электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

равенства нулю дивергенции поля скорости для
течений несжимаемой жидкости.
Для этого получим уравнения баланса энергии и
энтропии, которые следуют из (1.1), (1.2), а также из
обычных термодинамических соотношений [26]. В
случае однокомпонентной среды эти соотношения
имеют вид [26] (см. (14.3), (15.6) и (15.7) в [26]):
p
ε = Ts − +Φ
ρ
dp
− sdT + = dΦ
ρ
p
dε
= Tds + dρ
2
ρ
(2.1)
В (2.1)–(2.3) Т – температура, а ε, s, Ф – внутренняя
энергия, энтропия и термодинамический
потенциал или свободная энергия Гиббса (единицы
массы среды), соответственно [26]. При этом
уравнение (2.3) непосредственно следует из уравнения
(14.3) в [26] и точно согласуется с уравнениями
(2.1) и (2.2) (совпадающими с уравнениями
(15.7) и (15.6) в [26], соответственно) при любых
Ф. Для рассматриваемой однокомпонентной среды
при условии неизменности ее числа частиц будем
далее предполагать, что в (2.1) и (2.2) dФ = 0 или
Ф = Ф 0
= const.
Уравнение (2.3) используется далее в форме
(см. также [4] на стр. 272):
∂ε
∂s
p ∂ρ
= T +
2
∂t ∂t ρ ∂t
(2.2)
(2.3)
(2.4)
2. На основе уравнений (1.1), (1.2) можно получить
следующее уравнение баланса интегральной
кинетической энергии
1
2
E =
2
∫ d n
xρu
:
dE
dt
∫
∂u
d x( )
∂x
n i 2
=− η +
n ⎡ η r ⎤
+ ∫ d x ⎢p
− ( ζ + ) divu divu
3
⎥
⎣
⎦
Для бездивергентного течения несжимаемой
вязкой среды формула (2.5) точно совпадает с формулой
(16.3) в [4] и служит ее обобщением для случая
течения сжимаемой вязкой среды. Для вывода
уравнения (2.5) достаточно скалярно умножить
уравнение (1.1) на вектор ρ u i
, уравнение (1.2) умножить
на скаляр u r 2 2 , сложить получившиеся
выражения и проинтегрировать по всему пространству.
k
(2.5)
Отметим, что в случае идеальной (невязкой) среды
из (2.5) следует, что интегральная кинетическая
энергия является инвариантом только для бездивергентных
течений, а для дивергентных течений
инвариантом является лишь полная интегральная
энергия
2
3
Eh
= dxρ ( + ρε)
∫
сохранение которой предполагается и для вязкой
среды [4].
3. Выведем для вязкой сжимаемой среды уравнение
баланса полной энергии и соответствующее ему
уравнение баланса энтропии, исходя из уравнений
(1.1), (1.2), (2.1) и (2.4). В отличие от вывода, приведенного
в [4], используем непосредственно уравнение
(2.1), записанное с учетом отмеченного выше
равенства Ф = Ф 0
= const. В результате, с учетом (2.1)
получаем из (2.4):
В уравнении 1(2.6) 2
E =
2
∫ d n
второй член в правой части с
xρu
учетом (1.2) удобно представить в виде
r
u
2
∂ p ρ s
( ρε) = ( ε + )
∂ + ρT
∂
∂t ρ ∂t ∂t
∂ρ
r
Φ
0
=−div( Φ0ρu)
.
∂t
= 0 ,
,
(2.6)
При этом из (1.1), (1.2) и (2.6) получаем следующее
уравнение баланса полной энергии:
r 2
∂ u
( ρ + ρε)
=
∂t
2
r 2
⎡ u
⎤
uk
( ρ( +Φ
0)
+ p−
∂
⎢
⎥
2
=− ⎢
r 2 ⎥ +
∂x
u
k ⎢ η r ∂
( ζ ) divu) η ( )
⎥
⎢
− + −
(2.7)
3 xk
2 ⎥
⎣
∂ ⎦
∂ B
+ T( ( ρs) − ),
∂t
T
∂ui
2 ⎡ η r⎤
r
B = η( ) − p − ( ζ + ) divu divu
∂x
⎢
3
⎥
⎣ ⎦
k
Как и в [4], из (2.7) с учетом требования равенства
нулю производной по времени от интегральной
полной энергии
d
Eh
dt
получаем следующее уравнение баланса энтропии
∂ B
( ρs)
= ,
∂t
T
(2.8)
где выражение В приведено в (2.7).
Уравнения баланса энергии и энтропии (2.7), (2.8)
не совпадают с уравнениями, приведенными в [4] в
26 | Выпуск 14, Май 2019