TMII-UE-Buchinhalt-15-11-11

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Übungen
zur
Technische Mechanik II
- Festigkeitslehre/ Elastostatik –
Vollständig und mit möglichen Lösungsvarianten gelöste Übungsaufgaben
von
Annette Kunow
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Aufgaben zum Kapitel 2: Flächenschwerpunkt (Flächenmoment 1.Ordnung)
Aufgaben zum Kapitel 3: Einachsiger Spannungszustand
Aufgaben zum Kapitel 4: Zug- und Druckstab
Aufgaben zum Kapitel 5: Zweiachsiger Spannungszustand
Aufgaben zum Kapitel 6: Verallgemeinertes Elastizitätsgesetz (HOOKEsches Gesetz)
Aufgaben zum Kapitel 8: Flächenträgheitsmoment (Flächenmoment 2.Ordnung)
Aufgaben zum Kapitel 9: Torsion
Aufgaben zum Kapitel 10: Biegung des geraden Balkens
Aufgaben zum Kapitel 11: Der Arbeitsbegriff der Elastostatik
Aufgaben zum Kapitel 12: Schubspannungen
Sachwörterverzeichnis
Impressum
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y
σ ξ
l
σ x
ξ
s
η
α
τ ξη
b
τ xy
σ y
α
τ xy
σ x
x
Bild 5.5 Schnittbild des abgeschnittenen Teils
Die Zahlenwerte eingesetzt in (5.10) und (5.11) ergeben
a
(5.12) :
25.98a 60a
a
N
( - cosα + 20asinα
- 30 ( sinα
+ a cosα))
sin α tan α
tan α
2
mm
=
N
= (30 - 17.32 +17.32 - 30) 0
2
mm
=
(5.13) :
-49.64a
(
sin α
+
60a −20a
sinα
+
tan α tan α
cosα
- 30(
a
tan α
cosα + a
N
sinα))
mm
2
=
N
= (- 57.32 + 30 + 10 - 8.66 + 25.98) 0
2
mm
=
Damit bestätigt die Kontrolle die berechneten Werte.
Aufgabe 5.3
• Vorgegebener Spannungszustand einer ebenen Scheibe
• Berechnung der Größe und Richtung der Hauptspannungen
• Analytische und graphische Lösung
In einer rechteckigen Scheibe wird durch die skizzierte Belastung ein zweidimensionaler Spannungszustand
erzeugt. Die Scheibe wird durch einen schrägen Schnitt α halbiert.
N
N
N
gegeben: a, c, Dicke t, σ
x
= 60 , σ
2 y
= - 20 , τ
2 xy
= 30 , α = 60
2
mm mm mm
0
*
gesucht: Bestimmung der Schnittfläche α , in der die Normalspannungen σ den größten Wert haben. Wie
groß ist dieser? Wie groß sind die Hauptspannungen. Lösung mit dem MOHRschen Spannungskreis
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y
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σ y
σ x
τ yx
τ yx
σ x
ξ
η
α
Schnittebene
c
α
x
a
Bild 5.6 Rechteckigen Scheibe mit Belastung
Lösung zu Aufgabe 5.3
Die Richtung der Hauptachsen sind
(5.14) :
tan 2α
*
1,2
230
=
60 + 20
= .75
⇒
2α
*
1,2
= 36.87
0
.
Daraus folgt
(5.15) :
α
*
1
=
0
18.43 , α
*
2
=
108.43
0
.
Die maximale Spannung ist
1
1
(5.16):
σ ζ = ( σx
+ σy
) + ( σx
− σy
)cos2α + τxysin2α
,
2
2
*
0
N N
(5.17):
σmax
= σζ
( α 1 =18.43 ) =(20 + 32 +18) = 70 = σ1.
2
2
mm mm
Die Hauptspannungen sind
(5.18) :
σ
2
1,2 +
40
= ( ±
2
⎛ 80 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
30
2
N
)
mm
2
.
Daraus folgen die Maximale und minimale Hauptspannung
(5.19):
N
N
σ1
= 70 , σ2
= −30
.
2
2
mm
mm
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Lösung mit dem MOHRschen Spannungskreis
τ
σ y
τ xy
σ x
σx
τ xy σ y
σ 2
τ ξη
2α ∗
σ α ∗
2
σ ξ σ
α ∗∗
σ η σ M 10 N/mm 2 σ x
σ 1
α
σ 1
σ 1
σ 2
τ xy
τ ξη
τ max
σ M
σ M
τ max
τ max
σ M
N
Bild 5.7 MOHRscher Spannungskreis; Maßstab 1cm
≡ 4.76
2
mm
σ M
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Aufgaben zum Kapitel 6: Verallgemeinertes Elastizitätsgesetz (HOOKEsches Gesetz)
Aufgabe 6.1
• Berechnung der Spannungen in einer Scheibe
• Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeländerungen) in einer Scheibe
• Zweidimensionales System
• Belastung durch Gleichstreckenlast und Temperatur
In einem starren Betonsockel B (Dicke t) wird passend eine quadratische, elastische Scheibe eingesetzt. Die
Scheibe wird mit einer Flächenlast q an der oberen Kante und der Temperatur ∆T belastet.
gegeben: a, q, E, ν , t,
∆ T ,
α
T
gesucht: Bestimmung des Betrags ∆ a , um den sich die freie Seite unter der Druckspannung q und der
Temperatur ∆ T verschiebt, wenn vorausgesetzt wird, dass die Scheibe an den vertikalen Seitenrändern reibungsfrei
gleiten kann
q
Dicke t
x
y
a
a
Lösung zu Aufgabe 6.1
Bild 6.1 Quadratische, elastische Scheibe im Betonsockel
Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeländerungen γ
ij zu Null. Damit wird τ = 0.
Die Spannung
σ
x infolge der Belastung q in x- Richtung und der Temperaturerhöhung
∆ T lautet
(6.1):
σ
x
− qat ⎡ N ⎤
= = −q
.
at
⎢ 2 ⎥
⎣mm
⎦
Die Scheibe kann sich wegen der starren Wände in y- Richtung nicht ausbreiten
1
(6.2):
ε y = ( σy
- νσx
) + αT∆T = 0 ⇒ σy
= νσx
− αT∆TE.
E
In (6.1) mit
∆ T eingesetzt ergibt sich die Dehnung in x- Richtung zu
σ
y ist die durch die Belastung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spannung in y- Richtung.
1
1 2
(6.3):
ε x = ( σx
- ν(
νσx
− αT∆TE))+
αT∆T = σx(1-
ν ) + αT∆TE(1+
ν)
E
E
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Damit ergibt sich die Höhenänderung in x- Richtung zu
1 2
(6.4):
∆ a = aεx
= -a q(1- ν ) + aαT∆TE(1+
ν).
E
Aufgabe 6.2
• Berechnung der Spannungen in einer Scheibe
• Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeländerungen) in einer Scheibe
• Dreidimensionales System
Die dargestellte Rechteckscheibe aus Stahl ist im skizzierten Zustand spannungsfrei gelagert. Die obere und
untere Lagerung sei starr und reibungsfrei.
gegeben: ν ,
∆ T ,
α
T , E, a = c, b
gesucht: Bestimmung der Spannungen und Verzerrungen, wenn die Scheibe eine gleichmäßige Temperaturerhöhung
∆ T erfährt. Wie groß sind die Abstände AB und AC nach der Temperaturerhöhung?
c/2
c/4
c/4
z
0
y
A, C
B
b)
z
0
x
A
B
C
Lösung zu Aufgabe 6.2
b a/2 a/2
Bild 6.2 Rechteckscheibe aus Stahl; a) Seitenansicht; b) Draufsicht
Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeländerungen γ
ij zu Null
1
(6.5):
γ = τixy
= γyz
= γzx
G
xy =
0.
Es besteht keine Einspannung und keine Reibung. Die freie Ausdehnung zwischen Lager und Scheibe ist
möglich. Damit entstehen in der Scheibe keine Spannungen in x- und y- Richtung
(6.6):
σ = 0, σy
x =
0.
Die Scheibe kann sich wegen der starren Wände in z- Richtung nicht ausbreiten. In (6.3) eingesetzt ergibt
sich daraus eine Bedingung für die Spannung in z- Richtung
1
(6.7):
ε z = σz
+ αT∆T = 0 ⇒ σz
= − αT∆TE.
E
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σ
z ist die durch die Temperaturbelastung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spannung
in z- Richtung.
Die Dehnungen in x- und y- Richtung können nun bestimmt werden
1
(6.8):
εx
= (- νσz
) + αT∆TE =(1+ ν)
αT∆T,
E
1
(6.9):
ε x = (- νσz)
+ αT∆TE =(1+ ν)
αT∆T
= εy.
E
Durch die Lagerung oben und unten verändert sich die Länge AB nicht
(6.10) :
*
AB = AB .
Die Länge ACverändert sich zu
*
AC − AC ∆l
*
(6.11) : ε = = ⇒ AC = AC( εx
AC l
x +
1).
Aufgabe 6.3
• Berechnung der Spannungen in einer Scheibe
• Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeländerungen) in einer Scheibe mit seitlichen
Wänden und ohne Wände
• Dreidimensionales System
• Belastung durch Flächenlast
Ein Würfel der Kantenlänge a wird durch eine Flächenlast q in eine Nut gepresst, deren Wände glatt und
starr sein sollen.
gegeben: a, q, ν , E
gesucht: Bestimmung der Änderungen, die sich für den Spannungszustand ergeben, und der Längenänderungen,
wenn die seitlichen Wände nicht vorhanden wären.
q
z
y a
a) b)
x
y
a
a
Bild 6.3 Würfel unter eine Flächenlast q; a) Ansicht in der y- z- Ebene; b) Ansicht in der x- y- Ebene (von oben gesehen)
Lösung zu Aufgabe 6.3
Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeländerungen γ
ij in beiden Fällen zu Null
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Impressum
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Prof. Dr.-Ing. Annette Kunow
Technische Mechanik II - Festigkeitslehre/ Elastostatik - Vollständig und mit möglichen Lösungsvarianten gelöste
Übungsaufgaben
1. Auflage 2012
Konzeption: Annette.kunow
Grafiken: Annette Kunow
Umschlag: Frank Terhaag
Alle Angaben/ Daten sind nach bestem Wissen erstellt, jedoch ohne Gewähr für Vollständigkeit und Richtigkeit.
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