Matematická analýza I
Matematická analýza I. - (prezentácia k prednáške MANa/10)
Matematická analýza I. - (prezentácia k prednáške MANa/10)
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.<br />
(prezentácia k prednáške MANa/10)<br />
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1<br />
1 ondrej.hutnik@upjs.sk<br />
umv.science.upjs.sk/analyza<br />
Prednáška 1<br />
18. septembra 2015<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
O čom by malo byt’ štúdium (a výučba) matematiky<br />
„Matematika by nemala byt’ o vzorcoch, úpravách výrazov, či<br />
formálnom reprodukovaní algoritmických postupov bez vnútorného<br />
porozumenia. Mala by študentov naučit’<br />
vyjadrovat’ sa jasne a jednoznačne<br />
vštepovat’ im potrebu neustále si klást’ otázku PREČO?<br />
vyžadovat’ argumenty a zároveň vecne a logicky diskutovat’ a<br />
argumentovat’...“<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Podmienky<br />
nepovinná účast’ na prednáškach (!nie na cvičeniach!)<br />
+10 minút kvôli dvom písomkám (zdôvodnenie, skorší odchod)<br />
jedinečná možnost’ pýtat’ sa!!!<br />
podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra)<br />
Obsah<br />
I. Číselné množiny – reálne čísla, ohraničenost’, supremum a<br />
infimum [cca 4 prednášky]<br />
II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnosti<br />
reálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohraničenost’,<br />
monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky]<br />
III. Postupnosti reálnych čísel – základné vlastnosti, konvergencia<br />
[cca 4 prednášky]<br />
IV. Rady reálnych čísel – súčet nekonečného radu, kritériá<br />
konvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky]<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Podmienky<br />
nepovinná účast’ na prednáškach (!nie na cvičeniach!)<br />
+10 minút kvôli dvom písomkám (zdôvodnenie, skorší odchod)<br />
jedinečná možnost’ pýtat’ sa!!!<br />
podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra)<br />
Obsah<br />
I. Číselné množiny – reálne čísla, ohraničenost’, supremum a<br />
infimum [cca 4 prednášky]<br />
II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnosti<br />
reálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohraničenost’,<br />
monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky]<br />
III. Postupnosti reálnych čísel – základné vlastnosti, konvergencia<br />
[cca 4 prednášky]<br />
IV. Rady reálnych čísel – súčet nekonečného radu, kritériá<br />
konvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky]<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Literatúra k prednáškam<br />
1. Mihalíková, B. – Ohriska, J.: <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> 1, el. skriptá<br />
UPJŠ, Košice, 2012.<br />
http://www.upjs.sk/public/media/5596/Matematicka-analyza-I.pdf<br />
2. Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika I., Alfa,<br />
Bratislava, 1966 (v závislosti od vydania).<br />
3. časti elektronického textu sprístupňovaného na stránke<br />
umv.science.upjs.sk/analyza pri predmete MANa/10<br />
4. d’alšie dostupné texty...<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Historická exkurzia<br />
vznik v 17. storočí: Descartes, Newton, Leibniz<br />
kvantitatívny rozmach v 18. storočí: Euler, Laplace, Lagrange<br />
upresňovanie základov v 19. storočí: Cauchy, Bolzano, Riemann,<br />
Weierstrass, Cantor<br />
20. storočie – konglomerát teórií<br />
Matematickú analýzu môžeme charakterizovat’ ako disciplínu zaoberajúcu<br />
sa štúdiom vlastností množín a ich vzájomných zobrazení, ktoré sú<br />
určené topologickou štruktúrou (štruktúra polohy) a štruktúrou<br />
algebrických operácií.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Historická exkurzia<br />
vznik v 17. storočí: Descartes, Newton, Leibniz<br />
kvantitatívny rozmach v 18. storočí: Euler, Laplace, Lagrange<br />
upresňovanie základov v 19. storočí: Cauchy, Bolzano, Riemann,<br />
Weierstrass, Cantor<br />
20. storočie – konglomerát teórií<br />
Matematickú analýzu môžeme charakterizovat’ ako disciplínu zaoberajúcu<br />
sa štúdiom vlastností množín a ich vzájomných zobrazení, ktoré sú<br />
určené topologickou štruktúrou (štruktúra polohy) a štruktúrou<br />
algebrických operácií.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Historická exkurzia<br />
vznik v 17. storočí: Descartes, Newton, Leibniz<br />
kvantitatívny rozmach v 18. storočí: Euler, Laplace, Lagrange<br />
upresňovanie základov v 19. storočí: Cauchy, Bolzano, Riemann,<br />
Weierstrass, Cantor<br />
20. storočie – konglomerát teórií<br />
Matematickú analýzu môžeme charakterizovat’ ako disciplínu zaoberajúcu<br />
sa štúdiom vlastností množín a ich vzájomných zobrazení, ktoré sú<br />
určené topologickou štruktúrou (štruktúra polohy) a štruktúrou<br />
algebrických operácií.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Historická exkurzia<br />
vznik v 17. storočí: Descartes, Newton, Leibniz<br />
kvantitatívny rozmach v 18. storočí: Euler, Laplace, Lagrange<br />
upresňovanie základov v 19. storočí: Cauchy, Bolzano, Riemann,<br />
Weierstrass, Cantor<br />
20. storočie – konglomerát teórií<br />
Matematickú analýzu môžeme charakterizovat’ ako disciplínu zaoberajúcu<br />
sa štúdiom vlastností množín a ich vzájomných zobrazení, ktoré sú<br />
určené topologickou štruktúrou (štruktúra polohy) a štruktúrou<br />
algebrických operácií.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Historická exkurzia<br />
vznik v 17. storočí: Descartes, Newton, Leibniz<br />
kvantitatívny rozmach v 18. storočí: Euler, Laplace, Lagrange<br />
upresňovanie základov v 19. storočí: Cauchy, Bolzano, Riemann,<br />
Weierstrass, Cantor<br />
20. storočie – konglomerát teórií<br />
Matematickú analýzu môžeme charakterizovat’ ako disciplínu zaoberajúcu<br />
sa štúdiom vlastností množín a ich vzájomných zobrazení, ktoré sú<br />
určené topologickou štruktúrou (štruktúra polohy) a štruktúrou<br />
algebrických operácií.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Definícia - množina reálnych čísel<br />
Množinou reálnych čísel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na<br />
ktorej sú definované operácie sčítania +, násobenia · a relácia<br />
usporiadania ≤ také, že:<br />
• (R, +, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j.<br />
S 1 : (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita sčítania);<br />
S 2 : (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita sčítania);<br />
S 3 : (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);<br />
S 4 : (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opačného prvku).<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Definícia - množina reálnych čísel<br />
Množinou reálnych čísel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na<br />
ktorej sú definované operácie sčítania +, násobenia · a relácia<br />
usporiadania ≤ také, že:<br />
• (R, +, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j.<br />
S 1 : (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita sčítania);<br />
S 2 : (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita sčítania);<br />
S 3 : (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);<br />
S 4 : (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opačného prvku).<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Definícia - množina reálnych čísel<br />
Množinou reálnych čísel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na<br />
ktorej sú definované operácie sčítania +, násobenia · a relácia<br />
usporiadania ≤ také, že:<br />
• (R \ {0}, ·, 1) je abelovská multiplikatívna grupa kompatibilná s<br />
aditívnou grupou (R, +, 0), t.j.<br />
N 1 : (∀x, y ∈ R) x · y = y · x (komutativita násobenia);<br />
N 2 : (∀x, y, z ∈ R) (x · y) · z = x · (y · z) (asociativita násobenia);<br />
N 3 : (∃1 ∈ R, 1 ≠ 0)(∀x ∈ R) x · 1 = x (existencia multiplikatívnej<br />
jednotky);<br />
N 4 : (∀x ∈ R \ {0})(∃y ∈ R) x · y = 1 (existencia prevrátenej<br />
hodnoty);<br />
N 5 : (∀x, y, z ∈ R) x · (y + z) = x · y + x · z (distributivita násobenia<br />
vzhl’adom na sčítanie).<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Definícia - množina reálnych čísel<br />
Množinou reálnych čísel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na<br />
ktorej sú definované operácie sčítania +, násobenia · a relácia<br />
usporiadania ≤ také, že:<br />
• Pre každé dva prvky x, y ∈ R platí aspoň jeden zo vzt’ahov x ≤ y<br />
alebo y ≤ x, pričom<br />
U 1 : (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria ≤);<br />
U 2 : (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita ≤);<br />
U 3 : (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ sčítania<br />
vzhl’adom na ≤);<br />
U 4 : (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia<br />
vzhl’adom na ≤).<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Definícia - množina reálnych čísel<br />
Množinou reálnych čísel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na<br />
ktorej sú definované operácie sčítania +, násobenia · a relácia<br />
usporiadania ≤ také, že:<br />
• Axióma (H) o hornej hranici: Každá neprázdna zhora ohraničená<br />
podmnožina množiny R má najmenšie horné ohraničenie, t.j. ak<br />
M ⊂ R, M ≠ ∅ a (∃z ∈ R)(∀x ∈ M) x ≤ z, tak (∃!S ∈ R)<br />
(i) (∀x ∈ M) x ≤ S (S je horné ohraničenie M);<br />
(ii) (∀t ∈ R, t < S)(∃x 0 ∈ M) t < x 0 (S je najmenšie horné<br />
ohraničenie M).<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Veta I.1<br />
(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x;<br />
(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x;<br />
(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;<br />
(iv) (∀x ∈ R, x ≠ 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.<br />
Tvrdenie I.2<br />
(i) (∀x, y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);<br />
1<br />
(ii) (∀x, y ∈ R, x ≠ 0, y ≠ 0)<br />
x·y = 1 x · 1<br />
y .<br />
Veta I.3<br />
(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;<br />
(ii) (∀a, b ∈ R, a ≠ 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Veta I.1<br />
(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x;<br />
(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x;<br />
(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;<br />
(iv) (∀x ∈ R, x ≠ 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.<br />
Tvrdenie I.2<br />
(i) (∀x, y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);<br />
1<br />
(ii) (∀x, y ∈ R, x ≠ 0, y ≠ 0)<br />
x·y = 1 x · 1<br />
y .<br />
Veta I.3<br />
(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;<br />
(ii) (∀a, b ∈ R, a ≠ 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Veta I.1<br />
(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x;<br />
(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x;<br />
(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;<br />
(iv) (∀x ∈ R, x ≠ 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.<br />
Tvrdenie I.2<br />
(i) (∀x, y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);<br />
1<br />
(ii) (∀x, y ∈ R, x ≠ 0, y ≠ 0)<br />
x·y = 1 x · 1<br />
y .<br />
Veta I.3<br />
(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;<br />
(ii) (∀a, b ∈ R, a ≠ 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Veta I.4<br />
(∀x, y, z ∈ R)<br />
(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;<br />
(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;<br />
(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;<br />
(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;<br />
(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.<br />
Veta I.5 (trichotómia relácie ≤)<br />
(∀x, y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Veta I.4<br />
(∀x, y, z ∈ R)<br />
(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;<br />
(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;<br />
(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;<br />
(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;<br />
(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.<br />
Veta I.5 (trichotómia relácie ≤)<br />
(∀x, y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Tvrdenie I.6<br />
(∀x, y ∈ R)<br />
(i) x > 0 ⇒ −x < 0 ∧ 1 x > 0;<br />
(ii) (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ x · y > 0;<br />
(iii) (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0) ⇒ x · y < 0;<br />
(iv) (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1 y < 1 x .<br />
Veta I.7<br />
(∀x, y, z ∈ R)<br />
(i) (x ≤ y ∧ z > 0) ⇒ xz ≤ yz;<br />
(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ xz ≥ yz.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.
Podmienky, obsah, literatúra<br />
Niečo z histórie<br />
I. Číselné množiny<br />
Reálne čísla<br />
Dôsledky axióm sčítania a násobenia<br />
Dôsledky axióm usporiadania<br />
Tvrdenie I.6<br />
(∀x, y ∈ R)<br />
(i) x > 0 ⇒ −x < 0 ∧ 1 x > 0;<br />
(ii) (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ x · y > 0;<br />
(iii) (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0) ⇒ x · y < 0;<br />
(iv) (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1 y < 1 x .<br />
Veta I.7<br />
(∀x, y, z ∈ R)<br />
(i) (x ≤ y ∧ z > 0) ⇒ xz ≤ yz;<br />
(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ xz ≥ yz.<br />
Ondrej Hutník <strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> I.