Dynamics cheat sheet

8.1.2 under-damped free vibration c < c r , ξ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.3 critically damped free vibration ξ = c
c r
= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.1.4 over-damped free vibration ξ = c
c r
> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2 Constant input F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2.1 Undamped case ζ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2.2 under-damped ζ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2.3 Critical damping ζ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2.4 Over-damped ζ > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.3 Harmonic forced input F sin (ϖt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3.1 Undamped forced vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3.2 Under-damped forced vibration c < c r , ξ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3.3 critically damping forced vibration ξ = c
c r
= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.3.4 over-damped forced vibration ξ = c
c r
> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.4 Response to impulsive loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.4.1 impulse input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.4.2 sin impulse input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.5 references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9 Derivation of rotation formula 49
10 Miscellaneous hints 50
11 Formulas 51
12 Velocity and acceleration diagrams 53
12.1 Spring pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.2 pendulum with blob moving in slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.3 spring pendulum with block moving in slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12.4 double pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
13 Velocity and acceleration of rigid body 2D 57
14 Velocity and acceleration of rigid body 3D 58
14.1 Using Vehicle dynamics notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
14.2 3D Not Using vehicle dynamics notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
14.2.1 Derivation for F = ma in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
14.2.2 Derivation for τ = Iω in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
14.2.3 Derivation for τ = Iω in 3D using principle axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
15 Wheel spinning precession 63
16 References 63
17 Misc. items 64
18 Astrodynamics 65
18.1 Ellipse main parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
18.2 Table of common equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
18.3 Flight path angle for ellipse γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
18.4 Parabolic trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
18.5 Hyperbolic trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
18.6 showing that energy is constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
18.7 Earth satellite Transfer orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
18.7.1 Hohmann transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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