электронный журнал открытого доступа Cardiometry - выпуск 14, май 2019

ности) за конечное время t 0
[1, 3, 6, 7]. С другой стороны,
известны точные стационарные режимы
течения вязкой несжимаемой среды в виде вихрей
Бюргерса и Салливана [3], для которых этот,
потенциально опасный для возникновения сингулярности,
эффект растяжения вихревых нитей
точно компенсируется эффектом вязкости. Для
этих решений, однако, не существует сходящийся
интеграл энергии по всему неограниченному пространству.
2. В результате, почти двести лет (с 1827–1845
гг) остается открытой проблема существования
гладких нестационарных дивергентных и бездивергентных
решений трехмерного уравнения
НС в неограниченном пространстве (или в пространстве
с периодическими граничными условиями)
и на неограниченном интервале времени
[8–12]. При этом важность указанной проблемы
определяется не только чисто математическим,
но и практическим интересом, в связи с фундаментальной
и прикладной проблемой предсказуемости
гидрометеорологических и других полей,
возникающей при использовании методов численного
решения уравнения НС [9, 10].
В этой связи, в 2000 г. проблема существования
гладкого нестационарного вихревого решения
трехмерного уравнения НС на неограниченном
интервале времени была включена Математическим
институтом Клэя в список одной из семи
фундаментальных проблем тысячелетия под номером
шесть [8, 9, 11, 12]. Однако, при этом в [8]
предлагается рассматривать решение этой проблемы
не для полного уравнения НС [4], а лишь для
уравнения, получающегося из него в предположении
о равенстве нулю дивергенции поля скорости
несжимаемой среды. Выбор такой формулировки,
видимо, априори предполагает, что для дивергентных
течений (имеющих отличную от нуля дивергенцию
поля скорости) полное уравнение НС
заведомо не может иметь гладких решений на неограниченном
интервале времени. Действительно,
в [12] по этому поводу пишется: «Задача на приз
тысячелетия относится к несжимаемым потокам,
поскольку хорошо известно, что сжимаемые потоки
ведут себя отвратительно». В этой связи, в [12]
приводится пример возникновения ударной волны
в сжимаемой среде при движении в ней объекта
со скоростью, превышающей скорость звука
в этой среде. Однако, ясно, что силы вязкости и в
этом случае не допускают возникновения реальной
сингулярности для любых характеристик течения,
что в результате не исключает возможность
существования гладких дивергентных решений
полного уравнения НС.
3. До настоящего времени, насколько нам известно,
не получено прямого доказательства
невозможности существования гладких дивергентных
решений для полного уравнения НС и
поэтому постановка задачи в [8] вполне допускает
обобщение и на случай дивергентных течений
сжимаемой среды, что и является предметом рассмотрения
настоящей работы.
Действительно, в настоящей работе на основе
развития теории [13] получено новое аналитическое
нестационарное вихревое решение полного
трехмерного уравнения НС, которое именно благодаря
конечности сил вязкости (которые моделируются
добавлением к полю скорости случайного
гауссового дельта – коррелированного во времени
поля скорости [10]) остается гладким для любых
сколь угодно больших отрезков времени. При этом
решение уравнения НС может быть продолжено
в пространстве Соболева Н q (R 3 ) для любых q ≥ 1 и
t ≥ t 0
, где t 0
– минимальное время возникновения
сингулярности (коллапса) для соответствующего
точного решения уравнений ЭГ и Римана – Хопфа
(РХ) в случае нулевой вязкости. Норма в пространстве
Соболева Н q (R 3 ) определена в виде [14]:
r ⎛
3 r 2⎞
u q 3 = dx( β u)
H ( R )
⎜∑∫
∇ ⎟
⎝ β ≤q
⎠
12 /
(В.1)
Отметим, что в [14] сформулирована локальная
теорема существования решения трехмерного
уравнения ЭГ для бездивергентного течения
идеальной несжимаемой жидкости. Согласно
этой теореме гладкое решение уравнения ЭГ существует,
если начальное поле скорости u uur 0
принадлежит
пространству Соболева Н q (R 3 ) при q ≥ 3,
а само решение относится к классу
r
1 1
0, ; q
q
u∈C t H ∩C 0, t ; H −
,
([ ∗]
) [ ∗]
( )
где норма определена в (В.1). При этом для рассмотренного
в настоящей работе точного решения
уравнения ЭГ и РХ в случае дивергентного течения
идеальной сжимаемой среды имеется возможность
продолжения этого решения на времена t *
≥ t 0
только в пространстве Соболева Н 0 (R 3 ). И уже нет
возможности для его продолжения в пространстве
22 | Выпуск 14, Май 2019