электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

бенности (в том числе сингулярность энстрофии)
эволюции во времени для завихренности. Полученное
в настоящей работе описание эволюции
завихренности в лагранжевом представлении
для двумерного и трехмерного случаев (см. (4.4) и
(4.5)) при этом можно рассматривать как конкретизацию
полученной в [23] формы решения уравнения
ЭГ для случая движения жидких частиц по
инерции.
Кроме того, в настоящей работе получен новый
необходимый и достаточный критерий реализации
взрывной сингулярности (коллапса) за
конечное время (см.(3.11), (3.12)) для невязкого
решения уравнений РХ и ЭГ в одномерном, двумерном
и трехмерном случаях. В то же время, в
[22] приведен интегральный критерий в виде (3.13)
(см. формулу (38) в [22]), который определяет лишь
достаточное условие для реализации коллапса
решения. При этом, например, для случая начального
бездивергентного поля скорости коллапс
возможен только согласно необходимому и достаточному
критерию (3.12), но уже не может быть
установлен из критерия (3.13). Кроме того, из полученного
в [22] рассмотрения взрывного режима
для решения трехмерного уравнения РХ делается
вывод о невозможности продолжения этого решения
на бесконечное время в пространстве Соболева
Н 2 (R 3 ), что отличается от полученного в настоящей
работе результата, отмеченного выше.
В двумерном же случае имеется точное соответствие
критерия (3.11) с аналогичным критерием,
приведенным в [24] (см. формулу (9) в [24])
в связи с решением задачи о распространении
фронта пламени (генерируемого самоподдерживающейся
экзотермической химической реакцией)
на основе упрощенной версии уравнения Сивашинского
[25]:
∂f
1
− U
∂t
2
2
( ∇f
) = γ f
s 0
В уравнении (В.2) функция
x
r
= f( x , x ,) t
3 1 2
(В.2)
определяет фронт пламени, представляющий
собой границу раздела между горючим веществом
(x 3
>0 ) и продуктами сгорания (x 3
< 0 ), а U s
и γ 0
постоянные
положительные величины, характеризующие
скорость распространения фронта и интенсивность
горения, соответственно. При γ 0
= 0
уравнение (В.2) совпадает с уравнением Гамильтона
– Якоби для свободной нерелятивистской
частицы. Полученное в настоящей работе точное
решение (3.7) уравнения РХ в двумерном случае
(точнее в его модификации при учете внешнего трения
с коэффициентом μ и формальном равенстве
μ = – γ 0
) дает и точное решение уравнения (В.2). При
этом решение (3.7) описывает потенциальное течение
вида
r
u =−U ∇ r
f .
5. Важным результатом настоящей работы является
получение замкнутого описания эволюции во
времени энстрофии и любых более высоких моментов
поля вихря, а также поля скорости в двумерном
и трехмерном случаях. Это достигнуто исходя из
соответствующих аналитических решений уравнений
ЭГ, РХ и НС для случая нулевой вязкости и для
случая учета внешнего трения или эффективной
вязкости. В результате точно, а не как обычно приближенно,
решена проблема замыкания в теории
турбулентности, которая оставалась нерешенной,
несмотря на многочисленные попытки ее приближенного
решения [1]. Здесь же это удается сделать
только благодаря относительно простой явной
зависимости от начальных условий для полученных
точных решения уравнений ЭГ и РХ для поля
скорости (3.7) и поля вихря ((4.1) и (4.2)), чего нет,
например, в известном точном решении уравнения
Бюргерса, получаемом при использовании нелинейного
преобразования Коу ла – Хопфа.
В частности, благодаря этому на основе точных
решений (4.2) могут быть получены следующие
оценки для интегралов от поля завихренности в
трехмерном случае вблизи момента сингулярности
решения:
1
Ω d r ω ) и
∫
3 2m
3(2m)
= x ≅ O( 2m−1
( t0
− t)
3 m 1
Ω
( m)
= ∫ d x
r ω ≅ O
m
( t − t)
3
(
−1
0
) ,
когда m = 1, 2, 3... . Отсюда непосредст венно следует
неравенство,
2
⎛ 1 ⎞
Ω3(2 m) / Ω3( m)
≅ O⎜
⎟>>
1;
⎝ t
0
− t ⎠
t → t
(В.3)
которое свидетельствует о сильной перемежаемости
поля вихря вблизи сингулярности.
s
0
24 | Выпуск 14, Май 2019