Matematická analýza II
Matematická analýza II. - (prezentácia k prednáške MANb/10) Matematická analýza II. - (prezentácia k prednáške MANb/10)
V. Diferenciálny počet Matematická analýza II. (prezentácia k prednáške MANb/10) doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk Prednáška 7 12. marca 2015 Ondrej Hutník Matematická analýza II.
- Page 2 and 3: Spojitost’ funkcie na množine V.
- Page 4 and 5: V. Diferenciálny počet Spojitost
- Page 6 and 7: V. Diferenciálny počet Spojitost
- Page 8 and 9: V. Diferenciálny počet Spojitost
- Page 10 and 11: V. Diferenciálny počet Spojitost
- Page 12 and 13: V. Diferenciálny počet Spojitost
- Page 14 and 15: V. Diferenciálny počet Spojitost
- Page 16 and 17: V. Diferenciálny počet Spojitost
V. Diferenciálny počet<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.<br />
(prezentácia k prednáške MANb/10)<br />
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1<br />
1 ondrej.hutnik@upjs.sk<br />
Prednáška 7<br />
12. marca 2015<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
Spojitost’ funkcie na množine<br />
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Definícia – spojitost’ funkcie na množine<br />
Hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine M ⊆ D f , akk f je spojitá<br />
v každom bode množiny M, t.j.<br />
(∀x 0 ∈ M)(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M) |x − x 0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x 0 )| < ε.<br />
Ak f je spojitá na množine M, budeme písat’ f ∈ C (M).<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Weierstrassova veta o ohraničenosti<br />
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale<br />
ohraničená.<br />
Weierstrassova veta o maxime a minime<br />
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale nadobúda na tomto intervale<br />
maximum a minimum.<br />
KARL THEODOR WILHELM WEIERSTRASS (1815–1897)<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Weierstrassova veta o ohraničenosti<br />
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale<br />
ohraničená.<br />
Weierstrassova veta o maxime a minime<br />
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale nadobúda na tomto intervale<br />
maximum a minimum.<br />
KARL THEODOR WILHELM WEIERSTRASS (1815–1897)<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Definícia – darbouxovská vlastnost’<br />
Hovoríme, že funkcia f je darbouxovská na M ⊆ D f , akk pre každé a, b ∈ M<br />
a každé y medzi f (a) a f (b) existuje ξ ∈ (a, b) také, že f (ξ) = y.<br />
Veta (Darbouxova)<br />
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale<br />
darbouxovská.<br />
JEAN GASTON DARBOUX (1842–1917)<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Definícia – darbouxovská vlastnost’<br />
Hovoríme, že funkcia f je darbouxovská na M ⊆ D f , akk pre každé a, b ∈ M<br />
a každé y medzi f (a) a f (b) existuje ξ ∈ (a, b) také, že f (ξ) = y.<br />
Veta (Darbouxova)<br />
Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale je na tomto intervale<br />
darbouxovská.<br />
JEAN GASTON DARBOUX (1842–1917)<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Dôsledok<br />
Nech f ∈ C (M), kde M je interval. Potom<br />
(i) ak M = 〈a, b〉, tak f nadobúda každú hodnotu medzi max f (x) a<br />
x∈〈a,b〉<br />
min f (x) aspoň v jednom bode intervalu (a, b);<br />
x∈〈a,b〉<br />
(ii) N = {y = f (x); x ∈ M} je jednoprvková množina alebo interval.<br />
JEAN GASTON DARBOUX (1842–1917)<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Veta (Bolzanova)<br />
Nech f ∈ C 〈a, b〉 a f (a)f (b) < 0. Potom (∃ξ ∈ (a, b)) f (ξ) = 0.<br />
BERNARD BOLZANO (1781–1848)<br />
♣ konštruktívny dôkaz Bolzanovej vety<br />
http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANb/Bolzano.pdf<br />
♠ metóda bisekcie prakticky<br />
http://user.mendelu.cz/marik/maw-new/index.php?lang=sk&form=bisection<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Veta (Bolzanova)<br />
Nech f ∈ C 〈a, b〉 a f (a)f (b) < 0. Potom (∃ξ ∈ (a, b)) f (ξ) = 0.<br />
BERNARD BOLZANO (1781–1848)<br />
♣ konštruktívny dôkaz Bolzanovej vety<br />
http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANb/Bolzano.pdf<br />
♠ metóda bisekcie prakticky<br />
http://user.mendelu.cz/marik/maw-new/index.php?lang=sk&form=bisection<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Veta (Bolzanova)<br />
Nech f ∈ C 〈a, b〉 a f (a)f (b) < 0. Potom (∃ξ ∈ (a, b)) f (ξ) = 0.<br />
BERNARD BOLZANO (1781–1848)<br />
♣ konštruktívny dôkaz Bolzanovej vety<br />
http://umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANb/Bolzano.pdf<br />
♠ metóda bisekcie prakticky<br />
http://user.mendelu.cz/marik/maw-new/index.php?lang=sk&form=bisection<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Funkciu f sme nazvali spojitá na množine M ⊆ D f , akk<br />
(∀ε > 0)(∀x ∈ M)(∃δ > 0)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε<br />
?? a čo ak jednoducho prehodíme poradie kvantifikátorov ??<br />
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Funkciu f sme nazvali spojitá na množine M ⊆ D f , akk<br />
(∀ε > 0)(∀x ∈ M)(∃δ > 0)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε<br />
?? a čo ak jednoducho prehodíme poradie kvantifikátorov ??<br />
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ M)(∀y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)<br />
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).<br />
Ako to zažit’ na vlastnej koži?: Nech na reálnej osi je v každom bode<br />
určité napätie. Ak funkcia určujúca napätie je rovnomerne spojitá, môžeme<br />
nájst’ dĺžku kroku, s ktorou sa môžeme po reálnej osi (bezpečne)<br />
prechádzat’ (takzvané „krokové napätie“), t.j. ak požadujeme rozdiel napätia<br />
ε, nájdeme vel’kost’ kroku δ.<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)<br />
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).<br />
Ako to zažit’ na vlastnej koži?: Nech na reálnej osi je v každom bode<br />
určité napätie. Ak funkcia určujúca napätie je rovnomerne spojitá, môžeme<br />
nájst’ dĺžku kroku, s ktorou sa môžeme po reálnej osi (bezpečne)<br />
prechádzat’ (takzvané „krokové napätie“), t.j. ak požadujeme rozdiel napätia<br />
ε, nájdeme vel’kost’ kroku δ.<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)<br />
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).<br />
Geometrická predstava rovnomernej spojitosti: Predstavme si, že po<br />
grafe funkcie letí dvojplošník, ktorý sa nesmie dotknút’ grafu dolným ani<br />
horným krídlom. Pred letom si môžeme upravit’ lietadlo (krídla sú od seba<br />
vzdialené o ε a sú dlhé δ). Ak sa let podarí, je funkcia rovnomerne spojitá.<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)<br />
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).<br />
f ∈ C u (M) ⇔ (∀x n , y n ∈ M) lim<br />
n→∞<br />
|x n − y n | = 0 ⇒<br />
Veta V.13<br />
C u (M) ⊆ C (M)<br />
lim |f (x n ) − f (y n )| = 0<br />
n→∞<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.
V. Diferenciálny počet Spojitost’ funkcie<br />
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine<br />
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)<br />
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).<br />
f ∈ C u (M) ⇔ (∀x n , y n ∈ M) lim<br />
n→∞<br />
|x n − y n | = 0 ⇒<br />
Veta V.13<br />
C u (M) ⊆ C (M)<br />
lim |f (x n ) − f (y n )| = 0<br />
n→∞<br />
Ondrej Hutník<br />
<strong>Matematická</strong> <strong>analýza</strong> <strong>II</strong>.