Abitur 2015; Aufgabe B 1.2

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Abitur 2015, Aufgabe B 1.2
Ein Großhändler gibt an, dass sein Weizensaatgut eine Keimfähigkeit von mindestens
80% hat. Mehrere Kunden vermuten, dass die Keimfähigkeit in Wirklichkeit kleiner ist.
Deswegen wird die Aussage des Großhändlers mit Hilfe eines Tests auf einem
Signifikanzniveau von 10% überprüft, indem 500 Weizenkörner untersucht werden. Als
Nullhypothese wird die Angabe des Großhändlers verwendet. Formulieren Sie die
zugehörige Entscheidungsregel in Worten.
Die tatsächliche Keimfähigkeit des Saatguts beträgt 82%. Wie groß ist in diesem Fall die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei obigem Test die Nullhypothese fälschlicherweise
verworfen wird?
(4 VP)
Die Keimfähigkeit des Saatguts wird mit einem linksseitigen Hypothesentest untersucht.
Hierbei beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der keimfähigen Weizenkörner. Falls
die Anzahl der keimfähigen Weizenkörner in der Stichprobe zu klein ist, ist die
Nullhypothese ungültig und wird abgelehnt.
Nullhypothese: H 0 ∶ P ≥ 0,8 (Keimfähigkeit mindestens 80%)
Annahmebereich A = {k + 1, k + 2, . . . , 500)
Gegenhypothese: H 1 ∶ P < 0,8 (Keimfähigkeit geringer als 80%)
Ablehnungsbereich A̅ = {0, 1, … , k)
Gesucht ist die größte
natürlich Zahl k, für die gilt:
P(X ≤ k) ≤ 0,1.
⟹ k = 387
Entscheidungsregel: Wenn von den 500 Weizenkörnern der Stichprobe höchstens 387
Körner keimfähig sind, ist die Nullhypothese ungültig und wird abgelehnt. Ansonsten wird
sie beibehalten.
Die Zufallsvariable Y beschreibt jetzt die Anzahl der
keimfähigen Weizenkörner für die tatsächliche
Keimfähigkeit von 82%.
P(Y ≤ 387) ≈ 0,0053
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese
fälschlicherweise verworfen wird, beträgt ca. 0,5%.