.9), как уже отмечено в
предыдущем пункте, существенно отличается от
уравнения баланса интегральной энтропии приведенного
в [4] (см. формулу (49.6) в [4]).
Из (2.9) и (2.5) в случае постоянной температуры
T = T 0
в (2.9) непосредственно следует точное выполнение
фундаментального соотношения
dS dE
T0
= − ,
(2.10)
dt dt
(оно также приведено в [4] на стр. 422) между
скоростью изменения механической энергии и
скоростью нарастания интегральной энтропии.
Выражение для скорости dE ∕ dt, представленное
в формуле (79.1) в [4], не выводится непосредственно
из (1.1), (1.2), как это сделано для уравнения
(2.5), а лишь вводится на основе соотношения (2.10),
исходя из представленного в [4] уравнения баланса
интегральной энтропии (49.6). При этом ясно, что
именно формула (2.5) для величины dE ∕ dt является
обобщением формулы (16.3) в [4] на случай дивергентных
течений сжимаемой среды, а не формула
(79.1), как это утверждается в [4] без обоснования
вывода (79.1) на основе уравнения Навье – Стокса
(1.1) и уравнения неразрывности (1.2).
5. Таким образом, из (2.5) и (2.9) следует, что отрицательная
определенность скорости диссипации
интегральной кинетической энергии и соответствующая
положительная определенность скорости
роста интегральной энтропии возможны для
дивергентных течений сжимаемой среды лишь при
условии обращения в нуль второго члена в правой
части (2.5) и (2.9), когда выполнено соотношение:
η r
p = ( ζ + ) divu
(2.11)
3
Из уравнения (2.11) следует, что скорость уменьшения
интегральной кинетической энергии дивергентных
течений в (2.5) определяется уже только
вязкой диссипацией, как и для случая бездивергентных
течений (см. (16.3) в [4]).
При выполнении уравнения (2.11) положительно
определенная величина скорости роста интегральной
энтропии в (2.9) оказывается заметно мень-
Выпуск 14, Май 2019 | 27
Change language