электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

Соболева Н 1 (R 3 ) для времени t *
≥ t 0
, когда q = 1 вместо
условия q ≥ 3 теоремы в [14].
Полученному аналитическому решению уравнения
НС соответствует конечная величина дивергенции
поля скорости, что указывает на несостоятельность
отмеченного выше «как бы очевидного»
априорного предположения об отсутствии гладких
дивергентных трехмерных вихревых решений для
полного уравнения НС.
Указанный способ учета вязкости является частным
примером моделирования турбулентности,
когда вместо случайной силы вводится случайное
поле скорости [15]. В [15], однако, рассматривалось
только пространственно неоднородное крупномасштабное
случайное поле скорости и исключалась
дрейфовая часть этой скорости, зависящая только
от времени. В то же время, усреднение по случайной
скорости, зависящей только от времени, как
раз и обеспечивает моделирование эффективной
вязкости (в предположении о гауссовости и дельта
– коррелированности во времени этой скорости)
в настоящей работе. При этом важно, что
этот способ моделирования эффекта вязкости не
меняет структуру, характерную для силы вязкости
F r v
, входящей в уравнение НС и, например, для
несжимаемой среды имеющей вид
в уравнении НС.
Новое решение трехмерного урав нения НС получено
при условии нулевого суммарного баланса
нормальных напряжений, обусловленных давле-
нием и вязкостью дивергентного течения сжимаемой
среды, что, как показано во втором параграфе,
соответствует достаточному условию положительной
определенности скорости роста интегральной
энтропии. Это позволяет свести решение уравнения
НС к решению трехмерного аналога уравнения
Бюр герса, а затем и к решению трехмерного уравнения
РХ и его обобщения на случай учета сил
вязкости (внешнего трения или указанного выше
эффективного трения, связанного со случайным
полем скорости).
Отметим также, что в общем случае вихревые
решения трехмерного уравнения РХ совпадают с
решениями трехмерного уравнения ЭГ для описания
вихревых течений идеальной сжимаемой среды
с ненулевой дивергенцией поля скорости [10, 13].
Фактически все реальные среды являются в
той или иной степени сжимаемыми и их течения
должны описываться именно дивергентными
решениями полного урав нения НС. С другой стороны,
дивергентные течения и для условно несжимаемой
среды могут соответствовать наличию распределенных
ис точ ников и стоков, моделирование
которых успешно используются в нерелятивистской
и релятивистской гидродинамике [18–21].
4. Отметим, что в [22] также получено точное
r r
Fv
= ν∆u
[3].
решение трехмерного уравнения РХ, описывающее,
однако, только в лагранжевых переменных
взрывную эволюцию во времени для матрицы первых
производных от поля скорости. Это не дает возможность
получения на его основе точных решений
трехмерного уравнения ЭГ для поля вихря, как это
сделано в [13] в эйлеровом представлении решения.
В то же время, в настоящей работе показано,
α r 5
∆ u,
α ≥
что полученное в [13] точное решение трехмерного
4
уравнения РХ для поля скорости (см. далее формулу
(3.7)) в лагранжевом представлении дает для эволюции
матрицы первых производных от скорости выражение
(3.14), которое точно совпадает с приведенной
в [22] формулой (см. формулу (30) в [22]).
Получены также новые аналитические решения
для эволюции интенсивностей вихря и спиральности
лагранжевых жидких частиц в двумерном
и трехмерном случаях. В [23] также рассмотрена
сходная по структуре форма решения уравнения
ЭГ (см. формулу (23) в [23]) на основе использовании
комбинации эйлерового и лагранжевого
описания в представлении вихревых линий. Оно,
однако, не позволяет в явном виде описывать осо-
Действительно, известно [15], что доказано существование
решения уравнения НС, если в нем к
обычной силе вязкости добавлен член, пропорциональный
более высокой производной (от скорости
течения u r ) вида
(см. [16, 17]), который изменяет структуру силы вязкости,
характерную для исходного уравнения НС.
Кроме того, показано, что устранение сингулярности
решения уравнений ЭГ, РХ и НС имеет место
и при введении достаточно большого коэффициента
внешнего трения μ, удовлетворяющего
условию (5.3) и соответствующего замене
r r
ν ∆u
→−µ
u
Выпуск 14, Май 2019 | 23