Matematická analýza II

VI. Integrálny počet
Matematická analýza II.
(prezentácia k prednáške MANb/10)
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1
1 ondrej.hutnik@upjs.sk
Prednáška 22
21. mája 2015
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(c) Integrovanie goniometrických funkcií – pripomenutie
(I) Integrály typu ∫
R(sin x, cos x) dx
– univerzálna substitúcia: tg x 2
= u pre x ∈ (−π, π)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(c) Integrovanie goniometrických funkcií
(II) Integrály typu
∫
R(sin ax, cos bx) dx, a, b ∈ R
(i) prevod súčinu na súčet
sin α · sin β = 1 (cos(α − β) − cos(α + β))
2
cos α · cos β = 1 (cos(α + β) + cos(α − β))
2
sin α · cos β = 1 (sin(α + β) + sin(α − β))
2
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(c) Integrovanie goniometrických funkcií
(II) Integrály typu
∫
R(sin ax, cos bx) dx, a, b ∈ R
(ii) použitie Moivreovej vety:
(∀x ∈ R)(∀n ∈ Z) (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(c) Integrovanie goniometrických funkcií
(II) Integrály typu
∫
R(sin ax, cos bx) dx, a, b ∈ R
(iii) metóda ∫ neurčitých koeficientov: riešenie integrálov typu
I = (P(x) sin ax + Q(x) cos bx) dx, kde a, b ∈ R a P, Q sú
polynómy, hl’adáme v tvare
I = ˜P(x) sin ax + ˜Q(x) cos bx,
st ˜P ≤ st P, st ˜Q ≤ st Q
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(d) Integrovanie transcendentných funkcií
(I) Integrály typu
∫
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0
(II) Integrály typu
(III) Integrály typu
∫
∫
R(ln x) dx
x
P n (x) e ax+b dx
(IV) Integrály typu
∫
P n (x) ln R(x) dx
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(d) Integrovanie transcendentných funkcií
(I) Integrály typu
∫
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0
(II) Integrály typu
(III) Integrály typu
∫
∫
R(ln x) dx
x
P n (x) e ax+b dx
(IV) Integrály typu
∫
P n (x) ln R(x) dx
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(d) Integrovanie transcendentných funkcií
(I) Integrály typu
∫
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0
(II) Integrály typu
(III) Integrály typu
∫
∫
R(ln x) dx
x
P n (x) e ax+b dx
(IV) Integrály typu
∫
P n (x) ln R(x) dx
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
(d) Integrovanie transcendentných funkcií
(I) Integrály typu
∫
R(a αx ) dx, a > 0, a ≠ 1, α ≠ 0
(II) Integrály typu
(III) Integrály typu
∫
∫
R(ln x) dx
x
P n (x) e ax+b dx
(IV) Integrály typu
∫
P n (x) ln R(x) dx
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

Skúška z MANb/10
VI. Integrálny počet
TERMÍNY (AIS2): 29.5., 3.6., 11.6., 17.6., 24.6. a 1.7.2015
so začiatkom o 8:00 hod. v miestnosti SJSP19), 1 termín v
poslednom augustovom týždni (včas oznámený)
PRIEBEH:
1. písomná čast’ skúšky (potrebné minimum 16 b)
a) 4 úlohy (20 b):
výpočet limít funkcií (bez alebo s pomocou L’Hospitalovho pravidla,
vyšetrenie spojitosti funkcie, asymptoty grafu funkcie)
vyšetrenie priebehu funkcie
aplikácie derivácie funkcie (dôkazy rovností, nerovností, odhady,
približné výpočty, optimalizačné úlohy)
nájdenie primitívnej funkcie
b) 10 testových otázok (10 b)
2. ústna čast’ skúšky (orientačne 25 b)
definícia kl’účového pojmu
formulácia definície a vety s názvom
formulácia a dôkaz dvoch l’ahkých viet
formulácia a dôkaz t’ažkej vety
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

Skúška z MANb/10
VI. Integrálny počet
TERMÍNY (AIS2): 29.5., 3.6., 11.6., 17.6., 24.6. a 1.7.2015
so začiatkom o 8:00 hod. v miestnosti SJSP19), 1 termín v
poslednom augustovom týždni (včas oznámený)
PRIEBEH:
1. písomná čast’ skúšky (potrebné minimum 16 b)
a) 4 úlohy (20 b):
výpočet limít funkcií (bez alebo s pomocou L’Hospitalovho pravidla,
vyšetrenie spojitosti funkcie, asymptoty grafu funkcie)
vyšetrenie priebehu funkcie
aplikácie derivácie funkcie (dôkazy rovností, nerovností, odhady,
približné výpočty, optimalizačné úlohy)
nájdenie primitívnej funkcie
b) 10 testových otázok (10 b)
2. ústna čast’ skúšky (orientačne 25 b)
definícia kl’účového pojmu
formulácia definície a vety s názvom
formulácia a dôkaz dvoch l’ahkých viet
formulácia a dôkaz t’ažkej vety
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

Skúška z MANb/10
VI. Integrálny počet
TERMÍNY (AIS2): 29.5., 3.6., 11.6., 17.6., 24.6. a 1.7.2015
so začiatkom o 8:00 hod. v miestnosti SJSP19), 1 termín v
poslednom augustovom týždni (včas oznámený)
PRIEBEH:
1. písomná čast’ skúšky (potrebné minimum 16 b)
a) 4 úlohy (20 b):
výpočet limít funkcií (bez alebo s pomocou L’Hospitalovho pravidla,
vyšetrenie spojitosti funkcie, asymptoty grafu funkcie)
vyšetrenie priebehu funkcie
aplikácie derivácie funkcie (dôkazy rovností, nerovností, odhady,
približné výpočty, optimalizačné úlohy)
nájdenie primitívnej funkcie
b) 10 testových otázok (10 b)
2. ústna čast’ skúšky (orientačne 25 b)
definícia kl’účového pojmu
formulácia definície a vety s názvom
formulácia a dôkaz dvoch l’ahkých viet
formulácia a dôkaz t’ažkej vety
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
Skúška z MANb/10
UKÁŽKA SKÚŠKOVEJ PÍSOMKY:
arcsin x
1. Vypočítajte (ak existuje) limitu lim
− 1 .
x
√
2. Vyšetrite priebeh funkcie f : y = arcsin 1 − sin 4 x.
x→0
ln(1+x)
3. Pod grafom funkcie g : y = e −x v prvom kvadrante nájdite
trojuholník s najväčším obsahom.
√
x
4. Nájdite primitívnu funkciu k funkcii h =
2 + x + 1 − x
√
x 2 + x + 1 + x .
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
Skúška z MANb/10
UKÁŽKA SKÚŠKOVÉHO TESTU:
Zapíšte ako kvantifikované výroky:
Funkcia f je darbouxovská na množine M.
Množina nemá žiaden hromadný bod.
Rozhodnite o platnosti nasledujúcich výrokov:
Ak f , g : R → R sú periodické a lim
x→∞
(f (x) − g(x)) = 0, tak f = g.
Každý Taylorov polynóm nepárnej funkcie je nepárna funkcia.
Spojitost’ funkcie je nutnou podmienkou existencie k nej
primitívnej funkcie.
Skonštruujte:
Funkciu f takú, že f ′ (x 0 ) = −∞ a x 0 je bod neodstránitel’nej
nespojitosti 1. druhu.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
Skúška z MANb/10
UKÁŽKA SKÚŠKOVEJ OTÁZKY:
vyslovte definíciu nevlastnej derivácie funkcie v bode
zaved’te pojem hromadný bod množiny
vyslovte Dirichletovu vetu
vyslovte a dokážte vetu o vzt’ahu spojitosti a rovnomernej
spojitosti funkcie na množine
vyslovte a dokážte vetu o výpočte koeficientov asymptoty so
smernicou
sformulujte a dokážte l’ahké L’Hospitalovo pravidlo
ĎAKUJEM ZA CELOROČNÚ POZORNOSŤ!
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

VI. Integrálny počet
Skúška z MANb/10
UKÁŽKA SKÚŠKOVEJ OTÁZKY:
vyslovte definíciu nevlastnej derivácie funkcie v bode
zaved’te pojem hromadný bod množiny
vyslovte Dirichletovu vetu
vyslovte a dokážte vetu o vzt’ahu spojitosti a rovnomernej
spojitosti funkcie na množine
vyslovte a dokážte vetu o výpočte koeficientov asymptoty so
smernicou
sformulujte a dokážte l’ahké L’Hospitalovo pravidlo
ĎAKUJEM ZA CELOROČNÚ POZORNOSŤ!
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.