Chuyên đề Lượng giác (Lý thuyết + Bài tập vận dụng có giải) - Đặng Việt Đông (232 trang)

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lượng giác – ĐS và GT 11 

Trang 1


HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 

1. Hàm số y sin x 

Tập xác định: D 

R 

Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 sin x 1 

x R 

 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k 2 ) 

, nghịch biến trên mỗi khoảng 

2 2 

3 

( k2 ; k 2 ) 

. 

2 2 

Hàm số y sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 

Hàm số y sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 . 

Đồ thị hàm số y sin x. 

y 

-3 

-5 

2 

- 

3 

-2 - 

2 

2 2 

3 

1 

x 

-3 

 

5 

O 

2 

2 

2 

2 

2. Hàm số y 

cos x 

Tập xác định: D 

R 

Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 cos x 1 

x R 

Hàm số y 

cos x nghịch biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k 2 ) , đồng biến trên mỗi khoảng 

( k2 ; k 2 ). 

Hàm số y 

cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. 

Hàm số y 

cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 . 

Đồ thị hàm số y 

cos x. 

Đồ thị hàm số y 

cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sin x 

 

theo véc tơ v ( ;0) . 

2 

y 

-3 

-5 

2 

- 1 

3 

-2 - 

2 

2 2 

3 

x 

-3 

 

5 

O 

2 

2 

2 


tan x 

 

 

Tập xác định : D \ k 

, k 

2 

 

Tập giá trị: 

Là hàm số lẻ 

Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

Trang 2


 

Hàm đồng biến trên mỗi khoảng k; 

k 

2 2 

 

Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k 

, k làm một đường tiệm cận. 

2 

Đồ thị 

y 

-5 

2 

-2 - 

- 

2 

 

2 

3 

2 2 

-3 

O 

2 

5 

2 

x 


cot x 


, k 

Tập giá trị: 

Là hàm số lẻ 

Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k 

Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k 

, k làm một đường tiệm cận. 

Đồ thị 

y 

-5 

2 

-2 - 

- 

2 

 

2 

3 

2 2 

-3 

O 

2 

5 

2 

x 

Trang 3


PHẦN I: ĐỀ BÀI 

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, XÉT TÍNH CHẴN LẺ, 

CHU KỲ CỦA HÀM SỐ 

Phƣơng pháp. 

Hàm số y f ( x ) có nghĩa f( x ) 0 

và f( x ) tồn tại 

1 

Hàm số y có nghĩa ( ) 0 

f( x) 

f x và f ( x ) tồn tại. 

sin u( x) 0 u( x) k 

, k 

 

cos u( x) 0 u( x) k, 

k . 

2 

Định nghĩa: Hàm số y f ( x ) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao 

cho với mọi x 

D ta có 

x T D và f ( x T ) f ( x ) . 

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn 

với chu kì T . 

Hàm số f ( x) asin ux bcos 

vx c ( với uv , 

là ước chung lớn nhất). 

Hàm số f ( x) a.tan ux b.cot 

vx c (với uv , 

) là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

) là hàm tuần hoàn với chu kì T 

2 

( uv , ) 

 

( uv , ) 

. 

( ( uv , ) 

y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 

Thì hàm số y f1( x) f2( x ) có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . 

y sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T 1, 1 

; hàm lẻ, chu kỳ T 

0 

2 . 

* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 

2 

 

a 

* y = sin(f(x)) xác định f( x ) xác định. 

y cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T 1, 1 

; hàm chẵn, chu kỳ T 

0 

2 . 

* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 

2 

 

a 

* y = cos(f(x)) xác định f( x ) xác định. 

 

 

y tan x : Tập xác định D R \ k 

, k Z ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T 

0 

. 

2 

 

 

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 

 

a 

Trang 4


 

* y = tan(f(x)) xác định f( x ) k 

( k Z ) 

2 

cot 

D R \ k 


0 

. 

y x : Tập xác định 

 

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 

 

a 

* y = cot(f(x)) xác định f ( x) k 

( k Z ) . 

TẬP XÁC ĐỊNH 

1 

Câu 1: Tập xác định của hàm số y 

sin x 

cos x là 

A. x 

k . B. x 

k 2 . 

 

 

C. x 

k . D. x 

k . 

2 

4 

1 

3cos x 

Câu 2: Tập xác định của hàm số y là 

sin x 

 

A. x 

k . B. x 

k 2 . C. x k . 

2 

2 

D. x 

k . 

3 

Câu 3 : Tập xác định của hàm số y= 

2 2 

sin x 

cos x là 

A. 

 

 

 

 

\ k 

, k Z . B. \ k 

, k Z . 

4 

 

2 

 

C. 

 

 

3 

 

\ k , k Z . D. \ k2 , k Z . 

4 2 

4 

 

cot x 


cos x 1 

A. 

 

 

 

\ k , k Z B. \ k 

, k Z 

2 

2 

 

C. \ k 

, k Z D. 

2sin x 1 


1 cos x là 

A. x 

k 2 

B. x 

k 

 

 

C. x 

k D. x 

k 

2 

2 

2 

 

Câu 6: Tập xác định của hàm số y tan 2x 

là 

3 

 

A. k 

5 

 

5 

 

x B. x 

k C. x 

k D. x 

k 

6 2 

12 

2 

12 2 

Câu 7: Tập xác định của hàm số y tan 2x là 

A. 

k 

 

 

x B. x 

k 

C. k 

 

x D. x 

k 

 

4 2 

2 

4 2 

4 

1 

sin x 


sin x 1 

 

3 

A. x 

k 2 

. B. x 

k 2 . C. x 

k 2 

. 

2 

2 

D. x 

k 2 

. 

Câu 9: Tập xác định của hàm số y 

cos x là 

Trang 5


A. x 0 . B. x 0 . C. . D. x 0 . 

1 

2cos x 


sin 3x 

sin x là 

 

 

k 

 

A. \ k; k, 

k 

B. \ , k . 

4 

4 2 

k 

 

C. \ k 

, k . D. \ k; , k . 

4 2 

Câu 11: Hàm số y cot 2x có tập xác định là 

 

 

 

A. k 

B. \ k; 

k C. \ k ; k D. \ k ; k 

4 

2 4 2 

Câu 12: Tập xác định của hàm số y tan x cot 

x là 

 

 

A. B. \ k; 

k C. \ k; 

k D. \ k ; k 

2 

2 

2x 


2 

1 sin x là 

5 

 

A. . 

B. D \ k 

, k . 

2 

2 

 

 

C. y sin x x sin x x . 

D. x k . 

3 2 


tan x là 

 

 

A. D . 

B. D \ k 

, k . 

2 

 

 

 

C. D \ k2 , k . 

D. D \ k 

, k . 

2 

 


cot x là 

 

 

 

 

A. D \ k 

, k . 

B. D \ k 

, k . 

4 

 

2 

 

D \ k 

, k . 

D. D . 

C. 

Câu 16: Tập xác định của hàm số 

A. D \ 0 . 

C. 

1 

y 

sin x là 

B. k k 

k k D. D \ 0; . 

D \ , . 

D \ 2 , . 

1 


cot x là 

 

 

A. D \ k 

, k . 

B. D \ k 

, k . 

2 

 

 

3 

 

C. D \ k , k . 

D. D \ 0; ; ; . 

2 

2 2 

1 


cot x 3 

 

 

 

 

A. D \ k2 , k . 

B. D \ k, k, k . 

6 

 

6 

 

 

 

 

Trang 6


 

 

2 

 

C. D \ k, k, k . 

D. D \ k, k, k . 

3 2 

3 2 

1 

Câu 19: Tập xác định của hàm số: y x 

tan 2x là: 

 

A. \ k 

, k . 

B. \ k , k . 

4 

 

 

k 

 

C. \ k 

, k . 

D. \ , k . 

2 

 

2 

3 x 1 


2 

1 cos x là: 

 

 

 

A. D \ k 

, k . 

B. D \ k 

, k . 

2 

 

2 

D \ k, k . 

D. D . 

C. 

1 

Câu 21: Tập xác định của hàm số: y x là: 

cot x 

 

 

k 

 

A. \ k 

, k . 

B. \ , k . 

2 

 

2 

 

 

C. \ k 

, k . 

D. \ k2 , k . 

2 

 

y tan 3x 1 

là: 

Câu 22: Tập xác định của hàm số 

A. D 

 

1 

1 

 

\ k , k . 

B. D \ k , k . 

6 3 3 

3 3 

C. D 

 

1 

 

1 

\ k , k . 

D. D k , k . 

6 3 3 

6 3 3 

 


là 

4 

A. D . B. 

 

C. \ , 

12 

 

 

 

D k k . D. \ 

Câu 24: Tập xác định của hàm số sin 1 

y x là: 

A. . B. \{1}. 

D R k . 

 

 

C. \ k2 | k . D. \{ k } 

. 

2 

 

x 1 

Câu 25: Tập xác định của hàm số y sin là: 

x 1 

1;1 . 

A. \ 1 

. B. 

 

 

 

 

C. \ k2 | k . D. \ k 

| k . 

2 

 

2 

 

2 

1 


x là: 

sin x 

A. . B. \ 0 

. 

Trang 7


 

 

k k . D. \ k 

| k . 

2 

 

C. \ | 

2 sin x 


1 cos x là: 

A. 

 

 

\ k 

| k . 2 

 

B. \ 

k2 | k . 

C. . D. \ 1 

. 


y 

1 

sin x 

1 

cos x là 

A. \ 

k2 , 

k . B. \ 2 , 

k k . 

 

 

 

 

C. \ k2 , k . D. \ k2 , k . 

4 

 

2 

 

Câu 29: Tập xác định D của hàm số y sinx2. 

là 

A. . . B. 2; . 

C. 0;2 . 

D. 

 


A. . 

y 

1cos2x là 

arcsin 2 ; . 

D . B. D 0;1 . 

C. 

\ , . 

D k k 

D 1;1 . D. 

Câu 31: Hàm số nào sau đây có tập xác định . 

2 cos x 

A. y 

2 sin x . B. 2 2 

y tan 

x cot 

x . 

2 

3 

1 

sin x 

C. y 

2 

1 cot x . D. sin x 

y 

. 

2cos x 2 

1 

sin x 


2 

sin x 

 

 

A. D \ k 

, k . B. D \ k2 , k . 

2 

 

D \ k2 , k . D. D . 

C. 


1 

cos x 

2 

cos x 

là: 

A. D 

 

 

\ k 2 

, k . 2 

 

B. D . 

C. D 

 

\ k , k . 2 

 

D. D \ k 

, k . 

Câu 34: Hàm số y 

2 sin 2x 

có tập xác định 

mcos x1 

khi 

A. m 0. B. 0m 1. C. m 1. D. 1 

m 1. 

tan x 

Câu 35: Tập xác định của hàm số y là: 

cos x 1 

Trang 8


 

 

x k 

 

x 

k 

2 

A. x 

k 2 . B. x 

k 2 

. C. 2 . D. . 

3 

 

 

x k2 

 

x k 

3 

cot x 


cos x là: 

 

k 

A. x 

k . B. x 

k 2 . C. x 

k . D. x . 

2 

2 

1 

sin x 


sin x 1 

 

3 

A. x 

k 2 

. B. x 

k 2 . C. x 

k 2 

. D. x 

k 2 

. 

2 

2 

1 

3cos x 


sin x 

 

k 

A. x 

k . B. x 

k 2 . C. x . D. x 

k . 

2 

2 

3 


sin x là 

A. 

D 

\ k2 , k . 

D . B. 

 

 

C. D \ k , k . D. D \ k 

, k . 

2 

 

 


4 

 

 

A. D . B. D \ k , k . 

12 3 

 

 

C. D \ k 

, k . D. D \ k 

, k . 

12 

 

Câu 41: Chọn khẳng định sai 

A. Tập xác định của hàm số y sin x là . 

 

 

B. Tập xác định của hàm số y 

cot x là D \ k 

, k 

. 

2 

 

C. Tập xác định của hàm số y 

cos x là . 

D. Tập xác định của hàm số y 

tan x là D 

 

 

\ k 

, k 

. 

2 

 

sin x 


1 cos x là 

A. \ k2 

, k . B. 

 

\ , 

2 

 

k k . 

 

C. . D. 

 

 

\ k2 , k . 

2 

 

Câu 43: Tìm tập xác định của hàm số 

y 

1 

cos3x 

1 

sin 4x 

Trang 9


A. D 

 

3 

 

\ k , k 

B. D \ k , k 

8 2 

8 2 

C. D 

 

 

\ k , k 

D. D \ k , k 

4 2 

6 2 

 

 

 

 

 

 

Câu 44: Tìm tập xác định của hàm số sau y 

2 

1 

cot x 

1 

sin 3x 

A. D 

n2 

 

n2 

 

\ k 

, ; k, 

n 

B. D \ k , ; k, 

n 

6 3 

3 6 3 

C. D 

n2 

 

n2 

 

\ k 

, ; k, 

n 

D. D \ k 

, ; k, 

n 

6 5 

5 3 


tan 2x 

3sin 2x 

cos 2x 

A. D 

 

 

\ k , k ; k B. D \ k , k ; k 

4 2 12 2 

3 2 5 2 

C. D 

 

 

\ k , k ; k D. D \ k , k ; k 

4 2 3 2 

3 2 12 2 

 

Câu 45: Tìm tập xác định của hàm số sau y tan( x ).cot( x ) 

4 3 

A. D 

3 

 

 

3 

 

 

\ k, k; 

k 

B. D \ k, k; 

k 

4 3 

 

4 5 

 

C. D 

 

 

 

3 

 

 

\ k, k; 

k 

D. D \ k, k; 

k 

4 3 

5 6 

 

Câu 46: Tìm tập xác định của hàm số sau y tan 3 x.cot 5x 

A. D 

n 

 

n 

 

\ k , ; k, 

n 

B. D \ k , ; k, 

n 

6 3 5 

5 3 5 

C. D 

n 

 

n 

 

\ k , ; k, 

n 

D. D \ k , ; k, 

n 

6 4 5 

4 3 5 

Trang 10


TÍNH CHẴN LẺ, CHU KỲ CỦA HÀM SỐ 

Câu 1: 

Khẳng định nào sau đây sai? 

A. y 

tan xlà hàm lẻ. B. y 

cot x là hàm lẻ. 

C. y cos x là hàm lẻ. D. y sin x là hàm lẻ. 

Câu 2: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn? 

A. y sin 2x. B. y cos3x. 

C. y cot 4x. D. y tan 5x. 

Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn 

A. y sin 3x. B. y x.cos 

x . C. y cos x.tan 2x . 

tan x 

D. y 

sin x . 

Câu 4: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó? 

2016 

y cot 2x; y cos( x ) ; y 1sin 

x; y tan x . 

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. 


x . C. y cos x.tan 2x . D. 

Câu 6: Cho hàm số f x cos 2x và g x tan 3 

A. f x là hàm số chẵn, g x là hàm số lẻ. 

B. f x là hàm số lẻ, g x là hàm số chẵn. 

C. f x là hàm số lẻ, g x là hàm số chẵn. 

D. f x và g x đều là hàm số lẻ. 

Câu 7: Khẳng định nào sau đây là sai? 

2 

A. Hàm số y x cos x là hàm số chẵn. 

B. Hàm số y sin x x sin x + x là hàm số lẻ. 

x , chọn mệnh đề đúng 

sin x 

C. Hàm số y là hàm số chẵn. 

x 

D. Hàm số y sin x 2 

là hàm số không chẵn, không lẻ. 


2 

A. sin 

sin 

2;5 . 

y x x . B. 

tan x 

y 

sin x . 

2 

C. y sin 

x tan 

x . 

2 

D. y sin 

x cos 

x . 

Câu 9: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó 

y cot 2 x, 

y cos( x 

), y 1sin x, 

2016 

y tan x ? 

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . 


A. Hàm số y sinx 2 là hàm số không chẵn, không lẻ. 

sinx 

B. Hàm số y là hàm số chẵn. 

x 

2 

C. Hàm số y x cos x là hàm số chẵn. 

D. Hàm số y sin x x sin x x là hàm số lẻ. 

Trang 11


Câu 11: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? 

A. y 2x cos 

x . B. y cos3x. 

C. y x 2 sin x 3 . 

cos x 

D. y . 

3 

x 

Câu 12: Hàm số y tan x 2sin 

x là: 

A. Hàm số lẻ trên tập xác định. B. Hàm số chẵn tập xác định. 

C. Hàm số không lẻ tập xác định. D. Hàm số không chẵn tập xác định. 

3 

Câu 13: Hàm số y sin x.cos 

x là: 

A. Hàm số lẻ trên . B. Hàm số chẵn trên . 

C. Hàm số không lẻ trên . D. Hàm số không chẵn . 

Câu 14: Hàm số y sin x 5cos 

x là: 


C. Hàm số không chẵn, không lẻ trên . D. Cả A, B, C đều sai. 

Câu 15: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ? 

sin x 

tan x 

A. y 

. 

2 

2cos x 

B. y tan x cot 

x . 

C. y sin 2x cos 2x . D. y 

2 

2 sin 3x . 


x là: 




sin x 

tan x 

A. y 

. 

2 

2cos x 


x . 

C. y sin 2x cos 2x . D. y 

2 

2 sin 3x . 

Câu 18: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn: 

A. y 5sin x.tan 2x . B. y 3sin x cos 

x . 

C. y 2sin 3x 5 

. D. y tan x 2sin 

x . 

Câu 19: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ: 

sin x 

tan x 

A. y 

. 

3 

2cos x 


x . 

2 

C. y sin 2x cos 2x . D. y 2 sin 3x . 

Câu 20: Trong các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số lẻ? 

2 

A. y sin x. B. y 

cos x. C. ycos 

x. D. y sin x. 

Câu 21: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? 

2 

A. y sin 

x. B. y cos x sin 

x . C. y cos 

x sin 

x . D. y cos xsin 

x . 

Câu 22: Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn: 

2 

2 

cos3 1 

sin 1 2 

y tan x 3 ; 

y x ; y x ; 

y cot x 4 

. 

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 

Câu 24: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? 

A. y sin x. B. y x 1. C. 


2 

y x . D. 

A. y sin 

x x . B. y 

cos x. C. y xsin 

x D. 

x 1 

y . 

x 2 

2 

1 

y x . 

x 

Trang 12



1 

A. y xcos 

x . B. y x tan x . C. y 

tan x. D. y 

x . 


sin x 

A. y . B. tan 

x y x x 

. C. 2 

y x 1. D. y 

cot x. 

Câu 29: Chu kỳ của hàm số y sin x là: 

 

A. k2 , k . B. . C. . D. 2 . 

2 

Câu 30: Chu kỳ của hàm số 

y 

cos x là: 

A. k 2 . B. 2 . C. . D. 2 . 

3 


y 

tan x là: 

 

A. 2 . B. . C. k 

, k . D. . 

4 


y 

cot x là: 

 

A. 2 . B. . C. . D. k 

, k . 

2 

Trang 13


DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 


Cho hàm số y f ( x ) tuần hoàn với chu kì T 

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn 

có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ kv . (với v ( T;0), 

k ) ta được toàn bộ đồ thị của 

hàm số. 

* Số nghiệm của phương trình f ( x) 

k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị 

y f ( x ) và y k . 

* Nghiệm của bất phương trình f( x ) 0 là miền x mà đồ thị hàm số y f ( x ) nằm trên trục Ox . 

Câu 1: Hàm số y sin x: 

 

 

A. Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 

k k 

và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k 2 

 

với k . 

3 

5 

 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

và nghịch biến trên mỗi khoảng 

 

2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 

 

3 

 

C. Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 


 

2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 

 

D. Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 


 

3 

 

2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 

Câu 2: Hàm số y 

cos x: 

 

 


 

2 

k k 


 

với k . 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k 2 

và nghịch biến trên mỗi khoảngk2 ; k 2 

với 

k . 

 

3 

 


 

2 k 2 

k 

và nghịch biến trên mỗi 

 

khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 

2 ; 2 

k2 ;3 k 

2 

với 

D. Đồng biến trên mỗi khoảng k k và nghịch biến trên mỗi khoảng 

k . 

Trang 14


Câu 3: Hàm số: y 

3 2cos 

x tăng trên khoảng: 

 

A. 

; 

6 2 . B. 

3 

 

; 

2 2 . C. 7 

;2 

6 . D. 6 ; 

 

2 . 

 

Câu 4: Hàm số nào đồng biến trên khoảng 

; 

3 6 : 

A. y 

cos x. B. y cot 2x. C. y sin x. D. y cos2x. 

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai? 

 

A. Hàm số y sinx tăng trong khoảng 0; 

2 

 

B. Hàm số y 

cotx giảm trong khoảng 0; 

2 . 

 

C. Hàm số y 

tanxtăng trong khoảng 0; 

2 . 

 

D. Hàm số y 

cosxtăng trong khoảng 0; 

2 . 

. 

Câu 7: Hàm số y sin 

xđồng biến trên: 

 

A. Khoảng 0; . B. Các khoảng 2 ; 2 

 

4 k 4 

k 

, k . 

 

 

C. Các khoảng 2 ; 2 

 

2 

k k 

, k 

 

3 

 

. D. Khoảng ; 

2 2 . 


cosx: 

 

 

A. Tăng trong0; . B. Tăng trong 

 

0; 

2 

và giảm trong ; 

 

 

2 

 

. 

0; . D. Các khẳng định trên đều sai. 

C. Nghịch biến 

Câu 10: Hàm số 

 

A. 

 

0; 2 

y 

cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây: 

. B. ;2 

. 

C. ; . D. 

0; . 

 

Câu 12: Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0; khác với các hàm số còn lại ? 

2 


cos x. C. y 

tan x. D. ycot 

x. 


tan xđồng biến trên khoảng: 

 

A. 0; 

2 . B. 

0; 

 

2 

. C. 3 

 

0; 

2 . D. 3 

 

; 

2 2 . 

Câu 14: Khẳng định nào sau đây đúng? 

 

3 

 

A. Hàm số y sin x đồng biến trong khoảng ; 

4 4 . 

 

3 

 


cos x đồng biến trong khoảng ; 

4 4 . 

3 

C. Hàm số y sin x đồng biến trong khoảng 

; 

4 4 . 

Trang 15


3 


cos x đồng biến trong khoảng 

; 

4 4 . 

 

Câu 15: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng 0; 

2 ? 


cos x. C. y 


x. 

 

3 

 

Câu 16: Hàm số nào dƣới đây đồng biến trên khoảng ; 

2 2 ? 


cos x. C. y 

cot x. D. y 

tan x. 

Trang 16


DẠNG 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 3sin 2x 5 

lần lượt là: 

A. 8 v à 2 

. B. 2 v à 8 . C. 5 v à 2 . D. 5 v à 3 . 

 

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 7 2cos( x ) lần lượt là: 

4 

A. 2 v à 7 . B. 2 v à 2 . C. 5 v à 9. D. 4 v à 7 . 

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin x 3 1 


A. 2 v à 2. B. 2 v à 4 . C. 4 2 v à 8 . D. 4 2 1 v à 7 . 

2 

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 4sin x 5 

là: 

A. 20 . B. 8. C. 0 . D. 9 . 

2 

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y 1 

2cos x cos x là: 

A. 2 . B. 5 . C. 0 . D. 3 . 

Câu 6: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 3sin 3x 

A. min y 2; max y 5 

B. min y 1; max y 4 

C. min y 1; max y 5 

D. min y 5; max y 5 

2 

Câu 7: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y14sin 2x 





 

Câu 8: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2cos(3 x ) 3 

3 

A. min y 2 , max y 5 

B. min y 1, max y 4 

C. min y 1, max y 5 

D. min y 1, max y 3 

Câu 9: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 

y x 

2 

3 2sin 2 4 

A. min y 6 , max y 4 3 

B. min y 5 , max y 4 2 3 

C. min y 5 , max y 4 3 3 

D. min y 5 , max y 4 3 

Câu 10: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

2sin x 3 

A. max y 5 , min y 1 

B. max y 5 , min y 2 5 

C. max y 5 , min y 2 

D. max y 5 , min y 3 


y x 

2 

1 2cos 1 

A. max y 1, min y 1 

3 

B. max y 3, min y 1 

3 


3 


3 

 

Câu 12: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 

3sin 2x 

 

4 

A. min y 2 

, max y 4 

B. min y 2 , max y 4 

C. min y 2 

, max y 3 


2 

Câu 13: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y32cos 3x 

A. min y 1, max y 2 


C. min y 2 , max y 3 


Trang 17


Câu 14: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y1 

2 sin 2x 


3 

B. min y 2 , max y 2 3 


3 


4 

Câu 15: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

2 

1 2sin x 

4 

4 

A. min y , max y 4 

B. min y , max y 3 

3 

3 

4 

1 

C. min y , max y 2 

D. min y , max y 4 

3 

2 

2 2 

Câu 16: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin x cos 2x 

3 

A. max y 4 , min y 

4 



3 

D. max y 3, 

min y 

4 

Câu 17: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3sin x 4cos x 1 


B. max y 4 , min y 4 






C. min y 3; max y 4 D. min y 6; max y 6 


2 2 

y 2sin x 3sin 2x 4cos x 

A. min y 3 2 1; max y 3 2 1 

B. min y 3 2 1; max y 3 2 1 

C. min y 3 2; max y 3 2 1 

D. min y 3 2 2; max y 3 2 1 


2 2 

y sin x 3sin 2x 3cos x 

A. max y 2 10; min y 2 10 

B. max y 2 5; min y 2 5 

C. max y 2 2; min y 2 2 

D. max y 2 7; min y 2 7 

Câu 21: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin 3x 

1 

A. min y 2,max y 3 

B. min y 1,max y 2 

C. min y 1,max y 3 

D. min y 3,max y 3 

2 







2 4 cos3x 

A. min y1 

2 3,max y 1 

2 5 

B. min y2 3,max y 2 5 

C. min y1 

2 3,max y 1 

2 5 

D. min y 1 

2 3,max y 1 

2 5 

Câu 24: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 4sin 6x 3cos6x 

A. min y 5,max y 5 B. min y 4,max y 4 

C. min y 3,max y 5 D. min y 6,max y 6 

3 


2 

1 2 sin x 

Trang 18


3 3 

3 4 

A. min y 

,max y 

B. min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

1 

3 1 

2 

2 3 

3 3 

C. min y 

,max y 

D. min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

1 

3 1 

2 

3sin 2x 

cos 2x 


2 

sin 2x4cos x1 

6 3 5 6 3 5 

4 3 5 4 3 5 

A. min y ,max y 

B. min y ,max y 

4 4 

4 4 

7 3 5 7 3 5 

5 3 5 5 3 5 

C. min y ,max y 

D. min y ,max y 

4 4 

4 4 

Câu 27: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y sin x 

2 

2 sin x 




D. min y 0 , max y 2 

2 

Câu 28: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan x 4tan x 1 

A. min y 2 

B. min y 3 

C. min y 4 

D. min y 1 

2 2 

Câu 29: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan x cot x 3(tan x cot x ) 1 

A. min y 5 

B. min y 3 

C. min y 2 

D. min y 4 

Câu 30: Tìm m để hàm số y 5sin 4x 6cos4x 2m 1 

xác định với mọi x . 

61 1 

61 1 

A. m 1 

B. m 

C. m 

D. 

2 

2 


3 

2sin x 


5 

B. min y2; max y 5 

C. min y 

2; max y 1 

5 



1 





m 

61 1 

2 

Câu 33: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 cos x sin x 4 





sin 2x2cos 2x3 


2sin 2xcos 2x4 

2 

2 

A. min y ; max y 2 

B. min y ; max y 3 

11 

11 

2 

2 

C. min y ; max y 4 

D. min y ; max y 2 

11 

11 

2 

2sin 3x 4sin3x cos3x 

1 


sin 6x4cos6x10 

119 7 119 7 

22 9 7 22 9 7 

A. min y ; max y 

B. min y ; max y 

83 83 

11 11 

339 7 33 9 7 

22 9 7 22 9 7 

C. min y ; max y 

D. min y ; max y 

83 83 

83 83 

Câu 36: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3cos x sin x 2 

Trang 19


A. min y 2 5; max y 2 5 B. min y 2 7; max y 2 7 

C. min y 2 3; max y 2 3 D. min y 2 10; max y 2 10 


y 

2 

sin 2x 

3sin 4x 

2 

2cos 2xsin 4x2 

5 97 5 97 

5 97 5 97 

A. min y , max y 

B. min y , max y 

4 4 

18 18 

5 97 5 97 

7 97 7 97 

C. min y , max y 

D. min y , max y 

8 8 

8 8 


2 

y 3(3sin x 4cos x) 4(3sin x 4cos x ) 1 

1 

1 

A. min y ;max y 96 

B. min y 

;max y 6 

3 

3 

1 

C. min y ;max y 96 

D. min y 2;max y 6 

3 

2 

Câu 39: Tìm m để các bất phương trình (3sin x 4cos x) 6sin x 8cos x 2m 1 

đúng với mọi x 

A. m 0 

B. m 0 

C. m 0 

D. m 1 

3sin 2x 

cos 2x 

Câu 40: Tìm m để các bất phương trình m 

1 


2 

sin 2x4cos x1 

3 5 

3 5 9 

3 5 9 

3 5 9 

A. m 

B. m 

C. m 

D. m 

4 

4 

2 

4 


Câu 41: Tìm m để các bất phương trình 

2 đúng với mọi x 

3cos 2x sin 2x m 1 

15 29 

15 29 

A. 10 3 m 

B. 10 1 

m 

2 

2 

15 29 

C. 10 1 

m 

D. 10 1 m 10 1 

2 

 

Câu 42: Cho xy , 0; thỏa cos 2x cos 2 y 2sin( x y ) 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 

2 

4 4 

sin x cos y 

P . 

y x 

3 

2 

2 

5 

A. min P 

B. min P 

C. min P 

D. min P 

 

 

3 

 

ksin x1 

Câu 43: Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y lớn hơn 1. 

cos x 2 

A. k 2 

B. k 2 3 

C. k 3 

D. k 2 2 

Trang 20


PHẦN II: HƢỚNG DẪN GIẢI: 

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, XÉT TÍNH CHẴN LẺ, 

CHU KỲ CỦA HÀM SỐ 


Hàm số y f ( x ) có nghĩa f( x ) 0 

và f( x ) tồn tại 

1 

Hàm số y có nghĩa ( ) 0 

f( x) 

f x và f ( x ) tồn tại. 

sin u( x) 0 u( x) k 

, k 

 

cos u( x) 0 u( x) k, 

k . 

2 

Định nghĩa: Hàm số y f ( x ) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao 

cho với mọi x 

D ta có 

x T D và f ( x T ) f ( x ) . 

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn 

với chu kì T . 

Hàm số f ( x) asin ux bcos 

vx c ( với uv , 

là ước chung lớn nhất). 

Hàm số f ( x) a.tan ux b.cot 

vx c (với uv , 

) là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

) là hàm tuần hoàn với chu kì T 

2 

( uv , ) 

 

( uv , ) 

. 

( ( uv , ) 

y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 

Thì hàm số y f1( x) f2( x ) có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . 

y sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T 1, 1 

; hàm lẻ, chu kỳ T 

0 

2 . 

* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 

2 

 

a 

* y = sin(f(x)) xác định f( x ) xác định. 

y cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T 1, 1 

; hàm chẵn, chu kỳ T 

0 

2 . 

* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 

2 

 

a 

* y = cos(f(x)) xác định f( x ) xác định. 

 

 

y tan x : Tập xác định D R \ k 


0 

. 

2 

 

 

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 

 

a 

Trang 21


 

* y = tan(f(x)) xác định f( x ) k 

( k Z ) 

2 

cot 

D R \ k 


0 

. 

y x : Tập xác định 

 

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 

 

a 

* y = cot(f(x)) xác định f ( x) k 

( k Z ) . 

TẬP XÁC ĐỊNH 

1 


sin x 

cos x là 

 

 

A. x 

k . B. x 

k 2 . C. x 

k . D. x 

k . 

2 

4 

Hướng dẫn giải: 

Chọn D. 

 

Do điều kiện sin x cos x 0 tan x 1 x k 

4 

1 

3cos x 


sin x 

 

A. x 

k . B. x 

k 2 . C. x k . D. x 

k . 

2 

2 


Chọn D. 

Do điều kiện sin x 0 x k 

3 

Câu 3 : Tập xác định của hàm số y= 

2 2 

sin x 

cos x là 

 

 

 

 

A. \ k 

, k Z . B. \ k 

, k Z . 

4 

 

2 

 

 

 

3 

 

C. \ k , k Z . D. \ k2 , k Z . 

4 2 

4 

 


Chọn C. 

2 2 2 

 

Do điều kiện sin x cos x 0 tan x 1 

x k . 

4 

cot x 


cos x 1 

 

 

 

A. \ k , k Z B. \ k 

, k Z C. \ k 

, k Z D. 

2 

2 

 


Chọn C. 

Ta có 

sin x 0 

Hàm số xác định 

cos x 1 

Trang 22


sin x 0 

x k 

k 

Vậy tập xác định là D \ k 

, k Z 

 


 

2sin x 1 

y 

1 cos x là 

A. x 

k 2 

B. x 

k 

C. 


Chọn A. 


Hàm số xác định 1cos x 0 

cos x 1 

Vậy tập xác định x k2 

k 

 

x k2 

k 

 


là 

3 

 

A. k 

5 

x B. x 

k C. 

6 2 

12 


Chọn D. 


 

Hàm số xác định cos2x 

 

0 

3 

 

2x k 

3 2 

5 

k 

x k 

 

12 2 

5 

 

Vậy tập xác định x k k 

 

12 2 


A. 

k 

 

x B. x 

k 

C. 

4 2 

2 


Chọn C. 


Hàm số xác định cos2x 

0 

 

2x k 

2 

k 

x k 

 

4 2 

k 

Vậy tập xác định x k 

 

4 2 

1 

sin x 


sin x 1 

 

 

 

 

 

x 

k D. x 

k 

2 

2 

2 

 

x 

k D. 

2 

 

x k D. 

4 2 

5 

 

x 

k 

12 2 

 

x 

k 

 

4 

Trang 23


 

A. x 

k 2 

. 

2 

B. x 

k 2 . C. 


Chọn C. 


Hàm số xác định sin x 1 

0 

sin x 1 

3 

x 

k 2 

. D. x 

k 2 

. 

2 

3 

x k2 

k 

 

2 

 

3 

Vậy tập xác định: x k2 

k 

 

2 

 


cos x là 

A. x 0 . B. x 0 . C. . D. x 0 . 


Chọn B. 


Hàm số xác định x 

0 

Vậy x 0 

1 

2cos x 


sin 3x 

sin x là 

A. 

 

 

k 

 

\ k; k, 

k 

B. \ , k . 

4 

4 2 

C. \ k 

, k . D. 

k 

 

\ k; , k . 

4 2 


Chọn D. 


Hàm số xác định sin x 1 

0 

x 

k 

3x x k2 

 

sin 3x sin x 

k 

k 

 

3x x k2 

x 

4 2 

 

Vậy tập xác định: D 

k 

 

\ k; , k 

4 2 

Câu 11: Hàm số y cot 2x có tập xác định là 

A. k 

B. 

 

 

 

\ k; 

k C. \ k ; k D. \ k ; k 

4 

2 4 2 


Chọn C. 


Hàm số xác định sin 2x 

0 

k 

2x k 

x k 

 

2 

 

Vậy tập xác định: D 

 

\ k ; k 

2 

Câu 12: Tập xác định của hàm số y tan x cot 

x là 

 

 

 

Trang 24


A. B. \ ; 

 

 

 

k k C. \ k; 

k D. \ k ; k 

2 

2 

 

 

 


Chọn D. 


sin x 0 

Hàm số xác định 

cos x 0 

k 

sin 2x 0 2x k 

x k 

 

2 

 

Vậy tập xác định: D \ k với k . 

2 

2x 


2 

1 sin x là 

5 

 

A. . 

B. D \ k 

, k . 

2 

2 

 

 

C. y sin x x sin x x . 

D. x k . 

3 2 


Chọn B. 

2x 

Hàm số y xác định khi và chỉ khi 

2 

1 sin x 

2 

2 

 

1sin x 0 

cos x 0 

cos x 0 

x k 

, k . 

2 


tan x là 

 

 

A. D . 

B. D \ k 

, k . 

2 

 

 

 

C. D \ k2 , k . 

D. D \ k 

, k . 

2 

 


Chọn B. 

 

Hàm số y 

tan x xác định khi và chỉ khi cos x 0 x k 

, k . 

2 


cot x là 

 

 

 

 

A. D \ k 

, k . 

B. D \ k 

, k . 

4 

 

2 

 

D \ k 

, k . 

D. D . 

C. 


Chọn C. 

Hàm số y 

cot x xác định khi và chỉ khi sin x 0 x k 

, k . 

1 


sin x là 

D \ k2 , k . 

A. D \ 0 . 

C. 

B. 

k k D. D \ 0; . 

D \ , . 

Trang 25



Chọn C. 

1 

Hàm số y xác định khi và chỉ khi sin 0 

sin x x x k 

, k . 

1 


cot x là 

A. D 

 

 

\ k 

, k . 

2 

 

B. D \ k 

, k . 

C. D 

 

3 

 

\ k , k . 

D. D \ 0; ; ; . 

2 

2 2 


Chọn C. 

1 

Hàm số y 

cot x xác định khi và chỉ khi sin x 0 sin x 0 

 

sin 2x 0 

x k , k 

cot x 0 cos x 0 

2 

. 

1 


cot x 3 

là 

A. D 

 

 

 

 

\ k2 , k . 

B. D \ k, k, k . 

6 

 

6 

 

C. D 

 

 

2 

 

\ k, k, k . 

D. D \ k, k, k . 

3 2 

3 2 


Chọn B. 

1 

sin x 0 

x 

k 

 

Hàm số y xác định khi và chỉ khi , k 

cot x 3 

cot x 3 x 

k 

6 

. 

1 

Câu 19: Tập xác định của hàm số: y x 

tan 2x A. \ k 

, k . 

B. 

 

\ k , k . 

4 

C. 

 

 

k 

 

\ k 

, k . 

D. \ , k . 

2 

 

2 


Chọn B. 

1 

Hàm số y x xác định khi và chỉ khi 

tan 2x cos 2x 

0 cos 2x 

0 

 

sin 4x 0 

x k , k 

tan 2x 

0 sin 2x 

0 

4 

. 

3 x 1 


2 

1 cos x là: 

A. D 

 

 

 

\ k 

, k . 

B. D \ k 

, k . 

2 

 

2 

D \ k, k . 

D. D . 

C. 


Trang 26


Chọn C. 

Hàm số 3 x 

y 1 xác định khi và chỉ khi 

2 

1 cos x 

2 

2 

1cos x 0 

sin x 0 

sin x 0 

xk 

. 

1 

Câu 21: Tập xác định của hàm số: y x là: 

cot x 

 

 

k 

 

A. \ k 

, k . 

B. \ , k . 

2 

 

2 

 

 

C. \ k 

, k . 

D. \ k2 , k . 

2 

 


Chọn B. 

1 

Hàm số y x 

cot x xác định khi và chỉ khi sin x 0 sin x 0 

 

sin 2x 0 

x k , k . 

cot x 0 cos x 0 

2 

y tan 3x 1 

là: 


 

1 

1 

 

A. D \ k , k . 

B. D \ k , k . 

6 3 3 

3 3 

 

1 

 

1 

C. D \ k , k . 

D. D k , k . 

6 3 3 

6 3 3 


Chọn A. 

y tan 3x1 

xác định khi và chỉ khi 

Hàm số 

 

1 

cos3x 1 

0 

3x1 k 

x k , k . 

2 

3 6 3 

 


là 

4 

A. D . B. 

 

 

C. D \ k 

, k . D. D R \ k . 

12 

 


Chọn B. 

ĐK 

 

: cos3 

0 

 

x 4 

k 

3x 

4 2 k 

x . 

12 3 

y sin x 1 

là: 


A. . B. \{1}. 

 

 

C. \ k2 | k . D. \{ k } 

. 

2 

 


Chọn A. 

x 1 

Câu 25: Tập xác định của hàm số y sin là: 

x 1 

1;1 . 

A. \ 1 

. B. 

Trang 27


 

 

 

 

C. \ k2 | k . D. \ k 

| k . 

2 

 

2 

 


Chọn A. 

ĐK : x 1 

0 x 1. 

2 

1 


x là: 

sin x 

A. . B. \ 0 

. 

 

 

C. \ k 

| k . D. \ k 

| k . 

2 

 


Chọn C. 

ĐK: sinx 

0 x 

k . 

2 sin x 


1 cos x là: 

A. 

 

 

\ k 

| k . 2 

 

B. \ 

k2 | k . 

C. . D. \ 1 

. 


Chọn B. 

ĐK :1 cosx 0 cosx 1 x 

k 2 . 


y 

1 

sin x 

1 

cos x là 

A. \ 

k2 , 

k . B. \ 2 , 

k k . 

 

 

 

 

C. \ k2 , k . D. \ k2 , k . 

4 

 

2 

 


Chọn A. 

Ta có: 1 sin x 0; 1cos 

x 0 x 

. 

ĐK :1cos 

x 0 cos x 1 x 

 

k2 

Câu 29: Tập xác định D của hàm số y sinx2. 

là 

A. . . B. 2; . 

C. 0;2 . 

D. 

 


Chọn A. 

Ta có: sin x 2 0 x . 


A. . 

y 

1cos2x là 

arcsin 2 ; . 

D . B. D 0;1 . 

C. 

\ , . 

D k k 


Chọn A 

Ta có: 1 cos 2x 11 cos 2x 0 x . 

D 1;1 . D. 

Trang 28


Câu 31: Hàm số nào sau đây có tập xác định . 

2 cos x 

A. y 

2 sin x . B. 2 2 

y tan 

x cot 

x . 

2 

3 

1 

sin x 

C. y 

2 

1 cot x . D. sin x 

y 

. 

2cos x 2 


Chọn A. 

1 sin x;cos 1 2 cos x 0;2 sin x 0 

2 cos x 

0 x 

. 

2 sin x 

1 

sin x 


2 

sin x 

 

 

A. D \ k 

, k . B. D \ k2 , k . 

2 

 

D \ k2 , k . D. D . 

C. 


Chọn A. 

Ta có: 1 sin x 0 x . 

ĐK 

: sin x 

0 x 

k. 


1 

cos x 

2 

cos x 

là: 

A. D 

 

 

\ k 2 

, k . 2 

 

B. D . 

C. D 

 

\ k , k . 2 

 

D. D \ k 

, k . 


Chọn C. 

1 cos x 0 

Hàm số xác định khi 

* 

 

cos x 0 

 

Vì 1 cos x 0, x nên * cos x 0 x k 

, k 

2 

Vậy D 

 

\ k , k . 

2 

 

Câu 34: Hàm số y 

2 sin 2x 

có tập xác định 

mcos x1 

khi 

A. m 0. B. 0m 1. C. m 1. D. 1 

m 1. 


Chọn D. 

Hàm số có tập xác định khi cos 1 0, * . 

m x x 

Khi m 0 thì (*) luôn đúng nên nhận giá trị m 0. 

Khi 0 

m thì m cos x 1m 1; m 1 

nên 

m thì m cos x 1m 1; m 1 

nên 

Khi 0 

Vậy giá trị m thoả 1 

m 1. 

* đúng khi m1 0 0 m 1. 

* đúng khi m1 0 1 m 0 . 

Trang 29



tan x 

y là: 

cos x 1 

 

 

x 

k 

A. x 

k 2 . B. x 

k 2 

. C. 2 . D. 

3 

 

x k2 


Chọn C. 

cos x 1 0 

 

Hàm số xác định khi , 

 

x 

k k 

2 

cos x1 0 cos x 1 x k 2 , k 

 

Vậy x 

k 2 , x k 

, k 

2 

. 

cot x 


cos x là: 

 

A. x 

k . 

2 

B. x 

k 2 . C. x 

k . D. 


Chọn D. 

 

x k 

2 

. 

 

 

x k 

3 

k 

x . 

2 

xk , k 

Hàm số xác định khi 

cos x 0 

 

cos x 0 x k 

, k 

2 

k 

Vậy x 

, k . 

2 

1 

sin x 


sin x 1 

 

3 

A. x 

k 2 

. B. x 

k 2 . C. x 

k 2 

. D. x 

k 2 

. 

2 

2 


Chọn C. 

3 

Hàm số xác định khi sin x 1 0 sin x 1 

x k2 

, k . 

2 

1 

3cos x 


sin x 

 

k 

A. x 

k . B. x 

k 2 . C. x 

2 

2 


Chọn D. 

Hàm số xác định khi sin x 0 x k , k . 


A. 

3 

y 

sin x là 

D . B. \ 2 , 

. D. x 

k . 

D k k . 

Trang 30


 

 

C. \ , k 

2 

 


Chọn D. 

Hàm số xác định khi sin x 0 x k , k 

D k . D. \ , 

Vậy, tập xác định \ , 

D k k . 

D k k . 

 


4 

 

 

A. D . B. D \ k , k . 

12 3 

 

 

C. D \ k 

, k . D. D \ k 

, k . 

12 

 


Chọn B. 

 

Hàm số xác định khi 3x k 

, k 

4 2 

k 

x , k 

12 3 

 

 

Vậy, tập xác định D \ k , k . 

12 3 

Câu 41: Chọn khẳng định sai 

A. Tập xác định của hàm số y sin x là . 

 

 

B. Tập xác định của hàm số y 

cot x là D \ k 

, k 

. 

2 

 

C. Tập xác định của hàm số y 

cos x là . 

D. Tập xác định của hàm số y 

tan x là D 

 

 

\ k 

, k 

. 

2 

 


Chọn B. 

Hàm số y 

cot x xác định khi sin x 0 x k , k . 

sin x 


1 cos x là 

A. \ k2 

, k . B. 

 

\ , 

2 

 

k k . 

 

C. . D. 

 

 

\ k2 , k . 

2 

 


Chọn A. 

Hàm số xác định khi 1 cos x 0 cos x 1 x k 2 , k 

Vậy, tập xác định \ k2 

, 

D k . 

Câu 43: Tìm tập xác định của hàm số 

y 

1 

cos3x 

1 

sin 4x 

Trang 31


A. D 

 

3 

 

\ k , k 

B. D \ k , k 

8 2 

8 2 

C. D 

 

 

\ k , k 

D. D \ k , k 

4 2 

6 2 


Chọn A. 

Do 1cos3x 0 x nên hàm số có nghĩa 1sin 4x 

0 

 

sin 4x 1 x k , k 

8 2 

. 

TXĐ: D 

 

\ k , k . 

8 2 

2 

1 

cot x 


1 

sin 3x 

n2 

 

n2 

 

A. D \ k 

, ; k, 

n 

B. D \ k , ; k, 

n 

6 3 

3 6 3 

n2 

 

n2 

 

C. D \ k 

, ; k, 

n 

D. D \ k 

, ; k, 

n 

6 5 

5 3 


Chọn A. 

x 

k 

x 

k 

 

Điều kiện: 2 

sin 3x 1 x k 

6 3 

n2 

 

Vật TXĐ: D \ k 

, ; k, 

n 

6 3 

tan 2x 


3sin 2x 

cos 2x 

 

 

A. D \ k , k ; k B. D \ k , k ; k 

4 2 12 2 

3 2 5 2 

 

 

C. D \ k , k ; k D. D \ k , k ; k 

4 2 3 2 

3 2 12 2 


Chọn A. 

 

 

 

2 

 

x 

k 

x k 

4 2 

Điều kiện: 2 

 

 

3 sin 2 cos 2 0 

x 

x 

2sin(2 x ) 0 

6 

 

x k 4 2 x k 

 

4 2 

 

 

. 

 

2x k 

x k 

 

6 

12 2 

 

TXĐ: D \ k , k ; k . 

4 2 12 2 

 

 

 

 

 

 

Trang 32


 

Câu 45: Tìm tập xác định của hàm số sau y tan( x ).cot( x ) 

4 3 

3 

 

 

3 

 

A. D \ k, k; 

k 

B. D \ k, k; 

k 

4 3 

 

4 5 

 

 

 

3 

 

C. D \ k, k; 

k 

D. D \ k, k; 

k 

4 3 

5 6 


Chọn A. 

3 

x k 

 

4 2 x k 

 

4 

Điều kiện: 

 

. 

 

 

x k 

x k 

 

3 

3 

3 

 

 

TXĐ: D \ k, k; 

k . 

4 3 

 

Câu 46: Tìm tập xác định của hàm số sau y tan 3 x.cot 5x 

n 

 

n 

A. D \ k , ; k, 

n 

B. D \ k , ; k, 

n 

6 3 5 

5 3 5 

n 

 

n 

C. D \ k , ; k, 

n 

D. D \ k , ; k, 

n 

6 4 5 

4 3 5 


Chọn A. 

 

cos3 0 x k 

x 6 3 


sin 5x 

0 n 

x 

5 

n 

 

TXĐ: D \ k , ; k, 

n 

6 3 5 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trang 33


TÍNH CHẴN LẺ, CHU KỲ CỦA HÀM SỐ 

Câu 1: 

Khẳng định nào sau đây sai? 

A. y 

tan xlà hàm lẻ. B. y 

cot x là hàm lẻ. 

C. y cos x là hàm lẻ. D. y sin x là hàm lẻ. 


Chọn C 

y f x x 

Xét hàm cos 

TXĐ: D 

Với mọi x , ta có: x và 

f x cos x cos x f x nên y 

cos x làm số chẵn trên . 

 

Câu 2: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn? 

A. y sin 2x. B. y cos3x. 

C. y cot 4x. D. y tan 5x. 


Chọn B. 

y f x x 

Xét hàm cos3 

TXĐ: D 


f x cos 3 x cos3x f x nên y cos3x là hàm số chẵn trên . 

 

Câu 3: 

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn 




Chọn D. 

tan x 

Xét hàm y f x 

 

sin x 

sin x 0 

k 

ĐK: sin 2x 0 x 

, k 

cos x 0 2 

k 

 

TXĐ: D 

\ , k 

2 

Với mọi x 

D, ta có: xD và 

 

 

 

 

tan x 

y 

sin x . 

tan x 

tan x 

tan x 

f x 

f x 

nên y là hàm số chẵn trên D . 

sin x 

sin x 

sin x 

Câu 4: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó? 

2016 

y cot 2x; y cos( x ); y 1sin 

x; y tan x . 

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 


Chọn B. 

+ Xét hàm y f x cos x 

TXĐ: D 

Với mọi x 


Trang 34


f x cosx cos x cos x f x 

 

Do đó cos 

 

y x là hàm số chẵn trên . 

2016 

+ Xét hàm y g x tan x 

 

 

TXĐ: D \ k 

, k 

2 

 

Với mọi x 


tan 2016 tan 2016 

tan 

2016 

g x x x x g x 

2016 

Do đó: y tan xlà hàm chẵn trên tập xác định của nó. 

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn. 




Chọn D. 

tan x 

Xét hàm y f x 

 

sin x 

sin x 0 

k 

ĐK: sin 2x 0 x 

, k 

cos x 0 2 

k 

 

TXĐ: D 

\ , k 

2 

Với mọi x 


 

 

 

 

tan x 

tan x 

f x 

f x 

sin x 

sin x 

 

nên 

y 

tan 

 

sin 

Câu 6: Cho hàm số f x cos 2x và g x tan 3 

A. f x là hàm số chẵn, g x là hàm số lẻ. 

B. f x là hàm số lẻ, g x là hàm số chẵn. 

C. f x là hàm số lẻ, g x là hàm số chẵn. 

D. f x và g x đều là hàm số lẻ. 


Chọn A. 

y f x x 

+ Xét hàm cos 2 

TXĐ: D 

Với mọi x 


f x cos 2x cos 2x f x 

 

Do đó y cos 2xlà hàm số chẵn trên . 

y g x x 

+ Xét hàm tan 3 

 

k 

 

TXĐ: D \ , k 

6 3 

Với mọi x 


g x tan 3x tan 3x f x 

 

Do đó: y tan 3xlà hàm chẵn trên tập xác định của nó. 

x 

x 

là hàm số chẵn trên D . 

x , chọn mệnh đề đúng 

tan x 

y 

sin x . 

Trang 35



2 

A. Hàm số y x cos x là hàm số chẵn. 

B. Hàm số y sin x x sin x + x là hàm số lẻ. 

sin x 

C. Hàm số y là hàm số chẵn. 

x 

D. Hàm số y sin x 2 

là hàm số không chẵn, không lẻ. 


Chọn D. 

y f x x 

+ Xét hàm sin 2 

TXĐ: D 

 

Chọn . 

2 

Ta có: f 

1 3 

2 f 2 

nên y f x sin x 2 là hàm số không chẵn không lẻ trên . 


2 

A. sin 

sin 

2;5 . 

y x x . B. 

2 

C. y sin 

x tan 

x . D. 


Chọn D 

y f x sin x cos x 

+ Xét hàm 

2 

TXĐ: D 

Với mọi x 


f x sin 2 x cos x sin 2 x cos x f x 

 

2 

y sin 

x cos 

x . 

2 

Kết luận: hàm số y sin 

x cos 

x là hàm số chẵn . 

Câu 9: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó 

y cot 2 x, 

y cos( x 

), y 1sin x, 

2016 

y tan x ? 

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . 


Chọn A 

y f x x 

+ Xét hàm cot 2 

k 

 

TXĐ: D 

\ , k 

2 

Với mọi x 


f x cot 2x cot 2x f x 

 

Do đó, cot 2 

y f x x là hàm lẻ trên tập xác định của nó. 

+ Xét hàm y g x cos x 

 

TXĐ: D 

Với mọi x 


g x cos( x ) cos x cos x g x 

 

Do đó: cos 

 

y g x x là hàm chẵn trên . 

2016 

+ Xét hàm y h x tan x . 

Trang 36


 

 

TXĐ: D \ k2 , k 

2 

 

Với mọi x 


h x tan 

2016 x tan 

2016 x h x 

 

2016 

Do đó: y h x tan x là hàm số chẵn trên D . 

+ Xét hàm 1 

sin 

y t x x . 

TXĐ: D 

 

Chọn . 

2 

 

Ta có g g nên hàm số không chẵn không lẻ trên . 

2 2 


A. Hàm số y sinx 2 là hàm số không chẵn, không lẻ. 

sinx 

B. Hàm số y là hàm số chẵn. 

x 

2 

C. Hàm số y x cos x là hàm số chẵn. 

D. Hàm số y sin x x sin x x là hàm số lẻ. 


Chọn D 

y f x x x x x 

Xét hàm sin sin 

TXĐ: D 


f x sin x x sin x x sin x x sin x x f x 

 

Do đó: y f x sin x x sin x x là hàm số chẵn trên . 

Câu 11: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? 

A. y 2x cos 

x . B. y cos3x. 

C. 2 sin 3 

cos x 

y x x . D. y . 

3 

x 


Chọn D 

cos x 

Xét hàm y f x 

3 

x 

TXĐ: D 

\ 0 

 

 

cos x 

cos x 

x D x 

D và f x 

f x 

3 3 

x 

x 

 

 

cos x 

Kết luận: y là hàm số lẻ trên D . 

3 

x 

Câu 12: Hàm số y tan x 2sin 

x là: 

A. Hàm số lẻ trên tập xác định. B. Hàm số chẵn tập xác định. 

C. Hàm số không lẻ tập xác định. D. Hàm số không chẵn tập xác định. 


Chọn A 

y f x x x 

Xét hàm tan 2sin 

 

Trang 37


 

 

TXĐ: D \ k2 , k 

2 

 

f x tan x 2sin x f x 

x D x D và 

Kết luận: y tan x 2sin 

x là hàm số lẻ trên tập xác định của nó. 

3 

Câu 13: Hàm số y sin x.cos 

x là: 


C. Hàm số không lẻ trên . D. Hàm số không chẵn . 


Chọn C 

y f x sin x.cos 

x 

Xét hàm 

3 

TXĐ: 

 

D 

 

3 

x D x D và f x sin x.cos 

x f x 

3 

Kết luận: y sin x.cos 

x là hàm số lẻ . 


x là: 




Chọn C 

y f x x x 

Xét hàm sin 5cos 

TXĐ: D . 

 

 

 

Chọn . Ta có: f 

2 2; f 3 2 

4 

4 4 

 

f f 

4 4 

Vì nên hàm số không chẵn, không lẻ trên . 

 

f f 

 

4 4 


sin x 

tan x 

A. y 

. B. y tan x cot 

x . 

2 

2cos x 

C. y sin 2x cos 2x . D. 


Chọn C 

y f x x x 

Xét hàm sin 2 cos 2 

2 

y 2 sin 3x . 

TXĐ là D . 

 

 

 


2 2; f 3 2 

8 

8 8 

 

f f 

8 8 

Vì nên hàm số không chẳn, không lẻ trên . 

 

f f 

 

8 8 


x là: 



Trang 38



Chọn C 

y f x x x 

Xét hàm sin 5cos 

TXĐ: D . 

 

 

 


2 2; f 3 2 

4 

4 4 

 

f f 

4 4 

Vì nên hàm số không chẵn, không lẻ trên . 

 

f f 

 

4 4 


sin x 

tan x 

A. y 


x . 

2 

2cos x 



Chọn C 

y f x x x 

Xét hàm sin 2 cos 2 

2 

y 2 sin 3x . 

TXĐ là D . 

 

 

 


2 2; f 3 2 

8 

8 8 

 

f f 

8 8 

Vì nên hàm số không chẳn, không lẻ trên 

 

f f 

 

8 8 

. 

Câu 18: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn: 

A. y 5sin x.tan 2x . B. y 3sin x cos 

x . 

C. y 2sin 3x 5 

. D. y tan x 2sin 

x . 


Chọn A. 

y f x x x 

Xét hàm 5sin .tan 2 

 

k 

 

TXĐ: D \ , k 

4 2 

f x 5sin x .tan 2x 5sin x.tan 2x f x . 

x D x D và 

Vậy 5sin .tan 2 

y f x x x là hàm số chẵn trên tập xác định của nó. 

Câu 19: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ: 

sin x 

tan x 

A. y 


x . 

3 

2cos x 



Chọn C. 

TXĐ: D 

 

Ta có: D D 

6 6 

2 

y 2 sin 3x . 

Trang 39


3 1 

Vì 

 

6 2 2 6 

. 

Nhận xét: Tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm không chẵn không lẻ. 

Câu 20: Trong các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số lẻ? 

2 


cos x. C. ycos 

x. D. y sin x. 


Chọn D. 

y f x x 

Xét hàm sin 

TXĐ: 

 

D 

 

x D x D và sin sin 

 

Vậy sin 

f x x x f x . 

y f x x là hàm số lẻ trên tập xác định của nó. 

Câu 21: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn? 

A. y sin 

x. B. y cos x sin 

x . 

2 

C. y cos 

x sin 

x . D. y cos xsin 

x . 


Chọn C. 

y f x cos x sin x 

Xét hàm 

2 

TXĐ: 

 

D 

 

x D x D và cos sin 2 cos sin 

2 

Vậy 

2 

f x x x x x f x . 

y f x cos x sin x là hàm số chẵn trên . 

Câu 22: Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn: 

2 

cos3 1 

sin 1 2 

y x ; y x ; 

2 

tan 3 

y cot x 4 

. 

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 


Chọn C. 

+ Xét hàm cos3 

y f x x 

TXĐ: D 

Với mọi x 


f x cos 3x cos3x f x 

 

Do đó, cos3 

y f x x là hàm chẵn trên tập xác định của nó. 

+ Xét hàm y g x sin x 

2 1 

TXĐ: D 

Với mọi x 


 

2 2 

 

g x sin x 1 sin x 1 

g x 

Do đó: sin 2 1 

y g x x là hàm chẵn trên . 

2 

+ Xét hàm y h x tan x . 

 

 

TXĐ: D \ k2 , k 

2 

 

Với mọi x 


h x tan 

2 x tan 

2 x h x 

 

y x ; 

Trang 40


2016 

Do đó: y h x tan x là hàm số chẵn trên D . 

+ Xét hàm y t x cot 

x . 

TXĐ: D \ k 

, k 

Với mọi x 


t x cot x cot 

x t x 

 

Do đó: cot 

1 , 2 , 

Vậy 

y t x x là hàm số lẻ trên D . 

3 là các hàm số chẵn 


A. y sin x. B. y x 1. C. 


Chọn A 

Tập xác định của hàm số: D . 

Với mọi x 

D, k ta có x k2 

D và 2 

2 

y x . D. 

x k D , 

sin x k2 sin 

x . 

Vậy y sin xlà hàm số tuần hoàn. 


A. y sin 

x x . B. y 

cos x. C. y xsin 

x D. 


Chọn B 


Với mọi x 


D và 2 

x k D , 

cos x k2 cos 

x . 

Vậy y 

cos x là hàm số tuần hoàn. 


A. y xcos 

x . B. y x tan x . C. y 

tan x. D. 


Chọn C 

Xét hàm số y 

tan x 

 

 

Tập xác định của hàm số: D \ k 

, k . 

2 

 

Với mọi x 

D, k ta có x k 

D và 

x k D, tan 

x k tan 

x . 

x 1 

y . 

x 2 

2 

1 

y x . 

x 

1 

y 

x . 

Vậy y 

tan xlà hàm số tuần hoàn. 


sin x 

A. y . B. tan 

x y x x 

. C. 2 

y x 1. D. y 

cot x. 


Chọn D 

Xét hàm số y 

cot x, 


, k 

Với mọi 

Vậy 

y 

cot 

x 


D và 

x là hàm tuần hoàn. 

x k D, cot 

x k cot 

x . 

Trang 41



y sin 

x là: 

 

A. k2 , k . B. . C. . D. 2 . 

2 


Chọn D 


Với mọi x 


D và 2 

Vậy 

 

x k D , 

sin x k2 sin 

x . 

y sin xlà hàm số tuần hoàn với chu kì 2 (ứng với k 1) là số dương nhỏ nhất thỏa 

sin x k2 

sin 

x . 

 

Câu 30: Chu kỳ của hàm số y 

cos x là: 

A. k 2 . B. 2 . 

3 

C. . D. 2 . 


Chọn D 


Với mọi x 


D và 2 cos x k2 

cos 

x . 

Vậy 

 

x k D , 

y 

cos xlà hàm số tuần hoàn với chu kì 2 (ứng với k 1) là số dương nhỏ nhất thỏa 

cos x k2 

cos 

x . 

 


y 

tan x là: 

 

A. 2 . B. . C. k 

, k . D. . 

4 


Chọn D 

 

 

Tập xác định của hàm số: D \ k 

, k . 

2 

 

Với mọi x 


D và 

Vậy 

tan 

 

x k D, tan 

x k tan 

x . 

y 

tan xlà hàm số tuần hoàn với chu kì (ứng với k 1) là số dương nhỏ nhất thỏa 

 

x k 

tan 

x . 


y 

cot x là: 

 

A. 2 . B. . C. . D. k 

, k . 

2 


Chọn C 

Tập xác định của hàm số: \ , 

Với mọi 

Vậy 

cot 

 

D k k . 

x 


D và 

x k D, cot 

x k cot 

x . 

y 

cot xlà hàm số tuần hoàn với chu kì (ứng với k 1) là số dương nhỏ nhất thỏa 

 

x k 

cot 

x . 

Trang 42


DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 


Cho hàm số y f ( x ) tuần hoàn với chu kì T 

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn 

có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ kv . (với v ( T;0), 

k ) ta được toàn bộ đồ thị của 

hàm số. 

* Số nghiệm của phương trình f ( x) 

k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị 

y f ( x ) và y k . 

* Nghiệm của bất phương trình f( x ) 0 là miền x mà đồ thị hàm số y f ( x ) nằm trên trục Ox . 

Câu 1: Hàm số y sin x: 

 

 


 

2 

k k 


 

với k . 

3 

5 

 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 


 

2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 

 

3 

 


 

2 k 2 

k 


 

2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 

 

D. Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 


 

3 

 

2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 


Chọn D 

 

Hàm số y sin x đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 


 

3 

 

2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

với k . 


cos x: 

 

 


 

2 

k k 


 

với k . 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k 2 

và nghịch biến trên mỗi khoảngk2 ; k 2 

với 

k . 

Trang 43


 

3 

 


 

2 k 2 

k 

và nghịch biến trên mỗi 

 


 

2 k 2 

k 

với k . 

2 ; 2 

k2 ;3 k 

2 

D. Đồng biến trên mỗi khoảng k k và nghịch biến trên mỗi khoảng 

với k . 


Chọn B 

Hàm số cos 

 

y x đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

k . 

k2 ; k 2 với 

k k và nghịch biến trên mỗi khoảng 

Câu 3: Hàm số: y 

3 2cos 

x tăng trên khoảng: 

 

A. 

; 

6 2 

3 

 

; 

2 2 . C. 7 

;2 

6 . D. 6 ; 

 

2 . 


Chọn C. 

Vì hàm số y 

cos x đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k 2 

, k nên hàm số y 

3 2cos 

cũng đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k 2 

, k 

7 7 

Vì ;2 ;2 (với k 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng ;2 

6 

6 

Câu 4: 

 

Hàm số nào đồng biến trên khoảng 

; 

3 6 : 

A. y 

cos x. B. y cot 2x. C. y sin x. D. y cos2x. 


Chọn C. 

Quan sát trên đường tr n lượng giác, 

 

ta thấy trên khoảng 

; hàm sin 

3 6 x tăng dần 

(tăng từ 

3 

đến 1 2 2 ). 

x 

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai? 

 

A. Hàm số y sinx tăng trong khoảng 0; 

2 

 


cotx giảm trong khoảng 0; 

2 . 

 

C. Hàm số y 

tanxtăng trong khoảng 0; 

2 . 

. 

Trang 44


 


cosxtăng trong khoảng 0; 

2 . 


Chọn D. 


 

trên khoảng 0; ta thấy: y cos 

2 x giảm dần. 

Câu 7: Hàm số y sin 

xđồng biến trên: 

 

A. Khoảng 0; . B. Các khoảng 2 ; 2 

 

4 k 4 

k 

, k . 

 

 

C. Các khoảng 2 ; 2 

 

2 

k k 

, k 

 

3 

 

. D. Khoảng ; 

2 2 . 


Chọn B. 

 

Hàm số y sin xđồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

2 k 2 

k 

, k 

 

Mà 2 ; 2 2 ; 2 

 

4 k 4 k 2 k 2 

k 

với mỗi k nên hàm số đồng biến trên mỗi 

 


 

4 k 4 

k 

, k . 


cosx: 

 

 

A. Tăng trong0; . B. Tăng trong 

 

0; 

2 

và giảm trong ; 

 

 

2 

 

. 

0; . D. Các khẳng định trên đều sai. 

C. Nghịch biến 


Chọn C. 


ta thấy: trên khoảng 0; hàm y 

cos 

(giảm từ giá trị 1 đến 1) 

x giảm dần 

Trang 45


Chú ý: Hàm số 

 

k2 ; k 2 

, k 

Câu 10: Hàm số 

 

A. 

 

0; 2 

 

y 

cos x tăng trên mỗi khoảng k2 ; k2 

và giảm trên mỗi khoảng 

y 

cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây: 

. B. ;2 

. 

C. ; . D. 


Chọn B. 

Do hàm số 

y 

cos x đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 

 

k k , cho k 1 ;2 

0; . 

 

Câu 12: Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0; khác với các hàm số còn lại ? 

2 


cos x. C. y 


x. 


Chọn B. 

 

Do hàm số y 

cos x nghịch biến trên 0; 

2 . 

 

Ba hàm số còn lại y sin x, y 

tan x, ycot 

x đồng biến trên 0; 

2 . 


tan xđồng biến trên khoảng: 

 

A. 0; 

2 . B. 

0; 

 

2 

. C. 3 

 

0; 

2 . D. 3 

 

; 

2 2 . 


Chọn A. 

 


tan x đồng biến trên 0; 

2 . 

Câu 14: Khẳng định nào sau đây đúng? 

 

3 

 

A. Hàm số y sin x đồng biến trong khoảng ; 

4 4 . 

 

3 

 


cos x đồng biến trong khoảng ; 

4 4 . 

3 

C. Hàm số y sin x đồng biến trong khoảng 

; 

4 4 . 

3 


cos x đồng biến trong khoảng 

; 

4 4 . 


Chọn D. 

Do hàm số cos 

2 ; 2 

k 0 ;0 suy ra đồng biến trên 

y xđồng biến trên k k , cho 

3 

 

; 

4 4 

Câu 15: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng 0; 

2 ? 


cos x. C. y 


x. 


Trang 46


Chọn B. 

 


cos x nghịch biến trên 0; 

2 . 

 

3 

 

Câu 16: Hàm số nào dƣới đây đồng biến trên khoảng ; 

2 2 ? 


cos x. C. y 

cot x. D. y 

tan x. 


Chọn D. 

 


tan x đồng biến trên ; 

 

2 2 

 

 

3 

 

k 1 ; . 

2 2 

Trang 47


DẠNG 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 3sin 2x 5 


A. 8 v à 2 

. B. 2 v à 8 . C. 5 v à 2 . D. 5 v à 3 . 


Chọn A. 

Ta có : 

1 sin 2x 1 

3 3sin 2x 3 3 5 3sin 2x 5 35 

8 y 3sin 2x 

5 2 

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 8 và 2 . 

 

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 7 2cos( x ) lần lượt là: 

4 

A. 2 v à 7 . B. 2 v à 2 . C. 5 v à 9. D. 4 v à 7 . 


Chọn C. 

 

 

 

Ta có : 1 cosx 

1 2 2. os 

 

2 7 2 y 7 2. cosx 

7 2 

4 

4 

4 

Hay 5 

y 9. 

Do đó giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 5 và 9 . 

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin x 3 1 


c x 

A. 2 v à 2. B. 2 v à 4 . C. 4 2 v à 8 . D. 4 2 1 v à 7 . 


Chọn D. 


1 sinx 1 

2 sinx+3 4 2 sinx+3 2 4 2 1 y 4 sinx+3 1 4.2 1 

7 

Do đó giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 4 2 1 và 7 . 

2 

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 4sin x 5 

là: 

A. 20 . B. 8. C. 0 . D. 9 . 


Chọn B. 

2 

Ta có y sin x 4sin x 5 

sinx 2 2 

9 

Khi đó : 1 sinx 1 

3 sinx 2 1 

Do đó : 2 

2 

y sinx 2 9 19 8 

. 

1 sinx 2 9 

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8. 

2 

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y 1 

2cos x cos x là: 

A. 2 . B. 5 . C. 0 . D. 3 . 


Chọn A. 

2 

Ta có : y 1 

2cos x cos x 2 cos x 1 2 

Nhận xét : 1 

cos x 1 

0 cos 1 

2 0 cos x 1 4 

Do đó 2 

y 2 cos x 1 2 0 2 . 

x 2 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2 . 

Câu 6: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 3sin 3x 

Trang 48







Chọn C. 

Ta có: 1 sin 3x1 1 y 5 . Suy ra: min y 1; max y 5 

2 

Câu 7: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y14sin 2x 






Chọn D. 

2 

Ta có: 0 sin 2x1 3 y 1. Suy ra: min y 3; max y 1 

 

Câu 8: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2cos(3 x ) 3 

3 






Chọn C. 

4 

2 

Ta có: min y 1 

đạt được khi x 

k 

9 3 

2 

max y 5 đạt được khi x 

k 

9 3 


y x 

2 

3 2sin 2 4 

A. min y 6 , max y 4 3 

B. min y 5 , max y 4 2 3 

C. min y 5 , max y 4 3 3 

D. min y 5 , max y 4 3 


Chọn D. 

 

Ta có: min y 5 đạt được khi x 

k 

4 2 

max y 4 

 

3 đạt được khi x 

k 

2 

Câu 10: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

2sin x 3 


B. max y 5 , min y 2 5 




Chọn A. 

Ta có 1 2sin x 3 5 1 y 5 . 

 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max y 5 , đạt được khi sin x 1 x k 2 

. 

2 

 

Giá trị nhỏ nhất bằng min y 1, đạt được khi . x k 2 

.. 

2 


y x 

2 

1 2cos 1 

A. max y 1, min y 1 

3 


3 


3 


3 

Trang 49



Chọn D. 

Ta có 1 2 

2cos x1 3 1 3 y 0 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y 0 , đạt được khi x 

k 

 

2 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y 1 

3 , đạt được khi x 

k . 

 

Câu 12: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 

3sin 2x 

 

4 

A. min y 2 

, max y 4 


C. min y 2 

, max y 3 



Chọn A. 

 

Ta có: 1 sin 2 1 2 4 

 

4 

 

 

y 2 sin 2x 1 

x k 

min y 2 

4 

8 

2 


A. min y 1, max y 2 





Chọn B. 

2 

Ta có: 0 cos 3x11 y 3 

2 

y 1 cos 3x 1 

x k min y 1 

3 

2 

 

y 3 cos 3x 0 x k max y 3 

6 3 


2 sin 2x 


3 

B. min y 2 , max y 2 3 


3 



Chọn A. 

Ta có: 1 sin 2x1 2 y 1 

3 

 

y 2 sin 2x 1 

x k 

min y 2 

4 

y 1 

3 sin 2x 1 

x k 

max y 1 

4 

3 

4 


2 

1 2sin x 

4 

4 

A. min y , max y 4 

B. min y , max y 3 

3 

3 

4 

1 

C. min y , max y 2 

D. min y , max y 4 

3 

2 


Chọn A. 

Trang 50


Ta có: 0 sin x1 y 4 

3 

4 2 

 

4 

y sin x 1 

x k 

min 

y 

3 2 

3 

2 2 

Câu 16: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin x cos 2x 

3 

A. max y 4 , min y 


4 

3 


D. max y 3, 

min y 

4 


Chọn D. 

2 

Đặt t sin x, 0 t 1 cos 2x 1 

2t 

2 2 1 2 3 

y 2 t (1 2 t) 4t 2t 1 (2 t ) . 

2 4 

1 1 3 1 2 9 3 

Do 0 t 1 2t 0 (2 t ) y 3 . 

2 2 2 2 4 4 

 

Vậy max y 3 đạt được khi x 

k . 

2 

3 

2 1 

min y đạt được khi sin x . 

4 

4 



B. max y 4 , min y 4 




Chọn C. 

2 2 2 2 2 

Áp dụng BĐT ( ac bd) ( c d )( a b ) . 

a b 

Đẳng thức xảy ra khi 

c d . 

2 2 2 2 2 

Ta có: (3sin x 4cos x) (3 4 )(sin x cos x ) 25 

5 3sin x 4cos x 5 4 y 6 . 

3 

Vậy max y 6 , đạt được khi tan x . 

4 

3 

min y 4 

, đạt được khi tan x . 

4 

Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau 

2 4 

max( sin cos ) 

2 2 

a x b x a b , 

min( asin x bcos x) 

a b 

2 2 

Tức là: 

2 2 

a b asin 

x b cos x 

2 2 

a b . 







Chọn A. 

Trang 51


4 

 

Ta có : y 5sin( x ) 1 

trong đó 0; sin 

 

 

2 thỏa 5 

 

3 

cos 

 

5 

Suy ra min y 6; max y 4 . 


2 2 

y 2sin x 3sin 2x 4cos x 

A. min y 3 2 1; max y 3 2 1 

B. min y 3 2 1; max y 3 2 1 

C. min y 3 2; max y 3 2 1 

D. min y 3 2 2; max y 3 2 1 


Chọn B. 

Ta có: y 1 cos 2x 3sin 2x 2(1 cos 2 x ) 

 

3sin 2x 3cos 2x 1 3 2 sin 2x 

1 

4 

Suy ra min y 3 2 1; max y 3 2 1. 


2 2 

y sin x 3sin 2x 3cos x 

A. max y 2 10; min y 2 10 

B. max y 2 5; min y 2 5 

C. max y 2 2; min y 2 2 

D. max y 2 7; min y 2 7 


Chọn A. 

1cos 2x 

3(1 cos 2 x) 

Ta có: y 3sin 2x 

3sin 2x cos2x 2 . 

2 2 

Mà 10 3sin 2x cos2x 10 2 10 y 2 10 

Từ đó ta có được: max y 2 10; min y 2 10 . 

Câu 21: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin 3x 

1 






Chọn C 

2 







Chọn C 


2 4 cos3x 

A. min y1 

2 3,max y 1 

2 5 

B. min y2 3,max y 2 5 

C. min y1 

2 3,max y 1 

2 5 

D. min y 1 

2 3,max y 1 

2 5 


Chọn A. 


A. min y 5,max y 5 B. min y 4,max y 4 

C. min y 3,max y 5 D. min y 6,max y 6 


Chọn A. 

Trang 52


3 


2 

1 2 sin x 

3 3 

3 4 

A. min y 

,max y 

B. min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

1 

3 1 

2 

2 3 

3 3 

C. min y 

,max y 

D. min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

1 

3 1 

2 


Chọn D 

3sin 2x 

cos 2x 


2 

sin 2x4cos x1 

6 3 5 6 3 5 

4 3 5 4 3 5 

A. min y ,max y 

B. min y ,max y 

4 4 

4 4 

7 3 5 7 3 5 

C. min y ,max y 

D. 

4 4 


Chọn D 

5 3 5 5 3 5 

min y ,max y 

4 4 

2 

Câu 27: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y sin x 2 sin x 




D. min y 0 , max y 2 


Chọn D 

Ta có y0 

x và 

Mà 

Suy ra 

2 2 

y 2 2sin x 2 sin x 

2 2 2 

2 sin x 2 sin x sin x 2 sin x 2 

2 

0 y 4 0 y 2 

 

min y 0 đạt được khi x k 2 

2 

 

max y 2 đạt được khi x 

k 

2 

2 

2 

Câu 28: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan x 4tan x 1 

A. min y 2 

B. min y 3 

C. min y 4 

D. min y 1 


Chọn B 

2 

Ta có: t (tan x 2) 3 

min y 3 

đạt được khi tan x 2 

Không tông tại max . 

2 2 

Câu 29: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan x cot x 3(tan x cot x ) 1 

A. min y 5 

B. min y 3 

C. min y 2 

D. min y 4 


Chọn A 

2 

Ta có: x x x x 

tan cot 3 tan cot 3 

2 

Đặt t tan x cot x 2 

sin 2 

t 

x 

 

2 

Suy ra y t 3t 3 f ( t ) 

Trang 53


Bảng biến thiên 

t 2 2 

 

f () t 

Vậy min y 5 

đạt được khi 

Không tồn tại max y . 

5 7 

 

x k . 

4 

Câu 30: Tìm m để hàm số y 5sin 4x 6cos4x 2m 1 

xác định với mọi x . 

A. m 1 

B. 

61 1 

m 

C. 

2 


Chọn D 

Hàm số xác định với mọi x 5sin 4x 6cos4 x 12 

m x 

61 1 

m 

D. 

2 

61 1 

Do min(5sin 4x 6cos4 x) 61 61 1 

2m 

m . 

2 


3 

2sin x 


5 

B. min y2; max y 5 

C. min y 

2; max y 1 

5 



Chọn C 

Ta có: 1 3 2sin x 5 2 y 1 

5 . Suy ra: min y 

2; max y 1 

5 


1 






Chọn B 

Ta có: 5 4sin 3x 3cos3x 5 4 y 6 . Suy ra: min y 4; max y 6 

Câu 33: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 cos x sin x 4 






Chọn B 

 

Ta có: y 2sin x 

4 . Suy ra: min y 2; max y 6 

3 




2 

2 

A. min y ; max y 2 

B. min y ; max y 3 

11 

11 

2 

2 

C. min y ; max y 4 

D. min y ; max y 2 

11 

11 


Chọn D 

Ta có: 2sin 2x cos 2x 4 4 5 0 x 

 

m 

61 1 

2 

Trang 54



y (2y 1)sin 2 x ( y 2)cos 2x 3 

4y 


(2y 1) ( y 2) (3 4 y) 11y 24y 4 0 y 2 

11 

2 

Suy ra: min y ; max y 2 

. 

11 

2 2 2 2 2 

2 

2sin 3x 4sin3x cos3x 

1 



119 7 119 7 

22 9 7 22 9 7 

A. min y ; max y 

B. min y ; max y 

83 83 

11 11 

339 7 33 9 7 

22 9 7 22 9 7 

C. min y ; max y 

D. min y ; max y 

83 83 

83 83 


Chọn D 

Ta có: sin 6x 4cos6x 10 10 17 0 x 

 

2sin 6xcos6x2 

y ( y 2)sin 6 x (4y 1)cos6 x 2 10y 


2 2 2 2 

( y 2) (4y 1) (2 10 y) 83y 44y 

1 

0 

22 9 7 22 9 7 

y 

83 83 

22 9 7 22 9 7 

Suy ra: min y ; max y . 

83 83 

Câu 36: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3cos x sin x 2 

A. min y 2 5; max y 2 5 B. min y 2 7; max y 2 7 

C. min y 2 3; max y 2 3 D. min y 2 10; max y 2 10 


Chọn D 

Xét phương trình: 3cos x sin x y 2 

Phương trình có nghiệm 

Vậy min y 2 10; max y 2 10 . 

2 2 2 

3 1 ( y 2) 2 10 y 2 10 


y 

2 

sin 2x 

3sin 4x 

2 

2cos 2xsin 4x2 

5 97 5 97 

5 97 5 97 

A. min y , max y 

B. min y , max y 

4 4 

18 18 

5 97 5 97 

7 97 7 97 

C. min y , max y 

D. min y , max y 

8 8 

8 8 


Chọn C 


Ta có y 

2cos 4x2sin 4x6 

( do cos4x sin 4x 3 0 x ) 

(6 2 y)sin 4 x (1 2 y)cos 4x 6y 

1 

Trang 55


2 2 2 2 

5 97 5 97 

(6 2 y) (1 2 y) (6y 1) 8y 10y 

9 0 y 

8 8 

5 97 5 97 

Vậy min y , max y . 

8 8 


2 

y 3(3sin x 4cos x) 4(3sin x 4cos x ) 1 

1 

1 

A. min y ;max y 96 

B. min y 

;max y 6 

3 

3 

1 

C. min y ;max y 96 

D. min y 2;max y 6 

3 


Chọn C 

t 3sin x 4cos x t 5;5 

Đặt 

2 

Khi đó: y 3t 4t 1 f ( t ) với t 5;5 

2 1 

Do min y f ( ) ;max y f (5) 96 . 

3 3 

2 

Câu 39: Tìm m để các bất phương trình (3sin x 4cos x) 6sin x 8cos x 2m 1 


A. m 0 

B. m 0 

C. m 0 

D. m 1 


Chọn B 

Đặt t 3sin x 4cos x 5 t 5 

2 

Ta có: y (3sin x 4cos x) 6sin x 8cos 

x 

2 2 

t t t 

2 ( 1) 1 

2 

Do 5 t 5 0 ( t 1) 36 min y 1 

Suy ra yêu cầu bài toán 1 2m1 m 0 . 

3sin 2x 

cos 2x 

Câu 40: Tìm m để các bất phương trình m 

1 


2 

sin 2x4cos x1 

3 5 

3 5 9 

3 5 9 

A. m 

B. m 

C. m 

D. m 

4 

4 

2 


Chọn D 

3sin 2x 

cos 2x 

Đặt y 

sin 2x2 cos 2x3 

(Do sin 2x 2cos2x 3 0 x hàm số xác định trên ) 

(3 y)sin 2 x (1 2 y)cos 2x 3y 

Suy ra 

2 2 2 2 

(3 y) (1 2 y) 9y 2y 5y 

5 0 

5 3 5 5 3 5 5 3 5 

y max y 

 

4 4 4 

5 3 5 3 5 9 

Yêu cầu bài toán m1 

m . 

4 4 


Câu 41: Tìm m để các bất phương trình 

2 đúng với mọi 


x 

3 5 9 

4 

Trang 56


15 29 

15 29 

A. 10 3 m 

B. 10 1 

m 

2 

2 

15 29 

C. 10 1 

m 

D. 10 1 m 10 1 

2 


Chọn B 

Trước hết ta có: 3cos2x sin 2x m1 0 x 

 

 

2 2 2 2 

m 1 

10 

3 1 ( m 1) m 2m 

9 0 

(*) 

m 1 

10 

m 1 10 3cos2x sin 2x m 1 0, x 

 


Nên 

2 2sin 2x 5cos 2x 2m 

15 


15 29 

29 2m15 

m 

2 

15 29 

Suy ra: 10 1 

m 

2 

m 1 10 3cos2x sin 2x m 1 0, x 

 


Nên 

2 2sin 2x 5cos 2x 2m 

15 


15 29 

29 2m15 

m (loại) 

2 

15 29 

Vậy 10 1 

m là những giá trị cần tìm. 

2 

 

Câu 42: Cho xy , 0; thỏa cos 2x cos 2 y 2sin( x y ) 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 

2 

4 4 

sin x cos y 

P . 

y x 

3 

2 

2 

5 

A. min P 

B. min P 

C. min P 

D. min P 

 

 

3 

 


2 2 

Ta có: cos2x cos 2y 2sin( x y) 2 sin x sin y sin( x y ) 

 

Suy ra: x 

y 

2 

2 2 2 

( ) 

Áp dụng bđt: 

a 

b 

a b 

m n m n 

2 x 

2 y 2 

sin sin 2 

 

Suy ra: P 

Đẳng thức xảy ra x y . 

x 

y 

4 

2 

Do đó: min P . 

 

ksin x1 

Câu 43: Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

cos x 2 

lớn hơn 1. 

Trang 57


A. k 2 

B. k 2 3 

C. k 3 

D. k 2 2 


ksin x1 

Ta có y y cos x k sin x 2y 

1 0 

cos x 2 

2 2 

2 3k 

1 2 3k 

1 

(2 1) 3 4 1 0 y 

3 3 

2 2 2 2 2 

y k y y y k 

Yêu cầu bài toán 

2 

2 3k 

1 

2 

1 5 3k 1 

k 2 2 . 

3 

Trang 58



PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 

Có dạng: a sinx + b cosx = c (1) 

Cách 1: 

2 2 

Chia hai vế phương trình cho a b ta được: 

(1) 

a sin x 

b cos x 

c 

a b a b a b 

Đặt: sin 

a 

, cos 

b 

2 2 

a b 2 2 

a b 

0, 2 

 

phương trình trở thành: sin .sin xcos .cos x 

c 

2 2 

a b 

cos( x ) 

c 

cos (2) 

2 2 

a b 

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 

c 

1 

2 2 

a b 

2 

c . 

2 2 

a b 

(2) x k2 ( k Z) 

Lưu ý: 

sin x 

1 3 

3 cos x 2 sin x cos x 2sin( x ) 

2 2 3 

2 2 2 2 2 2 

3 1 

3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin( x ) 

2 2 6 

1 1 

 

sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin( ) 

2 2 

x . 

 

 

4 

Cách 2: 

x 

a) Xét x k2 k có là nghiệm hay không? 

2 2 

x 

b) Xét x k2 

cos 0. 

2 

Đặt: 

x 2t 1 

t 

t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 

2 2 2 

1t 

1t 

( b c) t 2at c b 0 (3) 

Vì x k2 b c 0, nên (3) có nghiệm khi: 

2 

2 2 2 2 2 2 

' a ( c b ) 0 a b c . 

x 

Giải (3), với mỗi nghiệm t 0 , ta có phương trình: tan t0. 

2 

Trang 59 

2


Ghi chú: 

1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 

3) Bất đẳng thức B. C. S: 

2 2 2 2 2 2 

y a.sin x b.cos x a b . sin x cos x a b 

2 2 2 2 sin x cos x a 

min y a b vaø max y a b tan x 

a b b 

2 2 

a b c 

2 . 

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x 

2 

A. sin x cos x1 0 . B. sin 2xcos x 0 . 

C. 2cos x3sin x 1. D. 2cos x3sin3x 1. 

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm: 

A. 2cos x 3 0. B. 3sin 2x 10 0 . 

2 

C. cos x cos x 6 0 . D. 3sin x4cos x 5 . 

Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm 

1 

A. sin x . 

3 

B. 3sin x cos x 3. 

C. 3sin 2xcos 2x 2 . D. 3sin x4cos x 5. 

Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: 

1 

A. cos x . 

3 


C. 3sin 2xcos2x 2 . D. 3sin x4cos x 6 . 


A. 2sin xcos x 3 . B. tan x 1. 


Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm. 

1 

A. sin x . 

4 


C. 3sin 2xcos 2x 4 . D. 3sin x4cos x 5 . 

Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 

A. 3 sin x 2 

B. 1 cos 4x 

1 

4 2 

C. 2sin x3cos x 1 

2 

D. cot x cot x 5 0 

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 

A. 3sin 2xcos 2x 2 

B. 3sin x4cos x 

5 

 

C. sin x cos 4 

D. 3sin x 

cos x 3 


A. sin x cos 

x 3 

B. cosx 

3sinx 1 

C. 3sin 2xcos2x 2 

D. 2sinx3cos x 

1 

Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:. 

A. sin x2cos x 3. B. 2 sin xcos x 2 . 

C. 2 sin x cos x 1. D. 3sin xcos x 3 . 

Trang 60


Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: 

A. sin xcos x 3 . B. 2 sin xcos x 1. 


Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: 

A. 3 sin x 2. B. 1 cos 4x 1 . 

4 2 

2 

C. 2sin x3cos x 1. D. cot x cot x 5 0 . 

Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm? 

A. cos3x 3sin3x 2. B. cos3x 3sin3x 2 . 

 

 

C. sin x . D. 3sin x 4cos x 5 0 . 

3 

3 3 

Câu 14: Nghiệm của phương trình cos xsin x 1 là: 

 

 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k; x k2 

. 

2 

2 

 

 

C. x k; x k2 

. D. x k; 

x k 

. 

6 

4 


 

 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

2 

2 

 

 

C. x k; x k2 

. D. x k; 

x k 

. 

3 

6 

Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là: 

5 

3 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

12 12 

4 4 

2 

 

5 

C. x k2 ; x k2 

. D. x k2 ; x k2 

. 

3 3 

4 4 

Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x– 3 cos x 0 là: 

 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k2 

. C. x k 

. D. x k 

. 

6 

3 

6 

3 

Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x 3sin x 0 có nghiệm là 

 

 

 

A. x k. 

B. Vô nghiệm. C. x k. 

D. x k. 

6 

6 

2 

Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 

0; là 

trên khoảng 

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . 

Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin xcos x 1 là : 

 

x 

k2 

A. x k2 

. B. 

 

 

x 

k2 

4 

 

. C. x k2 

. D. 

. 

x k2 

4 

 

2 

x k2 

4 


5 

5 

 

 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k 

. D. x k2 

. 

6 

6 

6 

6 

Câu 22: Phương trình x 

3 1 sin 3 1 cos x 3 1 0 có các nghiệm là 

Trang 61


 

 

 

x k2 

4 

 

x k2 

2 

A. 

,k . B. 

, k 

 

 

x k2 

x k2 

6 

3 

 

 

 

x k2 

6 

 

x k2 

8 

C. 

, k . D. 

, k 

 

 

x k2 

x k2 

9 

12 

Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là 

3 

5 

A. x k2 , x k2 , 

k . B. x k2 , x k2 , 

k 

4 4 

12 12 

. 

2 

 

5 

C. x k2 , x k2 , 

k . D. x k2 , x k2 , 

k 

3 3 

4 4 

. 

Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 0 là 

 

 

 

 

A. x k , k . B. x k 

, k . C. x k 

, k . D. x k , k 

3 2 

6 

3 

6 2 

. 

Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:sin xcos x 1. 

x 

k2 

A. x k2 , k . B. 

, k . 

x k2 

2 

 

 

 

x 

k2 

C. x k2 , k 

4 

. D. 

, k 

4 

 

x k2 

4 

. 

Câu 26: Phương trình: 3.sin3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: 

1 1 1 

A. sin 3x 

B. sin 3x 

C. sin 3x 

D. sin 3x 

 

6 2 6 6 6 2 6 2 

Câu 27: Phương trình 1 sin x 

3 cos x 1 có nghiệm là 

2 2 

5 

5 

A. x k2 , k . B. x k, 

k 

6 

6 

. 

 

 

C. x k2 , k . D. x k2 , k 

6 

6 

. 

Câu 28: Phương trình 3cos x2 | sin x| 2 có nghiệm là: 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k 

. D. x k 

. 

8 

6 

4 

2 

Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình ( m 1)sin x cos x 5 có nghiệm. 

A. 3 m 1. B. 0m 

2. m 

1 

C. . 

m 

3 

D. 2 m 2. 

Câu 30: Điều kiện để phương trình msin x 3cos x 5 có nghiệm là : 

A. m 4. B. 4 m 4. C. m 34 . 

m 

4 

D. . 

m 

4 

. 

. 

Trang 62


Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x cos 

x m có nghiệm: 

A. 2 m 2. B. m 2 . C. 1 m 1. D. m 2. 

2 2 

Câu 32: Cho phương trình: m 2cos x 2msin 2x 

1 0 Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích 

hợp của tham số m là 

1 1 

1 1 

A. 1 m 1. B. m . C. m . D. | m | 1 . 

2 2 

4 4 

2 m 

Câu 33: Tìm m để pt sin 2xcos 

x có nghiệm là 

2 

A. 1 3 m 1 3 . B. 1 2 m 1 2 . 

C. 1 5 m 1 5 . D. 0m 

2. 

Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt asin5x bcos5x c là 

2 2 2 

2 2 2 

2 2 2 

2 2 2 

A. a b c . B. a b c . C. a b c . D. a b c . 

Câu 35: Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vô nghiệm là 

m 

6 

A. m 6. B. . C. m 6 . D. 6 m 6 

m 

6 

. 

Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x mcos x 13 có nghiệm là 

m 

5 

A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5. 

m 

5 

Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x 13 vô nghiệm. 

m 

5 

A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 

m 

5 

. 

Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x 10 vô nghiệm. 

m 

8 

A. . B. m 8 . C. m 8 . D. 8 m 8. 

m 

8 

Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x msin x m 1 có nghiệm 

A. m 13 . B. m 12 . C. m 24. D. m 24. 

Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x mcos x 5 vô nghiệm. 

m 

4 

A. . B. m 4 . C. m 4 . D. 4 m 4. 

m 

4 

Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 có nghiệm là 

m 

4 

A. m 4. B. 4 m 4. C. m 34 . D. . 

m 

4 

 

Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m (1) có nghiệm x 

; 

 

2 2 . 

A. 3 m 1 B. 2 m 6 C. 1m 

3 

D. 1 m 3 

Câu 43: Tìm m để phương trình msinx 5cosx m 1 có nghiệm. 

A. m 12 

B. m 6 

C. m 24 

D. m 3 

Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 có nghiệm là : 

m 

4 

A. . B. m 4. C. m 34 . D. 4 m 4. 

m 

4 

Câu 45: Để phương trình cos x sin 

x m có nghiệm, ta chọn: 

A. 1 m 1. B. 0m 

2. C. m tùy ý. D. 2 m 2. 

Câu 46: Phương trình mcos2x sin2x m 2 có nghiệm khi và chỉ khi 

Trang 63


3 

A. m ; 

4 

 

. B. m 4 

 

; 

3 

 

. C. 4 

m 

 

; 

3 

. D. 3 

m 

 

; 

4 

. 

Câu 47: Cho phương trình 4sin x ( m 1)cos 

x m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 

có nghiêm: 

17 

17 

17 

17 

A. m . B. m . C. m . D. m . 

2 

2 

2 

2 

Câu 48: Phương trình3 sinx – 4cosx m có nghiệm khi 

A. 5 m 5 A. m 5hoặc m –5 C. m 5 

D. m –5 

Câu 49: Cho phương trình lượng giác: 3sinx m 1cosx 

5 Định m để phương trình vô nghiệm. 

A. 3 m 5 B. m 5 

C. m 3 hay m 5 D. 3 m 5 

Câu 50: Cho phương trình msin x 13m cos x m 2. Tìm m để phương trình có nghiệm. 

A. 1 1 

m 

3 

B. m 

3 

3 

C. Không có giá trị nào của m D. m 3 

2 

Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin x msin 2x 2m 

vô nghiệm. 

m 

0 

m 

0 

4 

A. 0 m 

. B. 

4 

4 . C. 0 m 

. D. 

3 

 

4 . 

m 

3 

m 

 

3 

3 

Câu 52: Tìm m để phương trình msin x 5cos x m 1 có nghiệm: 

A. m 12 . B. m 6 . C. m 24. D. m 3 . 

 

Câu 53: Cho phương trình sin x 3 cos x 2 m . Tìm m để phương trình vô nghiệm. 

3 3 

; 1 1; 

. C. 1;1 

A. ; 1 1; 

. B. 

. D. m . 

Trang 64


PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 

2 

Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x6cos x 13 . 

A. Vô nghiệm. B. x k , k . 

C. x k2 , k . D. x k2 , k . 

Câu 2: Phương trình sin x cos x 2 sin5x 

có nghiệm là 

 

 

 

x 

k 

4 2 

x 

k 

12 2 

A. , k . B. 

, k 

 

x k 

 

x k 

6 3 

24 3 

. 

 

 

 

x 

k 

16 2 

x 

k 

18 2 

C. 

, k . D. 

, k 

 

x k 

 

x k 

8 3 

9 3 

. 

2 

Câu 3: Phương trình 2sin x 3sin 2x 3 có nghiệm là 

 

2 

4 

A. x k 

, k . B. x k 

, k . C. x k 

, k . D. 

3 

3 

3 

sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x 

có các họ nghiệm là: 

Câu 4: Phương trình 

A. 

 

 

x 

k 

4 

 

. B. 

 

x k 

12 7 

 

 

x 

k 

3 

. C. 

 

x k 

6 2 

 

 

x 

k 

5 

. D. 

 

x k 

7 2 

3 

Câu 5: Phương trình: 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x 

có các nghiệm là: 

2 

2 

2 

 

x k 

6 9 

x k 

9 9 

x k 

12 9 

A. 

. B. 

. C. 

. D. 

7 

2 

7 

2 

x k 

7 2 

x k 

 

x k 

6 9 9 9 

12 9 

 

 

x k 

54 9 

3 1 

 

.Câu 6: Phương trình 8cos x có nghiệm là: 

2 

sin x cos x 

x k 

18 9 

 

 

x k 

 

 

16 2 

 

x k 

12 2 

 

x k 

8 2 

A. 

. B. 

 

. C. 

. D. 

4 

x 

3 

 

 

k 

x 

3 

 

 

k 

x 

6 

k 

Câu 7: Phương trình sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4 x) 0có nghiệm là 

 

A. x k2 , k . B. 

6 3 

 

 

x 

k2 

6 3 

 

( k 

Z ) . 

5 

 

x k2 

66 11 

5 

x k 

, k . 

3 

 

 

x 

k 

8 

. 

 

x k 

9 3 

 

 

x k 

9 2 

 

. 

2 

x 

3 

k 

Trang 65


C. 

5 

 

x k2 , k . D. khác 

66 11 

2 

x x 

Câu 8: Phương trình: sin cos 3cosx = 2có nghiệm là: 

2 2 

 

 

 

x k 

6 

 

x k2 

6 

A. 

k 

Z 

B. 

k 

Z 

 

 

x k 

x k2 

2 

2 

 

 

C. x k2 , k D. x k 

, k 

6 

2 

2 

Câu 9: Phương trình: 2 3sin cos 2cos 3 1 

x 8 x 8 x 8 

có nghiệm là: 

3 

3 

5 

5 

 

x k 

A. 

8 

 

x k 

 

. B. 

4 

 

x k 

 

 

. C. 

4 

 

x k 

5 

x 

24 

 

5 

k 

 

. D. 

8 

x 

12 

 

5 

k 

 

. 

x 

16 

 

7 

k 

x 

24 

k 

2 

Câu 10: Phương trình: 4sin x 

.sin .sin cos3 1 

x 3 x 3 

x có các nghiệm là: 

2 

 

x k 

 

6 3 

 

x k 

 

 

 

A. 

. B. 

4 

. C. 

x k2 

 

x k2 

3 . D. 

2 

 

. 

2 

 

x k 

 

 

 

x k 

x 

k 

x 

k 

3 

3 

4 


2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x có nghiệm là: 

 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k 2 

. 

6 

6 

3 

D. Vô nghiệm. 

2 

Câu 12: Phương trình 2 3 sin x cos x 2cos x 

8 8 8 

3 1 


3 

3 

 

x 

k 

8 

 

x 

k 

4 

A. , k . B. , k 

5 

5 

x k 

x k 

24 

12 

. 

5 

5 

 

x 

k 

4 

 

x 

k 

8 

C. , k . D. 

, k 

5 

7 

x k 

x k 

16 

24 

. 

Câu 13: 

1 1 2 

Giải phương trình 

sin 2x cos 2x sin4x 

 

A. x k, x k, 

k 

4 

. B. x k 

, k . 

C. Vô nghiệm. 

 

D. x k 

, k 

4 

. 


Chọn C. 

Trang 66


sin 2x 

0 

Điều kiện: sin 4x 

0 

. 

cos 2x 

0 

Phương trình đề bài sin 2x 

cos2x 

1 

ậy phương trình đã cho vô nghiệm 

. Suy ra: x x 2 

sin 2 cos 2 1 sin 4x 

0 (loại) 

Trang 67


PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐƢA VỀ TÍCH 

2 2 

Câu 1: Phương trình 1 cosx cos x cos3x sin x 0 tương đương với phương trình 

3 0 

cosx cosx cos2x 0. 

A. cosx cosx cos x . B. 

C. sinx cosx cos2x 0. D. 


Câu 2: Phương trình sin3x 4sin x.cos2 x 0 có các nghiệm là: 

x 

k2 

x 

k 

A. 

 

, kn , . B. 

, kn , . 

x n 

x n 

3 

6 

 

2 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

3 

C. 

, kn , . D. 

, kn , . 

 

2 

x n 

x n 

4 

3 

 

69 

 

Câu 3: Số nghiệm thuộc 

 

; 

14 10 của phương trình 2 

2sin 3x14sin x 

0 là: 

A. 40 . B. 34. C. 41. D. 46 . 

2 

Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x cos x1 cos x sin x là: 

 

5 

 

A. x B. x C. x 

D. x 

6 

6 

12 

2 

Câu 5: [1D1-2] Nghiệm của pt cos x sin x cos x 0 là: 

 

 

A. x k; 

x k 

B. x k 

4 2 

2 

 

5 

7 

C. x k 

D. x k; 

x k 

2 

6 6 

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x 2 2 sin xcos x 0 là: 

3 

 

 

A. x B. x C. x D. x 

4 

4 

3 

Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 

2 

2( sinx 1)( sin 2x 3sinx 1) sin4 x. 

cosx 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

2 2 

Câu 8: Giải phương trình sin 2xcos 3x 1 . 

2π 

A. x k2π, 

k B. x k , k 

5 

π 

C. x π kπ, 

k D. x kπ x k , k 

5 

Câu 9: Phương trình 4cos x 2cos2x cos4x 

1 có các nghiệm là: 

 

 

x k 

A. 

2 , k . B. 

x k 

4 2, 

k . 

 

 

x 

k2 

x 

k 

Trang 68


2 

 

 

x 

k 

3 3 

x 

k 

6 3 

C. 

, k . D. , k . 

 

 

x 

k 

x 

k 

2 

4 

Câu 10: Phương trình 2sin x cos x sin 2x 

1 0 có nghiệm là: 

 

 

 

x 

k 

6 

 

x 

k2 

6 

 

 

5 

A. 5 

x k 

, k . B. 

x k2 

, k . 

6 

6 

 

 

 

x 

k 

 

x 

k2 

 

 

 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

6 

 

 

 

C. x k2 

, k . D. 

x k2 

, k . 

6 

6 

 

 

 

x 

k2 

 

x 

k 

 

 

Câu 11: Phương trình sin3x cos2x 1 2sin xcos2x 

tương đương với phương trình 

sin x 0 

sin x 0 

A. 

sin x 0 

sin x 0 

 

1 . B. . C. 

sin x 

sin x 1 

. D. 

1 . 

sin x 1 

sin 

x 

2 

2 

2 

Câu 12: Giải phương trình sin 2xcot x tan 2x 4cos x . 

 

 

A. x k, 

x k 

, k 

2 6 

. B. 

 

 

C. x k, x k2 

, k 

2 3 

. D. 

3 3 

Câu 13: Giải phương trình cos x sin x cos 2x 

. 

 

 

 

2 6 

 

 

, 

 

2 3 

x k , x k2 

, k . 

x k x k 

, k . 

 

 

A. x k2 , x k, 

x k 

, k . B. x k2 , x k, x k2 

, k . 

2 4 

2 4 

 

 

C. x k2 , x k , x k 

, k . D. x k, x k, 

x k 

, k . 

2 4 

2 4 

Câu 14: Giải phương trình 1sin x cos x tan x 0 . 

 

 

A. x k2 , x k 

, k . B. x k2 , x k2 

, k . 

4 

 

C. x k2 , x k2 

, k 

4 

. D. 2 , 

2 

Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin 3x cos x 0 

là : 

4 

 

 

4 

x k x k 

, k . 

 

 

 

 

A. k . B. k . C. k . D. k . 

6 3 

6 3 

2 

4 

Câu 16: Phương trình 2sin x cot x 1 2sin 2x 


2sin x 1 

2sin x 1 

A. 

. B. 

sin x cos x 2sin xcos x 0 

 

. 

sin x cos x 2sin x cos x 0 

Trang 69


C. 

2sin x 1 

2sin x 1 

 

. D. 


 

. 


sin 3 x cos 3 x 2 sin 5 x cos 

5 x . 

Câu 17: Giải phương trình 

 

k 

A. x k 

, k . B. x , k . 

4 

4 2 

 

 

C. x k2 

, k . D. x k2 

, k . 

4 

4 

Câu 18: Giải phương trình tan x tan 2x sin3 x.cos2 

x 

k 

A. x , x k 2 

k 

 

, k . B. x , x k2 

, k . 

3 3 2 

k 

C. x , k . D. x k2 

, k . 

3 

2 x 2 2 x 

 

Câu 19: Cho phương trình sin tan x cos 0 (*) và x k 

(1), x 

k2 (2), 

2 4 

2 

4 

 

x k2 (3), với k . Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 

2 

A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3). 

Câu 20: Phương trình 2 3sin5x cos3x sin 4x 2 3sin3xcos5x 


k 

1 3 k 

k 

3 k 

A. x , x arccos , k . B. x , x arccos , k 

4 4 12 2 

4 48 2 

. 


k 

D. x , k 

2 

. 

2 

Câu 21: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x sin 2x cos x 2cos x là : 

2 A. . B. . 6 3 

 

C. . 4 

D. . 3 

 

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x . 

4 

2 2 2 

Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin x sin 2x sin 3x 2 là. 

 

 

A. B. 3 12 

 

C. 6 

 

D. . 8 

2 

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos x cos x sin x sin 2x là? 

 

 

 

2 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

6 

4 

3 

3 

Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì 

nhận. 

Câu 25: Phương trình sin3x cos2x 1 

2sin xcos2x tương đương với phương trình: 

sin x 0 

sin x 0 

A. . B. 

sin x 1 

. 

sin x 1 

sin x 0 

sin x 0 

C. 

1 . C. 

1 . 

sin 

x 

sin 

x 

2 

2 

Câu 26: Phương trình sin3x 4sin x.cos2 x 0 


Trang 70


x 

k2 

x 

k 

 

2 

A. 

 

x n 

. B. 

 

x n 

. C. 

x k 

2 

 

x k 

3 

 

. D. 

. 

 

3 

6 

x 

4 

 

2 

n 

x 

3 

n 

Câu 27: Phương trình 2cot 2x 3cot3x tan2x có nghiệm là: 

 

A. x k . B. x 

k . C. x 

k 2 . D. Vô nghiệm. 

3 

4 6 

Câu 28: Phương trình cos x cos2x 2sin x 0 có nghiệm là: 

 

 

A. x k . B. x k . C. x 

k . D. x 

k 2 . 

2 

4 2 

5 5 2 

Câu 29: Phương trình: 4cos x.sin x 4sin x.cos x sin 4x có các nghiệm là: 

 

 

 

x k 

A. 

4 

 

x k 

x 

k 

x 

k2 

 

. B. 

2 

 

. C. 

 

x 

8 

 

k 

3 

x 

2 

 

4 

x k 

. D. 

. 

x 

k2 

k 

4 

3 

2 

2 

Câu 30: Phương trình: sin x sin 2xsin x sin 2x sin 3x có các nghiệm là: 

 

 

 

x k 

A. 

3 

 

x k 

2 

. B. 

6 

. C. 

x k 

x 

k3 

3 . D. 

 

 

x k 

 

 

. 

2 

x k 

x 

k 

x 

k 

2 

4 

cos2x 

Câu 31: Phương trình cos xsin 

x có nghiệm là: 

1 sin 2x 

 

3 

5 

 

x k2 

4 

 

x k2 

4 

 

x k 

4 

 

x k 

4 

 

 

A. 

x 

8 

 

 

k . B. 

x 

2 

k . C. 

 

x 2 

2 

k . D. 

 

3 

x 8 

k 

. 

 

 

x 

k 

x 

k2 

 

x 

k 

 

 

x 

k 

2 

 

 

4 

1 1 

Câu 32: Phương trình 2sin3x 2cos3x 


sin x 

cos x 

 

 

3 

3 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

4 

4 

4 

4 

2 2 2 2 

Câu 33: Phương trình sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x có các nghiệm là: 

 

 

 

x k 

A. 

12 

 

x k 

 

 

9 

. B. . C. 

x k 

6 . D. 

x k 

3 . 

 

 

x k 

 

 

 

x k 

x 

k 

x 

k2 

4 

2 

Câu 34: Phương trình sin x sin 2 x sin3 x 

3 có nghiệm là: 

cos x cos2x cos3x 

 

A. x k . 

3 2 

 

B. x k . 

6 2 

Trang 71


2 

 

C. x k . 

3 2 

D. x k2 , x 7 k2 , x 5 

k2 , k 

 

6 6 3 

. 

Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: tan x sin x tan x sin x 3tan x 

là: 

5 

A. 

, 

, , 8 8 

4 4 

6 6 

D. . 6 2 

Câu 36: Phương trình 2sin x 13cos4x 2sin x 4 4cos x 3 có nghiệm là: 

 

 

 

 

 

x k2 

6 

 

x k2 

6 

 

x k2 

3 

 

x k2 

3 

 

7 

A. 

x 2 

6 

 

5 

k . B. 

x 2 

6 

 

4 

k . C. 

x 2 

3 

k . D. 

 

2 

x 2 

3 

k . 

 

 

 

x k 

 

x k2 

 

2 

x 

k 

 

 

x 

k 

2 

 

 

3 

1 

Câu 37: Phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x 


sin 2x 

 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

12 2 

6 

3 

9 

5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x 

có các nghiệm là 

Câu 38: Phương trình: 

 

 

A. x k2 

, k . B. x k2 

, k . 

4 

4 

 

 

C. x k2 

, k . D. x k2 

, k . 

2 

2 

2 2 2 

Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos x cos 2x cos 3x 

1 có nghiệm là 

 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

8 

12 

3 

6 

2 2 

x 7 

Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4x sin 2x 

4sin 


4 2 2 

 

 

 

x k 

6 

 

x k2 

6 

A. 

, k . B. 

, k . 

7 

7 

x k 

x k2 

6 

6 

 

 

 

x k2 

6 

 

x k 

6 

C. 

, k . D. 

, k . 

 

 

x k2 

x k 

6 

6 

2 2 2 2 

Câu 41: Giải phương trình sin x sin 3x cos x cos 

3x 

 

k k 

A. x k2 

, k . B. x , x , k . 

4 

4 2 8 4 

k k 

k k 

C. x , x , k . D. x , x , k . 

4 2 8 4 

4 2 4 2 

Trang 72


Câu 42: Phương trình: sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x 


2 

 

 

A. x k 

, k . B. x k , k . 

4 

4 2 

 

C. x k2 

, k . D. Vô nghiệm. 

4 

2 2 

cos xsin 

x 

Câu 43: Giải phương trình 4cot 2x 

 

. 

6 6 

cos x 

sin x 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. 

4 

4 

4 

2 2 

cos x sin x.sin 2x 

Câu 44: Giải phương trình 8cot 2x 

 

. 

6 6 

cos x 

sin x 

 

k 

 

A. x k 

. B. x . C. x k 

. D. 

4 

4 2 

4 

12 12 14 14 3 

k 

x . 

4 2 

k 

x . 

4 2 

Trang 73


PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG THƢỜNG GẶP 

Câu 1: Giải phương trình 2 

tan x cot x tan x cot x 2 . 

 

A. Cả 3 đáp án B. x k , k . 

4 

 

 

C. x k , k . D. x k , k . 

6 

4 

10 10 6 6 

sin x cos x sin x cos 

x 

Câu 2: Giải phương trình 

 

. 

2 2 

4 4cos 2x 

sin 2x 

 

k 

A. x k2 , x k2 , k . B. x , k . 

2 

2 

 

 

C. x 

k , k . D. x k, x k2 , k . 

2 

2 

4cos 2 x cot 2 x 6 2 2cos x cot x . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc 

Câu 3: Cho phương trình: 

vào khoảng (0;2 ) ? 

A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. 

Câu 4: Cho phương trình: 4cos 2 x cot 2 x 6 2 32cos x cot x . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc 

vào khoảng (0;2 ) ? 

A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. đáp số khác. 

sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 có nghiệm là: 


 

 

 

 

x k . C. 2 

A. x k . B. 

2 

4 2 

4x 

2 

Câu 6: Giải phương trình cos cos x . 

3 

 

 

x 

k3 

x 

k 

 

 

 

A. x 

k3 

. B. 

x k 

. C. 

4 

4 

 

5 

 

5 

x 

k3 

x 

k 

4 

4 

x k . D. Vô nghiệm. 

3 

x 

k3 

 

 

. D. 

x k3 

4 

1sin x 1sin x 4 

x 0; 

Câu 7: Giải phương trình 1sin x 1 sin x 3 với 2 . 

 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

12 

4 

3 

6 

2 2 

x 

k3 

 

 

5 

. 

x k3 

4 

sin x cos x 

Câu 8: Để phương trình: 2 2 

m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là: 

A. 1m 

2 . B. 2 m 

2 2 . C. 2 2 m 

3. D. 3m 

4. 

Trang 74


PHẦN II: HƢỚNG DẪN GIẢI 

PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 

Có dạng: a sinx + b cosx = c (1) 

Cách 1: 

2 2 

Chia hai vế phương trình cho a b ta được: 

(1) 

a sin x 

b cos x 

c 

a b a b a b 

Đặt: sin 

a 

, cos 

b 

2 2 

a b 2 2 

a b 

0, 2 

 

phương trình trở thành: sin .sin xcos .cos x 

c 

2 2 

a b 

cos( x ) 

c 

cos (2) 

2 2 

a b 

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 

c 

1 

2 2 

a b 

2 

c . 

2 2 

a b 

(2) x k2 ( k Z) 

Lưu ý: 

sin x 

1 3 

3 cos x 2 sin x cos x 2sin( x ) 

2 2 3 

2 2 2 2 2 2 

3 1 

3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin( x ) 

2 2 6 

1 1 

 

sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin( ) 

2 2 

x . 

 

 

4 

Cách 2: 

x 

a) Xét x k2 k có là nghiệm hay không? 

2 2 

x 

b) Xét x k2 

cos 0. 

2 

Đặt: 

x 2t 1 

t 

t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 

2 2 2 

1t 

1t 

( b c) t 2at c b 0 (3) 

Vì x k2 b c 0, nên (3) có nghiệm khi: 

2 

2 2 2 2 2 2 

' a ( c b ) 0 a b c . 

x 

Giải (3), với mỗi nghiệm t 0 , ta có phương trình: tan t0. 

2 

Trang 75 

2


Ghi chú: 

1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 

3) Bất đẳng thức B. C. S: 

2 2 2 2 2 2 

y a.sin x b.cos x a b . sin x cos x a b 

2 2 2 2 sin x cos x a 

min y a b vaø max y a b tan x 

a b b 

2 2 

a b c 

2 . 

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x 

2 

A. sin x cos x1 0 . B. sin 2xcos x 0 . 

C. 2cos x3sin x 1. D. 2cos x3sin3x 1. 


Chọn C. 

Phương trình asin 

x bcos 

x c 1 trong đó abc , , 

2 2 

và a b 

0 được gọi là phương trình bậc 

 

nhất đối với sin x, cosx. 

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm: 

A. 2cos x 3 0. B. 3sin 2x 10 0 . 

2 

C. cos x cos x 6 0 . D. 3sin x4cos x 5 . 

Hướng dẫn giải:: 

Chọn D. 

Câu D: 3sin x4cos x 5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x . 

2 2 2 

Phương trình trên có nghiệm vì 3 4 25 5 . 

3 

Câu A: 2cos x 3 0 

cos x 1 PT vô nghiệm. 

2 

10 

Câu B: sin 2x 1 PT vô nghiệm. 

3 

2 

cos x 3 1 

Câu C: cos x cos x 6 0 

PT vô nghiệm. 

cos x 2 1 


1 

A. sin x . B. 3sin x cos x 3. 

3 

C. 3sin 2xcos 2x 2 . D. 3sin x4cos x 5. 


Chọn B. 

2 2 2 

PT 3sin x 

cos x 3 vô nghiệm vì không thoả ĐK a b c 


1 

A. cos x . B. 3sin x cos x 1. 

3 



Chọn D. 

Câu A có nghiệm vì 1 1 

3 

2 2 

Câu B có nghiệm vì a b 31 4 

1 2 

Trang 76


2 2 

Câu C có nghiệm vì 2 

a 

b 31 4 2 . 

2 2 2 2 2 

Câu D vô nghiệm vì a b 3 4 25 6 . 


A. 2sin xcos x 3 . B. tan x 1. 



Chọn A. 

2 2 2 2 2 

Câu A vô nghiệm vì a b 2 1 5 3 . 

Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm. 

1 

A. sin x . B. 3sin x cos x 1. 

4 

C. 3sin 2xcos 2x 4 . D. 3sin x4cos x 5 . 


Chọn C. 

Câu A có nghiệm vì 1 1 

4 

2 2 

Câu B có nghiệm vì 2 

a 

b 31 4 1 

2 2 

Câu C vô nghiệm vì 2 

a 

b 31 4 4 . 

2 2 2 2 2 

Câu D có nghiệm vì a b 3 4 25 5 . 

Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? 

A. 3 sin x 2 

B. 1 cos 4x 

1 

4 2 

C. 2sin x3cos x 1 

2 

D. cot x cot x 5 0 


Chọn C 

Phương trình 3 sin x 2 sinx 

2 2 

, mà 1 nên phương trình vô nghiệm. 

3 3 

Phương trình 1 cos 4x 1 cos 4x 2 nên phương trình vô nghiệm. 

4 2 

2 3 

Phương trình 2sin x3cos x1có 

2 +3 >1 nên phương trình có nghiệm. 

2 1 19 

Phương trình cot x cot x 5 0 cot t 0 nên phương trình vô nghiệm. 

2 

4 

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 

A. 3sin 2xcos 2x 2 

B. 3sin x4cos x 

5 

 

C. sin x cos 4 

D. 3sin x 

cos x 3 


Chọn D 

2 

2 2 

Ta có: 3 1 4 3 

2 

nên phương trình 3sin x 

cos x 3 vô nghiệm. 


A. sin x cos 

x 3 

B. cosx 

3sinx 1 

C. 3sin 2xcos2x 2 

D. 2sinx3cos x 

1 


Trang 77


Đáp án A 

2 2 2 2 

sin x cos x (1 ( 1) )(sin x cos x) 2 3 nên phương trình vô nghiệm 

2 2 2 2 

cosx 3 sinx (1 3 )(sin x cos x) 10 1 

nên phương trình có nghiệm 

2 2 2 2 

3sin 2x cos2 x (( 3) ( 1) )(sin x cos x) 10 2 


2 2 2 2 

2sinx 3cosx (2 3 )(sin x cos x) 13 

1 


Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:. 

A. sin x2cos x 3. B. 2 sin xcos x 2 . 



Chọn C. 

Lần lượt thử các đáp án 

sin x2cos x 3 vô nghiệm vì 1 2 2 2 3 

2 nên loại đáp án A. 

2 sin x cos x 2 

vô nghiệm vì 2 2 2 

2 1 2 

2 sin x cos x 1 

2 

có nghiệm vì 2 1 1 

nên loại đáp án B. 

2 2 

. Vậy chọn C 

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: 

A. sin xcos x 3 . B. 2 sin xcos x 1. 



Chọn D. 

Lần lượt thử các đáp án 

2 2 2 

sin xcos x 3 vô nghiệm vì 1 1 3 nên chọn đáp án A. 

Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: 

A. 3 sin x 2. B. 1 cos 4x 1 . 

4 2 

2 

C. 2sin x3cos x 1. D. cot x cot x 5 0 . 


Chọn C . 

Câu C: 2sin x3cos x 1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình có nghiệm khi 

2 2 2 

2 3 1 (đúng) 

2 

Câu A: 3sin x 2 sin x 1 PTVN. 

3 

Câu B: 1 cos 4x 1 cos 4x 2 1 PTVN. 

4 4 

2 

Câu D: cot x cot x 5 0 vô nghiệm do 19 0 . 

Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm? 

A. cos3x 3sin3x 2. B. cos3x 3sin3x 2 . 

 

 

C. sin x . D. 3sin x 4cos x 5 0 . 

3 

3 3 


Chọn C 

2 2 2 

Các phương trình ở đáp án A, B, D để có dạng Acos ax Bsin 

ax C và A B C nên các phương 

trình này đều có nghiệm. 

Trang 78


3,14 

Phương trình ở đáp án C có dạng sin x m với m 1 nên phương trình này vô nghiệm. 

3 3 


 

 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k; x k2 

. 

2 

2 

 

 

C. x k; x k2 

. D. x k; 

x k 

. 

6 

4 


Chọn A. 

 

x k2 

2 4 4 

cos xsin x1 

2 sin x 1 sin x 

4 4 2 3 

x k2 

4 4 

x 

k2 

 

k 

. 

x k2 

2 


 

 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

2 

2 

 

 

C. x k; x k2 

. D. x k; 

x k 

. 

3 

6 


Chọn B. 

 

x k2 

2 4 4 

cos xsin x 1 


4 4 2 5 

x k2 

4 4 

 

x k2 

2 k 

. 

 

x 

k2 


5 

3 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

12 12 

4 4 

2 

 

5 

C. x k2 ; x k2 

. D. x k2 ; x k2 

. 

3 3 

4 4 


Chọn A. 

1 3 2 

sin x 

3 cos x 

2 sin x cos x cos .sin x sin .cos x sin 

2 2 2 3 3 4 

 

x k2 

x k2 

3 4 12 

sin x sin 

 

k 

. 

3 4 3 5 

x k2 

x k2 

 

3 4 12 

Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x– 3 cos x 0 là: 

Trang 79


 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k2 

. C. x k 

. D. x k 

. 

6 

3 

6 

3 


Chọn D. 

1 3 

 

Ta có sin x– 3 cos x 0 sin x– cos x0 

sin x 

 

0 

2 2 

3 

 

 

x k 

x k 

k 

 

3 

3 

Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x 3sin x 0 có nghiệm là 

 

 

 

A. x k. 

B. Vô nghiệm. C. x k. 

D. x k. 

6 

6 

2 


Chọn A. 

3 1 

 

 

cos x 3 sin x 0 sin x cos x 0 sin( x ) 0 x k 

, k 

. 

2 2 6 6 

Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 

trên khoảng 

0; là 

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . 


Chọn B. 

sin x cos x 1 

2 


4 4 2 

 

x k2 

sin x sin 

2 , k 

 

4 

4 

x 

k2 

. 

 

Trên khoảng 0; phương trình có 1 nghiệm là x . 

2 

Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin xcos x 1 là : 

A. x k2 

. 

 

x 

k2 

B. 

 

 

x 

k2 

4 

 

. C. x k2 

. D. 

. 

x k2 

4 

 

2 

x k2 

4 


Chọn B. 

sin x cos x 1 

2 


4 4 2 

 

x k2 

sin x sin 

2 . 

4 

4 

x 

k2 


5 

5 

 

 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k 

. D. x k2 

. 

6 

6 

6 

6 


Chọn D. 

Trang 80


1 3 

sin x 

3 cos x 

2 sin x 

cos x1 

2 2 

 

sin x 1 x k2 

x k2 

, k 

. 

3 3 2 6 


3 1 sin 3 1 cos x 3 1 0 có các nghiệm là 

 

 

 

x k2 

4 

 

x k2 

2 

A. 

,k . B. 

, k . 

 

 

x k2 

x k2 

6 

3 

 

 

 

x k2 

6 

 

x k2 

8 

C. 

, k . D. 

, k . 

 

 

x k2 

x k2 

9 

12 


Chọn B. 

5 

3 1 

Ta có tan . Chia hai vế PT cho 3 12 3 1 được 

1 

5 

5 5 5 

5 

5 

PT: sin x tan .cos x1 0 sin x.cos cos x.sin cos 0 sin 

x 

cos 

12 

12 12 12 12 12 

5 

 

 

x 

k2 

5 

 

sin 

x sin 

12 

12 

12 12 

 

x 

k2 

3 

x 

k2 

3 

 

 

 

 

( k ) 

5 

 

3 

x k2 

 

x k2 

x k2 

12 12 2 2 

Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là 

3 

5 

A. x k2 , x k2 , 

k . B. x k2 , x k2 , 

k 

4 4 

12 12 

. 

2 

 

5 

C. x k2 , x k2 , 

k . D. x k2 , x k2 , 

k 

3 3 

4 4 

. 


Chọn B. 

Chia hai vế PT cho 2 ta được 1 sin 

3 cos 

2 

x x sin x 

sin 

2 2 2 3 

4 

 

 

 

x k2 

3 4 

 

x k2 

12 

 

 

 

( k 

 

5 

x k2 

x k2 

3 4 12 

) 

Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 0 là 

 

 

 

 

A. x k , k . B. x k 

, k . C. x k 

, k . D. x k , k . 

3 2 

6 

3 

6 2 


Chọn D. 

Trang 81


Chia hai vế PT cho 

 

x k ( k ) 

6 2 

2 ta được 

1 3 

sin 2x cos 2x 0 sin 2x 

 

0 

2 2 

3 

 

2x k 

3 

Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:sin xcos x 1. 

x 

k2 

A. x k2 , k . B. 

, k . 

x k2 

2 

 

 

 

x 

k2 

C. x k2 , k 

4 

. D. 

, k . 

4 

 

x k2 

4 


Chọn B. 

Phương trình đã cho tương đương với 

 

 

x k2 

4 4 

 

 

x k2 

4 4 

1 


4 4 

2 

x 

k2 

 

( k ) 

x k2 

2 

Câu 26: Phương trình: 3.sin3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: 

1 1 1 

A. sin 3x 

B. sin 3x 

C. sin 3x 

D. sin 3x 

 

6 2 6 6 6 2 6 2 


Chọn C. 

3 1 1 1 

3 sin 3x cos3x 1 sin 3x cos3x sin 3x 

 

2 2 2 6 2 

Câu 27: Phương trình 1 sin x 

3 cos x 1 có nghiệm là 

2 2 

5 

5 

A. x k2 , k . B. x k, 

k . 

6 

6 

 

 

C. x k2 , k . D. x k2 , k . 

6 

6 


Chọn A. 

1 3 

 

sin x cos x 1 sin x 

1 

sin x 

 

1 

2 2 3 3 

5 

x k2 

x k2 

( k ) 

3 2 6 

Câu 28: Phương trình 3cos x2 | sin x| 2 có nghiệm là: 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k 

. D. 

8 

6 

4 


Chọn D. 

 

x k 

. 

2 

Trang 82


3cos x 2 | sin x | 2 2 | sin x | 2 3cos 

x 

 

 

2 2 

2 2 

4sin x 4 12cos x 9cos x 4 1 cos x 4 12cos x 9cos x 

 

 

2 

 

cos 

x 

2 

cos 

x 

3 

3 

13cos 2 x12cos x0 

cos x 

 

0 

 

 

2 

12 x k 

k 

 

cos 

x 

cos 

x (L) 2 

3 

13 

. 

Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình ( m 1)sin x cos x 5 có nghiệm. 

A. 3 m 1. B. 0m 

2. m 

1 

C. . 

m 

3 

D. 2 m 2. 


Chọn C. 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 

2 2 2 

2 2 m1 

2 m1 

a b c m 1 1 5 m 

1 

4 

m 1 2 

. 

m 3 

Câu 30: Điều kiện để phương trình msin x 3cos x 5 có nghiệm là : 

A. m 4. B. 4 m 4. C. m 34 . 

m 

4 

D. . 

m 

4 


Chọn D. 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 

2 2 2 2 2 m 

4 

a b c m 9 25 m 16 

. 

m 

4 

Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x cos 

x m có nghiệm: 

A. 2 m 2. B. m 2 . C. 1 m 1. D. m 2. 


Chọn A. 

2 2 2 2 2 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a b c 11 m m 2 2 m 2 . 

2 2 

Câu 32: Cho phương trình: m 2cos x 2msin 2x 

1 0 Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích 

hợp của tham số m là 

A. 1 m 1. 1 1 

1 1 

B. m . C. m . 

2 2 

4 4 

D. | m | 1 . 


Chọn D. 

Cách 1 (Chuyển PT về dạng asin x bcos 

x c ) 

2 

2 2 

Áp dụng công thức hạ bậc cho cos x , PT trở thành m 2 m 2cos2x 4msin 2x 

2 0 

4msin 2x m 2 2cos2x m 

2 4 

2 2 

2 

2 

2 

ĐK PT có nghiệm 4m m 2 m 

4 

m 2 1 m 1 

Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một HSLG) 

2 

Ta có cos x 0 không là nghiệm PT. Chia hai vế PT cho cos x ta được 

2 2 

m 2 4m tan x 1 tan x 0 tan 2 x 4m tan x m 

2 3 0 

PT có nghiệm khi 0 4m 

2 m 

2 3 0 m 2 1 m 1 

Trang 83


2 m 

Câu 33: Tìm m để pt sin 2xcos 

x có nghiệm là 

2 

A. 1 3 m 1 3 . B. 1 2 m 1 2 . 

C. 1 5 m 1 5 . D. 0m 

2. 


Chọn C. 

1 

cos 2x 

m 

Áp dụng CT hạ bậc ta được sin 2x 

2sin 2x cos2x m 

1 

2 2 

2 2 

ĐK PT có nghiệm là 2 1 m 

1 2 

m 1 5 1 5 m 1 

5 

Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt asin5x bcos5x c là 

2 2 2 

A. a b c . 

2 2 2 

B. a b c . 

2 2 2 

C. a b c . 

2 2 2 

D. a b c . 


Chọn C. 

2 2 2 

ĐK PT có nghiệm là a b c 

Câu 35: Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vô nghiệm là 

A. m 6. m 

6 

B. . 

m 

6 

C. m 6 . D. 6 m 6 . 


Chọn D. 

Ta có: a m; b 8; c 10 . 

2 2 2 2 

Phương trình vô nghiệm a b c m 64 100 . 

2 

m 36 6 m 6 . 

Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x mcos x 13 có nghiệm là 

A. m 5 . 

m 

5 

B. . 

m 

5 

C. m 5 . D. 5 m 5. 


Chọn B. 

Ta có: a 12; b m; c 13 . 

2 2 2 2 2 2 

Phương trình có nghiệm a b c 12 m 13 . 

2 m 

5 

m 25 

. 

m 

5 

Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x 13 vô nghiệm. 

A. m 5 . 

m 

5 

B. . 

m 

5 

C. m 5 . D. 5 m 5 . 


Chọn D. 

Ta có: a m; b 12; c 13. 

2 2 2 2 

Phương trình vô nghiệm a b c m 144 169 . 

2 

m 25 5 m 5. 

Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x 10 vô nghiệm. 

m 

8 

A. . 

m 

8 

B. m 8 . C. m 8 . D. 8 m 8. 


Chọn D. 

Trang 84


Ta có: a 6; b m; c 10 . 

2 2 2 2 2 2 

Phương trình vô nghiệm a b c 6 m 10 . 

2 

m 64 8 m 8 . 

Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x msin x m 1 có nghiệm 

A. m 13 . B. m 12 . C. m 24. D. m 24. 


Chọn B. 

Ta có: a 5; b m; c m 1. 

2 2 2 2 2 

Phương trình có nghiệm 2 

a b c 5 m m 1 . 

2 2 

25 m m 2m 

1 

24 2m m 

12 

Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x mcos x 5 vô nghiệm. 

m 

4 

A. . 

m 

4 

B. m 4 . C. m 4 . D. 4 m 4. 


Chọn D. 

2 2 2 

Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi 3 m 

5 4 m 4 

Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 có nghiệm là 

A. m 4. B. 4 m 4. C. m 34 . D. 


Chọn D. 

Phương trình m.sin x 3cos x 5 

có nghiệm m 2 

2 2 2 

3 5 m 16 

m 

4 

 

m 

4 

m 

4 

. 

m 

4 

 

Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m (1) có nghiệm x 

; 

 

2 2 . 

A. 3 m 1 B. 2 m 6 C. 1m 

3 

D. 1 m 3 


Đáp án D 

m(1 cosx) 1 

2sin x 

 

Vì: x 

; 

nên 1cosx 

0 do đó: 

2 2 

x x 

1 

4sin cos 

1 

2sin x 2 2 1 2 x x 

m m m (tan 1) 2 tan 

2 

1 

cosx 

2cos x 

2 2 2 

2 x x 

2m 

tan 4 tan 1 

2 2 

2 2 

Cách 1: 2m tan x 4 tan x 1 2 m (2 tan x ) 3 

2 2 2 

 

Vì 

 

x x x 2 x 2 

x ; nên 1 tan 1 1 2 tan 3 1 (2 tan ) 9 2 (2 tan ) 3 6 

2 2 

2 2 2 2 

Vậy: 2 2m 6 1 m 

3 

Cách 2: 

Trang 85


x 

Đặt: t tan ta có 

2 

2 

t 1;1 P( t) t 4t 

1 ( P) 

 

 

 

; 

2 2 

 

 

x thì 1;1 

t khi đó ta có: 

2 

2m t 4t 1 với 

Do ( P ) là parabol có hệ số a 0 và đỉnh I(2; 3) nên ( P ) đi xuông trên 1;1 

do đó đường thẳng 

y 2m 

cắt ( ) 

P với 1;1 

t khi: P( 1) 2m P(1) 2 2m 6 1 m 3 

Câu 43: Tìm m để phương trình msinx 5cosx m 1 có nghiệm. 

A. m 12 

B. m 6 

C. m 24 

D. m 3 


Đáp án A 

Phương trình: msinx 5cosx m 1 là phương trình dạng asinx bcosx c với a m, b 5, c m 1 

Nên phương trình có nghiệm khi: 

2 2 2 2 2 2 

a b c m 5 ( m 1) m 12 

Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 có nghiệm là : 

m 

4 

A. . 

m 

4 

B. m 4. C. m 34 . D. 4 m 4. 


Chọn A. 

2 

m.sin x 3cos x 5 có nghiệm 2 2 2 m 

4 

m 3 5 m 16 0 

m 

4 

Câu 45: Để phương trình cos x sin 

x m có nghiệm, ta chọn: 

A. 1 m 1. B. 0m 

2. C. m tùy ý. D. 2 m 2. 


Chọn D. 

2 2 2 2 

Phương trình cos x sin 

x m 

có nghiệm 1 1 m m 2 0 m 

2; 2 

 

Câu 46: Phương trình mcos2x sin2x m 2 có nghiệm khi và chỉ khi 

3 

A. ; 

4 

 

4 

 

; 

3 

 

4 

m 

 

; 

3 

. D. 3 

m 

 

; 

4 

. 


Chọn D. 

Phương trình mcos2x sin2x m 2 

2 2 

có nghiệm m 1 m 

2 2 

3 

m 1 m 4m 4 4m 3 m . Vậy m 

; 

4 

 

4 

 

Câu 47: Cho phương trình 4sin x ( m 1)cos 

x m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 

có nghiêm: 

17 

17 

17 

17 

A. m . B. m . C. m . D. m . 

2 

2 

2 

2 


Chọn D. 

Để phương trình có nghiệm thì : 

2 2 3 

Trang 86


m 

2 

4 1 

m 

2 2 

16 m 2m 1 

m 

17 2m 

0 

2 2 

17 

m 

2 

Câu 48: Phương trình3 sinx – 4cosx m có nghiệm khi 

A. 5 m 5 A. m 5hoặc m –5 C. m 5 

D. m –5 


Chọn A 

Ta có: a 3, b 4, 

c m Phương trình 3 sinx – 4cosx m có nghiệm khi và chỉ 

2 2 2 

3 4 m m 25 5 m 5 

khi: 2 

3sinx m 1 cosx 

5 Định m để phương trình vô nghiệm. 

A. 3 m 5 B. m 5 

C. m 3 hay m 5 D. 3 m 5 


Chọn A 

3sinx m 1 cosx 

5vô nghiệm khi và chỉ khi: 

Câu 49: Cho phương trình lượng giác: 

Ta có: phương trình 

2 

2 2 2 

3 m 1 5 m 2m 15 0 3 x 5 

Câu 50: Cho phương trình msin x 13m cos x m 2. Tìm m để phương trình có nghiệm. 

A. 1 1 

m 

3 

B. m 

3 

3 

C. Không có giá trị nào của m D. m 3 


Chọn C 

Ta có: phương trình msin x 13m cos x m 2có nghiệm khi và chỉ khi: 

2 

 

2 

m 2 1 3m m 

2 

m 

 

 

 

3 

1 ! 

 

1 

. Vậy không có giá trị m thỏa ycbt 

m 

 

m 

 

3 

3 

2 

Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin x msin 2x 2m 

vô nghiệm. 

m 

0 

m 

0 

4 

A. 0 m 

. B. 

4 

4 . C. 0 m 

. D. 

3 

m 

 

3 

m 

 

3 

 


Chọn D. 

2 

2sin x msin 2x 2m 

1cos2x msin 2x 2m msin 2x cos2x 2m 

1 

4 

2 2 

Phương trình vô nghiệm khi 2 2 

m 

m 1 2m 1 3m 4m 

0 3 

m 

0 

Câu 52: Tìm m để phương trình msin x 5cos x m 1 có nghiệm: 

A. m 12 . B. m 6 . C. m 24. D. m 3 . 


4 

3 

. 

Trang 87


Chọn A. 

Để phương trình msin x 5cos x m 1 có nghiệm 

2 

2 2 

m m m m 

5 1 2 24 0 12 . 

 

Câu 53: Cho phương trình sin 3 cos 2 

x 3 x 3 

m . Tìm m để phương trình vô nghiệm. 

; 1 1; 

1;1 . D. m . 

A. ; 1 1; 

. B. 

. C. 


Chọn B 

 

Để phương trình sin 3 cos 2 

x 3 x 3 

m có nghiệm khi 

2 

1 3 4 m m ; 1 1; 

 

a b c 

2 2 2 

Trang 88


PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN 

2 

Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x6cos x 13 . 

A. Vô nghiệm. B. x k , k . 

C. x k2 , k . D. x k2 , k . 


Chọn A. 

Lưu ý đối với câu này ta có thể dùng phương pháp thử phương án 

2 

2 2 2 

Ta có 5sin 2x 6cos x 13 5sin 2x 3cos 2x 

16 (vô nghiệm) do 5 ( 3) 16 . 

Câu 2: Phương trình sin x cos x 2 sin5x 


 

 

 

x 

k 

4 2 

x 

k 

12 2 

A. , k . B. 

, k 

 

x k 

 

x k 

6 3 

24 3 

. 

 

 

 

x 

k 

16 2 

x 

k 

18 2 

C. 

, k . D. 

, k 

 

x k 

 

x k 

8 3 

9 3 

. 


Chọn C. 

Chia hai vế PT cho 2 được 

1 1 

 

sin x cos x sin5x 

sin x 

sin 5x 

2 2 

4 

 

 

 

5x x k2 

4 

 

x 

 

16 k 

 

 

2 ( k 

 

5x x k2 

 

4 

 

x k 

8 3 

) 

2 

Câu 3: Phương trình 2sin x 3sin 2x 3 có nghiệm là 

 

2 

4 

A. x k 

, k . B. x k 

, k . C. x k 

, k 

3 

3 

3 

. D. 


Chọn A 

2 

2sin x 3sin 2x3 

1 cos 2x 3sin 2x 3 3sin 2x cos 2x 

2 

 

3 1 

 

sin 2x cos 2x1 

sin 2x 

1 

sin 2x 

1 

2 2 

6 6 

 

 

2x k2 

x k 

, k 

6 2 

3 

sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x 

có các họ nghiệm là: 


 

 

x 

k 

4 

A. 

. B. 

 

x k 

12 7 


 

 

x 

k 

3 

. C. 

 

x k 

6 2 

 

 

x 

k 

5 

. D. 

 

x k 

7 2 

5 

x k 

, k . 

3 

 

 

x 

k 

8 

. 

 

x k 

9 3 

Trang 89


Chọn A. 

sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x sin8x 3 cos8x 3 sin 6x cos6x 

. 

 

 

1 3 3 1 

 

sin8x cos8x sin 6x cos6x sin 8x sin 6x 

 

2 2 2 2 3 6 . 

 

 

8x 6x k2 

3 6 

x k 

4 

 

 

, k 

. 

5 

 

8x 6x k2 

x k 

 

3 6 

12 

7 

3 

Câu 5: Phương trình: 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x 


2 

2 

2 

 

x k 

6 9 

x k 

9 9 

x k 

12 9 

A. 

. B. 

. C. 

. D. 

7 

2 

7 

2 

x k 

7 2 

x k 

 

x k 

6 9 9 9 

12 9 


Chọn D. 

3 3 

3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x 3sin3x 4sin 3x 3 cos9x 

1. 

1 3 1 

sin 9x 3 cos9x 1 sin 9x cos9x sin 9x 

 

sin . 

2 2 2 3 6 

k2 

 

9x k2 

9 

3 6 

x 

54 9 

 

 

, k 

. 

5 k2 

9x k2 

9x 

 

 

3 6 

18 9 

 

 

x k 

54 9 

 

. 

2 

x k 

18 9 

3 1 

Câu 6: Phương trình 8cos x có nghiệm là: 

sin x cos x 

 

 

x k 

 

 

 

16 2 

 

x k 

A. 

. B. 

12 2 

 

x k 

8 2 

 

x k 

9 2 

 

. C. 

. D. 

4 

x 

3 

 

 

k 

x 

3 

 

 

k 

 

. 

x 

6 

 

2 

k 

x 

3 

k 


Chọn B 

m 

Điều kiện: sin x.cos x 0 sin 2x 0 x , m (1) Phương trình đã cho tương đương: 

2 

3 cos x 

sin x 

8cos x 4sin 2 x.cos x 3 cos x sin x 

1 sin 2 x 

2 

2 sin x sin 3x 3 cos x sin x 2sin 3x 3 cos x sin x 

 

 

3 1 

 

sin 3x cos x sin x sin 3x sin .cos x cos .sin x 

2 2 3 3 

k 

3 2 

 

x x k 

3 

x 

 

12 2 

sin 3x sin x 

 

k 

 

3 

 

3x x k2 

x 

k 

 

3 

 

3 

 

Trang 90


 

Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm của phương trình là k 

x ; x k k . 

12 2 3 

CÁCH KHÁC: 

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 N Plus, …) 

 

 

 

Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án C đều không thỏa phương 

16 

8 

9 

trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ 

 

nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình 

12 

Câu 7: Phương trình sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4 x) 0có nghiệm là 

 

 

 

x 

k2 

A. x k2 , k 

6 3 

. B. 

( k 

Z ) . 

6 3 

5 

 

x k2 

66 11 

5 

 

C. x k2 , k 

66 11 

. D. khác 


Chọn B 

sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4 x) 0 sin 4x 3 cos 4x 3sin 7x 

cos 7x 

1 sin 4 3 3 1 

 

 

x cos 4x sin 7x cos 7x 

sin 4x sin 7x 

 

 

2 2 2 2 

3 6 

k2 

4x 7x k2 

 

 

3 2 

3 6 

x k x 

2 

 

6 3 

 

 

( k ) 

 

5 5 k2 

4x 7x k2 11x k2 

 

 

 

x 

3 6 

6 

66 11 

2 

x x 

Câu 8: Phương trình: sin cos 3cosx = 2có nghiệm là: 

2 2 

 

 

 

x k 

6 

 

x k2 

6 

A. 

k 

Z 

 

k 

Z 

 

 

x k 

x k2 

2 

2 

 

 

C. x k2 , k D. x k 

, k 

6 

2 


Đáp án B 

B. 

2 

x x 

2 x x x 2 x 

sin cos 3cosx = 2 sin 2sin cos cos 3cosx = 2 

 

 

 

2 2 

2 2 2 2 

1 sinx 3cosx = 2 sinx 

3cosx = 1 

1 3 1 1 

sinx cosx = sin sinx 

cos cosx= 

2 2 2 6 6 2 

Trang 91


 

x k2 

x k2 

 

 

6 3 

 

2 

cos( x ) cos 

( k ) 

( k ) 

6 3 

 

x k2 

x k2 

 

6 3 

6 

2 

Câu 9: Phương trình: 2 3sin cos 2cos 3 1 

x 8 x 8 x 8 


3 

3 

5 

5 

 

x k 

A. 

8 

 

x k 

 

. B. 

4 

 

x k 

 

 

. C. 

4 

 

x k 

5 

x 

24 

 

5 

k 

 

. D. 

8 

x 

12 

 

5 

k 

 

. 

x 

16 

 

7 

k 

x 

24 

k 


Chọn B 

2 

2 3sin cos 2cos 3 1 

x 8 x 8 x 8 

3sin 2 cos 

4 2 

x x 

4 

1 3 

 

1 

3 1 3 

sin 2 cos 2 

2 x 4 2 x 4 2 

sin .sin 2 

3 4 cos 

3 .cos 2 

4 cos 

 

x x 6 

. 

7 3 

 

cos 2 

 

 

cos 

2 2 

 

x 4 3 6 

. 

 

x k 

12 6 

x k 

8 

 

, k . 

7 5 

2x k2 

x k 

 

12 6 

12 

2 

Câu 10: Phương trình: 4sin x 


x 3 x 3 

x có các nghiệm là: 

2 

 

x k 

 

6 3 

 

x k 

 

 

 

A. 

. B. 

4 

. C. 

x k2 

 

x k2 

3 . D. 

2 

 

. 

2 

 

x k 

 

 

 

x k 

x 

k 

x 

k 

3 

3 

4 


Chọn A 

2 

4sin x 


x 3 x 3 

x 

2sin cos cos 2 

x 

 

x cos3 1 

3 

 

x 

 

1 

 

2sin x cos2x cos3x 1 sin x 2sin x.cos2 x cos3x 

1 

2 

 

1 

sin x sin x sin 3x 

cos3x 

1 

 

sin 3x 

 

4 2 

k2 

 

3x k2 

4 4 

 

x 

3 

 

3 

2 

3x k2 

k 

x 

4 4 6 3 


 

A. x k . B. 

6 


Chọn D 

2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x có nghiệm là: 

 

 

x k . C. x k 2 

. D. Vô nghiệm. 

6 

3 

Trang 92


 

 

2 

2 2 sin x cos x .cos x 3 cos2x 

2 sin 2x 2 2 cos x 3 cos2x 

x x 

x 

2 sin 2 2 1 cos2 3 cos2 

2 sin2x 2 1 cos2x 

3 

2 

2 2 2 

Ta có: 2 2 1 3 2 nên phương trình vô nghiệm. 

2 

Câu 12: Phương trình 2 3 sin x cos x 2cos x 

8 8 8 

3 1 


3 

3 

 

x 

k 

8 

 

x 

k 

4 

A. , k . B. , k 

5 

5 

x k 

x k 

24 

12 

. 

5 

5 

 

x 

k 

4 

 

x 

k 

8 

C. , k . D. 

, k 

5 

7 

x k 

x k 

16 

24 

. 


Chọn A. 

Phương trình 

 

3 sin 2x 1 cos 2x 

4 4 

3 1 

. 

 

3 1 3 

sin 2x cos 2x sin 2 x .cos cos 2 x .sin sin 

2 4 2 4 2 4 6 4 6 3 

5 

 

2x 2k 

12 3 

x 

k 

24 

sin 2x 

 

sin , k 

 

12 3 2 

3 

2x 2k 

x k 

12 3 8 

. 

Câu 13: 

1 1 2 

Giải phương trình 

sin 2x cos 2x sin4x 

 

A. x k, x k, 

k 

4 

. B. x k 

, k . 


 

D. x k 

, k 

4 

. 


Chọn C. 

sin 2x 

0 


0 

. 

cos 2x 

0 

Phương trình đề bài sin 2x 

cos2x 

1 

ậy phương trình đã cho vô nghiệm 

. Suy ra: x x 2 

sin 2 cos 2 1 sin 4x 

0 (loại) 

Trang 93


PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐƢA VỀ TÍCH 

2 2 

Câu 1: Phương trình 1 cosx cos x cos3x sin x 0 tương đương với phương trình 

3 0 


A. cosx cosx cos x . B. 

C. sinx cosx cos2x 0. D. 



Chọn D. 

1 cosx cos 2 x cos3x sin 2 x 0 1 cosx cos 2 x sin 2 x cos3x 

0 

cosx cos x cos x cos xcosx cos 2 x cosx cos x cosx 

3 2 1 0 2 2 2 0 2 0. 

Câu 2: Phương trình sin3x 4sin x.cos2 x 0 có các nghiệm là: 

x 

k2 

x 

k 

A. 

 

, kn , . B. 

, kn , 

x n 

x n 

3 

6 

. 

 

2 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

3 

C. 

, kn , . D. 

, kn , 

 

2 

x n 

x n 

4 

3 

. 


Chọn B. 

Phương trình sin 3x 2 sin 3x sin x 

0 2sin x 

sin3x 

sin x 0 

3 

2 

2sin x 3sin x 4sin x sin x4sin x1 

0 2 

4sin x 1 

x 

k 

x 

k 

x 

k 

 

 

1 

 

cos 2x 

 

, kn 

, 

2x 2n 

x n 

2 3 6 

. 

 

69 

 

Câu 3: Số nghiệm thuộc 

 

; 


2sin 3x14sin x 

0 là: 

A. 40 . B. 34. C. 41. D. 46 . 


Chọn B. 

Ta có: 

2 

sin 3x 

0 

2sin 3 x. 1 4sin x 

0 2 

1 4sin x 0 

k 

sin 3x 

0 3xk 

 

x 

3 

 

1 

 

( kl , 

cos 2x 

2x l2 

 

2 3 x l 

6 

) 

 

 

Trang 94


k 

 

Nhận xét: Họ nghiệm x , k và x l , l không có nghiệm nào trùng nhau nên đếm 

3 

6 

 

69 

 

số nghiệm thuộc 

 

; ứng với từng họ nghiệm, rồi lấy tổng sẽ được tổng số nghiệm của phương 

14 10 

trình đề bài cho. Thật vậy: 

k 

 

l 

2k 6l 

1 : vô nghiệm với mọi k , l 

3 6 

(Chú ý: ta cũng có thể biểu diễn các nghiệm này trên đường tr n lượng giác để thấy các nghiệm này 

không trùng nhau.) 

Do đó: 

k 

 

69 

 

+ Với x . Vì x ; 

3 

14 10 nên k 69 

3 207 

0,2 k 20,7 ( k ) 

14 3 10 14 10 

k 1;2;3;...;20 . Có 20 giá trị k nên có 20 nghiệm. 

Suy ra: 

 

 

69 

 

+ Với x 

l. Vì x ; 

6 

 

14 10 nên 69 

l 

 

 

14 6 10 

2 101 

0,095 l 6,7 , l . Suy ra: l 0;1;2;3;...;6 

. Có 7 giá trị l nên có 7 nghiệm. 

21 15 

 

 

69 

 

+ Với x l . Vì x ; 

6 

 

14 10 nên 69 

l 

5 106 

0,238 l 7,06 , l . 

14 6 10 21 15 

. Có 7 giá trị l nên có 7 nghiệm. 

Suy ra: l 1;2;3;...;7 

Vậy số nghiệm của phương trình là 20 7 7 34 . 

2 

Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x cos x1 cos x sin x là: 

 

5 

 

A. x B. x C. x 

D. x 

6 

6 

12 


Chọn A. 

2sin x cos x 1 cos x sin 2 x 2sin x cos x 1 cos x 1 cos x 1 

cos x 

Ta có 

 

x 

k2 

cos x 1 

 

1 cos x2sin x1 

0 

 

 

1 x k2 

sin x 6 

2 

5 

x k2 

6 

 

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: x . 

6 

2 

Câu 5: Nghiệm của pt cos x sin x cos x 0 là: 

 

 

A. x k; 

x k 

B. x k 

4 2 

2 

 

5 

7 

C. x k 

D. x k; 

x k 

2 

6 6 


Chọn A. 

Trang 95


2 

 

Ta có cos x sin x cos x 0 cos xcos x sin x 

0 2 cos x cosx 

 

0 

4 

cos x 0 

 

 

 

 

x k 

x k 

2 

 

2 

 

 

 

 

 

 

cos x 0 

 

 

 

4 x k 

 

x k 

. 

 

4 2 4 

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x 2 2 sin xcos x 0 là: 

3 

 

 

A. x B. x C. x D. x 

4 

4 

3 


Chọn A. 


2sin x 2 2 sin x cos x 0 sin x 1 2 cos x 0 

sin x 0 xk 

 

1 

 

3 

cos x x k2 

 

2 4 

3 

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của pt là: x . 

4 

Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 

 

2 

2( sinx 1)( sin 2x 3sinx 1) sin4 x. 

cosx 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


Chọn C. 

Ta có phương trình đã cho tương đương với 

 

1 

2 sin 1 cos 4 x 

x 3sin x 1 sin 4 x.cos 

x 

2 

 

 

 

sin x 1 3 6sin x cos 4x sin 4 x.cos 

x 

 

sinx 13 6sinx 

sinx.cos4x cos4x sin4x.cosx 

2 

3(1 2 sin x) 3sinx sin5x cos4x 

 

3cos 2x 3cos x cos 5x cos 4x 

2 

 

2 

 

 

3x x 9x x 

3.2. cos( ). cos( ) 2. cos( ). cos( ) 

2 4 2 4 2 4 2 4 

x 3x 9x 

3 

cos 3cos( ) cos( ) 0 

2 4 

 

2 4 2 4 

 

 

x 3 

cos( ) 0 

x 3 3x 

 

cos( ).cos ( ) 0 

2 4 

x k2 

 

 

2 

 

. 

2 4 2 4 3x 

 

cos( ) 0 

 

x k2 

2 4 6 

3 

Vì x ( ; ) nên suy ra x , x , x . 

2 6 2 

 

Trang 96


Câu 8: 

Giải phương trình 

2 2 

sin 2x 

cos 3x 

1 

. 

A. x k2π, 

k B. 

C. x π kπ, 

k D. 


Chọn D. 

2 2 2 2 

sin 2x cos 3x 1 cos 3x cos 2x 

0 

cos3x cos 2x cos3x cos 2x 

0 

 

2π 

x k , k 

5 

π 

x kπ x k , k 

5 

5x x 5x x 

2sin sin .2cos .cos 0 

2 2 2 2 

sin5 x.sin x 

0 

k 

sin5x 

0 x 

 

5 k 

 

sin x 0 

x 

k 

Câu 9: Phương trình 4cos x 2cos2x cos4x 

1 có các nghiệm là: 

 

 

x k 

A. 

2 , k . B. 

x k 

4 2, 

k 

 

 

x 

k2 

x 

k 

2 

 

 

x 

k 

3 3 

x 

k 

6 3 

C. 

, k . D. , k 

 

 

x 

k 

x 

k 

2 

4 


Chọn A . 

4cos x 2cos2x cos4x 

1 

4cos x 2cos2x 1 

cos4x 

2 

4cos x 2cos 2x 2cos 2x 

2cos x cos 2 x. cos 2x 

1 

 

2 

2cos x cos 2 x.2cos 

x cos x1 cos 2 x.cos x 

0 

2 

x 

3 x x 

cos x. 1 2cos x 1 cos x 0 cos . 2cos cos 1 0 

cos x 0 

cos x 0 

 

 

3 

 

2 

2cos x cos x 1 0 cos x 12cos x 2cos x 1 

0 

cos x 0 

 

 

x k 

cos x 1 

2 , k . 

 

2 

2cos x 2cos x1 0VN 

x 

k2 

Câu 10: Phương trình 2sin x cos x sin 2x 


 

 

 

x 

k 

6 

 

x 

k2 

6 

 

 

5 

A. 5 

x k 

, k . B. 

x k2 

, k . 

6 

6 

 

 

 

x 

k 

 

x 

k2 

 

 

. 

. 

Trang 97


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

6 

 

 

 

C. x k2 

, k . D. 

x k2 

, k . 

6 

6 

 

 

 

x 

k2 

 

x 

k 

 

 


Chọn B. 

2sin x cos x sin 2x 1 0 2sin x cos x 2sin xcos x 1 

0 

 

 

x 

k2 

6 

cos x 1 

 

5 

cos x 11 2sin x 

0 

1 x k2 

sin 

x 6 

2 

 

x 

k2 

 



sin x 0 

sin x 0 

A. 

sin x 0 

sin x 0 

 

1 . B. . C. 

sin x 

sin x 1 

. D. 

1 . 

sin x 1 

sin 

x 

2 

2 


Chọn A. 

Ta có: sin3x cos2x 1 

2sin xcos2x 

2 

1 

sin3x cos2x 1sin3x sin 

x 2sin x sin x 

0 sin x 0 sin x 

2 

2 

Câu 12: Giải phương trình sin 2xcot x tan 2x 4cos x . 

 

 

A. x k, 

x k 

, k 

2 6 

. B. 

 

 

C. x k, x k2 

, k 

2 3 

. D. 


Chọn A. 

sin x 0 

Điều kiện: . 

cos 2x 

0 

sin 2x cot x tan 2x 4cos x 

Ta có: 

2 

 

 

 

2 6 

 

 

, 

 

2 3 

x k , x k2 

, k . 

x k x k 

, k . 

cos x 

2 

2sin cos cos 

2 

sin 2x 

4cos 

x 

4cos 

sin x.cos 2x 

x x x 

x 

sin x.cos 2x 

 

1 

 

cos x 0 cos 2x 

x k, 

x k 

2 2 6 

3 3 


. 

 

 

A. x k2 , x k, 

x k 

, k . B. x k2 , x k, x k2 

, k . 

2 4 

2 4 

 

 

C. x k2 , x k , x k 

, k . D. x k, x k, 

x k 

, k . 

2 4 

2 4 


Trang 98


Chọn C. 

3 

Ta có: cos x 

3 

sin x cos 2x 

cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x cos x sin x 

 

cos x sin xsin x cos x sin x cos x 1 

0 cos x sin xsin x 1cos x 1 

0 

 

2 sin x 0 

 

sin xcos x0 

 

4 

x 

k 

 

4 

 

 

 

 

cos x 1 

cos x 1 

xk2 

 

 

sin x 1 

 

sin x 1 

 

x 

k2 

 

2 

Câu 14: Giải phương trình 1sin x cos x tan x 0 . 

 

 

A. x k2 , x k 

, k . B. x k2 , x k2 

, k . 

4 

4 

 

 

C. x k2 , x k2 

, k . D. x k2 , x k 

, k . 

4 

4 


Chọn D. 

Điều kiện: cos x 0. 

sin x 

Ta có: 1sin x cos x tan x 0 1 sin x cos x 0 

cos x 

x 

k2 

sin x cos x 1 

1 cos x1 

0 

cos x 

 

tan x 1 

x k 

4 

2 

Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin 3x cos x 0 

là : 

 

 

 

 

A. k . B. k . C. k . D. k . 

6 3 

6 3 

2 

4 


Chọn B 

2 

1 cos6 

Ta có : cos x.sin 3x cos x 0 

x 

cos x 

cos x 0 

2 

cos cos6 cos 2cos 0 cos x 1 cos6x 

0 

x x x x 

 

 

cos 0 

x k 

x 2 

 

k 

 

cos6x 

1 

k 

x 

 

6 3 

Câu 16: Phương trình 2sin x cot x 1 2sin 2x 


2sin x 1 

2sin x 1 

A. 

. B. 


 

. 


2sin x 1 

2sin x 1 

C. 

. D. 


 

. 



Chọn D. 

Điều kiện: x k . 

cos x 

Ta có: 2sin x cot x 1 

2sin 2x 

2sin x 1 

4sin xcos 

x 

sin x 

Trang 99


2 2 

sin x 4sin x cos x 2sin x cos x 0 x x x 2 x 

sin 1 2sin cos 1 4sin 0 

2sin 1 

1 2sin xsin x cos x 2sin x cos x 

0 


sin 3 x cos 3 x 2 sin 5 x cos 

5 x . 


A. 

C. 

x 

 

4 

k 

x 

 

4 

k2 

, k . B. 

, k . D. 


Chọn B 

3 2 

pt sin x 1 2sin x 

3 

cos x 

2 

2cos x 1 0 

 

k 

x 

4 2 

 

x k2 

4 

, k . 

, k . 

 

x k 

cos 2x 

0 

x k 

4 2 4 2 

 

 

x k 

3 3 

sin 

x 

cos x 4 2 

sin x sin x 

x k 

2 4 2 

Câu 18: Giải phương trình tan x tan 2x sin3 x.cos2 

x 

k 

A. x , x k 2 

k 

 

, k . B. x , x k2 

, k 

3 3 2 

. 

k 

C. x , k 

3 

. D. x k2 

, k . 


Chọn C 

cos x 0 


cos 2x 

0 

k 

x 

sin 3x 

pt sin 3 x.cos 2x 

0 

cos x.cos 2x 

sin 3x 

0 

3 

 

 

1 cos x.cos 2 2x 

0 cos x 1 

 

 

 

 

2 

 

cos 2x 

1 

k 

k 

x 

x 

 

 

 

3 

3 

k 

k 

 

 

x 

x 

k 

 

cos x 1 cos x 1 

 

3 3 x 

 

 

 

2 

2 

3 

2 

2cos x 1 1 2 1 

1 2 cos x 1 

x k 

 

1 

 

 

2 x 2 2 x 

 

Câu 19: Cho phương trình sin tan x cos 0 (*) và x k 

(1), x 

k2 (2), 

2 4 

2 

4 

 

x k2 (3), với k 

2 

. Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 

A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3). 


Chọn A. 

ĐK: cos x 0 x k 

2 

Trang 100


 

1cos 

x 

2 

2 

2 sin x 1 

cos x (1 sin x) 1cos 

x 

(*) 

 

0 (1 cos x) 0 

2 2 

2 cos x 2 1 

sin x 

(1 sin x )(1 cos x )(1 cos x ) 1 cos 

(1 cos x) 0 (1 cos x) x 

1 

0 

(1 sin x)(1 sin x) 1 

sin x 

x 

k2 

1 cos x 0 cos x 1 cos x 1 

 

 

1 cos x (1 sin x) 0 

 

cos x sin x 0 

 

(thỏa) 

1 tan x 0 x k 

4 

Câu 20: Phương trình 2 3sin5x cos3x sin 4x 2 3sin3xcos5x 


k 

1 3 k 

k 

3 k 

A. x , x arccos , k . B. x , x arccos , k 

4 4 12 2 

4 48 2 

. 


k 

D. x , k 

2 

. 


Chọn D. 

PT 2 3sin5x cos3x sin 4x 2 3sin3xcos5x 

 

 

2 3 sin 5xcos3x sin 3xcos5x sin 4x 2 3 sin 2x 2sin 2xcos 2x 

sin 2x 0 2x k 

k 

 

 

x 

2 3 2cos 2x 

cos 2x 3 1 

2 

2 

Câu 21: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x sin 2x cos x 2cos x là : 

2 A. . B. . 6 3 

 

C. . 4 

D. . 3 


Chọn C 

2 

Ta có : sin x sin 2x cos x 2cos x 

sin 1 2cos cos 1 2cos 0 sin x cos x 1 2cos x 0 

x x x x 

sin cos tan 1 

x x x 

 

x k 

4 

 

1 

2 

 

k 

 

cos x cos x cos 2 

2 

3 

 

x k2 

3 

 

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x . 

4 

2 2 2 

Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin x sin 2x sin 3x 2 là. 

 

 

 

 

A. B. C. D. . 

3 12 

6 8 


Chọn C 

2 2 2 1cos2x 

1cos6x 

Ta có : sin x sin 2x sin 3x 

2 

2 2 

2 cos6x 

cos2x 

2 

sin 2x 

1 cos 2x cos4x cos2x 

0 

2 

2 

sin 2x 

2 

Trang 101


k 

 

x 

cos3x 

0 

6 3 

 

 

cos2x cos4x cos2x 0 2cos3x cos2x cos x 0 

 

cos2 0 k 

x x k 

 

 

4 2 

 

cos x 0 

x k 

2 

2 

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos x cos x sin x sin 2x là? 

 

 

 

2 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

6 

4 

3 

3 


Chọn B 

2 

2cos x cos x sin x sin 2x cos x 2cos x 1 sin x 2cos x 1 0 

Cách 1: 

cos 

 

 

x 2 

2 

x k 

3 

2cos x 1cos x sin x 

0 

 

, k 

 

 

cos x 0 

x k 

 

 

1 

 

4 4 

Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì 

nhận. 

Câu 25: Phương trình sin3x cos2x 1 

2sin xcos2x tương đương với phương trình: 

sin x 0 

sin x 0 

A. . B. 

sin x 1 

. 

sin x 1 

sin x 0 

sin x 0 

C. 

1 . C. 

1 . 

sin 

x 

sin 

x 

2 

2 


Chọn C 

3 

sin 3x cos2x 1 2sin x cos2x 3sin x 4sin x 1 cos2x 1 2sin x 0 

 

2 

sin x 11 2sin x cos2x 1 2sin x 

0 

 

sin x 0 

2 2 

1 2sin x2sin x sin x 11 2sin x 

0 

1 sin x 

2 

Câu 26: Phương trình sin3x 4sin x.cos2 x 0 


 

1 2sin x sin x 1 1 2sin x cos2x 

0 

x 

k2 

x 

k 

 

A. 

 

x n 

. B. 

 

x n 

. C. 

x k 

2 

 

. D. 

 

3 

6 

x 

4 

n 


Chọn B 

3 2 

sin3x 4sin x.cos2x 0 3sin x 4sin x 4sin x 1 2sin x 0 

sin x 0 sin x 0 

x 

k 

3 

4sin x sin x 0 

, , 

2 1 

1 

k n 

2sin 

x cos2x 

x 

n 

2 2 6 

Câu 27: Phương trình 2cot 2x 3cot3x tan2x có nghiệm là: 

 

 

 

 

 

2 

 

x k 

3 

 

. 

2 

x 

3 

n 

Trang 102


 

A. x k . 

3 

B. x 

k . C. x 

k 2 . D. Vô nghiệm. 


Chọn C 

sin 3x 

0 

 

Điều kiện: cos2x 

0 

 

sin 2x 

0 

2cot 2x 3cot 3x tan 2x 2 cot 2x cot 3x tan 2x cot 3x 


2sin3x cos2x cos3x sin2x 

sin2x sin3x cos3x cos2x 

 

 

sin3x sin2x cos2x sin3x 

2sin x cos 

2sin .cos2 .sin3 cos .sin 2 .sin3 

sin3 .sin 2 

x 

cos2 .sin3 

x x x x x x 

x x x x 

sin 3x 2sin x.cos2x cos x.sin 2x 

0 

 

 

 

sin 3x 

0 l 

 

sin 3 x.sin x 1 cos2x 

0 sin x 0 n 

x k2 , k 

 

cos2x 

1 n 

. 

4 6 

Câu 28: Phương trình cos x cos2x 2sin x 0 có nghiệm là: 

 

 

A. x k . B. x k . 

2 

4 2 

C. x 

k . D. x 

k 2 . 


Chọn C 

2 


6 4 4 2 

x x x x x x k 

k 

4 6 2 2 6 

cos x cos2x 2sin x 0 1 sin x 1 2sin x 2sin x 0 

2sin sin 0 sin 2sin 1 0 sin 0 , . 

5 5 2 

Câu 29: Phương trình: 4cos x.sin x 4sin x.cos x sin 4x có các nghiệm là: 

 

 

 

x k 

A. 

4 

 

x k 

x 

k 

x 

k2 

 

. B. 

2 

 

. C. 

 

x 

8 

 

k 

3 

x 

2 

 

4 

x k 

. D. 

. 

x 

k2 

k 

4 

3 

2 


Chọn A 

5 5 2 

4cos x.sin x 4sin x.cos x sin 4x 

 

4 4 2 

4sin x.cos x cos x sin x sin 4x 

 

2 2 2 

2sin 2x cos x sin x sin 4x 

 

 

 

2 2 

sin 4 0 

x k 

x 

2sin 2 .cos2 sin 4 sin 4 sin 4 0 

4 

 

 

sin 4x 

1 

x k 

8 2 

CÁCH KHÁC: 

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 N Plus, …) 

x x x x x k 

 

Trang 103


 

3 

 

Kiểm tra giá trị x của đáp án B, x của đáp án C, x của đáp án D đều không thỏa phương 

4 

4 

3 

trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ 

 

nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị x của đáp án A thỏa phương trình 

8 

2 

Câu 30: Phương trình: sin x sin 2xsin x sin 2x sin 3x có các nghiệm là: 

 

 

 

x k 

A. 

3 

 

x k 

2 

. B. 

6 

. C. 

x k 

3 . D. 

 

 

x k 

 

 

x k 

x 

k 

2 

4 


Chọn A 

2 2 2 

sin x sin 2x sin x sin 2x sin 3x 

sin x sin 2x sin 3x . 

 

2 

x 

k3 

. 

x 

k2 

1cos2x 

2 1cos6x 

2 

sin 2x 

cos6x cos2x 2sin 2x 

0 

2 2 

2 

2 2 

2cos4 x.sin 2x 2sin 2x 

0 2sin 2 x.cos2x sin 2x 0 . 

k 

k 

sin 2x 

0 2x 

k 

 

x 

2 

sin 2 x. 2cos2x 

1 

0 

1 

2 

x 

2 

2 

. 

cos2x 

2x 

k2 

 

2 3 

x k 

k 

x 

3 3 

cos2x 

Câu 31: Phương trình cos xsin 


1 sin 2x 

 

3 

5 

 

x k2 

4 

 

x k2 

4 

 

x k 

4 

 

x k 

4 

 

 

A. 

x 

8 

 

 

k . B. 

x 

2 

k . C. 

 

x 2 

2 

k . D. 

 

3 

x 8 

k 

. 

 

 

x 

k 

x 

k2 

 

x 

k 

 

 

x 

k 

2 

 

 

4 


Chọn C 

 

 

Điều kiện: 1 sin 2x 0 2x k2 

x kk . 

2 4 

cos2x 

cos xsin 

x cos x sin x1 sin 2x 

cos2x 

1 sin 2x 

2 2 

cos x sin x cos x 2cos xsin x sin x cos2x 

 

cos x sin xcos x sin x 2 

cos2x 

 

cos2x 

0 

cos2x cos x sin x 1 

0 

 

2 cosx 

1 

 

4 

cos2 x. cos x sin x cos2x 0 . 

 

 

2x 

k 

2 

 

 

x k2 

4 4 

Trang 104


k 

3 

 

x 

4 2 

x k 

4 

 

 

x 

k2 

x 

k2 

. 

 

x 

k2 

x 

k2 

2 2 

1 1 

Câu 32: Phương trình 2sin3x 2cos3x 


sin x 

cos x 

 

 

3 

3 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

4 

4 

4 

4 


Chọn A 

cos x 0 

k 


0 x , k . 

sin x 0 2 

1 1 

2sin3x 2cos3x 

1 1 

2sin 3x cos3x 

 

0 

sin x 

cos x 

sin 

x cos x 

3 3 cos x 

sin x 

23sin x 4sin x 4cos x 3cos x 

 

 

0 

sin xcos 

x 

cos 

x 

sin x 

6cos x sin x 8cos x sin x1 sin xcos x 

 

 

0 

sin xcos 

x 

cos xsin x 0 1 

 

 

1 2 

6 81 sin 2x 

0 2 

 

2 sin 2x 

3 

Giải 1 , 1 

2 cosx 0 x k 

x k 

4 4 4 

2 

2 

Giải 2 , 2 2 4sin 2x 0 2sin 2 sin 2 1 0 

sin 2 

x x 

x 

 

 

 

 

2x k2 

2 

x k 

4 

sin 2x 

1 

 

 

 

1 2x k2 

x k 

. 

sin 2x 

6 12 

2 7 

7 

2x 

k2 

x 

k 

6 12 

2 2 2 2 

Câu 33: Phương trình sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x có các nghiệm là: 

 

 

 

x k 

A. 

12 

 

x k 

 

 

9 

. B. . C. 

x k 

6 . D. 

x k 

3 . 

 

 

x k 

 

 

 

x k 

x 

k 

x 

k2 

4 

2 


Chọn B 

2 2 2 2 

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x 

1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 

cos12x 

 

2 2 2 2 

cos6x cos8x cos10 x cos12 x 2cos7 x.cos x 2cos11 x .cosx 

Trang 105


 

 

cos x cos11x cos7x 0 2cos x.sin9 x .sin2x 0 

 

 

 

cos x 0 

x k 

 

x k 

2 

2 

 

 

 

 

x k 

sin 9x 

0 

9 

 

x k 

9 

x k 

 

9 

sin 2x 

0 2x 

k 

 

 

x k 

 

 

2 

 

 

 

x k 

2 

Câu 34: Phương trình sin x sin 2 x sin3 x 


cos x cos2x cos3x 

 

A. x k . 

3 2 

 

B. x k . 

6 2 

2 

 

C. x k . 

3 2 

D. x k2 , x 7 k2 , x 5 

k2 , k 

. 

6 6 3 


Chọn D 

Điều kiện cos x cos2x cos3x 0 2cos2 x.cos x cos2x 

0 

 

cos2 0 x k 

x 4 2 

 

 

2cos x 1 0 

2 

x 2k 

3 

Phương trình sin x sin 2x sin 3x 3 cos x cos2x cos3x 

 

2sin 2 x.cos x sin 2x 3 2cos2 x.cos x cos2x 

sin 2x 2cos x 1 3 cos2x 2cos x 1 

1 2 2 

cos 

 

2cos 1 0 

x 2 2 

x 2 

x k 

3 

x k 

3 

 

 

k 

sin 2x 3 cos2x 

0 

 

 

sin 2 0 2 

 

x x k x k 

 

3 

3 

6 2 

So sánh với điều kiện, ta có x k2 , x 7 k2 , x 5 

k2 , k 

 

6 6 3 

 

2 

Chú ý trong họ nghiệm x k . (Với k 1 

thì x làm mẫu không xác định) 

6 2 

3 

Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình: tan x sin x tan x sin x 3tan x 

là: 

5 

A. 

, 

3 5 . B. , . C. , . 

8 8 

4 4 

6 6 

D. . 6 


Chọn D 

tan x sin x tan x sin x 3tan x 

2 2 

2 tan x 2 tan x sin x 3tan x 

 

Trang 106


2 1 

2 2 

2 2 2 

2 sin x 

1 tan 

2 x 2 sin x.tan x tan x 4sin x.tan x tan x 

cos 

x 

2 

tan x 0 

x 

k 

x k 

x k 

 

2 

1 

 

 

4sin x 1 cos2x 2x k2 

x k 

2 3 6 

5 

x 0; x , x 

6 6 

5 

Thử lại, ta nhận x . (Tại x thì tan xsin x 0 

) 

6 6 

2 

Câu 36: Phương trình 2sin x 13cos4x 2sin x 4 4cos x 3 có nghiệm là: 

 

 

 

x k2 

6 

 

x k2 

6 

 

7 

A. 

x 2 

6 

 

5 

k . B. 

x 2 

6 

k . C. 

 

 

 

x k 

x 

k 

 

2 

 


Chọn A 

2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos x 3 

 

2 

2 

x x x x 

2 

x x x x 

2sin 1 3cos4 2sin 4 4 1 sin 3 0 

2sin 1 3cos4 2sin 4 1 4sin 0 

x x x x 

2sin 1 3cos4 2sin 4 1 2sin 0 

 

 

x k2 

3 

 

4 

x 2 

3 

k . D. 

 

x k2 

 

 

 

 

x k2 

6 

1 

sin 

2sin x13cos4x 3 

0 

x 

7 

2 x k2 , 

 

k 

 

6 

cos4x 

1 

x 

k 

2 

1 

Câu 37: Phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x 


sin 2x 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. 

12 2 

6 

3 


Chọn C 

 

Điều kiện sin 2x 0 x k , k 

2 

1 

2 tan x cot 2x 2sin 2x 

 

sin 2x 

2sin x cos2x 

1 

2 2 

2sin 2x 

4sin x cos2x 2sin 2x 

1 

cos x sin 2x sin 2x 

2 2 2 

2 2 2 

4sin x 1 2sin x 2sin 2x 

1 

2sin x 8sin x cos x 0 

 

 

x k2 

3 

 

2 

x 2 

 

3 

k . 

 

2 

x 

k 

3 

 

x k . 

9 

Trang 107


2 2 

sin x 0 

sin x1 4cos x 

0 2 

1 4cos x 0 

Do điều kiện nên 

1 2 

 

1 21 cos2x 

0 cos2x 

2x k2 

x k 

, k 

 

2 3 

3 

5 sin x cos x sin 3x cos3x 2 2 2 sin 2x 



 

 

A. x k2 

, k . B. x k2 

, k 

4 

4 

. 

 

 

C. x k2 

, k . D. x k2 

, k 

2 

2 

. 


Chọn A 

Cách 1: 

3 

3 

Ta có: sin 3x 3sin x 4sin x ; cos3x 4cos x 3cos x 

Phương trình tương đương: 

8 sin x cos x 4 sin 3 x cos 3 x 2 2 2 sin 2x 

 

x x x x x x x 

x x x x x x 

8 sin cos 4 sin cos 1 sin cos 2 2 2 sin 2 

4 sin cos 1 sin cos 4 2 1 

sin cos 

1 

sin 2x 

1 

sin 2x 

2 

vn 

1 sin xcos x0 2 

 

 

 

x k2 

sin x cos x 2 

, k 

sin 1 4 

2 sin x 2 x 

 

4 4 

 

 

 

Cách 2: Phương trình tương đương 

 

5 2 sin x 2 sin 3x 2 2 2 sin 2x 

4 4 

 

5sin x sin 3x 22 sin 2x 

4 4 

 

Đặt u x Khi đó, phương trình trở thành: 

4 

3 2 

5sin u sin3u 4 

2cos2u 

4sin u 4sin u 2sin u 2 0 

 

sin u 1 

sin x 

 

1 x k2 

k 

. 

4 4 

2 2 2 

Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos x cos 2x cos 3x 


 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

8 

12 

3 

6 


Chọn D 

2 2 2 1cos 2x 1cos 4x 1cos6x 

cos x cos 2x cos 3x 

1 

1 

2 2 2 

2 

cos6x cos2x 1 cos4x 

0 2cos 4x cos 2x 2cos 2x 

0 

Trang 108


 

 

x 

k 

4 

cos 2x 

0 

 

 

 

x k , ( k ). 

cos 4xcos 

2x 

6 3 

 

 

 

x k 

2 

2 2 

x 7 

Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4x sin 2x 

4sin 


4 2 2 

 

 

 

x k 

6 

 

x k2 

6 

A. 

, k . B. 

, k . 

7 

7 

x k 

x k2 

6 

6 

 

 

 

x k2 

6 

 

x k 

6 

C. 

, k . D. 

, k . 

 

 

x k2 

x k 

6 

6 


Chọn B 

1 cos 4 x 

sin .cos 4 

21 sin 

7 1 1 

x x x cos 4xsin x 2sin 

x 

2 2 2 2 

 

2 

1 

1 

x k 

6 

sin x cos 4x 2 

0 sin x , k 

2 

2 7 

x k2 

6 

2 2 2 2 

Câu 41: Giải phương trình sin x sin 3x cos x cos 

3x 

 

k k 

A. x k2 

, k . B. x , x , k . 

4 

4 2 8 4 

k k 

k k 

C. x , x , k . D. x , x , k . 

4 2 8 4 

4 2 4 2 


Chọn C. 

2 2 2 2 

Phương trình sin x cos x cos 3x sin 3x 

cos6x cos2x 0 2cos4 x.cos2 x 

0 

k 

cos 4x 

0 

4x 

k 

2 

x 

8 4 

, k 

cos 2x 

0 

k 

2x k 

x 

 

2 4 2 

Câu 42: Phương trình: sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x 


2 

 

 

A. x k 

, k . B. x k , k 

4 

4 2 

. 

 

C. x k2 

, k 

4 



12 12 14 14 3 

Trang 109


Chọn B 

12 12 14 14 3 

sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x 

2 

 

12 2 12 3 3 

sin x 1 2sin x cos x 1 2cos x cos2 x 

2 

12 12 3 

sin .cos 2 cos .cos 2 cos2 

12 12 3 

x x x x x cos 2xsin x cos x 

0 

2 

 

2 

12 12 2 2 3 

cos2x 

0 vì sin x cos x sin x cos x 1 x k ( k ) 

2 4 2 

2 2 

cos xsin 

x 

Câu 43: [1D1-3]Giải phương trình 4cot 2x 

 

. 

6 6 

cos x 

sin x 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. 

4 

4 

4 


Chọn B 

sin 2x 

0 

 

Điệu kiện: 

xk 

6 6 

cos xsin x0 

2 

k 

x . 

4 2 

cos 2x 

cos 2x 

cos 2x 

0 

x x x x x 

pt 4 sin 2 1 3sin 

2 cos 

2 4 3sin 

2 

2 sin 2 

 

 

 

x 

k 

4 

 

 

sin 2x 1 

x k 

 

4 

4 

sin 2x 

L 

3 

2 2 

cos x sin x .sin 2x 

Câu 44: [1D1-4]Giải phương trình 8cot 2x 

 

. 

6 6 

cos x 

sin x 

 

k 

 

k 

A. x k 

. B. x . C. x k 

. D. x . 

4 

4 2 

4 

4 2 


Chọn D. 

sin 2x 

0 

 

Điệu kiện: 

xk 

6 6 

cos xsin x0 

2 

cos 2x cos 2 x.sin 2x 

2 2 2 

pt 8 8cos 2x 2 2 

1 3sin xcos x 

cos 2xsin 2x 

sin 2x 13sin xcos 

x 

cos 2x 

0 

2 2 

 

cos 2x8 6sin 2x sin 2x 

0 

2 8 x k . 

sin 2x 

VN 

4 2 

7 

 

Trang 110


PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG THƢỜNG GẶP 

Câu 1: Giải phương trình tan x cot x 2 tan x cot x 2 . 

A. Cả 3 đáp án 

 

B. x k , k 

4 

. 

 

 

C. x k , k . D. x k , k 

6 

4 

. 


Chọn D. 

Lưu ý: Đối với câu hỏi này, ta có thể chọn cách thử nghiệm. 

k 

Điều kiện x 

k 

2 

Đặt t tan x cot x , phương trình đã cho trở thành 

2 t 

1 

t t 2 0 . 

t 

2 

+ Với t 1. Suy ra: 

2 

tan x cot x 1 tan x tan x 1 0 (vô nghiệm). 

+ Với t 2. Suy ra: 

2 

 

tan x cot x 2 tan x 2 tan x 1 0 tan x 1 

x k 

k 

 

4 

. 

10 10 6 6 


x 


 

. 

2 2 

4 4cos 2x 

sin 2x 

 

k 

A. x k2 , x k2 , k . B. x , k 

2 

2 

. 

 

 

C. x 

k , k . D. x k, x k2 , k 

2 

2 

. 


Chọn B. 

2 2 2 2 2 

Điều kiện: 4cos 2x sin 2x 0 4cos 2x 1 cos 2x 0 3cos 2x 1 0 x 

10 10 

2 2 4 2 2 4 

sin x 

cos x sin x cos xsin x sin x cos x cos x 

PT 

 

2 2 

4 4 1sin 2x 

sin 2x 

2 

10 10 

sin x 

cos x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x cos 

2 x 

 

 

2 

4 4 3sin 2x 

3 2 

10 10 1 

sin 2x 

10 10 2 

sin x cos x 4 sin x cos x 4 3sin 2x 

 

2 2 

4 4 3sin 2x 

4 4 4 3sin 2x 

10 10 10 10 2 2 

sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x 

sin 2 x 1sin 8 x cos 2 x 1 cos 8 x 0 (*) 

 

 

 

 

 

Trang 111


Vì 

2 8 

sin x 1 sin x 0x 

 

 

 

 

sin x 0 

2 8 

 

sin x1sin x 

0 

 

 

sin x 1 

k 

nên (*) 

x 

2 8 

x 

x 

x 

 

 

cos x1cos x 

0 

cos x 0 2 

 

cos x 1 

4cos 2 x cot 2 x 6 2 2cos x cot x . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào 

2 8 

cos 1 

cos 0 


khoảng (0;2 ) ? 

A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. 


Chọn D 

4cos 2 x cot 2 x 6 2 2cos x cot x 

Ta có : 

 

2 

4cos x 4cos x 1 

2 

cot x 2cot x 1 4 0 

2 2 

x x 

2cos 1 cot 1 4 0 

2 2 

Do 2cos x1 2 

0 x , cot x1 2 

0 x 

2cos x 1 cot x 1 4 0 x 

 

Câu 4: Cho phương trình: 4cos 2 x cot 2 x 6 2 32cos x cot x . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào 

khoảng (0;2 ) ? 

A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. đáp số khác. 


Chọn C 

Ta có : 4cos 2 x cot 2 x 6 2 32cos x cot x 

2 2 

x x x x 

4cos 4 3cos 3 cot 2 3cot 3 0 

x x 

2 2 

2cos 3 cot 3 0 

 

 

x k2 

2cos x 3 0 

6 

 

 

 

x l 2 

l 

 

 

cot x 3 0 

 

6 

x k 

6 

 

1 11 

Vì x 0;2 0 l2 2 

l l 0 

6 12 12 

sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 0 có nghiệm là: 


 

 

 

 

x k . C. 2 

A. x k . B. 

2 

4 2 


Chọn D 

sin 3x cos x 2sin 3x cos3x 1 sin x 2cos3x 

0 

 

2 2 

sin 3 x.cos x 2sin 3x cos3x cos3 x.sin x 2cos 3x 0 . 

2 2 

sin3 x.cos x cos3 x.sin x cos3x 2 sin 3x cos 3x 0 . 

 

sin4x cos3x 2 . 

1 sin 4x 

1 

Do , nên sin4xcos3x 2 

. 

1 cos3x 

1 

x k . D. Vô nghiệm. 

3 

Trang 112


k 

sin 4 1 

4 2 

x 

x x k 

8 2 

Dấu " " xảy ra 2 , kl , . 

cos3x 

1 2 

3 2 

l 

x l x 

3 

Ta có k l2 3 12 

, 

k 

3 12k 

k l l vô lý do l . 

8 2 3 16 

16 

Nên phương trình đã cho vô nghiệm. 

4x 

2 

Câu 6: Giải phương trình cos cos x . 

3 

 

 

x 

k3 

x 

k 

 

 

x 

k3 

x 

k3 

 

A. 

x k3 

. B. x 

k 

. C. 

4 

 

. D. 

4 

x 

k3 

 

5 

. 

x k3 

 

5 

 

5 

4 

4 

x 

k3 

x 

k 

4 

4 


Chọn A. 

4 x 2 4 x 1 

2 2 2 

cos cos x cos cos x 2cos2. x 1 

cos3. 

x 

3 3 2 3 3 

2 2x 

3 2x 2x 3 2x 2 2x 2x 

2 

 

2cos 1 1 4cos 3cos 4cos 4cos 3cos 

3 0 

3 

3 3 3 3 3 

2x 

 

k2 

2x 

3 

x 

k3 

 

cos 1 

 

 

3 2x 

 

 

k2 

 

x k3 

. 

2x 

3 3 6 4 

cos 

 

3 2 

2x 

5 

 

5 

k2 

x 

k3 

3 6 4 

1sin x 1sin x 4 

x 0; 

Câu 7: Giải phương trình 1sin x 1 sin x 3 với 2 . 

 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

12 

4 

3 

6 


Chọn A. 

1 

sin x1sin x 4 2 4 3 

pt cos x x k 

. 

2 

1sin 

x 3 cos x 3 2 12 

 

Do x 0; 

2 nên 

x . 

12 

2 2 

sin x cos x 

Câu 8: Để phương trình: 2 2 

m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là: 

A. 1m 

2 . B. 2 m 

2 2 . C. 2 2 m 

3. D. 3m 

4. 


Chọn C. 

Trang 113


2 2 2 

sin x 1sin x sin x 2 

Phương trình tương đương 2 2 m 2 

2 

m 

sin x 

2 

2 

sin 2 

t 2 x , t 1;2 do 0 sin x 1. 

Đặt 

Xét hàm f t t 

2 2 

, t 1;2 f t 1 ; f 

2 

t 

t 

t 0 t 2 

Bảng biến thiên 

t 1 2 2 

f t 0 

f t 3 

2 2 

Vậy phương trình f t m có nghiệm 2 2 m 3. 

3 

Trang 114


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM 

SỐ LƯỢNG GIÁC 

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP 

1. Phương trình sinx = sin 

x 

 

k2 

a) sin x sin 

 

( k Z) 

x 

k2 

sin x a. Ñieàu kieän : 1 a 1. 

b) 

x arcsin a k2 

sin x a 

 

( k Z) 

x arcsin a k2 

c) sin u sin v sinu sin( v) 

d) sin u cos v sinu sin 

v 

2 

 

e) sin u cos v sin u sinv 

 

2 

Các trường hợp đặc biệt: 

sin x 0 x k 

( k Z) 

 

sin x 1 x k2 ( k Z) 

2 

 

sin x 1 x k2 ( k Z) 

2 

2 2 

 

sin x 1 sin x 1 cos x 0 cos x 0 x k 

( k Z) 

2 

2. Phương trình cosx = cos 

a) cos x cos x k2 ( k Z) 

cos x a. Ñieàu kieän : 1 a 1. 

b) 

cos x a x arccos a k2 ( k Z) 

c) cosu cosv cosu cos( v) 

d) cosu sin v cosu cos 

v 

2 

e) cosu sin v cosu cos 

v 

2 


 

cos x 0 x k 

( k Z) 

2 

cos x 1 x k2 ( k Z) 

cos x 1 x k2 ( k Z) 

2 2 

cos x 1 cos x 1 sin x 0 sin x 0 x k 

( k Z) 

3. Phương trình tanx = tan 

Trang 115


a) tan x tan x k 

( k Z) 

b) tan x a x arctan a k 

( k Z) 

c) tan u tan v tan u tan( v) 

d) tan u cot v tan u tan 

v 

2 

e) tan u cot v tan u tan 

v 

2 


tan x 0 x k 

( k Z) 

 

tan x 1 x k 

( k Z) 

4 

4. Phương trình cotx = cot 

cot x cot x k 

( k Z) 

cot x a x arccot a k 

( k Z) 


cot x 0 

 

x k 

2 

( k 

Z) 

cot x 1 

 

x k 

( k Z) 

4 

5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 

Có dạng at b 0 

với a, b , a 0 

với t là một hàm số lượng giác nào đó 

Cách giải: at b 0 t b đưa về phương trình lượng giác cơ bản 

a 

6. Một số điều cần chú ý: 

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất 

thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. 

* 

 

Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x k 

( k Z). 

2 

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k 

( k Z) 

* 

 

Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x k 2 

( k Z) 

* Phương trình có mẫu số: 

sin x 0 x k 

( k Z) 

 

cos x 0 x k 

( k Z) 

2 

 

tan x 0 x k ( k Z) 

2 

 

cot x 0 x k ( k Z) 

2 

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra 

điều kiện: 

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 

2. Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm 

Trang 116


3. Giải các phương trình vô định. 

c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm 

- HỌC SINH KHÔNG LỆ THUỘC VÀO VIỆC SỬ DỤNG MTCT ĐỂ THỬ LẠI 

CÁC ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM. 

- HỌC SINH CẦN NẮM ĐƯỢC MẤU CHỐT CỦA VIỆC GIẢI TỰ LUẬN 

- CÁC CÂU HỎI HẠN CHẾ MTCT CHẲNG HẠN: 

+ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG 

+ SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC. 

+ TỔNG CỦA CÁC NGHIỆM TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG 

+ TỔNG, HIỆU, TÍCH…CỦA CÁ NGHIỆM DƯƠNG HOẶC ÂM NHỎ NHẤT (LỚN 

NHẤT)… 

PHẦN I: B– BÀI TẬP 

Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

x y k 

A. sin x sin y k 

 

x y k 

. 

x y k2 

B. sin x sin y k 

 

x y k2 

. 

x y k2 

C. sin x sin y 

k 

 

x y k2 

. 

x y k 

D. sin x sin y k 

 

x y k 

. 

Câu 2: Phương trình sinx 

sin 


x 

k2 

x 

k 

A. ; k 

B. ; k 

x 

k2 

. 

x 

k 

x 

k 

x 

k2 

C. ; k . D. 

; k 

x 

k 

. 

x 

k2 

Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: 

 

A. sin x 1 x k2 , k . B. sin x 1 x k2 , 

k . 

2 

 

C. sin x 1 x k2 , k . D. sin x 1 x k, 

k . 

2 

Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x 1là: 

 

 

3 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k . D. x k 

. 

2 

2 

2 

Trang 117


Câu 5: Phương trình sin x 0 có nghiệm là: 

 

 

A. x k2 

. B. x k . C. x k2 

. D. x k 

. 

2 

2 

Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai 

 

A. sin x 1 x k2 . 

B. sin x 0 x k. 

2 

C. sin x 0 x k2 . 

D. sin x 1 x k2 . 

2 

2x 

 

Câu 7: Phương trình sin 0 

(với k ) có nghiệm là 

3 3 

2 

k3 

A. x k . B. x . 

3 2 

 

k3 

C. x k 

. D. x . 

3 

2 2 

1 

Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x là: 

2 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k 

. C. x k . D. x k2 

. 

3 

6 

6 

1 

 

Câu 9: Phương trình sin x có nghiệm thỏa mãn x là : 

2 

2 2 

5 

 

 

 

A. x k2 

B. x . C. x k2 

. D. x . 

6 

6 

3 

3 

2 

Câu 10: Nghiệm phương trình sin 2x là: 

2 

 

 

 

x 

k2 

4 

 

x 

k 

4 

A. 

k . B. 

k . 

3 

3 

x k2 

x k 

4 

4 

 

 

 

x 

k 

8 

 

x 

k2 

8 

C. 

k . D. 

k . 

3 

3 

x k 

x k2 

8 

8 

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x 10 

1 

là 

A. x 100 k360 . B. x 80 k180 . 

C. x100 k360 . D. x 100 k180 . 

x 1 

Câu 12: Phương trình sin có tập nghiệm là 

5 2 

11 

11 

 

x 

k10 

6 

 

x k10 

6 

A. 

( k ). B. 

( k ). 

29 

29 

x k10 

x k10 

6 

6 

Trang 118


11 

 

x k10 

6 

C. 

( k ). D. 

29 

x k10 

6 

11 

 

x 

k10 

6 

 

( k ). 

29 

x k10 

6 

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2x 

3 

trong khoảng 0;3 là 

2 

A. 1. B. 2 . C. 6 . D. 4 . 

 

sin x 

1 

Câu 14: Nghiệm phương trình 2 là 

 

 

A. x k2 

. B. x k2 

. 

2 

2 

C. x k . D. x k2 

. 

Câu 15: Phương trình: 1sin 2x 


 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. x k 

. 

2 

4 

4 

2 

 

Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin x 

1 

với x 

5 

là 

4 

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 

 

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4 x –1 0 

là: 

3 

7 

A. x k ; x k 

 

. B. x k2 ; x k2 

. 

8 2 24 2 

2 

C. x k; x k2 

. D. x k2 ; 

x k . 

2 

Câu 18: Phương trình 3 2sin x 0 có nghiệm là: 

 

 

 

2 

A. x k2 

x k2 

. B. x k2 

x k2 

. 

3 3 

3 3 

 

2 

 

4 

C. x k2 

x k2 

. D. x k2 

x k2 

. 

3 3 

3 3 

Câu 19: Nghiệm của phương trình sin3x sin x là: 

 

 

A. x k 

. B. x k; 

x k . 

2 

4 2 

C. x k2 

. D. 

 

x k; k k2 

. 

2 

1 

Câu 20: Phương trình sin 2x có bao nhiêu nghiệm thõa 0 x . 

2 

A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . 

 

Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin x 

1 

với x 

3 

là : 

4 

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . 

 

Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin 4x 

1 0 là: 

3 

A. x k ; x 

k2 

. 

7 

 

B. x k ; x k . 

8 2 24 2 

Trang 119


 

C. x k2 

; x k2 

. D. x 

k2 

; x k . 

2 

2 

x 1 

Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin là 

5 2 

11 

11 

 

x 

k10 

6 

 

x k10 

6 

A. 

k 

B. 

29 

29 

x k10 

x k10 

6 

6 

11 

11 

 

x k10 

6 

 

x 

k10 

6 

C. 

k . D. 

29 

29 

x k10 

 

x k10 

6 

6 

 

Câu 24: Phương trình 2sin 2x 40 3 có số nghiệm thuộc 180 

;180 

A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . 

 

 

Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin 3x 9x 

16x 

80 0 

4 

. 

 

 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

2 

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin x 1 là: 

A. x k2 

. 

 

 

B. x k 

. C. x 

k2 

. D. x k2 

. 

2 

2 

Câu 27: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x m có nghiệm: 

A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. 

Câu 28: Phương trình 2sin xm 0 vô nghiệm khi m là 

A. 2 m 2. B. m 1. C. m 1. D. m 2 hoặc 

m 2 . 

Câu 29: Nghiệm của phương trình cos x 1là: 

A. x k . 

 

 

B. x k2 

. C. x k2 

. D. x k 

. 

2 

2 

Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng 

 

 

A. cos x 1 x k 

. B. cos x 0 x k 

. 

2 

2 

 

 

C. cos x 1 x k2 

. D. cos x 0 x k2 

. 

2 

2 

Câu 31: Phương trình: cos2x 1 có nghiệm là: 

 

 

A. x k2 

. B. x k . C. x k2 

. D. x k 

. 

2 

2 


A. x 

k 

. 

 

3 

B. x k2 

. C. x 

k2 

. D. x k 

. 

2 

2 

1 

Câu 33: Nghiệm phương trình cos x là: 

2 

 

 

k 

k 

là: 

 

 

Trang 120


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

6 

A. 

k . B. 

5 

x k2 

 

x k2 

6 

6 

 

 

 

x 

k2 

3 

 

x 

k2 

3 

C. 

k . D. 

2 

x k2 

 

x k2 

3 

3 

Câu 34: Nghiệm của phương trình 2cos2x 1 0 là: 

 

 

 

k . 

 

k . 

 

2 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

3 3 

6 3 

2 

2 

 

C. x k2 ; x k2 

. D. x k; 

x k 

. 

3 3 

3 3 

 

Câu 35: Phương trình cos2x 

0 


2 

k 

A. x . 

B. x 

k. 

C. x k . D. x k2 

. 

2 2 

 

Câu 36: Nghiệm phương trình cosx 1 

là: 

2 

 

 

A. x k2 

. B. x k2 

. C. x k . D. x k2 

. 

2 

2 

Câu 37: Phương trình lượng giác: 2cos x 2 0 có nghiệm là 

 

 

x 

k2 

4 

A. 

. B. 

3 

x k2 

4 

3 

 

x 

k2 

4 

 

. C. 

3 

x k2 

4 

5 

 

x 

k2 

4 

 

. D. 

5 

x k2 

4 

2 

Câu 38: Nghiệm phương trình: cos 2x là 

2 

 

 

 

x 

k2 

4 

 

x 

k 

4 

A. 

. B. 

. 

 

 

x k2 

x k 

4 

4 

 

 

 

x 

k 

8 

 

x 

k2 

8 

C. 

. D. 

. 

 

 

x k 

x k2 

8 

8 

1 

Câu 39: Nghiệm của phương trình cos x là: 

2 

 

 

2 

A. x k2 

. B. x k2 

. C. x k2 

. D. 

3 

6 

3 

 

 

x 

k2 

4 

 

. 

 

x k2 

4 

 

x k 

. 

6 

Trang 121


Câu 40: Nghiệm của phương trình cos x 

3 

0 là: 

2 

5 

 

 

2 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

6 

3 

6 

3 

Câu 41: Số nghiệm của phương trình: 

 

2 cosx 

1 

với 0x 

2 

là 

3 

A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 . 

Câu 42: Phương trình 2cos x 3 0 có họ nghiệm là 

 

 

A. x k 

k 

. B. x k2 

k 

 

3 

3 

. 

 

 

C. x k2 

k 

. D. x k 

k 

 

6 

6 

. 

Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2cos 2x 3 0 


 

 

 

 

A. x k2 . 

B. x k2 . 

C. x k. 

D. x k2 . 

6 

12 

12 

3 

x 

Câu 44: Giải phương trình lượng giác: 2cos 

2 

3 0 có nghiệm là 

5 

5 

5 

5 

A. x k4 . 

B. x k4 . 

C. x k2 . 

D. x k2 . 

6 

3 

6 

3 

3 

Câu 45: Giải phương trình cos x cos . 2 

A. x 

3 

3 

k2 ; 

k . B. x arccos k2 ; 

k 

2 

2 

. 

 

 

C. x arccos k2 ; 

k . D. x k2 ; 

k 

6 

6 

. 

x 

Câu 46: Nghiệm của phương trình cos cos 

3 

2 (với k ) là 

A. x 2 k . ` B. x3 2 k6 

. 

C. x 2 k4 

. D. x 3 2 k6 

. 

Câu 47: Nghiệm của phương trình cos3x cos x là: 

A. x k2 

. 

 

B. x k2 ; x k2 

. 

2 

C. x k 

 

. D. x k; x k2 

. 

2 

2 

Câu 48: Phương trình 2 2 cos x 6 0 có các nghiệm là: 

5 

 

A. x k2 

k . B. x k2 

k 

6 

6 

. 

5 

 

C. x k2 

k . D. x k2 

k 

3 

3 

. 

 

Câu 49: Phương trình cos 4x 

cos có nghiệm là 

5 

Trang 122


 

 

 

x k2 

5 

 

x k2 

20 

A. 

k 

. B. 

k 

 

 

x k2 

 

x k2 

5 

20 

. 

 

 

 

x 

k 

5 5 

 

x 

k 

20 2 

C. 

k 

. D. 

k 

 

 

x k 

 

x k 

5 5 

20 2 

. 

x 

Câu 50: Giải phương trình lượng giác 2cos 

 

2 

 


5 

5 

 

x 

k2 

3 

 

x 

k2 

6 

A. 

k . B. 

k 

5 

5 

x k2 

x k2 

3 

6 

. 

5 

5 

 

x 

k4 

6 

 

x 

k4 

3 

C. 

k . D. 

k 

5 

5 

x k4 

x k4 

6 

3 

. 

Câu 51: Số nghiệm của phương trình 

 

2 cosx 

1 

với 0x 

2 

là 

3 

A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. 

x 

Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 

0 

thuộc khoảng ,8 là 

2 4 

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. 

 

 

 

; 

Câu 53: Nghiệm của phương trình 2cosx 2 0 trong khoảng 2 2 là 

3 

 

7 

 

A. ; 

12 12 . B. 7 

 

 

12 

. C. 

 

 

12 . D. 

7 

 

; 

12 12 . 

2 

Câu 54: Phương trình 2cos x 1 có nghiệm là 

A. x k 

 

. B. x k 

. C. x k . 

4 

4 

2 

D. vô nghiệm. 

Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos( x ) 1 trên ( ; ) 

3 

2 

 

4 

A. 

B. 

C. 

D. 7 

3 

3 

3 

3 

2 

Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3 3 2 x x ) 1 . 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 57: Giải phương trình cos 2x . 

4 

 

 

A. x k2 , x k; 

k . B. 

6 3 

2 1 

2 

x k, x k; 

k . 

6 3 

Trang 123


 

 

C. x k, x k; 

k . D. x k, x k; 

k . 

6 3 

6 2 

Câu 58: Phương trình cos xm 0 vô nghiệm khi m là: 

m 

1 

A. . B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. 

m 

1 

Câu 59: Cho phương trình: 

. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm: 

A. m 1 3. B. m 1 3. 

C. 1 3 m 1 3 . D. 3 m 3. 

Câu 60: Phương trình mcos x1 0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện 

m 

1 

m 

1 

A. . B. m 1. 

C. m 1. 

D. 

m 

1 

 

m 1 

Câu 61: Phương trình cos xm 1 có nghiệm khi m là 

A. 1 m 1. B. m 0 . C. m 2 . D. 2 m 0. 

 

Câu 62: Cho x k 

là nghiệm của phương trình nào sau đây: 

2 

A. sin x 1. B. sin x 0. C. cos 2x 0. D. cos2x 1. 

Câu 63: Cho phương trình: 3 cos x m1 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm 

A. m 1 3. B. m 1 3. 

C. 1 3 m 1 3 . D. 3 m 3. 

 

Câu 64: Cho phương trình cos2x m 

2 . Tìm m để phương trình có nghiệm? 

3 

m 1;3 . 

A. Không tồn tại m. B. 

C. m 3; 1 . 

D. mọi giá trị của m. 

2 x 

Câu 65: Để phương trình cos m 

có nghiệm, ta chọn 

2 4 

A. m 1. B. 0m 

1. C. 1 m 1. D. m 0 . 

2 

Câu 66: Cho biết x k2 

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 

3 

A. 2cos x 1 0. B. 2cos x 1 0. C. 2sin x 1 0. D. 2sin x 3 0. 

 



3 


Câu 68: Nghiệm của phương trình sin3x cos x là: 

 

 

A. x k ; x k 

. B. x k2 ; x k2 

. 

8 2 4 

2 

 

C. x k; 

x k 

. D. x k 

; x k . 

4 

2 


 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k . D. x k 

. 

4 

6 

4 

Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4xcos5x 0 theo thứ tự là: 

Trang 124


 

2 

A. x ; x . B. x ; x . 

18 2 

18 9 

 

 

C. x ; x . D. x ; x . 

18 6 

18 3 

 

 

Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 x ) cos(2 x ) trên [0; ] 

3 3 

A. 7 

4 

B. 

C. 47 

D. 47 

18 

18 

8 

18 

x 

Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 

15 sin 

x . Khi đó 

2 

 

A. 290 X . B. 250 X . C. 220 X . D. 240 X . 

Câu 73: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình cos2xsin x 0 có tập nghiệm là 

5 

A. 

; 

; 

6 2 6 . B. 7 11 

; ; ; 

 

 

 

6 2 6 6 . C. 5 7 

; ; 

 

 

6 6 6 . D. 7 11 

; ; 

 

 

2 6 6 . 

Câu 74: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 

; là 

trong đoạn 

A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. 

Câu 75: Nghiệm của phương trình sin x.cos x 0 là: 

 

A. x k2 

. B. x k 

 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

2 

2 

6 

Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình sin 2xcos x 0 là 

2 

 

2 

A. k ; k 2 ; k . B. k ; k 2 ; k . 

6 3 2 

6 3 2 

2 

2 

C. k ; k 2 ; k . D. k ; k 2 ; k . 

6 3 2 

6 3 2 

Câu 77: Nghiệm phương trình: 1tan x 0 là 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

4 

4 

4 

4 

 

Câu 78: Họ nghiệm của phương trình tan x 

3 0 là 

5 

A. 8 

8 

8 

k; 

k . B. k; 

k . C. k2 ; 

k . D. 8 

k2 ; 

k . 

15 

15 

15 

15 

x 

Câu 79: Phương trình tan x tan có họ nghiệm là 

2 

A. x k2 

k 

. B. x k 

k 

. 

C. x k2 

k 

. D. x k2 

k 

 

. 

Câu 80: Nghiệm của phương trình 3 3tan x 0 là: 

 

 

 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k 

. D. 

3 

2 

6 

Câu 81: Phương trình 3 tan x 0 có nghiệm là 

 

 

A. x k. 

B. x k. 

3 

3 

 

x k 

. 

2 

Trang 125


2 

4 

C. x k2 ; x k2 . 

D. x k2 ; x k2 . 

3 3 

3 3 

Câu 82: Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 có nghiệm là 

 

 

 

 

A. x k. 

B. x k2 . 

C. x k. 

D. x k. 

3 

3 

6 

3 

x 

Câu 83: Phương trình tan tan x có nghiệm là 

2 

A. x k2 , k . B. x k 

, k . 

C. x k2 , 

k . D. Cả A, B, 

C đều đúng. 

Câu 84: Nghiệm của phương trình 3 tan3x 3 0 (với k ) là 

k 

k 

k 

k 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

9 9 

3 3 

3 9 

9 3 

Câu 85: Nghiệm của phương trình tan x 4 là 

A. xarctan 4 k . B. xarctan 4 k2 

. 

C. x4 k . 

 

D. x k 

. 

4 

Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2xtan x 0 là: 

A. 

 

 

k 

, k . k 

, k . C. k 

, k 6 

3 

6 

. D. k , k 

. 


 

 

 

 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k 

. D. x k 

. 

3 

3 

6 

3 


3 

 

3 tan 3 0 

 

5 

 

 

A. x k ; k . B. x k ; k 

8 4 

5 4 

. 

 

 

C. x k ; k . D. x k ; k 

5 2 

5 3 

. 

x trong nửa khoảng 

Câu 89: Nghiệm của phương trình 3tan 3 0 

0;2 là 

4 

 

2 

 

A. ; 

3 3 . B. 

 

 

32 . C. 

3 

 

; 

2 2 . D. 

 

 

23 . 

tan 2x 12 0 có nghiệm là 


A. x 6 k90 , k 

. 

B. x 6 k180 , k 

. 

C. x 6 k360 , k 

. 

D. x k k 

 

Câu 91: Nghiệm của phương trình 

0 

tan(2x 15 ) 1 

12 90 , . 

0 0 

, với 90 x 90 là 

0 

0 

A. x 30 

B. x 60 

0 

0 

0 

C. x 30 

D. x 60 , x 30 

3 

 

 

Câu 92: Số nghiệm của phương trình tan x tan trên khoảng ;2 

 

11 

4 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 

2 

Câu 93: Giải phương trình: tan x 3 có nghiệm là 

Trang 126


 

 

 

A. x k. 

B. x k. 

C. vô nghiệm. D. x k. 

3 

3 

3 

Câu 94: Nghiệm phương trình 1cot x 0 là: 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

4 

4 

4 

4 

Câu 95: Nghiệm của phương trình cot x 3 0 là: 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. x k 

. 

3 

6 

3 

6 

Câu 96: Phương trình lượng giác: 3cot x 3 0 có nghiệm là 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 

. 

6 

3 

3 



 

 

x 

k2 

6 

3 

 

 

A. 

B. x arc cot k. 

C. x k 

. D. x k 

. 

 

2 

6 

3 

x k2 . 

6 

 

Câu 98: Nghiệm của phương trình cot x 

 

4 

3 là 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k 

. D. x k 

. 

12 

3 

12 

6 


 

3 cot(5 x ) 0 

. 

8 

 

 

 

 

A. x k; 

k . B. x k ; k . C. x k ; k . D. x k ; k 

8 

8 5 

8 4 

8 2 

. 

x 0 

Câu 100: Nghiệm của phương trình cot( 10 ) 

4 


0 0 

A. x 200 k360 

. 

0 0 

B. x 200 k720 

. 

0 0 

0 0 

C. x 20 k360 

. D. x 160 k720 

. 

Câu 101: Giải phương trình tan cot 

 

A. x k ; k . B. x k; 

k 

4 2 

4 

. 

 

 

C. x k; 

k . D. x k ; k 

4 

4 4 

. 

Câu 102: Phương trình tan x.cot x 1có tập nghiệm là 

k 

 

 

 

A. T \ ; k 

. 

B. T \ k; k . 

2 

2 

 

T \ k; k . 

D. T . 

C. 

Câu 103: Giải phương trình tan3xtan x 1 . 

 

 

 

 

A. x k ; k . B. x k ; k . C. x k ; k . D. x k ; k . 

8 8 

4 4 

8 4 

8 2 

Câu 104: Nghiệm của phương trình tan3 x.cot 2x 1 là 

Trang 127


 

 

A. k , k . 

B. k , k 

2 

4 2 

. 

C. k , k . 


Câu 105: Nghiệm của phương trình tan 4 x.cot 2x 1 là 

A. k , k . 

 

B. k 

, k 

4 2 

. 

 

C. k , k 2 

. 



A. tan x 3 . B. cot x 1. C. cos x 0 . D. 

 

Câu 107: Phương trình: tan x 2 tan 2x 1 


2 2 

 

 

A. x k2 

k 

 

B. x k 

k 

 

4 

4 

 

 

C. x k k 

 

x k 

k 

4 2 

4 

D. 

sin 

4 

x . 

3 

Trang 128


PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

Câu 1: Phương trình x x 

sin 1 sin 2 0 có nghiệm là: 

 

 

 

A. x k2 

k 

. B. x k2 

, x k 

k 

. 

2 

4 

8 

 

 

C. x k2 

. D. x k2 

. 

2 

2 

Câu 2: Phương trình sin2 x. 2sin x 2 


 

 

 

 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

2 

x 

k 

 

x 

k 

2 

 

 

 

 

 

A. x k2 . B. 

x k 

. C. 

x k2 . D. 

x k2 . 

4 

4 

4 

4 

 

 

3 

 

3 

3 

 

x k2 

x k 

x 

k2 

 

 

x k2 

4 

4 

4 

4 

Câu 3: Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x 1 là: 

A. x k2 

. 

 

B. x k 

. C. x k . 

4 

2 

D. x k . 

Câu 4: Giải phương trình 4sin xcos xcos2x 1 

0 

 

 

A. x k2 ; 

k . B. x k; 

k 

8 

8 

. 

 

 

C. x k ; k . D. x k ; k 

8 4 

8 2 

. 

Câu 5: Giải phương trình cos x(2cos x 3) 0 

. 

5 

5 

A. x k, x k; 

k . B. x k, x k2 ; 

k 

2 6 

2 6 

. 

5 

2 

C. x k, x k2 ; 

k . D. x k, x k2 ; 

k 

2 6 

2 3 

4 4 

Câu 6: Nghiệm của phương trình sin xcos x 0 là 

 

 

3 

 

A. x k. 

B. x k . 

C. x k2 . 

D. x k2 . 

4 

4 2 

4 

4 

2 2 

Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình sin x cos x1 0 . 

A. cos2x 1. B. cos2x 1. 2 

C. 2cos x 1 0 . 

2 

D. (sin xcos x) 1. 

2 

Câu 8: Phương trình 34cos x 0 tương đương với phương trình nào sau đây? 

1 

1 

1 

1 

A. cos 2x . B. cos 2x . C. sin 2x . D. sin 2x . 

2 

2 

2 

2 

Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x. 2cos x 3 

0 là : 

A. 

x 

k 

 

 

 

x k2 

6 

x 

k 

k B. 

k . 

x k 

6 

. 

Trang 129


x 

k2 

C. 

 

k . D. x k2 

x k2 

6 

3 

 

k . 

Câu 10: Phương trình (sin x1)(2cos2 x 2) 0 có nghiệm là 

 

 

A. x k2 , k . B. x k 

, k . 

2 

8 

 

C. x k 

, k . D. Cả A, B, 


8 

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2 x 0 là: 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

2 

8 

4 

Câu 12: Cho phương trình cos x.cos7 

x cos3 x.cos5x 

1 

 

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 1 

 

A. sin5x 0 . B. cos4x 0. C. sin 4x 0 . D. cos3x 0 . 

sin 3x 

Câu 13: Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn [2 ;4 ] là 

cos x 1 

A. 2 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . 

sin 2x 

1 

Câu 14: Tất cả các nghiệm của phương trình 

0 là 

2.cos x 1 

 

3 

 

x k2 , k 

A. x k2 , k 

4 

. B. 

. 

4 

3 

x k2 , k 

4 

 

 

 

C. x k 

, k . D. x k2 , k . 

4 

4 

6 6 4 4 2 

4 sin x cos x 2 sin x cos x 8 4cos 2x 


k 

k 

A. x , k . B. x , k 

3 2 

24 2 

. 

k 

k 

C. x , k . D. x , k 

12 2 

6 2 

. 

Câu 16: ìm số nghiệm x 0;14 

nghiệm đúng phương trình : cos3 4cos2 3cos 4 0 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

sin x.cos x 1 tan x 1 cot x 1. 


k 

A. Vô nghiệm. B. x k2 

, k . C. x , k . D. x k , k . 

2 

 

69 

 

Câu 18: Số nghiệm thuộc 

; 


2sin 3 x. 14sin x 

1 là: 

A. 40 . B. 32. C. 41. D. 46 . 

2 

 

Câu 19: Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình: 

3 3 

A. cot x 3. 

B. cot 3x 3. 

C. tan x 3. 

D. tan3x 3. 

Trang 130


4 4 

Câu 20: Giải phương trình : sin xcos x 

1 

 

 

A. x k , k . B. x k 

, k . 

4 2 

4 

 

C. x k2 

, k . D. x k , k . 

4 

2 

Câu 21: Giải phương trình sin x.cos x.cos2x 

0 

 

 

 

A. k . B. k . C. k . D. k . 

2 

4 

8 

1 

Câu 22: Nghiệm của phương trình cos x cos5x cos6x (với k ) là 

2 

 

A. x k . B. x k . C. k 

 

x . D. x k . 

8 

2 

4 

8 4 

Câu 23: Phương trình sin xcos 


16 

 

 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

3 2 

4 2 

5 2 

6 2 

4 x 4 x 

Câu 24: Phương trình sin 2x cos sin 

có các nghiệm là; 

2 2 

2 

 

 

 

 

x k 

6 3 

 

x k 

4 2 

 

x k 

3 

 

x k 

12 2 

A. 

. B. 

 

. C. 

 

x 2 

2 

 

 

k 

 

. D. 

x 

2 

 

 

k 

 

. 

x 3 2 

2 

 

3 

k 

x 

4 

k 

 

Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng 0; 

2 của phương trình 3 3 3 

sin x.cos3x cos x.sin3x là: 

8 

5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 

6 6 

8 8 

12 12 

24 24 

4 x 4 x 5 

Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: sin cos 

là: 

2 2 8 

5 9 A. ; ; ; 

2 4 5 

. B. ; ; ; 

3 3 5 7 . C. ; ; . D. ; ; ; . 

6 6 6 

3 3 3 3 

4 2 2 

8 8 8 8 

 

2 

Câu 27: Phương trình 2sin 3 1 

8sin 2 .cos 2 

 

x 4 

x x có nghiệm là: 

 

 

x k 

 

 

6 

 

x k 

12 

 

x k 

 

18 

 

x k 

24 

A. 

. B. 

 

. C. 

. D. 

5 

x 

6 

 

5 

k 

x 

12 

 

5 

k 

 

. 

x 

18 

 

5 

k 

x 

24 

k 

sin3x 

cos3x 

2 

Câu 28: Phương trình có nghiệm là: 

cos2x sin 2x sin3x 

 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

8 4 

6 3 

3 2 

4 

3 3 3 3 

Câu 29: Phương trình sin x cos x sin x.cot x cos x.tan x 2sin2x có nghiệm là: 

 

 

 

3 

A. x k . B. x k . C. x k 2 

. D. x k 2 

. 

8 

4 

4 

4 

6 6 7 

Trang 131


4 4 

sin x 

cos x 1 tan cot 


sin2x 

2 

 

 

 

A. x k . B. x k 2 

. C. x k . D. Vô nghiệm. 

2 

3 

4 2 

Câu 31: Cho phương trình cos2 x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos 

x và các họ số thực:. 

 

 

I. x k 

, k . II. x k2 

, k . 

4 

2 

2 

4 

III. x k , k . IV. x k , k . 

14 7 

7 7 

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là 

A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV. 

Câu 30: Phương trình x 

x 

Câu 32: Cho phương trình cos 2 x 30 0 sin 2 x 30 0 sin x 

60 

0 

 

I. 

III. 

x 

0 0 

30 k120 

, k . II. 

x 

0 0 

30 k360 

, k . IV. 

x 

và các tập hợp số thực: 

0 0 

60 k120 

, k . 

x 

0 0 

60 k360 

, k . 

Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình 

A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I, III. D. I, IV. 

4 4 

x x 

Câu 33: Phương trình sin x sin x 

4sin cos cos x có nghiệm là 

2 2 2 

3 

3 

 

A. x k 

, k . B. x k , k 

4 

8 2 

. 

3 

3 

 

C. x k 

, k . D. x k , k 

12 

16 2 

. 



16 

 

 

A. x k , k . B. x k , k 

3 2 

4 2 

. 

 

 

C. x k , k . D. x k , k 

5 2 

6 2 

. 

Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1 . 


, k . 

k 

C. x , k 

2 

. D. x k , k . 

Câu 36: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình sin 2xsin x 0 có số nghiệm là: 

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. 

6 6 

sin x 

cos x 

Câu 37: Để phương trình 

m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: 

 

tan x 

tan x 

 

4 4 

1 

A. 1 m . B. 2 m 1. C. 1m 

2. 

D. 1 m 

1. 

4 

4 

2 

Câu 38: Để phương trình: 4sin .cos 

3 6 

3sin 2 cos2 thỏa điều kiện: 

A. 1 

a 1. B. 2 

a 2. 1 1 

C. a . 

2 2 

D. 3 

a 3. 

6 6 7 

Trang 132



a 

A. 

a 

1 

. 

3 

2 2 2 

a sin x a 

2 

 

x 

a 2 

B. . 

a 3 

2 

1 

tan x cos2 

có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 

a 

C. 

a 

3 

. 

3 

D. 

a 

 

a 

4 

. 

3 

Trang 133



Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

x y k 

A. sin x sin y k 

. 

x y k 

x y k2 

B. sin x sin y k 

. 

x y k2 

x y k2 

C. sin x sin y 

k 

. 

x y k2 

x y k 

D. sin x sin y k 

. 

x y k 


Chọn B. 

x y k2 

Áp dụng công thức nghiệm sin x sin y 

x y k2 

Câu 2: Phương trình sinx 

sin 


k 

 

x 

k2 

x 

k 

A. ; k 

B. ; k 

x 

k2 

 

x 

k 

. 

x 

k 

x 

k2 

C. ; k . D. 

; k 

x 

k 

 

x 

k2 

. 


Chọn A 

x 

k2 

sinx 

sin 

k 

x 

k2 

. 

Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: 

 

A. sin x 1 x k2 , k 

2 

. B. sin x 1 x k2 , 

k . 

C. sin x 1 x k2 , k . 

 

D. sin x 1 x k, 

k 

2 

. 


Chọn A. 

Đáp án đúng là A, các đáp án còn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm. 

Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x 1là: 

 

 

3 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k . D. x k 

. 

2 

2 

2 


Chọn A 

 

sin x 1 x k2 , k 

2 

. 

Trang 134


Câu 5: Phương trình sin x 0 có nghiệm là: 

 

A. x k2 

. 

2 

B. x k . C. x k2 

. D. 


Chọn B. 

Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai 

 

A. sin x 1 x k2 . 

2 

B. sin x 0 x k. 

C. sin x 0 x k2 . 

D. sin x 1 x k2 . 

2 


Chọn C. 

sin x 0 x k 

, k 

. 

 

x k 

. 

2 

2x 

 

Câu 7: Phương trình sin 0 


3 3 

2 

k3 

A. x k . B. x . 

3 2 

 

k3 

C. x k 

. D. x . 

3 

2 2 


Chọn D 

2x 2x 2x 3 

sin 

k 

0 k 

k 

x 

( k ) 

3 3 3 3 3 3 2 2 

1 

Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x là: 

2 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k 

. C. x k . D. x k2 

. 

3 

6 

6 


Chọn D 

 

 

x k2 

x k2 

1 

 

6 

 

6 

sin x sin x sin 

 

k 

. 

2 6 

5 

x k2 x k2 

 

6 

6 

1 

 

Câu 9: Phương trình sin x có nghiệm thỏa mãn x là : 

2 

2 2 

5 

 

 

 

A. x k2 

B. x . C. x k2 

. D. x . 

6 

6 

3 

3 


Chọn B. 

1 

 

 

Ta có sin x sin x sin 

2 

6 

Trang 135


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

6 

 

 

 

k . 

 

x k2 

6 

5 

x k2 

6 

 

1 1 

Trường hợp 1: x k 

. Do x nên k2 

k . 

6 

2 2 2 6 2 3 6 

 

Vì k nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x . 

6 

5 

 

Trường hợp 2: x k2 

. Do x nên 

5 k2 

2 1 

k . 

6 

2 2 2 6 2 3 6 

Vì k nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn. 

 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x . 

6 

2 

sin 2x 

Câu 10: Nghiệm phương trình 2 là: 

 

 

 

x 

k2 

4 

 

x 

k 

4 

A. 

k . B. 

k . 

3 

3 

x k2 

x k 

4 

4 

 

 

 

x 

k 

8 

 

x 

k2 

8 

C. 

k . D. 

k . 

3 

3 

x k 

x k2 

8 

8 


Chọn C. 

 

 

2x 

k2 

2 

 

 

Ta có sin 2x sin 2x 

sin 

2 

4 

 

4 

 

x 

k 

8 

 

 

 

k . 

 

2x 

k2 

4 

3 

x k 

8 

x là 

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin 10 1 

A. x 100 k360 

. B. x 80 k180 . 

C. x100 k360 . D. x 100 k180 . 


Chọn A. 

sin x10 1 sin x10 sin 90 


x 10 90 k360 x 100 k360 , 

k . 

x 1 

Câu 12: Phương trình sin có tập nghiệm là 

5 2 

11 

 

x 

k10 

6 

A. 

( k ). B. 

29 

x k10 

6 

11 

 

x k10 

6 

 

( k ). 

29 

x k10 

6 

Trang 136


11 

11 

 

x k10 

6 

 

x 

k10 

6 

C. 

( k ). D. 

( k ). 

29 

29 

x k10 

x k10 

6 

6 


Chọn B. 

x 

11 

k2 

x k10 

x 

1 5 6 6 

sin 

 

( k ). 

5 2 x 

7 29 

k2 

x k10 

 

5 6 

6 

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2x 

3 

trong khoảng 0;3 là 

2 

A. 1. B. 2 . C. 6 . D. 4 . 


Chọn C. 

Ta có: sin 2 x 

 

 

2 2 

3 

x k 

x k 

3 

 

6 

 

, k , k 

2 2 

 

2x k2 

x k 

 

3 

3 

. 

Cách 1: Dựa vào đường tròn lượng giác ta có số nghiệm của phương trình là 6. 

Cách 2: Giải lần lượt: 

 

1 17 

0 k 

3 

k k 0,1,2 . 

6 6 6 

 

1 8 

0 k 

3 

k k 0,1,2 . 

3 3 3 

Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc 0;3 nên PT có 6 nghiệm thuộc 0;3 . 

 

sin x 

1 

Câu 14: Nghiệm phương trình 2 là 

 

 

A. x k2 

. B. x k2 

. 

2 

2 

C. x k . D. x k2 

. 


Chọn D. 

 

Từ sin x 

1 

x k2 

x k2 

. 

2 2 2 

Câu 15: Phương trình: 1sin 2x 


 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. x k 

. 

2 

4 

4 

2 


Chọn B. 

 

 

Từ 1sin 2x 

0 

2x k2 

x k 

. 

2 

4 

 

Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin x 

1 

với x 

5 

là 

4 

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 

Trang 137



Chọn D. 

 

sin x 1 x k2 

x k2 

k 

. 

4 4 2 4 

 

Mà x 5 k2 5 

3 k 19 k 0;1;2 

. 

4 4 8 

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong ;5 . 

 

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4 x –1 0 

là: 

3 

7 

A. x k ; x k 

 

 

. B. x k2 ; x k2 

. 

8 2 24 2 

2 

C. x k; x k2 

. D. x k2 ; 

x k . 

2 


Chọn A. 

 

4x k2 

x k 

 

1 3 6 8 2 

2sin 4 x –1 0 

sin 4x 

 

k 

3 

3 2 7 

4x k2 

x k 

 

3 6 24 2 

Câu 18: Phương trình 3 2sin x 0 có nghiệm là: 

 

 

 

2 

A. x k2 

x k2 

. B. x k2 

x k2 

. 

3 3 

3 3 

 

2 

 

4 

C. x k2 

x k2 

. D. x k2 

x k2 

. 

3 3 

3 3 


Chọn D. 

3 2sin x 0 sin x 

 

3 

 

x k2 

sin x sin 

3 

 

k 

 

2 3 

4 

x k2 

3 

. 

Câu 19: Nghiệm của phương trình sin3x sin x là: 

 

 

A. x k 

. B. x k; 

x k . 

2 

4 2 

C. x k2 

. D. 

 

x k; k k2 

. 

2 


Chọn D. 

x 

k 

3x x k2 

x k 

sin 3x sin x 

k 

x x k2 

2x k2 x k 

2 

. 

1 

Câu 20: Phương trình sin 2x có bao nhiêu nghiệm thõa 0 x . 

2 

A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . 


 

Trang 138


Chọn B. 

1 

 

Ta có sin 2x sin 2x 

sin 

 

2 

6 

 

 

2x k2 

6 

 

 

2x 

k2 

 

6 

 

 

x k 

12 

 

k 

7 

x k 

12 

. 

 

 


. Do 0 x nên 0 

12 

12 k 1 13 

k . 

12 12 

Vì k 

11 

nên ta chọn được k 1thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x . 

12 

7 

7 

7 5 


. Do 0 x nên 0 k 

k . 

12 

12 

12 12 

Vì k 

7 

nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x . 

12 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. 

 

Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin x 

1 

với x 

3 

là : 

4 

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . 


Chọn A. 

 

Ta có sin x 

1 

x k2 

4 4 2 

 

x k2 

k 

4 

. 

 

3 11 

Do x 

3 

nên k2 3 

k . 

4 

8 8 

Vì k 

9 

nên ta chọn được k 1 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x . 

4 

9 

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x . 

4 

 

Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin 4x 

1 0 là: 

3 

A. x k ; x 

k2 

. 

7 

 

B. x k ; x k . 

8 2 24 2 

 

C. x k2 

; x k2 

. D. x 

k2 

; x k . 

2 

2 


Chọn B. 

Trang 139


1 

Ta có: 2sin 4x 1 0 sin 4x sin 

3 3 2 6 

 

 

4x k2 

4 2 

3 6 

x k x k 

2 

 

8 2 

 

. 

5 7 

7 

4x k2 

4x 

k2 

x k 

 

3 6 

6 

24 2 

x 1 

Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin là 

5 2 

11 

11 

 

x 

k10 

6 

 

x k10 

6 

A. 

k 

B. 

29 

29 

x k10 

x k10 

6 

6 

k 

11 

11 

 

x k10 

6 

 

x 

k10 

6 

C. 

k . D. 

29 

29 

x k10 

 

x k10 

6 

6 

k 


Chọn B. 


x 

11 

x 1 x 

k2 

5 6 

x 

k10 

6 

sin sin sin 

 

5 2 5 6 x 

7 

29 

k2 

x k10 

5 6 6 

 

Câu 24: Phương trình 2sin 2x 40 3 có số nghiệm thuộc 180 

;180 

A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . 


Chọn B. 

3 

2 

 

2x100 k360 

 

 

2x160 k360 

 

 

 

0 

Ta có 2sin 2x 

40 3 sin 2x 

40 sin 2x 

40 sin 60 

 

2x 40 60 k360 

 

 

2x 40 120 k360 

 

Với k 0 thì x50 , x 

80 

 

 

Với k 1 thì x 130 , x 100 . 

Vậy có 4 nghiệm thuộc 180 

;180 là 4 

 

 

 

 

x50 k180 

 

x80 k180 

 

Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau x x 

2 x 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


Chọn B. 

2 

Điều kiện: 9x 16x 80 0 x 4 . 

 

 

là: 

 

k 

 

sin 3 9 16 80 0 

4 

. 

 

 

 

Trang 140


 

2 


3x 9x 16x 80 k, 

k 

4 

2 

2 

3x 9x 16x 80 4k 

9x 16x 80 3x 4k 

4k 

4k 

x 

x 

 

 

3 

 

3 

 

2 2 

9x 16x 80 (3x 4 k) 

x 

 

 

3k 

2 

2 

2k 

10 4k 

 

 

3k 

2 3 

2 

2k 

10 

Yêu cầu bài toán x 

4 . 

3k 

2 

2 

2k 

10 

 

3k 

2 

2 

2k 

10 

2 2 

2k 10 4k 6k 8k 

30 

 

0 

 

2 


3k2 3 3k2 

 

k 3 

2 

 

 

2 

2k 10 2k 12k 

18 3 

x 4 

0 

 

3k2 

3k2 

Vì k k 1,2,3 . 

2 

2k 

10 

* k 1 12 

3k 

2 

2 

2k 

10 9 

* k 2 

3k 

2 2 

2 

2k 

10 

* k 3 4 

3k 

2 

Kết hợp điều kiện, ta có x4, x 12 là những giá trị cần tìm. 

2 

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin x 1 là: 

A. x k2 

. 

 

 

B. x k 

. C. x 

k2 

. D. x k2 

. 

2 

2 


Chọn B. 

2 1 

cos 2x 

 

Ta có: sin x 1 1 cos 2x 1 2x k2 x k 

. 

2 2 

Câu 27: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x m có nghiệm: 

A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. 


Chọn C. 

Với mọi x , ta luôn có 1 

sin x 1 

Do đó, phương trình sin x m có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 1. 

Câu 28: Phương trình 2sin xm 0 vô nghiệm khi m là 

A. 2 m 2. B. m 1. C. m 1. D. m 2 hoặc 

m 2 . 

Hướng dẫn giải: . 

Chọn D. 

. 

Trang 141


m 

Ta có 2sin x m 0 sin x * 

. 

2 

Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi 

m 

2 

m 

2 

1 

. 

m 

2 


 

 

A. x k . B. x k2 

. C. x k2 

. D. x k 

. 

2 

2 


Chọn C 

cos x 1 x k2 , k . 

Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng 

 

 

A. cos x 1 x k 

. B. cos x 0 x k 

. 

2 

2 

 

 

C. cos x 1 x k2 

. D. cos x 0 x k2 

. 

2 

2 


Chọn B. 

 

cos x 1 x k2 ,k 

nên A sai. 

2 

 

cos x 0 x k,k 

nên B đúng. 

2 

cos x 1 x 

k2 ,k 

nên C sai. 

 

cos x 0 x k,k 

nên D sai. 

2 

Câu 31: Phương trình: cos2x 1 có nghiệm là: 

 

 

A. x k2 

. B. x k . C. x k2 

. D. x k 

. 

2 

2 


Chọn B. 

Từ cos2x 1 

2x k2 

x 

k 


 

3 

A. x 

k 

. B. x k2 

. C. x 

k2 

. D. x k 

. 

2 

2 


Chọn C 

cos x 1 x k2 , 

k . 

1 

cos x 


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

6 

A. 

k . B. 

k . 

5 

 

x k2 

x k2 

6 

6 

Trang 142


 

 

 

x 

k2 

3 

 

x 

k2 

3 

C. 

k . D. 

2 

x k2 

 

x k2 

3 

3 


Chọn D. 

 

1 

 

x 

k2 

Ta có cos x cos x cos 

3 

 

k . 

2 

3 

x k2 

3 

Câu 34: Nghiệm của phương trình 2cos2x 1 0 là: 

 

 

k . 

 

2 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

3 3 

6 3 

2 

2 

 

C. x k2 ; x k2 

. D. x k; 

x k 

. 

3 3 

3 3 


Chọn D. 

1 2 2 

Ta có: 2cos 2x 1 0 cos 2x cos 2x cos 2x k2 

x k 

. 

2 3 3 3 

 

Câu 35: Phương trình cos2x 

0 


2 

k 

A. x . 

2 2 

B. x 

k. 

C. x k . D. x k2 

. 


Chọn A. 

 

cos2x 0 2 x k 

x k , k 

 

2 

2 2 2 2 

. 

 

cosx 

1 


 

 

A. x k2 

. B. x k2 

. 

2 

2 

C. x k . D. x k2 

. 


Chọn B. 

 

 

Ta có cosx 

1 

x k2 

x k2 

k 

2 2 

2 

. 

Câu 37: Phương trình lượng giác: 2cos x 2 0 có nghiệm là 

 

 

x 

k2 

4 

A. 

. B. 

3 

x k2 

4 


Chọn B. 

3 

 

x 

k2 

4 

 

. C. 

3 

x k2 

4 

5 

 

x 

k2 

4 

 

. D. 

5 

x k2 

4 

 

 

x 

k2 

4 

 

. 

 

x k2 

4 

Trang 143


3 

x k2 

2 3 

 

 

4 

2cos x 2 0 cos x cos x cos 

, k 

 

2 4 3 

x k2 

4 

2 

cos 2x 

Câu 38: Nghiệm phương trình: 2 là 

 

 

 

x 

k2 

4 

 

x 

k 

4 

A. 

. B. 

. 

 

 

x k2 

x k 

4 

4 

 

 

 

x 

k 

8 

 

x 

k2 

8 

C. 

. D. 

. 

 

 

x k 

x k2 

8 

8 


Chọn C. 

Từ cos 2x 

 

 

2 

x 

k 

8 

cos 

 

. 

2 4 

x k 

8 

1 

Câu 39: Nghiệm của phương trình cos x là: 

2 

 

 

2 

 

A. x k2 

. B. x k2 

. C. x k2 

. D. x k 

. 

3 

6 

3 

6 


Chọn C 

1 2 

2 

cos x cos x cos x k2 , k 

2 3 3 

. 

Câu 40: Nghiệm của phương trình cos x 

3 

0 là: 

2 

5 

 

 

2 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

6 

3 

6 

3 


Chọn D. 

cos x 

2 

x 

k2 

3 3 2 

3 

0 cos x cos 

 

k 

 

2 2 3 2 

x k2 

3 

 

Câu 41: Số nghiệm của phương trình: 

 

2 cosx 

1 

với 0x 

2 

là 

3 

A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 . 


Chọn B. 

 

. 

Trang 144


 

x k2 

x k2 

1 

1 3 4 12 

2 cos x 1 cos x 

 

, k 

. 

3 3 2 7 

x k2 

x k2 

2 

 

3 4 12 

 

1 25 

0x 

2 

nên từ 1 ta được 0 k2 

2 

k , chọn k 1. 

12 24 24 

7 

7 31 

Tương tự từ 2 ta được 0 k2 

2 

k , chọn k 1. 

12 24 24 

2 không trùng nhau nên phương trình đã cho có hai nghiệm. 

Do các nghiệm của họ 1 và họ 

Câu 42: Phương trình 2cos x 3 0 có họ nghiệm là 

 

 

A. x k 

k 

. B. x k2 

k 

 

3 

3 

. 

 

 

C. x k2 

k 

. D. x k 

k 

 

6 

6 

. 


Chọn C. 

Ta có 2cos x 3 0 

cos x 3 

2 

 

x x k2 

k 

6 6 

 

Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2cos 2x 3 0 


 

 

 

 

A. x k2 . 

B. x k2 . 

C. x k. 

D. x k2 . 

6 

12 

12 

3 


Chọn C. 

2cos 2x 3 0 

cos 2x 3 

 

 

cos 2x cos 2x k2 x k, k 

 

2 6 6 12 

. 

x 

Câu 44: Giải phương trình lượng giác: 2cos 

2 

3 0 có nghiệm là 

5 

5 

5 

5 

A. x k4 . 

B. x k4 . 

C. x k2 . 

D. x k2 . 

6 

3 

6 

3 


Chọn B. 

x x 3 x 5 

x 5 

5 

2cos 3 0 cos cos cos k2 

x k4 , k 

 

2 

2 2 2 6 2 6 3 

. 

3 

cos x cos 


2 . 

3 

3 

A. x k2 ; 

k . B. x arccos k2 ; 

k . 

2 

2 

 

 

C. x arccos k2 ; 

k . D. x k2 ; 

k . 

6 

6 


Chọn A. 

Trang 145


3 

2 

3 

x 

k 

 

2 

Ta có cos x cos 

; k 

. 

2 3 

x k2 

2 

x 

Câu 46: Nghiệm của phương trình cos cos 2 (với k ) là 

3 

A. x 2 k . ` B. x3 2 k6 

. 

C. x 2 k4 

. D. x 3 2 k6 

. 


Chọn D 

x 

2 k2 

x 

 

 

3 

x3 2 k6 

cos cos 2 

 

k 

3 x 

2 

k2 

x 3 2 k6 

3 

 

Câu 47: Nghiệm của phương trình cos3x cos x là: 

A. x k2 

. 

 

B. x k2 ; x k2 

. 

2 

C. x k 

 

. D. x k; x k2 

. 

2 

2 


Chọn C. 

x 

k 

3x x k2 2x k2 

cos3x cos x 

x k k 

3x x k2 

 

4x k2 

x 

k 2 

2 

. 

Câu 48: Phương trình 2 2 cos x 6 0 có các nghiệm là: 

5 

 

A. x k2 

k . B. x k2 

k 

6 

6 

. 

5 

 

C. x k2 

k . D. x k2 

k 

3 

3 

. 


Chọn A. 

2 2 cos x 6 0 cos x 

3 

5 

cos x cos 

x k2 

k 

 

2 

6 6 

 

 

Câu 49: Phương trình cos 4x 

cos có nghiệm là 

5 

 

 

 

x k2 

5 

 

x k2 

20 

A. 

k 

. B. 

k 

 

 

x k2 

 

x k2 

5 

20 

. 

 

 

 

x 

k 

5 5 

 

x 

k 

20 2 

C. 

k 

. D. 

k 

 

 

x k 

 

x k 

5 5 

20 2 

. 

Trang 146



Chọn D. 

 

 

 

4x 

k2 

cos 4x 

cos 

5 

 

x 

k 

20 2 

k 

 

5 

 

4x k2 

x k 

5 20 2 

x 

Câu 50: Giải phương trình lượng giác 2cos 


2 

 

5 

5 

 

x 

k2 

3 

 

x 

k2 

6 

A. 

k . B. 

5 

5 

x k2 

 

x k2 

3 

6 

5 

5 

 

x 

k4 

6 

 

x 

k4 

3 

C. 

k . D. 

5 

5 

x k4 

 

x k4 

6 

3 


Chọn D. 

 

 

 

k . 

 

k . 

x x 3 x 5 

 

Ta có 2cos 

3 0 cos 

cos cos 

2 

 

2 2 

 

2 6 

x 5 

5 

 

k2 

2 6 

 

x 

k4 

3 

 

. 

k 

x 5 

5 

k2 

x k4 

2 6 

3 

. 

Câu 51: Số nghiệm của phương trình 

 

2 cosx 

1 

với 0x 

2 

là 

3 

A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. 


Chọn B. 

 

x k2 

2 3 4 

2 cos x 1 cos x cos 

 

3 3 2 4 

x k2 

3 4 

 

 

x k2 

12 

k 

7 

x k2 

12 

 

 

23 

Xét x k2 

: Vì 0x 

2 

nên x 

12 

12 

7 

17 

Xét x k2 

: Vì 0x 

2 

nên x 

12 

12 

Vậy tập nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là 

Trang 147


23 

17 

 

S 

; 

Có 2 nghiệm. 

12 12 

x 

Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 

0 

thuộc khoảng ,8 là 

2 4 

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. 


Chọn C. 

x x 

Ta có cos 

0 k 

x k2 ; 

k 

2 4 2 4 2 2 

. 

 

1 15 

5 9 13 

Vì x ,8 

nên k2 8 k ; k k 1;2;3 

x , , . 

2 4 4 

2 2 2 

 

 

2cosx 

2 0 

 

; 

Câu 53: Nghiệm của phương trình 3 trong khoảng 2 2 là 

 

7 

 

A. ; 

12 12 . B. 7 

 

 

12 

. C. 

 

 

12 . D. 

7 

 

; 

12 12 . 


Chọn C. 

7 

x k2 

x k2 

2 3 4 12 

2cos x 2 0 cos x 

 

k 

 

3 3 2 

x k2 

x k2 

 

3 4 12 

 

2 

Câu 54: Phương trình 2cos x 1 có nghiệm là 

A. x k 

 

. B. x k 

. C. x k . 

4 

4 

2 

D. vô nghiệm. 


Chọn B. 

 

 

x 

k2 

4 

 

2 

cos x 

x k2 

2 

2 4 

 

Ta có: 2cos x1 

 

 

k x k 

, k 

 

2 3 

4 

cos x 

x k2 

2 4 

3 

x 

k2 

4 

. 

Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos( x ) 1 trên ( ; ) 

3 

2 

 

4 

A. 

B. 

C. 

D. 7 

3 

3 

3 

3 


Chọn A. 

Trang 148


Phương trình 

Vì x; 

nên: 

x k2 

1 

cos( x ) cos 

2 

3 2 3 

 

x k2 

3 

* Với xk2 ta chỉ chọn được k 0 x 0. 

2 

2 

* Với x k2 ta chỉ chọn được k 0 x . 

3 

3 

Vậy tổng các nghiệm bằng 2 3 . 

Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3 

2 

3 2 x x ) 1 . 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


Chọn C. 

3 3 2x x k2 , 

k 

2 


2 2k 3 2x x 

2 

Ta có: 0 4 (1 x) 2 và 2 2k là số chẵn nên ta có các nghiệm là: x 1, x 3, x 1. 

cos 2x 

Câu 57: Giải phương trình 4 . 

 

 

2 

A. x k2 , x k; 

k . B. x k, x k; 

k 

6 3 

6 3 

. 

 

 

C. x k, x k; 

k . D. x k, x k; 

k 

6 3 

6 2 

. 


Chọn C. 

 

 

 

2x k2 

3 

x k 

6 

 

 

1 

cos 2x 

 

 

2x k2 

 

2 1 

x k 

2 3 6 

Ta có cos 2 x 

; k 

4 1 2 

 

cos 2x 2x k2 

x k 

 

2 3 3 

2 

 

2x k2 

x k 

3 3 

. 

Câu 58: Phương trình cos xm 0 vô nghiệm khi m là: 

m 

1 

A. . 

m 

1 

B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. 


Chọn A. 

Với mọi x , ta luôn có 1 

cos x 1 

m 

1 

Do đó, phương trình cosx m có nghiệm khi và chỉ khi . 

m 

1 


. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm: 

2 1 

A. m 1 3. B. m 1 3. 

2 

Trang 149


C. 1 3 m 1 3 . D. 3 m 3. 


Chọn C. 

1 

m 

1 m 

Ta có: cos x có nghiệm khi và chỉ khi 1 11 3 

3 

3 m 1 3 . 

Câu 60: Phương trình mcos x1 0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện 

m 

1 

m 

1 

A. . B. m 1. 

C. m 1. 

D. 

m 

1 

 

m 1 

Câu 61: Phương trình cos xm 1 có nghiệm khi m là 

A. 1 m 1. B. m 0 . C. m 2 . D. 2 m 0. 


Chọn D. 

Áp dụng điều kiện nghiệm của phương trình cos x a. 

PT có nghiệm khi a 1 . 

PT có nghiệm khi a 1 . 

Ta có phương trình cos xm 1 có nghiệm khi m 1 1 1 m 1 1 2 m 0 . 

 

Câu 62: Cho x k 

là nghiệm của phương trình nào sau đây: 

2 

A. sin x 1. B. sin x 0. C. cos 2x 0. D. cos2x 1. 


Chọn D. 

 

Thay giá trị x k 

vào từng phương trình ở các phương án để thử lại. 

2 

 

1 

neáu k chaün 

Ta có: sin 

k 

nên các phương án A và B sai. 

2 1 

neáu k leû 

 

 

cos2x cos 2 

k cos k2 

1 

nên C sai, D đúng. 

2 

Câu 63: Cho phương trình: 3 cos x m1 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm 

A. m 1 3. B. m 1 3. 

C. 1 3 m 1 3 . D. 3 m 3. 


Chọn C. 

1 

m 

Ta có: 3 cos x m 1 0 cos x . 

3 

1 

m 

PT có nghiệm 1 11 3 m 1 

3. 

3 

 

Câu 64: Cho phương trình cos2x m 

2 . Tìm m để phương trình có nghiệm? 

3 

m 1;3 . 

A. Không tồn tại m. B. 

C. m 3; 1 . 

D. mọi giá trị của m. 


Trang 150


Chọn C. 

 

 

Ta có: cos2x m 

2 cos2x m 

2. 

3 

3 

 

1 cos2x 

1 

phương trình có nghiệm khi 1 m 2 1 

3 m 1. 

3 

2 x 

Câu 65: Để phương trình cos m 

có nghiệm, ta chọn 

2 4 

A. m 1. B. 0m 

1. C. 1 m 1. D. m 0 . 


Chọn B. 

2 x 

0 cos 1, x 2 4 

0 m 

1. 

2 



3 



Chọn B. 

1 

 

2cos x 1 0 cos x cos x cos x k2 , k 

 

2 3 3 

. 

. Loại A. 

1 2 

2 


 

2 3 3 

. 

. Chọn B. 

 



3 



Chọn B. 

2cos 2x 3 0 

cos 2x 

 

3 

 

2x k2 x k, k 

 

2 6 12 

. 

Loại A. 

1 

 


 

2 3 3 

. 

Chọn B. 

Câu 68: Nghiệm của phương trình sin3x cos x là: 

 

 

A. x k ; x k 

. B. x k2 ; x k2 

. 

8 2 4 

2 

 

C. x k; 

x k 

. D. x k 

; x k . 

4 

2 


Chọn A. 

 

 

3x x k2 

4x k2 

 

 

sin3x 

cos x 

2 2 

sin 3x sin x 

 

2 

 

3x x k2 2x k2 

 

2 

2 

Trang 151


 

 

x 

k 

8 2 

k . 

 

x k 

4 


 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k . D. x k 

. 

4 

6 

4 


Chọn A. 

 

 

cos xsin x0 

2 sin x 0 sin x 0 x k 

x k 

k 

. 

4 4 4 

4 

Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4xcos5x 0 theo thứ tự là: 

 

2 

A. x ; x . B. x ; x . 

18 2 

18 9 

 

 

C. x ; x . D. x ; x . 

18 6 

18 3 


Chọn C. 

sin 4x cos5x 0 cos5x sin 4x 

 

 

 

 

5x 4x k2 

2 

2 

cos5x cos 

4x 

2 

 

x 

k 

 

 

 

k 

 

2 

2 

5x 4x k2 

x k 

2 

 

18 9 

 

3 

 

Với nghiệm x k2 

ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là và 

2 

2 2 

2 

 

Với nghiệm x k ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là và 

18 9 

18 6 

 

Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là và 

18 6 

 

 

Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 x ) cos(2 x ) trên [0; ] 

A. 7 

18 

B. 

4 

18 


5 

Phương trình sin(5 x ) sin( 2 x) 

3 6 

5 2 

5x 2x k2 x k 

3 6 

 

 

 

14 7 

 

. 

 

2 

5x 2x k2 

x k 

 

3 6 

18 3 

2 2 

Với x k 0 k 

 

14 7 14 7 

3 3 

C. 47 

8 

D. 47 

18 

Trang 152


2 13 

1 13 

k 

k k k 

14 7 14 4 4 

5 9 13 

Suy ra các nghiệm: x , x , x , x 

 

14 14 14 14 

2 2 

Với x k 0 k 

 

18 3 18 3 

2 19 

1 19 

k k . Do k k 

1 

18 3 18 12 12 

11 

Suy ra các nghiêm: x . 

18 

. Do 0,1,2,3 

Vậy tổng các nghiệm là: 47 18 . 

x 

Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 

15 sin 

x . Khi đó 

2 

 

A. 290 X . B. 250 X . C. 220 X . D. 240 X . 


Chọn A. 

x x 

Ta có cos 15 sinx cos 15 cosx 90 

x 

2 2 

x 

 

15 90 x 

k360 

2 

x50 k240 

 

; k 

x x210 k720 

15 90 x 

k360 

 

2 

Vậy 290 X . 

Câu 73: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình cos2xsin x 0 có tập nghiệm là 

5 

A. 

; 

; 

6 2 6 . B. 7 11 

; ; ; 

 

 

 

6 2 6 6 . C. 5 7 

; ; 

 

 

6 6 6 . D. 7 11 

; ; 

 

 

2 6 6 . 


Chọn D. 

 

cos 2x sin x 0 cos 2x sin x cos 2x cosx 

 

2 

 

 

2x x k2 

x k2 

2 

 

2 

 

 

k 

 

 

k2 

2x x k2 

x 

 

2 

6 3 

. 

7 11 

 

Mà x0;2 x ; ; 

2 6 6 . 

Câu 74: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 

; là 

trong đoạn 

A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. 


Chọn A. 

 

Ta có sinx cos x sinx cos x 0 sin x 

 

0 x k 

, k . 

4 4 

Trang 153


 

5 3 k 

0 

Do x ; k k 

4 

4 4 phương trình có 2 nghiệm trong đoạn 

k 

1 

; 

 

. 

Câu 75: Nghiệm của phương trình sin x.cos x 0 là: 

 

A. x k2 

. B. x k 

 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

2 

2 

6 


Chọn B. 

1 

 

sin x.cos x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 2x k 

x k k 

. 

2 2 

Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình sin 2xcos x 0 là 

2 

 

2 

A. k ; k 2 ; k . B. k ; k 2 ; k . 

6 3 2 

6 3 2 

2 

2 

C. k ; k 2 ; k . D. k ; k 2 ; k . 

6 3 2 

6 3 2 


Chọn A. 

 

 

x 

k 

2 

cos x 0 

 

Ta có sin 2x cos x 0 cos x2sin x 1 0 

1 x k2 

k 

 

sin 

x 6 

2 

 

5 

x k2 

6 

Câu 77: Nghiệm phương trình: 1tan x 0 là 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

4 

4 

4 

4 


Chọn B 

 

Từ 1tan x 0 

x k 

. 

4 

 

Câu 78: Họ nghiệm của phương trình tan x 

3 0 là 

5 

A. 8 

8 

8 

k; 

k . B. k; 

k . C. k2 ; 

k . D. 8 

k2 ; 

k . 

15 

15 

15 

15 


Chọn B. 

 

8 

Ta có tan x 3 0 x k 

x k; 

k . 

5 

5 3 15 

x 

Câu 79: Phương trình tan x tan có họ nghiệm là 

2 

A. x k2 

k 

. B. x k 

k 

. 

C. x k2 

k 

. D. x k2 

k 

 

. 

Trang 154



Chọn A. 

x 

Điều kiện k x k2 

k 

. 

2 2 

x x 

Ta có tan x tan x k 

x k2k 

 

2 2 

Câu 80: Nghiệm của phương trình 3 3tan x 0 là: 

 

 

A. x k 

. B. x k2 

. C. 

3 

2 


Chọn C. 

 

x k 

. D. 

6 

3 

3 3tan x 0 tan x x k 

k 

. 

3 6 

Câu 81: Phương trình 3 tan x 0 có nghiệm là 

 

 

A. x k. 

B. x k. 

3 

3 

2 

4 

C. x k2 ; x k2 . 

D. x k2 ; x k2 . 

3 3 

3 3 


Chọn B. 

 

3 tan x 0 

tan x 3 tan x tan x k 

, k 

. 

3 

3 

 

x k 

. 

2 


 

 

 

 

A. x k. 

B. x k2 . 

C. x k. 

D. x k. 

3 

3 

6 

3 


Chọn A. 

3.tan x 3 0 tan x 

 

3 x k, k 

 

3 

. 

x 

Câu 83: Phương trình tan tan x có nghiệm là 

2 

A. x k2 , k . B. x k 

, k . 

C. x k2 , 

k . D. Cả A, B, 



Chọn A. 

x 

ĐK: cos 0,cos x 0 

2 

x x 

tan tan x x k 

x k2 , 

k 

2 2 

(thỏa mãn). 

Câu 84: Nghiệm của phương trình 3 tan3x 3 0 (với k ) là 

k 

k 

k 

A. x . B. x . C. x . D. 

9 9 

3 3 

3 9 


k 

x . 

9 3 

Trang 155


Chọn D. 

Ta có 3 tan 3x 3 0 tan 3x 

 

3 3 x k 

x k , k 

 

3 9 3 

. 

Câu 85: Nghiệm của phương trình tan x 4 là 

A. xarctan 4 k . B. xarctan 4 k2 

. 

C. x4 k . 

 

D. x k 

. 

4 


Chọn A. 

tan x x arctan k 

, k . 

Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình 

Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2xtan x 0 là: 

k 

k B. k 

, k . 

 

C. k 

, k . 

k k 

A. , . 

6 


Chọn D. 

3 

D. , . 

6 

k 

cos2x 

0 

x 

 

4 2 

Điều kiện: , k . 

cos x 0 

x k 

2 

Phương trình tan2xtan x0 

tan2xtan 

x 2x x k x k 

, k 


 

 

 

 

A. x k 

. B. x k2 

. C. x k 

. D. x k 

. 

3 

3 

6 

3 


Chọn A. 

3.tan x 3 0 tan x 

 

3 tan x tan x k 

k 

3 3 

. 

3 

 

3 tan 3x 

0 

Câu 88: Giải phương trình 5 . 

 

 

A. x k ; k . B. x k ; k 

8 4 

5 4 

. 

 

 

C. x k ; k . D. x k ; k 

5 2 

5 3 

. 


Chọn D. 


3 3 3 k 

3 tan 3x 0 tan 3x 0 3x k 

x , k 

5 5 

5 5 3 

. 

x trong nửa khoảng 

Câu 89: Nghiệm của phương trình 3tan 3 0 

0;2 là 

4 

 

2 

 

A. ; 

3 3 . B. 

 

 

32 . C. 

3 

 

; 

2 2 . D. 

 

 

23 . 


Chọn D. 

Trang 156


x x 3 x 

2 

3tan 3 0 tan k 

x k4 , 

k . 

4 4 3 4 6 3 

2 

Mà x0;2 

x . 

3 

tan 2x 12 0 có nghiệm là 


A. x 6 k90 , k 

. 

B. x 6 k180 , k 

. 

C. x 6 k360 , k 

. 

D. x k k 

 


Chọn A. 

tan 2x 12 0 2x 12 k.180 x 6 k.90 , k . 

 

Câu 91: Nghiệm của phương trình 

0 

tan(2x 15 ) 1 

12 90 , . 

0 0 

, với 90 x 90 là 

0 

0 

A. x 30 

B. x 60 

0 

0 

0 

C. x 30 

D. x 60 , x 30 


Chọn C 

0 0 0 0 0 0 0 0 

tan(2x 15 ) 1 2x 15 45 k180 2x 60 k180 x 30 k90 

( k ). 

0 0 

0 0 

Xét x30 k90 

: Vì 90 x 90 

0 

nên x 30 ( k ) 

3 

 

 

Câu 92: Số nghiệm của phương trình tan x tan trên khoảng ;2 

 

11 

4 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 


Chọn B. 

Ta có 3 

tan x tan x k 

11 11 

k 

 

3 

k 

k 

2 

0,027 k 1,72 k 0;1. 

4 11 

2 

Câu 93: Giải phương trình: tan x 3 có nghiệm là 

 

 

 

A. x k. 

B. x k. 

C. vô nghiệm. D. x k. 

3 

3 

3 


Chọn B. 

 

 

x 

k 

2 

tan x 3 3 

Ta có: tan x 3 

, k 

tan x 3 

x k 

3 

. 

Câu 94: Nghiệm phương trình 1cot x 0 là: 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

4 

4 

4 

4 


Chọn B. 

 

Ta có 1cot x 0 

cot x 1 

cot x cot 

 

4 

x k 

k 

4 

. 

Trang 157


Câu 95: Nghiệm của phương trình cot x 3 0 là: 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 

. D. 

3 

6 

3 


Chọn B. 

 

x k 

. 

6 

Ta có cot x 3 0 

cot x 3 

 

cot x cot 

6 

 

x k 

k 

 

6 


 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k2 


6 

3 

3 


Chọn B. 

3 

 

3cot x 3 0 cot x cot x cot x k 

, k 

. 

3 3 3 


 

 

x 

k2 

6 

A. 

 

x k2 . 

6 


Chọn B. 

B. 

3 

x arc cot k. 

C. 

2 

 

x k 

. D. 

6 

 

x k 

. 

3 

3 3 

2cot x 3 0 cot x x arc cot k 

, k 

. 

2 2 

 

Câu 98: Nghiệm của phương trình cot x 

 

3 là 

4 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k 

. C. x k 

. D. x k 

. 

12 

3 

12 

6 


Chọn C. 

 

Ta có cot x 3 cot x cot x k, k x k, 

k 

4 4 6 4 6 12 

 

Câu 99: Giải phương trình 3 cot(5 x ) 0 

. 

8 

 

 

 

 

A. x k; 

k . B. x k ; k . C. x k ; k . D. x k ; k . 

8 

8 5 

8 4 

8 2 


Chọn B. 

 

Ta có 3 cot 5x 0 cot 5x 0 cos5x 

0 

8 8 8 

Trang 158


k 

5 x k 

x ; k 

8 2 8 5 

. 

x 0 

Câu 100: Nghiệm của phương trình cot( 10 ) 

4 


0 0 

A. x 200 k360 

. 

0 0 

B. x 200 k720 

. 

0 0 

0 0 

C. x 20 k360 

. D. x 160 k720 

. 


Chọn D 

x 

x 

cot( 10 0 ) 3 cot 30 40 0 k180 0 x 160 0 k720 

0 ( k 

4 4 

) . 

Câu 101: Giải phương trình tan cot 

 

A. x k ; k . B. x k; 

k 

4 2 

4 

. 

 

 

C. x k; 

k . D. x k ; k 

4 

4 4 

. 


Chọn A. 


 

tan x cot x tan x tan x x k ; k 

2 4 2 

. 

Câu 102: Phương trình tan x.cot x 1có tập nghiệm là 

k 

 

 

 

A. T \ ; k 

. 

B. T \ k; k . 

2 

2 

 

T \ k; k . 

D. T . 

C. 


Chọn A. 

cos x 0 

k 


0 x . 

sin x 0 

2 

Ta có: tan x.cot x 1 luôn đúng tập nghiệm của phương trình cũng chính là tập các giá trị của x để 

phương trình có nghĩa. 

Câu 103: Giải phương trình tan3xtan x 1 . 

 

 

 

 

A. x k ; k . B. x k ; k . C. x k ; k . D. x k ; k . 

8 8 

4 4 

8 4 

8 2 


Chọn C. 

k 

3x k 

x 

cos3x 

0 Điều kiện 

2 

6 3 

 

, k . (*) 

cos x 0 

 

x k 

x k 

 

2 

2 


1 

 

 

tan 3 x.tan x 1 tan 3x cot x tan x 

tan x 

2 

k 

3 x x k 

x ; k . 

2 8 4 

Trang 159


 

So với điều kiện (*) ta được x k ; k 

8 4 

. 

Câu 104: Nghiệm của phương trình tan3 x.cot 2x 1 là 

 

 

A. k , k . 

B. k , k 

2 

4 2 

. 

C. k , k . 



Chọn D. 

 

cos3x 

0 

x k 

 

6 3 

Điều kiện: , k 

sin 2x 

0 k 

x 

2 

. 

1 

Phương trình tan3 x.cot 2x1 

tan3x 

tan3xtan 2x 

3x 2x k 

x k loại do 

cot 2x 

k 

điều kiện x . 

2 

Câu 105: Nghiệm của phương trình tan 4 x.cot 2x 1 là 

A. k , k . 

 

B. k 

, k 

4 2 

. 

 

C. k , k 2 

. 



Chọn D. 

 

cos4x 

0 

x k 

 

8 4 

Điều kiện: , k 

sin 2x 

0 k 

x 

2 

. 

1 

k 

Phương trình tan 4 x.cot 2x1 

tan 4x 

tan 4xtan 2x 

4x 2x k x loại do 

cot 2x 

2 

k 

điều kiện x 

2 


A. tan x 3 . B. cot x 1. C. cos x 0 . 

4 

D. sin x . 

3 


Chọn D. 

4 

Áp dụng điều kiện nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản, dễ thấy phương trình sin x vô 

3 

nghiệm vì 4 1. 

3 

 

Câu 107: Phương trình: tan x 2 tan 2x 1 


2 2 

 

 

A. x k2 

k 

 

x k 

k 

4 

4 

B. 

Trang 160


 

4 2 


Chọn B. 

C. x k k 

 

D. x k 

k 

 

2 

 

1 

tan x 

Ta có : tan x 2 tan 2x 1 

cot x2cot 2x1 

cot x 2 1 

2 2 

2tan x 

 

cot x (cot x tan x) 1 

tan x 1 

x k 

k 

 

4 

 

4 

Trang 161


PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

Câu 1: Phương trình x x 

sin 1 sin 2 0 có nghiệm là: 

 

 

 

A. x k2 

k 

. B. x k2 

, x k 

k 

. 

2 

4 

8 

 

 

C. x k2 

. D. x k2 

. 

2 

2 


Chọn A. 

sin x 1 

 

sin x1sin x 2 

0 

x k2 

k 

 

sin x 

2 L 

2 

Câu 2: Phương trình sin2 x. 2sin x 2 


 

 

 

 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

2 

x 

k 

 

x 

k 

2 

 

 

 

 

 

A. x k2 . B. 

x k 

. C. 

x k2 . D. 

x k2 . 

4 

4 

4 

4 

 

 

3 

 

3 

3 

 

x k2 

x k 

x 

k2 

 

 

x k2 

4 

4 

4 

4 


Chọn A. 

sin2 x. 2sin x 

k 

 

x 

2 

sin2x 

0 

 

 

 

2 0 

 

x k2 

x k , k 

 

2sin x 2 0 

4 3 

 

 

3 

x k2 

4 

. 

Câu 3: Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x 1 là: 

A. x k2 

. 

 

B. x k 

. C. x k . 

4 

2 

D. x k . 


Chọn B. 

 

 

Ta có 2.sin x.cos x1 

sin 2x 

1 

2x k2 

x k 

k 

 

2 

4 

 

Câu 4: Giải phương trình 4sin xcos xcos2x 1 

0 

 

 

A. x k2 ; 

k . B. x k; 

k 

8 

8 

. 

 

 

C. x k ; k . D. x k ; k 

8 4 

8 2 

. 


Chọn D. 

 

4sin xcos x cos 2x 1 0 2sin2xcos2x 1 sin4x 1 x k ; k 

8 2 

. 

Trang 162


Câu 5: Giải phương trình cos x(2cos x 3) 0 

. 

5 

5 

A. x k, x k; 

k . B. x k, x k2 ; 

k 

2 6 

2 6 

. 

5 

2 

C. x k, x k2 ; 

k . D. x k, x k2 ; 

k 

2 6 

2 3 


Chọn C. 

Ta có cos x2cos x 

 

 

x 

k 

cos 0 

2 

x 

5 

3 

0 

 

3 x k2 ; k 

cos 

x 6 

 

2 

 

5 

x k2 

6 

. 

4 4 

Câu 6: Nghiệm của phương trình sin xcos x 0 là 

 

 

3 

 

A. x k. 

B. x k . 

C. x k2 . 

D. x k2 . 

4 

4 2 

4 

4 


Chọn B. 

Cách 1: 

4 4 2 2 

 

sin x cos x 0 cos x sin x 0 cos 2x 0 2 x k 

x k , k 

 

2 4 2 

. 

Cách 2: 

2 

4 4 2 2 

2 1 sin 

x 

sin x sin 

sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin 

x 2 

4 

 

2 2 

sin 

x sin x sin 

 

 

2 4 

 

 

x 

k2 

4 

 

3 

x k2 

4 

 

x k k 

 

 

x k2 

4 

4 2 

5 

x 

k2 

4 

. 

2 2 

Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình sin x cos x1 0 . 

A. cos2x 1. B. cos2x 1. 2 

C. 2cos x 1 0 . 

2 

D. (sin xcos x) 1. 


Chọn B. 

2 2 

Ta có sin x cos x 1 0 cos 2x 1 0 cos 2x 

1. 

Câu 8: 

2 

Phương trình 34cos x 0 tương đương với phương trình nào sau đây? 

1 

1 

1 

1 

A. cos 2x . B. cos 2x . C. sin 2x . D. sin 2x . 

2 

2 

2 

2 


Trang 163


Chọn A. 

2 1 

cos 2x 

 

1 

Ta có 3 4cos x 0 3 4 

0 1 2cos 2x 0 cos 2 x . 

2 

2 

Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x. 2cos x 3 

0 là : 

x 

k 

x 

k 

A. 

 

.k 

B. 

k 

x k2 

x k 

6 

6 

. 

x 

k2 

C. 

 

k . D. x k2 

k 

x k2 

6 

3 

. 


Chọn A. 

sin x . x 3 0 

sin x 0 x 

k 

 

3 

k 

 

cos x x k2 

2 6 

 

Câu 10: Phương trình (sin x1)(2cos2 x 2) 0 có nghiệm là 

 

 

A. x k2 , k . B. x k 

, k 

2 

8 

. 

 

C. x k 

, k 

8 

. D. Cả A, B, 



Chọn D. 

(sin x 1)(2cos 2x 

sin x 1 

 

 

 

 

 

 

x k2 

x k2 

2 

 

2 

2) 0 

2 ( k 

 

 

 

cos 2x 

 

 

2 2x 

k2 

 

 

x k 

4 

8 

) 

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2 x 0 là: 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

2 

8 

4 


Chọn D. 

1 1 

sin x.cos x.cos2 x 0 sin 2 x.cos 2x 0 sin 4x 0 sin 4x 0 4x k 

2 4 

 

x k k 

 

4 

. 

Câu 12: Cho phương trình cos x.cos7 

x cos3 x.cos5x 

1 

 

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 1 

 

A. sin5x 0 . B. cos4x 0. C. sin 4x 0 . D. cos3x 0 . 


Chọn C. 

1 1 

cos x.cos7x cos3 x.cos5x cos6x cos8x cos 2x cos8x 

2 2 

Trang 164


sin 4x 

0 

cos6x cos2x 0 2sin 4 x.sin 2x 

0 

sin 2x 

0 

sin 4x 

0 ( Do sin 4x 2sin 2x cos 2x 

) 

sin 3x 

Câu 13: Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn [2 ;4 ] là 

cos x 1 

A. 2 . B. 6 . C. 5 . D. 4 . 


Chọn B. 

Điều kiện: cos x 1 0 x k2 

2 , 4 , điều kiện x 3 

. 

. Trên 

sin 3x 

 

Ta có 0 sin 3x 0 3 x k 

x k ; k 

cos x 1 3 

x 2 ,4 

nên 

Vì 

 

7 8 10 11 

2 

k 4 

6 k 12; k k 7;8;9;10;11 x 2 , , , 3 , , , 4 

. 

3 

3 3 3 3 

7 8 10 11 

So với điều kiện, ta chỉ còn x 2 , , , , , 4 

. 

3 3 3 3 

sin 2x 

1 

Câu 14: Tất cả các nghiệm của phương trình 

0 là 

2.cos x 1 

 

3 

 

x k2 , k 

A. x k2 , k 

4 

. B. 

. 

4 

3 

x k2 , k 

4 

 

 

 

C. x k 

, k . D. x k2 , k . 

4 

4 


Chọn A. 

1 

Điều kiện cos x x k2 . 

2 4 

sin 2x 

1 

 

 


0 sin 2x 1 2x k2 x k. 

2.cos x 1 

2 4 

3 

Kết hợp điều kiện, suy ra x k2 , k . 

4 

6 6 4 4 2 

4 sin cos 2 sin cos 8 4cos 2 

x x x x x 


k 

k 

A. x , k . B. x , k 

3 2 

24 2 

. 

k 

k 

C. x , k . D. x , k 

12 2 

6 2 

. 


Chọn C. 

6 6 

4 sin x cos x 

4 4 

2 sin x cos x 

2 

8 4cos 2x 


. 

Trang 165


 

2 2 2 2 2 

4 13sin xcos x 2 1 2sin xcos x 8 4cos 2x 

2 2 

6 4sin 2x 8 4cos 2x 

1 

cos 4x 

 

2 

Câu 16: ìm số nghiệm x 0;14 

nghiệm đúng phương trình : cos3 4cos2 3cos 4 0 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


Chọn D 

Phương trình 

 

3 2 

4cos x 3cos x 4(2cos x 1) 3cos x 4 0 

3 2 

 

4cos x 8cos x 0 cos x 0 x k 

2 

3 5 7 

Vì x 0;14 x , x , x , x 

. 

2 2 2 2 

sin x.cos x 1 tan x 1 cot x 1. 



, k . C. x , k . D. x k , k . 


Chọn A 

sin x 0 

 

Điều kiện: sin 2x 0 x k 

cos x 0 2 


x 

pt sin x.cos x 1 

cos x sin x. 

 

2 

sin x cos x 1 sin 2x 

0 (loại). Phương trình vô nghiệm. 

 

69 

 

Câu 18: Số nghiệm thuộc 

; 


2sin 3 x. 14sin x 

1 là: 

A. 40 . B. 32. C. 41. D. 46 . 


Chọn C 

x 2 x x 2 x 

2 

TH1: cos x 0 sin x 1 

. PT có dạng: 

2sin3 . 1 4sin 1 2sin3 . 4cos 3 1 

 

2 

2sin 3 x. 4cos x 3 1 2 3sin x 4sin x.1 4.0 3 1 sinx Vô lý vì sin x 1 

2 

TH2: cos x 0. PT có dạng: 

2 

 

x 

k 

2 

14 7 

2sin 3 x. 4cos x 3 

1 2sin 3 x.cos3x cos x sin 6x cos x 

2 

x k 

104 5 

2 69 

1 2863 

k k 

 

69 

14 12 7 10 24 120 

Vì x 

 

; 

 

. 

14 10 2 69 

1 

h h 17 

 

14 10 5 10 14 

k 

2 1 

2 

Trang 166


Có 24 giá trị k và có 17 giá trị h 

k 

x . 

12 2 

2 

 

Câu 19: Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình: 

3 3 

A. cot x 3. 

B. cot 3x 3. 

C. tan x 3. 

D. tan3x 3. 


Chọn C. 

3 

3 

Trước hết, ta lưu ý công thức nhân ba: sin 3a 3sin a 4sin a ; cos3a 4cos a 3cos a ; 

3 

3tan a 

tan a 

tan3a 

 

. 

2 

13tan 

a 

 

2 

tan xtan tan xtan 

3 3 

tan x 

3 tan x 

3 

PT tan x 3 3 tan x 3 3 

 

2 

1tan xtan 1tan xtan 

1 

3 tan x 1 

3 tan x 

3 3 

2 

 

tan x 1 3tan x tan x 3 1 3 tan x tan x 3 1 3 tan x 

 

2 

1 

3tan x 

3 3 

3 2 2 

tan x 3tan x tan x 3 tan x 3 3tan x tan x 3 tan x 3 3tan x 

 

3 3 

2 

1 

3tan x 

3 3 

9tan x 3tan x 3tan x tan 

x 

3 3 

2 2 

13tan x 

13tan 

x 

3 tan3x 

3. 

4 4 

Câu 20: Giải phương trình : sin xcos x 

1 

 

 

A. x k , k . B. x k 

, k 

4 2 

4 

. 

 

C. x k2 

, k . D. x k , k 

4 

2 

. 


Chọn D. 

2 

4 4 2 2 2 2 2 

sin x cos x 1 sin x cos x 2sin x cos x 1 1 sin 2x 

1 

1 

1 1 cos 4x 

1 cos 4x 1 4x k2 

x k 

4 2 

Câu 21: Giải phương trình sin x.cos x.cos2x 

0 

A. k . 

 

B. k . 

2 

C. 


Chọn C 

1 

2 

 

k . D. 

4 

1 k 

Ta có : sin x.cos x.cos2x 

0 sin 2 x cos2 x 0 sin 4x 0 x k . 

2 

4 

1 

Câu 22: Nghiệm của phương trình cos x cos5x cos6x (với k ) là 

2 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. 

8 

2 

4 


 

k . 

8 

 

x k . 

8 4 

Trang 167


Chọn D 

Ta có : cos cos5 

1 

cos6 

2 

1 cos6 cos4 1 

 

x x cos6x cos4 0 k 

2 2 

8 4 

x x x 

6 6 7 

x x k 

 



16 

 

 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 

3 2 

4 2 

5 2 

6 2 


Chọn D 

6 6 7 3 2 7 

sin x cos x 1 sin 2x 

 

16 4 16 

2 3 1 

 

sin 2x cos4 x x k , k 

4 2 6 2 

4 x 4 x 

Câu 24: Phương trình sin 2x cos sin 

có các nghiệm là; 

2 2 

2 

 

 

 

 

x k 

6 3 

 

x k 

4 2 

 

x k 

3 

 

x k 

12 2 

A. 

. B. 

 

. C. 

 

x 2 

2 

 

 

k 

 

. D. 

x 

2 

 

 

k 

 

. 

x 3 2 

2 

 

3 

k 

x 

4 

k 


Chọn A 

4 x 4 x 

Phương trình sin 2x cos sin sin 2x cos x 

2 2 

 

2 

2 2 

 

 

x x k 

 

2 

 

x k 

6 3 

cos 

x cos x 

 

, k 

2 

 

2x x k2 

2 

 

x 

2 

 

2 

k 

 

Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng 0; 

2 của phương trình 3 3 3 

sin x.cos3x cos x.sin3x là: 

8 

5 

A. 

, 

5 5 5 . B. , . C. , . D. , . 

6 6 

8 8 

12 12 

24 24 


Chọn D 


sin x.cos3x cos x.sin3x 

 

8 

3 3 3 

 

sin x 4cos x 3cos x cos x 3sin x 4sin x 

8 

3 3 3 3 3 1 

3sin x.cos x 3cos x.sin x sin x.cos x cos x.sin 

x 

8 8 

k 

 

x 

8sin x cos x cos x sin x 1 4sin 2 x.cos2x 1 sin 4 x , k 

2 5 

k 

x 

24 2 

3 3 3 3 3 

2 2 1 24 2 

 

 

Trang 168


 

 

Do x 0; nên nghiệm thuộc khoảng 0; 

2 

2 của phương trình là 5 , . 24 24 

4 x 4 x 5 

Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: sin cos 

là: 

2 2 8 

5 9 

A. 

; ; 

; 

2 4 5 3 3 5 7 . B. ; ; ; . C. ; ; . D. ; ; ; . 

6 6 6 

3 3 3 3 

4 2 2 

8 8 8 8 


Chọn B 

 

4 4 5 1 2 5 2 

1 

x k 

x x 

3 

sin cos 1 sin x 4sin x 3 cos2 x 

, k 

 

2 2 8 2 8 2 

x k 

3 

2 4 5 Do x 0;2 

nên nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình là ; ; ; . 

3 3 3 3 

 

2 

Câu 27: Phương trình 2sin 3 1 

8sin 2 .cos 2 

 

x 4 


 

 

x k 

 

 

6 

 

x k 

12 

 

x k 

 

18 

 

x k 

24 

A. 

. B. 

 

. C. 

. D. 

5 

x 

6 

 

5 

k 

x 

12 

 

5 

k 

 

. 

x 

18 

 

5 

k 

x 

24 

k 


Chọn B 

2 

Điều kiện 18sin 2 x.cos 2x 

0 

 

2 

2sin 3 1 

8sin 2 .cos 2 

 

x 4 

x x 

2 

 

2 

4sin 3 1 

8sin 2 .cos 2 

 

x 4 

x x . 

 

2 2 

2 1 cos6x 1 8sin 2 .cos 2 8sin 2 .cos 2 2sin6 1 0 

2 

x x x x x . 

 

2 3 

 

8sin 2x 1 sin 2x 2 3sin 2x 4sin 2x 1 0 2sin 2x 

1 0 

 

1 

x k 

12 

sin 2x 

, k . 

2 5 

x k 

12 

 

 

x k 

12 

Thử lại điều kiện, 

, k đều thoả. 

5 

x 

12 

k 

sin3x 

cos3x 

2 

Câu 28: Phương trình có nghiệm là: 

cos2x sin 2x sin3x 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. 

8 4 

6 3 

3 2 


Chọn B. 

 

x k . 

4 

Trang 169


cos2x 0 

k 

k 

2 x 

x 4 

Điều kiện sin 2x 

0 2 

 

sin 3 0 

3 

k 

x x k x 

3 

sin3 x.sin 2x cos2 x.cos3x 

2 

 

 

sin 2 x.cos2x sin3x 

2cosx 2 

sin3 x.cos 

x sin4x 1 sin 2 x sin4 x 

sin 4 x 

sin 4x 

sin3x 

2 

 

2 4 2 

x 

k 

x x k 

sin2xsin4x 

 

 

 

k 

2x 4x k2 

x 

 

6 3 

 

So sánh với điều kiện, ta nhận x k . 

6 3 

3 3 3 3 

Câu 29: Phương trình sin x cos x sin x.cot x cos x.tan x 2sin2x có nghiệm là: 

 

 

 

3 

A. x k . B. x k . C. x k 2 

. D. x k 2 

. 

8 

4 

4 

4 


Chọn B 

Điều kiện: sin2x 0 (do có điều kiện của tan x,cot 

x) 

3 3 3 3 

sin cos sin .cot cos .tan 2sin2 

x x x x x x x 

3 3 2 2 

sin x cos x sin xcos x cos x.sin x 2sin2x 

sin x cos x1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 

2sin 2x sin x cos x 2sin2x 

sin cos 2 

 

x x 2sin 2x 1 sin2x 2 x k 

x k , k 

 

2 4 2 

 

So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x k 

, k 

 

4 

4 4 

sin x 

cos x 1 tan cot 


sin2x 

2 

 

 

 

A. x k . B. x k 2 

. C. x k . D. Vô nghiệm. 

2 

3 

4 2 


Chọn D 

Câu 30: Phương trình x 

x 

Điều kiện sin 2x 0 x k 

 

 

2 

4 4 

sin x 

cos x 1 

tan x 

cot 

sin2x 

2 

2 

sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x cos 2 x 1 

x 

 

 

 

2sin x cos x 2sin x cos x 

1 2sin cos 2 

 

x x 1 sin xcos x0 

sin 2x 0 x k , k 

 

2 

So sánh điều kiện ta có phương trình vô nghiệm. 

Câu 31: Cho phương trình cos2 x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos 

x và các họ số thực:. 

Trang 170


 

 

I. x k 

, k . II. x k2 

, k 

4 

2 

. 

2 

4 

III. x k , k . IV. x k , k 

14 7 

7 7 

. 

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là 

A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV. 


Chọn C 

cos2 x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos 

x 

cos 2 x.cos x sin 2xsin x sin x.cos3x sin 3x cos x 0 

 

 

cos3x sin 4x 0 sin 4x cos3x sin 4x sin 3x 

 

2 

 

 

4x 3x k2 

2 

 

x k2 

2 

sin 4x sin 3x 

, k . 

2 

3 

k2 

4x 3x k2 

x 

 

2 14 7 

 

Từ x k2 

nên I đúng. 

2 

3 

k2 

2l 

Từ x , so sánh với nghiệm x như sau: 

14 7 

14 7 

2l 

+ Ta thấy x họ nghiệm này khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác đều được 7 điểm. 

14 7 

+ Cho 3 k 2 2 l 

k l 1. Điều này có nghĩa, ứng với một số nguyên k luôn có một số 

14 7 14 7 

nguyên l 

3 

k2 

2l 

Do đó 2 họ nghiệm x và x là bằng nhau. 

14 7 14 7 

Chú ý: 

 

 

3x 4x k 

x k 

 

2 

2 

cos3x sin 4x cos3x cos 

4x 

 

2 

k2 

3x 4x k2 

x 

 

2 

 

14 7 

Câu 32: Cho phương trình cos 2 x 30 0 sin 2 x 30 0 sin x 

60 

0 

 

I. 

III. 

x 

0 0 

30 k120 

, k . II. 

x 

0 0 

30 k360 

, k . IV. 

x 

và các tập hợp số thực: 

0 0 

60 k120 

, k . 

x 

0 0 

60 k360 

, k . 

Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình 

A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I, III. D. I, IV. 


Chọn C 

cos 2 x 30 0 sin 2 x 30 0 sin x 60 

0 

 

0 0 

0 0 

cos 2x 60 sin x 60 cos 2x 60 cos 30 

x 

Trang 171


0 0 

x30 k120 

k 

 

0 0 

x 

30 k360 

 

4 4 

x x 

Câu 33: Phương trình sin x sin x 

4sin cos cos x có nghiệm là 

2 2 2 

3 

3 

 

A. x k 

, k . B. x k , k 

4 

8 2 

. 

3 

3 

 

C. x k 

, k . D. x k , k 

12 

16 2 

. 


Chọn B 

4 4 

x x 

4 4 

sin x sin x 

4sin cos cos x sin x cos x 2sin x cos x 

2 2 2 

2 2 

sin x cos x sin 2x 

sin 2x cos2x 

0 

 

 

 

2 sin 2x 

 

0 x k k 

 

4 

8 2 

. 



16 

 

 

A. x k , k . B. x k , k 

3 2 

4 2 

. 

 

 

C. x k , k . D. x k , k 

5 2 

6 2 

. 


Chọn D. 

3 2 7 5 3 7 

1 

Phương trình 1 sin 2x 

cos 4x 

cos 4x 

 

4 16 8 8 16 

2 

2 

 

4x k2 

x k , k 

 

3 

6 2 

. 

Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1 . 


, k . 

k 

C. x , k 

2 

. D. x k , k . 


Chọn A. 

sin x 0 

k 

Điều kiện: sin 2x 0 x 

, k 

cos x 0 2 

Phương trình đề bài cos x(1 tan x).sin x(1 cot x) 1 

(cos x sin x)(sin x cos x) 1 

sin 2x 

0 (vô nghiệm). 

Câu 36: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình sin 2xsin x 0 có số nghiệm là: 

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. 


Chọn A. 

k2 

2x x k2 

x 

Phương trình đề bài sin 2x sin x 

3 , k 

2x x k2 

 

x 

k2 

. 

6 6 7 

Trang 172


k2 

k2 

Với x . Vì x 0;2 

0 2 

0 k 3 k 0;1;2 (vì k ). 

3 

3 

1 1 

Với x 

k2 

. Vì x 0;2 

0 k2 2 

k k 0 (vì k ). 

2 2 

2 

4 

Vậy trong nửa khoảng 0;2 , phương trình có 4 nghiệm là: x 0 ; x ; x ; x 

3 3 

6 6 

sin x 

cos x 


m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: 

 

tan x 

tan x 

 

4 4 

1 

A. 1 m . B. 2 m 1. C. 1m 

2. 

D. 1 m 

1. 

4 

4 


Chọn A. 

 

sin x 

0 

4 

 

 

cos x 0 k 

x 

4 

ĐK: 

4 2 k 

 

x 

 

k 

4 2 

sin x 0 x 

 

 

4 

4 2 

 

 

cos x 0 

 

4 

6 6 

sin x 

cos x 

sin 2 x cos 2 xsin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 

4 x 

m m 

 

tan x1 tan x1 

tan x 

tan x 

 

. 

4 4 

1tan x 1tan 

x 

2 

2 2 2 2 

sin x cos x 3sin x cos x 3 2 2 4m 

4 

m 1 sin 2x m sin 2x 

 

1 4 3 

Phương trình có nghiệm 

k 

2 k 

4m 

4 

x sin 2 4m 

4 

4 2 

 

 

4 2 

 

3 1 

 

 

3 

2 4m 4 

sin 2x 

coù nghieäm 4m 4 

0 1 

0 4m 

4 3 

 

 

 

3 

3 

1 

m 

3 4m 

4 4 

1 

 

 

1 m 

4 4m 

1 1 4 

1 m 

4 

2 

Câu 38: Để phương trình: 4sin .cos 

3 6 

3sin 2 cos2 thỏa điều kiện: 

A. 1 

a 1. B. 2 

a 2. 1 1 

C. a . 

2 2 

D. 3 

a 3. 


Chọn B 

Trang 173



 

 

x 3 x 6 

a x x 

2 

4sin .cos 3sin 2 cos2 

 

 

2 3 1 

2 sin sin 2x 2 

sin 2 cos2 

2 6 

a x x 

2 2 

 

2 

2 1 sin 2x 2cos .sin 2 sin .cos2 

6 

a x x 

2 

2 2sin 2x a 2sin 2x 

 

 

6 6 6 6 

1 2 1 2 

1 2 

sin 2x sin 2x a 1 2cos 2 x.sin a 1 

cos2x a 1 

6 6 2 6 2 

2 

1 2 1 2 2 

Vì 1 cos2x 1 

nên 1 a 1 1 0 a 2 0 a 4 2 a 2 . 

2 2 

CÁCH KHÁC: 

a 3 3;3 

của đáp án D. 

Chọn 

 

Ta thấy phương trình 4sin .cos 9 3sin 2 cos2 

x 3 x 6 

x x không có nghiệm qua chức năng 

giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. 

a 2 2;2 

của đáp án B. 

Chọn 

 

Ta thấy phương trình 4sin .cos 4 3sin 2 cos2 

x 3 x 6 

x x có nghiệm qua chức năng giải 

nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án B đúng. 

2 2 2 

a sin x a 

2 

Câu 39: Để phương trình 

có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 

2 

1 

tan x cos2x 

a 1 a 2 a 3 a 4 

A. . 

B. . 

C. . 

D. . 

a 3 

a 3 

a 3 

a 3 


Chọn A 

cos x 0 

 

Điều kiện: tan x 1 

(1). Phương trình đã cho tương đương: 

a 2 2 2 2 

.cos x sin 2 

 

x a 

2 2 

 

cos x sin x cos2x 

cos2x 

0 

2 2 2 2 a 

a .cos x sin x a 2 a 1 .cos x a 1 cos x 

a 

2 2 2 2 

 

Vì cos2x 0 nên 2cos x1 0 cos x (2) 

2 

Do đó, theo điều kiện (1) và (2), phương trình trên có nghiệm khi 

2 

a 1 

0 

1 2 

a 1 

a 

1 

 

. 

2 

 

a 

1 1 

a 3 

 

 

2 

a 

1 2 

CÁCH KHÁC: 

Chọn a 1,5 

của đáp án A, ta thấy phương trình có nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy 

tính cầm tay. Vậy đáp án A đúng. 

2 2 1 

2 

2 

1 

1 

Trang 174



PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 


1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác 

Dạng Đặt Điều kiện 

2 

asin x bsin x c 0 

2 

a cos x b cos x c 0 

t = sinx 1 t 1 

t = cosx 1 t 1 

2 

 

a tan x b tan x c 0 t = tanx x k 

( k Z) 

2 

Nếu đặt: 

2 

t sin x hoaëc2 

a cot x 

t 

 

 

b 

sin 

cot 

x 

x 

thì 

c 

ñieàu 

0 

kieän : 0 t 1. 

x k 

( k Z) 

B– BÀI TẬP 

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác 

2 

A. 2sin x sin 2x1 0. 

2 

B. 2sin 2xsin 2x 

0. 

2 

C. cos x cos2x 

7 0. 

2 

D. tan x cot x 5 0. 

2 

Câu 2: Nghiệm của phương trình sin x– sin x 0 thỏa điều kiện: 0 x . 

 

 

A. x . B. x . C. x 0 . D. x . 

2 

2 

2 

 

Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin x 3sin x1 0 thỏa điều kiện 0 x là: 

2 

 

 

 

5 

A. x B. x C. x D. x 

3 

2 

6 

6 

2 

Câu 4: Phương trình sin x 3sin x 4 0 có nghiệm là: 

 

A. x k2 , k 

2 

B. x k2 , 

k 

C. x k 

, k 

 

D. x k 

, k 

2 

2 

 

Câu 5: Nghiệm của phương trình sin xsin x 0 thỏa điều kiện: x . 

2 2 

A. x 0 . B. x . 

 

 

C. x . D. x . 

3 

2 

2 

Câu 6: Trong 0;2 , phương trình sin x1 cos x có tập nghiệm là 

 

A. ; ;2 

2 

. B. 

0; 

. C. 0; ; 

2 . D. 

0; ; ;2 

2 . 

Trang 175


2 

Câu 7: Phương trình: 2sin x 3sin 2x2 


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k 

6 

A. 

, k 

B. , k 

 

 

x k2 

x k 

2 

2 

 

 

C. x k 

, k D. x k2 , k 

2 

2 

2 

Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x 4sin x 3 0 là : 

 

 

A. x k2 , k B. x k2 , k 

2 

2 

 

C. x k2 , k D. x k2 , k 

2 

2 

Câu 9: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos x 0 là 

 

A. k 

, k . B. k2 , k . C. k2 , k . 

2 

 

D. k2 , k . 

6 

Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: sin x 2sin x 0 . 

4 

 

5 

A. x k2 ( k ) . B. x k; x k 

( k 

6 

6 6 

) . 

5 

 

C. x k2 ; x k2 ( k ) . D. x k; x k 

( k 

6 6 

6 6 

) . 

2 

Câu 11: Phương trình 2sin x sin x 3 0 có nghiệm là: 

A. k , k . 

 

 

 

B. k 

, k . C. k2 , k . D. k2 , k 2 

2 

6 

. 

Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos2xsin x 0 là 

2 

2 

A. k ; k 2 ; k . B. k ; k 2 ; k 

6 3 2 

6 3 2 

. 

2 

 

2 

C. k ; k 2 ; k . D. k ; k 2 ; k 

6 3 2 

6 3 2 

. 

2 

 

Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin x– 3sin x1 0 thỏa điều kiện: 0 x . 

2 

 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

6 

4 

2 

2 

2 

Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin x– 5sin x– 3 0 là: 

7 

5 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

6 6 

3 6 

 

5 

C. x k; x k2 

. D. x k2 ; x k2 

. 

2 

4 4 

2 

Câu 15: Nghiêm của pt sin x – sinx 2là: 

 

 

 

A. x k2 . 

B. x k 

. 

C. x k2 . 

2 

2 

2 

D. x 

k . 

2 3 


4 

2 3 

Trang 176


 

5 

A. x k2 ( k ) . B. x k; x k 

( k 

6 

6 6 

) . 

5 

 

C. x k2 ; x k2 ( k ) . D. x k; x k 

( k 

6 6 

6 6 

) . 

2 

Câu 17: Nghiệm của phương trình cos x sin x1 0 là 

 

 

A. x k2 , k . B. x k 

, k 

2 

2 

. 

 

 

C. x k2 , k . D. x k2 , k 

2 

2 

. 

2 

Câu 18: Nghiêm của phương trình sin x sin x 2 là 

A. x k 

, k . 

 

B. x k2 , k 

2 

. 

 

 

C. x k2 , k . D. x k 

, k 

2 

2 

. 

2 

Câu 19: Phương trình 2sin x 3sin x 2 0 có nghiệm là 

A. k , k . 

 

B. k 

, k 2 

. 

 

5 

C. k2 , k . D. k2 ; k2 , 

k 

2 

6 6 

. 

2 

 

Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos x 3sin x 3 0 thõa điều kiện 0 x là: 

2 

 

 

 

5 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

3 

2 

6 

6 

2 


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

6 

A. 

, k . B. 

, k 

 

5 

x k2 

x k2 

6 

6 

. 

 

 

 

x 

k2 

3 

 

x 

k2 

3 

C. 

, k . D. 

, k 

 

2 

x k2 

x k2 

3 

3 

. 

2 

Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos x 0 là: 

A. k , k . B. k2 , k . 

 

 

C. k2 , k . D. k2 , k 2 

6 

. 

2 

Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2x 2sin2x1 0 là : 

 

 

 

 

A. k 

. B. k 

. C. k2 

. D. k2 

. 

4 

4 4 

4 

2 

Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2x sin 2x1 0 là 

 

A. k 

. B. k 

. C. k . D. k . 

2 3 

2 2 

2 

Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2cos2x 3sin x1 0 là 

1 

1 

A. arcsin 

k2 

. B. arcsin 

k2 

. 

4 

4 

Trang 177


1 1 

1 

C. arcsin 

k 

. D. arcsin 

k 

. 

2 2 4 

2 4 

2 

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2x 

2sin 2x 

1 0 

; là : 

trong khoảng 

3 

 

A. 

; 

4 4 . B. 3 

 

 

; 

4 4 . C. 

3 

 

; 

4 4 . D. 

3 

 

; 

4 4 . 

2 

Câu 27: Giải phương trình: sin x 2sin x 3 0 . 

 

 

 

A. k . B. k 

. C. k2 

. D. k2 

. 

2 

2 

2 

4 2 

Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin x12cos x 7 0 có nghiệm là: 

 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k . C. x k 

. D. x k 

. 

4 

4 2 

4 

4 

5 

Câu 29: Phương trình cos 2 x 4cos x 


3 6 2 

 

 

 

 

 

x k2 

6 

 

x 

k2 

6 

 

x k2 

3 

 

x 

k2 

3 

A. 

. B. 

. C. 

. D. 

. 

 

3 

x k2 

5 

x k2 

x k2 

 

x k2 

2 

2 

6 

4 

2 

 

Câu 30: Tìm m để phương trình 2sin x 2m 1 

sinx m 0 có nghiệm x ;0 

2 . 

A. 1 m 0. 

B. 1m 

2. 

C. 1 m 0. 

D. 0 m 

1. 

2 

Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos x 4cos x 3 0 . 

 

A. x k2 ( k ) . B. x k2 ( k ) . 

2 

C. x k2 ( k ) . D. x k 

( k ) . 

2 

Câu 32: Giải phương trình 2cos x 3cos x1 0 

 

 

 

A. x k2 , k . B. k2 , k2 , 

k 

3 

3 

. 

 

C. x k2 , k . D. x k2 , k . 

3 

Câu 33: Phương trình cos2x 2cos x11 0 có tập nghiệm là: 

x arccos 3 k2 , k x arccos 2 k2 , k . 

A. , 

B. . 

x arccos 2 k2 , k . 

C. 

D. 



A. sin x 3 0. 2 

B. 2cos x cos x1 0 . 

C. tan x 3 0 . D. 3sin x 2 0 . 

2 x x 

Câu 35: Phương trình: sin 2cos 2 0 có nghiệm là: 

3 3 

A. x k 

, k B. x k3 , k C. x k2 , k D. x k6 , k 

Câu 36: Phương trình : cos 2x cos 2x 0 có nghiệm là 

4 

2 3 

Trang 178


2 

 

A. x k 

, k . B. x k 

, k 

3 

3 

. 

 

 

C. x k 

, k . D. x k2 , k 

6 

6 

. 

2 

Câu 37: Nghiệm của phương trình cos x– cosx 0 thỏa điều kiện 0 x : 

 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

6 

2 

4 

2 

2 

3 

Câu 38: Nghiệm của phương trình cos xcos x0 

thỏa điều kiện: x . 

2 2 

A. x . 

 

3 

3 

B. x . C. x . D. x . 

3 

2 

2 

2 

Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos x – 8cos x– 5 là: 

A. x k . B. x 

k2 

. C. x k2 

. 

 

D. x k2 

. 

2 

Câu 40: Nghiệm của pt 2cos 2 2cos – 2 0 

 

 

 

 

A. x k2 

B. x k 

C. x k2 

D. x k 

4 

4 

3 

3 

2 

Câu 41: Phương trình 2cos x 3cos x 2 0 có nghiệm là 

 

 

A. k2 , k . B. k2 , k 6 

3 

. 

2 

 

C. k2 , k . D. k2 , k 3 

3 

. 

2 

Câu 42: Phương trình lượng giác: sin x 3cos x 4 0 có nghiệm là 

 

 

A. x k2 , k B. x 

k2 , 

k C. x k 

, k 

2 

6 

D. Vô nghiệm 

2 

Câu 43: Phương trình lượng giác: cos x 2cos x3 0 có nghiệm là 

A. x k2 , k B. x 0 

 

C. x k2 , k 

2 


Câu 44: Phương trình sin 2x 2cos x 0 có nghiệm là 

4 

 

 

A. x k 

, k . B. x k 

, k . 

6 

4 

 

2 

C. x k 

,, k . D. x k 

, k . 

3 

3 

2 

Câu 45: Họ nghiệm của phương trình cos 2x cos 2x 2 0 là 

 

k 

A. k 

. B. . C. 

 

k2 

. D. k 2 . 

2 2 2 

2 

2 

Câu 46: Họ nghiệm của phương trình 3cos4x 2cos2x 5 0 là 

 

 

A. k2 . B. k2 

. C. k . D. k2 

. 

3 

3 

2 

Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình 3sin 2x 3cos 2x 3 0 là 

 

 

 

 

A. k; k . B. k; 

k . C. k; k 

. D. k; 

k 

. 

4 2 

4 2 

4 

4 

2 2 3 

Trang 179


3 

3 

 

2 

 

; 

Câu 48: Nghiệm của phương trình 2cos 2x 3cos 2x 5 0 trong khoảng 2 2 là: 

3 3 

7 5 

 

A. 

; ; 

6 6 6 . B. 7 5 

; ; 

 

 

6 6 6 . C. 7 5 

; ; 

 

 

6 6 6 . D. 7 5 

; ; 

 

 

 

6 6 6 . 

2 

Câu 49: Giải phương trình 3cos x 2cos x 5 0 . 

A. x k . 

 

 

B. x k 

. C. x k2 

. 

2 

2 

D. x k2 

. 

2 2 

Câu 50: Phương trình sin xsin 2x 1 có nghiệm là: 

 

 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

3 2 

A. 

( k ). B. 

. 

 

 

x k 

x k 

6 

4 

 

 

x 

k 

12 3 

C. 

. 

 

x k 

3 


2 

Câu 51: Phương trình tan x 5tan x 6 0 có nghiệm là: 

 

A. x k; x arctan( 6) 

k 

k 

 

4 

 

 

C. x k2 ; x arctan( 6) k2 

k 

 

4 

 

 

B. x k; x arctan( 6) k2 

k 

 

4 

 

x k; x arctan( 6) k 

k . 

D. 

2 

Câu 52: Giải phương trình x 

3 tan 1 3 tan x1 

0 

 

 

A. x k, x k, 

k . B. x k2 , x k2 , 

k 

4 6 

3 4 

. 

 

 

C. x k2 , x k2 , 

k . D. x k, x k, 

k 

4 6 

3 6 

. 

Câu 53: Phương trình tan x3cot x 4 

(với. k .) có nghiệm là: 

 

 

A. k2 ,arctan 3 k2 

. B. k 

. 

4 

4 

C. arctan 4 k . 

 

D. k,arctan 3 k 

. 

4 



 

 


. B. k 

. 

4 

4 

C. arctan 4 k . 

 

D. k,arctan 3 k 

. 

4 

2 


3 tan 3 3 tan x 3 0 có nghiệm là 

Trang 180


 

 

 

 

 

x 

k 

x k 

4 

4 

 

x 

k 

4 

 

x k 

4 

A. 

. B. 

. C. 

. D. 

. 

 

 

x k 

 

x k 

x k 

 

x k 

3 

3 

3 

3 

2 

Câu 56: Phương trình 2 tan x 3tan x1 0 có nghiệm là 

 

1 

A. k ( k ). B. k; arctan( ) ( k ). 

4 2 

 

1 

 

1 

C. k2 , arctan( ) ( k ) . D. k; arctan( ) k 

( k ) . 

2 2 

4 2 

2 

Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình tan 2x 3tan 2x 2 0 là 

 

 

 

 

A. k 

. B. k 

. C. k . D. k . 

8 

8 8 2 

8 2 

Câu 58: Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x 2cot 2x5 0 là 

 

 

1 2 

A. k . B. k . C. arctan k . D. 1 arctan 

2 k . 

4 2 

4 2 

2 3 2 2 3 2 

2 

Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan x 5tan x 3 0 là : 

 

 

 

5 

A. . B. . C. . D. . 

3 

4 

6 

6 

 

Câu 60: Số nghiệm của phương trình 2tan x 2cot x3 0 trong khoảng 

; 

2 là : 

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . 

2 

Câu 61: Giải phương trình : tan x 2 tan x1 0 . 

 

 

 

A. k . B. k 

. C. k2 

. D. k . 

4 2 

4 

2 

Câu 62: Nghiệm của phương trình tan x 

cot x 2 là 

 

 

A. x k2 , k . B. x k2 , k . 

4 

4 

 

 

C. x k 

, k . D. x k 

, k . 

4 

4 

tan x 1 


2 cot x 


1 tan x 2 4 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k . C. x k . D. x k . 

3 

6 2 

8 4 

12 3 

2 2 sin x cos x .cos x 3 cos 2x 



 

 

A. x k 

, k . B. x k 

, k . 

6 

6 

 

C. x k2 

, k . D. Vô nghiệm. 

3 

sin 3x 

cos3x 

Câu 65: Giải phương trình 5sin x cos 2x 

3 . 

1 

2sin 2x 

 

 

 

A. x k2 

, k . B. x k2 

, k . 

3 

6 

 

 

C. x k 

, k . D. x k 

, k . 

3 

6 

Trang 181


Câu 66: Cho phương trình x 

cos4x 

m. Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa 

2 

2 1 

tan x 

mãn điều kiện: 

5 

A. m 0 . 

2 

B. 0m 1. 

3 

5 3 

C. 1 m . D. m hay m . 

2 

2 2 

1 2 

Câu 67: Phương trình: 48 4 2 

1 cot 2 x.cot x 

0 

cos x 

sin x 

 

 

A. x k , k . B. x k , k 

16 4 

12 4 

. 

 

 

C. x k , k . D. x k , k 

8 4 

4 4 

. 

2 

Câu 68: Phương trình cos 2x sin x 2cos x 1 0 có nghiệm là 

x 

k2 

A. 

, k . B. x 

k2 

, k . 

x k2 

3 

 

 

 

x 

k 

3 

C. x k2 

, k . D. 

, k 

3 

 

x k 

3 

. 

4 4 3 

Câu 69: Phương trình: cos x sin x cos x .sin 3x 


4 4 2 

x k2 

k 

x k3 

k . 

A. . B. 

 

C. x k4 

k 

. D. x k 

k 

. 

4 


tương đương với phương trình: 

sin x 0 

sin x 0 

sin x 0 

sin x 0 

A. . B. 

sin x 1 

. C. 

1 . D. 

sin x 1 

 

1 . 

sin x 

sin 

x 

2 

2 

Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x cos2x 2sin3xsin 2x 

0 0;2 là 

trên 

A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . 

Câu 72: Số nghiệm của phương trình cos4 x 

tan 2 

cos2 

x 

 

trong khoảng 0; 

x 

2 

là : 

A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 . 

 

cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2 

Câu 73: Nghiệm phương trình 

1 

sin 2x 

1 

 

 

A. x k2 

. k . B. x k 

, k . 

4 

4 

 

3 

 

C. x k2 

, x k2 

, k . D. x k2 

, k . 

4 

4 

4 

2 

Câu 74: Cho phương trình cos5 cos cos4 cos2 3cos 1 

phương trình là: 

x x x x x . Các nghiệm thuộc khoảng 

; 

Trang 182 

của


2 

2 

 

 

A. , . B. , . C. , . D. , . 

3 3 

3 3 

2 4 

2 2 

4 4 4 5 

Câu 75: Phương trình: sin x 

sin sin 

x 4 x 4 4 


 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x 

k 2 

. 

8 4 

4 2 

2 

 

Câu 76: Phương trình: cos 2 cos 2 4sin 2 2 1 sin 

x 4 x 4 


 

 

 

 

x k2 

12 

 

x k2 

6 

 

x k2 

 

3 

 

x k2 

4 

A. 

. B. 

. C. 

11 

x 2 

12 

 

5 

k 

 

. D. 

x 2 

6 

 

2 

k 

 

. 

x 2 

3 

 

3 

k 

x 2 

4 

k 

sin 3x cos3x 3 cos2x 

Câu 77: Cho phương trình: sin 

x 

 

. Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng 

1 

2sin 2x 

5 

0;2 là: 

 

 

5 

, 

5 

B. , 5 

C. , 5 

D. , A. 

12 12 

6 6 

4 4 

3 3 

2 2 

sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m có nghiệm? 

Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 

A. 0m 

1. B. m 1. C. 0m 

1. D. m 0 . 

2 

sin x 2 m 1 sin x 3m m 2 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số 

Câu 79: Để phương trình: 

m là: 

1 1 

1 1 

A. m 

2 2 . B. m 

2 m 1 

1 m 1 

3 3 . C. 

. D. 

0 1 

1 m 2 

1 m 3 

m 

. 

3 m 4 

6 6 

Câu 80: Để phương trình sin x cos x a | sin 2 x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 

1 

A. 0 a . B. 1 3 

1 

1 

a . C. a . D. a . 

8 

8 8 

4 

4 

4 4 6 6 2 

4 sin x cos x 8 sin x cos x 4sin 4x m trong đó m là tham số. Để 


phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 

3 

A. 1 

m 0. B. m 1 

. 

2 

3 

C. 2 

m . D. m 2 hay m 0 . 

2 

6 6 

sin x 

cos x 


2 m.tan 2x, trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các 

2 2 

cos xsin 

x 

giá trị thích hợp của m là 

1 1 

1 1 

A. m hay m . B. m hay m . 

8 8 

4 4 

1 1 

1 1 

C. m hay m . D. m hay m . 

8 8 

4 4 

Trang 183



PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN 

Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . 

Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin 2 x + b sinx.cosx + c cos 2 x = d (1) 

Cách 1: 

Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? 

2 

Lưu ý: cosx = 0 x k 

sin x 1 sin x 1. 

2 

Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho 

2 2 

a.tan x b.tan x c d(1 tan x) 

Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 

2 

2 

cos x 0 ta được: 

( a d) t b. t c d 0 

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 

1cos2x sin2x 1cos2x 

(1) a. b. c. 

d 

2 2 2 

b.sin2 x ( c a).cos2x 2d a c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) 


2 2 

Câu 1: Phương trình 6sin x 7 3sin 2x 8cos x 6 có các nghiệm là: 

 

 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

4 

A. 

, k . B. 

, k . 

 

x k 

 

x k 

6 

3 

 

3 

 

x 

k 

8 

 

x 

k 

4 

C. 

, k . D. 

, k . 

 

2 

x k 

 

x k 

12 

3 

2 2 

3 1 sin x 2 3sin xcos x 3 1 cos x 0 



 

 

A. 

x k 

4 vôùi tan 2 

3 

, k . B. 

x k 

4 tan 

2 3 

 

x 

k 

x 

k 

 

 

C. 

x k 

8 tan 

1 

3 

 

 

 

x 

k 

8 

 

x 

k 

x 

k 

2 2 

Câu 3: Giải phương trình 3sin 2x 2sin 2x cos 2x 4cos 2x 

2. 

vôùi , k . 

vôùi , k . D. tan 

1 

3 

vôùi , k . 

Trang 184


1 k 

1 

k 

A. x arctan 3 , x arctan( 2) , k . 

2 2 2 2 

1 

73 k 

1 

73 k 

B. x arctan , x arctan , k . 

12 2 12 2 

1 1 

73 k 

1 1 

73 k 

C. x arctan , x arctan , k . 

2 6 2 2 6 2 

3 k 

k 

D. x arctan , x arctan( 1) , k . 

2 2 2 

2 2 

Câu 4: Phương trình 2sin x sin x cos x cos x 0 có nghiệm là: 

 

 

1 

 

A. k , k . B. k,arctan 

k 

4 

, k . 

4 2 

 

1 

 

 

1 

 

C. k,arctan 

 

k , k . D. k2 ,arctan 

k2 , k . 

4 2 

4 2 

2 2 

Câu 5: Một họ nghiệm của phương trình 2sin x 5sin x cos x cos x 2 là 

 

 

 

 

A. k 

, k . B. k 

, k . C. k 

, k . D. k 

, k . 

6 4 

4 6 

2 

Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos x 6sin xcos x 3 3 là 

A. 3 

 

 

 

k2 

, v k . B. k 

, k . C. k 

, k . D. k2 

, k . 

4 

4 4 

4 

2 

Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình 3sin x cos x sin x 2 là 

1 

A. arctan 2 

k , k . B. arctan 2 k , k . 

2 2 

1 

C. arctan 2 k , k . D. arctan 2 

k , k . 

2 2 

2 2 

Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình 2sin x sin x cos x 3cos x 0 là 

3 

3 

A. arctan 

k 

, k . B. arctan 

 

k , k . 

2 

2 

3 

3 

 

C. arctan k , k . D. arctan k 

, k . 

2 

2 

2 2 

Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình 3sin x 4sin x cos x 5cos x 2 là 

 

 

 

A. k2 

, k . B. k 

, k . C. k 

, k . D. 3 

k2 

, k . 

4 

4 4 

4 

2 2 

Câu 10: Phương trình : sin x ( 3 1)sin xcos x 3 cos x 0 có họ nghiệm là 

 

A. k 

, k . B. 3 

k 

, k . 

4 

4 

 

 

C. k 

, k . D. k 

, k 

, k . 

3 4 3 

2 2 

Câu 11: Phương trình 3cos 4x 5sin 4x 2 2 3sin 4xcos 4x 


 

 

A. x k , k . B. x k , k 

6 

12 2 . 

C. x 

k 

x 

18 3 

k 

4 . 

Trang 185


 

Câu 12: Trong khoảng 0 ; , 

2 phương trình 2 2 

sin 4x 3.sin 4 x.cos4x 4.cos 4x 0 có: 

A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. 

2 2 

Câu 13: Phương trình 2cos x 3 3sin 2x 4sin x 4 có họ nghiệm là 

 

 

x 

k 

2 

 

A. 

, k . B. x k2 

, k . 

 

2 

x k 

6 

 

 

C. x k 

, k . D. x k 

, k . 

6 

2 

2 2 

Câu 14: Phương trình 2sin x sin x cos x cos x 0 (với k ) có nghiệm là: 

 

1 

 

A. k2 ,arctan( ) k 2 

. B. k . 

4 2 

4 

 

1 

 

1 

C. k,arctan( ) k . D. k,arctan( ) k . 

4 2 

4 2 

cos 3 x sin 3 x 2 cos 5 x sin 

5 x 


 

1 

1 

A. x k 2 

B. x k C. x k D. 

4 

4 2 

4 3 

2 

sin x 3tan x cos x 4sin x cos x 


 

x k 

4 

 

 

A. x k2 , x arctan 1 2 k 2 

B. , arctan 1 2 

4 

2 2 

, arctan 1 2 

4 3 3 

1 1 

x k x k 

4 2 2 

 

x k, x arctan 1 2 k 

4 

C. x k x k D. 

2 

Câu 17: Giải phương trình x x x x x 

sin tan 1 3sin cos sin 3 

 

1 2 

 

x k2 

4 

 

x k 

4 2 

x k 

4 3 

x k 

4 

A. 

B. 

 

C. 

 

x 2 

3 

 

1 

k 

D. 

x 

3 

2 

k 

x 

2 

3 

 

k x 

3 

3 

k 

3 3 2 

Câu 18: Giải phương trình 4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 

 

 

1 1 

A. x k2 , x k 2 

B. x k , 

x k 

4 3 

4 2 3 2 

1 1 

 

 

C. x k , 

x k 

D. x k, 

x k 

4 3 3 3 

4 3 

3 

Câu 19: Giải phương trình 2cos x 

sin 3x 

 

1 

x arctan( 2) k2 

 

x arctan( 2) 

k 

A. 

2 

 

 

B. 

x k2 

1 

4 

x 

 

4 k 

2 

 

2 

 

x arctan( 2) 

k x arctan( 2) 

k 

3 

C. 

D. 

 

2 

x 

4 

x k 

k 

4 

3 

Trang 186


2 2 

Câu 20: Giải phương trình cos x 3sin 2x 1 

sin x 

1 

2 

x 

k2 

 

x 

k 

A. 

2 

 

x 

k 

x 

k 

3 

 

 

B. 

C. 

x k2 

1 

3 

 

D. 

x 

3 

2 

k 

 

x 

2 

3 

x k 

k 

3 

3 

2 2 

Câu 21: Giải phương trình 2cos x 6sin xcos x 6sin x 1 

 

1 

2 1 2 

A. x k2 ; x arctan 

k 2 

B. x k ; x arctan 

k 

4 5 

4 3 5 3 

1 1 1 

 

1 

C. x k ; x arctan 

k D. x k; x arctan 

k 

4 4 5 4 

4 5 

Trang 187


PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN 


Dạng 1: Là phương trình có dạng: 

a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3) 

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ 

 

Đặt: t cos x sin x 2.cos x ; t 2. 

4 

2 1 2 

t 1 2sin x.cos x sin x.cos x ( t 1). 

2 

Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t. 

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3’) 

Để giải phương trình này ta cũng đặt t sin x cos x 

t 

 

2; 2 

 

2 sinx 

2 

4 

 

1 

t 

sin 

xcos 

x 

 

2 

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t. 

Lưu ý: 

cos x sin x 

 

2 cos x 

2 sin x 

4 4 

cos x sin x 

 

2 cos x 

2 sin x 

4 4 

Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 

 

Đặt: t cos x sin x 2. cos x ; Ñk : 0 t 2. 

4 

1 2 

sin x.cos x ( t 1). 

2 

Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 


1 

Câu 1: Phương trình sin x cos x 1 sin 2x 


2 

 

 

 

x 

k 

6 2 

 

x 

k 

8 

A. 

, k . B. 

, k . 

 

 

x 

k 

x 

k 

4 

2 

 

 

x k 

C. 

4 , k . D. 

x 

k2 

2 , k . 

 

 

x 

k 

x 

k2 



2 

 

 

x k 

A. 

4 , k . B. 

x 

k2 

2 , k . 

 

 

x 

k 

x 

k2 

3 3 1 

Trang 188


C. 

3 

 

x 

k 

3 

4 

 

, k . D. 

x 

k 

2 , k . 

 

 

x 

k 

x2k1 

2 

 

2sin 2x sin x cos x 1 0 


 

1 

A. x k, 

x k 

hoặc x arccos 

2 

4 

 

k 

2 2 

1 1 1 1 

B. x k , 

x k hoặc x arccos 

 

3 2 3 4 

 

k 

2 2 

3 

2 2 1 2 

C. x k , 


 

3 2 3 4 

 

k 

2 2 

3 

 

1 

D. x k2 , x k2 

hoặc x arccos 2 

2 

4 

 

k 

2 2 

sin 2x 12 sin x cos x 12 0 


 

 

2 

A. x k , x k 2 

B. x k2 , x k 

2 

2 3 

1 2 

 

C. x k , x k 

D. x k2 , x k 2 

2 3 3 

2 

 

Câu 5: Giải phương trình sin 2x 2 sin x 

1 

4 

 

1 1 1 

A. x k , x k , x k 2 

B. x k , x k , x k 

4 2 

4 2 2 2 2 

2 2 

 

C. x k , x k , x k 2 

D. x k , x k2 , x k 2 

4 3 2 3 

4 2 

Câu 6: Giải phương trình 1tan x2 2 sin x 

11 5 

A. x k , x k , x k 

4 12 12 

2 11 2 5 2 

B. x k , x k , x k 

4 3 12 3 12 3 

11 1 5 

C. x k2 , x k , x k 2 

4 12 4 12 

11 5 

D. x k2 , x k2 x , x k 2 

4 12 12 

Câu 7: Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x 

1 

3 

A. k 

5 

x B. k 

7 

x C. x k 

D. x k 

2 

2 

2 

2 

3 3 


 

 

2 

A. x k2 , x k , x k B. x k , x k , x k 

4 2 

4 3 2 

1 2 

 

C. x k , x k , x k 2 

D. x k , x k2 , x k 2 

4 3 2 3 

4 2 

3 3 

Câu 9: Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x sin x cos x 

Trang 189


3 

A. k 

5 

x B. x k 

C. x 

k 

D. x k 

2 

2 

2 

1 1 10 

Câu 10: Giải phương trình cosx sinx 

cos x 

sin x 

3 

2 19 

2 19 

A. x arccos k 2 

B. x arccos k 2 

4 3 2 

4 2 

2 19 

2 19 

C. x arccos k 

D. x arccos k 2 

4 2 

4 3 2 

Câu 11: Cho phương trình sin xcos x sin x cos x m 0 , trong đó m là tham số thực. Để phương trình có 

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 

1 

1 

1 

A. 2 m 2. B. 2 m 1. C. 1 m 2 . D. 1 2 m 2. 

2 

2 

2 

2 

Câu 12: Phương trình 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0 có nghiệm là 

 

 

x 

k 

 

3 

A. 

, k . B. 

x k 

4 

5 

x k 

, k 

x 

5 

k 

3 

. 

 

 

 

x 

k 

6 

 

x 

k 

12 

C. 

, k . D. 

, k 

5 

5 

x k 

x k 

4 

12 

. 

Trang 190



PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 


1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác 

Dạng Đặt Điều kiện 

2 

asin x bsin x c 0 

2 

a cos x b cos x c 0 

t = sinx 1 t 1 

t = cosx 1 t 1 

2 

 

a tan x b tan x c 0 t = tanx x k 

( k Z) 

2 

Nếu đặt: 

2 

t sin x hoaëc2 

a cot xt bsin cotx x thì c ñieàu 0 kieän : 0 t 1. 

x k 

( k Z) 


Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác 

2 

2 

A. 2sin x sin 2x1 0. 

B. 2sin 2xsin 2x 

0. 

2 

2 

C. cos x cos2x 

7 0. 

D. tan x cot x 5 0. 

Hướng dẫn giải:. 

Chọn B. 

2 

Câu 2: Nghiệm của phương trình sin x– sin x 0 thỏa điều kiện: 0 x . 

 

 

A. x . B. x . C. x 0 . D. x . 

2 

2 


Chọn A. 

x 

k 

2 sin x 0 

sin x – sin x 0 

k 

 

sin x 1 x k2 

2 

 

Vì 0 x nên nghiệm của phương trình là x . 

2 

2 

 

Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin x 3sin x1 0 thỏa điều kiện 0 x là: 

2 

 

 

 

5 

A. x B. x C. x D. x 

3 

2 

6 

6 


Chọn C. 

Trang 191


t 

1 

2 

Đặt t sin x 1 t 1 

, phương trình trở thành: 2t 

3t1 0 

 

1 

t 

2 

 

Với t 1, ta có: sin x 1 x k2 k 

 

2 

. 

1 

Do 0 x nên 0 k2 

k 0. Vì k 

2 2 2 4 

nên không tồn tại k. 

 

1 

1 

x 

k2 

6 

Với t , ta có: sin x sin 

. 

2 

2 6 5 

x k2 

6 

 

Do 0 x nên x . 

2 6 

 

 

Vậy phương trình có nghiệm x thỏa điều kiện 0 x . 

6 

2 

2 

Câu 4: Phương trình sin x 3sin x 4 0 có nghiệm là: 

 

A. x k2 , k 

2 

B. x k2 , 

k 

C. x k 

, k 

 

D. x k 

, k 

2 


Chọn A. 

2 

t 

1 

Đặt t sin x 1 t 1 

, phương trình trở thành: t 3t 4 0 . 

t 

4 ( l) 

 

Với t 1, ta có: sin x 1 

x k2 

2 

k 

. 

2 

 

Câu 5: Nghiệm của phương trình sin xsin x 0 thỏa điều kiện: x . 

2 2 

A. x 0 . B. x . 

 

C. x . 

3 

D. 


Chọn A. 

x 

k 

2 

sin x 0 

sin xsin x0 

 

k 

 

sin x 1 x k2 

2 

 

 

Vì x nên nghiệm của phương trình là x 0 . 

2 2 

2 

Câu 6: Trong 0;2 , phương trình sin x1 cos x có tập nghiệm là 

 

A. ; ;2 

2 


Chọn C. 

. B. 

 

x . 

2 

0; 

. C. 0; ; 

2 . D. 

0; ; ;2 

2 . 

Trang 192


x 

k 

2 2 sin x 0 

sin x 1 cos x sin x sin x 

k 

 

sin x 1 x k2 

2 

 

Mà x0;2 

x 0; ; 

2 . 

2 

Câu 7: Phương trình: 2sin x 3sin 2x2 


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k 

6 

A. 

, k 

B. , k 

 

 

x k2 

x k 

2 

2 

 

 

C. x k 

, k D. x k2 , k 

2 

2 


Chọn B. 


2 

1 

cos 2x 

 

2sin x 

3sin 2x2 

2. 3 sin 2x 

2 3sin 2x cos2x 1 sin 2x 

 

sin 

2 

6 6 

 

 

2x k2 

 

 

 

6 6 

2x 

k2 

 

x 

k 

 

6 

3 

5 

 

k 

. 

 

2x k2 

2x 

k2 

x k 

6 6 

2 

2 

Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x 4sin x 3 0 là : 

 

 

A. x k2 , k B. x k2 , k 

2 

2 

 

C. x k2 , k D. x k2 , k 

2 


Chọn C 

2 

sin x 1 

sin x 4sin x 3 0 

sin x 3 

 

Với sin x 1 

x k2 , k 

2 

Phương trình sin x 3 1 vô nghiêm. 

2 


 

B. k 

, k . B. k2 , k . C. k2 , k . 

2 

 

D. k2 , k . 

6 


Chọn C. 

sin x 1 

2 

2 

2 

5 5sin x 2cos x 0 55sin x 21 sin x 

0 2sin x 5sin x 7 0 

 

7 

sin x 

2 

 

. 

Trang 193


 

Với sin x 1 x k2 , 

k 

2 

7 

Phương trình sin x 1 vô nghiêm. 

2 


4 

 

5 

A. x k2 ( k ) . B. x k; x k 

( k ) . 

6 

6 6 

5 

 

C. x k2 ; x k2 ( k ) . D. x k; x k 

( k ) . 

6 6 

6 6 


Chọn C. 

1 

2 3 

sin x 

2 

sin x 2sin x 0 

4 3 

sin x 

2 

 

1 

x 

k2 

6 

Với sin x 

k 

2 5 

x k2 

6 

3 


2 

2 

Câu 11: Phương trình 2sin x sin x 3 0 có nghiệm là: 

 

 

 

A. k , k . B. k 

, k . C. k2 , k . D. k2 , k . 

2 

2 

6 


Chọn C. 

sin x 1 

2 

2sin x sin x 3 0 

 

3 

sin x 

2 

 

Với sin x 1 

x k2 , k 

2 

3 


2 

Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos2xsin x 0 là 

2 

2 

A. k ; k 2 ; k . B. k ; k 2 ; k . 

6 3 2 

6 3 2 

2 

 

2 

C. k ; k 2 ; k . D. k ; k 2 ; k . 

6 3 2 

6 3 2 


Chọn C. 

2 3 

Trang 194


 

 

x k2 

2 

sin x 1 

 

2 

 

Ta có cos 2x sin x 0 1 2sin x sin x 

1 x k2 

k 

. 

sin 

x 6 

2 

 

5 

x k2 

6 

2 

 

Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin x– 3sin x1 0 thỏa điều kiện: 0 x . 

2 

 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

6 

4 

2 

2 


Chọn A. 

 

 

x 

k2 

2 

sin x 1 

 

2 

 

2sin x– 3sin x1 0 

 

1 x k2 

k 

 

sin 

x 6 

2 

 

5 

x k2 

6 

 

 

Vì 0 x nên nghiệm của phương trình là x . 

2 

6 

2 

Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin x– 5sin x– 3 0 là: 

7 

5 

A. x k2 ; x k2 

. B. x k2 ; x k2 

. 

6 6 

3 6 

 

5 

C. x k; x k2 

. D. x k2 ; x k2 

. 

2 

4 4 


Chọn A. 

 

sin x 3 1 

x k2 

2 

6 

2sin x– 5sin x– 3 0 

1 

k 

. 

sin 

x 7 

2 x k2 

6 

2 

Câu 15: Nghiêm của pt sin x – sinx 2là: 

 

 

 

A. x k2 . 

B. x k 

. 

C. x k2 . 

D. x 

k . 

2 

2 

2 


ChọnA. 

Đặt t sin x. Điều kiện t 1 

2 2 

t 1 ( TM) 

Phương trình trở thành: t t 2 t 

t 2 0 t 

2 (L) 

 

Với t 1 sin x 1 x k2 (k Z). 

2 


4 

2 3 

Trang 195


 

5 

A. x k2 ( k ) . B. x k; x k 

( k 

6 

6 6 

) . 

5 

 

C. x k2 ; x k2 ( k ) . D. x k; x k 

( k 

6 6 

6 6 

) . 


Chọn C. 

3 

sin 

2 

3 

x 

2 

sin x 2sin x 0 . 

4 1 

sin x 

2 

3 

+ sin x vô nghiệm vì 3 1 

2 

2 . 

 

x k2 

1 

 

6 

+ sin x sin x sin 

, k 

 

2 6 5 

x k2 

6 

. 

2 

Câu 17: Nghiệm của phương trình cos x sin x1 0 là 

 

 

A. x k2 , k . B. x k 

, k 

2 

2 

. 

 

 

C. x k2 , k . D. x k2 , k 

2 

2 

. 


Chọn C 

2 

2 

2 

cos x 

sin x1 0 1 sin x sin x 1 0 

sin x sin x 2 0 

sin x 1 

 

 

x k2 , k 

sin x 2( vn) 

2 

2 

Câu 18: Nghiêm của phương trình sin x sin x 2 là 

A. x k 

, k . 

 

B. x k2 , k 

2 

. 

 

 

C. x k2 , k . D. x k 

, k 

2 

2 

. 


Chọn B 

2 

2 

sin x 1 

 

sin x sin x 

2 sin x sin x 2 0 

x k2 , k 

sin x 2( vn) 

2 

2 

Câu 19: Phương trình 2sin x 3sin x 2 0 có nghiệm là 

 

A. k , k . B. k 

, k . 

2 

 

5 

C. k2 , k . D. k2 ; k2 , 

k . 

2 

6 6 


Chọn D 

Trang 196


 

1 

2 

sin x 

x 

k2 

2sin x 3sin x 2 0 

6 

2 

, k 

 

5 

sin x 2( vn) 

x k2 

6 

2 

 

Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos x 3sin x 3 0 thõa điều kiện 0 x là: 

2 

 

 

 

5 

A. x . B. x . C. x . D. x . 

3 

2 

6 

6 


Chọn C . 

2 

2 

2cos x 3sin x 3 0 2 1sin x 3sin x3 0 

 

 

x 

k 

sin x 1 

 

2 

2sin x 3sin x1 0 

 

 

1 x k2 , k . 

sin x 6 

2 

5 

x k2 

6 

 

 

Do 0 x nên ta chọn x . 

2 

6 

2 


 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

6 

A. 

, k . B. 

, k 

 

5 

x k2 

x k2 

6 

6 

. 

 

 

 

x 

k2 

3 

 

x 

k2 

3 

C. 

, k . D. 

, k 

 

2 

x k2 

x k2 

3 

3 

. 


Chọn B . 

1 5sin x 

2 

2cos x 

2 

0 15sin x 2 1sin x 

2 

0 2sin x 5sin x 3 0 

 

1 

 

 

sin x 

 

x 

k2 

6 

2 sin x sin , k . 

 

sin x 3VN 

6 5 

x k2 

6 

2 

Câu 22: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos x 0 là: 

 

 

A. k , k . B. k2 , k . C. k2 , k . D. k2 , k . 

2 

6 


Chọn C . 

2 

2 

2 

5 5sin x 2cos x 0 55sin x 2 1sin x 0 2sin x 5sin x 3 0 . 

 

Trang 197


sin x 1 

 

 

3 x k2 , k . 

sin x VN 

2 

2 

2 

Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2x 2sin2x1 0 là : 

 

 

 

 

A. k 

. B. k 

. C. k2 

. D. k2 

. 

4 

4 4 

4 


Chọn B. 

2 

 

 

sin 2x 2sin 2x 1 0 sin 2x 1 2x k2 

x k 

k . 

2 4 

2 

Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2x sin 2x1 0 là 

 

A. k 

. B. k 

. C. k . D. k . 

2 3 

2 2 

2 


Chọn D. 

2 2 sin 2x 

1 

cos 2x sin 2x 1 0 sin 2x sin 2x 

0 . 

sin 2x 

0 

 

 

+) sin 2x 1 2x k2 

x k 

k . 

2 4 

k 

+) sin 2x 0 2x k 

x k . 

2 

Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2cos2x 3sin x1 0 là 

1 

1 

A. arcsin 

k2 

. B. arcsin 

k2 

. 

4 

4 

1 1 

1 

C. arcsin 

k 

. D. arcsin 

k 

. 

2 2 4 

2 4 


Chọn B. 

sin x 1 

2 2 

2cos 2x 3sin x 1 0 21 2sin x 

3sin x 1 0 4sin x 3sin x 1 

1 . sin x 

4 

 

+) sin x 1 x k2 

k . 

2 

1 

arcsin 2 

1 

x 

k 

4 

+) sin x 

k . 

4 1 

x arcsin 

k2 

 

4 

2 

Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2x 

2sin 2x 

1 0 

; là : 

trong khoảng 

3 

 

A. 

; 

4 4 . B. 3 

 

 

; 

4 4 . C. 

3 

 

; 

4 4 . D. 

3 

 

; 

4 4 . 


Chọn B. 

Trang 198


2 

sin 2x sin 2x 1 0 sin 2x 

1 

 

 

2x k2 

x k 

k 

 

. 

2 4 

 

x 

 

3 5 k 

0 4 

Theo đề ra x k k 

4 4 4 

. 

k 

1 3 

x 

4 

2 

Câu 27: Giải phương trình: sin x 2sin x 3 0 . 

 

 

 

A. k . B. k 

. C. k2 

. D. k2 

. 

2 

2 

2 


Chọn C. 

Phương trình: 

2 

sin x 1 

sin x 2sin x 3 0 . 

. 

sin x 3 

 

+ sin x 1 x k2 

k 

. 

2 

+ sin x 3 phương trình vô nghiệm. 

4 2 

Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin x12cos x 7 0 có nghiệm là: 

 

 

 

 

A. x k2 

. B. x k . C. x k 

. D. x k 

. 

4 

4 2 

4 

4 


Chọn B. 


4 2 

4 2 

4sin x12cos x 7 0 4sin x12sin x 5 0 . 

 

 

x 

k2 

4 

 

2 5 1 

 

sin x 

L 

sin x 3 

 

x k2 

2 

2 

 

4 

2 1 

1 

 

k 

x ,k . 

sin x 

 

sin x 

2 

x k2 

2 

4 

 

4 2 

5 

x 

k2 

4 

5 

Câu 29: Phương trình cos 2 x 4cos x 


3 6 2 

 

 

 

 

 

x k2 

6 

 

x 

k2 

6 

 

x k2 

3 

 

x 

k2 

3 

A. 

. B. 

. C. 

. D. 

. 

 

3 

x k2 

5 

x k2 

x k2 

 

x k2 

2 

2 

6 

4 


Chọn A. 

5 2 

5 

cos 2 x 4cos x 1 2sin x 4cos x 

3 6 2 3 

 

2 3 

. 

 

2 

Trang 199


2 5 2 3 

1 2sin x 4sin x 2sin x 4sin x 0 . 

3 3 2 3 3 2 

3 

sin x 

x k2 

x k2 

3 2 3 6 6 

 

sin x 

sin 

 

, k 

 

1 3 

6 5 

sin x 

x 

k2 

 

 

x k2 

3 2 

 

3 6 2 

. 

2 

 

Câu 30: Tìm m để phương trình 2sin x 2m 1 

sinx m 0 có nghiệm x ;0 

2 . 

A. 1 m 0. 

B. 1m 

2. 

C. 1 m 0. 

D. 0 m 

1. 


Chọn C. 

 

Với x ;0 1 sin x 

0 

2 

1 

2 

sin x 

2sin x 2m 1 

sinx m 0 2 

sin x 

m 

2 

Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos x 4cos x 3 0 . 

A. x k2 ( k ) . 

 

B. x k2 ( k 

2 

) . 

C. x k2 ( k ) . D. x k 

( k ) . 


Chọn C. 

cos x 1 

2 

cos x 4cos x 3 0 

x k2 

k 

 

cos x 3VN 

 

. 

2 

Câu 32: Giải phương trình 2cos x 3cos x1 0 

 

 

 

A. x k2 , k . B. k2 , k2 , 

k 

3 

3 

. 

 

C. x k2 , k 

3 

. D. x k2 , k . 


Chọn B. 

cos x 1 

2 

2cos x 

3cos x1 0 

 

1 

cos x 

2 

Với cos x 1 

x k2 , k . 

1 

Với cos x x k2 , k 

2 3 

Câu 33: Phương trình cos2x 2cos x11 0 có tập nghiệm là: 

x arccos 3 k2 , k x arccos 2 k2 , k . 

A. , 

B. . 


C. 

D. 



Trang 200


Chọn B. 

2 

cos x 3 

cos2x 2cos x11 0 2cos x 2cos x12 0 

vô nghiệm. 

cos x 2 


A. sin x 3 0. 2 

B. 2cos x cos x1 0 . 

C. tan x 3 0 . D. 3sin x 2 0 . 


Chọn A . 

sin x3 0 sin x 3 1 PT vô nghiệm. 

2 x x 

Câu 35: Phương trình: sin 2cos 2 0 có nghiệm là: 

3 3 

A. x k 

, k B. x k3 , k C. x k2 , k D. x k6 , k 


Chọn D. 

2 x x 2 x 

x 

2 x x 

Ta có: sin 2cos 2 0 1 cos 2cos 2 0 cos 2cos 3 0 . 

3 3 3 

3 

3 3 

x 

 

cos 1 

3 

x 

k2 

x k6 k 

 

x 

3 

cos 3 ( vn) 

3 

. 

Câu 36: Phương trình : cos 2x cos 2x 0 có nghiệm là 

4 

2 

 

A. x k 

, k . B. x k 

, k . 

3 

3 

 

 

C. x k 

, k . D. x k2 , k . 

6 

6 


Chọn B . 

1 

2 3 

cos 2x 

 

2 

cos 2x cos 2x 0 

4 3 

cos 2 x (VN) 

2 

 

 

cos 2x 

cos 2x k2 

x k 

3 3 6 

2 

Câu 37: Nghiệm của phương trình cos x– cosx 0 thỏa điều kiện 0 x : 

 

 

 

A. x . B. x . C. x . D. 

6 

2 

4 


Chọn B. 

2 

Ta có cos – cos 0 cos x cosx1 0 

2 3 

x x 

 

cos x 0 x k 

2 k 

 

cosx 

1 0 

 

x 

k2 

 

 

x . 

2 

Trang 201


1 1 

 

0 k 

k 

Với 0 x 

 

2 2 k 

0 

2 k 

k 

 

1 

x 

0 k2 

 

VN 2 

0 k 

2 

2 

3 

Câu 38: Nghiệm của phương trình cos xcos x0 

thỏa điều kiện: x . 

2 2 

A. x . 

 

3 

3 

B. x . C. x . D. x . 

3 

2 

2 


Chọn A. 

 

2 

cos x 0 x k 

cos xcos x0 

 

2 k 

 

cos x 1 

 

x 

k2 

 

3 

Vì x nên nghiệm của phương trình là x . 

2 2 

2 

Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos x – 8cos x– 5 là: 

A. x k . B. x 

k2 

. C. x k2 

. 

 

D. x k2 

. 

2 


Chọn B. 

cos x 1 

2 

3cos x – 8cos x– 5 3cos 2 x 8cos x 5 0 

5 x k2k 

. 

cos x 1 

3 

Câu 40: Nghiệm của pt 2cos 2 x 

2cos x – 2 0 

 

 

 

A. x k2 

B. x k 

C. x k2 

D. 

4 

4 

3 


Chọn A 

2cos 2x2cos x– 2 0 

 

 

 

2 

2 2cos x 1 2cos x– 2 0 

 

2 

4cos x 2cos x 2 2 0 

2 

cos 

x 

2 

 

 

1 

2 cos 

x loai 

 

2 

2 

Câu 41: Phương trình 2cos x 3cos x 2 0 có nghiệm là 

 

 

A. k2 , k . B. k2 , k . 

6 

3 

2 

 

C. k2 , k . D. k2 , k . 

3 

3 


Chọn B 

 

x k 

3 

Trang 202


1 

2 

cos 

2cos x 3cos x 2 0 

x 

 

2 x k2 , k 

3 

cos x 2( vn) 

. 

2 

Câu 42: Phương trình lượng giác: sin x 3cos x 4 0 có nghiệm là 

 

 

A. x k2 , k B. x 

k2 , 

k C. x k 

, k 

2 

6 



Chọn D. 

2 

2 

2 

Ta có: sin x 3cos x 4 0 (1 cos x) 3cos x 4 0 cos x 3cos x 3 0 

. Phương trình trở thành: t 

Đặt t cos x 1 t 1 

2 

3t 3 0 (pt vô nghiệm) 

Vậy phương trình đã cho vô nghiêm. 

2 

Câu 43: Phương trình lượng giác: cos x 2cos x3 0 có nghiệm là 

A. x k2 , k B. x 0 

 

C. x k2 , k 

2 



Chọn A. 

2 

t 

1 

Đặt t cos x 1 t 1 

. Phương trình trở thành: t 2t 3 0 

t 

3 ( l) 

Với t 1 

cos x 1 

x k2 ( k ). 

Câu 44: Phương trình sin 2x 2cos x 0 có nghiệm là 

4 

 

 

A. x k 

, k . B. x k 

, k . 

6 

4 

 

2 

C. x k 

,, k . D. x k 

, k . 

3 

3 


Chọn A 

2 2 3 

2 2 3 

sin 2x 2cos x 0 1 cos 2x1 cos2 x+ 0 

4 

4 

3 

2 3 

cos2 x = ( vn) 

2 

 

 

cos 2x cos2x 0 2x k2 x k, 

k 

4 1 

3 6 

cos2 x = 

2 

2 

Câu 45: Họ nghiệm của phương trình cos 2x cos 2x 2 0 là 

 

k 

A. k 

. B. . C. 

 

k2 

. D. k 2 . 

2 2 2 

2 

2 


Chọn A. 

2 cos 2x 

1 

cos 2x cos 2x 2 0 . 

cos 2x 

2 (VN) 

 

cos 2x 1 2x k2 x k 

k . 

2 

Câu 46: Họ nghiệm của phương trình 3cos4x 2cos2x 5 0 là 

2 3 

Trang 203


 

 

A. k2 . B. k2 

. C. k . D. k2 

. 

3 

3 


Chọn C. 

3cos4x 2cos2x 5 0 . 

cos 2x 

1 

2 2 

32cos 2x 1 

2cos 2x 5 0 6cos 2x 2cos 2x 

8 0 

 

4 . 

cos 2 x (VN) 

3 

cos2x 1 2x k2 

x k 

k . 

2 

Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình 3sin 2x 3cos 2x 3 0 là 

 

 

 

 

A. k; k . B. k; 

k . C. k; k 

. D. k; 

k 

. 

4 2 

4 2 

4 

4 


Chọn A. 

2 

3sin 2x 3cos 2x 3 0 . 

2 2 cos 2x 

1 

31 cos 2x 

3cos 2x 3 0 3cos 2x 3cos 2x 

0 . 

cos 2x 

0 

+) cos2x 1 2x k2 

x k 

k . 

k 

+) cos 2x 0 2x k 

x k . 

2 4 2 

3 

3 

 

2 

 

; 

Câu 48: Nghiệm của phương trình 2cos 2x 3cos 2x 5 0 trong khoảng 2 2 là: 

3 3 

7 5 

 

A. 

; ; 

6 6 6 . B. 7 5 

; ; 

 

 

6 6 6 . C. 7 5 

; ; 

 

 

6 6 6 . D. 7 5 

; ; 

 

 

 

6 6 6 . 


Chọn D. 

 

cos2x 

1 

2 3 

2cos 2x 3cos 2x 5 0 

3 3 5 

cos2x 

Loai 

. 

3 

2 

 

cos2x 1 2x k2 

x k 

k 

 

3 3 6 

7 

 

x 

k 

1 

6 

 

3 3 4 5 

 

Theo đề ra x k 

k 

 

k 0 x 

. 

2 6 2 3 3 6 

 

k 1 

 

 

5 

x 

6 

2 

Câu 49: Giải phương trình 3cos x 2cos x 5 0 . 

 

 

A. x k . B. x k 

. C. x k2 

. D. x k2 

. 

2 

2 


Chọn D. 

Trang 204


2 

5 

Ta có: 3cos x 2cos x 5 0 cos x 1 hoặc cos x (loại vì 1 cos x 1). 

3 

cos x 1 x k2 

k . 

Khi đó, 

2 2 

Câu 50: Phương trình sin xsin 2x 1 có nghiệm là: 

 

 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

3 2 

A. 

( k ). B. 

. 

 

 

x k 

x k 

6 

4 

 

 

x 

k 

12 3 

C. 


 

x k 

3 


Chọn A. 

2 2 2 2 

Ta có sin x sin 2x 11 cos 2x 2(1 cos 2 x) 2 2cos 2x cos2x 

1 0 . 

 

cos 2x 1 

2x k2 

x k 

2 

 

1 

 

( k 

cos 2x 

2x k2 

 

2 3 x k 

6 

). 

2 

Câu 51: Phương trình tan x 5tan x 6 0 có nghiệm là: 

 

A. x k; x arctan( 6) 

k 

k 

 

4 

 

 

C. x k2 ; x arctan( 6) k2 

k 

 

4 

 

 

B. x k; x arctan( 6) k2 

k 

 

4 

 

x k; x arctan( 6) k 

k . 

D. 


Chọn A. 

Đặt t tan x , phương trình trở thành: t 

2 t 

1 

5t 6 0 . 

t 

6 

Với t 1 ta có tan x 1 

x k 

k 

. 

4 

Với t 6 ta có tan 6 x arctan 6 k 

k . 

 

x 

2 

Câu 52: Giải phương trình x 

3 tan 1 3 tan x1 

0 

 

 

A. x k, x k, 

k . B. x k2 , x k2 , 

k . 

4 6 

3 4 

 

 

C. x k2 , x k2 , 

k . D. x k, x k, 

k . 

4 6 

3 6 


Chọn A. 

Trang 205


tan x 1 

2 

3 tan x1 3tan x1 

0 

 

3 

tan x 

3 

 

Với tan x 1 x k 

, k 

4 

3 

Với tan x x k 

, k 

3 6 


(với. k .) có nghiệm là: 

 

 


. B. k 

. 

4 

4 

 

C. arctan 4 k . D. k,arctan 3 k 

. 

4 


Chọn D. 

Điều kiện x k . 

 

 

2 

tan x 1 x k 

tan x 3cot x 4 tan x 4 tan x 3 0 

4 

k 

 

 

tan x 3 x arctan 3 

k 



 

 


. B. k 

. 

4 

4 

 

C. arctan 4 k . D. k,arctan 3 k 

. 


Chọn D. 

Đk: sin 2x 0 x k 

x k . 

2 

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với. 

 

2 tan x 1 

x k 

tan x 4 tan x 3 0 

4 k 

 

tan x 3 

xarctan 3k 

2 


3 tan 3 3 tan x 3 0 có nghiệm là 

 

 

 

 

 

x 

k 

x k 

4 

4 

 

x 

k 

4 

 

x k 

4 

A. 

. B. 

. C. 

. D. 

. 

 

 

x k 

 

x k 

x k 

 

x k 

3 

3 

3 

3 


Chọn A. 

 

3 tan 2 3 3 

tan 3 0 

tan x 

x x 1 

 

. 

tan x 3 

 

+) tan x 1 

x k 

k . 

4 

 

+) tan x 3 x k 

k . 

3 

4 

 

. 

 

. 

Trang 206


2 

Câu 56: Phương trình 2 tan x 3tan x1 0 có nghiệm là 

 

1 

A. k ( k ). B. k; arctan( ) ( k ). 

4 2 

 

1 

 

1 

C. k2 , arctan( ) ( k ) . D. k; arctan( ) k 

( k ) . 

2 2 

4 2 


Chọn D. 

1 

1 x arctan k 

2 

tan x 

2 

Ta có 2 tan x 3tan x 1 0 2 

( k ) . 

 

tan x 1 

 

 

x k 

4 

2 

Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình tan 2x 3tan 2x 2 0 là 

 

 

 

 

A. k 

. B. k 

. C. k . D. k . 

8 

8 8 2 

8 2 


Chọn D. 

2 tan 2x 

1 

tan 2x 3tan 2x 2 0 . 

tan 2x 

2 

k 

+) tan 2x 1 2x k 

x k . 

4 8 2 

arctan 2 k 

+) tan 2x 2 2x arctan 2 k 

x k . 

2 2 

Câu 58: Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x 2cot 2x5 0 là 

 

 

1 2 

A. k . B. k . C. arctan k . D. 1 arctan 

2 k . 

4 2 

4 2 

2 3 2 2 3 2 


Chọn D. 

 

ĐK 2x k x k . 

2 4 

2 

3tan 2x 2cot 2x 5 0 3tan 2x 5tan 2x 

2 0 

 

 

tan 2x 1 

2x 

k 

4 

 

x k 

8 2 

 

2 

 

k 

. 

tan 2x 

2 1 2 

3 2x arctan k 

 

 

x arctan k 

3 

2 3 2 

2 

Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan x 5tan x 3 0 là : 

 

 

 

5 

A. . B. . C. . D. . 

3 

4 

6 

6 


Chọn B. 

Dùng chức năng CALC của máy tính để kiểm tra 

 

Câu 60: Số nghiệm của phương trình 2tan x 2cot x3 0 trong khoảng 

; 

2 là : 

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . 


Chọn D. 

Trang 207


Điều kiện: sin 2x 0 . 

Phương trình: 2tan x 2cot x3 0 . 

tan x 2 

2 

2 tan x3tan x 2 0 

 

1 

tan x 

2 

 

Dùng đường tr n lượng giác ta thấy trên khoảng 

; phương trình có 3 nghiệm. 

2 

2 

Câu 61: Giải phương trình : tan x 2 tan x1 0 . 

 

 

 

A. k . B. k 

. C. k2 

. D. k . 

4 2 

4 

2 


Chọn B. 

2 

 

Ta có: tan x 2 tan x 1 0 tan x 1 

x k 

k 

. 

4 

Câu 62: Nghiệm của phương trình tan x 

cot x 2 là 

 

 

A. x k2 , k . B. x k2 , k . 

4 

4 

 

 

C. x k 

, k . D. x k 

, k . 

4 

4 


Chọn D 

tan x 

cot x 2 

Điều kiện: x 

k 

2 

1 

tan x 

cot x 2 

tan x 2 

tan x 

2 

 

tan x 2 tan x1 0 tan x 1 x k 

, k 

4 

tan x 1 


2 cot x 


1 tan x 2 4 

 

 

 

 

A. x k 

. B. x k . C. x k . D. x k . 

3 

6 2 

8 4 

12 3 


Chọn D. 

 

Điều kiện: x k; x k , k 

2 4 2 

 

1 

tan x.tan 

tan x 1 2 tan x 

 

2 cot x 

 

4 

2 

1 tan x 2 4 1 

tan x 

 

tan x tan 4 

 

2 tan x 1 

tan x 

 

x 

2 

1tan x 1tan 

2 

2 tan x 1 

tan x 

Trang 208


 

2 

tan x 4 tan x 1 0 


5 

tan x 2 3 

x 

k 

12 

 

 

k 

 

tan x 2 3 

x k 

12 

2 2 sin x cos x .cos x 3 cos 2x 


 

 

A. x k 

, k . B. x k 

, k 

6 

6 

. 

 

C. x k2 

, k 

3 



Chọn D. 

2 2 sin x cos x .cos x 3 

cos 2x 


2 2 sin cos 2 2 cos 3cos 3sin cos sin 

2 2 2 2 2 

x x x x x x x 

 

sin 2 x 2 sin xcos x 2 2 cos 2 x 0 

 

2 

tan x 2 tan x 2 2 0 (vì cos 0 

 

 

 

x không là nghiệm của phương trình) 

Phương trình vô nghiệm. 

sin 3x 

cos3x 

Câu 65: Giải phương trình 5sin x cos 2x 

3 . 

1 

2sin 2x 

 

 

 

A. x k2 

, k . B. x k2 

, k . 

3 

6 

 

 

C. x k 

, k . D. x k 

, k . 

3 

6 


Chọn A 

3 3 

3sin x 4sin x 4cos x 3cos x 

pt 5sin x cos 2x 

3 

 

1 

2sin 2x 

 

x x 3 x 

3 x 

3 sin cos 4 sin cos 

5 sinx cos 2x 

3 

 

1 

2sin 2x 

 

 

 

1 

2 

2 

cos x 

5sin x sin x cos x 2cos x 1 

3 2cos x 5cos x 2 0 2 x k2 

 

3 

cos x 2 

Câu 66: Cho phương trình 1 4 tan x 

cos4x 

m. Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa 

2 

2 1 

tan x 

mãn điều kiện: 

5 

A. m 0 . B. 0m 1. 

2 

3 

5 3 

C. 1 m . D. m hay m . 

2 

2 2 


Chọn D 

 

Điều kiện x k , k . 

2 

 

Trang 209


1 4 tan x 1 

cos4x 

m 

2 cos4 4 tan .cos 

2 

x x x m cos4x 8sin x.cos x 2m . 

2 1 

tan x 2 

2 

2 

1 2sin 2x 4sin 2x 2m 

2sin 2 4sin 2 2 1 0 1 

x x m 

Đặt t sin2 x t 1;1 \ 0 

. 

2 

1 trở thành 2t 4t 2m 1 0 2 , 

4 4m 2 6 

4m. 

Ta xét 1 có nghiệm, tức là 2 có nghiệm t 1;1 . 

3 

Nếu 

0 m . 2 có nghiệm kép là t 1, loại do t 11;1 \ 0 

. 

2 

3 

Nếu 

0 m . 

2 

1 

Nếu 2 có nghiệm t 0 m 

nghiệm còn lại là t 21;1 \ 0 

. 

2 

2 6 4m 

1 1 

1 

1 

1 

1 

t 

Khi m thì 2 2 

phải có hai nghiệm thoả 

2 

 

1 t2 

1 2 6 4 

1 m 

1 

2 

 

5 

2 6 4 2 6 4 4 m 

m m 

5 3 

Giải a 2 

, a 

m 

. 

2 6 4m 

2 6 4m 

0 3 2 2 

m 

2 

2 6 4m 

2 

6 4m 

4 

Giải b , b 

 

 

m 

. 

2 6 4m 

2 

6 4m 

0 

5 3 

Khi đó, 1 có nghiệm khi m . 

2 2 

5 3 

Vậy 1 vô nghiệm khi m hoặc m . 

2 2 

1 2 

Câu 67: Phương trình: 48 4 2 

1 cot 2 x.cot x 

0 

cos x 

sin x 


 

 

A. x k , k . B. x k , k . 

16 4 

12 4 

 

 

C. x k , k . D. x k , k . 

8 4 

4 4 


Chọn C 

Điều kiện: sin 2x 0 x k . 

2 

cos 2 x.cos x sin 2 x.sin x cos 2x 

x 

1 

Ta có: 1 cot 2 x.cot 

x 

2 2 

sin 2 x.sin x 2sin x.cos x 2sin x 

Do đó, phương trình tương đương: 

4 4 

1 1 sin x 

cos x 1 2 4 

48 0 48 1 sin 2x 

3sin 2x 

4 4 

4 

cos x sin x sin x.cos 

x 

2 

 

2 

Đặt t sin 2x 

, 0t 

1 ( Do điều kiện sin 2x 0 ). Phương trình trở thành: 

 

o 

a 

b 

Trang 210


1 

 

1 

t n 

2 2 

1 t 3t 

 

2 2 

t l 

3 

2 1 

k 

Suy ra: sin 2x cos 4x 0 x , k 

2 8 4 

2 

Câu 68: Phương trình cos 2x sin x 2cos x 1 0 có nghiệm là 

x 

k2 

A. 

, k . B. x 

k2 

, k . 

x k2 

3 

 

 

 

x 

k 

3 

C. x k2 

, k . D. 

, k . 

3 

 

x k 

3 


Chọn B 

2 

2 2 

cos 2x sin x 2cos x 1 0 2cos x 11 cos x 2cos x 1 0 

2 

cos x 2cos x1 0 cos x 1 x k2 

k 

 

4 4 3 

Câu 69: Phương trình: cos x sin x cos x .sin 3x 


4 4 2 

x k2 

k 

x k3 

k . 

A. . B. 

 

. 

4 

C. x k4 

k 

. D. x k 

k 

 


Chọn D. 

4 4 3 1 2 1 3 

cos x sin x cos x .sin 3x 

0 1 sin 2x sin 4x sin 2x 

0 

4 4 2 2 2 

 

2 

 

2 

1 2 1 3 1 2 1 2 

3 

1 sin 2x cos 4x sin 2x 

0 1 sin 2x 1 2sin 2x 

sin 2x 

0 

2 2 2 2 2 

 

 

 

2 

1 2 1 

sin 2x 

1 

 

 

sin 2x sin 2x1 0 

2 2 

 

. 2x 2k 

x k 

, k 

. 

sin 2x 

2 ( VN) 

2 

4 


tương đương với phương trình: 

sin x 0 

sin x 0 

sin x 0 

sin x 0 

A. . B. 

sin x 1 

. C. 

1 . D. 

sin x 1 

 

1 . 

sin x 

sin 

x 

2 

2 


Chọn C. 

Phương trình sin3x cos2x 1sin3x sin x 

sin x 0 

2 

2sin x sin x 

0 

1 . sin x 

2 

Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x cos2x 2sin3xsin 2x 

0 0;2 là 

trên 

A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . 

Trang 211



Chọn A 

cos x 1 

x 

k2 

2 

pt cos5x cos 2x cos5x cos x 0 2cos x cos x1 0 

1 

 

cos x x k2 

2 3 

5 

Vì x0;2 

x , , 

. Vậy tổng các nghiệm là 3 . 

3 3 

Câu 72: Số nghiệm của phương trình cos4 x 

tan 2 

cos2 

x 

 

trong khoảng 0; 

x 

2 là : 

A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 . 


Chọn A 

Điều kiện: cos2x 0 sin2x 

1 

Ta có : cos4 x 

tan 2 

cos2 

 

2 

2 

x cos4xsin2 

x 1 

2sin 2x 

sin 2x 

2sin 2x sin 2x 

1 0 

x 

 

sin 2x 

1 

l 

 

x k 

 

 

6 

1 k 

 

sin 2x 

n 

 

2 x k 

3 

 

 

Vì x 0; x ; x 

2 6 3 

 

cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2 

Câu 73: Nghiệm phương trình 

1 

sin 2x 

1 

 

 

A. x k2 

. k . B. x k 

, k . 

4 

4 

 

3 

 

C. x k2 

, x k2 

, k . D. x k2 

, k . 

4 

4 

4 


Chọn D 

 

x k2 

4 

Điều kiện sin 2x 1 0 x k 

 

4 3 

x k2 

4 

pt x x x x x x 

2 2 

cos 2cos .sin 3sin 3 2 sin sin 2 1 

 

2 x k2 

sin x 4 

 

 

2 

x k2 

5 

4 

 

 

sin x 2 x k2 

l 

4 

Câu 74: Cho phương trình 

2 

cos5 cos cos4 cos2 3cos 1 

 

2 

2sin x 3 2 sin x 1 0 

x x x x x . Các nghiệm thuộc khoảng 

; 

phương trình là: 

2 

2 

 

 

A. , . B. , . C. , . D. , . 

3 3 

3 3 

2 4 

2 2 

của 

Trang 212



Chọn D 

2 

Phương trình cos5x cos x cos4x cos2x 3cos x 1 

1 1 

2 

2 

cos6x cos4x cos6x cos2x 3cos x 1 

cos4x cos2x 6cos x 2 

2 2 

2 

2cos 2x 1 cos2x 3 3cos2x 

2 

2 cos2x 

1 

 

2cos 2x 4cos2x 6 0 

x k 

, k . 

cos2x 

3( PTVN ) 2 

 

Vậy các nghiệm thuộc khoảng 

; của phương trình là x , x . 

2 2 

CÁCH KHÁC: 

 

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (casio 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị x , x của đáp án D 

2 2 

thỏa. 

4 4 4 5 

Câu 75: Phương trình: sin x 

sin sin 

x 4 x 4 4 


 

 

 

A. x k . B. x k . C. x k . D. x 

k 2 

. 

8 4 

4 2 

2 


Chọn B 

4 4 4 5 

sin x 

sin sin 

x 4 x 4 4 

2 2 

1 2 1 1 5 

 

1 cos2x 

1 cos 2 1 cos 2 

4 4 

x 

2 

 

4 

x 

2 

 

 

4 

x x x 

2 2 2 

1 cos2 1 sin 2 1 sin 2 5 

2 2 2 

1 2cos2x cos 2x 1 2sin 2x sin 2x 1 2sin 2x 

sin 2 5 

2 2 cos 2x 

0 

 

2cos 2x sin 2x 1 0 cos 2x 2cos 2x 0 

x k , k . 

cos 2x 

2( PTVN) 4 2 

CÁCH KHÁC: 

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …). 

 

Câu 76: Phương trình: cos 2 cos 2 4sin 2 2 1 sin 

x 4 x 4 


 

 

 

 

x k2 

12 

 

x k2 

6 

 

x k2 

 

3 

 

x k2 

4 

A. 

. B. 

. C. 

11 

x 2 

12 

 

5 

k 

 

. D. 

x 2 

6 

 

2 

k 

 

. 

x 2 

3 

 

3 

k 

x 2 

4 

k 


Chọn B 

 

cos 2 cos 2 4sin 2 2 1 sin 

x 4 x 4 

x x 

1 1 

cos2x sin 2x sin 2x cos2x 4sin x 2 2 1 sin x 

2 2 

2 cos2x 4sin x 2 2 1 

sin x 

 

 

Trang 213


2 2 

 

2 1 2sin x 4sin x 2 2 1sin x 0 2 2 sin x 4 2 sin x 2 0 

 

 

 

sin x 2 PTVN 

 

x k2 

6 

 

 

1 

k 

 

 

 

sin x 5 

2 

x k2 

6 

CÁCH KHÁC: 

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …). 

 

 

 

Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án D đều không thỏa phương trình 

12 

3 

4 

(chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ nghiệm của đáp án 

 

khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 

6 

 

 

Kiểm tra giá trị x của đáp án A, x của đáp án C, x của đáp án D đều không thỏa phương trình 

8 

2 

(chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ nghiệm của đáp án 

 

khác); kiểm tra giá trị x của đáp án B thỏa phương trình. 

4 

sin 3x cos3x 3 cos2x 

Câu 77: Cho phương trình: sin 

x 

 

. Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng 

1 

2sin 2x 

5 

0;2 là: 

 

 

5 

, 

5 B. . 

5 C. . 

5 D. . 

A. 

12 12 


Chọn D 

, 

6 6 

1 

Điều kiện: sin 2 x . Phương trình đã cho tương đương: 

2 

3 3 

3sin x 4sin x 4cos x 3cos x 3 cos2x 

sin 

x 

 

 

1 

2sin 2x 

5 

3 3 

 

, 

4 4 

3 sin x cos x 4 sin x cos x 3 

cos2x 

sin x 

1 

2sin 2x 

5 

3sin x cos x 4sin x cos x1 sin x.cos x 

3 

cos2x 

sin x 

1 

2sin2x 

5 

sin x cos x1 4sin x.cos x 

3 

cos2x 

sin x 

1 

2sin 2x 

5 

sin x cos x1 2sin2x 

3 

cos2x 

sin x 

1 

2sin2x 

5 

3 

cos2x 

sin x sin x cos x 5cos x 3 

cos2x 

5 

1 

cos 

2 

2cos 5cos 2 0 

x 

 

x x 2 x k2 , k 

 

3 

cos x 2PTVN 

 

. 

, 

3 3 

Trang 214


Vì các nghiệm của phương trình thuộc khoảng 0;2 nên nghiệm của phương trình là 

CÁCH KHÁC: 

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …), kiểm tra các giá trị 

đáp án D đều thỏa phương trình. 

Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 

5 

x , x . 

3 3 

5 

x , x của 

3 3 

2 2 

sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m có nghiệm? 

A. 0m 

1. B. m 1. C. 0m 

1. D. m 0 . 


Chọn A. 

1 cos 2x 

1 cos 2x 

pt 

m 1sin 2x m 1 m 2m 1sin 2x mcos 2x 2 3m 

2 2 

2 2 

Phương trình có nghiệm 

2 

Câu 79: Để phương trình: 

 

2 2 

4 m 1 m 2 3m 4m 4m 0 0 m 1 

sin x 2 m 1 sin x 3m m 2 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số 

m là: 

1 1 

1 1 

A. m 

2 2 . B. m 

3 3 . C. 

 

1 m 2 

1 m 3 


Chọn B 

Đặt sin 

1;1 

f t t m t m m . 

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn 

2 m 1 

1 m 1 

. D. 

0 m 1 

. 

3 m 4 

2 

t x. Điều kiện t . Phương trình trở thành: 

2 2 1 3 2 

1;1 

(1) có một nghiệm thuộc 1;1 

 

1;1 

 

0 

 

f 1 

0 

 

f 1 . f 1 

0 hoặc f 1 

0 

 

S 1 1 

2 

2 

4m 

4m1 0 

2 

2 2 

3 8 3 0 

3m 8m 33m 4m 1 

m m 

0 hoặc 

2 

3m 

4m 

1 0 

 

1 m 1 1 

m 

 

 

1 

1 1 m 1 1 1 

m 3 

3 3 hoặc 

m 

3 3 hoặc m 

1 

1 m 3 

m 

3 

1 m 3 

3 

 

2 m 0 

1 1 

Vậy m hoặc 1m 3. 

3 3 

CÁCH KHÁC: 

t 2 m 1 t 3m m 2 0 (1). Đặt 

hoặc có hai nghiệm thuộc 

Trang 215


Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị trong khoảng như 

4 3;4 

3 1;3 ở đáp án B thì phương trình có nghiệm. Vậy chọn đáp án B. 

ở đáp án D không thoả, 

6 6 

Câu 80: Để phương trình sin x cos x a | sin 2 x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 

1 

A. 0 a . B. 1 3 

1 

1 

a . C. a . D. a . 

8 

8 8 

4 

4 


Chọn D 

x x a x 2 2 3 

2 2 2 2 

 

6 6 

sin cos | sin 2 | 

sin x cos x 3sin x.cos x. sin x cos x a sin2x 

2 2 

3 2 

1 3sin x.cos x a sin 2x . 1 

sin 2x a sin 2x . 

4 

2 

x a x 

3 sin 2 4 sin 2 4 0 

Đặt t sin 2x 0 t 1 

1 . 

2 

1 trở thành 3t 4at 4 0 2 . 

Để phương trình 1 có nghiệm thì phương trình 2 phải có nghiệm trong đoạn 

Xét phương trình 2 , ta có: 

Do đó các nghiệm , 

 

 

3. 4 

0 

2 

4a 

12 0a 

2 

2a 4a 

12 

t1 

 

0 

3 

t1 t2 t1 t 

2 

thoả 

2 

2a 4a 

12 

t2 

0 1 

 

3 

 

2 

2 

2a 4a 

12 0 2a 4a 12 0 a 

 

2 2 

2a 4a 12 0 4a 12 2a b 

. 

 

2 

 

2 

2a 4a 12 3 

 

4a 12 3 2a c 

 

Xét a , 

Xét b , b 

Xét c , 

2 2 

2a 4a 12 2a 4a 2a 2a 2a 2a 

0 

0;1 . 

, nên 2 luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. 

2 

2a 4a 12 0 a . 

2 

4a 

12 0 

 

2a 

0 

2 

 

4 12 0 

 

a a . 

 

2a 

0 

2 2 

4a 

12 4a 

2 

4a 

12 0 

3 

a 

 

2 1 

c 3 2a 0 

a 

1 4 

2 2 

4 12 9 12 4 

 

a a a a 

4 

4 4 6 6 2 

4 sin x cos x 8 sin x cos x 4sin 4x m trong đó m là tham số. Để 


phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 

3 

A. 1 

m 0. B. m 1 

. 

2 

Trang 216


3 

25 

C. 2 

m . D. m hay m 0 . 

2 

4 


Chọn D 

4 4 6 6 2 

4 sin x cos x 8 sin x cos x 4sin 4x m 

 

1 3 

 

2 x 4 

x 

x m 

2 2 

2 

4cos 4x 4sin 2x 8 m 0 4cos 4 2cos4 6 0 

2 2 2 

4 1 sin 2 8 1 sin 2 4 1 cos 4 

x x m 1 

 

Đặt t cos4x t 1;1 

. 

2 

1 trở thành 4t 2t 6 m 0 2 , 

25 4m . 

Để tìm m sao cho 1 vô nghiệm, ta sẽ tìm m sao cho 

1 có nghiệm thì 2 phải có nghiệm thoả t 1;1 . 

25 

Nếu 

0 m 

4 

25 

Nếu 

0 m 

4 

, 2 có nghiệm kép t 1;1 

o 

1 

4 

1 có nghiệm rồi sau đó phủ định lại. 

, nên 

, khi đó 2 phải có hai nghiệm phân biệt thoả 

25 

1 có nghiệm. 

4 

1 t1 

1 

 

1 t2 

1 

m thoả 

1 25 4m 

1 1 a 

4 

 

. 

1 25 4 

1 m 

1 

4 

b 

 

0 

1 25 4 4 25 4 5 

m 

 

m m 

25 

Giải a , a 

25 m 0 

1 25 4m 

4 25 4m 

3 

m 

4 

4 

1 25 4m 4 

25 4m 5 25 4m 

0 25 

Giải b , b 

m 4 

1 25 4m 

4 

25 4m 

3 25 4m 

9 4 

25 

Kết hợp lại, 1 có nghiệm khi m 0 . 

4 

25 

Do đó 1 vô nghiệm khi m hoặc m 0 . 

4 

CÁCH KHÁC: 

2 

Bài tóan đã cho trở thành tìm m sao cho phương trình 4 2 6 

t 1;1 . 

 

 

2 

 

P : y 4t 2t 

6 

Đặt 

d : y m 

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của P và d . 

Phương trình (*) không có nghiệm t 1;1 khi chỉ khi P và d không 

giao nhau trong 1;1 

. 

25 

Dựa vào đồ thị ta có m hoặc m 0 . 

4 

t t m (*) không có nghiệm 

Trang 217


6 6 

sin x 

cos x 


2 m.tan 2x, trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các 

2 2 

cos xsin 

x 

giá trị thích hợp của m là 

1 1 

1 1 

A. m hay m . B. m hay m . 

8 8 

4 4 

1 1 

1 1 

C. m hay m . D. m hay m . 

8 8 

4 4 


Chọn C 

Điều kiện: cos2x 0 

3 2 

1 

sin 2x 

4 sin 2x 

2 2 

pt 2m 3sin 2x 8msin 2x 

4 0 1 

cos 2x 

cos 2x 

t sin 2 x, 1 t 1 . Phương trình trở thành: 

Đặt 

2 

4m 16m 

12 

t1 

 

3 

 

. 

2 

4m 16m 

12 

t2 

 

 

3 

Phương trình 2 luôn có hai nghiệm trái dấu t 2 0 

t 1 . 

2 

3t 

8mt 

4 0 

Vì ac . 0 

Do đó 1 có nghiệm 

 

2 

m m 

1 

2 

4 16 12 1 

 

m 

3 16m 

12 3 

4m 

8 

 

 

 

 

 

 

2 2 

4m 16m 12 

 

16m 12 3 4m 1 

 

1 

m 

3 

8 

Trang 218



PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN 

Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . 

Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin 2 x + b sinx.cosx + c cos 2 x = d (1) 

Cách 1: 

Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? 

2 

Lưu ý: cosx = 0 x k 

sin x 1 sin x 1. 

2 

Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình (1) cho 

2 2 

a.tan x b.tan x c d(1 tan x) 

Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 

2 

2 

cos x 0 ta được: 

( a d) t b. t c d 0 

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 

1cos2x sin2x 1cos2x 

(1) a. b. c. 

d 

2 2 2 

b.sin2 x ( c a).cos2x 2d a c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) 


2 2 

Câu 1: Phương trình 6sin x 7 3sin 2x 8cos x 6 có các nghiệm là: 

 

 

 

x 

k 

2 

 

x 

k 

4 

A. 

, k . B. 

, k . 

 

x k 

 

x k 

6 

3 

 

3 

 

x 

k 

8 

 

x 

k 

4 

C. 

, k . D. 

, k . 

 

2 

x k 

 

x k 

12 

3 


Chọn A. 

2 

 

TH1: cos x 0 sin x 1 thỏa phương trình phương trình có nghiệm x k 

2 

2 

TH2: cos x 0, chia cả hai vế cho cos x ta được 

2 6 

2 2 

6 tan x 14 3 tan x 8 6 tan x 14 3 tan x 8 6 

2 

1 

tan x 

cos x 

1 

14 3 tan x 14 tan x 3 

x 

 

6 

k 

 

Vậy, phương trình có nghiệm x k, x k. 

2 6 

Trang 219


2 2 

3 1 sin x 2 3sin xcos x 3 1 cos x 0 



 

 

A. 

x k 

4 vôùi tan 2 

3 

, k . B. 

x k 

4 tan 

2 3 

 

x 

k 

x 

k 

 

 

C. 

x k 

8 tan 

1 

3 

 

 

 

x 

k 

8 

 

x 

k 

x 

k 


Chọn B. 

2 

TH1: cos x 0 sin x 1 không thỏa phương trình. 

2 

TH2: cos x 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được: 

vôùi , k . 

vôùi , k . D. tan 

1 

3 

vôùi , k . 

 

tan x 1 

2 

x k 

3 1 

tan x 2 3 tan x 3 1 0 

4 

 

tan x 2 3 

x arctan 2 3 

k 

 

2 2 

Câu 3: Giải phương trình 3sin 2x 2sin 2x cos 2x 4cos 2x 

2. 

1 k 

1 

k 

A. x arctan 3 , x arctan( 2) , k . 

2 2 2 2 

1 

73 k 

1 

73 k 

B. x arctan , x arctan , k . 

12 2 12 2 

1 1 

73 k 

1 1 

73 k 

C. x arctan , x arctan , k . 

2 6 2 2 6 2 

3 k 

k 

D. x arctan , x arctan( 1) , k . 

2 2 2 


Chọn A. 

2 

TH1: cos 2x 0 sin 2x 1 không thỏa phương trình. 

2 

TH2: cos 2x 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos 2x ta được: 

2 2 

2 2 

3tan 2x 2 tan 2x 4 3tan 2x 2 tan 2x 4 2 

2 

1 tan 2x 

cos 2x 

1 k 

x arctan 3 

2 

tan 2x 

3 2 2 

tan 2x tan 2x 6 0 

tan 2x2 1 k 

x arctan( 2) 

2 2 

2 2 

Câu 4: Phương trình 2sin x sin x cos x cos x 0 có nghiệm là: 

 

 

1 

 

A. k , k . B. k,arctan 

k 

4 

, k . 

4 2 

 

1 

 

 

1 

 

C. k,arctan 

 

k , k . D. k2 ,arctan 

k2 , k . 

4 2 

4 2 


Chọn C. 

2 

TH1: cos x 0 sin x 1 không thỏa phương trình. 

2 

TH2: cos x 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được: 

Trang 220


 

tan x 1 

 

x k 

2 

4 

2 tan x tan x1 0 

1 

tan 

x 1 

2 xarctan 

k 

2 

2 2 

Câu 5: Một họ nghiệm của phương trình 2sin x 5sin x cos x cos x 2 là 

 

 

 

 

A. k 

, k . B. k 

, k . C. k 

, k . D. k 

, k . 

6 4 

4 6 


Chọn C. 

 

x k 

không là nghiệm của phương trình 

2 

2 tan 2 x 5tan x 1 2 1 tan 2 x 4 tan 2 x 5tan x 1 0 

 

2 

Chia 2 vế phương trình cho cos x ta được tan x 1 

 

x k 

4 

 

1 

tan 

x 1 

4 xarctan 

k 

4 

2 

Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos x 6sin xcos x 3 3 là 

A. 3 

 

 

 

k2 

, v k . B. k 

, k . C. k 

, k . D. k2 

, k 

4 

4 4 

4 

. 


Chọn B. 

2 

2 3 cos x 6sin xcos x 3 3 3 1 cos 2x 3sin 2x 

3 3 

 

 

1 3 3 

3 cos 2x 3sin 2x 3 cos 2x sin 2x 

 

2 2 2 

 

2x k2 

x k 

3 3 6 4 

cos2x 

 

 

3 2 

2x k2 

x k 

 

3 6 12 

2 

Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình 3sin x cos x sin x 2 là 

1 

A. arctan 2 

k , k . B. arctan 2 k , k 

2 2 

. 

1 

C. arctan 2 k , k 

2 2 

. D. arctan 2 

k , k . 


Chọn A. 

 

x k 


2 

Chia 2 vế phương trình cho 

2 

3tan x tan 2 x 2 1 

tan 

2 x 

cos x ta được 

 

2 

tan x 1 x k 

tan x 3tan x 2 0 

 

4 

tan x 2 

 

x arctan 2 

k 

2 2 

Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình 2sin x sin x cos x 3cos x 0 là 

 

 

 

Trang 221


3 

3 

A. arctan 

k 

, k . B. arctan 

 

k , k . 

2 

2 

3 

3 

 

C. arctan k , k . D. arctan k 

, k . 

2 

2 


Chọn A. 

 

x k 


2 

2 

Chia 2 vế phương trình cho cos x ta được 

 

tan x 1 

 

x k 

2 

4 

2 tan x tan x3 0 

3 

tan 

x 3 

2 x arctan k 

 

2 

2 2 

Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình 3sin x 4sin x cos x 5cos x 2 là 

 

 

 

A. k2 

, k . B. k 

, k . C. k 

, k . D. 3 

k2 

, k . 

4 

4 4 

4 


Chọn B. 

 

x k 


2 

2 


 

tan x 1 

x k 

3tan 2 x 4 tan x 5 21 tan 2 x 

tan 2 x 4 tan x 3 0 

 

4 

tan x 3 

xarctan 3k 

2 2 

Câu 10: Phương trình : sin x ( 3 1)sin xcos x 3 cos x 0 có họ nghiệm là 

 

A. k 

, k . B. 3 

k 

, k . 

4 

4 

 

 

C. k 

, k . D. k 

, k 

, k . 

3 4 3 


Chọn D. 

 

x k 


2 

2 


 

tan 1 

x 

x 

tan 2 3 1 tan 3 0 

4 k 

 

x x 

tan x 3 

x k 

3 

2 2 

Câu 11: Phương trình 3cos 4x 5sin 4x 2 2 3sin 4xcos 4x 


 

 

A. x k , k . B. x k , k . 

6 

12 2 

C. x 

k 

, k . D. x 

18 3 

24 k 

, k . 4 


Trang 222


Chọn D. 

2 

TH1: cos 4x 0 sin 4x 1 không thỏa phương trình. 

2 

TH2: cos 4x 0, chia cả hai vế cho cos 4x ta được 

2 2 

2 2 

3 5tan 4x 2 3 tan 4x 3 5tan 4x 2 

2 

1 tan 4x 

2 3 tan 4x 

cos 4x 

2 3 k 

3tan 4x 2 3 tan 4x 1 0 tan 4x 4x k 

x 

3 6 24 4 

Câu 12: 

 

Trong khoảng 0 ; , 

2 phương trình 2 2 

sin 4x 3.sin 4 x.cos4x 4.cos 4x 0 có: 

A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. 


Chọn B 

Nhận thấy cos4x 0 không là nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos4x , ta được phương t: 

k 

tan 4 1 

x 

2 x 16 4 

tan 4x 3.tan 4x 4 0 

, k 

tan 4x 

4 1 k 

x arctan 4 

4 4 

. 

5 1 1 

 

Do x0 ; x ; ; arctan 4 ; arctan 4 

 

2 16 16 4 4 4 2 

2 2 

Câu 13: Phương trình 2cos x 3 3sin 2x 4sin x 4 có họ nghiệm là 

 

 

x 

k 

2 

 

A. 

, k . B. x k2 

, k . 

 

2 

x k 

6 

 

 

C. x k 

, k . D. x k 

, k . 

6 

2 


Chọn A. 

 

cos x 0 x k 

: là nghiệm của phương trình 

2 

2 

cos x 0: Chia 2 vế phương trình cho cos x ta được 

2 6 3 tan x 4tan 2 x 41 tan 2 x tan x 1 

3 

x 

 

6 

k 

2 2 

Câu 14: Phương trình 2sin x sin x cos x cos x 0 (với k ) có nghiệm là: 

 

1 

 

A. k2 ,arctan( ) k 2 

. B. k . 

4 2 

4 

 

1 

 

1 

C. k,arctan( ) k . D. k,arctan( ) k . 

4 2 

4 2 


Chọn D 

 

 

Khi cos x 0 x k : VT 2VP 0 x k 

l 

 

2 

2 

 

2 2 

2 

Khi cos x 0 x k : 2sin x sin x cos x cos x 0 2 tan x tan x 1 0 

2 

Trang 223


 

 

tan x 1 

 

x k 

4 

1 

k 

 

tan x 1 

 

2 x acr tan k 

 

 

 

2 

 

Câu 15: Giải phương trình cos 3 x sin 3 x 2cos 5 x sin 

5 x 

 

1 

1 

A. x k 2 

B. x k C. x k D. 

4 

4 2 

4 3 


Chọn D. 

vì cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên ta có 

2 3 2 5 

1 tan x tan x(1 tan x) 2 1 

tan x 

 

5 3 2 2 3 

tan x tan x tan x 1 0 (tan x 1)(tan x 1) 0 

 

tan x 1 

x k . 

4 

3 3 5 5 5 3 5 3 

cos x sin x 2 cos x sin x 2cos x cos x 2sin x sin x 

3 2 3 2 3 3 

Cách khác: cos x 2cos x 1 sin x 2sin x 1 cos 2x cos x sin x 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

k 

 

x 

k 

 

4 2 

4 2 

; k 

 

 

 

tan 1 

 

x x k 

4 

2 

sin x 3tan x cos x 4sin x cos x 


 

x k 

4 

 

 

A. x k2 , x arctan 1 2 k 2 

B. , arctan 1 2 

4 

2 2 

, arctan 1 2 

4 3 3 

1 1 

x k x k 

4 2 2 

 

x k, x arctan 1 2 k 

4 

C. x k x k D. 


Chọn D. 

2 2 

Phương trình tan x tan x(1 tan x) 4tan x 1 

3 2 

tan x tan x 3tan x 1 0 

2 

(tan x 1)(tan x 2tan x 1) 0 

 

x k 

, x arctan 1 2 k . 

4 

2 

sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 


 

1 

 

x k2 

4 

 

x k 

4 2 

A. 

B. 

 

 

x 2 

3 

 

1 

k x 

3 k 

2 


Chọn D. 

Phương trình đã cho tương đương với 

2 2 

tan x(tan x 1) 3tan x(1 tan x) 3(1 tan x ) 

2 

 

x k 

4 3 

C. 

2 

x 

3 k 

3 

D. 

 

 

x k 

4 

 

 

x 

3 

k 

Trang 224


 

 

x k 

3 2 4 

tan x tan x 3tan x 3 0 

 

x k 

3 

3 3 2 

Câu 18: Giải phương trình 4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 

 

 

1 1 

A. x k2 , x k 2 

B. x k , 

x k 

4 3 

4 2 3 2 

1 1 

 

 

C. x k , 

x k 

D. x k, 

x k 

4 3 3 3 

4 3 


Chọn D. 

Ta thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình 

3 2 2 

Nên phương trình 4tan x 33tan x(1 tan x) tan x 0 

tan x 1 

3 2 

 

tan x tan x 3tan x 3 0 

x k, 

x k . 

tan x 3 4 3 

3 

Câu 19: Giải phương trình 2cos x 

sin 3x 

 

1 

x arctan( 2) k2 

 

x arctan( 2) 

k 

A. 

2 

 

 

B. 

x k2 

1 

4 

x 

4 k 

2 

 

2 

 

x arctan( 2) 

k x arctan( 2) 

k 

3 

C. 

D. 

 

2 

x 

4 

x k 

k 

4 

3 


Chọn D. 

3 3 

Phương trình 2cos x 3sin x 4sin x 

2 3 3 

2 3tan x 1 tan x 4 tan x tan x 3tan x 2 0 

 

 

x arctan( 2) 

k 

tan x 2 

 

 

 

tan x 1 

x k 

4 

2 2 

Câu 20: Giải phương trình cos x 3sin 2x 1 

sin x 

1 

2 

x 

k2 

 

x 

k 

A. 

2 

 

x 

k 

x 

k 

3 

 

 

B. 

C. 

x k2 

1 

3 

 

D. 

x 

3 

2 

k 

 

x 

2 

3 

x k 

k 

3 

3 


Chọn D. 

sin 0 

 

2 

x 

x 

k 

Phương trình 2sin x 2 3sin xcos x 0 . 

tan x 3 x k 

3 

2 2 

Câu 21: Giải phương trình 2cos x 6sin xcos x 6sin x 1 

Trang 225


 

1 

A. x k2 ; x arctan 

k 2 

B. 

4 5 

1 1 1 

C. x k ; x arctan 

k D. 

4 4 5 4 


Chọn D. 

2 2 

Phương trình 5sin x 6sin x cos x cos x 0 

 

1 

Giải ra ta được x k; x arctan 

k . 

4 5 

2 1 2 

x k ; x arctan 

k 

4 3 5 3 

 

1 

x k; x arctan 

k 

4 5 

Trang 226


PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN 


Dạng 1: Là phương trình có dạng: 

a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3) 

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ 

 

Đặt: t cos x sin x 2.cos x ; t 2. 

4 

2 1 2 

t 1 2sin x.cos x sin x.cos x ( t 1). 

2 

Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t. 

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3’) 

Để giải phương trình này ta cũng đặt t sin x cos x 

t 

 

2; 2 

 

2 sinx 

2 

4 

 

1 

t 

sin 

xcos 

x 

 

2 

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t. 

Lưu ý: 

cos x sin x 

 

2 cos x 

2 sin x 

4 4 

cos x sin x 

 

2 cos x 

2 sin x 

4 4 

Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 

 

Đặt: t cos x sin x 2. cos x ; Ñk : 0 t 2. 

4 

1 2 

sin x.cos x ( t 1). 

2 

Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 


1 



2 

 

 

 

x 

k 

6 2 

 

x 

k 

8 

A. 

, k . B. 

, k . 

 

 

x 

k 

x 

k 

4 

2 

 

 

x k 

C. 

4 , k . D. 

x 

k2 

2 , k . 

 

 

x 

k 

x 

k2 


Chọn D. 

sin x cos x t, t 2 1 sin 2x t sin 2x t 1 

Đặt 

2 2 

Trang 227


1 

t 

1 

TM 

2 2 

Ta có phương trình t 1 t 1 

t 2t 

3 0 

2 t 3KTM 

1 

t 1 sin x cos x 1 sin x 

sin x 

 

sin 

 

4 2 4 4 

 

 

x k2 

x 

k2 

4 4 

 

 

3 x k2 

x k2 

2 

4 4 



2 

 

 

x k 

A. 

4 , k . B. 

x 

k2 

2 , k 

 

 

x 

k 

x 

k2 

. 

3 

 

x 

k 

3 

4 

C. 

, k . D. 

x 

k 

2 , k 

 

 

x 

k 

x2k1 

2 

 

. 


Chọn B. 

3 3 1 

3 3 1 

3 

 

sin x cos x 1 sin 2x sin x cos x 3sin xcos x sin x cos x 1 

sin xcos 

x 

2 

2 

 

2 t 1 

Đặt t sin x cos x 2 sin x 

 

, t 2 

1 sin 2x t sin x cos x 

4 

2 

2 

 

3 t 

1 

1 

t 

1 

TM 

2 3 2 

Ta có phương trình t 3t 1 t 1 

t t 3t 

3 0 

2 

2 2 t 3KTM 

 

1 

t 1 sin x cos x 1 sin x 

sin x 

 

sin 

 

4 2 4 4 

 

 

x k2 

x 

k2 

4 4 

 

 

3 x k2 

x k2 

2 

4 4 

2sin 2x sin x cos x 1 0 


 

1 

A. x k, 

x k 

hoặc x arccos 

2 

4 

 

k 

2 2 

1 1 1 1 

B. x k , 


 

3 2 3 4 

 

k 

2 2 

3 

2 2 1 2 

C. x k , 


 

3 2 3 4 

 

k 

2 2 

3 

 

1 

D. x k2 , x k2 

hoặc x arccos 2 

2 

4 

 

k 

2 2 


 

 

 

Trang 228


Chọn D 

 

t 2 

Đặt t sin x cos x 2 cosx 

 

4 

2 

sin 2xt 

1 

Ta có : 2( t 1) t 1 0 2t t 1 0 t 1, 

t 

2 

1 

 

t 1 cosx x k2 , x k 2 

4 

2 

2 

1 1 1 

t 

 

cos arccos 2 

2 4 2 2 4 

 

x x 2 2 

k 

sin 2x 12 sin x cos x 12 0 

2 2 1 


 

 

2 

A. x k , x k 2 

B. x k2 , x k 

2 

2 3 

1 2 

 

C. x k , x k 

D. x k2 , x k 2 

2 3 3 

2 


Chọn D 

 

t 2 

Đặt t cos x sin x 2 cosx 

 

4 

2 

sin 2x1t 

2 1 

Ta có: 1 t 12t 12 0 t 1 cos x 

 

4 2 

 

x k2 , x k 2 

. 

2 

 

Câu 5: Giải phương trình sin 2x 2 sin x 

1 

4 

 

1 1 1 

A. x k , x k , x k 2 

B. x k , x k , x k 

4 2 

4 2 2 2 2 

2 2 

 

C. x k , x k , x k 2 

D. x k , x k2 , x k 2 

4 3 2 3 

4 2 


Chọn D 

 

 

t 2 

Đặt t 2 sin x sin x cos x 

4 

2 

sin 2x1t 

2 

Ta có: 1t t 1 t 0, t 1 

 

Từ đó ta tìm được: x k , x k2 , x k 2 

4 2 

Câu 6: Giải phương trình 1tan x2 2 sin x 

11 5 

A. x k , x k , x k 

4 12 12 

2 11 2 5 2 

B. x k , x k , x k 

4 3 12 3 12 3 

11 1 5 

C. x k2 , x k , x k 2 

4 12 4 12 

Trang 229


11 5 

D. x k2 , x k2 x , x k 2 

4 12 12 


Chọn D 

Điều kiên: cos x 0 

Phương trình sin x cos x 2 sin 2x 

 

t 2 


 

4 

2 

sin 2xt 

1 

t 2 t 1 2t t 2 0 t 2, t 

2 

11 5 

Từ đó tìm được: x k2 , x k2 x , x k 2 

4 12 12 

Câu 7: Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x 

1 


2 2 1 

3 

A. k 

5 

x B. k 

7 

x C. x k 

D. x k 

2 

2 

2 

2 


Chọn D 

2 

 

sin 2x1t 


 

4 0t 

2 

2 2 

Ta có: t 2(1 t ) 1 2t t 1 0 t 1 sin 2x 0 x k 

2 

3 3 


 

 

2 

A. x k2 , x k , x k B. x k , x k , x k 

4 2 

4 3 2 

1 2 

 

C. x k , x k , x k 2 

D. x k , x k2 , x k 2 

4 3 2 3 

4 2 


Chọn D 

Phương trình (sin x cos x)(1 sin x cos x) (sin x cos x)(cos x sin x ) 

x x x x x x 

sin cos 1 sin cos cos sin 0 

 

Từ đó ta tìm được: x k , x k2 , x k 2 

4 2 

3 3 

Câu 9: Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x sin x cos x 

3 

A. k 

5 

x B. x k 

2 

2 

C. x 

k 

D. 


cos x sin x 1 sin x cos x 2sin 2x sin x cos x 


 

t 2 


 

4 

2 

sin 2xt 

1 

2 

t 1 

2 2 

k 

Ta có: t 1 2( t 1) t t 1 sin 2x 0 x 

2 

2 

x k 

2 

Trang 230


1 1 10 

Câu 10: Giải phương trình cosx sinx 

cos x 

sin x 

3 

2 19 

2 19 

A. x arccos k 2 

B. x arccos k 2 

4 3 2 

4 2 

2 19 

C. x arccos k 

D. 

4 2 


sin x 

cos x 10 

Phương trình sin x cos x 

sin xcos x 3 

2 19 

x arccos k 2 

4 3 2 

Đặt t sin x cos x 

 

t 2 

2 cosx 

 

4 

2 

sin 2xt 

1 

2t 

10 

2 2 

Ta có: t 3 t( t 1) 6t 10( t 1) ( t 1) 

2 

t 1 3 

3 2 2 2 19 

3t 10t 3t 10 0 ( t 2)(3t 4t 5) 0 t 

3 

2 19 2 19 

cosx x arccos k 2 

4 

3 2 4 3 2 

Câu 11: Cho phương trình sin xcos x sin x cos x m 0 , trong đó m là tham số thực. Để phương trình có 

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 

1 

1 

1 

A. 2 m 2. B. 2 m 1. C. 1 m 2 . D. 1 

2 

2 

2 

2 

2 m 2. 


Chọn D. 

Đặt t sin x cos x 

2 

 

2 t 1 

2 sin x 

 

, t 2 

1 sin 2x t sin x cos x 

4 

2 

2 

t 

1 

1 2 1 

Ta có phương trình t m 0 m t t 1 

. 

2 

2 2 

Phương trình có nghiệm khi phương trình 1 

có nghiệm t 

2; 2 

 

1 2 1 

Xét hàm số y t t trên 

2 2 

2; 2 

 

x 2 

1 2 

1 

y 

1 

2 

2 

1 

Từ BBT suy ra 2 m 1 

2 

Câu 12: Phương trình 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0 có nghiệm là 

A. 

1 

2 

2 

 

 

x 

k 

 

3 

 

, k . B. 

x k 

4 

5 

x k 

, k . 

x 

5 

k 

3 

Trang 231


 

 

 

x 

k 

6 

 

x 

k 

12 

C. 

, k . D. 

, k . 

5 

5 

x k 

x k 

4 

12 


Chọn D. 

 

2 2 

Đặt t sin x cos x 2 sin x , 0 t 2 1 sin 2x t sin 2x t 1 

4 

2 2 

2 t 1 3 6t 8 0 2t 3 6t 

6 0 

Ta có 

t 

 

 

 

t 

 

 

 

sin 

x 

sin 

6 3 4 

3 

t sin x 

2 4 2 

sin 

x sin 

4 3 

 

 

x k2 

2 

4 3 

x k 

 

12 

 

 

2 5 

x k2 x k2 x k 

4 3 12 12 

 

 

 

 

 

. 

 

7 5 

x k2 x k2 x k 

4 3 12 

12 

4 

13 

x k2 

x 

k2 

4 3 12 

6 

6 

2 

 

 

KTM 

TM 

 

 

. 

Trang 232

Chuyên đề Lượng giác (Lý thuyết + Bài tập vận dụng có giải) - Đặng Việt Đông (232 trang)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?