электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

Отметим, что обычно неравенство
Ω
действительно, считается выполненным при сильной
вихревой перемежаемости [15], но ранее его
не было возможности получить из точного решения
проблемы замыкания в теории турбулентности,
как это сделано при получении оценки (В.3).
6. В заключительной части настоящей работы
на основе анализа точного замкнутого решения
уравнения баланса энстрофии (5.6) и скорости
изменения интегральной кинетической энергии в
(6.1) – (6.4) обсуждается возможность существования
на неограниченном интервале времени не
только дивергентных, но и гладких бездивергентных
решений уравнения НС.
1. Уравнение Навье – Стокса (НС) и
уравнение Эйлера – Гельмгольца (ЭГ)
Уравнение движения сжимаемой среды в общем
случае могут быть записаны в следующем виде [4]:
∂u
∂t
i
i
+ u
j
=
∂xj
η 1 ∂ η ∂uk
= ∆ui
− ( p− ( ζ + )( ));
ρ ρ ∂x
3 ∂x
i
>
∂u
∂
Из вида второго члена в правой части (1.1) следует,
что для вязкого сжимаемого дивергентного
течения нормальные напряжения определяются не
только давлением, но и дивергенцией поля скорости.
В (1.1), (1.2) u i
– скорость среды, по повторяющимся
индексам здесь и далее подразумевается
суммирование от 1 до n (где n – размерность пространства
и далее будут рассмотрены случаи, когда
n = 1, 2, 3), а р, ρ, η, ζ – давление, плотность, постоянные
коэффициенты вязкости и второй вязкости
среды, соответственно [4].
Для вязкой несжимаемой среды, имеющей постоянную
плотность ρ = ρ 0
из уравнения (1.1) в
трехмерном случае (при n = 3) после взятия операции
ротора от левой и правой части получается
следующее уравнение Эйлера – Гельмгольца (ЭГ)
r r
В (1.3) ω = rotu , а ν = η∕ρ0 = const – коэффициент
молекулярной кинетической вязкости.
2
Ω
2
3(2m)
3( m)
∆= ∂ xk
∂ xk
∂ρ
∂
+ ( ρuk
) = 0
∂t
∂xk
,
k
(1.1)
(1.2)
∂ωi
∂ωi
+ uk
=
∂t
∂xk
∂u
= ω − ωdivu
+ ν∆ω
i
k i i
∂xk
(1.3)
Для случая сжимаемой среды уравнение (1.3)
также имеет место, но лишь при условиях, что
η∕ρ = const и равенства нулю ротора от второго члена
в правой части (1.1). В частности, это имеет место
в рассмотренном далее случае равенства нулю
второго члена в правой части (1.1), что соответствует
нулевому суммарному балансу нормальных напряжений,
обусловленных давлением и вязкостью
дивергентного течения среды.
В [13] получено точное вихревое решение трехмерного
уравнения Римана – Хопфа (РХ) (совпадающего
с (1.1) при обращении в нуль правой части
(1.1)) при произвольных, гладких, обращающихся
в нуль на бесконечности, начальных условиях. Оно
совпадает и с точным решением уравнения ЭГ (1.3)
для сжимаемой невязкой среды (когда в (1.3) равен
нулю последний член в правой части). При этом в
[13], в частности, показано, что полученное гладкое
решение может существовать только на ограниченном
интервале времени 0 ≤ t < t 0
, (где величина t 0
определяется далее из решения уравнения (3.11)).
Далее (в третьем параграфе) показано, что для
любой сколь угодно малой величины эффективной
вязкости (введенной вместо последнего члена в
правой части (1.3)) можно получить точное решение
уравнений (1.1) – (1.3), существующее уже на
неограниченном интервале времени.
2. Уравнения баланса энергии и энтропии
1.Обычно при рассмотрении системы из четырех
уравнений (1.1), (1.2) для пяти неизвестных функций
вводят дополнительно условие связи (уравнение
состояния среды) между плотностью и давлением
для того что бы число уравнений совпало с
числом неизвестных функций. Представление об
уравнении состояния для неравновесных вихревых
течений нуждается в уточнении. Вместо этого,
для замыкания системы (1.1), (1.2) обычно используют
приближение нулевой дивергенции поля скорости
для несжимаемой среды, что, в частности,
оправдано при относительно малых (по сравнению
со скоростью звука) скоростях движения среды.
Выведем аналогичное уравнение, замыкающее
систему (1.1), (1.2) для дивергентных течений
сжимаемой среды, которое заменит условие
Выпуск 14, Май 2019 | 25