The MOSEK command line tool Version 7.0 (Revision 141)
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iv CONTENTS 4.2.1 Duality for conic quadratic optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.2 Infeasibility for conic quadratic optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Semidefinite optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3.1 Duality for semidefinite optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3.2 Infeasibility for semidefinite optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4 Quadratic and quadratically constrained optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4.1 Duality for quadratic and quadratically constrained optimization . . . . . . . . . 28 4.4.2 Infeasibility for quadratic and quadratically constrained optimization . . . . . . . 29 4.5 General convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5.1 Duality for general convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 The optimizers for continuous problems 33 5.1 How an optimizer works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.1 Presolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.2 Dualizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.4 Using multiple threads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Linear optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2.1 Optimizer selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2.2 The interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.3 The simplex based optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.4 The interior-point or the simplex optimizer? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.5 The primal or the dual simplex variant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3 Linear network optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3.1 Network flow problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.4 Conic optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.4.1 The interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.5 Nonlinear convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.5.1 The interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.6 Solving problems in parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.6.1 Thread safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.6.2 The parallelized interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.6.3 The concurrent optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 The optimizers for mixed-integer problems 49 6.1 Some concepts and facts related to mixed-integer optimization . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 The mixed-integer optimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3 The mixed-integer conic optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3.1 Presolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3.2 Heuristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3.3 The optimization phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.3.4 Caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.4 The mixed-integer optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.4.1 Presolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.4.2 Heuristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.4.3 The optimization phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
CONTENTS v 6.5 Termination criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.5.1 Relaxed termination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.5.2 Important parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.6 How to speed up the solution process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.7 Understanding solution quality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7 The analyzers 57 7.1 The problem analyzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.1.1 General characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.1.2 Objective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.1.3 Linear constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.1.4 Constraint and variable bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.1.5 Quadratic constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.1.6 Conic constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2 Analyzing infeasible problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2.1 Example: Primal infeasibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.2.2 Locating the cause of primal infeasibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.2.3 Locating the cause of dual infeasibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2.4 The infeasibility report . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2.5 Theory concerning infeasible problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2.6 The certificate of primal infeasibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2.7 The certificate of dual infeasibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8 Sensitivity analysis 71 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2 Restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.4 Sensitivity analysis for linear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.4.1 The optimal objective value function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.4.2 The basis type sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.4.3 The optimal partition type sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.5 Sensitivity analysis with the command line tool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.5.1 Sensitivity analysis specification file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.5.2 Example: Sensitivity analysis from command line . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.5.3 Controlling log output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9 Parameters 79 9.1 MSKdparame: Double parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.1.1 MSK DPAR ANA SOL INFEAS TOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.1.2 MSK DPAR BASIS REL TOL S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.1.3 MSK DPAR BASIS TOL S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.1.4 MSK DPAR BASIS TOL X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.1.5 MSK DPAR CHECK CONVEXITY REL TOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.1.6 MSK DPAR DATA TOL AIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.1.7 MSK DPAR DATA TOL AIJ HUGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.1.8 MSK DPAR DATA TOL AIJ LARGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.1.9 MSK DPAR DATA TOL BOUND INF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
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iv<br />
CONTENTS<br />
4.2.1 Duality for conic quadratic optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
4.2.2 Infeasibility for conic quadratic optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
4.3 Semidefinite optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
4.3.1 Duality for semidefinite optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
4.3.2 Infeasibility for semidefinite optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
4.4 Quadratic and quadratically constrained optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
4.4.1 Duality for quadratic and quadratically constrained optimization . . . . . . . . . 28<br />
4.4.2 Infeasibility for quadratic and quadratically constrained optimization . . . . . . . 29<br />
4.5 General convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
4.5.1 Duality for general convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
5 <strong>The</strong> optimizers for continuous problems 33<br />
5.1 How an optimizer works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
5.1.1 Presolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
5.1.2 Dualizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
5.1.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
5.1.4 Using multiple threads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
5.2 Linear optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
5.2.1 Optimizer selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
5.2.2 <strong>The</strong> interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
5.2.3 <strong>The</strong> simplex based optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
5.2.4 <strong>The</strong> interior-point or the simplex optimizer? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
5.2.5 <strong>The</strong> primal or the dual simplex variant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
5.3 Linear network optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
5.3.1 Network flow problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
5.4 Conic optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
5.4.1 <strong>The</strong> interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
5.5 Non<strong>line</strong>ar convex optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
5.5.1 <strong>The</strong> interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
5.6 Solving problems in parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
5.6.1 Thread safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
5.6.2 <strong>The</strong> parallelized interior-point optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
5.6.3 <strong>The</strong> concurrent optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
6 <strong>The</strong> optimizers for mixed-integer problems 49<br />
6.1 Some concepts and facts related to mixed-integer optimization . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
6.2 <strong>The</strong> mixed-integer optimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
6.3 <strong>The</strong> mixed-integer conic optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
6.3.1 Presolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
6.3.2 Heuristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
6.3.3 <strong>The</strong> optimization phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
6.3.4 Caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
6.4 <strong>The</strong> mixed-integer optimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
6.4.1 Presolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
6.4.2 Heuristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
6.4.3 <strong>The</strong> optimization phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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