Matematická analýza II

V. Diferenciálny počet
Matematická analýza II.
(prezentácia k prednáške MANb/10)
doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1
1 ondrej.hutnik@upjs.sk
Prednáška 8
13. marca 2015
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Definícia – rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Funkciu f nazývame rovnomerne spojitá na množine M ⊆ D f , akk (∀ε > 0)
(∃δ > 0) (∀x, y ∈ M, |x − y| < δ) |f (x) − f (y)| < ε. Budeme písat’ f ∈ C u (M).
f ∈ C u (M) ⇔ (∀x n , y n ∈ M) lim
n→∞
|x n − y n | = 0 ⇒
Veta V.13
C u (M) ⊆ C (M)
lim |f (x n ) − f (y n )| = 0
n→∞
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Rovnomerná spojitost’ funkcie na množine
Veta (Heineho-Cantorova)
C u 〈a, b〉 = C 〈a, b〉
EDUARD HEINE (1821–1881) GEORG CANTOR (1845–1918)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Spojitost’ a d’alšie vlastnosti funkcií
Zopakovanie – Veta II.4
Ak f je rýdzomonotónna na M ⊆ D f , tak f je prostá na M.
y
5
2
1
0 1 4
x
Čo je potrebné pridat’ k prostosti, aby sme dostali rýdzomonotónnost’???
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Spojitost’ a d’alšie vlastnosti funkcií
Zopakovanie – Veta II.4
Ak f je rýdzomonotónna na M ⊆ D f , tak f je prostá na M.
y
5
2
1
0 1 4
x
Čo je potrebné pridat’ k prostosti, aby sme dostali rýdzomonotónnost’???
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Spojitost’ a d’alšie vlastnosti funkcií
Veta V.14
Ak f je prostá na M ⊆ D f a f ∈ C (M), tak f je rýdzomonotónna na M.
Dôsledok = Veta II.4 + Veta V.14
Nech f ∈ C (M). Potom f je prostá na M práve vtedy, ked’ f je
rýdzomonotónna na M.
Veta V.15
Nech f je monotónna na M ⊆ D f a N = {y = f (x); x ∈ M} je
jednoprvková množina alebo interval. Potom f ∈ C (M).
Veta (o spojitosti inverznej funkcie)
Nech f ∈ C (M) je prostá na intervale M ⊆ D f a
N = {y = f (x); x ∈ M}. Potom f ∈ C (N) je rýdzomonotónna.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Spojitost’ a d’alšie vlastnosti funkcií
Veta V.14
Ak f je prostá na M ⊆ D f a f ∈ C (M), tak f je rýdzomonotónna na M.
Dôsledok = Veta II.4 + Veta V.14
Nech f ∈ C (M). Potom f je prostá na M práve vtedy, ked’ f je
rýdzomonotónna na M.
Veta V.15
Nech f je monotónna na M ⊆ D f a N = {y = f (x); x ∈ M} je
jednoprvková množina alebo interval. Potom f ∈ C (M).
Veta (o spojitosti inverznej funkcie)
Nech f ∈ C (M) je prostá na intervale M ⊆ D f a
N = {y = f (x); x ∈ M}. Potom f ∈ C (N) je rýdzomonotónna.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Spojitost’ a d’alšie vlastnosti funkcií
Veta V.14
Ak f je prostá na M ⊆ D f a f ∈ C (M), tak f je rýdzomonotónna na M.
Dôsledok = Veta II.4 + Veta V.14
Nech f ∈ C (M). Potom f je prostá na M práve vtedy, ked’ f je
rýdzomonotónna na M.
Veta V.15
Nech f je monotónna na M ⊆ D f a N = {y = f (x); x ∈ M} je
jednoprvková množina alebo interval. Potom f ∈ C (M).
Veta (o spojitosti inverznej funkcie)
Nech f ∈ C (M) je prostá na intervale M ⊆ D f a
N = {y = f (x); x ∈ M}. Potom f ∈ C (N) je rýdzomonotónna.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Spojitost’ a d’alšie vlastnosti funkcií
Veta V.14
Ak f je prostá na M ⊆ D f a f ∈ C (M), tak f je rýdzomonotónna na M.
Dôsledok = Veta II.4 + Veta V.14
Nech f ∈ C (M). Potom f je prostá na M práve vtedy, ked’ f je
rýdzomonotónna na M.
Veta V.15
Nech f je monotónna na M ⊆ D f a N = {y = f (x); x ∈ M} je
jednoprvková množina alebo interval. Potom f ∈ C (M).
Veta (o spojitosti inverznej funkcie)
Nech f ∈ C (M) je prostá na intervale M ⊆ D f a
N = {y = f (x); x ∈ M}. Potom f ∈ C (N) je rýdzomonotónna.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Infinitezimálny počet – okolnosti vzniku a motivácia
Derivácia rodiaca sa:
– Newtonovi padá jablko na hlavu a Leibnizovi sa snívajú t’ažké sny
o dotyčniciach ⇒ derivácia umožňuje popis fyzikálnych dejov a
geometrické správanie sa funkcií
ISAAC NEWTON (1643–1727) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646–1716)
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Infinitezimálny počet – okolnosti vzniku a motivácia
Derivácia uháňajúca:
– derivácia udáva rýchlost’ zmien fyzikálnych veličín ⇒ derivácia
umožňuje merat’ rýchlost’ dejov najrôznejšieho druhu
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Infinitezimálny počet – okolnosti vzniku a motivácia
Derivácia tvarujúca:
– derivácia funkcie v bode je smernica jej dotyčnice v danom bode,
t.j. udáva ako rýchlo funkcia rastie alebo klesá
– druhá derivácia udává mieru konvexnosti či konkávnosti ⇒
derivácia je vhodný nástroj pre popis kriviek najrôznejšieho druhu
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Infinitezimálny počet – okolnosti vzniku a motivácia
Derivácia zjednodušujúca:
– derivácia slúži na aproximáciu funkcie, ak ju nahradíme jej
dotyčnicou ⇒ namiesto všeobecne komplikovaných závislostí
medzi veličinami pracujeme s lineárnymi funkciami a rovnicami
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Infinitezimálny počet – okolnosti vzniku a motivácia
Derivácia všeobklopujúca:
– ked’že väčšina fyzikálnych dejov prebieha tak, že zmena jednej
veličiny vyvoláva zmenu či prítomnost’ inej veličiny, je derivácia
ideálnym prostriedkom pre formulovanie fyzikálnych zákonov ⇒
popisuje všetko, čo nás obklopuje
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Definícia – derivácia funkcie v bode
Nech x 0 ∈ D f je hromadný bod D f . Deriváciou funkcie f v bode x 0 nazývame
f (x)−f (x
vlastnú limitu lim
0 )
x→x0 x−x 0
a označujeme ju f ′ (x 0 ).
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Definícia – derivácia funkcie v bode
Nech x 0 ∈ D f je hromadný bod D f . Deriváciou funkcie f v bode x 0 nazývame
f (x)−f (x
vlastnú limitu lim
0 )
x→x0 x−x 0
a označujeme ju f ′ (x 0 ).
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
f ′ (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Definícia – jednostranná derivácia funkcie v bode
Nech f je definovaná na pravom [l’avom] okolí bodu x 0 ∈ R.
Deriváciou sprava [zl’ava] funkcie f v bode x 0 nazývame vlastnú limitu
f (x)−f (x
lim
0 ) f (x)−f (x
x→x + x−x 0
[ lim
0 )
0
x→x − x−x 0
] a označujeme ju f +(x ′ 0 ) [f −(x ′ 0 )].
0
Veta V.16
Funkcia f má deriváciu v bode x 0 práve vtedy, ked’ f má deriváciu
sprava a zl’ava v bode x 0 a platí f ′ (x 0 ) = f ′ +(x 0 ) = f ′ −(x 0 ).
Definícia – derivácia na množine
Nech f je definovaná na množine M. Hovoríme, že f má deriváciu na
množine, akk má deriváciu v každom bode množiny M.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Definícia – jednostranná derivácia funkcie v bode
Nech f je definovaná na pravom [l’avom] okolí bodu x 0 ∈ R.
Deriváciou sprava [zl’ava] funkcie f v bode x 0 nazývame vlastnú limitu
f (x)−f (x
lim
0 ) f (x)−f (x
x→x + x−x 0
[ lim
0 )
0
x→x − x−x 0
] a označujeme ju f +(x ′ 0 ) [f −(x ′ 0 )].
0
Veta V.16
Funkcia f má deriváciu v bode x 0 práve vtedy, ked’ f má deriváciu
sprava a zl’ava v bode x 0 a platí f ′ (x 0 ) = f ′ +(x 0 ) = f ′ −(x 0 ).
Definícia – derivácia na množine
Nech f je definovaná na množine M. Hovoríme, že f má deriváciu na
množine, akk má deriváciu v každom bode množiny M.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.

V. Diferenciálny počet
Spojitost’ funkcie
Derivácia funkcie
Definícia – jednostranná derivácia funkcie v bode
Nech f je definovaná na pravom [l’avom] okolí bodu x 0 ∈ R.
Deriváciou sprava [zl’ava] funkcie f v bode x 0 nazývame vlastnú limitu
f (x)−f (x
lim
0 ) f (x)−f (x
x→x + x−x 0
[ lim
0 )
0
x→x − x−x 0
] a označujeme ju f +(x ′ 0 ) [f −(x ′ 0 )].
0
Veta V.16
Funkcia f má deriváciu v bode x 0 práve vtedy, ked’ f má deriváciu
sprava a zl’ava v bode x 0 a platí f ′ (x 0 ) = f ′ +(x 0 ) = f ′ −(x 0 ).
Definícia – derivácia na množine
Nech f je definovaná na množine M. Hovoríme, že f má deriváciu na
množine, akk má deriváciu v každom bode množiny M.
Ondrej Hutník
Matematická analýza II.