Lý thuyết và bài tập ứng dụng Lượng Giác - Ngọc Huyền

CHỦ ĐỀ 1:
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
BÀI: GÓC LƢỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Giá trị lƣợng giác của cung α .
Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM
:
Gọi M x;
y với tung độ của M là y
Hình 1.1
OK , hoành độ là x OH thì ta có:
sin OK
cos OH
sin
cos
tan ; cos
0
cot ; sin
0
cos
sin
Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung .
Các hệ quả cần nắm vững
1. Các giá trị sin ; cos xác định với mọi . Và ta có:
sin k2 sin , k
;
cos k2 cos , k
.
2. 1 sin
1; 1 cos
1
3. tan xác định với mọi k,
k .
2
k,
k .
4. cot xác định với mọi
Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM
đường tròn lượng giác (hình 1.2).
trên
Hình 1.2
Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau

Góc phần tư I II III IV
Giá trị lượng giác
cos + - - +
sin + + - -
tan + - + -
cot + - + -
Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác
2. Công thức lƣợng giác
Công thức cơ bản
2 2
sin x cos x 1
2 1
tan x 1 cos
2
x
2 1
cot x 1 sin
2
x
Công thức cộng
sin x y sin x cos y cos xsin
y
Cung đối nhau
sin x
sin x
cos x
tan x
cos x
tan x
Cung bù nhau
sin x sin
x
cos x cos x
cos x y cos x cos y sin xsin
y
tan x
tan y
tan x
1 tan xtan
y
Công thức đặc biệt
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
Góc nhân đôi
y
tan xtan
x
sin 2x 2sin xcos
x
Góc chia đôi
sin x 1
cos 2x
cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin
2 2 2 2
x x x x x
Góc nhân ba
2 1
cos x 1
cos 2x
2
2 1
2
Góc chia ba

sin x 3sin x sin 3x
sin 3 3sin 4sin
3
x x x
3
cos3 4cos 3cos
x x x
3 1
cos x 3cos x cos3x
3
3tan x
tan x
tan3x
2
13tan
x
4
3 1
STUDY TIP
Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba
mà không cần nhớ nhiều công thức.
4
Biến đổi tích thành tổng
1
cos x cos y cos x y cos x y
2
1
sin xsin y cos x y cos x y
2
1
sin xcos y sin x y sin x y
2
3. Giá trị lƣợng giác của các cung đặc biệt
Biến đổi tổng thành tích
x y x y
cos xcos y
2cos cos
2 2
x y x y
cos x cos y 2sin sin
2 2
x y x y
sin xsin y
2sin cos
2 2
x y x y
sin xsin y
2cos sin
2 2
(độ) 0 30 45 60 90 180
0
(radian)
6
4
3
2
sin 0 1
2
3
1 0
2
2
2
cos 1 3
2
1
0 1
2
2
2
tan 0 3
1 3 Không xác 0
định
3
STUDY TIP
Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có
thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:
30 45 60 90
sin 1
2
Các giá trị ở tử số tăng dần từ 0 đến 4 . Ngược lại đối với giá trị cos , tử số giảm dần từ
4 về 0 .
2
2
3
2
4
2
BÀI: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
1. Hàm số y sinx và hàm số y cosx .

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được
gọi là hàm số sin, kí hiệu là y sinx .
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cosin cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng x
được gọi là hàm số cos, kí hiệu là y cosx .
Tập xác định của các hàm số y sinx; y cosx là .
a) Hàm số y sinx
Nhận xét: Hàm số y sinx là hàm số lẻ do hà số có tập xác định D là đối xứng và
sinx sin x .
Hàm số y sinx tuần hoàn với chu kì 2 .
Sự biến thiên:
Sự biến thiên của hàm số y sinx trên đoạn ;
được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía
dưới:
Bảng biến thiên:
Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số y
sinx trên đoạn ;
như sau:

STUTY TIP
Khái niệm:
Hàm số f x xác định trên D gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T 0 sao cho với mọi x
x T D;x T D
thuộc D ta có
.
f (x T) f x
Số dương T nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn.
Đồ thị hàm số:
Nhận xét: Do hàm số y
sinx là hàm số lẻ trên và tuần hoàn với chu kì 2 nên khi vẽ đồ thị
hàm số y sinx trên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;
, sau đó lấy đối xứng đồ thị
qua gốc tọa O , ta được đồ thị hàm số y sinx trên đoạn ;
, cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa
thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài 2 ;4 ,...
STUDY TIP
Hàm số y sinx đồng biến trên khoảng
;
2 2
. Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số
y sinx đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k
2 2
.
Tương tự ta suy ra được hàm số y sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
k2 ; k2 ,k .
2 2
GHI NHỚ
Hàm số y sinx :
- Có tập xác định là .
- Có tập giá trị là 1;1 .
- Là hàm số lẻ.

- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
- Có đồ thị là một đường hình sin.
- Tuần hoàn với chu kì 2 .
- Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k
2 2
3
- Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k
2 2
b) Hàm số y cosx
Ta thấy cosx sin x
2
độ dài 2
, ta được đồ thị hàm số y
nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx sang trái một đoạn có
cosx .
Bảng biến thiên của hàm số y cosx trên ;
.
.
.
Đồ thị hàm số
y cosx :
STUTY TIP
Hàm số y cosx đồng biến trên khoảng
;0
. Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số
y cosx đồng biến trên mỗi khoảng k2 ;k2 ,k .
Tương tự ta suy ra được hàm số y cosx nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k .
GHI NHỚ
Hàm số y cosx :
Đọc thêm
- Có tập xác định là .
- Là hàm số chẵn.
- Là một đường hình sin.
- Đồng biến trên mỗi khoảng
- Nghịch biến trên mỗi khoảng
k2 ;k2 ,k .
k2 ; k2 ,k .

Hàm số y a.sinx b c, a,b,c, ,a
0
vì:
là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở 2
a.sin x T b c a.sin x b c, x
a.sin x b T a.sin x b , x
2
T k2 , k T k , k .
Và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Tương tự hàm số y a.cos x b c, a,b,c, ,a
0
kì cơ sở 2
cũng là một hàm tuần hoàn với chu
và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12.
2. Hàm số y tan x và hàm số y
cot x
trục côtang
B
S
+
M
T
x
A'
O
A
B'
trục tang
Hình 1.7
Với D1 \ k
k
2
, quy tắc đặt tương ứng mỗi số sin x
x D1
với số thực tan x
cos x
được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y tan x. Hàm số y tan x có tập xác định là D
1
.
cos x
Với D2 \ k
k , quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D2
với số thực cot x được
sin x
gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y cot x. Hàm số y cot x có tập xác định là D
2
.
Nhận xét: - Hai hàm số y tan x và hàm số y cot x là hai hàm số lẻ.
- Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì .
a) Hàm số y
tan x

B
t
H
A'
O
x
A
Hình 1.8
Sự biến thiên: Khi cho x OA,
OM tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn
2 2
lượng giác theo chiều dương từ B đến B (không kể B và B ). Khi đó điểm T thuộc trục tang
sao cho
AT tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ đến (qua giá trị 0 khi x 0 ).
Giải thích: tan x
AT vì tan
MH AT AT
x AT
OH OA 1
Nhận xét: Hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k; k
,
k
2 2
số y tan x nhận mỗi đường thẳng x k
, k
làm một đường tiệm cận.
2
Đồ thị hàm số:
Nhận xét: Do hàm số
nên khi vẽ đồ thị hàm số
K
B'
y tan x là hàm số lẻ trên \ k
k
2
y tan x trên \ k
k
2
. Đồ thị hàm
và tuần hoàn với chu kì
ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên
0; , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta được đồ thị hàm số tan
2 y
x trên
0; , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành.
2
M
+
T
Hình 1.9
STUDY TIP

Hàm số y tan x
GHI NHỚ
Hàm số y tan x:
nhận mỗi đường thẳng x k
, k
làm một đường tiệm cận
2
- Có tập xác định D1 \ k
k
2
- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là
- Đồng biến trên mỗi khoảng k; k
,
k
2 2
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k
, k
2
làm một đường tiệm cận
b) Hàm số y
cot x
Hàm số y cot x có tập xác định D2 \ k
k là một hàm số tuần hoàn với chu ki .
Tương tự khảo sát như đối với hàm số y tan x ở trên thì ta có thể vẽ đồ thị hàm số y
cot x
như sau:
GHI NHỚ
Hàm số y cot x:
- Có tập xác định: D2 \ k
k
Hình 1.10
- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là
- Đồng biến trên mỗi khoảng
k ; k , k
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k
, k
làm một đường tiệm cận.
B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lƣợng giác
Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lƣợng giác
Cách 1
Cách 2
Tìm tập D của x để f x có nghĩa, tức là Tìm tập E của x để f x không có nghĩa,
tìm
CHÚ Ý
D x f x .
A. Với hàm số f x cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
f1
x
1. f x
f x
, điều kiện: * f 1
x có nghĩa
2
khi đó tập xác định của hàm số là D \ E .

Ví dụ 1.
* f2
x có nghĩa và f2 x
0 .
2. f x
2m
f1 x,
m , điều kiện: f1
x có nghĩa và f1 x
0 .
f1
x
3. f x
,
m , điều kiện: f1 x,
f2 x có nghĩa và
2m
f x
2
B. Hàm số y sin x; y cos x xác định trên , nhƣ vậy
y sin u x ; y cos
u x * y tan u x
* y cot u x
xác định khi và chỉ khi u x xác định.
f x .
2
0
u x k k .
2
có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và ;
u x k k .
STUDY TIP
Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
1. Hàm số y sin x và y cos x xác định trên .
có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và ;
2. Hàm số y tan x xác định trên \ k
k
2
.
3. Hàm số y cot x
xác định trên \ k k
.
1
Tập xác định của hàm số y
2cos x 1
là:
5
A. D \
k2 , k2
k
3 3
. B. \
D k
3
2
k
.
5
C. D k2 , k2
k
3 3
. D. 5
D \
k2
k
3
.
Chọn A.
Lời giải
cos x cos x k2
3 3
Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi 2cos x1 0
, k
5
5
cos x cos x k2
3
3
.
1
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số y
2cos x 1
tại 5
x và x
3 3
ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.
STUDY TIP
Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số 0;2 tồn tại hai góc có số đo là 3
và 5 5 1
cùng thỏa mãn cos cos
chính vì thế ta kết luận được điều kiện như vậy.
3
3 3 2
Cách bấm như sau:
1
Nhập vào màn hình
2cos X 1
:

Ấn r gán X thì máy báo lỗi, tương tự với trường hợp
3
5
X .
3
5 Từ đây suy ra hàm số không xác định tại và . 3 3
cot x
Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số y
sin x 1
là:
A. D \ k2
k
3
. B. \
D k k
2 .
C. D \ k2 ; k
2
. D. \
D k
2
2
k
.
Chọn C.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi
+ cot x xác định sin x 0
+ sin x 1 0
x
k
sin x 0
, k .
sin x 1 x k2
2
STUDY TIP
Trong bài toán này, nhiều độc giả có thể chỉ sử dụng điều kiện để hàm phân thức xác định
sin x 1 0 chứ không chú ý điều kiện để hàm cot x xác định, sẽ bị thiếu điều kiện và chọn
D là sai.
Ví dụ 3. Tập hợp \ k k không phải là tập xác định của hàm số nào?
1
cos x
1
cos x
1
cos x
1
cos x
A. y . B. y . C. y . D. y .
sin x
2sin x
sin 2x
sin x
Chọn C.
Lời giải
x
k
sin 2x sin 0 2x k2
k
sin 2x 0
x , k
sin 2x sin
2x k2 x k
2
2
sin x sin 0 x k2
sin x 0 x k
, k
sin x sin
x k2
hân ch: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy hàm cos x xác định với
mọi x . Nên ta chỉ x t m u số, ở đây có đến ba phương án có m u số có chứa sin x như
nhau là AD ; và B . Do đó ta chọn được luôn đáp án C
T ng d n a có h gộ hai h nghiệ k2 k2
h nh k d a he hu ế
sau:

y
π O
0
x
Hình 1.11
Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu di n bởi một điểm trên đường tròn lượng giác
* x k2 ,
k được biểu di n bởi một điểm trên đường tròn lượng giác.
* x k,
k được biểu di n bởi hai điểm đối xứng nhau qua O trên đường tròn lượng
giác.
k2
* x , k 3
được biểu di n bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh của một tam
giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
k2
*
* x , k , n được biểu di n bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh của
n
một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.
Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có
Trên hình 1.11 hai chấm tròn đen là điểm biểu di n hai nghiệm ta tìm được ở ví dụ 3. Từ đây
k2
nếu gộp nghiệm lại thì ta sẽ có x 0 k
, k
2
.
1
Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số ysin 2x
x
1;1 \ 0
D \ 0 .
A. D 2;2
. B.
Chọn D.
Hàm số đã cho xác định khi
D . C. D . D.
Lời giải
1
sin xác định x
0
x
STUDY TIP
Ở đây nhiều độc giả nhầm l n, thấy hàm số sin và chọn luôn C là sai. Cần chú ý đến điều kiện
để 1 x
xác định.
2017
Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số y 2016tan 2x
là
A. D
\ k
k
2
. B. \
D k k
2 .
C. D . D. D
\ k k
4 2 .
Lời giải
Chọn D.

2017
Ta có 2017
y 2016tan 2x 2016. tan 2x
2 17 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi tan 2x xác định
2 x k
, k x k , k .
2 4 2
STUDY TIP
Trong bài này, ta cần thêm kiến thức về tập xác định của hàm số lũy thừa ở lớp 12: Tập xác
định của hàm số y
x tùy thuộc vào giá trị của .
* Với nguyên dương thì tập xác định là .
* Với nguyên âm hoặc bằng 0 , tập xác định là \ 0 .
Ví dụ 6. Tập xác định của hàm số
* Với không nguyên, tập xác định là 0; .
y
2017
2016cot 2x
là
A. D \ k
k
2
. B. \
D k k
2 .
C. D . D. D
\ k k
4 2 .
Lời giải
Chọn B.
Tương tự như ví dụ 5, ta có hàm số xác định khi cot 2x xác định
2 x k
x k , k
2
.
Ví dụ 7. Tập xác định của hàm số
A. D \ k
k
y 1 cos2017 x là
. B. D .
C. D \ k;
k
k
4 2 . D. \
D k
2
2
k
.
Lời giải
Chọn B.
Hàm số y 1 cos2017 x xác định khi 1cos2017 x 0.
Mặt khác ta có 1 cos2017 x 1 nên 1 cos 2017x 0, x .
STUDY TIP
Với các bài toán chứa căn thức ta chú ý các hệ số tự do để áp dụng các bất đẳng thức cơ bản
như 1 sin x;cos x
1,...
2
Ví dụ 8. Tập xác định của hàm số y
là
2 sin 6x
D \ k
| k . B. D .
A.
C. D
\ k
| k
4
. D. \
D k
4
2 |
k
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có sin 6x 2 2 sin 6x
0 , x
. Vậy hàm số đã cho xác đinh với mọi x .
Một dạng khác của b i án i n quan đến tìm tậ xác định của h ƣợng giác nhƣ sau:
Ví dụ 9. Để tìm tập xác định của hàm số y tan x cos x , một học sinh đã giải theo các bước sau:

sin x 0
Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là .
cos x 0
x
k
Bước 2:
2 ; k
x
k
.
Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D
\ k; k
| k
2
.
Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?
A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Lời giải
Chọn B.
Nhận thấy hàm số đã cho xác định khi tan x xác định (do cos x xác định với mọi x ).
Do vậy hàm số xác định khi cos x 0 x k,
k
2
.
Ví dụ 10. Hàm số y
1
xác định khi và chỉ khi
sin x 1
A. x
\ k2 | k . 2
B. x .
C. x k
, k . D. x k2 , k
2
2
.
Lời giải
Chọn A.
Hàm số đã cho xác định sin x 1 0 sin x 1 sin x 1 (do sin x 1,
x )
x k2 , k .
2
Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lƣợng giác.
Với S D (là tập xác định của hàm số f x ) thì
f
f x
m, x S max f x
m. , min
S
f x m x S f x m .
x S, f x m min f x
m , max
0 0
Ví dụ 1. Cho hàm số
4 4
S
x S f x m f x m .
0 0
h x sin x cos x 2msin x.cos
x .Tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là
1 1
1
1
A. m . B. 0 m
. C. m 0 . D.
2 2
2
2
Lời giải
Chọn A.
2 2
2 2
X t hàm số
g x sin x cos x msin 2x
2
2 2 2 2
sin x cos x 2sin xcos x msin 2x
1 2
1 sin 2x msin 2x
.
2
S
S
1
m .
2

Đặt t sin 2x
t 1;1 .
Hàm số
1
2 t mt t
h x xác định với mọi x g x 0, x
2
1 0, 1;1
2
Đặt f t t 2mt
2 trên 1;1
.
2
t 2mt 2 0, t
1;1 .
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.
Ta thấy max f
t
f 1
hoặc max f
t f
1
1;1
1;1
f
f t t 2mt 2 0, t 1;1 max f t
0
1;1
f
2
Ycbt
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số
y
1 0
1 0
1 2m
0 1 1
m .
1 2m
0 2 2
3x
xác định trên .
2
2sin x msin x 1
A. m2 2;2 2.
B. m 2 2;2 2.
C. m; 2 22 2; . D. m 2 2;2 2.
Chọn B.
Hàm số xác định trên khi và chỉ khi
Đặt t sin x t
1;1
Lời giải
2
2sin x msin x 1 0, x
.
Lúc này ta đi tìm điều kiện của m để f t 2t 2 mt 1 0, t
1;1
Ta có
TH 1:
m
t
2
8
2
0 m 8 0 2 2 m 2 2
t
. Khi đó f t 0,
t (thỏa mãn).
2
m 2 2
TH 2: t
0 m 8 0 (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).
m 2 2
TH 3:
2
m 2 2
t
0 m 8 0
m 2 2
phân biệt t ; t t t
.
1 2 1 2
khi đó tam thức
2
f t 2t mt 1 có hai nghiệm

Để f t 0, t 1;1
2
m m 8
2
t1
1 1 m 8 m 4VN
4
thì
2
m
m 8
2
t2
1 1 m 8 m 4VN
4
Vậy m 2 2;2 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của m .
Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài cùng”.
Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số a , còn khoảng hai nghiệm thì trái dấu
với hệ số a .
Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lƣợng Giác.
Định Nghĩa.
Cho hàm số
y f x
xác định trên tập D .
a, Hàm số y f x
được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D , ta có x D và
f x f x.
b, Hàm số y f x
được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D , ta có x D và
f x f x
.
Để kết luận hàm số
0 0
f x f x
f x f x
0 0
STUDY TIP:
y f x
không chẵn không lẻ thì ta chỉ cần chỉ ra điểm x0
hoặc chỉ ra tập xác định của
f
x không phải là tập đối xứng.
.
D sao cho
hƣơng há chung:
Bƣớc 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó
Nếu D là tập đối xứng (tức x D x D ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
Nếu D không phải tập đối xứng(tức là x D mà x
D) thì ta kết luận hàm số không
chẵn không lẻ.
Bƣớc 2: Xác định f x
:
Nếu f x f x,
x D thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
Nếu f x f x,
x D thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lƣợng giác cơ bản:
1, Hàm số y sin x là hàm số lẻ trên D .
2, Hàm số y cos x là hàm số chẵn trên D .
3, Hàm số y tan x là hàm số lẻ trên D \ k
| k
2
.
4, Hàm số y cot x
là hàm số lẻ trên D \ k
| k
Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y 2cos x. B. y 2sin x
Chọn A.
.
. C. y 2sin x
Lời giải
. D. y sin x cos x.

Cách 1: Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.
Xét A: Do tập xác định D nên x x .
Ta có f x 2cos x 2cos x f x
. Vậy hàm số y 2cos x là hàm số chẵn.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x và
x .
Với A: Nhập vào màn hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp x 1(hình bên trái) và
trường hợp 1
luôn A.
x (hình bên phải) đều đưa kết quả giống nhau. Vì f x f x
ta chọn
STUDY TIP:
Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên chú ý cả tập xác định của hàm số xem có phải là tập đối
xứng không.
sin 2x
Ví dụ 2. X t tính chẵn lẻ của hàm số y
2cos x 3
thì y f x
là
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Tập xác định D .
Ta có x D x
D
sin 2x
sin 2x
f x
f x
. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
2cos x
3 2cos x3
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x và
x .
Với A: Nhập biểu thức của hàm số vào màn hình sử dụng CALC với trường hợp x 1(hình
bên trái) và trường hợp 1
hàm số lẻ.
x (hình bên phải), ta thấy f 1 f 1
hàm số đã cho là
STUDY TIP:
Trong bài toán này, tập xác định D bởi 2cos x 3 0, x .
y f x x x
4 4 Ví dụ 3. X t tính chẵn lẻ của hàm số cos 2 sin 2
, ta được y f x là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Ta có y cos 2x sin 2x 1 cos 2x sin 2x 1 sin 2x cos 2x
0 .
4 4
2 2
Ta có tập xác định D .
Hàm số y 0 vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ,
nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Tương tự các bài toán trên ta nhập hàm số và sử dụng CALC để thử thì thấy cả hai trường hợp
đều ra kết quả là 0. Mà y 0 vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng nên ta
chọn D.
STUDY TIP:
Hàm số y 0 vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng.
1
f x x g x
x 3
chẵn lẻ của hai hàm số này?
f x ; g x là hai hàm số lẻ.
2
Ví dụ 4. Cho hai hàm số 3sin
A. Hai hàm số
B. Hàm số f x là hàm số chẵn; hàm số f
và sin 1
x . Kết luận nào sau đây đúng về tính
x là hàm số lẻ.
C. Hàm số f x là hàm số lẻ; hàm số g x là hàm số không chẵn không lẻ.
D. Cả hai hàm số f x;
g x đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Lời giải
Chọn D.
1
f x x có tập xác định là D \ 3
.
x 3
Ta có x 3 D nhưng x 3 D nên D không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm
2
a, Xét hàm số 3sin
số
f
x không chẵn không lẻ.
b, Xét hàm số g x sin 1 x có tập xác định là 2 1;
đối xứng nên ta kết luận hàm số g x không chẵn không lẻ.
Vậy chọn D.
D . D thấy D
2 không phải là tập
STUDY TIP:

Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số ta cần chú ý xét tập xác định đầu tiên để giải quyết bài toán
một cách chính xác.
2007
Ví dụ 5. X t tính chẵn lẻ của hàm số f x sin
x cos nx , với n . Hàm số y f x
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Lời giải
Chọn C.
Hàm số có tập xác định D .
Ta có f x sin 2007 x cos nx sin 2007 x cos nx f x
.
Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
Ví dụ 6. Cho hàm số
2004 n x
sin 2004
f x
, với n . X t các biểu thức sau:
cos x
1, Hàm số đã cho xác định trên D .
2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.
3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
là:
Lời giải
Chọn B.
Hàm số đã xác định khi cos x 0 x k, k . Vậy phát biểu 1 sai.
2
Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi x t tính
chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Ta có tập xác định của hàm số trên là D \ k k
là tập đối xứng.
2
2004n
2004n
sin x
2004 sin x 2004
f x
f x.
cosx
cos x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát
biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B.
STUDY TIP
Đồ thị hàm số lẻ thì đối xứng qua tâm O.
Đồ thị hàm số chẵn thì đối xứng qua trục Oy.
f x x x Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
Ví dụ 7. Cho hàm số sin .
A. Hàm số đã cho có tập xác định D 0
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.
D. Hàm số có tập giá trị là
11
;
.
\ .

Lời giải
Chọn B.
Hàm số đã cho xác định trên tập D nên ta loại A.
Tiếp theo để x t tính đối xứng của đồ thị hàm số ta x t tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
f x x sin x x sin x f x . Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy
ta chọn đáp án B.
STUDY TIP
Với bài toán này ta nên x t B và C trước thay vì x t lần lượt A, B, C, D.
Ví dụ 8. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x 3m
sin4x cos 2x là hàm
chẵn.
A. m 0.
B. m 1.
C. m 0.
D. m 2.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
TXĐ: D . Suy ra x D x
D.
Ta có sin4
f x 3m x cos2 x 3msin4x cos2 x.
Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì
, 3 sin4 cos2 3 sin4 cos2 ,
f x f x x D m x x m x x x D
4msin 4x 0, x D m 0.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Với bài toán này ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để thử các giá trị. Với A và C, ta thử một
trường hợp để loại hai đáp án còn lại, tương tự với B và D. Ở đây ta sử dụng CALC để thử tại
giá trị x và x.
Ví dụ: Nhập vào màn hình như hình bên.
Ấn CALC để gán các giá trị cho m. Ta thử với m 0 thì ấn 0 =
Chọn x bất kì, sau đó làm lại lần nữa và gán x cho x ban đầu và so sánh
(ở đây ta thử với x 5 và tại 5).
Ta thấy f x f x.
Vậy C đúng. Ta chọn luôn C và loại các phương án
còn lại.
DẠNG 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lƣợng giác
hƣơng há chung:
Ở phần lý thuyết, với các hàm số lƣợng giác cơ bản, ta đã biết rằng:
1. Hàm số y
sin x:
* Đồng biến trên các khoảng k2; k2, k .
2 2
* Nghịch biến trên các khoảng k2; k2, k .
2 2
2. Hàm số y
cos x:
* Đồng biến trên các khoảng 2 2
* Nghịch biến trên các khoảng 2 2
k ; k , k .
k ; k , k .

3. Hàm số y tan x đồng biến trên các khoảng k; k, k .
2 2
4. Hàm số y cot x
k; k , k .
nghịch biến trên các khoảng
Với các hàm số lƣợng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.
Ví dụ 1. Xét hàm số y sin x trên đoạn
; 0
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng
và 0
2 2 ;
.
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
; nghịch biến trên khoảng 0
2
2 ;
.
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
; đồng biến trên khoảng 0
2
2 ;
.
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
và 0
2 2 ;
.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y
sin x nghịch biến
trên khoảng
và đồng biến trên khoảng 0
2
2 ;
.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là
và 0
2 2 ;
nên
ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.
Ấn
Máy hiện f X
thì ta nhập sinX. START? Nhập END? Nhập 0. STEP? Nhập .
10
Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
biến trên khoảng 0
2 ;
.
Ví dụ 2. Xét hàm số y cos x trên đoạn
;
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng 0
và 0; .
và nghịch biến trên khoảng
và đồng biến trên khoảng
và 0; .
0; .
0; .
và đồng
2
Chọn B.
Lời giải

Theo lý thuyết ta có hàm số y cos x
k2; k2 , k và
nghịch biến trên khoảng k2; k2, k . Từ đây ta có với k 0 hàm số y
cos x đồng
biến trên khoảng 0
và nghịch biến trên khoảng 0; .
Tiếp theo ta đến với hàm số y n n
đồng biến trên mỗi khoảng
tan x; ,... Ta có ví dụ 3.
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số y tan 2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết
luận nào đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
và
; .
4 4 2
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
nghịch biến trên khoảng
; .
4 và
4 2
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0; .
2
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng
; .
4 và
4 2
Lời giải
Chọn A.
Tập xác định của hàm số đã cho là D \ k | k .
4 2
Hàm số y tan 2x tuần hoàn với chu kì , dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ x t
2
tính đơn điệu của hàm số trên 0; \ .
2 4
Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số
với hàm số y tan 2x đồng biến trên khoảng
y tan x ở phần lý thuyết ta có thể suy ra
và ; .
4 4 2
STUDY TIP
Ở đây ta không chọn C vì hàm số không liên tục trên 0; ,
hàm số bị gián đoạn tại x
2
4
(tức là hàm số không xác định tại x
4 ).
Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số y 1sin
x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận
sau, kết luận nào sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0
2 ;
.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; .
2
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2 ;
.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
2 2 .

Chọn D.
Lời giải
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ x t sự
3
biến thiên của hàm số trên
; .
2 2
Ta có hàm số y
sin x:
* Đồng biến trên khoảng
; .
2 2
* Nghịch biến trên khoảng ; .
2 2
Từ đây suy ra hàm số y1
sin x:
* Nghịch biến trên khoảng
; .
2 2
* Đồng biến trên khoảng ; .
Từ đây ta chọn D.
2 2
Dưới đây là đồ thị của hàm số y 1sin
x và hàm số y sin x trên .
Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số y sin x cos x . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
3
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
; .
4 4
3
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; .
4 4
C. Hàm số đã cho có tập giá trị là
11
;
.
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng
; .
4 4
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
Ta có y sin x cos x 2 sin x
.
4
Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là
2; 2.
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 do vậy ta x t sự biến thiên của hàm số trên đoạn
; .
4 4
Ta có:

* Hàm số đồng biến trên khoảng
; .
4 4
* Hàm số nghịch biến trên khoảng ; .
Từ đây ta chọn A.
4 4
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Tương tự như ở ví dụ 1, ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải
bài toán.
Ấn
Máy hiện f X
thì ta nhập sinX cosX . Chọn STAR; TEND; STEP
phù hợp ta sẽ có kết quả như hình dưới:
Từ bảng giá trị của hàm số f x trên ta thấy khi x chạy từ 0,
785 đến 2,
3561 thì
4
4
3
giá trị của hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến trên khoảng
; .
4 4
7
Phân tích thêm: Khi x chạy từ
đến 5,
49778 thì giá trị của hàm số giảm dần, tức là
4 4
hàm số nghịch biến trên khoảng ; .
4 4
STUDY TIP
3
Ta chú ý ở đây có , 2 nên ta có thể suy ra STEP phù hợp. Trong bài
4 4 4 4
gán STEP
4 .
Ví dụ 6. Chọn câu đúng?
A. Hàm số y tan x luôn luôn tăng.
B. Hàm số y tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số y tan x
D. Hàm số y tan
tăng trong các khoảng 2 2
x tăng trong các khoảng k k2
k
k; k , k .
; , .
Lời giải
Chọn B.
Với A ta thấy hàm số y tan xkhông xác định tại mọi điểm x nên tồn tại các điểm làm
cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng.
Với B ta thấy B đúng vì hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k k, k .
2 2

Từ đây loại C và D.
Ví dụ 7. X t hai mệnh đề sau:
3
(I) x
;
2 : Hàm số 1
y giảm.
sinx
3
(II) x
;
2 : Hàm số 1
y giảm.
cos x
Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả 2 sai . D. Cả 2 đúng .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
3
Như bài toán x t xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy x1 x
2
;
2
1 1 sinx1 sinx
2
Lúc này ta có f x2 f x1
sinx sinx sinx sinx
2 `
3
Ta thấy x1 x
2
;
2 thì sinx1 sinx
2
0 sinx1 sinx
2
sinx
sinx
1 2
1 2
sinx sinx 0
1 2
0 f x1 f x
2
sinx
1.sinx2
. Vậy
1
Tương tự ta có y là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng.
cos x
Cách 2:
Sử dụng lệnh TABLE để x t xem hàm số tăng hay giảm trên máy tính.
1
Với hàm ta nhập MODE 7: TABLE ( ) MODE 7
sinx
Nhập hàm
f x như hình bên:
1
y là hàm tăng.
sinx
1 SI
N
ALPH
A
) ) =
START? ; END? 3 . STEP? .
2
10
1
Của hàm số y như hình bên. Ta thấy giá trị của hàm số tăng dần khi x chạy từ đến
sinx
3 3
. Nên ta kết luận trên ;
2
2 hàm số 1
y tăng.
sinx
Tương tự với II và kết luận.
Ví dụ 8. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. y tan x đồng biến trong
;
2 2
.
B. y tanx là hàm số chẵn trên D R \ k | k Z
2
.
C. y tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
D. y tanx luôn nghịch biến trong
;
2 2 .
Chọn B.
Lời giải
Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số y tanx nghịch biến trên
;0
2
biến trên 0; . Nên ta loại A và D.
2
Với B ta có f x tan x tan x f x
hàm số y tan x là hàm số chẵn.
Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B.
STUDY TIP
Ta suy di n đồ thị hàm hàm số
điệu của hàm số
y f x .
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x
y
f x
từ đồ thị hàm số y f x
nằm phía trên trục Ox .
- Hợp hai phần trên ta được đồ thị hàm số y f x
phía dưới trục Ox qua Ox .
.
và đồng
từ đó suy ra khoảng đơn
STUDY TIP
Với bài toán này ta có thể không suy di n đồ thị mà làm theo hướng tư duy sau:
- Với A: y tan x không xác định tại x
- Từ B suy ra C;D sai.
DẠNG 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lƣợng giác.
2 2
nên không thể đồng biến trên ;
2

*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số
y f x xác định trên miền D R .
1. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x
trên D nếu
2. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x
trên D nếu
Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:
1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa sin và cos .
3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.
10
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 2017cos(8 x ) 2016.
2017
A. min y 1;maxy 4033.
B. min y 1;maxy 4033.
C. min y 1;maxy 4022.
D. min y 1;max y 4022.
Phân tích
Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:
f x M, x D.
Bƣớc 1: Chỉ ra
Bƣớc 2 : Chỉ ra x0
D sao cho f x0
Kết luận : max f x
M
D
M .
Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Hàm số xác định trên R .
10
Ta có 1 cos8x 1, R.
2017
10
2017 2017cos 8x 2016 4033, R
2017
10
1 2017cos8x 2016 4033, R
2017
10
Ta có y 1 khi cos8x 1
2017
Vậy min y 1;maxy 4033 .
; y 4033 khi
.
10
cos8x 1
.
2017
f x M, x D
x0 D,f x0
M
f x m, x D
x0 D,f x0
m
Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay.
Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị max là 4022;4033 .
Chỉ có hai giá trị min là 1;-1.
Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC để thử giá trị:
10
Ví dụ ta nhập vào màn hình 2017cos8x 2016 4033 ta thấy phương trình có
2017
nghiệm.
10
Tương tự nhập 2017cos 8x 2016 1
ta thấy phương trình có nghiệm.
2017
Từ đây ta chọn B.
STUDY TIP

Trong bài toán ta chọn thử hai giá trị trên vì 4033 là giá trị lớn hơn và 1 là giá trị nhỏ hơn
nên ta thử trước. Nếu phương trình không có nghiệm thì sẽ là trường hợp còn lại.
2
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 2cos x 2 3sin x cos x 1
A. min y 0;maxy 4
B. min y 1 3;maxy 3
3.
C. min y 4;maxy 0.
D. min y 1 3;maxy 3 3 .
Lời giải
Chọn A.
Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong STUDY TIP ta đưa ra ở trên, ta sẽ đưa
y x x
sin u x hoặc
2
2cos 2 3sin x cos 1 về theo
Ta có
y x x
2
2cos 2 3sin x cos 1
cos u x .
2
2cos x1 3sin 2x 2 cos 2x 3 sin 2x
2 *
1 3
2
cos 2x sin 2x
2 2cos 2x
2
2 2
3
Mặt khác 1 2cos2x 2 4, x R
0 y 4, x R .
3
Ta có bài toán tổng quát:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y a sin u b cosu
trên R . Với
2 2
a,bR;a b 0.
Lời giải tổng quát
a
b
y asinu+bcosu y sin u cosu a b
2 2 2 2
a b a b
2
a b
Vì
1
2 2
2 2
a b a b
R sao cho
cos
2 2
a
a
b
2 2
2 2
y a b sin u.cos cosu.sin y a 2 b 2 .sin u
2 2 2 2
Vì 1 sin u
1 a b y a b
Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau:
và sin
a
b
b
2 2
2 2 2 2
y a sin f x bcos f x c . Ta có a b c y a b c
Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ dòng (*) như sau: Ta có
13 2 y 13 2 0 y 4 .
STUDY TIP
Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có
nghiệm của phương trình bậc nhất theo sin và cos như sau:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y asin
f x bcos
f x
c
2 2
điều kiện có nghiệm a b c y 2
asin f x bcos f x c y 0
được min,max của y.
sinx 2cos x 3
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y
2 cos x
2
2
A. min y ;maxy 2 . B. min y ;maxy 2
3
3
1 3
1 3
B. min y ;maxy D. min y ;maxy
2 2
2 2
Chọn B.
Lời giải
. Từ đây ta tìm

Cách 1: Ta có cos x 2 0, x R .
sinx 2cos x 3
y
sinx 2cos x 3 2y y cos x sinx 2 ycos x 3 2y
0
2 cos x
Ta sử dụng điều kiện ở STUDY TIP trong bài tổng quát trên.
2 2
2
Ta có 1 2 y 3
2y
2 2
4y 12y 9 y 4y
4 1 0
2
3y
8y
4 0
2
y 2
3
Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay
Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sinx 2cos x 3 2 thì
2 cos x
phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần
3
thử trường hợp max .
2
2
Lúc này chỉ còn A và B. Thử với min y thì không có nghiệm.
3
Từ đây chọn B.
STUDY TIP
a1 sinx b1 cos x c1
Nếu hàm số có dạng y
ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng
a
2
sinx b2 cos x c2
m u số, đưa về dạng phương trình trong STUDY TIP ở phía trên và tiếp tực lời giải.
4
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sinx cos x .
A. min y 1;maxy 1. B. min y 0;maxy 1
C. min y 1;maxy 0 . D. min y 1;maxy không tồn tại.
Chọn B.
Cách 1 : Ta có
Vậy khi sinx 1
cos x 0
4
0 sinx 1
0 cos x 1
x k2 ;k Z
Lời giải
4
0 sinx 1
1 cos x 0
1 y 1 .
Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay
STUDY TIP
Nhiều độc giả không lưu ý đổi dấu của bpt thứ hai của hệ khi nhân các vế với 1 d n đến chọn
đáp án sai.
4 4 2 2
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P cot a cot b 2 tan a.tan b 2
A. min y 2 . B. min y 6 .
C. min y 4 . D. Không tồn tại GTLN.
Chọn B.
Lời giải

2
2 2 2 2 2 2
cot cot 2cot .cot 2 tan .tan 2
2
cot 2 a cot 2 b 2cot 2 a.cot 2 b tan 2 a.tan 2 b 2
6
2
2 a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b a a b
2
2 2
2
cot a cot b 2cot a.cot b tan a.tan b
6 6
P a b a b a b
cot cot 2 cot .cot tan .tan 2cot .cotb.tan .tan 6
2 2
2
cot
a cot b
cot a 1
Dấu bằng xảy ra khi
2
cot a.cot b tan a.tan b
cot b 1
k
a b ,( k ).
4 2
STUDY TIP:
Với các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm lượng giác ta có thể đưa về dạng
y A 2 ( x)
B B . Nhưng cần lưu ý xem dấu bằng có xãy ra hay không.
Tiế he a có d 6 ộ câu hỏi khác ch d 2 nhƣ sau
Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
7
7
0, 0,
12
12
y x x x
2
2cos 2 3sin .cos 1 trên đoạn
lần lượt là
A. min y 2;max y 3. B. min y 0;max y 2 .
7
7
0, 0,
12
12
7
7
0, 0,
12
12
C. min y 0;max y 4 . D. min y 0;max y 3.
Lời giải
Chọn B.
Từ ví dụ 2 ta có y 2cos2x
2 . Đặt u 2x
3
3
7 3
Từ đề bài ta x t x
0; u
;
12
3 2
Ta lập BBT của hàm số y 2cosu 2 trên
3
;
3 2
.
7
7
0, 0,
12
12
7
0, 12
Từ bảng biến thiên ta thấy
3
;
3 2
min f (u) 0 khi u x
3
3
;
3 2
max f (u) 3 khi u x 0
3
Hay
min y0; max y 3.
7
7
0; 0;
12
12

STUDY TIP:
Với các bài toán tìm min, max của hàm số lượng giác trên một đoạn ta thường phải xét nhanh
BBT để giải quyết bài toán. Ở chương trình 11 ta chưa học đạo hàm nên chưa giải quyết được
bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số sử dụng đạo hàm. Sau khi học xong đạo hàm ta sẽ giải
quyết bài toán này nhanh chóng hơn.
2
Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y sin x sin x 2 .
7
7
A. min y ;max y 4. B. min y ;max y 2.
4
4
1
C. min y 1;max y 1. D. min y ;max y 2.
2
Lời giải
Chọn A.
Đặt sin x u; u
1;1
X t hàm số:
2trên 1;1
.
2
y u u
b
1 . Từ đây có bảng biến thiên
2a
2
Ta có: 1;1
7
Ta kết luận: min f
u
và max y 4 u 1.
1;1
4 1;1
7 1
Hay min y sin x và max y 4 sin x 1.
4 2
Ng i các hƣơng há giải các b i toán tìm GTLN – GTNN của h số ƣợng giác a ú
a ừ các d n a còn hƣơng há sử d ng bấ đẳng hức cơ bản. hƣơng há n
đƣợc c i ộ hƣơng há khó ì đòi hỏi nh sang ạ kĩ huậ ng iệc sử d ng bấ
đẳng hức.
Một số bất đẳng thức ta thường dung:
1.Bất đẳng thức AM – GM.
a. Với hai số:
a b
Cho hai số thực ablà , hai số dương, ta có
2
ab dấu bằng xảy ra khi a b.
b. Với n số:
Cho hai số thực x1; x2; x3;...; xn
là các số dương
n
N
*
, ta có
x1 x2 x3
...
xn
n
x1. x2. x3...
xn
dấu bằng xảy ra khi x1 x2 x3 ... xn
.
n
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky
a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.
2 2 2 2
a b c d ac bd 2
. Dấu bằng xảy ra khi a
b
c d
b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số

Với hai bộ số
a a a và
; ;...;
n
1 2
b1; b2;...; b n
ta có
a 2 2 2 2 2 2
2
1
a2 ... an b1 b2 ... bn a1b 1
a2b2
...
anbn
STUDY TIP
Ta có thể sử dụng tính chất của tam thức bậc hai để giải các bài toán tìm min max hàm lượng
giác như sau:
Cho hàm số
2
y ax bx c
2
b
+ Nếu a 0 thì ax bx c dấu bằng xảy ra khi x .
4a
2a
2
b
+ Nếu a 0 thì ax bx c dấu bằng xảy ra khi x .
4a
2a
+ Nếu hàm số đã cho là hàm bậc hai mà điều kiện không phải là x R thì ta phải lập
BBT để tìm min max
a1 a2
an
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .... với quy ước nếu một số b
i
nào đó
b b b
1 2
i 1, 2,3 bằng 0 thì a
i
tương đương bằng 0 .
2 2 2 2
c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
5
A. 1 . B.
2
Đá án B
Chọn B.
Ta có
n
1 1
2 2
a b c d 4abcd
2 2
y 1 cos x 5 2sin x
22
2 . C. 11
2 . D. 1 5.
Lời giải
1 1 1 5 1
2 2 2 4 2
2 2 2 2
y 1 cos x 5 2sin x y 1 cos x sin x
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1;
1 2
1 os
2 c x;
5 1
sin
2 x ta có:
4 2
1 5 1 1 5 1 9 1 22
2 4 2 2 4 2 4 2.1 2
2 2 2 2 2 2
1. 1 cos x 1. sin x 1 1 . 1 cos x sin x 2.
22
Hay y
2
1 2 5 1 2
Dấu bằng xảy ra khi 1 cos x sin x x k,
k
2 4 2 6
STUDY TIP
Trong bài toán ta có thể nhanh chóng nhận ra sử dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky bởi ở
trong căn lần lượt có
2
sin x và
2
cos
x. Ta cân bằng hệ số của
2
sin x và
2
cos
x để áp dụng tính
2 2
chất sin x cos x 1. Áp dụng Bunyakopvsky thì vế phải sẽ là hằng số, từ đó giải quyết
được bài toán.
Ví dụ 9. Cho hàm số
1 1
y
2 cos x 1cos
x
với x 0; . Kết luận nào sau đây là đúng?
2

A. min y khi x k
, k T B. min
3 3
C.
4
0;
2
min
2
y
3
0;
2
khi x k2 , k D. min
3
2
y
3
0;
2
khi
4
y
3
0;
2
khi
x
3
x .
3
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Ta thấy 2 cos x 0, x R và 1 cos x 0, x 0;
2 . Suy ra 1
2 cos x
1
là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có
1
cos x
1 1 2
2 cos x 1cos x 2 cos x 1cos
x
Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
2 cos x1
cos x 3
2 cos x1 cos x
2 2
2 4
y
2 cos x 1cos
x 3
STUDY TIP
Trong bài toán ta có thể nhanh chóng nhận ra sử dụng bất đẳng thức AM-GM bởi vì ta thấy
m u số của hai phân thức cộng lại sẽ ra hằng số, nên ở đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức
AM-GM.
Ta có thể giải quyết bài toán theo hướng khác đó là sử dụng bất đẳng thức cộng m u.
Với xy , là hai số thực dương ta có 1 1 4 dấu bằng xảy ra khi x
y
x y x y
Vậy
4
min y
0; 3
2
, dấu bàng xảy ra khi
1
cos x x vì x 0;
2 3 2 .
Cách 2: Để ý đề bài hỏi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng 0;
2 .
Trên đây là hai ví dụ sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác mà
không có liên hệ cho trước. Ví dụ 1 dưới đây là một ví dụ khó hơn về sử dụng bất đẳng thức
kết hợp với lượng giác để giải quyết.
Ví dụ 10. Cho x, y, z 0 và x y z . Tìm giá trị lớn nhất của
2
y 1 tan x.tan y 1 tan y.tan z 1
tan z.tan
x
A. ymax 1 2 2 . B. ymax 3 3 . C. ymax 4 . D. ymax 2 3.
Lời giải
Chọn D.
x y z x y
z x y tan
tan x
tan y 1
z
2 2 2 1
tan x.tan y tan z
tan x.tan z tan y.tan z 1 tan x.tan
y tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y 1
Ta có tan
và

Ta thấy tan x.tan z; tan y.tan z; tan x.tan
y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn
thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:
1. 1 tan x.tan y 1. 1 tan y.tan z 1. 1 tan z.tan
x
2 2 2
1 1 1 . 1.tan x.tan
z 1.tan y.tan z 1.tan x.tan
y
3 3 tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan
y 2 3
Vậy ymax 2 3
Đọc thêm
DẠNG 5: Dạng đồ thị của hàm số lƣợng giác
Các kiến thức cơ bản về dạng của hàm số ƣợng giác đƣợc đƣa a ở phần 1:
Lý thuyế cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận
dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả.
Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số cơ bản:
Các kiến thức liên quan đến suy di n đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Đồ thị hàm số
y f x
Đồ thị hàm số y f x
gồm *Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị
y f x .
*Đối xứng phần đồ thị của hàm số
y f x
phía dưới trục hoành qua trục
hoành.
gồm *Phần đồ thị của hàm số y f x
bên phải trục Oy .
nằm

Đồ thị hàm số y u x . vx
.
f x u x v x gồm
với
y f x
. Từ đồ thị hàm số y f x
*Đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy .
*Phần đồ thị của hàm số
miền thỏa mãn u x 0 .
*Đối xứng phần đồ thị
miền u x 0 qua trục hoành.
ta suy di n:
y f x
trên
y f x
trên trên
Cho hàm
số
Ở phần lý thuyết có đưa ra phần đọc thêm về hàm số y asin( x b)
c với
a; b; c; ; a
0.
Hàm số
2
y asin x b c,( a, b, c, R, a
0) cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì
và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Tương tự hàm số y acos( x b),( a, b, c, , a
0) cũng là một hàm tuần hoàn với
chu kì 2
và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
Ta có ví dụ sau:
Ví dụ 11. Hình nào dưới đây biểu di n đồ thị hàm số y f ( x) 2sin 2 x?
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta thấy 2 2sin 2x
2 nên ta có loại A và B.
Tiếp theo với C và D ta có:

Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì 2
.
2
Ta thấy với x 0 thì y 0 nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án C.
x
Ví dụ 11. Hình vẽ nào sau đây biểu di n đồ thị hàm số y cos ?
2
A. B.
C. D.
Chọn D
x
Ta thấy 1 cos 1 nên ta loại B.
2
Tiếp theo ta có hàm số
Lời giải
x
y cos có chu kì tuần hoàn là
2
x
Ta thấy với x 0 thì y cos cos0 1 nên ta chọn D.
2
Ví dụ 12. Cho đồ thị hàm số y cos x như hình vẽ :
T
2
4 .
1
2
Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số y cos x
2?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A

Ta thực hiện ph p tịnh tiến đồ thị hàm số
đồ biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên).
Ví dụ 13. Cho đồ thị hàm số y sin x như hình vẽ:
y cos x trên trục Oy lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ
Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y sin x ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Suy di n đồ thị hàm số y sin | x|
từ đồ thị hàm số y sin x:
Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số
Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy .
y sin x nằm bên phải trục Oy .
Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy di n ở trên. Phần đồ thị n t đứt là
phần bỏ đi của đồ thị hàm số y sin x.
STUDY TIP
Ngoài ra ở bài toán này, ta có thể áp dụng tính chất hàm chẵn lẻ mà tôi đã cung cấp ở phần xét
tính chẵn lẻ của hàm số phía trước. Hàm số
y sin x là hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua
trục Oy.
Nhìn các phương án A, B, C, D chỉ có phương án D là không có đồ thị đối xứng qua
trục Oy.
Tiếp theo ta tìm giá trị của một số điểm đặc biệt và chọn được C.
Ví dụ 14. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y sin x ?

A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Suy di n đồ thị hàm số y | sin x|
từ đồ thị hàm số y sin x:
Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị y sin x.
Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số
y sin x phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Cách 2: Ta thấy | sin x| 0,
x nên đồ thị hàm số y | sin x|
hoàn toàn nằm trên trục Ox .
Từ đây ta chọn B.
Câu 1.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. TÌM TẬ XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1
cos x
Tìm tập xác định của hàm số y .
sin x
A. D R \ k
| k Z
. B. D R \
k
| k Z
C. D R \
k2 | k Z
. D. D R \ k2 | k Z.
Câu 2. Tập xác định của hàm số y sin 5x tan 2x
là:
Câu 3.
A. R \ k
, k Z.
2
R \ k 1 , k Z.
2
C.
.
k
B. R \ , k Z.
4 2
D. R .
3
1
cos x
Tập xác định D của hàm số ytan
x là
3
1 sin x
A. R \ k2 | k Z
.
B. R \ k
| k Z
.
2
2

k
C. R \ | k Z
.
2 2
Câu 4. Tập xác định của hàm số y tan 2x
3 là
Câu 5.
A. R \ k
| k Z
.
2
C. R \ k
| k Z
.
12
X t bốn mệnh đề sau
(1) Hàm số y sin x có tập xác định là R .
(2) Hàm số y cos x có tập xác định là R .
(3) Hàm số y tan x
có tập xác định là R k k Z
k
D. R \ | k Z .
2
B. R \ k
| k Z
.
6
k
D. R \ | k Z
.
12 2
\ | .
(4) Hàm số y cot x có tập xác định là R \ k | k Z .
2
Số mệnh đề đúng là
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 4.
Câu 6. Tập xác định của hàm số y cos x là
Câu 7.
A. D 0;2 .
B. D
C. D R.
D. D R\ 0 .
Tập xác định của hàm số
1 1
y sin x
cos x
là
0; .
A. R \ k | k Z.
B. R k k Z
\ 2 | .
C. R \ k
| k Z .
D. R \ k | k Z .
2
2
Câu 8. Tìm tập xác định của hàm số y 3tan x 2cot x x.
A. D R \ k
| k Z .
2
C. D R \ k | k Z .
4 2
B. D R \ k | k Z
.
2
D. D
R.
1
Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số y
.
2 2
sin x
cos x
A. R \ k
| k Z
.
B. R \ k | k Z .
2
2
C. R .
D. R \ k | k Z
.
4 2
2017 tan 2x
Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số y
.
2 2
sin x
cos x
A. R \ k
| k Z
.
B. R \ .
2
2

C. R .
D. R \ k | k Z
.
4 2
sin x
Câu 11. Tập xác định của hàm số y
.
sin x
cos x
A. D R \ k
| k Z .
B. D R \ k | k Z
.
4
4
C. D R \ k; k
| k Z .
4 2
sin
Câu 12. Tìm tập xác định của hàm số y
sin x
A. D R \ k2 | k Z .
4
C. D R \ k; k
| k Z .
4 2
x
cos
Câu 13. Tập xác định của hàm số y
sin 2x 1 là
A. D R k
k Z
.
x
\ | .
B. D
R.
D. D R \ k
| k Z .
4
B. D R \ k | k Z
.
4
D. D R \ k
| k Z .
4
C. D R \ k; k
| k Z .
D. D R \ k2 | k Z .
4 2
2
tan x
Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số y
.
15 14cos13x
D R \ k
| k Z .
B. D
R.
A.
C. D R \ k
| k Z .
2
Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số:
A. . D R k
k Z
y
D. D R \ k
| k Z
4
.
cot 2x
.
2017 2016sin 2015x
\ | .
B. D R.
.
C. D R \ k
| k Z .
2
Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số:
y
D. D R \ k | k Z
.
2
20 19cos18x
.
1
sinx
D R \ k2 | k Z .
A. D R \ k
| k Z.
B.
C. D R \ k2 | k Z .
2
Câu 17. Hàm số nào sau đây có tập xác định là R ?
Câu 18.
A. y 2cos x . B.
D. D R \ k | k Z
.
2
1
y cos .
x
tan 2x
C. y
2
sin x 1
. D. sin 2x
3
y
cos 4x
5
.
Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. y tan x. B.
C.
sin x
cos x
y .
cos x
tan 2017x
2018
1
y . D. y
2
cos x
1
sin x
Câu 19. Hàm số y
2
cos x 1 1 cos x chỉ xác định khi:
A. x k
, k Z .
2
B. x 0.
C. x k
, k Z . D. x k2 , k Z .
Câu 20. Hàm số y 1 sin 2x 1 sin 2x
có tập xác định là:
A. . B. R .
5
13
C.
k2 ; k2 , k Z
6 3
. D. k2 ; k2 , k Z
6 6
.
Câu 21. Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số y sin xcó tập xác định là các đoạn
k2 ; k2 , k Z
2 2
.
B. Hàm số y cos x
có tập xác định là các đoạn
k2 ; k2 , k Z .
C. Hàm số y sin x cos x có tập xác định là các đoạn
k2 ; k2 , k Z
2
D. Hàm số
1
y có tập xác định là các đoạn k2 ; k2 , k Z
sin x
2
.
Câu 22. X t hai mệnh đề:
1
(I): Các hàm số y sin x
và y cot xcó chung tập xác định là R \ x | x k
, k Z.
1
(II): Các hàm số y cos x
và y tan
x có chung tập xác định là R \ x | x k
, k Z
2 .
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng.
Câu 23. Cho hàm số y f ( x) sin x cos x với 0 x 2
. Tập xác định của hàm số là:
3
A. 0; . B.
;
2 2
. C.
0;
2
. D.
0;
2 .
tan x 1
Câu 24. Cho hàm số y f ( x) , 0
x . Tập xác định:
tan x 1
A. 0;
2 . B. 2
;
. C. 0; \
2
. D. 0; \ 4 ;
2 .
2 x
Câu 25. Tập xác định của hàm số y 3tan
2 4 là:
A. R . B. R \ k
, k Z
2
.
C.
3
R \
k2 , k Z
2
. D. \
R k
2
2 ,
k Z
.
Câu 26. Tập xác định của hàm số y 2cot 2x
3 là:
.
.

2
k
A. R \ , k Z
3 2 . B. \
R k
6
,
k Z
.
C. R \ k2 , k Z
6
. D. 5
k
R \ , k Z
12 2 .
cos 2x
Câu 27. Cho hàm số y . Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định ( k
Z)
1 tan x
3
A. k2 ; k2
2 4 . B.
k
2 2 ;
k
2
2
.
3
3
C. k2 ; k2
4 2 . D. 3
k2 ; k2
2 .
Câu 28. Xét hai câu sau:
(I): Các hàm số y sin x và y cosx có chung tập xác định là R .
(II): Các hàm số y tan x và y cot x có chung tập xác định là
R \ x | x
k x | x k,
k Z .
2
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng.
cos3x
Câu 29. Tập xác định của hàm số y
là:
cos x.cos
x .cos
x
3 3
k 5
A. R \ ; k ; k ,
k Z
6 3 6 6
. B. 5
R \
k; k,
k Z
6 6 .
5
C. R \ k ; k ;
k
, k Z
2 6 6 . D. 5 k
R \ k; , k Z
2 6 2 .
2
5sin 2 3 cos 5
x
x
Câu 30. Tập xác định của hàm số f( x)
là:
12sinx cos x
k
A. D R \ k2 | k Z. B. D R \ | k Z
2 .
C. D R \ k | k Z
. D. D R \ k
| k Z
2 .
Câu 31. Tập xác định của hàm số 1 cos x
2sin x 1
là:
7
A. D R \
k2 ; k 2 | k Z
6 6
. B. 7
D R \
k
| k Z
6
.
C. D R \ k | k Z
6
. D. 7
D R \
k; k
| k Z
6 6
.
5 3cos 2x
Câu 32. Tập xác định của hàm số
là:
1sin 2x
2
A. D R \ k
| k Z
. B. D R .
k
C. D R \ | k Z
2
. D. D R \ k2 | k Z
.

1
cos x
Câu 33. Tập xác định của hàm số y cot x
6 1
cos x
là:
A. D R \ k2 | k Z
6
. B. 7
D R \
k,k 2 | k Z
6
.
C. D R \ k 2 | k Z
.
D. D R \ k
| k Z
6
.
Câu 34. Tập xác định của hàm số y
1
2 sin x
2
tan x 1
là:
A. D R \ k; k | k Z
4 2
. B. \ k
D R
2
|
k Z
.
C. D R \ k | k Z
4
. D. \
D R k
4
|
k Z
.
1tan 2x
3
Câu 35. Hàm số y
có tập xác định là:
2
cot x 1
A. D R \ k ,k | k Z . B. D R \ k
,k | k Z
6 2 12 2 .
C. D R \ k ;k | k Z . D. D R \ k ;k | k Z
12
12 2 .
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số ƣợng giác
Câu 36. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y 2cos x . B. y 2sin x. C. y 2sin( x)
. D. y sin x cos x .
Câu 37. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. y 2cos x. B. y 2sin x . C.
y
2
2sin x 2. D. y 2cos x 2
.
2
Câu 38. Hàm số y sin x.cos
x tan x là:
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ
C. Vừa chẵn vừa lẻ. D. Không chẵn không lẻ.
2
1
sin 2x
Câu 39. X t tính chẳn lẻ của hàm số y ta kết luận hàm số đã cho là:
1 cos3x
A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ .
C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Không chẵn không lẻ
Câu 40. Xét các câu sau:
I.Hàm số y sinx sin xlà hàm số lẻ.
II.Hàm số y cosx cos x là hàm số chẵn.
III.Hàm số y sinx cos x là hàm số lẻ.
Trong các câu trên, câu nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III) . D. Cả 3 câu .
Câu 41. Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ:
A. y sin x . B.
y
2
sin x .

cot x
tan x
C. y . D. y .
cos x
sin x
tan 2x
Câu 42. Hàm số y có tính chất nào sau đây?
3
sin x
A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.
C. Hàm không chẵn không lẻ. D. Tập xác định D R.
Câu 43. Hãy chỉ ra hàm số không có tính chẵn lẻ
1
A. y sinx tanx . B. y tan x .
sin x
C. y 2 sin x
4 . D. 4 4
y cos
x sin x .
Câu 44. Hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A. y 2 sin x
4 . B. 1
y 2013
sin x
.
C. y cosx
. D. 1 sin 2012
4 y x .
Câu 45. Hàm số nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
1
A. y sin 2017x
. B. y sin x
. C. y cos x. D. y sin 2x
.
Câu 46. Hãy chỉ ra hàm nào là hàm số chẵn:
2016
cot x
A. y sin x.cosx
. B. y
2
tan x 1
.
3
C. y sinx.cos6 x . D. y cos x.sin
x .
Câu 47. X t hai mệnh đề:
(I)Hàm số y f ( x) tanx cotx là hàm số lẻ
(II) Hàm số y f ( x) tanx cotx là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
Câu 48. X t hai mệnh đề:
(I)Hàm số y f ( x) tanx cosx là hàm số lẻ
(II) Hàm số y f ( x) tanx sinx là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
Câu 49.
2
Hàm số y 1sin
xlà:
A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.
C. Hàm không chẵn không lẻ. D.Hàm số không tuần hoàn.
Câu 50. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y sin 2x. B. y x.cosx
.
C. y cos x.cot
x . D.
Câu 51. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y sin x . B.
C.
tanx
y sin x
.
y x 2 .sinx .
x
y . D. y x sin x .
cos x

Câu 52. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
1
A. y sin x .cos 2 x . B. y 2cos 2x.
2
x
C. y . D. y 1 tan x.
sin x
Câu 53. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. y sinx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ . B. y cos xcó đồ thị đối xứng qua trục Oy .
C. y tan x có đồ thị đối xứng qua trục Oy . D. y cot x có đồ thị đối xứng qua gốc tọa
độ.
Câu 54. Cho hàm số y cos x xét trên
;
2 2
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm không chẳn không lẻ. B. Hàm lẻ.
C. Hàm chẳn. D. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành.
Câu 55. Tìm kết luận sai:
3
A. Hàm số y x.sin
x là hàm chẵn .
sin x.cosx
B. Hàm số y
là hàm lẻ .
tan x
cot x
sin x
tan x
C. Hàm số y
là hàm chẵn.
sin x
cot x
D. Hàm số
3 3
y cos x sin x
Câu 56. Nhận x t nào sau đây là sai?
sin x
tan x
A. Đồ thị hàm số y
2sin x
3cot x
là hàm số không chẵn không lẻ.
nhận trục Oy làm trục đối xứng.
2
x
B. Đồ thị hàm số y
nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.
sin x
tan x
2008
sin n x 2009 ,
C. Đồ thị hàm số y n Z
nhận trục Oy làm trục đối xứng.
cos x
y sin 2009 x cos nx,
n Z nhật góc tọa độ làm tâm đối xứng.
D. Đồ thị hàm số
Câu 57. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có trục đối xứng.
2008
cos n x 2003
A. y . B. y tan x cot x .
2012sin x
cos x
1
C. y
. D. y
6 4 2
6x 4x 2x
15
2sin x 1
.
Câu 58. Cho hàm số y
2
cos x2 cot
x
. Hàm số trên là hàm số.
sin 4x
A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.
Câu 59. Hàm số y cos 2 x.sin
x
4 là
A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.
Câu 60. Xác định tĩnh chẳn lẻ của hàm số:
2
y 1 2x
cos3x
A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.

DẠNG 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Câu 61. Trong khoảng 0; , hàm số sin cos
2 x x là hàm số:
A. Đồng biến. B. Nghịch biến.
C. Không đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.
Câu 62. Hàm số y sin 2x
k Z ?
A. k2 ; k2
nghịch biến trên các khoảng nào sau đây
3
. B. k;
k
4 4 .
3
C. k2 ; k2
2 2 . D.
k
4 ;
k
4 .
Câu 63. Hàm số y cos 2x
k Z ?
nghịch biến trên khoảng
A. k; k
2 . B.
k 2
;
k
.
C. k2 ; k2
2 2 . D.
3
k2 ; k2
2 2 .
Câu 64. X t các mệnh đề sau:
3
(I): x
;
2 :Hàm số 1
y sin x
giảm.
3
(II): x
;
2 :Hàm số 1
y cos x
giảm.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
Câu 65. Cho hàm số y 4sin x cos x sin 2x
. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến
6 6
thiên của hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 0;
4 và 3
;
4 .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên 0; .
3
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0;
4 .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; và nghịch biến trên khoảng ;
4 4 .
Câu 66. Với k Z , kết luận nào sau đây về hàm số y tan 2x
là sai?
A. Hàm số y tan 2xtuần hoàn với chu kỳ T .
2
k k
B. Hàm số y tan 2xluôn dống biến trên mỗi khoảng ;
2 2 2 2 .
k
C. Hàm số y tan 2xnhận đường thẳng x là một đường tiệm cận.
4 2
D. Hàm số y tan 2x
là hàm số lẻ.
Câu 67. Để hàm số y sin x cos x tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

3
A. k2 ; k2
4 4 . B. 3
k;
k
4 4 .
C. k2 ; k2
2 2
. D. k 2 ;2 k 2
.
Câu 68. X t hai mệnh đề sau:
(I): x
;
2 2 :Hàm số 2
y tan x tăng.
(II): x
;
2 2 :Hàm số 2
y sin x tăng.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.
Câu 69. Hãy chọn câu sai: Trong khoảng k2 ; k2 ,
k Z thì:
2
A. Hàm số y sin xlà hàm số nghịch biến .
B. Hàm số y cos xlà hàm số nghịch biến.
C. Hàm số y tan xlà hàm số đồng biến.
D. Hàm số y cot xlà hàm số đồng biến .
Câu 70. Bảng biến thiên của hàm số y f ( x) cos 2x
trên đoạn
A. B.
3
;
2 2
là:
C. D.
Câu 71. Cho hàm số
x
y cos . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
; là:
2
A. B.
C. D.
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Câu 72. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y 4cos x là:

A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1.
Câu 73. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
y
2
1 cos x 2 là:
A. 0 và 2 1. B. 1 và 2 1. C. 2 và 1 D. 1 và 1
Câu 74. Cho hàm số y sin x
.
Giá trị lớn nhất của hàm số là:
4
A. 1. B. 0 . C. 1. D. . 4
Câu 75. Giá trị lớn nhất của hàm số
6 6
y sin x cos x
là:
2
A. . B. 1. C. 2 . D. 2 .
2
sin x 1
Câu 76. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y là:
cos x 2
A. 1 2 . B. 2
2
. C. . D. 0 .
2
2
cos x2sin x3
Câu 77. Giá trị lớn nhất của hàm số là: y
2cosxsinx4
A. 0 . B. 3 2 3. . C. 2 2 2. . D. 1. .
1 2 2
Câu 78. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 3 sin x cos x là
5
A. 59
B. 14 C. 3 D. 29
20
5
10
Câu 79. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4sin x 2cos x là
Câu 80. Hàm số
Câu 81. Hàm số
A. 2 5 B. 2 5
C. 0 D. 20
2
y 4sin x 4cos x
đạt giá trị nhỏ nhất là
A. 1
B. 4
C.
5
4
2
3 1
tan x
2
y4cot 2x đạt giá trị nhỏ nhất là
tan x
D. 5
A. 0 B. 3 2 3
C. 2 2 2
D. 1
Câu 82. Hàm số y 2cos x sin x
đạt giá trị lớn nhất là
4
A. 5 2 2
B. 5 2 2
C. 5 2 2 D. 5 2 2
Câu 83. Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 4
y sin x cos x sinx cos x
là
A. 9 8
B. 5 4
C. 1 D. 4 3
Câu 84. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x cos x sin x là
A. 0 B. 2 C. 4 2 D. 6
Câu 85. Giá trị lớn nhất của hàm số
2 2 2 2
y cos x 7sin x sin x 7cos x
là
A. 1 7
B. 1 7
C. 4 D. 14

Hƣớng dẫn giải chi tiết
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Câu 1. Đáp án A.
x
k2
Hàm số đã cho xác định khi sin x 0 , k
x
k2
Nếu giải đến đây ta có thể d dàng loại B,C,D vì:
Với C thì thiếu x k2 ,
k
Với B,D thì không thõa mãn.
Với A ta kết hợp gộp nghiệm thì ta được x k
, k
Câu 2. Đáp án B.
Ở đây sin5x xác định với mọi số thực x . Nên ta đi tìm điều kiện cho tan 2x xác định khi
k
2 x k
, k x , k
2 4 2
Câu 3. Đáp án B.
Hàm số đã cho xác định khi
cos x 0
x k
, k
x k
, k 2
2
D \ x k
, k
3
sin x 1
2
sin x 1 x k2 , k
2
Câu 4. Đáp án D.
Hàm số đã cho xác định khi
k k
cos2x 0 2 x k
x , k D \ , k
3 3 2 12 2 12 2
Câu 5. Đáp án B.
Mệnh đề 1 và
Mệnh đề 3 và
2 là đúng
4 là sai
Sửa lại cho đúng như sau
3
Hàm số y tan x có TXĐ là \ k
, k
2
4 Hàm số y tan x
có TXĐ là \ k , k
Câu 6. Đáp án B.
Hàm số đã cho xác định khi x 0
Câu 7. Đáp án D.
x
k
sin x 0
k
Hàm số đã cho xác định khi x , k
cos x 0 x k
2
2
Câu 8. Đáp án B.
x
k
sin x 0
k
Hàm số đã cho xác định khi x , k
cos x 0 x k
2
2
Câu 9. Đáp án D.
2 2
k
Hàm số đã cho xác định khi sin x cos x 0 cos 2x 0 x , k
4 2
Câu 10. Đáp án D.

2 2
sin xcos x0
k
Hàm số đã cho xác định khi
cos 2x 0 x , k
cos 2x
0
4 2
Câu 11. Đáp án A.
Hàm số đã cho xác định khi
sin x cos x 0
2 sin x 0 sin x 0 x k
, k
4 4 4
Vậy TXĐ D
\ k
, k
4
Câu 12. Đáp án D.
Hàm số đã cho xác định khi
sin x cos x 0
2 sin x 0 sin x 0 x k
, k
4 4 4
Vậy TXĐ D
\ k
, k
4
Câu 13. Đáp án B.
Ta có sin 2x 1, x sin 2x 1 0, x
. Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x
Câu 14. Đáp án C.
15
Ta có cos13x 1 15 14cos13x 0 .
14
Vậy hàm số đã cho xác định khi cos x 0 x k
, k
2
Câu 15. Đáp án D.
k
Tương tự câu 14, hàm số đã cho xác định khi sin 2x 0 x , k
2
Câu 16. Đáp án C.
20 19cos18x
0
Hàm số đã cho xác định khi 1
sin x
1 sin x 0
Mà 19 20cos18x 0, x nên hàm số đã cho xác định
1 sin x 0 sin x 1 x k2 ,
k
2
Vậy hàm số đã cho xác định khi cos x 0 x k
, k
2
Câu 17. Đáp án D.
Với A thì hàm số xác định khi x 0
Với B thì hàm số xác định khi tan 2x xác định 2 x k
, k .
2
Với C thì hàm số xác định khi x 0
Với D thì sin 2 x 3 0, x
cos 4x
5
Vậy ta chọn D vì các phương án trên không có phương án nào thỏa mãn hàm số có tập xác định
là .
Câu 18. Đáp án C.
Với A thì hàm số xác định khi cos x 0
Với B thì hàm số xác định khi cos x 0

cos x 0
Với C thì hàm số xác định khi
cos 2017x
0
Từ đây ta chọn C do khác với A và B
Câu 19. Đáp án D.
Hàm số đã cho xác định khi cos x 1 0, mà cos x1 0, x , do vậy để hàm số xác định
thì cos x 1 x k2 , k
Câu 20. Đáp án B.
1 sin 2x
0
Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi 1
sin 2x
1
đúng với mọi x
1 sin 2x
0
Cách 2: y sin x cos x sin x cos x ,tập xác định là
Câu 21. Đáp án C.
Với A thì hàm số y sin x xác định khi sin x 0 k2 x k2 , k . vậy A sai.
Với B thì hàm số y cos x xác định khi cos x 0 k2
x k2 ,
k cos x 0
2 2
Với C thì hàm số xác định khi y cos x sin x xác định khi
cos x 0
k2
x k2 ,
k . Vậy C đúng.
sin x 0 2
Câu 22. Đáp án D.
1
Ta thấy cả hai hàm số y sin x
và y cot xđều xác định khi sin x 0 . tương tự thì hai hàm số
ở mệnh đề II đều xác định khi cos x 0.
Câu 23. Đáp án C.
Câu 24. Đáp án D.
Hàm số xác định khi
x
0;2
0 x 2
sin x 0 0 x 0 x
2
cos x 0
x
2 2
0
x
0
x
cos 0 0; \ ;
2 4 2
tan x 1
x
4
Hàm số xác định khi x x x
Câu 25. Đáp án C.
Câu 26. Đáp án A.
Hàm số xác định khi
x 3
cos
0 x k2 , k
2 4 2
2 k
Hàm số xác định khi sin 2x 0 x , k
3 3 2
Câu 27. Đáp án B.

x k
cos x 0
Hàm số đã cho xác định khi
2
, k
tan x 1
x k
4
Khoảng k2 ; k2
2 2 chứa
x k
4
2 nên hàm số không xác định trong khoảng
này
Câu 28. Đáp án A.
Hàm số
Câu 29. Đáp án A.
y tan x tập xác định là \ x / x k
, k , Hàm số cot
2 y x tập xác định là
\ x / x k
, k , suy ra (II) sai
Hàm số đã cho xác định khi cos3 x.cos x .cos x 0
3 3
k k
cos3x 0 x
6 3
x
6 3
5
cos x 0 x k
x k,
k Z
3 3 2
6
cos x 0 x k
x k
3 3 2 6
Câu 30. Đáp án B.
2
5sin 2x3 cos x 5
Hàm số f x
xác định khi
12sin x cos x
sin x 0 x k
k
2 ; k Z x , k Z .
cos x 0 2
x
k
Câu 31. Đáp án A.
x k2
1 6
ĐK: 2sin x1 0 sin x
.
2 7
x k2
6
7
Tập xác định D \
k2 ; k2 | k Z
6 6
.
Câu 32. Đáp án A.
Ta có 1 cos2x
1 nên 5 3cos2x
0, x .
Mặt khác 1 sin2x
0.
2
Hàm số đã cho xác định 1 sin2x
0
2
A. sin2x 1 2x k2 x k, k Z.
2
2 2
D \ k,
k Z .
Tập xác định
Câu 33. Đáp án B.

1
cos x
Vì 1 cos x 1 nên 1cos x 0 và 1 cos x 0 0.
1
cos x
sin x 0
x k
Hàm số xác định
6 6 , k
Z .
1 cos x 0
xk2
Tập xác định của hàm số là \ k, k2 | k Z
6
.
Câu 34. Đáp án A.
Vì 1 sin x 1 neen 2 sin x 0, x .
2 sin x 0
x k
2
tan x 1
Hàm số xác định
4
tan x 1 0
, k Z .
cos x 0
cos x 0
x k
2
Vậy D \ k, k,
k Z
4 2 .
Câu 35. Đáp án D.
Hàm số xác định khi
2
cot x 1 0
cos 2x0
3
sin x 0
2x k x k
3 2 12 2 , k
Z .
x
k
x
k
Vậy tập xác định của hàm số là D \ k , k,
k Z
12 2 .
Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lƣợng giác.
Câu 36. Đáp án A.
Với A: TXĐ: D .
x x 2cos x 2cos x.
Ta có với
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 37. Đáp án B.
Với A: Ta có x
2cos 2cos x.
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Với B: Ta có:
2sin x 2. sin x 2sin x f x .
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Vậy ta chọn B.
Câu 38. Đáp án B.
Hàm số đã cho có tập xác định D \
k,
k Z
2
.
. Ta có f x sinxcos 2
x tan
x
2
tan
Vậy với x D x D
sin x.cos
x x f x .
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Đáp án B.

Câu 39. Đáp án A.
Tập xác định của hàm số là
Ta có f x
D \ 2k 1
| k Z là tập đối xứng.
3
2
2 2
1sin 2x
1
sin 2x
1
sin 2x
.
1 cos 3x 1 cos 3x 1 cos3x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 40. Đáp án C.
Ta loại I và II do khi sin 0
x thì x
sin sin x 0 , do đó sin x không tồn tại.
Với III: Hàm số xác định khi cos x 0 k2 x k2 ,
k Z .
2 2
Tập xác định của hàm số là tập đối xứng.
Do vậy, ta xét f x sin x. cos x sin x. cos x f x
.
Vậy III đúng.
Câu 41. Đáp án C.
Với A: Tương tự như câu 26, thì ta loại A.
Với B: Tập xác định D là tập đối xứng.
Ta có 2
f x x x x
2 2
sin sin sin . Vậy hàm sô ở phương án C là hàm số lẻ.
Câu 42. Đáp án A.
cos2x
0
Ta loại D vì để hàm số đã cho xác định thì nên tập xác định của hàm số đã cho
sin x 0
không thể là hàm số chẵn.
tan 2x
tan 2x
Do f x
f
3 3
x
.
sin x
sin
x
Câu 43. Đáp án B.
Ta thấy các hàm số ở phương án A,C là các hàm số lẻ, còn ở phương án D là hàm số chẵn. Do
vậy, ta chọn B. Thật vậy 2 sin x 2 sin x 2 sin x
4 4 4 .
Câu 44. Đáp án C.
Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó ta đi tìm hàm số lẻ trong bốn hàm
số đã cho. Với bài toán này ta đi tìm hàm số là hàm số lẻ. Với các bạn tinh ý thì ta có thể chọn
luôn C.
Lý giải:
D \ k | k Z là tập đối xứng.
Tập xác định
f x 1 1
2013 2013
sin x
sin x
f x
. Vậy hàm số ở phương án C là hàm số lẻ có đồ thị đối
xứng qua gốc tọa độ.
Câu 45. Đáp án B.
Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng do đó ta đi tìm hàm số chẵn trong bốn
hàm số đã cho.
Hàm số ở D loại vì lí do tương tự câu 26.
Hàm số A và C là hàm số lẻ. Do vậy ta chọn B.
Câu 46. Đáp án A.
Với A: TXĐ: D .

Ta có
2016 2016
f x sin x .cos x sin x.cos
x .
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Các hàm số ở B, C, D đều là hàm số lẻ.
Câu 47. Đáp án D.
(I) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
f x tan x cot x tan x cot x f x .
Ta có
Vậy (I) đúng.
(II) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
Ta có
f x tan x cot x tan x cot x f x .
Vậy (II) đúng.
Câu 48. Đáp án A.
- Với (I) ta có f x tan x cos x
tan x cos x f x f x
.
Vậy hàm số ở (I) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.
f x tan x sin x tan x sin x f x .
- Với (II) ta có
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 49. Đáp án C.
Tập xác định của hàm số D .
Ta có f x 1 sin 2
x 1 sin x 2
2
x f x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 50. Đáp án D.
D thấy hàm số y sin 2x
là hàm số lẻ.
1 sin .
Với B ta có f x x x x x f x
.cos .cos .
Vậy hàm số ở B là hàm số lẻ.
D \ k | k Z là tập đối xứng.
Với C ta có TXĐ
f x x x x x f x
cos .cot cos . cot .
Vậy hàm số ở C là hàm số lẻ. Vậy ta chọn D.
Câu 51. Đáp án A.
Ta chọn luôn A vì ở phần ví dụ ta có đưa ra hàm số y f x là hàm số chẵn trên D.
Câu 52. Đáp án A.
Với A: Tập xác định D .
Ta có f x 1 sin x.cos2x 1 sin x.cos2 x f x.
2 2
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 53. Đáp án A.
Ta thấy hàm số ở phương án A là hàm số chẵn thì ta có đồ thị đối xứng qua trục tung, chứ
không phải đối xứng qua gốc tọa độ.
Câu 54. Đáp án C.
Tập D ;
2 2 là tập đối xứng.
Ta có f x cos( x) cos x f x
Câu 55. Đáp án B.
. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn
Vói A: Ta có f x x 3 x x 3 x f x
sin sin . vậy A đúng.

Với B : Tập xác định D là tập đối xứng .
sin xcos x
sin xcos
x
Ta có f x
tan x cot x tan x cot x
sin xcos
x
tan x
cot x
= f x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Vậy B sai.
Câu 56. Đáp án D.
sin( x) tan( x)
Với A : Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng . Ta có f x
2sin( x) 3cot( x)
sin x tan x sin x tan x
=
f( x)
. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận
2sin x 3cot x 2sin x 3cot x
trục oy làm trục đối xứng . Vậy A đúng.
2 2
( x)
x
Với B : Ta có f ( x) f ( x)
. Vậy hàm số đã cho là hàm
sin( x) tan( x) sin x tan x
số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . vậy B đúng .
2008n
2008n
sin ( x) 2009 sin x
2009
Với C : Ta có f ( x) f ( x).
Vậy hàm số đã cho là
cos( x) cos x
hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng . Vậy C đúng .
Từ đây ta chọn D.
Câu 57. Đáp án C.
Bài toán trở thành tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho phần phương án .
2008n
2008n
cos ( x) 2003 cos x 2003
Với A : Ta có f ( x)
2012sin( x) 2012sin
x
f ( x).
Vậy hàm số đã cho là
hàm số lẽ, (loại).
Với B : Ta có f ( x) tan( x) cot( x) tan x cot x f ( x).
Vậy hàm số đã cho là hàm
số lẽ (loại).
cos( x)
cos x
Với C : Ta có f( x)
= f( x).
vậy ta
6 4 2
6 4 2
6( x) 4( x) 2( x) 15
6x 4x 2x
15
chon C
Câu 58. Đáp án A.
Vì cos x 2 0, x . Do đó điều kiện là
xác định của D là tập đối xứng.
Ta có
2 2
cos 2 cot ( ) cos 2 cot ( )
x
k
sin x 0
k
k
x , k
. vậy tập
sin 4x
0 x
4
4
x x x x
f ( x) f ( x)
. Vậy hàm số đã cho là
sin( 4 x) sin 4x
hàm số lẽ.
Câu 59. Đáp án D.
Tập xác định D . Với x D x
D.
Ta có f ( x) cos( 2 x).sin( x
) = cos 2 x.sin( x ) = cos 2 x.sin( x
)
4
4
4
f ( x) f ( x)
Ta thấy
. Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
f ( x) f ( x)
Câu 60. Đáp án C.
Tập xác định D là tập đối xứng .
2 2
f ( x) 1 2( x) cos3( x) 1 2x cos3 x f ( x)
. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
.

Dạng 3 : Xét tính đơn điệu của hàm số lƣợng giác.
Câu 61. Đáp án A.
Cách 1 : Ta thấy trên khoảng 0; hàm ( ) sin
2 f x x đồng biến và hàm g ( x ) cos x đồng
biến , suy ra trên 0; hàm số sin cos
2 y x x đồng biến.
Cách 2 : Sử dụng máy tính . Dùng TABLE ta xác định được hàm số y sin xcos
xtăng trên
0;
2
Câu 62. Đáp án C .
3
Ta thấy hàm số y sin 2x
nghịch biến trên k2 ; k2 ,
k , suy ra hàm số
2 2
3 3
y sin 2xnghịch biến khi
k2 2x k2 , k k x k
, k
2 2 4 4
3
Vậy hàm số y sin 2x
nghịch biến trên mỗi khoảng k; k
,
k
4 4
Câu 63. Đáp án A.
Hàm số y cos 2x
nghịch biến khi k2 2x k2 k x k
, k
2
Câu 64. Đáp án B.
3
x
; : Hàm sin
2 y x giảm và sin x 0 , 3
x
;
2 suy ra 1
y sin x
tăng :
3
Câu (I) sai, x
; : Hàm cos
2 y x tăng và cos x 0 , 3
x
; , suy ra hàm
2
1
y cos x
giảm.
Câu (II) đúng.
Câu 65. Đáp án A.
Ta có y 4sin x cos x sin 2x
= 2sin 2x sin sin 2x sin 2x
3 . Xét sự
6 6
3
biến thiên của hám số ysin 2x 3 , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề .
Ta thấy với A. Trên 0; thì giá trị của hàm số luôn tăng.
4
3
Tương tự trên ; thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng.
4
Câu 66. Đáp án B.
Ta thấy hàm số y tan x luôn đồng biến trên mỗi khoảng k;
k
, suy ra hàm số
2 2
y tan 2x
luôn đồng biến tren mỗi khoảng k
2x k
2 2
k k
x . Vậy B là sai.
4 2 4 2
Câu 67. Đáp án A.

Ta có y sin x cos x 2 sin x
. Để hàm số sin cos
4 y x x tăng thì
3
k2
x k2 , k . k2
x k2 , k .
2 4 2
4 4
Câu 68. Đáp án C.
Bài toán có hai hàm số mà cùng xét trên một khoảng nên ta sẽ sử dụng chức năng TABLE
2
2
cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập f x là hàm tan . x là hàm sin x thì ta có kết
x nhập g
quả .
Ta thấy cả hai hàm số đều không là hàm tăng trên cả khoảng
;
2 2 . Vì khi x chạy từ
2
đến 0 thì giá trị của hai hàm số đều giảm . Khi x chạy từ đến 2
thì giá trị của hai hàm số đều
tăng , vậy cả hai mệnh đề đều sai.
Câu 69. Đáp án D.
D sai , thật vậy với 2 ; 3
2
; , ta có : 3 2 3 3
cot 1 cot
3 4 2 3 4 3 3 4
Câu 70. Đáp án A.
Ta có thể loại phương án B ;C ;D luôn do tại
bảng biến thiên B ;C ;D đều không thỏa mãn.
Câu 71. Đáp án C.
f 0
cos 0 1 và f cos 2
1
. Các
2
Tương tự như câu 7 thì ta có thể loại A và B do f cos . tiếp theo xét giá trị
2 4 2
hàm số tại hai đâu mút thì ta loại được D.
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm lƣợng giác .
Câu 72. Đáp án B.
Tập xác định 0;
D .Ta có 1 cos x 1 , x D . 4 y 4 . Vậy
min y 4 cos x 1. ma xy 4 cos x 1.
Câu 73. Đáp án C .
D
Ta có
D
2 2
1 cos 2 sin 2 sin 2 0 sin x 1 2 y 1
y x x
Câu 74. Đáp án C.
Ta có 1 sin( x ) 1
4
Câu 75. Đáp án B.
6 6 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 3
Ta có sin x cos x 1 sin 2x sin 2x
= 1 2sin 2x
cos 4x
4 8 8 4 8 8 8 8
5 3
Ta có cos 4x 1, x cos 4x 1, x
. Dấu bằng xảy ra khi cos4x 1.
8 8
Câu 76. Đáp án D.
Cách 1 : Tương tự như phần lý thuyết đã giới thiệu thì ta thấy cos x2 0, x . Vậy
sin x 1
y sin x 1 y(cos x 2)
cos x 2
2
2 2 2 2
1 ( y) 1 2y y 1 4y 4y
1
sin x y cos x 1 2y
0 . Ta có
3y 4y 0 0 y . Vậy min y = 0.
3
2 4

sin x 10
Cách 2 : Ta có y 0 min y 0 khi sin x 1
.
cos x 2 0
Câu 77. Đáp án C.
cos x2sin x3
Ta có 2cos x sin x 4 0, x . y
2cos xsin x4
2y cos x y sin x 4y cos x 2sin x 3 2y 1 cos x y 2 sin x 4y
3 0 . Ta
2 2 2
có 2y 1 y 2 4y
3
2 2
2 2
5y 5 16y 24y
9
11y 24y 4 0 y 2. Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2.
11
Câu 78. Đáp án A.
1 1
Ta có 2 2 2 1
1 59
f x 3 sin x cos x 3 . 2sin x.cos x 3
sin
2 x 3 . Vậy
5 20 20
20 20
GTNN của hàm số là 59
20 .
Câu 79. Đáp án B.
2 2 2
Ta có 4 2 y 2 5 y
2 5.
Câu 80. Đáp án D.
2
2 2 1
5
Ta có y 4sin x (1 sin x) 4sin x sin x 1
4 sin x 5.
2
4
1
Dấu bằng xảy ra khi sin x min y 5
2
Câu 81. Đáp án D.
Ta có
2
1
tan x
cot 2 x . Từ đó suy ra
2tan x
= 2
Câu 82. Đáp án C.
Ta có
3 cot 2x1 1 1,
x . Vậy
1
y 2cos x sin x 2cos x 2 sin x
4 2 4
1 1
y 2 cos x sin x
2
2
. Ta có
2
2 3 1
tan x
2 2
y 3cot 2x 3cot 2x 2 3 cot 2x
2 tan x
1
min y 1 cot 2 x
.
3
y
2 2
2 1 1 2
1
2cos x sin x cos x
2
2 y 5 2 2
2 2
có 5 2 2 y 5 2 2 . Vậy giá trị lớn nhát của hàm số là 5 2 2 .
Câu 83. Đáp án A.
Ta có
4 4 2 2
y sin x cos x sin xcos x y 1 2sin xcos x sin xcos
x
1 1
2 2
2
1 sin 2x
sin 2
Dấu bằng xảy ra khi
Câu 84. Đáp án A.
x
2 2
1 1 1
9 1 1 9
y 1 sin 2x y sin 2x
2 2 4
8 2 2 8
1
x
sin 2 .
2
Ta có sin x cos x cos x sin x 2 sin x.cos x sin x.cos
x
Dấu bằng xảy ra sin 2x
0.
. Do đó ta
1 1
y 2. sin 2x sin 2x
0 .
2 2
.

Câu 85. Đáp án C.
2
y
Ta có y 2 1 2 1 2 cos 2 x 7sin 2 x sin 2 x 7cos
2 x
k
bằng xảy ra khi x , k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.
4 2
2 1 7 16 y 4 . Dấu
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I. CONG THỨC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRINH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
a) sin sin
f x g x k2
f x g x
k
f x g x k2
b) cos cos
f x g x k2
f x g x
k
f x g x k2
c) tan f x tan g x f x g x k
, k
d) cot f x cot g x f x g x k
, k

Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương trình
lượng giác.
2
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x k k làm nghiệm
6 3
A. sin 3xsin 2 x.
B. cos x
sin 2 x.
4
C. cos4x cos6 x.
D. tan 2x
tan .
4
Lời giải
Chọn B
2
3x 2x k2
x
k
20 5
A.
4
sin 3x sin 2x
4
3
3 x ( 2 x) k2 x k2
4
4
x 2x k2
2
B. cos x sin 2x cos x cos
2 x
( k )
2
x 2x k2
2
2
x
k
6 3
( k )
x k2
2
( sin f ( x)) sin( f ( x))
( cos f ( x)) cos( f ( x))
C. cos 4x cos6x cos 4x cos
6x
STUDY TIP
( tan f ( x)) tan( f ( x))
( cot f ( x)) cot( f ( x))
4x 6x k2
x
k
10 5
k
4x 6x
k2
x k
2
D. tan 2x tan tan 2x tan( ) x k ( k ).
4 4 8 2
So sánh ta được đáp án là B.
LƢU Ý: Bạn có thể biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi dùng máy tính để thử nghiệm và kết
luận . Phần này sẽ được trình bày kỹ hơn trong cuốn công phá kỹ thuật giải toán CASIO.
Ví dụ 2. Phương trình sin 2x
sin có nghiệm dạng x k
và
3
3
x k k
, ;
. Khi đó tích . bằng :
4 4
2
A. .
B. .
C.
9
9
Lời giải
Chọn A
2
4
.
D.
9
2
.
9

2x
k2
3
Ta có sin 2x sin sin 2x sin( )
3 3
2 x ( ) k2
3
x k
2
6
. .
2
9
x k
3
II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng sin x m,
cos x m,
tan x m,
cot x m,
( m )
1. Phương trình sin x m (1)
- Nếu m 1 Phương trình (1) vô nghiệm do sin x 1x .
- Nếu m 1:
+ Xác định sao cho m sin
.
x
k2
x
k2
+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 thì ta viết
sin
m
x arcsin m k2
ac-sin-m). Khi đó sin x m k
.
x arcsin m k2
Vậy phương trình sin x m sin x sin
k
.
arcsin m (đọc là
STUDY TIP
+) sin x m có nghiệm m 1
+) arc sin m là cung thuộc
;
2 2
mà có sin bằng m.
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau đây,phương trình nào có tập nghiệm là
4
x k2
và x k2 , ( k ).
3
3
A. sin x
2
1
B. sin x .
2
2
C.
Lời giải
Chọn A
Cách 1
3
x D.
sin .
2
sin x
2
3

A. sin x
B.
2
vô nghiệm do
2
2
1
2 .
1
sin x sin x sin ( vì
2
4
3
C. sin x . sin x sin( ) ( vì
2
3
D. sin x
2
3
1 2
sin )
2 2 4
3
sin( ) )
2 3
2
x
arcsin k2
2 3
sin x
( k
).
3 2
x arcsin k2
3
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2 : Sử dụng máy tính cầm tay ( MTCT).
x
k2
4
( k ) .
3
x k2
4
x k2
3
( k )
4
x k2
3
3 4
4
3
Ta có sin k2
sin và sin k2
sin .
3 3 2 3 3 2
Đặc biệt
Phƣơng trình
Biểu diễn nghiệm trên đƣờng tròn lƣợng giác
+ sin x 1
x k2 , k .
2
+ sin x 1
x k2 , k
2
.
sđ AM k2 , k .
2
+ sin x 0
x k
, k .
sđ AM k2 ;
k
AM 2k 1 ;
k
sđ
x
k2
Để ý:
x2k1
x k
; k
sđ AM k2 , k .
2

2. Phƣơng trình cos x m 2
- Nếu m 1 Phương trình (2) vô nghiệm (do cos x 1, x ).
- Nếu m 1:
+ Xác định sao cho cos m .
x
k2
Vậy phương trình cos x m cos x cos
k
.
x
k2
0
+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết arccos m(đọc là ac-cos- m).
cos
m
x arccos m k2
Khi đó cos x m k
.
x arccos m k2
+ arccosm là cung thuộc
sđ AM
k2
; sđ AM
k2
STUDY TIP
0; mà có cos bằng m .
+ Phương trình cos x m có nghiệm m 1 .
Ví dụ 1. Phương trình nào trong các phuương trình sau có 2 nghiệm thuộc 0 ;180 ?
2
A. cos
2
1
C. cos x 30
. D.
2
Lời giải
Chọn C
3
x .
2
4
cos x .
3
x . B. cos 50
A.
2
cos x cos x cos135 x 135 k360
2
chỉ có một nghiệm thuộc 0 ;180
.

3
x 20 k360
cos 50 cos 50 cos30
2
x
80 k360
Phương trình không có nghiệm nào thuộc 0 ;180 '
B. x
x
1
C. cos x 30 cos x 30
cos60
2
2x 30 60 k360 x 15 k180
2x 30 60 k360
x 45 k180
Phương trình có hai nghiệm thuộc 0 ;180 .
D.
4
cos x vô nghiệm do
3
4
1.
3
Ví dụ 2. Chọn đáp án sai: Nghiệm của phương trình
3
cos x là:
2
3
A. x k2 , k . B. x arccos k2 , k
6
2
5
C. x k2 , k . D. x 150 k360 ,
k .
6
Lời giải
Chọn A
D dàng kiểm tra trên đường tròn lượng giác
Đặc biệt
Phƣơng trình
+ cos x 1
x k2 , k .
M A
3
cos
.
6
2
Biểu diễn nghiệm trên đƣờng tròn lƣợng giác
sđ AM 0 k2
k2 ,
k
.
.
+ cos x 1
x 2k 1 , k
.
sđ AM k2 ,
k .
2k1 ;
k .

+ cos x 0
sđ AM k2 ;
k
x k2 , k
2
2
sđ AM' k2 ;
k
2
x k
, k
2
2
..
x
k
2
Để ý:
x k2
2
x k;
k
2
3. Phƣơng trình tan x m,cot
x m
a) Phƣơng trình tan x
m
Điều kiện: x k
k
2
- Ta xác định sao cho m tan
.
Khi đó phương trình
tan x m tan x tan x k
k .
+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 thì ta viết
tan
m
arctan m (đọc là ac - tan - m).
Khi đó phương trình tan x m x arctan m k
k
.. AT m
b) Phƣơng trình cot x
m
Điều kiện: x k
k
- Ta xác định sao cho m cot
.
Khi đó phương trình
cot x m cot x cot x k
k .
0
+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết
cot
m
arccot m (đọc là ac - cotang - m).
Khi đó phương trình cot x m x arccot m k
k
.
AS m
STUYDY TIP
Phương trình tan x m,cot
x m luôn có nghiệm với m
Ví dụ 1. Trong các nghiệm dương b nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương
nhỏ nhất?
A. tan 2x 1. B. tan x
3 . C. cot x 0 . D. cot x 3 .
4
Lời giải
Chọn A

.
4 4 8 2
(Với k 0 nên nghiệm dương b nhất là x )
8
B. tan 3
7
x x k
x kk
.
4
4 3 12
7
Nghiệm dương b nhất là x .
12
C. cot x 0 cos x 0 x k
k
Nghiệm dương b nhất là
2
D. cot x 3 cot x cot x k
k
.
6 6
5
Chọn k 1 Nghiệm dương b nhất là x .
6
Vậy giá trị nhỏ nhất là x nên ta chọn đáp án A.
8
A. tan 2x 1 tan 2x tan 2x k
x k k
Ví dụ 2. Phương trình tan 3x 15
3 có các nghiệm là:
x .
2
A. x 60 k180. B. x 75 k180. C. x 75 k60. D. x 25 k60.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
x 25 k60k
.
tan 3x 15 3 tan 3x 15 tan 60 3x 15 60 k180
* Kĩ năng bi u diễn và tổng hợp nghiệ n đƣờng òn ƣợng giác
1 điểm trên đường tròn lượng giác
x k2 ;
k
2 điểm đối xứng qua gốc O
x k;
k

4 điểm cách đều: x k ; k
2
3 điểm cách đều:
2
x k ; k
3
n điểm cách đều:
2 x k ; k
n
III. MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP.
DẠNG 1: HƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Có dạng at b
0 với a, b , a 0 , t là một hàm số lượng giác
hƣơng há giải
b
at b 0 t (đây là phương trình lượng giác cơ bản đã học)
a
STUDY TIP
a cos f x b 0 a tan f x b 0
1. a sin f x
b
0 . 2. 3. . 4.
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào có 2 nghiệm thuộc 0; ?
A. 3sin x 2 0 . B. 2cos x 1 0 .
C. 3 tan x 1 0 . D. 2 sin x 1 0 .
Lời giải
Chọn D
2
A. 3sin x 2 0 sin x vô nghiệm (loại phương án A).
3
B. 1 2
2cos x 1 0 cos x x k2
k
2 3
C. 3 tan x 1 0 tan x 1
3
x
6
k k
a cot f x b
0 .
0; .
Có 1 nghiệm thuộc
0; .
Có 1 nghiệm thuộc
2
1
x
k
4
D. 2 sin x 1 0 sin x
k
Có hai nghiệm thuộc 0; .
2 3
x k2
4
LƢU Ý: Để giải nhanh các bạn có thể biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi so sánh để đưa ra
đáp án một cách d dàng.

1
B. cos x C.
2
1
tan x D.
3
sin x
1
2
STUDY TIP
Một số phương trình phải qua một vài bước biến đổi đưa về phương trình bậc nhất đối với
một hàm số lượng giác.
Ví dụ 2. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin xcos
x là:
16
A. 5 7 , B. . C. .
6
2 6
D. . 6
Lời giải
6 6 7
Chọn B
Ta có:
sin 6 x cos 6 x sin 2 x cos 2 x sin 4 x sin 2 xcos 2 x cos
4 x
2 2 2 2 3 2 3 1cos 4x
5 3cos 4x
sin x cos x
3sin xcos x 1
sin 2x
1 .
4
4 2 8
5 3cos 4x
7 1 2
cos 4x cos 4x
cos
8 16 2 3
2
4x k2
3
x k
6 2
k
2
4x k2
x k
3
6 2
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là x1
và x2
6 3
Vậy x1x2
2
DẠNG 2.PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI (HOẶC PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ PHƢƠNG
TRÌNH BẬC 2) ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
2
Có dạng: at bt c 0 với a, b, c ; a 0, t là một hàm số lượng giác.
Phƣơng pháp giải:
- Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ.
- Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ.
- Bước 3: Từ nghiệm tìm được đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 15. Các điểm A, A', B, B ' được biểu di n trên đường tròn lượng giác thì các nghiệm của phương
2
trình sin x 4sin x 3 0 là:
A. sđ AB . B. sđ AA '. C. sđ AB ' . D. sđ AB và sđ AB ' .

Chọn C.
sin t t 1;1
x
Đặt
Lời giải
2 2 t
1
Phương trình sin x 4sin x 3 0 t 4t
3 0
t
3( l)
Với t 1 sinx 1 x k2 ;
k
2
Vậy nghiệm của phương trình là sđ AB '
3
Ví dụ 16. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3cot x 3
2
sin x là:
5
2
A. . B. . C. . D. .
2
6
6
3
Lời giải
Chọn A.
sinx 0 x k
k
Điều kiện:
Phương trình
2 2
3 1 cot x 3cot x 3 3 cot x 3cot x 0
cot x 0
x
k
2
k
cot x 3
x k
6
Vậy nghiệm âm lớn nhất là
2
4 x 4 x
Ví dụ 17. Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sin cos 1 2sin x là:
2 2
A. 207046 . B. 206403 . C. 205761 . D. 204603 .
Lời giải
Chọn B.
2
2 2
2 2
x x x x
Phương trình sin cos 2sin cos 1
2sin x
2 2 2 2
1 2 1 2
sinx 0
1 sin x 1 2sin x sin x 2sin x 0 x k k
2 2
sinx 4( VN)
2018
0 x 2018 0 kx 2018 0 k k 1,2,3,...,642
Vậy tổng các nghiệm cần tìm là:
642642 1
S 2 3 ... 642 1 2 3 ... 642
206403
2
DẠNG 3. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX:
abc
, ,
Có dạng a sin x b cos x c1
trong đó 2 2
a
b
0
Phƣơng pháp giải:
2 2
Chia 2 vế cho a b ta được:
1 a sinx b cos x
c
a b a b a b
2 2 2 2 2 2

a
cos
2 2
a b
c
Đặt
1
sinx.cos
cos x.sin
b
2 2
sin
a b
2 2
a b
c
sin x
2
. Đây là phương trình lượng giác cơ bản.
2 2
a b
c
+ Phương trình sin x
có nghiệm khi:
2 2
a b
c
c
2
2
a
2
b 2 2 2
1 1 a b c
2 2
a b
a
sin
2 2
a b
+ Bạn có thể đặt:
b
cos
2 2
a b
c
c
1 cos x.cos sin x.sin cos x
2 2 2 2
a b a b
Việc đặt thế nào thì tùy từng bài để được lời giải hợp lý nhất.
Ví dụ 1. Phương trình msin x cos x 1 với m là tham số vô nghiệm khi:
0;
m \ 0 . C. m. D. m 0.
A. m . B.
Lời giải:
Chọn C.
+ Ta đi tìm m để phương trình msin x cos x 1có nghiệm rồi lấy phần bù
+ Ta có: Phương trình msin x cos x 1 *
có nghiệm 2
Vậy phương trình * có nghiệm m
khi m
2 2 2
m 1 1 m 0m
suy ra phương trình msin x cos x 1 vô nghiệm
Ví dụ 2. Nghiệm của phương trình sinx 3 cos x 1 là:
x k2
6
A.
k
. B. x k2
k
6
x k2
2
.
x k
x
k2
6
C.
k
. D.
k
x k2
x k
3
2
.
Lời giải
Chọn A.
1 3 1
2 2
Phương trình sinx cos x ( chia 2 vế cho a b
2 2 2
1 3 2 )

1 1
cos sinx sin cos x sin x sin x sin
3 3 2 3 2 3 6
x k2
x k2
3 6
6
k
5
x k2
x k2
3 6 2
Ví dụ 3. Gọi ab , lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình
cos x
sin 2x
3 , ta có:
2
2cos x sinx 1
2
2
2
11
11
A. ab 0 . B. ab . C. ab . D. ab .
6
6
36
Lời giải:
Chọn C.
2 2
+ Điều kiện: 2cos x sinx 1 0 2sin x sinx 1 0
x k2
2
sinx 1
1 x k2
k
sinx
6
2
5
x
k2
6
+ Phương trình cos x sin 2x 3 2cos 2 x 1
sin x
cos x sin 2x 3 cos 2x
sinx
3 1 1 3
3 sinx cos x sin 2x 3 cos 2x sinx cos x sin 2x cos 2x
2 2 2 2
cos sinx sin cos x cos sin 2x sin cos 2x sin x sin 2x
6 6 3 3 6 3
x 2x k2
2
6 3
x k
6
k
x 2x k2
x 2k
2
6 3
6 3
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm x k2
k
6
2
11 11
Chọn k 1 a ; k 0 b a.
b
6 6 36
3
Ví dụ 4. Phương trình 3sin3x 3 cos9x 2cos x 4sin 3x
có số nghiệm trên 0;
2 là:
A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 .
Chọn D.
Phương trình
Lời giải:
3
3sin3x 4sin 3x 3 cos9x 2cos x
1 3
sin 9x 3 cos9x 2cos x sin 9x cos9x cos x
2 2
sin sin 9x cos cos9x cos x cos9x
cos x
6 6 6

9x x k2
x k
6
48 4
k
9x x k2
x k
6
60 5
13
- TH1: x k . Chọn k 0;1 x ;
0;
48 4
48 48 2
13 5
- TH2: x k . Chọn k 0;1;2 x ; ;
0;
60 5
60 60 12 2
Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc 0;
2
DẠNG 4. PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
f sin x;cosx 0 trong đó lũy thừa của sinx và cos x cùng bậc chẵn
Là phương trình dạng
hoặc lẻ.
Phƣơng pháp giải:
- Bước 1: X t cos x 0
Kết luận nghiệm
- Bước 2: X t cos x 0, ta chia 2 vế của phương trình cho cos n xn ( là bậc cao nhất) đưa về
phương trình bậc cao của tanx.
2 2
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 2sin x 5sin x cos x cos x 2 1 là:
3
5
x k
2
3
x arctan k
5
A. x arctan k
k
. B. x arctan k2
k
C.
k
. D.
k
Chọn C.
3
5
x
k2
2
3
x arctan k2
5
Lời giải:
.
.
LƢU Ý:
+ Với
2
cos x 0 sin x 1
. Thay vào phương trình
1 2 2
luôn đúng
cos x 0 x k
là nghiệm của 1
2
2
+ Với cos x 0, chia 2 vế cho cos x ta được:
1
2
cos x
3 3
tan x x arctan x k
k
5 5
x k
2
Kết luận: Nghiệm của phương trình
3
x arctan k
5
2 2 2
1 2 tan x 5tan x 1 2. 2 tan x 5tan x 1 21
tan x
1 là k
2
- Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho cos x 0 để đưa về
phương trình bậc 2 theo tan x.
- Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu di n dạng khác. Bạn đọc có thể giải
theo các cách sau:
+ Xét sinx 0 không thỏa mãn phương trình 1

2
+ Với sinx 0, chia 2 vế cho sin x đưa về phương trình bậc 2 theo cot x .
Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos:
1cos 2x
1 1cos 2x
1
2 5. sin 2x
2
2 2 2
5sin 2x3cos2x 3 (đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x , cos2x đã học trong
phần trước)
Hoặc 1 2sin 2 x 5sin xcos x cos 2 x 2 sin 2 x cos
2 x
2
5sin x cos x 3cos x 0 (đây là phương trình đẳng cấp bậc 2)
3
Ví dụ 2. Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 4sin x sin x cos x 0 bằng:
A. 5 5
5
. B. . C. . D. .
2
2
4
Lời giải
Chọn B.
2 sin x 1
T ƣờng hợ 1: cos x 0 sin x1
sin x 1
Với sin x 1 phương trình 3 0 (vô nghiệm).
Với sin x 1 phương trình 5 0 (vô nghiệm).
Vậy cos x 0 không thỏa mãn phương trình.
2
T ƣờng hợ 2: cos x 0 , chia 2 vế cho cos x ta được:
3
sin x sin x 1 1
Phương trình 4. . 0
3 2 2
cos x cos x cos x cos x
4 tan 3 x tan x 1 tan 2 x 1 tan 2 x 0
3 2
3tan x tan x tan x 1 0
tan x 1
2
3tan x 2 tan x 1 0( VN)
tan x 1
x k
4
3
7
Với k 1 x . Với k 2
x .
4
4
3 7 5
Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là .
4 4 2
Nhận xét: Đây là phương trình cùng bậc lẻ do đó có biến đổi sau:
3 x x 2 x 2 x x 2 x 2 x
3
4sin x sin x cos x 0
4sin sin sin cos cos sin cos 0
3 2 2 3
3sin x sin x cos x sin x cos x cos x 0 là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với
sin x , cos x .
STUDY TIP
Có thể sử dụng đường tròn lượng giác để xác định nghiệm âm lớn nhất.
Cách biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác:
Đuôi k2 có 1 điểm.
Đuôi
k
2
2
k
có 2 điểm. Đuôi
k2 có 3 điểm.
3
Đuôi
k2
k
có 4 điểm. Đuôi
4 2
k2
có n điểm.
n

Ví dụ 3. Phương trình 13tan x 2sin 2x
có số điểm biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác là:
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: cos x 0 x k
k
2
.
sin x
Phương trình 1 3 4sin xcos
x
cos x
2
cos x 3sin x 4sin xcos
x (*)
3
Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là 3 , ta chia 2 vế cho cos x 0 (do
điều kiện)
* 3tan x. 1 4 tan x
2 2
cos x
cos x
3 2
3tan x tan x tan x 1 0
x 2 x x
tan 1 3tan 2 tan 1 0
tan x 1
x k
k
(TMĐK)
4
Số điểm biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác là 2 .
STUDY TIP
2
Ở đây ta có thể từ phương trình đầu chia ngay cho cos x sẽ nhanh hơn. Tuy nhiên nó sẽ không
tự nhiên bởi bạn chưa nhận ra dạng quen thuộc của bài toán.
3 1
Ví dụ 4. Số điểm biểu di n nghiệm của phương trình 8sin x cos x
sin x
III của đường tròn lượng giác là:
A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .
Lời giải
Chọn B.
sin x 0
cos x 0 2
Điều kiện: x k k
Phương trình
2
8sin xcos x 3sin x cos x (cùng bậc lẻ)
3
Chia 2 vế cho cos x 0 (do điều kiện)
2
1 1
Phương trình 8tan x 3 tan x. cos x cos
8tan 2 x 3 tan x 1 tan 2 x 1
tan
2 x
2 2
3 2
3 tan x 7 tan x 3 tan x 1 0
1
2
tan x 3 tan x 6 tan x 3 0
3
1
tan x
3
x
k
6
tan x 3 2 x arctan 3 2
k
k .
tan x 3 2
x arctan
3 2
k
Dựa vào việc biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu di n nghiệm
cần tìm là 4 Đáp án B.
x

Ví dụ 18. Các nghiệm của phương trình tan x cot x 2sin 2x cos2x
là:
x
k
A.
4 2
x
k
2
k
k
1 1
1 1
x arc cot k
x arc cot k
2 2 2
2 2
x
k
C.
4 2
x
k
4 2
k
k
1 1
1
x arctan k
xarctan k
2 2 2
4 2
Lời giải
Chọn A.
sin x 0
Điều kiện: x k k
.
cos x 0 2
sin cos
Phương trình x x
2sin 2x
cos 2x
cos x
sin x
2 2
sin x cos x 2sin x cos xsin 2x sin x cos x cos 2x
2 1
. B.
. D.
1 sin 2x sin 2xcos 2x
(*)(đây là phương trình bậc 2)
2
2
Chia 2 vế cho sin 2x 0 (do điều kiện) ta được:
Phương trình (*) 1 1
1 cot 2x
2
sin 2x
2
cot 2x
0
2 1
1 cot 2x1
cot 2x
1
2 cot 2x
2
2x
k
2
x
k
4 2
k
(TMĐK)
1
1 1
2x arc cot k
x arc cot k
2 2 2 2
STUDY TIP (nếu có)
sin x 0
Với , ta chia luôn 2 vế cho
cos x 0
gọn hơn.
Khi giải mà kết quả nghiệm có arc cot thì chia 2 vế cho
2
arctan thì chia 2 vế cho cos .
2
sin 2x để khỏi phải chia 2 trường hợp, bài giải sẽ ngắn
2
sin x và nếu kết quả nghiệm có
.
.
DẠNG 5. PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX .
abc
, ,
Dạng: a sin x cos x
bsin x cos x c (1) trong đó .
ab
. 0
Phƣơng pháp chung:
Đặt t sin x cos x 2 sin x
t 2; 2
4
(vì sin x 1;1x
4
2
2 2 2
t 1
t sin x cos x 2sin x cos x 1
2sin xcos
x sin
xcos
x .
2
).

2
t 1
Phương trình 1
at b c (là phương trình bậc 2 theo t )
2
Ví dụ 1. Phương trình sin x cos x 1 2sin xcos
x
0;2 ?
có bao nhiêu nghiệm trên
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 .
Lời giải
Chọn C.
sin x cos x 1 2sin xcos
x (1)
Đặt t sin x cos x
2 sin x
t 4
2; 2.
2
2 2 2
t 1
t sin x cos x 2sin x cos x 1
2sin xcos
x sin
xcos
x .
2
2
t 1
2 t
0
Phương trình 1
t 1 2 t t 0 2
(TMĐK)
t
1
Với t 0
2 sin x
0 x k
x k
k
4 4
4
.
Với t 1
1
2 sin x
1
2 sin x
4
4 2
x k2
x
k2
4 4
3
k
x k2
x k2
2
4 4
x k
4
Kết luận: phương trình có nghiệm x
k2
có 4 nghiệm trên 0;2 .
x
k2
2
STUDY TIP
Có bao nhiêu điểm bi u di n trên đường tròn lượng giác các nghiệm của phương trình thì
phương trình đó có bấy nhiêu nghiệm trên 0;2 .
Chú ý: Với phương trình:
a sin x cos x bsin x cos x c (2) .
Đặt t sin x cos x
2 sin x
4
t
2; 2
(vì sin x 1;1x
4
).
2
2 2 2
1t
t sin x cos x 2sin x cos x 1
2sin xcos
x sin
xcos
x .
2
2
1t
Phương trình 1
at b c (là phương trình bậc 2 theo t )
2
Một số sách gọi phương trình này là phản đối xứng với sin x , cos x .
Ví dụ 2. Phương trình 1sin x cos x sin 2x
0 có bao nhiêu nghiệm trên
0;
2 ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải
Chọn C.

Đặt t sin x cos x
2 sin x
. Điều kiện:
4
2; 2.
2 2 2
t sin x cos x 2sin x cos x 1
sin 2x
2
sin 2x1 t .
2
2 t
0
Phương trình 1 t 1 t 0 t t 0 (TMĐK)
t
1
Với t 0
2 sin x
0 x k
x k
k
4 4
4
.
Với t 1
1
2 sin x
1
2 sin x
4
4 2
x k2
x
k2
4 4
5
3
k
x k2
x k2
2
4 4
có 2 nghiệm thuộc
0;
2 là 0
x .
4
STUDY TIP
a sin x cos x bsin x cos x c 0 .
Dạng:
Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
2
t
2; 2
1t
.
sin
xcos
x .
2
Cách 2: Nhận thấy phương trình có sin x cos x và 1 sin 2x có nhân tử chung là sin x
cos x
nên ta có:
x x x x 2
1 sin x cos x sin 2x
0
sin cos sin cos 0
sin xcos x0
2 sin x
0
4
sin x cos x1 sin x cos x
0
1 sin x cos x 0
1 2 sin x
0
4
sin x
0
x
k
4
4
xk2
k
2
sin
x
3
4
2 x
k2
2
STUDY TIP
x x x 2
. 1 sin 2x sin x cos x 2
1 sin 2 sin cos
Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình sin x cos x cos x sin x 1
.
trên
0;2 là:
A. . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải
Chọn C.
sin x cos x cos x sin x 1 (3)
Đặt t sin x cos x 2 sin x t 0; 2 .
4
2 2
2 t 1 t 1
t
1
2
t 1 2sin x cos x sin x cos x 3
t 1 t 2t
3 0
2 2
t
3
l

Với t 1: 2
sin
x
4 2
2 sin x 1
4
2
sin
x
4
2
x k2
4 4
x
k2
x k2 x k2
4 4 2
x k2
x k2
4 4 2
x k2
x k2
4 4
3
Suy ra phương trình có 3 nghiệm trên 0;2 là x ; x ;
x
2 2
3
Vậy tổng 3 nghiệm là
3 .
2 2
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: sin 2x
2 sin x m 0
4
A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Lời giải
Chọn B.
sin 2x
2 sin x m 0 sin 2x sin x cosx m 0
4
Đặt t sin x cosx
2 sin x t 4
2; 2
, x
2 2
t 1 2sin xcosx sin 2x 1
t
2
Ta đi tìm m để phương trình 1 t t m 0 có nghiệm t
2; 2
2
1 t t m có nghiệm t
2; 2
Xét
2
f t 1 t t trên
2; 2
có nghiệm.
5
Suy ra 1 2 f t , 2; 2
4
t
Vậy phương trình đã cho có nghiệm m f t
có nghiệm trên
2; 2
5
m
1
2;
4
m
m
2; 1;0;1
mà
Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.
STUDY TIP

Bảng biến thiên
+) a 0
x
2
ax bx c
b
2a
4a
+) a 0
x
b
2a
2
ax bx c
4a
3 3
Ví dụ 5. Phương trình cos x sin x cos2x
có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:
5 7
A. . B. . C. . D. .
2 4
2
4
Lời giải
Chọn A.
3 3 2 2 2 2
cos x sin x cos 2x cos x sin x cos x cos xsin x sin x cos x sin x
cos x sin x1 cos xsin x cos x sin xcos x sin x
cos xsin x0 (1)
1 cos xsin x cos x sin x 2
1 2 sin x 0 x k
k
4
4
Giải
Giải
2 :1 cos xsin x sin x cos x 0
Đặt t sin x cosx 2 sin x t 2; 2 ,
x
4
2 2
t 1 2sin xcosx sin 2x 1
t
2
1t
2
2
1 t 0 t 2t 1 0 t 1
2
x
k2
2 sin x 1
3
k
4 x k2
2
x k2
4
Vậy nghiệm của phương trình là x k2
k
3
x
k2
2
Biểu di n nghiệm này trên vòng tròn lượng giác

ta suy ra nghiệm lớn nhất là x1
và nghiệm b nhất là x2
4
Vậy x1x2
.
2
STUDY TIP
3 3
) cos x sin x cos x sin x 1
cos xsin
x
2 2
) cos x sin x cos x sin x cos x sin x
2
)1 sin 2x cos x sin x
Ba biểu thức trên cùng có nhân tử chung là cos x sin x.
DẠNG IV. MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Ví dụ 1. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình 1 cos x cos2x cos3x
0 có số điểm biểu di n trên vòng tròn lượng giác là:
A. 2 . B.3 . C. 4 . D.5 .
Lời giải
Chọn D.
1 cos x cos 2x cos3x 0 cos3x cos x 1 cos 2x
0
Phương trình
2
2cos2x cos x 2cos x 0 2cosxcos2x cosx
0
x
k
cosx
0 2
x k
3x x 3x 3x
2
4cosxcos cos 0 cos 0 k
k
2 2 2 2 2 2
x k
x
x
3 3
cos 0 k
2
2 2
Dựa vào điểm biểu di n trên vòng tròn lượng giác
3
4
Vậy ta có 5 điểm.
Ví dụ 2. Sử dụng công thức hạ bậc
2 2 2 2
Phương trình sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
không phải là phương trình hệ quả của
phương trình nào sau đây ?
A. sin x 0 . B. cos x 0. C.sin9x 0. D. cos2x 0.
Lời giải
Chọn D.

Phương trình
2 2 2 2 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1
cos12x
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
2 2 2 2
cos12x cos10x cos8x cos6x 0 2cos11x cos x cos7x cos x 0
hông
cos x 0
2cos xcos11x cos7x
0 4cos xsin 9xsin 2x 0
sin 9x 0 cos 2x
0
sin 2x
0
phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Chú ý: Bạn đọc có thể giải các phương trình đơn giản ở các phương án rồi thay vào phương
trình ban đầu để kiểm tra.
STUDY TIP
+) Phương trình (1) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình (2) nếu tập nghiệm của
phương trình (1) chứa tập nghiệm của phương trình (2).
2 1cos 2a
2 1cos 2a
1
+) cos a ; sin a ; sin a cos a sin 2a
.
2 2 2
Ví dụ 3. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Cho phương trình cos xcos5x cos2x cos4x
số điểm biểu di n nghiệm của phương trình trên
đường tròn lượng giác là:
A. 3 . B. 4 . C. 6 . D.8 .
Lời giải
Chọn C.
1 1
2 2
x
k
4x 2x k2 k2
cos 4x cos 2x
x k k
4x 2x k2
x
k 3 6
3
Vậy số điểm biểu di n nghiệm là 6.
STUDY TIP
1
) cosa.cosb
2
cos a b cos a b
1
) sin a.sin
b cos a b cos a b
2
1
) sin a.cosb sin a b sin a b
2
Phương trình cos x cos5x cos 2x cos 4x cos6x cos 4x cos6x cos 2x
Ví dụ 4. Sử dụng công thức nhân ba
Cho phương trình cos3x 4cos2x 3cos x 4 0
có bao nhiêu nghiệm trên
A. 3 . B. 4 . C.5. D. 6 .
Lời giải
Chọn B.
3 2
4cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0
Phương trình
3 2
4cos x 8cos x 0 cosx 0 x k
k
2
x 0;14 0 k
14 1 k 14 1 k 0;1;2;3
2 2 2
Mà
0;14 ?

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc 0;14 .
STUDY TIP
3
) cos3a 4cos a 3cosa
) sin 3 3sin 4sin
3
a a a
Ví dụ 5. Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt
5
7
Phương trình sin 2x 3cos x 1
2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc ;3
2 2
2 ?
A. 4 . B.5 . C. 6 . D. 7 .
Lời giải
Chọn B.
Phương trình sin
2x 2
3cos
x 4
1
2sin x
2
2
sin 2x 3cos x 1 2sin x cos2x 3sin x 1
2sin x
2 2
x x x x x
2 2
1 2sin 3sin 1 2sin 2sin sin 0
x
k
sin x 0
1 x k2
k
sin
x 6
2
5
x k2
6
Mà x ;3
2 nên 13 5 17
x ;2 ; ; ;
6 6 6
Vậy phương trình có 5 nghiệm trên ;3
2 .
Ví dụ 6. Sử dụng công thức hạ bậc cao
Cho các phương trình sau:
8 8 17 2
1
sin x cos x cos 2x
16
8 8 17
2
sin x cos x
32
8 8 97
3
sin x cos x
128
8 8 1
4
sin 2x cos 2x
8
Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:
A. 1 . B.2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
4 4
8 8 2 2 1cos2x
1cos2x
1 4 2
4 4
sin x cos x sin x cos x cos 2x 6cos 2x
1
2 2 8
1 4 2 17 2 4 2 2 1
Giải 1 : cos 2x 6cos 2x 1
cos 2x 2cos 2x 5cos 2x 2 0 cos 2x
8 16 2

Giải
Giải
Giải
1 4 2 17 4 2 2 1
cos 2x 6cos 2x 1 4cos 2x 24cos 2x 13 0 cos 2x
8 32 2
1 4 2 97 4 2 81 2 3
cos 2x 6cos 2x 1 2cos 2x 12cos 2x 0 cos 2x
8 128 8 4
1 4 2 1
4 2 2
cos 4x 6cos 4x 1 2cos 4x 12cos 4x 0 cos 4x
0
8 8
2 :
3 :
4 :
x 2
2cos 2 1 0 cos 2 x
.
2
Vậy phương trình (3) không tương đương với các phương trình còn lại.
STUDY TIP
8 8 1 4 2
) sin x cos x cos 2x 6cos 2x
1
8
2 2 1
4 4 4 2
) t 1 t 1 2t 12t
2
Ví dụ 7. Bi u diễn ổng của các đại ƣợng không â
cos 2x cos6x 4 3sin x 4sin 3 x 1 0 có phương trình tương đương là:
Phương trình
A. cos x 0. B. sin3x 1 0.
C. cos x(sin 3x1) 0. D. sin x 1 0 .
Chọn D.
Lời giải
Phương trình 2 x 2 x x
2cos 1 1 2sin 3 4 sin 3 1 0.
2 2
2cos x 2sin 3x 4sin 3x
2 0
2
2
cos 2 sin 3 1 0
x x
sin x 1
cos x 0
sin x 1 sin x1 sin x1 0.
sin 3x
1 0
3
4sin x sin 3x
1 0
Lƣu ý: Có thể thử các nghiệm trong các đáp án vào phương trình đã cho nếu thỏa mãn thì 2
phương trình tương đương.
STUDY TIP
A0 A0
A B 0
B0 B0
Ví dụ 8. Đặ ẩn h - công hức nhân ba
3
x 1 3x
Phương trình sin sin có tổng các nghiệm trên 0;2 là:
10 2 2 10 2
A. 9 9 10 10 . B. . C. . D. .
5
15
3
6
Lời giải
Chọn A.
3 x x 3 3x
9
Đặt t t 3t
10 2 2 10 2 10
1
sin sin 9
t 3t sin t 1 sin 3t sin t
1 sin 3t
2 10 10 2 2
Phương trình

t t
3 2
2sin 3sint 4sin t sin 1 4sin t 0
sint 0 t k
( k ) t
k
(
2 1
1
k
sin t cos 2t
t
k
4 2 6
)
3
3
x k2
x 0;2
5 5
14
14
x k2
x 0;2
15 15
4
4
x k2
x 0;2
15 15
3 14 14 9
Vậy tổng các nghiệm trên 0;2 của phương trình là: .
5 15 15 5
Ví dụ 9. Đặ ẩn h không h n n
4 2
Phương trình sin x x
sin sin x 3
sin x 2 0 có các nghiệm là:
2
2
A. x k2 ; k .. B. x k
; k .. C. x 2k 1
; k
. D. x k ; k
2
..
Lời giải
Chọn C.
2 x
Đặt t sin t0;1 , x
.
2
2 t
1 (1)
Phương trình tương đương t sin x 3
t sin x 2 0
t
sin x 2(2)
2 x 1
cos x
+ Với t 1 sin 1 1 cos x 1 x k2 x (2k1) ,(k )
2 2
2 x
+ Với t sin x 2 sin sin x
2
2
2 x
2 x
sin 1 2 x
sin 1
cos x 1
2 sin sin x 2 2
(vô nghiệm)
2
sin x 1
sin x 2 1 sin x 2 1
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là x (2k1) ,(k ) .
Nhận xét:
+ Với phương trình này hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích
A
0
AB . 0 .
B
0
2 x
+ Với phương trình sin sin x 2 (2) có thể giải cách khác như sau:
2
1
cos x
(2) sin x 2 2sin x cos x 3 , phương trình này vô nghiệm do
2
2
2 2
2 1 3 .
STUDY TIP

Ví dụ 10. hƣơng há đánh giá
asin x bcos
x c có nghiệm
Với phương trình x x x 2
3cos 4 cos 2 sin 7 (*) thì:
A. trên đoạn 0;2 phương trình có 1 nghiệm.
B. trên đoạn 0;2 phương trình có 2 nghiệm
C. trên đoạn 0;2 phương trình có 3 nghiệm.
D. trên đoạn 0;2 phương trình có 4nghiệm.
Chọn A.
Ta có 3cos4x 3
Lời giải
x x x x 2
x x 2
2 2
cos2 sin cos2 sin cos2 sin 2
x x x x x
2 2
cos 2 sin 4 3cos 4 cos 2 sin 7
Phương trình (*) xảy ra
+ Giải (I):
(vô nghiệm)
+ Giải (II):
2 2
a b c
2 .
cos 4x
1
cos 4x
1
cos 2x
3cos 4x
3
cos 2x
sin x 2(1)
sin x 1
cos 2xsin x 2 4
cos 4x
1 cos 4x
1
1 (I)
cos 2x sin x 2(2)
cos 2x
1 (II)
sin x 1
2 2
2cos 2x1 1 cos 2x1
x
1 2sin x 1
x
cos 2x1 cos 2x1
sin x 1 sin x 1
sin x1
sin x 1 sin x 1
2
cos 2 1 sin 0
2
cos 2x
1
2
cos 2x
1 1 2sin x 1
cos 2x 1
sin x 1 x k2 ( k )
sin x 1 sin x 1
2
sin x 1
Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc 0;2 .
Chú ý: Có thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sin x sẽ tự nhiên
hơn. Tuy nhiên với ví dụ này tôi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp giải khác
để linh hoạt khi làm bài.
STUDY TIP
cos 2x
1
(1) cos2x sin x 2 cos2x sin x 2 . Mà
sin x 2 1
cos 2x1 cos 2x1
+ suy ra (1) xảy ra khi và chỉ khi
sin x 2 1 sin
x 1

cos 2x 1 cos 2x 1
+ suy ra (1) xảy ra khi và chỉ khi
sin x 2 1 sin x1
Lƣu ý: Đối với phương trình (1) và (2) ta có thể đưa ngay cách giải ngay bằng cách đưa về
2
phương trình bậc 2 đối với sin x bằng cách sử dụng công thức cos 2x1
2sin x. Tuy nhiên
một số phương trình không đưa về được như vậy. Ví dụ sin xsin5x 2 (bạn đọc tự giải)
Ví dụ 11. hƣơng há h số
Phương trình
2
2
sin x 1 2 sin x cos x 1 (*) có tổng các nghiệm trong khoảng
4
0;
2 là:
A. 0 .
B. . 2
C. 4
D. . 3
Chọn C.
Phương trình
Lời giải
2 2
sin x 1 sinx cos x cos x 1
2 2
sin x 1 sinx cos x cos x 1 (1)
Xét hàm số
Với , 0;1
2
f ( t) t 1 t
1 2 1 2
0;1 .
trên
t t va t t ta xét biểu thức
2 2 2 2
f ( t1) f ( t2)
t1 1 t1 t2 1
t2
t1 t2 t1 t2
t t t t t t
1 2
2 2
t 1 t 1t t
1 2 1 2
2 2
t1 1 t2 1t1 t2
1 2 1 2 1 2
t
t
2 2
1 0.
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 0;1 , Suy ra phương trình (1) tuuongw đương
f (sinx) f (cos x) sinx cos x tan x 1 x k,k
4
Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc 0;
2 là
4
.
Lƣu : Đối với việc chứng minh hàm số đồng biến trên ab ; của hàm số
y
x1, x2
a;
b
f ( x),
x1 x2
+ Nếu 0
+ Nếu 0
+ Nếu 0
f(x 1) f(x 2)
, xét tỉ số m
x x
1 2
m Hàm số đồng biến trên ab
; .
m Hàm số nghịch biến trên ab
Hàm số không đổi trên ab
; .
+ Nếu hàm số y f ( x)
f ( x ) f ( x ) x x
1 2 1 2
; .
STUDY TIP
; x , x a; b :
đồng biến trên ab thì
1 2

f ( x ) f ( x ) x x
1 2 1 2
f ( x ) f ( x ) x x .
1 2 1 2
V. Một số phƣơng trình lƣợng giác đƣa về dạng tích
Ví dụ 1. Phương trình sin x 4cos x 2 sin 2x
có số nghiệm trên
0;2 là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
Chọn C.
Phương trình sin x 4cos x 2 2sin xcos
x
x x x
sin x 21 2cos x
0
sin 1 2cos 2 1 2cos 0
sin x 2( VN)
sin x 2 0
1 x k2 ,( k )
1 2cos x 0 cos
x
3
2
5
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên 0;2 là x và x .
3 3
y
π
3
O
x
5π
3
Ví dụ 2. Phương trình 1 cos x sin x cos2x sin 2x
0 có các nghiệm dạng
x1 a k2 , x2 b k2 , x3 c k2 , x4
d k2
. Với 0 a, b, c, d 2
thì a b c d
là:
A. 0 . B. 7 5
. C. D. 9 .
2
4
2
Lời giải
Chọn D.
Phương trình
1 sin 2x cos x sin x
2
cos x
2
sin x 0
2
x x x x x x x x
cos x sin xcos x sin x 1 cos x sin x
0
cos sin cos sin cos sin cos sin 0
2 sin x 0
x k
cos xsin x0
4 4
( k )
2cos x 1 0 1
2
cos x
x k2
2
3

Nghiệm trên biểu di n trên đường tròn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là:
3 7 2 4 3 7 2 4 9
x k2 v x k2 v x k2 v x k2 a b c d
.
4 4 3 3 4 4 3 3 2
3 2 2
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos 2x cos 2x asin x 0 có nghiệm
x 0; ?
6
A. 0 . B. 1 . C. 2 D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
3 2 1 cos 2x
Phương trình cos 2x cos 2x a 0
2
cos 2x
1(1)
3 2 2
2cos 2x 2cos 2x acos 2x a 0 cos 2x 12cos 2x a
0
2 a
cos 2 x (2)
2
-Giải (1) 2x k2 x k( k ) , các nghiệm này không thuộc 0;
6 .
-Giải (2) có
1 1
x x x x
6 3 2 4
2
0; 2 0; cos 2 1 cos 2 1
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc
Vậy có 1 giá trị nguyên của a là 1.
Ví dụ 4. Phương trình
3
1 a
1
0; 1 2 a .
6 4 2 2
2sin x 1 4cos 4x 2sin x 4cos x 3 nhận các giá trị x arccos
m k
2
( k ) làm nghiệm thì giá trị m là:
1
1
1
1
A. m . B. . C. m D. m .
4
4
16
16
Lời giải
Chọn B.
Phương trình x x x 2 x
2sin 1 4cos 4 2sin 4 1sin 3 0
x x x x x
2sin x 14cos 4x
1
0.
2sin 1 4cos 4 2sin 1 2sin 1 2sin 0
x k2
6
1 7
sin x
x k2
2 6
( k )
1 1 1
cos 4x x arccos( ) k
4 4 4 2
1 1
x arccos( ) k
4 4 2
1
Vậy m
4
STUDY TIP

2
cos 1 sin 1
sin
x x x
2
sin 1 cos 1
cos
x x x
Ví dụ 5. Phương trình sin 2x 2cos x cos2x sin x là phương trình hệ quả của phương trình:
1
1
A. sin( x ) B. sin 2x 0 C. sin xcos
x D. sin xcos
x
4 2
2
Lời giải
Chọn C
2
pt 2sin x cos x 2cos x 2sin x sin x 1
sin x 1
(sin x 1)(2cos x 2sin x 1) 0
1
cos xsin
x
2
2
Lƣu ý: Phương trình bậc hai at bt c 0( a 0) có hai nghiệm t 1
, t 2
thì
2
at bt c a t t1 t t2
( )( )
VI. MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN
Ví dụ 1. Phương trình sin 5 x
1 có số nghiệm là:
5sin x
A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: sin x 0 cos x 1
Pt sin5x 5sin x 0 sin5x sin x 4sin x 0
2cos3 x.sin 2x 4sin x 0 2cos3 x.2sin xcos x 4sin x 0
sin x
0( l)
4sin x(cos3x cos x 1) 0
1 (cos 2 x cos 4 x ) 1 0
2
cos 2x
1
2 2
cos 2x 2cos 2x 1 2 0 2cos 2x cos 2x
3 0
3
cos 2 x ( VN)
2
2
Với cos 2x 1 1 2sin x 1 sin x 0 (loại vì không TMĐK)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 2.
2 2
Phương trình 3cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x có các nghiệm dạng
x k2 ; x k2 , k Z,0 ,
thì . bằng:
2
2
2
A.
B. -
C. 7 2
D.
2
12
12
12
12
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: sin x 0 cos x 1
2 4 2 2
Pt 3cos x 2 2 sin x 2cos x.sin x 3 2 cos x.sin
x
2 2 2
3cos x(cos x 2 sin x) 2sin x(cos x 2 sin x) 0
2 2
(cos x 2 sin x)(3cos x 2sin x) 0
2
2 cos x cos x 2 0(1)
2
2cos x 3cos x 2 0(2)
1
2

Ví dụ 3.
2
cos
x
(1)
2 x k2 ( k )
4
cos x 2( VN)
1
cos x
(1) 2 x k2 ( k )
3
cos x 2( VN)
2
Vậy ; ; .
4 3 12
1 1 1
Phương trình có tổng các nghiệm trên (0; ) là:
cos x sin 2x sin 4x
A. B. C. 2
D.
6 6 3
Chọn D
Lời giải
cos x 0 cos x 0 cos x 0 sin x 1
Điều kiện: sin 2x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0
sin 4x
0 cos 2x
0
2 2
sin x sin
x
2
2
1 1 1
Pt
cos x 2sin x cos x 4sin x cos x cos 2x
2sin x cos 2x cos 2x
1 0
x x x
2 2
2sin (1 2sin ) 1 2sin 1 0
x x x
2
2sin (1 2sin sin ) 0
sin x1 sin 0
l x
l
x k2
6
2
1
k
1 2sin x sin x 0
sin x 5
2 x k2
6
5
=>có 2 nghiệm trên (0; ) là x= và x= 6 6
5
Vậy tổng các nghiệm trên (0; ) là:
6 6
Ví dụ 4. Phương trình sin 2 x 2cos x sin x 1 0 có bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ?
tan x 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Chọn B
cos x 0
Điều kiện: *
tan x 3
Pt sin 2x cos 2x sin x 1 0 2sin xcos x sin x 2cos x 1 0
sin x 1
x k2
2
(2cos x 1)(sin x 1) 0
1
k
cos
x
2 x k2
3

Ví dụ 5.
Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là x k2
3
7
Vậy có hai nghiệm thuộc (0;3 ) là x và x
3 3
(1 sin x cos 2 x)sin( x )
1
Phương trình
4 cos x có các nghiệm dạng
1
tan x
2
2 2
x k2 ; x k2 , ; k Z, ,
thì là:
2
A.
36
B.
2
35
36
C.
2
13
18
D.
2
15
18
Lời giải
Chọn C
cos x 0
Điều kiện: *
tan x 1
(1 sin x cos 2 x) 2 sin( x )
Pt
4 cos
x
sin x
cos x
cos x
2
(1 sin x 1 2sin x) 2 sin( x )
4 1
2 sin( x )
4
sin x 1
2 2
2 sin x 2sin x 1 2sin x sin x 1 0
1
sin x
2
x k2
6
Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm của pt là
k
5
x k2
6
2 2 2 2
2 2 25 26 13
36 36 36 18
4 4
sin 2x
cos 2x
4
cos x 1 có số điểm biểu di n nghiệm trên đường tròn
tan x tan x
4 4
lượng giác là:
Ví dụ 6. Phương trình
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Lời giải
Chọn B

Câu 1.
sin( x ) 0
4
x k
4
sin( x) 0 x k
Điều kiện:
4 4
cos( x ) 0 x k
4 4
cos( x) 0 x k
4 4
tan tan x tan tan
x
1 tan 1 tan
Ta có: tan tan 4 . 4 x x
x x
. 1
4 4
1tan tan x 1tan tan x
1tan x 1tan
x
4 4
4 4 4 1 2 2 2
sin 2x cos 2x cos 4x 1 sin 4x 1 sin 4x sin 4x
0 .
2
sin 2x
0
sin 4x 0 2sin 2xcos x 0
x k k
.
cos x
0( L) 2
Kết hợp điều kiện nghiệm của phương trình (1) là x k ( k Z)
2
Vậy số điểm biểu di n cần tìm là 4.
Lƣu : Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành x
4
k (k
2
Z)
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
0 1 0 0
Phương trình sin( x10 ) (0 x180 ) có nghiệm là:
2
A.
C.
0
x 30 và
0
x 40 và
0
x 150
B.
0
x 160
D.
0
x 20 và
0
x 30 và
0
x 140
0
x 140
Câu 2. Số nghiệm của phương trình 2cos( x ) 1 với0x
2
là:
4
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 3. Phương trình sin(5 x ) m 2có nghiệm khi:
2
m 1;1 C. m R
D. m (1;3)
Câu 4.
A. 1;3
m B.
Phương trình
tan(3x
60 )
0 2
m
có nghiệm khi:
A. m 1;1
B. 0;1
Câu 5. Phương trình có nghiệm t an(x-1) 2 là:
m C. m R
D. m
A. x 1 arctan(2) k
( k Z)
B. x 1 arctan(2) k
( k Z)
C. x arctan(2) k2 ( k Z)
D. x 1 arctan(2) k ( k Z)
2
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình t anx 1 trên khoảng (0;10) là:
A. 15
4
B. 3
2
C. 7
2
Câu 7. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình cos x 0?
D. 8

A. sinx 1
B. sinx 1 C. t anx 0 D. cot x 0
Câu 8.
Phương trình cos( x ) sin Có các nghiệm dạng
3 6
xk2
và x
k2
(0 ;
) Khi đó
A. 0 B. C. 2
6
3
Câu 9. Phương trình cos2x cos( x ) có bao nhiêu nghiệm thuộc (0;10 )
2
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
x
Câu 10. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình cot x tan( )
2 2
2
4
A. B. C. D. 0
3
3
3
Câu 11. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
A. t anx 99 B. cot 2018x 2017
3
2
C. sin 2x D. cos(2 x )
4
2 3
Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp
x Trên đoạn
Câu 12. Số nghiệm của phương trình 2sin 3 0
0;2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 13. Phương trình mtan x 3 0 Có nghiệm khi
A. m 0 . m R C.
3
1 1 D.
m
3
1
1
m
2
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2cos x m1 0 Có nghiệm?
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số
0
0 0
Tổng các nghiệm của phương trình 2sin( x 20 ) 1 0 trên khoảng (0 ,180 )
Câu 15.
0
0
0
0
A. 210 B. 200 C. 170 D. 140
Câu 16. Phương trình sinx 3cos x 0 có nghiệm dạng x arc cot m k
, k Z thì giá trị m là:
A.
1
m B. m 3
C. m 3
D.
3
Câu 17. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình:
A. x B. 4
C.
6
3
6
Câu 18. Nghiệm của phương trình t anx 3 0 là:
2cos x 1
A. S k
, k Z
3
C. S k2 , k Z
3
Câu 19. Nghiệm của phương trình 2 tan x 3 là:
cos x
A. x k
, k
2 3
D.
2
3
1
m
3
2
2sin x 7sin x 4 0
là:
D. 5
6
B. S (2k 1) , k Z
3
D. S k , k Z
3 2
x 2k 1 , k .
. B.

C. x k3 , k . D. x k , k .
3
6 6 13 2
Câu 20: Phương trình cos x sin x cos 2x
có bao nhiêu điểm biểu di m trên đường tròn lượng
8
giác?
A. 3. B. 4 . C. 8 . D. 6 .
Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
sin 2 x m 2 3 sin x m
2 4
có hai
3
nghiệm thuộc
;2
2 ?
A. 1. B. 2 . C. Vô số. D. Không có m .
Câu 22: Giá trị của m để phương trình
m a;
b thì a b là:
cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 có nghiệm trên
A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2 .
3
;
2 2 là
4 4 3
Câu 23: Phương trình cos
x sin x cos x sin 3x
0
4 4 2
có tổng 2 nghiệm âm lớn nhất
liên tiếp là:
3
5
A. . B. . C. . D. .
2
2
2
Câu 24: Phương trình
bằng:
cos có nghiệm khi m a;
b
6 6
sin x x 3sin x cos x m 2 0
thì tích ab .
A. 9 4 . B. 9 75
. C.
2 16 . D. 15 4 .
Câu 25: Phương trình tan x 2cot x3 0 có các nghiệm dạng x k2
và x arctan
m k ;
4
k thì:
1
A. m 1. B. m 2 . C. m . D. m 2.
2
Câu 26: Cho các phương trình sau:.
1
2sin x 5 0 .
2
x x
2 sin 2 5cos 2 7 0 .
8 8 5
3 sin 3x
3x
cos .
4
Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm
A. Chỉ phương trình (1) vô nghiêm. B. Chỉ phương trình (2) vô nghiệm.
C. Chỉ phương trình (3) vô nghiệm. D. Cả 3 phương trình vô nghiệm.
Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x , cos x .
Câu 27: Phương trình sin x mcos x 10 có nghiệm khi:
A.
m
3
. B.
m
3
m
3
. C.
m
3
m
3
m
3
. D. 3 m 3.
Câu 28: Phương trình sin x 3 cos x 1 có các nghiệm dạng x k2
và x
k2
, k với
,
thì . là:

2
A. . B.
6
2
. C.
2
Câu 29: Phương trình 2x sin x 3 cos x sin 2x
2
x
k
18 3
3
x k2
2
cos có các nghiệm là:
2
2
. D. .
12
12
x k
4
x k2
12
A.
k
. B.
k
x
k
12
x k
4
x
k2
12
x k2
4
C. k
. D.
k
Câu 30: Phương trình sin x cos x.sin x 3 3x 2 4x sin
3 x
.
cos cos có tổng hai nghiệm dương nhỏ
nhất liên tiếp là:
13 A. . B. . 42
42
C. . 3
D. . 2
2
x x
Câu 31: Phương trình sin
2 2
3 cos x 2 nhất là b thì a b là:
A. .
B. . 2
C. . 3
D. .
3
Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai.
2
Câu 32: Số điểm biểu di n nghiệm của phương trình cos x
2
3sin 2x 1
sin x trên đường tròn lượng
giác là:
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Câu 33: Cho phương trình
trình 1 có nghiệm là:
2 2
2 x 5sin x cos x 6sin x m 1 0 1
cos số giá trị m để phương
A. 5. B. 6 . C. 7 . D. 8 .
Câu 34: Phương trình
3
sin x cos x 4sin x 0
tương đương với phương trình:
2
A. tan x 1. B. sin xcos x 0 . C. 2cos x 1 0
. D. 2 sin x 1 0 .
1
Câu 35: Phương trình 3 sin xcos
x có bào nhiêu nghiệm trên 0;2 ?
cos x
A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 .
Câu 36: Số giá trị nguyên của m để phương trình
2 2
2sin x sin x cos x m x 1
.
cos có nghiệm trên
;
4 4
là:
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Phƣơng trình đối xứng và các phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực.
Câu 37: Phương trình sin x cos x 2 sin 2x
0 có số điểm biểu di n trên đường tròn lượng giác là:
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin 2x 2 sin x m 1
có nghiệm?
4
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .

Câu 39: Cho phương trình cot x tan x sin x cos x . Khi đặt t sin x cos x thì:
A. t 1 2. B. t 2 1. C. t 0 . D. t 1 2 .
Câu 40: Phương trình tan x cot
x t có nghiệm khi:
A.
t
2
. B.
t
2
Câu 41: Cho phương trình
t
2
. C. t
t
2
. D. 2;2
2 2
3tan x 4 tan x 4cot x 3cot x 2 0 1
t .
. Đặt tan x cot
x t với
t ; 22;
thì phương trình 1 tương đương với phương trình:
2
2
2
2
A. 3t
4t 2 0 . B. 3t
4t 4 0 . C. 3t
4t 4 0 . D. 3t
4t 4 0 .
Một số phƣơng trình lƣợng giác khác.
Câu 42: Phương trình cos x cos3x 2cos5x
0 có các nghiệm là x k
và
2
1
x arccos m k . Giá trị của m là:
2
1
17
1
17
1 17
A. m . B. m . C. m
1 17
. D. m .
8
16
8
16
Câu 43: Số điểm biểu di n nghiệm của phương trình sin3x sin x sin 2x
0 trên đường tròn lượng
giác là:
A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5 .
4 4
1
Câu 44: Phương trình sin x cos x
có bao nghiêu nghiệm trên 2 ;3 ?
4
4
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 45: Phương trình
3 3 3
cos .cos3 sin .cos3 sin 4
x x x x x
0;2 ?
có bao nhiêu nghiệm trên
A. 1. B. 24 . C. 12. D. 2 .
3 3 1
Câu 46: Phương trình cos x.cos x .cos x sin x.sin x .sin
x
2 2 2 2 2
có tích các nghiệm trên ;0
2
2
2
2
5
A. . B. . C. . D. .
8
8
72
32
Câu 47: Phương trình sin5 x.cos3x sin7 x.cos5
x có tập nghiệm là:
x
k
2
x k
20 10
x
k
x k
20 10
A.
k
. B.
k
x
k
2 10
x k
20 10
x
k
2
x k
20 5
C.
k
. D.
k
.
.
là:
1 1 7
Câu 48: Phương trình 4sin x
sin x 3
có tổng 3 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất là:
4
sin x
2
5
3
3
A. . B. . C. . D. .
2
8
8
4

Câu 49: Số nghiệm của phương trình sin xcos
x trên 0;2 là:
3
A. 0 . B. Vô số. C. 2 . D. 4 .
Câu 50: Phương trình
8 8 2
2 2
tan x 2sin x 2 tan x 2 2 sin x 2 0
có bao nhiêu nghiệm trên
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
3
x 1 3x
Câu 51: Phương trình sin sin
10 2 2 10 2
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 52: Phương trình
có bao nhiêu nghiệm trên 0;2 ?
2 sin x 2cos x 2 sin 2x
có tập nghiệm là:
A. S k2 , k
4
. B. 3
S k2 , k
4
.
3
C. S k
, k
4
. D. 5
S k2 , k
4
.
cos 2x
2 1
Câu 53: Phương trình cot x 1 sin x sin 2x
có các nghiệm là:
1
tan x 2
A. x k2
k
. B. x k
k
.
4
4
C. x k k
. D. 5
x k2
k
.
4 2
4
2
Câu 54: Phương trình cot x tan x 4sin 2x
có bao nhiêu nghiệm trên 0;2 ?
sin 2x
A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 5 .
Câu 55: Phương trình
đương là:
2
2sin 2 sin 7 1 sin
0;2 ?
x x x đưa về phương trình tích được phương trình tương
A. cos 4x1sin 3x
0 . B. x x
C. cos 4x1sin 3x
0 . D. x x
Câu 56: Phương trình
2cos 4 1sin 3 0 .
cos 2 1sin 3 0 .
2sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2cos x là phương trình hệ quả của phương trình:
A. cos2x 0. B. 2cos x 1 0 . C. sin 2x 1 0. D. sin 2x 1 0 .
3 5sin x.cos
x
Câu 57: Phương trình 6sin x2cos
x có số nghiệm trên 0;2 là:
2cos 2x
A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .
Câu 58: Phương trình sin 4x tan x có nghiệm dạng x k
m n bằng:
A.
Câu 59: Phương trình
3
mn . B.
2
3
m n . C.
2
và x m arccos n k
k
thì
1
3
mn . D.
2
x
x
cos 2x
cos x
A. 32. B. 33. C. 34. D. 35.
Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số.
2 3
2 cos cos 1
tan
x có bao nhiêu nghiệm trên
2
1
3
mn .
2
1;70 ?
Câu 60: Phương trình 2sin x 1sin x m
0 ( m là tham số) có nghiệm trên 0; khi:
A. m
. B. m. C. m 0;1
. D. 0;1
m .

Câu 61: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn 10 của m để phương trình
2
2cos x 12cos 2x 2cos x m 3 4sin x có hai nghiệm thuộc
;
2 2
?
A. 7 . B. 6 . C. 2 . D. 3 .
Câu 62: Các giá trị của m a;
b
để phương trình
2
cos 2x sin x 3cos x m 5
có nghiệm thì:
A. ab 2 . B. ab 12. C. ab . 8. D. ab . 8.
m
msin
x m 1 cos x . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn
cos x
10 để phương trình có nghiệm là:
A. 8 . B. 9. C. 10. D. 7 .
Câu 63: Cho phương trình
Câu 64: Phương trình
thỏa mãn:
cos 2x 2m 1 sin x m 1 0 có nghiệm trên
; khi tất cả các giá trị
2
A. m. B. m . C. m 1;1
. D. 1;1
m .
Câu 65: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình
3
2
3tan x tan x cot x m có nghiệm ?
2
sin x
A. 2000 . B. 2001. C. 2010 . D. 2011.

HƢỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
Câu 1: Đáp án B.
o 1
o o
sin x10 sin x10 sin 30
2
o o o o o
x 10 30 k360 x 20 k360
k
o o o o
o o
x 10 180 30 k360 x 140 k360
o
o o
x 20
Mà x 0 ;180
x
140
Câu 2: Đáp án C.
o
.
1
x k2
x
k2
cos x cos x cos
4 4
k
4 2 4 4 x k2
x k2
2
4 4
Biểu di n trên đường trong lượng giác:
.
Vậy có 2 họ nghiệm thuộc 0;2 .
Câu 3: Đáp án A.
Phương trình sin 5x m
2
2
Câu 4: Đáp án C.
Phương trình
2
Câu 5: Đáp án B.
tan
có nghiệm khi m 2 1 1 m 2 1 1 m 3 .
x60 o m có nghiệm khi m .
Phương trình tan x 1 2 x 1 rac tan 2 k
x 1 rac tan 2 k
k
.
Câu 6: Đáp án A.
tan x 1
x k
k
4
1 10 1
Mà x0;10
0 k
10
k
4 4 4
Do k k0;1;2
3 nghiệm 0;10
là x1
, x2
, x3 2
4 4 4
15
x1 x2 x3
.
4
Câu 7: Đáp án D.
Ta có cot x 0 cos x
0

Câu 8: Đáp án D.
x k2
x
k2
3 3
cos x sin cos x cos
2
k
3 6 3 3 x k2
x k2
3
3 3
0
2
Vậy 2
.
3
3
Câu 9: Đáp án B.
cos 2x cos x cos 2x cos x
2
2
cos 2x cos
x
2
2
2x x k2
x k
2
6 3 2
x k
6 3
2x x k2
x k2
2
2
(Chú ý gộp nghiệm trên đường tròn lượng giác)
Ta có:
2
1 59
0 x 10
0 k 10
k
6 3 4 4
Mà k k
0;1;2;3;...;14
Vậy có 15 giá trị k có 15 nghiệm 0;10
.
Câu 10: Đáp án A.
x x x
cot x tan cot x cot x k x k
1 2
với k .
2 2 2 2 3
2
Vậy nghiệm âm lớn nhất là x .
3
Câu 11: Đáp án D.
Vì 2 1 .
3
Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp
Câu 12: Đáp án B.
2
3
x
k
3
2sin x 3 0 sin x
k
2 2
x k2
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc 0;2 là x và
3
Câu 13: Đáp án A.
2
x .
3
+ Với m 0: Phương trình 3 0 (vô nghiệm) m
0 không thỏa mãn.
+ Với m 0 : Phương trình
Câu 14: Đáp án C.
3
tan x xác định với mọi giá trị
m
3
m .

2
m
2cos x m1 0 có nghiệm cos
x có nghiệm
2
1
m
0 1 0 1 m 2 1 m
1
2
Vậy có 3 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Câu 15: Đáp án D.
o o 1
o
2sin x 20 1 0 sin x 20 sin x 20 sin 30
2
2 1
0
o o 0 o
0
x 20 30 k360 x 10 k360
k
o o o 0
o
0
x 20 180 30 k360 x 130 k360
o o
o o o
Vậy tổng các nghiệm trên 0 ;180 là: 10 130 140 .
Câu 16: Đáp án B.
sin x 3cos x 0 3cos x sin x cot x 3 x arccot 3 k,
k .
Vậy m 3 .
Câu 17: Đáp án A.
1
x k2
sin x
2
6
2sin x 7sin x 4 0 2
k
5
sin x 4VN
x k2
6
5
Vậy tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là: .
6 6
Câu 18: Đáp án C
tan x 3
0
2cos x 1
1
cos
x
Điều kiện: 2
cos x 0
Phương trình tan x
3 x k
k
3
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là
x k2
k
3
.
Câu 19: Đáp án B.
Điều kiện: cos x 0 x k
k
.
2
2 1 2 1
Ta có: 1 tan x tan x 1
2 2
cos x
cos x
1 3 1 1
Phương trình 2
1 3 2. 3. 1 0
2
2 2
cos x cos x cos x cos x

1
1
cos x cos x 1
TM
x k2
k
.
1 1
cos x2
l
cos x 2
Câu 20: Đáp án C.
6 6 13 2 2 2 4 2 2 4 13 2
cos x sin x cos 2x cos x sin xcos x sin x.cos x cos x
cos 2x
8 8
2 2 2 2 13 2 1 2 13 2
cos 2x sin x cos x
sin x.cos x
cos 2x cos 2x1 sin 2x cos 2x
0
8 4 8
cos 2x
0
1 13
x
x
4 8
2
1 1 cos 2 cos 2 0
cos 2x
0
cos 2x
0
2
1
2cos 2x13cos 2x 6 0 cos 2x
2
x
k
4 2
k
x k
6
Câu 21: Đáp án D.
sin x 1
sin 2 x m 2 3sin x m
2 4 0
sin x4
m
+ Với sin x 1 x k2
k
2
3
3
có 1 nghiệm x ;2
2
2
3
+ Phương trình có 2 nghiệm ;2
2
3
sin x m 4 có 1 nghiệm ;2
2
2 khác 3 .
2
Câu 22. Đáp án B.
1
2
cos2x 2m 1cos x m 1 0 2cos x 2m 1cos x m 0 cos
x
2
cos
x
m
3
1
3
x
; cos x1;0
2 2
cos
x không có nghiệm thỏa mãn ;
2
2 2
.
3
Phương trình có nghiệm trên ;
2 2
1 m 0 a b 1.
Câu 23. Đáp án D.
4 4 3
cos x sin x cos x .sin 3x
0
4
4
2
2 2 1
3
1 2sin x.cos x sin 4x sin 2x
0
2
2
2
2
2 sin 2x cos4x sin2x
3 0
2 2
2 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x
3 0
2

2
sin 2x
sin2x
2 0
sin 2x
2
vn
2x k2
x kk
.
sin 2x
1 2 4
3 7 5
Vậy tổng hai nghiệm âm lớn nhất là .
4 4 2
Câu 24. Đáp án C.
6 6
sin x cos x 3sin x.cos x m 2 0
3 2 3
1 sin 2x sin 2x m 2 0 (*)
4 2
2
4m 3sin 2x 6sin2x
12
2
t sin 2 x, t 1;1 . Xét f t 3t 6t
12 1;1 .
Đặt
trên
Suy ra (*) có nghiệm
75
Vậy ab .
16
Câu 25. Đáp án B.
Điều kiện
sin x 0
cos x 0
.
3 15
3 4m15
m .
4 4
2
Phương trình
tan x
tan x 1
x k
tan 2 4 k
x
x
arctan 2 k
Vậy m 2 .
Câu 26. Đáp án D.
Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x,cos
x
Câu 27. Đáp án A.
Phương trình có nghiệm 2 2 2 m
1 m 10 m 9
3
.
m
3
Câu 28. Đáp án C.
1
sin x 3 cos x 1 sinx
3
2
x k2
x k2
3 6
6
5
k
.
x k2
x k2
3 6 2
2
. . .
6 2 12
Câu 29. Đáp án A.
cos2x sin x 3 cos x sin 2x
2
tan x 3 0 tan x 3tan x 2 0
sin x 3 cos x 3sin 2x cos2x

1 3 3 1
sin x cos x sin 2x cos2x
2 2
2 2
cos sin x sin cos x cos sin 2x sin cos2x
3 3
6 6
sin x sin 2x
3
6
sin x sin 2x
3
6
2
x 2x k2
x k
3 6
18 3
k
3
x 2x k2 x k2
3 6 2
Câu 30. Đáp án C.
3
sin x cos x.sin 2x 3 cos3x 2 cos4x sin x
2
1 2sin x sin x cos x.sin 2x 3 cos3x 2cos4x
.
sin x.cos2x cos x.sin 2x 3 cos3x 2cos4x
sin3x 3 cos3x 2cos4x
1 3
sin3x cos3x cos4x
2 2
sin sin3x cos cos3x cos4x
6 6
cos3x cos4x
6
4x 3x k2
2
6
x k
6
2
k
4x 3x k2
x k
6 42 7
Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là x1 , x 13
2
x1 x
2
.
42 42 3
Câu 31. Đáp án C.
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
x x
1 2sin .cos 3 cos x 2
2 2
1
sin x 3 cos x 1 sinx
3
2
x k2
x k2
3 6
6
5
k
x k2
x k2
3 6 2
Nghiệm dương nhỏ nhất là , nghiệm âm lớn nhất là .
2 6
Vậy ab .
3
Phƣơng trình đẳng cấp bậc 2.
Câu 32. Đáp án D.
2 2
2 2
cos x 3sin 2x 1
sin x 1 sin x 2 3sin x.cos x cos x 1

2
- Với x x
cos 0 sin 1 1 1 1 vô lí.
- Với cos x 0 chia cả hai vế cho
1 tan 2 x 2 3 tan x 1 1
tan
2 x
tan x 0
x
k
k
tan x 3 x k
3
2
cos x ta được:
2
2tan x 2 3 t 0
Vậy số điểm biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác là 4.
Câu 33. Đáp án C.
2 2
2cos x 5sin x.cos x cos x m 1
0
2 1
cos 2x
2cos x 1 5sin x.cos x 6 m
2
5 5
cos 2x sin 2x 3 3cos 2x m sin 2x 2cos 2x m 3
2 2
Phương trình có nghiệm 2 m
3
2
5
2
2 2
2 41 41
m 3 m 3
4 2
41 41 41 41
m 3 3 m 3
2 2 2 2
Mà m m 0;1;2;3;4;5;6
.
Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn.
Câu 34. Đáp án B.
3
Phương trình sin x cos x 4sin x 0 *
-Với cos x 0 sin x 1 không thỏa mãn phương trình.
3
-Với cos x 0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được
2 2 3
* tan x 1 tan x 1 tan x 4tan x 0
3 2
3tan x tan x tan x 1
0
tan x 1 sin x cos x 0
Câu 35. Chọn đáp án B.
Điều kiện cos x 0
2 2
Phương trình 3 tan x 11 tan x tan x 3 tan x 0
tan x 0
x
k
k
.
tan x 3 x k
3
Vây só nghiệm trên 0;2 là 3.
Câu 36. Đáp án C.
2 2
2sin x sin x.cos x mcos x 1 1
Trên
;
4 4
cos x 0
1 2tan x tan x m tan x 1 m tan x tan x 1
2 2 2
tan x t t 1;1 x
;
4 4
Đặt

2
Yêu cầu bài toán tìm m để phương trình m f t t t 1 có nghiệm trên
1;1
5
Phương trình 1 có nghiệm m
;1
4
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Phƣơng trình đối xứng và các phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực.
Câu 37. Đáp án C.
sin x cos x 2 sin 2x
0 1
sin x cos x 2 2 sin x.cos x 0
Đặt t sin x cos x 2 sinx t
2; 2
4
.
2 2 2
t 1 2sin x.cos x 2sin x.cos x t 1 1 t 2 t 1 0
1
2
t
2t
t 2 0
2
t
2
+ Với t
1 1 1
2 sin x sin x
2 4
2 4
2
x k2
x k2
4 6
12
5
7
k
x k2
x k2
4 6 6
+ Với t 2
2 sin x 2 sin x 1 x k2
4
4
4 2
3
x k2
k
4
.
Vậy có 3 điểm biểu di n các nghiệm.
Câu 38. Đáp án D.
sin 2x
2 sinx m 1
0
4
2sin x.cos x sin x cos x m 1
0
Đặt t sin x cos x
2 sinx t
4
2; 2
.
2
2sin x.cos x t
1
2
Phương trình m t t *
có nghiệm trên
2; 2
2
X t hàm số f t t t trên
2; 2
Phương trình * có nghiệm
1
m 2 2;
4

Vậy các giá trị m3; 2; 1;0
thỏa mãn.
Câu 39. Đáp án A.
Điều kiện
sin x 0 x k
cos 0
k
x
.
2
cos sin
Phương trình x x
sin x cos x
sin x
cos x
2 2
cos x sin x sin x.cos x sin x cos x
x x x x x x
sin xcos x01
sin x.cos x sin x cos x 02
sin cos sin .cos sin cos 0
Giải 1 2 sinx 0 x k
k
4
4
2
Giải 2 . Đặt t sin x cos x 2 sinx t
2; 2
1
t
4
, sin x.cos
x .
2
2
1
t
2 t 1
2
tm
2 t 0 t 2t
1 0
2
t 1 2l
1
2 1
2
sinx
. Vậy t .
4
2
2
Câu 40. Chọn đáp án B.
Cách 1: Điều kiện để phương tình tan x cot
x t có nghiệm:
t ; 2 2;
t tan x cot x tan x cot x 2 tan x.cot x 2
Cách 2: Phương trình tan x 1 t tan x 0
có nghiệm
tan x
2
tan x t.tan x 1 0 có nghiệm
0
2
2 t 4 0 t 2 .
0 t.0 1
0
Câu 41. Đáp án C.
2 2
3tan x 4tan x 4cot x 3cot x 2 0
4 tan x cot x 3 tan 2 x cot 2 x 2 0
2 2
t t t t
4 3 2 2 0 3 4 4 0 .
Câu 42. Đáp án A.
cos x cos3x 2cos5x
0
cos5x cos x cos5x cos3x
0
2cos3 x.cos2x 2cos4 x.cos x 0
3
4cos x 3cos x cos2x cos4 x.cos x 0
2
cos x 4cos x 3cos x cos2x cos4x
0
2
cos x
2cos2x 1cos2x 2cos 2x
1
0
2
cos x 4cos 2x cos2x
1 0
cos x 0
1
17
cos2x
8
x
k
2
k
1 1
17
x arccos k2
2 8
.

1
17
Vậy m .
8
Câu 43. Đáp án C.
sin3x sin x sin 2x
0
2cos2 x.sin x 2sin x.cos x 0
2
sin x 2cos x cos x 1 0
sin x 0
x k
cos x 1 x k2
k
1
cos x x k2
2 3
Vậy có 4 điểm biểu di n nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Câu 44. Đáp án A.
sin
2 1 cos x
1 1 cos2x
2 1
x cos x
4 4 2 2 4
4 4
2
1 cos2x 1 cos
2x
1
2
x x
2 2
1 cos 2 1 sin 2 1
2 2
1 2cos2x cos 2x 1 2sin2x sin 2x
1
3 2cos2x 2sin 2x
1
sin 2x cos2x 1 2 sin2x 1 sin 2x
sin
4
4
4
x
k
k
.
x
k
4
Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc 2 ;3 .
Câu 45. Đáp án B.
3 3 3
cos x.sin3x sin x.cos3x sin 4x
cos3x 3cos x 3sin x sin3x
3
.sin3 x .cos3x sin 4x
4 4
3 3
sin 3 x .cos x sin x .cos3 x sin 4 x
4
3 3
sin 4 x sin 4 x sin12 x 0 x k k
.
4 12
Vậy phương trình có 24 nghiệm trên 0;2 .
Câu 46. Đáp án B.
3 3 1
cos x.cos x .cos x sin x.sin x .sin
x
2 2 2 2 2
1 1 1
cos x. cos2x cos x sin x. cos x cos2x
2 2 2
cos x cos2x cos x 1 sin x sin x.cos x 1
2
x x x x x x
cos2 sin cos sin sin cos 0
x x 2 x x
sin cos 1 2sin sin 0
2
2

sin xcos x0
2
2sin x sin x 1 0
tan x 1
sin x 1
1
sin
x
2
Suy ra có hai nghiệm thuộc ;0
là
2
.
x k
4
x k2
2 k
x k2
6
5
x
k2
6
và .
4 2
Vậy tích hai nghiệm là
8
Câu 47. Đáp án A.
sin5 x.cos3x sin7 x.cos5x sin8x sin 2x sin12x sin 2x
k
x
12x 8x k2
sin8x sin12x
2
12 8 2
k
x x k
.
x k
20 `10
Câu 48. Đáp án D.
sin x 0
x
k
Điều kiện 3
3
sin 0
k
x
.
x k
2 2
Ta có
3
sin x sin x sin x sin x cos x
2
2
2
2
7 1
sin x sin 2
x sin x sin x cos x
4
4
4
.
2
Phương trình 1 1
2 2 sin x cos x
sin x
cos x
1
sin x cos x
2 2 0
sin x.cos
x
x k
sin xcos x0
2 sin x 0
4
1
4
x k
sin x.cos
x
k
2
2 2
8
sin 2x
5
2 x k
8
3 3
Vậy tổng các nghiệm âm liên tiếp lớn nhất là .
4 8 8 4
Câu 49. Đáp án A.
8
sin x 1
8 8
Ta có 8
x
sin x cos x 1, mà 2 1
cos x 0
3 .
Vậy phương tình đã cho vô nghiệm.
Câu 50. Đáp án A.
2 2
tan x 2sin x 2tan x 2 2 sin x 2 0
2 x x 2 x x
tan 2tan 1 2sin 2 2 sin 1 0
2
x x 2
tan 1 2 sin 1 0
.

tan x 1
2 x k2
k
sin x 4
2
Vậy phương trình có 1 nghiệm trên 0;2 .
Câu 51. Đáp án C.
3 x x 3 3x 9
Đặt t t 3t
10 2 2 10 2 10
1
Phương trình sin t sin
3t
2sin t sin3t
2
3
2sin t 3sin t 4sin t sin t 2cos2t
1 0
3
x
k2
sin t 0 t
k
5
14
1 x k2
k
cos2t
t
k2
5
2 6
4
x k2
5
Vậy phương trình có 3 nghiệm thuộc 0;2 .
Câu 52. Đáp án B.
2 sin x 2cos x 2 sin 2x
2 sin x 2 2 cos x 2 2sin x.cos
x
x x
2 sin 2 2 cos 1 0
sin x 2 vn
3
1 x k2
k
.
cos x
4
2
Câu 53. Đáp án B.
sin x 0
Điều kiện cos x 0
tan x 1
2 2
cos x sin x cos x sin
x
sin x sin x cos x
sin x cos x
sin x
cos x
cos x sin x sin x.cos x cos x sin x sin x cos x sin x
Phương trình
x x x x 2 x
cos sin 1 sin cos sin 0
sin xcos x0
1 1
cos2x
1 sin 2x
0
2 2
tan x 1
tm
x k
k
.
sin x cos x 3 vn 4
Câu 54. Đáp án B.
Điều kiện
sin x 0 sin 2x
0 cos2x
1.
cos x 0
cos x sin x
2
Phương trình 4sin 2x
sin x cos x sin 2x
2 2
2cos2x 4sin 2x 2 2cos 2x cos2x
1
0
cos2x1l
1
cos2x
2

2
2x k2
x kk
3 3
Vậy phương trình có 4 nghiệm trên 0;2
Câu 55. Đáp án C.
2
2sin 2 sin 7 1 sin
x x x
2cos4x 2cos4 x.sin 3x
0
2
2sin 2x 1 sin 7x sin x 0
2cos 4x
1 sin 3x
0
cos 4x
0
1 sin 3x
0
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 56. Đáp án D.
2sin x 1 cos 2x sin 2x 1
2cos x
2
2sin x 1 cos x 1 sin 2x 1
2cos x
2
4sin x.cos x sin 2x 1
2cos x
2sin 2 x.cos x sin 2x 1
2cos x
x x
2cos 1 sin 2 1 0
2cos x 1 0
sin 2x
1 0
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 57. Đáp án A.
Điều kiện: cos 2x 0 x k
4 2
Phương trình
3
6sin x 2cos x 5sin 2x.cos x
3 3
3sin x cos x 5sin x.cos x 0 *
- Với cos x 0: Không thỏa mãn phương trình *
- Với cos x 0: Chia hai vế cho
2
* 3tan x 1 tan x 15tan x 0
3
cos x ta được:
3
3tan x 2 tan x1 0
tan x 1
x k
4
Kết hợp với điều kiện Phương trình vô nghiệm
Câu 58. Đáp án A.
Điều kiện: cos x 0 x k;
k
2
Phương trình sin 4 x.cos x sin x
2sin 2 x.cos2 x.cos x sin x 0
2
4sin x.cos x.cos 2x sin x 0
2
4cos x.cos 2x 1 sin x 0

sin x 0
2
2cos 2x
2cos 2x
1 0
x
k
1 1 3 k
x arccos k
2 2
1 1
3 3
m n
2 2 2
Câu 59. Đáp án B.
Điều kiện: cos x 0 x k;
k
2
sin x 0
1
3
cos 2x
2
1
3
cos 2x
VN
2
PT: cos 2x tan 2 x 1 cos x 1
tan
2 x
cos x 1
2
2cos x cos x1 0
1
cos x
2
x
k2
2
x k k
x k2
3 3
3
2
1;70 1 k 70
3 3
3 1 105 1
k
2
2
2
Mà x
k
0;1;2;...;32}
Vậy PT có 33 nghiệm trên 1;70
Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số
Câu 60. Đáp án C.
2sin x 1sin x m 0 *
có nghiệm thuộc 0;
1
sin x 1
2
sin x
m2
Giải
1 sin x sin
6
x k2
6
k
7
x k2
6
PT (1) không có nghiệm nào thuộc 0;
(*) có nghiệm 0;

sin x m có nghiệm 0; m 0;1
.
Chú ý: Độc giả có thể giải cách khác như sau:
Có sin x0;1 x
0;
sin x
m
m
0;1
Câu 61. Đáp án A.
2
PT 2cos x 12cos 2x 2cos x m 3 4sin x có đúng hai nghiệm
;
2 2
2
2cos x 14cos x 2 2cos x m
2cos x 12cos x 1
2
x x m
2cos 1 4cos 3 0
1
2cos x 1 0
cos x (1)
2
2
4cos x 3 m 0 m 3
x
4
2
cos (2)
1
Giải (1): cos x có hai nghiệm thuộc ;
2
2 2
=> Phương trình có hai nghiệm thuộc
;
2 2
1
(2) vô nghiệm hoặc (2) cos x
2
m 3
1
4 m
m 3
1
0
m 3
4
m
2
m 3 1
4 4
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.
2
Chú ý: cos 0;1
Câu 62. Đáp án C
x x R
2
cos 2x sin x 3cos x m 5(*)
2 2
2cos x 1 1 cos x 3cos x m 5 0
2
cos x 3cos x m 5
Đặt cos x t
1;1
Bảng biến thiên:
, phương trình
2
t t m
3 5
=> Phương trình (*) có nghiệm 2 m 5 4

7 m 1. Vậy a + b = -8
Câu 63. Đáp án B
m
msin x m 1
cos x (*)
cos x
Điều kiện: cos x 0
2
m x x m x m
* sin cos 1 cos
m m1
sin 2x 1 cos 2x
m
2 2
msin 2x m 1 cos 2x m 1(1)
+ Từ m = 0
+ Với m 0
=> (*) có nghiệm khi (1)
* cos x 0 loại do điều kiện m
0
phương trình (*) vô nghiệm.
1 2
1
m m m
2 2
2 m
4
m 4m 0
m
0
Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 64. Đáp án B
cos 2x 2m 1 sin m 1 0
2
1 2sin 2 sin sin 1 0
x m x x m
m
2sin x m sinx sinx 0
1
sinx (1)
sinx-m2sin x 1
0 2
sinx m(2)
1
Giải (1): sinx luôn có 2 nghiệm ;
2
2
m
phương trình có nghiệm.
Câu 65. Đáp án D
3
2
3tan x tanx cot x m
2
sin x
x x x x m
2 2
3 1 cot 3tan tan cot 3 0
x x x x m
2 2
3 tan cot tan cot 3 0
2 2 2
t tan x cot x t 2 tan x cot x
t
2
t
2
Đặt
2
=> Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình
nghiệm t ; 22;
có nghiệm t ; 22;
Bảng biến thiên:
m t t
2
3 3
3 t 2 t 3 m 0 có

=> Phương trình có nghiệm m
7
Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2 18
sin 2x 2sin x cos x 0
+ Với cos x 0
2
cos 2x
2cos x1 1
thì
1 m 1 m 1 m 0