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<strong>Apuntes</strong> <strong>de</strong> <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Medida</strong><br />
Badajoz, 30 <strong>de</strong> octubre <strong>de</strong> 2015<br />
ab ≤ A + B. Fig. pág. 237.<br />
Dpto. <strong>de</strong> Matemáticas<br />
Univ. <strong>de</strong> Extremadura
<strong>Apuntes</strong> <strong>de</strong> <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Medida</strong><br />
Dpto. <strong>de</strong> Matemáticas<br />
Univ. <strong>de</strong> Extremadura
«<strong>Apuntes</strong> <strong>de</strong> <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Medida</strong>. 30 <strong>de</strong> octubre <strong>de</strong> 2015
Índice general<br />
1. <strong>Medida</strong> 1<br />
1.1. Introducción Histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2. σ–álgebras <strong>de</strong> conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2.1. Anillos, Álgebras y σ–álgebras. . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2.2. σ–álgebra <strong>de</strong> Bórel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2.3. C<strong>la</strong>ses monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.3. <strong>Medida</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.3.1. Definición y propieda<strong>de</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4. Extensión <strong>de</strong> medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.4.1. <strong>Medida</strong>s exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.4.2. Teoremas <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> medidas . . . . . . . . . 21<br />
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.5.1. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes en R. . . . . . . . . 25<br />
1.5.2. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes en R n . . . . . . . . 29<br />
1.5.3. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue. . . . . . . 36<br />
1.6. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
1.6.1. <strong>Medida</strong>s exteriores métricas . . . . . . . . . . . . . 38<br />
1.6.2. Las medidas <strong>de</strong> Borel H p . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
1.6.3. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff en R n . . . . . . . . . . . . . 42<br />
1.6.4. Longitud <strong>de</strong> curvas <strong>de</strong> R n . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
1.7. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
1.7.1. Conjuntos <strong>de</strong> F δ y <strong>de</strong> F σ . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
1.7.2. Cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
1.7.3. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> haz en los espacios <strong>de</strong> medida. . . 51<br />
1.7.4. Aproximación <strong>de</strong> medibles . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
1.7.5. Compleción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
1.7.6. Regu<strong>la</strong>ridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
1.7.7. El conjunto <strong>de</strong> Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
i
ii<br />
ÍNDICE GENERAL<br />
1.7.8. Sobre los conjuntos Lebesgue medibles. . . . . . . 61<br />
1.8. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
2. Integración 73<br />
2.1. Introducción histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
2.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
2.2.1. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles . . . . . . . 74<br />
2.2.2. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
2.2.3. Operaciones básicas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles. . . 80<br />
2.2.4. Existencia <strong>de</strong> Lebesgue medibles no <strong>de</strong> Borel. . . . 80<br />
2.3. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
2.3.1. Integral <strong>de</strong> funciones medibles . . . . . . . . . . . . 83<br />
2.3.2. Propieda<strong>de</strong>s básicas <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral. . . . . . . . . . 86<br />
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
2.4.1. Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
2.4.2. Teorema convergencia monótona . . . . . . . . . . 91<br />
2.4.3. Integral <strong>de</strong> una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
2.4.4. Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada. . . . . . . . 95<br />
2.4.5. Depen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> un parámetro. . . . . . . . . . . . 98<br />
2.4.6. Otras propieda<strong>de</strong>s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
2.4.7. Integrales <strong>de</strong> Riemann y <strong>de</strong> Lebesgue . . . . . . . . 107<br />
2.5. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
3. Espacio <strong>de</strong> medida producto 117<br />
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
3.2. Producto finito <strong>de</strong> espacios medibles . . . . . . . . . . . . 119<br />
3.3. <strong>Medida</strong> producto <strong>de</strong> dos espacios . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
3.3.1. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> transición . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />
3.4. El Teorema <strong>de</strong> Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
3.4.1. Teorema <strong>de</strong> Fubini para dos espacios . . . . . . . . 129<br />
3.5. Compleción <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto . . . . . . . . . . . . . 135<br />
3.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br />
3.6.1. Cálculo <strong>de</strong> volúmenes especiales . . . . . . . . . . . 139<br />
3.6.2. <strong>Medida</strong> en <strong>la</strong> esfera invariante por rotaciones . . . 141<br />
3.6.3. Convolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144<br />
3.7. Producto <strong>de</strong> mas <strong>de</strong> dos espacios . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
3.7.1. Producto <strong>de</strong> n espacios medibles. . . . . . . . . . . 146<br />
3.7.2. Producto <strong>de</strong> infinitos espacios medibles. . . . . . . 148<br />
3.8. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
ÍNDICE GENERAL<br />
iii<br />
4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym 157<br />
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
4.2. Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> carga . . . . . . . . . . . . 158<br />
4.3. <strong>Medida</strong>s reales y medidas complejas . . . . . . . . . . . . 164<br />
4.4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
4.5. Singu<strong>la</strong>ridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179<br />
4.6. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
5. Diferenciación 187<br />
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187<br />
5.2. Diferenciación <strong>de</strong> medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188<br />
5.3. Derivación e integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194<br />
5.3.1. Funciones <strong>de</strong> variación acotada. . . . . . . . . . . . 194<br />
5.3.2. <strong>Medida</strong>s y funciones <strong>de</strong> variación acotada. . . . . . 197<br />
5.3.3. Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo. . . . . . . . . . . 198<br />
5.4. Transformaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 202<br />
5.4.1. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 202<br />
5.4.2. Transformaciones y medidas <strong>de</strong> Hausdorff. . . . . . 205<br />
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable . . . . . . . . . . . . . . 207<br />
5.5.1. Coor<strong>de</strong>nadas po<strong>la</strong>res . . . . . . . . . . . . . . . . . 214<br />
5.5.2. Coor<strong>de</strong>nadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . 215<br />
5.5.3. Forma <strong>de</strong> volumen. Variedad Riemanniana . . . . 216<br />
5.5.4. Coor<strong>de</strong>nadas hiperesféricas . . . . . . . . . . . . . 217<br />
5.6. Cálculo <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante γ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225<br />
5.7. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229<br />
6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles 233<br />
6.1. Los espacios L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233<br />
6.1.1. El espacio L ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234<br />
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236<br />
6.2.1. Desigualda<strong>de</strong>s fundamentales. . . . . . . . . . . . . 236<br />
6.2.2. El espacio L p para 0 < p < 1. . . . . . . . . . . . . 239<br />
6.2.3. Los espacios L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240<br />
6.2.4. Compleción <strong>de</strong> los espacios L p . . . . . . . . . . . . 242<br />
6.3. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248<br />
6.4. El espacio dual <strong>de</strong> L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252<br />
6.5. Tipos <strong>de</strong> convergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261<br />
6.6. Aplicaciones que conservan <strong>la</strong> medida . . . . . . . . . . . 266<br />
6.7. Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
iv<br />
ÍNDICE GENERAL<br />
7. Espacios <strong>de</strong> Hilbert 275<br />
7.1. Espacios prehilbertianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275<br />
7.2. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong> Hilbert . . . . . . . . . . . 277<br />
7.3. C<strong>la</strong>sificación <strong>de</strong> los Espacios <strong>de</strong> Hilbert . . . . . . . . . . . 281<br />
7.4. Teorema Ergódico en L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283<br />
8. Espacios <strong>de</strong> Banach 287<br />
8.1. El Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 287<br />
8.2. Teoremas clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290<br />
8.3. El Teorema <strong>de</strong> Vitali—Hahn–Saks . . . . . . . . . . . . . 292<br />
9. La transformada <strong>de</strong> Fourier 295<br />
9.1. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 2 (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 295<br />
9.2. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 1 (T ) y C(T ) . . . . . . . . . . . . 298<br />
9.3. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 300<br />
9.4. El Teorema <strong>de</strong> inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302<br />
9.5. Teorema <strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304<br />
9.6. El álgebra <strong>de</strong> Banach L 1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 307<br />
9.7. La transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes . . . . . . . . . . . . 309<br />
10.<strong>Medida</strong> y topología 319<br />
10.1. Espacios Hausdorff LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319<br />
10.2. <strong>Medida</strong>s regu<strong>la</strong>res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324<br />
10.2.1. Funciones continuas y funciones medibles . . . . . 327<br />
10.3. Teoremas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz . . . . . . . . . . . . 331<br />
10.4. Regu<strong>la</strong>ridad. T. <strong>de</strong> Radón–Nikodym . . . . . . . . . . . . 339<br />
10.5. El dual <strong>de</strong> L 1 en un espacio Hlc . . . . . . . . . . . . . . . 340<br />
10.6. Funcionales <strong>de</strong> Radón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341<br />
10.7. Producto <strong>de</strong> dos espacios HLC . . . . . . . . . . . . . . . 345<br />
10.8. Producto no numerable <strong>de</strong> espacios . . . . . . . . . . . . . 348<br />
10.9. <strong>Medida</strong> <strong>de</strong> Haar en grupos compactos . . . . . . . . . . . 351<br />
10.10.La integral <strong>de</strong> Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353<br />
10.11.Bibliografía y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357<br />
Densida<strong>de</strong>s 365<br />
Ejercicios difíciles 369<br />
Ejercicios resueltos 371<br />
Otros Ejercicios 401
Índice <strong>de</strong> figuras<br />
1.1. Semi-rectangulos acotados y no acotados <strong>de</strong> R 2 . . . . . . 30<br />
1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
1.3. Partición entera <strong>de</strong>l semirectángulo . . . . . . . . . . . . . 34<br />
1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
1.6. Conjunto <strong>de</strong> Cantor K = ∩K n . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
2.1. Gráficas <strong>de</strong> s 1 y s 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
2.2. Algunos peldaños <strong>de</strong> <strong>la</strong> función <strong>de</strong> Cantor . . . . . . . . . 81<br />
2.3. Gráficas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones β P ≤ f ≤ α P . . . . . . . . . . . . 108<br />
3.1. Las secciones E x y E y <strong>de</strong> E . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
3.2. El volumen <strong>de</strong>l Toro es (2πR)(πr 2 ). . . . . . . . . . . . . 139<br />
4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br />
5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<br />
5.2. Interpretación geométrica <strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminante . . . . . . . . 205<br />
5.3. Volumen y Area <strong>de</strong> un cuerpo <strong>de</strong> revolución. . . . . . . . 222<br />
6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237<br />
10.1. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426<br />
10.2. Pseudoesfera y Esfera <strong>de</strong> igual radio . . . . . . . . . . . . 427<br />
10.3. Arco, segmento y sector <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia. . . . . . . . 429<br />
10.4. Casquete esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430<br />
10.5. Segmento esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431<br />
10.6. Sector esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432<br />
v
Capítulo 1<br />
<strong>Medida</strong><br />
1.1. Introducción Histórica.<br />
El concepto <strong>de</strong> medida tiene una <strong>la</strong>rga historia <strong>de</strong> más <strong>de</strong> 5000 años,<br />
que surge <strong>de</strong>l manejo <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s, áreas y volúmenes fundamentalmente<br />
y <strong>de</strong> <strong>la</strong> necesidad <strong>de</strong> su cálculo. Estos tres ejemplos particu<strong>la</strong>res <strong>de</strong><br />
medidas son los que han servido como guía para sacar a <strong>la</strong> luz el concepto<br />
que <strong>de</strong>trás <strong>de</strong> ellos se escondía.<br />
El Papiro <strong>de</strong> Moscú, consi<strong>de</strong>rado <strong>de</strong>l 1800 A.C., es, con el <strong>de</strong> Rhind,<br />
uno <strong>de</strong> los documentos egipcios con problemas matemáticos, mas antiguos<br />
que se conocen (ver pág.427). En él encontramos problemas como<br />
el <strong>de</strong>l cálculo <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> un tronco <strong>de</strong> pirámi<strong>de</strong> ó el cálculo <strong>de</strong>l<br />
área <strong>de</strong> una superficie curva (en él no se aprecia con c<strong>la</strong>ridad si se trata<br />
<strong>de</strong> una semiesfera o <strong>de</strong> un semicilindro <strong>de</strong> altura el diámetro, los cuales<br />
tienen igual area). En cualquier caso en <strong>la</strong> solución que da el papiro<br />
<strong>de</strong> este problema se hace uso, aparentemente, <strong>de</strong> <strong>la</strong> aproximación <strong>de</strong> π,<br />
4(1 − 1/9) 2 = 3, 160....<br />
Sin embargo no es hasta el libro <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s (300 a.c.?) Los Elementos<br />
(ver VanDalen–Monna, p. 78 y Boyer, p. 129), que aparecen<br />
<strong>la</strong>s primeras <strong>de</strong>mostraciones satisfactorias <strong>de</strong> teoremas re<strong>la</strong>tivos a áreas<br />
y volúmenes. Aunque, también es cierto, en este libro no hay <strong>de</strong>finiciones<br />
1
2 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
<strong>de</strong> longitud, área ó volumen; Eucli<strong>de</strong>s <strong>la</strong>s consi<strong>de</strong>ra características que<br />
pue<strong>de</strong> medir respectivamente en <strong>la</strong>s figuras que sí <strong>de</strong>fine, como son:<br />
Linea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2).<br />
Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura (Libro I, Def.5).<br />
Sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad (Libro XI,<br />
Def.1).<br />
y tampoco <strong>de</strong>fine qué es medir, es una pa<strong>la</strong>bra que utiliza no sólo cuando<br />
hab<strong>la</strong> <strong>de</strong> estas tres “magnitu<strong>de</strong>s”geométricas, sino también en el ámbito<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> aritmética; por ejemplo en el libro VII, <strong>la</strong>s <strong>de</strong>finiciones 3 y 4 dicen<br />
3.- Un número es parte <strong>de</strong> un número, el menor <strong>de</strong>l mayor, cuando<br />
mi<strong>de</strong> al mayor.<br />
4.- Pero partes cuando no lo mi<strong>de</strong>.<br />
por ejemplo 3 es parte <strong>de</strong> 15 y 6 es partes <strong>de</strong> 15.<br />
Las longitu<strong>de</strong>s <strong>la</strong>s daba en comparación con un segmento unidad,<br />
<strong>la</strong>s áreas con un cuadrado unidad y los volúmenes con un cubo unidad,<br />
<strong>de</strong> este modo dio los valores correspondientes a figuras simples como<br />
polígonos y poliedros y <strong>de</strong>mostró teoremas como el <strong>de</strong> Pitágoras. Otros<br />
autores griegos más que dar <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> una figura daban resultados<br />
<strong>de</strong>l tipo: A y B tienen igual área ó volumen. Por ejemplo Arquíme<strong>de</strong>s<br />
(287–212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408–355 a.c.) <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> que<br />
el volumen <strong>de</strong> un cono es un tercio <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong>l cilindro <strong>de</strong> <strong>la</strong> misma<br />
base y altura. Esto sin conocer este volumen, para el que hace falta<br />
conocer el área <strong>de</strong>l círculo, que <strong>de</strong>scubrió casi 100 años <strong>de</strong>spués el propio<br />
Arquíme<strong>de</strong>s <strong>de</strong>mostrando que es el <strong>de</strong> un triángulo rectángulo con un<br />
cateto el radio y el otro <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia; suyo también es<br />
que el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera es 2/3 el volumen <strong>de</strong>l cilindro ó que el área<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera es <strong>la</strong> <strong>de</strong>l cilindro circunscrito (ver Boyer, p.177). Para esta<br />
última, que <strong>de</strong>muestra en Sobre <strong>la</strong> esfera y el cilindro (ver <strong>la</strong> bibliografía<br />
en <strong>la</strong> pág.67), utiliza los axiomas <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s junto con cinco principios<br />
<strong>de</strong> los que <strong>de</strong>stacan,<br />
4.- Dos superficies que tienen los mismos límites en un p<strong>la</strong>no son<br />
<strong>de</strong>siguales cuando ambas son cóncavas en <strong>la</strong> misma dirección y una <strong>de</strong><br />
el<strong>la</strong>s está completamente limitada por <strong>la</strong> otra y por el p<strong>la</strong>no que tiene los<br />
mismos límites que esta otra, o cuando una <strong>de</strong> el<strong>la</strong>s sólo está parcialmente<br />
limitada por <strong>la</strong> otra y el resto es común. La superficie limitada es<br />
<strong>la</strong> menor.<br />
5.- Dadas dos líneas, dos superficies o dos sólidos <strong>de</strong>siguales, si el<br />
exceso <strong>de</strong> una <strong>de</strong> estas figuras sobre <strong>la</strong> otra se aña<strong>de</strong> a sí mismo un
1.1. Introducción Histórica. 3<br />
cierto número <strong>de</strong> veces, se pue<strong>de</strong> superar una u otra <strong>de</strong> <strong>la</strong>s figuras que<br />
se comparan entre sí.<br />
(este último es el conocido Axioma <strong>de</strong> Arquíme<strong>de</strong>s). Y en <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración<br />
hace un uso riguroso <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> límite.<br />
Por último suya es también <strong>la</strong> mejor acotación <strong>de</strong> π <strong>de</strong> <strong>la</strong> época:<br />
3 + (10/71) < π < 3 + (10/70).<br />
Así se mantuvieron mas o menos <strong>la</strong>s cosas durante 2000 años, hasta<br />
que en 1883 G. Cantor (1845–1918) dio <strong>la</strong> primera <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> medida<br />
m(A) <strong>de</strong> un conjunto arbitrario (acotado) A ⊂ R n . Otros autores como<br />
Stolz en 1884 y Harnack en 1885 dan <strong>de</strong>finiciones equivalentes en R.<br />
Para el<strong>la</strong>s <strong>la</strong> propiedad aditiva <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida m[A ∪ B] = m[A] + m[B],<br />
para conjuntos disjuntos A y B, se satisfacía si los conjuntos estaban<br />
“completamente separados”, pero no en general, pues con sus <strong>de</strong>finiciones<br />
un conjunto y su adherencia median lo mismo y por tanto los racionales<br />
y los irracionales <strong>de</strong> [0, 1] median 1, lo mismo que todo [0, 1].<br />
El primero en consi<strong>de</strong>rar qué conjuntos A son medibles y dar una<br />
<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> su medida fue en 1887 G. Peano (1858–1932), el cual<br />
consi<strong>de</strong>ró <strong>la</strong> medida m[A] <strong>de</strong> sus pre<strong>de</strong>cesores (que en el caso <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no<br />
<strong>de</strong>finía mediante aproximaciones externas <strong>de</strong> A con polígonos) y a <strong>la</strong> que<br />
l<strong>la</strong>mó medida exterior y consi<strong>de</strong>ró, para A ⊂ R, con R un rectángulo,<br />
<strong>la</strong> medida interior <strong>de</strong> A como m[R] − m[R\A]; <strong>de</strong>finió conjunto medible<br />
como aquel cuya medida interna coinci<strong>de</strong> con <strong>la</strong> externa y <strong>de</strong>mostró que<br />
<strong>la</strong> medida era aditiva. A<strong>de</strong>más explicó <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción existente entre medida<br />
e integración, <strong>de</strong>mostrando (ver Pesin, p.38) que una función acotada<br />
f : [a, b] → [0, ∞), era Riemann integrable si y sólo si el conjunto E <strong>de</strong><br />
R 2 limitado por <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f y <strong>la</strong>s rectas x = a, x = b e y = 0 era<br />
medible, en cuyo caso<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx = m[E].<br />
En 1892 C. Jordan (1838–1922) dio una <strong>de</strong>finición mas simple utilizando<br />
una mal<strong>la</strong> <strong>de</strong> cuadrados <strong>de</strong> igual <strong>la</strong>do, en lugar <strong>de</strong> polígonos, para<br />
aproximar el conjunto.<br />
Sin embargo estas <strong>de</strong>finiciones eran pobres, pues por ejemplo con<br />
el<strong>la</strong>s los racionales ya no eran medibles.<br />
E.Borel (1871–1956) dio, en su doctorado <strong>de</strong> 1894, el siguiente paso<br />
importante consi<strong>de</strong>rando <strong>la</strong> numerable aditividad para sus medidas.<br />
A<strong>de</strong>más dio una <strong>de</strong>finición razonable <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong>, <strong>de</strong><br />
hecho mientras que para sus antecesores los racionales <strong>de</strong> [0, 1] medían 1,
4 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Borel concluyó que medían menos que ɛ ∑ (1/n 2 ) —y por tanto cero—,<br />
consi<strong>de</strong>rando para cada r n ∈ Q ∩ [0, 1] un segmento <strong>de</strong> longitud ɛ/n 2 ,<br />
con ɛ > 0 arbitrariamente pequeño.<br />
Se sabía <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Cantor que todo abierto A ⊂ R era unión, A = ∪I n ,<br />
a lo sumo numerable <strong>de</strong> intervalos abiertos I n disjuntos. Borel <strong>de</strong>fine<br />
su medida como <strong>la</strong> serie m[A] = ∑ m[I n ] y <strong>de</strong>scribe <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> los conjuntos<br />
(ahora l<strong>la</strong>mados Borelianos) que pue<strong>de</strong>n obtenerse a partir <strong>de</strong> los<br />
abiertos, mediante iteraciones en <strong>la</strong>s que se hacen uniones ó diferencias<br />
A\B numerables <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se, e indica que para estos conjuntos<br />
pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finirse una medida que es numerablemente aditiva (i.e.<br />
<strong>la</strong> medida <strong>de</strong> una unión numerable y disjunta <strong>de</strong> conjuntos medibles es<br />
<strong>la</strong> suma <strong>de</strong> sus medidas). La numerable aditividad <strong>de</strong> Borel frente a<br />
<strong>la</strong> finita aditividad <strong>de</strong> Peano–Jordan fue una propiedad básica que<br />
permitió obtener los resultados fundamentales en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración<br />
abstracta, teoría que <strong>de</strong>sarrolló fundamentalmente H. Lebesgue<br />
(1875–1941) a partir <strong>de</strong> su tesis <strong>de</strong> 1902. La numerable aditividad y <strong>la</strong><br />
integración están muy re<strong>la</strong>cionadas, <strong>de</strong> hecho <strong>la</strong> originalidad <strong>de</strong> Lebesgue<br />
no resi<strong>de</strong> tanto en haber extendido <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Riemann, como<br />
en su <strong>de</strong>scubrimiento —obtenido in<strong>de</strong>pendientemente por W.H.Young<br />
para funciones semicontinuas— <strong>de</strong>l teorema fundamental sobre el paso<br />
al límite <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral, que obtiene como consecuencia <strong>de</strong> ser <strong>la</strong> medida<br />
numerablemente aditiva.<br />
1.2. σ–álgebras <strong>de</strong> conjuntos<br />
1.2.1. Anillos, Álgebras y σ–álgebras.<br />
Entre <strong>la</strong>s activida<strong>de</strong>s características <strong>de</strong> <strong>la</strong> ciencia <strong>de</strong>staca <strong>la</strong> observación<br />
<strong>de</strong> magnitu<strong>de</strong>s —es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong> <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s físicas susceptibles<br />
<strong>de</strong> ser medibles—, y su medición. En <strong>la</strong> lección siguiente <strong>de</strong>finiremos el<br />
concepto general <strong>de</strong> medida, que engloba términos como: longitud, área,<br />
volumen, probabilidad ó carga y en esta primera nos fijaremos <strong>de</strong> forma<br />
muy general en <strong>la</strong> colección <strong>de</strong> los objetos o sucesos a medir. Uno podría
1.2. σ–álgebras <strong>de</strong> conjuntos 5<br />
pensar que po<strong>de</strong>mos medir el volumen <strong>de</strong> cualquier subconjunto <strong>de</strong>l espacio<br />
tridimensional, pero no es así. Es por ello que <strong>de</strong>bemos ac<strong>la</strong>rar <strong>la</strong>s<br />
propieda<strong>de</strong>s que <strong>de</strong>ben tener esos subconjuntos que queramos medir. Para<br />
ello consi<strong>de</strong>raremos un conjunto arbitrario Ω <strong>de</strong>l que queremos medir<br />
(en algún sentido) algunos <strong>de</strong> sus subconjuntos, daremos <strong>la</strong> estructura<br />
que tiene esa colección y estudiaremos sus propieda<strong>de</strong>s y consecuencias<br />
básicas.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos anillo en Ω, a una colección no vacía A ⊂<br />
P(Ω), para <strong>la</strong> que:<br />
A, B ∈ A ⇒ A ∪ B, A\B ∈ A,<br />
lo cual implica que A ∩ B ∈ A (ver el ejercicio 10.11.2, pág.401). Observemos<br />
que ∅ = A\A ∈ A, pero Ω no está necesariamente en A.<br />
L<strong>la</strong>maremos álgebra a un anillo A para el que Ω ∈ A y por tanto cerrada<br />
por paso al complementario y por uniones o intersecciones finitas.<br />
L<strong>la</strong>maremos σ–álgebra a un álgebra A cerrada para uniones numerables,<br />
por lo tanto con <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
a) Ω ∈ A.<br />
b) Si A ∈ A entonces A c ∈ A.<br />
c) Si A 1 , . . . , A n , . . . ∈ A, entonces ∪ ∞ n=1A n ∈ A.<br />
Se sigue <strong>de</strong> forma inmediata que un álgebra y un anillo son cerrados<br />
para intersecciones finitas y una σ–álgebra para intersecciones numerables.<br />
Ejemplo 1.2.1 P(Ω) es <strong>la</strong> mayor σ–álgebra <strong>de</strong> Ω.<br />
Ejemplo 1.2.2 {∅, Ω} es <strong>la</strong> menor σ–álgebra <strong>de</strong> Ω.<br />
Ejemplo 1.2.3 Sea Ω con infinitos elementos (numerable o no) y consi<strong>de</strong>remos<br />
<strong>la</strong> colección A <strong>de</strong> todos los subconjuntos A ⊂ Ω, tales que A<br />
ó A c sea numerable. Entonces A es σ–álgebra <strong>de</strong> Ω.<br />
Ejemplo 1.2.4 Sea Ω con infinitos elementos y consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> colección<br />
A <strong>de</strong> todos los subconjuntos A <strong>de</strong> Ω, tales que A ó A c sea finito.<br />
Entonces A es álgebra pero no σ–álgebra <strong>de</strong> Ω.<br />
Ejemplo 1.2.5 Sea Ω = R y A <strong>la</strong> colección <strong>de</strong> todas <strong>la</strong>s uniones finitas<br />
y disjuntas <strong>de</strong> los semiintervalos 1 acotados (a, b], con −∞ < a ≤ b < ∞.<br />
Entonces A es anillo pero no álgebra ni σ–álgebra.<br />
1 Para a = b, enten<strong>de</strong>mos (a, a] = ∅
6 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejemplo 1.2.6 Sea Ω = R y A <strong>la</strong> colección <strong>de</strong> todas <strong>la</strong>s uniones finitas<br />
y disjuntas <strong>de</strong> intervalos <strong>de</strong>l tipo (a, b] ó (a, ∞), con −∞ ≤ a ≤ b < ∞.<br />
Entonces A es álgebra pero no σ–álgebra.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos espacio medible al par (Ω, A), don<strong>de</strong> Ω es un<br />
conjunto y A es una σ–álgebra <strong>de</strong> Ω y conjuntos medibles a los elementos<br />
<strong>de</strong> A.<br />
Definición. Diremos que una aplicación entre espacios medibles,<br />
F : (Ω 1 , A 1 ) → (Ω 2 , A 2 ),<br />
es una aplicación medible, si F −1 (B) ∈ A 1 para todo B ∈ A 2 , es <strong>de</strong>cir 2<br />
F −1 (A 2 ) ⊂ A 1 .<br />
Nota 1.2.7 Es obvio que <strong>la</strong> intersección arbitraria <strong>de</strong> σ–álgebras en Ω<br />
es una σ–álgebra, esto justifica <strong>la</strong> siguiente <strong>de</strong>finición.<br />
Definición. Si C es una familia <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> Ω, <strong>de</strong>notaremos con<br />
σ(C) <strong>la</strong> mínima σ–álgebra que contiene a C, que por <strong>la</strong> nota anterior existe<br />
y es <strong>la</strong> intersección <strong>de</strong> todas <strong>la</strong>s σ álgebras que <strong>la</strong> contienen (observemos<br />
que al menos hay una, P(Ω)). Del mismo modo se tiene <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> mínima álgebra que contiene a <strong>la</strong> familia, que <strong>de</strong>notamos α(C).<br />
Nota 1.2.8 Si hay confusión y necesitamos hacer referencia al conjunto<br />
Ω <strong>de</strong>notaremos <strong>la</strong>s familias <strong>de</strong> conjuntos anteriores: σ Ω (C), α Ω (C).<br />
1.2.2. σ–álgebra <strong>de</strong> Bórel.<br />
Un caso particu<strong>la</strong>rmente importante <strong>de</strong> espacio medible se tiene cuando<br />
(Ω, T ) es un espacio topológico. Recor<strong>de</strong>mos que T ⊂ P(Ω) es una<br />
topología si verifica:<br />
1) Ω, ∅ ∈ T .<br />
2) Si A 1 , . . . , A n ∈ T , ∩ n i=1 A i ∈ T .<br />
3) Dada una colección arbitraria <strong>de</strong> A i ∈ T , su unión ∪ i A i ∈ T .<br />
Definición. Dado un espacio topológico (Ω, T ), l<strong>la</strong>maremos σ–álgebra<br />
<strong>de</strong> Borel a <strong>la</strong> generada por sus abiertos, que <strong>de</strong>notaremos σ(T ) = B(Ω)<br />
y a sus elementos los l<strong>la</strong>mamos borelianos .<br />
2 Notación: Si F : Ω 1 → Ω 2 y C ⊂ P(Ω 2 ), <strong>de</strong>notamos<br />
F −1 (C) = {F −1 (B) : B ∈ C}.
1.2. σ–álgebras <strong>de</strong> conjuntos 7<br />
Ejemplo 1.2.9 Los abiertos y cerrados son borelianos y si el espacio es<br />
Hausdorff también los compactos (pues son cerrados).<br />
En el siguiente resultado vamos a utilizar el principio <strong>de</strong> los buenos<br />
conjuntos.<br />
Lema 1.2.10 Para cada A ⊂ Ω se tiene que 3<br />
σ(C) ∩ A = σ A (C ∩ A).<br />
Demostración. Se <strong>de</strong>muestra fácilmente que σ(C) ∩ A es una σ–<br />
álgebra <strong>de</strong> A que contiene a C ∩ A, por lo tanto<br />
σ(C) ∩ A ⊃ σ A (C ∩ A),<br />
y para <strong>de</strong>mostrar <strong>la</strong> otra inclusión consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> familia <strong>de</strong> “buenos<br />
conjuntos”<br />
A = {C ∈ σ(C) : C ∩ A ∈ σ A (C ∩ A)},<br />
<strong>la</strong> cual es σ–álgebra y satisface C ⊂ A ⊂ σ(C), por tanto A = σ(C) y se<br />
tiene el resultado.<br />
Proposición 1.2.11 Si X es un espacio topológico e Y ⊂ X es un subespacio<br />
suyo, entonces<br />
B(Y) = B(X ) ∩ Y.<br />
Demostración. Por ser T (Y) = T (X ) ∩ Y y por el Lema anterior<br />
(1.2.10).<br />
Definición. L<strong>la</strong>mamos base <strong>de</strong> un espacio topológico a una colección <strong>de</strong><br />
abiertos tal que todo abierto <strong>de</strong>l espacio es unión <strong>de</strong> abiertos <strong>de</strong> <strong>la</strong> base.<br />
Proposición 1.2.12 Si un espacio topológico tiene una base numerable<br />
<strong>de</strong> abiertos 4 N , entonces B(Ω) = σ(N ).<br />
Demostración. Obvio pues T ⊂ σ(N ), por tanto σ(N ) = B(Ω).<br />
3 Notación: Dada una familia <strong>de</strong> conjuntos C en Ω y un A ⊂ Ω, consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong><br />
familia en A<br />
C ∩ A = {C ∩ A : C ∈ C}.<br />
4 Esto suele nombrarse diciendo que el espacio satisface el segundo axioma <strong>de</strong><br />
numerabilidad.
8 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejemplo 1.2.13 En Ω = R con <strong>la</strong> topología usual T R , <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones arbitrarias<br />
<strong>de</strong> intervalos abiertos (a, b), po<strong>de</strong>mos tomar como N = {(a, b) :<br />
a, b ∈ Q}, para el que σ(N ) = B(R). Como consecuencia veamos que<br />
C = {(a, b] : a, b ∈ R} ⇒ B(R) = σ(C)<br />
(en los ejercicios se verán más familias generadoras).<br />
Demostración. Por una parte (a, b] = (a, ∞) ∩ (b, ∞) c ∈ B(R) y<br />
por otra<br />
∞⋃<br />
(<br />
(a, b) = a, b − 1 ]<br />
,<br />
n<br />
n=1<br />
por lo que N ⊂ σ(C) ⊂ B(R) y el resultado se sigue.<br />
Ejemplo 1.2.14 En Ω = R = R ∪ {−∞, ∞}, <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> topología T ,<br />
formada por <strong>la</strong>s uniones arbitrarias <strong>de</strong> intervalos <strong>de</strong>l tipo<br />
[−∞, b), (a, b), (a, ∞],<br />
con a ≤ b ∈ R, para <strong>la</strong> que T R = T ∩ R. Esta topología tiene una base<br />
numerable N R<br />
formada por los mismos intervalos pero con a, b ∈ Q.<br />
Observemos que por (1.2.11) se tiene<br />
B(R) = B(R) ∩ R,<br />
por lo tanto como R, {−∞}, {∞} ∈ B(R), se tiene que<br />
B(R) = {E, E ∪ {∞}, E ∪ {−∞}, E ∪ {∞, −∞} : E ∈ B(R)}.<br />
Ejemplo 1.2.15 Si Ω = R n , po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar <strong>la</strong> base numerable N<br />
formada por los rectángulos abiertos (a, b) con a, b ∈ Q n , don<strong>de</strong> para<br />
a = (a i ), b = (b i ) ∈ R n utilizamos <strong>la</strong> notación<br />
(a, b) = ∏ (a i , b i ) = {(x 1 , . . . , x n ) : a i < x i < b i },<br />
(a, b] = ∏ (a i , b i ] = {(x 1 , . . . , x n ) : a i < x i ≤ b i }, etc . . .<br />
Proposición 1.2.16 La σ–álgebra B(R n ) está generada por cualquiera <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses:<br />
C 1 = {(a, b), a, b ∈ R n },<br />
C 2 = {(a, b], a, b ∈ R n },<br />
C 3 = {H = {(x 1 , . . . , x n ) : x i ≤ b}, para algún 1 ≤ i ≤ n y b ∈ R}.
1.2. σ–álgebras <strong>de</strong> conjuntos 9<br />
Demostración. Por una parte todo abierto es unión numerable <strong>de</strong><br />
rectángulos abiertos con extremos en Q n , por otra parte observemos que<br />
(a, b] = {x 1 ≤ a 1 } c ∩ {x 1 ≤ b 1 } ∩ · · · ∩ {x n ≤ a n } c ∩ {x n ≤ b n },<br />
por tanto se tienen <strong>la</strong> primera y tercera inclusiones (<strong>la</strong>s otras son obvias)<br />
B(R n ) ⊂ σ(C 1 ) ⊂ σ(C 2 ) ⊂ σ(C 3 ) ⊂ B(R n ).<br />
1.2.3. C<strong>la</strong>ses monótonas<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos límite superior y límite inferior <strong>de</strong> una sucesión<br />
<strong>de</strong> conjuntos A n respectivamente a los conjuntos<br />
lím sup A n =<br />
y <strong>de</strong>notaremos con<br />
∞⋂<br />
∞⋃<br />
m=1 n=m<br />
A n , lím inf A n =<br />
∞⋃<br />
∞⋂<br />
m=1 n=m<br />
A n ,<br />
A n ↑ A ⇔ A n ⊂ A n+1 , para cada n ∈ N y ∪ A n = A.<br />
A n ↓ A ⇔ A n ⊃ A n+1 , para cada n ∈ N y ∩ A n = A.<br />
Definición. Una c<strong>la</strong>se monótona C <strong>de</strong> Ω es una familia <strong>de</strong> subconjuntos<br />
<strong>de</strong> Ω satisfaciendo <strong>la</strong>s condiciones:<br />
a) Si A n ∈ C y A n ↑ A, entonces A ∈ C.<br />
b) Si A n ∈ C y A n ↓ A, entonces A ∈ C.<br />
Ejemplo 1.2.17 Sea Ω = R, <strong>la</strong> colección <strong>de</strong> todos los intervalos es c<strong>la</strong>se<br />
monótona y no es σ–álgebra.<br />
A continuación damos unas simples propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s estructuras<br />
conjuntistas <strong>de</strong>finidas.<br />
Proposición 1.2.18 Una familia A <strong>de</strong> Ω es una σ–álgebra si y sólo si es<br />
álgebra y c<strong>la</strong>se monótona.<br />
Demostración. Hágase como ejercicio. Obsérvese que toda unión<br />
numerable ∪A i , se pue<strong>de</strong> poner como unión <strong>de</strong> una sucesión creciente <strong>de</strong><br />
conjuntos <strong>de</strong>l álgebra<br />
n⋃<br />
B n = A i .<br />
i=1
10 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
También se tiene que <strong>la</strong> intersección arbitraria <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ses monótonas<br />
es c<strong>la</strong>se monótona y por tanto dada una c<strong>la</strong>se C <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> Ω,<br />
existe <strong>la</strong> mínima c<strong>la</strong>se monótona que <strong>la</strong> contiene, que <strong>de</strong>notamos con<br />
M(C). Para <strong>la</strong> que se tiene que si C ⊂ D ⊂ P(Ω) entonces<br />
α(C) ⊂ α(D), σ(C) ⊂ σ(D) y M(C) ⊂ M(D).<br />
El siguiente resultado es importante no sólo por lo que dice sino porque<br />
nos ofrece un buen ejemplo en el que se utiliza (tres veces) una<br />
técnica común en <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida, el principio <strong>de</strong> los buenos conjuntos.<br />
Lema 1.2.19 Si A es álgebra, M(A) es álgebra.<br />
Demostración. 1.- Ω ∈ M(A) es obvio pues Ω ∈ A.<br />
2.- A ∈ M(A) ⇒ A c ∈ M(A), pues <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se {A ∈ M(A) : A c ∈<br />
M(A)} es monótona 5 y contiene al álgebra A, por tanto es M(A).<br />
3.- En primer lugar veamos (i) que si A ∈ M(A) y B ∈ A, entonces<br />
A ∩ B ∈ M(A), para ello observemos que fijado B ∈ A, <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se<br />
{A ∈ M(A) : A ∩ B ∈ M(A)},<br />
es monótona y contiene a A, por tanto es M(A). Ahora veamos que si<br />
A, B ∈ M(A), entonces A ∩ B ∈ M(A), para ello fijemos A y consi<strong>de</strong>remos<br />
{B ∈ M(A) : A ∩ B ∈ M(A)}<br />
que es c<strong>la</strong>se monótona y por (i) contiene a A, por tanto es M(A).<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se monótona 1.2.20 Si A es álgebra entonces<br />
σ(A) = M(A).<br />
Demostración. Por (1.2.18) σ(A) es c<strong>la</strong>se monótona, por tanto<br />
σ(A) ⊃ M(A). Por el lema anterior M(A) es álgebra y por (1.2.18)<br />
σ–álgebra, por tanto σ(A) ⊂ M(A).<br />
5 Observemos que <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración no se hace para un elemento A, sino para todos<br />
los elementos a <strong>la</strong> vez, viendo que tienen estructura <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se monótona. En esto<br />
consiste el principio <strong>de</strong> los buenos conjuntos.
1.2. σ–álgebras <strong>de</strong> conjuntos 11<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.2.1 Demostrar que una c<strong>la</strong>se no vacía A es un álgebra en Ω si y<br />
sólo si se verifican <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
i) Si A ∈ A entonces A c ∈ A.<br />
ii) Si A, B ∈ A, entonces A ∩ B ∈ A.<br />
Ejercicio 1.2.2 Dada una aplicación F : Ω −→ Ω ′ , <strong>de</strong>mostrar <strong>la</strong>s siguientes<br />
propieda<strong>de</strong>s:<br />
(i) F −1 (∪B i) = ∪F −1 (B i), F −1 (∩B i) = ∩F −1 (B i), F −1 (B c ) = [F −1 (B)] c ,<br />
(ii) F (∪A i) = ∪F (A i), F (∩A i) ⊂ ∩F (A i),<br />
(iii) Si F es sobre F (A) c ⊂ F (A c ).<br />
(iv) Si F es inyectiva F (A) c ⊃ F (A c ) y F (A) c ∩ F (Ω) = F (A c ).<br />
Ejercicio 1.2.3 Dada una aplicación F : Ω → Ω ′ , <strong>de</strong>mostrar que:<br />
(a) Si A es una σ–álgebra <strong>de</strong> Ω, A ′ = {B ⊂ Ω ′ : F −1 (B) ∈ A} lo es <strong>de</strong> Ω ′ .<br />
(b) Si A ′ es una σ–álgebra <strong>de</strong> Ω ′ , A = F −1 [A ′ ] = {F −1 (B) ⊂ Ω : B ∈ A ′ } lo<br />
es <strong>de</strong> Ω.<br />
(c) Si C ⊂ P(Ω ′ ), σ[F −1 (C)] = F −1 [σ(C)].<br />
(d) Demostrar que si (Ω, T ) y (Ω ′ , T ′ ) son espacios topológicos y F es continua,<br />
entonces F −1 (B) ∈ B(Ω), para todo B ∈ B(Ω ′ ). (Sol.)<br />
Ejercicio 1.2.4 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong>s siguientes extensiones <strong>de</strong> una familia C <strong>de</strong><br />
subconjuntos <strong>de</strong> Ω:<br />
C 1 = {A ⊂ Ω : A ∈ C ó A c ∈ C},<br />
C 2 = {A 1 ∩ · · · ∩ A n : A i ∈ C 1, n ∈ N},<br />
C 3 = {A 1 ∪ · · · ∪ A n : A i ∈ C 2, n ∈ N}.<br />
Demostrar que C 3 = α(C). (Sol.)<br />
Ejercicio 1.2.5 Sean (Ω 1, A 1), . . . , (Ω n, A n) espacios medibles. Demostrar que<br />
<strong>la</strong> familia <strong>de</strong> los productos <strong>de</strong> medibles,<br />
R = {A 1 × · · · × A n ⊂ Ω 1 × · · · × Ω n : A i ∈ A i},<br />
es una c<strong>la</strong>se elemental (es <strong>de</strong>cir que satisface <strong>la</strong>s condiciones: (i) ∅ ∈ C, (ii) si<br />
A, B ∈ C, entonces A ∩ B ∈ C y (iii) si A ∈ C, A c es unión finita disjunta <strong>de</strong><br />
elementos <strong>de</strong> C). (Sol.)
12 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejercicio 1.2.6 Demostrar que si C es una c<strong>la</strong>se elemental, <strong>la</strong> familia <strong>de</strong> uniones<br />
finitas disjuntas <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> C es el álgebra α(C). (Sol.)<br />
Ejercicio 1.2.7 Demostrar que <strong>la</strong> σ–álgebra B(R) se genera por <strong>la</strong>s familias:<br />
C 1 = {(a, b) : a, b ∈ R},<br />
C 3 = {[a, b) : a, b ∈ R},<br />
C 5 = {(−∞, b) : b ∈ R},<br />
C 2 = {(a, b] : a, b ∈ R},<br />
C 4 = {[a, b] : a, b ∈ R},<br />
C 6 = {(−∞, b] : b ∈ R},<br />
Ejercicio 1.2.8 Demostrar que <strong>la</strong> σ–álgebra B(R) se genera por <strong>la</strong> familia C =<br />
{(a, b] : a, b ∈ R}.<br />
Ejercicio 1.2.9 Demostrar: (a) ∅ ⊂ lím inf A n ⊂ lím sup A n ⊂ Ω.<br />
(b) Si A n ↑ A (ó A n ↓ A), entonces lím sup A n = lím inf A n = A.<br />
Ejercicio 1.2.10 ¿Pue<strong>de</strong> una σ–álgebra infinita contener sólo una colección<br />
numerable <strong>de</strong> elementos? (Sol.)<br />
1.3. <strong>Medida</strong><br />
1.3.1. Definición y propieda<strong>de</strong>s<br />
Definición. Por una medida 6 , en un espacio medible (Ω, A) —con A<br />
álgebra ó anillo—, enten<strong>de</strong>remos una función no negativa<br />
µ : A −→ [0, ∞],<br />
que satisface:<br />
(a) µ(∅) = 0.<br />
(b) Es numerablemente aditiva, es <strong>de</strong>cir si dados A 1 , . . . , A n , . . . ∈ A<br />
disjuntos —es <strong>de</strong>cir tales que A i ∩ A j = ∅, para i ≠ j— y cuya unión<br />
esté en A (esto es automático si A es σ–álgebra), entonces<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
µ( A n ) = µ(A n ).<br />
n=1<br />
n=1<br />
6 Algunos autores <strong>la</strong> l<strong>la</strong>man medida positiva.
1.3. <strong>Medida</strong> 13<br />
Si <strong>la</strong> condición (b) sólo es válida para colecciones finitas <strong>de</strong> conjuntos<br />
disjuntos, A 1 , . . . , A n , diremos que <strong>la</strong> medida es aditiva.<br />
Diremos que una medida µ es σ–finita si existe una sucesión <strong>de</strong> conjuntos<br />
medibles y disjuntos A n ∈ A, tal que ∪A n = Ω y cada µ(A n ) < ∞.<br />
L<strong>la</strong>maremos probabilidad a toda medida verificando µ(Ω) = 1.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos espacio <strong>de</strong> medida a toda terna (Ω, A, µ), don<strong>de</strong><br />
µ es una medida sobre <strong>la</strong> σ–álgebra 7 A <strong>de</strong> Ω.<br />
Definición. Diremos que un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ) es completo si<br />
para cada B ⊂ A, con A ∈ A y µ(A) = 0, también es B ∈ A.<br />
Ejemplo 1.3.1 La medida <strong>de</strong>lta <strong>de</strong> Dirac. Consi<strong>de</strong>remos (Ω, A, µ),<br />
x ∈ Ω y para cada E ∈ A, µ(E) = 0, si x /∈ E y µ(E) = 1, si x ∈ E.<br />
Es <strong>la</strong> probabilidad concentrada en x, ó <strong>de</strong>lta <strong>de</strong> Dirac en x, suele<br />
<strong>de</strong>notarse con δ x .<br />
Ejemplo 1.3.2 La medida <strong>de</strong> contar. Consi<strong>de</strong>remos (Ω, A, µ), con los<br />
puntos x medibles, {x} ∈ A y µ(∅) = 0, µ(A) = n si A es finito y tiene<br />
n ∈ N elementos y µ(A) = ∞ en cualquier otro caso.<br />
Ejemplo 1.3.3 Consi<strong>de</strong>remos Ω = N, y una sucesión <strong>de</strong> números reales<br />
no negativos p n ≥ 0. Para cada A ⊂ N <strong>de</strong>finimos<br />
µ(A) = ∑ n∈A<br />
p n ,<br />
<strong>la</strong> cual es una medida en (N, P(N)), para <strong>la</strong> que µ({n}) = p n . Si <strong>la</strong><br />
∑<br />
pn = 1 entonces es una probabilidad y si p n = 1 para cada n, µ es <strong>la</strong><br />
medida <strong>de</strong> contar en los naturales.<br />
Otros ejemplos <strong>de</strong> medidas, <strong>de</strong> <strong>la</strong>s que estudiaremos algunas a lo <strong>la</strong>rgo<br />
<strong>de</strong>l curso, son:<br />
Ejemplo 1.3.4 La medida <strong>de</strong> Lebesgue en R n . Demostraremos <strong>la</strong><br />
existencia <strong>de</strong> una única medida, <strong>de</strong>finida en los borelianos <strong>de</strong> R n , invariante<br />
por tras<strong>la</strong>ciones y que en el cubo unidad vale 1.<br />
Ejemplo 1.3.5 Las medidas <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes en R n .<br />
Ejemplo 1.3.6 La medida <strong>de</strong> Haar en un grupo localmente compacto<br />
8 , que generaliza a <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue en el sentido <strong>de</strong> que son invariantes<br />
7 En algunas ocasiones A es sólo álgebra ó anillo, en cuyo caso lo especificaremos.<br />
8 Ver <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> espacio topológico localmente compacto en <strong>la</strong> pág.319.
14 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
por tras<strong>la</strong>ciones en el grupo (ver Cohn; Fol<strong>la</strong>nd).<br />
Ejemplo 1.3.7 La medida asociada a una variedad Riemanniana.<br />
Ejemplo 1.3.8 Las medidas <strong>de</strong> Hausdorff en un espacio métrico. Más<br />
generales que <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue nos permitirán <strong>de</strong>finir el área <strong>de</strong> una superficie<br />
<strong>de</strong>l espacio.<br />
Proposición 1.3.9 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida, entonces para<br />
A, B ∈ A:<br />
(a) µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B ∩ A c ).<br />
(b) Si A ⊂ B entonces µ(B) = µ(A) + µ(B\A).<br />
(c) Si A ⊂ B y µ(A) = ∞, entonces µ(B) = ∞.<br />
(d) Si A ⊂ B entonces µ(A) ≤ µ(B).<br />
(e) µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).<br />
(f) µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B).<br />
(g) Si A 1 , . . . , A n ∈ A, entonces<br />
µ(A 1 ∪ · · · ∪ A n ) ≤ µ(A 1 ) + · · · + µ(A n ).<br />
Demostración. (e) Como A ∪ B = (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B) ∪ (A c ∩ B),<br />
tendremos que<br />
µ(A) + µ(B) = µ(A ∩ B) + µ(A ∩ B c ) + µ(A ∩ B) + µ(A c ∩ B)<br />
= µ(A ∩ B) + µ(A ∪ B).<br />
(g) Por inducción y usando (f).<br />
Nota 1.3.10 Los apartados anteriores son válidos si A es anillo y µ es<br />
aditiva.<br />
Una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s básicas y más útiles <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas consecuencia<br />
<strong>de</strong> ser numerablemente aditivas, es <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> “continuidad secuencial”.<br />
Proposición 1.3.11 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y A n ∈ A una<br />
sucesión, entonces:<br />
(a) Si A n ↑ A, entonces µ(A n ) → µ(A).<br />
(b) Si A n ↓ A y µ(A 1 ) < ∞, entonces µ(A n ) → µ(A).
1.3. <strong>Medida</strong> 15<br />
Demostración. (a) Consi<strong>de</strong>remos los conjuntos disjuntos<br />
B 1 = A 1 ,<br />
B n = A n \A n−1 = A n ∩ A c n−1,<br />
para los que por inducción se tiene A n = B 1 ∪ . . . ∪ B n y A = ∪ ∞ n=1A n =<br />
∪ ∞ n=1B n , por tanto<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
µ(A) = µ( B n ) = µ(B n )<br />
= lím<br />
n=1<br />
n∑<br />
n→∞<br />
m=1<br />
n=1<br />
µ(B m ) = lím<br />
n→∞ µ(∪n m=1B m ) = lím<br />
n→∞ µ(A n).<br />
(b) Como A n ⊂ A 1 , tenemos por (1.3.9)–(b) que<br />
µ(A n ) + µ(A 1 \A n ) = µ(A 1 ) = µ(A) + µ(A 1 \A),<br />
y todos los términos son finitos por serlo <strong>la</strong> suma. Ahora como A n ↓ A,<br />
entonces A 1 \A n ↑ A 1 \A y por (a) lím µ(A n ) = µ(A).<br />
Por último se tiene que si <strong>de</strong> una medida µ sólo sabemos que es aditiva,<br />
el siguiente resultado nos dice cuando es numerablemente aditiva.<br />
Teorema 1.3.12 Una medida aditiva µ sobre un anillo A es numerablemente<br />
aditiva, si se verifica una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos condiciones:<br />
(a) µ es continua superiormente, es <strong>de</strong>cir dados A n , A ∈ A con A n ↑ A,<br />
µ(A n ) → µ(A).<br />
(b) µ es continua inferiormente en el ∅, es <strong>de</strong>cir si dados A n ∈ A, con<br />
A n ↓ ∅, se tiene µ(A n ) → 0.<br />
Demostración. Sea A n ∈ A una sucesión <strong>de</strong> conjuntos disjuntos<br />
tales que A = ∪A n ∈ A, entonces para B n = ∪ n i=1 A i tendremos que<br />
B n ↑ A, por tanto en el caso (a)<br />
n∑<br />
µ(A i ) = µ(∪ n i=1A i ) = µ(B n ) → µ(∪ ∞ i=1A i ),<br />
i=1<br />
y el resultado se sigue. Ahora en el caso (b) como A\B n ↓ A\A = ∅,<br />
tendremos que µ(A\B n ) → 0, y como<br />
el resultado se sigue.<br />
µ(A) = µ(A\B n ) + µ(B n ),
16 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.3.1 Consi<strong>de</strong>remos (N, P(N), µ), el espacio <strong>de</strong> medida <strong>de</strong> contar en<br />
los naturales. Encontrar una sucesión A n ↓ ∅ para <strong>la</strong> que no se verifique<br />
µ(A n) → µ(∅) = 0.<br />
Ejercicio 1.3.2 Consi<strong>de</strong>remos (N, P(N), µ), para µ(A) = 0 si A es finito y<br />
µ(A) = ∞ en caso contrario.<br />
(a) Demostrar que µ es aditiva pero no numerablemente aditiva.<br />
(b) Encontrar una sucesión A n ↑ A para <strong>la</strong> que no se verifique µ(A n) →<br />
µ(A).<br />
Ejercicio 1.3.3 Dada una medida µ y una sucesión A n ∈ A, <strong>de</strong>mostrar que<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
µ( A n) ≤ µ(A n).<br />
n=1 n=1<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 1.3.4 Sea µ: A → [0, ∞], aditiva en un álgebra A. Dada una sucesión<br />
A n ∈ A <strong>de</strong> conjuntos disjuntos cuya unión está en A, <strong>de</strong>mostrar que<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
µ( A n) ≥ µ(A n).<br />
n=1<br />
Ejercicio 1.3.5 Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ) y una sucesión A n ∈ A,<br />
<strong>de</strong>mostrar que:<br />
i) µ(lím inf A n) ≤ lím inf µ(A n).<br />
ii) Que si µ(∪A n) < ∞, entonces lím sup µ(A n) ≤ µ(lím sup A n). (Sol.)<br />
Ejercicio 1.3.6 Demostrar el Lema <strong>de</strong> Borel–Cantelli: Sea (Ω, A, µ) un espacio<br />
<strong>de</strong> medida y C n ∈ A, entonces<br />
n=1<br />
∞∑<br />
µ(C n) < ∞ ⇒ µ(lím sup C n) = 0. (Sol.)<br />
n=1<br />
Ejercicio 1.3.7 Dada una medida finita µ sobre una σ–álgebra A y una sucesión<br />
A n ∈ A tal que lím inf A n = lím sup A n = A, <strong>de</strong>mostrar que µ(A) =<br />
lím n→∞ µ(A n).
1.3. <strong>Medida</strong> 17<br />
Ejercicio 1.3.8 Dada una sucesión doble x nm ∈ (−∞, ∞], tal que para cualesquiera<br />
n, m ∈ N, x nm ≤ x n+1,m y x nm ≤ x n,m+1, <strong>de</strong>mostrar que<br />
lím lím<br />
n→∞ m→∞ xnm = lím lím xnm.<br />
m→∞ n→∞<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 1.3.9 Dado un espacio medible (Ω, A) y una sucesión <strong>de</strong> medidas en<br />
él µ n. Demostrar: a) Si µ n ≤ µ n+1, entonces µ(A) = lím µ n(A) <strong>de</strong>fine una<br />
medida en el espacio. b) Sean como sean <strong>la</strong>s µ n, µ(A) = ∑ µ n(A), <strong>de</strong>fine una<br />
medida en el espacio.<br />
Ejercicio 1.3.10 Dado un conjunto Ω no numerable, <strong>de</strong>mostrar que<br />
A = {E ⊂ Ω : E ó E c<br />
es numerable},<br />
es σ–álgebra y en el<strong>la</strong> µ(E) = 0 si E es numerable y µ(E) = 1, si E c<br />
numerable, es una medida. (Sol.)<br />
es<br />
Ejercicio 1.3.11 Dado un espacio <strong>de</strong> medida semifinita (Ω, A, µ), es <strong>de</strong>cir tal<br />
que para todo E ∈ A con µ(E) = ∞ existe F ∈ A, con F ⊂ E y 0 < µ(F ) < ∞,<br />
<strong>de</strong>mostrar que para todo E ∈ A con µ(E) = ∞ y todo r > 0 existe F ∈ A,<br />
con F ⊂ E y r < µ(F ) < ∞. (Sol.)<br />
Ejercicio 1.3.12 Demostrar que toda medida σ–finita es semifinita. Dar un<br />
contraejemplo para el recíproco.<br />
Ejercicio 1.3.13 Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), <strong>de</strong>finimos λ: A →<br />
[0, ∞], <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente manera<br />
λ(A) = sup{µ(B) : B ∈ A, B ⊂ A y µ(B) < ∞},<br />
<strong>de</strong>mostrar que:<br />
a) λ es una medida semifinita.<br />
b) Que si µ es semifinita entonces λ = µ. (Sol.)
18 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
1.4. Extensión <strong>de</strong> medidas<br />
1.4.1. <strong>Medida</strong>s exteriores<br />
A menudo nos encontraremos ante <strong>la</strong> situación <strong>de</strong> tener <strong>de</strong>finida una<br />
medida µ sobre una c<strong>la</strong>se reducida <strong>de</strong> conjuntos y querer<strong>la</strong> exten<strong>de</strong>r a<br />
una c<strong>la</strong>se más amplia. Tomemos por ejemplo <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
µ(a, b] = F (b) − F (a),<br />
sobre <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se C <strong>de</strong> los semiintervalos acotados (a, b] ⊂ R cerrados a <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>recha. Don<strong>de</strong> F es una función real, monótona creciente y continua<br />
a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha. En particu<strong>la</strong>r para F (x) = x tendríamos µ(a, b] = b − a,<br />
<strong>la</strong> longitud <strong>de</strong>l intervalo. La cuestión es: ¿Podremos exten<strong>de</strong>r µ al anillo<br />
A 0 , <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones finitas <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> C, <strong>de</strong> manera que sea una<br />
medida?. No es difícil ver que sí, lo veremos en (1.5.4) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 27.<br />
Lo que no es tan fácil <strong>de</strong> ver es que también pue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>rse <strong>de</strong> un único<br />
modo a <strong>la</strong> σ–álgebra σ(C) = B(R). El objetivo <strong>de</strong> esta lección consiste<br />
en <strong>de</strong>mostrar que dada una medida<br />
µ 0 : A 0 −→ [0, ∞]<br />
<strong>de</strong>finida en un anillo A 0 <strong>de</strong> Ω, existe una σ–álgebra A que contiene a<br />
A 0 y una medida µ sobre A, que coinci<strong>de</strong> con µ 0 en A 0 y que a<strong>de</strong>más es<br />
única si µ 0 es σ–finita en A 0 . El procedimiento que seguiremos se basa<br />
en <strong>la</strong> noción <strong>de</strong> medida exterior.<br />
Definición. Una medida exterior en Ω es una función <strong>de</strong> conjunto<br />
µ ∗ : P(Ω) −→ [0, ∞]<br />
verificando <strong>la</strong>s siguientes condiciones:<br />
a) µ ∗ (∅) = 0.<br />
b) Si A ⊂ B, entonces µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (B).<br />
c) Si B n es una sucesión <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> Ω, entonces<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
µ ∗ ( B n ) ≤ µ ∗ (B n ).<br />
n=1<br />
n=1
1.4. Extensión <strong>de</strong> medidas 19<br />
Ejemplo 1.4.1 Consi<strong>de</strong>remos un conjunto Ω. La función µ ∗ (∅) = 0 y<br />
µ ∗ (A) = 1 en cualquier otro caso, <strong>de</strong>fine una medida exterior en P(Ω)).<br />
Ejemplo 1.4.2 Consi<strong>de</strong>remos un conjunto infinito Ω. La función µ ∗ (A) =<br />
0 si A es numerable y µ ∗ (A) = 1 en cualquier otro caso, <strong>de</strong>fine una medida<br />
exterior en P(Ω)).<br />
A continuación construimos una gran cantidad <strong>de</strong> medidas exteriores.<br />
Proposición 1.4.3 Sea C una colección <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> Ω y ρ: C →<br />
[0, ∞] una función cualquiera, tales que ∅ ∈ C y ρ(∅) = 0. Para cada<br />
B ⊂ Ω,<br />
∞∑<br />
∞⋃<br />
µ ∗ (B) = ínf{ ρ(A n ) : A n ∈ C, B ⊂ A n },<br />
n=1<br />
<strong>de</strong>fine 9 una medida exterior (que l<strong>la</strong>maremos <strong>la</strong> medida exterior generada<br />
por ρ), para <strong>la</strong> que µ ∗ (A) ≤ ρ(A), para A ∈ C. A<strong>de</strong>más si C = A 0 es un<br />
anillo y ρ una medida, µ ∗ coinci<strong>de</strong> con ρ sobre A 0 .<br />
Demostración. Las dos primeras propieda<strong>de</strong>s son inmediatas. Veamos<br />
<strong>la</strong> tercera, para ello sea B n una sucesión <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> Ω. Si<br />
∑ ∞<br />
n=1 µ∗ (B n ) = ∞, <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad es obvia, en caso contrario µ ∗ (B n ) ≤<br />
∑ ∞<br />
n=1 µ∗ (B n ) < ∞, para todo n. Tomemos ahora un ɛ > 0 y para cada<br />
n ∈ N elijamos una sucesión A nm ∈ C tal que<br />
B n ⊂ ⋃ m<br />
A nm , y<br />
∑<br />
m<br />
n=1<br />
ρ(A nm ) ≤ µ ∗ (B n ) + ɛ<br />
2 n ,<br />
entonces los A nm son una colección numerable <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> C, cuya<br />
unión contiene <strong>la</strong> ∪B n , por tanto<br />
∞⋃<br />
∞∑ ∑<br />
∞∑<br />
µ ∗ ( B n ) ≤ ρ(A nm ) ≤ µ ∗ (B n ) + ɛ,<br />
n=1<br />
n=1<br />
m<br />
y el resultado se sigue. Ahora que µ ∗ (B) ≤ ρ(B), para B ∈ C se sigue <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>finición.<br />
9 Con el convenio ínf ∅ = ∞, con el que se verifica que si A ⊂ B ⊂ R, entonces<br />
ínf B ≤ ínf A, —incluido A = ∅—.<br />
n=1
20 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Por último supongamos que C = A 0 es anillo y veamos que µ ∗ (B) =<br />
ρ(B), para cada B ∈ A 0 . Para ver <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad que nos falta consi<strong>de</strong>remos<br />
una sucesión A n ∈ A 0 tales que B ⊂ ∪A n , entonces B = ∪(B∩A n )<br />
y como ρ es una medida en A 0 tendremos<br />
ρ(B) ≤ ∑ n<br />
ρ(B ∩ A n ) ≤ ∑ n<br />
ρ(A n ),<br />
y por tanto ρ(B) ≤ µ ∗ (B).<br />
Ejemplo 1.4.4 <strong>Medida</strong> exterior <strong>de</strong> Lebesgue. En R, sea C = {(a, b] : a ≤<br />
b ∈ R} y ρ(a, b] = b − a, entonces para A ⊂ R<br />
∞∑<br />
∞⋃<br />
m ∗ (A) = ínf{ (b n − a n ) : a n ≤ b n ∈ R, A ⊂ (a n , b n ]},<br />
n=1<br />
es una medida exterior (en el ejercicio (1.4.1) se dan otras c<strong>la</strong>ses con <strong>la</strong>s<br />
que también se genera m ∗ ).<br />
Ejemplo 1.4.5 <strong>Medida</strong> exterior <strong>de</strong> Hausdorff. Sea (Ω, d) un espacio métrico<br />
(i.e. un conjunto Ω, con una aplicación d: Ω 2 → [0, ∞), l<strong>la</strong>mada<br />
distancia, tal que d(x, y) = 0 sii x = y, d(x, y) = d(y, x) y d(x, y) ≤<br />
d(x, z) + d(y, z)). L<strong>la</strong>mamos diámetro <strong>de</strong> un B ⊂ Ω al valor 10<br />
d(B) = sup{d(x, y) : x, y ∈ B}.<br />
Ahora para cada p > 0 y δ > 0 <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> función <strong>de</strong> conjunto que<br />
para cada A ⊂ Ω vale,<br />
∞∑<br />
H p,δ (A) = ínf{ d(B n ) p : A ⊂ ∪B n , d(B n ) ≤ δ},<br />
n=1<br />
(con el convenio ínf ∅ = ∞), <strong>la</strong>s cuales son medidas exteriores por<br />
(1.4.3), que verifican<br />
δ ≤ ɛ ⇒ H p,δ (A) ≥ H p,ɛ (A),<br />
y por tanto existe el límite, que también es medida exterior (ver ejercicio<br />
(1.3.8), pág.17)<br />
H p (A) = lím<br />
δ→0<br />
H p,δ (A),<br />
y que l<strong>la</strong>mamos <strong>la</strong> medida exterior p–dimensional <strong>de</strong> Hausdorff 11 . Volveremos<br />
a <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Hausdforff en <strong>la</strong>s páginas 38 y 205.<br />
10 Con el convenio sup ∅ = 0, por tanto d(∅) = 0.<br />
11 Para p = 0 también vale <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición pero hay que precisar<strong>la</strong>. Enten<strong>de</strong>mos que<br />
n=1
1.4. Extensión <strong>de</strong> medidas 21<br />
1.4.2. Teoremas <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> medidas<br />
Aunque una medida exterior µ ∗ tiene <strong>la</strong> ventaja <strong>de</strong> estar <strong>de</strong>finida en<br />
todo P(Ω), tiene el <strong>de</strong>fecto <strong>de</strong> no ser numerablemente aditiva, ni siquiera<br />
aditiva. Por ello trataremos <strong>de</strong> encontrar una σ–álgebra, sobre <strong>la</strong> que<br />
sí sea numerablemente aditiva. Veremos que tal σ–álgebra existe y que<br />
su construcción se basa en una simple aunque notable condición <strong>de</strong>bida<br />
a Caratheodory, (aunque el germen <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición se encuentra en<br />
Peano, ver <strong>la</strong> introducción).<br />
Definición. Sea µ ∗ una medida exterior en Ω. Diremos que E ⊂ Ω es<br />
µ ∗ –medible si para todo A ⊂ Ω<br />
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E c ).<br />
y <strong>de</strong>notaremos con A ∗ <strong>la</strong> familia <strong>de</strong> los conjuntos µ ∗ –medibles.<br />
Nota 1.4.6 Se sigue <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición que E ∈ A ∗ sii E c ∈ A ∗ y que si<br />
µ ∗ (E) = 0 entonces E ∈ A ∗ , pues<br />
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E c ) ≤ µ ∗ (E) + µ ∗ (A) = µ ∗ (A),<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que ∅ ∈ A ∗ y por tanto Ω ∈ A ∗ . A<strong>de</strong>más se seguirá que<br />
el espacio <strong>de</strong> medida (ver el siguiente resultado) (Ω, A ∗ , µ ∗ ) es completo.<br />
Teorema <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Caratheodory 1.4.7 (1) Sea µ ∗ una medida<br />
exterior en Ω, entonces A ∗ es una σ–álgebra, <strong>la</strong> restricción a el<strong>la</strong> <strong>de</strong> µ ∗<br />
es una medida y (Ω, A ∗ , µ ∗ ) es completo. (2) Si a<strong>de</strong>más µ ∗ es <strong>la</strong> medida<br />
exterior generada por una medida ρ <strong>de</strong> un anillo A 0 <strong>de</strong> Ω, entonces es<br />
A 0 ⊂ A ∗ y ρ = µ ∗ en A 0 .<br />
Demostración. (1) Veamos en primer lugar que A ∗ es un álgebra.<br />
Por <strong>la</strong> Nota anterior ∅, Ω ∈ A ∗ y si E ∈ A ∗ entonces E c ∈ A ∗ . Consi<strong>de</strong>remos<br />
B 1 , B 2 ∈ A ∗ y <strong>de</strong>mostremos que B 1 ∪ B 2 ∈ A ∗ , para ello sea<br />
d(∅) p = 0, para todo p ≥ 0 y d(A) 0 = 1, para todo A ≠ ∅, en particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong>bemos<br />
enten<strong>de</strong>r que d({x}) 0 = 1. Con estos convenios se tiene que para p = 0, H p es <strong>la</strong><br />
medida <strong>de</strong> contar.
22 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
A ⊂ Ω, entonces usando <strong>la</strong> medibilidad <strong>de</strong> los B i<br />
µ ∗ [A ∩ (B 1 ∪ B 2 )] + µ ∗ [A ∩ (B 1 ∪ B 2 ) c ] =<br />
= µ ∗ [A ∩ (B 1 ∪ B 2 ) ∩ B 1 ] + µ ∗ [A ∩ (B 1 ∪ B 2 ) ∩ B c 1]+<br />
+ µ ∗ [A ∩ (B 1 ∪ B 2 ) c ]<br />
= µ ∗ (A ∩ B 1 ) + µ ∗ [A ∩ B 2 ∩ B c 1] + µ ∗ [A ∩ B c 1 ∩ B c 2]<br />
= µ ∗ (A ∩ B 1 ) + µ ∗ (A ∩ B c 1) = µ ∗ (A).<br />
Ahora bien toda unión numerable <strong>de</strong> conjuntos E n <strong>de</strong>l álgebra A ∗ se<br />
pue<strong>de</strong> poner como unión numerable disjunta <strong>de</strong> los conjuntos B 1 = E 1<br />
y B n = E n ∩ E c n−1 ∩ · · · ∩ E c 1, <strong>de</strong>l álgebra y para cada A ⊂ Ω<br />
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ B 1 ) + µ ∗ (A ∩ B c 1)<br />
= µ ∗ (A ∩ B 1 ) + µ ∗ (A ∩ B c 1 ∩ B 2 ) + µ ∗ (A ∩ B c 1 ∩ B c 2)<br />
= µ ∗ (A ∩ B 1 ) + µ ∗ (A ∩ B 2 ) + µ ∗ (A ∩ B1 c ∩ B2)<br />
c<br />
n∑<br />
n⋂<br />
= µ ∗ (A ∩ B i ) + µ ∗ [A ∩ ( Bi c )] (por ind. en n)<br />
≥<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
∞⋂<br />
µ ∗ (A ∩ B i ) + µ ∗ [A ∩ ( Bi c )],<br />
i=1<br />
i=1<br />
y tomando límites cuando n → ∞<br />
∞∑<br />
∞⋃<br />
µ ∗ (A) ≥ µ ∗ (A ∩ B i ) + µ ∗ [A ∩ ( B i ) c ]<br />
i=1<br />
i=1<br />
∞⋃<br />
∞⋃<br />
≥ µ ∗ [A ∩ ( B i )] + µ ∗ [A ∩ ( B i ) c ] ≥ µ ∗ (A),<br />
i=1<br />
por lo tanto ∪ ∞ i=1 E i = ∪ ∞ i=1 B i ∈ A ∗ y A ∗ es σ–álgebra. Pero a<strong>de</strong>más<br />
µ ∗ (A) =<br />
∞∑<br />
i=1<br />
i=1<br />
∞⋃<br />
µ ∗ (A ∩ B i ) + µ ∗ [A ∩ (<br />
i=1<br />
B i ) c ],<br />
y tomando A = ∪B n se sigue <strong>la</strong> numerable aditividad <strong>de</strong> µ ∗ en A ∗ , y<br />
por tanto es una medida. Que es completo se sigue <strong>de</strong>l Lema.<br />
(2) Supongamos ahora que µ ∗ es <strong>la</strong> medida exterior generada por una<br />
medida ρ <strong>de</strong> un anillo A 0 <strong>de</strong> Ω. En (1.4.3) vimos que ρ = µ ∗ en A 0 , falta<br />
pues ver que A 0 ⊂ A ∗ , para ello sea E ∈ A 0 y A ⊂ Ω y veamos que<br />
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E c ),
1.4. Extensión <strong>de</strong> medidas 23<br />
para ello tomemos B n ∈ A 0 , con A ⊂ ∪B n , ahora como A ∩ E ⊂ ∪(B n ∩<br />
E) y A ∩ E c ⊂ ∪(B n ∩ E c ), tendremos que<br />
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E c )<br />
≤ ∑ n<br />
ρ(B n ∩ E) + ∑ n<br />
ρ(B n ∩ E c ) = ∑ n<br />
ρ(B n ),<br />
y el resultado se sigue tomando el ínfimo <strong>de</strong> estas sumas.<br />
En el caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> que ρ sea σ–finita, es <strong>de</strong>cir que exista una<br />
sucesión A n ∈ A 0 , tal que Ω = ∪A n y ρ(A n ) < ∞, para cada n ∈ N,<br />
entonces <strong>la</strong> extensión <strong>de</strong> ρ a <strong>la</strong> σ–álgebra A ∗ es única.<br />
Teorema <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Hahn 1.4.8 Toda medida σ–finita en un anillo<br />
A 0 se extien<strong>de</strong> <strong>de</strong> modo único a cada σ–álgebra A entre A 0 y A ∗ .<br />
Demostración. Sea µ ∗ <strong>la</strong> medida exterior generada por ρ y supongamos<br />
que λ es una medida en A que coinci<strong>de</strong> con ρ en A 0 . Sea E ∈ A<br />
y B n ∈ A 0 tales que E ⊂ ∪B n , entonces como ∪B n ∈ A<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
λ(E) ≤ λ( B n ) ≤ λ(B n ) = ρ(B n ),<br />
n=1<br />
n=1<br />
tendremos que λ(E) ≤ µ ∗ (E). Ahora sean A n ∈ A 0 , tales que A n ↑ Ω y<br />
λ(A n ) = µ ∗ (A n ) = ρ(A n ) < ∞, por tanto como<br />
λ(E ∩A n )+λ(E c ∩A n ) = λ(A n ) = µ ∗ (A n ) = µ ∗ (E ∩A n )+µ ∗ (E c ∩A n ),<br />
n=1<br />
tendremos que λ(E ∩ A n ) = µ ∗ (E ∩ A n ), pero entonces<br />
µ ∗ (E) = lím<br />
n→∞ µ∗ (E ∩ A n ) = lím<br />
n→∞ λ(E ∩ A n) = λ(E).
24 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.4.1 Demostrar que <strong>la</strong> medida exterior <strong>de</strong> Lebesgue en R, se pue<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>finir en vez <strong>de</strong> con <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se C = {(a, b]}, como vimos en el ejemplo (1.4.4),<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> página 20, con cualquiera <strong>de</strong> <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses C 1 = {(a, b)}, C 2 = {[a, b]},<br />
C 3 = {[a, b)} y con ρ <strong>de</strong> cualquier intervalo también <strong>la</strong> diferencia <strong>de</strong> extremos.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 1.4.2 Sea µ ∗ una medida exterior en Ω y λ <strong>la</strong> medida restricción <strong>de</strong><br />
µ ∗ a <strong>la</strong> σ–álgebra A ∗. Demostrar que:<br />
(a) µ ∗ ≤ λ ∗ .<br />
(b) Si µ ∗ es <strong>la</strong> medida exterior generada por una medida µ en un álgebra<br />
A, entonces µ ∗ = λ ∗ .<br />
(c) Encontrar una medida exterior µ ∗ en Ω = {0, 1}, para <strong>la</strong> que µ ∗ ≠ λ ∗ .<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 1.4.3 Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ). Demostrar:<br />
(a) Si A, B ∈ A y µ(A△B) = 0 entonces µ(A) = µ(B).<br />
(b) La re<strong>la</strong>ción entre conjuntos medibles A ≃ B si y sólo si µ(A△B) = 0,<br />
es <strong>de</strong> equivalencia.<br />
(c) En el espacio cociente X = A/ ≃ <strong>la</strong> aplicación<br />
ρ(A, B) = µ(A△B),<br />
satisface ρ(A, A c ) = µ(Ω), por tanto en general ρ : X × X → [0, ∞] toma el<br />
valor ∞, sin embargo <strong>de</strong>fine una métrica en el sentido 12 <strong>de</strong> que verifica <strong>la</strong>s<br />
tres propieda<strong>de</strong>s habituales. Demostrar que para <strong>la</strong> topología natural —en <strong>la</strong><br />
que <strong>la</strong>s bo<strong>la</strong>s abiertas <strong>de</strong> radio finito son base—, para cada A ∈ X , los B que<br />
están a distancia finita <strong>de</strong> A es un abierto y que estos abiertos o coinci<strong>de</strong>n o<br />
son disjuntos y <strong>de</strong>scomponen X en componentes abiertas que sí son espacios<br />
métricos y son tales que <strong>la</strong> aplicación A ∈ X → A c ∈ X es una isometría que<br />
lleva una componente en otra (si µ(Ω) = ∞) y <strong>la</strong>s aplicaciones <strong>de</strong> X × X → X<br />
son continuas.<br />
(A, B) → A ∪ B, (A, B) → A ∩ B, (A, B) → A△B,<br />
12 Observemos que el concepto habitual <strong>de</strong> métrica exige que d(x, y) < ∞, aunque<br />
no es esencial.
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes 25<br />
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes<br />
1.5.1. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes en R.<br />
El teorema <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Caratheodory–Hahn, nos da <strong>la</strong> posibilidad<br />
<strong>de</strong> construir una amplia c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> medidas en B(R).<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos función <strong>de</strong> distribución a toda función<br />
F : R −→ R,<br />
monótona creciente y continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha. L<strong>la</strong>maremos medida <strong>de</strong><br />
Lebesgue–Stieltjes en R, a toda medida en B(R), finita en cada compacto<br />
(equivalentemente finita en cada intervalo acotado).<br />
A continuación veremos que existe una biyección entre ambos conceptos,<br />
siempre que i<strong>de</strong>ntifiquemos cada dos funciones <strong>de</strong> distribución<br />
que difieran en una constante.<br />
Teorema 1.5.1 Sea µ una medida <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes en R. Entonces<br />
cada función F : R → R que para todo a < b ∈ R verifique<br />
F (b) − F (a) = µ(a, b],<br />
es una función <strong>de</strong> distribución. Existen infinitas y cada dos difieren en<br />
una constante.<br />
Demostración. Es monótona pues si a < b, F (b) − F (a) = µ(a, b] ≥<br />
0 y continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha pues para x < x n y x n → x + tenemos (x, x n ] ↓<br />
∅ y como µ(x, x 1 ] < ∞<br />
F (x n ) = F (x) + µ(x, x n ] → F (x).<br />
Es obvio que si F y G satisfacen el resultado difieren en una constante,<br />
pues para x < y,<br />
F (y)−F (x) = µ(x, y] = G(y)−G(x) ⇒ F (x)−G(x) = F (y)−G(y),<br />
y que todas son tras<strong>la</strong>ciones F 0 + c <strong>de</strong> una <strong>de</strong> el<strong>la</strong>s, por ejemplo <strong>de</strong><br />
⎧<br />
⎪⎨ µ(0, x], si x > 0,<br />
F 0 (x) = 0, si x = 0,<br />
⎪⎩<br />
−µ(x, 0], si x < 0.
26 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Veamos ahora el recíproco, que dada una función <strong>de</strong> distribución<br />
F : R → R, existe una única medida µ: B(R) → [0, ∞] que para a < b ∈<br />
R, verifica<br />
µ(a, b] = F (b) − F (a).<br />
Tal medida <strong>la</strong> conocemos sobre los semiintervalos acotados<br />
C = {(a, b] : a ≤ b ∈ R}.<br />
Demostraremos en una serie <strong>de</strong> pasos, primero que µ se extien<strong>de</strong> <strong>de</strong> un<br />
modo único al anillo A 0 formado por <strong>la</strong>s uniones finitas disjuntas (ó simplemente<br />
uniones finitas) <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> C y <strong>de</strong>spués a los Borelianos,<br />
sabiendo que σ(A 0 ) = B(R).<br />
Definimos µ(∅) = 0 (observemos que es <strong>la</strong> única posibilidad, pues si<br />
a n → a + , entonces (a, a n ] ↓ ∅ y µ(a, a n ] = F (a n ) − F (a) → 0).<br />
Ahora si un semiintervalo acotado (a, b] es unión finita disjunta <strong>de</strong><br />
semiintervalos (a i , b i ], or<strong>de</strong>nándolos se tiene necesariamente que<br />
a = a 1 < b 1 = a 2 < b 2 = a 3 < · · · < b n−1 = a n < b n = b,<br />
n∑<br />
n∑<br />
µ(a, b] = F (b) − F (a) = [F (b i ) − F (a i )] = µ(a i , b i ],<br />
i=1<br />
esto nos permite <strong>de</strong>finir µ <strong>de</strong> modo único en A 0 , como<br />
(1.1) µ[A] =<br />
n∑<br />
µ(I i ), para A =<br />
i=1<br />
n⋃<br />
i=1<br />
pues si ∪ n i=1 I i = ∪ m j=1 J j se tiene por lo anterior que<br />
n∑<br />
µ(I i ) =<br />
i=1<br />
=<br />
n∑<br />
µ(∪ m j=1(I i ∩ J j )) =<br />
i=1<br />
j=1 i=1<br />
n∑<br />
i=1 j=1<br />
m∑ n∑<br />
m∑<br />
µ(I i ∩ J j ) = µ(J j ),<br />
j=1<br />
i=1<br />
I i<br />
m∑<br />
µ(I i ∩ J j )<br />
<strong>de</strong> esto se sigue que µ es aditiva en A 0 , pues si A, B ∈ A 0 son disjuntos<br />
siendo A = ∪ n i=1 I i y B = ∪ m j=1 J j, tendremos que<br />
µ(A ∪ B) =<br />
n∑<br />
m∑<br />
µ(I i ) + µ(J j ) = µ(A) + µ(B).<br />
i=1<br />
j=1
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes 27<br />
Ahora para <strong>de</strong>mostrar que µ es medida necesitamos un par <strong>de</strong> resultados<br />
previos.<br />
Lema 1.5.2 Para cada A ∈ A 0 y todo ɛ > 0, existe un B ∈ A 0 , con<br />
B ⊂ A tal que µ(A\B) < ɛ.<br />
Demostración. Como A es unión finita disjunta <strong>de</strong> semiintervalos<br />
acotados, basta <strong>de</strong>mostrarlo para un semiintervalo acotado (a, b] con<br />
−∞ < a < b < ∞. Como F es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, po<strong>de</strong>mos tomar<br />
a n → a + , tal que [a n , b] ⊂ (a, b] y<br />
µ((a, b]\(a n , b]) = µ(a, a n ] = F (a n ) − F (a) → 0.<br />
Lema 1.5.3 Dada una colección <strong>de</strong> compactos K i en un espacio topológico<br />
Hausdorff, tales que ∩K i = ∅, entonces existe una colección finita <strong>de</strong><br />
ellos K i1 , . . . , K in , tales que ∩ n j=1 K i j<br />
= ∅.<br />
Demostración. En un Hausdorff todo compacto es cerrado, pues<br />
si x /∈ K po<strong>de</strong>mos tomar para cada y ∈ K sendos entornos disjuntos<br />
Vx<br />
y y V y <strong>de</strong> x e y respectivamente. Ahora K po<strong>de</strong>mos recubrirlo con un<br />
número finito <strong>de</strong> los V y , que correspon<strong>de</strong>n a un número finito <strong>de</strong> Vx y cuya<br />
intersección es un entorno <strong>de</strong> x que no corta a ningún V y y por tanto a<br />
K.<br />
Consi<strong>de</strong>remos ahora K i0 , uno cualquiera <strong>de</strong> los compactos, entonces<br />
⋂<br />
K j = ∅ ⇒ K i0 ⊂ ( ⋂<br />
j<br />
j≠i 0<br />
K j ) c = ⋃<br />
⇒ ∃i 1 , . . . , i n : K i0 ⊂<br />
j≠i 0<br />
K c j<br />
n⋃<br />
j=1<br />
K c i j<br />
⇒<br />
n⋂<br />
K ij = ∅.<br />
Teorema 1.5.4 La función <strong>de</strong> conjunto µ: A 0 → [0, ∞], <strong>de</strong>finida en<br />
(1.1), es <strong>la</strong> única medida que satisface µ(a, b] = F (b) − F (a), a<strong>de</strong>más<br />
es una medida σ–finita, que diremos generada por F .<br />
Demostración. Basta <strong>de</strong>mostrar por (1.3.12) que si A n ∈ A 0 y<br />
A n ↓ ∅, entonces lím n→∞ µ(A n ) = 0.<br />
Sea ɛ > 0, por el primer Lema para cada A n existe un B n ∈ A 0 ,<br />
B n ⊂ A n y µ(A n \B n ) < ɛ2 −n . Ahora como ∩B n ⊂ ∩A n = ∅ y los B n<br />
son compactos tendremos por el Lema (1.5.3) que existe un N tal que<br />
N⋂<br />
B n ⊂<br />
n=1<br />
N⋂<br />
B n = ∅<br />
n=1<br />
⇒<br />
j=0<br />
N⋃<br />
Bn c = R,<br />
n=1
28 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
y como A n es <strong>de</strong>creciente, para todo n ≥ N<br />
(<br />
) (<br />
N⋃<br />
N<br />
)<br />
⋃<br />
µ(A n ) = µ A n ∩ ( Bi c ) = µ (A n ∩ Bi c )<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
( N<br />
)<br />
⋃<br />
N∑<br />
≤ µ (A i ∩ Bi c ) ≤ µ(A i \B i ) ≤ ɛ,<br />
por tanto µ(A n ) → 0. Por último µ es σ–finita pues µ(−m, m] = F (m)−<br />
F (−m) < ∞.<br />
i=1<br />
Como consecuencia tenemos el siguiente resultado.<br />
Teorema 1.5.5 Dada una función <strong>de</strong> distribución F en R, existe una<br />
única medida µ en B(R) tal que µ(a, b] = F (b) − F (a), para cada a < b<br />
<strong>de</strong> R y es una medida <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes.<br />
Demostración. Por el resultado anterior existe una única medida,<br />
<strong>de</strong>finida en el anillo A 0 , que satisface <strong>la</strong> propiedad. A<strong>de</strong>más es σ–finita,<br />
por tanto se sigue <strong>de</strong> los Teoremas <strong>de</strong> Caratheodory y Hahn que tiene<br />
una única extensión a B(R) y es <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes.<br />
Nota 1.5.6 Observemos que para cada punto x ∈ R<br />
µ{x} = lím µ(x − 1/n, x] = F (x) − F (x − ),<br />
y por tanto, como F es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, es <strong>de</strong>cir F (x) = F (x + ),<br />
se tiene que<br />
F es continua en x ⇔ µ{x} = 0.<br />
Po<strong>de</strong>mos expresar <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> cualquier intervalo en términos <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
función <strong>de</strong> distribución, por ejemplo<br />
µ(a, b) = lím µ(a, b − 1/n] = F (b − ) − F (a),<br />
µ[a, b) = µ({a}) + µ(a, b) = F (b − ) − F (a − ),<br />
µ[a, ∞) = F (∞) − F (a − ),<br />
µ(−∞, ∞) = F (∞) − F (−∞).<br />
Nota 1.5.7 Ahora po<strong>de</strong>mos generar ya un buen número <strong>de</strong> medidas en<br />
B(R). Por ejemplo si<br />
f : R −→ R,
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes 29<br />
es no negativa e integrable (Riemann por ahora), sobre cada intervalo<br />
finito (eso significa que <strong>la</strong> integral en ese intervalo es finita), po<strong>de</strong>mos<br />
<strong>de</strong>finir <strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución (continua)<br />
⎧∫ x<br />
⎪⎨ f(t)dt, si x > 0,<br />
0<br />
F (x) = 0, si x = 0,<br />
⎪⎩<br />
− ∫ 0<br />
f(t)dt, si x < 0,<br />
x<br />
y se pue<strong>de</strong> construir <strong>la</strong> medida µ <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes asociada, que<br />
satisface<br />
µ(a, b] =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(t)dt.<br />
Ejemplo 1.5.8 La medida <strong>de</strong> Lebesgue unidimensional. Tomando<br />
en particu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución<br />
F (x) = x, µ(a, b] = b − a,<br />
<strong>la</strong> correspondiente medida σ–finita µ: A 0<br />
exterior <strong>de</strong> Lebesgue que para A ⊂ R vale<br />
→ [0, ∞] <strong>de</strong>fine <strong>la</strong> medida<br />
µ ∗ (A) = ínf{ ∑ µ(A i ) : A i ∈ A 0 , A ⊂ ∪A i }<br />
= ínf{ ∑ µ(I i ) : I i ∈ C, A ⊂ ∪I i }<br />
= ínf{ ∑ (b i − a i ) : a i ≤ b i , A ⊂ ∪(a i , b i ]}.<br />
Definición. A los conjuntos <strong>de</strong> <strong>la</strong> σ–álgebra A ∗ , <strong>de</strong>finida por <strong>la</strong> medida<br />
exterior <strong>de</strong> Lebesgue, los L<strong>la</strong>mamos Lebesgue medibles <strong>de</strong> R, y medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue a <strong>la</strong> restricción m = µ ∗ |A ∗<br />
, <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida exterior a esta<br />
σ–álgebra, que <strong>de</strong>notaremos A ∗ = L(R).<br />
1.5.2. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes en R n .<br />
Vamos a consi<strong>de</strong>rar ahora <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes y <strong>la</strong>s<br />
funciones <strong>de</strong> distribución en R n .<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos rectángulo (acotado) en R n al producto <strong>de</strong> n<br />
intervalos (acotados) <strong>de</strong> R. L<strong>la</strong>maremos rectángulo semicerrado a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha<br />
(a menudo lo l<strong>la</strong>maremos simplemente semi-rectángulo), <strong>de</strong> R n<br />
al producto ∏ I i , <strong>de</strong> n semi–intervalos <strong>de</strong> R, <strong>de</strong>l tipo (−∞, b], (a, b]
30 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
ó (a, ∞), <strong>de</strong> estos consi<strong>de</strong>raremos especialmente los semi-rectángulos<br />
acotados, que son producto <strong>de</strong> I i ∈ C, es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong>l tipo consi<strong>de</strong>rado<br />
en el caso unidimensional (a, b]. Denotaremos con C n el conjunto <strong>de</strong> los<br />
semi-rectángulos acotados. L<strong>la</strong>maremos cubo semicerrado a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha<br />
(ó simplemente semicubo) a un semi-rectángulo (a, b] con todos los <strong>la</strong>dos<br />
b i − a i iguales. L<strong>la</strong>maremos semi–cubo unidad a (0, 1] n y cubo unidad a<br />
Q = [0, 1] n .<br />
Por ejemplo en R 2 los semi-rectángulos (acotados y no acotados) son<br />
conjuntos <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los nueve tipos <strong>de</strong> <strong>la</strong> Fig.1.1<br />
. .<br />
.<br />
.<br />
.<br />
. (a 1, b 1] × (a 2, ∞)<br />
.<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
(−∞, b 1] × (a 2, ∞)<br />
(−∞, b 1] × (a 2, b 2]<br />
(−∞, b 1] × (−∞, b 2]<br />
.<br />
. . . . . . . . . . . . .<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
(a 1, b 1] × (a 2, b 2]<br />
. . . . . . . . . . . . . . . .<br />
(a 1, b 1] × (−∞, b 2]<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
(a 1, ∞) × (a 2, ∞)<br />
. . . . . . . . . .<br />
(a 1, ∞) × (a 2, b 2]<br />
. . . . . . . . . .<br />
(a 1, ∞) × (−∞, b 2]<br />
.<br />
.<br />
Figura 1.1. Semi-rectangulos acotados y no acotados <strong>de</strong> R 2<br />
Nota 1.5.9 Denotaremos (−∞, x] = ∏ n<br />
i=1 (−∞, x i], para cada x = (x i ) ∈<br />
R n . Dados a = (a 1 , . . . , a n ), b = (b 1 , . . . , b n ) ∈ R n , diremos que a < b<br />
(a ≤ b) si a i < b i (a i ≤ b i ) para i = 1, . . . , n. Si para algún i, a i = b i ,<br />
tendremos que (a, b] = ∏ (a i , b i ] = ∅ y po<strong>de</strong>mos enten<strong>de</strong>r el conjunto<br />
vacío como un semi-rectángulo.<br />
Nota 1.5.10 Recor<strong>de</strong>mos que B(R n ) es <strong>la</strong> σ–álgebra generada por los<br />
abiertos <strong>de</strong> R n y por (1.2.16) también es <strong>la</strong> generada por los semirectángulos<br />
acotados <strong>de</strong> R n , B(R n ) = σ(C n ).<br />
Proposición 1.5.11 La familia A 0 <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones finitas disjuntas <strong>de</strong><br />
semi-rectángulos acotados <strong>de</strong> R n es un anillo.<br />
Demostración. Se tienen <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s: (1) Si A ∈ C n ,<br />
y B es semi-rectángulo acotado o no, A ∩ B ∈ C n . (2) Si B = I 1 × · · · ×<br />
I n ∈ C n , entonces B c es unión finita disjunta <strong>de</strong> semi-rectángulos (no<br />
acotados),<br />
B c = (I c 1 × R n−1 ) ∪ (I 1 × I c 2 × R n−2 ) ∪ · · · ∪ (I 1 × · · · × I n−1 ) × I c n,
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes 31<br />
por tanto si A, B ∈ C n , A ∩ B c ∈ A 0 . (3) Si A = ∪A i ∈ A 0 y B ∈ C n ,<br />
A\B = ∪(A i ∩ B c ) ∈ A 0 . (4) Si A, B = ∪ m j=1 B j ∈ A 0 , se tiene por (3)<br />
que<br />
A ∩ B c = A ∩ B c 1 ∩ · · · ∩ B c m ∈ A 0 .<br />
A<strong>de</strong>más A ∪ B = B ∪ (A ∩ B c ) ∈ A 0 , por se unión disjunta <strong>de</strong> elementos<br />
<strong>de</strong> A 0 .<br />
Definición. Diremos que una medida µ: B(R n ) → [0, ∞], es <strong>de</strong> Lebesgue–<br />
Stieltjes si es finita en los compactos (equivalentemente en los acotados)<br />
<strong>de</strong> R n .<br />
Definición. Para cada a = (a i ) ≤ b = (b i ) ∈ R n <strong>de</strong>finimos S ab = {x =<br />
(x i ) ∈ R n : x i = a i ó x i = b i } el conjunto <strong>de</strong> esquinas <strong>de</strong>l rectángulo<br />
<strong>de</strong>finido por a y b y <strong>la</strong> aplicación<br />
σ : S ab −→ {−1, 1},<br />
{<br />
1, si x i = a i para un n o par <strong>de</strong> i,<br />
σ(x) =<br />
−1, si x i = a i para un n o impar <strong>de</strong> i,<br />
Definición. Diremos que F : R n → R es una función <strong>de</strong> distribución si:<br />
a) Es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, es <strong>de</strong>cir si x ≤ · · · ≤ x n+1 ≤ x n y<br />
x n → x, entonces F (x n ) → F (x).<br />
b) Es monótona creciente en el siguiente sentido, para a ≤ b ∈ R n ,<br />
∑<br />
x∈S ab<br />
σ(x)F (x) ≥ 0.<br />
Por ejemplo para n = 3, que<br />
∑<br />
x∈S ab<br />
σ(x)F (x) = F (b 1 , b 2 , b 3 ) − F (a 1 , b 2 , b 3 ) − F (b 1 , a 2 , b 3 )+<br />
+ F (a 1 , a 2 , b 3 ) − F (b 1 , b 2 , a 3 ) + F (a 1 , b 2 , a 3 )+<br />
+ F (b 1 , a 2 , a 3 ) − F (a 1 , a 2 , a 3 ) ≥ 0.<br />
Ejemplo 1.5.12 Dadas n funciones <strong>de</strong> distribución en R, F 1 , . . . , F n ,<br />
F : R n → R, F (x 1 , . . . , x n ) = F 1 (x 1 ) · · · F n (x n ),<br />
es una función <strong>de</strong> distribución en R n , pues es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha y es<br />
monótona, pues por inducción en n se <strong>de</strong>muestra <strong>la</strong> última igualdad en<br />
∑<br />
σ(x)F (x) = ∑<br />
n∏<br />
σ(x)F 1 (x 1 ) · · · F n (x n ) = [F i (b i ) − F i (a i )].<br />
x∈S ab x∈S ab i=1
32 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejemplo 1.5.13 Para el caso particu<strong>la</strong>r F i (x) = x, para i = 1, . . . , n,<br />
tenemos <strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución F (x 1 , . . . , x n ) = x 1 · · · x n .<br />
Como para el caso unidimensional tenemos una biyección entre medidas<br />
<strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes y funciones <strong>de</strong> distribución, si i<strong>de</strong>ntificamos<br />
funciones <strong>de</strong> distribución que dan el mismo valor a ∑ x∈S ab<br />
σ(x)F (x),<br />
para todo semi-rectángulo acotado (a, b] —observemos que si F es función<br />
<strong>de</strong> distribución también lo es F + c, para cada c ∈ R, pues se tiene<br />
que ∑ x∈S ab<br />
σ(x) = 0 (esto es una simple consecuencia <strong>de</strong> (1.5.12), para<br />
F i (x) = 1, por tanto F (x) = 1), a<strong>de</strong>más por esta misma razón F y F + c<br />
están i<strong>de</strong>ntificadas pues ambas funciones dan el mismo valor a <strong>la</strong> expresión—.<br />
Sin embargo encontrar una función <strong>de</strong> distribución <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong><br />
equivalencia a partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida no es inmediato en general, por ello<br />
optaremos por dar los siguientes resultados que serán útiles en <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong><br />
Probabilida<strong>de</strong>s.<br />
Teorema 1.5.14 Sea µ una medida finita en B(R n ), entonces F (x) =<br />
µ(−∞, x], para cada x ∈ R n es una función <strong>de</strong> distribución que verifica<br />
∑<br />
x∈S ab<br />
σ(x)F (x) = µ(a, b], para cada a, b ∈ R n , con a < b.<br />
Demostración. La continuidad a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha se sigue por ser µ una<br />
medida finita, pues si x n ↓ x, con x n+1 ≤ x n , entonces (−∞, x n ] ↓<br />
(−∞, x] y F (x n ) → F (x). Que es monótona creciente se sigue <strong>de</strong><br />
µ(a, b] = µ((a 1 , b 1 ] × · · · × (a n , b n ])<br />
= µ((a 1 , b 1 ] × · · · × (−∞, b n ])−<br />
− µ((a 1 , b 1 ] × · · · × (−∞, a n ])<br />
= µ((a 1 , b 1 ] × · · · × (−∞, b n−1 ] × (−∞, b n ])−<br />
− µ((a 1 , b 1 ] × · · · × (−∞, a n−1 ] × (−∞, b n ])−<br />
− µ((a 1 , b 1 ] × · · · × (−∞, b n−1 ] × (−∞, a n ])+<br />
+ µ((a 1 , b 1 ] × · · · × (−∞, a n−1 ] × (−∞, a n ])<br />
= · · · = ∑<br />
x∈S ab<br />
σ(x)µ((−∞, x 1 ] × · · · × (−∞, x n ])<br />
= ∑<br />
x∈S ab<br />
σ(x)F (x).<br />
Teorema 1.5.15 Dada F función <strong>de</strong> distribución en R n , hay una única<br />
medida µ en B(R n ), tal que µ(a, b] = ∑ x∈S ab<br />
σ(x)F (x), para cada semi–<br />
rectángulo acotado (a, b]. A<strong>de</strong>más µ es <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes.
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes 33<br />
Demostración. Como en el caso unidimensional construiremos en<br />
una serie <strong>de</strong> pasos <strong>la</strong> medida. En primer lugar <strong>la</strong> hipótesis nos <strong>la</strong> da en<br />
los semi–rectángulos acotados<br />
µ(a, b] = ∑<br />
x∈S ab<br />
σ(x)F (x),<br />
con a < b, a, b ∈ R n ; y <strong>de</strong>finimos µ(∅) = 0. Ahora observamos que es<br />
aditiva en el siguiente sentido. Dados a = (a i ) < b = (b i ) y a j < e j < b j<br />
para un j, se tiene (ver Fig. 1.2)<br />
(a, b] = (a 1 , b 1 ] × · · · × ((a j , e j ] ∪ (e j , b j ]) × · · · × (a n , b n ] = (a, c] ∪ (d, b],<br />
para c = (c i ) y d = (d i ) con<br />
{<br />
b i si i ≠ j<br />
c i =<br />
e j si i = j,<br />
d i =<br />
{<br />
a i si i ≠ j<br />
e j si i = j,<br />
por tanto<br />
y tenemos que<br />
S ac = {x : x i = a i ó b i (i ≠ j) y x j = a j ó e j },<br />
S db = {x : x i = a i ó b i (i ≠ j) y x j = e j ó b j },<br />
S ac ∩ S db = {x : x i = a i ó b i (i ≠ j) y x j = e j }<br />
S ac ∪ S db = S ab ∪ (S ac ∩ S db )<br />
siendo <strong>la</strong> unión <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha disjunta, y se <strong>de</strong>muestra fácilmente que<br />
µ(a, b] = µ(a, c] + µ(d, b],<br />
pues si x ∈ S ac ∩S db , los signos σ ac (x) y σ db (x), correspondientes a F (x)<br />
en µ(a, c] y en µ(d, b] se cance<strong>la</strong>n. Ahora aplicando sucesivamente este<br />
argumento se tiene que dada una partición entera <strong>de</strong>l semi–rectángulo<br />
acotado (a, b], es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong>l tipo<br />
(a, b] =<br />
=<br />
n∏<br />
(a i , b i ] =<br />
i=1<br />
⋃k 1<br />
j 1=1<br />
· · ·<br />
n∏<br />
i=1<br />
n∏<br />
⋃k n<br />
(a (ji−1<br />
i<br />
j n=1 i=1<br />
(<br />
)<br />
(a i , a ′ i] ∪ (a ′ i, a (2<br />
i ] ∪ · · · ∪ (a(ki−1 i , b i ]<br />
, a (ji<br />
i ], para a i = a (0<br />
i<br />
y b i = a (ki<br />
i
34 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
como unión disjunta <strong>de</strong> k 1 · · · k n semi–rectángulos acotados, tendremos<br />
que<br />
µ(a, b] =<br />
∑k 1<br />
j 1=1<br />
· · ·<br />
k n<br />
∑<br />
j n=1<br />
n∏ (<br />
µ(<br />
i=1<br />
a (ji−1<br />
i<br />
, a (ji<br />
es <strong>de</strong>cir es aditiva. Esto implica que si un semi-rectángulo acotado R =<br />
(a, b] es unión finita disjunta <strong>de</strong> semi-rectángulos acotados R i , entonces<br />
µ(R) = ∑ µ(R i ), lo cual se <strong>de</strong>muestra consi<strong>de</strong>rando una partición entera<br />
<strong>de</strong> (a, b], <strong>de</strong> <strong>la</strong> que se pue<strong>de</strong>n seleccionar particiones enteras <strong>de</strong> cada R i<br />
(ver <strong>la</strong> Fig.1.3).<br />
Esto nos permite exten<strong>de</strong>r µ al anillo A 0 <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones finitas disjuntas<br />
<strong>de</strong> semi-rectángulos acotados, µ(∪ k i=1 R i) = ∑ µ(R i ), <strong>de</strong> este modo µ<br />
es aditiva en A 0 y vemos, como en el caso unidimensional, que es medida,<br />
<strong>de</strong>mostrando primero que para cada A ∈ A 0 y cada ɛ > 0 existe un<br />
B ∈ A 0 , con B ⊂ A y µ(A\B) < ɛ, y como A es unión finita disjunta <strong>de</strong><br />
semi-rectángulos, bastará <strong>de</strong>mostrarlo para A = (a, b] un semi-rectángulo,<br />
en cuyo caso se tiene que si a < a (k+1 ≤ a (k y a (k → a, entonces para<br />
i<br />
]<br />
),<br />
. .<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.........<br />
.<br />
..........<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
a<br />
b<br />
Figura 1.2.<br />
a<br />
c<br />
d<br />
b<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
a<br />
.<br />
.<br />
.<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..<br />
.<br />
. . . . . . . . .<br />
.<br />
.<br />
. . . . . . . . .<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
b<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
. . . . . . . .<br />
.<br />
. . . . . . . . . . . . ..<br />
.<br />
. . . . . . . . .<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
. . . . . . . . .<br />
. . . . . . . . . . . . ..<br />
. . . . . . . . . .<br />
a<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .<br />
b<br />
.<br />
Figura 1.3. Partición entera <strong>de</strong>l semirectángulo
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes 35<br />
B k = (a (k , b], B k = [a (k , b] ⊂ (a, b] y<br />
µ(B k ) =<br />
∑<br />
σ a b(x)F (x) → ∑<br />
σ (k ab (x)F (x) = µ(A),<br />
x∈S a (k b<br />
x∈S ab<br />
pues F es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha y para cada esquina x = (x 1 , . . . , x n ),<br />
<strong>de</strong> (a, b], con x i = a i ó b i , existe una única esquina x k = (x k 1, . . . , x k n),<br />
con los correspondientes valores x k i = ak i ó b i, <strong>de</strong> B k = (a (k , b], siendo el<br />
signo <strong>de</strong> x (k el mismo que el <strong>de</strong> x y x (k ↓ x, por tanto F (x (k ) → F (x).<br />
Por tanto como µ es aditiva y µ(A) < ∞, µ(A\B k ) = µ(A)−µ(B k ) → 0.<br />
Ahora que µ es medida se <strong>de</strong>muestra como en el caso unidimensional.<br />
Por tanto µ: A 0 → [0, ∞] es una medida σ–finita y se extien<strong>de</strong> <strong>de</strong> un<br />
único modo a una medida en los borelianos, y es <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes<br />
ya que<br />
µ((−m, m] n ) < ∞.<br />
Nota 1.5.16 Observemos que el teorema <strong>de</strong> Caratheodory construye <strong>la</strong><br />
medida exterior µ ∗ : P(R n ) → [0, ∞], asociada a µ, <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
(1.2)<br />
∞∑<br />
µ ∗ (A) = ínf{ µ(A i ) : A i ∈ A 0 , A ⊂ ∪A i }<br />
i=1<br />
∞∑<br />
= ínf{ µ(R i ) : R i ∈ C n , A ⊂ ∪R i }<br />
i=1<br />
pues A 0 son <strong>la</strong>s uniones finitas y disjuntas <strong>de</strong> semi-rectángulos acotados,<br />
es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> C n .<br />
Ejemplo 1.5.17 La medida <strong>de</strong> Lebesgue n–dimensional. Consi<strong>de</strong>remos<br />
<strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución F (x 1 , . . . , x n ) = x 1 · · · x n , entonces su<br />
medida asociada en los semi-rectángulos vale<br />
µ(a, b] = (b 1 − a 1 ) · · · (b n − a n ),<br />
y el teorema <strong>de</strong> Caratheodory–Hahn construye el espacio <strong>de</strong> medida<br />
completo correspondiente<br />
(R n , A ∗ , µ ∗ ) = (R n , L(R n ), m).<br />
Definición. A m <strong>la</strong> l<strong>la</strong>mamos <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue n–dimensional y<br />
los conjuntos <strong>de</strong> L(R n ) los l<strong>la</strong>mamos Lebesgue medibles <strong>de</strong> R n . A<strong>de</strong>más<br />
ese espacio es <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong> (R n , B(R n ), m), pues µ es σ–finita.
36 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
1.5.3. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue.<br />
Veamos algunas propieda<strong>de</strong>s básicas <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en<br />
R n .<br />
Teorema 1.5.18 Sea x ∈ R n y B ∈ L(R n ), entonces B + x ∈ L(R n ) y<br />
m(B) = m(B + x). A<strong>de</strong>más si B ∈ B(R n ), entonces B + x ∈ B(R n ).<br />
Demostración. En primer lugar µ(a, b] = (b 1 − a 1 ) · · · (b n − a n ) es<br />
invariante por tras<strong>la</strong>ciones en los semi–rectángulos acotados, y se sigue<br />
<strong>de</strong> (1.2) que también lo es <strong>la</strong> medida exterior que genera µ ∗ : P(R n ) →<br />
[0, ∞]. Por tanto para cualquier A ⊂ R n y x ∈ R n , µ ∗ (A) = µ ∗ (A + x),<br />
ahora si B ∈ L(R n ), tendremos que para cualquier E = A + x ⊂ R n<br />
µ ∗ (E) = µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ B) + µ ∗ (A ∩ B c )<br />
= µ ∗ ((A ∩ B) + x) + µ ∗ ((A ∩ B c ) + x)<br />
= µ ∗ (E ∩ (B + x)) + µ ∗ (E ∩ (B c + x))<br />
= µ ∗ (E ∩ (B + x)) + µ ∗ (E ∩ (B + x) c ),<br />
y por tanto B + x ∈ L(R n ) y m(B) = µ ∗ (B) = µ ∗ (B + x) = m(B + x).<br />
Que <strong>la</strong> tras<strong>la</strong>ción B + x <strong>de</strong> un boreliano B es un boreliano, es consecuencia<br />
<strong>de</strong> que y ∈ R n → y + x ∈ R n es un homeomorfismo.<br />
A<strong>de</strong>más <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en B(R n ) es <strong>la</strong> única medida <strong>de</strong><br />
Lebesgue–Stieltjes (salvo un factor <strong>de</strong> proporcionalidad), no nu<strong>la</strong> e invariante<br />
por tras<strong>la</strong>ciones.<br />
Teorema 1.5.19 Sea µ una medida en B(R n ) invariante por tras<strong>la</strong>ciones,<br />
tal que µ[(0, 1] n ] < ∞. Entonces existe c ∈ [0, ∞) tal que µ(A) =<br />
c · m(A), para cada A ∈ B(R n ).<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos B = (0, 1] n , el semi–cubo unidad, y<br />
sea c = µ(B). Si c = 0, poniendo R n como unión numerable <strong>de</strong> semi–<br />
cubos B + z, con z ∈ Z n , tendríamos µ(R n ) = 0 y µ = 0. Si 0 < c <<br />
∞, veamos que λ = (1/c)µ es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue; observemos que<br />
λ(B) = m(B) y que ambas son invariantes por tras<strong>la</strong>ciones, por lo que<br />
si para cada k ∈ N, dividimos cada (0, 1] en k intervalos disjuntos<br />
(<br />
0, 1 ]<br />
,<br />
k<br />
( 1<br />
k , 2 ] ( ] k − 1<br />
, . . . ,<br />
k k , 1 ,
1.5. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes 37<br />
B se <strong>de</strong>scompone en unión disjunta <strong>de</strong> k n semi–cubos B i , que son tras<strong>la</strong>ciones<br />
<strong>de</strong> (0, 1/k] n , por lo que λ y m coinci<strong>de</strong>n en cada B i , pues<br />
k n λ(B i ) =<br />
k n ∑<br />
i=1<br />
λ(B i ) = λ(B) = m(B) = k n m(B i ),<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que ambas coinci<strong>de</strong>n en los semi–cubos <strong>de</strong> <strong>la</strong>do 1/k,<br />
para todo k ∈ N y por aditividad en cada semi–rectángulo (a, b] con<br />
b − a ∈ Q n , pues si a = 0 y b = (m i /k i ) ∈ Q n , po<strong>de</strong>mos expresar<br />
(0, b] = ∏ (0, mi<br />
k i<br />
] como unión finita disjunta <strong>de</strong> semi–cubos <strong>de</strong> <strong>la</strong>do 1/k,<br />
con k = k 1 · · · k n , por tanto λ y m coinci<strong>de</strong>n sobre ellos y por tras<strong>la</strong>ción<br />
sobre todos los semi–rectángulos (a, b] con b − a ∈ Q n . Por tanto<br />
coinci<strong>de</strong>n sobre todos los semi–rectángulos (a, b], pues po<strong>de</strong>mos tomar<br />
una sucesión (a m , b] ↑ (a, b], con b − a m ∈ Q n . Como consecuencia se<br />
tiene que coinci<strong>de</strong>n en el anillo A 0 <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones finitas disjuntas <strong>de</strong><br />
semirectángulos acotados, en el que son σ–finitas y por el Teorema <strong>de</strong><br />
Hahn en todos los borelianos.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.5.1 Sean µ i : B(R) → [0, ∞], para i = 1, . . . , n medidas <strong>de</strong> Lebesgue–<br />
Stieltjes. Demostrar que existe una única medida µ: B(R n ) → [0, ∞], tal que<br />
para cada semi–rectángulo acotado (a, b],<br />
µ(a, b] = µ 1(a 1, b 1] · · · µ n(a n, b n].<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 1.5.2 Demostrar que toda medida en B(R n ) <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes es<br />
σ–finita. Encontrar una que sea σ–finita pero no <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes. (Sol.)<br />
Ejercicio 1.5.3 Demostrar que para a < b ∈ R n<br />
n–dimensional<br />
y <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue<br />
m(a, b) = m[a, b) = m(a, b] = m[a, b].<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 1.5.4 Demostrar que si t ∈ R y B ∈ L(R n ), entonces tB ∈ L(R n ) y<br />
m(tB) = |t| n m(B). A<strong>de</strong>más si B ∈ B(R n ), entonces tB ∈ B(R n ). (Sol.)<br />
Ejercicio 1.5.5 Demostrar que <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue es invariante por rotaciones.<br />
(Sol.)
38 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejercicio 1.5.6 ¿Se pue<strong>de</strong> poner un cuadrado <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no como unión numerable<br />
<strong>de</strong> segmentos?<br />
1.6. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff<br />
1.6.1. <strong>Medida</strong>s exteriores métricas<br />
Definición. Sea (Ω, d) un espacio métrico, diremos que una medida<br />
exterior µ ∗ es métrica si dados A, B ⊂ Ω, tales que d(A, B) > 0,<br />
µ ∗ (A ∪ B) = µ ∗ (A) + µ ∗ (B).<br />
Proposición 1.6.1 Si µ ∗ es una medida exterior métrica en un espacio<br />
métrico (Ω, d), entonces B(Ω) ⊂ A ∗ .<br />
Demostración. Basta <strong>de</strong>mostrar que si U ⊂ Ω es abierto, U ∈ A ∗ .<br />
Para lo cual basta <strong>de</strong>mostrar que si A ⊂ Ω tiene µ ∗ (A) < ∞, entonces<br />
µ ∗ (A) ≥ µ ∗ (A ∩ U) + µ ∗ (A ∩ U c ).<br />
Como U es abierto, U n ↑ U para U n = {x : d(x, U c ) ≥ n −1 }, por<br />
tanto A ∩ U n ↑ A ∩ U y por otra parte<br />
d(A ∩ U n , A ∩ U c ) ≥ d(U n , U c ) ≥ 1 n > 0<br />
µ ∗ (A) ≥ µ ∗ [(A ∩ U n ) ∪ (A ∩ U c )] = µ ∗ (A ∩ U n ) + µ ∗ (A ∩ U c ),<br />
por tanto basta <strong>de</strong>mostrar que para B n = A ∩ U n ↑ B = A ∩ U,<br />
lím µ ∗ (B n ) = µ ∗ (B) y si consi<strong>de</strong>ramos los conjuntos disjuntos (ver <strong>la</strong><br />
Fig.1.4), C 1 = B 1 , y para n ≥ 2, C n = B n \B n−1 ,<br />
⇒<br />
B n-1 C n C n+1<br />
B<br />
Figura 1.4.
1.6. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff 39<br />
µ ∗ (B) = µ ∗ [B n ∪ C n+1 ∪ C n+2 ∪ · · · ] ≤ µ ∗ (B n ) +<br />
⇒<br />
0 ≤ µ ∗ (B) − µ ∗ (B n ) ≤<br />
∞∑<br />
j=n+1<br />
µ ∗ (C j ),<br />
∞∑<br />
j=n+1<br />
µ ∗ (C j )<br />
y basta <strong>de</strong>mostrar que <strong>la</strong> serie ∑ µ ∗ (C j ) converge. Para ello observemos<br />
que si x ∈ B n−1 e y ∈ C n+1 , entonces y /∈ U n , es <strong>de</strong>cir d(y, U c ) < n −1 y<br />
por lo tanto d(x, y) ≥ 1/n(n − 1), pues<br />
1<br />
n − 1 ≤ d(x, U c ) ≤ d(x, y) + d(y, U c ) < d(x, y) + 1 n ,<br />
<strong>de</strong> esto se sigue que<br />
por lo tanto<br />
d(B n−1 , C n+1 ) ≥<br />
1<br />
n(n − 1) > 0,<br />
µ ∗ (B n−1 ) + µ ∗ (C n+1 ) = µ ∗ (B n−1 ∪ C n+1 ) ≤ µ ∗ (B n+1 ),<br />
lo cual implica que por inducción en n<br />
n∑<br />
µ ∗ (C 2i−1 ) ≤ µ ∗ (B 2n−1 ) ≤ µ ∗ (A),<br />
i=1<br />
n∑<br />
µ ∗ (C 2i ) ≤ µ ∗ (B 2n ) ≤ µ ∗ (A)<br />
i=1<br />
y como µ ∗ (A) < ∞, <strong>la</strong> serie ∑ µ ∗ (C n ) converge.<br />
Ejemplo 1.6.2 <strong>Medida</strong> exterior no–métrica. 13 Consi<strong>de</strong>remos en R <strong>la</strong> colección<br />
C <strong>de</strong> los semiintervalos (a, b] ⊂ R y <strong>la</strong> función<br />
ρ: C → [0, ∞), ρ((a, b]) := √ b − a.<br />
que genera <strong>la</strong> medida exterior que vale 1 en los semiintervalos <strong>de</strong> longitud<br />
1, para lo cual basta verlo en (0, 1] pues ρ es invariante por tras<strong>la</strong>ciones.<br />
13 Ver pág. 110 <strong>de</strong>l Sternberg, S.: “Theory of functions of a real variable.”
40 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Para <strong>de</strong>mostrar esto veamos antes que si [a, b] ⊂ ∪(a i , b i ), entonces<br />
b − a ≤ ∑ (b i − a i ): Por <strong>la</strong> compacidad <strong>de</strong> [a, b] po<strong>de</strong>mos extraer un<br />
subrecubrimiento finito, por tanto existe n tal que [a, b] ⊂ ∪ n i=1 (a i, b i ) y<br />
se <strong>de</strong>muestra por inducción en n que b−a ≤ ∑ n<br />
i=1 (b i −a i ) ≤ ∑ (b i −a i ),<br />
pues si algún intervalo no corta a [a, b] se pue<strong>de</strong> quitar <strong>de</strong> <strong>la</strong> unión y<br />
aplicamos el caso n − 1 y si todos cortan tomamos el intervalo (a 1 , b 1 )<br />
que contenga a a y si b 1 ∈ [a, b] tomamos el segundo intervalo tal que<br />
b 1 ∈ (a 2 , b 2 ), en cuyo caso (a 1 , b 1 ) ∪ (a 2 , b 2 ) = (a 1 , b 2 ) y b 2 − a 1 ≤<br />
b 2 − a 2 + b 1 − a 1 ; en caso contrario si b 1 /∈ [a, b], [a, b] ⊂ (a 1 , b 1 ) y el<br />
resultado es obvio. Como consecuencia se tiene para semiintervalos, es<br />
<strong>de</strong>cir que si (a, b] ⊂ ∪(a i , b i ], entonces b − a ≤ ∑ (b i − a i ), para ello basta<br />
observar que para ɛ > 0 pequeño tendremos que<br />
[a + ɛ, b] ⊂ (a, b] ⊂ ∪(a i , b i ] ⊂ ∪(a i , b i + ɛ 2 i ),<br />
y aplicando el caso compacto, tendremos que b − a − ɛ ≤ ɛ + ∑ (b i − a i )<br />
y haciendo ɛ → 0 se tiene el resultado.<br />
Veamos ahora que µ ∗ (0, 1] = 1: por una parte µ ∗ (0, 1] ≤ ρ(0, 1] = 1<br />
y por otra parte si consi<strong>de</strong>ramos (0, 1] ⊂ ∪(a i , b i ], se sigue <strong>de</strong> lo anterior<br />
que 1 ≤ ∑ (b i − a i ), por tanto como (x + y) 2 ≥ x 2 + y 2<br />
( ∑ √ b i − a i ) 2 ≥ ∑ (b i − a i ) ≥ 1,<br />
y se tiene que µ ∗ ((a, a + 1]) = 1, para todo a ∈ R.<br />
Para esta medida exterior los borelianos no son medibles, pues [0, 1] /∈<br />
A ∗ ya que<br />
µ ∗ (−1, 1] ≤ ρ(−1, 1] = √ 2 < 2 = µ ∗ (0, 1] + µ ∗ (−1, 0] =<br />
= µ ∗ ([0, 1] ∩ (−1, 1]) + µ ∗ ([0, 1] c ∩ (−1, 1]).<br />
y por el teorema se sigue que esta medida exterior no es métrica, lo cual<br />
vemos directamente si consi<strong>de</strong>ramos dos semiintervalos <strong>de</strong> longitud 1,<br />
I = (a − 1, a] y J = (b, b + 1] a una pequeña distancia b − a = ɛ < 2, su<br />
unión I ∪ J está en el intervalo (a − 1, b + 1] <strong>de</strong> longitud 2 + ɛ, y<br />
µ ∗ (I ∪ J) ≤ ρ(a − 1, b + 1] = √ 2 + ɛ < 2 = µ ∗ (I) + µ ∗ (J).<br />
1.6.2. Las medidas <strong>de</strong> Borel H p<br />
Ahora consi<strong>de</strong>remos en el espacio métrico (Ω, d), <strong>la</strong> medida exterior<br />
<strong>de</strong> Hausdorff p–dimensional, para cada p ≥ 0, H p : P(Ω) → [0, ∞]. Veremos<br />
a continuación que aunque en general <strong>la</strong>s H p,δ no son medidas<br />
exteriores métricas, su límite H p sí lo es.
1.6. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff 41<br />
Teorema 1.6.3 H p : P(Ω) → [0, ∞] es una medida exterior métrica.<br />
Demostración. Sean A, B ⊂ Ω con d(A, B) > 0 y consi<strong>de</strong>remos un<br />
0 < δ < d(A, B), entonces para cada sucesión C n ⊂ Ω, con d(C n ) < δ y<br />
A ∪ B ⊂ ∪C n , consi<strong>de</strong>ramos los conjuntos disjuntos<br />
I = {n ∈ N : C n ∩ A ≠ ∅},<br />
J = {n ∈ N : C n ∩ B ≠ ∅},<br />
para los que A ⊂ ∪ n∈I C n y B ⊂ ∪ n∈J C n , por lo que<br />
H p,δ (A ∪ B) ≤ H p,δ (A) + H p,δ (B)<br />
≤ ∑ d(C n ) p + ∑ ∞∑<br />
d(C n ) p ≤ d(C n ) p<br />
n∈I<br />
n∈J n=1<br />
H p,δ (A ∪ B) = H p,δ (A) + H p,δ (B)<br />
⇒<br />
y tomando límites (δ → 0), H p (A ∪ B) = H p (A) + H p (B).<br />
Definición. L<strong>la</strong>mamos medida <strong>de</strong> Hausdorff p–dimensional, a <strong>la</strong> restricción<br />
<strong>de</strong> H p a los borelianos B(Ω), <strong>de</strong> nuestro espacio métrico.<br />
Proposición 1.6.4 Sea A ⊂ Ω y sean 0 ≤ p < q, entonces<br />
H p (A) < ∞ ⇒ H q (A) = 0,<br />
H q (A) > 0 ⇒ H p (A) = ∞.<br />
Demostración. Basta <strong>de</strong>mostrar <strong>la</strong> primera, pues <strong>la</strong> segunda es su<br />
contrarrecíproca. Sea δ > 0 y B n un recubrimiento <strong>de</strong> A, con d(B n ) < δ,<br />
entonces 14 para q > p,<br />
H q,δ (A) ≤ ∑ d(B n ) q < δ q−p ∑ d(B n ) p ,<br />
y tomando ínfimo, H q,δ (A) ≤ δ q−p H p,δ (A), y haciendo δ → 0 se sigue el<br />
resultado pues H p (A) < ∞.<br />
De esto se sigue que si I = {p ≥ 0 : H p (A) = ∞} es no vacío, es un<br />
intervalo; pues si p ∈ I, [0, p] ⊂ I y lo mismo J = {q > 0 : H q (A) =<br />
0}, pues si q ∈ J entonces [q, ∞) ⊂ J y que estos dos intervalos son<br />
disjuntos con un extremo común (que pue<strong>de</strong> ó no, pertenecer a ellos).<br />
Como consecuencia po<strong>de</strong>mos dar <strong>la</strong> siguiente <strong>de</strong>finición.<br />
14 Recor<strong>de</strong>mos que tenemos el convenio d(∅) p = 0, para todo p ≥ 0 y d(A) 0 = 1,<br />
para todo A ≠ ∅, con el cual es cierto que d(A i ) q = d(A i ) p d(A i ) q−p , incluso para<br />
A i = ∅ y p = 0.
42 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos dimensión <strong>de</strong> Hausdorff <strong>de</strong> A ⊂ Ω al valor<br />
dim H (A) = sup{p ≥ 0 : H p (A) = ∞} = ínf{q > 0 : H q (A) = 0}.<br />
Nota 1.6.5 Pero como alguno <strong>de</strong> los conjuntos anteriores pue<strong>de</strong> ser<br />
vacío, consi<strong>de</strong>ramos el convenio que ya hemos consi<strong>de</strong>rado <strong>de</strong> ínf ∅ = ∞<br />
y sup ∅ = 0.<br />
Ejemplo 1.6.6 Por ejemplo <strong>la</strong> dimensión <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor es p =<br />
log 3 2 (remitimos al lector interesado en <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración a <strong>la</strong> p. 329 <strong>de</strong>l<br />
Fol<strong>la</strong>nd).<br />
Por último veamos que <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Hausdorff tienen una propiedad<br />
simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue, en el sentido <strong>de</strong> que son invariantes por<br />
transformaciones que conservan <strong>la</strong> distancia.<br />
Proposición 1.6.7 Sea T : Ω → Ω una aplicación biyectiva isométrica,<br />
es <strong>de</strong>cir tal que d(T (x), T (y)) = d(x, y), entonces para todo B ⊂ Ω y<br />
todo p ≥ 0, H p [T (B)] = H p (B).<br />
Demostración. Basta ver el resultado para <strong>la</strong>s H p,δ y para el<strong>la</strong>s es<br />
cierto pues d[T (B)] = d(B), para cada B ⊂ Ω y dado A i existe un B i ,<br />
tal que T (B i ) = A i , por tanto<br />
H p,δ [T (B)] = ínf{ ∑ d(A i ) p : T (B) ⊂ ∪A i , d(A i ) < δ}<br />
= ínf{ ∑ d[T (B i )] p : T (B) ⊂ ∪T (B i ), d[T (B i )] < δ}<br />
= ínf{ ∑ d(B i ) p : B ⊂ ∪B i , d(B i ) < δ}<br />
= H p,δ (B).<br />
1.6.3. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff en R n .<br />
Un caso especialmente importante lo tenemos para el espacio métrico<br />
R n , con <strong>la</strong> métrica euclí<strong>de</strong>a d(x, y) = √ ∑ (yi − x i ) 2 .<br />
Lema 1.6.8 Sea B = B[0, 1] <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad cerrada <strong>de</strong> R n , m <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue y Q = [0, 1] n el cubo unidad, entonces<br />
1<br />
m[B] ≤ H n(Q) ≤ ( √ n) n .
1.6. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff 43<br />
Demostración. Veamos primero que 1/m[B] ≤ H n,δ (Q), para ello<br />
sea δ > 0 y consi<strong>de</strong>remos un recubrimiento A i <strong>de</strong> Q, con d(A i ) < δ y<br />
veamos que 1 ≤ m[B] ∑ d(A i ) n .<br />
Para cada i elegimos un x i ∈ A i y <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> B i = B[x i , r i ] = x i + r i B,<br />
con r i = d(A i ), por tanto A i ⊂ B i , Q ⊂ ∪A i ⊂ ∪B i y por (1.5.18),<br />
pág.36 y (1.5.4), pág.37, m[B i ] = m[r i B] = d(A i ) n m[B], por lo que<br />
1 = m[Q] ≤ m[∪B i ] ≤ ∑ m[B i ] = m(B) ∑ d(A i ) n ,<br />
y tomando el ínfimo se tiene el resultado.<br />
Ahora para cada m ∈ N, po<strong>de</strong>mos dividir cada <strong>la</strong>do [0, 1] en m intervalos<br />
[<br />
0, 1 ] [ 1<br />
,<br />
m m m]<br />
, 2 [ ] m − 1<br />
, . . . ,<br />
m , 1 ,<br />
<strong>de</strong> tal forma que Q se <strong>de</strong>scompone en unión <strong>de</strong> m n cubos Q i , que son<br />
tras<strong>la</strong>ciones <strong>de</strong> Q 1 = [0, 1/m] n . Como a<strong>de</strong>más dados x, y ∈ [0, r] n y<br />
b ∈ R n , con b i = r,<br />
∑<br />
d(x, y) = √ n (x i − y i ) 2 ≤ √ nr 2 = r √ n = d(0, b),<br />
i=1<br />
tendremos que d(Q i ) = √ n/m y para cada δ y m tales que √ n/m < δ<br />
por tanto H n (Q) ≤ ( √ n) n .<br />
∑<br />
H n,δ (Q) ≤ d(Q i ) n = ( √ n) n ,<br />
m n<br />
i=1<br />
Teorema 1.6.9 Existe una constante γ n > 0, tal que γ n H n es <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue <strong>de</strong> R n .<br />
Demostración. Es consecuencia <strong>de</strong> (1.5.19) pues H n es invariante<br />
por simetrías —en particu<strong>la</strong>r por tras<strong>la</strong>ciones—, y por el lema anterior<br />
0 < H n (Q) < ∞, para el cubo unidad Q = [0, 1] n .<br />
Nota 1.6.10 Veremos en <strong>la</strong> pág.225 que <strong>la</strong>s constantes <strong>de</strong>l resultado anterior<br />
son<br />
π n/2<br />
γ n = m(B) =<br />
2 n Γ(1 + (n/2)) ,
44 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
para B = B 2 [0, 1/2] <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> cuadrática <strong>de</strong> R n <strong>de</strong> diámetro 1 (radio 1/2).<br />
No obstante el caso n = 1 es elemental. Veamos que γ 1 = 1, es <strong>de</strong>cir<br />
que H 1 = m 1 ó equivalentemente que H 1 [0, 1] = 1. Para ello sabemos<br />
por el Lema anterior (1.6.8), que H 1 [0, 1] ≤ 1, para ver <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad<br />
observemos que para A ⊂ R, A ⊂ [ínf A, sup A] = I, por tanto<br />
m ∗ (A) ≤ m ∗ (I) = d(A). Ahora consi<strong>de</strong>remos un δ > 0 y un recubrimiento<br />
numerable B i <strong>de</strong> [0, 1], con d(B i ) ≤ δ, entonces<br />
1 = m ∗ [0, 1] ≤ ∑ m ∗ [B i ] ≤ ∑ d(B i ),<br />
por tanto 1 ≤ H 1,δ [0, 1] ≤ H 1 [0, 1].<br />
El resultado anterior nos induce a <strong>de</strong>finir <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> R n :<br />
γ 1 H 1 = H 1 , que nos da <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> curvas <strong>de</strong> R n ;<br />
γ 2 H 2 , que nos da el área <strong>de</strong> superficies <strong>de</strong> R n , etc.<br />
Veremos en <strong>la</strong> pág.216 un método práctico para el cálculo <strong>de</strong> estas<br />
medidas mediante <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Lebesgue.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.6.1 Demostrar que para p = 0, H p es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar. (Sol.)<br />
Ejercicio 1.6.2 Sea Ω ′ ⊂ Ω y consi<strong>de</strong>remos el espacio métrico (Ω ′ , d), con<br />
<strong>la</strong> métrica inducida. Demostrar que <strong>la</strong> medida exterior <strong>de</strong> Hausdorff en Ω ′ ,<br />
H p ′ = H p|P(Ω ′ ). (Sol.)<br />
Ejercicio 1.6.3 Demostrar que si A ⊂ Ω y 0 < H p(A) < ∞, dim H(A) = p.<br />
Ejercicio 1.6.4 Demostrar que dim H({x}) = 0, para cada x ∈ Ω. (Sol.)<br />
Ejercicio 1.6.5 Demostrar que dim H(∪A n) = sup dim H(A n). (Sol.)<br />
Ejercicio 1.6.6 En los subespacios <strong>de</strong> R n con <strong>la</strong> métrica euclí<strong>de</strong>a, <strong>de</strong>mostrar<br />
que <strong>la</strong> dimensión vectorial y <strong>la</strong> <strong>de</strong> Hausdorff coinci<strong>de</strong>n. (Sol.)
1.6. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff 45<br />
1.6.4. Longitud <strong>de</strong> curvas <strong>de</strong> R n .<br />
En esta lección veremos <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre H 1 (C) para una curva continua<br />
C ⊂ R n y el límite <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> líneas poligonales con vértices<br />
en C.<br />
Definición. Sea I ⊂ R un intervalo <strong>de</strong> extremos a, b, abierto ó cerrado<br />
I = (a, b) ó I = [a, b] y σ : I → R n una curva continua. Dado T ⊂ I, un<br />
subconjunto finito y or<strong>de</strong>nado (T = {t 0 < · · · < t m } ⊂ I), <strong>de</strong>notaremos<br />
<strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> poligonal correspondiente, con<br />
p(T ) =<br />
m∑<br />
‖σ(t i ) − σ(t i−1 )‖.<br />
i=1<br />
y <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> C = σ(I), como<br />
L(C) = sup{p(T ) : T ⊂ I finito},<br />
<strong>de</strong>l mismo modo, para t < s ∈ I, <strong>de</strong>notamos<br />
C at = {σ(r) : r ∈ I, r ≤ t}, y C ts = σ[t, s],<br />
y respectivamente, <strong>de</strong> forma análoga y obvia, sus longitu<strong>de</strong>s L(C at ), L(C ts ).<br />
Teorema 1.6.11 Si t < s ∈ I, entonces L(C as ) = L(C at ) + L(C ts ).<br />
Demostración. ”≥”. Un subconjunto finito T 1 ⊂ [a, t] 15 y otro T 2 ⊂<br />
[t, s], <strong>de</strong>finen uno T = T 1 ∪T 2 en [a, t] con poligonal p(T ) ≥ p(T 1 )+p(T 2 ),<br />
por tanto se tiene el ≥.<br />
”≤”. Dado T = {t 0 < · · · < t m } ⊂ [a, s], ocurre una <strong>de</strong> tres: que<br />
t m < t, que t < t 0 (en cuyo caso p(T ) ≤ L(C at ) + L(C ts )) ó existe un k<br />
tal que t k ≤ t ≤ t k+1 siendo en este caso<br />
p(T ) ≤<br />
k∑<br />
‖σ(t i ) − σ(t i−1 ‖ + ‖σ(t) − σ(t k )‖ + ‖σ(t k+1 ) − σ(t)‖+<br />
i=1<br />
+<br />
m∑<br />
i=k+2<br />
lo cual prueba <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad ≤.<br />
‖σ(t i ) − σ(t i−1 ‖ ≤ L(C at ) + L(C ts ),<br />
15ó (a, t] si I es abierto. No volveremos a hacer esta distinción dándo<strong>la</strong> por supuesto.
46 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
A continuación vemos <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre <strong>la</strong>s dos “longitu<strong>de</strong>s”, H 1 (C)<br />
y L(C), pero antes necesitamos un resultado previo.<br />
Lema 1.6.12 Si F : U ⊂ R k → R n satisface<br />
‖F (x) − F (y)‖ ≤ c‖x − y‖ α ,<br />
con c, α > 0 fijos y para todo x, y ∈ U, entonces para todo B ⊂ U, y todo<br />
p > 0,<br />
H p/α [F (B)] ≤ c p/α H p [B].<br />
Demostración. Por hipótesis d[F (B)] ≤ c d[B] α , por tanto d[F (B)] p/α ≤<br />
c p/α d[B] p . Ahora tomando B i ⊂ U, con d[B i ] ≤ δ y B ⊂ ∪B i , tendremos<br />
que F (B) ⊂ ∪F (B i ), con d[F (B i )] ≤ cδ α = ɛ, por tanto<br />
H p/α,ɛ [F (B)] ≤ ∑ d[F (B i )] p/α ≤ c p/α ∑ d(B i ) p ,<br />
por tanto H p/α,ɛ [F (B)] ≤ c p/α H p,δ (B) y el resultado se sigue haciendo<br />
δ → 0.<br />
Teorema 1.6.13 Siempre se tiene que L(C) ≤ H 1 (C) y si σ es inyectiva<br />
(salvo en un número finito <strong>de</strong> puntos), entonces L(C) = H 1 (C).<br />
Demostración. Por (1.6.11) se tiene que <strong>la</strong> función<br />
l : I → [0, L(C)],<br />
l(t) = L(C at ) = L({σ(s) : s ∈ I, s ≤ t}),<br />
es monótona creciente 16 . Veamos que si l es finita es continua, mas concretamente<br />
si l(r 0 ) < ∞, l es continua en los t < r 0 <strong>de</strong> I.<br />
Por <strong>la</strong> continuidad <strong>de</strong> σ, dado ɛ > 0 existe un δ > 0, tal que si |t−r| <<br />
δ, ‖σ(t) − σ(r)‖ ≤ ɛ, y si t < r < r 0 existe T = {t 0 < · · · < t m = r} ⊂ I,<br />
tal que<br />
l(r) − ɛ < p(T ) ≤ l(r),<br />
y sin pérdida <strong>de</strong> generalidad po<strong>de</strong>mos suponer que uno <strong>de</strong> los puntos<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> partición es t k = t y que t k+1 − t < δ (para ello si es necesario<br />
metemos dos puntos más, con lo que <strong>la</strong> suma aumenta), por tanto<br />
l(r) <<br />
k∑<br />
‖σ(t i ) − σ(t i−1 )‖ + 2ɛ +<br />
i=1<br />
m∑<br />
i=k+2<br />
‖σ(t i ) − σ(t i−1 )‖<br />
≤ l(t) + 2ɛ + l(r) − l(t k+1 ) ⇒ l(t k+1 ) ≤ l(t) + 2ɛ,<br />
16 A<strong>de</strong>más lo es estrictamente en los t en los que es finita, a menos que σ sea<br />
constante en [t, t + ɛ) para algún ɛ > 0
1.6. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> Hausdorff 47<br />
y para los t ≤ s < t k+1 , tendremos por ser l monótona creciente que<br />
l(t) ≤ l(s) ≤ l(t k+1 ) ≤ l(t) + 2ɛ,<br />
y tenemos <strong>la</strong> continuidad a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha.<br />
Para ver <strong>la</strong> continuidad a <strong>la</strong> izquierda, dado ɛ > 0 existe T = {t 0 <<br />
· · · < t n+1 = t} (introduciendo puntos si es necesario) tal que<br />
l(t) − ɛ ≤ p(T ) ≤ l(t) y ‖σ(t) − σ(t n )‖ ≤ ɛ,<br />
por tanto para Q = {t 0 , · · · , t n }<br />
l(t) − ɛ ≤ p(T ) = p(Q) + ‖σ(t) − σ(t n )‖ ≤ p(Q) + ɛ ≤ l(t n ) + ɛ ≤ l(t) + ɛ,<br />
De dón<strong>de</strong> 0 ≤ l(t) − l(t n ) ≤ 2ɛ lo cual implica <strong>la</strong> continuidad a <strong>la</strong><br />
izquierda.<br />
Ahora si l : I → [0, L(C)], es finita, entonces por lo anterior es continua<br />
y como es estrictamente creciente su imagen es un intervalo, que<br />
es compacto J = [0, L(C)], si I = [a, b] es compacto, ó abierto J =<br />
(0, L(C)), si I = (a, b) es abierto. Denotemos su inversa con g : J → I y<br />
para <strong>la</strong> composición f = σ ◦ g : J → R n , tendremos que<br />
‖f(s) − f(s ′ )‖ ≤ |s − s ′ |<br />
por tanto se sigue <strong>de</strong> (1.6.12) y <strong>de</strong> (1.6.10), <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad<br />
H 1 (C) = H 1 [f(J)] ≤ H 1 [J] = H 1 [0, L(C)] = L(C).<br />
Por otra parte para R <strong>la</strong> recta que pasa por x, y ∈ R n , para el segmento<br />
que los une [x, y] = {ty + (1 − t)x : t ∈ [0, 1]}, y para π : R n → R<br />
<strong>la</strong> proyección ortogonal a R, se sigue <strong>de</strong> (1.6.10) y <strong>de</strong> (1.6.12), para<br />
p = α = c = 1 que<br />
‖x − y‖ = H 1 [x, y] ≤ H 1 [π(C xy )] ≤ H 1 (C xy ),<br />
por tanto para todo T = {t 0 < · · · < t m } ⊂ I, y x i = σ(t i ) y si σ es<br />
inyectiva (salvo en una colección finita <strong>de</strong> puntos, por lo que C xix i−1<br />
son<br />
esencialmente disjuntos, pues se cortan a lo sumo en un número finito<br />
<strong>de</strong> puntos) que<br />
p(T ) =<br />
n∑<br />
‖x i − x i−1 ‖ ≤<br />
i=1<br />
n∑<br />
H 1 [C xix i−1<br />
] = H 1 (C),<br />
i=1<br />
y se sigue <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad L(C) ≤ H 1 (C).
48 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Ejemplo 1.6.14 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> curva σ : [−1, 1] → R 2 , con σ(t) =<br />
(t, 0) para t ∈ [−1, 0] y σ(t) = (t, t sen(π/t)), para t ∈ (0, 1]. Demostrar<br />
que es continua y que en los términos anteriores l(t) = 1 + t, para t ∈<br />
[−1, 0] y l(t) = ∞ para t ∈ (0, 1].<br />
Figura 1.5.<br />
Indicación.- La continuidad es obvia en [−1, 0) ∪ (0, 1] y en el 0 por<br />
<strong>la</strong> izquierda, por tanto falta ver<strong>la</strong> por <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha en 0, lo cual también es<br />
obvio pues para t > 0, ‖σ(t)‖ ≤ t √ 2. Para ver que l(t) = ∞ para t > 0,<br />
consi<strong>de</strong>remos<br />
( ( ) ( ) ( )<br />
1 1 1<br />
1<br />
x n = σ =<br />
n)<br />
n , 0 , y n = σ<br />
n + 1 =<br />
2<br />
n + 1 , (−1) n 1<br />
2<br />
n + 1 .<br />
2<br />
Para los que ‖x n − y n ‖ ≥ 1/(n + 1), por tanto<br />
∞ =<br />
∞∑<br />
n=m<br />
1<br />
n + 1 ≤<br />
∞ ∑<br />
n=m<br />
‖x n − y n ‖ ≤ l(1/m).<br />
1.7. Apéndice<br />
1.7.1. Conjuntos <strong>de</strong> F δ y <strong>de</strong> F σ<br />
Definición. Dada una c<strong>la</strong>se F <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> Ω, <strong>de</strong>notaremos con<br />
F δ , F σ ,
1.7. Apéndice 49<br />
<strong>la</strong>s familias <strong>de</strong> <strong>la</strong>s intersecciones numerables y uniones numerables respectivamente,<br />
<strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> F.<br />
Estas c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> conjuntos juegan un papel importante en el estudio<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre topología y medida (cuestión que trataremos en el<br />
Tema 10, pág.319). Por ahora veamos algunas re<strong>la</strong>ciones conjuntistas<br />
entre estas familias.<br />
Denotemos con C y A respectivamente <strong>la</strong>s familias <strong>de</strong> los cerrados y<br />
<strong>de</strong> los abiertos <strong>de</strong> R n .<br />
Proposición 1.7.1 En los términos anteriores se tiene que<br />
A = A σ , C = C δ , A δδ = A δ , C σσ = C σ , . . .<br />
A<br />
C ⊂ A δ<br />
C σ<br />
⊂ A δσ<br />
C σδ<br />
⊂ A δσδ<br />
C σδσ<br />
⊂ · · · ⊂ B(R n )<br />
don<strong>de</strong> en <strong>la</strong>s dos últimas fi<strong>la</strong>s queremos indicar que cada uno <strong>de</strong> los dos<br />
conjuntos a <strong>la</strong> izquierda <strong>de</strong> ⊂ está contenido en cada uno <strong>de</strong> los <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>recha y por tanto correspon<strong>de</strong>n a cuatro inclusiones.<br />
Nota 1.7.2 Como consecuencia <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> categoría 17 <strong>de</strong> Baire,<br />
que se verá en Análisis Funcional, pue<strong>de</strong> probarse sin dificultad que<br />
Q ∈ C σ ,<br />
Q /∈ A δ<br />
pues en caso contrario tendríamos abiertos V n tales que<br />
Q = ∩V n , R = ∪V c n ∪ Q = ∪V c n ∪ {x 1 } ∪ · · · ∪ {x n } ∪ · · ·<br />
y por el Teorema <strong>de</strong> Baire algún Vn<br />
c tendría interior no vacío, siendo<br />
Vn c ⊂ R\Q.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.7.1 Demostrar que para cada función f : R → R: (a) El conjunto<br />
<strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> continuidad <strong>de</strong> f, C(f) ∈ A δ y los <strong>de</strong> discontinuidad D(f) ∈ C σ.<br />
(b) Demostrar que C(f) y D(f) son borelianos. (Sol.)<br />
17 Este resultado dice que si un espacio métrico completo X es unión <strong>de</strong> una sucesión<br />
◦<br />
<strong>de</strong> cerrados U n, entonces para algún n, U n es no vacío (ver Ash, pág.398).
50 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
1.7.2. Cargas.<br />
También hay medidas que toman valores negativos —un ejemplo en<br />
<strong>la</strong> física es <strong>la</strong> carga eléctrica—, pero preferimos no l<strong>la</strong>mar<strong>la</strong>s medidas<br />
para evitar confusión.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos carga en un espacio medible (Ω, A), a toda<br />
función µ: A → (−∞, ∞], numerablemente aditiva y tal que µ(∅) =<br />
0 (como para <strong>la</strong>s medidas <strong>la</strong> l<strong>la</strong>maremos carga aditiva si es aditiva).<br />
Obviamente <strong>la</strong>s medidas son <strong>la</strong>s cargas no negativas.<br />
Nota 1.7.3 Enten<strong>de</strong>mos que <strong>la</strong> suma en R, es <strong>la</strong> <strong>de</strong> R y<br />
a + ∞ = ∞ + a = ∞, a − ∞ = −∞ + a = −∞, para a ∈ R,<br />
∞ + ∞ = ∞,<br />
−∞ − ∞ = −∞,<br />
(para a − b = a + (−b)) y ∞ − ∞ no está <strong>de</strong>finido, a<strong>de</strong>más exten<strong>de</strong>mos<br />
el or<strong>de</strong>n siendo −∞ < x < ∞ para todo x ∈ R. Así se tiene por ejemplo<br />
que si a, b, c, d ∈ R y a + b, c + d están bien <strong>de</strong>finidos entonces<br />
(1.3) a ≤ c, b ≤ d ⇒ a + b ≤ c + d.<br />
Por otra parte observemos que toda carga (en particu<strong>la</strong>r toda medida)<br />
es aditiva, pues como µ(∅) = 0 tendremos que para A y B disjuntos<br />
µ(A ∪ B) = µ(A ∪ B ∪ ∅ ∪ ∅ · · · ) = µ(A) + µ(B),<br />
y por tanto aunque hubiésemos puesto que el rango <strong>de</strong> µ fuese R, el hecho<br />
es que si es aditiva el rango no pue<strong>de</strong> contener ambos extremos infinitos,<br />
pues si existe A con µ(A) = ∞, entonces µ(Ω) = µ(A) + µ(A c ) = ∞ y si<br />
existe A con µ(A) = −∞, entonces µ(Ω) = µ(A) + µ(A c ) = −∞.<br />
Por último observemos que si µ: A → (−∞, ∞] es numerablemente<br />
aditiva, entonces es una carga —salvo que sea <strong>de</strong>generada y sólo tome<br />
el valor µ(A) = ∞ para todo A ∈ A—, pues si existe un medible A con<br />
µ(A) ∈ R, tendremos<br />
y por tanto µ(∅) = 0.<br />
µ(A) = µ(A ∪ ∅ ∪ ∅ · · · ) = µ(A) + ∑ µ(∅),<br />
Las cargas conservan algunas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas.
1.7. Apéndice 51<br />
Proposición 1.7.4 Sea µ una carga en (Ω, A), con A anillo, entonces<br />
para A, B, A n , ∪A n ∈ A:<br />
(a) µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B ∩ A c ).<br />
(b) Si A ⊂ B entonces µ(B) = µ(A) + µ(B\A).<br />
(c) Si A ⊂ B y µ(A) = ∞, entonces µ(B) = ∞.<br />
(d) µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).<br />
(e) Si A n ↑ A, entonces µ(A n ) → µ(A).<br />
(f) Si A n ↓ A y |µ(A 1 )| < ∞, entonces µ(A n ) → µ(A).<br />
Nota 1.7.5 Se sigue <strong>de</strong> (1.3.9)–(d) que una medida aditiva µ en un álgebra<br />
es acotada si y sólo si es finita, es <strong>de</strong>cir que<br />
µ(Ω) = sup{µ(A) : A ∈ A} < ∞ ⇔ µ(A) < ∞, ∀A ∈ A,<br />
tal resultado no es cierto en general si quitamos <strong>la</strong> no negatividad (ver<br />
prob.4 <strong>de</strong>l Ash,p.12). Sin embargo veremos en (4.2.8) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 161,<br />
que sí es cierto para cargas sobre σ–álgebras.<br />
Igual que para <strong>la</strong>s medidas, si <strong>de</strong> una carga µ sólo sabemos que es<br />
aditiva, el siguiente resultado, que se <strong>de</strong>muestra como (1.3.12), nos dice<br />
cuando es numerablemente aditiva.<br />
Teorema 1.7.6 Una carga aditiva µ sobre un anillo A es numerablemente<br />
aditiva, si se verifica una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos condiciones:<br />
(a) µ es continua superiormente, es <strong>de</strong>cir dados A n , A ∈ A con A n ↑ A,<br />
µ(A n ) → µ(A).<br />
(b) µ es continua inferiormente en el ∅, es <strong>de</strong>cir si dados A n ∈ A, con<br />
A n ↓ ∅, se tiene µ(A n ) → 0.<br />
1.7.3. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> haz en los espacios <strong>de</strong> medida.<br />
Definición. Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ). L<strong>la</strong>mamos restricción<br />
<strong>de</strong>l espacio <strong>de</strong> medida a un conjunto medible B ∈ A, al nuevo espacio<br />
<strong>de</strong> medida (B, A B , µ |B ), para<br />
A B = {A ∈ A : A ⊂ B},<br />
µ |B (A) = µ(A).
52 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Proposición 1.7.7 Dado un espacio medible (Ω, A) y una colección (U α , A α , µ α )<br />
<strong>de</strong> espacios <strong>de</strong> medida, con los U α ∈ A un recubrimiento <strong>de</strong> Ω y A α =<br />
A ∩ U α y <strong>la</strong>s medidas tales que µ α = µ β en U α ∩ U β . Si existe un subrecubrimiento<br />
numerable <strong>de</strong> Ω, U n = U αn , entonces existe una única<br />
medida µ en A que por restricción en cada U α <strong>de</strong>fine µ α .<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>ramos los medibles disjuntos B n = U n \(∪ n−1<br />
i=1 U i)<br />
y <strong>de</strong>finimos en A<br />
µ(A) = ∑ µ n (A ∩ B n ),<br />
<strong>la</strong> cual es medida, pues si A m ∈ A, son disjuntos y A = ∪A m ,<br />
µ(A) = ∑ µ n (A ∩ B n ) = ∑ ∑<br />
µ n (A m ∩ B n )<br />
n<br />
n m<br />
= ∑ ∑<br />
µ n (A m ∩ B n ) = ∑ µ(A m ).<br />
m n<br />
m<br />
Coinci<strong>de</strong> con µ α en cada U α , pues si A ∈ A α ,<br />
µ(A) = ∑ µ n (A ∩ B n ) = ∑ µ α (A ∩ B n ) = µ α (A).<br />
Y es única pues si λ es otra tendremos que<br />
λ(A) = ∑ n<br />
λ(A ∩ B n ) = ∑ n<br />
µ n (A ∩ B n ) = ∑ n<br />
µ(A ∩ B n ) = µ(A).<br />
En los libros <strong>de</strong> Tjur, p.23 y Lang, p.339 se <strong>de</strong>muestra (ver el tema<br />
<strong>de</strong> medida y topología), que si Ω es Hausdorff y localmente compacto<br />
y los U i son un recubrimiento por abiertos <strong>de</strong> Ω tal que <strong>la</strong> restricción<br />
a U i ∩ U j <strong>de</strong> (U i , A i , µ i ) y (U j , A j , µ j ) coinci<strong>de</strong>n —don<strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas<br />
µ i satisfacen ciertas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> regu<strong>la</strong>ridad—, entonces se pue<strong>de</strong><br />
construir un único espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ) cuya restricción a cada<br />
U i es (U i , A i , µ i ).<br />
1.7.4. Aproximación <strong>de</strong> medibles<br />
Observemos que <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a intuitiva <strong>de</strong> construir A = σ(C) tomando<br />
complementarios y uniones e intersecciones numerables, en todas <strong>la</strong>s formas<br />
posibles, con elementos <strong>de</strong> C, sugiere que si C es un álgebra A 0 ,<br />
entonces los conjuntos <strong>de</strong> A <strong>de</strong>bieran aproximarse bien por conjuntos <strong>de</strong><br />
A 0 . Esto realmente es así como a continuación formalizamos.
1.7. Apéndice 53<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos diferencia simétrica <strong>de</strong> dos conjuntos A, B ⊂ Ω<br />
al conjunto<br />
A△B = (A ∩ B c ) ∪ (A c ∩ B).<br />
Teorema <strong>de</strong> aproximación 1.7.8 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y<br />
sea A 0 un álgebra <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> Ω tal que A = σ(A 0 ). Si µ es σ–finita<br />
en A 0 y ɛ > 0, entonces para cada A ∈ A con µ(A) < ∞, existe B ∈ A 0<br />
tal que µ(A△B) < ɛ.<br />
Demostración. Aplicando los teoremas <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Caratheodory<br />
y <strong>de</strong> Hahn, tendremos que A ⊂ A ∗ y µ = µ ∗ en A, por tanto<br />
∞∑<br />
µ(A) = µ ∗ (A) = ínf{ µ(B n ) : B n ∈ A 0 , A ⊂ ∪B n },<br />
n=1<br />
y existe una sucesión B n ∈ A 0 , tal que A ⊂ ∪B n = B ∈ A y<br />
µ(A) ≤ µ(B) ≤<br />
∞∑<br />
µ(B n ) ≤ µ(A) + ɛ 2 < ∞,<br />
n=1<br />
ahora eligiendo E n = ∪ n i=1 B i ∈ A 0 tendremos que E n ↑ B y que<br />
µ(E n ) → µ(B). Ahora basta observar que<br />
µ(A△E n ) = µ(A ∩ E c n) + µ(A c ∩ E n )<br />
≤ µ(B ∩ E c n) + µ(A c ∩ B)<br />
≤ µ(B) − µ(E n ) + µ(B) − µ(A),<br />
y tomando µ(B) − µ(E n ) ≤ ɛ/2 se sigue el resultado.<br />
Remitimos al lector a <strong>la</strong> pág. 21 <strong>de</strong>l Ash don<strong>de</strong> se da un ejemplo en el<br />
que <strong>la</strong> medida no es σ–finita en el álgebra y los teoremas <strong>de</strong> Caratheodory<br />
y <strong>de</strong> aproximación no se satisfacen.<br />
1.7.5. Compleción<br />
Definición. Diremos que un medible B <strong>de</strong> un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ)<br />
es nulo si µ(B) = 0 y dijimos que el espacio es completo si son medibles<br />
los subconjuntos <strong>de</strong> los conjuntos medibles nulos.<br />
Ejemplo 1.7.9 Dada una medida exterior µ ∗ en Ω, vimos en el Teorema<br />
<strong>de</strong> Caratheodory (1.4.7) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 21, que (Ω, A ∗ , µ ∗ ) era completo.
54 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Definición. Diremos que una propiedad se verifica casi seguro respecto<br />
<strong>de</strong> µ (c.s. (A, µ) ó c.s. si no hay confusión), si el conjunto C <strong>de</strong> puntos<br />
don<strong>de</strong> no se verifica <strong>la</strong> propiedad está en un medible, C ⊂ B ∈ A con<br />
µ(B) = 0.<br />
Nota 1.7.10 Observemos que C no es necesariamente medible, pero sí lo<br />
es si el espacio es completo. En cualquier caso, si C es medible, µ(C) = 0.<br />
Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), po<strong>de</strong>mos completarlo siguiendo<br />
<strong>la</strong> siguiente construcción. Consi<strong>de</strong>ramos<br />
A µ = {E ⊂ Ω : ∃A, B ∈ A, A ⊂ E ⊂ A ∪ B y µ(B) = 0},<br />
y exten<strong>de</strong>mos µ a A µ <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
µ(E) = µ(A),<br />
para cada A ∈ A como en <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición (<strong>de</strong>muestre el lector que está bien<br />
<strong>de</strong>finida, es <strong>de</strong>cir que si A ⊂ E ⊂ A ∪ B y C ⊂ E ⊂ C ∪ D, con<br />
A, B, C, D ∈ A y µ(B) = µ(D) = 0, entonces µ(A) = µ(C)). Se tiene<br />
entonces el siguiente resultado.<br />
Teorema 1.7.11 (Ω, A µ , µ) es un espacio <strong>de</strong> medida completo al que l<strong>la</strong>maremos<br />
compleción <strong>de</strong> (Ω, A, µ).<br />
Demostración. En primer lugar se tiene que Ω ∈ A µ . Veamos que<br />
es cerrado por paso al complementario, si E ∈ A µ , con A ⊂ E ⊂ A ∪ B,<br />
A, B ∈ A y µ(B) = 0 entonces µ(A c ∩ B) = 0 y<br />
(A ∪ B) c ⊂ E c ⊂ A c = (A c ∩ B c ) ∪ (A c ∩ B) = (A ∪ B) c ∪ (A c ∩ B),<br />
por tanto E c ∈ A µ . Veamos ahora que es cerrado para uniones numerables;<br />
consi<strong>de</strong>remos una sucesión E n ∈ A µ , con A n ⊂ E n ⊂ A n ∪ B n ,<br />
A n , B n ∈ A y µ(B n ) = 0 entonces<br />
∞⋃ ∞⋃<br />
∞⋃<br />
∞⋃<br />
A n ⊂ E n ⊂ ( A n ) ∪ ( B n ),<br />
n=1<br />
n=1<br />
y ∪E n ∈ A µ . Veamos ahora que µ es una medida en A µ . Obviamente es<br />
no negativa y µ(∅) = 0, falta ver <strong>la</strong> numerable aditividad. Consi<strong>de</strong>remos<br />
n=1<br />
n=1
1.7. Apéndice 55<br />
una sucesión E n ∈ A µ , <strong>de</strong> conjuntos disjuntos entonces en los términos<br />
anteriores los A n también son disjuntos y<br />
∞⋃<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
µ[ E n ] = µ[ A n ] = µ(A n ) = µ(E n ).<br />
n=1<br />
n=1<br />
Por último veamos que es completo. Sea E ∈ A µ tal que µ(E) = 0<br />
y C ⊂ E. Ahora como existen A, B ∈ A tales que A ⊂ E ⊂ A ∪ B,<br />
µ(B) = 0 y µ(E) = µ(A) = 0, tendremos que ∅ ⊂ C ⊂ A ∪ B y<br />
µ(A ∪ B) = 0, por tanto C ∈ A µ .<br />
La extensión (Ω, A ∗ , µ ∗ ), <strong>de</strong> (Ω, A 0 , µ) en el teorema (1.4.7) es completa<br />
por <strong>la</strong> Nota (1.4.6). A continuación veremos <strong>de</strong> quien es compleción<br />
(Ω, A ∗ , µ ∗ ).<br />
Teorema 1.7.12 Sea (Ω, A 0 , µ) un espacio <strong>de</strong> medida con A 0 anillo y µ<br />
σ–finita. Entonces el espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A ∗ , µ ∗ ) es <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong><br />
(Ω, σ(A 0 ), µ ∗ ).<br />
Demostración. Denotemos A = σ(A 0 ) y sigamos l<strong>la</strong>mando µ = µ ∗ |A<br />
a <strong>la</strong> extensión (única) <strong>de</strong> nuestra medida µ en el anillo. Tenemos que ver<br />
que A ∗ = A µ , siendo obvia <strong>la</strong> inclusión A µ ⊂ A ∗ , pues A µ = A ∪ N ,<br />
para N = {N ⊂ A : A ∈ A, µ(A) = 0} y A ⊂ A ∗ y A ∗ es completo.<br />
Veamos ahora <strong>la</strong> inclusión contraria, en primer lugar observemos que<br />
para cada A ⊂ Ω<br />
n=1<br />
n=1<br />
∞∑<br />
µ ∗ (A) = ínf{ µ(B n ) : A ⊂ ∪B n , B n ∈ A 0 }<br />
n=1<br />
= ínf{µ ∗ (B) : A ⊂ B ∈ σ(A 0 )},<br />
= mín{µ ∗ (B) : A ⊂ B ∈ σ(A 0 )},<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> segunda igualdad se tiene porque dados A ⊂ ∪B n , B n ∈ A 0 ,<br />
tendremos que B = ∪B n ∈ σ(A 0 ) y<br />
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (B) ≤<br />
∞∑<br />
µ(B n ),<br />
y <strong>la</strong> tercera igualdad porque el ínfimo se alcanza ya que po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar<br />
para cada n un B n ∈ A, con A ⊂ B n tal que µ ∗ (B n ) ↓ µ ∗ (A) y<br />
A ⊂ ∩B n = B ∈ A, por tanto µ ∗ (A) = µ ∗ (B). En <strong>de</strong>finitiva tenemos que<br />
dado cualquier A ⊂ Ω, existe un B ∈ A, tal que A ⊂ B y µ ∗ (B) = µ ∗ (A).<br />
n=1
56 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Como consecuencia tenemos que si E ∈ A ∗ , entonces existe un B ∈<br />
A, tal que E ⊂ B y µ ∗ (B\E) = 0. Esto es obvio si µ ∗ (E) < ∞, pues<br />
µ ∗ (B) = µ ∗ (E) + µ ∗ (B\E). En general consi<strong>de</strong>remos una sucesión A n ∈<br />
A 0 , tal que µ(A n ) < ∞ y <strong>la</strong> ∪A n = Ω, entonces por el caso finito como<br />
E n = E ∩ A n ∈ A ∗ y µ ∗ (E n ) < ∞, existen B n ∈ A tales que<br />
E n ⊂ B n , µ ∗ (B n \E n ) = 0,<br />
por tanto E = ∪E n ⊂ B = ∪B n ∈ A y µ ∗ (B\E) = 0, pues<br />
∞⋃<br />
∞⋃<br />
B ∩ E c = (B n ∩ E c ) ⊂ (B n ∩ En),<br />
c<br />
n=1<br />
ahora el mismo argumento aplicado a E c prueba que existe A c ∈ A tal<br />
que E c ⊂ A c , es <strong>de</strong>cir A ⊂ E y µ ∗ (E\A) = µ ∗ (A c \E c ) = 0. Se sigue que<br />
A ⊂ E ⊂ B y µ ∗ (B\A) = 0, por tanto E ∈ A µ .<br />
Nota 1.7.13 Debe observarse que aunque reemp<strong>la</strong>zar un espacio medible<br />
(Ω, A, µ) por su compleción (Ω, A µ , µ), nos quita ciertos problemas,<br />
lo cierto es que introduce otros. Por ejemplo que <strong>la</strong> σ–álgebra A µ es a<br />
menudo más complicada que <strong>la</strong> original, o que al estar <strong>la</strong> σ–álgebra A µ<br />
<strong>de</strong>terminada por <strong>la</strong> medida µ, si en nuestro espacio tenemos dos medidas<br />
distintas, en general obtendremos dos σ–álgebras compleción distintas,<br />
por lo que <strong>la</strong>s medidas extendidas no tendrían en principio el mismo<br />
dominio. Esta es una razón que justifica que en los hechos básicos <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida, sue<strong>la</strong>n evitarse argumentos que <strong>de</strong>pendan <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
compleción.<br />
n=1<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.7.2 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y sea A µ su compleción y<br />
µ ∗ <strong>la</strong> medida exterior generada por µ. Demostrar que para cada A ⊂ Ω:<br />
µ ∗ (A) = ínf{µ(B) : B ∈ A, A ⊂ B},<br />
y que si <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> “medida interior”<br />
µ ∗(A) = sup{µ(B) : B ∈ A, B ⊂ A},<br />
entonces si A ∈ A µ se tiene que µ ∗(A) = µ ∗ (A) = µ(A) y recíprocamente si<br />
µ ∗(A) = µ ∗ (A) < ∞ entonces A ∈ A µ. (Sol.)
1.7. Apéndice 57<br />
1.7.6. Regu<strong>la</strong>ridad.<br />
Veamos algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> aproximación <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue,<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes y <strong>de</strong> <strong>la</strong>s σ–finitas.<br />
Definición. Sea (X , T ) un espacio topológico Hausdorff. Diremos que<br />
una medida µ en los borelianos B(X ) es regu<strong>la</strong>r interior en E ∈ B(X ) si<br />
µ(E) = sup{µ(K) : K compacto y K ⊂ E},<br />
diremos que es regu<strong>la</strong>r exterior en E si<br />
µ(E) = ínf{µ(A) : A abierto y E ⊂ A}.<br />
Diremos que µ es regu<strong>la</strong>r si es finita en los compactos y es regu<strong>la</strong>r exterior<br />
y regu<strong>la</strong>r interior en todo boreliano.<br />
Se tienen <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> una medida <strong>de</strong> Borel µ en un<br />
espacio topológico (X , T ):<br />
Proposición 1.7.14 (a) µ es regu<strong>la</strong>r interior en todo σ–compacto.<br />
(b) Sea A n ↑ A. Si µ es regu<strong>la</strong>r interior en A n , entonces es regu<strong>la</strong>r<br />
interior en A. Si µ es regu<strong>la</strong>r exterior en A n , entonces es regu<strong>la</strong>r exterior<br />
en A.<br />
Demostración. (a) Todo σ–compacto E es unión expansiva <strong>de</strong> compactos<br />
K n ↑ E —pues <strong>la</strong> unión finita <strong>de</strong> compactos es compacto—, y<br />
µ(K n ) ↑ µ(E).<br />
(b) Es regu<strong>la</strong>r interior pues µ(A n ) → µ(A) y<br />
µ(A n ) = sup{µ(K) : K compacto y K ⊂ A n }<br />
≤ sup{µ(K) : K compacto y K ⊂ A} ≤ µ(A)<br />
Si µ(A) = ∞ es regu<strong>la</strong>r exterior obviamente. Si µ(A) < ∞, para todo<br />
ɛ > 0 y cada n ∈ N existe un abierto V n ⊃ A n , tal que µ(V n ) − µ(A n ) ≤<br />
ɛ2 −n y para el abierto V = ∪V n ⊃ ∪A n = A,<br />
µ(V ) − µ(A) = µ(V \A) ≤ ∑ µ(V n ∩ A c ) ≤ ∑ µ(V n ∩ A c n) ≤ ɛ.<br />
Nota 1.7.15 Toda medida en B(R m ) es obviamente regu<strong>la</strong>r exterior en<br />
los abiertos, y también regu<strong>la</strong>r interior por el resultado siguiente y porque<br />
toda medida es regu<strong>la</strong>r interior en los σ–compactos (1.7.14).
58 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Lema 1.7.16 Todo abierto <strong>de</strong> R m es σ–compacto.<br />
Demostración. Cada abierto V es unión numerable <strong>de</strong> los compactos<br />
K n = {x ∈ R m : ‖x‖ ≤ n y d(x, V c ) ≥ 1/n}.<br />
Teorema 1.7.17 Toda medida finita en B(R m ) es regu<strong>la</strong>r.<br />
Demostración. Haremos uso <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong> los buenos conjuntos.<br />
Por (1.2.18), pág.9, basta <strong>de</strong>mostrar que<br />
C = {E ∈ B(R m ) : µ es regu<strong>la</strong>r en E},<br />
es álgebra, c<strong>la</strong>se monótona y contiene a los abiertos.<br />
Contiene a los abiertos, en particu<strong>la</strong>r ∅, R m ∈ C, por el resultado<br />
anterior (ver 1.7.15).<br />
A ∈ C ⇒ A c ∈ C: Consi<strong>de</strong>remos una sucesión expansiva <strong>de</strong><br />
compactos C n ↑ R m , por tanto Cn c ↓ ∅, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> µ(Cn) c → 0 (pues µ es<br />
finita). Ahora para todo ɛ > 0, existe un n tal que µ(Cn) c ≤ ɛ/2 y existen<br />
un compacto K y un abierto V , tales que<br />
{<br />
K ⊂ A ⊂ V<br />
µ(V \K) < ɛ/2<br />
⇒<br />
{<br />
Cn ∩ V c ⊂ A c ⊂ K c<br />
µ(K c \(C n ∩ V c )) ≤ µ(C c n) + µ(V \K) ≤ ɛ,<br />
siendo C n ∩ V c compacto y K c abierto.<br />
A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C: Para todo ɛ > 0 existen compactos<br />
K A , K B y abiertos V A , V B tales que<br />
K A ⊂ A ⊂ V A y K B ⊂ B ⊂ V B ,<br />
y µ(V A \K A ) ≤ ɛ, µ(V B \K B ) ≤ ɛ y basta consi<strong>de</strong>rar el compacto K =<br />
K A ∪ K B y el abierto V = V A ∪ V B , para los que<br />
K ⊂ A ∪ B ⊂ V, µ(V \K) ≤ 2ɛ.<br />
Veamos que es c<strong>la</strong>se monótona.<br />
A n ∈ C, A n ↑ A ⇒ A ∈ C: Se sigue <strong>de</strong> (1.7.14b).<br />
A n ∈ C, A n ↓ A ⇒ A ∈ C: Se sigue <strong>de</strong> que A ∈ C ⇒ A c ∈ C y lo<br />
anterior.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 1.7.18 Si µ es σ–finita en B(R m ), es regu<strong>la</strong>r interior.
1.7. Apéndice 59<br />
Demostración. Por el resultado anterior toda medida es regu<strong>la</strong>r<br />
interior en todo B ∈ B(R m ) con µ(B) < ∞, pues <strong>la</strong> medida λ(A) =<br />
µ(A ∩ B) es finita y por tanto regu<strong>la</strong>r interior, <strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
µ(B) = λ(B) = sup{λ(K) = µ(K) : K compacto y K ⊂ B}.<br />
Ahora si µ es σ–finita, entonces todo B ∈ B(R m ) es unión expansiva<br />
<strong>de</strong> borelianos B n <strong>de</strong> medida finita, por tanto en los que µ es regu<strong>la</strong>r<br />
interior. El resultado se sigue <strong>de</strong> (1.7.14b).<br />
Teorema 1.7.19 Si µ es <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes en B(R m ), entonces es<br />
regu<strong>la</strong>r.<br />
Demostración. Toda medida <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes es σ–finita y por<br />
el coro<strong>la</strong>rio anterior es regu<strong>la</strong>r interior.<br />
Veamos que es regu<strong>la</strong>r exterior: Sea V un abierto con µ(V ) < ∞ y<br />
B ⊂ V un boreliano. Si consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> medida finita —y por (1.7.17)<br />
regu<strong>la</strong>r exterior— λ(A) = µ(A ∩ V ), tendremos<br />
µ(B) = λ(B) = ínf{λ(A) : A abierto y B ⊂ A}<br />
= ínf{µ(A ∩ V ) : A abierto y B ⊂ A}<br />
= ínf{µ(A) : A abierto y B ⊂ A}.<br />
por tanto µ es regu<strong>la</strong>r exterior en B.<br />
En R m existen abiertos V n , con adherencia compacta (por tanto con<br />
µ(V n ) < ∞) y tales que V n ↑ R m —por ejemplo <strong>la</strong>s bo<strong>la</strong>s centradas<br />
en 0 <strong>de</strong> radio n—, y para un boreliano cualquiera B, tendremos que<br />
B n = B ∩ V n ↑ B y por lo anterior µ es regu<strong>la</strong>r exterior en B n , por tanto<br />
se sigue <strong>de</strong> (1.7.14), que µ es regu<strong>la</strong>r exterior en B.<br />
Volveremos sobre <strong>la</strong> noción <strong>de</strong> regu<strong>la</strong>ridad en <strong>la</strong> pág. 324.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 1.7.3 Demostrar que <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong> una medida regu<strong>la</strong>r es regu<strong>la</strong>r.<br />
Ejercicio 1.7.4 Encontrar una medida en B(R n ) que sea σ–finita pero no regu<strong>la</strong>r.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 1.7.5 Demostrar que toda medida semifinita µ: B(R n ) → [0, ∞] es<br />
regu<strong>la</strong>r interior. (Sol.)
60 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
1.7.7. El conjunto <strong>de</strong> Cantor.<br />
Hay un compacto K en R, que por sus peculiares propieda<strong>de</strong>s resulta<br />
muy útil a <strong>la</strong> hora <strong>de</strong> construir ejemplos o contraejemplos en <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> medida. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> compactos <strong>de</strong> R:<br />
0<br />
1<br />
K 0<br />
0<br />
1/3<br />
2/3<br />
.<br />
1<br />
K 1<br />
0<br />
1/9 2/9 1/3<br />
2/3 7/9 8/9<br />
.<br />
1<br />
K 2<br />
.<br />
K 3<br />
Figura 1.6. Conjunto <strong>de</strong> Cantor K = ∩K n<br />
K 0 = [0, 1] ⊃ K 1 =<br />
K 1 = K 0 ∩ (1/3, 2/3) c = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] ⊃ K 2 =<br />
K 2 = K 1 ∩ (1/9, 2/9) c ∩ (7/9, 8/9) c =<br />
= [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1] ⊃ K 3 =<br />
K 3 ⊃ · · · ⊃ K n ⊃ · · · ⊃ ∩K n = K,<br />
observemos que cada K n es unión <strong>de</strong> 2 n intervalos disjuntos <strong>de</strong> longitud<br />
(1/3 n ).<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos conjunto <strong>de</strong> Cantor a K = ∩K n .<br />
Lema 1.7.20 Sea X un espacio topológico y A ⊂ X , entonces<br />
( ◦ A) c = A c .<br />
Demostración. Como A cc es abierto y ( ◦ A) c es cerrado, se tiene<br />
A c ⊂ A c ⇒ A cc ⊂ A ⇒ A cc ⊂ ◦ A<br />
◦<br />
A ⊂ A ⇒ A c ⊂ ( ◦ A) c ⇒ A c ⊂ ( ◦ A) c .<br />
Teorema 1.7.21 El conjunto <strong>de</strong> Cantor es compacto, perfecto (cada x ∈<br />
◦<br />
K es límite <strong>de</strong> puntos x n ∈ K\{x}), es <strong>de</strong>nso en ningún <strong>la</strong>do ( K = ∅),<br />
su complementario en [0, 1] es <strong>de</strong>nso en [0, 1], tiene <strong>la</strong> cardinalidad <strong>de</strong>l<br />
continuo y tiene medida <strong>de</strong> Lebesgue nu<strong>la</strong>.
1.7. Apéndice 61<br />
Demostración. Es compacto por ser cerrado <strong>de</strong> [0, 1] que es compacto.<br />
Cada K n es unión <strong>de</strong> 2 n intervalos disjuntos <strong>de</strong> longitud (1/3 n ),<br />
cuyos extremos están en K, pues cada extremo <strong>de</strong> un intervalo <strong>de</strong> K n<br />
es extremo <strong>de</strong> un intervalo <strong>de</strong> K n+1 . Ahora dado x ∈ K y n ∈ N, como<br />
x ∈ K n , uno <strong>de</strong> sus 2 n intervalos <strong>de</strong> longitud (1/3 n ) lo contiene y po<strong>de</strong>mos<br />
elegir x n como uno <strong>de</strong> los extremos <strong>de</strong> dicho intervalo (que sea<br />
distinto <strong>de</strong> x), como |x − x n | ≤ 3 −n se sigue que K es perfecto.<br />
Que m(K) = 0 se sigue <strong>de</strong> que<br />
0 ≤ m(K) ≤ m(K n ) = 2n<br />
3 n → 0,<br />
lo cual a su vez implica que K ◦ = ∅, pues si existe un intervalo abierto<br />
(a, b) ⊂ K, tendríamos que 0 < m(a, b) = b − a ≤ m(K), lo cual es<br />
absurdo, por tanto en X = [0, 1], el interior <strong>de</strong> K también es el ∅ y esto<br />
equivale por el Lema (1.7.20), a que [0, 1]\K = [0, 1], es <strong>de</strong>cir [0, 1]\K es<br />
<strong>de</strong>nso en [0, 1].<br />
Por último, que tiene <strong>la</strong> cardinalidad <strong>de</strong>l continuo se ve consi<strong>de</strong>rando<br />
<strong>la</strong> biyección entre el conjunto <strong>de</strong> sucesiones <strong>de</strong> ceros y unos ({0, 1} N )<br />
—<strong>de</strong>l que quitamos <strong>la</strong>s sucesiones que a partir <strong>de</strong> un término son 1— y<br />
el conjunto [0, 1) (que tiene <strong>la</strong> cardinalidad <strong>de</strong>l continuo), mediante <strong>la</strong><br />
aplicación<br />
∞∑ x i<br />
(x i ) −→ x =<br />
2 i ,<br />
por lo que 0, x 1 x 2 x 3 . . . es <strong>la</strong> expresión binaria <strong>de</strong> x. Ahora consi<strong>de</strong>ramos<br />
<strong>la</strong> biyección que a cada tal sucesión le hace correspon<strong>de</strong>r el punto <strong>de</strong><br />
K − {1}<br />
(x i ) −→ y =<br />
∞∑<br />
i=1<br />
i=1<br />
2x i<br />
3 i =<br />
∞∑<br />
i=1<br />
y i<br />
3 i ,<br />
y el resultado se sigue, pues observemos que 0, y 1 y 2 y 3 . . . es <strong>la</strong> expresión<br />
ternaria <strong>de</strong> y, <strong>la</strong> cual correspon<strong>de</strong> a un punto <strong>de</strong> K si y sólo si los y i = 0<br />
ó y i = 2.<br />
1.7.8. Sobre los conjuntos Lebesgue medibles.<br />
Tenemos <strong>la</strong>s inclusiones B(R) ⊂ L(R) ⊂ P(R) y surgen dos preguntas<br />
<strong>de</strong> forma natural:
62 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
1) ¿Es B(R) = L(R)?. Contestaremos negativamente a esta cuestión<br />
en (2.2.11), pág.81. No obstante como µ es σ–finita sabemos por (1.7.12),<br />
pág.55, que L(R) es <strong>la</strong> σ–álgebra compleción <strong>de</strong> B(R), con <strong>la</strong> medida <strong>de</strong><br />
Lebesgue, así que un conjunto Lebesgue medible es <strong>la</strong> unión <strong>de</strong> un Borel<br />
con un subconjunto <strong>de</strong> un Borel <strong>de</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue nu<strong>la</strong>.<br />
2) ¿Es L(R) = P(R)?, es <strong>de</strong>cir ¿es Lebesgue medible todo subconjunto<br />
<strong>de</strong> R?. Debemos observar que <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración habitual <strong>de</strong> este<br />
resultado, que es <strong>la</strong> que vamos a dar, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong>l axioma<br />
<strong>de</strong> elección.<br />
Aunque al final <strong>de</strong> este tema trataremos esta cuestión <strong>de</strong> forma más<br />
extensa, digamos ahora que en 1970 Solovay <strong>de</strong>mostró que si admitimos<br />
ciertas hipótesis <strong>de</strong> consistencia, entonces <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> un subconjunto<br />
<strong>de</strong> R, no Lebesgue medible, no pue<strong>de</strong> probarse con los axiomas <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
teoría <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> Zermelo–Frenkel, sin hacer uso <strong>de</strong>l axioma <strong>de</strong><br />
elección.<br />
Teorema 1.7.22 L(R) es distinto <strong>de</strong> P(R).<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> equivalencia en los reales<br />
x ∼ y sii x − y ∈ Q y haciendo uso <strong>de</strong>l Axioma <strong>de</strong> elección <strong>de</strong>finamos<br />
un conjunto A ⊂ (0, 1) eligiendo un elemento en (0, 1) <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> equivalencia. Para cada x ∈ (0, 1), cuya c<strong>la</strong>se es x + Q,<br />
hay un representante a = x + q ∈ A y como a, x ∈ (0, 1) tendremos<br />
que ±q ∈ Q ∩ (−1, 1) = N, por tanto (0, 1) ⊂ ∪ q∈N (q + A) ⊂ (−1, 2),<br />
siendo <strong>la</strong> unión numerable –<strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong>l medio– disjunta, pues si<br />
p, q ∈ Q son distintos (A + p) ∩ (A + q) = ∅, pero entonces llegamos<br />
a una contradicción si A es Lebesgue medible, pues tomando medidas,<br />
1 ≤ ∞ · m(A) ≤ 3.<br />
Pero se tiene aun mas, también consecuencia <strong>de</strong>l Axioma <strong>de</strong> elección,<br />
<strong>de</strong> lo que el resultado anterior es una simple consecuencia.<br />
Teorema 1.7.23 (Ver Cohn, p.33) Existe un A ⊂ R tal que m(B) = 0,<br />
para todo Lebesgue medible B ⊂ A ó B ⊂ A c .<br />
Nota 1.7.24 Terminamos <strong>la</strong> lección <strong>de</strong>mostrando <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> no medibles<br />
en <strong>la</strong> circunferencia unidad <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no R 2 .<br />
Consi<strong>de</strong>remos un número real α > 0, tal que α/π sea irracional, <strong>de</strong><br />
este modo po<strong>de</strong>mos asegurar que para enteros distintos n, m, también<br />
sean distintos los giros g n y g m <strong>de</strong> ángulos respectivos (en radianes) nα
1.7. Apéndice 63<br />
y mα, pues en caso contrario nα = mα + k2π y α/π = 2k/(n − m) sería<br />
racional. Ahora consi<strong>de</strong>remos para cada x ∈ S, el conjunto <strong>de</strong> puntos<br />
girados <strong>de</strong> x, para todos los giros g n , <strong>de</strong> ángulo nα, P x = {g n x : n ∈ Z}.<br />
Cada dos <strong>de</strong> estos conjuntos son iguales ó disjuntos, pues si z ∈ P x ∩ P y ,<br />
tendremos que existen giros g n , g m , tales que g n x = z = g m y, por tanto<br />
P x = P y .<br />
Apliquemos el axioma <strong>de</strong> elección para construir un conjunto E que<br />
tenga un único elemento <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los P x . Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> colección<br />
numerable <strong>de</strong> sus girados E n = g n E, para n ∈ Z, los cuales son disjuntos,<br />
pues si existiese un z ∈ E n ∩ E m , tendríamos que existen x, y ∈ E tales<br />
que g n x = g m y, lo cual implica P x = P y y por tanto x = y, <strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
g n = g m y <strong>de</strong> esto se sigue que n = m. Por último S = ∪E n , pues<br />
si x ∈ S existe un z ∈ E que está en P x , es <strong>de</strong>cir existe un g n , tal que<br />
x = g n z, por tanto x ∈ E n . Ahora bien <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Hausdorff H p , son<br />
invariantes por giros, por tanto H 1 (E n ) = H 1 (E) y si E fuese medible,<br />
tendríamos que<br />
H 1 (S) = ∑ n∈Z<br />
H 1 (E n ) = ∑ n∈Z<br />
H 1 (E),<br />
lo cual es absurdo, pues como veremos en el ejercicio (5.5.4),<br />
0 < H 1 (S) = 2π < ∞.<br />
Por tanto admitiendo el axioma <strong>de</strong> elección E no es medible.
64 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
1.8. Bibliografía y comentarios<br />
Los libros consultados en <strong>la</strong> e<strong>la</strong>boración <strong>de</strong> este tema han sido:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Bartle, R.G.: “The elements of integration”. John Wiley, 1966.<br />
Cohn, D.L.: “Measure theory”. Birkhauser (Boston), 1980.<br />
Fol<strong>la</strong>nd, G.B.: “Real Analysis. Mo<strong>de</strong>rn Techniques and their applications”, John<br />
Wiley, 1984.<br />
Lang, S.: “Real Analysis”. Addison–Wesley, 1969.<br />
Tjur, T.: “Probability based on Radon Measures”. J.Willey, 1980.<br />
Aunque nosotros hemos tratado y trataremos fundamentalmente <strong>la</strong>s<br />
medidas numerablemente aditivas, no son <strong>la</strong>s únicas <strong>de</strong> interés. Por ejemplo<br />
Dubins y Savage en un libro <strong>de</strong> 1965 titu<strong>la</strong>do “How to gamble if<br />
you must”, consi<strong>de</strong>ran ciertos problemas en procesos estocásticos (ver<br />
comentarios en los <strong>Apuntes</strong> <strong>de</strong> Probabilida<strong>de</strong>s), usando sólo funciones<br />
<strong>de</strong> conjunto finitamente aditivas. Y aseguran que para sus propósitos<br />
<strong>la</strong> finita aditividad evita algunas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s complicaciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> numerable<br />
aditividad, sin sacrificar por ello potencia o generalidad.<br />
Remitimos al lector interesado en resultados propios <strong>de</strong> medidas finitamente<br />
aditivas (tomando incluso valores en un espacio <strong>de</strong> Banach),<br />
a los libros<br />
Bhaskara Rao, K.P.S. and Bhaskara Rao, M.: “Theory of charges”. Ac. Press,<br />
1983.<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I”. John Wiley Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
Para una visión clásica <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida, pero consi<strong>de</strong>rando<br />
en vez <strong>de</strong> álgebras o σ–álgebras, anillos ó σ–anillos, es <strong>de</strong>cir quitando <strong>la</strong><br />
propiedad <strong>de</strong> que el espacio total sea medible, nos remitimos al<br />
Halmos, P.R.: “Measure Theory”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
En cuanto a los textos clásicos los más importantes son en primer<br />
lugar <strong>la</strong> Tésis <strong>de</strong> Henri Lebesgue (1875–1941)<br />
Lebesgue, H.: “Integrale, longueur, aire”. Ann. di Math., serie III, t.VII, 231-359.<br />
Tesis, 1902.<br />
en <strong>la</strong> que introduce el nuevo concepto <strong>de</strong> integral y <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong> una teoría<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> medida más general que <strong>la</strong> <strong>de</strong> Emile Borel (1871–1956) quien<br />
introdujo el concepto <strong>de</strong> medida <strong>de</strong> Borel en R basándose en <strong>la</strong> propiedad
1.8. Bibliografía y comentarios 65<br />
<strong>de</strong> que todo abierto pue<strong>de</strong> ponerse como unión numerable <strong>de</strong> intervalos<br />
abiertos disjuntos. Otra obra fundamental es<br />
Lebesgue, H.: “Leçons sur l’integration” (1a.edición 1903, 2a.edición 1928). Reimp.<br />
<strong>de</strong> 2a. ed. por Chelsea Pub. Comp., 1973.<br />
Constantin Caratheodory (1873–1950), dio en 1914 un método<br />
general <strong>de</strong> construcción <strong>de</strong> medidas exteriores en un espacio métrico. En<br />
su libro<br />
Caratheodory, C.: “Vorlesungen uber reelle Funktionen”. Leipzig–Berlin, 1918.<br />
Reimpreso por Chelsea en 1948<br />
aparece por primera vez <strong>la</strong> medida como el concepto que ocupa el lugar<br />
<strong>de</strong> importancia frente al <strong>de</strong> integral. En él <strong>de</strong>muestra parte <strong>de</strong>l teorema<br />
fundamental <strong>de</strong> extensión que lleva su nombre y aporta numerosas<br />
observaciones originales a <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración que habían iniciado<br />
Lebesgue, Riesz y Radón fundamentalmente. Otro volumen clásico<br />
<strong>de</strong> este autor, publicado a título póstumo, es<br />
Caratheodory, C.: “Measure and integration”, 1956. Reed. <strong>de</strong> Chelsea Pub. Co.,<br />
1986.<br />
El primero en <strong>de</strong>mostrar el Teorema <strong>de</strong> unicidad <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> una<br />
medida, que hemos l<strong>la</strong>mado Teorema <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Hahn, fue<br />
Frechet, M.: “Des familles et fonctions additives d’ensembles abstraits”, Fund.<br />
Math. 5, 1924, 206–251.<br />
aunque nosotros no hemos seguido su <strong>de</strong>mostración, sino <strong>la</strong> que dieron<br />
<strong>de</strong> forma in<strong>de</strong>pendiente Hahn y Kolmogorov —ambas basadas en los<br />
resultados <strong>de</strong> Caratheodory—, respectivamente en<br />
Hahn, H.: “Uber die Multiplication total–additiver Mengenfunktionen”, Annali Scuo<strong>la</strong><br />
Norm. Sup. Pisa, 2, 1933, 429–452.<br />
Kolmogorov, A.N.: “Grundbegriffe <strong>de</strong>r Wahrscheinlichkeitschrechnung”, Editorial.<br />
Springer–Ver<strong>la</strong>g, Berlin, 1933; Traducido como “Foundations of the Theory of<br />
Probability”, por Chelsea, New York, 1950.<br />
Las medidas y <strong>la</strong> dimensión <strong>de</strong> Hausdorff fueron introducidas por<br />
Félix Hausdorff (1868–1942) en<br />
Hausdorff, F.: “Dimension und äusseres Mass”. Math.Ann. 79 (1919), 157–179.<br />
El concepto <strong>de</strong> dimensión ha sido objeto <strong>de</strong> muchas <strong>de</strong>finiciones. En<br />
topología hay al menos cinco, <strong>de</strong> <strong>la</strong>s cuales dos son clásicas: <strong>la</strong> inductiva,<br />
sugerida en 1912 por Henri Poincaré (1854–1913) y precisada por
66 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
Brower en 1913, Urysohn en 1922 y Menger en 1923 (ver <strong>la</strong> p.4 <strong>de</strong>l<br />
Hurewicz) y <strong>la</strong> <strong>de</strong> recubrimientos sugerida por Lebesgue en 1911 y<br />
formu<strong>la</strong>da por Cech en 1932 (ver <strong>la</strong> p.263 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Janusz Cziz).<br />
Más actuales son: <strong>la</strong> <strong>de</strong> retículos, <strong>la</strong> graduada y <strong>la</strong> aritmética que<br />
estudian respectivamente<br />
Vinokurov, V.G.: “Lattice method of <strong>de</strong>fining dimension”. Soviet Math. Dokl. 7<br />
(1966), 663–667.<br />
Isbell, J.: “Graduation and dimension in locales”. London Math.Soc. Lecture Notes<br />
Ser., NÝ93. Cambridge Univ.Press, (1985), 195–210.<br />
Galian, R.: “<strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> dimensión”. Serie Univ. Fund. Juan March, 107, Madrid<br />
(1979), 663–667.<br />
siendo esta última introducida por Juan Sancho Guimerá, que a su<br />
vez se basa en <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> dimensión <strong>de</strong> un anillo (dimensión <strong>de</strong><br />
Krull). Estas tres últimas coinci<strong>de</strong>n en cualquier espacio topológico,<br />
mientras que <strong>la</strong>s dos primeras no. Todas son buenas según el ámbito <strong>de</strong><br />
propieda<strong>de</strong>s que se estudien, son invariantes topológicos, toman valores<br />
{−1, 0, 1, . . . , ∞} y <strong>la</strong>s cinco coinci<strong>de</strong>n en espacios métricos separables<br />
(i.e. con un subconjunto <strong>de</strong>nso y numerable). Sin embargo <strong>la</strong> dimensión<br />
<strong>de</strong> Hausdorff —que está <strong>de</strong>finida en un espacio métrico— no es un invariante<br />
topológico, aunque sí lo es el ínfimo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dimensiones para<br />
<strong>la</strong>s métricas que <strong>de</strong>finan el mismo espacio topológico (metrizable y separable)<br />
y coinci<strong>de</strong> con <strong>la</strong>s cinco anteriores. (Ver Hurewicz, p.102 y<br />
<strong>la</strong> Encyclopaedia of Mathematics, Rei<strong>de</strong>l, Kluwer Acad. Pub. Tomo 3,<br />
p.195 y Tomo 4, p.392). Remitimos al lector interesado en <strong>la</strong>s medidas<br />
<strong>de</strong> Hausdorff y al concepto <strong>de</strong> dimensión a los libros<br />
Cziz, Janusz.: “Paradoxes of measures and dimensions originating in Felix Hausdorff’s<br />
i<strong>de</strong>as”. World Scientific Pub. 1994.<br />
Hurewicz, W. and Wallmann,H.: “Dimension Theory”. Princeton Univ. Press,<br />
1941.<br />
Rogers, C.A.: “Hausdorff Measures”. Cambridge Univ. Press, 1970.<br />
En 1918, los franceses Gaston Julia y Pierre Fatou estudiaron<br />
figuras obtenidas <strong>de</strong>l siguiente modo: Para cada c ∈ C <strong>la</strong> función<br />
f c : z ∈ C → z 2 + c ∈ C <strong>de</strong>fine, para cada z 0 inicial, una sucesión por<br />
<strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong> recurrencia z n = f c (z n−1 ) y observamos que para c = 0 el<br />
p<strong>la</strong>no se divi<strong>de</strong> en tres regiones: R 1 = {z ∈ C : |z| < 1}, tal que los z 0 que<br />
parten <strong>de</strong> el<strong>la</strong> <strong>de</strong>finen una sucesión z n → 0, otra R 2 = {z ∈ C : |z| > 1},<br />
tal que los z 0 que parten <strong>de</strong> el<strong>la</strong> <strong>de</strong>finen una sucesión z n que tien<strong>de</strong> a<br />
infinito y otra R 3 = {z ∈ C : |z| = 1}, tal que los z 0 que parten <strong>de</strong> el<strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>finen una sucesión z n que permanece en el<strong>la</strong>; <strong>de</strong> estas tres regiones hay
1.8. Bibliografía y comentarios 67<br />
una, <strong>la</strong> circunferencia, que es bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong>s otras dos. Para otros valores<br />
<strong>de</strong> c como por ejemplo c = −0,12375 + 0,56508i observamos (ver fig.3,<br />
pág.10 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Peitgen and Richter) que el p<strong>la</strong>no también se divi<strong>de</strong><br />
en tres regiones simi<strong>la</strong>res y <strong>de</strong> nuevo una es curva bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong>s otras<br />
dos, pero esta no es una curva diferenciable, es muy irregu<strong>la</strong>r, parece el<br />
contorno <strong>de</strong> una is<strong>la</strong>, aunque sigue siendo conexa. Por último hay valores<br />
c para los que <strong>la</strong> “curva bor<strong>de</strong>”no es conexa. Sus trabajos sobre estas<br />
curvas, que ahora se conocen como curvas <strong>de</strong> Julia, se mantuvieron en el<br />
olvido hasta que en 1975 Benoit Man<strong>de</strong>lbrot <strong>la</strong>s recuperó l<strong>la</strong>mándo<strong>la</strong>s<br />
fractales (por ser curvas “fracturadas” en el sentido <strong>de</strong> quebradas,<br />
rotas) y con ayuda <strong>de</strong> un or<strong>de</strong>nador se le ocurrió representar los c para<br />
los que <strong>la</strong> curva <strong>de</strong> Julia correspondiente era conexa y se encontró con<br />
un conjunto realmente impresionante y bello (conocido como conjunto<br />
<strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrot). La importancia para nosotros <strong>de</strong> este conjunto (<strong>de</strong> su<br />
frontera realmente), así como <strong>de</strong> alguna <strong>de</strong> <strong>la</strong>s curvas <strong>de</strong> Julia, es que<br />
son curvas con dimensión <strong>de</strong> Hausdorff no entera. Remitimos al lector<br />
interesado en estos temas al artículo y los libros<br />
B<strong>la</strong>nchard, P.: “Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere”. Bull Amer<br />
Math Soc, 1984, 11, 85–141.<br />
Man<strong>de</strong>lbrot, Beniot: “The Fractal Geometry of Nature”. Freeman and Company,<br />
1983.<br />
Peitgen, Heinz–Otto and Richter, Peter H.: “The Beauty Of Fractals. Images<br />
of Complex Dynamical Systems”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1986.<br />
Penrose, R.: “La nueva mente <strong>de</strong>l emperador”, Mondadori, 1991.<br />
en este último <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición que da <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrot, no es<br />
<strong>la</strong> que hemos dado (que es <strong>la</strong> <strong>de</strong>l autor), sino que es <strong>la</strong> siguiente en<br />
los términos anteriores: Un punto c está en el conjunto <strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrot<br />
si partiendo <strong>de</strong> z 0 = 0, <strong>la</strong> sucesión z n está acotada. En el artículo <strong>de</strong><br />
B<strong>la</strong>nchard se <strong>de</strong>muestra <strong>la</strong> equivalencia <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos <strong>de</strong>finiciones.<br />
Para los lectores interesados en <strong>la</strong> parte <strong>de</strong> <strong>la</strong> historia <strong>de</strong> <strong>la</strong>s matemáticas<br />
que tratan los comienzos <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida y <strong>la</strong> integración, recomendamos<br />
los siguientes libros, en el primero <strong>de</strong> los cuales están los<br />
trabajos Sobre <strong>la</strong> esfera y el cilindro y <strong>Medida</strong> <strong>de</strong>l círculo:<br />
Arquime<strong>de</strong>s, Apolonio, etc.: “Científicos griegos II ”. Ed. Agui<strong>la</strong>r, 1970.<br />
Boyer, Carl B.: “Historia <strong>de</strong> <strong>la</strong> matemática”. Alianza Univ. textos, NÝ94, 1986.<br />
Van Dalen, D. and Monna, A.F.: “Sets and integration”. Wollers–Noordhoff, 1972.<br />
Eucli<strong>de</strong>s: “Los Elementos”. Biblioteca Clásica Gredos, 1991.<br />
Hawkins, T.: “Lebesgue’s Theory of integration”. Chelsea Pub.Co., 1975.<br />
Pesin, I.V.: “C<strong>la</strong>ssical and mo<strong>de</strong>rn integration theories”. Acad. Press, 1970.
68 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
En cuanto al contenido <strong>de</strong>l capítulo, vamos a hacer algunos comentarios.<br />
En 1902 Lebesgue p<strong>la</strong>ntea en su libro “Leçons sur l’integration”<br />
<strong>la</strong> siguiente cuestión: ¿Existe alguna medida µ en P(R), invariante por<br />
tras<strong>la</strong>ciones, verificando<br />
µ(a, b] = b − a, para a < b ∈ R?<br />
En 1905 Guiseppe Vitali (1875–1932) <strong>de</strong>muestra que no en<br />
Vitali, G.: “Sul problema <strong>de</strong>l<strong>la</strong> misura <strong>de</strong>i gruppi di punti di una retta”. Bologne,<br />
1905.<br />
basándose para ello en el axioma <strong>de</strong> elección (ver Fol<strong>la</strong>nd), p.19). Nosotros<br />
lo hemos <strong>de</strong>mostrado en 1.7.22, pág.62, siguiendo el Bene<strong>de</strong>tto<br />
(pág. 49 cuya referencia damos a continuación), el cual a su vez sigue<br />
una <strong>de</strong>mostración que en 1927 dio Sierpinski.<br />
En cuanto a <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> una medida µ finitamente aditiva en<br />
P(R 3 ), no nu<strong>la</strong>, finita en los acotados y que tome el mismo valor en<br />
conjuntos congruentes, <strong>la</strong> respuesta es que no, como se prueba utilizando<br />
el axioma <strong>de</strong> elección en <strong>la</strong> forma <strong>de</strong> <strong>la</strong> Paradoja <strong>de</strong> Hausdorff, esto<br />
es:<br />
“La esfera unidad S 2 <strong>de</strong> R 3 se pue<strong>de</strong> poner como unión disjunta <strong>de</strong><br />
cuatro subconjuntos A, B, C, D, <strong>de</strong> modo que D es numerable y A es<br />
congruente con B, con C y con B ∪ C”.<br />
Como consecuencia tendríamos que los conos (rellenos) generados<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> estos cuatro conjuntos, l<strong>la</strong>mémoslos A, B,<br />
C y D, serían una partición <strong>de</strong> <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad B[0, 1] y si fueran medibles<br />
verificarían µ(D) = 0 y<br />
µ(A) = µ(B) = µ(C) = µ(B ∪ C) = µ(B) + µ(C),<br />
lo cual implicaría que todos son nulos y por tanto <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad B[0, 1]]<br />
y <strong>de</strong>l mismo modo cualquier bo<strong>la</strong>.<br />
Remitimos al lector interesado a <strong>la</strong> p.51 <strong>de</strong>l<br />
Bene<strong>de</strong>tto, J.J.: “Real variable and integration”, B.G.Teubner Stuttgart, 1976.<br />
En 1924 Stefan Banach (1892–1945) y Alfred Tarski (1901–<br />
1983) probaron otra asombrosa paradoja, consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong> Hausdorff,<br />
que dice:<br />
“ Sean B y C dos bo<strong>la</strong>s cerradas <strong>de</strong> R 3 <strong>de</strong>l mismo radio. Entonces<br />
existen sendas particiones (disjuntas) B i y D i , para i = 1, . . . , 41, <strong>de</strong> B<br />
y B ∪ C respectivamente, tales que cada B i es congruente con D i ”.
1.8. Bibliografía y comentarios 69<br />
Como consecuencia tendríamos que <strong>de</strong> una bo<strong>la</strong> hacemos dos <strong>de</strong>l<br />
mismo radio. De ellos es también <strong>la</strong> siguiente (ver Fol<strong>la</strong>nd, p.19):<br />
“Sean A y B dos abiertos acotados <strong>de</strong> R n , con n ≥ 3. Entonces existe<br />
una partición finita <strong>de</strong> A en m ∈ N conjuntos A i , otra <strong>de</strong> B en también<br />
m conjuntos B i , tales que los A i son disjuntos, los B i también, A = ∪A i ,<br />
B = ∪B i , y para cada i A i es congruente con B i ”.<br />
Uno estaría tentado a <strong>de</strong>cir que esto implica que po<strong>de</strong>mos coger en<br />
el espacio una bo<strong>la</strong> abierta <strong>de</strong>l tamaño <strong>de</strong> una canica, partir<strong>la</strong> convenientemente<br />
en un número finito <strong>de</strong> trozos y volverlos a unir en otro<br />
or<strong>de</strong>n obteniendo una nueva bo<strong>la</strong> abierta <strong>de</strong>l tamaño <strong>de</strong> <strong>la</strong> tierra. Pero<br />
realmente el resultado sólo asegura que existen los trozos, no que puedan<br />
construirse. Y nuestra noción <strong>de</strong> lo existente a veces <strong>de</strong>scansa en axiomas<br />
como el <strong>de</strong> <strong>la</strong> elección, <strong>de</strong>l que hab<strong>la</strong>remos al final <strong>de</strong> estos comentarios.<br />
Por otra parte los casos unidimensional y bidimensional se comportan<br />
<strong>de</strong> una manera esencialmente distinta al tridimensional, es <strong>de</strong>cir que para<br />
P(R) y P(R 2 ) sí existen medidas finitamente aditivas no nu<strong>la</strong>s, finitas en<br />
los acotados, invariantes por tras<strong>la</strong>ciones y que coinci<strong>de</strong>n con <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue en los Lebesgue medibles, para n > 2 el resultado no es<br />
cierto. Este resultado, que veremos en (8.1.9) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 290, es <strong>de</strong><br />
1932 y se <strong>de</strong>be a<br />
Banach, S.: “Theorie <strong>de</strong>s operations lineaires”. Reimp. con correcciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> 1a.<br />
ed. <strong>de</strong> 1932 por Chelsea Pub.Co., 1978.<br />
En 1950 Kakutani y Oxtoby obtuvieron en<br />
Kakutani, S. and Oxtoby, J.C.: “Construction of a nonseparable invariant extension<br />
of the Lebesgue measure space”. Ann. of Math., 52, 580-590, 1950.<br />
una extensión <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue —numerablemente aditiva e<br />
invariante por tras<strong>la</strong>ciones—, <strong>de</strong>finida sobre una σ–álgebra que contenía<br />
propiamente a L(R). Ver a este respecto <strong>la</strong>s pp.113 y 137 respectivamente<br />
<strong>de</strong> los libros<br />
Muhkerjea, A. and Pothoven, K.: “Real and functional Analysis”. Plenum Press,<br />
1978.<br />
Hewitt, E. and Stromberg, K.: “Real and abstract analysis”. Springer- Ver<strong>la</strong>g,<br />
1965.<br />
Hemos dicho anteriormente que Vitali, partiendo <strong>de</strong> los axiomas <strong>de</strong><br />
Zermelo–Frenkel y <strong>de</strong>l Axioma <strong>de</strong> elección, había probado en 1905
70 Capítulo 1. <strong>Medida</strong><br />
que<br />
L(R) ≠ P(R),<br />
esto nos induce a hacer unos breves comentarios sobre el uso <strong>de</strong>l Axioma<br />
<strong>de</strong> elección tanto en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida como en el resto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
matemáticas.<br />
No cabe duda <strong>de</strong> que <strong>la</strong> naturaleza <strong>de</strong>l Axioma <strong>de</strong> elección difiere<br />
bastante <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>l resto <strong>de</strong> <strong>la</strong> axiomática <strong>de</strong> Zermelo–Frenkel. No<br />
obstante, su uso —siempre acompañado <strong>de</strong> reticencia y crítica— se mantiene<br />
porque hay “Teoremas importantes” que no se saben <strong>de</strong>mostrar sin<br />
él ó incluso son equivalentes a él. Por ejemplo el Teorema <strong>de</strong> Hahn–<br />
Banach que es básico en Análisis Funcional pues su invali<strong>de</strong>z haría que<br />
<strong>de</strong>sapareciesen <strong>la</strong> mitad <strong>de</strong> los espacios que aparecen en esa disciplina<br />
(los espacios duales). El Teorema <strong>de</strong> Tychonov en Topología —sobre<br />
<strong>la</strong> compacidad <strong>de</strong>l producto <strong>de</strong> compactos—, fue durante mucho tiempo<br />
uno <strong>de</strong> los argumentos mas importantes a favor <strong>de</strong>l Axioma <strong>de</strong> elección,<br />
pues son equivalentes (ver el VanDalen–Monna, p. 32, para una<br />
lista <strong>de</strong> resultados equivalentes).<br />
No sabemos si se conoce algún tipo <strong>de</strong> alternativa para el Teorema<br />
<strong>de</strong> Hahn–Banach sin hacer uso <strong>de</strong>l Axioma <strong>de</strong> elección, pero respecto<br />
al Teorema <strong>de</strong> Tychonov se ha <strong>de</strong>mostrado recientemente que<br />
pue<strong>de</strong> ser válido sin necesidad <strong>de</strong>l Axioma <strong>de</strong> elección, si se entien<strong>de</strong><br />
por topología un concepto no supeditado a un “conjunto <strong>de</strong> puntos”,<br />
sino que se parte <strong>de</strong> un retículo <strong>de</strong> abiertos como noción primitiva —<br />
como por otra parte ya hacía Hausdorff— y no <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong> punto como es<br />
habitual. Remitimos al lector interesado al artículo <strong>de</strong><br />
Johnstone, P.T.: “Tychonoff’s Theorems without the axiom of choice”. Fund. Math.,<br />
113, 21-35, 1981.<br />
Volviendo al resultado <strong>de</strong> Vitali, este ha sido complementado con<br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> que si <strong>la</strong> axiomática <strong>de</strong> Zermelo– Frenkel es consistente,<br />
es <strong>de</strong>cir no tiene contradicción, entonces también es consistente<br />
Zermelo–Frenkel + no axioma elección + L(R) ≠ P(R) ,<br />
lo cual significa que el Axioma <strong>de</strong> elección no es equivalente a L(R) ≠<br />
P(R).<br />
es<br />
Otro resultado en esta línea <strong>de</strong> 1965, aunque no publicado hasta 1970
1.8. Bibliografía y comentarios 71<br />
Solovay, R.M.: “A mo<strong>de</strong>l of set theory in which every set of reals is Lebesgue<br />
measurable”. Ann. of Math., 92, 1-56, 1970. (MR42,1,64).<br />
en el que se <strong>de</strong>muestra que si<br />
Zermelo–Frenkel + hay un cardinal inaccesible ,<br />
es consistente, entonces también lo es<br />
Zermelo–Frenkel +<br />
L(R) = P(R)<br />
por lo que no hay, en principio, una razón para creer en <strong>la</strong> existencia<br />
<strong>de</strong> conjuntos no Lebesgue medibles, cosa que por otra parte facilitaría<br />
enormemente el uso <strong>de</strong> L(R).<br />
Debemos <strong>de</strong>cir no obstante que en ese mismo trabajo, Solovay también<br />
<strong>de</strong>muestra que si<br />
Zermelo–Frenkel + hay un cardinal inaccesible ,<br />
es consistente, entonces también lo es<br />
Zermelo–Frenkel +<br />
Todo A ⊂ R, tiene <strong>la</strong> propiedad <strong>de</strong> Baire<br />
en cuyo caso el Teorema <strong>de</strong> Hahn-Banach es falso. Lo cual <strong>de</strong>biera<br />
hacernos pensar —entre otras cosas— si este Teorema no estará al mismo<br />
nivel <strong>de</strong> entendimiento que lo estaba el Teorema <strong>de</strong> Tychonov antes<br />
<strong>de</strong> 1981.<br />
Remitimos al lector interesado en <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción existente entre <strong>la</strong> teoría<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> medida y <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> conjuntos a<br />
Tall, F.D.: “Appling set theory to measure theory”. Lect. Notes in Math., Springer–<br />
Ver<strong>la</strong>g, N.1033, 295-302, 1983.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 1
72 Capítulo 1. <strong>Medida</strong>
Capítulo 2<br />
Integración<br />
2.1. Introducción histórica<br />
En 1881 V. Volterra, discípulo <strong>de</strong> U. Dini en Pisa 1 , publicó un<br />
ejemplo <strong>de</strong> una función f : (0, 1) → R, <strong>de</strong>rivable en todo punto, con<br />
<strong>de</strong>rivada f ′ acotada pero no Riemann integrable. Es <strong>de</strong>cir, encontró una<br />
función <strong>de</strong>rivable para <strong>la</strong> que el Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo no era<br />
válido.<br />
La particu<strong>la</strong>ridad <strong>de</strong> esta función f resi<strong>de</strong> en que su <strong>de</strong>rivada es discontinua<br />
en un conjunto <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue positiva (ver<br />
el Teorema <strong>de</strong> caracterización (2.4.30), pág.109). Para su construcción<br />
utilizó <strong>la</strong> función g que en el origen vale g(0) = 0 y fuera <strong>de</strong>l origen<br />
g(x) = x 2 sen(1/x), que es <strong>de</strong>rivable y su <strong>de</strong>rivada es discontinua en<br />
0. Esta f pue<strong>de</strong> encontrarse en el propio trabajo <strong>de</strong> Volterra, cuya<br />
referencia damos al final <strong>de</strong>l tema, ó en <strong>la</strong> pág.20 <strong>de</strong>l Bene<strong>de</strong>tto.<br />
En su Tesis <strong>de</strong> 1902 Lebesgue observa que por esta razón, diferenciación<br />
e integración no podían consi<strong>de</strong>rarse operaciones inversas en el<br />
contexto, re<strong>la</strong>tivamente amplio, <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones Riemann integrables.<br />
1 Ver Bene<strong>de</strong>tto, pág.19<br />
73
74 Capítulo 2. Integración<br />
Este fue el motivo fundamental que le llevó a tratar <strong>de</strong> encontrar una<br />
noción <strong>de</strong> integración nueva, bajo <strong>la</strong> que <strong>de</strong>rivación e integración sí fuesen<br />
operaciones inversas para una c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> funciones más amplia que <strong>la</strong>s<br />
Riemann integrables.<br />
Hay otras razones para querer exten<strong>de</strong>r <strong>la</strong> integración Riemann. Po<strong>de</strong>mos<br />
juntar<strong>la</strong>s todas y <strong>de</strong>cir simplemente que era necesaria una teoría<br />
que incluyese muchos resultados naturales para muchas funciones, como<br />
por ejemplo <strong>la</strong> integración término a término en una serie <strong>de</strong> funciones.<br />
La i<strong>de</strong>a principal <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Lebesgue consiste en que, a diferencia<br />
<strong>de</strong> lo que ocurre en <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Riemann, los puntos se agrupen<br />
<strong>de</strong> acuerdo a <strong>la</strong> proximidad <strong>de</strong> los valores <strong>de</strong> <strong>la</strong> función a integrar y no<br />
<strong>de</strong> acuerdo a su proximidad en el conjunto <strong>de</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>la</strong> función,<br />
como hacía Riemann. Esto permite <strong>la</strong> posibilidad <strong>de</strong> exten<strong>de</strong>r, <strong>de</strong> forma<br />
inmediata, el concepto <strong>de</strong> integral a una c<strong>la</strong>se muy amplia <strong>de</strong> funciones.<br />
2.2. Funciones medibles<br />
2.2.1. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles<br />
Definición. Diremos que una aplicación entre espacios medibles<br />
F : (Ω 1 , A 1 ) → (Ω 2 , A 2 ),<br />
es medible si para cada B ∈ A 2 , F −1 (B) ∈ A 1 .<br />
Si (Ω 2 , A 2 ) = (R, B(R)) —ó (R, B(R))—, diremos que F es una función<br />
medible —algunos autores <strong>la</strong> l<strong>la</strong>man función Borel medible—. Si<br />
a<strong>de</strong>más (Ω 1 , A 1 ) = (R, L(R)), diremos que F es Lebesgue medible.<br />
En el contexto <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>s <strong>la</strong>s funciones medibles<br />
se l<strong>la</strong>man variables aleatorias.<br />
Dada una función f : Ω → R, <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong>s funciones<br />
f + = máx(f, 0), f − = máx(−f, 0), (para <strong>la</strong>s que f = f + − f − )<br />
y <strong>la</strong>s l<strong>la</strong>mamos respectivamente parte positiva y parte negativa <strong>de</strong> f.
2.2. Funciones medibles 75<br />
Hemos hab<strong>la</strong>do en el Tema anterior <strong>de</strong> <strong>la</strong> suma en R, ahora completamos<br />
estas operaciones aritméticas consi<strong>de</strong>rando<br />
x/∞ = x/ − ∞ = 0, para x ∈ R,<br />
x · ∞ = ∞ · x = ∞, para x ∈ (0, ∞],<br />
x · ∞ = ∞ · x = −∞, para x ∈ [−∞, 0),<br />
0 · ∞ = ∞ · 0 = 0 · (−∞) = −∞ · 0 = 0,<br />
con estas <strong>de</strong>finiciones se <strong>de</strong>muestra fácilmente que son válidas <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s<br />
conmutativa, asociativa y distributiva.<br />
Veamos ahora algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles, pero<br />
antes observemos que si<br />
f : (Ω, A) → (R, B(R)),<br />
es medible, también lo es entendida en R<br />
f : (Ω, A) → (R, B(R)),<br />
pues <strong>la</strong> inclusión i: R → R es continua, por tanto medible. Por lo que<br />
toda función real <strong>la</strong> enten<strong>de</strong>remos en R.<br />
Proposición 2.2.1 (a) La composición <strong>de</strong> aplicaciones medibles es medible.<br />
(b) Si (Ω 1 , A 1 ) y (Ω 2 , A 2 ) son espacios medibles y C ⊂ A 2 es tal que<br />
σ(C) = A 2 , entonces F : Ω 1 → Ω 2 es medible si y sólo si para cada<br />
B ∈ C, F −1 (B) ∈ A 1 .<br />
(c) Las aplicaciones continuas entre espacios topológicos son medibles<br />
para <strong>la</strong>s σ–álgebras <strong>de</strong> Borel.<br />
Demostración. (b) Es consecuencia <strong>de</strong> que<br />
σ(F −1 [C]) = F −1 [σ(C)],<br />
lo cual se <strong>de</strong>muestra fácilmente usando el principio <strong>de</strong> los buenos conjuntos.<br />
(c) Es consecuencia <strong>de</strong> (b).<br />
Proposición 2.2.2 (d) Una función f : (Ω, A) → (R, B(R)), es medible<br />
si y sólo si para cada c ∈ R,<br />
{x ∈ Ω : f(x) > c} ∈ A.
76 Capítulo 2. Integración<br />
(e) Si f es una función medible, −f y |f| son medibles.<br />
(f) Si f, g son funciones medibles máx(f, g) es una función medible.<br />
(g) Si f es medible, f + y f − son medibles.<br />
Demostración. (d) es consecuencia <strong>de</strong> (b), pues <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> los intervalos<br />
(c, ∞] generan B(R) y {f > c} = f −1 (c, ∞].<br />
(e) Es consecuencia <strong>de</strong> (d), pues para cada c ∈ R,<br />
{x ∈ Ω : c < −f(x)} = {x : −c > f(x)} ∈ A.<br />
A<strong>de</strong>más {|f| > c} = Ω, para c < 0 y {f > c} ∪ {f < −c}, para c ≥ 0.<br />
(f) Se sigue <strong>de</strong> (d) pues<br />
{máx(f, g) > c} = {f > c} ∪ {g > c}.<br />
(g) Que f ± son medibles se sigue <strong>de</strong> (e) y (f).<br />
Nota 2.2.3 Observemos que en el apartado (d) anterior po<strong>de</strong>mos cambiar<br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad > en {f > c} por cualquier otro tipo <strong>de</strong> <strong>de</strong>sigualdad:<br />
2.2. Funciones medibles 77<br />
(j) Se sigue <strong>de</strong> (i), pues lím f n = lím sup f n (= lím inf f n ).<br />
Definición. Dado un espacio medible (Ω, A) y un A ∈ A <strong>de</strong>notaremos<br />
con<br />
F(A) = {f : A → R, funciones medibles reales}.<br />
Observemos que les pedimos que tomen valores en R, no en R.<br />
Definición. Sea (Ω, A) un espacio medible y A ∈ A, l<strong>la</strong>maremos indicador<br />
<strong>de</strong> A a <strong>la</strong> función medible<br />
{<br />
1 si x ∈ A,<br />
I A : Ω −→ R, I A (x) =<br />
0 si x ∈ A c .<br />
Obviamente <strong>la</strong> estructura medible <strong>de</strong> Ω, es <strong>de</strong>cir <strong>la</strong> σ–álgebra A,<br />
po<strong>de</strong>mos reconstruir<strong>la</strong> si conocemos sus funciones medibles reales F(Ω),<br />
pues A es el conjunto <strong>de</strong> todos los f −1 ({1}), con f ∈ F(Ω), ya que para<br />
todo A ∈ A, I A ∈ F(Ω).<br />
2.2.2. Funciones simples<br />
Definición. Diremos que una función f : Ω → R es simple si es medible<br />
y toma un número finito <strong>de</strong> valores. Denotaremos el conjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
funciones simples con<br />
S = {s: Ω → R : s simple}.<br />
Proposición 2.2.5 f : Ω → R es simple si y sólo si existe n ∈ N, A i ∈ A<br />
disjuntos y a i ∈ R, para i = 1, . . . , n, tales que<br />
f = ∑ a i I Ai ,<br />
n⋃<br />
A i = Ω.<br />
i=1<br />
Demostración. Si es simple Im f = {a 1 , . . . , a n }, como es medible<br />
f −1 {a i } = A i son medibles y f = ∑ a i I Ai . Recíprocamente si f es <strong>de</strong><br />
esa forma toma un número finito <strong>de</strong> valores y es medible pues para cada<br />
B ∈ B(R),<br />
f −1 (B) = ∪[f −1 (B) ∩ A i ] = ∪f −1 [B ∩ {a i }] = ∪ i:ai∈BA i ∈ A.<br />
Proposición 2.2.6 Si f, g ∈ S, entonces f + g, fg ∈ S y si g es no nu<strong>la</strong>,<br />
también f/g ∈ S.
78 Capítulo 2. Integración<br />
Demostración. Por el resultado anterior existen a i , b j ∈ R, tales<br />
que f = ∑ n<br />
i=1 a iI Ai y g = ∑ m<br />
j=1 b jI Bj , con los A i disjuntos y los B j<br />
disjuntos y tales que ∪A i = ∪B j = Ω. Por tanto A i ∩ B j ∈ A son<br />
disjuntos y es una partición <strong>de</strong> Ω y se tiene<br />
f + g =<br />
n∑<br />
i=1 j=1<br />
m∑<br />
(a i + b j )I Ai∩B j<br />
, fg =<br />
f<br />
g =<br />
n ∑<br />
i=1 j=1<br />
m∑<br />
(a i /b j )I Ai∩B j<br />
.<br />
n∑<br />
i=1 j=1<br />
m∑<br />
(a i b j )I Ai∩B j<br />
Nota 2.2.7 Consi<strong>de</strong>remos en [0, ∞] <strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> funciones simples no<br />
negativas, s n : [0, ∞] → [0, ∞), que para 0 ≤ r ≤ ∞ valen<br />
s n (r) =<br />
{<br />
i−1<br />
2 n , si r ∈ [ i−1<br />
2 n ,<br />
i<br />
2 n )<br />
(i = 1, . . . , n2 n )<br />
n, si n ≤ r,<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s cuales representamos a continuación <strong>la</strong>s dos primeras.<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 2<br />
Figura 2.1. Gráficas <strong>de</strong> s 1 y s 2<br />
y tienen <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s para todo r ≥ 0 y todo n ∈ N<br />
s n (r) ≤ r, 0 ≤ s n ≤ n, s n ≤ s n+1 , s n (r) ↑ r,<br />
a<strong>de</strong>más para todo r ≤ n, 0 ≤ r−s n (r) ≤ 1/2 n y <strong>la</strong> convergencia s n (r) →<br />
r es uniforme en todo acotado <strong>de</strong> R. Veamos que s n (r) ≤ s n+1 (r). Si
2.2. Funciones medibles 79<br />
r < n existe un i = 1, . . . , n2 n , tal que<br />
r ∈<br />
[ ) [ ) [ )<br />
i − 1<br />
2 n , i 2i − 2 2i − 1 2i − 1<br />
2 n = ,<br />
2n+1 2 n+1 ∪<br />
2 n+1 , 2i<br />
2 n+1 ,<br />
en cuyo caso s n+1 (r) vale (2i − 2)/2 n+1 = s n (r) ó (2i − 1)/2 n+1 ≥ s n (r).<br />
Si n ≤ r < n + 1, entonces s n (r) = n y existe un j entre n2 n+1 y<br />
(n + 1)2 n+1 − 1, tal que<br />
r ∈<br />
[ j<br />
2 n+1 , j + 1 )<br />
2 n+1<br />
⇒ s n+1 (r) = j<br />
2 n+1 ≥ n = s n(r).<br />
Y si n + 1 ≤ r, entonces s n (r) = n ≤ n + 1 = s n+1 (r) ≤ r.<br />
Teorema 2.2.8 Sea f : Ω → [0, ∞] una función medible, entonces existe<br />
una sucesión creciente f n ∈ S <strong>de</strong> funciones simples, con 0 ≤ f n ≤ n,<br />
tales que f n ↑ f. A<strong>de</strong>más <strong>la</strong> convergencia es uniforme en cada conjunto<br />
en el que f sea acotada.<br />
Demostración. Para cada n ∈ N <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong>s funciones simples<br />
f n = s n ◦ f, para <strong>la</strong>s s n <strong>de</strong> <strong>la</strong> Nota (2.2.7), <strong>la</strong>s cuales satisfacen el<br />
enunciado, pues<br />
s n (r) ≤ r ⇒ f n ≤ f, 0 ≤ s n ≤ n ⇒ 0 ≤ f n ≤ n<br />
s n ≤ s n+1 ⇒ f n ≤ f n+1 , s n (r) ↑ r ⇒ f n ↑ f,<br />
y como <strong>la</strong> convergencia s n (r) → r es uniforme en todo acotado <strong>de</strong> [0, ∞],<br />
<strong>la</strong> convergencia f n → f es uniforme en cualquier conjunto en el que f<br />
sea acotada.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.2.9 Sea f : Ω → R una función medible, entonces existe una<br />
sucesión f n ∈ S <strong>de</strong> funciones simples, con |f n | ≤ n, tales que f n → f,<br />
|f n | ≤ |f|. A<strong>de</strong>más <strong>la</strong> convergencia es uniforme en cada conjunto en el<br />
que f sea acotada.<br />
Demostración. Por (2.2.8) existen sendas sucesiones g n ↑ f + y h n ↑<br />
f − <strong>de</strong> funciones simples, no negativas y basta consi<strong>de</strong>rar f n = g n − h n .
80 Capítulo 2. Integración<br />
2.2.3. Operaciones básicas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles.<br />
A continuación <strong>de</strong>mostramos que <strong>la</strong> suma, el producto y el cociente<br />
<strong>de</strong> funciones medibles, si están bien <strong>de</strong>finidos son medibles.<br />
Proposición 2.2.10 Sea (Ω, A) un espacio medible y A ∈ A, entonces:<br />
(a) Si f, g : A → R son funciones medibles, también lo son, para c ∈ R<br />
cf, f + g, fg, f/g, si están bien <strong>de</strong>finidas (es <strong>de</strong>cir si en ningún punto<br />
f + g es <strong>de</strong>l tipo ∞ − ∞, ni f/g ∞/∞ ó a/0).<br />
(b) F(A) tiene estructura <strong>de</strong> R–álgebra, es <strong>de</strong>cir contiene a <strong>la</strong>s constantes<br />
y es cerrada para <strong>la</strong> suma y el producto.<br />
Demostración. Basta <strong>de</strong>mostrar (a). Que cf es medible es obvio.<br />
Por (2.2.9) existen funciones simples f n → f y g n → g, por tanto f n +g n<br />
son simples y convergen a f + g, por tanto se sigue <strong>de</strong> (2.2.4) que f + g<br />
es medible. Del mismo modo lo es fg, pues f n g n → fg (observemos que<br />
si f(x) = 0, todas <strong>la</strong>s f n (x) = 0, i<strong>de</strong>m para g); y f/g pues<br />
f n (g n + 1 n I {g n=0}) −1 → f/g.<br />
2.2.4. Existencia <strong>de</strong> Lebesgue medibles no <strong>de</strong> Borel.<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> que <strong>la</strong> composición <strong>de</strong> funciones medibles es<br />
medible también tenemos que si f es Lebesgue medible y g es Borel<br />
medible, por ejemplo continua, entonces g ◦ f es Lebesgue medible. Sin<br />
embargo si f y g son Lebesgue medibles, entonces g ◦ f no es necesariamente<br />
Lebesgue medible. Veámoslo al mismo tiempo que contestamos a<br />
<strong>la</strong> pregunta <strong>de</strong>l tema anterior acerca <strong>de</strong> <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> conjuntos Lebesgue<br />
medibles no Borel medibles.<br />
En (1.7.7), pág.60, <strong>de</strong>finimos el conjunto <strong>de</strong> Cantor K = ∩K n , don<strong>de</strong><br />
cada K n es <strong>la</strong> unión <strong>de</strong> 2 n intervalos iguales y disjuntos <strong>de</strong> [0, 1] y<br />
K n ⊂ K n−1 . Consi<strong>de</strong>remos K c = ∪K c n = ∪(K n−1 ∩ K c n) don<strong>de</strong> cada<br />
K n−1 ∩ K c n = B n es unión <strong>de</strong> m = 2 n−1 intervalos abiertos disjuntos que<br />
or<strong>de</strong>namos en forma creciente I n1 , . . . , I nm . Por tanto como los B n son<br />
disjuntos tendremos que<br />
{I nk : n ∈ N, k = 1, . . . , 2 n−1 },<br />
es una partición por abiertos disjuntos <strong>de</strong> K c .
2.2. Funciones medibles 81<br />
Definición. L<strong>la</strong>mamos función <strong>de</strong> Cantor a <strong>la</strong> función continua h: [0, 1] →<br />
[0, 1] que sobre cada I nk vale<br />
h(x) = (2k − 1)/2 n ,<br />
que está bien <strong>de</strong>finida por ser creciente y K c <strong>de</strong>nso en [0, 1].<br />
Consi<strong>de</strong>remos ahora <strong>la</strong> función g : [0, 1] → [0, 2],<br />
g(x) = h(x) + x,<br />
que es continua y estrictamente creciente. Por tanto tiene inversa g −1<br />
que es continua por tanto Borel medible y Lebesgue medible. Por otra<br />
parte m[g(K)] = 1, pues<br />
m[g(I nk )] = m[I nk ], m[0, 1] = 1, m[0, 2] = 2,<br />
m[g(K c )] = m[∪g(I nk )] = m[K c ] = 1.<br />
Ahora bien en (1.7.23), pág.62, vimos <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> un A ⊂ R tal<br />
que si B ∈ L(R) y B ⊂ A ó B ⊂ A c , entonces m(B) = 0. Se sigue <strong>de</strong><br />
esto que existe C ⊂ g[K] no Lebesgue medible, por ejemplo A ∩ g[K]<br />
ó A c ∩ g[K]. Si ahora consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> función<br />
f = I C ◦ g,<br />
tendremos que f = I D , para D = {x : f(x) = 1}, que es Lebesgue<br />
medible y m[D] = 0, pues D ⊂ K y m[K] = 0, por tanto f es Lebesgue<br />
medible y hemos <strong>de</strong>mostrado lo siguiente, aunque usando el Axioma <strong>de</strong><br />
elección.<br />
Teorema 2.2.11 La función I C = I D ◦ g −1 no es Lebesgue medible aunque<br />
es composición <strong>de</strong> Lebesgue medibles. A<strong>de</strong>más D ∈ L(R) y D /∈ B(R).<br />
1<br />
3<br />
4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
0 1 9<br />
2<br />
9<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
7<br />
9<br />
8<br />
9 1<br />
Figura 2.2. Algunos peldaños <strong>de</strong> <strong>la</strong> función <strong>de</strong> Cantor
82 Capítulo 2. Integración<br />
Nota 2.2.12 Se pue<strong>de</strong> dar una <strong>de</strong>mostración alternativa <strong>de</strong> que hay Lebesgue<br />
medibles no Borelianos, en términos <strong>de</strong> cardinales y sin usar el<br />
Axioma <strong>de</strong> elección (ver el Fol<strong>la</strong>nd, pág.38). Observemos también que<br />
mientras los borelianos se conservan por homeomorfismos, los Lebesgue<br />
medibles no, pues g(D) = C.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 2.2.1 Sea f : (Ω, A) → (R, B(R)) acotada. Demostrar que existe una<br />
sucesión <strong>de</strong> funciones simples s n tales que s n → f uniformemente.<br />
Ejercicio 2.2.2 Sean f y g funciones medibles y A un conjunto medible. Demostrar<br />
que es medible <strong>la</strong> función<br />
{<br />
f(x) si x ∈ A,<br />
h(x) =<br />
g(x) si x /∈ A,<br />
Ejercicio 2.2.3 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida. Probar que f : Ω → R es<br />
medible si para cualesquiera m, n ∈ Z, {x : mf(x) < n} es medible.<br />
Ejercicio 2.2.4 Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos<br />
{x ∈ Ω : h(x) < g(x)}, {x ∈ Ω : h(x) ≤ g(x)}, {x ∈ Ω : h(x) = g(x)},<br />
son medibles. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.2.5 (a) Sea f medible y f = g c.s. ¿es necesariamente g medible?,<br />
¿y si el espacio es completo?. (b) Sean f ≤ g ≤ h, con f y h medibles tales<br />
que f = h c.s. ¿es necesariamente g medible?, ¿y si el espacio es completo?.<br />
Ejercicio 2.2.6 Sea f n una sucesión <strong>de</strong> funciones medibles, <strong>de</strong>mostrar que es<br />
medible el conjunto {x : existe y es finito el lím f n(x)}.<br />
Ejercicio 2.2.7 Sea f : R → R monótona creciente, ¿es f borel medible?<br />
Ejercicio 2.2.8 ¿Es cierto que f es medible si y sólo si |f| es medible? En caso<br />
contrario dar un contraejemplo.
2.3. Integración 83<br />
Ejercicio 2.2.9 Sea A n una sucesión <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> Ω. Demostrar que<br />
ínf I An = I ∩An , sup I An = I ∪An ,<br />
lím inf I An = I lím inf An , lím sup I An = I lím sup An .<br />
Ejercicio 2.2.10 Sean A, B ⊂ Ω. Demostrar que {x ∈ Ω : I A ≠ I B} = A∆B.<br />
Ejercicio 2.2.11 Demostrar que Si f : R → R es <strong>de</strong>rivable, f y f ′ son Borel<br />
medibles. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.2.12 Demostrar que f = (f 1, . . . , f n): Ω → R n es medible si y sólo<br />
si cada f i lo es. (Sol.)<br />
2.3. Integración<br />
2.3.1. Integral <strong>de</strong> funciones medibles<br />
Definición. Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y h ∈ S no negativa, es<br />
<strong>de</strong>cir<br />
n∑<br />
h = a i I Ai : Ω −→ [0, ∞),<br />
i=1<br />
con los 0 ≤ a i < ∞ y los A i ∈ A disjuntos y ∪A i = Ω. Definimos <strong>la</strong><br />
integral <strong>de</strong> h respecto <strong>de</strong> µ como el valor <strong>de</strong> [0, ∞]<br />
∫<br />
h dµ = ∑ a i µ(A i ).<br />
Ω<br />
Nota 2.3.1 Recor<strong>de</strong>mos que convenimos en <strong>de</strong>finir 0·∞ = ∞·0 = 0. Hay<br />
que <strong>de</strong>mostrar que <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición está bien dada, es <strong>de</strong>cir que si existen<br />
dos representaciones<br />
h =<br />
n∑<br />
m∑<br />
a i I Ai = b j I Bj ,<br />
i=1<br />
j=1
84 Capítulo 2. Integración<br />
<strong>de</strong> una función simple h ∈ S no negativa, en <strong>la</strong>s condiciones dichas,<br />
ambas llevan al mismo valor <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> h, lo cual se sigue <strong>de</strong> que<br />
a i = b j si A i ∩ B j ≠ ∅, por tanto<br />
n∑<br />
a i µ(A i ) =<br />
i=1<br />
=<br />
n∑<br />
i=1 j=1<br />
j=1 i=1<br />
m∑<br />
a i µ(A i ∩ B j )]<br />
m∑ n∑<br />
m∑<br />
b j µ(A i ∩ B j )] = b j µ(B j ).<br />
Si no hay confusión con el dominio Ω <strong>de</strong> nuestras funciones, escribiremos<br />
∫ f dµ en lugar <strong>de</strong> ∫ f dµ. A continuación vemos que sobre <strong>la</strong>s<br />
Ω<br />
funciones simples y no negativas <strong>la</strong> integral es lineal y monótona, esto<br />
nos permitirá exten<strong>de</strong>r <strong>la</strong> noción <strong>de</strong> integración a funciones medibles no<br />
negativas.<br />
Proposición 2.3.2 Sean f, g ∈ S no negativas y c ∈ [0, ∞), entonces:<br />
(a) ∫ cf dµ = c ∫ f dµ.<br />
(b) ∫ (f + g) dµ = ∫ f dµ + ∫ g dµ.<br />
(c) f ≤ g<br />
⇒ ∫ f dµ ≤ ∫ g dµ.<br />
Demostración. (a) Es obvio.<br />
(b) Si f = ∑ n<br />
i=1 a iI Ai y g = ∑ m<br />
j=1 b jI Bj , con los A i disjuntos y<br />
∑<br />
los B j disjuntos y tales que ∪A i = ∪B j = Ω, tendremos que f + g =<br />
i,j (a i + b j )I Ai∩B j<br />
y<br />
∫<br />
(f + g) dµ = ∑ (a i + b j )µ(A i ∩ B j )<br />
i,j<br />
= ∑ a i µ(A i ∩ B j ) + ∑ ∫ ∫<br />
b j µ(A i ∩ B j ) = f dµ + g dµ.<br />
i,j<br />
i,j<br />
(c) Sean f = ∑ n<br />
i=1 a iI Ai y g = ∑ m<br />
j=1 b jI Bj , entonces 0 ≤ a i , b j y si<br />
A i ∩ B j ≠ ∅ tendremos que 0 ≤ a i ≤ b j , por tanto<br />
0 ≤<br />
n∑<br />
i=1<br />
a i µ(A i ) = ∑ i,j<br />
≤ ∑ i,j<br />
a i µ(A i ∩ B j )<br />
b j µ(A i ∩ B j ) =<br />
j=1<br />
m∑<br />
b j µ(B j ).<br />
j=1
2.3. Integración 85<br />
Ahora exten<strong>de</strong>mos el concepto <strong>de</strong> integral.<br />
Definición. Si h ≥ 0 es medible <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> h respecto <strong>de</strong><br />
µ en Ω, <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
∫<br />
∫<br />
h dµ = sup{ s dµ : s ∈ S, 0 ≤ s ≤ h}.<br />
Ω<br />
Ω<br />
Para h: Ω → R medible, <strong>de</strong>scomponemos h = h + − h − y si uno <strong>de</strong> los<br />
términos, ∫ Ω h+ dµ ó ∫ Ω h− dµ son finitos, <strong>de</strong>finimos su integral respecto<br />
<strong>de</strong> µ como <strong>la</strong> diferencia<br />
∫ ∫ ∫<br />
h dµ = h + dµ − h − dµ,<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
en caso contrario diremos que <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> h no existe. Diremos que h<br />
es integrable si ambos términos, son finitos.<br />
Definición. Para h = h 1 + ih 2 : Ω → C medible (entendiendo que en<br />
C consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> σ–álgebra <strong>de</strong> Borel) —lo cual equivale a que h 1 y h 2<br />
sean medibles—, diremos que es integrable si lo son su parte real h 1 y su<br />
parte imaginaria h 2 , en cuyo caso <strong>de</strong>finimos<br />
∫ ∫ ∫<br />
h dµ = h 1 dµ + i h 2 dµ.<br />
Definición. Para K = R ó C, <strong>de</strong>notaremos con L 1 [Ω, A, µ, K] ó L 1 (Ω, K)<br />
ó simplemente con L 1 si no hay confusión, el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones<br />
integrables<br />
f : Ω → K.<br />
Nota 2.3.3 Por varias razones no consi<strong>de</strong>ramos en el caso real <strong>de</strong> L 1 ,<br />
funciones que tomen valores ±∞. En primer lugar porque toda función<br />
integrable es finita c.s. como veremos en (2.4.3), pág.90; en segundo<br />
lugar porque para <strong>la</strong> integración son indistinguibles dos funciones que<br />
sean iguales c.s. (ver (2.4.1), pág.103); y por último porque <strong>la</strong>s funciones<br />
integrables finitas forman un espacio vectorial.<br />
Nota 2.3.4 Como para <strong>la</strong>s funciones simples sobrenten<strong>de</strong>remos el espacio<br />
Ω si no hay confusión y escribiremos ∫ f dµ en vez <strong>de</strong> ∫ Ω f dµ.<br />
Por otro <strong>la</strong>do si h: Ω → R es una función medible y B ∈ A, <strong>la</strong><br />
restricción <strong>de</strong> h a (B, A B , µ) también es medible y si en este espacio<br />
existe su integral <strong>la</strong> <strong>de</strong>notaremos con ∫ h dµ. Para B = ∅ es necesario<br />
B
86 Capítulo 2. Integración<br />
matizar y volver a <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición pues nos encontramos que en el caso<br />
h ≥ 0 ∫<br />
∫<br />
h dµ = sup{ s dµ : s ∈ S, 0 ≤ s ≤ h |∅ }.<br />
∅<br />
∅<br />
y el conjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha es vacío. Convenimos en <strong>de</strong>finir <strong>de</strong> nuevo su<br />
supremo como sup ∅ = 0, lo cual recor<strong>de</strong>mos que es compatible con que<br />
si A ⊂ B ⊂ [0, ∞], entonces sup A ≤ sup B. Ahora <strong>de</strong>finimos para h<br />
medible arbitraria ∫ ∅ hdµ = ∫ ∅ h+ − ∫ ∅ h− = 0.<br />
2.3.2. Propieda<strong>de</strong>s básicas <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral.<br />
Veamos en primer lugar algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> linealidad y or<strong>de</strong>n<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> integral.<br />
Proposición 2.3.5 Sean f, g : (Ω, A, µ) → R medibles, entonces:<br />
(a) Si existe <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> f y c ∈ R, entonces existe <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> cf y<br />
∫<br />
cf dµ = c<br />
∫<br />
f dµ.<br />
(b) Si f ≤ g y existen sus integrales, entonces<br />
∫ ∫<br />
f dµ ≤ g dµ.<br />
(c) Si f ≤ g, existe <strong>la</strong> ∫ f dµ y −∞ < ∫ f dµ, entonces existe <strong>la</strong> ∫ g dµ<br />
y si existe <strong>la</strong> ∫ g dµ y ∫ g dµ < ∞, entonces existe <strong>la</strong> ∫ f dµ y en ambos<br />
casos<br />
∫ ∫<br />
f dµ ≤ g dµ.<br />
(d) Si existe <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> f, entonces | ∫ f dµ| ≤ ∫ |f| dµ.<br />
Demostración. (a) Si f ∈ S y 0 ≤ f, es obvio. Supongamos que<br />
0 < c y que 0 ≤ f, entonces por linealidad en <strong>la</strong>s simples no negativas<br />
∫<br />
∫<br />
c f dµ = c · sup{ s dµ : s ∈ S, 0 ≤ s ≤ f}<br />
∫<br />
∫<br />
= sup{ cs dµ : cs ∈ S, 0 ≤ cs ≤ cf} = cf dµ.<br />
Si 0 < c y f = f + − f − tiene integral, entonces como cf + = (cf) + y<br />
cf − = (cf) − , tendremos por el caso anterior<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
∫<br />
c f dµ = (cf) + dµ − (cf) − dµ = cf dµ.
2.3. Integración 87<br />
Para c = −1 es obvio pues f − = (−f) + y f + = (−f) − , por tanto<br />
∫ ∫ ∫ ∫<br />
− f dµ = f − dµ − f + dµ = −f dµ.<br />
y si c < 0 como −c > 0, tendremos<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
−c f dµ = −cf dµ = −<br />
cf dµ.<br />
∫ (b) Si ∫0 ≤ f ≤ g, s ∈ S y 0 ≤ s ≤ f, entonces 0 ≤ s ≤ g, por tanto<br />
f dµ ≤ g dµ. En general como f + ≤ g + y g − ≤ f − tendremos por<br />
el caso anterior ∫ f + dµ ≤ ∫ g + dµ y ∫ g − dµ ≤ ∫ f − dµ y por 1.3 <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
página 50, se tiene que<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
f dµ = f + dµ − f − dµ ≤ g + dµ − g − dµ = g dµ.<br />
(c) Como f + ≤ g + y g − ≤ f − tendremos por (b) que ∫ f + dµ ≤<br />
∫<br />
g + dµ y ∫ g − dµ ≤ ∫ f − dµ y si −∞ < ∫ f dµ, entonces<br />
∫<br />
∫<br />
g − dµ ≤<br />
f − dµ < ∞,<br />
y por tanto g tiene integral y se tiene el resultado. El otro caso es simi<strong>la</strong>r.<br />
(d) Como −|f| ≤ f ≤ |f|, tendremos por (a) y (b) que<br />
∫ ∫ ∫<br />
− |f| dµ ≤ f dµ ≤ |f| dµ.<br />
Veamos ahora propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> restricción <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral a un conjunto<br />
medible.<br />
Proposición 2.3.6 (e) Si f ≥ 0 es medible y B ∈ A, entonces<br />
∫ ∫<br />
f dµ = I B f dµ.<br />
B<br />
(f) Si existe <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> f, entonces existe <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> f en cada<br />
B ∈ A y ∫ B f dµ = ∫ I B f dµ y si f es integrable en Ω, también lo es en<br />
cada B.
88 Capítulo 2. Integración<br />
Demostración. (e) Para B = ∅ ambos valores son 0 (ver nota<br />
2.3.4). Por <strong>de</strong>finición se tiene para S(B) <strong>la</strong>s funciones simples <strong>de</strong>finidas<br />
en B<br />
∫<br />
∫<br />
f dµ = sup{ s dµ : s ∈ S(B), 0 ≤ s ≤ f |B }<br />
B<br />
B<br />
∫<br />
∫<br />
= sup{ s dµ : s ∈ S, 0 ≤ s ≤ I B f} = I B f dµ,<br />
pues los dos conjuntos <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha coinci<strong>de</strong>n (obsérvese que si s ∈ S,<br />
con 0 ≤ s ≤ I B f, entonces s = I B s).<br />
(f) Se sigue <strong>de</strong> (b) <strong>de</strong> (e) y <strong>de</strong> que (fI B ) + = f + I B ≤ f + y (fI B ) − =<br />
f − I B ≤ f − .<br />
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración<br />
2.4.1. Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> carga<br />
En esta lección consi<strong>de</strong>raremos un espacio <strong>de</strong> medida fijo (Ω, A, µ) y<br />
veremos que toda función medible no negativa es <strong>la</strong> “<strong>de</strong>nsidad” <strong>de</strong> una<br />
medida, <strong>de</strong>mostraremos que <strong>la</strong> integral es un “operador lineal”, así como<br />
los teoremas fundamentales <strong>de</strong> intercambio <strong>de</strong> límite e integral.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> carga 2.4.1 Sea h una función medible con integral, entonces<br />
∫<br />
λ: A −→ R, λ(A) = h dµ,<br />
es una medida si h ≥ 0 y en general una carga. A<strong>de</strong>más si µ(A) = 0<br />
entonces 2 λ(A) = 0.<br />
Demostración. Si 0 ≤ h = ∑ n<br />
i=1 a iI Ai ∈ S, entonces por 2.3.6<br />
∫ ∫<br />
n∑<br />
λ(B) = h dµ = I B h dµ = a i µ(B ∩ A i ),<br />
B<br />
2 Diremos en este caso que λ es absolutamente continua respecto <strong>de</strong> µ y lo <strong>de</strong>notaremos<br />
λ ≪ µ (ver pág.168)<br />
A<br />
i=1
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 89<br />
y como µ es medida también lo es λ. Obviamente si µ(B) = 0, entonces<br />
λ(B) = 0<br />
Si h es medible y no negativa, B n ∈ A son disjuntos, B = ∪ ∞ n=1B n y<br />
s ∈ S, con 0 ≤ s ≤ hI B , entonces por lo anterior<br />
∫<br />
∞∑<br />
∫<br />
∞∑<br />
∫<br />
s dµ = s dµ ≤ h dµ,<br />
B<br />
B n B n<br />
n=1<br />
y tomando el supremo, λ(B) ≤ ∑ ∞<br />
n=1 λ(B n).<br />
Veamos ahora que λ es aditiva. Sean A 1 , A 2 ∈ A disjuntos, entonces<br />
λ(A i ) ≤ λ(A 1 ∪A 2 ), pues hI Ai ≤ hI A1∪A 2<br />
y si algún λ(A i ) = ∞, también<br />
será λ(A 1 ∪ A 2 ) = ∞ = λ(A 1 ) + λ(A 2 ); y si los dos son finitos, para todo<br />
ɛ > 0, existen dos funciones simples s i ∈ S tales que 0 ≤ s i ≤ hI Ai y<br />
λ(A i ) = h dµ ≤<br />
∫A ɛ ∫<br />
i<br />
2 + s i dµ,<br />
A i<br />
ahora s = I A1 s 1 + I A2 s 2 = s 1 + s 2 ∈ S es una función simple tal que<br />
0 ≤ s ≤ hI A1∪A 2<br />
, por tanto se sigue <strong>de</strong> (2.3.2) que ∫ s = ∫ A 1<br />
s 1 + ∫ A 2<br />
s 2<br />
y tenemos que<br />
∫ ∫<br />
λ(A 1 ) + λ(A 2 ) ≤ ɛ + s ≤ ɛ + h<br />
A 1∪A 2<br />
n=1<br />
= ɛ + λ(A 1 ∪ A 2 ) ≤ ɛ + λ(A 1 ) + λ(A 2 ),<br />
y como el ɛ es arbitrario λ es aditiva. Para tener <strong>la</strong> numerable aditividad<br />
falta <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad que se sigue <strong>de</strong>l ejercicio (1.3.4), pues para B n ∈ A<br />
disjuntos, ∑ ∞<br />
n=1 λ(B n) ≤ λ(B). A<strong>de</strong>más si µ(B) = 0, entonces para toda<br />
función simple s, ∫ s = 0 y por tanto λ(B) = 0.<br />
B<br />
∫ Por último sea h = h + − h − , entonces como una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos integrales<br />
Ω h+ dµ, ó ∫ Ω h− dµ es finita, tendremos que una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos medidas<br />
λ + (B) = ∫ B h+ dµ, ó λ − (B) = ∫ B h− dµ es finita, en cualquier caso<br />
λ(B) = λ + (B) − λ − (B) y basta <strong>de</strong>mostrar que <strong>la</strong> diferencia <strong>de</strong> dos<br />
medidas, si una es finita, es numerablemente aditiva.<br />
En <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este resultado hemos visto cómo λ pue<strong>de</strong> ponerse<br />
como diferencia <strong>de</strong> dos medidas<br />
∫<br />
∫<br />
λ = λ + − λ − , λ + (A) = h + dµ, λ − (A) = h − dµ,<br />
A<br />
y al menos una <strong>de</strong> el<strong>la</strong>s es finita. Volveremos sobre este resultado en el<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan (4.2.9).<br />
A
90 Capítulo 2. Integración<br />
Nota 2.4.2 Denotaremos <strong>la</strong> carga λ <strong>de</strong>l resultado anterior con λ = hµ<br />
y l<strong>la</strong>maremos a µ <strong>la</strong> medida base <strong>de</strong> λ. La caracterización <strong>de</strong> <strong>la</strong>s cargas<br />
con base µ nos <strong>la</strong> dará el Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym que veremos<br />
en (4.4.3) <strong>de</strong> <strong>la</strong> pág. 170.<br />
Veamos ahora algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones integrables.<br />
Nota 2.4.3 Se sigue <strong>de</strong>l resultado anterior que si f : Ω → R es medible,<br />
entonces para todo A ∈ A<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
|f| dµ = |f| dµ + |f| dµ = f + dµ + f − dµ,<br />
A<br />
A c<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> segunda igualdad se sigue tomando como A = {f ≥ 0}, pues<br />
I A |f| = f + y I A c|f| = f − .<br />
Se sigue <strong>de</strong> forma inmediata que f es integrable si y sólo si |f| es<br />
integrable.<br />
De esto se sigue que si f y g son medibles, |f| ≤ g y g es integrable,<br />
entonces f es integrable.<br />
A<strong>de</strong>más si f es integrable, entonces es finita c.s., pues para A =<br />
{|f| = ∞}, µ(A) = 0, ya que para todo n ∈ N<br />
∫ ∫<br />
n · µ(A) ≤ |f| dµ ≤ |f| dµ = k < ∞ ⇒ µ(A) ≤ k/n.<br />
A<br />
Por último tenemos también que h: Ω → C medible es integrable sii<br />
|h| es integrable, pues para h = h 1 + ih 2<br />
|h 1 |, |h 2 | ≤ |h| ≤ |h 1 | + |h 2 |.<br />
lo cual se sigue <strong>de</strong> (2.4.6), don<strong>de</strong> veremos que <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> funciones no<br />
negativas integrables es integrable.<br />
En <strong>de</strong>finitiva tenemos que una función medible<br />
h: Ω → K, para K = R, R ó C,<br />
es integrable sii lo es |h|. Esta propiedad es importante y distingue fundamentalmente<br />
esta teoría <strong>de</strong> otras teorías <strong>de</strong> integración como <strong>la</strong> <strong>de</strong><br />
Perron y Denjoy. Remitimos al lector a los comentarios <strong>de</strong>l final <strong>de</strong>l<br />
Tema.
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 91<br />
Ejemplo 2.4.4 Veamos como consecuencia <strong>de</strong> los resultados anteriores<br />
que <strong>la</strong> función sen x/x no es Lebesgue integrable en (0, ∞),<br />
∫<br />
(0,∞)<br />
| sen x<br />
∞ x<br />
| dm = ∑<br />
∫<br />
n=0<br />
∞∑<br />
∫<br />
1<br />
≥<br />
(n + 1)π<br />
n=0<br />
(nπ,(n+1)π)<br />
(nπ,(n+1)π)<br />
| sen x<br />
x<br />
| dm ≥<br />
| sen x| dm =<br />
∞∑<br />
n=0<br />
2<br />
(n + 1)π = ∞,<br />
sin embargo veremos en el ejemplo (3.4.4), pág.132, que es Riemann<br />
integrable (impropia), pues existe el límite<br />
∫ ∞<br />
0<br />
sen x<br />
x<br />
∫ a<br />
sen x<br />
dx = lím<br />
a→∞<br />
0 x dx = π 2 .<br />
2.4.2. Teorema convergencia monótona<br />
Tomar límites bajo el signo integral es uno <strong>de</strong> los procesos fundamentales<br />
en Análisis. Y uno <strong>de</strong> los hechos mas notables <strong>de</strong> esta teoría es <strong>la</strong><br />
facilidad con <strong>la</strong> que esto pue<strong>de</strong> hacerse.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona 2.4.5 Sea h n una sucesión creciente<br />
<strong>de</strong> funciones medibles no negativas, entonces existe h(x) = lím h n (x),<br />
es medible, tiene integral y<br />
∫ ∫<br />
h n dµ ↑ h dµ.<br />
Demostración. Por ser h n creciente existe el límite h, es medible<br />
pues es límite <strong>de</strong> medibles y es no negativa por tanto tiene integral y<br />
como h n ≤ h n+1 ≤ h, ∫ h n dµ ≤ ∫ h n+1 dµ ≤ ∫ h dµ, por tanto<br />
∫<br />
lím<br />
n→∞<br />
∫<br />
h n dµ ≤ h dµ,<br />
para ver <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad sea s ∈ S una función simple, tal que 0 ≤<br />
s ≤ h y 0 < r < 1, entonces como h n ↑ h, tendremos que<br />
B n = {x ∈ Ω : rs(x) ≤ h n (x)} ⇒ B n ↑ Ω,
92 Capítulo 2. Integración<br />
pues rs < h (ya que rs < s) y h n → h; por lo tanto ∫ B n<br />
s dµ → ∫ Ω s dµ<br />
y como<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
∫<br />
r s dµ ≤ h n dµ ≤ h n dµ ≤ lím h n dµ,<br />
B n B<br />
n→∞<br />
n<br />
tendremos, haciendo n → ∞ y r → 1, que<br />
∫<br />
∫<br />
s dµ ≤ lím h n dµ,<br />
n→∞<br />
y tomando supremos tenemos <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad.<br />
2.4.3. Integral <strong>de</strong> una suma<br />
Hemos visto que <strong>la</strong>s constantes salen fuera <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral, con el siguiente<br />
resultado completamos <strong>la</strong> linealidad <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral.<br />
Teorema <strong>de</strong> aditividad 2.4.6 Sean f y g funciones medibles con integral<br />
tales que tanto f +g como ∫ f dµ+ ∫ g dµ, están bien <strong>de</strong>finidas, entonces<br />
f + g tiene integral y<br />
∫<br />
∫<br />
(f + g) dµ =<br />
∫<br />
f dµ +<br />
g dµ.<br />
En particu<strong>la</strong>r si f, g : Ω → R son integrables, f + g es integrable y se<br />
tiene <strong>la</strong> igualdad.<br />
Demostración. (a) En (2.3.2) lo hemos visto para f y g funciones<br />
simples no negativas. (b) Si 0 ≤ f, g, po<strong>de</strong>mos tomar sendas sucesiones<br />
<strong>de</strong> funciones simples f n y g n , no negativas, tales que f n ↑ f y g n ↑ g, por<br />
tanto 0 ≤ s n = f n + g n → f + g y por (a), como s n es simple, ∫ s n dµ =<br />
∫<br />
fn dµ+ ∫ g n dµ y por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91,<br />
∫<br />
∫<br />
(f + g) dµ =<br />
∫<br />
f dµ +<br />
g dµ.<br />
(c) Si f ≥ 0, g ≤ 0 y h = f + g ≥ 0 (por tanto g es finita), tendremos<br />
que f = h + (−g) y por (b) ∫ f dµ = ∫ h dµ − ∫ g dµ, y se concluye pues<br />
∫<br />
g dµ es finita, ya que si fuese<br />
∫<br />
g dµ = −∞, como h ≥ 0<br />
∫<br />
∫<br />
f dµ =<br />
∫<br />
h dµ −<br />
∫<br />
g dµ ≥ −<br />
g dµ = ∞,
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 93<br />
pero entonces ∫ f dµ = ∞ y <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales <strong>de</strong> f y g no estaría<br />
bien <strong>de</strong>finida.<br />
(d) Si f ≥ 0, g ≤ 0 y h = f + g ≤ 0, se tiene también el resultado<br />
por (c) tomando f ′ = −g, g ′ = −f y h ′ = f ′ + g ′ = −h.<br />
(e) Por último consi<strong>de</strong>remos los conjuntos<br />
E 1 = {x ∈ Ω : f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0},<br />
E 2 = {x ∈ Ω : f(x) ≥ 0, g(x) < 0, h(x) ≥ 0},<br />
E 3 = {x ∈ Ω : f(x) ≥ 0, g(x) < 0, h(x) < 0},<br />
E 4 = {x ∈ Ω : f(x) < 0, g(x) ≥ 0, h(x) ≥ 0},<br />
E 5 = {x ∈ Ω : f(x) < 0, g(x) ≥ 0, h(x) < 0},<br />
E 6 = {x ∈ Ω : f(x) < 0, g(x) < 0},<br />
por los casos anteriores tenemos ∫ E i<br />
(f + g) dµ = ∫ E i<br />
f dµ + ∫ E i<br />
g dµ, y<br />
como <strong>la</strong>s integrales <strong>de</strong> f y g existen tenemos por (2.4.1) que<br />
6∑<br />
∫ ∫<br />
f dµ = f dµ,<br />
E i<br />
i=1<br />
6∑<br />
∫ ∫<br />
g dµ = g dµ,<br />
E i<br />
y como su suma está bien <strong>de</strong>finida, basta <strong>de</strong>mostrar por (2.4.1) que existe<br />
<strong>la</strong> ∫ (f + g) dµ, es <strong>de</strong>cir que una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales<br />
∫<br />
h + dµ =<br />
6∑<br />
∫<br />
i=1<br />
E i<br />
h + dµ,<br />
i=1<br />
∫<br />
h − dµ =<br />
6∑<br />
∫<br />
i=1<br />
E i<br />
h − dµ,<br />
es finita. En caso contrario existen 1 ≤ i, j ≤ 6, tales que<br />
⎧ ∫<br />
⎧ ∫<br />
⎪⎨ h + dµ = ∞ ⎪⎨ h dµ = ∞<br />
E<br />
∫ i E<br />
⇒ ∫ i<br />
⎪⎩ h − dµ = ∞ ⎪⎩ h dµ = −∞<br />
E j E j<br />
⎧ ∫<br />
∫<br />
⎪⎨ f dµ = ∞ ó g dµ = ∞<br />
E<br />
⇒<br />
i E<br />
∫<br />
∫ i<br />
⎪⎩ f dµ = −∞ ó g dµ = −∞,<br />
E j E j<br />
⎧ ∫<br />
∫<br />
⎪⎨ f dµ = ∞ ó g dµ = ∞<br />
⇒ ∫<br />
∫<br />
⎪⎩ f dµ = −∞ ó g dµ = −∞,
94 Capítulo 2. Integración<br />
lo cual implica que ∫ f dµ + ∫ g dµ no está bien <strong>de</strong>finida.<br />
Veamos algunas consecuencias <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> aditividad:<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.4.7 L 1 es un K–espacio vectorial y <strong>la</strong> aplicación<br />
∫<br />
Λ: L 1 −→ K, Λ(f) = f dµ,<br />
es K–lineal. A<strong>de</strong>más para cada f ∈ L 1 , | ∫ f dµ| ≤ ∫ |f| dµ.<br />
Demostración. Para K = R lo hemos visto en (2.3.5)(a), pág.86, y<br />
el Teorema <strong>de</strong> aditividad, pág.92. Ahora para K = C, sea z = z 1 +iz 2 ∈ C<br />
y f = f 1 + if 2 , g = g 1 + ig 2 : Ω → C medibles e integrables, entonces<br />
<strong>la</strong>s f i , g i son integrables y se prueba simultáneamente por una parte que<br />
también lo son zf y f + g, y por otra <strong>la</strong> linealidad <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral, pues<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
z f = z 1 f 1 − z 2 f 2 + i(z 1 f 2 + z 2 f 1 )<br />
∫<br />
∫<br />
= (z 1 f 1 − z 2 f 2 ) + i (z 1 f 2 + z 2 f 1 )<br />
∫<br />
∫<br />
= (z 1 f 1 − z 2 f 2 + i(z 1 f 2 + z 2 f 1 )) = zf,<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
(f + g) = (f 1 + g 1 ) + i (f 2 + g 2 ) = f + g.<br />
La <strong>de</strong>sigualdad | ∫ f| ≤ ∫ |f| ya <strong>la</strong> vimos para el caso real en (2.3.5),<br />
pág.86, veámos<strong>la</strong> ahora para el caso complejo. Sea ∫ f dµ = r · e iθ ≠ 0,<br />
entonces para e −iθ f = g 1 + ig 2 , con <strong>la</strong>s g i reales, tendremos |g 1 | ≤<br />
|g 1 + ig 2 | = |f| y<br />
∫<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
| f| = r = e −iθ f = e −iθ f = g 1 ≤ |g 1 | ≤ |f|.<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> los teoremas anteriores tenemos una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
propieda<strong>de</strong>s más importantes <strong>de</strong> <strong>la</strong> integración, <strong>la</strong> <strong>de</strong> po<strong>de</strong>r integrar<br />
término a término <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> una serie <strong>de</strong> funciones medibles no<br />
negativas.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.4.8 Si h n son funciones medibles no negativas, entonces<br />
∫ ( )<br />
∑<br />
∞ ∞∑<br />
∫<br />
h n dµ = h n dµ.<br />
n=1<br />
n=1
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 95<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos 0 ≤ ∑ n<br />
i=1 h i ↑ ∑ ∞<br />
i=1 h i y apliquemos<br />
el teorema <strong>de</strong> aditividad y el <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91.<br />
Nota 2.4.9 Como consecuencia tenemos que si a nm ≥ 0 para n, m ∈ N,<br />
entonces<br />
∞∑ ∞∑<br />
∞∑ ∞∑<br />
(2.1)<br />
a nm = a nm ,<br />
n=1 m=1<br />
m=1 n=1<br />
pues basta consi<strong>de</strong>rar µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar en N, h n (m) = a nm , es<br />
<strong>de</strong>cir h n = ∑ m a nmI {m} , h = ∑ ∞<br />
n=1 h n, por tanto h(m) = ∑ ∞<br />
n=1 a nm, y<br />
h = ∑ ∞<br />
m=1 (∑ ∞<br />
n=1 a nm)I {m} y se aplica 3 veces el resultado anterior.<br />
2.4.4. Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada.<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> los resultados anteriores se tiene que <strong>la</strong>s hipótesis<br />
<strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91, se pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>bilitar.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona extendido 2.4.10 Sean h, f, f n<br />
funciones medibles, tales que existe ∫ h dµ, entonces:<br />
(a) Si −∞ < ∫ h dµ, h ≤ f n y f n ↑ f, entonces<br />
∫ ∫<br />
f n dµ ↑ f dµ.<br />
(b) Si ∫ h dµ < ∞, f n ≤ h y f n ↓ f, entonces<br />
∫ ∫<br />
f n dµ ↓ f dµ.<br />
∫ Demostración. Por (2.3.5) <strong>la</strong>s f n<br />
h dµ = ∞, entonces<br />
y f tienen integral. (a) Si <strong>la</strong><br />
∫<br />
∫<br />
f n dµ =<br />
f dµ = ∞.<br />
En caso contrario, por <strong>la</strong> hipótesis, h es integrable y por (2.4.3), h es<br />
finita c.s., y para A = {|h| < ∞}, µ(A c ) = 0 y por (2.4.1), como ∫ ∫<br />
f<br />
A c n =<br />
h = 0, tendremos que<br />
A c<br />
∫ ∫ ∫<br />
f n − h =<br />
A<br />
∫<br />
f n −<br />
A<br />
∫<br />
h =<br />
A<br />
∫<br />
f n −h ↑<br />
A<br />
∫<br />
f−h =<br />
A<br />
∫ ∫<br />
f− h =<br />
A<br />
∫<br />
f−<br />
h.
96 Capítulo 2. Integración<br />
pues en A, 0 ≤ f n − h ↑ f − h, pues h es finita y aplicando el Teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91, el <strong>de</strong> aditividad y (2.4.1), se tiene<br />
sumando el valor finito ∫ h, que ∫ f n dµ → ∫ f dµ.<br />
(b) Se sigue <strong>de</strong> (a) cambiando <strong>de</strong> signo.<br />
Lema <strong>de</strong> Fatou 2.4.11 Sean h, f n funciones medibles, tales que existe<br />
∫<br />
h dµ, entonces:<br />
(a) Si h ≤ f n y −∞ < ∫ h dµ, entonces<br />
∫ ∫<br />
lím inf f n dµ ≥ (lím inf f n ) dµ.<br />
(b) Si f n ≤ h y ∫ h dµ < ∞, entonces<br />
∫ ∫<br />
lím sup f n dµ ≤<br />
(lím sup f n ) dµ.<br />
∫<br />
Demostración. (a) Sea g n = ínf k≥n f k ↑ g = lím inf f n , entonces<br />
como h ≤ g n , por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona extendido<br />
∫<br />
gn dµ ↑ ∫ g dµ y como g n ≤ f n<br />
∫<br />
(lím inf f n ) dµ =<br />
∫<br />
g dµ = lím<br />
∫<br />
g n dµ ≤ lím inf<br />
f n dµ.<br />
(b) Se sigue <strong>de</strong> (a) cambiando <strong>de</strong> signo.<br />
Ahora como consecuencia <strong>de</strong> este resultado se tiene el mas importante<br />
que permite permutar límite e integral.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada 2.4.12 Sean h, f, f n : Ω → K<br />
(para K = R, R ó C) medibles tales que |f n | ≤ h, h es integrable y<br />
f n → f, entonces f es integrable y<br />
∫ ∫<br />
f n dµ → f dµ.<br />
Demostración. Como |f n | → |f|, tendremos que |f| ≤ h y f es<br />
integrable por (2.4.3), pág.90. Ahora para K = R, como −h ≤ f n ≤ h se<br />
sigue <strong>de</strong>l Lema <strong>de</strong> Fatou que<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
f dµ = (lím inf f n ) dµ ≤ lím inf f n dµ<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
≤ lím sup f n dµ ≤ (lím sup f n ) dµ = f dµ,
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 97<br />
y para K = C se <strong>de</strong>muestra aplicando el caso real a |f n −f|, que está acotada<br />
por <strong>la</strong> función integrable 2h y |f n − f| → 0, por tanto<br />
∫ ∫ ∫<br />
| f n dµ − f dµ| ≤ |f n − f| dµ → 0.<br />
Debemos observar que el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada también<br />
es válido si <strong>la</strong>s condiciones se tienen casi seguro. Por otra parte<br />
po<strong>de</strong>mos dar simples ejemplos en los que el resultado no es cierto si h<br />
no existe.<br />
Ejemplo 2.4.13 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en (0, 1), entonces<br />
f n = nI (0,1/n) → 0 = f y ∫ f n dµ = 1 ↛ ∫ f dµ = 0.<br />
Ejemplo 2.4.14 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en R, entonces<br />
f n = (1/n)I [0,n] → 0 = f uniformemente y ∫ f n dµ = 1 ↛ ∫ f dµ = 0.<br />
A continuación damos algunas consecuencias importantes <strong>de</strong>l Teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.4.15 Sean h, f, f n medibles y p > 0, tales que |f n | ≤ h, h p<br />
integrable y f n → f c.s., entonces |f| p es integrable y<br />
∫<br />
|f n − f| p dµ = 0.<br />
lím<br />
n→∞<br />
Demostración. Como |f n | p ≤ h p , tendremos |f| p ≤ h p y por tanto<br />
|f| p es integrable, por tanto <strong>la</strong>s f n y <strong>la</strong> f son finitas c.s. y en esos puntos<br />
|f n −f| p ≤ (|f n |+|f|) p ≤ (2h) p siendo <strong>la</strong> última integrable y el resultado<br />
se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada.<br />
Teorema 2.4.16 Sean h n medibles tales que ∑ ∫ |h n | dµ < ∞, entonces<br />
∑<br />
hn converge c.s. a una función medible finita y<br />
∫ ∑<br />
hn dµ = ∑ ∫ h n dµ.<br />
Demostración. Por (2.4.8), ∫ ∑ |h n | dµ = ∑ ∫ |h n | dµ < ∞ y por<br />
(2.4.3), g = ∑ |h n | < ∞ c.s. Sea A = {g < ∞} entonces <strong>la</strong>s funciones<br />
medibles finitas h ′ n = h n I A <strong>de</strong>finen una serie f = ∑ h ′ n absolutamente<br />
convergente en todo punto y por tanto convergente, es <strong>de</strong>cir <strong>la</strong>s sumas
98 Capítulo 2. Integración<br />
parciales f n = ∑ n<br />
k=1 h′ k<br />
que son medibles convergen a <strong>la</strong> función medible<br />
f que coinci<strong>de</strong> c.s. con ∑ h n . Ahora como |f n | ≤ g = ∑ ∞<br />
k=1 |h k|, siendo g<br />
integrable, el resultado se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada<br />
y <strong>de</strong> que funciones iguales c.s. tienen igual integral.<br />
Nota 2.4.17 Como consecuencia tenemos algo simi<strong>la</strong>r a (2.1), pág.95,<br />
que si a nm ∈ R son tales que ∑ ∞ ∑ ∞<br />
n=1 m=1 |a nm| < ∞, entonces para<br />
h n (m) = a nm y µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar<br />
(2.2)<br />
∞∑ ∞∑<br />
∞∑ ∞∑<br />
a nm = a nm .<br />
n=1 m=1 m=1 n=1<br />
2.4.5. Depen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> un parámetro.<br />
Frecuentemente necesitamos consi<strong>de</strong>rar integrales en <strong>la</strong>s que el integrando<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> un parámetro real. Veamos en este contexto una<br />
aplicación <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, pág.96. En lo que<br />
resta <strong>de</strong> lección consi<strong>de</strong>raremos una función<br />
f : I × Ω −→ R,<br />
con I un intervalo finito o no <strong>de</strong> R, tal que para cada t ∈ I es medible<br />
<strong>la</strong> función<br />
f t : Ω −→ R, f t (x) = f(t, x).<br />
Lema 2.4.18 Sea G: I → R, t 0 ∈ Ī y A ∈ R, entonces<br />
lím<br />
t→t 0<br />
G(t) = A ⇔ ∀t n → t 0 , G(t n ) → A.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.4.19 Sea h integrable en Ω tal que para todo t ∈ I, |f(t, x)| ≤<br />
h(x), entonces:<br />
(a) Si para un t 0 ∈ Ī y todo x ∈ Ω, existe el lím t→t 0<br />
f(t, x), entonces<br />
∫<br />
lím<br />
t→t 0<br />
∫<br />
f(t, x) dµ =<br />
lím f(t, x) dµ.<br />
t→t 0<br />
(b) Si para cada x ∈ Ω <strong>la</strong> función t ∈ I → f(t, x) ∈ R es continua,<br />
entonces <strong>la</strong> función F (t) = ∫ f(t, x) dµ es continua en I.
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 99<br />
Demostración. (a) Sea g(x) = lím t→t0 f(t, x) y consi<strong>de</strong>remos una<br />
sucesión t n → t 0 . Definamos g n (x) = f(t n , x), <strong>la</strong>s cuales son medibles<br />
y como g n → g, g es medible. Ahora el resultado se sigue aplicando el<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, pág.96 y el Lema anterior.<br />
(b) Es consecuencia <strong>de</strong> (a).<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.4.20 Sea I abierto y supongamos que para un s ∈ I <strong>la</strong><br />
función f s (x) = f(s, x) es integrable, existe ∂f/∂t y existe una función<br />
medible e integrable h en Ω, tal que para todo (t, x) ∈ I × Ω,<br />
|∂f(t, x)/∂t| ≤ h(x), entonces para todo t, f(t, x) y ∂f/∂t(t, x) son medibles<br />
e integrables en x, F (t) = ∫ f(t, x) dµ es diferenciable en I y<br />
F ′ (t) = d ∫<br />
∫ ∂f<br />
f(t, x) dµ = (t, x) dµ.<br />
dt<br />
∂t<br />
Si a<strong>de</strong>más para cada x, <strong>la</strong>s f x son <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1, F es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1.<br />
Demostración. Veamos primero que ∂f/∂t(t, ·) es medible, para<br />
cada t ∈ I, para ello sea t n → t, con t n ≠ t, entonces como<br />
∂f<br />
(t, x) = lím<br />
∂t t n→t<br />
f(t n , x) − f(t, x)<br />
,<br />
t n − t<br />
se sigue que es medible. Ahora por el Teorema <strong>de</strong>l valor medio existe t s<br />
entre t y s tal que<br />
f(t, x) − f(s, x) = (t − s) ∂f<br />
∂t (t s, x) ⇒<br />
|f t (x)| ≤ |f s (x)| + |t − s|h(x),<br />
por tanto cada f t es integrable y po<strong>de</strong>mos aplicar el Teorema <strong>de</strong> aditividad<br />
(2.4.6), página 92, para poner<br />
∫<br />
F (t + ɛ) − F (t) f(t + ɛ, x) − f(t, x)<br />
=<br />
dµ,<br />
ɛ<br />
ɛ<br />
ahora como el integrando está acotado en módulo por h y tiene límite el<br />
resultado se sigue <strong>de</strong>l coro<strong>la</strong>rio anterior.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.4.21 Si <strong>la</strong>s f x ∈ C m (I) (son <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se m en I) y para cada<br />
0 ≤ k ≤ m existe h k integrable tal que para todo t ∈ I y todo x ∈ Ω,<br />
|∂ k f(t, x)/∂t k | ≤ h k (x), entonces F (t) = ∫ f(t, x) dµ es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se m y<br />
para 0 ≤ k ≤ m<br />
∫ ∂<br />
F (k k f<br />
(t) = (t, x) dµ.<br />
∂tk
100 Capítulo 2. Integración<br />
Ejemplo 2.4.22 Vamos a <strong>de</strong>mostrar como consecuencia <strong>de</strong>l resultado<br />
anterior que <strong>la</strong> función factorial 3<br />
∫<br />
Π: (−1, ∞) → R, Π(t) = e −x x t dm,<br />
(0,∞)<br />
es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se infinito y verifica: Π(0) = 1, Π(−1/2) = √ π y que Π(t) =<br />
t · Π(t − 1) para t > −1; por tanto Π(n) = n!, para n ∈ N.<br />
Demostración. Como el comportamiento <strong>de</strong>l integrando es distinto<br />
en (0, 1) que en (1, ∞) consi<strong>de</strong>ramos f(t, x) = e −x x t y <strong>la</strong>s funciones<br />
∫<br />
∫<br />
Π 1 (t) = f(t, x) dm, Π 2 (t) = f(t, x) dm,<br />
(0,1)<br />
(1,∞)<br />
por tanto como Π = Π 1 + Π 2 , basta ver que <strong>la</strong>s Π i son <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se infinito<br />
en cada intervalo (a, b) con −1 < a, para lo cual tenemos que probar que<br />
para k ≥ 0 <strong>la</strong>s ∂ k f/∂t k = e −x x t (log x) k están acotadas por una función<br />
integrable para todo t ∈ (a, b).<br />
Para 0 < x < 1, log x < 0 y x r = e r log x es <strong>de</strong>creciente en r y si<br />
t ∈ (a, b), x b < x t < x a , por tanto como | log x| = − log x = log x −1 ,<br />
tendremos que para todo t ∈ (a, b)<br />
|e −x x t (log x) k | ≤ x a ( log x −1) k<br />
,<br />
y <strong>la</strong> función <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha es integrable por el ejercicio (2.4.37), pág.107,<br />
por lo tanto π 1 es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se infinito.<br />
Para 1 < x, log x > 0 y x r = e r log x es creciente, por tanto si t ∈ (a, b),<br />
x a < x t < x b . A<strong>de</strong>más como 0 < log x < x,<br />
e −x x t log n x ≤ e −x x b log n x ≤ e −x x b+n<br />
siendo <strong>la</strong> última función integrable (ver el ejercicio (2.4.38), pág.107).<br />
Por último <strong>de</strong>rivando e −x x t , respecto <strong>de</strong> x (para t > 0), e integrando<br />
se tiene que<br />
0 = e −x x t] ∞<br />
0 = − ∫<br />
(0,∞)<br />
∫<br />
e −x x t + t e −x x t−1 = −Π(t) + tΠ(t − 1),<br />
(0,∞)<br />
3 Parece ser (ver Ivorra, pág.283) que el <strong>de</strong>scubridor <strong>de</strong> esta función fue Euler,<br />
siendo <strong>de</strong> Gauss <strong>la</strong> notación Π para el<strong>la</strong> y que es <strong>de</strong> Legendre <strong>la</strong> función Gamma,<br />
Γ(t) = Π(t − 1),<br />
∫<br />
Γ: (0, ∞) → (0, ∞), Γ(t) = e −x x t−1 dm,<br />
(0,∞)<br />
que es más habitual.
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 101<br />
ahora bien por (2.3), Π(0) = 1, por tanto Π(n) = n! y haciendo el cambio<br />
y 2 = x —por el ejercicio (2.4.29)—, se sigue <strong>de</strong>l ejercicio (2.4.33) que<br />
Γ(1/2) = Π(−1/2) = √ π.<br />
2.4.6. Otras propieda<strong>de</strong>s.<br />
El siguiente es uno <strong>de</strong> los resultados mas simples y útiles en <strong>la</strong> <strong>Teoría</strong><br />
<strong>de</strong> Probabilida<strong>de</strong>s.<br />
Desigualdad <strong>de</strong> Tchebycheff 2.4.23 Si f ≥ 0 es medible y 0 < p, ɛ <<br />
∞, entonces<br />
∫<br />
µ{f ≥ ɛ} ≤ ɛ −p f p dµ.<br />
Demostración.<br />
∫ ∫<br />
f p dµ =<br />
∫<br />
≥<br />
{f≥ɛ}<br />
{f≥ɛ}<br />
∫<br />
f p dµ + f p dµ<br />
{f 0} = 0, pues<br />
A<br />
{f > 0} = ∪ ∞ n=1{f ≥ 1/n}, siendo µ{f ≥ 1/n} = 0 por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad<br />
<strong>de</strong> Tchebycheff en A, ya que<br />
∫<br />
µ{f ≥ 1/n} ≤ n f dµ = 0.<br />
A
102 Capítulo 2. Integración<br />
Coro<strong>la</strong>rio 2.4.26 Si g es medible y para todo A ∈ A es ∫ g dµ = 0,<br />
A<br />
entonces g = 0 c.s.<br />
Demostración. Para los medibles A = {g > 0} y B = {g < 0} se<br />
tiene por lo anterior (2.4.25)<br />
∫ ∫<br />
g + = g = 0 ⇒ g + = 0 c.s.,<br />
A<br />
∫ ∫<br />
g − = g = 0 ⇒ g − = 0 c.s.<br />
B<br />
Veamos ahora un recíproco <strong>de</strong> (2.3.5)(b).<br />
Proposición 2.4.27 Sean g y h funciones medibles con integral, entonces<br />
en cualquiera <strong>de</strong> los dos casos:<br />
(a) (Ω, A, µ) es un espacio σ–finito,<br />
(b) El espacio es arbitrario pero g y h son integrables,<br />
se verifica que<br />
∫ ∫<br />
∀A ∈ A, g dµ ≤ h dµ ⇒ g ≤ h c.s.<br />
A<br />
Demostración. Veamos que tiene medida nu<strong>la</strong> el medible<br />
A<br />
{x : h(x) < g(x)} = ∪ r1 0, ∞ = r 2 · ∞ ≤ ∫ g, y g no es<br />
A<br />
integrable.<br />
B
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 103<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 2.4.1 Sean f, g : Ω → R funciones medibles tales que f = g c.s. y<br />
existe ∫ f dµ. Demostrar que entonces también existe <strong>la</strong> ∫ g dµ y coinci<strong>de</strong>n.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.2 Sean −∞ ≤ a < b ≤ ∞ y f : (a, b) ⊂ R → R continua e<br />
integrable. Demostrar que g(x) = ∫ (a,x) f dm es diferenciable y que g′ = f.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.3 Sean −∞ ≤ a < b ≤ ∞ y g : (a, b) ⊂ R → R <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1.<br />
Demostrar que para cualesquiera c < d, en (a, b), ∫ [c,d] g′ dm = g(d) − g(c).<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.4 Demostrar que si f : R → R es Lebesgue integrable<br />
∫<br />
∫<br />
f dm =<br />
f dm.<br />
(−∞,∞)<br />
lím<br />
a→−∞, b→∞<br />
[a,b]<br />
¿Es cierto si existe <strong>la</strong> integral pero no es finita? (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.5 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y f = ∑ ∞<br />
n=1 anIAn , con<br />
a n ∈ (0, ∞) y A n ∈ A, calcu<strong>la</strong>r ∫ f dµ. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.6 Sea f ≥ 0 integrable. Demostrar que ∀ɛ > 0 existe un medible<br />
A, con µ(A) < ∞ tal que ∫ f < ∫ f + ɛ. (Sol.)<br />
A<br />
Ejercicio 2.4.7 Sea f integrable y ɛ > 0. Demostrar que existe una función<br />
simple s tal que ∫ |f − s| < ɛ.<br />
Ejercicio 2.4.8 Sean µ 1 ≤ µ 2 medidas. Demostrar que si una función medible<br />
compleja f es µ 2–integrable, entonces es µ 1–integrable.<br />
Ejercicio 2.4.9 Sean f n ≥ 0 medibles tales que f n ↓ f. Demostrar que si f 1 es<br />
integrable, ∫ f n → ∫ f. ¿Es cierto si f 1 no es integrable?<br />
Ejercicio 2.4.10 Sean f, f n ≥ 0 integrables, tales que f n → f c.s. Demostrar<br />
que ∫ f n → ∫ f sii ∫ |f n − f| → 0. (Sol.)
104 Capítulo 2. Integración<br />
Ejercicio 2.4.11 Sea µ(Ω) < ∞ y f n integrables tales que f n → f uniformemente.<br />
Demostrar que f es integrable y que ∫ f n → ∫ f.<br />
Ejercicio 2.4.12 Sean f, f n integrables, tales que f n → f c.s. Demostrar que<br />
∫<br />
|fn − f| → 0 sii ∫ |f n| → ∫ |f|. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.13 Sea f integrable y g medible acotada, <strong>de</strong>mostrar que fg es<br />
integrable.<br />
Ejercicio 2.4.14 Demostrar que µ es σ–finita si y sólo si existe una función<br />
medible estrictamente positiva e integrable.<br />
Ejercicio 2.4.15 Sea Ω un espacio topológico, µ una medida en B(Ω) tal que<br />
µ(A) > 0, para cada abierto A ≠ ∅ y f, g : Ω → R continuas tales que f = g<br />
c.s., <strong>de</strong>mostrar que f = g.<br />
Ejercicio 2.4.16 Demostrar que si f ≤ g c.s., existe <strong>la</strong> ∫ f y −∞ < ∫ f,<br />
entonces existe <strong>la</strong> ∫ g y si existe <strong>la</strong> ∫ g y ∫ g < ∞, entonces existe <strong>la</strong> ∫ f y en<br />
ambos casos ∫ f ≤ ∫ g.<br />
Ejercicio 2.4.17 Demostrar el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona cuando<br />
<strong>la</strong>s condiciones son c.s.<br />
Ejercicio 2.4.18 Calcu<strong>la</strong>r:<br />
∫<br />
lím<br />
n→∞<br />
(0,1)<br />
(1 + nx 2 )(1 + x 2 ) −n dm. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.19 Sea f : R → R medible y a ∈ R. Demostrar que<br />
∫<br />
∫<br />
f(x) dm = f(x − a) dm,<br />
(−∞,∞)<br />
(−∞,∞)<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una integral existe también <strong>la</strong> otra y coinci<strong>de</strong>n.<br />
Ejercicio 2.4.20 Sea f : R → R medible tal que e tx f(x) es integrable para<br />
todo t ∈ (a, b) ⊂ R. Demostrar que F (t) = ∫ e tx f(x) dm es diferenciable y que<br />
F ′ (t) = ∫ x e tx f(x) dm. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.21 Demostrar que para t > 0 y 0 ≤ α ≤ 1, (1 + (t/n) α ) n<br />
creciente en n ≥ 1. Para 1 ≤ α, (1 − (t/n) α ) n es creciente en n ≥ t. (Sol.)<br />
es
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 105<br />
Ejercicio 2.4.22 Demostrar que<br />
∫<br />
∫<br />
(a) lím (1 − (t/n)) n log t dm = e −t log t dm.<br />
n→∞<br />
(1,n)<br />
(1,∞)<br />
∫<br />
∫<br />
(b)<br />
(1 − (t/n)) n log t dm = e −t log t dm. (Sol.)<br />
lím<br />
n→∞<br />
(0,1)<br />
(0,1)<br />
Ejercicio 2.4.23 Sea f no negativa e integrable, con 0 < ∫ f dµ = c < ∞ y sea<br />
0 < α < ∞. Demostrar que<br />
∫<br />
lím<br />
n→∞<br />
[ ( ) α ] f<br />
n log 1 + dµ =<br />
n<br />
⎧<br />
⎪⎨ ∞, si 0 < α < 1,<br />
c, si α = 1,<br />
⎪⎩<br />
0, si 1 < α < ∞. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.24 Demostrar que si f es µ–integrable, entonces para cada ɛ > 0,<br />
existe un δ > 0, tal que<br />
∫<br />
µ(E) < δ ⇒ |f| dµ < ɛ. (Sol.)<br />
E<br />
Ejercicio<br />
∫<br />
2.4.25 Demostrar que si f : R → R es Lebesgue integrable F (x) =<br />
f dm es uniformemente continua. (Sol.)<br />
(−∞,x)<br />
Ejercicio 2.4.26 Demostrar que si F : (Ω, A, µ) → (Ω ′ , A ′ ) es medible, µ F =<br />
F ∗µ, para µ F (B) = µ[F −1 (B)], es una medida, l<strong>la</strong>mada medida imagen, para<br />
<strong>la</strong> que se verifica que si g es medible en Ω ′ y B ∈ A ′ , entonces<br />
∫ ∫<br />
g dµ F = (g ◦ F ) dµ.<br />
B<br />
F −1 (B)<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.27 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y f una función medible<br />
no negativa. Si <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> medida λ(A) = ∫ f dµ, <strong>de</strong>mostrar que para cada<br />
A<br />
función medible g<br />
∫ ∫<br />
g dλ = gf dµ,<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
(Sol.)
106 Capítulo 2. Integración<br />
Ejercicio 2.4.28 (a) Demostrar que si f : [0, ∞) → R es medible, entonces para<br />
t > 0<br />
∫<br />
∫<br />
t f(tx) dm = f dm.<br />
[0,∞)<br />
[0,∞)<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
(b) Demostrar que si f : [0, t] → R es medible, entonces para t > 0<br />
∫<br />
∫<br />
t f(tx) dm = f dm.<br />
[0,1]<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.29 Teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable. Sea F : (a, b) ⊂ R →<br />
(c, d) ⊂ R un difeomorfismo creciente <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1, con inversa G. Demostrar<br />
que <strong>la</strong> medida imagen <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue por G es m G(A) = ∫ F ′ dm y que<br />
A<br />
∫<br />
∫<br />
g dm = g ◦ F · F ′ dm.<br />
(c,d)<br />
(a,b)<br />
para toda función medible g : (c, d) → R, en el sentido <strong>de</strong> que si existe una<br />
también <strong>la</strong> otra y son iguales. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.30 (a) Demostrar por inducción que ∫ (0,∞) xn e −x dm = n!.<br />
(b) Demostrar que para t > 0, ∫ (0,∞) e−tx dm = 1/t y admitiendo que<br />
po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>rivar bajo el signo integral tantas veces como queramos, utilizar<br />
esta igualdad para <strong>de</strong>mostrar (a). (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.31 Sea f : [0, 1] → R continua, tal que f(0) = 0 y existe f ′ (0 + ) ∈<br />
R. Demostrar que f(x)x −3/2 es Lebesgue integrable. (Sol.)<br />
[0,t]<br />
Ejercicio 2.4.32 Calcu<strong>la</strong>r:<br />
(a) lím n→∞<br />
∫(0,∞) (1 + (x/n))−n sen(x/n) dm.<br />
(b) lím n→∞<br />
∫(0,∞) n sen(x/n)[x(1 + x2 )] −1 dm.<br />
(c) lím n→∞<br />
∫(a,∞) n(1 + n2 x 2 ) −1 dm, en función <strong>de</strong> a. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.33 Dadas <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong>finidas en (0, ∞)<br />
( ∫ 2 ∫<br />
e<br />
f(t) = e dm) −t2 (x 2 +1)<br />
−x2 , g(t) =<br />
dm,<br />
(0,t)<br />
(0,1) x 2 + 1<br />
<strong>de</strong>mostrar que:<br />
(a) f(t) + g(t) = π/4. (b) ∫ [0,∞) e−x2 dm = √ π/2. (Sol.)
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 107<br />
Ejercicio 2.4.34 . Demostrar que para b = (a + 1)/2<br />
∫<br />
{<br />
e −r2 r a Γ(b), si a es par;<br />
dm =<br />
0, si a es impar.<br />
R<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.35 Dada f(t) = ∫ (0,∞) e−x2 cos 2xt dm, <strong>de</strong>mostrar que satisface<br />
f ′ (t) + 2tf(t) = 0 y que f(t) = (1/2) √ πe −t2 . (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.36 Demostrar:<br />
(1) ∫ (−∞,∞) x2n e −x2 dm = 2n! √ π/4 n n!.<br />
(2) Para a ≥ 0, ∫ (−∞,∞) e−x2 cos ax dm = √ π e −a2 /4 .<br />
(3) Para p > 0, ∫ (0,1) xp−1 (x − 1) −1 log x dm = ∑ ∞<br />
n=0 1/(p + n)2 . (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.37 Demostrar que <strong>la</strong> función f : (0, 1) → R, f(x) = x r log n x −1 ,<br />
para −1 < r y n ≥ 0 es Lebesgue integrable y que<br />
∫<br />
x r log n x −1 n!<br />
dm =<br />
. (Sol.)<br />
(1 + r)<br />
n+1<br />
(0,1)<br />
Ejercicio 2.4.38 Demostrar que <strong>la</strong> función g : [1, ∞) → R, g(x) = e −x x k , para<br />
k ∈ R es Lebesgue integrable. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.39 Sea k ∈ R y r > 0. Demostrar que<br />
∫<br />
x k dm < ∞ ⇔ −1 < k<br />
∫<br />
(r,∞)<br />
(0,r)<br />
x k dm < ∞ ⇔ k < −1. (Sol.)<br />
2.4.7. Integrales <strong>de</strong> Riemann y <strong>de</strong> Lebesgue<br />
En esta lección veremos que <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Lebesgue, que <strong>de</strong>notaremos<br />
con ∫ f dm, es una generalización <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong> Riemann, que <strong>de</strong>notaremos con<br />
∫<br />
f dx, y obtendremos un criterio en términos <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue,<br />
que nos diga qué funciones son <strong>la</strong>s Riemann integrables.<br />
Recor<strong>de</strong>mos brevemente cómo está <strong>de</strong>finida <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Riemann.<br />
Definición. Sean a < b ∈ R, I = [a, b] ⊂ R y f : I → R una función<br />
acotada |f| ≤ M. Por una partición finita <strong>de</strong> I enten<strong>de</strong>remos un<br />
subconjunto finito<br />
P = {x 0 = a, . . . , x n = b} ⊂ I,
108 Capítulo 2. Integración<br />
que tomaremos or<strong>de</strong>nado (x i < x i+1 ). La partición <strong>de</strong> I realmente <strong>la</strong><br />
forman los intervalos disjuntos<br />
E 1 = [x 0 , x 1 ), . . . , E n−1 = [x n−2 , x n−1 ), E n = [x n−1 , x n ].<br />
Nota 2.4.28 Tomamos el intervalo I cerrado por comodidad, los resultados<br />
son igualmente válidos, con pequeñas modificaciones, para cualquier<br />
intervalo acotado.<br />
Definición. Para cada partición P = {x 0 , . . . , x n } <strong>de</strong> I consi<strong>de</strong>remos<br />
los intervalos disjuntos correspondientes E i , los valores M i = sup{f(x) :<br />
x ∈ E i }, m i = ínf{f(x) : x ∈ E i } y <strong>la</strong>s funciones simples<br />
β P = ∑ m i I Ei , α P = ∑ M i I Ei ,<br />
.<br />
[<br />
a<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
)[ )[ )[ )[ )[<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
. . .<br />
E . . .<br />
.<br />
1 .<br />
. . . E n E .<br />
.<br />
.<br />
.<br />
1 E n<br />
.<br />
. .<br />
]<br />
b<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
[<br />
a<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
)[ )[ )[ )[ )[<br />
Figura 2.3. Gráficas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones β P ≤ f ≤ α P .<br />
.<br />
.<br />
.<br />
]<br />
b<br />
.<br />
que l<strong>la</strong>maremos respectivamente funciones simples inferior y superior<br />
<strong>de</strong> f re<strong>la</strong>tivas a P y a cuyas integrales<br />
∫<br />
β P dm = ∑ ∫<br />
m i (x i − x i−1 ), α P dm = ∑ M i (x i − x i−1 ),<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
l<strong>la</strong>mamos suma inferior y superior <strong>de</strong> f respecto <strong>de</strong> P .<br />
Denotaremos con |P | = máx{|x i − x i−1 | : i = 1, . . . , n}.<br />
Es fácil <strong>de</strong>mostrar que si P n ↑ P es una sucesión creciente <strong>de</strong> particiones<br />
finitas <strong>de</strong> I y <strong>de</strong>notamos α n y β n <strong>la</strong>s funciones simples superior e<br />
inferior <strong>de</strong> f re<strong>la</strong>tivas a P n , tendremos que<br />
−M ≤ β 1 ≤ β 2 ≤ . . . ≤ f ≤ . . . ≤ α 2 ≤ α 1 ≤ M,<br />
y por tanto existen los límites superior e inferior respectivamente, re<strong>la</strong>tivos<br />
a P n , α n ↓ α, β n ↑ β, son funciones (Borel) medibles y β ≤ f ≤ α.<br />
A<strong>de</strong>más como |α n | ≤ M y |β n | ≤ M, siendo esta función integrable pues
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 109<br />
I es acotado y ∫ M dm = M(b − a) < ∞, se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
convergencia dominada, pág.96 que α y β son integrables y<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
lím β n dm = β dm ≤ α dm = lím α n dm.<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
Definición. Diremos que f es Riemann integrable si existe un r ∈ R,<br />
tal que para toda sucesión creciente P n ↑ P <strong>de</strong> particiones finitas <strong>de</strong> I,<br />
tales que |P n | → 0 <strong>la</strong>s funciones Borel–medibles α y β correspondientes<br />
verifican<br />
∫<br />
∫<br />
αdm = βdm = r,<br />
[a,b]<br />
in<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong> <strong>la</strong> sucesión P n tomada, y l<strong>la</strong>maremos integral <strong>de</strong><br />
Riemann a este valor común r, que <strong>de</strong>notaremos<br />
∫ b<br />
a<br />
∫<br />
f(x) dx =<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
∫<br />
αdm =<br />
[a,b]<br />
βdm.<br />
[a,b]<br />
Lema 2.4.29 Sea P n ↑ P una sucesión creciente <strong>de</strong> particiones finitas y<br />
sean α y β los límites superior e inferior respectivamente.<br />
(a) Si x /∈ P y α(x) = β(x), f es continua en x.<br />
(b) Si f es continua en x y |P n | → 0, β(x) = f(x) = α(x).<br />
Demostración. (a) Como α(x) = β(x), 0 ≤ α n (x) − β n (x) → 0, por<br />
tanto para todo ɛ > 0 existe un N tal que para n ≥ N, 0 ≤ α n (x) −<br />
β n (x) < ɛ. Para este n existen a i , a i+1 ∈ P n , tales que x ∈ (a i , a i+1 ) = V<br />
y V es un abierto, entorno <strong>de</strong> x, en el que α n y β n son constantes y<br />
β n ≤ f ≤ α n , por tanto si y ∈ V , |f(x) − f(y)| ≤ ɛ.<br />
(b) Por ser f continua en x, para todo ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que<br />
si y ∈ V = (x − δ, x + δ), entonces f(x) − ɛ < f(y) < f(x) + ɛ. Tomemos<br />
n tal que |P n | < δ y a i−1 , a i ∈ P n , tales que x ∈ [a i−1 , a i ) = E i , entonces<br />
E i ⊂ V y por tanto<br />
f(x) − ɛ ≤ β n (x) ≤ β(x) ≤ f(x) ≤ α(x) ≤ α n (x) ≤ f(x) + ɛ.<br />
Teorema <strong>de</strong> caracterización 2.4.30 Sea f : I → R acotada, entonces<br />
<strong>la</strong>s siguientes condiciones son equivalentes:<br />
(a) f es Riemann integrable.
110 Capítulo 2. Integración<br />
(b) Existe una sucesión creciente <strong>de</strong> particiones finitas P n , cuyas funciones<br />
límite superior e inferior satisfacen<br />
∫<br />
∫<br />
αdm = βdm.<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
(c) f es continua c.s. (m).<br />
y si se satisfacen entonces f es Lebesgue medible, integrable y<br />
∫<br />
[a,b]<br />
f dm =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx.<br />
Demostración. (a)⇒(b) Es obvio.<br />
(b)⇒(c) Si existe una sucesión creciente P n ↑ P <strong>de</strong> particiones, tal<br />
que ∫ α dm = ∫ β dm, entonces como β ≤ f ≤ α se sigue <strong>de</strong> (2.4.25) que<br />
β = α salvo en un Borel medible B con m(B) = 0 y como m(P ) = 0,<br />
pues P = ∪P n es numerable, por el Lema f es continua c.s. (fuera <strong>de</strong><br />
B ∪ P ).<br />
(c)⇒(a) Sea f continua fuera <strong>de</strong> un B ∈ B(R), con m(B) = 0. Sea<br />
P n ↑ P una sucesión creciente <strong>de</strong> particiones <strong>de</strong> I tales que |P n | → 0,<br />
entonces por el Lema si x está fuera <strong>de</strong> B, tendremos que α(x) = f(x) =<br />
β(x). Por tanto f coinci<strong>de</strong> con una función medible α c.s., y f es Lebesgue<br />
medible y acotada por tanto integrable y como α = f = β c.s. tendremos<br />
que<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
fdm = αdm = βdm,<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
y como <strong>la</strong>s integrales no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> P n tendremos que f es Riemann<br />
integrable y que<br />
∫<br />
∫ b<br />
f dm = f(x) dx.<br />
[a,b]<br />
Si <strong>la</strong> función no es acotada en nuestro intervalo acotado o está <strong>de</strong>finida<br />
en un intervalo no acotado tenemos <strong>la</strong> siguiente extensión <strong>de</strong> integrabilidad<br />
en el sentido <strong>de</strong> Riemann.<br />
Definición. Si f : (c, d) ⊂ R → R, para −∞ ≤ c < d ≤ ∞ es Riemann<br />
integrable en cada intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ (c, d), <strong>de</strong>finimos<br />
<strong>la</strong> integral impropia <strong>de</strong> Riemann como,<br />
∫ d<br />
c<br />
f(x)dx =<br />
a<br />
∫ b<br />
lím<br />
a→c, b→d a<br />
[a,b]<br />
f(x)dx,
2.4. Teoremas básicos <strong>de</strong> integración 111<br />
∫ bn<br />
si existe el límite, es <strong>de</strong>cir si existe el lím n→∞ a n<br />
f(x)dx y no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s sucesiones a n → c y b n → d.<br />
Ejemplo 2.4.31 Por ejemplo <strong>la</strong> función f : [0, ∞) → R, f(x) = e −x es<br />
acotada pero está <strong>de</strong>finida en un intervalo no acotado y tiene integral<br />
impropia <strong>de</strong> Riemann y es finita pues e −x ≥ 0 es continua y para cada<br />
b > 0, se sigue <strong>de</strong> (2.4.3) que<br />
∫ b ∫<br />
∫<br />
e −x dx = e −x dm = − (e −x ) ′ dm = 1 − e −b ,<br />
0<br />
[0,b]<br />
por tanto existe el límite cuando b → ∞, (<strong>la</strong> segunda integral por el<br />
teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> carga (2.4.1))<br />
∫ ∞ ∫<br />
(2.3)<br />
e −x dx = e −x dm = 1<br />
0<br />
[0,∞)<br />
Por ejemplo <strong>la</strong> función f : (0, 1) → R, f(x) = 1/x, no es acotada<br />
aunque el intervalo en el que está <strong>de</strong>finida sí lo es y tiene integral impropia<br />
<strong>de</strong> Riemann pues es Riemann integrable en cada intervalo cerrado<br />
[a, b] ⊂ (0, 1) y su integral vale<br />
∫ b<br />
a<br />
[0,b]<br />
1<br />
x<br />
∫[a,b]<br />
dx = 1<br />
x<br />
∫[a,b]<br />
dm = (log x) ′ dm = log b − log a,<br />
cuyo límite cuando b → 1 − y a → 0 + existe y es infinito y se cumple que<br />
∫ 1<br />
0<br />
1<br />
x<br />
∫(0,1)<br />
dx = 1<br />
dm = ∞.<br />
x<br />
No obstante <strong>de</strong>bemos advertir que una función pue<strong>de</strong> tener integral<br />
impropia <strong>de</strong> Riemann finita y sin embargo no ser Lebesgue integrable,<br />
pues por ejemplo para f : [0, ∞) → R<br />
∞∑ (−1) n<br />
f =<br />
n<br />
I [n−1,n),<br />
n=1<br />
existe <strong>la</strong> integral impropia <strong>de</strong> Riemann<br />
∫ ∞<br />
∞∑<br />
f(x)dx =<br />
0<br />
n=1<br />
(−1) n<br />
n ,<br />
y es finita, pero sin embargo f no es Lebesgue integrable, pues no lo es<br />
|f|, ya que ∫ |f|dm = ∑ (1/n) = ∞.
112 Capítulo 2. Integración<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 2.4.40 Demostrar que si f n : I → R son Riemann–integrables y f n →<br />
f uniformemente, entonces f es Riemann–integrable. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.41 Sea C = [a, b] ∩ Q = {c n} y f : I = [a, b] → R, f(x) = 0 si x<br />
es irracional, x ∈ C c ; y f(c n) = 1/n. Demostrar que f es Riemann–integrable<br />
y calcu<strong>la</strong>r su integral. (Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.42 (a) Demostrar que si f tiene integral impropia <strong>de</strong> Riemann,<br />
entonces es continua c.s. (m), pero no recíprocamente.<br />
(b) Si f ≥ 0 y es acotada en cada compacto, entonces se tiene <strong>la</strong> equivalencia.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 2.4.43 Sea f : R → R no negativa, con integral impropia <strong>de</strong> Riemann<br />
finita, <strong>de</strong>mostrar que f es Lebesgue medible e integrable y <strong>la</strong>s dos integrales<br />
coinci<strong>de</strong>n. Dar un contraejemplo si quitamos <strong>la</strong> no negatividad. (Sol.)<br />
2.5. Bibliografía y comentarios<br />
Los libros consultados en <strong>la</strong> e<strong>la</strong>boración <strong>de</strong> este tema han sido:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Bartle, R.G.: “The elements of integration”. John Wiley, 1966.<br />
Cohn, D.L.: “Measure theory”. Birkhauser (Boston), 1980.<br />
Ivorra Castillo, Carlos: “Analisis”. Libro en pdf que se encuentra en <strong>la</strong> dirección<br />
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Libros.htm<br />
En cuanto a una bibliografía complementaria, recomendamos los siguientes<br />
textos<br />
Bene<strong>de</strong>tto, J.J.: “Real variable and integration”, B.G.Teubner, 1976.<br />
Halmos, P.R.: “Measure Theory”. Springer-Ver<strong>la</strong>g, 1974.
2.5. Bibliografía y comentarios 113<br />
Munroe, M.E.: “Measure and integration”, Addison Wesley, 1971.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”, Tata McGraw-Hill, 1974.<br />
Por otra parte el trabajo <strong>de</strong> Volterra que comentamos al comienzo<br />
<strong>de</strong>l tema es<br />
Volterra, V.: “Sui principii <strong>de</strong>l calcolo integrale”. G.Battaglini, 19, 333-372, 1881.<br />
Una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s ventajas <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral introducida por Lebesgue, es su<br />
gran flexibilidad en el sentido siguiente: Hemos visto que una función es<br />
Riemann integrable sii es continua en casi todo punto. Sin embargo una<br />
función Lebesgue integrable pue<strong>de</strong> ser discontinua en todo punto, incluso<br />
—y esta es una diferencia fundamental— no necesita <strong>de</strong> un contexto<br />
topológico para ser introducida, pues solo precisa <strong>de</strong> un conjunto, una<br />
estructura <strong>de</strong> σ–álgebra y una medida. De esto es probable que no fuera<br />
consciente Lebesgue ni Radon quien en 1913 da una <strong>de</strong>finición <strong>de</strong><br />
integral en<br />
Radon, J.: “Theorie und Anwendungen <strong>de</strong>r absolut additiven Mengenfunctionen”.<br />
S.B. Akad. Wiss. Wien, 122, 1295-1438, 1913.<br />
con los procedimientos <strong>de</strong> Lebesgue, pero partiendo <strong>de</strong> una medida<br />
distinta a <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue, sobre los Lebesgue medibles. Sin embargo<br />
casi inmediatamente <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> <strong>la</strong> aparición <strong>de</strong> esta memoria, Frechet<br />
seña<strong>la</strong>ba que casi todos los resultados <strong>de</strong> <strong>la</strong> misma podían exten<strong>de</strong>rse al<br />
caso en que <strong>la</strong> medida estuviese <strong>de</strong>finida en una σ–álgebra arbitraria. Y<br />
así nació <strong>la</strong> integración abstracta <strong>de</strong> Lebesgue. Pero hay en <strong>la</strong> literatura<br />
otros puntos <strong>de</strong> vista para introducir <strong>la</strong> integral, entre los que <strong>de</strong>stacan<br />
el <strong>de</strong> Daniell, <strong>de</strong>l que hab<strong>la</strong>remos mas a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte y el <strong>de</strong> Bochner en<br />
el que se integran funciones que toman valores en un espacio <strong>de</strong> Banach.<br />
Para los interesados en este último nos remitimos a los libros<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
Mikusinski, J.: “The Bochner integral”, Birkhauser, 1978.<br />
<strong>de</strong>l que el primero, a parte <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> esta integral, tiene en <strong>la</strong><br />
página 232 numerosos datos históricos <strong>de</strong> los que han contribuido en el<br />
tema. Por su parte el segundo introduce una noción <strong>de</strong> integración para<br />
<strong>la</strong> que sólo se requieren algunas nociones sobre series absolutamente<br />
convergentes y cuya i<strong>de</strong>a básica resi<strong>de</strong> en elegir una vía <strong>de</strong> aproximación<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> integral distinta <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>de</strong> Riemann y Lebesgue, atendiendo a <strong>la</strong>s<br />
“abscisas” y “or<strong>de</strong>nadas” a <strong>la</strong> vez —en forma <strong>de</strong> rectángulos—, y no<br />
a <strong>la</strong>s abscisas sólo, como hacía Riemann ó a <strong>la</strong>s or<strong>de</strong>nadas sólo, como
114 Capítulo 2. Integración<br />
hacía Lebesgue. De esta forma no sólo recupera <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Lebesgue,<br />
sino que su <strong>de</strong>finición se extien<strong>de</strong> automáticamente a <strong>la</strong> integral <strong>de</strong><br />
Bochner reemp<strong>la</strong>zando simplemente, los coeficientes reales <strong>de</strong> <strong>la</strong>s series,<br />
por elementos <strong>de</strong>l espacio <strong>de</strong> Banach correspondiente.<br />
Sabemos que existen funciones f : [a, b] → R (ver <strong>la</strong> página 80 <strong>de</strong>l Bene<strong>de</strong>tto),<br />
diferenciables en todo punto, pero con ∫ |f ′ | no finita. Hay<br />
sin embargo teorías generales <strong>de</strong> integración como <strong>la</strong>s <strong>de</strong>bidas a Perron<br />
y Denjoy, que tienen <strong>la</strong> propiedad <strong>de</strong> que el Teorema fundamental <strong>de</strong>l<br />
cálculo es válido para <strong>la</strong>s funciones diferenciables. Tales teorías son importantes<br />
pero no tanto como <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> Lebesgue, y probablemente<br />
una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s razones para que esto sea así es que en el<strong>la</strong>s no se tiene <strong>la</strong><br />
propiedad <strong>de</strong> que una función sea integrable si y sólo si lo es su módulo,<br />
propiedad que surge <strong>de</strong> <strong>la</strong> propia <strong>de</strong>finición en <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue. Remitimos<br />
al lector a <strong>la</strong> p. 79 <strong>de</strong>l Bene<strong>de</strong>tto para referencias bibliográficas<br />
sobre <strong>la</strong> cuestión.<br />
Comentemos ahora <strong>la</strong> historia <strong>de</strong> los resultados fundamentales <strong>de</strong><br />
este capítulo. La <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> integral <strong>de</strong> Riemann se encuentra en el<br />
epígrafe 4 <strong>de</strong>l trabajo <strong>de</strong><br />
Riemann, Bernhard: “Ueber die darstellbarkeit einer function durch eine trigonometrische<br />
reihe (Sobre <strong>la</strong> representabilidad <strong>de</strong> una función mediante una serie<br />
trigonométrica)”, Tesis <strong>de</strong> habilitación, 1854 (publicada en 1868).<br />
Esta obra junto con otras <strong>de</strong> Riemann han sido traducidas al español<br />
en el volumen<br />
Ferreirós, José: “Bernhard Riemann. Riemanniana Selecta”, Consejo Superior <strong>de</strong><br />
investigaciones científicas, 2000.<br />
En su Tésis <strong>de</strong> 1902 Lebesgue comenta que su teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia<br />
dominada, pág.96 es una generalización, con una simplificación en<br />
<strong>la</strong> prueba, <strong>de</strong> un resultado <strong>de</strong> W.F.Osgood <strong>de</strong> 1897. Este a su vez era<br />
un caso particu<strong>la</strong>r, para f continua <strong>de</strong>l siguiente resultado:<br />
Teorema 2.5.1 Dadas f, f n : [a, b] → R Riemann integrables, tales que<br />
f n (x) → f(x) para cada x ∈ [a, b] y sup n sup x |f n (x)| < ∞, entonces<br />
∫<br />
lím<br />
∫<br />
f n (x)dx = f(x)dx.”<br />
que aparece inicialmente en 1885, en el trabajo<br />
Arzelá, C.: “Sul<strong>la</strong> integrazione per serie”. Atti. Ecc. Lincei, Roma 1, 532-537, 1885.
2.5. Bibliografía y comentarios 115<br />
Partiendo <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> integral Riemann no es fácil probar<br />
(2.5.1), mientras que el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, pág.96<br />
que es mucho mas general, es mas sencillo. La razón estriba en que el<br />
resultado <strong>de</strong> Arzelá <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> numerable aditividad <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida<br />
y partiendo <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> Riemann probar tal propiedad requiere<br />
algún esfuerzo, mientras que en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> Lebesgue esta se tiene<br />
esencialmente <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el principio.<br />
En 1906 Fatou prueba el lema que lleva su nombre en<br />
Fatou, P.: “Series trigonometriques et series <strong>de</strong> Taylor”, Acta Math. 30, 335-400,<br />
1906.<br />
porque lo necesitaba para probar el siguiente resultado sobre series <strong>de</strong><br />
Fourier<br />
Teorema 2.5.2 f(x) = lím ∑ ∞<br />
−∞ c nt n e inx , cuando t → 1 − , para<br />
para cada n ∈ Z.<br />
c n = (1/2π)<br />
∫ 2π<br />
0<br />
f(x)e −inx dx,<br />
Es curioso observar que Fatou combinando su lema y (2.5.2) prueba<br />
<strong>la</strong> Igualdad <strong>de</strong> Parseval —<strong>de</strong> <strong>la</strong> que hab<strong>la</strong>remos en otro tema—, para<br />
funciones periódicas <strong>de</strong> cuadrado integrable, hecho que Lebesgue inicialmente<br />
había probado sólo para funciones periódicas acotadas c.s.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 2
116 Capítulo 2. Integración
Capítulo 3<br />
Espacio <strong>de</strong> medida<br />
producto<br />
3.1. Introducción<br />
Nuestro principal objetivo en este tema consiste en construir una σ–<br />
álgebra A y una medida µ en el producto Ω = ∏ Ω i , <strong>de</strong> una familia <strong>de</strong><br />
espacios <strong>de</strong> medida (Ω i , A i , µ i ), para i ∈ I, e investigar <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre<br />
<strong>la</strong> integración en el espacio producto y <strong>la</strong> integración en los espacios<br />
factores.<br />
El ejemplo mas familiar consiste en consi<strong>de</strong>rar el p<strong>la</strong>no R 2 como el<br />
producto <strong>de</strong> dos rectas R, don<strong>de</strong> el cálculo <strong>de</strong> áreas <strong>de</strong> figuras p<strong>la</strong>nas se<br />
obtiene a partir <strong>de</strong>l cálculo <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> segmentos<br />
m 2 ([a, b] × [c, d]) = m 1 ([a, b])m 1 ([c, d]),<br />
<strong>de</strong> modo que m 2 , <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no, es en cierto sentido<br />
el producto <strong>de</strong> dos copias <strong>de</strong> m 1 , <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue <strong>de</strong> <strong>la</strong> recta.<br />
Nuestra intención es <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>r esta i<strong>de</strong>a en una forma general. Sin<br />
embargo estaremos interesados en dos construcciones <strong>de</strong> naturaleza distinta,<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s que <strong>la</strong> primera respon<strong>de</strong> al marco <strong>de</strong>l comentario anterior<br />
117
118 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
que es <strong>de</strong> índole geométrica y está basada en <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> área <strong>de</strong> un<br />
rectángulo. En este caso consi<strong>de</strong>raremos, para A ∈ A 1 y B ∈ A 2<br />
µ(A × B) = µ 1 (A)µ 2 (B).<br />
La segunda construcción es <strong>de</strong> naturaleza probabilística y está basada<br />
en <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> experimento compuesto: Supongamos un experimento en el<br />
que se realizan dos observaciones. La primera x 1 está en Ω 1 y <strong>la</strong> segunda<br />
x 2 en Ω 2 . La probabilidad <strong>de</strong> que <strong>la</strong> primera caiga en un conjunto A ∈ A 1<br />
es µ 1 (A). A<strong>de</strong>más, una vez hecha <strong>la</strong> observación x 1 , <strong>la</strong> probabilidad <strong>de</strong><br />
que <strong>la</strong> segunda caiga en un conjunto B ∈ A 2 es µ x1 (B). Entonces es<br />
razonable que <strong>la</strong> probabilidad <strong>de</strong> que <strong>la</strong> observación (x 1 , x 2 ) caiga en<br />
A × B sea<br />
∫<br />
µ(A × B) = µ x (B) dµ 1 .<br />
Veámoslo con un ejemplo: Consi<strong>de</strong>remos que extraemos una carta <strong>de</strong><br />
una baraja españo<strong>la</strong> y a continuación una segunda ¿cual es <strong>la</strong> probabilidad<br />
<strong>de</strong> que <strong>la</strong> primera sea un as (A) y <strong>la</strong> segunda sea una espada (B)?.<br />
Po<strong>de</strong>mos contestar <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente manera: Sea C el conjunto <strong>de</strong> cartas,<br />
como <strong>la</strong> primera carta no se <strong>de</strong>vuelve y todas son igualmente probables<br />
tendremos en nuestro conjunto <strong>de</strong> pares <strong>de</strong> cartas posibles (C × C)\∆,<br />
con ∆ <strong>la</strong> diagonal, que <strong>la</strong> probabilidad es:<br />
casos favorables<br />
casos posibles<br />
A<br />
= 39<br />
39 · 40 = 1 40 .<br />
Pero po<strong>de</strong>mos proce<strong>de</strong>r <strong>de</strong> otro modo: condicionado por <strong>la</strong> primera<br />
extracción, tenemos que si <strong>la</strong> primera es el as <strong>de</strong> espadas (cuya probabilidad<br />
es 1/40), <strong>la</strong> segunda tiene probabilidad 9/39 <strong>de</strong> ser espada y si<br />
<strong>la</strong> primera es cualquiera <strong>de</strong> los otros ases <strong>la</strong> segunda tiene probabilidad<br />
10/39, en cuyo caso <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha en <strong>la</strong> ecuación anterior nos<br />
da<br />
∫<br />
A<br />
µ x (B) dµ 1 = 1<br />
40 · 9<br />
39 + 3<br />
40 · 10<br />
39 = 1<br />
40 ,<br />
que es el mismo resultado. Ahora bien es fácil ver (lo <strong>de</strong>mostraremos<br />
en general) que hay una única probabilidad µ en el espacio C × C, que<br />
satisface <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong> arriba, pero ¿cual es esta probabilidad?, el cálculo<br />
anterior aplicado a una única carta c ∈ C, da µ({c}×{c}) = 0 y por tanto<br />
µ(∆) = 0, mientras que a dos cartas distintas a, b ∈ C, µ({a} × {b}) =<br />
1/(39·40), y por tanto es <strong>la</strong> probabilidad consi<strong>de</strong>rada en el primer cálculo,<br />
<strong>de</strong>finida en el espacio producto.
3.2. Producto finito <strong>de</strong> espacios medibles 119<br />
3.2. Producto finito <strong>de</strong> espacios medibles<br />
Definición. Sean (Ω 1 , A 1 ), . . . , (Ω n , A n ) espacios medibles. Diremos que<br />
una σ–álgebra A en el producto Ω = Ω 1 ×· · ·×Ω n es <strong>la</strong> σ–álgebra producto<br />
si se verifican <strong>la</strong>s condiciones:<br />
(a) Las proyecciones π i : Ω → Ω i son medibles.<br />
(b) Dado otro espacio medible (Ω ′ , A ′ ), una aplicación<br />
F : Ω ′ −→ Ω,<br />
es medible si y sólo si sus componentes F i = π i ◦ F son medibles.<br />
Veremos que A existe y es única y <strong>la</strong> <strong>de</strong>notaremos A 1 ⊗ · · · ⊗ A n y<br />
l<strong>la</strong>maremos espacio medible producto a <strong>la</strong> pareja<br />
(Ω, A) = (Ω 1 × · · · × Ω n , A 1 ⊗ · · · ⊗ A n ).<br />
Definición. Sean (Ω 1 , A 1 ), . . . , (Ω n , A n ) espacios medibles. L<strong>la</strong>maremos<br />
producto <strong>de</strong> medibles a todo subconjunto<br />
A 1 × · · · × A n ⊂ Ω 1 × · · · × Ω n , con los A i ∈ A i .<br />
Nota 3.2.1 Denotaremos 1 con R = A 1 × · · · × A n <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> los productos<br />
<strong>de</strong> medibles, que es una c<strong>la</strong>se elemental (ver el ejercicio (1.2.5)),<br />
pág.11), y con A 0 <strong>la</strong>s uniones finitas disjuntas <strong>de</strong> estos, que es álgebra<br />
(ver el ejercicio (1.2.6), pág.12).<br />
Proposición 3.2.2 La σ–álgebra producto existe, es única y es <strong>la</strong> generada<br />
por los productos <strong>de</strong> medibles.<br />
Demostración. Veamos que σ(R) cumple <strong>la</strong>s dos propieda<strong>de</strong>s:<br />
(a) Si A i ∈ A i , π −1<br />
i (A i ) = Ω 1 × · · · × A i × · · · × Ω n ∈ R.<br />
1 Consi<strong>de</strong>raremos <strong>la</strong> siguiente notación: Dadas <strong>la</strong>s familias <strong>de</strong> subconjuntos C i ⊂<br />
P(Ω i ), i = 1, . . . , n<br />
C 1 × · · · × C n = {B 1 × · · · × B n : B i ∈ C i }.
120 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
(b) Si F es medible, F i = π i ◦ F son medibles. Recíprocamente si <strong>la</strong>s<br />
F i son medibles y A i ∈ A i , entonces F −1<br />
i (A i ) ∈ A ′ y<br />
F −1 (A 1 × · · · × A n ) = ∩F −1<br />
i (A i ) ∈ A ′ ⇒ F es medible<br />
pues F −1 [σ(R)] = σ[F −1 (R)], (ver el ejercicio (1.2.3), pág.11).<br />
Veamos que es única, para ello supongamos que hay dos A y A ′ sobre<br />
Ω, basta tomar en (b) <strong>la</strong> id: (Ω, A ′ ) → (Ω, A) y <strong>la</strong> id: (Ω, A) → (Ω, A ′ ),<br />
que son medibles y por tanto A = A ′ .<br />
Ω 2<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
(x, y)<br />
•<br />
.<br />
.<br />
.<br />
E x<br />
.<br />
E<br />
E y<br />
.<br />
Ω 1<br />
Figura 3.1. Las secciones E x y E y <strong>de</strong> E<br />
Definición. Sean (Ω 1 , A 1 ) y (Ω 2 , A 2 ) espacios medibles, E ⊂ Ω 1 ×<br />
Ω 2 y sean x ∈ Ω 1 , y ∈ Ω 2 . Definimos <strong>la</strong>s secciones <strong>de</strong> E por x e y<br />
respectivamente como<br />
E x = {q ∈ Ω 2 : (x, q) ∈ E},<br />
E y = {p ∈ Ω 1 : (p, y) ∈ E},<br />
y para f : Ω = Ω 1 × Ω 2 → Ω ′ , <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong>s secciones <strong>de</strong> f por x e y<br />
como<br />
f x : Ω 2 → Ω ′ ,<br />
f y : Ω 1 → Ω ′ ,<br />
f x (q) = f(x, q),<br />
f y (p) = f(p, y).<br />
Proposición 3.2.3 Sea (Ω, A) = (Ω 1 ×Ω 2 , A 1 ⊗A 2 ), E, E n ⊂ Ω y (x, y) ∈<br />
Ω, entonces<br />
[E c ] x = [E x ] c , [∪E n ] x = ∪[E n ] x , [∩E n ] x = ∩[E n ] x ,<br />
(í<strong>de</strong>m para <strong>la</strong>s secciones por y) y si E ∈ A y f : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) es<br />
medible, entonces E x ∈ A 2 , E y ∈ A 1 , y f x , f y son medibles.
3.2. Producto finito <strong>de</strong> espacios medibles 121<br />
Demostración. Hacemos uso <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong> los buenos conjuntos.<br />
Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> conjuntos<br />
C = {E ∈ A : E x ∈ A 2 },<br />
<strong>la</strong> cual contiene a A 1 × A 2 , pues para E = A × B,<br />
{<br />
B, si x ∈ A,<br />
E x = {q ∈ Ω 2 : (x, q) ∈ A × B} =<br />
∅, si x ∈ A c , ∈ A 2,<br />
y es σ–álgebra, pues dado E ∈ C, E c ∈ C, ya que<br />
(E c ) x = {q ∈ Ω 2 : (x, q) /∈ E} = {q : q /∈ E x } = (E x ) c ∈ A 2 ,<br />
y dados E n ∈ C, ∪E n ∈ C, pues (∪ ∞ n=1E n ) x = ∪ ∞ n=1(E n ) x ∈ A 2 , por<br />
tanto C = A y para cada E ∈ A, E x ∈ A 2 y <strong>de</strong>l mismo modo se<br />
<strong>de</strong>muestra que E y ∈ A 1 .<br />
Si f es medible f x es medible pues es <strong>la</strong> composición f ◦ i x , para<br />
i x (q) = (x, q) que es medible.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 3.2.1 Sean Ω 1 y Ω 2 espacios topológicos. Demostrar que:<br />
(a) B(Ω 1) ⊗ B(Ω 2) ⊂ B(Ω 1 × Ω 2).<br />
(b) Si sus topologías tienen bases numerables, B(Ω 1) ⊗ B(Ω 2) = B(Ω 1 × Ω 2).<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 3.2.2 Sean (Ω 1, A 1) y (Ω 2, A 2) espacios medibles y f : Ω 1 → R y<br />
g : Ω 2 → R medibles, <strong>de</strong>mostrar que h(x, y) = f(x)g(y) es A 1 ⊗ A 2–medible.<br />
Ejercicio 3.2.3 Demostrar que (A 1 ⊗ · · · ⊗ A n−1) ⊗ A n = A 1 ⊗ · · · ⊗ A n.<br />
Ejercicio 3.2.4 Sea f : R 2 → R, tal que f x es Borel medible para cada x y f y<br />
continua para cada y. Demostrar que f es Borel medible. (Sol.)
122 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
3.3. <strong>Medida</strong> producto <strong>de</strong> dos espacios<br />
Teorema clásico <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto 3.3.1<br />
Sean (Ω 1 , A 1 , µ 1 ) y (Ω 2 , A 2 , µ 2 ) espacios <strong>de</strong> medida. Existe una medida<br />
µ en A tal que para cada A ∈ A 1 y B ∈ A 2<br />
µ(A × B) = µ 1 (A)µ 2 (B),<br />
a<strong>de</strong>más es única si los espacios factores son σ–finitos, en cuyo caso el<strong>la</strong><br />
también lo es y es una probabilidad si µ 1 y µ 2 lo son.<br />
Demostración. La medida <strong>la</strong> tenemos <strong>de</strong>finida en R, los productos<br />
<strong>de</strong> medibles A × B<br />
µ(A × B) = µ 1 (A)µ 2 (B),<br />
para exten<strong>de</strong>r<strong>la</strong> a A 0 , veamos primero que si un producto <strong>de</strong> medibles<br />
R = A × B es unión disjunta, finita o numerable, <strong>de</strong> productos <strong>de</strong> medibles<br />
R n = A n × B n , R = ∪R n , entonces µ(R) = ∑ µ(R n ), para ello<br />
observemos que I A×B = ∑ I An×B n<br />
y por tanto<br />
∫ ∫<br />
µ(R) = µ 1 (A)µ 2 (B) = I A (x)I B (y) dµ 1 dµ 2<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫ ∑<br />
= I A×B (x, y) dµ 1 dµ 2 = IAn×B n<br />
dµ 1 dµ 2<br />
= ∑ ∫ ∫ I An×B n<br />
dµ 1 dµ 2 = ∑ µ(R n ).<br />
Esto nos permite <strong>de</strong>finir <strong>de</strong> modo único µ en el álgebra A 0 <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones<br />
finitas disjuntas <strong>de</strong> productos <strong>de</strong> medibles <strong>de</strong> forma aditiva y a<strong>de</strong>más µ<br />
es una medida en A 0 , pues si E n ∈ A 0 son disjuntos y E = ∪E n ∈ A 0 ,<br />
entonces E = R 1 ∪ · · · ∪ R m , con los R i ∈ R disjuntos y E n = ∪ mn<br />
j=1 R nj,<br />
con los R nj ∈ R disjuntos y como se tienen <strong>la</strong>s particiones con elementos<br />
<strong>de</strong> R, R i = ∪ n,j (R i ∩ R nj ) y R nj = ∪ i (R i ∩ R nj ), tendremos por <strong>la</strong><br />
propiedad anterior que<br />
m∑<br />
m∑ ∞∑ ∑m n<br />
∞∑ ∑m n m∑<br />
µ(E) = µ(R i ) =<br />
µ(R i ∩ R nj ) =<br />
µ(R i ∩ R nj )<br />
i=1<br />
n=1 j=1<br />
i=1 n=1 j=1<br />
∞∑ ∑m n<br />
∞∑<br />
= µ(R nj ) = µ(E n ).<br />
n=1<br />
n=1 j=1 i=1
3.3. <strong>Medida</strong> producto <strong>de</strong> dos espacios 123<br />
El resultado se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Caratheodory (1.4.7),<br />
pág.21. Si a<strong>de</strong>más los espacios factores son σ–finitos, µ también lo es,<br />
pues en tal caso existen sendas particiones A n ∈ A 1 <strong>de</strong> Ω 1 y B n ∈ A 2 <strong>de</strong><br />
Ω 2 , con µ 1 (A n ), µ 2 (B n ) < ∞, por lo que A n × B m ∈ A 0 es una partición<br />
<strong>de</strong> Ω = Ω 1 × Ω 2 con<br />
µ(A n × B m ) = µ 1 (A n )µ 2 (B m ) < ∞.<br />
y <strong>la</strong> unicidad se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Hahn (1.4.8), pág.23.<br />
Observemos que por el Teorema <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Caratheodory se<br />
verifica <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong><br />
(3.1)<br />
∞∑<br />
∞⋃<br />
µ(E) = ínf{ µ 1 (A n )µ 2 (B n ) : A n ∈ A 1 , B n ∈ A 2 , E ⊂ A n × B n },<br />
n=1<br />
no obstante daremos otra fórmu<strong>la</strong> más útil para calcu<strong>la</strong>r este valor en<br />
(3.3.6), pág.127.<br />
Definición. A <strong>la</strong> medida µ = µ 1 ×µ 2 <strong>de</strong>l teorema anterior <strong>la</strong> l<strong>la</strong>maremos<br />
<strong>la</strong> medida producto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos medidas σ–finitas µ 1 y µ 2 .<br />
Ejemplo 3.3.2 En el caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> Ω 1 = Ω 2 = R, A 1 = A 2 = B(R)<br />
y µ 1 = µ 2 = m, tenemos otra construcción <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue<br />
bidimensional: Se tiene<br />
B(R) ⊗ B(R) = B(R 2 ),<br />
(ver el ejercicio (3.2.1)) y m × m es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue bidimensional,<br />
ya que por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto m × m coinci<strong>de</strong> con<br />
<strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue bidimensional sobre los semi–rectángulos y por<br />
tanto sobre sus uniones finitas disjuntas, es <strong>de</strong>cir sobre el álgebra que<br />
generan. Por lo tanto coinci<strong>de</strong>n en B(R 2 ) por el Teorema <strong>de</strong> extensión<br />
<strong>de</strong> Hahn, pág.23.<br />
3.3.1. <strong>Medida</strong>s <strong>de</strong> transición<br />
A continuación exten<strong>de</strong>remos el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto al<br />
caso en el que tenemos una medida en uno <strong>de</strong> los espacios y una familia<br />
<strong>de</strong> medidas {µ x } x∈Ω1 en el otro, parametrizada por el primero. Pero<br />
a<strong>de</strong>más daremos una útil fórmu<strong>la</strong> para el cálculo explícito <strong>de</strong> esta medida<br />
en cualquier medible E, cosa que en el caso <strong>de</strong> que <strong>la</strong> familia se reduzca<br />
n=1
124 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
a una medida µ 2 sólo sabemos que verifica <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> general dada en<br />
(3.1), pág. 123, proporcionada por el Teorema <strong>de</strong> Caratheodory.<br />
Definición. Sean (Ω 1 , A 1 ) y (Ω 2 , A 2 ) espacios medibles. L<strong>la</strong>maremos<br />
medida <strong>de</strong> transición en Ω 2 , re<strong>la</strong>tiva a Ω 1 , a toda colección <strong>de</strong> medidas<br />
{µ x } x∈Ω1 en (Ω 2 , A 2 ), tales que para cada B ∈ A 2 , es medible <strong>la</strong> función<br />
µ B : Ω 1 → [0, ∞], µ B (x) = µ x (B).<br />
Definición. Diremos que <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> transición µ x es finita si cada<br />
µ x es finita. Diremos que es σ–finita si lo es cada µ x . Diremos que es<br />
uniformemente σ–finita si para cada n ∈ N existen 0 ≤ k n < ∞ y<br />
B n ∈ A 2 , tales que Ω 2 = ∪B n y µ x (B n ) ≤ k n , para todo x ∈ Ω 1 .<br />
Diremos que µ x es una probabilidad <strong>de</strong> transición si cada µ x es una<br />
probabilidad, es <strong>de</strong>cir<br />
µ x (Ω 2 ) = 1.<br />
Nota 3.3.3 Estas probabilida<strong>de</strong>s tienen un significado práctico <strong>de</strong> gran<br />
valor y forman el fundamento para el estudio <strong>de</strong> los procesos <strong>de</strong> Markov<br />
(ver Parthasarathy, p.166–7).<br />
El siguiente resultado recoge el proceso <strong>de</strong> construcción <strong>de</strong> una medida<br />
en el espacio producto <strong>de</strong>scrito al comienzo <strong>de</strong>l tema.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto 3.3.4 Sea (Ω 1 , A 1 , µ 1 ) un espacio <strong>de</strong><br />
medida σ–finita, (Ω 2 , A 2 ) un espacio medible y {µ x } x∈Ω1 una medida <strong>de</strong><br />
transición en A 2 , uniformemente σ–finita. Entonces:<br />
(a) Para cada E ∈ A = A 1 ⊗ A 2 , <strong>la</strong> función x → µ x (E x ) es medible.<br />
(b) Existe una única medida µ en A, tal que para cada A ∈ A 1 y<br />
B ∈ A 2 ∫<br />
µ(A × B) = µ B dµ 1 ,<br />
A<br />
a<strong>de</strong>más µ es σ–finita y para cada E ∈ A verifica<br />
∫<br />
µ(E) = µ x (E x ) dµ 1 .<br />
(c) Si µ 1 y µ x son probabilida<strong>de</strong>s, entonces µ es una probabilidad.<br />
Demostración. (a) Supongamos en primer lugar que para cada x,<br />
<strong>la</strong>s medidas µ x son finitas. Hagamos uso <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong> los buenos<br />
conjuntos. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se<br />
C = {E ∈ A : µ x (E x ) es medible},
3.3. <strong>Medida</strong> producto <strong>de</strong> dos espacios 125<br />
<strong>la</strong> cual contiene al álgebra A 0 <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones finitas disjuntas <strong>de</strong> productos<br />
<strong>de</strong> medibles, pues por una parte contiene a cada producto <strong>de</strong><br />
medibles E = A × B, ya que<br />
µ x (E x ) = µ B · I A ,<br />
es medible y dada una unión finita disjunta <strong>de</strong> productos <strong>de</strong> medibles<br />
E = ∪ n i=1 R i<br />
n∑<br />
µ x (E x ) = µ x ([∪ n i=1R i ] x ) = µ x (∪ n i=1[R i ] x ) = µ x ([R i ] x ),<br />
es medible por ser suma finita <strong>de</strong> medibles. Pero a<strong>de</strong>más C es c<strong>la</strong>se<br />
monótona, pues<br />
i=1<br />
E n ↑ E ⇒ (E n ) x ↑ E x ⇒ µ x [(E n ) x ] ↑ µ x (E x ),<br />
y si <strong>la</strong>s E n ∈ C entonces E ∈ C, pues µ x (E x ) es medible por ser límite <strong>de</strong><br />
medibles. Lo mismo si E n ↓ E, teniendo en cuenta que µ x es finita, por<br />
tanto se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se monótona, pág. 10, que C = A.<br />
Ahora supongamos que µ x es uniformemente σ–finita y sea para cada<br />
n ∈ N, 0 ≤ k n < ∞ y B n ∈ A 2 , disjuntos tales que Ω 2 = ∪B n y<br />
µ x (B n ) ≤ k n , para todo x ∈ Ω 1 . Consi<strong>de</strong>remos para cada n ∈ N <strong>la</strong><br />
medida <strong>de</strong> transición finita, que para cada B ∈ A 2 y x ∈ Ω 1 vale<br />
(µ n ) x (B) = µ x (B ∩ B n ),<br />
ahora por lo anterior (µ n ) x (E x ) es medible, por tanto también lo es<br />
µ x (E x ) = ∑ µ x (E x ∩ B n ) = ∑ (µ n ) x (E x ).<br />
(b) Como 0 ≤ µ x (E x ) es medible, po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar su integral<br />
∫<br />
µ(E) = µ x (E x ) dµ 1 ,<br />
para cada E ∈ A, que es una medida, pues µ(∅) = 0 y para E n ∈ A<br />
disjuntos<br />
∫<br />
µ (∪ ∞ n=1E n ) = µ x ((∪ ∞ n=1E n ) x<br />
) dµ 1<br />
∫<br />
= µ x (∪ ∞ n=1(E n ) x ) dµ 1<br />
∞∑<br />
∫<br />
∞∑<br />
= µ x ((E n ) x ) dµ 1 = µ(E n ),<br />
n=1<br />
n=1
126 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
para <strong>la</strong> que se tiene<br />
∫<br />
µ(A × B) = µ x ([A × B] x ) dµ 1<br />
∫<br />
∫<br />
= I A µ x (B) dµ 1 =<br />
A<br />
µ B dµ 1 ,<br />
y es σ–finita en A 0 ya que µ 1 lo es y por tanto existe una partición<br />
A n ∈ A 1 , <strong>de</strong> Ω 1 , con µ 1 (A n ) < ∞ y A n ×B m ∈ R ⊂ A 0 es una partición<br />
<strong>de</strong> Ω para <strong>la</strong> que<br />
∫<br />
µ(A n × B m ) = µ x (B m ) dµ 1 ≤ k m µ 1 (A n ) < ∞,<br />
A n<br />
por tanto es <strong>la</strong> única que satisface <strong>la</strong> propiedad, pues si λ es otra medida<br />
en el espacio producto, tal que para cada producto <strong>de</strong> medibles A × B<br />
∫<br />
λ(A × B) = µ x (B) dµ 1 ,<br />
entonces µ y λ coinci<strong>de</strong>n en el álgebra A 0 y por el Teorema <strong>de</strong> extensión<br />
<strong>de</strong> Hahn(pág. 23), coinci<strong>de</strong>n en A, pues µ es σ–finita.<br />
(c) Es obvio.<br />
Si los papeles <strong>de</strong> los espacios están intercambiados y lo que tenemos es<br />
una medida µ 2 en Ω 2 y una medida <strong>de</strong> transición {µ y } y∈Ω2 en (Ω 1 , A 1 ),<br />
tenemos un resultado análogo <strong>de</strong>l que sólo damos el enunciado.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto 3.3.5 Sea (Ω 2 , A 2 , µ 2 ) un espacio <strong>de</strong><br />
medida σ–finita, (Ω 1 , A 1 ) un espacio medible y {µ y } y∈Ω2 una medida <strong>de</strong><br />
transición en A 1 , uniformemente σ–finita. Entonces:<br />
(a) Para cada E ∈ A = A 1 ⊗ A 2 , <strong>la</strong> función y → µ y (E y ) es medible.<br />
(b) Existe una única medida µ en A, tal que para cada A ∈ A 1 y<br />
B ∈ A 2 ∫<br />
µ(A × B) = µ A dµ 2 ,<br />
B<br />
a<strong>de</strong>más µ es σ–finita y para cada E ∈ A verifica<br />
∫<br />
µ(E) = µ y (E y ) dµ 2 .<br />
A<br />
(c) Si µ 2 y <strong>la</strong>s µ y son probabilida<strong>de</strong>s, entonces µ es una probabilidad.
3.3. <strong>Medida</strong> producto <strong>de</strong> dos espacios 127<br />
Teorema clásico <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto 3.3.6<br />
Sean (Ω 1 , A 1 , µ 1 ) y (Ω 2 , A 2 , µ 2 ) espacios <strong>de</strong> medida σ–finita y sea E ∈<br />
A = A 1 ⊗ A 2 . Entonces:<br />
(a) Las funciones x ∈ Ω 1 → µ 2 (E x ), y ∈ Ω 2 → µ 1 (E y ) son medibles.<br />
(b) Existe una única medida µ en A tal que para cada A ∈ A 1 y<br />
B ∈ A 2<br />
µ(A × B) = µ 1 (A)µ 2 (B),<br />
<strong>la</strong> cual para cada E ∈ A viene dada por<br />
∫<br />
∫<br />
µ(E) = µ 2 (E x ) dµ 1 =<br />
µ 1 (E y ) dµ 2 ,<br />
a<strong>de</strong>más es σ–finita y es una probabilidad si µ 1 y µ 2 lo son.<br />
Demostración. Aplicando (3.3.4) a µ x = µ 2 , tendremos que µ 2 (E x )<br />
es medible y µ(E) = ∫ µ 2 (E x ) dµ 1 , es <strong>la</strong> única medida que satisface<br />
∫<br />
µ(A × B) =<br />
A<br />
µ 2 (B) dµ 1 = µ 1 (A)µ 2 (B),<br />
y aplicando (3.3.5) a µ y (A) = µ 1 (A) tendremos que µ 1 (E y ) es medible<br />
y µ(E) = ∫ µ 1 (E y ) dµ 2 es <strong>la</strong> única medida que satisface<br />
∫<br />
µ(A × B) =<br />
B<br />
µ 1 (A) dµ 2 = µ 1 (A)µ 2 (B).<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 3.3.1 Demostrar que para cada r > 0 y A ∈ B(R n ) es medible <strong>la</strong><br />
función <strong>de</strong> R n , f(x) = m[A ∩ B[x, r]] y <strong>de</strong>mostrar que ∫ f dm = r n · m(A) ·<br />
m[B[0, 1]]. (Sol.)<br />
Ejercicio 3.3.2 Sean (Ω 1, A 1, µ 1) y (Ω 2, A 2, µ 2) espacios <strong>de</strong> medida σ–finita y<br />
completos, ¿es necesariamente completo el espacio producto?.
128 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Ejercicio 3.3.3 Sean (Ω 1, A 1, µ 1) y (Ω 2, A 2, µ 2) espacios <strong>de</strong> medida σ–finita<br />
y E, F ∈ A 1 ⊗ A 2, tales que para todo x ∈ Ω 1 c.s. (µ 1), µ 2(E x) = µ 2(F x).<br />
Demostrar que µ(E) = µ(F ).<br />
Ejercicio 3.3.4 Sean (Ω 1, A 1) y (Ω 2, A 2) espacios medibles y µ x(B) = µ B(x),<br />
para x ∈ Ω 1 y B ∈ A 2 una medida <strong>de</strong> transición. Demostrar que:<br />
(a) Si ν es una medida en (Ω 1, A 1), entonces<br />
∫<br />
λ(B) = µ B dν,<br />
es una medida en (Ω 2, A 2).<br />
(b) Si g ≥ 0 es medible en (Ω 2, A 2),<br />
∫<br />
f(x) =<br />
g dµ x,<br />
es medible en (Ω 1, A 1) y se tiene que<br />
∫ ∫<br />
f dν =<br />
g dλ.<br />
Ejercicio 3.3.5 Demostrar que: (a) Si F : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) es medible y µ es<br />
una medida en (Ω, A), ν = F ∗µ, para<br />
ν(A) = µ[F −1 (A)],<br />
es una medida en (Ω ′ , A ′ ) (l<strong>la</strong>mada medida imagen) y si ν es σ–finita, µ también<br />
lo es. ¿Es cierto que si µ lo es, lo es ν?<br />
(b) Si F 1 : (Ω 1, A 1) → (Ω ′ 1, A ′ 1) y F 2 : (Ω 2, A 2) → (Ω ′ 2, A ′ 2) son medibles<br />
entonces también es medible<br />
F 1 ⊗ F 2 : Ω 1 × Ω 2 → Ω ′ 1 × Ω ′ 2,<br />
F 1 ⊗ F 2(x, y) = (F 1(x), F 2(y)),<br />
y dadas medidas µ 1 en (Ω 1, A 1) y µ 2 en (Ω 2, A 2), tales que ν i = F i∗µ i son<br />
σ–finitas, se verifica que<br />
[F 1 ⊗ F 2] ∗(µ 1 × µ 2) = ν 1 × ν 2.
3.4. El Teorema <strong>de</strong> Fubini 129<br />
3.4. El Teorema <strong>de</strong> Fubini<br />
La teoría <strong>de</strong> integración que hemos <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>do hasta aquí incluye,<br />
como caso particu<strong>la</strong>r, <strong>la</strong> integral múltiple en R n , <strong>la</strong> cual no es otra cosa<br />
que <strong>la</strong> integral respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue n–dimensional. Sin<br />
embargo, para realizar un cálculo explícito, <strong>la</strong>s integrales <strong>de</strong> este tipo<br />
se pue<strong>de</strong>n evaluar calcu<strong>la</strong>ndo integrales unidimensionales, en un proceso<br />
iterativo. El teorema general que justifica este útil método <strong>de</strong> cálculo es<br />
el Teorema <strong>de</strong> Fubini, el cual es una consecuencia directa <strong>de</strong>l teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto.<br />
3.4.1. Teorema <strong>de</strong> Fubini para dos espacios<br />
Teorema <strong>de</strong> Fubini 3.4.1 Sea (Ω 1 , A 1 , µ 1 ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita,<br />
(Ω 2 , A 2 ) un espacio medible, {µ x } x∈Ω1 una medida <strong>de</strong> transición en A 2 ,<br />
uniformemente σ–finita y sea f : Ω = Ω 1 × Ω 2 → R medible, entonces:<br />
(a) Si f ≥ 0, existe g(x) = ∫ f x dµ x , es medible en Ω 1 y<br />
∫ ∫ ∫ [∫ ]<br />
f dµ = g dµ 1 = f x dµ x dµ 1 .<br />
(b) Si <strong>la</strong> ∫ f dµ existe, entonces existe una función medible g en Ω 1 ,<br />
tal que g(x) = ∫ f x dµ x , c.s. (A 1 , µ 1 ) (si a<strong>de</strong>más f es integrable, g es<br />
finita) y se tiene<br />
∫ ∫ ∫ [∫ ]<br />
f dµ = g dµ 1 = f x dµ x dµ 1 .<br />
(c) Si ∫ ∫ |f(x, y)| dµ x dµ 1 < ∞, entonces f es µ–integrable y como<br />
antes ∫ f dµ = ∫ ∫ f(x, y) dµ x dµ 1 .<br />
Demostración. (a) Para f = I E , f x = I Ex y por (3.3.4–a), g(x) =<br />
µ x (E x ) es medible y<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
f dµ = µ(E) = µ x (E x ) dµ 1 = g dµ 1 .
130 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Ahora si f = ∑ n<br />
i=1 a iI Ei , con los E i disjuntos y los a i ≥ 0, entonces<br />
para cada x<br />
∫<br />
n∑<br />
g(x) = f x dµ x = a i µ x (E ix ),<br />
es medible y<br />
∫<br />
f dµ =<br />
n∑<br />
a i µ(E i ) =<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
∫<br />
∫<br />
a i µ x (E ix ) dµ 1 = g dµ 1 .<br />
Ahora si f es medible y 0 ≤ f, entonces existe una sucesión <strong>de</strong> funciones<br />
simples f n ↑ f y para todo x (f n ) x ↑ f x . Ahora bien por el caso anterior<br />
g n (x) = ∫ (f n ) x dµ x son medibles y por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia<br />
monótona, pág.91<br />
∫<br />
∫<br />
g(x) = f x dµ x = lím (f n ) x dµ x = lím g n(x),<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
por lo que g es medible a<strong>de</strong>más 0 ≤ g n ↑ g y aplicando <strong>de</strong> nuevo el<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona<br />
∫<br />
∫<br />
f dµ = lím f n dµ<br />
n→∞<br />
∫ ∫<br />
= lím g n dµ 1 = g dµ 1 .<br />
n→∞<br />
(b) Por <strong>la</strong> parte anterior tenemos que<br />
∫<br />
∫<br />
f + dµ = f x<br />
∫Ω + dµ x dµ 1 ,<br />
1 Ω<br />
∫<br />
∫ 2<br />
f − dµ = fx ∫Ω − dµ x dµ 1 ,<br />
1 Ω 2<br />
y si <strong>la</strong> ∫ f dµ existe, una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos integrales (digamos <strong>la</strong> <strong>de</strong> f − ) es<br />
finita, por tanto <strong>la</strong> función medible ∫ Ω 2<br />
fx − dµ x es finita en un conjunto<br />
A ∈ A 1 , con µ 1 (A c ) = 0, por lo que po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> función medible<br />
en A<br />
∫<br />
f x dµ x =<br />
Ω 2<br />
∫<br />
f x + dµ x −<br />
Ω 2<br />
∫<br />
fx − dµ x ,<br />
Ω 2<br />
y si <strong>la</strong> ∫ f dµ es finita po<strong>de</strong>mos encontrar un conjunto A ∈ A 1 , con<br />
µ 1 (A c ) = 0, en el cual <strong>la</strong>s dos integrales <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha son finitas. En
3.4. El Teorema <strong>de</strong> Fubini 131<br />
cualquier caso por el Teorema <strong>de</strong> aditividad —(2.4.6), página 92— y<br />
<strong>de</strong>finiendo en A c como queramos <strong>la</strong> ∫ Ω 2<br />
f x dµ x<br />
∫<br />
∫<br />
f dµ =<br />
=<br />
∫<br />
=<br />
∫<br />
=<br />
∫Ω 1<br />
∫<br />
A<br />
A<br />
∫<br />
f + dµ −<br />
f − dµ<br />
f x + dµ x dµ 1 −<br />
Ω<br />
∫ 2<br />
∫<br />
f x + dµ x dµ 1 −<br />
Ω<br />
∫ 2<br />
f x dµ x dµ 1 =<br />
Ω 2<br />
∫Ω 1<br />
∫<br />
∫<br />
A<br />
∫ ∫Ω 1<br />
Ω 2<br />
f − x dµ x dµ 1<br />
Ω 2<br />
f − x dµ x dµ 1<br />
Ω 2<br />
f x dµ x dµ 1 .<br />
(c) Por <strong>la</strong> parte (a) tenemos que<br />
∫ ∫ [∫ ]<br />
|f| dµ = |f x | dµ x dµ 1 < ∞,<br />
por tanto f es integrable y po<strong>de</strong>mos aplicar <strong>la</strong> parte (b).<br />
Como en el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto tenemos otro teorema <strong>de</strong><br />
Fubini si se intercambian los dos espacios.<br />
Teorema <strong>de</strong> Fubini 3.4.2 Sea (Ω 2 , A 2 , µ 2 ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita,<br />
(Ω 1 , A 1 ) un espacio medible, {µ y } y∈Ω2 una medida <strong>de</strong> transición en A 1 ,<br />
uniformemente σ–finita y sea f : Ω = Ω 1 × Ω 2 → R medible, entonces:<br />
(a) Si 0 ≤ f, entonces para cada y ∈ Ω 2 existe h(y) = ∫ f y dµ y , es<br />
medible y<br />
∫ ∫ ∫ [∫ ]<br />
f dµ = h dµ 2 = f y dµ y dµ 2 .<br />
(b) Si <strong>la</strong> ∫ f dµ existe (resp. es finita), entonces existe una función<br />
A 1 –medible (resp. finita) h, tal que h(y) = ∫ f y dµ y , c.s. (A 2 , µ 2 ) y<br />
∫ ∫ ∫ [∫ ]<br />
f dµ = h dµ 2 = f y dµ y dµ 2 .<br />
(c) Si f : Ω → R es medible y ∫ ∫ |f(x, y)| dµ y dµ 2 < ∞, entonces f<br />
es µ–integrable y ∫ f dµ = ∫ ∫ f(x, y) dµ y dµ 2 .<br />
Como un caso particu<strong>la</strong>r tenemos <strong>la</strong> forma clásica <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong><br />
Fubini.
132 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Teorema <strong>de</strong> Fubini clásico 3.4.3 Sea (Ω, A, µ) el espacio producto <strong>de</strong><br />
los espacios <strong>de</strong> medida σ–finita (Ω 1 , A 1 , µ 1 ) y (Ω 2 , A 2 , µ 2 ) y sea f : Ω →<br />
R medible. Entonces:<br />
(a) Si 0 ≤ f, entonces ∫ f x dµ 2 existe y es medible en x, ∫ f y dµ 1<br />
existe, es medible en y y<br />
∫ ∫ [∫ ] ∫ [∫ ]<br />
f dµ = f x dµ 2 dµ 1 = f y dµ 1 dµ 2 .<br />
(b) Si ∫ f dµ existe, entonces existe una función A 1 –medible g, tal<br />
que g(x) = ∫ f x dµ 2 , c.s. (A 1 , µ 1 ) y otra función A 2 –medible h, tal que<br />
h(y) = ∫ f y dµ 1 , c.s. (A 2 , µ 2 ) (ambas finitas si f es integrable), tales<br />
que ∫ ∫ [∫ ] ∫ [∫ ]<br />
f dµ = f x dµ 2 dµ 1 = f y dµ 1 dµ 2 .<br />
(c) Si ∫ [∫ ]<br />
|f y | dµ 1 dµ2 < ∞ ó ∫ [∫ ]<br />
|f x | dµ 2 dµ1 < ∞, entonces se<br />
tiene ∫ ∫ [∫ ] ∫ [∫ ]<br />
f dµ = f x dµ 2 dµ 1 = f y dµ 1 dµ 2 .<br />
Demostración. Las primeras igualda<strong>de</strong>s en (a) y (b) son consecuencia<br />
<strong>de</strong> (3.4.1) y <strong>la</strong>s segundas <strong>de</strong> (3.4.2). (c) se sigue <strong>de</strong> los apartados (c)<br />
<strong>de</strong> esos teoremas.<br />
Ejemplo 3.4.4 Hemos visto en (2.4.4), página 90, que <strong>la</strong> función sen x/x<br />
no es Lebesgue integrable en (0, ∞), sin embargo veamos que tiene integral<br />
impropia <strong>de</strong> Riemann y que vale<br />
lím<br />
a→∞<br />
∫ a<br />
0<br />
sen x<br />
x dx = π 2 .<br />
En el ejercicio (2.4.30), página 106 vimos que para x > 0<br />
∫ ∞<br />
∫<br />
xe −xt dt = xe −xt dm = 1,<br />
0<br />
(0,∞)<br />
entonces por Fubini, para m x <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en <strong>la</strong> variable x,<br />
(i<strong>de</strong>m m t )<br />
∫ a<br />
∫<br />
sen x<br />
0 x<br />
∫(0,a)<br />
dx = sen x<br />
x<br />
∫(0,a)<br />
dm = e −xt sen x dm t dm x =<br />
(0,∞)<br />
∫ ∫<br />
=<br />
e −xt sen x dm x dm t ,<br />
(0,∞)<br />
(0,a)
3.4. El Teorema <strong>de</strong> Fubini 133<br />
pues | sen x| ≤ x, por tanto <strong>la</strong> integral <strong>de</strong>l medio en módulo está acotada<br />
por a. Ahora bien como<br />
(e −xt cos x) ′ = −t e −xt cos x − e −xt sen x<br />
(e −xt sen x) ′ = −t e −xt sen x + e −xt cos x,<br />
tendremos integrando y <strong>de</strong>spejando<br />
∫<br />
f(a, t) = e −xt sen x dm x = 1 − e−at cos a − t e −at sen a<br />
t 2 ,<br />
+ 1<br />
(0,a)<br />
y el resultado se sigue, pues | e −at cos a| ≤ 1, |t e −at sen a| ≤ ta e −at ≤ 1<br />
y por tanto<br />
|f(a, t)| ≤ 3<br />
t 2 + 1 ,<br />
que es integrable y por el Coro<strong>la</strong>rio <strong>de</strong>l TCD, (2.4.19), pág.98, como<br />
lím a→∞ f(a, t) = 1/(1+t 2 ) = (arctan t) ′ (ver también (5.5.11), pág.214),<br />
se tiene que<br />
∫ a<br />
lím<br />
a→∞<br />
0<br />
sen x<br />
x<br />
∫<br />
∫<br />
dx = lím f(a, t) dm = (arctan t) ′ dm = π/2.<br />
a→∞<br />
(0,∞)<br />
(0,∞)<br />
Nota 3.4.5 Veamos en un par <strong>de</strong> ejemplos que <strong>la</strong>s distintas hipótesis en<br />
el teorema <strong>de</strong> Fubini no pue<strong>de</strong>n ser suprimidas.<br />
Ejemplo 3.4.6 Sean Ω 1 = Ω 2 = (0, 1), con A 1 = A 2 = B(0, 1) y µ 1 =<br />
µ 2 = m, consi<strong>de</strong>remos una sucesión 0 = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t n ↑ 1 y<br />
f n : (0, 1) → [0, ∞) continuas, con soporte en (t n , t n+1 ) —es <strong>de</strong>cir tales<br />
que C n = Adh{t : f n (t) ≠ 0} ⊂ (t n , t n+1 )—, y tales que ∫ 1<br />
0 f n(t)dt = 1<br />
y <strong>de</strong>finamos<br />
∞∑<br />
f(x, y) = [f n (x) − f n+1 (x)]f n (y),<br />
n=0<br />
entonces f es continua pues si tomamos δ 0 = d(0, C 0 ) y para n ≥ 1,<br />
δ n = mín{d(t n , C n ), d(t n , C n−1 )}, tendremos que para todo n ≥ 1 y<br />
todo j ≥ 0, (t n − δ n , t n + δ n ) ∩ C j = ∅ y<br />
⎧<br />
⎪⎨ f n (x)f n (y), si x, y ∈ (t n , t n+1 ),<br />
f(x, y) = −f n+1 (x)f n (y), si y ∈ (t n , t n+1 ) y x ∈ (t n+1 , t n+2 ),<br />
⎪⎩<br />
0, si (x, y) ∈ A,
134 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
don<strong>de</strong> A es el abierto formado por <strong>la</strong>s uniones <strong>de</strong> (t n −δ n , t n +δ n )×(0, 1),<br />
<strong>de</strong> (0, 1) × (t n − δ n , t n + δ n ), <strong>de</strong> [t n , t n+2 ] c × (t n , t n+1 ) y <strong>de</strong> (t n , t n+1 ) ×<br />
[t n , t n+2 ] c y se tiene que<br />
∫ 1<br />
0<br />
[∫ 1<br />
0<br />
]<br />
f y dx dy = 0 ≠ 1 =<br />
∫ 1<br />
0<br />
[∫ 1<br />
0<br />
]<br />
f x dy dx,<br />
pues si para algún n ≥ 1, y = t n , f y = 0 y si y ∈ (t n , t n+1 )<br />
⎧<br />
⎪⎨ f n (x)f n (y), si x ∈ (t n , t n+1 ),<br />
f y (x) = −f n+1 (x)f n (y), si x ∈ (t n+1 , t n+2 ),<br />
⎪⎩<br />
0, en otros casos,<br />
y por tanto<br />
∫ 1<br />
0<br />
f y (x)dx = 0,<br />
por otra parte si x = t n , f x = 0, si x ∈ (0, t 1 )<br />
{<br />
f 0 (x)f 0 (y), si y ∈ (0, t 1 )<br />
f x (y) =<br />
0, en otros casos,<br />
y si x ∈ (t n , t n+1 ), para n ≥ 1<br />
⎧<br />
⎪⎨ f n (x)f n (y), si y ∈ (t n , t n+1 ),<br />
f x (y) = −f n (x)f n−1 (y), si y ∈ (t n−1 , t n−2 ),<br />
⎪⎩<br />
0, en otros casos,<br />
y por tanto<br />
∫ 1<br />
0<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0, si x = t n ,<br />
f x (y)dy = f 0 (x), si x ∈ (0, t 1 ),<br />
⎪⎩<br />
0, si x ∈ (t n , t n+1 ).<br />
Ejemplo 3.4.7 Sean Ω 1 = Ω 2 = [0, 1], con A 1 = A 2 = B[0, 1], µ 1 = m<br />
y µ 2 <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar. Consi<strong>de</strong>remos f = I E , para E = {x = y},<br />
entonces para todo x, y ∈ [0, 1]<br />
∫ 1<br />
0<br />
f y dµ 1 = 0,<br />
∫ 1<br />
0<br />
f x dµ 2 = 1,
3.5. Compleción <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto 135<br />
por tanto<br />
∫ 1<br />
[∫ 1<br />
]<br />
f y dµ 1 dµ 2 = 0 ≠ 1 =<br />
∫ 1<br />
0 0<br />
0 0<br />
[∫ 1<br />
]<br />
f x dµ 2 dµ 1 .<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 3.4.1 Sean (Ω 1, A 1, µ 1) y (Ω 2, A 2, µ 2) espacios <strong>de</strong> medida σ–finita<br />
y f : Ω 1 → R y g : Ω 2 → R medibles e integrables, <strong>de</strong>mostrar que h(x, y) =<br />
f(x)g(y) es µ = µ 1 × µ 2–integrable y<br />
∫ (∫ ) (∫ )<br />
h dµ = f dµ 1 g dµ 2 .<br />
Ejercicio 3.4.2 Sea f : (0, 1) → R Lebesgue integrable. Demostrar que g(x) =<br />
∫<br />
f(y)<br />
dm es medible, integrable y que ∫ g dm = ∫ f dm. (Sol.)<br />
y<br />
(0,1) (0,1)<br />
(x,1)<br />
3.5. Compleción <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto<br />
Es fácil ver que si (Ω 1 , A 1 , µ 1 ) y (Ω 2 , A 2 , µ 2 ) son espacios <strong>de</strong> medida<br />
completos, entonces su producto (Ω, A, µ) no es necesariamente completo.<br />
Para ello observemos que si A ∈ A 1 , A ≠ ∅, µ 1 (A) = 0 y existe<br />
B ⊂ Ω 2 , con B /∈ A 2 , entonces<br />
A × B ⊂ A × Ω 2 y µ(A × Ω 2 ) = 0,<br />
pero A × B /∈ A, pues para cada x ∈ A<br />
(A × B) x = B /∈ A 2 .<br />
En particu<strong>la</strong>r tenemos que el espacio producto <strong>de</strong> (R, L(R), m) consigo<br />
mismo no es completo siendo su compleción (R 2 , L(R 2 ), m 2 ).
136 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Teorema 3.5.1 (Ver Rudin,p.179). Sean k, n ∈ N, entonces <strong>la</strong> compleción<br />
<strong>de</strong>l producto<br />
es (R k+n , L(R k+n ), m k+n ).<br />
(R k , L(R k ), m k ) × (R n , L(R n ), m n ),<br />
Terminamos <strong>la</strong> lección con un resultado alternativo <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong><br />
Fubini que es <strong>de</strong> interés especial en vista <strong>de</strong>l resultado anterior. Para ello<br />
necesitamos dos resultados previos.<br />
Lema 3.5.2 (Ver Rudin,p.154) Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y<br />
sea A ∗ <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong> A re<strong>la</strong>tiva a µ. Si f : (Ω, A ∗ ) → (R, B(R)) es<br />
medible, entonces existe g : (Ω, A) → (R, B(R)) medible tal que f = g<br />
c.s. (A, µ).<br />
Lema 3.5.3 (Ver Rudin,p.154) Sean (Ω 1 , A 1 , µ 1 ) y (Ω 2 , A 2 , µ 2 ) espacios<br />
<strong>de</strong> medida σ–finita y completos y sea A ∗ = (A 1 × A 2 ) ∗ <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong><br />
A 1 × A 2 re<strong>la</strong>tiva a µ 1 × µ 2 . Si<br />
h: (Ω, A ∗ ) −→ (R, B(R))<br />
es igual a 0 c.s., entonces h x = 0 c.s. (A 2 , µ 2 ) y esto c.s. (A 1 , µ 1 ), en<br />
particu<strong>la</strong>r h x es medible c.s. (A 1 , µ 1 ) y h es medible c.s.<br />
Teorema 3.5.4 (Ver Rudin, p.154) En <strong>la</strong>s hipótesis <strong>de</strong>l Lema anterior<br />
sea<br />
f : (Ω, A ∗ ) → (R, B(R)),<br />
entonces:<br />
(a) f x y f y son medibles c.s. (A 1 , µ 1 ) y (A 2 , µ 2 ) respectivamente.<br />
Si f ≥ 0 y F (x) = ∫ f x dµ 2 , G(y) = ∫ f y dµ 1 —extendiéndo<strong>la</strong>s como<br />
queramos don<strong>de</strong> no están <strong>de</strong>finidas—, entonces<br />
∫ ∫ ∫<br />
f dµ = F dµ 1 = G dµ 2 .<br />
(b) Si ∫ f dµ existe (es finita), entonces F (x) = ∫ f x dµ 2 existe (es<br />
finita) c.s. (A 1 , µ 1 ) y es medible —extendiéndo<strong>la</strong> como queramos don<strong>de</strong><br />
no está <strong>de</strong>finida—, í<strong>de</strong>m para G y<br />
∫ ∫ ∫<br />
f dµ = F dµ 1 = G dµ 2 .
3.6. Aplicaciones 137<br />
3.6. Aplicaciones<br />
Como una simple consecuencia <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto<br />
tenemos que <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> una función no negativa es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong>l<br />
conjunto que hay “<strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> <strong>la</strong> función” y también se pue<strong>de</strong><br />
ver como una integral respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 3.6.1 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f : Ω → R<br />
medible, no negativa. Si E = {(x, y) ∈ Ω × R : 0 ≤ y ≤ f(x)} y<br />
g(y) = µ{x ∈ Ω : y ≤ f(x)}, entonces E ∈ A ⊗ B(R), F es medible y<br />
∫ ∫<br />
µ × m(E) = f dµ = g dm.<br />
(0,∞)<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong>s funciones medibles en el espacio<br />
producto F (x, y) = f(x) y π(x, y) = y, entonces por el ejercicio (2.2.4)<br />
E = {(x, y) ∈ Ω × R : 0 ≤ y ≤ f(x)} = {0 ≤ π ≤ F } ∈ A ⊗ B(R),<br />
y como E y = ∅ si y < 0, tendremos aplicando el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida<br />
producto clásico que<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
f dµ = m[0, f(x)] dµ = m[E x ] dµ = µ × m(E)<br />
∫<br />
∫<br />
= µ[E y ]dm = gdm.<br />
(0,∞)<br />
En particu<strong>la</strong>r si µ = m es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en R,<br />
∫<br />
m × m(E) = fdm,<br />
es <strong>de</strong>cir que <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> f es el área <strong>de</strong>l conjunto bajo <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f.<br />
Nota 3.6.2 Po<strong>de</strong>mos obtener un resultado sobre series dobles —que ya<br />
vimos en (2.4.17), pág.98)—, como aplicación <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Fubini:<br />
Sea ∑ nm a nm una serie doble y consi<strong>de</strong>remos el espacio <strong>de</strong> medida<br />
(N, A, µ) don<strong>de</strong> A = P(N) y µ es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar, es <strong>de</strong>cir µ(A) =<br />
card A, para cada A ⊂ N. La serie es absolutamente convergente si y sólo
138 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
si <strong>la</strong> función f(n, m) = a nm <strong>de</strong>finida en el espacio producto (N, A, µ) ×<br />
(N, A, µ) tiene integral finita, en cuyo caso el Teorema <strong>de</strong> Fubini implica<br />
que<br />
∞∑ ∞∑<br />
∞∑ ∞∑<br />
a nm = a nm .<br />
n=1 m=1<br />
m=1 n=1<br />
Otra aplicación <strong>de</strong> estos Teoremas es <strong>la</strong> siguiente versión <strong>de</strong> <strong>la</strong> integración<br />
por partes.<br />
Proposición 3.6.3 Sean F, G: R → R funciones <strong>de</strong> distribución acotadas,<br />
que se anu<strong>la</strong>n en −∞, µ F , µ G sus medidas <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes<br />
asociadas y [a, b] ⊂ R, entonces<br />
∫<br />
∫<br />
[F (x) + F (x − )] dµ G + [G(x) + G(x − )] dµ F =<br />
I<br />
= 2[F (b)G(b) − F (a)G(a)].<br />
I<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos A = {(x, y) ∈ [a, b] 2<br />
B = A c = {(x, y) ∈ [a, b] 2 : x < y}, entonces por una parte<br />
: x ≥ y} y<br />
[µ F × µ G ]([a, b] 2 ) = [µ F × µ G ](A) + [µ F × µ G ](B)<br />
∫<br />
∫<br />
= µ G (A x ) dµ F + µ F (B y ) dµ G<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
∫<br />
∫<br />
= µ G [a, x] dµ F + µ F [a, y) dµ G<br />
∫<br />
=<br />
∫<br />
=<br />
∫<br />
=<br />
[a,b]<br />
[a,b]<br />
∫<br />
+<br />
[a,b]<br />
∫<br />
+<br />
[a,b]<br />
∫<br />
+<br />
[a,b]<br />
[G(x) − G(a − )] dµ F +<br />
[a,b]<br />
[F (y − ) − F (a − )] dµ G<br />
G(x) dµ F − G(a − )µ F [a, b]+<br />
[a,b]<br />
F (y − ) dµ G − F (a − )µ G [a, b]<br />
G(x) dµ F − G(a − )[F (b) − F (a − )]+<br />
[a,b]<br />
F (y − ) dµ G − F (a − )[G(b) − G(a − )],
3.6. Aplicaciones 139<br />
y por otra parte eso es igual a<br />
por tanto<br />
µ F [a, b] · µ G [a, b] = (F (b) − F (a − ))(G(b) − G(a − )),<br />
∫<br />
F (b)G(b) − F (a − )G(a − ) =<br />
[a,b]<br />
∫<br />
G(x) dµ F + F (y − ) dµ G ,<br />
[a,b]<br />
y como <strong>la</strong> expresión <strong>de</strong> <strong>la</strong> izquierda es simétrica respecto <strong>de</strong> F y G,<br />
también <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, por lo tanto<br />
∫<br />
F (b)G(b) − F (a − )G(a − ) =<br />
y el resultado se tiene sumando.<br />
[a,b]<br />
∫<br />
G(x − ) dµ F + F (y) dµ G ,<br />
[a,b]<br />
3.6.1. Cálculo <strong>de</strong> volúmenes especiales<br />
Veamos ahora una aplicación al cálculo <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> un cuerpo <strong>de</strong><br />
revolución.<br />
Ejemplo 3.6.4 Calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong>l toro (obtenido al girar un circulo<br />
<strong>de</strong> radio r alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> una recta <strong>de</strong> su p<strong>la</strong>no, <strong>de</strong> <strong>la</strong> que su centro dista<br />
R).<br />
T<br />
R<br />
r<br />
Figura 3.2. El volumen <strong>de</strong>l Toro es (2πR)(πr 2 ).<br />
Demostración. Denotemos T el toro, consi<strong>de</strong>rando que el circulo<br />
está en el p<strong>la</strong>no yz con centro en el eje y y que el eje z sea el eje <strong>de</strong> giro.<br />
Entonces T z = ∅, salvo para z entre −r y r, en cuyo caso T z es una<br />
corona <strong>de</strong> área<br />
π([R + √ r 2 − z 2 ] 2 − [R − √ r 2 − z 2 ] 2 ) = 4πR √ r 2 − z 2 ,
140 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
por tanto por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto<br />
m 3 [T ] =<br />
∫ r<br />
−r<br />
m 2 [T z ] dz = 4πR<br />
∫ r<br />
−r<br />
√<br />
r2 − z 2 dz<br />
∫ 1 √<br />
= 4πRr 2 1 − x2 dx = (2πR)(πr 2 ),<br />
−1<br />
pues para I = [−π/2, π/2], 0 = ∫ I (sen t cos t)′ dm = ∫ ∫<br />
I cos2 t dm −<br />
I sen2 t dm y haciendo el cambio x = sen t<br />
∫<br />
∫<br />
∫ √<br />
π = cos 2 t dm + sen 2 t dm = 2 1 − x2 dm.<br />
I<br />
I<br />
[−1,1]<br />
Nota 3.6.5 Observemos que el resultado dice que el volumen <strong>de</strong>l toro<br />
es el producto <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l círculo, πr 2 , por <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia<br />
que <strong>de</strong>scribe su centro, 2πR. Este resultado es un caso particu<strong>la</strong>r<br />
<strong>de</strong>l l<strong>la</strong>mado Teorema <strong>de</strong> Pappus, pero para enunciarlo <strong>de</strong>bemos generalizar<br />
el concepto <strong>de</strong> centro <strong>de</strong> un círculo. (Ver también <strong>la</strong> pág. 222, para<br />
comentarios sobre Pappus y otros resultados suyos <strong>de</strong> <strong>la</strong> misma índole).<br />
Definición. Dado un Boreliano B, <strong>de</strong> R n , con 0 < m(B) < ∞, <strong>de</strong>finimos<br />
su centro <strong>de</strong> masa c(B) como el punto <strong>de</strong> R n , cuya coor<strong>de</strong>nada i–sima<br />
es<br />
x i [c(B)] = 1 ∫<br />
x i dm.<br />
m(B)<br />
Y en general dado un Boreliano B, con dimensión <strong>de</strong> Hausdorff p, tal<br />
que 0 < H p (B) < ∞, <strong>de</strong>finimos su centro <strong>de</strong> masa c(B) como el punto<br />
<strong>de</strong> R n , cuya coor<strong>de</strong>nada i–sima es<br />
x i [c(B)] =<br />
1<br />
H p (B)<br />
∫<br />
B<br />
B<br />
x i dH p .<br />
Teorema 3.6.6 (Teorema <strong>de</strong> Pappus) Dado un Boreliano E <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no,<br />
con 0 < m(E) < ∞ y una recta <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no que lo <strong>de</strong>je a un <strong>la</strong>do, el<br />
volumen <strong>de</strong>l cuerpo <strong>de</strong> revolución que genera en torno a <strong>la</strong> recta es el<br />
producto <strong>de</strong> su área por <strong>la</strong> longitud que recorre en el giro su centro <strong>de</strong><br />
masa.<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos que el p<strong>la</strong>no es el xy y <strong>la</strong> recta el eje<br />
y. Entonces para el cuerpo <strong>de</strong> revolución que genera,<br />
Ê = {(x cos θ, y, x sen θ) : θ ∈ [0, 2π), (x, y) ∈ E},
3.6. Aplicaciones 141<br />
y el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto<br />
m(Ê) =<br />
∫<br />
m 2 (Êy) dm,<br />
para<br />
Ê y = {x(cos θ, sen θ) : θ ∈ [0, 2π), x ∈ E y } = {p ∈ R 2 : ‖p‖ ∈ E y },<br />
y siendo E y = {x > 0 : (x, y) ∈ E} un Boreliano <strong>de</strong> (0, ∞). Ahora bien<br />
dado cualquier Boreliano B en (0, ∞), <strong>de</strong>finamos ˜B = {p ∈ R 2 : ‖p‖ ∈<br />
B} = ‖ ‖ −1 (B) y en estos términos Êy = Ẽy. Ahora si consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong>s<br />
medidas en los Borelianos B <strong>de</strong> (0, ∞)<br />
λ 1 (B) = m 2 ( ˜B),<br />
∫<br />
λ 2 (B) = 2π x dm,<br />
B<br />
tendremos que son iguales, pues coinci<strong>de</strong>n en los semiintervalos (a, b] ⊂<br />
(0, ∞),<br />
λ 1 (a, b] = πb 2 − πa 2 = λ 2 (a, b],<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue aplicando Fubini<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
m(Ê) = m 2 (Êy) dm = m 2 (Ẽy) dm = λ 2 (E y ) dm<br />
∫ (∫ ) ∫<br />
= 2π I Ey x dm dm = 2π xI E dm 2<br />
∫<br />
( ∫ )<br />
2π<br />
= 2π x dm 2 = m 2 (E)<br />
x dm 2 .<br />
E<br />
m 2 (E) E<br />
3.6.2. <strong>Medida</strong> en <strong>la</strong> esfera invariante por rotaciones<br />
Consi<strong>de</strong>remos en R n <strong>la</strong> esfera unidad S n−1 = {x : ‖x‖ 2 = ∑ x 2 i = 1}<br />
y <strong>la</strong>s aplicaciones inversas<br />
H : R n \{0} → (0, ∞) × S n−1 , G = H −1 : (0, ∞) × S n−1 → R n \{0},<br />
(3.2)<br />
H(x) = (|x|, x/|x|),<br />
G(ρ, y) = ρy,<br />
y llevemos <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue al espacio producto H ∗ m = µ, es <strong>de</strong>cir<br />
µ(A) = m[H −1 (A)]. Ahora consi<strong>de</strong>remos en (0, ∞) <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Borel<br />
∫<br />
λ(A) = x n−1 dm = 1 ∫<br />
(x n ) ′ dm,<br />
A n A
142 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
que es <strong>la</strong> restricción a (0, ∞) <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes <strong>de</strong>finida<br />
por <strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución F (x) = 0, para x ≤ 0 y F (x) = x n /n,<br />
para x > 0. Pues<br />
λ(a, b] = (b n − a n )/n = F (b) − F (a).<br />
Proposición 3.6.7 Existe una única medida σ en B(S n−1 ) tal que µ =<br />
H ∗ m = λ × σ y a<strong>de</strong>más es invariante por rotaciones.<br />
Demostración. Si µ = λ × σ, σ está <strong>de</strong>terminada <strong>de</strong> forma única,<br />
pues necesariamente para cada Boreliano E ⊂ S n−1 y E 1 = {rz : r ∈<br />
(0, 1], z ∈ E}.<br />
σ(E) = nλ(0, 1]σ(E) = n · µ((0, 1] × E] = n · m(E 1 ).<br />
y σ así <strong>de</strong>finida es una medida, pues <strong>la</strong> aplicación E ∈ B(S n−1 ) →<br />
E 1 ∈ B(R n ) lleva uniones numerables disjuntas en uniones numerables<br />
disjuntas. A<strong>de</strong>más es invariante por rotaciones R, pues <strong>la</strong> medida <strong>de</strong><br />
Lebesgue lo es y si A = R(E), A 1 = R(E 1 ).<br />
Por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto (3.3.1), pág.122, basta ver que<br />
para A Boreliano <strong>de</strong> (0, ∞) y E <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera<br />
µ(A × E) = λ(A)σ(E).<br />
Para cada a > 0 <strong>de</strong>notaremos E a = {ry : y ∈ E, r ∈ (0, a]} = aE 1 ,<br />
entonces como m(E a ) = m(aE 1 ) = a n m(E 1 ), tendremos que para 0 <<br />
a < b < ∞<br />
µ[(a, b] × E] = m(E b \E a ) = m(E b ) − m(E a )<br />
= bn − a n<br />
σ(E) = λ(a, b]σ(E),<br />
n<br />
y tenemos dos medidas en los borelianos A ⊂ (0, ∞),<br />
µ[A × E] y λ(A)σ(E),<br />
que coinci<strong>de</strong>n en el anillo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s uniones finitas disjuntas <strong>de</strong> semiintervalos<br />
(a, b] y se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Hahn (1.4.8), pág.23, que coinci<strong>de</strong>n en<br />
B(0, ∞)}.
3.6. Aplicaciones 143<br />
Teorema 3.6.8 Si f es una función Borel medible <strong>de</strong> R n no negativa o<br />
integrable, entonces<br />
∫ ∫<br />
f dm =<br />
(0,∞)<br />
∫<br />
f(ry)r n−1 dσ dm.<br />
S n−1<br />
En particu<strong>la</strong>r si f sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> distancia al origen f(x) = g(‖x‖),<br />
entonces<br />
∫<br />
∫<br />
(3.3)<br />
f dm = σ(S n−1 ) g(r)r n−1 dm,<br />
(0,∞)<br />
Demostración. Por el resultado anterior (3.6.7), λ × σ = µ = F ∗ m<br />
y por el ejercicio (2.4.26), pág,105 y el Teorema <strong>de</strong> Fubini (3.4.3)<br />
∫ ∫<br />
∫ ∞ ∫<br />
f dm = f[G] dµ = ( f(ry) dσ) dλ.<br />
0 S n−1<br />
El resultado anterior nos permite calcu<strong>la</strong>r —si encontramos una f<br />
a<strong>de</strong>cuada—, <strong>la</strong> medida n − 1–dimensional <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera S n−1 , σ(S n−1 )<br />
y por tanto <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue n–dimensional <strong>de</strong> <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad<br />
n–dimensional B n = {x ∈ R n : ∑ x 2 i ≤ 1}, pues<br />
n · m n [B n ] = σ[S n−1 ].<br />
Ejemplo 3.6.9 Por ejemplo para n = 2, B 2 es el círculo unidad <strong>de</strong>l<br />
p<strong>la</strong>no y S 1 <strong>la</strong> circunferencia unidad, y como m 2 = m 1 × m 1 tendremos<br />
que (haciendo el cambio x = sen θ = G(θ), ver (2.4.29))<br />
∫<br />
∫<br />
m 2 [B 2 ] = m 1 [B x ] dm 1 = m{y : x 2 + y 2 ≤ 1}dm<br />
R<br />
∫<br />
= 2<br />
(−1,1)<br />
(−1,1)<br />
√<br />
1 − x2 dm = 2<br />
∫<br />
(−π/2,π/2)<br />
cos 2 θdm = π,<br />
pues ∫ (−π/2,π/2) cos2 θdm = ∫ (−π/2,π/2) sen2 θdm, ya que ∫ π/2<br />
−π/2 (sen cos)′ =<br />
0. Por tanto<br />
V 2 = m 2 [B 2 ] = π, σ(S 1 ) = 2π,<br />
y por ser σ invariante por giros en S 1 , se sigue <strong>de</strong> forma inmediata que<br />
es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> los ángulos, es <strong>de</strong>cir para <strong>la</strong> i<strong>de</strong>ntificación S 1 ∼ (0, 2π],<br />
(cos θ, sen θ) → θ, es <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue.
144 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Ahora consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> función que sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> distancia al<br />
origen en R n f(x) = e −|x|2 = e −x2 1 · · · e<br />
−x 2 n ,<br />
a <strong>la</strong> cual po<strong>de</strong>mos aplicar (3.3) y por el Teorema <strong>de</strong> Fubini<br />
( ∫ n ∫ ∫<br />
I n = e dm) −x2 = · · · e −x2 1 · · · e<br />
−x 2 n dm1 · · · dm 1<br />
(−∞,∞)<br />
(−∞,∞) (−∞,∞)<br />
∫<br />
∫<br />
= e −|x|2 dm n = σ(S n−1 ) e −r2 r n−1 dm = σ(S n−1 ) Π ( n<br />
2 − 1) ,<br />
2<br />
(0,∞)<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> última igualdad se sigue <strong>de</strong>l ejercicio 2.4.34),<br />
Ahora para n = 2, como Π(0) = 1 y σ(S 1 ) = 2π<br />
∫<br />
I 2 = σ(S 1 ) r e −r2 dm = π y por tanto I n = π n/2<br />
y en <strong>de</strong>finitiva 2<br />
σ(S n−1 ) =<br />
(0,∞)<br />
3.6.3. Convolución.<br />
2πn/2<br />
Π ( n<br />
2 − 1), V n = m[B n ] = σ(Sn−1 )<br />
= πn/2<br />
n Π(n/2) .<br />
Nuestra última aplicación <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Fubini sirve para <strong>de</strong>finir<br />
un nuevo producto entre funciones <strong>de</strong> L 1 (R n ).<br />
Teorema 3.6.10 Sean f, g ∈ L 1 (R n , B(R n ), m), entonces para casi todo<br />
x ∈ R n<br />
∫<br />
|f(x − y)g(y)|dm < ∞,<br />
y en ellos po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir el producto <strong>de</strong> convolución <strong>de</strong> f y g<br />
∫<br />
f ∗ g(x) = f(x − y)g(y)dm y ,<br />
que po<strong>de</strong>mos exten<strong>de</strong>r como f ∗ g(x) = 0 en el resto <strong>de</strong> puntos y se tiene<br />
que f ∗ g ∈ L 1 y<br />
∫<br />
(∫<br />
|f ∗ g|dm ≤<br />
) (∫<br />
|f|dm<br />
2 Obsérvese que 1 + ∑ ∞<br />
n=1 V 2n = ∑ π n<br />
n! = e π .<br />
)<br />
|g|dm .
3.6. Aplicaciones 145<br />
Demostración. En primer lugar <strong>la</strong> función <strong>de</strong> R 2n , h(x, y) = f(x −<br />
y)g(y) es Borel medible y por el apartado (c) <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Fubini<br />
integrable, pues (ver el ejercicio 2.4.19, pág.104)<br />
∫ (∫<br />
) ∫ (∫<br />
)<br />
|f(x − y)g(y)|dm x dm y = |g(y)| |f(x − y)|dm x dm y<br />
∫ (∫<br />
)<br />
= |g(y)| |f(x)|dm x dm y<br />
(∫ ) (∫ )<br />
= |g(y)|dm |f(x)|dm<br />
= ‖f‖ 1 ‖g‖ 1 < ∞,<br />
y por el apartado (b) existe una función medible finita e integrable, que<br />
<strong>de</strong>notaremos f ∗ g(x), tal que c.s.<br />
∫<br />
∫<br />
f ∗ g(x) = h x dm y = f(x − y)g(y) dm y ,<br />
y verifica<br />
∫<br />
(∫<br />
|f ∗ g|dm ≤<br />
) (∫<br />
|f|dm<br />
)<br />
|g|dm .<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 3.6.1 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f : Ω → R medible<br />
y no negativa. Demostrar que <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f es medible<br />
y que µ × m(E) = 0. (Sol.)<br />
E = {(x, y) ∈ Ω × [0, ∞] : y = f(x)} ∈ A ⊗ B(R),<br />
Ejercicio 3.6.2 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f : Ω → R medible<br />
y no negativa. Demostrar que <strong>la</strong> función F (y) = µ{f −1 (y)} es medible y<br />
F = 0 c.s. (Sol.)
146 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Ejercicio 3.6.3 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f, g : Ω → [0, ∞)<br />
medibles y tales que para cada x > 0, µ{f > x} ≤ µ{g > x}. Demostrar que<br />
∫ ∫<br />
f dµ ≤ g dµ.<br />
Ejercicio 3.6.4 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita, f : Ω → [0, ∞]<br />
medible y 1 ≤ p < ∞. Demostrar que<br />
∫ ∫<br />
f p dµ = pt p−1 µ{f > t} dm,<br />
[0,∞)<br />
y que si µ{f > t} ≤ e −t , entonces ∫ f p dµ ≤ Π(p). (Sol.)<br />
Ejercicio 3.6.5 Demostrar que para una rotación o una tras<strong>la</strong>ción T : R n →<br />
R n , el centro <strong>de</strong> masas C(B) <strong>de</strong> un boreliano B satisface C[T (B)] = T [C(B)].<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 3.6.6 Demostrar que si B, B i ∈ B(R n ), tienen dimensión Hausdorff<br />
p, con 0 < H p(B), H p(B i) < ∞ y B i es una partición numerable disjunta <strong>de</strong><br />
B = ∪B n, entonces<br />
C[B] = ∑ H p(B i)<br />
H p(B) C(Bi).<br />
Ejercicio 3.6.7 Dado el polinomio <strong>de</strong> R n , p(x) = ∏ n<br />
i=1 xa i<br />
i , 0 ≤ ai ∈ N, <strong>de</strong>mostrar<br />
que para b i = (a i + 1)/2 y σ <strong>la</strong> medida en <strong>la</strong> esfera unidad, <strong>de</strong>finida<br />
en (3.6.7)<br />
∫<br />
{ ∏ 2 ni=1<br />
Γ(b i )<br />
p(x) dσ = Γ( ∑ b i<br />
, si todo a<br />
) i es par;<br />
(Sol.)<br />
S n−1<br />
0, si ∃i : a i es impar.<br />
3.7. Producto <strong>de</strong> mas <strong>de</strong> dos espacios<br />
3.7.1. Producto <strong>de</strong> n espacios medibles.<br />
Consi<strong>de</strong>remos n espacios <strong>de</strong> medida σ–finita,<br />
(Ω 1 , A 1 , µ 1 ), . . . , (Ω n , A n , µ n ),
3.7. Producto <strong>de</strong> mas <strong>de</strong> dos espacios 147<br />
entonces se <strong>de</strong>muestra fácilmente que (ver el ejercicio (3.2.3), pág.121)<br />
(A 1 ⊗ · · · ⊗ A n−1 ) ⊗ A n = A 1 ⊗ · · · ⊗ A n ,<br />
y por inducción que existe una única medida µ = µ 1 × · · · × µ n en el<br />
producto, para <strong>la</strong> que<br />
µ(A 1 × · · · × A n ) = µ 1 (A 1 ) · · · µ n (A n ),<br />
para A i ∈ A i . La existencia se <strong>de</strong>muestra por inducción consi<strong>de</strong>rando<br />
µ = (µ 1 ×· · ·×µ n−1 )×µ n y <strong>la</strong> unicidad por el Teorema <strong>de</strong> Hahn (pág.23),<br />
pues µ es σ–finita en A 0 . Vemos así que el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto<br />
se extien<strong>de</strong> sin dificultad a más <strong>de</strong> dos espacios factores, pero para dar<br />
su enunciado general necesitamos exten<strong>de</strong>r el concepto <strong>de</strong> medida <strong>de</strong><br />
transición.<br />
Definición. Dada una colección finita <strong>de</strong> espacios medibles<br />
(Ω 1 , A 1 ), . . . , (Ω n , A n ),<br />
<strong>de</strong>notaremos para cada k = 1, . . . , n − 1<br />
(Ω k , A k ) = (Ω 1 × · · · × Ω k , A 1 ⊗ · · · ⊗ A k ),<br />
y diremos que para i = 2, . . . , n<br />
µ i : Ω i−1 × A i −→ [0, ∞],<br />
es una familia <strong>de</strong> medidas <strong>de</strong> transición (σ–finita, uniformemente σ–<br />
finita, <strong>de</strong> probabilidad) en los espacios medibles, si cada µ i es una medida<br />
<strong>de</strong> transición en Ω i re<strong>la</strong>tiva a Ω i−1 , es <strong>de</strong>cir que µ ix (B) = µ i (x, B), para<br />
x ∈ Ω i−1 , es una familia <strong>de</strong> medidas (σ–finita, uniformemente σ–finita,<br />
<strong>de</strong> probabilidad) en A i y para cada B ∈ A i , µ iB (x) = µ i (x, B), es<br />
medible en el espacio medible producto (Ω i−1 , A i−1 ).<br />
Teorema 3.7.1 Sea {µ 2 , . . . , µ n } una familia <strong>de</strong> medidas <strong>de</strong> transición<br />
uniformemente σ–finita en los espacios medibles (Ω 1 , A 1 ), . . . , (Ω n , A n ),<br />
µ 1 una medida σ–finita en (Ω 1 , A 1 ) y (Ω, A) el espacio producto <strong>de</strong> los<br />
(Ω i , A i ). Entonces:<br />
(a) Hay una única medida µ en A tal que para cada A = A 1 ×· · ·×A n ,<br />
con los A i ∈ A i , verifica<br />
µ(A) =<br />
∫A 1<br />
(∫A 2<br />
(<br />
· · ·<br />
(∫<br />
A n<br />
dµ n(x1,...,x n−1)<br />
) ) )<br />
· · · dµ 2x1 dµ 1 ,
148 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
don<strong>de</strong> cada x i ∈ Ω i . Tal µ es σ–finita y si µ 1 y <strong>la</strong>s µ i son <strong>de</strong> probabilidad,<br />
entonces µ es una probabilidad.<br />
(b) Sea f : Ω → R medible. Si f ≥ 0, entonces<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
f dµ = · · · f(x 1 , . . . , x n ) dµ n,(x1,...,x n−1) · · · dµ 2,x1 dµ 1 .<br />
∫Ω 1 Ω 2 Ω n<br />
(c) Si ∫ f dµ existe (es finita), entonces <strong>la</strong> igualdad anterior se satisface<br />
en el sentido <strong>de</strong> que para i = 1, . . . , n − 1, <strong>la</strong> integral con respecto<br />
a <strong>la</strong> medida µ i+1,(x1,...,x i), existe (es finita), excepto para los (x 1 , . . . , x i )<br />
<strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> A i <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong> por <strong>la</strong> µ i <strong>de</strong> (Ω i , A i ), <strong>de</strong>finida en<br />
(a) y basta <strong>de</strong>finir<strong>la</strong> como 0 ó cualquier función medible en ese conjunto.<br />
Demostración. (a) Aplicando el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto<br />
(3.3.4) a µ 1 y <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> transición uniformemente σ–finita µ 2 , existe<br />
una única medida µ 2 en (Ω 2 , A 2 ), tal que<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
µ 2 (A × B) = µ 2B dµ 1 = dµ 2x1 dµ 1 ,<br />
A<br />
(x 1 ∈ Ω 1 ) y es σ–finita. Aplicando el mismo resultado a esta µ 2 y a <strong>la</strong><br />
medida <strong>de</strong> transición µ 3 , existe una única medida µ 3 que para A ∈ A 1 ,<br />
B ∈ A 2 , C ∈ A 3 verifica<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫ ∫<br />
µ 3 (A × B × C) = dµ 3(x,y) dµ 2 = dµ 3(x,y) dµ 2x dµ 1 ,<br />
A×B<br />
C<br />
((x, y) ∈ Ω 2 ) y don<strong>de</strong> <strong>la</strong> segunda igualdad se obtiene aplicando Fubini;<br />
y es σ–finita.<br />
El resultado se sigue por inducción construyendo, para i ≥ 2, <strong>la</strong>s<br />
medidas σ–finitas µ i , en (Ω i , A i ), aplicando el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida<br />
producto (3.3.4) y el <strong>de</strong> Fubini a µ i−1 y <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> transición uniformemente<br />
σ–finita µ i . La medida <strong>de</strong>l enunciado es µ = µ n . (b) y (c) se<br />
siguen aplicando el teorema <strong>de</strong> Fubini en cada paso.<br />
3.7.2. Producto <strong>de</strong> infinitos espacios medibles.<br />
Definición. Dada una colección numerable <strong>de</strong> espacios medibles (Ω n , A n ),<br />
para n ∈ N, <strong>de</strong>notaremos el espacio <strong>de</strong> medida producto <strong>de</strong> los n primeros<br />
con (Ω (n) , A (n) )<br />
Ω (n) =<br />
n∏<br />
Ω i = {(x 1 , . . . , x n ) : x i ∈ Ω i }, A (n) = A 1 ⊗ · · · ⊗ A n ,<br />
i=1<br />
A<br />
A<br />
B<br />
B<br />
C
3.7. Producto <strong>de</strong> mas <strong>de</strong> dos espacios 149<br />
<strong>de</strong>l mismo modo <strong>de</strong>notaremos<br />
∞∏<br />
Ω (n,∞) = Ω i = {(x n , x n+1 , . . .) : x i ∈ Ω i },<br />
Ω =<br />
i=n<br />
∞∏<br />
Ω i = {(x 1 , x 2 , . . .) : x i ∈ Ω i } = Ω n × Ω (n+1,∞) .<br />
i=1<br />
L<strong>la</strong>maremos cilindro a todo conjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
|C| = C × Ω (n+1,∞) , con C ⊂ Ω (n) = Ω 1 × · · · × Ω n .<br />
Al conjunto C lo l<strong>la</strong>maremos base <strong>de</strong>l cilindro y diremos que el cilindro<br />
|C| es medible si C ∈ A (n) = A 1 ⊗ · · · ⊗ A n y diremos que es un producto<br />
finito <strong>de</strong> medibles si C ∈ A 1 × · · · × A n , es <strong>de</strong>cir es <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma C =<br />
A 1 × · · · × A n , para A i ∈ A i . Denotaremos con C <strong>la</strong> colección <strong>de</strong> todos<br />
los cilindros medibles y con R ⊂ C <strong>la</strong> <strong>de</strong> los cilindros productos finitos<br />
<strong>de</strong> medibles.<br />
Nota 3.7.2 Todo cilindro medible |C| = C ×Ω (n+1,∞) con base en A (n) ,<br />
es cilindro medible con base en A (m) , para m ≥ n, |C| = E × Ω (m+1,∞) ,<br />
para E = C ×Ω n+1 ×· · ·×Ω m , por lo que es fácil ver que C es un álgebra.<br />
A<strong>de</strong>más se tiene por el principio <strong>de</strong> los buenos conjuntos (hágase como<br />
ejercicio) que σ(R) = σ(C).<br />
Definición. Diremos que una σ–álgebra A, en el conjunto producto<br />
Ω = ∏ ∞<br />
i=1 Ω i, es <strong>la</strong> σ–álgebra producto <strong>de</strong> los espacios medibles (Ω n , A n ),<br />
si verifica:<br />
(a) Las proyecciones π i : (Ω, A) → (Ω i , A i ) son medibles.<br />
(b) Una aplicación F : (Ω ′ , A ′ ) → (Ω, A), es medible si y sólo si lo<br />
son sus componentes F i = π i ◦ F : (Ω ′ , A ′ ) → (Ω i , A i ).<br />
Proposición 3.7.3 La σ–álgebra producto existe, es única y es σ(R) =<br />
σ(C), <strong>la</strong> <strong>de</strong>notaremos A = ⊗ n∈N A n .<br />
Teorema 3.7.4 Para cada n ∈ N sea (Ω n , A n , P n ) un espacio <strong>de</strong> probabilidad<br />
y sea (Ω, A) = ( ∏ Ω n , ⊗A n ). Entonces hay una única probabilidad<br />
P en A, tal que para A 1 ∈ A 1 , . . . , A n ∈ A n , se tiene<br />
P [A 1 × · · · × A n × Ω n+1 × Ω n+2 × · · · ] = P 1 [A 1 ] · · · P n [A n ].
150 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Demostración. Denotemos P (n) = P 1 × · · · × P n , <strong>la</strong> probabilidad<br />
producto en (Ω (n) , A (n) ). Ahora si existe tal probabilidad P , entonces<br />
para cada n, <strong>la</strong> medida en A (n) ,<br />
µ(A) = P (A × Ω (n+1,∞) ),<br />
satisface que µ(A 1 ×· · ·×A n ) = P 1 (A 1 ) · · · P n (A n ), por lo tanto es P (n) .<br />
Esto nos induce a consi<strong>de</strong>rar en el álgebra C <strong>de</strong> los cilindros medibles<br />
|A| = A × Ω (n+1,∞) , <strong>la</strong> función <strong>de</strong> conjunto P (|A|) = P (n) (A), <strong>la</strong> cual<br />
está bien <strong>de</strong>finida pues si<br />
B = A × Ω n+1 × · · · × Ω m ⇒ P (n) (A) = P (m) (B),<br />
y es una probabilidad aditiva, pues si |A|, |B| son cilindros medibles<br />
disjuntos, po<strong>de</strong>mos expresarlos <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma |A| = A × Ω (n+1,∞) y |B| =<br />
B × Ω (n+1,∞) , con A, B ∈ A (n) disjuntos y<br />
P (|A| ∪ |B|) = P (n) (A ∪ B) = P (n) (A) + P (n) (B) = P (|A|) + P (|B|).<br />
Para ver que es numerablemente aditiva basta ver, por (1.7.6), que si<br />
|A n | ↓ ∅, con |A n | ∈ C cilindros medibles, entonces P (|A n |) → 0. Para<br />
ello supongamos que no, que P (|A n |) ↓ s > 0 y veamos que ∩|A n | ≠ ∅.<br />
Sin pérdida <strong>de</strong> generalidad po<strong>de</strong>mos suponer que cada |A n | = A n ×<br />
Ω (n+1,∞) es un cilindro medible <strong>de</strong> base 3 A n ∈ A (n) . Ahora por el Teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto, <strong>de</strong>notando P (i,i+n) = P i × · · · × P i+n<br />
∫<br />
∫<br />
P (|A 1 |) = P (1) (A 1 ) = P 1 (A 1 ) = I A1 dP 1 = f 1 dP 1 ,<br />
Ω 1 Ω<br />
∫<br />
1<br />
P (|A n |) = P (n) (A n ) = P 1 × P (2,n) (A n ) = P (2,n) (A nx1 ) dP 1<br />
Ω<br />
∫<br />
1<br />
= f n dP 1 ,<br />
Ω 1<br />
3 Para ello basta observar que en general sería |A n| = |B kn | = B kn × Ω (kn+1,∞) ,<br />
con <strong>la</strong> sucesión k n que po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar creciente y bastaría introducir entre cada<br />
dos |A n| seguidos otros cilindros (constantes)<br />
Ω = |B 1 | = · · · = |B k1 −1| ⊃ |A 1 | = |B k1 | = |B k1 +1| = · · · = |B k2 −1| ⊃ |A 2 | = · · ·
3.7. Producto <strong>de</strong> mas <strong>de</strong> dos espacios 151<br />
para <strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> funciones medibles f n : Ω 1 → [0, 1],<br />
f 1 (x 1 ) = I A1 (x 1 ),<br />
f 2 (x 1 ) = P 2 [A 2x1 ] ≤ P 2 [(A 1 × Ω 2 ) x1 ] = I A1 (x 1 ) = f 1 (x 1 ), · · · ,<br />
f n (x 1 ) = P (2,n) [A nx1 ] ≤ P (2,n) [(A n−1 × Ω n ) x1 ]<br />
= P (2,n) [A n−1,x1 × Ω n ] = f n−1 (x 1 ),<br />
pues |A n | ⊂ |A n−1 | y por tanto A n ⊂ A n−1 × Ω n . Ahora como f n ↓ f,<br />
P (|A n |) = ∫ f n dP 1 ↓ ∫ f dP 1 = s > 0 (por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia<br />
monótona, pues los espacios son <strong>de</strong> probabilidad y 0 ≤ 1 − f n ↑ 1 − f),<br />
por tanto existe x 1 ∈ Ω 1 , con 0 < f(x 1 ) ≤ f 1 (x 1 ) = I A1 (x 1 ), y x 1 ∈ A 1 .<br />
Ahora para n ≥ 2 consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong>s funciones medibles g n : Ω 2 → [0, 1],<br />
obtenidas a partir <strong>de</strong>l valor fijo x 1 en el <strong>de</strong>sarrollo integral anterior <strong>de</strong><br />
f n (x 1 ), es <strong>de</strong>cir f 2 (x 1 ) = P 2 [A 2x1 ] = ∫ Ω 2<br />
g 2 dP 2 , y para n ≥ 3<br />
∫<br />
∫<br />
f n (x 1 ) = P 2 × P (3,n) [A nx1 ] = P (3,n) [A n(x1,x 2)] dP 2 =<br />
Ω 2<br />
g n dP 2 ,<br />
Ω 2<br />
para <strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> funciones medibles g n : Ω 1 → [0, 1], con n ≥ 2<br />
g 2 (x 2 ) = I A2 (x 1 , x 2 ), . . . , g n (x 2 ) = P (3,n) [A n(x1,x 2)] ≤ g n−1 (x 2 )<br />
Como antes g n ↓ g y f n (x 1 ) = ∫ g n ↓ ∫ g = f(x 1 ) > 0, por lo que existe<br />
x 2 ∈ Ω 2 , tal que 0 < g(x 2 ) ≤ g 2 (x 2 ) = I A2 (x 1 , x 2 ) y (x 1 , x 2 ) ∈ A 2 .<br />
Repitiendo el razonamiento tendremos <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> x = (x i ) ∈ Ω tal<br />
que para todo n, (x 1 , . . . , x n ) ∈ A n y por tanto x ∈ ∩|A n |.<br />
Ahora el resultado se concluye aplicando los teoremas <strong>de</strong> Caratheodory<br />
y Hahn.<br />
A continuación generalizamos este resultado para medidas <strong>de</strong> transición.<br />
Definición. Diremos que µ 2 , . . . , µ n , . . . es una familia infinita <strong>de</strong> medidas<br />
(probabilida<strong>de</strong>s) <strong>de</strong> transición en los espacios (Ω n , A n ), si para cada<br />
n ≥ 2<br />
µ n : Ω n−1 × A n = Ω 1 × · · · × Ω n−1 × A n −→ [0, ∞],<br />
es tal que para µ nx (B) = µ nB (x) = µ n (x, B), µ nx es una medida (probabilidad)<br />
en A n , fijado x = (x 1 , . . . , x n ) y µ nB es una función medible,<br />
fijado B ∈ A n .
152 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Nota 3.7.5 En los términos anteriores, para una colección numerable <strong>de</strong><br />
espacios medibles (Ω n , A n ) y su producto (Ω, A) = ( ∏ Ω n , ⊗A n ), si µ 1<br />
es una probabilidad en (Ω 1 , A 1 ) y µ 2 , . . . , µ n , . . . es una familia infinita<br />
<strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> transición en los (Ω n , A n ), <strong>de</strong>notaremos con µ n ,<br />
para n ≥ 2, <strong>la</strong> probabilidad producto en el espacio producto finito<br />
Ω n =<br />
n∏<br />
Ω i , A n = A 1 ⊗ · · · ⊗ A n ,<br />
i=1<br />
<strong>de</strong>finida en el teorema (3.7.1), para µ 1 y {µ 2 , . . . , µ n }.<br />
El resultado siguiente se <strong>de</strong>muestra prácticamente igual que (3.7.4),<br />
salvo que <strong>la</strong> notación es más engorrosa.<br />
Teorema 3.7.6 En los términos anteriores hay una única probabilidad<br />
µ en (Ω, A) tal que para cada cilindro medible |C| ∈ A <strong>de</strong> base C ∈ A n ,<br />
µ(|C|) = µ n (C).<br />
Demostración. Si |C| = C × Ω (n,∞) = E × Ω (m,∞) es un cilindro<br />
medible, se tiene que µ n (C) = µ m (E), lo cual permite <strong>de</strong>finir µ(|C|) =<br />
µ n (C) y es una medida aditiva en el álgebra A 0 <strong>de</strong> los cilindros medibles,<br />
pues µ n es una medida en A n . Para ver que es numerablemente aditiva<br />
basta ver que si |A n | ↓ ∅, con |A n | ∈ A 0 , entonces µ(|A n |) → 0. Para ello<br />
supongamos que no, que µ(|A n |) ↓ s > 0 y veamos que ∩|A n | ≠ ∅. Cada<br />
|A n | es un cilindro medible que, como en (3.7.4), po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar <strong>de</strong><br />
base A n ∈ A n , y tendremos<br />
∫<br />
µ(|A n |) = µ n (A n ) = f n dµ 1<br />
para <strong>la</strong>s funciones<br />
f n (x 1 ) =<br />
∫<br />
· · ·<br />
Ω 2<br />
∫<br />
µ n(x1,...,x n−1)(A n(x1,...,x n−1) dµ n−1,(x1,...,x n−2) · · · dµ 2,x1 ,<br />
Ω n<br />
y como f n+1 ≤ f n , pues <strong>la</strong>s medidas son probabilida<strong>de</strong>s y |A n+1 | ⊂ |A n |,<br />
por tanto<br />
A n+1 ⊂ A n × Ω n+1<br />
se tiene que f n ↓ f y por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona<br />
extendido, µ(A n ) = ∫ f n ↓ ∫ f = s > 0, por lo que existe x 1 ∈ Ω 1 , con
3.7. Producto <strong>de</strong> mas <strong>de</strong> dos espacios 153<br />
0 < f(x 1 ) ≤ f 1 (x 1 ), siendo f 1 = I A1 , por tanto x 1 ∈ A 1 . Ahora para<br />
n ≥ 2<br />
∫<br />
f n (x 1 ) = g n dµ 2,x1 ,<br />
Ω 2<br />
y como antes g n ↓ g y f n (x 1 ) ↓ ∫ g dµ 2,x1 = f(x 1 ) > 0, por lo que existe<br />
x 2 ∈ Ω 2 , tal que 0 < g(x 2 ) ≤ g 2 (x 2 ) = I A2 (x 1 , x 2 ) y (x 1 , x 2 ) ∈ A 2 .<br />
Repitiendo el razonamiento tendremos <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> x = (x i ) ∈ Ω tal<br />
que (x 1 , . . . , x n ) ∈ A n y por tanto x ∈ ∩|A n |. El resultado se concluye<br />
aplicando los Teoremas <strong>de</strong> Caratheodory (1.4.7)y Hahn (1.4.8).<br />
Nota 3.7.7 El Teorema (3.7.4) se extien<strong>de</strong> sin complicaciones al caso<br />
<strong>de</strong> un producto arbitrario <strong>de</strong> espacios <strong>de</strong> probabilidad (ver Dunford–<br />
Schwartz, p.200 ó Halmos, p.158). Sin embargo el anterior necesita,<br />
para su extensión a un producto arbitrario <strong>de</strong> espacios, hipótesis topológicas<br />
sobre los espacios factores. Es por ello que posponemos su<br />
estudio hasta <strong>la</strong> lección 10.8, pág.348.
154 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
3.8. Bibliografía y comentarios<br />
Para <strong>la</strong> confección <strong>de</strong>l presente tema hemos hecho uso <strong>de</strong> los siguientes<br />
libros:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Cohn, D.L.: “Measure theory”. Birkhauser (Boston), 1980.<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley–Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
Halmos, P.R.: “Measure Theory”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
Hewitt, E. and Stromberg, K.: “Real and abstract analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g,<br />
1965.<br />
Parthasarathy, K.R.: “Introduction to probability and measure”, McMil<strong>la</strong>n Press,<br />
1980.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”. Tata McGraw-Hill, 1974.<br />
Parece ser que <strong>la</strong> primera discusión sobre <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre una integral<br />
doble y sus integrales simples iteradas, aparece en 1827 cuando Cauchy<br />
seña<strong>la</strong> que <strong>la</strong>s integrales<br />
∫ 1<br />
0<br />
[∫ 1<br />
0<br />
]<br />
f(x, y) dx dy<br />
y<br />
∫ 1<br />
0<br />
[∫ 1<br />
0<br />
]<br />
f(x, y) dy dx<br />
no son necesariamente iguales cuando f no es acotada.<br />
En 1876 Thomae extien<strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración <strong>de</strong> Riemann <strong>de</strong><br />
una variable a varias variables y en 1878 dio un ejemplo simple <strong>de</strong> una<br />
función acotada f : R 2 → R, para <strong>la</strong> que <strong>la</strong> segunda integral <strong>de</strong>l párrafo<br />
anterior existía, mientras que <strong>la</strong> primera no tenía significado pues f y era<br />
Riemann integrable para un único valor <strong>de</strong> y.<br />
En estos dos ejemplos, <strong>de</strong> Cauchy y Thomae, <strong>la</strong> integral doble <strong>de</strong><br />
f no existe. En 1883 Du Bois–Reymond <strong>de</strong>muestra que aunque f sea<br />
integrable, como función <strong>de</strong> dos variables, <strong>la</strong>s funciones f x y f y no tienen<br />
por qué ser integrables para todo valor <strong>de</strong> x e y respectivamente<br />
(ver Hawkins, p.92). Pero no consi<strong>de</strong>ró <strong>la</strong> vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Fubini<br />
atendiendo a <strong>la</strong>s particu<strong>la</strong>rida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l conjunto E sobre el que se<br />
integra. En este sentido Harnack estudia, en 1884–85, el Teorema <strong>de</strong><br />
Fubini imponiendo <strong>la</strong> condición a E, <strong>de</strong> que para cada punto y, <strong>la</strong> sección<br />
E y fuese vacía, un punto o un intervalo. Mas tar<strong>de</strong>, en 1886, hace<br />
<strong>la</strong> observación <strong>de</strong> que el Teorema <strong>de</strong> Fubini sigue siendo válido cuando
3.8. Bibliografía y comentarios 155<br />
E está limitado por una curva “suficientemente simple”, en un sentido<br />
que especifica <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente manera:<br />
(i) Que <strong>la</strong> curva pueda encerrarse en un dominio p<strong>la</strong>no <strong>de</strong> magnitud<br />
arbitrariamente pequeña y<br />
(ii) Que los conjuntos E x y E y se intersequen con <strong>la</strong> curva en a lo<br />
sumo una colección finita <strong>de</strong> puntos.<br />
El tratamiento <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales dobles y en particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong><br />
Fubini <strong>de</strong>mostraron, en pa<strong>la</strong>bras <strong>de</strong> Jordan, que “...aunque el papel que<br />
juega una función en <strong>la</strong> integral está c<strong>la</strong>ro, <strong>la</strong> influencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> naturaleza<br />
<strong>de</strong>l dominio E, sobre el que se integra, no parece haber sido estudiada<br />
con el mismo cuidado...”.<br />
La situación fue finalmente rectificada por el mismo Jordan en 1892,<br />
a partir <strong>de</strong> su <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> conjunto medible. Con <strong>la</strong>s <strong>de</strong>finiciones<br />
que dio logró probar un Teorema <strong>de</strong> Fubini, para funciones<br />
Riemann integrables, <strong>de</strong> total generalidad.<br />
También en 1892 De <strong>la</strong> Vallee–Pousin —que había extendido <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> integral <strong>de</strong> Riemann, a funciones no acotadas—, indicó que<br />
una formu<strong>la</strong>ción satisfactoria <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Fubini, para funciones no<br />
acotadas era un problema difícil. En 1899 <strong>de</strong>mostró una versión bastante<br />
complicada <strong>de</strong> enunciado.<br />
El siguiente paso lo dio Lebesgue en su Tesis <strong>de</strong> 1902. Encontró <strong>la</strong>s<br />
mismas dificulta<strong>de</strong>s que sus pre<strong>de</strong>cesores:<br />
Si f : R 2 → R era Lebesgue integrable, <strong>la</strong>s funciones f x y f y no tenían<br />
por qué ser ni Lebesgue medibles.<br />
No obstante, introduciendo los conceptos <strong>de</strong> integral superior e integral<br />
inferior, <strong>de</strong>mostró (ver Hawkins, p.157) una versión <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong><br />
Fubini qué, como él mismo observó, tenía como consecuencia el Teorema<br />
<strong>de</strong> Fubini si f fuese Borel medible. Pues en ese caso f x y f y también lo<br />
son.<br />
Esta observación sugirió a Fubini <strong>la</strong> posibilidad <strong>de</strong> mejorar el Teorema<br />
<strong>de</strong> Lebesgue y en 1907 prueba esencialmente lo que hemos l<strong>la</strong>mado el<br />
Teorema <strong>de</strong> Fubini clásico. No obstante B.Levi, en 1906, había escrito<br />
en un pie <strong>de</strong> página <strong>de</strong> un trabajo sobre el Principio <strong>de</strong> Dirichlet, el<br />
enunciado <strong>de</strong> este mismo resultado.<br />
Es curioso observar que una i<strong>de</strong>a fundamental como es que f x y<br />
f y fuesen medibles c.s. había sido seña<strong>la</strong>da en un caso particu<strong>la</strong>r por<br />
Hobson en 1907, sin darse cuenta que era válido en general.<br />
Remitimos al lector interesado en <strong>la</strong>s anteriores referencias históricas<br />
al libro
156 Capítulo 3. Espacio <strong>de</strong> medida producto<br />
Hawkins, T.: “Lebesgue’s Theory of integration”. Chelsea Pub.Co., 1975.<br />
El lector interesado en el comportamiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> absoluta continuidad<br />
y <strong>de</strong> <strong>la</strong> singu<strong>la</strong>ridad en el producto <strong>de</strong> medidas, pue<strong>de</strong> consultar el<br />
Hewitt–Stromberg, p.394.<br />
El producto <strong>de</strong> convolución <strong>de</strong>finido en el teorema (3.6.10), pág.144,<br />
es simplemente el producto natural <strong>de</strong> polinomios en el siguiente sentido,<br />
si consi<strong>de</strong>ramos para cada polinomio p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n <strong>la</strong><br />
función <strong>de</strong>finida en Z, f p (i) = a i (f p = 0 en el resto), entonces dados dos<br />
polinomios p y q tendremos que a su producto le correspon<strong>de</strong> f pq (j) =<br />
∑<br />
fp (j − i)f q (i) = f p ∗ f q (j). A<strong>de</strong>más p es <strong>la</strong> Transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
<strong>de</strong> f p (estudiaremos este concepto en un capítulo posterior).<br />
Por último es posible, en base a lo expuesto en este capítulo, dar una<br />
construcción no topológica <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en R, y por tanto<br />
en R n , partiendo <strong>de</strong> un simple espacio <strong>de</strong> medida —el <strong>de</strong> <strong>la</strong> moneda <strong>de</strong><br />
cara y cruz—<br />
Ω = {0, 1}, A = {∅, {0}, {1}, Ω}, µ({0}) = µ({1}) = 1/2.<br />
Remitimos al lector interesado a P.R.Halmos, p.159.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 3
Capítulo 4<br />
El Teorema <strong>de</strong><br />
Radon–Nikodym<br />
4.1. Introducción<br />
En (2.4.1), pág.88, hemos visto que si f es una función con integral,<br />
entonces µ(E) = 0 implica λ(E) = ∫ f dµ = 0. El Teorema <strong>de</strong> Radon–<br />
E<br />
Nikodym establece el resultado inverso, es <strong>de</strong>cir que si λ es una medida<br />
que verifica <strong>la</strong> condición <strong>de</strong> anu<strong>la</strong>r a los conjuntos que son <strong>de</strong> medida<br />
nu<strong>la</strong> para µ (propiedad que <strong>de</strong>notamos con λ ≪ µ), entonces λ = fµ,<br />
para una cierta f con integral.<br />
A esa función f se <strong>la</strong> l<strong>la</strong>ma <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radon–Nikodym <strong>de</strong> λ respecto<br />
<strong>de</strong> µ y se <strong>de</strong>nota dλ/dµ, pues como veremos extien<strong>de</strong> en contextos<br />
particu<strong>la</strong>res <strong>la</strong> noción <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> funciones en el sentido <strong>de</strong> que es<br />
un límite <strong>de</strong> cocientes incrementales. En particu<strong>la</strong>r en el tema siguiente<br />
veremos que en R n , si λ anu<strong>la</strong> a los borel medibles <strong>de</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue<br />
nu<strong>la</strong>, entonces <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radon–Nikodym dλ/dm, coinci<strong>de</strong> c.s. en<br />
cada x ∈ R n , con el límite λ(E)/m(E), cuando m(E) → 0, para los E<br />
tales que x ∈ E.<br />
157
158 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
4.2. Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> carga<br />
Definición. Sea (Ω, A) un espacio medible y λ una carga en él. Diremos<br />
que un conjunto medible P ∈ A es positivo para λ, si λ(A ∩ P ) ≥ 0,<br />
para todo A ∈ A. Diremos que N ∈ A es negativo si λ(A ∩ N) ≤ 0 para<br />
todo A ∈ A. Diremos que un conjunto medible es nulo si es positivo y<br />
negativo. L<strong>la</strong>maremos <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn <strong>de</strong> una carga λ a toda<br />
partición <strong>de</strong>l espacio P, N = P c ∈ A, con P positivo y N negativo.<br />
Nota 4.2.1 Observemos que si P, N ∈ A es una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn<br />
<strong>de</strong> λ, P ′ = N, N ′ = P lo es <strong>de</strong> −λ. Que a<strong>de</strong>más uno <strong>de</strong> los dos valores<br />
λ(P ) ó λ(N) es finito, pues<br />
λ(Ω) = λ(P ) + λ(N).<br />
Por último observemos también que si C ∈ A es nulo, entonces λ(C) = 0<br />
—<strong>de</strong> hecho λ(E) = 0 para todo E ∈ A, con E ⊂ C—, sin embargo<br />
no se tiene el recíproco en general, pues por ejemplo en Ω = [−1, 1],<br />
λ(E) = ∫ xdm, λ(Ω) = 0 pero Ω no es nulo. Sin embargo si λ es una<br />
E<br />
medida, sí.<br />
Proposición 4.2.2 Si para n ∈ N, P n ∈ A son positivos, su unión P =<br />
∪ ∞ n=1P n también es positivo.<br />
Demostración. Basta consi<strong>de</strong>rar los conjuntos medibles disjuntos y<br />
∑<br />
positivos Q n = P n \(∪ n−1<br />
i=1 P i), pues E ∩ P = ∪(E ∩ Q n ) y λ(E ∩ P ) =<br />
λ(E ∩ Qn ) ≥ 0.<br />
Lema 4.2.3 Dada una carga λ y un A ∈ A, con λ(A) > −∞, para todo<br />
ɛ > 0 existe un medible B ⊂ A, con λ(B) ≥ λ(A) y tal que para todo<br />
medible E ⊂ B, λ(E) ≥ −ɛ.<br />
Demostración. Supongamos que no es cierto, que existe un ɛ > 0<br />
tal que para todo medible B ⊂ A, λ(B) < λ(A) ó λ(B) ≥ λ(A) y existe<br />
un medible E ⊂ B con λ(E) < −ɛ.<br />
Consi<strong>de</strong>remos entonces <strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> medibles disjuntos E n ⊂ A,<br />
construidos por inducción <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente forma (ver fig.4.1): E 1 es el
4.2. Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> carga 159<br />
E correspondiente a B 1 = A; E 2 el correspondiente a B 2 = A\E 1 —<br />
pues λ(B 2 ) + λ(E 1 ) = λ(A)— y así sucesivamente; E n el correspondiente<br />
a B n = A\(∪ n−1<br />
i=1 E i). Ahora los λ(E n ) < −ɛ, E = ∪E n ⊂ A y<br />
λ(E) = ∑ λ(E i ) = −∞, por lo que λ(A) = λ(E) + λ(E c ∩ A) = −∞.<br />
Contradicción.<br />
Figura 4.1.<br />
Lema 4.2.4 Dada una carga λ, tal que λ(Ω) < ∞ y λ(A) > −∞, para<br />
un A ∈ A, existe un conjunto positivo P ⊂ A, tal que λ(P ) ≥ λ(A).<br />
Demostración. Aplicando el Lema anterior consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> siguiente<br />
sucesión <strong>de</strong> medibles B n correspondientes a ɛ = 1/n:<br />
Existe B 1 ⊂ A, con λ(B 1 ) ≥ λ(A) > −∞ y λ(E) ≥ −1 para todo<br />
medible E ⊂ B 1 , existe B 2 ⊂ B 1 , con λ(B 2 ) ≥ λ(B 1 ) > −∞ y λ(E) ≥<br />
−1/2 para todo medible E ⊂ B 2 . Por inducción, existe B n ⊂ B n−1 , con<br />
λ(B n ) ≥ λ(B n−1 ) > −∞ y λ(E) ≥ −1/n para todo medible E ⊂ B n ,<br />
etc.<br />
Ahora como |λ(B 1 )| < ∞ y B n ↓ P = ∩B n , tenemos que λ(A) ≤<br />
λ(B n ) → λ(P ), es <strong>de</strong>cir λ(A) ≤ λ(P ) y P es positivo, pues E ∩ P ⊂ B n<br />
para todo n, por tanto λ(E ∩ P ) ≥ −1/n es <strong>de</strong>cir λ(E ∩ P ) ≥ 0.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn 4.2.5 Toda carga λ tiene una <strong>de</strong>scomposición<br />
<strong>de</strong> Hahn.<br />
Demostración. Supondremos que λ < ∞, en caso contrario consi<strong>de</strong>ramos<br />
−λ. Consi<strong>de</strong>remos el sup{λ(A) : A ∈ A} = s y sea λ(A n ) → s.<br />
Por el Lema anterior existen conjuntos positivos P n , con λ(A n ) ≤ λ(P n )<br />
y por (4.2.2), P = ∪P n es positivo y contiene a P n , por tanto λ(A n ) ≤<br />
λ(P n ) ≤ λ(P n ) + λ(P \P n ) = λ(P ) ≤ s y λ(P ) = s. Ahora se tiene que<br />
N = P c es negativo, pues si E es medible E ∩ N y P son disjuntos y<br />
λ(P ) ≥ λ(P ∪ (E ∩ N)) = λ(P ) + λ(E ∩ N) ⇒ λ(E ∩ N) ≤ 0.<br />
En <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s vemos que <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn<br />
esencialmente es única.
160 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Proposición 4.2.6 Sea P, N una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn, entonces:<br />
(a) Para E, B ∈ A, E ⊂ B:<br />
λ(B ∩ N) ≤ λ(E ∩ N) ≤ λ(E) ≤ λ(E ∩ P ) ≤ λ(B ∩ P ).<br />
(b) λ(B ∩ P ) = máx{λ(E) : E ⊂ B, E ∈ A},<br />
λ(B ∩ N) = mín{λ(E) : E ⊂ B, E ∈ A}.<br />
(c) Dada otra <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn P ′ , N ′<br />
λ(E ∩ N) = λ(E ∩ N ′ ) y λ(E ∩ P ) = λ(E ∩ P ′ ).<br />
Demostración. (a) Obvio pues λ(E) = λ(E ∩ N) + λ(E ∩ P ) y<br />
E = E∩B, por tanto λ(B∩N) = λ(E∩B∩N)+λ(E c ∩B∩N) ≤ λ(E∩N)<br />
y λ(B ∩ P ) = λ(E ∩ B ∩ P ) + λ(E c ∩ B ∩ P ) ≥ λ(E ∩ P ).<br />
(b) Se sigue <strong>de</strong> (a) y (c) Se sigue <strong>de</strong> (b).<br />
Nota 4.2.7 Si λ es una medida en un espacio medible (Ω, A), entonces<br />
para todo A ∈ A<br />
λ(∅) = 0 ≤ λ(A) ≤ λ(Ω),<br />
y por tanto el ínf λ y el sup λ se alcanzan. Este hecho también es obvio<br />
para una carga λ = fµ, don<strong>de</strong> µ es una medida y f una función medible,<br />
para <strong>la</strong> que existe <strong>la</strong> ∫ f dµ, pues para A = {f ≥ 0} y todo E ∈ A,<br />
I A cf ≤ I E f ≤ I A f<br />
⇒<br />
⇒<br />
∫ ∫ ∫<br />
f dµ ≤ f dµ ≤<br />
A c E<br />
λ(A c ) ≤ λ(E) ≤ λ(A),<br />
A<br />
f dµ<br />
El resultado anterior (4.2.6), asegura que esta propiedad, característica<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones continuas sobre los compactos, <strong>la</strong> tienen todas <strong>la</strong>s<br />
cargas, pues para todo medible E<br />
λ(N) ≤ λ(E) ≤ λ(P ).<br />
En el tema I vimos que si λ era aditiva y no negativa sobre un álgebra,<br />
entonces λ era acotada si y sólo si era finita en cada elemento <strong>de</strong>l álgebra<br />
y dijimos que esto no era cierto en general si quitábamos <strong>la</strong> no negatividad.<br />
Sin embrago si en lugar <strong>de</strong> un álgebra tenemos una σ–álgebra y λ<br />
es numerablemente aditiva sí es cierto y es una simple consecuencia <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad anterior.
4.2. Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> carga 161<br />
Coro<strong>la</strong>rio 4.2.8 Si λ: A → R es una medida real (carga finita), entonces<br />
es acotada.<br />
Veremos a continuación que <strong>la</strong>s cargas son diferencia <strong>de</strong> medidas, una<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s cuales es finita.<br />
Definición. Diremos que λ 1 y λ 2 medidas arbitrarias en (Ω, A) son<br />
mutuamente singu<strong>la</strong>res y lo <strong>de</strong>notaremos λ 1 ⊥ λ 2 , si existe A ∈ A tal<br />
que λ 1 (E) = λ 1 (E ∩ A) y λ 2 (E) = λ 2 (E ∩ A c ) para todo medible E.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan 4.2.9 Sea λ una carga en un<br />
espacio medible (Ω, A), entonces para cada B ∈ A<br />
λ + (B) = sup{λ(E) : E ⊂ B, E ∈ A},<br />
λ − (B) = − ínf{λ(E) : E ⊂ B, E ∈ A},<br />
son medidas, al menos una es finita y λ = λ + − λ − . A<strong>de</strong>más son mutuamente<br />
singu<strong>la</strong>res λ + ⊥ λ − y esta <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> λ es <strong>la</strong> única como<br />
diferencia <strong>de</strong> medidas mutuamente singu<strong>la</strong>res.<br />
Demostración. Sea P, N una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn, entonces por<br />
el resultado anterior λ + (B) = λ(B ∩P ) y λ − (B) = −λ(B ∩N), <strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
se sigue que son medidas, que una <strong>de</strong> el<strong>la</strong>s es finita, pues λ + (Ω) = λ(P )<br />
y λ − (Ω) = −λ(N) y que λ = λ + − λ − .<br />
Para ver <strong>la</strong> unicidad, por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> singu<strong>la</strong>ridad existe A medible<br />
tal que µ 1 (E) = µ 1 (E ∩ A) y µ 2 (E) = µ 2 (E ∩ A c ), entonces<br />
λ + (E) = λ(E ∩ P ) = µ 1 (E ∩ P ) − µ 2 (E ∩ P ) ≤ µ 1 (E ∩ P )<br />
≤ µ 1 (E) = µ 1 (E ∩ A) = µ 1 (E ∩ A) − µ 2 (E ∩ A)<br />
= λ(E ∩ A) ≤ λ + (E ∩ A) ≤ λ + (E)<br />
λ − (E) = −λ(E ∩ N) = µ 2 (E ∩ N) − µ 1 (E ∩ N) ≤ µ 2 (E ∩ N)<br />
≤ µ 2 (E) = µ 2 (E ∩ A c ) = µ 2 (E ∩ A c ) − µ 1 (E ∩ A c )<br />
= −λ(E ∩ A c ) ≤ λ − (E ∩ A c ) ≤ λ − (E).<br />
Definición. A <strong>la</strong>s medidas λ + y λ − <strong>la</strong>s l<strong>la</strong>maremos parte positiva y parte<br />
negativa <strong>de</strong> λ. L<strong>la</strong>maremos variación <strong>de</strong> λ a <strong>la</strong> medida<br />
y a |λ|(Ω) <strong>la</strong> variación total <strong>de</strong> λ.<br />
|λ| = λ + + λ − ,
162 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Proposición 4.2.10 (a) Para cada A ∈ A, |λ(A)| ≤ |λ|(A) y a<strong>de</strong>más |λ|<br />
es <strong>la</strong> medida más pequeña que lo satisface.<br />
(b) Si λ 1 , λ 2 : A → (−∞, ∞] son cargas, entonces<br />
(c) Si λ es una carga<br />
|λ|(A) = sup{<br />
|λ 1 + λ 2 | ≤ |λ 1 | + |λ 2 |.<br />
n∑<br />
|λ(E i )| : E i ∈ A, disjuntos, ∪E i = A}.<br />
i=1<br />
Demostración. (a) |λ(A)| = |λ + (A) − λ − (A)| ≤ |λ|(A), y si µ es<br />
una medida para <strong>la</strong> que |λ(A)| ≤ µ(A) para todo A ∈ A, entonces<br />
|λ|(A) = λ + (A) + λ − (A) = |λ(A ∩ P )| + |λ(A ∩ N)|<br />
≤ µ(A ∩ P ) + µ(A ∩ N) = µ(A),<br />
para todo A ∈ A.<br />
(b) y (c) se <strong>de</strong>jan como ejercicio.<br />
Nota 4.2.11 Por otro <strong>la</strong>do λ es una carga finita si y sólo si lo son λ + y λ −<br />
si y sólo si lo es |λ|, en cuyo caso es acotada y escribiremos ‖λ‖ = |λ|(Ω).<br />
Veremos en <strong>la</strong> próxima lección que sobre el espacio vectorial <strong>de</strong> <strong>la</strong>s cargas<br />
finitas (que l<strong>la</strong>maremos medidas reales) esto es una norma, con <strong>la</strong> que<br />
dicho espacio es <strong>de</strong> Banach.<br />
La <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> una carga nos permite exten<strong>de</strong>r <strong>la</strong> noción <strong>de</strong><br />
integral.<br />
Definición. Dada una carga λ en un espacio medible (Ω, A), diremos<br />
que una función f medible es integrable respecto λ ó que es λ–integrable<br />
si lo es respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas λ + y λ − , en cuyo caso <strong>de</strong>finimos su<br />
integral como ∫ ∫ ∫<br />
f dλ = f dλ + − f dλ − .
4.2. Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> carga 163<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 4.2.1 Sean λ, µ: A → (−∞, ∞] cargas y a ∈ R, <strong>de</strong>mostrar que<br />
|aλ| = |a||λ|, |λ + µ| ≤ |λ| + |µ|.<br />
Ejercicio 4.2.2 Sea (Ω, A, λ) un espacio medible con una carga. Demostrar:<br />
(a) E ∈ A es nulo si y sólo si |λ|(E) = 0.<br />
(b) Si P, N y P ′ , N ′ son <strong>de</strong>scomposiciones <strong>de</strong> Hahn, |λ|(P △P ′ ) = 0.<br />
Ejercicio 4.2.3 Sean µ 1, µ 2 medidas, µ = µ 1 +µ 2 y f una función medible. Demostrar<br />
que existe ∫ f dµ sii existen ∫ f dµ 1 <strong>la</strong> ∫ f dµ 2 y su suma está <strong>de</strong>finida.<br />
Y en tal caso ∫ ∫ ∫<br />
f dµ = f dµ 1 + f dµ 2.<br />
Ejercicio 4.2.4 Sea λ una carga. Demostrar:<br />
(a) g es λ–integrable si y sólo si es |λ|–integrable.<br />
(b) Si g es λ–integrable,<br />
∫<br />
∫<br />
∣ g dλ<br />
∣ ≤ |g| d|λ|.<br />
(c) Existe una medida µ y una función medible f, con integral respecto <strong>de</strong> µ,<br />
tal que para todo E ∈ A<br />
∫<br />
λ(E) = f dµ. (Sol.)<br />
E<br />
Ejercicio 4.2.5 Encontrar en B(R) <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan para <strong>la</strong> carga<br />
λ = P − δ {0} , siendo P una probabilidad.<br />
Ejercicio 4.2.6 Sea f una función con integral en el espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ)<br />
y consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> carga λ = fµ. Demostrar que<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
λ + (A) = f + dµ, λ − (A) = f − dµ, |λ|(A) = |f| dµ.<br />
A<br />
Ejercicio 4.2.7 Demostrar que si una carga λ = µ 1 − µ 2 es diferencia <strong>de</strong> dos<br />
medidas µ i, entonces λ + ≤ µ 1 y λ − ≤ µ 2.<br />
A<br />
A
164 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Ejercicio 4.2.8 Sean µ 1 y µ 2 medidas positivas y finitas y µ = µ 1 − µ 2. Demostrar<br />
que si f es µ 1 y µ 2 integrable entonces es µ integrable y<br />
∫ ∫ ∫<br />
f dµ = f dµ 1 − f dµ 2.<br />
Ejercicio 4.2.9 Sea λ una carga en un espacio medible (Ω, A), <strong>de</strong>mostrar que<br />
n∑<br />
|λ|(A) = sup{ |λ(E i)| : E i ∈ A, disjuntos, ∪E i = A},<br />
i=1<br />
¿Es cierto el resultado si ponemos ∑ ∞<br />
i=1<br />
en lugar <strong>de</strong> sumas finitas?. (Sol.)<br />
4.3. <strong>Medida</strong>s reales y medidas complejas<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos medida real en (Ω, A) a toda carga finita, es<br />
<strong>de</strong>cir a una función <strong>de</strong> conjunto numerablemente aditiva µ: A → R tal<br />
que µ(∅) = 0. L<strong>la</strong>maremos medida compleja a toda función <strong>de</strong> conjunto<br />
numerablemente aditiva<br />
µ : A → C,<br />
tal que µ(∅) = 0.<br />
Nota 4.3.1 Observemos que <strong>la</strong>s medidas reales son un subconjunto <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s medidas complejas. Por otra parte es fácil ver que cada medida compleja<br />
µ pue<strong>de</strong> escribirse <strong>de</strong> forma única como<br />
µ = µ 1 + iµ 2<br />
don<strong>de</strong> µ 1 y µ 2 son medidas reales. Y por el Teorema <strong>de</strong> Jordan<br />
µ = µ + 1 − µ− 1 + iµ+ 2 − iµ− 2<br />
don<strong>de</strong> µ + 1 , µ− 1 , µ+ 2 y µ− 2 son medidas finitas. Por último observemos que<br />
si µ es una medida compleja, entonces es numerablemente aditiva, por<br />
tanto dada cualquier colección numerable E n ∈ A <strong>de</strong> conjuntos disjuntos,<br />
( ∞<br />
)<br />
⋃<br />
∞∑<br />
µ E n = µ(E n ),<br />
n=1<br />
n=1
4.3. <strong>Medida</strong>s reales y medidas complejas 165<br />
y como <strong>la</strong> serie converge a un número <strong>de</strong> C —no como en el caso <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
medidas en <strong>la</strong>s que <strong>la</strong> serie podía divergir—, y converge al mismo valor<br />
para cualquier reor<strong>de</strong>nación <strong>de</strong> <strong>la</strong> serie, puesto que <strong>la</strong> unión no cambia,<br />
<strong>la</strong> serie converge absolutamente.<br />
Si dada una medida compleja µ, quisiéramos encontrar una medida<br />
positiva |µ| análoga a <strong>la</strong> variación <strong>de</strong> una carga, es <strong>de</strong>cir que sea mínima<br />
entre <strong>la</strong>s que satisfacen |µ(A)| ≤ λ(A), en A, tendríamos que tal medida<br />
<strong>de</strong>be verificar<br />
|µ|(A) = ∑ |µ|(A i ) ≥ ∑ |µ(A i )|,<br />
para cada partición A i <strong>de</strong> A en A. Esto sugiere <strong>la</strong> siguiente <strong>de</strong>finición<br />
que extien<strong>de</strong> <strong>la</strong> propiedad vista para cargas en (4.2.10), pág.162.<br />
Definición. Dada una medida compleja µ, l<strong>la</strong>maremos variación <strong>de</strong> µ<br />
a <strong>la</strong> medida (a continuación <strong>de</strong>mostramos que lo es)<br />
|µ|(A) = sup{<br />
n∑<br />
|µ(A i )| : A i ∈ A, disjuntos, ∪A i = A}.<br />
i=1<br />
Teorema 4.3.2 Sea (Ω, A) un espacio medible y µ una medida compleja.<br />
Entonces su variación |µ| es una medida finita que verifica |µ(A)| ≤<br />
|µ|(A) para todo A ∈ A y es <strong>la</strong> mínima entre <strong>la</strong>s que satisfacen esta<br />
propiedad, a<strong>de</strong>más si λ es otra medida compleja |µ + λ| ≤ |µ| + |λ|.<br />
Demostración. Veamos primero <strong>la</strong> propiedad: Sea ν una medida tal<br />
que |µ(A)| ≤ ν(A), en A, entonces dada una partición finita A 1 , . . . , A n ∈<br />
A <strong>de</strong> un A ∈ A<br />
n∑<br />
n∑<br />
|µ(A i )| ≤ ν(A i ) = ν(A),<br />
i=1<br />
i=1<br />
por tanto |µ|(A) ≤ ν(A). La <strong>de</strong>sigualdad |µ + λ| ≤ |µ| + |λ| se sigue <strong>de</strong><br />
esta propiedad aplicada a µ + λ.<br />
Veamos ahora que |µ| es medida. Por (4.2.10) sabemos que lo es para<br />
µ real. Ahora para µ = µ 1 +iµ 2 , es obvio que |µ|(∅) = 0. Veamos que |µ|<br />
es aditiva. Sean A, B ∈ A disjuntos y consi<strong>de</strong>remos una partición finita<br />
E 1 , . . . , E n ∈ A <strong>de</strong> A ∪ B, entonces<br />
n∑<br />
|µ(E i )| ≤<br />
i=1<br />
n∑<br />
|µ(E i ∩ A)| +<br />
i=1<br />
n∑<br />
|µ(E i ∩ B)| ≤ |µ|(A) + |µ|(B),<br />
i=1
166 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
por tanto |µ|(A∪B) ≤ |µ|(A)+|µ|(B). Para <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad consi<strong>de</strong>remos<br />
sendas particiones finitas A i , B j ∈ A <strong>de</strong> A y B respectivamente,<br />
entonces como todos ellos son una partición <strong>de</strong> A ∪ B,<br />
∑<br />
|µ(Ai )| + ∑ |µ(B j )| ≤ |µ|(A ∪ B),<br />
y |µ|(A) + |µ|(B)| ≤ |µ|(A ∪ B), por tanto |µ| es aditiva. Ahora como<br />
|µ(A)| ≤ |µ 1 (A)| + |µ 2 (A)| ≤ |µ 1 |(A) + |µ 2 |(A) se sigue <strong>de</strong> <strong>la</strong> primera<br />
propiedad que |µ| ≤ |µ 1 |+|µ 2 | y es finita. Ahora sea A n ∈ A, con A n ↓ ∅,<br />
entonces |µ|(A n ) → 0, pues |µ i |(A n ) → 0 por ser medidas finitas, por<br />
tanto |µ| es numerablemente aditiva por (1.7.6), pág.51.<br />
Definición. Dada una medida compleja µ, l<strong>la</strong>maremos variación total<br />
<strong>de</strong> µ al valor finito<br />
‖µ‖ = |µ|(Ω).<br />
Nota 4.3.3 Como consecuencia tenemos que si µ es compleja, entonces<br />
para todo E ∈ A<br />
(4.1) |µ(E)| ≤ |µ|(E) ≤ |µ|(Ω) = ‖µ‖,<br />
por lo que su rango está en un disco <strong>de</strong> radio finito ‖µ‖. Esta propiedad<br />
se expresa diciendo que µ es <strong>de</strong> variación acotada. Denotaremos con<br />
M(A, R) el R–espacio vectorial <strong>de</strong> todas <strong>la</strong>s medidas reales<br />
µ: A −→ R,<br />
y con M(A, C) el C–espacio vectorial <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas complejas<br />
µ: A −→ C.<br />
Lema 4.3.4 µ ∈ M(A, K) si y sólo si µ: A → K es aditiva y tal que<br />
µ(A n ) → 0, para cada A n ↓ ∅.<br />
Demostración. En primer lugar µ(∅) = 0, pues µ(∅) = 2µ(∅) ∈ K.<br />
Ahora el resultado lo vimos en (1.7.6), pág.51, para el caso real (para<br />
cargas) y <strong>de</strong> este se sigue el caso complejo consi<strong>de</strong>rando µ = µ 1 + iµ 2 ,<br />
con µ 1 y µ 2 reales.<br />
Teorema 4.3.5 Los espacios M(A, K), para K = R ó C, son <strong>de</strong> Banach<br />
con <strong>la</strong> norma<br />
‖µ‖ = |µ|(Ω).
4.3. <strong>Medida</strong>s reales y medidas complejas 167<br />
Demostración. Que es una norma se sigue fácilmente (<strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad<br />
triangu<strong>la</strong>r es consecuencia <strong>de</strong> que |µ + λ| ≤ |µ| + |λ|). Veamos que<br />
es completo. Sea µ n ∈ M(A, K) una sucesión <strong>de</strong> Cauchy, entonces por<br />
(4.1) se tiene para cada A ∈ A<br />
|µ n (A) − µ m (A)| ≤ ‖µ n − µ m ‖,<br />
por tanto µ n (A) ∈ K es <strong>de</strong> Cauchy, a<strong>de</strong>más uniformemente, y tiene<br />
límite que l<strong>la</strong>mamos µ(A) = lím µ n (A) y <strong>la</strong> convergencia es uniforme<br />
en A. Demostremos que µ ∈ M(A, K) y que ‖µ n − µ‖ → 0. En primer<br />
lugar µ(∅) = lím µ n (∅) = 0 y es aditiva pues si A, B ∈ A son disjuntos,<br />
entonces<br />
µ(A ∪ B) = lím µ n (A ∪ B) = lím µ n (A) + lím µ n (B) = µ(A) + µ(B).<br />
Para <strong>de</strong>mostrar que es numerablemente aditiva veamos —por el Lema<br />
anterior (4.3.4)— que µ(A n ) → 0, para cada sucesión A n ∈ A con A n ↓<br />
∅. Sea ɛ > 0 y N ∈ N tal que |µ n (A) − µ(A)| ≤ ɛ/2, para todo n ≥ N<br />
y todo A medible. Ahora como lím m→∞ µ N (A m ) = 0, existe un k ∈ N,<br />
tal que para m ≥ k, |µ N (A m )| ≤ ɛ/2, por tanto,<br />
|µ(A m )| ≤ |µ(A m ) − µ N (A m )| + |µ N (A m )| ≤ ɛ,<br />
y µ(A m ) → 0, por tanto µ es numerablemente aditiva.<br />
Por último veamos que µ n → µ, es <strong>de</strong>cir que ‖µ − µ n ‖ → 0. Sea<br />
A 1 , . . . , A k una partición <strong>de</strong> Ω y sea ɛ > 0, entonces existe un N ∈ N tal<br />
que<br />
k∑<br />
|µ m (A i ) − µ n (A i )| ≤ ‖µ m − µ n ‖ ≤ ɛ,<br />
i=1<br />
para todo m, n ≥ N y haciendo m → ∞, tendremos que<br />
k∑<br />
|µ(A i ) − µ n (A i )| ≤ ɛ,<br />
i=1<br />
por tanto ‖µ − µ n ‖ ≤ ɛ, para n ≥ N y el resultado se sigue.
168 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 4.3.1 Sea (Ω, A) un espacio medible con una medida compleja<br />
λ = λ 1 + iλ 2 = λ + 1 − λ − 1 + iλ + 2 − iλ − 2 ,<br />
<strong>de</strong>mostrar que<br />
λ ± i ≤ |λ i| ≤ |λ| ≤ λ + 1 + λ − 1 + λ + 2 + λ − 2 . (Sol.)<br />
4.4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Definición. Sea λ una carga ó una medida compleja (en particu<strong>la</strong>r una<br />
medida ó una medida real), en el espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), diremos<br />
que λ es absolutamente continua respecto <strong>de</strong> µ, y lo <strong>de</strong>notaremos λ ≪ µ,<br />
si para A ∈ A<br />
µ(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0.<br />
Sea f medible en el espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), tal que existe <strong>la</strong><br />
∫<br />
f dµ, entonces hemos visto en el Tema anterior que λ = fµ es una<br />
carga para <strong>la</strong> que λ ≪ µ, pues si µ(A) = 0,<br />
−∞I A ≤ fI A ≤ ∞I A ⇒ 0 = −∞µ(A) ≤ λ(A) ≤ ∞µ(A) = 0.<br />
Del mismo modo si f = f 1 + if 2 : Ω → C es medible e integrable,<br />
entonces<br />
∫ ∫ ∫<br />
λ(A) = f dµ = f 1 dµ + i f 2 dµ = λ 1 (A) + iλ 2 (A),<br />
A<br />
A<br />
A<br />
es una medida compleja, para <strong>la</strong> que por lo anterior λ i ≪ µ y por tanto<br />
λ ≪ µ. En esta lección veremos que esta propiedad es esencial para <strong>la</strong><br />
representación <strong>de</strong> una carga ó <strong>de</strong> una medida compleja λ en <strong>la</strong> forma fµ.<br />
El siguiente resultado nos explica por qué <strong>la</strong> pa<strong>la</strong>bra continuidad se<br />
utiliza en esta <strong>de</strong>finición.
4.4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym 169<br />
Proposición 4.4.1 Sea λ una medida compleja en el espacio <strong>de</strong> medida<br />
(Ω, A, µ). Entonces son equivalentes:<br />
(a) λ ≪ µ.<br />
(b) |λ| ≪ µ.<br />
(c) Para cada ɛ > 0, existe un δ > 0 tal que si µ(E) < δ, entonces<br />
|λ(E)| < ɛ.<br />
Si λ es una carga entonces (a)⇔ (b)⇐(c).<br />
Demostración. (a)⇒(b) En cualquier caso como<br />
|λ|(A) = sup{<br />
n∑<br />
|λ(A i )| : A i ∈ A, disjuntos, ∪A i = A}.<br />
i=1<br />
tendremos que si A ∈ A<br />
µ(A) = 0 ⇒ µ(B) = 0, para todo B ⊂ A, B ∈ A ⇒<br />
⇒ λ(B) = 0, para todo B ⊂ A, B ∈ A ⇒<br />
⇒ |λ|(A) = 0,<br />
por tanto |λ| ≪ µ.<br />
(b)⇒(a) En cualquier caso se sigue <strong>de</strong> que |λ(E)| ≤ |λ|(E).<br />
(c)⇒(a) Es obvia en cualquier caso.<br />
(a)⇒(c) Para λ medida compleja. Supongamos que (c) no es cierto,<br />
entonces existe un ɛ > 0 tal que para todo n, existen E n ∈ A, tales que<br />
µ(E n ) < 2 −n , pero |λ(E n )| ≥ ɛ. Ahora por el Lema <strong>de</strong> Borel–Cantelli<br />
µ(lím sup E n ) = 0, pues ∑ ∞<br />
k=1 µ(E n) < ∞, y por (b) |λ|(lím sup E n ) = 0,<br />
pero<br />
ɛ ≤ |λ(E n )| ≤ |λ|(E n ) ≤ |λ|(∪ ∞ k=nE n ) < ∞<br />
y llegamos a un absurdo pues |λ|(∪ ∞ k=n E n) → |λ|(lím sup E n ).<br />
Nota 4.4.2 Para una carga en general (a) no implica (c), ni siquiera si λ<br />
es una medida (no acotada, pues <strong>la</strong>s acotadas al ser un caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong><br />
medidas complejas sí lo satisfacen). Por ejemplo para µ = m <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue en [0, 1] y<br />
∫<br />
1<br />
λ(E) =<br />
x dm,<br />
se tiene para todo t ∈ (0, 1), m(0, t) = t y<br />
λ(0, t) =<br />
∫ t<br />
0<br />
E<br />
1<br />
dx = ∞.<br />
x
170 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
A continuación vemos uno <strong>de</strong> los resultados fundamentales <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
<strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida.<br />
Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym I 4.4.3 Sean λ y µ medidas σ–finitas en<br />
(Ω, A), tales que λ ≪ µ. Entonces existe una única c.s.(A, µ) función<br />
finita medible con integral g : Ω → [0, ∞), tal que para cada A ∈ A<br />
∫<br />
λ(A) =<br />
A<br />
g dµ.<br />
Demostración. La unicidad es consecuencia <strong>de</strong> (2.4.27), página 102:<br />
si µ es σ–finita y ∫ A g dµ ≤ ∫ A g′ dµ para todo A ∈ A, entonces g ≤ g ′<br />
c.s.<br />
La existencia <strong>la</strong> vamos a dividir en una serie <strong>de</strong> pasos:<br />
(a) Supongamos que λ y µ son medidas finitas y consi<strong>de</strong>remos el<br />
conjunto<br />
∫<br />
F = {f : Ω → [0, ∞], medibles : f dµ ≤ λ(A), ∀A ∈ A},<br />
el cual es no vacío —0 ∈ F— y si f, g ∈ F entonces máx(f, g) ∈ F, pues<br />
0 ≤ h = máx(f, g) es medible, por tanto tiene integral y si consi<strong>de</strong>ramos<br />
un A ∈ A, B = {x ∈ A : f(x) > g(x)} y C = {x ∈ A : f(x) ≤ g(x)},<br />
entonces<br />
∫ ∫ ∫<br />
h dµ = h dµ + h dµ<br />
A<br />
B<br />
C<br />
∫ ∫<br />
= f dµ + g dµ ≤ λ(B) + λ(C) = λ(A),<br />
B<br />
consi<strong>de</strong>remos ahora una sucesión f n ∈ F, tal que<br />
∫<br />
∫<br />
f n dµ ↑ sup{ f dµ : f ∈ F} = s,<br />
C<br />
y veamos que el supremo se alcanza. Sea g n = máx(f 1 , . . . , f n ) ∈ F,<br />
entonces g n ↑ g converge a una función medible g, a<strong>de</strong>más f n ≤ g n<br />
y por tanto ∫ f n dµ ≤ ∫ g n dµ ≤ s, por tanto aplicando el Teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91, s = ∫ ∫<br />
g dµ y para todo A ∈ A,<br />
A g n dµ → ∫ A g dµ, por tanto ∫ g dµ ≤ λ(A) y g ∈ F y como es integrable<br />
po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar<strong>la</strong> finita haciéndo<strong>la</strong> cero don<strong>de</strong> valga<br />
A<br />
∞.<br />
A
4.4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym 171<br />
Como λ(A) ≥ ∫ g dµ po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar <strong>la</strong> medida finita<br />
A<br />
∫<br />
ν(A) = λ(A) − g dµ,<br />
para <strong>la</strong> que ν ≪ µ. Ahora si ν(Ω) = 0, entonces hemos terminado pues<br />
para cada A medible ν(A) = 0, es <strong>de</strong>cir<br />
∫<br />
λ(A) = g dµ.<br />
En caso contrario 0 < ν(Ω) < ∞, vamos a llegar a una contradicción,<br />
encontrando una función medible f, tal que f ∈ F y ∫ f > s.<br />
Veamos que existe una tal función y es <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma f = g + kI E .<br />
∫<br />
f ∈ F ⇔ ∀A ∈ A, g dµ + kµ(A ∩ E) ≤ λ(A) ⇔<br />
A<br />
⇔ ∀A ∈ A, kµ(A ∩ E) ≤ ν(A) ⇐<br />
⇐ ∀A ∈ A, kµ(A ∩ E) ≤ ν(A ∩ E)<br />
∫ ∫<br />
f > g ⇔ µ(E) > 0.<br />
Lo primero nos induce a consi<strong>de</strong>rar un k > 0 cualquiera y como E un<br />
conjunto positivo P <strong>de</strong> una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn P, N = P c , para <strong>la</strong><br />
carga finita λ ′ = ν − kµ. Ahora si fuese µ(P ) = 0, entonces tendríamos<br />
ν(P ) = 0 y λ ′ (P ) = 0, por tanto λ ′ (Ω) = λ ′ (N) ≤ 0. Esto nos lleva a<br />
consi<strong>de</strong>rar un k > 0 tal que kµ(Ω) < ν(Ω), que existe pues µ es finita,<br />
en cuyo caso tendremos λ ′ (Ω) > 0 y por tanto µ(P ) > 0.<br />
(b) Supongamos ahora que µ y λ son medidas σ–finitas, entonces<br />
existen A n ∈ A, que po<strong>de</strong>mos tomar disjuntos, tales que ∪A n = Ω,<br />
λ(A n ) < ∞ y µ(A n ) < ∞. Si consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong>s medidas finitas λ y µ<br />
en cada espacio medible (A n , A |An ), tendremos que λ ≪ µ y por (a)<br />
existen f n : A n → [0, ∞) medibles e integrables, que po<strong>de</strong>mos exten<strong>de</strong>r<br />
a Ω, f n : Ω → [0, ∞) haciéndo<strong>la</strong>s nu<strong>la</strong>s fuera <strong>de</strong> A n <strong>de</strong> tal forma que para<br />
cada E ∈ A<br />
∫<br />
∫<br />
λ(E ∩ A n ) = f n dµ = f n dµ,<br />
E∩A n E<br />
y por tanto<br />
λ(E) = ∑ λ(E ∩ A n )<br />
= ∑ ∫ ∫<br />
f n dµ = ( ∑ f n ) dµ,<br />
E<br />
E<br />
A<br />
A
172 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
y el resultado se sigue para f = ∑ f n .<br />
Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym II 4.4.4 Sea λ una carga y µ una medida<br />
σ–finita en (Ω, A), tales que λ ≪ µ. Entonces existe una única c.s.(A, µ)<br />
función medible con integral g : Ω → R, tal que para cada A ∈ A<br />
∫<br />
λ(A) = g dµ.<br />
Demostración. Como µ es σ–finita, <strong>la</strong> unicidad se sigue como en el<br />
teorema anterior.<br />
(a) Supongamos primero que λ es una medida y que µ es finita.<br />
Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> conjuntos<br />
C = {C ∈ A : (C, A |C , λ |C ) es σ–finito},<br />
<strong>la</strong> cual es no vacía pues ∅ ∈ C, contiene a todo medible E, con λ(E) < ∞<br />
y es cerrada para uniones numerables. Sea s = sup{µ(C) : C ∈ C} ≤<br />
µ(Ω) < ∞ y C n ∈ C tales que µ(C n ) ↑ s, entonces como C = ∪C n ∈ C,<br />
µ(C n ) ≤ µ(C) ≤ s y tomando límites, µ(C) = s < ∞. Ahora aplicando<br />
el resultado anterior existe una función medible g : C → [0, ∞), tal que<br />
para cada A ∈ A<br />
∫<br />
λ(A ∩ C) = g dµ,<br />
A<br />
A∩C<br />
ahora bien si µ(A ∩ C c ) > 0 tendrá que ser λ(A ∩ C c ) = ∞, pues en caso<br />
contrario C ∪ (A ∩ C c ) ∈ C y µ(C ∪ (A ∩ C c )) > µ(C) = s, pues s < ∞,<br />
lo cual es absurdo. Y si µ(A ∩ C c ) = 0 entonces λ(A ∩ C c ) = 0, así que<br />
en cualquier caso<br />
∫<br />
λ(A ∩ C c ) = ∞dµ,<br />
A∩C c<br />
y por tanto si exten<strong>de</strong>mos g(x) = ∞ para los x ∈ C c , tendremos que<br />
∫<br />
λ(A) = g dµ.<br />
(b) Si µ es σ–finita y λ es una medida, po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar A n ∈ A<br />
disjuntos, tales que ∪A n = Ω y µ(A n ) < ∞ y por el caso anterior existen<br />
g n : A n → [0, ∞] medibles, que exten<strong>de</strong>mos a Ω con g n = 0 en A c n, tales<br />
que para cada A ∈ A<br />
∫<br />
∫<br />
λ(A ∩ A n ) = g n dµ = g n dµ,<br />
A∩A n A<br />
A
4.4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym 173<br />
por tanto el resultado se sigue para g = ∑ g n , pues<br />
λ(A) = ∑ λ(A ∩ A n ) = ∑ ∫ ∫<br />
g n dµ =<br />
A<br />
A<br />
g dµ.<br />
(c) Por último consi<strong>de</strong>remos que µ es σ–finita y λ es una carga, por<br />
tanto λ = λ + − λ − don<strong>de</strong> una <strong>de</strong> el<strong>la</strong>s, digamos λ − , es finita, entonces<br />
como λ ≪ µ, tendremos que λ + ≪ µ y λ − ≪ µ, por lo que aplicando<br />
los casos anteriores existen g 1 medible y no negativa y g 2 medible, no<br />
negativa y finita, tales que<br />
∫<br />
∫<br />
λ + (A) = g 1 dµ, λ − (A) = g 2 dµ,<br />
y por tanto para g = g 1 − g 2 , λ(A) = ∫ A g dµ.<br />
A<br />
Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym III 4.4.5 Sea λ una medida compleja y µ<br />
una medida σ–finita en (Ω, A), tales que λ ≪ µ. Entonces existe una<br />
única c.s.(A, µ) función medible integrable g : Ω → C, tal que para cada<br />
A ∈ A<br />
∫<br />
λ(A) = g dµ.<br />
Demostración. La unicidad es simple como en los resultados anteriores.<br />
Para λ real λ = λ + − λ − siendo <strong>la</strong>s dos medidas finitas y ambas<br />
λ ± ≪ µ (hágase como ejercicio), por lo que aplicando el Teorema <strong>de</strong><br />
Radon–Nikodym I , existen funciones medibles finitas no negativas g 1 , g 2<br />
y g = g 1 − g 2 , tales que para cada A medible<br />
∫<br />
λ(A) = λ + (A) − λ − (A) = g dµ.<br />
Para λ compleja λ = λ 1 + iλ 2 , tenemos λ i ≪ µ (hágase como ejercicio),<br />
por lo que aplicando el caso real se tiene el resultado.<br />
Nota 4.4.6 En estos resultados parece que no pue<strong>de</strong> haber una función<br />
g <strong>de</strong>terminada, pues en un conjunto <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong> po<strong>de</strong>mos modificar<strong>la</strong><br />
y sigue siendo una función válida, sin embargo por una parte en <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>mostración <strong>de</strong>l caso mas sencillo en el que λ y µ son positivas y finitas<br />
se construye una con procedimientos “naturales” y no es <strong>de</strong> extrañar que<br />
en situaciones suficientemente regu<strong>la</strong>res haya una más “canónica” que<br />
<strong>la</strong>s <strong>de</strong>más. En (5.2.9), pág.193, veremos que esto es así en R n .<br />
A<br />
A<br />
A
174 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Definición. Una función g como en los teoremas anteriores tal que para<br />
cada A ∈ A<br />
∫<br />
λ(A) = g dµ.<br />
se l<strong>la</strong>ma <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radon–Nikodym <strong>de</strong> λ respecto <strong>de</strong> µ y se <strong>de</strong>nota<br />
dλ/dµ, aunque dλ/dµ no es una función sino cualquiera que lo satisfaga,<br />
<strong>la</strong> cual es única c.s. (A, µ) en dos casos: si µ es σ–finita ó si λ es finita (es<br />
<strong>de</strong>cir g es integrable). Si µ es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue, g se l<strong>la</strong>ma función<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> λ.<br />
Con ayuda <strong>de</strong>l siguiente resultado, veremos cómo están re<strong>la</strong>cionadas<br />
una medida compleja y su variación en términos <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong><br />
Radón–Nikodym.<br />
Lema 4.4.7 Sea f : Ω → C, medible e integrable en un espacio <strong>de</strong> medida<br />
finita (Ω, A, µ). Si E ∈ A es tal que f(E) ⊂ B[z, r] y µ(E) > 0,<br />
entonces ∫ fdµ/µ(E) ∈ B[z, r]. Si para todo E ∈ A, con µ(E) > 0,<br />
E<br />
| ∫ fdµ|/µ(E) ≤ 1, entonces |f| ≤ 1 c.s.<br />
E<br />
Demostración. Lo primero es obvio. Lo segundo se sigue <strong>de</strong> que<br />
E = {|f| > 1} = f −1 (B[0, 1] c ) = ∪E n , pues todo abierto <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no,<br />
en nuestro caso B[0, 1] c , es unión numerable <strong>de</strong> bo<strong>la</strong>s cerradas B n y<br />
tomamos E n = f −1 (B n ). Ahora bien si algún µ(E n ) > 0, tendríamos<br />
por <strong>la</strong> primera parte que ∫ E n<br />
fdµ/µ(E n ) ∈ B n y como B n está fuera <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad, | ∫ E n<br />
fdµ/µ(E n )| > 1, lo cual es absurdo, por lo tanto<br />
µ(E n ) = 0 = µ(E).<br />
Teorema <strong>de</strong> representación po<strong>la</strong>r <strong>de</strong> una medida 4.4.8 Sea λ una medida<br />
compleja en el espacio medible (Ω, A). Entonces existe una función<br />
h: Ω → C, |λ|–integrable, tal que |h| = 1 en Ω y h = dλ/d|λ|.<br />
Demostración. En primer lugar |λ| es finita y λ ≪ |λ|, pues |λ(A)| ≤<br />
|λ|(A), por tanto se sigue <strong>de</strong> (4.4.5) que existe h = dλ/d|λ| y como<br />
|λ(A)| ≤ |λ|(A), por el resultado anterior tendremos que |h| ≤ 1 c.s.,<br />
ahora bien<br />
∫<br />
∫<br />
λ(A) = h d|λ| ⇒ |λ(A)| ≤ |h| d|λ| = ν(A),<br />
A<br />
y ν es una medida, pero |λ| es <strong>la</strong> menor que verifica esa <strong>de</strong>sigualdad, por<br />
tanto para todo medible A,<br />
∫<br />
∫<br />
1 d|λ| = |λ|(A) ≤ ν(A) = |h| d|λ|,<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A
4.4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym 175<br />
lo cual implica, por (2.4.27), pág.102, que 1 ≤ |h| c.s. (|λ|).<br />
Proposición 4.4.9 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida, f : Ω → C, medible<br />
e integrable, entonces<br />
∫<br />
∫<br />
λ(A) = f dµ ⇒ |λ|(A) = |f| dµ.<br />
A<br />
Demostración. Por los resultados anteriores<br />
∫ ∫<br />
λ(A) = h d|λ| = f dµ,<br />
y por el ejercicio (4.4.9)<br />
∫<br />
|λ|(A) =<br />
A<br />
A<br />
A<br />
∫<br />
h¯h d|λ| =<br />
A<br />
A<br />
f¯h dµ,<br />
siendo 0 ≤ f¯h = |f| c.s., pues |λ| y µ son positivas.<br />
Otra forma <strong>de</strong> probar este resultado es <strong>la</strong> siguiente.<br />
Proposición 4.4.10 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida, f : Ω → C, medible<br />
e integrable, entonces<br />
∫<br />
∫<br />
λ(A) = f dµ ⇒ |λ|(A) = |f| dµ.<br />
A<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> medida ν(A) = ∫ |f| dµ, para A ∈<br />
A<br />
A, entonces como<br />
∫ ∫<br />
|λ(A)| = | f dµ| ≤ |f| dµ = ν(A),<br />
A<br />
A<br />
tendremos que |λ|(A) ≤ ν(A). Veamos <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad.<br />
Sea f = f 1 + if 2 y consi<strong>de</strong>remos sendas sucesiones <strong>de</strong> funciones simples<br />
g 1n → f 1 y g 2n → f 2 , tales que |g 1n | ≤ |f 1 | y |g 2n | ≤ |f 2 |. Consi<strong>de</strong>remos<br />
ahora <strong>la</strong>s funciones simples complejas<br />
g n = |g 1n + ig 2n | + I {g1n+ig 2n=0}<br />
g 1n + ig 2n + I {g1n+ig 2n=0}<br />
→<br />
A<br />
{<br />
1, si f = 0,<br />
|f|<br />
f<br />
, si f ≠ 0,
176 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
por tanto |g n | = 1, f n = fg n → |f|, |f n | = |f| y |f| integrable. Se sigue<br />
<strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, (2.4.12) (ver página 96) que<br />
para cualquier A medible<br />
∫ ∫<br />
f n dµ → |f| dµ,<br />
y si g n = ∑ k<br />
j=1 a njI Anj entonces |a nj | = 1 y<br />
∫<br />
∣<br />
A<br />
A<br />
∣ ∣∫<br />
∣∣∣∣∣ ∣∣∣<br />
f n dµ<br />
∣ = k∑<br />
g n f dµ<br />
∣ = a nj f dµ<br />
A<br />
j=1<br />
∫A∩A nj ∣<br />
k∑<br />
k∑<br />
=<br />
a nj λ(A ∩ A nj )<br />
∣<br />
∣ ≤ |λ(A ∩ A nj )| ≤ |λ|(A).<br />
j=1<br />
y tomando límites tendremos ∫ |f| dµ ≤ |λ|(A).<br />
A<br />
Y como consecuencia <strong>de</strong> él po<strong>de</strong>mos probar el <strong>de</strong> <strong>la</strong> representación<br />
po<strong>la</strong>r <strong>de</strong> una medida.<br />
Teorema <strong>de</strong> representación po<strong>la</strong>r <strong>de</strong> una medida 4.4.11 Sea λ una medida<br />
compleja en el espacio medible (Ω, A). Entonces existe una función<br />
h: Ω → C integrable, tal que |h| = 1 en Ω y h = dλ/d|λ|.<br />
Demostración. En primer lugar |λ| es finita y λ ≪ |λ|, pues |λ(A)| ≤<br />
|λ|(A), por tanto se sigue <strong>de</strong> (4.4.5) que existe f = dλ/d|λ| y por el resultado<br />
anterior, |dλ/d|λ|| = d|λ|/d|λ| = 1, es <strong>de</strong>cir |f| = 1 c.s. (A, |λ|)<br />
y si consi<strong>de</strong>ramos el medible A = {|f| = 1}, tendremos que |λ|(A c ) = 0<br />
y para h = I A f + I A c = dλ/d|λ|, |h| = 1.<br />
Definición. Diremos que una función medible f : Ω → R es integrable<br />
respecto <strong>de</strong> una medida compleja<br />
A<br />
j=1<br />
λ = λ 1 + iλ 2 = λ + 1 − λ− 1 + iλ+ 2 − iλ− 2 ,<br />
si es integrable respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas reales λ i , es <strong>de</strong>cir si lo es respecto<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas λ ± i en cuyo caso <strong>de</strong>finimos su integral como<br />
∫ ∫ ∫<br />
f dλ = f dλ 1 + i f dλ 2<br />
∫<br />
=<br />
∫<br />
f dλ + 1 − ∫<br />
f dλ − 1 + i ∫<br />
f dλ + 2 − i f dλ − 2 .
4.4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym 177<br />
Si f = f 1 + if 2 : Ω → C es medible, diremos que es λ–integrable si lo<br />
son f 1 y f 2 , en cuyo caso <strong>de</strong>finimos<br />
∫ ∫ ∫<br />
f dλ = f 1 dλ + i f 2 dλ.<br />
Proposición 4.4.12 Sea λ ∈ M(A, C), entonces f : Ω → C medible es<br />
λ–integrable si y sólo si es |λ|–integrable y si consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> función<br />
h = dλ/d|λ| <strong>de</strong>l resultado anterior con |h| = 1, se tiene que<br />
∫ ∫<br />
f dλ = fh d|λ|.<br />
Demostración. La equivalencia entre integraciones se sigue fácilmente<br />
<strong>de</strong><br />
λ ± i ≤ λ + i + λ − i = |λ i | ≤ |λ| ≤ |λ 1 | + |λ 2 | = λ + 1 + λ− 1 + λ+ 2 + λ− 2 ,<br />
y <strong>de</strong>l ejercicio (2.4.8), página 103.<br />
La igualdad <strong>de</strong> integrales se <strong>de</strong>muestra para funciones indicador, simples<br />
y en general para funciones integrables utilizando <strong>la</strong> linealidad y el<br />
teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, pág.96.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 4.4.1 Sean λ 1, λ 2 y λ 3 medidas, λ 2 y λ 3 σ–finitas, en (Ω, A), <strong>de</strong>mostrar<br />
que si λ 1 ≪ λ 2 y λ 2 ≪ λ 3, entonces λ 1 ≪ λ 3 y a<strong>de</strong>más se tiene<br />
que<br />
dλ 1<br />
= dλ1 dλ 2<br />
.<br />
dλ 3 dλ 2 dλ 3<br />
Ejercicio 4.4.2 Sean µ y ν medidas σ–finitas, con ν ≪ µ y sea λ = µ + ν.<br />
Demostrar que ν ≪ λ y si f = dν/dλ, entonces 0 ≤ f < 1 c.s (µ) y que<br />
dν/dµ = f/(1 − f). (Sol.)
178 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Ejercicio 4.4.3 Sean λ y µ medidas σ–finitas en (Ω, A), <strong>de</strong>mostrar que son<br />
equivalentes <strong>la</strong>s condiciones:<br />
(a) µ ≪ λ y λ ≪ µ.<br />
(b) {A ∈ A : µ(A) = 0} = {A ∈ A : λ(A) = 0}.<br />
(c) Existe una función medible g : Ω → (0, ∞), tal que λ(A) = ∫ A g dµ.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 4.4.4 Demostrar que si (Ω, A, µ) es un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita,<br />
existe una medida finita λ, que tiene los mismos conjuntos nulos que µ. (Sol.)<br />
Ejercicio 4.4.5 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida finita y f : Ω → C integrable.<br />
Demostrar que si S es un cerrado <strong>de</strong> C, tal que para cada E ∈ A con<br />
µ(E) > 0, se tiene<br />
∫<br />
1<br />
f dµ ∈ S<br />
µ(E) E<br />
entonces f(x) ∈ S c.s. (Sol.)<br />
Ejercicio 4.4.6 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida. Demostrar que<br />
{λ ∈ M(A, R) : λ ≪ µ},<br />
es un subespacio vectorial cerrado <strong>de</strong>l espacio <strong>de</strong> Banach M(A, R). (Sol.)<br />
Ejercicio 4.4.7 Sean ν 1 ≪ µ 1 en (Ω 1, A 1) y ν 2 ≪ µ 2 en (Ω 2, A 2), medidas<br />
σ–finitas. Demostrar que ν 1 × ν 2 ≪ µ 1 × µ 2 y que<br />
d(ν 1 × ν 2) dν1<br />
(x, y) = (x) dν2 (y). (Sol.)<br />
d(µ 1 × µ 2) dµ 1 dµ 2<br />
Ejercicio 4.4.8 Sea f medible compleja integrable respecto <strong>de</strong> una medida<br />
compleja λ, <strong>de</strong>mostrar que<br />
∫<br />
∫<br />
∣ f dλ<br />
∣ ≤ |f| d|λ|.<br />
Ejercicio 4.4.9 Sean µ y ν medidas y f µ-integrable y g ν-integrable, tales<br />
que para todo A ∈ A, ∫ fdµ = ∫ ∫<br />
gdν, entonces para toda h medible acotada<br />
fhdµ = ∫<br />
ghdν<br />
A A<br />
A A
4.5. Singu<strong>la</strong>ridad 179<br />
4.5. Singu<strong>la</strong>ridad<br />
En esta lección consi<strong>de</strong>raremos otra propiedad <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas, <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
que hemos hab<strong>la</strong>do en el Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan, pág.161,<br />
y que en cierto modo es opuesta a <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> absoluta continuidad.<br />
Definición. Sea λ una medida arbitraria (medida positiva, carga ó medida<br />
compleja) en (Ω, A) y A ∈ A. Diremos que λ está concentrada en<br />
A si λ(E) = 0 para cualquier E ∈ A tal que E ⊂ A c .<br />
Nota 4.5.1 Que λ esté concentrada en A equivale a que para cada E ∈<br />
A, λ(E) = λ(A ∩ E). Observemos que en el caso <strong>de</strong> que sea una medida<br />
λ está concentrada en A ⇔ λ(A c ) = 0.<br />
Definición. Diremos que λ 1 y λ 2 medidas arbitrarias en (Ω, A) son<br />
singu<strong>la</strong>res y lo <strong>de</strong>notaremos λ 1 ⊥ λ 2 , si existen A, B ∈ A disjuntos tales<br />
que λ 1 está concentrada en A y λ 2 en B.<br />
Ejemplo 4.5.2 Si λ = λ + − λ − es <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan <strong>de</strong> una<br />
carga λ, entonces λ + ⊥ λ − , pues si P, N es una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn,<br />
λ + (A) = λ(A∩P ) y λ − (A) = −λ(A∩N), por tanto λ + está concentrada<br />
en P y λ − en N.<br />
Veamos unas cuantas propieda<strong>de</strong>s elementales <strong>de</strong> <strong>la</strong> singu<strong>la</strong>ridad y<br />
su re<strong>la</strong>ción con <strong>la</strong> absoluta continuidad.<br />
Proposición 4.5.3 Sean λ, λ 1 y λ 2 cargas ó medidas complejas en el<br />
espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ). Entonces:<br />
(a) λ está concentrada en A ∈ A si y sólo si |λ| está concentrada en<br />
A ∈ A.<br />
(b) λ 1 ⊥ λ 2 si y sólo si |λ 1 | ⊥ |λ 2 |.<br />
(c) Si λ 1 ⊥ µ y λ 2 ⊥ µ, entonces λ 1 + λ 2 ⊥ µ.<br />
(d) Si λ 1 ≪ µ y λ 2 ⊥ µ, entonces λ 1 ⊥ λ 2 .<br />
(e) λ ⊥ λ si y sólo si λ = 0.<br />
(f) Si λ ≪ µ y λ ⊥ µ, entonces λ = 0.
180 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Demostración. (a) ⇒ Si λ(B) = 0 para todo B ⊂ A c<br />
|λ|(A c ) = sup{<br />
n∑<br />
|λ(A i )| : A i ∈ A, disjuntos, ∪A i = A c } = 0.<br />
i=1<br />
⇐ se sigue <strong>de</strong> que |λ(E)| ≤ |λ|(E).<br />
(b) Es consecuencia <strong>de</strong> (a).<br />
(c) Existen conjuntos disjuntos A 1 , B 1 ∈ A tales que λ 1 está concentrada<br />
en A 1 y µ en B 1 y conjuntos disjuntos A 2 , B 2 ∈ A tales que λ 2<br />
está concentrada en A 2 y µ en B 2 , por tanto λ 1 + λ 2 está concentrada<br />
en A = A 1 ∪ A 2 y µ en B = B 1 ∩ B 2 siendo A ∩ B = ∅.<br />
(d) Como λ 2 ⊥ µ existen A y B medibles disjuntos tales que λ 2<br />
está concentrada en A y µ en B, pero entonces para todo E medible<br />
µ(E ∩ A) = 0, por tanto λ 1 (E ∩ A) = 0 y λ 1 está concentrada en A c y<br />
λ 1 ⊥ λ 2 .<br />
(e) λ está concentrada en A y en B medibles disjuntos, por tanto<br />
para todo E medible<br />
λ(E) = λ(E ∩ A) = λ(E ∩ A ∩ B) = λ(∅) = 0.<br />
(f) Es una simple consecuencia <strong>de</strong> (d) y (e).<br />
En el Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>composición <strong>de</strong> Jordan hemos visto cómo toda<br />
carga pue<strong>de</strong> ponerse como diferencia <strong>de</strong> dos medidas positivas. Ahora<br />
veremos cómo <strong>la</strong> absoluta continuidad y <strong>la</strong> singu<strong>la</strong>ridad son propieda<strong>de</strong>s<br />
en base a <strong>la</strong>s cuales po<strong>de</strong>mos realizar otro tipo <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> una<br />
medida dada.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Lebesgue 4.5.4 Sea (Ω, A, µ) un espacio<br />
<strong>de</strong> medida y λ una medida σ–finita ó compleja, entonces existen únicas<br />
medidas λ a y λ s , tales que<br />
λ a ≪ µ, λ s ⊥ µ y λ = λ a + λ s .<br />
Demostración. Veamos en primer lugar <strong>la</strong> unicidad: supongamos<br />
que existen dos <strong>de</strong>scomposiciones<br />
λ a + λ s = λ = ν a + ν s ,<br />
con λ s y µ concentradas en A y A c respectivamente y ν s y µ en B y B c ,<br />
<strong>de</strong> este modo µ está concentrada en A c ∩ B c y λ s y ν s en A ∪ B, por lo
4.5. Singu<strong>la</strong>ridad 181<br />
tanto<br />
E ⊂ A ∪ B ⇒ µ(E) = 0 ⇒ λ a (E) = ν a (E) = 0<br />
⇒<br />
λ s (E) = ν s (E)<br />
E ⊂ A c ∩ B c ⇒ λ s (E) = ν s (E) = 0 ⇒ λ a (E) = ν a (E),<br />
y por aditividad se sigue <strong>la</strong> unicidad. Para <strong>la</strong> existencia consi<strong>de</strong>remos<br />
primero el caso en que λ es una medida finita y sea N µ = {A ∈ A :<br />
µ(A) = 0}, ahora consi<strong>de</strong>remos una sucesión A n ∈ N µ tal que<br />
λ(A n ) ↑ s = sup{λ(A) : A ∈ N µ },<br />
por tanto para N = ∪A n ∈ N µ , pues µ(N) = 0, y como λ(A n ) ≤ λ(N) ≤<br />
s, tendremos que λ(N) = s y para <strong>la</strong>s medidas finitas<br />
λ a (A) = λ(A ∩ N c ),<br />
λ s (A) = λ(A ∩ N),<br />
es λ = λ a + λ s , λ s ⊥ µ y λ a ≪ µ, pues si B ∈ A<br />
µ(B) = 0 ⇒ µ(N ∪ (B ∩ N c )) = 0 ⇒<br />
⇒<br />
λ(N) ≤ λ(N ∪ (B ∩ N c )) ≤ λ(N)<br />
⇒ λ a (B) = λ(B ∩ N c ) = 0,<br />
pues λ es finita.<br />
Si λ es una medida σ–finita consi<strong>de</strong>ramos una partición A n ∈ A <strong>de</strong><br />
Ω, con λ(A n ) < ∞ y aplicamos el resultado anterior a cada espacio <strong>de</strong><br />
medida (A n , A |An , λ |An ) y sean N n ⊂ A n los conjuntos con µ(N n ) = 0<br />
correspondientes. Ahora para N = ∪N n , tendremos que µ(N) = 0 y <strong>la</strong>s<br />
medidas correspondientes<br />
λ a (A) = λ(A ∩ N c ),<br />
λ s (A) = λ(A ∩ N),<br />
forman una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Lebesgue <strong>de</strong> λ, pues λ = λ a + λ s , λ s ⊥ µ<br />
y λ a ≪ µ, pues si para un B fuese µ(B) = 0, tendríamos µ(A n ∩ B) = 0<br />
y por tanto λ(A n ∩ B ∩ N c n) = 0, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> λ(A n ∩ B ∩ N c ) = 0 y para<br />
<strong>la</strong> unión λ a (B) = λ(B ∩ N c ) = 0.<br />
Para λ compleja consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> medida finita |λ| y el conjunto N<br />
correspondiente, entonces<br />
λ a (A) = λ(A ∩ N c ),<br />
λ s (A) = λ(A ∩ N),
182 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
forman una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Lebesgue <strong>de</strong> λ, pues λ = λ a + λ s , λ s ⊥ µ<br />
pues µ(N) = 0 y λ a ≪ µ, pues si para un B medible fuese µ(B) = 0,<br />
tendriamos |λ|(B ∩ N c ) = 0, pues |λ| a ≪ µ y<br />
|λ a (B)| = |λ(B ∩ N c )| ≤ |λ|(B ∩ N c ) = 0.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 4.5.1 Demostrar que si λ 1 y λ 2 son complejas y λ 1 ⊥ λ 2, entonces<br />
|λ 1 + λ 2| = |λ 1| + |λ 2|. (Sol.)
4.6. Bibliografía y comentarios 183<br />
4.6. Bibliografía y comentarios<br />
Los libros consultados en <strong>la</strong> e<strong>la</strong>boración <strong>de</strong> este tema han sido:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Cohn, D.L.: “Measure theory”. Birkhauser (Boston), 1980.<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley–Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
Fol<strong>la</strong>nd, G.B.: “Real Analysis. Mo<strong>de</strong>rn Techniques and their applications”, John<br />
Wiley, 1984.<br />
Mukherjea, A. and Pothoven, K.: “Real and functional Analysis”. Plenum Press,<br />
1978.<br />
Munroe, M.E.: “Measure and integration”. Addison Wesley, 1971.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”. Tata McGraw-Hill, 1974.<br />
Yosida, K.: “Functional Analysis”. Springer-Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
Como bibliografía complementaria po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar los siguientes<br />
libros:<br />
Hewitt, E. and Stromberg, K.: “Real and abstract analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g,<br />
1965.<br />
Whee<strong>de</strong>n, R.L. and Zygmund, A.: “Measure and integral. An introduction to Real<br />
Analysis”. Marcel Dekker, Inc. 1977.<br />
Zaanen, A.C.: “Integration”. North–Hol<strong>la</strong>nd, 1967.<br />
La <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan <strong>de</strong> una medida está íntimamente re<strong>la</strong>cionada<br />
con <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> una función <strong>de</strong> variación acotada, como<br />
diferencia <strong>de</strong> funciones crecientes, que veremos en el siguiente capítulo.<br />
En cuanto al Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym, nace con el análisis que<br />
hace Lebesgue <strong>de</strong>l Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo (al que <strong>de</strong>dicaremos<br />
el siguiente capítulo), en cuyo libro<br />
Lebesgue, H.: “Leçons sur l’integration” (1a.edición 1903, 2a.edición 1928). Reimp.<br />
<strong>de</strong> 2a. ed. por Chelsea Pub. Comp., 1973.<br />
da una condición necesaria y suficiente, para que una función f : [0, 1] →<br />
R se exprese como una integral in<strong>de</strong>finida. Al año siguiente Vitali<br />
Vitali, G.: “Sulle funzioni integrali”. Atti. Acc. Sci. Torino, 40, pp.1021–1034. Año<br />
1904–1905.
184 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
caracteriza tales funciones como <strong>la</strong>s absolutamente continuas (ver pág.194).<br />
Los resultados <strong>de</strong> estos dos autores fueron extendidos en 1913 por<br />
Radon, J.: “Theorie und Anwendungen <strong>de</strong>r absolut additiven Mengenfunctionen”.<br />
S.B. Akad. Wiss. Wien, 122, 1295–1438, 1913.<br />
para una medida <strong>de</strong> Borel en un espacio euclí<strong>de</strong>o. Y en 1929–30 por<br />
Nikodym, O.M.: “Sur les fonctions d’esembles”. Comp. Rend. I Cong. Math. Pays<br />
S<strong>la</strong>ves, Warsaw, 303-313, 1929.<br />
Nikodym, O.M.: “Sur une generalisation <strong>de</strong>s integrales <strong>de</strong> M.J.Radon”. Fund. Math.<br />
15, 131-179, 1930.<br />
Por otra parte en 1939<br />
Bochner, S.: “Additive set functions on groups”. Ann. Math., 2, 40, 769–799, 1939.<br />
prueba una versión <strong>de</strong>l teorema para el caso en que λ y µ son aditivas.<br />
Su prueba original utiliza <strong>la</strong> versión numerablemente aditiva, así como<br />
el Teorema <strong>de</strong> Lebesgue sobre diferenciación <strong>de</strong> funciones monótonas. Su<br />
enunciado es el siguiente:<br />
Teorema 4.6.1 Sea A un álgebra en Ω y λ y µ medidas complejas aditivas<br />
tales que:<br />
(a) sup{|µ(A)| : A ∈ A} < ∞ .<br />
(b) Para cada ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si |µ(A)| < δ, entonces<br />
|λ(A)| < ɛ.<br />
Entonces existe una sucesión <strong>de</strong> funciones simples s n , tal que para A ∈ A<br />
∫<br />
λ(A) = lim s n dµ.<br />
En 1940 Von Neumann <strong>de</strong>muestra el Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym<br />
Neumann, J. Von,: “On rings of operators III ”. Ann.Math.2, 41, 94-161, 1940.<br />
para λ ≪ µ don<strong>de</strong> λ y µ son medidas acotadas, utilizando exclusivamente<br />
el hecho <strong>de</strong> que L 2 (Ω, λ + µ) = L 2 (Ω, λ + µ) ∗ .<br />
Remitimos al lector interesado en una versión distinta <strong>de</strong>l Teorema<br />
<strong>de</strong> Radon–Nikodym, a <strong>la</strong> p.318 <strong>de</strong>l Hewitt–Stromberg.<br />
Por último, el Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym es una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s herramientas<br />
fundamentales en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas vectoriales y con él se introduce<br />
un punto <strong>de</strong> vista para el estudio y c<strong>la</strong>sificación <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong><br />
Banach. A este respecto recomendamos el Dunford–Schwartz y el<br />
más reciente<br />
Diestel–Uhl: “Vector measures”, AMS, 15, 1977.<br />
A
4.6. Bibliografía y comentarios 185<br />
Por último queremos <strong>de</strong>stacar <strong>la</strong> profunda re<strong>la</strong>ción existente entre <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radon–Nikodym y dos conceptos en principio sin conexión<br />
aparente: El <strong>de</strong> esperanza condicionada (estadística) y el <strong>de</strong> proyección<br />
(espacios <strong>de</strong> Hilbert). De esto hab<strong>la</strong>remos en capítulos posteriores.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 4
186 Capítulo 4. El Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym
Capítulo 5<br />
Diferenciación<br />
5.1. Introducción<br />
El Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría clásica <strong>de</strong> Riemann<br />
asegura que:<br />
(a) Si f es Riemann integrable en [a, b] y<br />
F (x) =<br />
∫ x<br />
a<br />
f(t)dt<br />
entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en un x ∈ [a, b], entonces<br />
F es diferenciable en x y F ′ (x) = f(x).<br />
(b) Si F es diferenciable en [a, b] y F ′ es Riemann integrable en [a, b],<br />
entonces<br />
F (b) − F (a) =<br />
∫ b<br />
a<br />
F ′ (t)dt.<br />
En este tema estudiaremos los resultados correspondientes a <strong>la</strong> teoría<br />
<strong>de</strong> Lebesgue, para <strong>la</strong> que se tiene:<br />
(c) Si f es Lebesgue integrable en [a, b] y<br />
F (x) =<br />
∫ x<br />
a<br />
f(t)dm<br />
187
188 Capítulo 5. Diferenciación<br />
entonces F es absolutamente continua en [a, b] y por tanto continua (esto<br />
ya lo sabíamos, ver el ejercicio (2.4.25), página 105). Si f es continua en<br />
un x ∈ [a, b], entonces F es diferenciable en x y F ′ (x) = f(x), pues dado<br />
ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si |t − x| ≤ δ entonces |f(x) − f(t)| ≤ ɛ,<br />
pero entonces para 0 ≤ r ≤ δ<br />
F (x + r) − F (x)<br />
∣ r<br />
− f(x)<br />
∣ ≤ 1 r<br />
∫ x+r<br />
x<br />
|f − f(x)| dm ≤ ɛ.<br />
Pero veremos más, aunque f no sea continua tendremos que F ′ = f c.s.<br />
Recíprocamente veremos que si F es absolutamente continua en [a, b],<br />
entonces es <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
F (x) = F (a) +<br />
∫ x<br />
a<br />
f(t)dm,<br />
don<strong>de</strong> f es Lebesgue integrable y f = F ′ c.s..<br />
5.2. Diferenciación <strong>de</strong> medidas<br />
En esta lección consi<strong>de</strong>ramos el espacio (R n , B(R n ), m), con m <strong>la</strong><br />
medida <strong>de</strong> Lebesgue.<br />
Lema 5.2.1 Sea C una colección <strong>de</strong> bo<strong>la</strong>s abiertas <strong>de</strong> R n<br />
unión, entonces<br />
y sea U su<br />
m(U) ≤ sup{3 n<br />
m ∑<br />
i=1<br />
m(B i ) : B 1 , . . . , B m ∈ C<br />
disjuntas}.<br />
Demostración. Por ser regu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue (ver (1.7.19),<br />
página 59), dado r < µ(U), existe un compacto K ⊂ U, con r < m(K)<br />
y como <strong>la</strong>s bo<strong>la</strong>s <strong>de</strong> C lo recubren po<strong>de</strong>mos extraer un subrecubrimiento<br />
finito {A i } k i=1 . Ahora elegimos B 1 como <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> A i <strong>de</strong> radio mayor, B 2<br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong> radio mayor entre <strong>la</strong>s que no cortan a B 1 y así sucesivamente hasta<br />
<strong>la</strong> última B m . De este modo para cualquier A i hay una B j a <strong>la</strong> que<br />
corta y tiene radio mayor o igual que el <strong>de</strong> A i , por lo tanto si <strong>de</strong>notamos
5.2. Diferenciación <strong>de</strong> medidas 189<br />
con B j ′ <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> con igual centro que B j y radio triple, tendremos que<br />
K ⊂ ∪A i ⊂ ∪B i ′ y por tanto<br />
r < m(K) ≤<br />
m∑<br />
m(B i) ′ = 3 n<br />
i=1<br />
m<br />
∑<br />
i=1<br />
m(∪B i ).<br />
Definición. Denotaremos con L 1loc el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles<br />
f : R n → C integrables en cada compacto, a <strong>la</strong>s que l<strong>la</strong>maremos localmente<br />
integrables y si f ∈ L 1loc <strong>de</strong>finimos el valor promedio <strong>de</strong> f en cada<br />
bo<strong>la</strong> B(x, r) como<br />
∫<br />
1<br />
P f (x, r) =<br />
f dm.<br />
m(B(x, r)) B(x,r)<br />
Nota 5.2.2 Debemos observar que <strong>la</strong>s integrales po<strong>de</strong>mos hacer<strong>la</strong>s en<br />
bo<strong>la</strong>s abiertas o cerradas indistintamente, pues <strong>la</strong>s esferas tienen medida<br />
nu<strong>la</strong> ya que m(B(x, r)) = r n m(B), para B <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad abierta, y<br />
S(x, r) ⊂ B(x, r+ɛ)]\B(x, r−ɛ) ⇒ m[S(x, r)] ≤ m[B]((r+ɛ) n −(r−ɛ) n ),<br />
y basta hacer ɛ → 0.<br />
Lema 5.2.3 Para cada f ∈ L 1loc , <strong>la</strong> función P f (x, r) es continua en r<br />
para cada x y medible en x para cada r.<br />
Demostración. Para <strong>la</strong> continuidad en r, como m(B(x, r)) = r n m(B),<br />
basta <strong>de</strong>mostrar que g(r) = ∫ f dm es continua. Para ello sea ɛ > 0,<br />
B(x,r)<br />
entonces (ver <strong>la</strong> Nota (5.2.2)), para <strong>la</strong>s coronas C ɛ = B[x, r + ɛ]\B[x, r]<br />
∫<br />
C ɛ ↓ ∅ ⇒ |g(r + ɛ) − g(r)| ≤ |f| dm → 0, (ɛ → 0),<br />
C ɛ<br />
pues ∫ |f| es una medida en A. Por otro <strong>la</strong>do para ver <strong>la</strong> medibilidad<br />
A<br />
en x basta <strong>de</strong>mostrar que fijado r lo es<br />
∫<br />
f dm,<br />
B(x,r)<br />
ahora por el argumento estándar (indicadores, simples, TCM, etc.) basta<br />
verlo para f = I A , y esto es consecuencia <strong>de</strong> (3.3.6), pág.127, pues<br />
m[A ∩ B[x, r]] = m[(R n × A ∩ {(z, y) ∈ R 2n : ‖z − y‖ ≤ r}) x ].
190 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Definición. Para cada f ∈ L 1loc <strong>de</strong>finimos su función maximal <strong>de</strong><br />
Hardy–Littlewood<br />
∫<br />
1<br />
Hf(x) = sup P |f| (x, r) = sup<br />
|f| dm.<br />
r>0<br />
r>0 m(B(x, r)) B(x,r)<br />
Proposición 5.2.4 Hf es medible.<br />
Demostración. Por el Lema para cada x P |f| (x, r) es continua en<br />
r, por tanto sup r>0 P |f| (x, r) = sup r>0,r∈Q P |f| (x, r), y como ahora <strong>la</strong><br />
familia es numerable y <strong>la</strong>s funciones son medibles, Hf es medible.<br />
Teorema maximal 5.2.5 Para toda f ∈ L 1 y todo α > 0<br />
∫<br />
m{Hf > α} ≤ 3n |f| dm.<br />
α<br />
Demostración. Para cada x ∈ E α = {Hf > α}, existe r x > 0 tal<br />
que P |f| (x, r x ) > α, entonces como B = ∪B(x, r x ) contiene a E α , si<br />
c < m(E α ) entonces c < m(B) y tendremos por (5.2.1) que existe una<br />
colección finita <strong>de</strong> estas bo<strong>la</strong>s que son disjuntas, B 1 , . . . , B n , para <strong>la</strong>s que<br />
c < 3 n<br />
n ∑<br />
i=1<br />
m(B i ) ≤ 3n α<br />
ahora basta hacer c ↑ m(E α ).<br />
n∑<br />
∫<br />
i=1<br />
B i<br />
|f| dm ≤ 3n α<br />
∫<br />
|f| dm,<br />
Estos resultados nos permiten estudiar teoremas fundamentales <strong>de</strong><br />
diferenciación en el sentido <strong>de</strong> que nos dan información sobre el comportamiento<br />
límite <strong>de</strong> cocientes incrementales.<br />
Teorema 5.2.6 Sea f ∈ L 1loc , entonces lím r→0 P f (x, r) = f(x) c.s.<br />
Demostración. Basta <strong>de</strong>mostrar el resultado en cada conjunto acotado<br />
{‖x‖ ≤ N} y como para cada x <strong>de</strong> este conjunto vamos a integrar<br />
f en B(x, r) con r pequeño, por tanto para r < 1 sólo evaluaremos f en<br />
puntos <strong>de</strong> {‖y‖ ≤ N + 1}, po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar que f se anu<strong>la</strong> fuera <strong>de</strong><br />
esa bo<strong>la</strong> y por tanto que es integrable. Ahora bien, veremos en (10.2.7),<br />
página 328, que <strong>la</strong>s funciones C c (R n ), continuas <strong>de</strong> soporte compacto<br />
(por tanto integrables) son <strong>de</strong>nsas en <strong>la</strong>s integrables por lo que dado
5.2. Diferenciación <strong>de</strong> medidas 191<br />
ɛ > 0 existe una función continua e integrable g tal que ∫ |f − g| ≤ ɛ y<br />
como por continuidad<br />
1<br />
∫<br />
|P g (x, r) − g(x)| =<br />
g(y) − g(x)<br />
m(B(x, r)) ∣ m(B(x,r))<br />
∣<br />
∫<br />
1<br />
≤<br />
|g(y) − g(x)| → 0, r → 0,<br />
m(B(x, r))<br />
tendremos que<br />
m(B(x,r))<br />
lím sup|P f (x, r) − f(x)| =<br />
r→0<br />
= lím sup |P f−g (x, r) + P g (x, r) − g(x) + (g − f)(x)|<br />
r→0<br />
≤ H(f − g)(x) + |f − g|(x).<br />
y si l<strong>la</strong>mamos<br />
A α = {x : lím sup |P f (x, r) − f(x)| > α},<br />
r→0<br />
B α = {|f − g| > α}, C α = {Hf − g > α}<br />
entonces A α ⊂ B α/2 ∪ C α/2 >, y como αm(B α ) ≤ ∫ B α<br />
|f − g| ≤ ɛ,<br />
tendremos por el Teorema <strong>de</strong> maximalidad que<br />
por tanto m(A α ) = 0.<br />
m(A α ) ≤ 2ɛ<br />
α + 2ɛ3n<br />
α ,<br />
Lo que acabamos <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar equivale a <strong>de</strong>cir que<br />
∫<br />
1<br />
[f − f(x)]dm → 0, si C = B(x, r) y r → 0,<br />
m[C]<br />
C<br />
lo cual implica que el promedio <strong>de</strong> f − f(x) en cada bo<strong>la</strong> C es pequeño<br />
cuando r se hace pequeño. Cabría pensar que esto es <strong>de</strong>bido a un efecto<br />
<strong>de</strong> cance<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> signos, pero no es así pues se tiene el siguiente resultado<br />
más fuerte.<br />
Teorema 5.2.7 Sea f ∈ L 1loc , entonces para x ∈ R n c.s. se tiene<br />
∫<br />
1<br />
|f − f(x)|dm → 0, r → 0,<br />
m[B(x, r)]<br />
B(x,r)
192 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Demostración. Sea D ⊂ C <strong>de</strong>nso y numerable y para cada z ∈ D<br />
apliquemos el teorema anterior a |f − z|, entonces existe un Lebesgue<br />
medible nulo E z fuera <strong>de</strong>l cual<br />
lím<br />
r→0<br />
1<br />
m[B(x, r)]<br />
∫<br />
B(x,r)<br />
|f(y) − z|dm = |f(x) − z|,<br />
y para cada x fuera <strong>de</strong> E = ∪E z y ɛ > 0 existe un z ∈ D, tal que<br />
|f(x) − z| < ɛ, por tanto |f(y) − f(x)| ≤ |f(y) − z| + ɛ y como x /∈ E z<br />
∫<br />
1<br />
lím sup<br />
|f(y) − f(x)|dm = |f(x) − z| + ɛ < 2ɛ,<br />
r→0 m[B(x, r)] B(x,r)<br />
y el resultado se sigue.<br />
Finalmente daremos el resultado más general, en el que en lugar <strong>de</strong><br />
bo<strong>la</strong>s centradas en x en <strong>la</strong>s que integramos nuestra función, consi<strong>de</strong>ramos<br />
otro tipo <strong>de</strong> conjuntos que ni siquiera tienen que contener al punto x.<br />
Definición. Diremos que una familia <strong>de</strong> medibles E r ∈ B(R n ) (para<br />
r > 0) encoge suavemente hacia x si existe una constante α > 0 tal que:<br />
(i) Cada E r ⊂ B(x, r), (ii) αm(B(x, r)) ≤ m(E r ).<br />
Teorema <strong>de</strong> diferenciación <strong>de</strong> Lebesgue 5.2.8 Sea f ∈ L 1loc , entonces<br />
para x ∈ R n c.s. y E r ∈ B(R n ) una familia que encoge suavemente hacia<br />
x, se tiene<br />
lím<br />
r→0<br />
∫<br />
1<br />
|f − f(x)| dm = 0.<br />
m[E r ] E r<br />
En particu<strong>la</strong>r si f es real y tiene integral (ó es compleja y es integrable)<br />
y <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> carga finita en los compactos (ó medida compleja) λ(E) =<br />
∫<br />
E f dm, entonces lím λ(E r)/m[E r ] = f(x).<br />
Demostración. Por <strong>de</strong>finición existe un α > 0 tal que<br />
∫<br />
1<br />
|f − f(x)| dm ≤ 1 ∫<br />
|f − f(x)| dm<br />
m[E r ] E r<br />
m[E r ] B(x,r)<br />
∫<br />
1<br />
≤<br />
|f − f(x)| dm,<br />
αm[B(x, r)]<br />
y el resultado se sigue <strong>de</strong>l teorema anterior.<br />
B(x,r)
5.2. Diferenciación <strong>de</strong> medidas 193<br />
Teorema 5.2.9 Sea µ una carga, finita en los compactos, ó una medida<br />
real o compleja. Entonces c.s. existe<br />
Dµ(x) = lím<br />
r→0<br />
µ(E r )<br />
m(E r ) ,<br />
(para E r encogiéndose suavemente a x) y Dµ = dµ a /dm, para µ =<br />
µ a + µ s <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Lebesgue.<br />
Demostración. Para µ a se sigue <strong>de</strong>l resultado anterior, por tanto<br />
µ<br />
basta <strong>de</strong>mostrar que lim s(E r)<br />
r→0 m(E r)<br />
= 0 c.s., para lo cual basta consi<strong>de</strong>rar<br />
E r = B(x, r) y que µ s = λ es positiva, finita en los acotados y singu<strong>la</strong>r<br />
λ ⊥ m, pues ∣ ∣∣∣ µ s (E r )<br />
m(E r ) ∣ ≤ |µ s|(E r )<br />
m(E r )<br />
≤ |µ s|(B(x, r))<br />
αm(B(x, r)) .<br />
Sea A un boreliano tal que λ(A) = m(A c ) = 0, <strong>de</strong>finamos para k ∈ N<br />
A k = {x ∈ A : lím sup<br />
r→0<br />
λ(B(x, r))<br />
m(B(x, r)) > 1 k },<br />
y veamos que m(A k ) = 0. Por ser λ finita en los acotados es regu<strong>la</strong>r (ver<br />
(1.7.19), página 59), por tanto como λ(A) = 0, para cada ɛ > 0 existe<br />
un abierto U ɛ ⊃ A, tal que λ(U ɛ ) < ɛ. Por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> A k , para cada<br />
x ∈ A k existe una bo<strong>la</strong> abierta B x , centrada en x tal que B x ⊂ U ɛ y<br />
λ(B x ) > m(B x )/k. Sea V ɛ = ∪B x y c < m(V ɛ ), entonces por el Lema<br />
5.2.1, hay una colección finita y disjunta <strong>de</strong> estas bo<strong>la</strong>s B 1 , . . . , B m , tales<br />
que<br />
c < 3 n<br />
m ∑<br />
i=1<br />
m(B i ) ≤ 3 n k<br />
m∑<br />
λ(B i ) ≤ 3 n kλ(V ɛ ) ≤ 3 n kλ(U ɛ ) ≤ 3 n kɛ,<br />
i=1<br />
por tanto m(V ɛ ) ≤ 3 n kɛ y como A k ⊂ V ɛ , m(A k ) = 0.
194 Capítulo 5. Diferenciación<br />
5.3. Derivación e integración<br />
En esta lección estudiaremos el Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo en<br />
el contexto <strong>de</strong> <strong>la</strong> integración <strong>de</strong> Lebesgue. Para ello utilizaremos dos<br />
propieda<strong>de</strong>s fundamentales <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones reales, directamente re<strong>la</strong>cionadas<br />
con este problema, <strong>la</strong> variación acotada y <strong>la</strong> absoluta continuidad.<br />
5.3.1. Funciones <strong>de</strong> variación acotada.<br />
Definición. Dada una función F : I ⊂ R → K (K = R ó C), l<strong>la</strong>mamos<br />
variación <strong>de</strong> F en un intervalo J ⊂ I a<br />
n∑<br />
v F {J} = sup{ |F (t i ) − F (t i−1 )| : t 0 ≤ · · · ≤ t n ∈ J},<br />
i=1<br />
y diremos que F es <strong>de</strong> variación acotada en J si v F {J} < ∞ y <strong>de</strong><br />
variación acotada si v F {I} < ∞.<br />
Para I = R, l<strong>la</strong>mamos variación <strong>de</strong> F a <strong>la</strong> función creciente v F (x) =<br />
v F {(−∞, x]} (y para I = [a, b], v F (x) = v F {[a, x]}). Diremos que F se<br />
anu<strong>la</strong> en −∞ si F (−∞) = lím x→−∞ F (x) = 0 y <strong>de</strong>notaremos con V 0 (R)<br />
el K–espacio vectorial <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones F : R → K <strong>de</strong> variación acotada<br />
que se anu<strong>la</strong>n en −∞ y son continuas a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha.<br />
Nota 5.3.1 Observemos que si F es <strong>de</strong> variación acotada en un intervalo<br />
[a, b], entonces se pue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>r con F (x) = F (a) para x < a y<br />
F (x) = F (b) para x > b a una F <strong>de</strong> variación acotada en todo R; y<br />
recíprocamente si F es <strong>de</strong> variación acotada en R, su restricción a cada<br />
intervalo [a, b] es <strong>de</strong> variación acotada en [a, b].<br />
Definición. Diremos que F : I → C es absolutamente continua (para<br />
I = R ó I = [a, b]) si para cada ɛ > 0 existe δ > 0, tal que si<br />
(a 1 , b 1 ), . . . , (a n , b n ),<br />
son intervalos disjuntos <strong>de</strong> I para los que ∑ (b i − a i ) ≤ δ, entonces<br />
∑<br />
|F (bi ) − F (a i )| ≤ ɛ.
5.3. Derivación e integración 195<br />
Nota 5.3.2 Se <strong>de</strong>muestra fácilmente que si F : I → R es absolutamente<br />
continua, entonces es uniformemente continua, sin embargo hay funciones<br />
uniformemente continuas, incluso <strong>de</strong> variación acotada, que no son<br />
absolutamente continuas. Por otra parte si F es diferenciable y su <strong>de</strong>rivada<br />
es acotada, entonces como una simple consecuencia <strong>de</strong>l teorema<br />
<strong>de</strong>l valor medio, F es absolutamente continua.<br />
Veremos en 5.3.11 que una función absolutamente continua es <strong>de</strong><br />
variación acotada en cada intervalo compacto, sin embargo no lo es necesariamente<br />
en R, como por ejemplo para F (x) = x.<br />
Nota 5.3.3 Es inmediato probar que si f, g : R → R son <strong>de</strong> variación<br />
acotada también f + g y f − g, pues v f±g ≤ v f + v g . También es fácil<br />
ver que si f es monótona y acotada, entonces es <strong>de</strong> variación acotada, <strong>de</strong><br />
hecho v f (x) = f(x) − f(−∞) y por lo anterior también es <strong>de</strong> variación<br />
acotada <strong>la</strong> diferencia <strong>de</strong> dos <strong>de</strong> este tipo. El siguiente resultado prueba<br />
el recíproco <strong>de</strong> esto.<br />
Lema 5.3.4 Si F : R → R es <strong>de</strong> variación acotada v F + F y v F − F<br />
son acotadas y crecientes y por tanto existen funciones f y g acotadas<br />
y crecientes, por ejemplo f = (v F + F )/2 y g = (v F − F )/2, tales que<br />
F = f − g.<br />
Demostración. En primer lugar F es acotada, pues para x < y<br />
|F (y) − F (x)| ≤ |F (y) − F (x)| + v F (x) ≤ v F (y) ≤ v F (∞) < ∞,<br />
por tanto v F + F es acotada. Ahora como −F también es <strong>de</strong> variación<br />
acotada, basta ver que v F + F es creciente. Sea x < y y ɛ > 0, entonces<br />
existen x 0 < · · · < x n = x, tales que<br />
v F (x) − ɛ ≤<br />
n∑<br />
|F (x i ) − F (x i−1 )|,<br />
i=1<br />
y como |F (y) − F (x)| + F (y) − F (x) ≥ 0, tendremos que<br />
v F (y) + F (y) ≥<br />
n∑<br />
|F (x i ) − F (x i−1 )| + |F (y) − F (x)| + F (y)<br />
i=1<br />
y el resultado se sigue.<br />
≥ v F (x) + F (x) − ɛ,
196 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Proposición 5.3.5 Sea F : R → K <strong>de</strong> variación acotada, entonces:<br />
(a) v F es creciente y se anu<strong>la</strong> en −∞.<br />
(b) Si F es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, entonces v F también, por tanto es<br />
una función <strong>de</strong> distribución y v F ∈ V 0 (R).<br />
Demostración. (a) De <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición se sigue que si J 1 ⊂ J 2 , entonces<br />
v F {J 1 } ≤ v F {J 2 }, en particu<strong>la</strong>r si x < y<br />
0 ≤ v F (x) = v F {(−∞, x]} ≤ v F {(−∞, y]} = v F (y).<br />
Ahora dado ɛ > 0 y un x ∈ R, existen x 0 < · · · < x n = x, tales que<br />
n∑<br />
|F (x i ) − F (x i−1 )| > v F (x) − ɛ,<br />
i=1<br />
como por otra parte para t < x 0 ,<br />
n∑<br />
v F (t) + |F (x i ) − F (x i−1 )| ≤ v F (x),<br />
i=1<br />
tendremos que para t < x 0 , v F (t) < ɛ, por tanto lím x→−∞ v F (x) = 0.<br />
(b) Sea x n ↓ x y ɛ > 0. Por <strong>la</strong> continuidad existe un δ > 0, tal que si<br />
0 < t − x < δ, |F (t) − F (x)| ≤ ɛ, por otra parte como antes, dado y > x<br />
existen t 0 < · · · < t m = y, tales que<br />
m∑<br />
v F (y) − ɛ < |F (t i ) − F (t i−1 )|,<br />
i=1<br />
y sin pérdida <strong>de</strong> generalidad po<strong>de</strong>mos suponer que uno <strong>de</strong> los puntos<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> partición es t k = x y que t k+1 − x < δ (para ello si es necesario<br />
metemos dos puntos más, con lo que <strong>la</strong> expresión <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha aumenta),<br />
por tanto<br />
v F (y) <<br />
k∑<br />
|F (t i ) − F (t i−1 )| + 2ɛ +<br />
i=1<br />
≤ v F (x) + 2ɛ + v F (y) − v F (t k+1 )<br />
v F (t k+1 ) ≤ v F (x) + 2ɛ,<br />
m∑<br />
i=k+2<br />
|F (t i ) − F (t i−1 )|<br />
y para los x n < t k+1 , tendremos por ser v F monótona creciente que<br />
y el resultado se sigue.<br />
⇒<br />
v F (x) ≤ v F (x n ) ≤ v F (t k+1 ) ≤ v F (x) + 2ɛ,
5.3. Derivación e integración 197<br />
Proposición 5.3.6 (a) F : R → K es <strong>de</strong> variación acotada si y sólo si lo<br />
son Re(F ) e Im(F ).<br />
(b) F ∈ V 0 (R) si y sólo si F 1 = Re(F ), F 2 = Im(F ) ∈ V 0 (R) si y sólo<br />
si existen f 1 , g 1 , f 2 , g 2 funciones <strong>de</strong> distribución acotadas que se anu<strong>la</strong>n<br />
en −∞ y tales que F 1 = f 1 − g 1 , F 2 = f 2 − g 2 .<br />
Demostración. (a) es obvia. (b) se sigue <strong>de</strong> (a) y <strong>de</strong> que F se anu<strong>la</strong><br />
en −∞ si y sólo si lo hacen F 1 y F 2 y F es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha si y<br />
sólo si lo son F 1 y F 2 y lo último se sigue <strong>de</strong>l Lema (5.3.4) y (5.3.5).<br />
5.3.2. <strong>Medida</strong>s y funciones <strong>de</strong> variación acotada.<br />
Veamos ahora que hay una biyección entre M(B(R), K) y V 0 (R),<br />
simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> que vimos en <strong>la</strong> página 25 <strong>de</strong>l tema I, entre <strong>la</strong>s medidas<br />
(positivas) <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes y <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong> distribución.<br />
Teorema 5.3.7 La igualdad F (x) = µ(−∞, x] <strong>de</strong>fine una biyección<br />
φ: µ ∈ M(B(R), K) → F ∈ V 0 (R),<br />
en el sentido <strong>de</strong> que dada <strong>la</strong> F ∈ V 0 (R), existe una única µ ∈ M(B(R), K),<br />
tal que F (x) = µ(−∞, x]. A<strong>de</strong>más es un isomorfismo <strong>de</strong> espacios vectoriales<br />
y si F = φ(µ), v F = φ(|µ|), por tanto para <strong>la</strong> norma ‖F ‖ = v F (R),<br />
el isomorfismo es entre espacios normados.<br />
Demostración. Si µ es compleja y µ = µ + 1 − µ− 1 + iµ+ 2 − iµ− 2 , es su<br />
<strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordán, con <strong>la</strong>s µ ± i medidas finitas, que <strong>de</strong>finen <strong>la</strong>s<br />
funciones <strong>de</strong> distribución acotadas F ± i (x) = µ± i (−∞, x], entonces<br />
F = F + 1 − F − 1 + iF + 2 − iF − 2 ,<br />
y por el Lema (5.3.6), F ∈ V 0 (R). Recíprocamente sea F ∈ V 0 (R) y<br />
F = F 1 + iF 2 , entonces por (5.3.6), F 1 , F 2 ∈ V 0 (R) y por 5.3.5, v Fi ∈<br />
V 0 (R), por tanto f i = (v Fi + F i )/2 y g i = (v Fi − F i )/2 son funciones <strong>de</strong><br />
distribución que se anu<strong>la</strong>n en −∞ y <strong>de</strong>finen medidas únicas tales que<br />
µ 1 (−∞, x] = f 1 (x), µ 2 (−∞, x] = f 2 (x),<br />
µ 3 (−∞, x] = g 1 (x), µ 4 (−∞, x] = g 2 (x),<br />
para <strong>la</strong>s que<br />
µ = µ 1 − µ 3 + iµ 2 − iµ 4 ,
198 Capítulo 5. Diferenciación<br />
es una medida compleja que verifica el enunciado. Que es isomorfismo es<br />
obvio y si µ y F se correspon<strong>de</strong>n, entonces por (5.3.5) v F ∈ V 0 (R) y para<br />
<strong>la</strong> medida µ vF que le correspon<strong>de</strong> por φ, como |F (y) − F (x)| + v F (x) ≤<br />
v F (y), tendremos que<br />
|µ(x, y]| = |F (y) − F (x)| ≤ v F (y) − v F (x) = µ vF (x, y],<br />
y tomando límites x → −∞ (y → ∞), también<br />
|µ(−∞, y]| ≤ µ vF (−∞, y],<br />
|µ(x, ∞)| ≤ µ vF (x, ∞),<br />
y tenemos <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad |µ(A)| ≤ µ vF (A), para A ∈ A 0 el álgebra <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
uniones finitas y disjuntas <strong>de</strong> semiintervalos. Ahora bien si consi<strong>de</strong>ramos<br />
<strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> los borelianos que tienen esa propiedad, vemos que es una<br />
c<strong>la</strong>se monótona que contiene a A 0 y por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se monótona,<br />
pág.10 es todo B(R). Por tanto se sigue <strong>de</strong> (4.3.2)<br />
∀A ∈ B(R), |µ(A)| ≤ µ vF (A) ⇒ |µ| ≤ µ vF ,<br />
pero por otra parte como F (b) − F (a) = µ(a, b] se sigue <strong>de</strong> (4.3.2) que<br />
v F (x) = sup{<br />
n∑<br />
|F (x i ) − F (x i−1 | : x 0 < · · · < x n = x}<br />
i=1<br />
≤ |µ|(−∞, x] ≤ µ vF (−∞, x] = v F (x),<br />
y <strong>la</strong>s medidas finitas |µ|, µ vF coinci<strong>de</strong>n en los semiintervalos (−∞, x], por<br />
tanto en A 0 y por el teorema <strong>de</strong> Hahn en los borelianos y son iguales.<br />
Por último<br />
‖φ(µ)‖ = v F (R)| = |µ|(R) = ‖µ‖.<br />
5.3.3. Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo.<br />
Veamos ahora qué re<strong>la</strong>ción existe entre <strong>la</strong> absoluta continuidad <strong>de</strong><br />
funciones y <strong>la</strong> <strong>de</strong> medidas.<br />
Proposición 5.3.8 Sean µ y F = φ(µ), correspondientes por el isomorfismo<br />
(5.3.7), entonces F es absolutamente continua sii µ ≪ m.
5.3. Derivación e integración 199<br />
Demostración. “⇐”Sabemos por (4.4.1) que para todo ɛ > 0 existe<br />
un δ > 0, tal que si m(E) < δ, entonces |µ|(E) < ɛ, por tanto si ∑ k<br />
i=1 (b i−<br />
a i ) < δ, entonces para E = ∪(a i , b i ], se tiene m(E) < δ y por tanto<br />
k∑<br />
|F (b i ) − F (a i )| =<br />
i=1<br />
k∑<br />
|µ(a i , b i ]| ≤ |µ|(E) ≤ ɛ.<br />
i=1<br />
“⇒” Sea m(A) = 0 y veamos que µ(A) = 0, para ello observemos en<br />
primer lugar que µ({b}) = F (b) − F (b − ) = 0 por ser F continua y por<br />
tanto µ(a, b) = µ(a, b]. Por otro <strong>la</strong>do sabemos por (1.7.19) que m y <strong>la</strong>s<br />
µ ± i son regu<strong>la</strong>res, por tanto<br />
m(A) = ínf{m(V ) : V abierto, A ⊂ V },<br />
µ ± i (A) = ínf{µ± i (V ) : V abierto, A ⊂ V },<br />
y como <strong>la</strong> intersección finita <strong>de</strong> abiertos es abierto po<strong>de</strong>mos encontrar<br />
una sucesión <strong>de</strong>creciente <strong>de</strong> abiertos V n , tales que m(V n ) → m(A) = 0 y<br />
µ ± i (V n) → µ ± i (A), por tanto µ(V n) → µ(A). Ahora dado ɛ > 0, existe un<br />
δ > 0, tal que si ∑ k<br />
i=1 (b i − a i ) < δ, entonces ∑ k<br />
i=1 |F (b i) − F (a i )| ≤ ɛ,<br />
y como m(A) = 0 existe un n a partir <strong>de</strong>l cual m(V n ) < δ, pero todo<br />
abierto <strong>de</strong> R es unión numerable disjunta <strong>de</strong> intervalos abiertos, por lo<br />
tanto V n = ∪(a i , b i ) y para todo k, ∑ k<br />
i=1 (b i − a i ) ≤ m(V n ) ≤ δ, por<br />
tanto ∑ k<br />
i=1 |F (b i) − F (a i )| ≤ ɛ, por lo que<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
|µ(V n )| ≤ |µ(a i , b i )| = |µ(a i , b i ]| = |F (b i ) − F (a i )| ≤ ɛ,<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
por tanto |µ(A)| ≤ ɛ y como el ɛ es arbitrario, µ(A) = 0.<br />
Proposición 5.3.9 Sea F ∈ V 0 (R), entonces existe c.s. F ′ , por tanto es<br />
lebesgue medible, y es integrable F ′ ∈ L 1 . A<strong>de</strong>más para F = φ(µ),<br />
µ ⊥ m ⇔ F ′ = 0 c.s.<br />
µ ≪ m ⇔ F (x) =<br />
∫ x<br />
−∞<br />
Demostración. Se sigue <strong>de</strong> (5.2.9) que c.s.<br />
F (x + r) − F (x)<br />
r<br />
F ′ (x) dm.<br />
= µ(E r)<br />
→ f(x), (r → 0)<br />
m(E r )
200 Capítulo 5. Diferenciación<br />
para E r = (x, x + r] si r > 0 y E r = (x + r, x] si r < 0, µ = µ a + µ s<br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Lebesgue y dµ a = fdm, por tanto F ′ = f c.s.<br />
A<strong>de</strong>más<br />
µ ⊥ m ⇔ µ a = 0 ⇔ F ′ = 0c.s.<br />
µ ≪ m ⇔ µ = µ a ⇔ F (x) = µ(−∞, x] =<br />
∫ x<br />
−∞<br />
F ′ (x) dm.<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> implicación “⇐”<strong>de</strong> <strong>la</strong> cuarta equivalencia se sigue <strong>de</strong> que dos<br />
medidas finitas que coinci<strong>de</strong>n en los semiintervalos (−∞, x] son iguales.<br />
En el Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym (4.4.3) hemos puesto <strong>de</strong> manifiesto<br />
<strong>la</strong> íntima re<strong>la</strong>ción entre <strong>la</strong> absoluta continuidad <strong>de</strong> medidas y <strong>la</strong>s<br />
integrales in<strong>de</strong>finidas. Esta re<strong>la</strong>ción subsiste para funciones <strong>de</strong> V 0 como<br />
vemos en el siguiente resultado que es una consecuencia <strong>de</strong>l anterior.<br />
Teorema <strong>de</strong> Lebesgue 5.3.10 Sea f ∈ L 1 [L(R), m] y F (x) = ∫ x<br />
−∞ fdm,<br />
entonces F es diferenciable c.s. y F ′ = f c.s. (m), a<strong>de</strong>más F ∈ V 0 y<br />
es absolutamente continua. Recíprocamente si F ∈ V 0 es absolutamente<br />
continua, entonces F ′ existe c.s., es integrable y F (x) = ∫ x<br />
−∞ F ′ (t) dm.<br />
∫ Demostración. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> medida real ó compleja µ(A) =<br />
f dm, y sea F = φ(µ), entonces <strong>la</strong> primera parte se sigue <strong>de</strong> (5.3.9).<br />
A<br />
El recíproco se sigue <strong>de</strong> ese mismo resultado y <strong>de</strong> (5.3.8).<br />
Consi<strong>de</strong>remos ahora que nuestra función F está <strong>de</strong>finida en un intervalo<br />
compacto [a, b], en cuyo caso <strong>la</strong>s condiciones se simplifican pues se<br />
tiene el siguiente:<br />
Lema 5.3.11 Si F : [a, b] → C es absolutamente continua, es <strong>de</strong> variación<br />
acotada.<br />
Demostración. Queremos ver que existe un k < ∞, tal que dados<br />
a ≤ x 0 < · · · < x n ≤ b,<br />
n∑<br />
|F (x i ) − F (x i−1 )| ≤ k,<br />
i=1<br />
para ello sabemos que existe un δ > 0, tal que si (a i , b i ) son una colección<br />
finita <strong>de</strong> intervalos disjuntos tales que ∑ m<br />
∑ i=1 (b i − a i ) ≤ δ, entonces<br />
|F (bi ) − F (a i )| ≤ 1. Consi<strong>de</strong>remos los intervalos<br />
[a, δ], [δ, 2δ], . . . , [(k − 1)δ, b],
5.3. Derivación e integración 201<br />
para k tal que b ≤ kδ. Entonces incluyendo más puntos entre los x i , si<br />
es necesario, para que estén los extremos <strong>de</strong> estos intervalos (en cuyo<br />
caso <strong>la</strong> suma que perseguimos aumenta), podremos agrupar los x i por<br />
intervalos y para los <strong>de</strong> cada intervalo como ∑ (x i −x i−1 ) = δ, tendremos<br />
que ∑ |F (x i ) − F (x i−1 )| ≤ 1, por tanto para todos los x i , ∑ |F (x i ) −<br />
F (x i−1 )| ≤ k.<br />
Teorema Fundamental <strong>de</strong>l Cálculo Integral <strong>de</strong> Lebesgue 5.3.12<br />
Sea F : [a, b] → C. Si F es absolutamente continua, entonces es diferenciable<br />
c.s., F ′ es Lebesgue integrable y F (x) = F (a) + ∫ x<br />
a F ′ dm.<br />
Recíprocamente si F (x) = F (a) + ∫ x<br />
a f dm, para una f ∈ L 1, entonces<br />
F es absolutamente continua y f = F ′ c.s.<br />
Demostración. “⇒” Definamos G(x) = F (x)−F (a) en [a, b], G(x) =<br />
F (b) − F (a) en x > b y G(x) = 0 en x < a, entonces G ∈ V 0 por el Lema<br />
(5.3.11) y es absolutamente continua, por tanto se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong><br />
Lebesgue (5.3.10) que F ′ = G ′ ∈ L 1 y en [a, b]<br />
F (x) − F (a) = G(x) =<br />
∫ x<br />
−∞<br />
G ′ dm =<br />
∫ x<br />
a<br />
F ′ dm.<br />
“⇐” Definamos f(x) = 0 en (−∞, a)∪(b, ∞), por tanto f ∈ L 1 [L(R), m]<br />
y para G como antes es G(x) = ∫ x<br />
fdm, entonces por el Teorema<br />
−∞<br />
<strong>de</strong> Lebesgue G es diferenciable c.s. y G ′ = f c.s., ahora bien en [a, b]<br />
G(x) = F (x) − F (a) y G ′ = F ′ .<br />
Ante estos resultados nos p<strong>la</strong>nteamos <strong>la</strong> siguiente cuestión:<br />
Sea F : [a, b] → R diferenciable, ¿qué condiciones <strong>de</strong>be verificar F<br />
para que se verifique F (x) − F (a) = ∫ x<br />
a F ′ dm?<br />
Para F (x) = x 2 sen x −2 si x ≠ 0 y F (0) = 0, se tiene que F es<br />
diferenciable en todo punto, sin embargo<br />
∫ 1<br />
0<br />
|F ′ (x)|dx = ∞,<br />
por tanto F ′ no es integrable en [0, 1], ni F es <strong>de</strong> variación acotada ni<br />
por tanto absolutamente continua en [0, 1].<br />
Podríamos pensar entonces que <strong>la</strong> cuestión anterior es afirmativa si<br />
F es diferenciable en casi todo punto (m) y F ′ ∈ L 1 , pero tampoco<br />
esto es cierto (ver Rudin, p.179). Lo mas lejos que po<strong>de</strong>mos ir en <strong>la</strong><br />
contestación afirmativa <strong>de</strong> esta cuestión está en el siguiente resultado<br />
(ver Cohn, p.191; Bene<strong>de</strong>tto, p.150).
202 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Teorema 5.3.13 (a) Si F : [a, b] → R es continua, diferenciable salvo en<br />
una colección numerable <strong>de</strong> puntos y F ′ ∈ L 1 , entonces<br />
F (x) − F (a) =<br />
∫ x<br />
a<br />
F ′ dm.<br />
(b) Si F : [a, b] → R es continua, diferenciable en casi todo [a, b],<br />
F ′ ∈ L 1 y se satisface<br />
m(A) = 0 ⇒ m[F (A)] = 0.<br />
entonces<br />
F (x) − F (a) =<br />
∫ x<br />
a<br />
F ′ dm.<br />
5.4. Transformaciones diferenciables<br />
5.4.1. Transformaciones lineales.<br />
Una aplicación lineal T ∈ L(E k , E n ), entre R–espacios vectoriales <strong>de</strong><br />
dimensión k y n respectivamente,<br />
T : E k → E n ,<br />
<strong>de</strong>fine por dualidad otra T ∗ ∈ L(En, ∗ Ek ∗ ), que l<strong>la</strong>mamos su traspuesta<br />
T ∗ : E ∗ n −→ E ∗ k,<br />
[T ∗ (w)](x) = w[T (x)],<br />
pues si consi<strong>de</strong>ramos bases u j <strong>de</strong> E k y v i <strong>de</strong> E n , <strong>la</strong> matriz correspondiente<br />
a T ∗ en <strong>la</strong>s bases duales, v i y u j , es <strong>la</strong> traspuesta A t = (a ji ), <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz<br />
A = (a ij ) correspondiente a T , ya que si<br />
T (u j ) = ∑ a ij v i y T ∗ (v i ) = ∑ b ji u j ,<br />
entonces a ij = v i [T (u j )] = [T ∗ (v i )](u j ) = b ji .
5.4. Transformaciones diferenciables 203<br />
Por otro <strong>la</strong>do cada espacio Euclí<strong>de</strong>o E (R–espacio vectorial con un<br />
producto interior), finito dimensional, se i<strong>de</strong>ntifica canónicamente con<br />
su dual mediante el isomorfismo<br />
φ: E −→ E ∗ , x →,<br />
cuya matriz correspondiente a una base u j y su dual u j es (u i · u j ), pues<br />
φ(u j ) = ∑ (u i · u j )u i . Por lo tanto si <strong>la</strong> base es ortonormal <strong>la</strong> matriz<br />
es <strong>la</strong> i<strong>de</strong>ntidad y si los espacios E k y E n son euclí<strong>de</strong>os tendremos un<br />
endomorfismo lineal canónico<br />
T k = φ −1<br />
k<br />
◦ T ∗ ◦ φ n ◦ T : E k −→ E k ,<br />
que en términos <strong>de</strong> <strong>la</strong>s bases u j y v i ¡si son ortonormales! le correspon<strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
matriz B = A t A, <strong>la</strong> cual es semi<strong>de</strong>finida positiva y sus autovalores λ son<br />
reales y no negativos 1 por lo que el <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> nuestra aplicación<br />
es no negativo, lo cual nos permite dar <strong>la</strong> siguiente <strong>de</strong>finición.<br />
Definición. Para cada aplicación lineal T : E k → E n , entre espacios<br />
euclí<strong>de</strong>os, en <strong>la</strong>s condiciones anteriores, <strong>de</strong>finimos<br />
J(T ) = √ <strong>de</strong>t T k = √ <strong>de</strong>t(A t A) ≥ 0.<br />
A partir <strong>de</strong> ahora por comodidad tomaremos nuestros espacios euclí<strong>de</strong>os<br />
como R n con el producto esca<strong>la</strong>r estándar, = x t ·y = ∑ x i y i .<br />
Proposición 5.4.1 T : R k → R n lineal es inyectiva sii lo es T k sii J(T ) ><br />
0; y en tal caso k ≤ n.<br />
Demostración. k = dim Im T + dim ker T = dim Im T ≤ n. En<br />
términos matriciales, A es inyectiva sii A t A lo es sii A t A es isomorfismo<br />
sii <strong>de</strong>t T k > 0, don<strong>de</strong> lo primero se sigue <strong>de</strong> <strong>la</strong>s equivalencias<br />
Ax = 0 ⇒ A t Ax = 0 ⇒ x t A t Ax = 0 ⇒ Ax = 0.<br />
Lema 5.4.2 Todo isomorfismo T : R n → R n es composición finita <strong>de</strong><br />
isomorfismos <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los tres siguientes tipos, para r ≠ 0 y e i <strong>la</strong> base<br />
1 Pues A = Ā por ser real, por tanto para todo autovalor λ ∈ C <strong>de</strong> B, con autovector<br />
no nulo x ∈ C k 0 ≤ ¯x t Ā t Ax = ¯x t Bx = λ¯x t x = λ( ∑ |x i | 2 ),<br />
por lo tanto λ es real y no negativo.
204 Capítulo 5. Diferenciación<br />
estándar <strong>de</strong> R n<br />
T 1 (e 1 ) = re 1 , T 1 (e i ) = e i , para i = 2, . . . , n,<br />
T 2 (e i ) = e i , T 2 (e j ) = e k , T 2 (e k ) = e j , para i ≠ j,i ≠ k,<br />
T 3 (e 1 ) = e 1 , T 3 (e 2 ) = e 1 + e 2 T 3 (e i ) = e i para i = 3, . . . , n,<br />
Demostración. Se <strong>de</strong>ja como ejercicio. Observemos por ejemplo<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
r 0 1 1 r<br />
−1<br />
0 1 r<br />
= .<br />
0 1 0 1 0 1 0 1<br />
Lema 5.4.3 Si S ⊂ R n es un subespacio <strong>de</strong> dimensión k < n, m[S] = 0.<br />
Demostración. La medida <strong>de</strong> Lebesgue es invariante por rotaciones<br />
(ver (1.5.5)), por tanto como por una rotación R po<strong>de</strong>mos llevar S en<br />
R(S) = R k × {0} n−k , tendremos que (para x ∈ R k )<br />
∫<br />
m[S] = m[R(S)] = m n−k [R(S) x ] dm k = 0.<br />
Teorema 5.4.4 Sea T : R n → R n lineal. Entonces T lleva lebesgue medibles<br />
en lebesgue medibles y para todo lebesgue medible E,<br />
m[T (E)] = | <strong>de</strong>t(T )|m(E).<br />
A<strong>de</strong>más si T es isomorfismo lleva Borelianos en Borelianos.<br />
Demostración. (a) Si el <strong>de</strong>t T = 0, entonces Im T = S k = {h 1 =<br />
0, . . . , h n−k = 0} es un subespacio k–dimensional y por el Lema m(S k ) =<br />
0, por tanto T (E) ∈ L(R n ) para todo E ⊂ R n y m[T (E)] = 0 .<br />
(b) Si el <strong>de</strong>t T ≠ 0, T es un isomorfismo lineal, por tanto homeomorfismo<br />
y por (2.2.1) T y T −1 son medibles, por tanto lleva Borelianos<br />
en Borelianos. Po<strong>de</strong>mos entonces <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> medida en B(R n ),<br />
µ(E) = m[T (E)], <strong>la</strong> cual es no nu<strong>la</strong>, invariante por tras<strong>la</strong>ciones y finita<br />
en los compactos y por (1.5.19) <strong>de</strong> Lebesgue, µ = c(T ) · m, con<br />
c(T ) = m[T (Q)] > 0 para Q = [0, 1] n el cubo unidad. Se sigue que<br />
m[T (E)] = c(T ) · m(E) y T conserva los Lebesgue medibles, pues lleva<br />
Borelianos <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong> en Borelianos <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong>. Veamos que<br />
c(T ) = | <strong>de</strong>t(T )|.<br />
Si T 1 y T 2 son isomorfismos lineales, también lo es T 1 ◦T 2 y c[T 1 ◦T 2 ] =<br />
c[T 1 ]c[T 2 ], por otra parte T es composición finita <strong>de</strong> isomorfismos lineales<br />
<strong>de</strong> los tres tipos dados en el Lema anterior y basta <strong>de</strong>mostrar que para
5.4. Transformaciones diferenciables 205<br />
ellos c(T ) = | <strong>de</strong>t T |, es <strong>de</strong>cir m[T (Q)] = | <strong>de</strong>t T |, lo cual es obvio pues<br />
(si r > 0)<br />
T 1 (Q) = [0, r] × [0, 1] n−1 ⇒ m[T 1 (Q)] = r = | <strong>de</strong>t T 1 |,<br />
T 2 (Q) = Q ⇒ m[T 2 (Q)] = 1 = | <strong>de</strong>t T 2 |,<br />
T 3 (Q) = A × [0, 1] n−2 ⇒ m[T 3 [Q]] = m 2 (A) = 1 = | <strong>de</strong>t T 3 |.<br />
para el paralelogramo A = {(x 1 + x 2 , x 2 ) : x 1 , x 2 ∈ [0, 1]} ⊂ R 2 , <strong>de</strong><br />
vértices (0, 0), (1, 0), (2, 1) y (1, 1) (ver Fig.5.1), <strong>de</strong> área m 2 [A] = 1.<br />
.<br />
.<br />
1−<br />
1−<br />
.<br />
A<br />
0<br />
| . .<br />
1<br />
0<br />
| .<br />
1<br />
|<br />
2<br />
Figura 5.1.<br />
Interpretación geométrica <strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminante 5.4.5 Sea T : R n<br />
lineal, entonces para Q = [0, 1] n , el cubo unidad<br />
→ R n<br />
| <strong>de</strong>t(T )| = m[T (Q)].<br />
Figura 5.2. Interpretación geométrica <strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminante<br />
5.4.2. Transformaciones y medidas <strong>de</strong> Hausdorff.<br />
Consi<strong>de</strong>remos ahora el espacio euclí<strong>de</strong>o R n y en él <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong><br />
Hausdorff H k .<br />
Lema 5.4.6 Sea V ⊂ R k abierto y F : V → R m continua e inyectiva,<br />
entonces E ∈ B(V ) sii F (E) ∈ B(R m ).<br />
Demostración. ⇐ Por ser F inyectiva E = F −1 [F (E)]. Y por ser<br />
F continua.
206 Capítulo 5. Diferenciación<br />
⇒ V es unión numerable <strong>de</strong> compactos 2<br />
K n = {x ∈ R k : ‖x‖ ≤ n, d(x, V c ) ≥ 1/n},<br />
por tanto si C ⊂ V es un cerrado <strong>de</strong> V , es unión numerable <strong>de</strong> compactos<br />
C n = C ∩ K n y F (C) es boreliano pues es unión numerable <strong>de</strong> los<br />
compactos F (C n ). Se sigue que los cerrados <strong>de</strong> V , en particu<strong>la</strong>r V , están<br />
en <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se<br />
C = {E ⊂ V : F (E) ∈ B(R m )},<br />
que es una σ–álgebra, pues es cerrada para uniones numerables y si<br />
E ∈ C, E c ∈ C, ya que F (E) y F (V ) = F (E c )∪F (E) son borelianos y <strong>la</strong><br />
unión es disjunta, por ser F inyectiva. Por tanto C contiene los abiertos<br />
<strong>de</strong> V y B(V ) ⊂ C.<br />
Proposición 5.4.7 Sea T : R k → R n lineal e inyectiva, entonces k ≤ n,<br />
J(T ) > 0, T (E) ∈ B(R n ) sii E ∈ B(R k ) y<br />
H k [T (E)] = J(T )H k [E].<br />
Demostración. Por (5.4.1) J(T ) > 0 y k ≤ n. Por el Lema anterior<br />
(5.4.6) lleva borelianos en borelianos.<br />
Si k = n, J(T ) = | <strong>de</strong>t T | y el resultado se sigue <strong>de</strong> (5.4.4) y <strong>de</strong><br />
(1.6.9) (página 43), por ser γ n H n <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue n–dimensional.<br />
Si k < n, consi<strong>de</strong>remos una rotación R: R n → R n , que lleve T (R k ) en el<br />
subespacio R k × {0} n−k y sea F : R k → R k <strong>la</strong> composición<br />
R k T<br />
−→ R<br />
n R<br />
−→ R k × R n−k π<br />
−→<br />
1<br />
R<br />
k<br />
tal que R[T (x)] = (F (x), 0), por tanto en términos matriciales<br />
( )<br />
F<br />
RT = ⇒ T t T = T t R t RT = F t F ⇒ J(T ) = J(F ).<br />
0<br />
Ahora por el ejercicio (1.6.2) (página 44), por ser H k<br />
rotaciones y por lo visto en el primer caso (k = n)<br />
invariante por<br />
H k [T (E)] = H k [R(T (E))] = H k [F (E) × {0} n−k ]<br />
= H k [F (E)] = J(F )H k (E) = J(T )H k (E).<br />
2 También consi<strong>de</strong>rando <strong>la</strong>s bo<strong>la</strong>s cerradas B ⊂ V , <strong>de</strong> centro en Q n y radio racional.
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 207<br />
Interpretación geométrica <strong>de</strong> J(T ) 5.4.8 Sea T : R k → R n lineal, entonces<br />
para Q = [0, 1] k ,<br />
J(T ) = γ k H k [T (Q)].<br />
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable<br />
Nuestro interés es dar una fórmu<strong>la</strong> que nos permita calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Hausdorff k–dimensional <strong>de</strong> los borelianos <strong>de</strong> una subvariedad<br />
diferenciable k–dimensional <strong>de</strong> R n . Para ello necesitamos una serie <strong>de</strong><br />
resultados previos y recordar algunas <strong>de</strong>finiciones.<br />
Definición. Sea U ⊂ R k un abierto. Decimos que una aplicación F : U →<br />
R n es diferenciable en x ∈ U si existe una aplicación lineal DF x : R k →<br />
R n (en cuyo caso es única 3 ) y a <strong>la</strong> que l<strong>la</strong>mamos aplicación lineal tangente,<br />
tal que<br />
‖F (x + z) − F (x) − DF x (z)‖<br />
lím<br />
= 0.<br />
‖z‖→0<br />
‖z‖<br />
Diremos que F es diferenciable si lo es en cada punto <strong>de</strong> U. Diremos que<br />
es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1 si es diferenciable y <strong>la</strong> aplicación DF : x ∈ U → DF x ∈<br />
L(R k , R n ) es continua 4 . Por inducción diremos que F es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se m si<br />
DF es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se m − 1 y <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se ∞ si es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se m para toda m.<br />
Dado un abierto V ⊂ R n , diremos que F : U ⊂ R k → V ⊂ R n es un<br />
difeomorfismo si tiene inversa y también es diferenciable, en cuyo caso<br />
se tiene como consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na que k = n.<br />
3 De existir T 1 y T 2 coincidirían en todo p <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera unidad, pues para z = ‖z‖p<br />
‖T 1 (p) − T 2 (p)‖ ≤ ‖F (x + z) − F (x) − T 1(z)‖ + ‖F (x + z) − F (x) − T 2 (z)‖<br />
‖z‖<br />
→ 0.<br />
4 Con cualquier norma en el espacio L(R k , R n ), pues al ser <strong>de</strong> dimensión finita<br />
todas <strong>de</strong>finen <strong>la</strong> misma topología, sin embargo habitualmente consi<strong>de</strong>raremos ‖T ‖ =<br />
sup{|T (x)| : ‖x‖ = 1}
208 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Nota 5.5.1 En términos <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas, <strong>la</strong> matriz asociada a <strong>la</strong> aplicación<br />
lineal DF x ≡ A = (a ij ) es <strong>la</strong> matriz Jacobiana<br />
( ) ∂fi<br />
(x) , para F = (f 1 , . . . , f n )<br />
∂x j<br />
pues tomando <strong>la</strong> componente i–ésima en <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición, <strong>la</strong> norma <strong>de</strong>l máximo<br />
y z = te j , tendremos<br />
f i (x + te j ) − f i (x)<br />
∣ t<br />
− a ij<br />
∣ ∣∣∣<br />
= |f i(x + z) − f i (x) − ∑ k<br />
j=1 a ijz j |<br />
‖z‖<br />
≤ ‖F (x + z) − F (x) − DF x(z)‖<br />
,<br />
‖z‖<br />
y haciendo t → 0, se sigue que a ij = ∂f i (x)/∂x j .<br />
La existencia <strong>de</strong> estas <strong>de</strong>rivadas parciales no implica que F sea diferenciable<br />
en x, ni siquiera que sea continua, por ejemplo para <strong>la</strong> función<br />
{ xy<br />
x<br />
F (x, y) =<br />
2 +y<br />
, si (x, y) ≠ (0, 0)<br />
2<br />
0, si x = y = 0,<br />
(para <strong>la</strong> que F (x, 0) = F (0, y) = 0 y F (x, x) = 1/2). Sin embargo es<br />
cierto que F es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1 sii existen <strong>la</strong>s <strong>de</strong>rivadas parciales ∂f i /∂x j y<br />
son continuas y <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se m sii existen <strong>la</strong>s <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> <strong>la</strong>s f i<br />
hasta el or<strong>de</strong>n m y son continuas. A<strong>de</strong>más si F : R k → R n es lineal,<br />
entonces DF x = F para todo x.<br />
Definición. Diremos que S ⊂ R n es una subvariedad diferenciable k–<br />
dimensional si para cada x ∈ S, existe un difeomorfismo<br />
φ = (u 1 , . . . , u n ): V x ⊂ R n → W ⊂ R n ,<br />
con V x entorno abierto <strong>de</strong> x y W abierto tales que<br />
S ∩ V x = {y ∈ V x : u k+1 (y) = · · · = u n (y) = 0}.<br />
Nota 5.5.2 Normalmente esto no es <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición sino una caracterización,<br />
por otra parte no hemos hecho alusión a <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> <strong>la</strong> subvariedad,<br />
que se correspon<strong>de</strong> con <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se <strong>de</strong>l difeomorfismo. En los resultados que<br />
<strong>de</strong>sarrollemos supondremos que es <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1.
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 209<br />
Como una simple consecuencia toda subvariedad S es localmente<br />
parametrizable, es <strong>de</strong>cir que para todo x ∈ S existe un abierto V x ⊂ R n ,<br />
un abierto U ⊂ R k y una aplicación diferenciable,<br />
F : U ⊂ R k → R n ,<br />
inyectiva el<strong>la</strong> y su aplicación lineal tangente DF z en todo z ∈ U (a<br />
estas aplicaciones se <strong>la</strong>s l<strong>la</strong>ma inmersiones) y tal que F (U) = V x ∩ S. A<br />
una tal F <strong>la</strong> l<strong>la</strong>maremos una parametrización <strong>de</strong>l abierto V x ∩ S <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
subvariedad.<br />
Toda subvariedad se pue<strong>de</strong> expresar como unión numerable <strong>de</strong> subvarieda<strong>de</strong>s<br />
parametrizables, pues R n tiene una base numerable <strong>de</strong> abiertos<br />
B m (<strong>la</strong>s bo<strong>la</strong>s B(x, r), con x ∈ Q n y r ∈ Q), por tanto para todo x ∈ S<br />
existe un abierto básico B m , con x ∈ B m y B m ⊂ V x (para el abierto<br />
V x <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición) y para A m = F −1 (B m ), F (A m ) = B m ∩ S y con<br />
estos rellenamos <strong>la</strong> subvariedad. Para nuestros propósitos es suficiente<br />
consi<strong>de</strong>rar que nuestra subvariedad es parametrizable globalmente.<br />
Lema 5.5.3 Sea F : U ⊂ R k → R n <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1, entonces:<br />
(a) Si x ∈ U y DF x = 0, para cada ɛ > 0 existe un entorno abierto<br />
<strong>de</strong> x, U x ⊂ U, tal que<br />
y, z ∈ U x ⇒ ‖F (y) − F (z)‖ ≤ ɛ‖y − z‖.<br />
(b) Si x ∈ U, para cada ɛ > 0 existe un entorno abierto <strong>de</strong> x, U x ⊂ U,<br />
tal que<br />
y, z ∈ U x ⇒ ‖F (y) − F (z) − DF x (y − z)‖ ≤ ɛ‖y − z‖.<br />
(c) Si x ∈ U y T = DF x es inyectiva, para todo α > 1 existe un<br />
abierto U x ⊂ U, entorno <strong>de</strong> x tal que<br />
y, z ∈ U x ⇒ α −1 ‖T (y) − T (z)‖ ≤ ‖F (y) − F (z)‖ ≤ α‖T (y) − T (z)‖,<br />
y ∈ U x , z ∈ R k ⇒ α −1 ‖T (z)‖ ≤ ‖DF y (z)‖ ≤ α‖T (z)‖.<br />
Demostración. El resultado basta verlo para una elección <strong>de</strong> normas,<br />
pues todas son equivalentes.<br />
(a) Como DF x = 0, ∂f i (x)/∂x j = 0 y existe un entorno convexo <strong>de</strong> x,<br />
U x , tal que para cada v ∈ U x y cualesquiera i, j, |∂f i (v)/∂x j | ≤ ɛ y para<br />
y, z ∈ U x si consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> función g(t) = f i [z + t(y − z)], tendremos
210 Capítulo 5. Diferenciación<br />
que<br />
f i (y) − f i (z) = g(1) − g(0) =<br />
=<br />
∫ 1<br />
0<br />
n∑<br />
j=1<br />
∫ 1<br />
0<br />
g ′ (t) dt<br />
∂f i<br />
∂x j<br />
[z + t(y − z)](y j − z j ) dt<br />
⇒ ‖F (y) − F (z)‖ ∞ ≤ ɛ‖y − z‖ 1 .<br />
⇒<br />
(b) Basta aplicar el apartado anterior a G(y) = F (y) − DF x (y).<br />
(c) Como T = DF x es continua e inyectiva se alcanza y es positivo<br />
el mín{‖T (z)‖ : ‖z‖ = 1} = k > 0 y por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> (b) y los<br />
mismos ɛ y U x<br />
‖T (y − z)‖ − ɛ‖y − z‖ ≤ ‖F (y) − F (z)‖ ≤ ‖T (y − z)‖ + ɛ‖y − z‖<br />
⇒<br />
1 − ɛ/k ≤<br />
‖F (y) − F (z)‖<br />
‖T (y − z)‖<br />
y el resultado se sigue tomando un ɛ > 0, tal que<br />
≤ 1 + ɛ/k<br />
α −1 ≤ 1 − ɛ/k < 1 + ɛ/k ≤ α.<br />
Ahora para <strong>la</strong> segunda <strong>de</strong>sigualdad, dado el α > 1, elijamos un ɛ > 0<br />
que satisfaga <strong>la</strong>s <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s anteriores. Como DF es continua en x,<br />
existe U x , tal que para todo y ∈ U x y todo z con ‖z‖ = 1,<br />
⇒<br />
⇒<br />
⇒<br />
‖DF y (z) − DF x (z)‖ ≤ ‖DF y − DF x ‖ ≤ ɛ<br />
‖DF x (z)‖ − ɛ ≤ ‖DF y (z)‖ ≤ ‖DF x (z)‖ + ɛ<br />
1 − ɛ/k ≤ ‖DF y(z)‖<br />
‖DF x (z)‖ ≤ 1 + ɛ/k<br />
α −1 ‖DF x (z)‖ ≤ ‖DF y (z)‖ ≤ α‖DF x (z)‖,<br />
y el resultado se sigue.<br />
En el resultado anterior hemos encontrado 4 <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l tipo<br />
d[F (x), F (y)] ≤ c · d[G(x), G(y)],<br />
para x, y ∈ Ω<br />
con F y G aplicaciones que valoran en el espacio métrico R n . Veamos<br />
que consecuencias tienen respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Hausdorff.
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 211<br />
Lema 5.5.4 Sean F, G: Ω → X aplicaciones <strong>de</strong> un conjunto Ω en un<br />
espacio métrico (X , d) y c > 0, tales que<br />
d[F (x), F (y)] ≤ c · d[G(x), G(y)],<br />
para x, y ∈ Ω<br />
entonces para todo B ⊂ Ω y todo p > 0,<br />
H p [F (B)] ≤ c p · H p [G(B)].<br />
Demostración. Sea δ > 0 y sean A i ⊂ X , tales que G(B) ⊂ ∪A i y<br />
d(A i ) ≤ δ, entonces para B i = G −1 (A i )<br />
B ⊂ G −1 [G(B)] ⊂ G −1 [∪A i ] ⊂ ∪B i<br />
⇒ F (B) ⊂ F (∪B i ) ⊂ ∪F (B i ),<br />
⇒<br />
siendo por hipótesis d[F (B i )] ≤ c · d[G(B i )] ≤ c · d[A i ] ≤ cδ, por tanto<br />
H p,cδ [F (B)] ≤ ∑ d[F (B i )] p ≤ c p · ∑ d[A i ] p ,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
H p,cδ [F (B)] ≤ c p · H p,δ [G(B)] ⇒ H p [F (B)] ≤ c p · H p [G(B)].<br />
Coro<strong>la</strong>rio 5.5.5 Sea F : U ⊂ R k → R n una inmersión (i.e. F y <strong>la</strong>s DF x<br />
inyectivas, para todo x ∈ U) <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1, entonces F y <strong>la</strong>s DF x llevan<br />
Borelianos en Borelianos y para todo α > 1 y todo x, existe un abierto<br />
U x ⊂ U, entorno <strong>de</strong> x tal que para todo A ∈ B(U x )<br />
∫<br />
α −2k H k [F (A)] ≤ J[DF y ] dH k ≤ α 2k H k [F (A)],<br />
A<br />
Demostración. Como consecuencia <strong>de</strong> (5.4.6), (5.4.7), (5.5.3), y<br />
(5.5.4), para todo α > 1 y todo x, existe un abierto U x ⊂ U, entorno <strong>de</strong><br />
x tal que si A ∈ B(U x )<br />
α −k J[DF x ]H k (A) ≤ H k [F (A)] ≤ α k J[DF x ]H k (A),<br />
∀y ∈ U x α −k J[DF x ] ≤ J[DF y ] ≤ α k J[DF x ].<br />
don<strong>de</strong> en <strong>la</strong> segunda hemos simplificado pues para E = [0, 1] k , 0 <<br />
H k (E) < ∞, por (1.6.8), pág.42. Ahora el resultado se tiene integrando<br />
en <strong>la</strong> segunda <strong>la</strong> función continua J[DF y ] > 0, en A.
212 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Lema 5.5.6 Sea U ⊂ R n un abierto y λ, µ dos medidas en B(U) tales<br />
que para cada x ∈ U existe un entorno abierto <strong>de</strong> x, U x ⊂ U, tal que<br />
para todo Boreliano B ⊂ U x , λ(B) ≤ µ(B), entonces λ ≤ µ en todo<br />
Boreliano.<br />
Demostración. Po<strong>de</strong>mos elegir una colección numerable U n , <strong>de</strong> entre<br />
estos U x , que recubra a U, pues U es abierto, por tanto unión numerable<br />
<strong>de</strong> compactos K m (ver <strong>la</strong> pág.205), y cada uno <strong>de</strong> estos compactos<br />
pue<strong>de</strong> ponerse como unión finita <strong>de</strong> los U x . Ahora po<strong>de</strong>mos construir <strong>la</strong><br />
sucesión <strong>de</strong> Borelianos disjuntos <strong>de</strong> U, B i = U i \(U 1 ∪ · · · ∪ U i−1 ), cuya<br />
unión es U; y para todo Boreliano B<br />
λ(B) = ∑ λ(B ∩ B n ) ≤ ∑ µ(B ∩ B n ) = µ(B).<br />
Teorema 5.5.7 Sea F : U → R n una inmersión inyectiva <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1 y<br />
S = F (U), entonces A ∈ B(U) sii F (A) ∈ B(R n ) y para <strong>la</strong> función<br />
continua positiva x → J(DF x ),<br />
∫<br />
H k [F (A)] = J(DF x ) dH k ,<br />
A<br />
y para cada función Borel medible g en S no negativa ó H k –integrable,<br />
∫ ∫<br />
g dH k = g[F (x)] · J(DF x ) dH k .<br />
S<br />
V<br />
Demostración. Como F es continua e inyectiva, por (5.4.6), A ∈<br />
B(U) sii F (A) ∈ B(R n ). Ahora, aplicando (5.5.5), dado α > 1, para<br />
cada x ∈ U existe un abierto U x ⊂ U, entorno <strong>de</strong> x tal que para todo<br />
A ∈ B(U x ),<br />
∫<br />
α −2k H k [F (A)] ≤ J[DF y ] dH k ≤ α 2k H k [F (A)],<br />
A<br />
y por ser F inyectiva H k [F (A)] es medida, por tanto aplicando el Lema<br />
(5.5.6), tienen <strong>la</strong>s <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s anteriores para todo A ∈ B(U), y<br />
haciendo α ↓ 1, tendremos que para cada Boreliano A ⊂ U<br />
∫<br />
(5.1) H k [F (A)] = J[DF y ] dH k .<br />
A<br />
La segunda parte se <strong>de</strong>muestra como habitualmente, teniendo en cuenta<br />
que para funciones indicador es <strong>la</strong> primera parte, para funciones simples
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 213<br />
no negativas por <strong>la</strong> linealidad <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral, para funciones no negativas<br />
por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91 y para funciones<br />
integrables por su <strong>de</strong>finición aplicándolo a g + y g − .<br />
A continuación vemos que el resultado también es cierto aunque en<br />
algún punto DF y no sea inyectiva, es <strong>de</strong>cir J[DF y ] = 0.<br />
Teorema 5.5.8 Sea F : U → R n una aplicación inyectiva <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1 y<br />
S = F (U), entonces A ∈ B(U) sii F (A) ∈ B(R n ) y para <strong>la</strong> función<br />
continua y no negativa x → J(DF x ),<br />
∫<br />
H k [F (A)] = J(DF x ) dH k ,<br />
y para cada función borel medible g en S no negativa ó H k –integrable,<br />
∫ ∫<br />
g dH k = g[F (x)] · J(DF x ) dH k .<br />
S<br />
V<br />
A<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos los puntos y en los que DF y no sea<br />
inyectiva, T = {y ∈ U : J[DF y ] = 0} que es un cerrado <strong>de</strong> U (por tanto<br />
unión numerable <strong>de</strong> compactos) y su complementario un abierto en el<br />
que es cierto el resultado, por tanto basta ver que en cualquier compacto<br />
K ⊂ U en el que DF y = 0 se tiene que H k [F (K)] = 0, pues en tal caso<br />
también será cierta <strong>la</strong> igualdad<br />
∫<br />
H k [F (T )] = 0 = J[DF y ] dH k .<br />
Para verlo consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> aplicación auxiliar<br />
T<br />
ψ : U → R n × R k ,<br />
ψ(x) = (F (x), δx),<br />
para δ > 0, <strong>la</strong> cual está en <strong>la</strong>s condiciones <strong>de</strong>l teorema anterior (5.5.7)<br />
pues es inyectiva el<strong>la</strong> y sus aplicaciones lineales tangentes Dψ x = (DF x , δI),<br />
ya que para y ≠ 0<br />
y t (Dψ x ) t (Dψ x )y = y t (DF x ) t (DF x )y + δ 2 y t y > 0,<br />
siendo J(Dψ x ) = √ | <strong>de</strong>t(B x + δ 2 I)|, para B x = (DF x ) t (DF x ) una matriz<br />
con <strong>de</strong>terminante nulo (si x ∈ K), por tanto su polinomio característico<br />
p(λ) = <strong>de</strong>t(B x − λI) = λq(λ), pues p se anu<strong>la</strong> en λ = 0 y como<br />
∂f i /∂x j son continuas, también lo es q en x y λ, por lo que estará acotada<br />
en nuestro compacto K, para |λ| ≤ 1. Por tanto existe una constante
214 Capítulo 5. Diferenciación<br />
c > 0, tal que |p(λ)| ≤ |λ|c, por lo que, para 0 < δ ≤ 1, J(Dψ x ) ≤ δ √ c.<br />
Ahora bien se sigue <strong>de</strong> (5.5.4), por ser ‖ϕ(x) − ϕ(y)‖ ≤ ‖ψ(x) − ψ(y)‖,<br />
para ϕ(x) = (F (x), 0), que<br />
∫<br />
H k [F (K] = H k (ϕ(K)) ≤ H k [ψ(K)] = J[Dψ y ] dH k ≤ δ √ c H k [T ],<br />
y tomando límite cuando δ → 0, se tiene el resultado, pues H k (T ) < ∞,<br />
ya que K ⊂ R k es acotado.<br />
Coro<strong>la</strong>rio (Teorema <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> variable) 5.5.9 Sean U, V abiertos<br />
<strong>de</strong> R n y F : U → V un difeomorfismo <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1. Entonces para toda<br />
función medible, f : V → R no negativa ó integrable<br />
∫ ∫<br />
f dm = f[F (x)] · | <strong>de</strong>t(DF x )| dm.<br />
V<br />
U<br />
Demostración. Es obvio consi<strong>de</strong>rando que γ n H n = m.<br />
K<br />
Ejemplo 5.5.10 Sea a > 0, f(x) = 1/ √ a 2 − x 2 y F (x) = a sen x, para<br />
F : (−π/2, π/2) → (−a, a), entonces F ′ (x) = a cos x > 0 y f[F (x)] =<br />
1/a cos x, por tanto<br />
∫ a<br />
−a<br />
∫<br />
dx<br />
π/2<br />
√<br />
a2 − x = 2<br />
−π/2<br />
dx = π.<br />
Ejemplo 5.5.11 Sea F (t) = sen t/ cos t, para F : (−π/2, π/2) → (−∞, ∞)<br />
y f(x) = 1/1 + x 2 , entonces F ′ (t) = 1 + F 2 (t) > 0 y f[F (t)]F ′ (t) = 1,<br />
por tanto<br />
∫ ∞ ∫<br />
dx π/2<br />
1 + x 2 = dx = π.<br />
−∞<br />
−π/2<br />
5.5.1. Coor<strong>de</strong>nadas po<strong>la</strong>res<br />
Por el Teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable (5.5.9) (pág.214) tenemos que<br />
para toda función medible, f : V → R no negativa o integrable<br />
∫ ∫<br />
f dm = f[F ] · | <strong>de</strong>t(DF x )| dm.<br />
V<br />
U
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 215<br />
y para U = (0, ∞)×(0, 2π) y el difeomorfismo <strong>de</strong>finido por <strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas<br />
po<strong>la</strong>res F (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ), V = F (U) = R 2 −{(x, 0) : x > 0},<br />
tenemos por el Teorema <strong>de</strong> Fubini (3.4.3), pág.132<br />
∫ ∫ ∫<br />
(5.2) f dm 2 =<br />
f(ρ cos θ, ρ sen θ)ρ dm ρ dm θ .<br />
V<br />
(0,∞)<br />
(0,2π)<br />
(Observemos que m 2 {(x, 0) : x > 0} = 0, por tanto po<strong>de</strong>mos exten<strong>de</strong>r f<br />
como queramos en ese conjunto y consi<strong>de</strong>rar <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> <strong>la</strong> izquierda<br />
en todo R 2 .)<br />
Ejemplo 5.5.12 Calculemos <strong>la</strong> I = ∫ ∞<br />
dx (ver el ejercicio (2.4.33),<br />
−∞ e−x2<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> pág. 106 y el ejemplo (3.6.9), pág.143)). Por Fubini y <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong><br />
(5.2), pág.215,<br />
I 2 =<br />
∫ ∞ ∫ ∞<br />
−∞<br />
por tanto I = √ π.<br />
−∞<br />
e −(x2 +y 2) dxdy =<br />
∫ ∞ ∫ 2π<br />
0<br />
0<br />
e −ρ2 ρ dρdθ = π,<br />
Ejemplo 5.5.13 Calcu<strong>la</strong>r el área V 2 = m 2 [B(0, 1)] <strong>de</strong> <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad <strong>de</strong><br />
R 2 (para otro cálculo ver (3.6.9), pág.143)): Por <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> (5.2), pág.215,<br />
(con los cambios a<strong>de</strong>cuados) para U 0 = (0, 1) × (0, 2π) y V 0 = F (U 0 ) =<br />
{x 2 + y 2 ≤ 1}\{(x, 0) : x > 0}, tenemos<br />
∫<br />
∫ 1 ∫ 2π<br />
V 2 =<br />
dxdy = ρ dρdθ = π.<br />
{x 2 +y 2 ≤1}<br />
0<br />
0<br />
5.5.2. Coor<strong>de</strong>nadas esféricas<br />
Para U = (0, ∞) × (0, 2π) × (0, π) y el difeomorfismo <strong>de</strong>finido por<br />
<strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas esféricas F (ρ, ϕ, θ) = (ρ cos ϕ sen θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos θ)<br />
V = F (U) = R 3 − {(x, 0, z) : x > 0}, tenemos que<br />
∣ ∂F i ∣∣∣<br />
∣ = ρ 2 sen θ,<br />
∂x j<br />
y por el Teorema <strong>de</strong> Fubini (3.4.3), pág.132<br />
∫ ∫ ∞ ∫ 2π ∫ π<br />
f dm 3 =<br />
f(ρ cos ϕ sen θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos θ)ρ 2 sen θ dρdϕdθ.<br />
V<br />
0<br />
0<br />
0
216 Capítulo 5. Diferenciación<br />
5.5.3. Forma <strong>de</strong> volumen. Variedad Riemanniana<br />
Si multiplicamos por γ k ambos miembros <strong>de</strong> <strong>la</strong> igualdad (5.1), pág.212,<br />
tendremos que<br />
∫<br />
(5.3) γ k H k [F (A)] = J[DF y ] dm,<br />
para m <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue k–dimensional en R k .<br />
Esta fórmu<strong>la</strong> se da en los cursos <strong>de</strong> geometría diferencial, pero con<br />
una apariencia distinta. Los que hayan seguido estos cursos recordarán<br />
que nuestra subvariedad S hereda <strong>la</strong> estructura Riemanniana <strong>de</strong> R n , con<br />
<strong>la</strong> que es una variedad Riemanniana y que si en R k consi<strong>de</strong>ramos un<br />
sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas x i —correspondientes a una base ortonormal—<br />
y en R n otro y j —también correspondiente a otra base ortonormal—,<br />
entonces en S po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar el sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas u i , para el<br />
que x i = u i ◦F , respecto <strong>de</strong>l que <strong>la</strong> métrica Riemanniana <strong>de</strong> S se expresa<br />
en <strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas (u i ) por<br />
A<br />
g ij =<br />
∂ ∂ ∂ ∂<br />
· = F ∗ · F ∗<br />
∂u i ∂u j ∂x i ∂x j<br />
( ) ( )<br />
∑ ∂f k<br />
= (x) ∂ ∑ ∂f k<br />
(x) ∂ = ∑ ∂x i ∂y k ∂x j ∂y k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
∂f k<br />
∂x i<br />
(x) ∂f k<br />
∂x j<br />
(x),<br />
por tanto<br />
√<br />
[ ( ) t ( ) ]<br />
<strong>de</strong>t(g ij ) = √ ∂fi ∂fi<br />
<strong>de</strong>t (x) (x)<br />
∂x j ∂x j<br />
= √ <strong>de</strong>t[(DF x ) t (DF x )] = J[DF x ],<br />
es <strong>de</strong>cir que<br />
∫<br />
γ k H k [F (A)] =<br />
A<br />
√<br />
∫<br />
<strong>de</strong>t(g ij ) dm = ω k ,<br />
F (A)<br />
para ω k = √ <strong>de</strong>t(g ij )du 1 ∧ · · · ∧ du k <strong>la</strong> forma <strong>de</strong> volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> variedad<br />
Riemanniana k–dimensional S, es <strong>de</strong>cir <strong>la</strong> única k–forma que en una<br />
base ortonormal bien orientada vale 1 (si <strong>la</strong> variedad no está orientada<br />
no hay una k–forma sino una <strong>de</strong>nsidad, es <strong>de</strong>cir que en cada punto habría<br />
dos k–formas que son ±ω k , pero que no po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir por separado
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 217<br />
globalmente (pues eso implicaría que <strong>la</strong> variedad fuese orientada. No<br />
obstante <strong>la</strong> medida si está <strong>de</strong>finida en S).<br />
En el caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> estar con una esfera en R n+1 , pongamos<br />
centrada en el origen y <strong>de</strong> radio r, S[0, r], tenemos que es n dimensional<br />
y orientable y para el<strong>la</strong> <strong>la</strong> n–forma <strong>de</strong> volumen es i N ω n+1 , para<br />
ω n+1 = dx 1 ∧ · · · ∧ dx n+1 <strong>la</strong> n + 1–forma <strong>de</strong> volumen <strong>de</strong>l espacio y<br />
N = ∑ (x i / √ ∑ x<br />
2<br />
i )∂ xi el vector unitario normal exterior a <strong>la</strong>s esferas<br />
(<strong>la</strong> elección <strong>de</strong> este vector –que es arbitraria– nos permite <strong>de</strong>finir <strong>la</strong><br />
orientación en <strong>la</strong> esfera), pues para una base ortonormal bien orientada<br />
tangente a <strong>la</strong> esfera, D 1 , . . . , D n , tendremos que<br />
i N ω n+1 (D 1 , . . . , D n ) = ω n+1 (N, D 1 , . . . , D n ) = 1,<br />
pues N, D 1 , . . . , D n es una base orientada ortonormal <strong>de</strong>l espacio. En<br />
tal caso tenemos una medida natural σ n en <strong>la</strong> esfera n–dimensional que<br />
para cada Boreliano A <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera vale<br />
∫<br />
(5.4) σ n (A) = γ n H n (A) =<br />
A<br />
i N ω n+1 .<br />
que veremos en (5.5.15), pág.218, es <strong>la</strong> medida que <strong>de</strong>finimos en <strong>la</strong> esfera<br />
unidad en el Teorema (3.6.7), pág.142.<br />
5.5.4. Coor<strong>de</strong>nadas hiperesféricas<br />
Los casos bidimensional (coor<strong>de</strong>nadas po<strong>la</strong>res) (5.5.1) y tridimensional<br />
(coor<strong>de</strong>nadas esféricas) (5.5.2), se pue<strong>de</strong>n exten<strong>de</strong>r a dimensión n y<br />
escon<strong>de</strong>n <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> una medida en (0, ∞) —que es ∫ A ρn−1 dρ—<br />
y una medida σ <strong>de</strong> <strong>la</strong> que hab<strong>la</strong>mos en el párrafo anterior, en <strong>la</strong> esfera<br />
unidad S n−1 , que en los casos anteriores es respectivamente ∫ ∫<br />
B dθ e<br />
sen θdθdϕ y que, como dijimos, hemos estudiado en (3.6.7), pág.142,<br />
E<br />
aunque allí no dimos su expresión en términos <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas.<br />
Para el lector que conoce análisis tensorial e integración en varieda<strong>de</strong>s,<br />
veamos esta medida en el marco <strong>de</strong> <strong>la</strong>s formas diferenciales: Si consi<strong>de</strong>ramos<br />
en R n el campo tangente <strong>de</strong> <strong>la</strong>s homotecias H = ∑ x i ∂ xi y en el<br />
abierto <strong>de</strong>nso A n complementario <strong>de</strong>l cerrado C = {x n = 0, x n−1 ≥ 0},
218 Capítulo 5. Diferenciación<br />
<strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas hiperesféricas, ρ, θ 1 , . . . , θ n−1 , para<br />
x 1 = ρ cos θ 1 ,<br />
x 2 = ρ cos θ 2 sen θ 1 ,<br />
.<br />
.<br />
x n−1 = ρ cos θ n−1 sen θ n−2 · · · sen θ 1 ,<br />
x n = ρ sen θ n−1 · · · sen θ 1 ,<br />
que valoran en (0, ∞) × (0, π) n−2 × (0, 2π), siendo ρ = √ ∑ x<br />
2<br />
i . En estos<br />
términos se tiene que Hρ = ρ y Hθ i = 0, por tanto en coor<strong>de</strong>nadas<br />
esféricas H = ρ∂ ρ y el campo unitario ortogonal exterior a <strong>la</strong>s esferas<br />
centradas en el origen es N = ∂ ρ = H/ρ.<br />
Proposición 5.5.14 En los términos anteriores existe una n − 1–forma,<br />
Θ n−1 = f(θ 1 , . . . , θ n−1 )dθ 1 ∧ · · · ∧ dθ n−1 ,<br />
que sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong>s variables angu<strong>la</strong>res θ i , tal que para ω n = dx 1 ∧<br />
· · · ∧ dx n ,<br />
i N ω n = ρ n−1 Θ n−1 , ω n = ρ n−1 dρ ∧ Θ n−1 .<br />
Demostración. Basta <strong>de</strong>mostrar que<br />
i N Θ n−1 = 0, N L Θ n−1 = 0,<br />
lo primero es obvio pues Θ n−1 = ρ 1−n i N ω n y lo segundo para D =<br />
ρ 1−n N, pues div D = ∑ (x i /ρ n ) xi = 0 y<br />
N L Θ n−1 = N L (i D ω n ) = i N d(i D ω n ) + d(i N (i D ω n ))<br />
= i N d(i D ω n ) = i N (D L ω n ) = (div D)i N ω n = 0.<br />
Lo último se sigue <strong>de</strong> que dρ ∧ ω n = 0, por tanto<br />
0 = i N (dρ ∧ ω n ) = ω n − dρ ∧ i N ω n .<br />
Coro<strong>la</strong>rio 5.5.15 Para toda función g diferenciable e integrable en R n ,<br />
∫<br />
∫ ∞ ∫<br />
g(x)dx 1 · · · dx n = g(ρy)ρ n−1 dσdρ.<br />
0 S n−1
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 219<br />
Demostración. Para C = {x n = 0, x n−1 ≥ 0}, C ′ = S n−1 ∩ C y los<br />
difeomorfismos inversos (3.6.2), pág.141<br />
F (x) = (|x|, x/|x|),<br />
G(ρ, y) = F −1 (ρ, y) = ρy,<br />
se tiene que F (C) = (0, ∞) × C ′ y para el abierto <strong>de</strong>nso <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera<br />
S ′ = S n−1 \C ′ tenemos los difeomorfismos<br />
R n \C<br />
F<br />
−−→ (0, ∞) × S ′ ϕ<br />
−−→ (0, ∞) × (0, π) n−2 × (0, 2π)<br />
x = ρy → (ρ, y) → (ρ, θ 1 , . . . , θ n−1 )<br />
La medida en <strong>la</strong> esfera unitaria S n−1 , en <strong>la</strong> que ρ = 1, es<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
(5.5) σ(A) = i N ω n = ρ n−1 Θ n−1 =<br />
A<br />
A<br />
A<br />
∫<br />
= f(θ)dθ 1 . . . dθ n−1 ,<br />
ϕ({1}×A)<br />
Θ n−1<br />
(ver 5.4, pág.217), y por el resultado anterior (5.5.14)<br />
∫ ∫<br />
g(x)dx = gω n =<br />
A<br />
∫ n<br />
∫<br />
gρ n−1 dρ ∧ Θ n−1<br />
A n<br />
=<br />
gρ n−1 f(θ)dρdθ 1 · · · dθ n−1<br />
=<br />
(0,∞)×(0,π) n−2 ×(0,2π)<br />
∫ ∞ ∫<br />
0<br />
S ′ g(ρy)ρ n−1 dσ dρ.<br />
Ejemplo 5.5.16 Calculemos ahora el hipervolumen V n = m n (B[0, 1]) <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad B <strong>de</strong> R n —para otro cálculo ver (3.6.9), pág.143)—: Para<br />
n = 1, V 1 = 2; para n = 2, V 2 = π (ver el ejemplo (5.5.13)); y para<br />
n ≥ 3, por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto para m n = m n−2 × m 2 ,<br />
como m n [B(0, r)] = r n V n ,<br />
∫<br />
V n = m n [B] = m n−2 [B (x1,x 2)] dm 2<br />
∫<br />
√<br />
=<br />
m n−2 (B[0,<br />
{x 2 1 +x2 2 ≤1} 1 − x 2 1 − x2 2 ]) dm 2<br />
∫<br />
=<br />
{x 2 1 +x2 2 ≤1} (1 − x 2 1 − x 2 2) n−2<br />
2 Vn−2 dm 2<br />
= V n−2<br />
∫ 2π<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
(1 − ρ 2 ) n 2 −1 ρ dρdθ = πV n−2 t n 2 −1 dt = 2π n V n−2.<br />
0
220 Capítulo 5. Diferenciación<br />
haciendo el cambio t = 1 − ρ 2 . Con esta reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> recurrencia y los dos<br />
valores iniciales, tenemos todos los valores buscados<br />
V 2n+1 =<br />
(2π) n 2<br />
1 · 3 · · · (2n + 1) , V (2π) n<br />
2n =<br />
2 · 4 · · · (2n) = πn<br />
n! ,<br />
que en términos <strong>de</strong> <strong>la</strong> función Π (ver el ejemplo (2.4.22), página 100) se<br />
expresan —como ya hemos visto en (3.6.9), pág.143—, simultáneamente<br />
con el valor<br />
V n = πn/2<br />
Π ( n<br />
).<br />
2<br />
Ejemplo 5.5.17 Dada una función f : V ⊂ R n → R, calcu<strong>la</strong>r el área<br />
n–dimensional <strong>de</strong> su gráfica S = {(x, f(x)) ∈ R n+1 : x ∈ V }, .<br />
Para ello consi<strong>de</strong>remos F : V ⊂ R n → R n+1 , F (x) = (x, f(x)), que<br />
es inmersión inyectiva por tanto<br />
∫<br />
∫ √<br />
σ n (S) = γ n H n [S] = J[DF x ] dm n = 1 + ∑ fx 2 i<br />
dm n ,<br />
pues para a i = f xi y a t = (a 1 , . . . , a n ),<br />
V<br />
J[DF x ] 2 = <strong>de</strong>t[I + aa t ] = 1 + ∑ a 2 i ,<br />
ya que <strong>la</strong>s columnas <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz C = aa t son múltiplos <strong>de</strong> a, por tanto<br />
<strong>de</strong>pendientes y el rango <strong>de</strong> C es 0 si a = 0 ó 1 en caso contrario,<br />
en cualquier caso tiene n − 1 autovalores nulos y el correspondiente al<br />
autovector a, pues Ca = aa t a = (a t a)a, es <strong>de</strong>cir C tiene autovalores<br />
λ 1 = a t a = ∑ a 2 i , λ 2 = · · · = λ n = 0,<br />
V<br />
por tanto los autovalores 1 + λ i <strong>de</strong> I + C son 1 + ∑ a 2 i<br />
el <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> I + C es su producto 1 + ∑ a 2 i .<br />
y los <strong>de</strong>más 1; y<br />
Ejemplo 5.5.18 Calcu<strong>la</strong>r el área n–dimensional A n = σ n (S n ) <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera<br />
unidad S n <strong>de</strong> R n+1 (ver para otro cálculo (3.6.9), pág.143):<br />
Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> partición <strong>de</strong> S n = { ∑ x 2 i = 1} ⊂ Rn+1 ,<br />
S n = S + n ∪ S − n ∪ E n ,<br />
don<strong>de</strong> S + n es el casquete superior, S − n el casquete inferior <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera,<br />
para los que H n (S − n ) = H n (S + n ) pues ambos casquetes son isométricos
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 221<br />
por <strong>la</strong> reflexión respecto <strong>de</strong> x n+1 = 0; y E n = {x ∈ S n : x n+1 = 0} =<br />
S n−1 × {0} es el ecuador.<br />
Ahora por el ejercicio anterior, para V <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad abierta <strong>de</strong> R n<br />
y f(x) = √ 1 − ∑ x 2 i , F (V ) = S+ n , a i = f xi = −x i / √ 1 − ∑ x 2 i , tenemos<br />
aplicando Fubini y el ejemplo (5.5.10) que para n ≥ 2<br />
=<br />
∫<br />
σ n [S n + ] =<br />
∫∑ n<br />
i=2 x2 i ≤1 ∫ √ 1− ∑ n<br />
i=2 x2 i<br />
− √ 1− ∑ n<br />
i=2 x2 i<br />
V<br />
1<br />
√<br />
1 −<br />
∑ n<br />
i=1 x2 i<br />
dm n<br />
1<br />
√ ∑ n (1 −<br />
i=2 x2 i ) − dx 1 dx 2 · · · dx n =<br />
x2 1<br />
= πm n−1 (B[0, 1]) = πV n−1 ,<br />
un cálculo simi<strong>la</strong>r da para n = 1, σ 1 [S + 1 ] = π.<br />
Ahora por inducción se tiene que H n (E n ) = 0, pues para n = 1,<br />
H 1 (E 1 ) = H 1 ({−1, 1}) = 0 y si H n (E n ) = 0, entonces H n (S n ) =<br />
2H n (S + n ) < ∞ y como E n+1 = S n × {0}, se sigue <strong>de</strong> (1.6.4), pág.41,<br />
que H n+1 (E n+1 ) = H n+1 (S n ) = 0. Por lo tanto<br />
A 1 = 2π, A n = σ n (S n ) = 2σ n (S n + ) = 2πV n−1 = 2 π n+1<br />
2<br />
Π ( n−1<br />
2<br />
Definición. En <strong>la</strong> pág. 140, vimos el concepto <strong>de</strong> centro <strong>de</strong> masas <strong>de</strong><br />
un Boreliano y el Teorema <strong>de</strong> Pappus sobre el volumen <strong>de</strong> un cuerpo<br />
<strong>de</strong> revolución. A Pappus <strong>de</strong> Alejandría, <strong>de</strong>l que poco se sabe y se<br />
cree vivió alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l 300 <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> Cristo, se le atribuyen los dos<br />
siguientes ejemplos (para un arco <strong>de</strong> circunferencia) en los que <strong>de</strong> nuevo<br />
usamos el concepto <strong>de</strong> centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> un Boreliano B <strong>de</strong>l espacio<br />
R n (el <strong>de</strong>l volumen lo vimos en (3.6.6), pero lo volvemos a dar como<br />
aplicación <strong>de</strong> los resultados anteriores). Recor<strong>de</strong>mos que lo primero que<br />
necesitamos es conocer su dimensión <strong>de</strong> Hausdorff dim H (B) = p, en<br />
cuyo caso si su <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> masa viene dada por <strong>la</strong> función medible no<br />
negativa ρ, <strong>de</strong>finimos su centro <strong>de</strong> masa C(B) como el punto <strong>de</strong>l espacio<br />
<strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nada i–ésima<br />
∫<br />
B<br />
x i [C(B)] =<br />
x iρ dH<br />
∫ p<br />
B ρ dH ,<br />
p<br />
el cual en el caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> ser ρ constante es<br />
∫<br />
B x i dH p<br />
.<br />
H p (B)<br />
).
222 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Figura 5.3. Volumen y Area <strong>de</strong> un cuerpo <strong>de</strong> revolución.<br />
Ejemplo 5.5.19 (Pappus) Si una curva p<strong>la</strong>na cerrada gira alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong><br />
un eje <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no que no <strong>la</strong> corta, el volumen que genera es igual al área<br />
limitada por el<strong>la</strong> multiplicada por <strong>la</strong> distancia que recorre el centro <strong>de</strong><br />
masa <strong>de</strong>l área (ver fig. 5.3 izqda.).<br />
Solución. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> superficie C que encierra <strong>la</strong> curva en el<br />
p<strong>la</strong>no xz y z el eje <strong>de</strong> giro, entonces nuestro volumen es B = F (C ×<br />
[0, 2π]), para<br />
F : R 3 → R 3 ,<br />
F (x, z, θ) = (x cos θ, x sen θ, z),<br />
entonces como J[DF (x,z,θ) ] = x, tendremos<br />
∫<br />
∫ (∫ ) ∫<br />
m(B) = x dm =<br />
x dm 2 dm 1 = 2π x dm 2 = 2πr·m 2 [C],<br />
C×[0,2π]<br />
[0,2π] C<br />
C<br />
siendo r = ∫ C x dm 2/m 2 (C) <strong>la</strong> abscisa <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> C, es <strong>de</strong>cir<br />
<strong>la</strong> distancia al eje <strong>de</strong> giro.<br />
Ejemplo 5.5.20 (Pappus) Si una curva p<strong>la</strong>na, cerrada ó no, gira alre<strong>de</strong>dor<br />
<strong>de</strong> un eje <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no que no <strong>la</strong> corta, el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie que<br />
genera es igual a <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva multiplicada por <strong>la</strong> distancia<br />
que recorre el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva (ver fig. 5.3 dcha.)<br />
Solución. Si <strong>la</strong> curva es σ(t) = (x(t), z(t)), para σ : [0, 1] → R 2 , <strong>la</strong><br />
superficie S es <strong>la</strong> imagen <strong>de</strong><br />
F : U = [0, 1] × [0, 2π] → R 3 ,<br />
F (t, θ) = (x(t) cos θ, x(t) sen θ, z(t)),<br />
para <strong>la</strong> que J[DF (t,θ) ] = x(t) √ x ′ (t) 2 + z ′ (t) 2 , siendo así que <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> longitud en <strong>la</strong> curva es H 1 (σ[A]) = ∫ √<br />
x′ (t)<br />
A 2 + z ′ (t) 2 dH 1 , por tanto<br />
el área es para C = σ[0, 1]<br />
∫<br />
γ 2 H 2 (S) =<br />
x(t) √ ∫<br />
x ′ (t) 2 + z ′ (t) 2 dtdθ = 2π x dH 1 = 2πrH 1 (C).<br />
[0,1]×[0,2π]<br />
C
5.5. El teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable 223<br />
siendo <strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva en el p<strong>la</strong>no<br />
x, z,<br />
(∫<br />
C<br />
(r, z) =<br />
x dH ∫<br />
1<br />
H 1 (C) , C z dH )<br />
1<br />
,<br />
H 1 (C)<br />
y por tanto r es <strong>la</strong> distancia al eje z.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 5.5.1 Calcu<strong>la</strong>r el área y el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> elipse y elipsoi<strong>de</strong> respectivamente<br />
x 2<br />
a + y2<br />
2 b = 1, x 2<br />
2 a + y2<br />
2 b + z2<br />
= 1. (Sol.)<br />
2 c 2<br />
Ejercicio 5.5.2 Una bicicleta <strong>de</strong> longitud L hace un recorrido en el que nunca<br />
gira a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha. Si el ángulo total girado es ϕ, <strong>de</strong>mostrar que el área que<br />
barre es 5 ϕL 2 /2. (Sol.)<br />
Ejercicio 5.5.3 Curva <strong>de</strong> Agnesi 6 : Dada una circunferencia <strong>de</strong> radio a/2<br />
tangente al eje x y centro en el eje y y dada <strong>la</strong> tangente parale<strong>la</strong> al eje x en<br />
el punto (0, a), se consi<strong>de</strong>ra el lugar geométrico <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no (x, y),<br />
obtenidos <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente forma: Se traza <strong>la</strong> recta que une el origen con el punto<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> tangente <strong>de</strong> abscisa x, es <strong>de</strong>cir (x, a) y se consi<strong>de</strong>ra <strong>la</strong> or<strong>de</strong>nada y <strong>de</strong>l<br />
punto <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> esta recta con <strong>la</strong> circunferencia.<br />
Demostrar que el área subyacente a <strong>la</strong> curva es 4 veces el área <strong>de</strong>l círculo<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> construcción. Que <strong>la</strong> curva tiene dos puntos simétricos en los que pasa<br />
<strong>de</strong> ser convexa a cóncava. Que <strong>la</strong>s verticales en esos puntos divi<strong>de</strong>n el área<br />
subyacente en tres regiones <strong>de</strong> igual área y que los pies <strong>de</strong> esas verticales en el<br />
eje x <strong>de</strong>finen con el punto máximo (0, a) <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva un triángulo equilátero.<br />
Encontrar el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>la</strong> región entre <strong>la</strong> curva y el eje x. Encontrar<br />
el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva.<br />
Demostrar que el volumen que genera al girar<strong>la</strong> respecto <strong>de</strong>l eje x es 2<br />
veces el <strong>de</strong>l toro que genera el círculo. (Sol.)<br />
5 En particu<strong>la</strong>r si <strong>la</strong> bicicleta vuelve al punto <strong>de</strong> partida, el área que barre es<br />
constante e igual a <strong>la</strong> <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> radio L.<br />
6 Ver comentarios en <strong>la</strong> pág.231
224 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Ejercicio 5.5.4 Sea σ : R → R n una curva <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1, <strong>de</strong>mostrar que para todo<br />
[a, b] ⊂ R, si σ(t) = (x i(t))<br />
H 1(σ[a, b]) =<br />
∫ b<br />
a<br />
‖σ ′ (t)‖ dt =<br />
∫ b<br />
a<br />
∑<br />
√ n x ′ i (t)2 dt.<br />
i=1<br />
Ejercicio 5.5.5 Sea f ∈ C 1 (R 2 ) y consi<strong>de</strong>remos su gráfica F : R 2 → R 3 , F (x, y) =<br />
(x, y, f(x, y)), <strong>de</strong>mostrar que para todo A ∈ B(R 2 ),<br />
∫<br />
γ 2H 2[F (A)] =<br />
A<br />
√<br />
1 + f 2 x + f 2 y dxdy.<br />
Ejercicio 5.5.6 (1) Demostrar que el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio r es 4πr 2 .<br />
(2) Demostrar que el área <strong>de</strong>l casquete esférico <strong>de</strong> radio r y altura h es 2πrh.<br />
(Sol.)<br />
Ejercicio 5.5.7 Demostrar que si T : R n → R n es un isomorfismo, el centro<br />
<strong>de</strong> masas C(B) <strong>de</strong> un boreliano B, con 0 < m(B) < ∞, satisface C[T (B)] =<br />
T [C(B)]. (Sol.)<br />
Ejercicio 5.5.8 Dado en el p<strong>la</strong>no un triángulo T 2 <strong>de</strong> vértices ABC, consi<strong>de</strong>remos<br />
los tres conjuntos: T 2 (<strong>la</strong> envolvente convexa <strong>de</strong> los vértices), T 1 = ∂T 2<br />
formado por los tres <strong>la</strong>dos y T 0 = {A, B, C} formado por los tres vértices.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el centro <strong>de</strong> masas <strong>de</strong> cada uno. ¿coinci<strong>de</strong>n? (Sol.)<br />
Ejercicio 5.5.9 Demostrar que para t, s > −1<br />
∫<br />
Π(t)Π(s) = Π(t + s + 1) x t (1 − x) s dm. (Sol.)<br />
(0,1)<br />
Ejercicio 5.5.10 Dado α > 0, l<strong>la</strong>maremos α–integral fraccional <strong>de</strong> una función<br />
continua f → [0, ∞) → R, a <strong>la</strong> función<br />
I αf(x) =<br />
∫<br />
(x − [0,x] t)α−1 f(t) dm<br />
. (Sol.)<br />
Γ[α]<br />
Demostrar que para α, β > 0, I α ◦ I β = I α+β .
5.6. Cálculo <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante γ n. 225<br />
5.6. Cálculo <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante γ n .<br />
En el teorema (1.6.9) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 43, <strong>de</strong>mostramos <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong><br />
una constante γ n , tal que γ n H n = m, <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en R n . En<br />
esta lección calcu<strong>la</strong>remos el valor <strong>de</strong> esta constante, utilizando algunos<br />
<strong>de</strong> los resultados <strong>de</strong> este Tema. Para ello necesitamos una serie <strong>de</strong> Lemas<br />
previos.<br />
Lema 5.6.1 Sea A ⊂ R n un abierto acotado, entonces dado ɛ > 0, existen<br />
bo<strong>la</strong>s cerradas y disjuntas B m ⊂ A, con 0 < d(B m ) < ɛ, tales que<br />
m(A) = ∑ m(B m ).<br />
Demostración. Sea B 1 cualquier bo<strong>la</strong> <strong>de</strong> A <strong>de</strong> diámetro d(B 1 ) < ɛ,<br />
ahora elegidas B i = B[x i , r i ], para i = 1, . . . , m, elegimos B m+1 <strong>de</strong>l<br />
siguiente modo: consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> familia C m <strong>de</strong> <strong>la</strong>s bo<strong>la</strong>s cerradas <strong>de</strong> A<br />
con diámetro menor que ɛ y disjuntas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s B i anteriores, <strong>la</strong> cual es<br />
no vacía porque A − (∪ m i=1 B i) es abierto no vacío. Ahora consi<strong>de</strong>ramos<br />
s m = sup{r : B[x, r] ∈ C m } y elegimos B m+1 como cualquier bo<strong>la</strong> <strong>de</strong><br />
C m , con radio r m+1 > s m /2.<br />
Veamos que el boreliano C = A − (∪B n ) tiene medida nu<strong>la</strong>.<br />
En primer lugar si B 0 = B[0, 1] es <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unitaria, como m[B[x, t]] =<br />
t n m[B 0 ], tendremos que<br />
m[B 0 ]<br />
∞∑<br />
rm n =<br />
m=1<br />
∞∑<br />
m[B m ] = m[∪B m ] ≤ m[A] < ∞,<br />
m=1<br />
por lo que r m → 0.<br />
Supongamos que m(C) > 0, entonces para B ′ m = B[x m , 4r m ],<br />
∑<br />
m[B<br />
′<br />
m ] = 4 n ∑ m[B m ] ≤ 4 n m[A] < ∞,<br />
por lo que existe un N ∈ N, tal que<br />
∞∑<br />
m[∪ ∞ m=N+1B m] ′ ≤ m[B m] ′ < m[C],<br />
m=N+1
226 Capítulo 5. Diferenciación<br />
y por tanto existe un p ∈ C tal que p /∈ ∪ ∞ m=N+1 B′ m. Como p está en C<br />
no está en el cerrado ∪ N i=1 B i y po<strong>de</strong>mos encontrar una bo<strong>la</strong> B[p, r] ⊂ A<br />
disjunta <strong>de</strong> B 1 , . . . , B N y 0 < r < ɛ, ahora bien si B[p, r] es disjunta <strong>de</strong><br />
B 1 , . . . , B m , entonces B[p, r] ∈ C m y r ≤ s m < 2r m+1 , pero r m → 0 por<br />
tanto existe un primer m > N tal que B[p, r]∩B m ≠ ∅ y B[p, r] ∈ C m−1 .<br />
Sea z ∈ B[p, r] ∩ B m , como p /∈ B ′ m tendremos<br />
s m−1 ≥ r ≥ ‖p−z‖ ≥ ‖p−x m ‖−‖z −x m ‖ ≥ 4r m −r m = 3r m > 3 2 s m−1,<br />
lo cual es absurdo.<br />
Definición. Dado un conjunto A ⊂ R n , <strong>de</strong>finimos su simetrización <strong>de</strong><br />
Steiner respecto <strong>de</strong>l hiperp<strong>la</strong>no {x 1 = 0} como<br />
S(A) = {(t, y) ∈ R × R n−1 : m[A y ] > 0, |t| ≤ m[Ay ]<br />
, }.<br />
2<br />
<strong>de</strong> modo análogo se <strong>de</strong>finen <strong>la</strong>s simetrías respecto <strong>de</strong>l resto <strong>de</strong> hiperp<strong>la</strong>nos<br />
coor<strong>de</strong>nados {x i = 0}.<br />
Lema 5.6.2 Si A ∈ B(R n ) y S(A) es su simetrización <strong>de</strong> Steiner respecto<br />
<strong>de</strong>l hiperp<strong>la</strong>no {x i = 0}, entonces<br />
a) S(A) ∈ B(R n ).<br />
b) d[S(A)] ≤ d[A].<br />
c) m[S(A)] = m[A].<br />
d) x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ S(A) sii (x 1 , . . . , −x i , . . . , x n ) ∈ S(A).<br />
e) Si A es simétrico respecto <strong>de</strong> un hiperp<strong>la</strong>no {x j = 0}, S(A) también.<br />
Demostración. Haremos <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración para i = 1. Denotaremos<br />
para cada y ∈ R n−1 , β(y) = sup A y , α(y) = ínf A y .<br />
(a) Que S(A) = {0 < g, f ≤ g} es boreliano se sigue <strong>de</strong>l ejercicio<br />
(2.2.4) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 82 y <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Fubini, para <strong>la</strong>s funciones<br />
medibles g(t, y) = m[A y ] y f(t, y) = 2|t|.<br />
(b) Sean (t 1 , y 1 ), (t 2 , y 2 ) ∈ S(A), entonces<br />
d[(t 1 , y 1 ), (t 2 , y 2 )] = √ |t 1 − t 2 | 2 + d(y 1 , y 2 ) 2<br />
≤ lím d[(s n , y 1 ), (r n , y 2 )] ≤ d(A),
5.6. Cálculo <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante γ n. 227<br />
para ciertas s n ∈ A y y r n ∈ A y , pues<br />
] + m[A<br />
|t 1 − t 2 | ≤ m[Ay1 y2 ]<br />
≤ β(y 1) − α(y 1 ) + β(y 2 ) − α(y 2 )<br />
2<br />
2<br />
≤ máx{β(y 1 ) − α(y 2 ), β(y 2 ) − α(y 1 )} = lím |s n − r n |,<br />
por tanto d[S(A)] ≤ d(A).<br />
(c) Se sigue <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Fubini que<br />
∫<br />
∫<br />
m n [S(A)] = m 1 [S(A) y ] dm n−1 = m 1 [A y ] dm n−1 = m n (A).<br />
(d) Es obvio y (e) porque (por ejemplo para j = 2)<br />
x = (x i ) ∈ S(A) ⇔ |x 1 | ≤ m{t : (t, x 2, . . . , x n ) ∈ A}<br />
2<br />
⇔ |x 1 | ≤ m{t : (t, −x 2, . . . , x n ) ∈ A}<br />
2<br />
⇔ (x 1 , −x 2 , . . . , x n ) ∈ S(A).<br />
En el siguiente resultado veremos que entre los conjuntos <strong>de</strong> un<br />
diámetro fijo d, <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> <strong>de</strong> ese diámetro, es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong> radio d/2, es el<br />
<strong>de</strong> máximo volumen.<br />
Teorema 5.6.3 Dado A ∈ B(R n ),<br />
m[A] ≤ m[B[0, d(A)/2]].<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> composición <strong>de</strong> simetrizaciones <strong>de</strong><br />
Steiner S(A) = S n ◦· · ·◦S 1 (A), respecto <strong>de</strong> los hiperp<strong>la</strong>nos coor<strong>de</strong>nados.<br />
Entonces por (d) y (e) <strong>de</strong>l resultado anterior S(A) es simétrico, x ∈ S(A)<br />
sii −x ∈ S(A) y por (b)<br />
x = (x i ) ∈ S(A) ⇒ x, −x ∈ S(A)<br />
⇒<br />
2‖x‖ = ‖x − (−x)‖ ≤ d[S(A)] ≤ d(A)<br />
por tanto S(A) ⊂ B[0, d(A)/2] y se sigue <strong>de</strong> (c) que<br />
m[A] = m[S(A)] ≤ m[B[0, d(A)/2]].<br />
Teorema 5.6.4 γ n H n = m para <strong>la</strong>s constantes<br />
γ n = m[B[0, 1/2]] = V n /2 n =<br />
π n/2<br />
2 n Γ ( n<br />
2 + 1).
228 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Demostración. La última igualdad se vio en el ejercicio (5.5.16), <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> página 219, veamos pues <strong>la</strong> primera, lo cual equivale a que H n (B) = 1,<br />
para B = B[0, 1/2], <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> <strong>de</strong> radio 1/2. Por una parte para C = [0, 1] n<br />
y B i , tales que d(B i ) < δ y C ⊂ ∪B i , tenemos por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad (5.6.3),<br />
por ser d(B i ) = d(B i ) y B i ∈ B(R n )<br />
1 = m[C] ≤ ∑ i<br />
m[B i ] ≤ ∑ i<br />
m[B[0, d(B i )/2]] = m[B] ∑ i<br />
d(B i ) n ,<br />
por tanto γ n H n (C) ≤ m[B]H n,δ (C) ≤ m[B]H n (C) y γ n ≤ m[B], veamos<br />
<strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad.<br />
Consi<strong>de</strong>remos el cubo unidad abierto (0, 1) n = A un ɛ > 0 y por el<br />
Lema (5.6.1) una sucesión <strong>de</strong> bo<strong>la</strong>s B i ⊂ A disjuntas, con 0 < d(B i ) < δ<br />
y m[A − ∪B i ] = 0, entonces<br />
0 ≤ H n,δ [A − ∪B i ] ≤ H n [A − ∪B i ] = 0,<br />
lo cual implica, por ser B i una bo<strong>la</strong> <strong>de</strong> radio d(B i )/2 y 1 = m[A] =<br />
∑ m[Bi ],<br />
H n,δ [A] ≤ H n,δ [∪B i ]] ≤ ∑ d(B i ) n<br />
= ∑ m[B[0, d(B i )/2]]<br />
m[B[0, 1/2]]<br />
= ∑ m[B i ]<br />
m[B] = 1<br />
m[B] ,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> m[B]H n (A) ≤ 1 = m(A) = γ n H n (A) y m[B] ≤ γ n .
5.7. Bibliografía y comentarios 229<br />
5.7. Bibliografía y comentarios<br />
Los libros consultados en <strong>la</strong> e<strong>la</strong>boración <strong>de</strong> este tema han sido:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Bene<strong>de</strong>tto, J.J.: “Real variable and integration”. B.G.Teubner, 1976.<br />
Billingsley, P.: “Probability and measure”. John Wiley, 1986.<br />
Cohn, D.L.: “Measure theory”. Birkhauser (Boston), 1980.<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley–Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
Fol<strong>la</strong>nd, G.B.: “Real Analysis. Mo<strong>de</strong>rn Techniques and their applications”, John<br />
Wiley, 1984.<br />
Mukherjea, A. and Pothoven, K.: “Real and functional Analysis”. Plenum Press,<br />
1978.<br />
Munroe, M.E.: “Measure and integration”. Addison Wesley, 1971.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”. Tata McGraw-Hill, 1974.<br />
Yosida, K.: “Functional Analysis”. Springer-Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
Para el cálculo <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante γ n hemos seguido el Billingsley.<br />
Como bibliografía complementaria consi<strong>de</strong>ramos los siguientes:<br />
Hewitt, E. and Stromberg, K.: “Real and abstract analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g,<br />
1965.<br />
Whee<strong>de</strong>n, R.L. and Zygmund, A.: “Measure and integral. An introduction to Real<br />
Analysis”. Marcel Dekker, Inc. 1977.<br />
Zaanen, A.C.: “Integration”. North–Hol<strong>la</strong>nd, 1967.<br />
Como comentamos en el capítulo anterior, <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan<br />
<strong>de</strong> una medida está íntimamente re<strong>la</strong>cionada con <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición<br />
<strong>de</strong> una función <strong>de</strong> variación acotada como diferencia <strong>de</strong> funciones crecientes.<br />
De hecho es <strong>de</strong> Jordan el concepto <strong>de</strong> función <strong>de</strong> variación<br />
acotada, que acuña en 1881, y suya es <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> (5.3.4).<br />
Jordan, C.: “Cours d’Analyse <strong>de</strong> l’Ecole Polytechnique”. Gauthier-Vil<strong>la</strong>rs, Paris,<br />
3a.Ed., Vol.I,II y III, 1909-1915.<br />
Como también comentamos anteriormente, Lebesgue da en su libro<br />
Lebesgue, H.: “Leçons sur l’integration” (1a.edición 1903, 2a.edición 1928). Reimp.<br />
<strong>de</strong> 2a. ed. por Chelsea Pub. Comp., 1973.<br />
una condición necesaria y suficiente para que una función f : [0, 1] → R<br />
se exprese como una integral in<strong>de</strong>finida, enunciado esencialmente el Teorema<br />
fundamental <strong>de</strong>l cálculo (5.3.12) —aunque sin <strong>de</strong>mostración y a
230 Capítulo 5. Diferenciación<br />
pie <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 129—; en este libro también está el teorema <strong>de</strong> diferenciación:<br />
Toda función continua <strong>de</strong> variación acotada tiene <strong>de</strong>rivada c.s.,<br />
<strong>de</strong>l que en 1939 F. Riesz seña<strong>la</strong> <strong>la</strong> posibilidad <strong>de</strong> quitar <strong>la</strong> hipótesis <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> continuidad, (ver (5.3.9)). En cuanto a Vitali acuña en su artículo<br />
<strong>de</strong> 1904<br />
Vitali, G.: “Sulle funzioni integrali”. Atti. Acc. Sci. Torino, 40, pp.1021–1034. Año<br />
1904–1905.<br />
el concepto <strong>de</strong> función absolutamente continua, aunque ya Harnack<br />
en 1890 había usado un concepto simi<strong>la</strong>r en un contexto distinto. En<br />
ese trabajo Vitali caracteriza, con <strong>la</strong> absoluta continuidad, <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción<br />
entre diferenciación e integración en el contexto <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> Lebesgue,<br />
<strong>de</strong>mostrando el Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo (5.3.12). Mas tar<strong>de</strong>, en<br />
1907, Lebesgue daría una prueba mas corta que <strong>la</strong> <strong>de</strong> Vitali, el cual<br />
publica ese mismo año el artículo<br />
Vitali, G.: “Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali”. Atti. Acc. Sci.,<br />
Torino, 43, 1907.<br />
en el que tratando <strong>de</strong> exten<strong>de</strong>r el Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo a R 2 ,<br />
prueba el Teorema <strong>de</strong> recubrimiento <strong>de</strong> Vitali. Este resultado fue <strong>la</strong> base<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> teoremas generales <strong>de</strong> diferenciación. De hecho <strong>la</strong>s<br />
pruebas clásicas <strong>de</strong> (5.2.9) —ver Cohn, Whee<strong>de</strong>n–Zygmund, etc.—,<br />
lo utilizan. Nosotros sin embargo hemos seguido a Fol<strong>la</strong>nd, Rudin,<br />
Ash,... que se basan en el Lema mas simple (5.2.1).<br />
Por otra parte hay procesos <strong>de</strong> integración, como los <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>dos<br />
por Denjoy y Perron en 1912–14, que están orientados a fin <strong>de</strong> que el<br />
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo<br />
f(x) − f(a) =<br />
∫ x<br />
a<br />
f ′ (t)dt,<br />
sea válido cuando f sea diferenciable en todo punto. Sin embargo, como<br />
ya comentamos, en ellos fal<strong>la</strong> <strong>la</strong> propiedad <strong>de</strong> que f sea integrable sii |f|<br />
lo es. Remitimos al lector al libro <strong>de</strong><br />
McShane, E.J.: “Integration”. Princeton Univ. Press, 1944.<br />
Analicemos ahora el teorema (5.2.9), que nos asegura <strong>la</strong> existencia<br />
<strong>de</strong>l límite<br />
µ(E r )<br />
f(x) = lím<br />
r→0 m(E r ) ,<br />
y que a<strong>de</strong>más es <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radón–Nykodim, f = dµ a /dm, para<br />
µ = µ a + µ s <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Lebesgue. Cuando consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong>
5.7. Bibliografía y comentarios 231<br />
<strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> masa f <strong>de</strong> un objeto en un punto, <strong>la</strong> <strong>de</strong>finimos como una<br />
re<strong>la</strong>ción infinitesimal, en el punto, entre <strong>la</strong> masa µ y el volumen m,<br />
esa es <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a que subyace en el resultado anterior. Sin embargo este<br />
resultado no dice que esa cantidad infinitesimal <strong>de</strong> masa sea realmente<br />
una medida d x µ en el espacio tangente T x (R n ) (i<strong>de</strong>m para el volumen,<br />
que sigue siendo el volumen en el espacio tangente) y que <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción<br />
entre ambas medidas d x µ/d x m, que en este caso son proporcionales es<br />
un número f(x), que es <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsidad en el punto consi<strong>de</strong>rado.<br />
Pero este nuevo concepto existe y tiene <strong>la</strong> ventaja <strong>de</strong> que no son<br />
necesarias dos medidas —como <strong>la</strong> <strong>de</strong> masa y volumen— para analizar<br />
su comportamiento infinitesimal, sino que cada medida <strong>de</strong>fine canónicamente<br />
una medida infinitesimal en los puntos en que es diferenciable<br />
—que a<strong>de</strong>más son casi todos en términos <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue—. Remitimos<br />
al lector interesado al trabajo<br />
Faro, R.; Navarro, J.A.; Sancho, J.: “On the concept of differential of a measure”.<br />
Arch. Math., Vol 64, 58–68, 1995.<br />
el cual surge como contestación a <strong>la</strong> pregunta siguiente: ¿Es mera notación<br />
<strong>la</strong> dµ que aparece en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración abstracta o por el<br />
contrario tras el<strong>la</strong> se escon<strong>de</strong> un concepto matemático como el <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
diferencial <strong>de</strong> una función?.<br />
En ese trabajo se <strong>de</strong>fine el concepto <strong>de</strong> diferencial <strong>de</strong> una medida<br />
d x µ, en un punto x ∈ R n , como una medida homogénea en el espacio<br />
tangente a R n en el punto x. Se <strong>de</strong>muestra que toda medida es diferenciable<br />
(c.s. [m]), que d x µ es proporcional a d x m (c.s. [m]), siendo m una<br />
medida <strong>de</strong> Lebesgue y se prueba una versión diferencial <strong>de</strong> <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> variable <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración que nos dice que el<br />
concepto <strong>de</strong> diferencial <strong>de</strong> una medida es invariante por difeomorfismos<br />
(por lo que <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> diferencial <strong>de</strong> una medida es válida en una<br />
variedad diferenciable X , en <strong>la</strong> que no hay medida <strong>de</strong> Lebesgue con <strong>la</strong><br />
que comparar). Como consecuencia se tiene una versión mas refinada <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radon–Nikodym dλ/dµ, en el contexto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s varieda<strong>de</strong>s<br />
diferenciables, don<strong>de</strong> no es una mera c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> funciones coincidiendo casi<br />
seguro, sino una verda<strong>de</strong>ra función f(x) = dxλ<br />
d xµ<br />
, bien <strong>de</strong>finida en toda <strong>la</strong><br />
variedad, salvo en un conjunto <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong> por µ.<br />
Por último un breve comentario histórico sobre <strong>la</strong> curva <strong>de</strong> Agnesi,<br />
(ver el ejercicio 5.5.3, pág.223):<br />
Maria Cayetana Agnesi (1718–1799 ) fue una matemática italiana<br />
célebre por su talento y otras virtu<strong>de</strong>s. La curva <strong>de</strong> Agnesi, <strong>la</strong> estudió en<br />
su libro <strong>de</strong> cálculo diferencial e integral
232 Capítulo 5. Diferenciación<br />
Agnesi, M.C..: “Institutioni Analitiche ad uso <strong>de</strong>l<strong>la</strong> gioventu italiana ”. Mi<strong>la</strong>n, 1748.<br />
que <strong>la</strong> Aca<strong>de</strong>mia <strong>de</strong> <strong>la</strong>s Ciencias <strong>de</strong> Paris consi<strong>de</strong>ró como superior a cuantos<br />
se habían escrito sobre esa materia. La curva había sido estudiada<br />
anteriormente por Fermat en 1666 y por Guido Grandi en 1701, que <strong>la</strong><br />
l<strong>la</strong>mó curva versoria, que es un término náutico <strong>la</strong>tino que significa pie<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> ve<strong>la</strong>, cuerda con que se ata su cabo, o con que se lleva <strong>de</strong> un bor<strong>de</strong> a<br />
otro. En italiano Agnesi <strong>la</strong> l<strong>la</strong>mó <strong>la</strong> versiera y según parece, John Colson,<br />
profesor <strong>de</strong> <strong>la</strong> Universidad <strong>de</strong> Cambridge, con poco conocimiento <strong>de</strong>l italiano<br />
confundió versiera con avversiera, que tradujo como witch, bruja,<br />
dando lugar al <strong>de</strong>safortunado nombre por el que también es conocida<br />
esta curva.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 5
Capítulo 6<br />
Espacios <strong>de</strong> funciones<br />
medibles<br />
6.1. Los espacios L p<br />
A lo <strong>la</strong>rgo <strong>de</strong> todo el tema consi<strong>de</strong>raremos un espacio <strong>de</strong> medida<br />
(Ω, A, µ).<br />
Definición. Para cada 0 < p < ∞ y K = R ó C, <strong>de</strong>finimos el espacio<br />
L p (Ω, A, µ, K), <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles f : Ω → K tales que<br />
∫<br />
|f| p dµ < ∞,<br />
y para cada f ∈ L p , y p ≥ 1<br />
(∫<br />
‖f‖ p =<br />
|f| p dµ) 1/p<br />
.<br />
Si no hay confusión <strong>de</strong>notaremos tal espacio por L p (Ω, K) ó L p .<br />
Veremos en <strong>la</strong> siguiente lección que para p ≥ 1 <strong>la</strong>s ‖ ‖ p son seminormas.<br />
No hemos incluido los valores correspondientes a 0 < p < 1 pues<br />
para ellos <strong>la</strong>s ‖ ‖ p en general no satisfacen <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad triangu<strong>la</strong>r, sin<br />
embargo hab<strong>la</strong>remos <strong>de</strong> estos espacios más a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte.<br />
233
234 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
Proposición 6.1.1 Para 0 < p < ∞, L p (Ω, K) es un K–espacio vectorial.<br />
Demostración. Es obvio que si α ∈ K y f, g ∈ L p , entonces αf ∈ L p<br />
y f + g ∈ L p ya que (para lo segundo)<br />
|f(x) + g(x)| p ≤ (|f(x)| + |g(x)|) p ≤ (2 máx{|f(x)|, |g(x)|}) p<br />
≤ 2 p |f(x)| p + 2 p |g(x)| p .<br />
Observemos que aunque L p (Ω, R) es un R–subespacio vectorial <strong>de</strong><br />
L p (Ω, C) no es un C–subespacio vectorial suyo.<br />
6.1.1. El espacio L ∞ .<br />
Para el caso p = ∞ no hay un criterio único para <strong>de</strong>finir L ∞ (Ω, K).<br />
Para unos autores, como Ash, Rudin y Whee<strong>de</strong>n–Zygmund, el supremo<br />
esencial <strong>de</strong> una función medible f : Ω → K es el<br />
ínf{c ≤ ∞ : µ{|f| > c} = 0}.<br />
es <strong>de</strong>cir el menor valor c para el que |f| ≤ c c.s. Y L ∞ (Ω, K) es el espacio<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles f tales que |f| tiene supremo esencial finito,<br />
es <strong>de</strong>cir <strong>la</strong>s funciones medibles acotadas salvo en un conjunto <strong>de</strong> medida<br />
nu<strong>la</strong>.<br />
Nosotros seguimos <strong>la</strong> dada por Cohn.<br />
Definición. Diremos que A ∈ A es localmente nulo si para cada B ∈ A<br />
con µ(B) < ∞ se tiene que µ(A ∩ B) = 0. Del mismo modo diremos que<br />
una propiedad se satisface localmente casi seguro (l.c.s.) si el conjunto<br />
<strong>de</strong> puntos en los que no se verifica es localmente nulo. Denotamos con N<br />
el conjunto <strong>de</strong> todos los medibles nulos y con N ∗ los localmente nulos.<br />
Se tienen <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s elementales.<br />
Proposición 6.1.2 (a) N ⊂ N ∗ .<br />
(b) Si A, B ∈ A, A ⊂ B y B ∈ N ∗ , entonces A ∈ N ∗ .<br />
(c) Si A ∈ N ∗ es σ–finito, A ∈ N .<br />
(d) Si A n ∈ N ∗ , ∪ ∞ n=1A n ∈ N ∗ .<br />
Definición. Denotaremos con L ∞ (Ω, K) ó L ∞ si no hay confusión, el<br />
espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles f : Ω → K que l<strong>la</strong>maremos esencialmente<br />
acotadas, para <strong>la</strong>s que existe un 0 ≤ c < ∞ tal que {|f| > c} es<br />
localmente nulo, y para el<strong>la</strong>s <strong>de</strong>finimos<br />
‖f‖ ∞ = ínf{c ≥ 0 : {|f| > c} ∈ N ∗ }.
6.1. Los espacios L p 235<br />
Proposición 6.1.3 L ∞ es un K–espacio vectorial y ‖f‖ ∞ es una seminorma.<br />
Demostración. Si f, g ∈ L ∞ , entonces f + g ∈ L ∞ , pues dados<br />
0 ≤ a, b < ∞, tales que A = {|f| > a} y B = {|g| > b} son localmente<br />
nulos, A ∪ B es localmente nulo y fuera <strong>de</strong> él<br />
|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ a + b,<br />
por lo que {|f + g| > a + b} ⊂ A ∪ B y es localmente nulo, por tanto<br />
f + g ∈ L ∞ y a<strong>de</strong>más ‖f + g‖ ∞ ≤ a + b. Ahora tomando ínfimos en a, b<br />
tendremos que ‖f + g‖ ∞ ≤ ‖f‖ ∞ + ‖g‖ ∞ .<br />
El motivo <strong>de</strong> elegir esta <strong>de</strong>finición y no <strong>la</strong> anterior es que con el<strong>la</strong><br />
podremos englobar distintos resultados en uno y a<strong>de</strong>más obtener otros en<br />
los que los autores que siguen <strong>la</strong> primera <strong>de</strong>finición, imponen condiciones<br />
que no son necesarias, como que el espacio sea σ–finito, siendo así que<br />
con esta condición ambas <strong>de</strong>finiciones coinci<strong>de</strong>n.<br />
Por L p enten<strong>de</strong>remos indistintamente L p (Ω, R) ó L p (Ω, C) y utilizaremos<br />
esta notación en aquellos resultados que sean igualmente válidos<br />
para ambos espacios. El cuerpo correspondiente lo <strong>de</strong>notaremos con K.<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 6.1.1 Demostrar que si f ∈ L ∞, entonces {x :<br />
localmente nulo.<br />
|f(x)| > ‖f‖ ∞} es<br />
Ejercicio 6.1.2 Demostrar que si f ∈ L ∞ y es integrable, entonces {x : |f(x)| ><br />
‖f‖ ∞} es nulo.
236 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p<br />
6.2.1. Desigualda<strong>de</strong>s fundamentales.<br />
Dijimos en <strong>la</strong> lección anterior que <strong>la</strong>s ‖ ‖ p , para 1 ≤ p, son seminormas.<br />
Para <strong>de</strong>mostrarlo necesitamos algunos resultados previos y un<br />
nuevo concepto.<br />
Definición. Diremos que 1 < p, q < ∞ son exponentes conjugados si se<br />
verifica que p + q = pq ó equivalentemente<br />
1<br />
p + 1 q = 1.<br />
Observemos que para p = 2, q = 2, el cual es un caso especialmente<br />
importante. Por otro <strong>la</strong>do si hacemos p → 1, entonces q → ∞, por lo<br />
que consi<strong>de</strong>raremos que 1 e ∞ son también exponentes conjugados.<br />
El primero <strong>de</strong> los resultados es una simple consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> concavidad<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> función log.<br />
Lema 6.2.1 (i) Sean c, d ∈ (0, ∞) y t ∈ [0, 1], entonces<br />
c t d 1−t ≤ tc + (1 − t)d.<br />
(ii) Sean 1 < p, q < ∞ conjugados y a, b ∈ [0, ∞), entonces<br />
ab ≤ ap<br />
p + bq<br />
q .<br />
(iii) Sean a, b ∈ (0, ∞) y r > 0, entonces<br />
(a + b) r < a r + b r para 0 < r < 1,<br />
(a + b) r > a r + b r para 1 < r < ∞,<br />
Demostración. (i) Por <strong>la</strong> convexidad <strong>de</strong> <strong>la</strong> exponencial, f(x) = e x ,<br />
pues f ′′ > 0<br />
e ta+(1−t)b ≤ t e a +(1 − t) e b ,<br />
y el resultado se sigue para c = e a y d = e b .
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p 237<br />
(ii) Para a = 0 ó b = 0 es obvio; en caso contrario por (i) para t = 1/p,<br />
c = a p y d = b q , tendremos<br />
ab = c 1/p d 1/q = c t d 1−t ≤ tc + (1 − t)d = ap<br />
p + bq<br />
q .<br />
(iii) Considérese <strong>la</strong> función f(x) = (x + b) r − x r − b r , para <strong>la</strong> cual<br />
f(0) = 0 y f ′ > 0 si r > 1, por tanto f es creciente y f ′ < 0 si 0 < r < 1,<br />
por tanto f es <strong>de</strong>creciente.<br />
En <strong>la</strong> siguiente figura se pue<strong>de</strong> observar <strong>la</strong> propiedad anterior (ii),<br />
ab ≤ A + B, <strong>de</strong> forma geométrica, teniendo en cuenta que <strong>la</strong> primitiva<br />
<strong>de</strong> x p−1 es x p /p y que su inversa es y q−1 , para q el conjugado <strong>de</strong> p, con<br />
p ≥ 2 y q ≤ 2.<br />
b<br />
f -1 (y)=y q-1<br />
B<br />
A<br />
f(x)=x p-1<br />
Figura 6.1.<br />
Como consecuencia tenemos algunas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s mas importantes<br />
<strong>de</strong>l Análisis Funcional.<br />
a<br />
Desigualdad <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r 6.2.2 Sean 1 ≤ p, q ≤ ∞ conjugados. Si f ∈ L p<br />
y g ∈ L q , fg ∈ L 1 y<br />
‖fg‖ 1 ≤ ‖f‖ p ‖g‖ q .<br />
Demostración. Si p = 1 y q = ∞ consi<strong>de</strong>ramos el conjunto A = {x :<br />
f(x) ≠ 0}, el cual es σ–finito —pues por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Tchebycheff ,<br />
µ{|f| ≥ 1/n} < ∞— y el conjunto B = {x : |g(x)| > ‖g‖ ∞ }, el cual es<br />
localmente nulo, por tanto A∩B es nulo y en los x <strong>de</strong> su complementario<br />
se satisface<br />
|f(x)g(x)| ≤ |f(x)|‖g‖ ∞ ,<br />
por tanto ∫ |fg| dµ ≤ ‖g‖ ∞ ‖f‖ 1 . Si p = ∞ y q = 1 es simi<strong>la</strong>r.<br />
Si 1 < p < ∞ y ‖f‖ p = 0 (ó ‖g‖ q = 0) es obvio, pues f = 0 c.s. y<br />
por tanto fg = 0 c.s., por lo que ‖fg‖ 1 = 0. Si ‖f‖ p ≠ 0 y ‖g‖ q ≠ 0, se<br />
tiene por el Lema (6.2.1) que para todo x<br />
|f(x)g(x)|<br />
‖f‖ p ‖g‖ q<br />
≤ |f(x)|p<br />
p‖f‖ p p<br />
+ |g(x)|q<br />
q‖f‖ q ,<br />
q
238 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
y por tanto ∫<br />
|fg| dµ<br />
‖f‖ p ‖g‖ q<br />
≤ 1 p + 1 q = 1.<br />
Desigualdad <strong>de</strong> Cauchy–Schwarz 6.2.3 Si f, g ∈ L 2 , fg ∈ L 1 y<br />
∫<br />
∣ fg dµ<br />
∣ ≤ ‖f‖ 2‖g‖ 2 .<br />
Demostración. Se sigue <strong>de</strong>l resultado anterior, pues<br />
∫<br />
∫<br />
∣ fg dµ<br />
∣ ≤ |fg| dµ ≤ ‖f‖ 2 ‖g‖ 2 .<br />
Nota 6.2.4 Observemos que<br />
∫<br />
=<br />
fg dµ,<br />
es casi 1 un producto interior en L 2 , <strong>de</strong>l que <strong>de</strong>riva <strong>la</strong> seminorma ‖ ‖ 2 ,<br />
pues<br />
∫<br />
∫<br />
‖f‖ 2 = ( |f| 2 dµ) 1/2 = ( ff dµ) 1/2 = 1/2 .<br />
Desigualdad <strong>de</strong> Minkowsky 6.2.5 Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y f, g ∈ L p , entonces<br />
f + g ∈ L p y<br />
‖f + g‖ p ≤ ‖f‖ p + ‖g‖ p .<br />
Demostración. Que f +g ∈ L p lo vimos en (6.1.1) y (6.1.3). Veamos<br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad.<br />
Para p = ∞ lo hemos visto. Para p = 1 es obvio, pues<br />
∫<br />
∫<br />
‖f + g‖ 1 = |f + g| dµ ≤ (|f| + |g|) dµ = ‖f‖ 1 + ‖g‖ 1 .<br />
Para 1 < p < ∞, si ∫ |f + g| p dµ = 0 el resultado es obvio, en caso<br />
contrario sea q el exponente conjugado <strong>de</strong> p, entonces<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
(|f + g| p−1 ) q dµ = |f + g| qp−q dµ = |f + g| p dµ < ∞,<br />
1 La única propiedad que no se tiene es que = 0 implique f = 0, aunque<br />
se tiene que f = 0 c.s. (por (2.4.25), pág.101, y por tanto en el espacio en el que<br />
i<strong>de</strong>ntifiquemos funciones que coincidan casi seguro será un producto interior.
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p 239<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que |f + g| p−1 ∈ L q y que ‖|f + g| p−1 ‖ q = ‖f + g‖ p/q<br />
p .<br />
Ahora por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r<br />
∫<br />
∫<br />
‖f + g‖ p p = |f + g| p dµ ≤ (|f| + |g|)|f + g| p−1 dµ<br />
∫<br />
∫<br />
= |f||f + g| p−1 dµ + |g||f + g| p−1 dµ<br />
≤ ‖f‖ p ‖|f + g| p−1 ‖ q + ‖g‖ p ‖|f + g| p−1 ‖ q<br />
= (‖f‖ p + ‖g‖ p )‖f + g‖ p/q<br />
p ,<br />
y dividiendo tenemos el resultado pues p − p/q = 1.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 6.2.6 Para cada 1 ≤ p ≤ ∞, L p es un espacio vectorial sobre<br />
K y ‖ ‖ p es una seminorma en él.<br />
6.2.2. El espacio L p para 0 < p < 1.<br />
Hemos dicho que para 0 < p < 1, ‖ ‖ p no es una seminorma en L p<br />
en general, pues no satisface <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad triangu<strong>la</strong>r. Para verlo consi<strong>de</strong>remos<br />
conjuntos medibles disjuntos A y B, con µ(A) = a y µ(B) = b<br />
finitos y no nulos. Ahora sea f = I A y g = I B , entonces f + g = I A∪B y<br />
(∫<br />
‖f + g‖ p =<br />
) 1/p<br />
I A∪B dµ = (a + b) 1/p<br />
> a 1/p + b 1/p = ‖f‖ p + ‖g‖ p ,<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad se sigue <strong>de</strong> (6.2.1)(c).<br />
No obstante po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir para todo p ∈ (0, 1) <strong>la</strong> seudométrica en<br />
L p<br />
∫<br />
d p (f, g) = |f − g| p dµ,<br />
pues se tienen <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s:<br />
i) d p (f, g) ≥ 0,<br />
ii) d p (f, g) = 0 si y sólo si f = g c.s.,<br />
iii) d p (f, g) = d p (g, f) y<br />
iv) <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad triangu<strong>la</strong>r<br />
d p (f, g) ≤ d p (f, h) + d p (h, g),
240 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
siendo esta consecuencia <strong>de</strong> (6.2.1(c)), pues<br />
|f − g| p ≤ (|f − h| + |h − g|) p ≤ |f − g| p + |g − h| p .<br />
6.2.3. Los espacios L p .<br />
En general ni <strong>la</strong>s seudométricas d p para 0 < p < 1, son métricas, ni<br />
<strong>la</strong>s seminormas ‖ ‖ p para 1 ≤ p ≤ ∞, son normas, pues<br />
para 0 < p < 1, d p (f, g) = 0 ⇔ f = g c.s.,<br />
para 1 ≤ p < ∞, ‖f‖ p = 0 ⇔ f = 0 c.s.,<br />
para p = ∞, ‖f‖ ∞ = 0 ⇔ f = 0 l.c.s.,<br />
sin embargo i<strong>de</strong>ntificando convenientemente funciones conseguimos que<br />
lo sean y po<strong>de</strong>mos dar una i<strong>de</strong>ntificación que no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> p.<br />
Definición. Diremos que dos funciones medibles f, g : Ω → K, son equivalentes,<br />
f ≈ g, si f = g l.c.s., es <strong>de</strong>cir si {f ≠ g} es localmente nulo. Es<br />
fácil <strong>de</strong>mostrar que f ≈ g es una re<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> equivalencia. Mediante el<strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>finimos los espacios cocientes para 0 < p ≤ ∞<br />
L p = L p / ≈ .<br />
Lema 6.2.7 Si 0 < p < ∞ y f, g ∈ L p , entonces<br />
f = g c.s. ⇔ f = g l.c.s..<br />
Demostración. Siempre se tiene “⇒ <strong>la</strong> otra implicación se sigue<br />
<strong>de</strong> que el conjunto {f ≠ g} es σ–finito, pues es unión numerable <strong>de</strong> los<br />
conjuntos A n = {|f − g| > 1/n} y<br />
∫<br />
(1/n) p µ(A n ) ≤ |f − g| p dµ < ∞ ⇒ µ(A n ) < ∞,<br />
A n<br />
por tanto si es localmente nulo es nulo.<br />
Proposición 6.2.8 (a) Para 0 < p ≤ ∞, L p es un K–espacio vectorial<br />
con <strong>la</strong>s operaciones<br />
2<br />
α[f] = [αf],<br />
[f] + [g] = [f + g].
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p 241<br />
(b) Para 0 < p < 1, (L p , d p ) es un espacio métrico con <strong>la</strong> distancia<br />
d p ([f], [g]) = d p (f, g).<br />
Para 1 ≤ p ≤ ∞ (L p , ‖ ‖ p ) es un espacio normado con <strong>la</strong> norma<br />
‖[f]‖ p = ‖f‖ p .<br />
Demostración. (a) Sean f ≈ f ′ y g ≈ g ′ <strong>de</strong> L p y α ∈ K, entonces<br />
αf ≈ αf ′ . Que <strong>la</strong> suma no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los representantes, es <strong>de</strong>cir que<br />
f + g ≈ f ′ + g ′ , se sigue <strong>de</strong> que<br />
{f + g ≠ f ′ + g ′ } ⊂ {f ≠ f ′ } ∪ {g ≠ g ′ } ∈ N ∗ .<br />
(b) Para 0 < p < 1 <strong>la</strong> distancia está bien <strong>de</strong>finida pues para f ≈ f ′ y<br />
g ≈ g ′ <strong>de</strong> L p , se sigue <strong>de</strong>l Lema que d p (f, f ′ ) = d p (g, g ′ ) = 0, por tanto<br />
d p (f, g) ≤ d p (f, f ′ ) + d p (f ′ , g ′ ) + d p (g ′ , g) = d p (f ′ , g ′ ),<br />
y <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad por simetría, por tanto d p (f, g) = d p (f ′ , g ′ ). Ahora<br />
para ver que es métrica basta <strong>de</strong>mostrar que si f, g ∈ L p , d p (f, g) = 0 si<br />
y sólo si f ≈ g, y esto se sigue <strong>de</strong>l Lema.<br />
Para 1 ≤ p < ∞ <strong>la</strong> norma está bien <strong>de</strong>finida pues ‖f‖ p = ‖f ′ ‖ p ya<br />
que por el lema f = f ′ c.s., por tanto ‖f‖ p = ‖f ′ ‖ p . Ahora para ver que<br />
es norma falta ver que para f ∈ L p , ‖[f]‖ p = 0 si y sólo si [f] = [0], y<br />
esto se sigue <strong>de</strong>l Lema pues<br />
‖[f]‖ p = 0 ⇔ ‖f‖ p = 0 ⇔ f = 0 c.s.<br />
⇔ f = 0 l.c.s. ⇔ [f] = [0],<br />
Para p = ∞ <strong>la</strong> norma está bien <strong>de</strong>finida pues si f, f ′ ∈ L ∞ y f ≈ f ′ ,<br />
‖f‖ ∞ = ‖f ′ ‖ ∞ , ya que ‖f − f ′ ‖ ∞ = 0, pues por <strong>de</strong>finición es localmente<br />
nulo el conjunto {f ≠ f ′ } = {|f −f ′ | > 0} y por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad triangu<strong>la</strong>r<br />
‖f‖ ∞ ≤ ‖f ′ ‖ ∞ + ‖f − f ′ ‖ ∞ = ‖f ′ ‖ ∞<br />
y <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad por simetría. Que es norma es obvio.<br />
Nota 6.2.9 Por comodidad hab<strong>la</strong>remos <strong>de</strong> L p como <strong>de</strong> un espacio <strong>de</strong><br />
funciones, más que <strong>de</strong> un espacio cuyos elementos son c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> equivalencia<br />
<strong>de</strong> funciones, relegando esta distinción como dice Rudin “...al<br />
status <strong>de</strong> un entendimiento tácito”.
242 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
Ejemplo 6.2.10 Los espacios <strong>de</strong> Banach (K n , ‖ ‖ p ).<br />
Si Ω = {ω 1 , . . . , ω n } es finito y µ es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar, entonces cada<br />
función f : Ω → K, se i<strong>de</strong>ntifica con x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ K n , mediante<br />
f(ω i ) = x i , en cuyo caso para p < ∞<br />
‖f‖ p = (<br />
n∑<br />
|x i | p ) 1/p = ‖x‖ p , y (L p , ‖ ‖ p ) = (K n , ‖ ‖ p ),<br />
i=1<br />
y para p = ∞, ‖f‖ ∞ = máx{|x i |} = ‖x‖ ∞ .<br />
Ejemplo 6.2.11 Los espacios l p <strong>de</strong> sucesiones.<br />
Por último en el caso particu<strong>la</strong>r<br />
(Ω, A, µ) = (N, P(N), µ),<br />
para µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar, es habitual escribir l p en vez <strong>de</strong> L p y<br />
consi<strong>de</strong>rar sus elementos f más que como funciones, como sucesiones<br />
f(n) = x n ∈ K, en cuyos términos para p < ∞ l p es el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
sucesiones f = (x n ) tales que<br />
∞∑<br />
|x n | p < ∞,<br />
n=1<br />
y para p = ∞, l ∞ es el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s sucesiones acotadas.<br />
6.2.4. Compleción <strong>de</strong> los espacios L p .<br />
Vamos a <strong>de</strong>mostrar que toda sucesión <strong>de</strong> Cauchy en L p es convergente,<br />
por ello conviene recordar que una cosa es <strong>la</strong> convergencia puntual<br />
f n (x) → f(x), que a menudo hemos <strong>de</strong>notado f n → f, y otra distinta es<br />
<strong>la</strong> convergencia f n → f en L p , que significa<br />
∫<br />
para 0 < p < 1, d p (f, f n ) → 0 ⇔ |f n − f| p dµ → 0,<br />
∫<br />
para 1 ≤ p < ∞, ‖f − f n ‖ p → 0 ⇔ |f n − f| p dµ → 0,<br />
para p = ∞, ‖f − f n ‖ ∞ → 0.<br />
Lema 6.2.12 Sea 0 < p < ∞ y f n ∈ L p una sucesión <strong>de</strong> Cauchy, entonces<br />
existe f medible y una subsucesión g n <strong>de</strong> f n tal que g n → f c.s.
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p 243<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos una subsucesión g n <strong>de</strong> f n tal que para<br />
n ≥ 1 ‖g n+1 − g n ‖ p ≤ 2 −n (para 0 < p < 1, d p (g n+1 , g n ) = ‖g n+1 −<br />
g n ‖ p p ≤ 2 −n ) y sea h n = g n+1 − g n , entonces como g n = g 1 + ∑ n−1<br />
i=1 h i<br />
basta <strong>de</strong>mostrar que <strong>la</strong> serie ∑ h i es absolutamente convergente c.s., es<br />
<strong>de</strong>cir que h = ∑ |h i |, es finita c.s., para lo cual basta ver, por 2.4.3,<br />
pág.90, que h es p–integrable. Ahora por el Lema <strong>de</strong> Fatou<br />
∫<br />
∫ ( n p<br />
∑<br />
|h| p dµ ≤ lím inf |h i |)<br />
dµ ≤ 1 < ∞,<br />
pues por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Minkowsky para p ≥ 1 y por (6.2.1(c)) para<br />
0 < p < 1<br />
i=1<br />
(6.1)<br />
(6.2)<br />
n∑<br />
n∑<br />
(p ≥ 1) ‖ |h i |‖ p ≤ ‖h i ‖ p ≤ 1,<br />
(0 < p < 1) ‖<br />
i=1<br />
n∑<br />
|h i |‖ p p ≤<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
‖h i ‖ p p ≤ 1.<br />
Teorema 6.2.13 Para 1 ≤ p ≤ ∞, (L p , ‖ ‖ p ) son espacios <strong>de</strong> Banach y<br />
para 0 < p < 1 los espacios métricos (L p , d p ) son completos.<br />
Demostración. Sea 0 < p < ∞ y f n ∈ L p una sucesión <strong>de</strong> Cauchy,<br />
entonces tanto si 0 < p < 1 como si 1 ≤ p < ∞, para todo ɛ > 0 existe<br />
un N ∈ N, para el que si m, n ≥ N<br />
∫<br />
|f n − f m | p dµ ≤ ɛ,<br />
ahora por el Lema anterior existe una subsucesión g n <strong>de</strong> f n y una función<br />
medible f tal que g n → f c.s. Veamos que f ∈ L p y que f n → f en L p .<br />
Por el Lema <strong>de</strong> Fatou tenemos para n ≥ N y g k = f nk<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
|f n − f| p dµ =<br />
lím inf<br />
k→∞<br />
|f n − f nk | p dµ ≤ lím inf<br />
k→∞<br />
|f n − f nk | p dµ ≤ ɛ<br />
por tanto f n −f ∈ L p , f = f −f n +f n ∈ L p y por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad anterior<br />
f n → f.<br />
Sea ahora p = ∞, y f n ∈ L ∞ una sucesión <strong>de</strong> Cauchy. Consi<strong>de</strong>remos<br />
el conjunto A ∈ N ∗ , unión <strong>de</strong> los conjuntos<br />
A nm = {x : |f n (x) − f m (x)| > ‖f n − f m ‖ ∞ } ∈ N ∗ ,
244 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
entonces f n (x) es <strong>de</strong> Cauchy uniformemente en los x ∈ A c , pues f n es<br />
<strong>de</strong> Cauchy y por tanto para todo ɛ > 0 existe un N ∈ N, para el que si<br />
m, n ≥ N<br />
|f n (x) − f m (x)| ≤ ‖f n − f m ‖ ∞ < ɛ,<br />
por tanto existe una función medible f, tal que f = 0 en A y para x ∈ A c ,<br />
f n (x) → f(x), a<strong>de</strong>más haciendo m → ∞ tendremos que en A c<br />
|f n (x) − f(x)| ≤ ɛ,<br />
por tanto f n − f ∈ L ∞ , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que f ∈ L ∞ y ‖f n − f‖ ∞ ≤ ɛ,<br />
por tanto f n → f (en L ∞ ).<br />
En <strong>la</strong> prueba anterior hemos <strong>de</strong>mostrado también el siguiente resultado.<br />
Teorema 6.2.14 Si f n ∈ L p es una sucesión <strong>de</strong> Cauchy, con límite f,<br />
entonces: Para p = ∞, f n (x) → f(x) l.c.s. y para 0 < p < ∞, existe<br />
una subsucesión <strong>de</strong> f n que converge c.s. a f.<br />
Nota 6.2.15 Denotemos con S(Ω, K) ó con S si no hay confusión, el<br />
conjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones simples finitas<br />
n∑<br />
s: Ω → K, s = a i I Ai<br />
<strong>la</strong>s cuales son acotadas, {|s| > máx{|a i |}} = ∅, por tanto están en L ∞<br />
y<br />
‖s‖ ∞ ≤ máx{|a i |} < ∞.<br />
A continuación <strong>de</strong>mostraremos que S es <strong>de</strong>nso en L ∞ y que<br />
i=1<br />
˜S = {s ∈ S : µ{s ≠ 0} < ∞},<br />
es <strong>de</strong>nso en L p para 0 < p < ∞, pero antes veamos que ˜S ⊂ L p para<br />
todo p,<br />
n∑<br />
∫<br />
s ∈ S ∩ L p ⇔ s = a i I Ai , |s| p dµ = ∑ |a i | p µ(A i ) < ∞<br />
⇔ s =<br />
i=1<br />
n∑<br />
a i I Ai , µ(A i ) < ∞ para a i ≠ 0,<br />
i=1<br />
⇔ s ∈ S, µ{s ≠ 0} < ∞ ⇔ s ∈ ˜S.
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p 245<br />
Proposición 6.2.16 ˜S es <strong>de</strong>nso en L p para 0 < p < ∞ y S en L ∞ .<br />
Demostración. Sea 0 < p ≤ ∞ y f ∈ L p , basta <strong>de</strong>mostrar que<br />
existe una sucesión <strong>de</strong> funciones simples s n ∈ L p con |s n | ≤ |f|, tal que<br />
para 0 < p < 1, d p (s n , f) → 0 y para 1 ≤ p ≤ ∞, ‖s n − f‖ p → 0.<br />
Esencialmente ya lo hemos visto en (2.2.9), para K = R, pues existe<br />
una sucesión <strong>de</strong> funciones simples |s n | ≤ |f|, tal que s n (x) → f(x) y<br />
<strong>la</strong> convergencia es uniforme en cada conjunto en el que f es acotada,<br />
por tanto si p = ∞, como el conjunto A c = {x : |f(x)| > ‖f‖ ∞ } es<br />
localmente nulo y f está acotada en A por ‖f‖ ∞ < ∞, tendremos que<br />
para todo ɛ > 0 existe un N tal que para n ≥ N y todo x ∈ A<br />
|s n (x) − f(x)| ≤ ɛ ⇒ ‖s n − f‖ ∞ ≤ ɛ,<br />
y si 0 < p < ∞, como |s n − f| ≤ 2|f| que es p–integrable, tendremos por<br />
el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, pág.96 que ∫ |s n − f| p dµ → 0.<br />
Para K = C se aplica a <strong>la</strong> parte real y a <strong>la</strong> imaginaria <strong>de</strong> f y se<br />
concluye por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad triangu<strong>la</strong>r.<br />
Nota 6.2.17 Recor<strong>de</strong>mos que <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong> un espacio normado (métrico)<br />
X , es un espacio normado (métrico) completo X , tal que X es<br />
un subespacio <strong>de</strong>nso <strong>de</strong> X (el cual existe y es único, ver Hewitt–<br />
Stromberg, p.77). En estos términos el resultado anterior nos dice que<br />
cada espacio <strong>de</strong> Banach L p es <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong> un mismo espacio ˜S, con<br />
<strong>la</strong> norma ‖ ‖ p ; y L ∞ <strong>la</strong> <strong>de</strong> S, con ‖ ‖ ∞ .<br />
Por último veremos, como consecuencia <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> aproximación<br />
(1.7.8) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 53, un caso particu<strong>la</strong>r en el que L p es separable,<br />
es <strong>de</strong>cir contiene un subconjunto <strong>de</strong>nso y numerable.<br />
Proposición 6.2.18 Sea 0 < p < ∞ y µ σ–finita en A = σ(C), con C<br />
numerable, entonces L p es separable.<br />
Demostración. Sea A n ∈ A una partición <strong>de</strong> Ω, con µ(A n ) < ∞ y<br />
consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong>s siguientes extensiones <strong>de</strong> C<br />
C 0 = C ∪ {A 1 , A 2 , . . . , A n , . . .}<br />
C 1 = {A ∈ A : A ∈ C 0 , ó A c ∈ C 0 }<br />
C 2 = {B 1 ∩ · · · ∩ B n : n ∈ N, B i ∈ C 1 }<br />
C 3 = {C 1 ∪ · · · ∪ C m : m ∈ N, C i ∈ C 2 }
246 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
<strong>la</strong>s cuales son numerables y C 3 es un álgebra que genera A. Consi<strong>de</strong>remos<br />
ahora el conjunto numerable <strong>de</strong> funciones simples <strong>de</strong> L p<br />
S ′ = {<br />
n∑<br />
r i I Ei : r i ∈ Q, E i ∈ C 3 , disjuntos y µ(E i ) < ∞},<br />
i=1<br />
(en el caso K = C consi<strong>de</strong>ramos los r i ∈ Q + iQ) y veamos que es <strong>de</strong>nso<br />
en L p , para lo cual aplicamos el resultado anterior y basta <strong>de</strong>mostrar<br />
que dada una función simple s = ∑ n<br />
i=1 a iI Bi ∈ S ∩ L p (por tanto tal<br />
que µ(B i ) < ∞), para todo ɛ > 0 hay una función f = ∑ n<br />
i=1 r iI Ei ∈ S ′ ,<br />
tal que ‖s − f‖ p ≤ ɛ. Haremos el caso 1 ≤ p < ∞, el caso 0 < p < 1 es<br />
simi<strong>la</strong>r. Primero elegimos r i ∈ Q, próximos a a i , tales que<br />
‖<br />
n∑<br />
a i I Bi −<br />
i=1<br />
n∑<br />
r i I Bi ‖ p ≤<br />
i=1<br />
n∑<br />
|a i − r i |‖I Bi ‖ p ≤ ɛ/2,<br />
y ahora aplicando el Teorema <strong>de</strong> aproximación (1.7.8), pág.53 elegimos<br />
los E i , tales que<br />
‖<br />
n∑<br />
r i I Bi −<br />
i=1<br />
n∑<br />
r i I Ei ‖ p ≤<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
|r i |‖I Bi△E i<br />
‖ p ≤ ɛ/2.<br />
i=1<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 6.2.1 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita. Demostrar que<br />
{λ ∈ M(A, R) : λ ≪ µ},<br />
es un subespacio vectorial cerrado <strong>de</strong>l espacio <strong>de</strong> Banach M(A, R), que es<br />
isomorfo a L 1(Ω, A, µ, R). Dar un isomorfismo.<br />
Ejercicio 6.2.2 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f : Ω → C medible.<br />
Demostrar que µ f (B) = µ[f −1 (B)] es una medida en B(C), y que si<br />
f ∈ L ∞, entonces<br />
K = {z ∈ C : µ f [B(z, ɛ)] > 0, ∀ɛ > 0},<br />
es un compacto, don<strong>de</strong> B(z, ɛ) = {z ′ : |z ′ − z| < ɛ} y que<br />
‖f‖ ∞ = sup{|z| : z ∈ K}. (Sol.)
6.2. Los espacios <strong>de</strong> Banach L p 247<br />
Ejercicio 6.2.3 Demostrar que si 0 < r < p < s < ∞, entonces L r ∩ L s ⊂<br />
L p ⊂ L r + L s. (Sol.)<br />
Ejercicio 6.2.4 Demostrar que si 0 < r < s < ∞ y f ∈ L r ∩ L s, entonces<br />
f ∈ L p, para todo p ∈ [r, s]; que <strong>la</strong> función<br />
∫<br />
φ(p) = log |f| p dµ,<br />
es convexa en [r, s] y que ‖f‖ p ≤ máx{‖f‖ r, ‖f‖ s}. (Sol.)<br />
Ejercicio 6.2.5 Demostrar que un espacio normado E es completo sii para cada<br />
sucesión x n ∈ E<br />
∑<br />
‖xn‖ < ∞ ⇒ ∑ x n es convergente. (Sol.)<br />
Ejercicio 6.2.6 Demostrar <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r generalizada:<br />
Si 1 ≤ p 1, . . . , p n ≤ ∞ son tales que ∑ (1/p i) = 1/r ≤ 1 y f i ∈ L pi ,<br />
entonces<br />
n∏<br />
n∏<br />
n∏<br />
f i ∈ L r, y ‖ f i‖ r ≤ ‖f i‖ pi .<br />
i=1<br />
Ejercicio 6.2.7 Demostrar que si f, g ∈ L p para 0 < p < 1, entonces<br />
i=1<br />
i=1<br />
‖f + g‖ p ≤ 2 1 p −1 (‖f‖ p + ‖g‖ p). (Sol.)<br />
Ejercicio 6.2.8 Demostrar que si f ∈ L p<br />
‖f‖ r → ‖f‖ ∞, cuando r → ∞. (Sol.)<br />
para algún 0 < p < ∞, entonces<br />
Ejercicio 6.2.9 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y 0 < r < s < ∞, entonces<br />
L s ⊂ L r y que para f ∈ L s<br />
‖f‖ r ≤ ‖f‖ sµ(Ω) 1 r − 1 s . (Sol.)<br />
Ejercicio 6.2.10 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y f n, f son medibles, entonces:<br />
(a) Si f n → f c.s., entonces f n → f en medida (es <strong>de</strong>cir que para todo<br />
ɛ > 0, µ{|f n − f| > ɛ} → 0).<br />
(b) Si f n → f en L p (con 1 ≤ p ≤ ∞), entonces f n → f en medida. (Sol.)<br />
Ejercicio 6.2.11 Demostrar <strong>la</strong> Desigualdad <strong>de</strong> Jensen, es <strong>de</strong>cir que si µ(Ω) =<br />
1, f : Ω → (a, b) es medible e integrable y ϕ: (a, b) → R es convexa, entonces<br />
(∫ ) ∫<br />
ϕ f dµ ≤ ϕ ◦ f dµ. (Sol.)
248 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
Ejercicio 6.2.12 Demostrar que si µ(Ω) = 1 y f, g son medibles y positivas y<br />
tales que fg ≥ 1, entonces<br />
∫ ∫<br />
f dµ · g dµ ≥ 1. (Sol.)<br />
Ejercicio 6.2.13 Demostrar que si 0 < r < s ≤ ∞, entonces l r ⊂ l s. (Sol.)<br />
6.3. Espacio dual<br />
A lo <strong>la</strong>rgo <strong>de</strong> <strong>la</strong> lección enten<strong>de</strong>remos que E, E 1 y E 2 son espacios<br />
normados sobre K = R ó C.<br />
Definición. Dada una aplicación lineal T : E 1 → E 2 , <strong>de</strong>finimos su norma<br />
como<br />
‖T ‖ = sup{‖T (x)‖/‖x‖ : 0 ≠ x ∈ E 1 },<br />
y diremos que T es acotada si ‖T ‖ < ∞.<br />
Nota 6.3.1 Enten<strong>de</strong>mos que sobre cada elemento opera <strong>la</strong> norma que le<br />
correspon<strong>de</strong>, aunque <strong>la</strong>s <strong>de</strong>notemos igual por comodidad. Por otra parte<br />
en <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición anterior po<strong>de</strong>mos restringirnos a los x con ‖x‖ = 1, sin<br />
que el supremo cambie, pues para r ∈ K y x ∈ E 1 , ‖T (rx)‖ = |r|‖T (x)‖.<br />
Por último observemos que T es acotada si y sólo si existe k ∈ [0, ∞),<br />
tal que para cualquier x ∈ E 1<br />
‖T (x)‖ ≤ k‖x‖,<br />
y que ‖T ‖ es el ínfimo <strong>de</strong> estas constantes k.<br />
No toda aplicación lineal entre espacios normados es continua, como<br />
tampoco tiene por qué ser acotada. A continuación vemos que sin<br />
embargo estas dos cosas son equivalentes.<br />
Teorema 6.3.2 Para una aplicación lineal T : E 1 → E 2 son equivalentes:<br />
(a) T es uniformemente continua.<br />
(b) T es continua en un punto.<br />
(c) T es acotada.
6.3. Espacio dual 249<br />
Demostración. (a)⇒(b) Obvio.<br />
(b)⇒(c) Supongamos que T es continua en y, entonces para todo<br />
ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si ‖x − y‖ ≤ δ, entonces ‖T (x − y)‖ =<br />
‖T (x)−T (y)‖ ≤ ɛ, es <strong>de</strong>cir que si ‖z‖ ≤ δ, entonces ‖T (z)‖ ≤ ɛ. Se sigue<br />
que para todo x ≠ 0, si l<strong>la</strong>mamos z = δx/‖x‖, ‖z‖ = δ y<br />
(c)⇒(a) Es obvio pues<br />
‖T (x)‖ = ‖x‖‖T (z)‖/δ ≤ (ɛ/δ)‖x‖.<br />
‖T (x) − T (y)‖ = ‖T (x − y)‖ ≤ ‖T ‖‖x − y‖.<br />
Teorema 6.3.3 Sean E 1 y E 2 K–espacios normados, entonces el conjunto<br />
B(E 1 , E 2 ) <strong>de</strong> <strong>la</strong>s aplicaciones lineales continuas T : E 1 → E 2 , con <strong>la</strong> suma<br />
(T 1 +T 2 )(x) = T 1 (x)+T 2 (x) y el producto por esca<strong>la</strong>res (aT )(x) = aT (x)<br />
y el operador norma <strong>de</strong>finido al principio <strong>de</strong> <strong>la</strong> lección, es un espacio<br />
normado. A<strong>de</strong>más es <strong>de</strong> Banach si E 2 es <strong>de</strong> Banach.<br />
Demostración. Si T 1 , T 2 ∈ B(E 1 , E 2 ) entonces se tiene que T 1 +T 2 ∈<br />
B(E 1 , E 2 ), pues es lineal y acotada<br />
‖(T 1 + T 2 )(x)‖ ≤ ‖T 1 (x)‖ + ‖T 2 (x)‖ ≤ (‖T 1 ‖ + ‖T 2 ‖)‖x‖,<br />
y como consecuencia ‖T 1 + T 2 ‖ ≤ ‖T 1 ‖ + ‖T 2 ‖, el resto <strong>de</strong> propieda<strong>de</strong>s<br />
son también elementales. Veamos que es completo si lo es E 2 , para ello<br />
sea T n una sucesión <strong>de</strong> Cauchy, entonces<br />
‖T n (x) − T m (x)‖ ≤ ‖T n − T m ‖‖x‖,<br />
y por tanto T n (x) ∈ E 2 es <strong>de</strong> Cauchy y por tanto tiene límite T (x),<br />
veamos que T es lineal, continua y que ‖T n − T ‖ → 0. Es lineal pues si<br />
x, y ∈ E 1 , entonces<br />
‖T (x + y) − T (x) − T (y)‖ ≤ ‖T (x + y) − T n (x + y)‖+<br />
+ ‖T n (x) − T (x)‖ + ‖T n (y) − T (y)‖ → 0,<br />
y para a ∈ K, ‖T (ax)−aT (x)‖ ≤ ‖T (ax)−T n (ax)‖+‖aT n (x)−aT (x)‖ →<br />
0. Ahora como T n es <strong>de</strong> Cauchy, para todo ɛ > 0 existe un N ∈ N tal<br />
que para n, m ≥ N, ‖T n − T m ‖ ≤ ɛ, por tanto<br />
‖T n (x) − T m (x)‖ ≤ ‖T n − T m ‖‖x‖ ≤ ɛ‖x‖,
250 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
para todo x y tomando límite cuando n → ∞ se sigue que para todo x<br />
y m ≥ N, ‖T (x) − T m (x)‖ ≤ ɛ‖x‖, por tanto T − T m ∈ B(E 1 , E 2 ), por<br />
tanto T ∈ B(E 1 , E 2 ) y ‖T − T m ‖ ≤ ɛ, para todo m ≥ N.<br />
Definición. Dado un espacio normado E, <strong>de</strong>notaremos con E ′ el espacio<br />
vectorial dual algebraico <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones lineales f : E → K, y con E ∗ =<br />
B(E, K) el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones lineales continuas, al que l<strong>la</strong>maremos<br />
dual topológico o simplemente dual.<br />
Teorema 6.3.4 El dual E ∗ <strong>de</strong> un espacio normado E es un espacio <strong>de</strong><br />
Banach con <strong>la</strong> norma <strong>de</strong>finida en él<br />
‖f‖ = sup{|f(x)| : ‖x‖ ≤ 1}.<br />
Demostración. Es una simple consecuencia <strong>de</strong> (6.3.3), pues K es<br />
completo.<br />
Definición. Diremos que una aplicación T : E 1 → E 2 es una isometría<br />
si es lineal y para cualquier x ∈ E 1<br />
‖T (x)‖ = ‖x‖.<br />
Diremos que es un isomorfismo si a<strong>de</strong>más es sobre.<br />
Nota 6.3.5 Observemos que una isometría siempre es inyectiva, pues al<br />
ser lineal<br />
‖T (x) − T (y)‖ = ‖T (x − y)‖ = ‖x − y‖,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> también se sigue que conserva <strong>la</strong>s distancias.<br />
Nota 6.3.6 Hay una aplicación lineal y continua natural entre un espacio<br />
normado E y su bidual E ∗∗ , dada por<br />
π : E −→ E ∗∗ , π(x) = ˆx, ˆx(f) = f(x),<br />
que está bien <strong>de</strong>finida, es <strong>de</strong>cir que ˆx ∈ E ∗∗ , es obvio pues ˆx es lineal y<br />
acotada, ya que<br />
|ˆx(f)| = |f(x)| ≤ ‖x‖ · ‖f‖ ⇒ ‖ˆx‖ ≤ ‖x‖,<br />
y π es lineal y continua, pues ‖π(x)‖ = ‖ˆx‖ ≤ ‖x‖, por tanto ‖π‖ ≤ 1.<br />
A<strong>de</strong>más como consecuencia <strong>de</strong>l
6.3. Espacio dual 251<br />
Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach 6.3.7 Sea E un espacio normado, F ⊂ E<br />
un subespacio y f 0 ∈ F ∗ , entonces existe f ∈ E ∗ , tal que f |F = f 0 y<br />
‖f‖ = ‖f 0 ‖.<br />
se tiene que π es una isometría, pues basta consi<strong>de</strong>rar para cada x ≠ 0,<br />
<strong>la</strong> recta F = {λx} y f 0 (λx) = λ‖x‖, para <strong>la</strong> que ‖f 0 ‖ = 1; y por el<br />
teorema existe f, extensión <strong>de</strong> f 0 con ‖f‖ = 1, por tanto<br />
‖x‖ = |f(x)| = |ˆx(f)| ≤ ‖ˆx‖.<br />
Por tanto π es inyectiva, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que E es isomorfo a π(E). En<br />
general π no es sobre, pero en caso <strong>de</strong> serlo —π(E) = E ∗∗ —, diremos que<br />
E es reflexivo, en cuyo caso es <strong>de</strong> Banach, pues lo es E ∗∗ y son isomorfos.<br />
Observemos que no hemos dicho que E sea reflexivo si es isomorfo a su<br />
bidual E ∗∗ , sino “que lo sea con <strong>la</strong> aplicación natural π”. De hecho hay<br />
un ejemplo <strong>de</strong> R.C. James (ver comentarios al final <strong>de</strong>l tema), <strong>de</strong> un<br />
espacio <strong>de</strong> Banach isomorfo a su bidual, pero no reflexivo. En <strong>la</strong> siguiente<br />
lección veremos que los espacios L p , para 1 < p < ∞ son reflexivos.<br />
Finalizamos <strong>la</strong> lección analizando el dual topológico <strong>de</strong> un simple<br />
espacio normado como es el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones continuas en el<br />
intervalo I = [a, b]<br />
C(I) = {f : I → R : continuas},<br />
con <strong>la</strong> norma <strong>de</strong>l supremo. Con lo que veremos <strong>la</strong> profunda re<strong>la</strong>ción<br />
existente entre <strong>la</strong>s medidas finitas en los borelianos <strong>de</strong> I y <strong>la</strong>s funciones<br />
lineales y continuas en C(I). Estos hechos y sus generalizaciones forman<br />
<strong>la</strong> base para muchas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s aplicaciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida.<br />
Sea µ una medida finita en B(I). Entonces el funcional<br />
∫<br />
Λ: C(I) −→ R, Λ(f) = f dµ,<br />
es lineal y positivo, es <strong>de</strong>cir que si f ≥ 0, entonces Λ(f) ≥ 0. Veremos<br />
en el primer Teorema <strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Riesz (10.3.1), pág.331, que<br />
estos son los únicos funcionales lineales y positivos <strong>de</strong> C(I).<br />
A<strong>de</strong>más en este caso particu<strong>la</strong>r si consi<strong>de</strong>ramos en C(I) <strong>la</strong> norma <strong>de</strong>l<br />
supremo, entonces Λ es continuo, pues<br />
∫ ∫<br />
‖Λ(f)‖ = | f dµ| ≤ |f| dµ ≤ µ(I)‖f‖ ∞ ,
252 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
y ‖Λ‖ ≤ ‖µ‖. Y si tenemos una medida real µ, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir el funcional<br />
lineal y continuo<br />
∫<br />
Λ(f) = f dµ,<br />
pues es diferencia <strong>de</strong> dos funcionales lineales y continuos<br />
∫ ∫ ∫<br />
f dµ = f dµ + − f dµ − = λ + (f) − Λ − (f).<br />
Veremos que el segundo Teorema <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz (10.3.7),<br />
pág.337, asegura que todo funcional lineal y continuo en C(I), es <strong>de</strong>cir<br />
<strong>de</strong> C(I) ∗ , es <strong>de</strong> esta forma.<br />
6.4. El espacio dual <strong>de</strong> L p<br />
Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y sean 1 ≤ p, q ≤ ∞, conjugados.<br />
Entonces para cada g ∈ L q po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir el funcional<br />
∫<br />
T g : L p → K, T g (f) = fg dµ,<br />
y puesto que si f 1 ≈ f 2 , se tiene T g (f 1 ) = T g (f 2 ) (pues f 1 g = f 2 g c.s),<br />
entonces po<strong>de</strong>mos exten<strong>de</strong>r T g <strong>de</strong>l modo obvio a L p<br />
T g : L p −→ K,<br />
<strong>la</strong> cual es lineal y continua, es <strong>de</strong>cir T g ∈ L ∗ p, puesto que <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad<br />
<strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r nos dice que para cualquier f ∈ L p<br />
|T g (f)| ≤ ‖g‖ q ‖f‖ p ⇒ ‖T g ‖ ≤ ‖g‖ q ,<br />
po<strong>de</strong>mos entonces <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> siguiente aplicación<br />
T : L q −→ L ∗ p, g → T (g) = T g ,
6.4. El espacio dual <strong>de</strong> L p 253<br />
pero a<strong>de</strong>más si g 1 , g 2 ∈ L q y g 1 ≈ g 2 , entonces T (g 1 ) = T (g 2 ), pues para<br />
todo f ∈ L p , fg 1 = fg 2 c.s. y<br />
∫ ∫<br />
T g1 (f) = fg 1 dµ = fg 2 dµ = T g2 (f),<br />
y por tanto T induce una aplicación lineal, que l<strong>la</strong>mamos igual<br />
T : L q −→ L ∗ p, g → T (g) = T g ,<br />
y se tiene el siguiente resultado —que es uno <strong>de</strong> aquellos a los que<br />
hacíamos referencia cuando <strong>de</strong>finimos L ∞ —.<br />
Teorema 6.4.1 Para 1 ≤ p, q ≤ ∞ conjugados, <strong>la</strong> aplicación anterior<br />
T : L q −→ L ∗ p es una isometría.<br />
Demostración. Tenemos que <strong>de</strong>mostrar que para todo g ∈ L q ,<br />
‖T (g)‖ = ‖g‖ q , pero ya hemos visto que ‖T (g)‖ = ‖T g ‖ ≤ ‖g‖ q , por<br />
tanto basta <strong>de</strong>mostrar <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad. A<strong>de</strong>más si ‖g‖ q = 0 el resultado<br />
es obvio, por tanto po<strong>de</strong>mos suponer que ‖g‖ q > 0<br />
Para p = 1, q = ∞, tomemos g ∈ L ∞ y un 0 < ɛ < ‖g‖ ∞ , entonces<br />
el conjunto C = {|g(x)| > ‖g‖ ∞ − ɛ} no es localmente nulo, por tanto<br />
existe un medible B ⊂ C, con 0 < µ(B) < ∞. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> función<br />
<strong>de</strong> L 1 ,<br />
{ g<br />
|g|<br />
, en B,<br />
f =<br />
0, en B c ,<br />
para <strong>la</strong> que |f| = I B , ‖f‖ 1 = µ(B) y fg = I B |g|, por tanto<br />
∫ ∫<br />
(‖g‖ ∞ − ɛ)µ(B) ≤ |g| dµ = fg dµ<br />
B<br />
= |T g (f)| ≤ ‖T g ‖‖f‖ 1 = ‖T g ‖µ(B),<br />
por tanto ‖g‖ ∞ − ɛ ≤ ‖T g ‖ y como esto es cierto para todo ɛ > 0, se<br />
tiene ‖g‖ ∞ ≤ ‖T g ‖ y por tanto <strong>la</strong> igualdad.<br />
Para p > 1, q < ∞, tomemos g ∈ L q , con ‖g‖ q > 0, por tanto<br />
B = {g ≠ 0} es σ–finito y µ(B) > 0, por tanto B no es localmente nulo<br />
y ‖I B ‖ ∞ = 1. Ahora si <strong>de</strong>finimos<br />
{ g<br />
|g|<br />
, si g ≠ 0,<br />
f =<br />
2−q 0, si g = 0,
254 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
tendremos que f ∈ L p , pues para q = 1 y p = ∞, |f| = I B , por tanto<br />
‖f‖ ∞ = 1 y fg = |g| y para 1 < p, q < ∞, |f| = |g| q−1 , por tanto<br />
|f| p = |g| q = fg, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> f ∈ L p y en cualquiera <strong>de</strong> los dos casos<br />
∫ ∫<br />
|g| q dµ = fg dµ = T g (f) = |T g (f)| ≤ ‖T g ‖‖f‖ p ,<br />
por tanto ‖g‖ q ≤ ‖T g ‖.<br />
La cuestión que nos p<strong>la</strong>nteamos ahora es si <strong>la</strong> isometría<br />
T : L q ↩→ L ∗ p,<br />
<strong>de</strong>l resultado anterior, es sobre y por tanto T es un isomorfismo entre<br />
L q y L ∗ p. Demostraremos que:<br />
Para 1 < p, q < ∞ L q ≈ L ∗ p es cierto siempre.<br />
Para p = 1 L ∞ ≈ L ∗ 1 es cierto si µ es σ–finita, (también en ciertas<br />
condiciones topológicas y nuestro espacio es Hausdorff y localmente compacto,<br />
como veremos en <strong>la</strong> lección 10.5, página 340, <strong>de</strong>l tema <strong>de</strong> medida<br />
y topología).<br />
Y para p = ∞ <strong>la</strong> contestación es negativa, T no establece en general<br />
un isomorfismo entre L 1 y L ∗ ∞. De hecho si µ es finita <strong>la</strong> isometría T<br />
es sobre si y sólo si L 1 es finito dimensional y si y sólo si L ∞ es finito<br />
dimensional (ver Cohn, p.153, ej.3).<br />
Pero antes <strong>de</strong> establecer estos resultados necesitamos otros previos.<br />
Lema 6.4.2 Sean p y q conjugados con 1 ≤ p < ∞, φ ∈ L ∗ p, g ∈ L q y<br />
E ∈ A tales que para todo B ∈ A, con µ(B) < ∞<br />
∫<br />
φ(I B∩E ) = I B g dµ,<br />
entonces ‖g‖ q ≤ ‖φ‖.<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos ϖ, T g : L p → K, <strong>de</strong>finidos por<br />
∫<br />
ϖ(f) = φ(fI E ), T g (f) = fg dµ,<br />
|ϖ(f)| = |φ(fI E )| ≤ ‖φ‖‖fI E ‖ p ≤ ‖φ‖‖f‖ p ,<br />
por tanto ‖ϖ‖ ≤ ‖φ‖ es acotada, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> ϖ, T g ∈ L ∗ p y por hipótesis<br />
coinci<strong>de</strong>n en <strong>la</strong>s funciones indicador I B ∈ ˜S y por linealidad en todo ˜S y<br />
como este es <strong>de</strong>nso en L p , ϖ = T g , por tanto ‖g‖ q = ‖T g ‖ = ‖ϖ‖ ≤ ‖φ‖.
6.4. El espacio dual <strong>de</strong> L p 255<br />
Lema 6.4.3 Sea 1 ≤ q ≤ ∞ y sea g : Ω → K medible para <strong>la</strong> que<br />
existen g n ∈ L q , tales que |g n | ↑ |g| y sup ‖g n ‖ q < ∞, entonces g ∈ L q y<br />
‖g n ‖ q → ‖g‖ q .<br />
Demostración. Para q < ∞ ‖g n ‖ q ≤ ‖g n+1 ‖ q ↑ sup ‖g n ‖ q y se sigue<br />
<strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91 que<br />
∫<br />
∫<br />
|g| q dµ = lím |g n | q dµ = sup ‖g n ‖ q q < ∞,<br />
y para q = ∞ como ‖g n ‖ ∞ ≤ sup m ‖g m ‖ ∞ = k < ∞, {|g n (x)| > k} es<br />
localmente nulo, como también lo es<br />
{|g| > k} ⊂ ∪{|g n (x)| > k},<br />
por tanto g ∈ L ∞ y ‖g‖ ∞ ≤ k. A<strong>de</strong>más como ‖g n ‖ ∞ ≤ ‖g n+1 ‖ ∞ ≤<br />
‖g‖ ∞ , pues<br />
{|g n | > c} ⊂ {|g n+1 | > c} ⊂ {|g| > c},<br />
(y si uno es localmente nulo también el <strong>de</strong> su izquierda), tenemos que<br />
‖g n ‖ ∞ ↑ k = ‖g‖ ∞ .<br />
Lema 6.4.4 Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y para A ∈ A consi<strong>de</strong>remos el espacio <strong>de</strong><br />
medida (A, A A , µ A ). Entonces <strong>la</strong> aplicación<br />
s: L p (A) −→ L p (Ω), g −→ s(g) = g A ,<br />
para g A (x) = g(x) si x ∈ A y g A (x) = 0 si x ∈ A c , es una sección <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
aplicación restricción<br />
r : L p (Ω) −→ L p (A), f −→ r(f) = f |A ,<br />
(r ◦ s = id) que es una isometría, ‖g‖ p = ‖g A ‖ p . A<strong>de</strong>más si φ ∈ L ∗ p(Ω),<br />
entonces s ∗ (φ) = φ ◦ s = φ A ∈ L ∗ p(A), que hace conmutativo el diagrama<br />
L p (A)<br />
φ A ↘<br />
s<br />
−→<br />
K<br />
↙ φ<br />
L p (Ω)<br />
verifica φ A (f) = φ(f A ) y ‖φ A ‖ ≤ ‖φ‖.<br />
Demostración. Es trivial.
256 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
Lema 6.4.5 Sea (Ω, A, µ) σ–finito, entonces existe h ∈ L 1 (µ) positiva y<br />
una probabilidad λ(A) = ∫ hdµ, tal que para cada p ∈ [1, ∞)<br />
A<br />
Φ p : L p (λ) −→ L p (µ), Φ p (f) = h 1/p f,<br />
son isomorfismos isométricos (para p = ∞, L ∞ (λ) = L ∞ (µ) y Φ ∞ =<br />
Id).<br />
Demostración. Sea A n ∈ A una partición <strong>de</strong> Ω, con 0 < µ(A n ) <<br />
∞, (que po<strong>de</strong>mos pedir que sean positivos es simple, basta unir los <strong>de</strong><br />
medida nu<strong>la</strong> con cualquier A n <strong>de</strong> medida positiva) y consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong><br />
función h ∈ L 1 estrictamente positiva y <strong>la</strong> probabilidad λ<br />
h(x) =<br />
∫<br />
λ(A) =<br />
A<br />
∞∑<br />
n=1<br />
h dµ =<br />
1<br />
2 n µ(A n ) I A n<br />
,<br />
∞∑<br />
n=1<br />
µ(A ∩ A n )<br />
2 n µ(A n ) ,<br />
para <strong>la</strong> que N ∗ (µ) = N (µ) = N (λ) = N ∗ (λ), pues µ es σ–finita, λ finita<br />
y λ ≪ µ ≪ λ, por tanto L ∞ (µ) = L ∞ (λ). Ahora para 1 ≤ p < ∞, <strong>la</strong><br />
biyección lineal Φ p es isometría pues<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
|f| p dλ = |f| p h dµ = |Φ p (f)| p dµ ⇒ ‖f‖ p = ‖Φ p (f)‖ p .<br />
Lema 6.4.6 Toda aplicación lineal y continua F : E 1 → E 2 entre espacios<br />
normados, <strong>de</strong>fine otra entre los duales, a <strong>la</strong> que l<strong>la</strong>mamos dual o<br />
traspuesta<br />
F ∗ : E ∗ 2 → E ∗ 1 , F ∗ (f) = f ◦ F,<br />
a<strong>de</strong>más si F es un isomorfismo isométrico F ∗ también lo es.<br />
Demostración. Es un simple ejercicio.<br />
Teorema 6.4.7 (a) Para 1 < p, q < ∞ conjugados, <strong>la</strong> isometría T : L q →<br />
L ∗ p es sobre, por tanto ambos espacios son isomorfos.<br />
(b) Si el espacio es σ–finito, T : L ∞ → L ∗ 1 es sobre, por tanto son<br />
isomorfos.
6.4. El espacio dual <strong>de</strong> L p 257<br />
Demostración. Queremos <strong>de</strong>mostrar que T es sobre, es <strong>de</strong>cir que<br />
dada φ ∈ L ∗ p, existe g ∈ L q tal que<br />
∫<br />
∀f ∈ L p , φ(f) = fg dµ.<br />
Caso I.- Para µ finita y 1 ≤ p < ∞.<br />
En tal caso I A ∈ L p para cada A ∈ A y po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir<br />
λ: A −→ K, λ(A) = φ(I A ),<br />
<strong>la</strong> cual es aditiva, pues para A, B ∈ A disjuntos,<br />
λ(A ∪ B) = φ(I A∪B ) = φ(I A + I B ) = λ(A) + λ(B),<br />
y es numerablemente aditiva por (4.3.4) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 166, pues dados<br />
A n ↓ ∅, λ(A n ) → 0, pues<br />
|λ(A n )| = |φ(I An )| ≤ ‖φ‖‖I An ‖ p = ‖φ‖µ(A n ) 1/p → 0,<br />
(observemos que esto es cierto para p < ∞), por tanto λ ∈ M(A, K) y<br />
λ ≪ µ, pues si<br />
µ(A) = 0 ⇒ I A = 0 c.s. ⇒ I A ≈ 0<br />
⇒ λ(A) = φ(I A ) = 0,<br />
se sigue <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym que existe g ∈ L 1 , tal que<br />
∫<br />
φ(I A ) = λ(A) = I A g dµ,<br />
para todo A medible. Ahora si <strong>de</strong>mostramos que g ∈ L q hemos terminado,<br />
pues en tal caso T (g) = T g ∈ L ∗ p y φ(f) = T g (f), para f = I A , por<br />
tanto por linealidad para f ∈ ˜S y por <strong>de</strong>nsidad para toda f ∈ L p .<br />
Veamos entonces que g ∈ L q , lo cual es obvio si es acotada, pues µ<br />
es finita y por lo mismo g n = gI En ∈ L q , para E n = {|g| ≤ n}. Ahora<br />
bien para cada B ∈ A<br />
∫<br />
∫<br />
φ(I B∩En ) = I B∩En g dµ = I B g n dµ,<br />
y por el Lema (6.4.2), ‖g n ‖ q ≤ ‖φ‖, por tanto sup ‖g n ‖ q < ∞ y como<br />
|g n | ↑ |g|, se sigue <strong>de</strong>l Lema (6.4.3) que g ∈ L q .
258 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
Caso II.- µ es σ–finita y 1 ≤ p < ∞.<br />
Es una simple consecuencia <strong>de</strong>l caso anterior, <strong>de</strong> (6.4.5), (6.4.6) y <strong>de</strong>l<br />
diagrama conmutativo<br />
L q ⏐(λ)<br />
Φ ⏐↓<br />
q<br />
L q (µ)<br />
T<br />
−−→ L p (λ) ↑ ∗<br />
⏐ g −−→ T↑<br />
g<br />
⏐⏐ Φ ∗ p ↓<br />
⏐<br />
T<br />
−−→ L p (µ) ∗ gh 1/q −−→ T gh 1/q<br />
pues para cada f ∈ L p (λ) y 1 < p, q < ∞<br />
∫<br />
Φ ∗ p[T gh 1/q](f) = T gh 1/q(fh 1/p ) = fh 1/p gh 1/q dµ<br />
∫ ∫<br />
= fgh dµ = fgh dλ = T g (f),<br />
(para q = ∞, p = 1 y se sigue <strong>de</strong>l mismo modo) y hemos <strong>de</strong>mostrado<br />
(b) y parte <strong>de</strong> (a).<br />
Caso III.- Veamos ahora el caso general <strong>de</strong> (a), para ello consi<strong>de</strong>remos<br />
el conjunto<br />
C = {B ∈ A : (B, A B , µ B ),<br />
es σ–finito},<br />
entonces por el caso anterior y el Lema (6.4.4), para cada A ∈ C, existe<br />
g A ∈ L q , que se anu<strong>la</strong> fuera <strong>de</strong> A, tal que para toda f ∈ L p (para p < ∞)<br />
∫<br />
φ(fI A ) = fg A dµ, ‖g A ‖ q ≤ ‖φ‖,<br />
y si consi<strong>de</strong>ramos una sucesión C n ∈ C, tal que<br />
‖g Cn ‖ q ↑ sup{‖g A ‖ q : A ∈ C} = k ≤ ‖φ‖ < ∞,<br />
entonces C = ∪C n ∈ C. Demostremos que <strong>la</strong>s funciones g A se so<strong>la</strong>pan<br />
bien, que ‖g C ‖ q alcanza el supremo k y que g C ∈ L q satisface el resultado.<br />
Si A, B ∈ C, A ⊂ B, entonces para cada f ∈ L p<br />
∫<br />
∫<br />
fg A dµ = φ(fI A ) = φ(fI A I B ) = fI A g B dµ,<br />
por lo que T (g A ) = T (I A g B ) y como T es inyectiva, g A = g B I A c.s. De<br />
esto se sigue por un <strong>la</strong>do que ‖g A ‖ q ≤ ‖g B ‖ q y por tanto como C n ⊂ C<br />
‖g Cn ‖ q ≤ ‖g C ‖ q ≤ k ⇒ ‖g C ‖ q = k ⇒ ‖g B ‖ q ≤ ‖g C ‖ q ∀B ∈ C,
6.4. El espacio dual <strong>de</strong> L p 259<br />
y por otro que para A, D ∈ C disjuntos, g A∪D I A = g A c.s. y g A∪D I D =<br />
g D c.s. y por tanto g A∪D = g A + g D c.s., pero a<strong>de</strong>más para q < ∞<br />
|g A∪D | q = |g A | q + |g D | q c.s. ⇒ ‖g A∪D ‖ q q = ‖g A ‖ q q + ‖g D ‖ q q,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que para todo D ∈ C disjunto con C, g D = 0 c.s., pues<br />
‖g C ‖ q q ≤ ‖g C ‖ q q + ‖g D ‖ q q = ‖g C∪D ‖ q q ≤ ‖g C ‖ q q,<br />
por tanto g C ∈ L q satisface el resultado, pues si f ∈ L p entonces<br />
∫<br />
φ(f) = φ(fI C ) + φ(fI C c) = fg C dµ,<br />
pues si l<strong>la</strong>mamos h = fI C c ∈ L p , φ(h) = 0, ya que D = {h ≠ 0} es<br />
σ–finito, por tanto C, D ∈ C y son disjuntos, por tanto g D = 0 c.s. y<br />
∫<br />
φ(h) = φ(hI D ) = hg D dµ = 0.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 6.4.8 Para 1 < p < ∞, los espacios L p son reflexivos.<br />
Demostración. Para q el conjugado <strong>de</strong> p, tenemos los isomorfismos<br />
T p : L p → L ∗ q y T q : L q → L ∗ p y para <strong>la</strong> isometría natural π : L p → L ∗∗<br />
p ,<br />
π = (Tq ∗ ) −1 ◦ T p , es <strong>de</strong>cir Tq ∗ ◦ π = T p , pues si f ∈ L p y g ∈ L q ,<br />
∫<br />
T p (f)(g) = fg dµ = T q (g)(f) = ˆf(T q (g)) ⇒<br />
⇒<br />
T p (f) = ˆf ◦ T q = T ∗ q ( ˆf) = T ∗ q [π(f)].<br />
Veamos algunos contraejemplos re<strong>la</strong>cionados con <strong>la</strong> isometría <strong>de</strong> (6.4.1).<br />
Ejemplo 6.4.9 Veamos que para p = 1 <strong>la</strong> isometría entre L ∞ y L ∗ 1 no es<br />
necesariamente sobre si el espacio no es σ–finito. Sea (Ω = R, A, µ) con<br />
µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar y<br />
A = {A ⊂ R : A ó A c es numerable},<br />
en cuyo caso si f ∈ L 1 , el medible {f ≠ 0} es σ–finito por (2.4.24),<br />
pág.101, por tanto finito ó numerable y para P = (0, ∞) y N f = {f ≠ 0},<br />
P ∩ N f ∈ A y po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir<br />
∫<br />
φ: L 1 −→ R, φ(f) = f dµ,<br />
P ∩N f
260 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
(don<strong>de</strong> observemos que el conjunto en el que integramos <strong>de</strong>be ser medible).<br />
Veamos que φ es lineal<br />
∫<br />
∫<br />
φ(f + g) = f + g =<br />
f + g<br />
P ∩N f+g P ∩(N f ∪N g)<br />
∫<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
=<br />
f +<br />
g = f + g,<br />
P ∩(N f ∪N g) P ∩(N f ∪N g) P ∩N f P ∩N g<br />
y continua, pues es acotada<br />
∫<br />
|φ(f)| ≤ |f|dµ ≤ ‖f‖ 1 ,<br />
P ∩N f<br />
por tanto ‖φ‖ ≤ 1. Sin embargo no existe ninguna g ∈ L ∞ , tal que<br />
∫<br />
φ(f) = fg dµ,<br />
pues en caso contrario tomando f = I {a} ∈ L 1 ,<br />
∫<br />
∫<br />
g(a) = fg dµ = φ(f) =<br />
P ∩{a}<br />
que vale 0 si a ≤ 0 y 1 si a > 0, es <strong>de</strong>cir g = I (0,∞) , pero (0, ∞) no es<br />
medible.<br />
Veamos ahora que para p = ∞ el resultado no es válido aunque el<br />
espacio sea σ–finito como lo es ([0, 1], B[0, 1], m). En este caso se tiene que<br />
C[0, 1] ⊂ L ∞ y dada ˜φ ∈ C[0, 1] ∗ , ˜φ(f) = f(0), existe por el Teorema <strong>de</strong><br />
Hahn–Banach (6.3.7), pág.251, φ ∈ L ∗ ∞, tal que φ(f) = f(0) para toda<br />
f ∈ C[0, 1] y para esta φ no pue<strong>de</strong> existir g ∈ L 1 , tal que φ(f) = ∫ fgdm,<br />
pues tomando una sucesión f n ∈ C[0, 1], con f n (0) = 1, f n = 0 en [1/n, 1]<br />
y lineal en [0, 1/n], tendríamos que f n ↓ 0 c.s. y por el TCD ∫ f n g → 0,<br />
mientras que φ(f n ) = 1.<br />
f,<br />
Ejercicios<br />
Ejercicio 6.4.1 Sea g ∈ L ∞, <strong>de</strong>mostrar que para 1 ≤ p < ∞, si f ∈ L p,<br />
gf ∈ L p, que <strong>la</strong> aplicación G: L p → L p, G(f) = gf, es lineal y continua y que<br />
‖G‖ = ‖g‖ ∞. (Sol.)
6.5. Tipos <strong>de</strong> convergencias 261<br />
6.5. Tipos <strong>de</strong> convergencias<br />
Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y f n , f : Ω → K funciones medibles.<br />
En esta lección consi<strong>de</strong>raremos distintas nociones <strong>de</strong> convergencia<br />
<strong>de</strong> f n a f y estudiaremos sus re<strong>la</strong>ciones.<br />
Definición. Diremos que f n → f casi seguro (c.s) si<br />
µ{x ∈ Ω : f n (x) no converge a f(x)} = 0.<br />
Diremos que f n → f casi uniformemente si para todo ɛ > 0 existe<br />
A ∈ A tal que f n converge uniformemente a f en A y µ(A c ) < ɛ.<br />
Diremos que f n → f en medida si para todo ɛ > 0<br />
µ{|f n − f| ≥ ɛ} → 0.<br />
Para 0 < p ≤ ∞ diremos que f n → f (en L p ) si <strong>la</strong>s f n , f ∈ L p y<br />
d p (f n , f) → 0.<br />
Definición. Diremos que f n es <strong>de</strong> Cauchy casi seguro si<br />
µ{x ∈ Ω : f n (x) no es <strong>de</strong> Cauchy} = 0.<br />
Diremos que f n es <strong>de</strong> Cauchy casi uniformemente si para todo ɛ > 0<br />
existe A ∈ A tal que f n es <strong>de</strong> Cauchy uniformemente en A y µ(A c ) < ɛ.<br />
Diremos que f n es <strong>de</strong> Cauchy en medida si para todo ɛ > 0<br />
cuando n, m → ∞.<br />
µ{|f n − f m | ≥ ɛ} → 0,<br />
Veamos algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia en medida.<br />
Proposición 6.5.1 (Ver Munroe, p.201). (a) Si f n converge en medida<br />
a f y a g, entonces f = g c.s.<br />
(b) Si f n → f y g n → g en medida, entonces f n + g n → f + g en<br />
medida.<br />
(c) Si f n → 0 y g n → 0 en medida, entonces f n g n → 0 en medida.<br />
(d) Si f n → 0 en medida, g es medible y µ(Ω) < ∞, entonces f n g → 0<br />
en medida.<br />
(e) Si f n → f y g n → g en medida, y µ(Ω) < ∞, entonces f n g n → fg<br />
en medida.
262 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
Veamos ahora algunas <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia en L p .<br />
Proposición 6.5.2 (Ver Munroe, p.218).<br />
(a) Si µ(Ω) < ∞, entonces para cualesquiera 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞,<br />
f n → f en L q ⇒ f n → f en L p .<br />
(b) Si 1 ≤ p, q ≤ ∞ son conjugados, f n → f (L p ) y g ∈ L q , entonces<br />
f n g → fg (L 1 ).<br />
El siguiente resultado es una simple consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad<br />
<strong>de</strong> Tchebycheff (2.4.23), pág.101.<br />
Proposición 6.5.3 Si f n → f (L p ), para un 0 < p < ∞, entonces f n →<br />
f en medida.<br />
Ejemplo 6.5.4 Pue<strong>de</strong>n existir sucesiones f n ∈ L p que converjan uniformemente<br />
a una f ∈ L p y sin embargo no converjan en L p , como<br />
(R, B(R), m), f n = (1/n)I [0,n] ,<br />
sin embargo si µ(Ω) < ∞, esto no ocurre.<br />
Proposición 6.5.5 (Ver Bartle, p.67). Sea µ(Ω) < ∞, f n ∈ L p , para<br />
un 0 < p < ∞. Si f n → f uniformemente entonces f ∈ L p y f n → f en<br />
L p .<br />
Ejemplo 6.5.6 Por otra parte es posible que f n , f ∈ L p , f n → f puntualmente,<br />
y por tanto c.s. y sin embargo no se <strong>de</strong> <strong>la</strong> converegencia en<br />
L p —aunque µ(Ω) < ∞—, como en<br />
([0, 1], B[0, 1], m), f n = nI (0,1/n) ,<br />
sin embargo si <strong>la</strong> sucesión está dominada por una función <strong>de</strong> L p , esto no<br />
ocurre.<br />
Proposición 6.5.7 Sea 0 < p < ∞ y f n ∈ L p tal que f n → f c.s. Si<br />
existe g ∈ L p tal que |f n | ≤ g, entonces f ∈ L p y f n → f en L p .
6.5. Tipos <strong>de</strong> convergencias 263<br />
Ejemplo 6.5.8 Cabe pensar si <strong>la</strong> convergencia en L p implica <strong>la</strong> c.s., pero<br />
no es así:<br />
E 1 = [0, 1], E 2 = [0, 1/2], E 3 = [1/2, 1], E 4 = [0, 1/3],<br />
E 5 = [1/3, 2/3], E 6 = [2/3, 1], . . .<br />
y consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en [0, 1] y <strong>la</strong>s funciones<br />
f = 0, f n = I En ,<br />
entonces aunque f n no converge puntualmente en ningún punto, po<strong>de</strong>mos<br />
tomar subsucesiones <strong>de</strong> f n que si convergen.<br />
Proposición 6.5.9 Si f n → f casi uniformemente, entonces f n → f en<br />
medida y f n → f c.s.<br />
Ejemplo 6.5.10 El recíproco es falso como prueba el siguiente ejemplo<br />
(ver Ash, p.95): Consi<strong>de</strong>remos en [0, ∞) <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue y <strong>la</strong>s<br />
funciones<br />
f = 0, f n = I [n,n+1/n] .<br />
Sin embargo si es cierto el siguiente resultado, <strong>de</strong>l que <strong>la</strong> parte correspondiente<br />
a <strong>la</strong> convergencia c.s. se <strong>de</strong>be a Riesz.<br />
Proposición 6.5.11 Si f n → f en medida, entonces existe una subsucesión<br />
f nk → f casi uniformemente y por tanto f nk → f en medida y<br />
f nk → f c.s.<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> esto se tiene el apartado (c) <strong>de</strong>l siguiente resultado,<br />
en el que se prueba que <strong>la</strong> “completitud”vista para L p , es válida<br />
para todas <strong>la</strong>s convergencias.<br />
Teorema 6.5.12 (a) Para 0 < p ≤ ∞ , sean f n ∈ L p , entonces f n es <strong>de</strong><br />
Cauchy en L p si y sólo si existe f ∈ L p tal que f n → f en L p .<br />
(b) f n es una sucesión <strong>de</strong> Cauchy c.s. si y sólo si existe f medible<br />
tal que f n → f c.s.<br />
(c) f n es una sucesión <strong>de</strong> Cauchy en medida si y sólo si existe f<br />
medible tal que f n → f en medida.<br />
(d) f n es una sucesión <strong>de</strong> Cauchy casi uniformemente si y sólo si<br />
existe f medible tal que f n → f casi uniformemente.
264 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
En (6.5.3) hemos visto que <strong>la</strong> convergencia L p implica <strong>la</strong> convergencia<br />
en medida. En general el recíproco es falso, sin embargo sí es cierto<br />
cuando <strong>la</strong> convergencia es dominada.<br />
Esto pue<strong>de</strong> probarse utilizando (6.5.7) y (6.5.11).<br />
Teorema 6.5.13 Sea 0 < p < ∞ y f n ∈ L p . Si f n → f en medida y<br />
existe g ∈ L p tal que |f n | ≤ g, entonces f ∈ L p y f n → f en L p .<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> esto a su vez tenemos una versión <strong>de</strong>l teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, pág.96.<br />
Teorema 6.5.14 Sea |f n | ≤ g con g ∈ L 1 . Si f n → f en medida, entonces<br />
f ∈ L 1 y<br />
∫ ∫<br />
lím f n dµ = f dµ.<br />
En cuanto a <strong>la</strong> convergencia L ∞ tenemos lo siguiente.<br />
Teorema 6.5.15 Sea µ(Ω) < ∞. Si f n → f en L ∞ , entonces f n → f en<br />
L p para todo 0 < p ≤ ∞.<br />
A continuación vemos unas propieda<strong>de</strong>s que caracterizan <strong>la</strong> convergencia<br />
en L p . Po<strong>de</strong>mos observar que <strong>la</strong>s dos últimas se satisfacen cuando<br />
<strong>la</strong> sucesión f n está dominada por una función <strong>de</strong> L p . Denotaremos para<br />
cada f n ∈ L p<br />
∫<br />
λ n (A) = |f n | p dµ.<br />
Teorema De convergencia <strong>de</strong> Vitali 6.5.16 (Ver Bartle, p.76). Sea<br />
1 ≤ p < ∞ y f n , f ∈ L p . Entonces f n → f en L p si y sólo si se verifican<br />
<strong>la</strong>s condiciones:<br />
(a) f n → f en medida.<br />
(b) Para cada ɛ > 0 existe B ∈ A tal que µ(B) < ∞ y λ n (B) < ɛ,<br />
para todo n ∈ N.<br />
(c) Para cada ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si A ∈ A y µ(A) < δ<br />
entonces λ n (A) < ɛ para todo n ∈ N.<br />
La siguiente es una útil caracterización <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia c.s. que<br />
nos permitirá dar un recíproco parcial <strong>de</strong> (6.5.9) para µ finita.<br />
A
6.5. Tipos <strong>de</strong> convergencias 265<br />
Lema 6.5.17 Sea µ(Ω) < ∞ . Entonces f n → f c.s. si y sólo si para<br />
cada ɛ > 0<br />
[ ∞<br />
]<br />
lím µ ⋃<br />
{|f k − f| ≥ ɛ} = 0.<br />
n→∞<br />
k=n<br />
Teorema 6.5.18 (a) De Egoroff. Sea µ(Ω) < ∞. Si f n → f c.s. entonces<br />
f n → f casi uniformemente.<br />
(b) Sea |f n | ≤ g y g ∈ L 1 . Si f n → f c.s. entonces f n → f casi<br />
uniformemente.<br />
(c) De Lebesgue. Si µ(Ω) < ∞ ó existe g ∈ L 1 tal que |f n | ≤ g,<br />
entonces f n → f c.s. implica f n → f en medida.<br />
Por último damos una caracterización análoga a (6.5.17) para sucesiones<br />
<strong>de</strong> Cauchy c.s., que nos será muy útil cuando estudiemos <strong>la</strong>s leyes<br />
<strong>de</strong> los gran<strong>de</strong>s números.<br />
Teorema 6.5.19 Sea µ(Ω) < ∞ . Entonces f n es <strong>de</strong> Cauchy c.s. si y<br />
sólo si para cada ɛ > 0 se tiene<br />
⎡<br />
⎤<br />
∞⋃<br />
lím µ ⎣ {|f k − f j | ≥ ɛ} ⎦ 0.<br />
n→∞<br />
j,k=n
266 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
6.6. Aplicaciones que conservan <strong>la</strong> medida<br />
Definición. Sea T : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) medible, entonces l<strong>la</strong>mamos medida<br />
imagen por T <strong>de</strong> una medida µ en A, a <strong>la</strong> medida T ∗ µ = µ T en A ′ ,<br />
tal que para cada B ∈ A ′ µ T (B) = µ(T −1 (B)).<br />
Proposición 6.6.1 Sea T : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) medible y µ una medida en<br />
A. Entonces para cada función f : Ω ′ → R medible y cada B ∈ A ′ se<br />
tiene<br />
∫ ∫<br />
f dµ T = (f ◦ T ) dµ.<br />
B<br />
T −1 (B)<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son<br />
iguales.<br />
Demostración. Para indicadores se sigue <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición, para funciones<br />
simples por aditividad, para funciones no negativas por el teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona, pág.91 y para funciones con integral <strong>de</strong>l<br />
caso anterior.<br />
Definición. Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida. Diremos que una aplicación<br />
medible T : Ω → Ω es una transformación conservando <strong>la</strong> medida<br />
si es biyectiva, su inversa es medible y µ = µ T , es <strong>de</strong>cir que para todo<br />
A ∈ A se tiene<br />
µ(A) = µ[T (A)].<br />
Ejemplo 6.6.2 Ejemplos <strong>de</strong> tales transformaciones en (R n , B(R n ), m)<br />
son <strong>la</strong>s tras<strong>la</strong>ciones, <strong>la</strong>s rotaciones, <strong>la</strong>s reflexiones,...<br />
Antes <strong>de</strong> enunciar el resultado fundamental <strong>de</strong> esta lección daremos<br />
un lema que es un paso importante hacia él.<br />
Teorema Ergódico maximal 6.6.3 Sea T una transformación conservando<br />
<strong>la</strong> medida en (Ω, A, µ). Sea f : Ω → R medible e integrable y<br />
f n+1 = T ∗ (f n ), para f 1 = f y T ∗ (f) = f ◦ T . Entonces<br />
∫<br />
∪ ∞ n=1 {x∈Ω: ∑ f dµ ≥ 0.<br />
n<br />
i=1 fi(x)≥0}
6.6. Aplicaciones que conservan <strong>la</strong> medida 267<br />
Teorema Ergódico puntual 6.6.4 Sea T una transformación conservando<br />
<strong>la</strong> medida en el espacio σ–finito (Ω, A, µ) y sea f : Ω → R medible<br />
e integrable y f n+1 = T ∗ (f n ), para f 1 = f y T ∗ (f) = f ◦ T . Entonces<br />
existe g : Ω → R medible e integrable tal que<br />
1<br />
n<br />
n∑<br />
f i (x) → g(x) c.s., T ∗ (g) = g c.s.,<br />
i=1<br />
y a<strong>de</strong>más si µ(Ω) < ∞ entonces ∫ g dµ = ∫ f dµ.<br />
Veremos mas a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte que esta función g está íntimamente re<strong>la</strong>cionada<br />
con el concepto <strong>de</strong> esperanza condicionada (ver Parthasarathy,<br />
p.254).<br />
Definición. Diremos que una transformación T conservando <strong>la</strong> medida<br />
es ergódica si para cada E ∈ A tal que T (E) = E, se tiene que µ(E) = 0<br />
ó µ(E c ) = 0.<br />
Proposición 6.6.5 T es ergódica si y sólo si cada f : Ω → R medible tal<br />
que T ∗ (f) = f c.s. es constante c.s.<br />
Como consecuencia tenemos que si T es ergódica y f : Ω → R es<br />
medible con integral finita entonces para f n+1 = T ∗ (f n ) y f 1 = f se<br />
tiene, si µ(Ω) = ∞ que<br />
1<br />
n<br />
n∑<br />
f i (x) → 0<br />
i=1<br />
c.s.<br />
pues g = 0 es <strong>la</strong> única constante integrable, y si µ(Ω) < ∞ que<br />
1<br />
n<br />
n∑<br />
f i (x) →<br />
i=1<br />
∫<br />
f dµ<br />
µ(Ω)<br />
c.s.<br />
expresión que se conoce con el nombre <strong>de</strong> Hipótesis ergódica <strong>de</strong> Boltzman<br />
(ver Yosida, p.380).<br />
Observemos que en el segundo caso el límite es el valor medio <strong>de</strong><br />
f respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong> probabilidad que µ induce en Ω, es <strong>de</strong>cir en términos<br />
probabilísticos <strong>la</strong> esperanza <strong>de</strong> f. Esta es una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s formas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s leyes<br />
<strong>de</strong> los gran<strong>de</strong>s números que estudiaremos mas a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte. Volveremos a
268 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
hab<strong>la</strong>r <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Teoría</strong> Ergódica en el siguiente tema, para funciones <strong>de</strong><br />
cuadrado integrable finito.<br />
Por último consi<strong>de</strong>raremos un resultado <strong>de</strong> muy curiosas consecuencias,<br />
aunque muy sencillo <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar.<br />
Definición. Dada una transformación conservando <strong>la</strong> medida T y un<br />
A ∈ A diremos que x ∈ A es recurrente a A si existe n ∈ N tal que<br />
T n (x) ∈ A.<br />
Teorema <strong>de</strong> Recurrencia <strong>de</strong> Poincare 6.6.6 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong><br />
medida finita y T una transformación conservando <strong>la</strong> medida. Entonces<br />
para todo A ∈ A se tiene que casi seguro todo punto <strong>de</strong> A es recurrente.<br />
Demostración. Sean B n = {x ∈ A : T n (x) /∈ A} ∈ A y B =<br />
∩B n los puntos no recurrentes <strong>de</strong> A. Entonces los conjuntos T n (B) son<br />
disjuntos pues si n, m ∈ N y x, y ∈ B son tales que<br />
T n (y) = T n+m (x) ⇒ y = T m (x) ⇒ y ∈ A c ⊂ B c ,<br />
y como µ[T n (B)] = µ(B) y µ(Ω) < ∞, µ(B) = 0.<br />
6.7. Bibliografía y comentarios<br />
Para <strong>la</strong> confección <strong>de</strong>l presente tema hemos hecho uso <strong>de</strong> los siguientes<br />
libros:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Bartle, R.G.: “The elements of integration”. John Wiley, 1966.<br />
Cohn, D.L.: “Measure theory”. Birkhauser (Boston), 1980.<br />
Munroe, M.E.: “Measure and integration”, Addison Wesley, 1971.<br />
Taylor, S.J.: “Introduction to measure and integration”. Cambridge Univ. Press,<br />
1973.<br />
Cornfeld, I.P.; Fomin, S.V.; Sinay, Y.G.: “Ergodic Theory”. Springer–Ver<strong>la</strong>g,<br />
1982.<br />
El primer espacio L p que se estudió fue, en el contexto <strong>de</strong> <strong>la</strong> recién<br />
creada <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> integración <strong>de</strong> Lebesgue, L 2 [a, b] para [a, b] ⊂ R, <strong>de</strong>l<br />
que F. Riesz y E. Fischer <strong>de</strong>mostraron en 1907 que era completo<br />
e isomorfo a l 2 . Las propieda<strong>de</strong>s fundamentales <strong>de</strong> todos los espacios
6.7. Bibliografía y comentarios 269<br />
L p [a, b] (incluido el teorema <strong>de</strong>l isomorfismo L q ∼ L ∗ p), para 1 < p < ∞,<br />
lo estudió en 1910<br />
Riesz, F.: “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen”. Math. Annalen,<br />
69, 449–497, 1910.<br />
El primero en <strong>de</strong>mostrar el teorema <strong>de</strong> isomorfismo L ∞ [a, b] ∼ L 1 [a, b] ∗ ,<br />
fue en 1919<br />
Steinhaus, H.: “Additive und stetige Funktionaloperationen”, Math. Zeit., 5, 186–<br />
221, 1919.<br />
En 1773 el francés Lagrange (1736–1813) dio una primera versión<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r, en el caso p = q = 2 y para sumas finitas<br />
(n=3), el caso finito para n arbitrario <strong>la</strong> probó en 1821 el francés<br />
A. Cauchy (1789–1857). La versión para integrales <strong>de</strong> este mismo caso<br />
p = q = 2 fue probada en 1859 por Buniakowsky y en 1885 por el<br />
alemán K.H.A. Schwarz (1843–1921) (en particu<strong>la</strong>r este caso p = q = 2<br />
se conoce como <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Cauchy–Schwarz y expresa <strong>la</strong> propiedad<br />
geométrica <strong>de</strong> que <strong>la</strong> esfera unidad <strong>de</strong> una norma que <strong>de</strong>riva <strong>de</strong> un producto<br />
interior es, en cada p<strong>la</strong>no pasando por el origen, una elipse). El<br />
caso general, para p, q conjugados, lo obtuvieron <strong>de</strong> forma in<strong>de</strong>pendiente<br />
Höl<strong>de</strong>r y Rogers para sumas<br />
Höl<strong>de</strong>r, O.: “Über einen Mittelwertsatz”. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math.-<br />
Phys. Kl., 38–47, 1889.<br />
y para integrales F.Riesz en 1910. (Para los datos anteriores y otros<br />
remitimos al lector a <strong>la</strong>s páginas 372 y 387 <strong>de</strong>l<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley–Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
En (6.5.3) hemos visto que <strong>la</strong> convergencia en L p implica <strong>la</strong> convergencia<br />
en medida. Un resultado inverso lo hemos visto en (6.5.13) y como<br />
consecuencia en (6.5.14) hemos probado una generalización <strong>de</strong>l teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada, pág.96. Respecto <strong>de</strong> esto vamos a hacer<br />
un par <strong>de</strong> comentarios.<br />
Por una parte dijimos que el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada<br />
era uno <strong>de</strong> esos resultados que distinguían el uso <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas aditivas<br />
frente a <strong>la</strong>s σ–aditivas, pues en <strong>la</strong>s primeras no es cierto en general. Sin<br />
embargo sí es cierto el siguiente teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada<br />
que pue<strong>de</strong> verse en <strong>la</strong> página 125 <strong>de</strong>l<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley–Interscience<br />
Pub., 1958.
270 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
para medidas aditivas y funciones medibles que valoran en un espacio <strong>de</strong><br />
Banach.<br />
Teorema 6.7.1 Para 1 ≤ p < ∞ y g ∈ L p se tiene que si f n ∈ L p y<br />
|f n | ≤ g, entonces f n → f en medida si y sólo si f ∈ L p y f n → f en<br />
L p .<br />
Por otra parte fue Vitali el primero en investigar el resultado mas<br />
general que tuviera como consecuencia <strong>la</strong> permutación <strong>de</strong> límite e integral<br />
<strong>de</strong> una sucesión <strong>de</strong> funciones medibles. En 1907 publica el trabajo<br />
Vitali, G.: “Sull’integrazione per serie”. Rend. Circ. Mat. <strong>de</strong> Palermo, 23, 137–155,<br />
1907.<br />
en el que se encuentra (6.5.16) y el siguiente resultado cuya <strong>de</strong>mostración<br />
pue<strong>de</strong> encontrarse en <strong>la</strong> p.212 <strong>de</strong>l Munroe ó en <strong>la</strong> p.178 <strong>de</strong>l Taylor.<br />
Teorema 6.7.2 Sean f, f n ∈ L 1 . Entonces f n → f en L 1 si y sólo si<br />
(a) f n → f en medida.<br />
(b) Dada A n ∈ A, con A n ↓ ∅, se tiene que para todo ɛ > 0, existe<br />
n ∈ N tal que si n ≥ N, entonces para todo m ∈ N<br />
∫<br />
A n<br />
|f m | dµ < ɛ.<br />
En cuanto a <strong>la</strong> convergencia en medida, l<strong>la</strong>mada en probabilidad o<br />
estocástica en <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> Probabilida<strong>de</strong>s, es una noción clásica en Matemáticas,<br />
apareciendo implícitamente en los primeros resultados sobre<br />
probabilida<strong>de</strong>s. Esta convergencia es <strong>la</strong> correspondiente a una topología<br />
que vamos a analizar.<br />
Denotemos con L el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones medibles y con L el <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong> equivalencia <strong>de</strong> funciones que coinci<strong>de</strong>n casi seguro. Consi<strong>de</strong>remos<br />
en L <strong>la</strong>s siguientes topologías:<br />
Un conjunto C ⊂ L es cerrado si dados f n → f c.s., tales que f n ∈ C,<br />
entonces f ∈ C. A esta <strong>la</strong> l<strong>la</strong>maremos <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia puntual.<br />
En el resultado siguiente <strong>de</strong>finimos otra topología que l<strong>la</strong>maremos <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> convergencia en medida.<br />
Teorema 6.7.3 Dado un espacio (Ω, A, µ) y L existe una base <strong>de</strong> entornos<br />
para una topología en L <strong>de</strong>finidos para cada f ∈ L, E ∈ A con<br />
µ(E) < ∞, y ɛ, δ > 0, <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
V (f, E, ɛ, δ) = {g ∈ L : µ{x ∈ E : |f − g| ≥ ɛ} ≤ δ}.
6.7. Bibliografía y comentarios 271<br />
A<strong>de</strong>más si µ es σ–finita se obtiene <strong>la</strong> misma topología si cambiamos<br />
µ por otra medida σ–finita con los mismos conjuntos nulos que µ.<br />
El siguiente resultado nos da <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre ambas topologías —no<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s convergencias c.s. y en medida— y complementa a (6.2.13).<br />
Teorema 6.7.4 Si (Ω, A, µ) es σ–finito, entonces <strong>la</strong>s dos topologías anteriores<br />
<strong>de</strong>finidas en L coinci<strong>de</strong>n, y pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>finirse por una métrica<br />
respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong> que L es completo.<br />
De <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este se sigue fácilmente el siguiente, que nos<br />
explica por qué lleva el nombre que lleva <strong>la</strong> segunda topología <strong>de</strong>finida<br />
en L.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 6.7.5 Si µ(Ω) < ∞ y d es <strong>la</strong> métrica que se construye en el<br />
resultado anterior, que en este caso es<br />
∫ [ ] |f − g|<br />
d(f, g) =<br />
dµ,<br />
1 + |f − g|<br />
entonces d(f n , f) → 0 si y sólo si f n → f en medida.<br />
Para estos tres resultados remitimos al lector a <strong>la</strong>s páginas 98–100<br />
<strong>de</strong>l libro<br />
Segal, I.E. and Kunze, R.A.: “Integrals and operators”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1978.<br />
El teorema <strong>de</strong> Egoroff aparece en el trabajo <strong>de</strong><br />
Egoroff, P.Th.: “Sur les suites <strong>de</strong>s fonctions mesurables”. C.R. Acad.Sci. Paris,<br />
152, 244–246, 1911.<br />
Este resultado tiene otra forma <strong>de</strong>bida a Lusin que pue<strong>de</strong> encontrarse<br />
en <strong>la</strong> p.19 <strong>de</strong>l libro<br />
Sacks, S.: “Theory of the integral”, 1937. Dover, 1964.<br />
El ejemplo citado en el tema, <strong>de</strong> un espacio <strong>de</strong> Banach isomorfo a su<br />
bidual pero no reflexivo, es <strong>de</strong> James, R.C. y se encuentra en <strong>la</strong> p. 25<br />
<strong>de</strong>l libro<br />
Lin<strong>de</strong>nstrauss,J. and Tzafriri,L.: “C<strong>la</strong>ssical Banach Spaces I y II ”. Springer–<br />
Ver<strong>la</strong>g, 1996.
272 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles<br />
El estudio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s transformaciones conservando <strong>la</strong> medida, surgió a<br />
consecuencia <strong>de</strong> ciertas consi<strong>de</strong>raciones en mecánica estadística: Supongamos<br />
que tenemos un sistema <strong>de</strong> k partícu<strong>la</strong>s cuyo estado queda <strong>de</strong>scrito<br />
por un punto <strong>de</strong> una variedad V <strong>de</strong> dimensión 6k —cada partícu<strong>la</strong> viene<br />
<strong>de</strong>terminada por su posición (3 coor<strong>de</strong>nadas) y su velocidad o su momento<br />
(otras 3 coor<strong>de</strong>nadas)—. De este modo <strong>la</strong> historia <strong>de</strong> <strong>la</strong>s k partícu<strong>la</strong>s<br />
es una trayectoria en V, <strong>la</strong> cual es una curva integral <strong>de</strong> un cierto campo<br />
tangente <strong>de</strong>finido sobre dicha variedad. El flujo T t <strong>de</strong> dicho campo nos<br />
da para cada punto x <strong>de</strong> <strong>la</strong> variedad y cada instante t, el punto T t (x)<br />
en el que se encuentra el punto x <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l tiempo t. Uno <strong>de</strong> los resultados<br />
básicos en mecánica estadística, <strong>de</strong>bido a Liouville establece<br />
que en esa variedad tenemos una medida canónica que el flujo T t <strong>de</strong>ja<br />
invariante.<br />
En <strong>la</strong> práctica k es tan gran<strong>de</strong> que no es posible observar en todo<br />
momento todas <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s <strong>de</strong>l sistema, por lo que preguntamos si es<br />
posible dar <strong>la</strong> probabilidad <strong>de</strong> que en el instante t el estado <strong>de</strong>l sistema<br />
pertenezca a un cierto subconjunto E ⊂ V .<br />
Para ser mas precisos T t es un grupo uniparamétrico, por tanto<br />
T 0 = id, T t+r = T t ◦ T r ,<br />
y aunque dado un x ∈ V es imposible en <strong>la</strong> práctica conocer todos los<br />
T t (x), para los t <strong>de</strong> un intervalo, sí es posible conocer los puntos cada<br />
cierto tiempo r, es <strong>de</strong>cir si l<strong>la</strong>mamos x 1 = x es posible conocer los puntos<br />
x 2 = T r (x), x 3 = T 2r (x) = T r [T r (x)] = T r (x 2 ), ...<br />
que si l<strong>la</strong>mamos T = T r no es otra cosa que <strong>la</strong> sucesión<br />
x n+1 = T nr (x) = T (x n ),<br />
y T es una transformación conservando <strong>la</strong> medida. Ahora si para cada<br />
n ∈ N contamos cuantos <strong>de</strong> los x 1 , . . . , x n están en E y l<strong>la</strong>mamos a<br />
este número x(n), entonces si consi<strong>de</strong>ramos que el recinto en el que se<br />
<strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>n <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s es acotado (por ejemplo que se mantienen en<br />
<strong>la</strong> atmósfera terrestre, es <strong>de</strong>cir en <strong>la</strong> capa gaseosa que ro<strong>de</strong>a <strong>la</strong> tierra)<br />
y consi<strong>de</strong>ramos fija <strong>la</strong> energía total <strong>de</strong> <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s (en particu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s<br />
velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s están acotadas), el espacio <strong>de</strong> fases está en<br />
un compacto y por tanto tiene medida finita, en cuyo caso si T es ergódica<br />
po<strong>de</strong>mos estimar <strong>la</strong> probabilidad <strong>de</strong> que <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s <strong>de</strong>finan un punto<br />
que esté en E, pues<br />
x(n)<br />
n<br />
→ P (E).
6.7. Bibliografía y comentarios 273<br />
Del mismo modo si consi<strong>de</strong>ramos una función f medible en el espacio<br />
<strong>de</strong> fases, que representa alguna medición física <strong>de</strong> <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s, po<strong>de</strong>mos<br />
conocer su valor medio sin mas que consi<strong>de</strong>rar su valor medio discreto,<br />
pues<br />
1<br />
n<br />
n∑<br />
f[T i (x)] →<br />
i=1<br />
∫<br />
f dµ<br />
µ(Ω)<br />
c.s.<br />
El teorema ergódico puntual (6.6.4) fue <strong>de</strong>mostrado por<br />
Birkhoff, G.D.: “Proof of the ergodic theorem”. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 17,<br />
656–660, 1931.<br />
y supuso el que <strong>la</strong> Hipótesis Ergódica <strong>de</strong> Maxwell–Boltzman <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría<br />
cinética <strong>de</strong> los gases, se convirtiera en una consecuencia rigurosa en el<br />
marco <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida.<br />
Otros textos que traten esta teoría son:<br />
Yosida, K.: “Functional Analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
que lo estudia en el marco <strong>de</strong> los procesos <strong>de</strong> Markov. El<br />
Cornfeld, I.P.; Fomin, S.V.; Sinay, Y.G.: “Ergodic Theory”. Springer–Ver<strong>la</strong>g,<br />
1982.<br />
que lo hace en el marco <strong>de</strong> <strong>la</strong>s varieda<strong>de</strong>s diferenciables. Y el<br />
Petersen, K.: “Ergodic Theory”. Cambridge Univ.Press, 1983.<br />
Por último remitimos al lector a <strong>la</strong> p.94 <strong>de</strong>l<br />
Arnold, V.I.: “Mecánica clásica, métodos matemáticos”. Ed. Paraninfo, 1983.<br />
en <strong>la</strong> que se da otra versión <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Recurrencia <strong>de</strong> Poincare y<br />
se comenta <strong>la</strong> siguiente paradójica consecuencia <strong>de</strong> este y el teorema <strong>de</strong><br />
Liouville:<br />
“ Si abrimos un tabique que separe una cámara que contiene un gas<br />
y una cámara en <strong>la</strong> que se ha hecho el vacío, entonces <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> un<br />
cierto tiempo, <strong>la</strong>s molécu<strong>la</strong>s <strong>de</strong>l gas se reunirán en <strong>la</strong> primera cámara”.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 6
274 Capítulo 6. Espacios <strong>de</strong> funciones medibles
Capítulo 7<br />
Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
7.1. Espacios prehilbertianos<br />
Definición. Sea K = R ó C. L<strong>la</strong>mamos producto interior sobre un K–<br />
espacio vectorial E a toda función<br />
: E × E −→ K,<br />
satisfaciendo <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
i) 0, para todo x ∈ E\{0} y = 0 si x = 0.<br />
ii) = a +b , para x, y, z ∈ E y a, b ∈ K.<br />
iii) =, para x, y ∈ E.<br />
L<strong>la</strong>maremos espacio prehilbertiano a todo K–espacio vectorial E dotado<br />
<strong>de</strong> un producto interior .<br />
Dados x, y en un espacio prehilbertiano E, se tiene que para todo<br />
λ ∈ K,<br />
0 ≤= λ 2 +2λ + ,<br />
con <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad estricta si x e y son in<strong>de</strong>pendientes, lo cual implica<br />
que el discriminante <strong>de</strong>l polinomio cuadrático es no positivo, es <strong>de</strong>cir<br />
275
276 Capítulo 7. Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
para ‖x‖ = 1/2<br />
| | ≤ ‖x‖‖y‖,<br />
que es <strong>la</strong> Desigualdad <strong>de</strong> Cauchy–Schwarz, y como consecuencia <strong>de</strong> el<strong>la</strong><br />
es fácil <strong>de</strong>mostrar que ‖ ‖ <strong>de</strong>fine una norma 1 en E.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos espacio <strong>de</strong> Hilbert a todo espacio prehilbertiano<br />
completo para <strong>la</strong> norma que <strong>de</strong>fine<br />
‖x‖ = 1/2 .<br />
Aunque en general distinguiremos en cada resultado si el espacio que<br />
consi<strong>de</strong>ramos es <strong>de</strong> Hilbert ó prehilbertiano, podríamos restringir nuestro<br />
estudio a los espacios <strong>de</strong> Hilbert sin perdida <strong>de</strong> generalidad, pues todo<br />
espacio prehilbertiano es isomorfo a un subespacio <strong>de</strong>nso <strong>de</strong> un Hilbert<br />
—en el sentido <strong>de</strong> que hay un isomorfismo lineal que conserva el producto<br />
interior—. A<strong>de</strong>más si existen dos Hilbert H 1 y H 2 <strong>de</strong> los que el nuestro<br />
es isomorfo a sendos subespacios <strong>de</strong>nsos en ellos, entonces H 1 y H 2 son<br />
isomorfos. (Ver <strong>la</strong> Nota (6.2.17), pág.245).<br />
Definición. Dado un espacio prehilbertiano E, l<strong>la</strong>maremos compleción<br />
<strong>de</strong> E al espacio <strong>de</strong> Hilbert H —<strong>de</strong>terminado salvo isomorfismos— <strong>de</strong>l<br />
que hab<strong>la</strong>mos en el párrafo anterior.<br />
La existencia <strong>de</strong> tal compleción po<strong>de</strong>mos ver<strong>la</strong> utilizando el hecho <strong>de</strong><br />
que E ∗∗ es completo (ver (6.3.4, pág.250), por tanto cada cerrado suyo<br />
será completo. Como E está inmerso isométricamente en E ∗∗ por<br />
π : x ∈ E −→ ̂x ∈ E ∗∗ ,<br />
̂x(f) = f(x),<br />
(ver <strong>la</strong> Nota (6.3.6), pág.250), basta consi<strong>de</strong>rar <strong>la</strong> c<strong>la</strong>usura H <strong>de</strong> <strong>la</strong> imagen<br />
<strong>de</strong> E por dicha inmersión en E ∗∗ .<br />
Dado un espacio <strong>de</strong> medida (positiva), (Ω, A, µ), el espacio L 2 correspondiente<br />
es <strong>de</strong> Hilbert, pues su norma está inducida por el producto<br />
interior<br />
∫<br />
= fgdµ.<br />
A<strong>de</strong>más como veremos mas a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte, estos son los únicos espacios <strong>de</strong><br />
Hilbert.<br />
1 Recor<strong>de</strong>mos que una norma en un K–espacio vectorial E es una aplicación<br />
‖ ‖: E → [0, ∞), tal que ‖x‖ = 0 sii x = 0, ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ y ‖λx‖ = |λ|‖x‖,<br />
para λ en el cuerpo K = R ó C y x, y ∈ E.
7.2. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong> Hilbert 277<br />
7.2. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
H será en esta lección un espacio prehilbertiano sobre K = R ó C.<br />
La <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Cauchy–Schwarz ‖e 1 ‖ 2 ‖e 2 ‖ 2 ≥< e 1 , e 2 > 2 , tiene<br />
dos simples consecuencias. Una es que para K = R, en cada subespacio<br />
bidimensional los puntos <strong>de</strong> norma 1 forman una elipse, pues si el subespacio<br />
está generado por e 1 , e 2 in<strong>de</strong>pendientes y l<strong>la</strong>mamos a = ‖e 1 ‖ 2 ,<br />
b = y c = ‖e 2 ‖ 2<br />
1 == ax 2 + 2bxy + cy 2 ,<br />
y como e 1 y e 2 son in<strong>de</strong>pendientes, ac > b 2 y los puntos <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
(x, y) que satisfacen esa ecuación forman una elipse. La otra <strong>la</strong><br />
exponemos en el siguiente resultado.<br />
Proposición 7.2.1 La aplicación : H 2 → K es continua y para cada<br />
x ∈ H, <strong>la</strong>s aplicaciones en H, < x, . > y < ., x > son uniformemente<br />
continuas.<br />
La siguiente es una importante caracterización <strong>de</strong> los espacios prehilbertianos.<br />
Ley <strong>de</strong>l paralelogramo 7.2.2 Un espacio normado H es prehilbertiano<br />
sii para cada x, y ∈ H<br />
‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2[‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 ].<br />
A<strong>de</strong>más en un espacio prehilbertiano po<strong>de</strong>mos recuperar el producto<br />
interior conocida <strong>la</strong> norma.<br />
Igualdad <strong>de</strong> po<strong>la</strong>rización 7.2.3 Sea H prehilbertiano y x, y ∈ H, entonces<br />
4 = ‖x + y‖ 2 − ‖x − y‖ 2 +<br />
+ i‖x + iy‖ 2 − ‖x − iy‖ 2 , si K = C,<br />
4 = ‖x + y‖ 2 − ‖x − y‖ 2 , si K = R.
278 Capítulo 7. Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
Definición. Diremos que x, y ∈ H son ortogonales, (y lo <strong>de</strong>notamos x ⊥<br />
y) si = 0. Para cada subespacio M ⊂ H, l<strong>la</strong>maremos complemento<br />
ortogonal <strong>de</strong> M al subespacio cerrado <strong>de</strong> H<br />
M ⊥ = {y ∈ H : ∀x ∈ M, y ⊥ x} = ∩ x∈M ker .<br />
Un subconjunto B ⊂ H se dice ortogonal si dados dos puntos distintos<br />
x, y ∈ B, es x ⊥ y. Diremos que B es ortonormal si a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> ortogonal<br />
satisface que todo x ∈ B es <strong>de</strong> ‖x‖ = 1.<br />
Un simple cálculo <strong>de</strong>muestra el siguiente resultado<br />
Teorema <strong>de</strong> Pitágoras 7.2.4 Para cualesquiera x 1 , . . . , x n ∈ H ortogonales<br />
‖ ∑ x i ‖ 2 = ∑ ‖x i ‖ 2 .<br />
Des<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> aproximación los conjuntos<br />
ortonormales son <strong>de</strong> una gran importancia, pues se pue<strong>de</strong> dar una<br />
solución explícita al siguiente problema: Dado un subespacio y un punto<br />
exterior a él, encontrar un punto <strong>de</strong>l subespacio que diste lo menos<br />
posible <strong>de</strong>l punto exterior.<br />
Teorema 7.2.5 Sea B = {e 1 , . . . , e n } ⊂ H ortonormal y x ∈ H. Entonces<br />
‖x − ∑ a i e i ‖ es mínimo sii a i =, para i = 1, . . . , n.<br />
Demostración. Es consecuencia <strong>de</strong> que <strong>la</strong> última expresión alcanza<br />
el valor mínimo cuando los b i = a i .<br />
‖x − ∑ b i e i ‖ 2 ==<br />
= ‖x‖ 2 − ∑ b i ā i − ∑ ¯bi a i + ∑ b i ¯bi<br />
= ‖x‖ 2 − ∑ |a i | 2 + ∑ |b i − a i | 2 .<br />
Definición. Dado un subconjunto B = {e i : i ∈ I} <strong>de</strong> H ortonormal,<br />
l<strong>la</strong>maremos coeficiente i–esimo <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> un punto x ∈ H re<strong>la</strong>tivo a<br />
B a .<br />
Definición. Dado un subconjunto B ⊂ H y una función f : B → [0, ∞],<br />
l<strong>la</strong>maremos<br />
∑<br />
f(x),<br />
x∈B
7.2. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong> Hilbert 279<br />
al supremo <strong>de</strong> todas <strong>la</strong>s sumas finitas f(x 1 ) + · · · + f(x n ), don<strong>de</strong> los<br />
x i ∈ B.<br />
Es fácil <strong>de</strong>mostrar que<br />
∑<br />
∫<br />
f(x) =<br />
x∈B<br />
B<br />
f dµ,<br />
en (B, σ(B), µ) don<strong>de</strong> σ(B) es <strong>la</strong> σ–álgebra generada por los puntos <strong>de</strong><br />
B y µ es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que l 2 (B) = L 2 (B, σ(B), µ).<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición y <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Pitágoras (7.2.4)<br />
tenemos el siguiente resultado.<br />
Desigualdad <strong>de</strong> Bessel 7.2.6 Sea B ⊂ H ortonormal y x ∈ H, entonces<br />
∑<br />
| | 2 ≤ ‖x‖ 2 .<br />
y∈B<br />
Demostración. Basta <strong>de</strong>mostrar que para cada subconjunto finito<br />
{b 1 , . . . , b n } ⊂ B y c i =, ∑ n<br />
i=1 |c i| 2 ≤ ‖x‖ 2 ,<br />
0 ≤ ‖x − ∑ c i b i ‖ 2 =<br />
= ‖x‖ 2 − ∑ c i − ∑ c i + ∑ |c i | 2<br />
= ‖x‖ 2 − ∑ c i c i − ∑ c i c i + ∑ |c i | 2 = ‖x‖ 2 − ∑ |c i | 2 .<br />
Nota 7.2.7 De aquí se sigue trivialmente que a lo sumo hay una cantidad<br />
numerable <strong>de</strong> y ∈ B tales que ≠ 0 y que , ∈ l 2 (B).<br />
Por tanto po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> aplicación lineal<br />
F : H −→ l 2 (B), F (x) =<br />
<strong>la</strong> cual es continua pues por el resultado anterior<br />
⎛<br />
⎞1/2<br />
‖F (x)‖ 2 = | | 2 ⎠ ≤ ‖x‖,<br />
⎝ ∑ y∈B<br />
y ‖F ‖ ≤ 1. A continuación vemos que si H es completo F es sobre.
280 Capítulo 7. Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
Teorema <strong>de</strong> Riesz–Fischer 7.2.8 Si H es <strong>de</strong> Hilbert y B ⊂ H ortonormal,<br />
entonces para cada f ∈ l 2 (B) existe un x ∈ H tal que f =.<br />
Estos resultados nos caracterizan los conjuntos {t i ∈ K, i ∈ I} que<br />
son los coeficientes <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> algún punto x <strong>de</strong> un espacio <strong>de</strong> Hilbert<br />
H re<strong>la</strong>tivos a un subconjunto B = {e i ∈ H : i ∈ I} ortonormal. Ya que<br />
(7.2.6) asegura que es necesario que<br />
∑<br />
|t i | 2 < ∞,<br />
i∈I<br />
mientras que (7.2.8) nos dice que es suficiente.<br />
En (7.2.5) hemos visto que pue<strong>de</strong> darse explícitamente <strong>la</strong> aproximación<br />
óptima <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> un espacio prehilbertiano H re<strong>la</strong>tiva al<br />
subespacio generado por un subconjunto ortonormal y finito. En general<br />
no existe tal caracterización para un conjunto C cualquiera, sin embargo<br />
po<strong>de</strong>mos dar <strong>la</strong> existencia y <strong>la</strong> unicidad <strong>de</strong> aproximación óptima <strong>de</strong> un<br />
punto x ∈ H re<strong>la</strong>tiva a un subconjunto C que sea convexo —es <strong>de</strong>cir tal<br />
que tx + (1 − t)y ∈ C para x, y ∈ C y t ∈ [0, 1]—, y cerrado.<br />
Teorema 7.2.9 Sea H prehilbertiano, entonces:<br />
(a) Si C ⊂ H es convexo, completo y no vacío, entonces para cada<br />
x ∈ H existe un único y ∈ C aproximación óptima <strong>de</strong> x en C, es <strong>de</strong>cir<br />
tal que<br />
‖x − y‖ = ínf{‖x − z‖ : z ∈ C}.<br />
(b) Sea C un subespacio cerrado en H, entonces y ∈ C es aproximación<br />
óptima <strong>de</strong> x ∈ H en C sii x − y ∈ C ⊥ . En este caso a y <strong>la</strong><br />
l<strong>la</strong>maremos proyección <strong>de</strong> x en C.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> proyección 7.2.10 Sea M un subespacio completo <strong>de</strong> un<br />
espacio prehilbertiano H (ó un subespacio cerrado <strong>de</strong> un espacio <strong>de</strong> Hilbert).<br />
Entonces existen únicas transformaciones lineales<br />
P : H −→ M, Q : H −→ M ⊥ ,<br />
tales que:<br />
(a) Para cada x ∈ H, x = P (x) + Q(x),<br />
(b) Para cada x ∈ M, P (x) = x y para cada x ∈ M ⊥ , Q(x) = x.<br />
(c) ‖x − P (x)‖ ≤ ‖x − y‖, para cualesquiera x ∈ H, y ∈ M.<br />
(d) Para cada x ∈ H,<br />
‖x‖ 2 = ‖P (x)‖ 2 + ‖Q(x)‖ 2 .
7.3. C<strong>la</strong>sificación <strong>de</strong> los Espacios <strong>de</strong> Hilbert 281<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> este resultado po<strong>de</strong>mos enten<strong>de</strong>r el nombre <strong>de</strong><br />
complemento ortogonal M ⊥ <strong>de</strong> un subespacio cerrado M en un espacio<br />
<strong>de</strong> Hilbert H, pues se tiene que<br />
H = M ⊕ M ⊥ .<br />
En H prehilbertiano po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> aplicación<br />
σ : H −→ H ∗ ,<br />
σ(x) = σ x =,<br />
(obsérvese que en el caso complejo, /∈ H ∗ ), que es isometría pues<br />
‖σ x ‖ = sup{| | : ‖y‖ ≤ 1} = ‖x‖<br />
ya que por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Cauchy–Schwartz | | ≤ ‖y‖‖x‖ ≤<br />
‖x‖, y tomando y = x/‖x‖ tenemos <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad. Pero a<strong>de</strong>más<br />
tenemos que si H es <strong>de</strong> Hilbert, entonces σ es isomorfismo isométrico.<br />
Teorema <strong>de</strong> Riesz 7.2.11 Si H es <strong>de</strong> Hilbert σ es un isomorfismo y <strong>la</strong><br />
norma <strong>de</strong> H ∗ viene inducida por el producto interior,<br />
= .<br />
Coro<strong>la</strong>rio 7.2.12 Si H es <strong>de</strong> Hilbert entonces H ∗ es <strong>de</strong> Hilbert y H es<br />
reflexivo, es <strong>de</strong>cir <strong>la</strong> isometría canónica<br />
π : x ∈ H → ̂x ∈ H ∗∗ ,<br />
̂x(ω) = ω(x),<br />
es sobre.<br />
7.3. C<strong>la</strong>sificación <strong>de</strong> los Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
Nota 7.3.1 Dado B ⊂ H enten<strong>de</strong>remos por < B > el subespacio generado<br />
por B y por s(B) el mínimo subespacio cerrado que contiene a B.<br />
Es fácil ver que<br />
s(B) = Adh < B > .
282 Capítulo 7. Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
Teorema <strong>de</strong> ortonormalización <strong>de</strong> Gramm–Schmidt 7.3.2 Sea H un espacio<br />
prehilbertiano y A ⊂ H un subconjunto <strong>de</strong> vectores in<strong>de</strong>pendientes.<br />
Entonces existe B ⊂ H ortonormal tal que card(A) = card(B) y<br />
< A >=< B >.<br />
Definición. Diremos que B ⊂ H es una base ortonormal para H si B<br />
es ortonormal y dado C ortonormal con B ⊂ C ⊂ H, entonces B = C.<br />
Teorema 7.3.3 Sea H <strong>de</strong> Hilbert y B ortonormal, entonces son equivalentes:<br />
(a) B es una base ortonormal.<br />
(b) B ⊥ = {0}.<br />
(c) s(B) = Adh < B >= H.<br />
(d) Para cada x ∈ H se tiene 2<br />
x = ∑ y∈B<br />
y = ∑ y∈B<br />
σ y (x)y.<br />
(e) I<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval. Para x, y ∈ H<br />
= ∑ z∈B<br />
= ∑ z∈B<br />
σ x (z)σ y (z).<br />
(f) Si x ∈ H<br />
‖x‖ 2 = ∑ | | 2 = ∑ |σ x (z)| 2 = ∑ |σ z (x)| 2 .<br />
z∈B<br />
z∈B<br />
z∈B<br />
Nos preguntamos ahora si todo espacio prehilbertiano tiene una base<br />
ortonormal: Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> familia <strong>de</strong> todos los conjuntos ortonormales<br />
<strong>de</strong> H, or<strong>de</strong>nemos esta familia por inclusión. Como <strong>la</strong> unión <strong>de</strong> una<br />
colección creciente <strong>de</strong> conjuntos ortonormales es ortonormal, el lema <strong>de</strong><br />
Zorn garantiza <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> un conjunto ortonormal máximal.<br />
Proposición 7.3.4 Cada espacio prehilbertiano tiene una base ortonormal.<br />
A<strong>de</strong>más como consecuencia <strong>de</strong> (7.3.3) tenemos los siguientes resultados.<br />
2 La igualdad x = ∑ y∈B y se entien<strong>de</strong> <strong>de</strong>l siguiente modo: por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad<br />
<strong>de</strong> Bessel (7.2.6), pág.279, hay a lo sumo una colección numerable <strong>de</strong> y n ∈ B<br />
tales que ≠ 0, y x n = ∑ n<br />
i=1 y i → x.
7.4. Teorema Ergódico en L 2 283<br />
Coro<strong>la</strong>rio 7.3.5 Dos bases ortonormales en un espacio <strong>de</strong> Hilbert tienen<br />
el mismo cardinal.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 7.3.6 Sea H <strong>de</strong> Hilbert y B ⊂ H ortonormal, entonces:<br />
(a) B es una base ortonormal para el espacio <strong>de</strong> Hilbert s(B).<br />
(b) Si x ∈ H y P (x) es <strong>la</strong> proyección <strong>de</strong> x sobre s(B), entonces<br />
P (x) = ∑ z∈B<br />
z.<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> (7.3.4) y (7.3.5) po<strong>de</strong>mos ahora c<strong>la</strong>sificar todos<br />
los posibles espacios <strong>de</strong> Hilbert.<br />
Teorema 7.3.7 Sea S un conjunto arbitrario y H un espacio <strong>de</strong> Hilbert<br />
con una base ortonormal B con card(B) = card(S), entonces hay un<br />
isomorfismo isométrico entre H y l 2 (S).<br />
En cuanto a los espacios <strong>de</strong> Hilbert separables tenemos.<br />
Teorema 7.3.8 Un espacio <strong>de</strong> Hilbert H es separable sii tiene una base<br />
ortonormal finita o numerable. Si <strong>la</strong> base tiene n elementos H es isomorfo<br />
a K n y si es numerable H es isomorfo a l 2 (N).<br />
7.4. Teorema Ergódico en L 2<br />
En (6.6.4), página 267 <strong>de</strong>l tema anterior vimos el teorema ergódico<br />
puntual para funciones <strong>de</strong> L 1 <strong>de</strong> un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ). Si <strong>la</strong><br />
función está en L 2 hay una forma alternativa <strong>de</strong> aquel teorema en el que<br />
<strong>la</strong> convergencia casi seguro es reemp<strong>la</strong>zada por <strong>la</strong> convergencia en media<br />
cuadrática.
284 Capítulo 7. Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
Teorema 7.4.1 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita, T : Ω → Ω<br />
una transformación conservando <strong>la</strong> medida, f 1 ∈ L 2 , f n+1 = T ∗ (f n ) =<br />
f 1 ◦ T n y<br />
g n = 1 n∑<br />
f i ,<br />
n<br />
entonces existe g ∈ L 2 tal que g n → g (en L 2 ) y verifica:<br />
(i) T ∗ (g) = g c.s.<br />
(ii) ‖g‖ 2 ≤ ‖f 1 ‖ 2 .<br />
(iii) Se tiene =, para cada f ∈ L 2 tal que T ∗ (f) = f.<br />
Ahora como consecuencia <strong>de</strong> (7.4.1) y lo visto en el tema anterior,<br />
tenemos.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 7.4.2 En <strong>la</strong>s condiciones anteriores y suponiendo que T es<br />
ergódica existe c ∈ R tal que g = c c.s. y a<strong>de</strong>más<br />
(i) Si µ(Ω) = ∞, entonces g = 0 c.s.<br />
(ii) Si µ(Ω) < ∞, entonces<br />
1<br />
n<br />
n∑<br />
i=1<br />
i=1<br />
f 1 [T i (x)] −→ 1 ∫<br />
µ(Ω)<br />
f 1 dµ (L 2 ).
7.4. Teorema Ergódico en L 2 285<br />
Bibliografía y comentarios<br />
Para <strong>la</strong> confección <strong>de</strong>l presente tema hemos hecho uso <strong>de</strong> los siguientes<br />
libros:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Day, M.M.: “Normed linear spaces”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1973.<br />
Muhkerjea, A. and Pothoven, K.: “Real and functional Analysis”. Plenum Press,<br />
1978.<br />
Taylor, S.J.: “Introduction to measure and integration”. Cambridge Univ. Press,<br />
1973.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”, Tata McGraw–Hill, 1974.<br />
A continuación sugerimos una bibliografía complementaria.<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley–Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
Halmos, P.R.: “Introduction to Hilbert Space”, 1951. Reed. <strong>de</strong> Chelsea Pub. Co.,<br />
1972.<br />
Halmos, P.R.: “A Hilbert Space problem book”. Van Nostrand, 1967.<br />
Halmos, P.R.: “Lectures on ergodic theory”. Chelsea Pub. Co., 1956.<br />
Cornfeld, I.P.; Fomin, S.V.; Sinay, Y.G.: “Ergodic Theory”. Springer–Ver<strong>la</strong>g,<br />
1982.<br />
Petersen, K.: “Ergodic Theory”. Cambridge Univ.Press, 1983.<br />
Yosida, K.: “Functional Analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
Zaanen, A.C.: “Integration”. North–Hol<strong>la</strong>nd, 1967.<br />
En 1888 Peano <strong>de</strong>fine en esencia el concepto <strong>de</strong> espacio vectorial<br />
sobre R. Entre 1904 y 1910 D. Hilbert estudia en <strong>de</strong>talle los espacios<br />
l 2 (<strong>de</strong> sucesiones <strong>de</strong> cuadrado sumable) y L 2 (<strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> cuadrado<br />
integrable). Aunque Hilbert no habló <strong>de</strong> espacios infinitamente dimensionales,<br />
<strong>la</strong>s i<strong>de</strong>as básicas estaban en sus estudios a los que llegó a partir<br />
<strong>de</strong> los trabajos sobre ecuaciones integrales <strong>de</strong> I.Fredholm.<br />
Es curioso observar como a pesar <strong>de</strong>l grado <strong>de</strong> abstracción que en su<br />
momento representó el espacio <strong>de</strong> Hilbert, este encontrase rápida aplicación<br />
en <strong>la</strong> mo<strong>de</strong>rna <strong>Teoría</strong> cuántica, <strong>de</strong> <strong>la</strong> que recomendamos el siguiente
286 Capítulo 7. Espacios <strong>de</strong> Hilbert<br />
texto, que son <strong>la</strong>s notas <strong>de</strong> un curso dado por Schwartz en <strong>la</strong> Universidad<br />
<strong>de</strong> Buenos Aires<br />
Schwartz, L.: “Matemática y física cuántica”. Univ. Buenos Aires, 1958.<br />
La axiomatización <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong> Hilbert no se hizo hasta 1920<br />
por Von Neumann para el caso separable y hasta 1934–35 por Lowig<br />
and Rellich para el caso general. (Ver Dunford, N. and Schwartz,<br />
J.T., p.372).<br />
La caracterización <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong> Hilbert, l<strong>la</strong>mada Ley <strong>de</strong>l paralelogramo<br />
aparece en el trabajo<br />
Jordan, P. and Neumann, J.: “On inner products in linear metric spaces”. Ann.<br />
of Math., 2, 36, 719–723, 1935.<br />
Uno <strong>de</strong> los resultados mas importantes en un espacio <strong>de</strong> Hilbert es<br />
<strong>la</strong> I<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> Parseval, <strong>la</strong> cual tiene sus raíces en una igualdad para<br />
series <strong>de</strong> potencias dada por Parseval en 1799. Para ver una aplicación<br />
<strong>de</strong> esta <strong>de</strong>sigualdad a <strong>la</strong> célebre <strong>de</strong>sigualdad isoperimétrica, referimos al<br />
lector a <strong>la</strong> p.322 <strong>de</strong>l libro<br />
Berger, M. and Gostiaux, B.: “Differential geometry: Manifolds, curves and surfaces”.<br />
Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1988.<br />
ó a <strong>la</strong> p.211 <strong>de</strong>l libro<br />
Parthasarathy, K.R.: “Introduction to probability and measure”, McMil<strong>la</strong>n Press,<br />
1980.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 7
Capítulo 8<br />
Espacios <strong>de</strong> Banach<br />
8.1. El Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach<br />
El teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach es uno <strong>de</strong> los mas importantes resultados<br />
<strong>de</strong>l Análisis funcional. Una <strong>de</strong> sus consecuencias inmediatas es <strong>la</strong><br />
existencia <strong>de</strong> funcionales lineales y continuos en espacios normados, es<br />
<strong>de</strong>cir que el dual topológico <strong>de</strong> un espacio normado no es vacío.<br />
Pero su importancia fundamental resi<strong>de</strong> en lo siguiente: Si g es un<br />
funcional lineal <strong>de</strong>finido en un subespacio S <strong>de</strong> un espacio vectorial E, no<br />
hay dificultad en exten<strong>de</strong>r g a un funcional lineal <strong>de</strong>finido en E. Bastaría<br />
con exten<strong>de</strong>r una base <strong>de</strong> Hamel <strong>de</strong> S a E y <strong>de</strong>finir el funcional arbitrariamente<br />
en los elementos <strong>de</strong> <strong>la</strong> base que no estén en S, y luego a todo E<br />
por linealidad. Sin embargo si E es normado, g es continua y queremos<br />
que <strong>la</strong> extensión sea continua y conserve <strong>la</strong> norma, <strong>la</strong>s cosas se complican<br />
y esto es precisamente lo que justifica el teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach.<br />
En los siguientes resultados E es un K–espacio vectorial (para K = R<br />
ó C) y S un subespacio suyo.<br />
Lema 8.1.1 Sea E un R–espacio vectorial E y sea p : E → R tal que:<br />
a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para x, y ∈ E.<br />
b) p(tx) = tp(x), para t > 0 y x ∈ E.<br />
287
288 Capítulo 8. Espacios <strong>de</strong> Banach<br />
Si g : S → R es lineal y g ≤ p en S, entonces son equivalentes, para<br />
e ∈ E y c ∈ R,<br />
c) g(x) + tc ≤ p(x + te), para todo x ∈ S y t ∈ R.<br />
d) −p(−x − e) − g(x) ≤ c ≤ p(x + e) − g(x), para x ∈ S.<br />
A<strong>de</strong>más para cada e ∈ E existe un c ∈ R satisfaciendo (c) y (d).<br />
Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach 8.1.2 En <strong>la</strong>s condiciones anteriores si g ≤<br />
p en S, existe un funcional lineal ˜g : E → R tal que ˜g = g en S y ˜g ≤ p<br />
en E.<br />
Definición. Diremos que p : E → [0, ∞), con E un K–espacio vectorial<br />
es una seminorma si:<br />
a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para x, y ∈ E.<br />
b) p(λx) = |λ|p(x), para λ ∈ C y x ∈ E.<br />
si a<strong>de</strong>más es p(x) = 0 sii x = 0, diremos que p es una norma.<br />
Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach complejo 8.1.3 Sea E un C–espacio vectorial<br />
y p : E → [0, ∞) una seminorma. Si g : S → C es lineal y |g| ≤ p<br />
en S entonces existe ˜g : E → C lineal tal que ˜g = g en S y |˜g(x)| ≤ p(x)<br />
para todo x ∈ E.<br />
Si E es un K–espacio normado, para K = R ó C, S ⊂ E es un<br />
subespacio y<br />
g : S → K<br />
es lineal y continua, entonces g es acotada y po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> seminorma<br />
p : E → [0, ∞), p(x) = ‖g‖‖x‖<br />
para <strong>la</strong> que obviamente<br />
|g(x)| ≤ ‖g‖‖x‖ = p(x)<br />
y el teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach pue<strong>de</strong> aplicarse obteniendo el siguiente<br />
resultado, <strong>de</strong>l que ya hemos hab<strong>la</strong>do en <strong>la</strong> pág.250, como el teorema <strong>de</strong><br />
Hahn–Banach.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 8.1.4 Sea E un K–espacio normado, S ⊂ E un subespacio y<br />
g ∈ S ∗ , entonces existe ˜g ∈ E ∗ , tal que ˜g = g en S y ‖˜g‖ = ‖g‖.<br />
Otras consecuencias importantes <strong>de</strong> este resultado son <strong>la</strong>s siguientes.
8.1. El Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach 289<br />
Teorema 8.1.5 Sea S un subespacio <strong>de</strong>l espacio normado E, entonces:<br />
a) Si x /∈ Adh(S) y el ínf{‖x − z‖ : z ∈ S} = r > 0, entonces existe<br />
ω ∈ E ∗ , tal que ω = 0 en S, ω(x) = 1 y ‖ω‖ = 1/r.<br />
b) x ∈ Adh(S) sii cada ω ∈ E ∗ que se anu<strong>la</strong> en S se anu<strong>la</strong> en x.<br />
c) Si x ≠ 0 existe ω ∈ E ∗ , tal que ‖ω‖ = 1 y ω(x) = ‖x‖. En<br />
particu<strong>la</strong>r dados x ≠ y hay una ω ∈ E ∗ , con ‖ω‖ = 1 tal que ω(x) ≠ ω(y).<br />
Nota 8.1.6 El teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach es esencial en el estudio <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
reflexividad. Dado un espacio normado E po<strong>de</strong>mos establecer <strong>la</strong> aplicación<br />
lineal canónica<br />
π : x ∈ E → ˆx ∈ E ∗∗ ,<br />
ˆx(ω) = ω(x),<br />
para cada ω ∈ E ∗ . En <strong>la</strong> Nota (6.3.6), pág.250, hemos <strong>de</strong>mostrado como<br />
consecuencia <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach, que π es una isometría.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que un espacio normado E es reflexivo si π(E) = E ∗∗ .<br />
Los espacios <strong>de</strong> Hilbert son reflexivos así como los espacios L p , para<br />
1 < p < ∞, sin embargo L 1 no siempre es reflexivo como probamos a<br />
continuación:<br />
Consi<strong>de</strong>remos l 1 = L 1 (N, P(N), µ), con µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar, sabemos<br />
que l ∗ 1 = l ∞ , ahora bien l 1 es separable pues el conjunto<br />
{x = (x n ) ∈ l 1 , ∃m ∈ N : x 1 , . . . , x m ∈ Q, x n = 0, n > m}<br />
es <strong>de</strong>nso en l 1 y numerable; y que l ∞ no es separable, pues po<strong>de</strong>mos<br />
consi<strong>de</strong>rar el conjunto no numerable<br />
S = {x = (x n ) ∈ l ∞ : ∀n ∈ N, x n = 0 ó x n = 1}<br />
y el conjunto no numerable <strong>de</strong> abiertos disjuntos {B(x, 1/2) : x ∈ S}.<br />
De esto y el siguiente resultado se sigue que l 1 no es reflexivo, pues<br />
en tal caso sería l∞ ∗ = l1 ∗∗ = l 1 .<br />
Teorema 8.1.7 Si E ∗ es separable, entonces E también lo es.<br />
A continuación vemos una aplicación <strong>de</strong> (8.1.5–c) a <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
medida. En <strong>la</strong> página 69 <strong>de</strong>l tema I hab<strong>la</strong>mos <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración hecha<br />
por Banach sobre <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> una medida finitamente aditiva <strong>de</strong>finida<br />
sobre P(R), invariante por tras<strong>la</strong>ciones y que sobre los intervalos<br />
coincidía con <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue. Para <strong>de</strong>mostrar este resultado necesitamos<br />
<strong>la</strong> siguiente extensión <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach.
290 Capítulo 8. Espacios <strong>de</strong> Banach<br />
Teorema 8.1.8 Sean E, S, p : E → R y g : S → R como en (8.1.1). Sea<br />
G = {T : E → E} un semigrupo abeliano <strong>de</strong> operadores lineales tales que:<br />
a) Si x ∈ S entonces T (x) ∈ S y g(x) = g[T (x)], para todo T ∈ G.<br />
b) Para todo x ∈ E y T ∈ G, p[T (x)] ≤ p(x).<br />
Entonces hay una única extensión lineal ω : E → R, tal que ω = g en S,<br />
y para todo x ∈ E y T ∈ G, ω(x) ≤ p(x) y ω[T (x)] = ω(x).<br />
Observemos que para G = {id} (8.1.8) es (8.1.2).<br />
Como consecuencia se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar el siguiente resultado.<br />
Teorema 8.1.9 Existe una medida µ aditiva, <strong>de</strong>finida en los subconjuntos<br />
acotados <strong>de</strong> R, tal que:<br />
a) µ(t + A) = µ(A), para cada A ⊂ R acotado y t ∈ R.<br />
b) Si A ∈ L(R) es acotado, entonces µ(A) = m(A).<br />
8.2. Teoremas clásicos<br />
Definición. Un espacio <strong>de</strong> Banach es un espacio normado y completo.<br />
La importancia <strong>de</strong> los espacios <strong>de</strong> Banach radica en su completitud,<br />
que es uno <strong>de</strong> los conceptos mas frecuentemente explotados en Análisis<br />
Funcional. La razón <strong>de</strong> esto radica básicamente en el siguiente teorema<br />
sobre espacios métricos completos y que habitualmente se conoce como<br />
Teorema <strong>de</strong> Baire o <strong>de</strong> <strong>la</strong> categoría (no en sentido algebraico). Dicho<br />
teorema tiene como consecuencia dos <strong>de</strong> los tres resultados mas importantes<br />
<strong>de</strong>l análisis funcional. Nos referimos al Teorema <strong>de</strong> Banach–<br />
Steinhaus y al Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> aplicación abierta (el tercero es el<br />
Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach).<br />
Otra importante consecuencia <strong>de</strong> este resultado, que veremos en <strong>la</strong><br />
siguiente lección, y que entra en el marco <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida, es<br />
el Teorema <strong>de</strong> Vitali–Hahn–Saks.<br />
Teorema <strong>de</strong> Baire 8.2.1 Sea X un espacio métrico completo y U n una<br />
sucesión <strong>de</strong> abiertos <strong>de</strong>nsos en X , entonces ∩U n es <strong>de</strong>nsa en X .
8.2. Teoremas clásicos 291<br />
Definición. Diremos que un subconjunto E <strong>de</strong> un espacio topológico X<br />
◦<br />
es <strong>de</strong>nso en ningún <strong>la</strong>do si E = ∅.<br />
L<strong>la</strong>mamos conjunto <strong>de</strong> primera categoría a <strong>la</strong> unión numerable <strong>de</strong><br />
conjuntos <strong>de</strong>nsos en ninguna parte y <strong>de</strong> segunda categoría a los <strong>de</strong>más.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que por (1.7.20), pág.60 si E ⊂ X y B = X \E, entonces<br />
se tiene<br />
◦<br />
E = ∅ ⇔ B = X .<br />
y si E es <strong>de</strong>nso en ningún <strong>la</strong>do entonces ◦ E = ∅ y por tanto E c es <strong>de</strong>nso.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 8.2.2 Todo espacio métrico completo es <strong>de</strong> segunda categoría.<br />
Hay otra importante c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> espacios con <strong>la</strong> propiedad (8.2.1), los<br />
espacios Hausdorff, localmente compactos (ver Ash, p.399).<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> (8.2.1) tenemos el siguiente resultado también<br />
conocido como principio <strong>de</strong> <strong>la</strong> acotación uniforme.<br />
Teorema <strong>de</strong> Banach–Steinhaus 8.2.3 Sea E un espacio <strong>de</strong> Banach, N<br />
un espacio normado y {L i : E → N , i ∈ I} un conjunto <strong>de</strong> aplicaciones<br />
lineales acotadas puntualmente, es <strong>de</strong>cir tales que para cada x ∈ E existe<br />
un k > 0 tal que para todo i ∈ I ‖L i (x)‖ < k. Entonces<br />
sup{‖L i ‖ : i ∈ I} < ∞.<br />
La otra consecuencia establece que si en un espacio vectorial tenemos<br />
dos normas completas tal que <strong>la</strong> topología <strong>de</strong> una contiene a <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> otra,<br />
entonces ambas topologías coinci<strong>de</strong>n.<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> aplicación abierta 8.2.4 Sea L : E → F una aplicación<br />
lineal continua y sobre entre espacios <strong>de</strong> Banach, entonces es abierta.<br />
Por tanto si L es también inyectiva entonces L es isomorfismo lineal y<br />
continuo.<br />
Finalizamos <strong>la</strong> lección con una útil consecuencia <strong>de</strong> (8.2.4), <strong>la</strong> cual nos<br />
permite asegurar que una cierta aplicación lineal entre espacios normados<br />
es continuo.<br />
Definición. Sean E y F espacios normados y consi<strong>de</strong>remos en E × F<br />
<strong>la</strong> topología producto. Diremos que una aplicación lineal L : E → F es<br />
cerrada si<br />
G(L) = {(x, L(x)) ∈ E × F : x ∈ E},
292 Capítulo 8. Espacios <strong>de</strong> Banach<br />
es cerrado.<br />
La topología producto dice que<br />
(x n , y n ) → (x, y) ⇔ x n → x, y n → y,<br />
por tanto L : E → F lineal es cerrada sii<br />
(x n , L(x n )) → (x, y) ⇒ y = L(x),<br />
y se sigue que si L es continua entonces es cerrada. El recíproco sin<br />
embargo no es cierto en general, pero si lo es si los espacios son <strong>de</strong><br />
Banach.<br />
Teorema <strong>de</strong>l gráfico cerrado 8.2.5 Sea L : E → F lineal y cerrada entre<br />
espacios <strong>de</strong> Banach, entonces es continua.<br />
Una aplicación <strong>de</strong> este resultado es <strong>la</strong> siguiente:<br />
Consi<strong>de</strong>remos un espacio <strong>de</strong> Banach E suma directa <strong>de</strong> dos subespacios<br />
cerrados suyos<br />
E = M ⊕ N ,<br />
entonces <strong>la</strong>s proyecciones π 1 : E → M y π 2 : E → N son continuas. Para<br />
<strong>de</strong>mostrarlo, como son lineales, basta ver que son cerradas. Veámoslo<br />
para π 1 : Si x n = y n + z n , con y n = π 1 (x n ) y z n = π 2 (x n ) y (x n , y n ) →<br />
(x, y) entonces y = π 1 (x), pues x n → x, y n → y ∈ M y z n = x n − y n →<br />
x − y = z ∈ N , por tanto y = π 1 (x) y z = π 2 (x).<br />
8.3. El Teorema <strong>de</strong> Vitali—Hahn–Saks<br />
En el tema <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym (4.4.3), <strong>de</strong> <strong>la</strong> página<br />
170, vimos como <strong>la</strong> absoluta continuidad <strong>de</strong> una medida respecto <strong>de</strong><br />
otra tiene bastante que ver con el concepto topológico <strong>de</strong> continuidad.<br />
El problema para una correcta interpretación en este sentido resi<strong>de</strong> en<br />
que <strong>la</strong>s medidas están <strong>de</strong>finidas en una σ—álgebra A que no tiene, en<br />
principio, estructura topológica (ver no obstante el ejercicio (10.11.79),<br />
pág.416).
8.3. El Teorema <strong>de</strong> Vitali—Hahn–Saks 293<br />
En esta lección introducimos una métrica d en <strong>la</strong> σ—álgebra A <strong>de</strong><br />
un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), <strong>de</strong> tal forma que (A, d) es un espacio<br />
métrico completo y <strong>la</strong>s medidas absolutamente continuas respecto <strong>de</strong> µ<br />
son funciones continuas en (A, d).<br />
Una σ—álgebra A tiene una estructura natural <strong>de</strong> anillo con <strong>la</strong>s operaciones<br />
para A, B ∈ A<br />
A + B = A∆B = (A ∩ B c ) ∪ (A c ∩ B),<br />
para el que A = A 2 y A + A = 0.<br />
AB = A ∩ B<br />
Teorema 8.3.1 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida, entonces:<br />
a) El conjunto I = {A ∈ A : µ(A) = 0} es un i<strong>de</strong>al <strong>de</strong>l anillo A y el<br />
anillo cociente A I = A/I es un espacio métrico completo con <strong>la</strong> métrica<br />
d(A, B) = arctan µ(A∆B).<br />
b) Si λ ≪ µ, entonces λ pasa a A I y es continua.<br />
c) A ∪ B, A ∩ C, A∆B son continuas <strong>de</strong> A I × A I → A I y A c <strong>de</strong><br />
A I → A I .<br />
d) Si µ(Ω) < ∞, entonces <strong>la</strong> c<strong>la</strong>usura en A I <strong>de</strong> un álgebra A 0 <strong>de</strong> A<br />
pasada al cociente, es <strong>la</strong> σ—álgebra σ(A 0 ) pasada al cociente.<br />
El siguiente resultado es uno <strong>de</strong> los mas importantes en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong> conjunto. La <strong>de</strong>mostración que habitualmente se da (<strong>la</strong><br />
<strong>de</strong> nuestra referencia), es <strong>de</strong> Saks y consiste en aplicar el Teorema <strong>de</strong><br />
Baire a A I , <strong>de</strong>l mismo modo que se hace en el Teorema <strong>de</strong> Banach–<br />
Steinhaus.<br />
Teorema 8.3.2 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y λ n una sucesión<br />
<strong>de</strong> medidas en A finitamente aditivas y complejas, tales que λ n ≪ µ,<br />
para cada n ∈ N. Si existe el límite λ(E) = limλ n (E), para cada E ∈ A,<br />
entonces se tiene que si µ(E) → 0 entonces λ n (E) → 0 uniformemente<br />
en n, es <strong>de</strong>cir <strong>la</strong> absoluta continuidad es uniforme en n. Si a<strong>de</strong>más<br />
µ(Ω) < ∞ entonces λ es una medida.<br />
La última afirmación es mejorada en el siguiente resultado <strong>de</strong> Nikodym.<br />
Teorema 8.3.3 Si <strong>la</strong>s λ n son complejas y σ—aditivas en (Ω, A) y existe<br />
el límite finito λ(E) = limλ n (E), entonces λ es una medida y <strong>la</strong><br />
σ—aditividad <strong>de</strong> λ n es uniforme en n, es <strong>de</strong>cir que λ n (B k ) → 0 uniformemente<br />
en n, para cada B k ↓ ∅ en A.
294 Capítulo 8. Espacios <strong>de</strong> Banach<br />
Bibliografía y comentarios<br />
Para <strong>la</strong> confección <strong>de</strong> este tema han sido utilizados los siguientes<br />
libros:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Dunford, N. and Schwartz, J.T.: “Linear operators, Vol,I ”. John Wiley–Interscience<br />
Pub., 1958.<br />
Halmos, P.R.: “Measure Theory”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
Muhkerjea, A. and Pothoven, K.: “Real and functional Analysis”. Plenum Press,<br />
1978.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”, Tata McGraw–Hill, 1974.<br />
Yosida, K.: “Functional Analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
A partir <strong>de</strong> 1920 empiezan a estudiarse espacios mas generales que<br />
los <strong>de</strong> Hilbert, los espacios <strong>de</strong> Banach. En su <strong>de</strong>sarrollo contribuyeron<br />
Wiener y fundamentalmente S.Banach, que con su libro<br />
Banach, S.: “Theorie <strong>de</strong>s operations lineaires”. Reimp. con correcciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> 1a.<br />
ed. <strong>de</strong> 1932 por Chelsea Pub.Co., 1978.<br />
inicia una nueva etapa en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l Análisis Matemático.<br />
En <strong>la</strong> p.32 <strong>de</strong> su libro se encuentra esencialmente (8.1.9), no obstante<br />
remitimos al lector interesado en <strong>la</strong> cuestión a un trabajo previo <strong>de</strong>l<br />
mismo autor,<br />
Banach, S.: “Sur le probleme <strong>de</strong> <strong>la</strong> mesure”. Fund.Math., IV, 7–33, 1923.<br />
Hemos dicho que un espacio normado E es reflexivo cuando π(E) =<br />
E ∗∗ , para π el isomorfismo isométrico canónico π(x)[ω] = ω(x). En este<br />
sentido es curioso que <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> otro isomorfismo isométrico entre<br />
ambos espacios no garantice <strong>la</strong> reflexividad. Para un ejemplo <strong>de</strong>mostrando<br />
este hecho remitimos al lector al trabajo,<br />
James, R.C.: “A nonreflexive Banach space isometric with its second conjugate”.<br />
Proc. Nat. Sci., USA, 37, 174–177, 1951.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 8
Capítulo 9<br />
La transformada <strong>de</strong><br />
Fourier<br />
9.1. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 2 (T )<br />
Sea T = {z ∈ C : |z| = 1} <strong>la</strong> circunferencia unidad en C. Dada una<br />
función F : T → C, <strong>la</strong> función<br />
f : R → C, f(t) = F [e it ] = F [cos t + i sen t]<br />
es 2π–periódica y recíprocamente dada una función f : R → C, 2π–<br />
periódica, entonces hay una función F : T → C tal que f(t) = F [e it ].<br />
A<strong>de</strong>más f es continua sii lo es F .<br />
Definición. Con esta i<strong>de</strong>ntificación enten<strong>de</strong>remos por L p (T ), para 1 ≤<br />
p < ∞, el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones f : R → C borel medibles y 2π–<br />
periódicas tales que<br />
‖f‖ p =<br />
( ∫ 1 π<br />
1/p<br />
|f| dm) p < ∞<br />
2π −π<br />
Por L ∞ (T ) enten<strong>de</strong>remos el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones f : R → C borel<br />
medibles y 2π–periódicas tales que ‖f‖ ∞ < ∞.<br />
295
296 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
Por C(T ) enten<strong>de</strong>remos el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones continuas F : T →<br />
C (equivalentemente f : R → C continuas y 2π–periódicas), con <strong>la</strong> norma<br />
<strong>de</strong>l máximo.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos polinomio trigonométrico a <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
forma<br />
f : R → C, f(t) = a 0 +<br />
N∑<br />
[a n cos(nt) + b n sen(nt)],<br />
n=1<br />
para a i , b i ∈ C. Denotaremos con P(T ) <strong>la</strong> colección <strong>de</strong> los polinomios<br />
trigonométricos.<br />
Nota 9.1.1 Los polinomios trigonométricos se correspon<strong>de</strong>n con <strong>la</strong>s funciones<br />
polinómicas en z<br />
pues se tiene<br />
f(t) =<br />
N∑<br />
n=−N<br />
= a 0 +<br />
F : T → C, F (z) =<br />
c n e itn = c 0 +<br />
+<br />
N∑<br />
n=−N<br />
c n z n ,<br />
N∑<br />
c n [cos(tn) + i sen(tn)+<br />
1<br />
N∑<br />
c −n [cos(−tn) + i sen(−tn)<br />
1<br />
N∑<br />
[a n cos(nt) + b n sen(nt)],<br />
1<br />
para a 0 = c 0 , a n = c n + c −n y b n = i(c n − c −n ).<br />
Teorema 9.1.2 Los polinomios trigonométricos P(T ) son <strong>de</strong>nsos en C(T ).<br />
Demostración. P(T ) = {F : T → C, F (z) = ∑ N<br />
n=−N c nz n } es una<br />
subálgebra <strong>de</strong>l álgebra C(T ), <strong>la</strong> cual:<br />
1) separa puntos,<br />
2) contiene a <strong>la</strong>s funciones constantes y<br />
3) si F ∈ P entonces F ∈ P.
9.1. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 2 (T ) 297<br />
Se sigue entonces <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Stone–Weierstrass (ver Ash, p.393)<br />
que toda función continua F : T → C pue<strong>de</strong> aproximarse uniformemente<br />
por funciones <strong>de</strong> P.<br />
En L 2 (T ) tenemos el producto interior<br />
= 1 ∫ π<br />
fg dm,<br />
2π −π<br />
respecto <strong>de</strong>l que el sistema <strong>de</strong> funciones B = {u n : n ∈ Z}<br />
u n (t) = e int , (en términos <strong>de</strong> z, u n (z) = z n )<br />
es ortonormal pues ∫ π<br />
−π cos nt = ∫ π<br />
sen nt = 0.<br />
−π<br />
Proposición 9.1.3 El sistema B = {u n (t) = e int , n ∈ Z} es una base<br />
ortonormal en L 2 (T ).<br />
Demostración. Es una consecuencia <strong>de</strong> (7.3.3), pág.282, pues por<br />
(9.1.2) sabemos que P(T ) =< B > es <strong>de</strong>nso en C(T ) con <strong>la</strong> ‖.‖ ∞ . Como<br />
por otra parte en C(T ) ‖.‖ 2 ≤ ‖.‖ ∞ , tendremos que P(T ) es <strong>de</strong>nso con<br />
<strong>la</strong> ‖.‖ 2 en C(T ) y como a su vez veremos en (10.2.7), pág.328 que C(T ) =<br />
C c (T ) es <strong>de</strong>nso en L 2 (T ), pues T es compacto y Hausdorff, tendremos<br />
que P(T ) =< B > es <strong>de</strong>nso en L 2 (T ).<br />
Para cada f ∈ L 2 (T ) consi<strong>de</strong>remos sus coeficientes <strong>de</strong> Fourier re<strong>la</strong>tivos<br />
a B, es <strong>de</strong>cir<br />
para cada n ∈ N.<br />
∫ π<br />
ˆf(n) == (1/2π) f e −int dt,<br />
−π<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos Transformada <strong>de</strong> Fourier en L 2 (T ) a <strong>la</strong> aplicación<br />
anterior<br />
L 2 (T ) → l 2 (Z), f → ˆf.<br />
La cual es un isomorfismo isométrico en virtud <strong>de</strong>l Teorema (7.3.3),<br />
pág.282, ya que por (d)<br />
f = ∑ n∈Z<br />
u n = ∑ n∈Z<br />
ˆf(n) e int ,
298 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
lo cual <strong>de</strong>be interpretarse como que si s n (t) = ∑ n ˆf(m) −n<br />
e itm , entonces<br />
s n → f en L 2 . A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> (f) se sigue que<br />
‖ ˆf‖ 2 2 = ∑ n∈Z<br />
| ˆf(n)| 2 = (1/2π)<br />
y <strong>de</strong> (e) que dados f, g ∈ L 2 (T )<br />
1<br />
2π<br />
∫ π<br />
∫ π<br />
−π<br />
−π<br />
f(t)g(t)dt = ∑ n∈Z<br />
|f(t)| 2 dt = ‖f‖ 2 2,<br />
ˆf(n)ĝ(n),<br />
y como consecuencia <strong>de</strong> esto último, tomando g = I [a,b] , con −π ≤ a <<br />
b ≤ π, tenemos lo siguiente.<br />
Teorema 9.1.4 Sea f ∈ L 2 (T ), entonces<br />
∫ b<br />
∫ b<br />
a<br />
f(t) dt = ∑ n∈Z<br />
a<br />
ˆf(n) e int dt<br />
Lo cual es sorpren<strong>de</strong>nte, pues po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> f en<br />
[a, b], integrando término a término su serie <strong>de</strong> Fourier, siendo así que no<br />
tenemos ni <strong>la</strong> convergencia puntual <strong>de</strong> <strong>la</strong> serie. Por último observemos<br />
que el Teorema <strong>de</strong> Riesz—Fischer, nos asegura que si z n ∈ C son<br />
tales que ∑ |z n | 2 < ∞ , entonces existe una única f ∈ L 2 (T ), tal que<br />
los z n son los coeficientes <strong>de</strong> Fourier ˆf(n) <strong>de</strong> f re<strong>la</strong>tivos a u n .<br />
9.2. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 1 (T ) y C(T )<br />
Definición. Exten<strong>de</strong>mos <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición dada en <strong>la</strong> lección anterior, l<strong>la</strong>mando<br />
transformada <strong>de</strong> Fourier en L 1 (T ) a <strong>la</strong> aplicación que hace correspon<strong>de</strong>r<br />
a cada función f ∈ L 1 (T ) <strong>la</strong> sucesión<br />
ˆf : Z → C, ˆf(n) =<br />
1<br />
2π<br />
∫ π<br />
−π<br />
Y l<strong>la</strong>maremos serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> f ∈ L 1 (T ) a<br />
∑<br />
ˆf(n) e int .<br />
n∈Z<br />
f e −int dt.
9.2. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 1 (T ) y C(T ) 299<br />
En <strong>la</strong> lección anterior hemos visto que <strong>la</strong> serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una<br />
f ∈ L 2 (T ) converge en L 2 a f. Ahora veremos <strong>la</strong> convergencia <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una f ∈ C(T ), como aplicación <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong><br />
Banach–Steinhaus (8.2.3), pág.291, (el cual <strong>de</strong>bemos observar que es<br />
válido también si E es <strong>de</strong> segunda categoría). En primer lugar se tiene<br />
el siguiente resultado.<br />
Teorema 9.2.1 Existe f ∈ C(T ) tal que su serie <strong>de</strong> Fourier diverge en<br />
0. El conjunto <strong>de</strong> tales funciones es <strong>de</strong> segunda categoría en C(T ).<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos c 0 al espacio <strong>de</strong> Banach <strong>de</strong> <strong>la</strong>s (sucesiones)<br />
funciones ˆf : Z → C tales que ˆf(n) → 0 cuando |n| → ∞, con <strong>la</strong> norma<br />
<strong>de</strong>l supremo.<br />
En el siguiente resultado veremos que <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier en<br />
L 1 (T ) es una aplicación lineal <strong>de</strong><br />
(9.1) L 1 (T ) → c 0 ,<br />
Como P(T ) es <strong>de</strong>nso en C(T ) con <strong>la</strong> ‖.‖ ∞ , también lo es con <strong>la</strong> ‖.‖ 1 ,<br />
pues ‖.‖ 1 ≤ ‖ ‖ ∞ y como C(T ) es <strong>de</strong>nso en L 1 (T ) con ‖.‖ 1 , tenemos que<br />
P(T ) es <strong>de</strong>nso en L 1 (T ) con ‖.‖ 1 .<br />
Por otra parte dado P ∈ P(T ) existe N ∈ N, tal que para |n| ≥ N es<br />
por lo que para |n| ≥ N<br />
∫ π<br />
−π<br />
P e −int dt = 0,<br />
| ˆf(n)| = | 1 ∫ π<br />
(f − P ) e −int dt| ≤ ‖f − P ‖ 1 .<br />
2π −π<br />
Este resultado es conocido como Lema <strong>de</strong> Riemann–Lebesgue. Para<br />
otra formu<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> este resultado ver Mukherjea–Pothoven, p.142-143.<br />
Nos interesa saber si el recíproco es cierto, es <strong>de</strong>cir si es sobre <strong>la</strong><br />
transformada <strong>de</strong> Fourier (9.1). La contestación es negativa y hace uso<br />
<strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> aplicación abierta.<br />
Teorema 9.2.2 La transformada <strong>de</strong> Fourier es lineal, acotada e inyectiva<br />
pero no sobre.
300 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
La <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este resultado pue<strong>de</strong> seguirse por el Rudin, p.110.<br />
No obstante hay que hacer algunas modificaciones pues él se basa en<br />
resultados que tiene en el libro pero que nosotros no hemos introducido<br />
hasta el momento. Tales modificaciones pue<strong>de</strong>n realizarse con el material<br />
<strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>do aquí por nosotros.<br />
9.3. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 1 (R)<br />
En esta lección por L 1 enten<strong>de</strong>remos L 1 (R, A, µ, C), don<strong>de</strong> A = B(R)<br />
ó L(R) y µ es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue dividida por (2π) 1/2 . Esta medida<br />
hace que <strong>la</strong>s expresiones en los resultados sean mas simples y simétricas.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos transformada <strong>de</strong> Fourier en L 1 a <strong>la</strong> aplicación<br />
F que a cada f ∈ L 1 le hace correspon<strong>de</strong>r <strong>la</strong> función<br />
∫<br />
ˆf = F(f) : R → C, f(t) = f(x)e −ixt dµ,<br />
Una simple consecuencia <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada<br />
nos da cierta información sobre el rango <strong>de</strong> F.<br />
Proposición 9.3.1 Para cada f ∈ L 1 , F(f) es uniformemente continua<br />
en R.<br />
Definición. Dadas f, g ∈ L 1 l<strong>la</strong>mamos su producto <strong>de</strong> convolución a<br />
f ∗ g ∈ L 1 (ver (3.6.10), página 144)<br />
∫<br />
f ∗ g(x) = f(x − y)g(y) dµ.<br />
Veamos ahora algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> F.<br />
Proposición 9.3.2 Sean f, g ∈ L 1 , ˆf = F(f), ĝ = F(g) y z ∈ C, entonces:<br />
a) F(f + g) = F(f) + F(g).<br />
b) F(zf) = zF(f).<br />
c) F(f)(t) = F(f)(−t), para cada t ∈ R.
9.3. Análisis <strong>de</strong> Fourier en L 1 (R) 301<br />
d) ˆf está acotada y ‖ ˆf‖ ∞ = sup{|f(t)|} ≤ ‖f‖ 1 .<br />
e) Si g(x) = f(x) e iax , entonces ĝ(t) = ˆf(t − a).<br />
f) Si g(x) = f(x − a), entonces ĝ(t) = ˆf(t) e −iat .<br />
g) F(f ∗ g) = F(f)F(g).<br />
h) Si a > 0 y g(x) = f(x/a), entonces ĝ(t) = a ˆf(at).<br />
i) Si a > 0 y g(x) = af(ax), entonces ĝ(t) = ˆf(t/a).<br />
j) Si g(x) = −ixf(x) y g ∈ L 1 , entonces ˆf es diferenciable y ˆf ′ (t) =<br />
ĝ(t).<br />
k) Si f es absolutamente continua y f ′ ∈ L 1 , entonces ̂(f ′ )(t) =<br />
it ˆf(t).<br />
l) Si f n ∈ L 1 es una sucesión convergente en L 1 , entonces ̂f n converge<br />
uniformemente en todo R.<br />
Los siguientes resultados están encaminados a <strong>de</strong>scribir el rango <strong>de</strong><br />
F, por tanto complementan a (9.3.1).<br />
Teorema 9.3.3 Sea f ∈ L p , con 1 ≤ p < ∞. Entonces <strong>la</strong> aplicación<br />
T : R → L p , T (y) = f y , para f y (x) = f(x − y), es uniformemente<br />
continua.<br />
El resultado anterior se pue<strong>de</strong> probar modificando ligeramente <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> p.196 <strong>de</strong>l Rudin.<br />
Teorema 9.3.4 Sea f ∈ L 1 , entonces ˆf(t) → 0 cuando |t| → ∞, es <strong>de</strong>cir<br />
f ∈ c 0 . Por tanto <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier es una aplicación<br />
F : L 1 → c 0 .<br />
A continuación vemos, como consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> propiedad (k) <strong>de</strong><br />
(9.3.2), cómo el grado <strong>de</strong> diferenciabilidad <strong>de</strong> una función f ∈ L 1 y <strong>la</strong><br />
velocidad <strong>de</strong> <strong>de</strong>crecimiento en el infinito <strong>de</strong> su transformada ˆf están<br />
íntimamente re<strong>la</strong>cionados.<br />
Proposición 9.3.5 Si f, f ′ , . . . , f (n−1 son absolutamente continuas y<br />
f, f ′ , . . . , f (n ∈ L 1 ,<br />
entonces ̂f (n (t) = (it) n ˆf(t), por tanto<br />
(9.2) | ˆf(t)| = |t| −n |̂f (n (t)|.
302 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
9.4. El Teorema <strong>de</strong> inversión<br />
Hemos visto cómo <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier convierte “operaciones<br />
difíciles”, como el producto <strong>de</strong> convolución y <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada en “operaciones<br />
fáciles”, como el producto ordinario y <strong>la</strong> multiplicación por it. Esto hace<br />
<strong>de</strong> esta transformada una po<strong>de</strong>rosa herramienta en diversos campos <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s matemáticas, como en <strong>la</strong>s ecuaciones diferenciales ó en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s probabilida<strong>de</strong>s (en <strong>la</strong> pág.312 veremos <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción existente entre el<br />
producto <strong>de</strong> convolución y <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> variables aleatorias in<strong>de</strong>pendientes).<br />
Sin embargo esta utilidad sería mayor si dispusiéramos <strong>de</strong> una fórmu<strong>la</strong><br />
que nos permitiese reconstruir <strong>la</strong> función <strong>de</strong> origen a partir <strong>de</strong> su<br />
transformada <strong>de</strong> Fourier. Este es nuestro objetivo en esta lección. Para<br />
alcanzarlo precisamos <strong>de</strong> <strong>la</strong> ayuda <strong>de</strong> una función auxiliar<br />
con <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
h : R → [0, 1]<br />
a) h, ĥ = F(h) ∈ L 1(R) y ∫ ĥ dµ = 1.<br />
b) h es continua en 0 y h(0) = 1.<br />
Una función con estas propieda<strong>de</strong>s es<br />
h(x) = e −|x| (también valdría h(x) = e −x2 /2 ).<br />
En el primer caso<br />
∫<br />
ĥ(t) = e −|x| e −itx dµ = √ 1 ∫<br />
2π<br />
e −|x| [cos tx − i sen tx] dx<br />
√<br />
2<br />
=<br />
π<br />
∫ ∞<br />
0<br />
√<br />
2<br />
e −x 1<br />
cos tx dx =<br />
π 1 + t 2 ,<br />
Por tanto si <strong>de</strong>finimos, para s > 0, h s (x) = h(sx), entonces<br />
ĥ s (t) = 1 ( √<br />
t 2<br />
s s)<br />
ĥ<br />
s 2<br />
(9.3) =<br />
π s 2 + t 2 ,<br />
∫ ∫<br />
ĥ s dµ = ĥ dµ = 1.
9.4. El Teorema <strong>de</strong> inversión 303<br />
Estas funciones h s ∈ C ∞ (R) y tienen una gran importancia pues dada<br />
f ∈ L 1 , f ∗ h s ∈ C ∞ (R) y se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar que f ∗ h s → f c.s. (ver<br />
Rudin, p.210).<br />
El siguiente resultado es una simple consecuencia <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong><br />
Fubini.<br />
Teorema 9.4.1 Sea f ∈ L 1 , entonces<br />
∫<br />
f ∗ h s (x) = ˆf(t)h(st) e ixt dµ,<br />
El siguiente resultado es una simple consecuencia <strong>de</strong> (9.3) y el teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada (2.4.12), pág.96.<br />
Teorema 9.4.2 Si g ∈ L ∞ (R) y es continua en x ∈ R, entonces<br />
lím g ∗ h s(x) = g(x).<br />
s→0<br />
Por otra parte como consecuencia <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Fubini, los resultados<br />
anteriores y que en un espacio probabilístico ‖.‖ p ≤ ‖.‖ q , para<br />
1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, se tiene el siguiente resultado.<br />
Teorema 9.4.3 Si 1 ≤ p < ∞ y f ∈ L p (R), entonces<br />
‖f ∗ h s − f‖ p → 0 (s → 0).<br />
Po<strong>de</strong>mos enunciar el principal resultado <strong>de</strong> esta lección.<br />
Teorema <strong>de</strong> Inversion 9.4.4 Si f, ˆf ∈ L 1 (R) y<br />
∫<br />
g(x) = ˆf(t) e ixt dµ,<br />
entonces g ∈ c 0 y f = g c.s.<br />
Teorema <strong>de</strong> Unicidad 9.4.5 Si f ∈ L 1 (R) y ˆf = 0, entonces f = 0 c.s.
304 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
9.5. Teorema <strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel<br />
Consi<strong>de</strong>remos ahora el caso L 2 (R) = L 2 (R, A, m, C). Por ser <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue <strong>de</strong> R, m(R) = ∞, no se tiene que L 2 (R) sea un subespacio<br />
<strong>de</strong> L 1 (R), al contrario <strong>de</strong> lo que ocurría en el caso <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia T ,<br />
en el que L 2 (T ) ⊂ L 1 (T ). Sin embargo si f ∈ L 1 (R)∩L 2 (R) veremos que<br />
F(f) = ˆf ∈ L 2 (R) y que esta F conserva <strong>la</strong> norma y es una isometría<br />
que pue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>rse a todo L 2 .<br />
No obstante aunque <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> cada f ∈ L 1 (R) es<br />
una función, <strong>la</strong> <strong>de</strong> una f ∈ L 2 (R) será un elemento <strong>de</strong> L 2 (R), es <strong>de</strong>cir una<br />
c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> equivalencia <strong>de</strong> funciones, y no habrá en principio una función<br />
<strong>de</strong> L 2 (R) privilegiada que <strong>la</strong> represente.<br />
Teorema <strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel 9.5.1 Existe una transformación<br />
F : L 2 (R) → L 2 (R),<br />
con <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
a) Es <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier en L 1 (R) ∩ L 2 (R).<br />
b) Para cada f ∈ L 2 (R), ‖F(f)‖ 2 = ‖f‖ 2 .<br />
c) F es un isomorfismo.<br />
d) Si f ∈ L 2 (R) y ˆf = F(f), entonces para cualesquiera a n ↓ −∞,<br />
b n ↑ ∞, <strong>la</strong>s funciones<br />
g n (t) =<br />
∫ bn<br />
a n<br />
f(x) e −ixt dµ, h n (t) =<br />
∫ bn<br />
a n<br />
ˆf(x) e ixt dµ,<br />
están en L 2 (R) y ‖g n − ˆf‖ 2 → 0, ‖h n − f‖ 2 → 0.<br />
Indicación. Lo fundamental y difícil es <strong>de</strong>mostrar que para f ∈<br />
L 1 ∩ L 2 , ˆf ∈ L 2 y ‖f‖ 2 = ‖ ˆf‖ 2 . Del resto veamos una parte: Si f ∈ L 2 ,<br />
entonces f n = fI [an,b n] ∈ L 1 ∩ L 2 y por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia<br />
dominada ‖f n −f‖ 2 → 0, por tanto f n es <strong>de</strong> Cauchy (a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> implicar<br />
que L 1 ∩ L 2 es <strong>de</strong>nso en L 2 ). Pero por <strong>la</strong> igualdad <strong>de</strong>l principio también<br />
es <strong>de</strong> Cauchy f ˆ n = g n y por tanto convergente en L 2 a una función<br />
que <strong>de</strong>notamos F(f) y que l<strong>la</strong>mamos transformada <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> f,<br />
pues si f ∈ L 1 ∩ L 2 , g n converge puntualmente, por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong>
9.5. Teorema <strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel 305<br />
convergencia dominada, a ˆf y por (6.2.14), pág.244, este límite puntual<br />
coinci<strong>de</strong> c.s. con el <strong>de</strong> L 2 . De este modo exten<strong>de</strong>mos <strong>la</strong> transformada a<br />
L 2 , pero a<strong>de</strong>más por <strong>la</strong> igualdad <strong>de</strong>l principio, ‖g n ‖ 2 = ‖f n ‖ 2 y tomando<br />
límites<br />
‖F(f)‖ 2 = lím ‖g n ‖ 2 = lím ‖f n ‖ 2 = ‖f‖ 2 ,<br />
tendremos que F es isometría en todo L 2 .<br />
Como una simple consecuencia <strong>de</strong> esto y <strong>de</strong> (6.2.14), pág.244, se tiene<br />
el siguiente resultado.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 9.5.2 Si f ∈ L 2 (R) y ˆf = F(f) ∈ L 1 (R), entonces<br />
∫<br />
f(x) = ˆf(t) e ixt dµ, (c.s.)<br />
El teorema <strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel nos dice que <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
F : L 2 (R) → L 2 (R),<br />
es un operador lineal y continuo. Escogiendo una base ortonormal completa<br />
en L 2 (R), F está <strong>de</strong>terminada por una matriz infinita, que adquiere<br />
su forma mas sencil<strong>la</strong> (diagonal), cuando <strong>la</strong> base que se toma es <strong>la</strong> <strong>de</strong><br />
los autovectores <strong>de</strong> F, en cuyo caso los elementos <strong>de</strong> <strong>la</strong> diagonal son los<br />
autovalores.<br />
En <strong>la</strong> p.490 <strong>de</strong>l Kolmogorov–Fomin se <strong>de</strong>muestra que tales autovectores<br />
son <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong> Hermite, <strong>la</strong>s cuales se obtienen ortonormalizando<br />
<strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> funciones<br />
p n (x) = x n e −x2 /2 , n = 0, . . . , ∞,<br />
y que en esta base <strong>la</strong> matriz está formada por los valores en <strong>la</strong> diagonal<br />
1, −1, i, −i.<br />
El teorema <strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel tiene una gran diversidad <strong>de</strong> aplicaciones,<br />
entre <strong>la</strong>s que <strong>de</strong>stacamos dos <strong>de</strong> índole muy diferente:<br />
Ejemplo 9.5.3 Cálculo <strong>de</strong> integrales.- Para ilustrar este punto calculemos<br />
<strong>la</strong> integral <strong>de</strong>l núcleo <strong>de</strong> Fejer, es <strong>de</strong>cir para a > 0<br />
∫ ∞<br />
( ) 2 sen(ay)<br />
dy.<br />
−∞<br />
y
306 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
Observemos que para A = [−a, a]<br />
y por tanto<br />
f(y) = sen(ay) = e−iay − e iay<br />
y −2iy<br />
= 1 ∫ a<br />
√<br />
2π<br />
e −iyx dx =<br />
2<br />
2 ÎA(y),<br />
∫<br />
1 ∞<br />
√<br />
2π<br />
−∞<br />
por tanto para cada a > 0<br />
−a<br />
( ) 2 sen(ay)<br />
dy = ‖f‖ 2 2 = π 2 ‖ÎA‖ 2 2<br />
∫ ∞<br />
y<br />
= π 2 ‖I A‖ 2 2 = π 2<br />
2a<br />
√<br />
2π<br />
,<br />
( ) 2 sen(ay)<br />
dy = aπ.<br />
−∞<br />
y<br />
Ejemplo 9.5.4 Caracterización <strong>de</strong> los subespacios cerrados <strong>de</strong> L 2 (R) invariantes<br />
por tras<strong>la</strong>ciones.<br />
Definición. Diremos que un subespacio M <strong>de</strong> L 2 (R) es invariante por<br />
tras<strong>la</strong>ciones si para cada f ∈ M, se tiene que f a ∈ M, para cada a ∈ R<br />
y f a (x) = f(x − a).<br />
Definición. Una función f : R → C es un carácter 1 si |f| = 1 y f(x +<br />
y) = f(x)f(y), es <strong>de</strong>cir si es un morfismo <strong>de</strong>l grupo aditivo R, en el<br />
grupo multiplicativo T = {z ∈ C : |z| = 1}.<br />
Proposición 9.5.5 Sea M un subespacio cerrado <strong>de</strong> L 2 (R) invariante por<br />
tras<strong>la</strong>ciones, entonces ̂M = F(M) es un subespacio <strong>de</strong> L 2 (R) cerrado e<br />
invariante bajo multiplicaciones por cada carácter continuo <strong>de</strong> R.<br />
Demostración. F es un isomorfismo isométrico por tanto lleva<br />
subespacios cerrados en subespacios cerrados. Si f ∈ M, entonces f a ∈<br />
1 Veremos en (9.4), pág.309 que <strong>la</strong>s exponenciales<br />
e a(t) = e −iat ,<br />
son los únicos caracteres continuos <strong>de</strong>l grupo aditivo R y en <strong>la</strong> pág.239 <strong>de</strong>l Fol<strong>la</strong>nd<br />
se <strong>de</strong>muestra que son los únicos caracteres medibles.
9.6. El álgebra <strong>de</strong> Banach L 1 (R) 307<br />
M y por el teorema <strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel f a,n → ̂f a = F(f a ), para<br />
f a,n (t) =<br />
∫ n<br />
f a (x) e −ixt dµ =<br />
∫ n<br />
−n<br />
−n<br />
∫ n−a<br />
= e −iat f(x) e −ixt dµ = e a (t)<br />
f(x − a) e −ixt dµ<br />
∫ n−a<br />
−n−a<br />
−n−a<br />
pero f a,n → e a ˆf en (L2 ), por tanto e a ˆf = ̂fa ∈ ̂M.<br />
Sea ahora E ∈ A, B = E c y sea<br />
f(x) e −ixt dµ,<br />
̂M = {h ∈ L 2 (R) : h = hI B<br />
c.s.},<br />
entonces ̂M es un subespacio <strong>de</strong> L 2 (R) y verifica<br />
h ∈ ̂M ⇒ e a h ∈ ̂M, para todo a ∈ R,<br />
a<strong>de</strong>más h ∈ ̂M sii < h, g >= 0 para toda g ∈ L 2 (R) tal que g = gI E<br />
c.s., por lo que ̂M es cerrado por ser <strong>la</strong> intersección <strong>de</strong> los cerrados<br />
C(g) = {h ∈ L 2 := 0}.<br />
Tenemos así un subespacio cerrado M = F −1 (̂M) invariante por tras<strong>la</strong>ciones.<br />
El siguiente resultado nos dice que así son todos estos subespacios.<br />
Teorema 9.5.6 Sea E ∈ A y M E = {f ∈ L 2 : F(f) = 0 c.s. en E},<br />
entonces M E es un subespacio cerrado <strong>de</strong> L 2 invariante por tras<strong>la</strong>ciones.<br />
A<strong>de</strong>más cada subespacio <strong>de</strong> L 2 cerrado e invariante por tras<strong>la</strong>ciones es<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> forma M E para algún E ∈ A y si hay otro F ∈ A tal que M E =<br />
M F entonces m(E∆F ) = 0, es <strong>de</strong>cir que existe una biyección entre el<br />
“espacio métrico” A/ ≃, <strong>de</strong>finido en el ejercicio (10.11.79), pág.416, y<br />
los subespacios cerrados <strong>de</strong> L 2 invariantes por tras<strong>la</strong>ciones.<br />
9.6. El álgebra <strong>de</strong> Banach L 1 (R)<br />
Definición. Diremos que E es un álgebra <strong>de</strong> Banach sobre K = R ó C,<br />
si es un K—espacio <strong>de</strong> Banach con una operación interna multiplicativa<br />
que satisface,
308 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
a) Para cada x, y, z ∈ E, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx.<br />
b) Para cada x, y ∈ E, t ∈ K, (tx)y = t(xy) = x(ty).<br />
c) Para cada x, y ∈ E, ‖xy‖ ≤ ‖x‖‖y‖.<br />
El espacio L 1 (R) con el producto <strong>de</strong> convolución es un álgebra <strong>de</strong><br />
Banach conmutativa sobre K. Es fácil ver que no tiene unidad, es <strong>de</strong>cir<br />
un elemento h ∈ L 1 , tal que h ∗ f = f, para cada f ∈ L 1 . Ya que en caso<br />
contrario <strong>de</strong>bería <strong>de</strong> ser F(h) = 1, siendo F(h) ∈ c 0 .<br />
Definición. Diremos que una función Λ : E → K es un funcional lineal<br />
multiplicativo en el álgebra <strong>de</strong> Banach E, si dados x, y ∈ E y a, b ∈ K<br />
Λ(ax + by) = aΛ(x) + bΛ(y),<br />
Λ(xy) = Λ(x)Λ(y).<br />
Teorema 9.6.1 Todo funcional lineal multiplicativo Λ : E → K es continuo<br />
y ‖Λ‖ < 1.<br />
Nuestro objetivo en esta lección consiste en caracterizar los funcionales<br />
lineales y multiplicativos en L 1 (R), es <strong>de</strong>cir los funcionales lineales<br />
Λ: L 1 (R) → C,<br />
tales que para f, g ∈ L 1<br />
Λ(f ∗ g) = Λ(f)Λ(g).<br />
Observemos que si t ∈ R y <strong>de</strong>finimos<br />
Λ: L 1 (R) → C, Λ(f) = ˆf(t),<br />
entonces Λ es un funcional lineal y multiplicativo. Veremos que así son<br />
todos.<br />
Teorema 9.6.2 Para cada funcional lineal multiplicativo Λ : L 1 → K no<br />
nulo, existe un único t ∈ R, tal que Λ(f) = ˆf(t), para cada f ∈ L 1 y<br />
ˆf = F(f).<br />
Indicación. Dado un tal funcional Λ, como Λ ∈ L ∗ 1 = L ∞ , por<br />
(6.4.7), pág.256, pues m es σ—finita, tendremos que existe g ∈ L ∞ , tal<br />
que para toda f ∈ L 1 ∫<br />
Λ(f) =<br />
fg dm.
9.7. La transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes 309<br />
En el Rudin, p.208, se <strong>de</strong>muestra que g satisface para cada x, y ∈ R<br />
(9.4) g(x + y) = g(x)g(y),<br />
por tanto g(0) = 1, pues no es nu<strong>la</strong>; se <strong>de</strong>muestra que es diferenciable y<br />
<strong>de</strong>rivando en y = 0 y l<strong>la</strong>mando k = g ′ (0) = a + bi<br />
g ′ (x) = g(x)k ⇒ g(x) = e kx = e ax e bix ,<br />
ahora bien g es acotada, por tanto a = 0 y para t = −b ∈ R, g(x) = e −itx .<br />
Por tanto<br />
Λ(f) = ˆf(t).<br />
9.7. La transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes<br />
Hemos <strong>de</strong>finido <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una f ∈ L 1 (R) como 2<br />
∫<br />
∫<br />
ˆf(t) = e −itx f(x) dµ = e −itx dν,<br />
para ∫ ν ∈ M = M(B(R), K), <strong>la</strong> medida (real o compleja) en A, ν(A) =<br />
f dµ, <strong>la</strong> cual es ν ≪ µ.<br />
A<br />
Nuestro objetivo en esta lección es exten<strong>de</strong>r <strong>la</strong>s nociones <strong>de</strong> transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier, convolución, etc. a los elementos <strong>de</strong>l espacio <strong>de</strong> Banach<br />
M, con <strong>la</strong> norma ‖µ‖ = |µ|(Ω).<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes <strong>de</strong> una medida<br />
ν ∈ M a <strong>la</strong> función<br />
∫<br />
ˆν : R → C, ˆν(t) = e −itx dν.<br />
Esta transformada conserva algunas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> L 1 (R).<br />
2 Para f ≥ 0, <strong>la</strong> igualdad ∫ gf dµ = ∫ g dν, se <strong>de</strong>muestra <strong>de</strong> forma estandar: para g<br />
indicador, simple, g ≥ 0 y en general. Para f = f + − f − real se <strong>de</strong>muestra utilizando<br />
el caso anterior y que ν + (A) = ∫ A f + dµ y ν − (A) = ∫ A f − dµ (ver el ejercicio (4.2.6),<br />
pág.163). Para f = f 1 + if 2 compleja se sigue <strong>de</strong>l anterior.
310 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
Proposición 9.7.1 Sea ν ∈ M, entonces ˆν es uniformemente continua<br />
en R y está acotada por ‖ν‖.<br />
Sin embargo no se tiene que ˆν ∈ c 0 , pues basta tomar ν = δ, <strong>la</strong><br />
medida <strong>de</strong> Dirac, que vale δ(0) = 1 y δ(B) = 0, para cada boreliano B<br />
que no contenga al 0. Para el<strong>la</strong> es ˆν = 1 en R.<br />
Es interesante observar que si ν ≪ µ y ν = fµ, entonces ˆν = ˆf,<br />
es <strong>de</strong>cir que <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes <strong>de</strong> ν coinci<strong>de</strong> con <strong>la</strong><br />
transformada <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> su <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radon–Nikodym respecto <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue (modificada).<br />
Lema 9.7.2 Si dos medidas complejas µ, λ coinci<strong>de</strong>n en un álgebra A 0<br />
<strong>de</strong> un espacio Ω, entonces coinci<strong>de</strong>n en σ(A 0 ).<br />
Demostración. Supongamos primero que son medidas reales, entonces<br />
µ = µ + − µ − y λ = λ + − λ − con <strong>la</strong>s cuatro medidas finitas y tales<br />
que <strong>la</strong>s medidas finitas (positivas) µ + + λ − y λ + + µ − coinci<strong>de</strong>n en A 0 ,<br />
por tanto en σ(A 0 ) por el Teorema <strong>de</strong> extensión <strong>de</strong> Hahn. Se sigue que<br />
también µ y λ. El caso complejo se sigue <strong>de</strong>l real.<br />
El teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto se extien<strong>de</strong> fácilmente a medidas<br />
complejas.<br />
Proposición 9.7.3 Dadas dos medidas complejas µ 1 en (Ω 1 , A 1 ) y µ 2<br />
en (Ω 2 , A 2 ), existe una única medida compleja en el espacio producto<br />
(Ω 1 × Ω 2 , A 1 ⊗ A 2 ), tal que para cada producto <strong>de</strong> medibles A × B<br />
µ 1 × µ 2 (A × B) = µ 1 (A)µ 2 (B),<br />
y que para cada medible E <strong>de</strong>l producto satisface<br />
∫<br />
∫<br />
µ 1 × µ 2 (E) = µ 1 (E y ) dµ 2 = µ 2 (E x )dµ 1 .<br />
Demostración. La unicidad es obvia por el Lema anterior pues<br />
dos medidas complejas que coinci<strong>de</strong>n en un álgebra (en nuestro caso <strong>la</strong>s<br />
uniones finitas disjuntas <strong>de</strong> productos <strong>de</strong> medibles, ver (1.2.6), pág.12)<br />
coinci<strong>de</strong>n en <strong>la</strong> σ–álgebra que genera (<strong>la</strong> σ–álgebra producto, ver (3.2.2),<br />
pág.119). Ahora para <strong>la</strong> existencia basta observar en el caso real que <strong>la</strong><br />
medida real<br />
µ = µ + 1 × µ+ 2 + µ− 1 × µ− 2 − µ− 1 × µ+ 2 − µ+ 1 × µ− 2 ,
9.7. La transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes 311<br />
satisface <strong>la</strong> propiedad, pues<br />
µ(A × B) = (µ + 1 (A) − µ− 1 (A))(µ+ 2 (B) − µ− 2 (B)) = µ 1(A)µ 2 (B).<br />
Para el caso complejo (consi<strong>de</strong>rando que <strong>la</strong>s medidas son µ = µ 1 + iµ 2<br />
y λ = λ 1 + iλ 2 ) es <strong>la</strong> medida compleja<br />
µ 1 × λ 1 − µ 2 × λ 2 + i(µ 1 × λ 2 + µ 2 × λ 1 ).<br />
Definición. Dadas dos medidas reales o complejas ν, λ ∈ M, <strong>de</strong>l espacio<br />
medible (R, B(R)), <strong>de</strong>finimos su producto <strong>de</strong> convolución como <strong>la</strong> medida<br />
ν ∗ λ = F ∗ (ν × λ), para F : R 2 → R, F (x, y) = x + y,<br />
Proposición 9.7.4 Sean ν, λ, η ∈ M y E ∈ B(R), entonces:<br />
a) ν ∗ λ(E) = ∫ ν(E − x)dλ = ∫ λ(E − x)dν = λ ∗ ν(E).<br />
b) (ν ∗ λ) ∗ η = ν ∗ (λ ∗ η), ν ∗ (λ + η) = ν ∗ λ + ν ∗ η.<br />
c) ν ∗ λ = η sii ∫ f dη = ∫ ∫ f(x + y)dνdλ, para toda f ∈ c 0 .<br />
d) ‖ν ∗ λ‖ ≤ ‖ν‖‖λ‖.<br />
e) Si ν = fµ y λ = gµ, con f, g ∈ L 1 (R), entonces ν ∗ λ = (f ∗ g)µ.<br />
f) M tiene unidad y es <strong>la</strong> δ <strong>de</strong> Dirac en 0, es <strong>de</strong>cir que para toda<br />
ν ∈ M se tiene que ν ∗ δ = ν.<br />
g) ̂ν ∗ λ = ˆν · ˆλ.<br />
También se tiene una re<strong>la</strong>ción análoga a <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Parseval.<br />
Teorema 9.7.5 Sea ν ∈ M y f ∈ L 1 (R) continua y tal que ˆf = F(f) ∈<br />
L 1 (R), entonces ∫ fdν = ∫ ˆf(t)ˆν(−t)dµ.<br />
Nota 9.7.6 Para terminar <strong>la</strong> lección sólo observar <strong>la</strong> aplicación particu<strong>la</strong>rmente<br />
importante, que tendrá para nosotros <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong><br />
Fourier–Stieltjes, cuando estudiemos <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> variables aleatorias in<strong>de</strong>pendientes.<br />
Una variable aleatoria X : Ω → R es una función medible en un<br />
espacio <strong>de</strong> Probabilidad (Ω, A, P ). Tal variable <strong>de</strong>fine una probabilidad<br />
imagen X ∗ P = P X en B(R) mediante<br />
P X (B) = P (X −1 (B)),
312 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
y se tiene que si X 1 , . . . , X n son variables aleatorias in<strong>de</strong>pendientes, es<br />
<strong>de</strong>cir tales que para cualesquiera B i ∈ B(R) y A i = X −1 (B i ), se tiene<br />
P (∩A i ) = P (A 1 ) · · · P (A n ),<br />
entonces para S = X 1 + · · · + X n se tiene que<br />
P S = P X1 ∗ · · · ∗ P Xn ,<br />
por lo que el estudio <strong>de</strong> <strong>la</strong> distribución P S <strong>de</strong> S, se pue<strong>de</strong> realizar, mediante<br />
<strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes, <strong>de</strong> una forma muy sencil<strong>la</strong><br />
ya que su transformada es el producto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s transformadas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s X i .<br />
Bibliografía y comentarios<br />
Para <strong>la</strong> confección <strong>de</strong> este tema han sido utilizados los siguientes<br />
libros:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Muhkerjea, A. and Pothoven, K.: “Real and functional Analysis”. Plenum Press,<br />
1978.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”, Tata McGraw–Hill, 1974.<br />
entre los que <strong>de</strong>stacamos este último por <strong>la</strong> excelente exposición que da<br />
a nuestro enten<strong>de</strong>r <strong>de</strong> <strong>la</strong>s transformadas <strong>de</strong> Fourier<br />
No obstante en <strong>la</strong> composición <strong>de</strong>l tema han sido utilizados otros<br />
textos que sugerimos como bibliografía complementaria.<br />
Butzer,P.L. and Nessel,R.J.: “Fourier Analysis and approximation Vol.I (One<br />
dimensional Theory)”. Birkhauser–Ver<strong>la</strong>g, 1971.<br />
Hewitt, E. and Stromberg, K.: “Real and abstract analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g,<br />
1965.<br />
Hewitt, E. and Ross, K.A.: “Abstract harmonic analysis”. Vol.I (1963), Vol.II<br />
(1970), Springer–Ver<strong>la</strong>g.<br />
Katznelson, Y.: “An introduction to harmonic analysis”. Dover, 1976.<br />
Kawata, T.: “Fourier Analysis in Probability Theory”. Ac.Press, 1972.<br />
Kolmogorov A.N. and Fomin, S.V.: “Elementos <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> funciones y <strong>de</strong>l<br />
análisis funcional”. Ed. Mir, Moscu, 1975.
9.7. La transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes 313<br />
Letac G.: “Integration et probabilites, analyse <strong>de</strong> Fourier et analyse spectrale. Exercices”.<br />
Mason, 1982.<br />
El problema <strong>de</strong> representar una función por su serie trigonométrica<br />
tiene una <strong>la</strong>rga historia y en buena medida este problema fue el causante<br />
<strong>de</strong> que se fuera ac<strong>la</strong>rando el propio concepto <strong>de</strong> función.<br />
El primero en consi<strong>de</strong>rar una serie trigonométrica<br />
a 1 sen x cos t + a 2 sen 2x cos 2t + · · · ,<br />
fue el suizo Daniel Bernoulli (1700–1782) en su intento <strong>de</strong> resolver<br />
una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s más importantes ecuaciones en <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> <strong>la</strong> física<br />
clásica: <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong> ondas. Este aseguraba que tal serie representaba<br />
<strong>la</strong> solución general, aunque no argumentaba basándose en criterios<br />
matemáticos sino físicos.<br />
Estudiando problemas en <strong>la</strong>s teorías <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong>l calor, osci<strong>la</strong>ción<br />
y otras, el Francés Joseph Fourier (1768–1830), anunció en 1807<br />
que cualquier función en x ∈ [−π, π] podía representarse por una serie<br />
trigonométrica<br />
a 0<br />
√<br />
2<br />
+<br />
∞∑<br />
(a n sen nx + b n cos nx) ,<br />
n=1<br />
para a n y b n los (ahora l<strong>la</strong>mados) coeficientes <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> <strong>la</strong> función,<br />
por esta razón tales series llevan su nombre. En 1824 dio una <strong>de</strong>mostración<br />
<strong>de</strong> esto, sin embargo los encargados <strong>de</strong> informar sobre su trabajo,<br />
Lagrange, LaP<strong>la</strong>ce y Legendre, lo criticaron por su vaguedad y<br />
“alegría” en los razonamientos sobre <strong>la</strong> convergencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> serie a <strong>la</strong> función.<br />
En un artículo <strong>de</strong> 1828, el Alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet<br />
(1805–1859) fue el primero en <strong>de</strong>mostrar rigurosamente <strong>la</strong> convergencia<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> serie <strong>de</strong> Fourier para cierta c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> funciones y esto<br />
sin tener todavía una <strong>de</strong>finición c<strong>la</strong>ra <strong>de</strong> lo que era una función. De hecho<br />
el propio Dirichlet, propuso 9 años <strong>de</strong>spués, en 1837, <strong>la</strong> siguiente<br />
<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> función:<br />
“Si una variable y está re<strong>la</strong>cionada con una variable x, <strong>de</strong> tal manera<br />
que siempre que se atribuya un valor numérico a x, hay una reg<strong>la</strong> según<br />
<strong>la</strong> cual queda <strong>de</strong>terminado un único valor <strong>de</strong> y, entonces se dice que y<br />
es una función <strong>de</strong> <strong>la</strong> variable in<strong>de</strong>pendiente x”.<br />
Esta <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> función se aproxima a <strong>la</strong> actual, <strong>de</strong> aplicación entre<br />
dos conjuntos <strong>de</strong> números reales, pero lo cierto es que los conceptos <strong>de</strong>
314 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
“conjunto <strong>de</strong> “número real. es taban lejos <strong>de</strong> tener un significado preciso<br />
en aquel<strong>la</strong> época.<br />
2<br />
Nosotros hemos probado que para cada f ∈ L 2 (T ) su serie <strong>de</strong> Fourier<br />
converge a <strong>la</strong> función<br />
f = ∑ ˆf(n) e int ,<br />
n∈Z<br />
lo cual significa que para s n (t) = ∑ n ˆf(m)u −n m (t), s n → f en (L 2 ). Sin<br />
embargo no hemos dicho nada sobre <strong>la</strong> convergencia puntual <strong>de</strong> <strong>la</strong> serie<br />
a f, es <strong>de</strong>cir <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia s n (t) → f(t), para t ∈ R.<br />
En <strong>la</strong> p.452 <strong>de</strong>l Kolmogorov–Fomin tenemos el siguiente resultado,<br />
que es incluso válido para f ∈ L 1 (T ) ⊃ L 2 (T ),<br />
“Sea f ∈ L 2 (T ), x ∈ [−π, π] y t ∈ (0, π] tales que existe y es finita <strong>la</strong><br />
integral<br />
∫ t<br />
f(x + s) − f(x)<br />
ds,<br />
s<br />
−t<br />
entonces <strong>la</strong> serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> f converge en x a f(x)”.<br />
La condición sobre <strong>la</strong> integral es conocida como condición <strong>de</strong> Dini.<br />
En particu<strong>la</strong>r se tiene que s n (x) → f(x) si f es diferenciable en x, o<br />
si existen <strong>la</strong>s <strong>de</strong>rivadas a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha y a <strong>la</strong> izquierda <strong>de</strong> f en x.<br />
Durante mucho tiempo permaneció sin contestación <strong>la</strong> conjetura <strong>de</strong><br />
si <strong>la</strong> serie <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una función f ∈ C(T ), convergía puntualmente a<br />
f. Hasta que en 1876 DuBois–Reymond dio un ejemplo <strong>de</strong> una función<br />
continua cuya serie divergía en un punto (ver Mukherjea–Pothoven,<br />
p.269). En 1915 Lusin p<strong>la</strong>nteo <strong>la</strong> cuestión <strong>de</strong> si existen funciones en<br />
L 2 (T ) cuya serie <strong>de</strong> Fourier diverja en un conjunto <strong>de</strong> medida positiva.<br />
Kolmogorov <strong>de</strong>mostró que existen funciones en L 1 (T ) cuya serie <strong>de</strong><br />
Fourier diverge en todo punto. En 1966 Carleson contesta negativamente<br />
a <strong>la</strong> cuestión <strong>de</strong> Lusin. Este resultado lo extien<strong>de</strong> Hunt, en 1968,<br />
a todos los L p para 1 < p ≤ ∞.<br />
Por último estos resultados hacen ver el ya clásico <strong>de</strong>scubrimiento <strong>de</strong><br />
1900 <strong>de</strong> Fejer como más impresionante, pues con una simple transformación<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s series <strong>de</strong> Fourier, se obtiene una convergencia uniforme<br />
para cualquier f ∈ C(T ).<br />
Teorema <strong>de</strong> Fejer 9.7.7 (Ver Kolmogorov-Fomin, p.459; Cheney, p.123).<br />
Sea f ∈ C(T ) y<br />
N∑<br />
s N (t) = f(n) e itn ,<br />
−N
9.7. La transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes 315<br />
sus sumas parciales <strong>de</strong> Fourier, entonces para g n = (s 1 + · · · + s n )/n se<br />
tiene que g n → f uniformemente en [−π, π].<br />
En su primer trabajo <strong>de</strong> 1811, sobre <strong>la</strong> difusión <strong>de</strong>l calor, Fourier<br />
introdujo, para cada f, <strong>la</strong>s integrales (que llevan su nombre)<br />
ϕ(t) =<br />
∫ ∞<br />
y <strong>de</strong> sus inversas, para x > 0<br />
0<br />
f(x) = 2 π<br />
f(x) cos tx dx, χ(t) =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
ϕ(t) cos tx dt = 2 π<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
f(x) sen tx dx,<br />
χ(t) cos tx dt,<br />
En 1822 e<strong>la</strong>boró <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales <strong>de</strong> Fourier en su libro<br />
Fourier, J.: “Theorie Analitique <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur”. 1822.<br />
Las fórmu<strong>la</strong>s anteriores <strong>la</strong>s obtuvo a partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> expansión en serie<br />
<strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una función periódica, haciendo que el intervalo <strong>de</strong><br />
periodicidad tendiese a infinito (recomendamos al lector <strong>la</strong> p.464 <strong>de</strong>l<br />
Kolmogorov–Fomin para un enfoque simi<strong>la</strong>r muy sugestivo).<br />
Combinando <strong>la</strong>s fórmu<strong>la</strong>s anteriores se obtiene el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral<br />
<strong>de</strong> Fourier,<br />
f(x) = 1 π<br />
∫ ∞ ∫ ∞<br />
0<br />
−∞<br />
f(y) cos t(y − x) dydt.<br />
Durante el siglo XIX, <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales <strong>de</strong> Fourier recibieron<br />
poca atención en comparación a <strong>la</strong> que se daba a <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s series <strong>de</strong><br />
Fourier, que ocuparon un lugar central en el Análisis. Las <strong>de</strong>mostraciones<br />
<strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Fourier, que se dieron a principios <strong>de</strong>l siglo<br />
XIX, no <strong>de</strong>cían explícitamente que condición <strong>de</strong>bía satisfacer f hacia<br />
el infinito. A lo <strong>la</strong>rgo <strong>de</strong>l siglo, cuando <strong>la</strong>s condiciones sobre f fueron<br />
establecidas, el teorema se probaba para una familia muy reducida <strong>de</strong><br />
funciones.<br />
Ya en el siglo XX, en 1910, Pringsheim encontró, en una <strong>de</strong>scripción<br />
e<strong>la</strong>borada <strong>de</strong>l trabajo que había realizado previamente sobre este tema,<br />
una única condición que era suficientemente general. Esta había sido<br />
dada por Harnack y <strong>de</strong>cía:<br />
a) f(x) → 0 cuando x → ±∞.<br />
b) f tiene en un entorno <strong>de</strong> ∞ una <strong>de</strong>rivada absolutamente integrable.
316 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
Sin embargo Pringsheim señaló que esta segunda condición no era<br />
<strong>de</strong>l todo satisfactoria y propuso en el mismo año otras condiciones para<br />
el que el teorema era válido.<br />
También en 1910 P<strong>la</strong>ncherel publica un trabajo en el que da su famosa<br />
extensión <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier a L 2 (0, ∞). Este resultado<br />
había tenido como precursor, en 1907, el Teorema <strong>de</strong> Riesz–Fischer.<br />
En 1927 Riesz da una prueba corta y elegante <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong><br />
P<strong>la</strong>ncherel y en 1933 Wiener lo <strong>de</strong>muestra utilizando que <strong>la</strong>s funciones<br />
<strong>de</strong> Hermite son una base ortonormal <strong>de</strong> L 2 (R) y autovectores <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
transformada <strong>de</strong> Fourier. (Ver Hewitt–Ross, p.251).<br />
En 1924 H.Hahn da <strong>la</strong> primera generalización, realmente significativa,<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier, introduciendo <strong>la</strong> primera versión <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes. Este fue el primer paso hacia un punto<br />
<strong>de</strong> vista distinto, que llevó a <strong>la</strong> creación en 1945 <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Teoría</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
distribuciones <strong>de</strong> L.Schwartz, <strong>de</strong> <strong>la</strong> que hab<strong>la</strong>remos mas a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte.<br />
Wiener en 1925, Bochner en 1926 y Carlemann en 1935 contribuyeron<br />
en una u otra forma al nacimiento <strong>de</strong> esta nueva teoría.<br />
Remitimos al lector a <strong>la</strong>s pp.73–87 <strong>de</strong>l libro<br />
Lutzen J.: “The prehistory of the theory of distributions”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1982.<br />
Hemos comentado en el tema dos aplicaciones particu<strong>la</strong>rmente importantes<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier. Una en <strong>la</strong>s ecuaciones diferenciales,<br />
que pasamos a comentar, y otra en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> Probabilida<strong>de</strong>s, <strong>de</strong> <strong>la</strong> que<br />
hab<strong>la</strong>remos en temas posteriores.<br />
La aplicación <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier a <strong>la</strong>s ecuaciones diferenciales<br />
se basa en que convierte <strong>la</strong> operación <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación en <strong>la</strong> <strong>de</strong> multiplicación<br />
por <strong>la</strong> variable in<strong>de</strong>pendiente —salvo un factor complejo—. Por<br />
tanto una ecuación diferencial <strong>de</strong> coeficientes constantes, se convierte por<br />
<strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier en una ecuación algebraica. Sin embargo a<br />
este método se le suele dar poca importancia en el caso <strong>de</strong> <strong>la</strong>s ecuaciones<br />
diferenciales ordinarias, ya que <strong>la</strong> solución <strong>de</strong> estas no ofrece dificulta<strong>de</strong>s.<br />
A<strong>de</strong>más el método <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada es posible si <strong>la</strong> función incógnita<br />
es integrable en toda <strong>la</strong> recta y esto en general no es así.<br />
De mayor importancia es <strong>la</strong> aplicación <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada a ecuaciones<br />
en <strong>de</strong>rivadas parciales, don<strong>de</strong> permite reducir <strong>la</strong> solución <strong>de</strong> esta a <strong>la</strong><br />
solución <strong>de</strong> una ecuación diferencial ordinaria. Para una ilustración <strong>de</strong><br />
esto remitimos al lector a <strong>la</strong> pág.479 <strong>de</strong>l Kolmogorov–Fomin, don<strong>de</strong><br />
se resuelve el problema <strong>de</strong> Cauchy para <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong>l calor.<br />
Decíamos que <strong>la</strong> posibilidad <strong>de</strong> aplicar el método <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier a <strong>la</strong>s ecuaciones diferenciales resulta consi<strong>de</strong>rablemente res-
9.7. La transformada <strong>de</strong> Fourier–Stieltjes 317<br />
tringida, <strong>de</strong>bido a que esta transformación está <strong>de</strong>finida en L 1 (R). Sin<br />
embargo se pue<strong>de</strong> obtener una ampliación sustancial <strong>de</strong> su campo <strong>de</strong><br />
aplicación introduciendo el concepto <strong>de</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier para<br />
funciones generalizadas.<br />
Esta i<strong>de</strong>a fue introducida en 1945 por L.Schwartz quien publicó el<br />
célebre tratado en dos volúmenes<br />
Schwartz, L.: “Theorie <strong>de</strong>s distributions”. Hermann, 1973.<br />
Las funciones generalizadas son el espacio dual <strong>de</strong> un cierto espacio,<br />
l<strong>la</strong>mado <strong>de</strong> funciones test que sea “suficientemente pequeño e importante”,<br />
con el objeto <strong>de</strong> que su dual sea suficientemente gran<strong>de</strong> y con buenas<br />
propieda<strong>de</strong>s. Ejemplos <strong>de</strong> funciones test son Cc<br />
∞ (R) —funciones <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se<br />
∞ y <strong>de</strong> soporte compacto—, ó el espacio <strong>de</strong> Schwartz S ∞ , que son <strong>la</strong>s<br />
funciones <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se ∞ que se anu<strong>la</strong>n en el infinito más rápido que cualquier<br />
potencia <strong>de</strong> 1/|x|, más concretamente si x n f (m (x) está acotado<br />
para todo n, m ≥ 0, lo cual equivale a que (x n f) (m (x) esté acotado para<br />
todo n, m ≥ 0 y en este espacio po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir para cada n, m ≥ 0 <strong>la</strong>s<br />
seminormas<br />
‖f‖ n,m = sup{(1 + |x|) n |f (m (x)| : x ∈ R},<br />
con <strong>la</strong>s que S ∞ es un espacio <strong>de</strong> Frechet, es <strong>de</strong>cir es completo (ver Fol<strong>la</strong>nd,<br />
pág.227).<br />
Es sencillo probar que S ∞ ⊂ L 1 y en <strong>la</strong> pág.244 <strong>de</strong>l Fol<strong>la</strong>nd se<br />
<strong>de</strong>muestra que<br />
F : S ∞ → S ∞ ,<br />
es un isomorfismo. Esta simple propiedad permite exten<strong>de</strong>r el concepto<br />
<strong>de</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier a S ∗ ∞ <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente manera<br />
F ∗ : S ∗ ∞ → S ∗ ∞,<br />
F ∗ (ω)f = ω[F(f)],<br />
para cada ω ∈ S∞ ∗ y f ∈ S ∞ . Con esta <strong>de</strong>finición exten<strong>de</strong>mos <strong>la</strong> transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier a una c<strong>la</strong>se mucho mas amplia que L 1 (R), conservando<br />
sus propieda<strong>de</strong>s fundamentales.<br />
Como Cc<br />
∞ (R) ⊂ S ∞ , se tiene que<br />
S ∗ ∞ ⊂ D ∞ = C ∞ c (R) ∗ .<br />
A S ∗ ∞ se le l<strong>la</strong>ma espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s distribuciones temperadas y a D ∞ espacio<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s distribuciones.<br />
Remitimos al lector interesado en un tratamiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier en esta linea, a los siguientes libros.
318 Capítulo 9. La transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
Fried<strong>la</strong>n<strong>de</strong>r,F.G.: “Introduction to the theory of distributions”. Cambridge Univ.Press<br />
1982.<br />
Critescu, R. and Marinescu, G.: “Applications to the theory of distributions”.<br />
John Wiley, 1973.<br />
Weidman,J.: “Linear operators in Hilbert Spaces”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1980.<br />
Yosida, K.: “Functional Analysis”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
Para un análisis <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier en L 2 (R), <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un<br />
punto <strong>de</strong> vista distinto —a partir <strong>de</strong> <strong>la</strong>s transformaciones unitarias en<br />
un espacio <strong>de</strong> Hilbert, es <strong>de</strong>cir isomorfismos isométricos <strong>de</strong> un espacio<br />
<strong>de</strong> Hilbert en si mismo—, nos remitimos al capítulo 13 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong><br />
Zaanen, A.C.: “Integration”. North–Hol<strong>la</strong>nd, 1967.<br />
Por último dado un grupo conmutativo localmente compacto se pue<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>mostrar que existe una medida, l<strong>la</strong>mada <strong>de</strong> Haar y <strong>de</strong> <strong>la</strong> que hab<strong>la</strong>remos<br />
en el próximo capítulo, distinta <strong>de</strong> cero sobre los abiertos, acotada<br />
sobre los compactos e invariante por tras<strong>la</strong>ciones. Sobre este grupo con<br />
esta medida en los borelianos <strong>de</strong>l grupo se consi<strong>de</strong>ra el espacio L 1 que<br />
es un anillo normado con el producto <strong>de</strong> convolución, al que se le aña<strong>de</strong><br />
una unidad formal si no <strong>la</strong> tiene. En estas condiciones todo elemento <strong>de</strong>l<br />
anillo se representa como una función en su espectro —conjunto <strong>de</strong> todos<br />
sus i<strong>de</strong>ales maximales—, que hace correspon<strong>de</strong>r al producto (<strong>de</strong> convolución)<br />
en el anillo el producto ordinario <strong>de</strong> funciones en el espectro. Esta<br />
correspon<strong>de</strong>ncia es <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier.<br />
Este aspecto <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier es <strong>la</strong> base <strong>de</strong>l Análisis<br />
armónico sobre los grupos conmutativos localmente compactos. Remitimos<br />
al lector intereresado al libro<br />
Gelfand,I.M.; Raikov,D.A. and Chilov,G.E.: “Les anneaux normes commutatifs”.<br />
Gauthier-Vil<strong>la</strong>rs, Paris, 1964.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 9
Capítulo 10<br />
<strong>Medida</strong> y topología<br />
10.1. Espacios Hausdorff LC<br />
En esta lección estudiaremos algunas cuestiones re<strong>la</strong>tivas a una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
propieda<strong>de</strong>s topológicas mas importantes y características <strong>de</strong> los espacios<br />
euclí<strong>de</strong>os, <strong>la</strong> compacidad local. La razón <strong>de</strong> incluir esta lección en el<br />
programa es que trata un concepto no <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>do habitualmente en los<br />
textos <strong>de</strong> topología general, al menos en cuanto a los resultados que son<br />
<strong>de</strong> interés para nosotros.<br />
Definición. Diremos que un espacio topológico (X , T ) —a partir <strong>de</strong><br />
ahora sólo X — es localmente compacto (LC) si para cada x ∈ X y U<br />
abierto entorno <strong>de</strong> x, existe 1 un entorno compacto <strong>de</strong> x en U. Diremos<br />
que el espacio es σ–compacto si es unión numerable <strong>de</strong> compactos. Recor<strong>de</strong>mos<br />
que X es Hausdorff si dados x, y ∈ X distintos tienen entornos<br />
disjuntos. Diremos que un espacio es HLC si es Hausdorff y localmente<br />
compacto.<br />
Los siguientes resultados se siguen prácticamente <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>de</strong>finiciones.<br />
1 Esta no es <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> autores como: Ash, Rudin ó Fol<strong>la</strong>nd; que dan <strong>la</strong> (c) <strong>de</strong><br />
(10.1.3). En ese resultado probamos que son equivalentes si el espacio es Hausdorff.<br />
Para <strong>la</strong> que damos aquí es válido que un abierto <strong>de</strong> un espacio LC es LC, mientras<br />
que para <strong>la</strong> otra en general no, y por tanto no es una buena <strong>de</strong>finición local.<br />
319
320 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Proposición 10.1.1 Sea X un espacio topológico, entonces:<br />
(a) Si F ⊂ K ⊂ X , F es cerrado y K compacto entonces F es<br />
compacto.<br />
(b) Si X es Hausdorff, K ⊂ X compacto y x /∈ K, entonces existen<br />
abiertos U y V disjuntos tales que x ∈ U y K ⊂ V .<br />
(c) Si X es Hausdorff y K ⊂ X compacto entonces K es cerrado.<br />
(d) Si X es Hausdorff, F ⊂ X cerrado y K ⊂ X compacto entonces<br />
F ∩ K es compacto.<br />
Se sigue <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición y <strong>de</strong>l resultado anterior, que en un espacio<br />
HLC los abiertos re<strong>la</strong>tivamente compactos, es <strong>de</strong>cir con adherencia compacta,<br />
forman una base para <strong>la</strong> topología (recor<strong>de</strong>mos que una base <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> topología es una colección <strong>de</strong> abiertos tal que cualquier abierto <strong>de</strong>l<br />
espacio se pue<strong>de</strong> poner como unión <strong>de</strong> abiertos básicos).<br />
Proposición 10.1.2 Todo abierto <strong>de</strong> un espacio HLC, con una base numerable<br />
es σ–compacto.<br />
Demostración. Todo punto <strong>de</strong>l abierto tiene un entorno compacto<br />
en el abierto y este uno <strong>de</strong> <strong>la</strong> base con adherencia compacta y estos son<br />
numerables.<br />
Teorema 10.1.3 Sea X Hausdorff, entonces son equivalentes:<br />
(a) X es localmente compacto.<br />
(b) Si K es compacto, U abierto y K ⊂ U, entonces hay un abierto<br />
V re<strong>la</strong>tivamente compacto, tal que K ⊂ V ⊂ V ⊂ U.<br />
(c) Cada x ∈ X tiene un entorno compacto.<br />
Demostración. (a)⇒(b)⇒(c) son obvias.<br />
Veamos (c)⇒(a): Sea x ∈ U con U abierto y consi<strong>de</strong>remos un entorno<br />
abierto <strong>de</strong> x, W con adherencia compacta K = W . Consi<strong>de</strong>remos el<br />
cerrado E = U c y para cada y ∈ E abiertos disjuntos U y entorno <strong>de</strong> x<br />
y E y entorno <strong>de</strong> y (por ser el espacio Hausdorff), por tanto tales que<br />
y /∈ U y . Entonces los compactos K y = E ∩ K ∩ U y tienen intersección<br />
∩ y∈E K y = ∅ y se sigue <strong>de</strong> (1.5.3), pág.27, que una colección finita <strong>de</strong><br />
ellos también, K y1 ∩ · · · ∩ K yn = ∅ y el abierto<br />
V = W ∩ U y1 ∩ · · · ∩ U yn ,<br />
satisface el resultado pues V ⊂ K ∩ U y1 ∩ · · · ∩ U yn ⊂ U.
10.1. Espacios Hausdorff LC 321<br />
Proposición 10.1.4 Sea X un espacio HLC y ¯X = X ∪{p}, don<strong>de</strong> p /∈ X .<br />
Los abiertos <strong>de</strong> X junto con los complementarios en ¯X , <strong>de</strong> los compactos 2<br />
<strong>de</strong> X , forman una topología en ¯X para <strong>la</strong> que <strong>la</strong> inclusión X → ¯X es<br />
continua y ¯X es Hausdorff y compacto.<br />
Demostración. Veamos que es topología:<br />
(i) ∅ y ¯X son abiertos.<br />
(ii) Si A, B son abiertos <strong>de</strong> X , A ∩ B también. Si A lo es <strong>de</strong> X y<br />
B = ¯X \K es entorno <strong>de</strong> p, entonces A ∩ B ⊂ X y es abierto pues es el<br />
complementario en X <strong>de</strong>l cerrado (X \A)∩K. Si A = ¯X \K 1 y B = ¯X \K 2<br />
son entornos <strong>de</strong> p, su intersección también pues es el complementario <strong>de</strong>l<br />
compacto K 1 ∪ K 2 .<br />
(iii) Si A i son abiertos <strong>de</strong> X su unión A es abierto <strong>de</strong> X ; si B j = ¯X \K j<br />
son entornos <strong>de</strong> p, su unión ¯X \K, para el compacto K = ∩K j es entorno<br />
<strong>de</strong> p y <strong>la</strong> unión <strong>de</strong> todos estos abiertos es A ∪ ( ¯X \K) que es un entorno<br />
<strong>de</strong> p, complementario <strong>de</strong>l compacto (X \A) ∩ K ⊂ X .<br />
Para ver que ¯X es compacto sea V i un recubrimiento por abiertos y<br />
sea ¯X \K = V k uno que contenga a p, entonces<br />
¯X = ( ¯X \K) ∪ (∪ i≠k V i ) ⇒ K ⊂ ∪ i≠k V i ⇒ K ⊂ ∪ i≠k V i \{p}<br />
y po<strong>de</strong>mos extraer un subrecubrimiento finito pues los V i \{p} son abiertos<br />
<strong>de</strong> X .<br />
Para ver que es Hausdorff basta verlo para x ∈ X y p. Tomando un<br />
entorno compacto K <strong>de</strong> x y un entorno abierto <strong>de</strong> x, U ⊂ K, U y ¯X \K<br />
son abiertos disjuntos que separan los puntos.<br />
Este resultado nos permite dar <strong>la</strong> siguiente <strong>de</strong>finición.<br />
Definición. Sea X un espacio topológico HLC, l<strong>la</strong>mamos compactificación<br />
<strong>de</strong> X por un punto (ó <strong>de</strong> Alexandrov) al espacio topológico compacto<br />
¯X = X ∪ {p}, formado por su unión (disjunta) con un punto p /∈ X y<br />
consi<strong>de</strong>rando <strong>la</strong> topología en <strong>la</strong> que los abiertos son los <strong>de</strong> X y los complementarios<br />
en ¯X , <strong>de</strong> los compactos <strong>de</strong> X (que son los abiertos entornos<br />
<strong>de</strong> p).<br />
Definición. Sea X un espacio topológico y f : X → K una función, para<br />
K = R ó = C. L<strong>la</strong>mamos soporte <strong>de</strong> f al conjunto<br />
2 que serán los entornos <strong>de</strong> p<br />
sop(f) = {x ∈ X : f(x) ≠ 0},
322 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
y <strong>de</strong>notaremos con C c (X ) el K–espacio vectorial <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones f : X →<br />
K continuas <strong>de</strong> soporte compacto. Es obvio que si f ∈ C c (X ), entonces<br />
f(X ) es un compacto <strong>de</strong> K.<br />
A continuación vamos a exponer una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s mas importantes<br />
<strong>de</strong>l espacio C c (X ) para el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida en<br />
un espacio HLC. Pero antes veamos algunos resultados sobre funciones<br />
semicontinuas.<br />
Definición. Diremos que una función f : X → [−∞, ∞] es semicontinua<br />
inferiormente si para cada a ∈ R, f −1 [−∞, a] = {x ∈ X : f(x) ≤ a}<br />
es cerrado. Diremos que es semicontinua superiormente si f −1 [a, ∞] es<br />
cerrado ó equivalentemente −f es semicontinua inferiormente.<br />
Proposición 10.1.5 (a) f : X → R es continua sii es semicontinua inferior<br />
y superiormente.<br />
(b) El supremo <strong>de</strong> cualquier colección <strong>de</strong> funciones semicontinuas<br />
inferiormente también lo es y el mínimo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s colecciones finitas. El<br />
ínfimo <strong>de</strong> cualquier colección <strong>de</strong> funciones semicontinuas superiormente<br />
también lo es y el máximo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s colecciones finitas.<br />
(c) Si V es abierto I V es semicontinua inferiormente. Si C es cerrado<br />
I C es semicontinua superiormente.<br />
Lema <strong>de</strong> Urysohn 10.1.6 Sea (X , T ) un espacio topológico HLC y sean<br />
K ⊂ V , con K compacto y V abierto, entonces existe f ∈ C c (X ), tal que<br />
sop(f) ⊂ V e I K ≤ f ≤ I V .<br />
Demostración. Sea Q ∩ [0, 1] = {r 0 , r 1 , r 2 , . . .}, con r 0 = 0, r 1 = 1<br />
y r n ∈ (0, 1). Por (10.1.3) existe un abierto V 0 con adherencia compacta<br />
y <strong>de</strong>spués un abierto V 1 con adherencia compacta tales que<br />
K ⊂ V 1 ⊂ V 1 ⊂ V 0 ⊂ V 0 ⊂ V,<br />
ahora como r 0 = 0 < r 2 < 1 = r 1 aplicamos <strong>de</strong> nuevo (10.1.3) y existe<br />
un abierto V 2 con adherencia compacta tal que<br />
V 1 ⊂ V 2 ⊂ V 2 ⊂ V 0 ,<br />
y proce<strong>de</strong>mos por inducción <strong>de</strong> tal forma que para r 0 , . . . , r n los abiertos<br />
V i correspondientes satisfacen<br />
r i < r j ⇒ V j ⊂ V i ,
10.1. Espacios Hausdorff LC 323<br />
y el abierto V n+1 con adherencia compacta, correspondiente a r n+1 , se<br />
construye consi<strong>de</strong>rando r i < r n+1 < r j con<br />
r i = máx{r k : k = 0, 1, . . . , n; r k < r n+1 },<br />
r j = mín{r k : k = 0, 1, . . . , n; r k > r n+1 },<br />
ahora aplicando (10.1.3) existe V n+1 tal que<br />
V j ⊂ V n+1 ⊂ V n+1 ⊂ V i ,<br />
<strong>de</strong> este modo construimos una sucesión <strong>de</strong> abiertos V n uno para cada<br />
racional r n <strong>de</strong> [0, 1], tales que si r n < r m , V m ⊂ V n . Ahora consi<strong>de</strong>ramos<br />
<strong>la</strong>s funciones semicontinuas inferior y superiormente respectivamente<br />
f n (x) =<br />
{<br />
r n si x ∈ V n ,<br />
0 si x /∈ V n ,<br />
g n (x) =<br />
{<br />
1 si x ∈ V n ,<br />
r n si x /∈ V n ,<br />
y <strong>la</strong>s funciones, semicontinua inferiormente <strong>la</strong> f = sup{f n }, y semicontinua<br />
superiormente <strong>la</strong> g = ínf{g n }, para <strong>la</strong>s que 0 ≤ f ≤ 1, f(x) = 1<br />
para x ∈ K y sop(f) ⊂ V 0 . Ahora basta <strong>de</strong>mostrar que f = g.<br />
Por una parte f ≤ g, pues para cualesquiera n, m ∈ N, f n ≤ g m , ya<br />
que<br />
r n ≤ r m ⇒ f n ≤ r n ≤ r m ≤ g m ,<br />
r n > r m ⇒ V n ⊂ V m ⇒ f n ≤ g m ,<br />
y si para un x es f(x) < g(x), existen r n , r m ∈ [0, 1] ∩ Q tales que<br />
f n (x) ≤ f(x) < r n < r m < g(x) ≤ g m (x),<br />
lo cual implica por una parte que V m ⊂ V n y por otra que<br />
y llegamos a un absurdo.<br />
f n (x) = 0 y g m (x) = 1 ⇒ x ∈ V c n ∩ V m ,<br />
Como consecuencia po<strong>de</strong>mos construir particiones <strong>de</strong> <strong>la</strong> unidad en un<br />
espacio Hausdorff localmente compacto. Esta herramienta fundamental<br />
que habitualmente se utiliza para reducir un problema <strong>de</strong> naturaleza<br />
global a uno local, <strong>la</strong> vamos a usar en el teorema <strong>de</strong> representación <strong>de</strong><br />
Riesz.
324 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Teorema <strong>de</strong> Particiones <strong>de</strong> <strong>la</strong> unidad 10.1.7 Sea X HLC, K ⊂ X compacto<br />
y V 1 , . . . , V n abiertos que recubren a K. Entonces existen f 1 , . . . , f n ∈<br />
C c (X ), tales que f i (X ) ⊂ [0, 1], sop(f i ) ⊂ V i y en K <strong>la</strong> ∑ n<br />
i=1 f i = 1.<br />
Demostración. Para cada i = 1, . . . , n, existen abiertos U i con U i<br />
compacto, tales que K ⊂ ∪ n i=1 U i y U i ⊂ U i ⊂ V i , para ello basta consi<strong>de</strong>rar<br />
por (10.1.3), para cada x ∈ K e i tal que x ∈ V i , un entorno abierto<br />
U x ⊂ U x ⊂ V i , y extraer un subrecubrimiento finito, U xj y para cada i<br />
unir los que satisfacen U xj ⊂ V i . Ahora por el Lema <strong>de</strong> Urysohn existen<br />
g i ∈ C c (X ), con I Ui<br />
≤ g i ≤ I Vi y sop g i ⊂ V i . Consi<strong>de</strong>remos ahora <strong>la</strong>s<br />
funciones <strong>de</strong> C c (X )<br />
f 1 = g 1 , f 2 = (1 − g 1 )g 2 , . . . , f n = (1 − g 1 ) · · · (1 − g n−1 )g n ,<br />
para <strong>la</strong>s que {f i ≠ 0} ⊂ {g i ≠ 0}, por tanto sop f i ⊂ V i , f i ≤ I Vi<br />
inducción se <strong>de</strong>muestra que<br />
y por<br />
f 1 + · · · + f n = 1 − (1 − g 1 ) · · · (1 − g n ),<br />
por tanto en K, f 1 + · · · + f n = 1 pues K ⊂ U 1 ∪ · · · ∪ U n .<br />
10.2. <strong>Medida</strong>s regu<strong>la</strong>res<br />
A lo <strong>la</strong>rgo <strong>de</strong> toda <strong>la</strong> lección supondremos que (X , T ) es un espacio<br />
topológico Hausdorff localmente compacto y que A es una σ–álgebra<br />
que contiene a los borelianos B(X ). En <strong>la</strong> lección (1.7.6), pág.57, hemos<br />
estudiado <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> regu<strong>la</strong>ridad en <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> R n . Ahora<br />
<strong>la</strong>s volvemos a estudiar en estos espacios.<br />
Definición. Diremos que µ es cuasi–regu<strong>la</strong>r en (X , A) si µ es finita en<br />
los compactos <strong>de</strong> X , es regu<strong>la</strong>r exterior en cada E ∈ A, es <strong>de</strong>cir<br />
µ(E) = ínf{µ(V ) : E ⊂ V, V abierto},<br />
y es regu<strong>la</strong>r interior en los abiertos y en los E ∈ A con µ(E) < ∞, es<br />
<strong>de</strong>cir tal que en este tipo <strong>de</strong> conjuntos<br />
µ(E) = sup{µ(K) : K ⊂ E, K compacto}.
10.2. <strong>Medida</strong>s regu<strong>la</strong>res 325<br />
Un espacio (X , A, µ) en estas condiciones será l<strong>la</strong>mado cuasi–regu<strong>la</strong>r.<br />
Diremos que µ es regu<strong>la</strong>r si es finita en los compactos, regu<strong>la</strong>r exterior<br />
y regu<strong>la</strong>r interior en todo E ∈ A y en tal caso diremos que el espacio <strong>de</strong><br />
medida es regu<strong>la</strong>r.<br />
Como un ejemplo hemos visto en (1.7.19), pág.59, que los espacios<br />
(R n , B(R n ), µ) con µ finita en los compactos (i.e. <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes)<br />
son regu<strong>la</strong>res, en particu<strong>la</strong>r para µ = m <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue. La base<br />
<strong>de</strong> ese resultado radica en que todo abierto <strong>de</strong> R n es σ–compacto. Veremos<br />
a continuación que el resultado sigue siendo válido en los espacios<br />
con esta propiedad (recor<strong>de</strong>mos que por (10.1.2), pág.320, si el espacio<br />
tiene base numerable todo abierto suyo es σ–compacto).<br />
Teorema 10.2.1 Sea (X , T ) Hausdorff localmente compacto, tal que todo<br />
abierto es σ–compacto. Entonces toda medida µ en B(X ) finita en los<br />
compactos es regu<strong>la</strong>r.<br />
Demostración. La <strong>de</strong>mostración es como en (1.7.19), pág.59, modificando<br />
ligeramente el final, don<strong>de</strong> utilizabamos <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> abiertos<br />
V n , con adherencia compacta (por tanto con µ(V n ) < ∞) y tales que<br />
V n ↑ X . En nuestro caso esto se sigue <strong>de</strong> (10.1.3b), pág.320, pues basta<br />
consi<strong>de</strong>rar un recubrimiento numerable <strong>de</strong>l espacio por compactos K n ,<br />
consi<strong>de</strong>rar para cada uno un abierto re<strong>la</strong>tivamente compacto U n ⊃ K n<br />
y <strong>de</strong>finir los abiertos V n = ∪ n i=1 U i.<br />
Como <strong>de</strong>cíamos al principio <strong>de</strong> <strong>la</strong> lección supondremos que (X , T ) es<br />
un espacio topológico Hausdorff localmente compacto y que A es una<br />
σ–álgebra que contiene a los borelianos B(X ).<br />
Proposición 10.2.2 Sea µ una medida en (X , B(X )) finita en los compactos<br />
<strong>de</strong> X , regu<strong>la</strong>r exterior en cada E ∈ B(X ) y regu<strong>la</strong>r interior en los<br />
abiertos, entonces es cuasi–regu<strong>la</strong>r.<br />
Demostración. Falta ver que µ es regu<strong>la</strong>r interior en cada boreliano<br />
E con µ(E) < ∞. Por ser µ regu<strong>la</strong>r exterior en E, para cada ɛ > 0 existe<br />
un abierto V ⊃ E, tal que µ(V ∩ E c ) < ɛ y por lo mismo existe otro<br />
abierto U ⊃ V ∩ E c , tal que µ(U) < ɛ. Ahora por ser regu<strong>la</strong>r interior en<br />
V y µ(V ) < ∞, existe un compacto K ⊂ V , tal que µ(V ∩ K c ) < ɛ y el<br />
compacto K ∩ U c ⊂ E verifica que<br />
µ[E ∩ (K c ∪ U)] ≤ µ(E ∩ K c ) + µ(E ∩ U)<br />
≤ µ(V ∩ K c ) + µ(U) < 2ɛ.
326 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Proposición 10.2.3 (a) Una medida cuasi–regu<strong>la</strong>r y σ–finita es regu<strong>la</strong>r.<br />
(b) Si X es σ–compacto toda medida cuasi–regu<strong>la</strong>r es regu<strong>la</strong>r.<br />
Demostración. (a) Falta ver que µ es regu<strong>la</strong>r interior en los E ∈ A,<br />
con µ(E) = ∞, pero como existe una sucesión <strong>de</strong> medibles A n ↑ X , con<br />
µ(A n ) < ∞, tendremos que µ(E ∩ A n ) ↑ µ(E) = ∞, por tanto para cada<br />
k > 0, existe un n, tal que<br />
k < µ(E ∩ A n ) ≤ µ(A n ) < ∞<br />
y por regu<strong>la</strong>ridad interior existe un compacto K ⊂ E ∩ A n ⊂ E, tal que<br />
k < µ(K).<br />
(b) Se sigue <strong>de</strong> (a) pues µ es finita en los compactos, por tanto σ–<br />
finita.<br />
Definición. Diremos que una medida (real para µ 2 = 0 ó en general<br />
compleja)<br />
µ = µ 1 + iµ 2 = µ + 1 − µ− 1 + iµ+ 2 − iµ− 2<br />
∈ M(B(X ), K),<br />
es regu<strong>la</strong>r si <strong>la</strong>s cuatro medidas finitas µ ± i son regu<strong>la</strong>res. Denotaremos<br />
estas medidas con M r (B(X ), K) ó con M r si no hay confusión. Recor<strong>de</strong>mos<br />
que M es un K–espacio <strong>de</strong> Banach con <strong>la</strong> norma ‖µ‖ = |µ|(X ).<br />
Proposición 10.2.4 µ ∈ M es regu<strong>la</strong>r sii lo es su variación |µ|. A<strong>de</strong>más<br />
M r es un subespacio cerrado <strong>de</strong> M.<br />
Demostración. Como una medida positiva λ finita es regu<strong>la</strong>r sii<br />
para cada E ∈ B(Ω) y ɛ > 0, existe un compacto K y un abierto U<br />
tales que K ⊂ E ⊂ U y λ(U\K) < ɛ, se tiene que si λ 1 ≤ λ 2 son<br />
medidas positivas y λ 2 es regu<strong>la</strong>r, entonces también lo es λ 1 y que <strong>la</strong><br />
suma <strong>de</strong> medidas positivas regu<strong>la</strong>res también lo es, <strong>de</strong> esto se sigue que<br />
µ = µ 1 + iµ 2 = µ + 1 − µ− 1 + iµ+ 2 − iµ− 2 , es regu<strong>la</strong>r sii lo es |µ|, pues<br />
µ ± i ≤ |µ| ≤ µ + 1 + µ− 1 + µ+ 2 + µ− 2 ,<br />
y que M r es un subespacio <strong>de</strong> M. Veamos que es cerrado, si µ n ∈ M r<br />
y ‖µ − µ n ‖ → 0, entonces µ ∈ M r pues si K ⊂ U, entonces<br />
|µ|(U\K) ≤ |µ − µ n |(U\K) + |µ n |(U\K) ≤ ‖µ − µ n ‖ + |µ n |(U\K),<br />
por tanto M r es un espacio <strong>de</strong> Banach.
10.2. <strong>Medida</strong>s regu<strong>la</strong>res 327<br />
10.2.1. Funciones continuas y funciones medibles<br />
Veamos ahora algunos resultados fundamentales que nos re<strong>la</strong>cionan<br />
<strong>la</strong>s funciones medibles con <strong>la</strong>s funciones continuas, en particu<strong>la</strong>r veremos<br />
que una función medible pue<strong>de</strong> convertirse en una función continua<br />
variando sus valores en un conjunto <strong>de</strong> medida tan pequeña como queramos.<br />
Teorema <strong>de</strong> Lusin 10.2.5 Sea (X , A, µ) cuasi–regu<strong>la</strong>r y f : X → K medible<br />
con µ{f ≠ 0} < ∞. Entonces para cada ɛ > 0 existe g ∈ C c (X ) tal<br />
que<br />
µ{x ∈ X : f(x) ≠ g(x)} < ɛ.<br />
a<strong>de</strong>más g pue<strong>de</strong> obtenerse verificando ‖g‖ ′ ∞ = sup |g| ≤ ‖f‖ ′ ∞ = sup |f|.<br />
Demostración. (a) Supongamos primero que 0 ≤ f < 1 y que<br />
existe A ⊃ F = {f ≠ 0} compacto, por tanto existe un abierto V con<br />
A ⊂ V y V compacto. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> funciones simples<br />
que construimos en (2.2.8), pág.79,<br />
f n =<br />
2 n ∑<br />
i=1<br />
i − 1<br />
2 n I f −1 [ i−1<br />
2 n , i<br />
2 n ),<br />
con f n ↑ f. Sea ahora t 1 = f 1 y para n ≥ 2, t n = f n − f n−1 , <strong>la</strong>s cuales<br />
toman sólo dos valores 0 y 1/2 n , pues si f(x) ∈ [ j−1 j<br />
2<br />
, n−1 2<br />
) = [ 2j−2<br />
n−1 2<br />
, 2j<br />
n 2<br />
), n<br />
f n−1 (x) = 2j − 2<br />
2 n y f n (x) =<br />
{<br />
2j−2<br />
2 n , si f(x) ∈ [ 2j−2<br />
2<br />
, 2j−1<br />
n 2<br />
), n<br />
2j−1<br />
2 n si f(x) ∈ [ 2j−1<br />
2<br />
, 2j<br />
n 2<br />
), n<br />
por tanto 2 n t n = I Cn , con C n ⊂ A y ∑ t n = lím f n = f. Ahora por<br />
<strong>la</strong> regu<strong>la</strong>ridad <strong>de</strong> µ en C n existen abiertos V n ⊂ V y compactos K n<br />
con K n ⊂ C n ⊂ V n tales que µ(V n \K n ) < 2 −n ɛ y por el Lema <strong>de</strong><br />
Urysohn existen h n ∈ C c (X ), con I Kn ≤ h n ≤ I Vn y sop h n ⊂ V n , por<br />
tanto h n = I Cn salvo en V n \K n . Ahora <strong>la</strong> serie g = ∑ 2 −n h n converge<br />
uniformemente, por tanto g es continua y <strong>de</strong> soporte compacto pues<br />
{g ≠ 0} ⊂ ∪ sop h n ⊂ ∪V n ⊂ V ,<br />
por tanto g ∈ C c (X ) y f = ∑ t n = ∑ 2 −n h n = g excepto en E =<br />
∪V n \K n y µ(E) < ɛ.<br />
(b) Si f es medible no negativa y acotada, 0 ≤ f < M, y A compacto<br />
el resultado se sigue aplicando (a) a f ′ = f/M.
328 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
(c) Si f es medible real y acotada y A compacto aplicamos (b) a f +<br />
y a f − .<br />
(d) Si f es medible real y acotada pero no existe el compacto A, por<br />
regu<strong>la</strong>ridad interior en F existe un compacto K ⊂ F , con µ(F \K) < ɛ/2<br />
y aplicamos (c) a f ′ = fI K , observando que f = f ′ salvo en F \K y que<br />
{f ′ = g} ∩ {f = f ′ } ⊂ {f = g}, y el resultado se sigue pasando a los<br />
complementarios.<br />
(e) Si f es medible real, consi<strong>de</strong>ramos A n = {|f| > n} ⊂ F , siendo<br />
A n ↓ ∅, por tanto µ(A n ) ↓ 0 y aplicamos (d) a f ′ = fI A c n<br />
que es acotada<br />
y f = f ′ salvo en A n . Si f es compleja consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> parte real y <strong>la</strong><br />
imaginaria.<br />
Por último si sup |f| = a < ∞, consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> aplicación continua<br />
φ(z) = z si |z| < a y φ(z) = az/|z| si |z| ≥ a, entonces φ ◦ g satisface los<br />
dos apartados, pues {φ ◦ g ≠ f} ⊂ {g ≠ f}.<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> este resultado y <strong>de</strong>l Lema <strong>de</strong> Borel–Cantelli,<br />
tenemos que <strong>la</strong>s funciones medibles acotadas, son límite c.s. <strong>de</strong> funciones<br />
continuas.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 10.2.6 En <strong>la</strong>s condiciones <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Lusin supongamos<br />
que |f| ≤ 1, entonces existen g n ∈ C c (X ), con |g n | ≤ 1, tales que f(x) =<br />
lím g n (x) c.s.<br />
Demostración. Por el Teorema <strong>de</strong> Lusin para cada n existe g n ∈<br />
C c (X ), con |g n | ≤ 1 y µ{g n ≠ f} < 2 −n . Ahora por el Lema <strong>de</strong> Borel–<br />
Cantelli, ver ejercicio (1.3.6) <strong>de</strong> <strong>la</strong> página 16,<br />
∑<br />
µ{gn ≠ f} = 1 < ∞ ⇒ µ(lím sup{g n ≠ f}) = 0,<br />
y fuera <strong>de</strong> este conjunto g n (x) = f(x) a partir <strong>de</strong> un n.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 10.2.7 En un espacio <strong>de</strong> medida cuasi–regu<strong>la</strong>r C c (X ) es <strong>de</strong>nso<br />
en L p , para 0 < p < ∞.<br />
Demostración. Dada f ∈ L p y ɛ > 0 sabemos por 6.2.16 (página<br />
245), que existe una s ∈ ˜S tal que ‖f − s‖ p ≤ ɛ, y por el Teorema <strong>de</strong><br />
Lusin una función g ∈ C c (X ), con |g| ≤ ‖s‖ ′ ∞, tal que g = s salvo en un<br />
boreliano E con µ(E) < (ɛ/2‖s‖ ′ ∞) p , por tanto<br />
(∫<br />
1/p<br />
‖s − g‖ p = |s − g| dµ) p ≤ 2‖s‖ ′ ∞µ(E) 1/p < ɛ,<br />
y ‖f − g‖ p ≤ 2ɛ.<br />
E
10.2. <strong>Medida</strong>s regu<strong>la</strong>res 329<br />
Nota 10.2.8 Comentemos brevemente el significado particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> este<br />
último resultado cuando<br />
(X , A, µ) = (R n , L(R n ), m).<br />
En C c (R n ) tenemos que para cada 0 < p ≤ ∞, <strong>la</strong>s seudométricas<br />
d p <strong>de</strong>finidas en L p , son realmente métricas, pues si f(x) ≠ g(x), para<br />
f, g ∈ C c (R n ) y x ∈ R n , entonces y sólo entonces existe un abierto V en<br />
R n en el que f ≠ g, y esto equivale a que<br />
∫<br />
|f − g| p dm > 0 ó para p = ∞ ‖f − g‖ ∞ > 0,<br />
a<strong>de</strong>más también se tiene que<br />
‖f‖ ∞ = ‖f‖ ′ ∞ = sup{|f(x)| : x ∈ R n },<br />
pues {|f| > ‖f‖ ′ ∞} = ∅, por tanto ‖f‖ ∞ ≤ ‖f‖ ′ ∞ y para todo ɛ > 0,<br />
{|f| > ‖f‖ ′ ∞ − ɛ} es un abierto no vacío y por tanto no es localmente<br />
nulo, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> ‖f‖ ∞ ≥ ‖f‖ ′ ∞ − ɛ.<br />
Por (10.2.7) sabemos que C c (R n ) es <strong>de</strong>nso en L p (R n ) que es completo,<br />
por tanto L p (R n ) es <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong>l espacio métrico (C c (R n ), d p ). En<br />
particu<strong>la</strong>r, para p = n = 1, si <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> distancia entre dos funciones<br />
continuas f y g <strong>de</strong> soporte compacto en R como <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Riemann<br />
∫<br />
|f(x) − g(x)| dx, entonces <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong>l correspondiente espacio<br />
métrico consiste en <strong>la</strong>s funciones Lebesgue integrables en R (siempre que<br />
i<strong>de</strong>ntifiquemos cada dos que difieran en un conjunto <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong>).<br />
La importancia <strong>de</strong> estos casos estriba en que <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong>l espacio<br />
métrico <strong>de</strong> funciones C c (R n ), no es necesario ver<strong>la</strong> como c<strong>la</strong>ses <strong>de</strong><br />
equivalencia <strong>de</strong> sucesiones <strong>de</strong> Cauchy —como habitualmente ocurre—,<br />
sino como un espacio <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> R n mas amplio (con <strong>la</strong> i<strong>de</strong>ntificación<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s que difieran en un conjunto nulo). El caso p = ∞ es distinto<br />
<strong>de</strong> los <strong>de</strong>más casos, pues <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong> C c (R n ), con <strong>la</strong> métrica d ∞ no<br />
es L ∞ (R n ), sino el espacio C 0 (R n ) <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones continuas en R n que<br />
se anu<strong>la</strong>n en el ∞, como veremos a continuación.<br />
Definición. Diremos que una función f : X → K se anu<strong>la</strong> en el ∞ si<br />
para cada ɛ > 0 existe un compacto K ⊂ X , tal que para cada x ∈ K c<br />
se tiene |f(x)| < ɛ. Denotaremos con C 0 (X ) el K—espacio vectorial <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s funciones continuas f que se anu<strong>la</strong>n en el ∞.
330 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Trivialmente se tiene que C c (X ) ⊂ C 0 (X ), y si X es compacto entonces<br />
se da <strong>la</strong> igualdad, en cuyo caso escribiremos<br />
C(X ) = C c (X ) = C 0 (X ).<br />
Nota 10.2.9 Sea X Hausdorff localmente compacto y ¯X su compactificación<br />
por un punto p (ver (10.1.4), pág.321). Entonces se tiene <strong>la</strong><br />
inclusión isométrica<br />
C 0 (X ) ↩→ C( ¯X )<br />
f → ¯f<br />
¯f(x) =<br />
{<br />
f(x)<br />
si x ∈ X<br />
0 si x = p<br />
y mediante esta aplicación C 0 (X ) es isomorfa a su imagen que es el<br />
hiperp<strong>la</strong>no cerrado <strong>de</strong> C( ¯X )<br />
ker ˆp = {f ∈ C( ¯X ) : f(p) = 0}.<br />
Del mismo modo su subespacio C c (X ) es isomorfo a su imagen que es el<br />
subespacio <strong>de</strong> C( ¯X ) <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones cuyo germen en p es nulo, es <strong>de</strong>cir<br />
que se anu<strong>la</strong>n en un entorno <strong>de</strong>l p.<br />
Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar el cociente 3 C( ¯X )/C 0 (X ), consi<strong>de</strong>rando en C( ¯X )<br />
<strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> equivalencia f ∼ g sii f − g ∈ C 0 (X ) ó equivalentemente<br />
f(p) = g(p) y tenemos <strong>la</strong> sucesión exacta<br />
(10.1)<br />
0 → C 0 (X ) → C( ¯X ) → C( ¯X )/C 0 (X ) ≡ K → 0<br />
f f [f] ≡ ˆp(f) = f(p)<br />
que usaremos mas a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte en <strong>la</strong> pág.338. Observemos que a<strong>de</strong>más el<br />
isomorfismo ˆp: C( ¯X )/C 0 (X ) ≡ K, ˆp([f]) = f(p) es isometría <strong>de</strong> espacios<br />
normados, pues para <strong>la</strong> función constante g ∈ C( ¯X ), g(x) = f(p) se<br />
tiene f ∼ g y para cualquier h ∈ C( ¯X ), tal que h(p) = f(p) se tiene<br />
|f(p)| = ‖g‖ ≤ ‖h‖ = sup |h(x)|, por tanto ‖[f]‖ = ‖g‖ = |f(p)|.<br />
Teorema 10.2.10 Sea X HLC, entonces C 0 (X ) es <strong>de</strong> Banach con <strong>la</strong> norma<br />
‖f‖ ′ ∞ = sup |f(x)|,<br />
x∈X<br />
y C c (X ) es <strong>de</strong>nso en él.<br />
3 Dado un espacio normado E y un subespacio cerrado suyo M consi<strong>de</strong>ramos el<br />
espacio normado cociente, E/M = {[x] = x + M : x ∈ E}, con <strong>la</strong>s operaciones y<br />
norma<br />
[x] + [y] = [x + y], λ[x] = [λx], ‖[x]‖ = ínf{‖y‖ : y ∈ x + M}.<br />
A<strong>de</strong>más si E es <strong>de</strong> Banach, también lo es el cociente (ver Hewitt–Stromberg, pág.222).
10.3. Teoremas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz 331<br />
Demostración. Por <strong>la</strong> nota anterior basta <strong>de</strong>mostrar que C( ¯X ) es<br />
completo, pues C 0 (X ) es un cerrado suyo. Sea f n ∈ C( ¯X ) una sucesión<br />
<strong>de</strong> Cauchy, entonces f n (x) es <strong>de</strong> Cauchy uniformemente en ¯X , por tanto<br />
existe f(x) = lím f n (x) y es continua pues f n lo es y<br />
|f(x) − f(y)| ≤ |f n (x) − f(x)| + |f n (x) − f n (y)| + |f n (y) − f(y)|.<br />
Ahora veamos <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsidad, dada f ∈ C 0 (X ) y ɛ > 0 hay un compacto<br />
K ⊂ X tal que |f(x)| < ɛ fuera <strong>de</strong> K y por el Lema <strong>de</strong> Urysohn existe una<br />
función g ∈ C c (X ), con 0 ≤ g ≤ 1 y g = 1 en K, entonces h = fg ∈ C c (X )<br />
y ‖f − h‖ ′ ∞ ≤ ɛ.<br />
10.3. Teoremas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz<br />
Es fácil ver que si µ es una medida en (X , B(X )), tal que µ(K) < ∞<br />
para cada compacto K, entonces po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir el funcional lineal<br />
∫<br />
Λ : C c (X ) → K, Λ(f) = f dµ,<br />
pues si f es continua entonces es medible y si es <strong>de</strong> soporte compacto es<br />
integrable, ya que es acotada ‖f‖ ′ ∞ = sup{|f|} < ∞, por ser continua, y<br />
∫<br />
|f| ≤ ‖f‖<br />
′<br />
∞ µ[sop(f)] < ∞. A<strong>de</strong>más Λ es positivo en el sentido <strong>de</strong> que<br />
si f ≥ 0, Λ(f) ≥ 0. Observemos que a<strong>de</strong>más si µ es finita, entonces Λ es<br />
continua y ‖Λ‖ ≤ µ(X ) = ‖µ‖.<br />
Ahora nos p<strong>la</strong>nteamos <strong>la</strong> siguiente cuestión: ¿son <strong>de</strong> esta forma todos<br />
los funcionales lineales y positivos en C c (X )?. Veremos que sí, a<strong>de</strong>más<br />
<strong>de</strong> modo único si imponemos que µ sea cuasi–regu<strong>la</strong>r. Observemos que<br />
para K = C, si Λ: C c (X , C) → C es lineal y positivo, entonces está <strong>de</strong>terminado<br />
sobre C c (X , R) ⊂ C c (X , C), pues si f ∈ C c (X , C), f = f 1 + if 2 ,<br />
con <strong>la</strong>s f i ∈ C c (X , R) y Λ(f) = Λ(f 1 ) + iΛ(f 2 ), a<strong>de</strong>más si f ∈ C c (X , R),<br />
Λ(f) ∈ R, pues Λ(f) = Λ(f + ) − Λ(f − ) y Λ(f + ), Λ(f − ) ≥ 0.<br />
Teorema <strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Riesz I 10.3.1 Sea (X , T ) un espacio<br />
topológico HLC y Λ un funcional lineal y positivo en C c (X ), entonces
332 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
existe una única medida µ, cuasi–regu<strong>la</strong>r en B(X ), tal que para cada<br />
f ∈ C c (X ).<br />
∫<br />
Λ(f) = f dµ.<br />
Demostración. Unicidad. Si µ es cuasi–regu<strong>la</strong>r y satisface el resultado<br />
entonces para cada abierto U ∈ T y f ∈ C c (X ), con sop(f) ⊂ U<br />
y 0 ≤ f ≤ I U ,<br />
∫<br />
Λ(f) = f dµ ≤ µ(U),<br />
por otra parte para cada compacto K ⊂ U, existe h ∈ C c (X ),por el<br />
Lema <strong>de</strong> Urysohn (10.1.6), con sop(h) ⊂ U y I K ≤ h ≤ I U , por lo<br />
que µ(K) ≤ Λ(h) ≤ µ(U), y como µ es regu<strong>la</strong>r interior en el abierto U<br />
tendremos que<br />
(10.2) µ(U) = sup{Λ(f) : f ∈ C c (X ), sop(f) ⊂ U, 0 ≤ f ≤ I U },<br />
y por tanto µ está <strong>de</strong>terminada <strong>de</strong> modo único en los abiertos y como es<br />
regu<strong>la</strong>r exterior en todo conjunto, es única.<br />
Existencia. De existir µ, <strong>la</strong> igualdad (10.2) nos indica <strong>la</strong> única forma<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir<strong>la</strong> en T y tiene <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s: (a) µ(∅) = 0; (b) µ(U) ≥ 0<br />
para todo abierto U, por ser Λ positivo; (c) µ(E) ≤ µ(U) para E ⊂ U<br />
abiertos.<br />
Ahora <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración consiste en:<br />
(1) Construir una medida exterior µ ∗ que extienda a µ.<br />
(2) Demostrar que B(X ) ⊂ A ∗ .<br />
(3) Demostrar que µ = µ ∗ |B(X )<br />
es cuasi–regu<strong>la</strong>r.<br />
(4) Demostrar que Λ(f) = ∫ f dµ, para toda f ∈ C c (X ).<br />
(1) Por (1.4.3), pág.19, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> medida exterior<br />
<strong>la</strong> cual verifica<br />
∞∑<br />
µ ∗ (E) = ínf{ µ(A i ) : E ⊂ ∪A i , A i abiertos},<br />
i=1<br />
(10.3) µ ∗ (E) = ínf{µ(U) : E ⊂ U, U ∈ T }.<br />
(lo cual nos dará automáticamente <strong>la</strong> regu<strong>la</strong>ridad exterior) para lo cual<br />
basta <strong>de</strong>mostrar que si U n ∈ T y U = ∪U n , que es abierto, entonces<br />
µ(U) ≤ ∑ µ(U n ). Sea f ∈ C c (X ), con sop(f) ⊂ U y 0 ≤ f ≤ I U ,<br />
entonces por ser sop(f) compacto tendremos que existe m ∈ N, tal que
10.3. Teoremas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz 333<br />
sop(f) ⊂ ∪ m i=1 U i, ahora por (10.1.7) existe una partición <strong>de</strong> <strong>la</strong> unidad<br />
g 1 , . . . , g m ∈ C c (X ), con sop(g i ) ⊂ U i , 0 ≤ g i ≤ I Ui y 1 = ∑ g i en sop(f).<br />
Entonces f = ∑ fg i , sop(fg i ) ⊂ U i y 0 ≤ fg i ≤ I Ui , por tanto<br />
m∑<br />
m∑<br />
∞∑<br />
Λ(f) = Λ(fg i ) ≤ µ(U i ) ≤ µ(U i ),<br />
i=1<br />
i=1<br />
y tomando supremo se sigue por (10.2) µ(U) ≤ ∑ µ(U n ) y por tanto <strong>la</strong><br />
igualdad (10.3). Ahora bien por esta igualdad y <strong>la</strong> propiedad (c) anterior<br />
se sigue que µ ∗ extien<strong>de</strong> a µ, es <strong>de</strong>cir que si E es abierto µ ∗ (E) = µ(E).<br />
(2) Sea U abierto y veamos que es A ∗ –medible, para lo cual basta<br />
ver que si E ⊂ X , con µ ∗ (E) < ∞, entonces<br />
i=1<br />
µ ∗ (E) ≥ µ ∗ (E ∩ U) + µ ∗ (E ∩ U c ).<br />
Supongamos primero que E es abierto, entonces por <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición<br />
(10.2) <strong>de</strong> µ(U ∩E), para cada ɛ > 0 existe f ∈ C c (X ), con sop(f) ⊂ U ∩E,<br />
0 ≤ f ≤ I U∩E y Λ(f) > µ(U ∩E)−ɛ y como V = E ∩sop(f) c también es<br />
abierto, existe g ∈ C c (X ) con sop(g) ⊂ V , 0 ≤ g ≤ I V y Λ(g) > µ(V )−ɛ,<br />
a<strong>de</strong>más sop(f + g) ⊂ E y como g = 0 en V c y f = 0 en V , entonces<br />
0 ≤ f + g ≤ I E y<br />
µ(E) ≥ Λ(f + g) = Λ(f) + Λ(g) > µ(U ∩ E) + µ(V ) − 2ɛ<br />
≥ µ ∗ (U ∩ E) + µ ∗ (U c ∩ E) − 2ɛ,<br />
y el resultado se sigue haciendo ɛ → 0. Consi<strong>de</strong>remos ahora que E es<br />
arbitrario y que µ ∗ (E) < ∞, entonces por (10.3) para cada ɛ > 0 existe<br />
un abierto V ⊃ E, tal que µ(V ) < µ ∗ (E) + ɛ, por tanto<br />
µ ∗ (E) + ɛ > µ(V ) ≥ µ ∗ (V ∩ U) + µ ∗ (V ∩ U c )<br />
≥ µ ∗ (E ∩ U) + µ ∗ (E ∩ U c ).<br />
(3) µ = µ ∗ |B(X )<br />
es cuasi–regu<strong>la</strong>r: Es regu<strong>la</strong>r exterior por <strong>de</strong>finición.<br />
Veamos que es finita en cada compacto K: si I K ≤ f para f ∈ C c (X )<br />
(que existe por el Lema <strong>de</strong> Urysohn) y elegimos un t > 1 tendremos<br />
que K ⊂ {f > 1/t} = U t , por tanto µ(K) ≤ µ(U t ), pero a<strong>de</strong>más U t<br />
es abierto y por (10.2) µ(U t ) ≤ tΛ(f), pues para toda g ∈ C c (X ), con<br />
sop(g) ⊂ U t y 0 ≤ g ≤ I Ut , tendremos que g ≤ tf y por ser Λ positivo<br />
Λ(g) ≤ tΛ(f). Ahora haciendo t → 1, µ(K) ≤ Λ(f) < ∞ y µ es finita en<br />
los compactos. Ahora si U ⊃ K es un abierto, por el Lema <strong>de</strong> Urysohn<br />
existe f ∈ C c (X ), con I K ≤ f ≤ I U y sop(f) ⊂ U, por tanto<br />
µ(K) ≤ Λ(f) ≤ µ(U),
334 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
y por ser µ regu<strong>la</strong>r exterior tendremos<br />
(10.4) µ(K) = ínf{Λ(f) : f ∈ C c (X ), I K ≤ f}.<br />
Veamos ahora que µ es regu<strong>la</strong>r interior en cada abierto U, para ello<br />
sea r < µ(U) entonces por (10.2) existe g ∈ C c (X ), con g ≤ I U , K =<br />
sop(g) ⊂ U, tal que r < Λ(g) < µ(U), y para toda f ∈ C c (X ), con<br />
I K ≤ f, tendremos que g ≤ f, por tanto Λ(g) ≤ Λ(f) y por (10.4)<br />
Λ(g) ≤ µ(K), por tanto r < µ(K) ≤ µ(U) y se tiene el resultado.<br />
(4) Por linealidad basta ver que Λ(f) = ∫ f dµ, para f ≥ 0. Sea ɛ > 0<br />
y consi<strong>de</strong>remos para cada n ∈ N<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0, si f(x) < (n − 1)ɛ,<br />
f n (x) = f(x) − (n − 1)ɛ, si (n − 1)ɛ ≤ f(x) < nɛ,<br />
⎪⎩<br />
ɛ, si nɛ ≤ f(x),<br />
entonces f n ∈ C c (X ) pues para K 0 = sop(f) y K n = {nɛ ≤ f},<br />
sop(f n ) ⊂ K n−1 y todas son nu<strong>la</strong>s salvo un número finito, pues para<br />
un m suficientemente gran<strong>de</strong> f(x) ≤ mɛ, ya que f es acotada. A<strong>de</strong>más<br />
f = ∑ m<br />
n=1 f n y ɛI Kn ≤ f n ≤ ɛI Kn−1 , por tanto integrando se obtiene <strong>la</strong><br />
primera <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s<br />
∫<br />
ɛµ(K n ) ≤ f n dµ ≤ ɛµ(K n−1 ),<br />
ɛµ(K n ) ≤ Λ(f n ) ≤ ɛµ(K n−1 ),<br />
y <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> izquierda en <strong>la</strong> segunda se sigue <strong>de</strong> (10.4) y ɛI Kn ≤ f n y <strong>la</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>recha también <strong>de</strong> (10.4), pues para cada g ∈ C c , con I Kn−1 ≤ g, es<br />
f n ≤ ɛg, ya que f n ≤ ɛI Kn−1 , por tanto Λ(f n )/ɛ ≤ Λ(g). Ahora sumando<br />
en ambas <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s se tiene que<br />
ɛ<br />
m∑<br />
∫<br />
µ(K n ) ≤<br />
n=1<br />
m−1<br />
∑<br />
f dµ, Λ(f) ≤ ɛ µ(K n ),<br />
n=0<br />
y por tanto<br />
∫<br />
∣<br />
f dµ − Λ(f)<br />
∣ ≤ ɛ[µ(K 0) − µ(K m )] ≤ ɛµ(K 0 ),<br />
pues K m ⊂ K 0 y µ(K m ) ≤ µ(K 0 ).
10.3. Teoremas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz 335<br />
Nota 10.3.2 Observemos que el enunciado <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Riesz se pue<strong>de</strong><br />
cambiar en los siguientes casos:<br />
Si X es σ–compacto, poniendo regu<strong>la</strong>r en vez <strong>de</strong> cuasi–regu<strong>la</strong>r, por<br />
(10.2.3), pág.326.<br />
Si todo abierto <strong>de</strong> X es σ–compacto, poniendo simplemente finita en<br />
los compactos en vez <strong>de</strong> cuasi–regu<strong>la</strong>r, que por (10.2.1), pág.325 equivale<br />
a ser regu<strong>la</strong>r.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 10.3.3 En <strong>la</strong>s condiciones <strong>de</strong>l Teorema anterior si a<strong>de</strong>más Λ<br />
es continua, entonces <strong>la</strong> medida µ es regu<strong>la</strong>r y finita y ‖µ‖ = µ(X ) =<br />
‖Λ‖.<br />
Demostración. Por (10.2) se tiene <strong>la</strong> igualdad en<br />
‖Λ‖ ≤ µ(X ) = sup{Λ(f) : f ∈ C c (X ), 0 ≤ f ≤ 1} ≤ ‖Λ‖.<br />
Nota 10.3.4 Si <strong>de</strong>notamos con M + r el subconjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas positivas<br />
<strong>de</strong> M r (ver <strong>de</strong>finición 10.2, pág.326) y con C c (X ) ∗+ los funcionales<br />
lineales continuos y positivos en C c (X ), el resultado anterior nos dice<br />
que hay una biyección isométrica entre ellos, que enten<strong>de</strong>remos mejor<br />
en el segundo Teorema <strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Riesz (10.3.7), pág.337,<br />
en el que nos preguntamos si hay un resultado análogo para C c (X ) ∗ , es<br />
<strong>de</strong>cir para los funcionales lineales continuos sin que sean necesariamente<br />
positivos.<br />
En este sentido lo primero que observamos es que <strong>la</strong> aplicación restricción<br />
C 0 (X ) ∗ → C c (X ) ∗ ,<br />
es un isomorfismo isométrico, pues es inyectiva por ser C c (X ) <strong>de</strong>nso en<br />
C 0 (X ) (ver (10.2.10), pág.330); y es sobre y conserva <strong>la</strong> norma por el<br />
Teorema <strong>de</strong> Hahn–Banach (6.3.7), pág.251.<br />
Por otra parte cada funcional lineal y continuo complejo I ∈ C 0 (X , C) ∗ ,<br />
está <strong>de</strong>terminado por su restricción J a C 0 (X , R), pues para cada f =<br />
f 1 +if 2 ∈ C 0 (X , C), I(f) = I(f 1 )+iI(f 2 ) = J(f 1 )+iJ(f 2 ) y J = J 1 +iJ 2 ,<br />
para J i ∈ C 0 (X , R) ∗ , funcionales lineales y continuos reales. Veamos que<br />
cada J i ∈ C 0 (X , R) ∗ tiene una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Jordan.<br />
Teorema 10.3.5 Si J ∈ C 0 (X , R) ∗ , existen funcionales lineales continuos<br />
y positivos J + , J − ∈ C 0 (X , R) ∗ , tales que J = J + − J − .
336 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Demostración. Para cada f ≥ 0, f ∈ C 0 (X , R), <strong>de</strong>finimos<br />
J + (f) = sup{J(g) : g ∈ C 0 (X , R), 0 ≤ g ≤ f},<br />
el cual es finito pues para cada g <strong>de</strong>l conjunto |J(g)| ≤ ‖J‖‖f‖ ∞ , por<br />
tanto 0 ≤ J + (f) ≤ ‖J‖‖f‖ ∞ . A<strong>de</strong>más para cada c ≥ 0, J + (cf) =<br />
cJ + (f) y si f 1 , f 2 ≥ 0, f i ∈ C 0 (X , R), entonces<br />
(10.5) J + (f 1 + f 2 ) = J + (f 1 ) + J + (f 2 ),<br />
pues por una parte si 0 ≤ g i ≤ f i y g i ∈ C 0 (X , R), 0 ≤ g 1 + g 2 ≤ f 1 + f 2<br />
siendo J + (f 1 + f 2 ) ≥ J(g 1 + g 2 ) = J(g 1 ) + J(g 2 ) y tomando supremos<br />
J + (f 1 + f 2 ) ≥ J + (f 1 ) + J + (f 2 ); y por otra parte si 0 ≤ g ≤ f 1 + f 2 y<br />
g ∈ C 0 (X , R), consi<strong>de</strong>rando g 1 = mín(g, f 1 ) y g 2 = g −g 1 , tendremos que<br />
g i ∈ C 0 (X , R), 0 ≤ g 1 ≤ f 1 y 0 ≤ g 2 ≤ f 2 , por tanto<br />
J(g) = J(g 1 ) + J(g 2 ) ≤ J + (f 1 ) + J + (f 2 ),<br />
y tomando supremos tenemos <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad.<br />
Ahora para cada f ∈ C 0 (X , R), consi<strong>de</strong>ramos f = f + −f − y <strong>de</strong>finimos<br />
J + (f) = J + (f + ) − J + (f − ),<br />
observando que si g, h ≥ 0, g, h ∈ C 0 (X , R) y f = g−h, entonces también<br />
J + (f) = J + (g) − J + (h), pues f + + h = g + f − y por (10.5)<br />
J + (f + ) + J + (h) = J + (g) + J + (f − )<br />
J + (f + ) − J − (f − ) = J + (g) − J + (h).<br />
⇒<br />
De esto se sigue que J + es lineal, pues para f, g ∈ C 0 (X , R) como f +g =<br />
f + + g + − (f − + g − ), tendremos que<br />
J + (f + g) = J + (f + + g + ) − J + (f − + g − ) = J + (f) + J + (g),<br />
y para c ∈ R, J + (cf) = cJ + (f). A<strong>de</strong>más es positivo y continuo, pues es<br />
acotado ya que para cada f ∈ C 0 (X , R)<br />
|J + (f)| ≤ máx{J + (f + ), J + (f − )}<br />
≤ ‖J‖ · máx{‖f + ‖ ∞ , ‖f − ‖ ∞ } = ‖J‖‖f‖ ∞ ,<br />
y ‖J + ‖ ≤ ‖J‖. Por último <strong>de</strong>finimos J − (f) = J + (f) − J(f), el cual es<br />
lineal, continuo y positivo y se tiene el resultado.
10.3. Teoremas <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz 337<br />
Coro<strong>la</strong>rio 10.3.6 Para cada funcional lineal y continuo complejo I ∈<br />
C 0 (X , C) ∗ , existen cuatro medidas finitas y regu<strong>la</strong>res µ ± i , con i = 1, 2,<br />
tales que para µ = µ + 1 − µ− 1 + iµ+ 2 − iµ− 2 ∈ M(B(X ), C),<br />
∫<br />
I(f) = f dµ.<br />
Demostración. Se sigue <strong>de</strong> los resultados anteriores pues para cada<br />
f = f 1 + if 2 ∈ C 0 (X , C), J ± i (f) = ∫ f dµ ± i y<br />
I(f) = I(f 1 ) + iI(f 2 ) = J(f 1 ) + iJ(f 2 )<br />
= J 1 (f 1 ) + iJ 2 (f 1 ) + i(J 1 (f 2 ) + iJ 2 (f 2 ))<br />
= J + 1 (f 1) − J − 1 (f 1) + i(J + 2 (f 1) − J − 2 (f 1))<br />
+ i[J + 1 (f 2) − J − 1 (f 2) + i(J + 2 (f 2) − J − 2 (f 2))].<br />
Dada µ ∈ M r el funcional<br />
∫<br />
Λ: C 0 (X ) → K, Λ(f) =<br />
f dµ,<br />
es lineal y continuo pues<br />
∫<br />
|Λ(f)| = |<br />
∫<br />
f dµ| ≤<br />
|f| d|µ| ≤ ‖f‖ ′ ∞‖µ‖,<br />
y ‖Λ‖ ≤ ‖µ‖. El siguiente teorema nos asegura que todos los funcionales<br />
lineales y continuos en C 0 (X ) son <strong>de</strong> esta forma y que a<strong>de</strong>más ‖Λ‖ = ‖µ‖.<br />
Teorema <strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Riesz II 10.3.7 La aplicación<br />
∫<br />
M r → C 0 (X ) ∗ , µ → Λ, Λ(f) = f dµ,<br />
es un isomorfismo isométrico.<br />
Demostración. Que es sobre lo hemos visto en (10.3.6). Veamos<br />
que es isometría, es <strong>de</strong>cir que si µ ∈ M r y Λ(f) = ∫ f dµ, entonces<br />
‖Λ‖ = ‖µ‖. La <strong>de</strong>sigualdad ‖Λ‖ ≤ ‖µ‖ acabamos <strong>de</strong> ver<strong>la</strong> y por otro <strong>la</strong>do<br />
si consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> representación po<strong>la</strong>r <strong>de</strong> µ, h = dµ/d|µ|, con |h| = 1<br />
(ver (4.4.11), pág.176) y cualquier ɛ > 0, tendremos por el Teorema <strong>de</strong>
338 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Lusin (10.2.5), pág.327, que existe f ∈ C c (X ), con ‖f‖ ′ ∞ ≤ 1 y f = h<br />
salvo en un boreliano E con |µ|(E) < ɛ/2. Por tanto<br />
∫ ∫ ∫<br />
‖µ‖ = |µ|(X ) = hh d|µ| = h dµ = | (f + h − f) dµ|<br />
∫ ∫<br />
≤ | f dµ| + | (h − f) dµ| ≤ |Λ(f)| + 2|µ|(E) ≤ ‖Λ‖ + ɛ.<br />
Nota 10.3.8 El caso compacto <strong>de</strong> este Teorema es aparentemente un<br />
caso particu<strong>la</strong>r, sin embargo es el general, pues tomando duales en <strong>la</strong><br />
sucesión exacta (10.1), pág.330,<br />
0 → C 0 (X ) → C( ¯X ) → C( ¯X )/C 0 (X ) ≡ K → 0<br />
f f [f] ≡ ˆp(f) = f(p)<br />
tendremos <strong>la</strong> sucesión<br />
0 → K → C( ¯X ) ∗ → C 0 (X ) ∗ → 0<br />
Λ Λ |C0<br />
a aˆp 0<br />
siendo <strong>la</strong> norma <strong>de</strong>l espacio C 0 (X ) ∗ <strong>la</strong> cociente, es <strong>de</strong>cir<br />
‖Λ |C0 ‖ = ínf{‖Γ‖ : Γ ∈ C( ¯X ) ∗ , Γ = Λ en C 0 },<br />
pues por un <strong>la</strong>do se tiene <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad ≥ por el Teorema <strong>de</strong> Hahn–<br />
Banach, (6.3.7), pág.251, ya que existe Γ ∈ C( ¯X ) ∗ , verificando Γ = Λ<br />
en C 0 y ‖Γ‖ = ‖Λ |C0 ‖ y por otro <strong>la</strong>do <strong>la</strong> ≤, pues para cualquier Γ <strong>de</strong>l<br />
conjunto<br />
‖Λ |C0 ‖ = sup{|Λ(f)| : f ∈ C 0 , ‖f‖ = 1}<br />
= sup{|Γ(f)| : f ∈ C 0 , ‖f‖ = 1} ≤ ‖Γ‖.<br />
Y por otro <strong>la</strong>do tenemos <strong>la</strong> sucesión exacta<br />
0 → K → M r ( ¯X ) → M r (X ) → 0<br />
µ µ |X<br />
a aδ p 0<br />
con lo que el isomorfismo isométrico en el caso compacto implica el <strong>de</strong>l<br />
caso localmente compacto<br />
C( ¯X ) ∗ ≃ M r ( ¯X ) ⇒ C 0 (X ) ∗ ≃ M r (X ).
10.4. Regu<strong>la</strong>ridad. T. <strong>de</strong> Radón–Nikodym 339<br />
10.4. Regu<strong>la</strong>ridad. T. <strong>de</strong> Radón–Nikodym<br />
Una interesante propiedad topológica <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas regu<strong>la</strong>res es que<br />
para el<strong>la</strong>s existe el cerrado mas pequeño en el que está concentrada toda<br />
<strong>la</strong> medida.<br />
Teorema 10.4.1 Sea X HLC y A una σ–álgebra que contenga a B(X ).<br />
Si µ es una medida cuasi–regu<strong>la</strong>r en A, entonces <strong>la</strong> unión <strong>de</strong> todos los<br />
abiertos <strong>de</strong> medida cero por µ, es un abierto A con µ(A) = 0.<br />
Demostración. Por ser µ cuasi–regu<strong>la</strong>r es regu<strong>la</strong>r interior en el<br />
abierto A = ∪A i , por tanto<br />
µ(A) = sup{µ(K) : K compacto, K ⊂ A} = 0,<br />
pues para cada K existen i 1 , . . . , i n , K ⊂ ∪A ij y µ(K) ≤ ∑ µ(A ij ) = 0.<br />
Definición. Sea X HLC, A una σ–álgebra que contiene a B(X ) y µ una<br />
medida regu<strong>la</strong>r en A. L<strong>la</strong>maremos soporte <strong>de</strong> µ al cerrado sop(µ) = A c<br />
<strong>de</strong>l resultado anterior. Si µ es real finita ó compleja, entonces l<strong>la</strong>mamos<br />
soporte <strong>de</strong> µ al soporte <strong>de</strong> |µ|.<br />
A continuación vemos algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l soporte <strong>de</strong> una medida<br />
en re<strong>la</strong>ción con <strong>la</strong> integración <strong>de</strong> funciones continuas.<br />
Ejercicio 10.4.1 Sea (X , A, µ) como en (10.4.1). Demostrar:<br />
(a) Si f : X → [0, ∞) es continua entonces ∫ f dµ = 0 sii f = 0 en el sop(µ).<br />
(b) x ∈ sop(µ) sii para toda f ∈ C c(X ) no negativa, tal que f(x) > 0, se<br />
tiene ∫ f dµ > 0.<br />
Definición. Sea E una familia <strong>de</strong> funciones f : X → R. Diremos que E<br />
está dirigido superiormente si dadas f, g ∈ E existe h ∈ E, tal que f ≤ h<br />
y g ≤ h.<br />
Po<strong>de</strong>mos dar una versión <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia dominada<br />
con este nuevo concepto.
340 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Proposición 10.4.2 (Ver Cohn,p.229). Sea (X , A, µ) como en (10.4.1)<br />
y E una familia <strong>de</strong> funciones semicontinuas superiormente, no negativas<br />
y dirigidas superiormente, entonces<br />
∫<br />
∫<br />
sup E dµ = sup{<br />
h dµ}.<br />
h∈E<br />
Terminamos esta lección contestando a dos preguntas en re<strong>la</strong>ción con<br />
el teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym. Si ν = fµ y µ es regu<strong>la</strong>r ¿es ν regu<strong>la</strong>r?,<br />
¿po<strong>de</strong>mos caracterizar estas ν aunque µ no sea σ–finita?<br />
Teorema 10.4.3 (Ver Cohn,p.223). Sea X HLC y µ una medida regu<strong>la</strong>r<br />
en B(X ). Si f ∈ L 1 y ν = fµ, entonces ν es regu<strong>la</strong>r.<br />
Teorema 10.4.4 (Ver Cohn,p.224). Sea (X , B(X ), µ) como en (10.4.3)<br />
y sea ν una medida regu<strong>la</strong>r, real finita ó compleja. Entonces son equivalentes:<br />
(a) Existe f ∈ L 1 tal que ν(A) = ∫ f dµ en B(X ).<br />
A<br />
(b) Para A ∈ B(X ), si µ(A) = 0 entonces ν(A) = 0.<br />
(c) Para K compacto, si µ(K) = 0, entonces ν(K) = 0.<br />
Coro<strong>la</strong>rio 10.4.5 (Ver Cohn,p.224). Sea (X , B(X ), µ) como en (10.4.3).<br />
La aplicación<br />
L: L 1 (X , K) → M r (X , K), L(f) = fµ,<br />
induce una isometría lineal <strong>de</strong> L 1 en el subespacio <strong>de</strong> M r <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas<br />
absolutamente continuas respecto <strong>de</strong> µ.<br />
10.5. El dual <strong>de</strong> L 1 en un espacio Hlc<br />
Hemos visto que L p y L q son espacios duales para 1 < p, q < ∞<br />
conjugados. Y que L ∞ es el dual <strong>de</strong> L 1 en un espacio <strong>de</strong> medida σ–<br />
finito. Veremos ahora que bajo ciertas condiciones topológicas este último<br />
resultado es cierto aunque el espacio <strong>de</strong> medida no sea σ–finito. Para ello<br />
utilizaremos el primer teorema <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz y los resultados<br />
que a continuación <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>mos.
10.6. Funcionales <strong>de</strong> Radón 341<br />
Proposición 10.5.1 Sea X un espacio HLC, Λ: C c (X ) → K lineal y positivo<br />
y (X , A ∗ , µ ∗ ) como en (10.3.1). Entonces son equivalentes:<br />
(a) B ∈ A ∗ .<br />
(b) B ∩ U ∈ A ∗ , para todo abierto U con µ(U) < ∞.<br />
(c) B ∩ K ∈ A ∗ , para todo compacto K.<br />
Por otra parte tenemos <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l espacio <strong>de</strong> medida<br />
(X , A ∗ , µ ∗ ), en cuya <strong>de</strong>mostración se hace uso <strong>de</strong>l Lema <strong>de</strong> Zorn.<br />
Proposición 10.5.2 En <strong>la</strong>s condiciones <strong>de</strong> (10.5.1) existe una familia K<br />
<strong>de</strong> compactos disjuntos <strong>de</strong> X tales que:<br />
(a) µ(K) > 0, para cada K ∈ K.<br />
(b) µ(K ∩ U) > 0, para cada abierto U y K ∈ K con K ∩ U ≠ ∅.<br />
(c) Si A ∈ A ∗ y µ(A) < ∞, entonces A ∩ K ≠ ∅ a lo sumo para una<br />
colección numerable <strong>de</strong> K ∈ K. A<strong>de</strong>más µ(A) = ∑ K∈K<br />
µ(A ∩ K).<br />
(d) A ∈ A ∗ sii A ∩ K ∈ A ∗ para cada K ∈ K.<br />
(e) f : X → K es medible sii para cada K ∈ K, fI K es medible.<br />
Volviendo ahora al tema que nos ocupa, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>mostrar, como<br />
consecuencia <strong>de</strong> (10.5.2) <strong>la</strong> siguiente re<strong>la</strong>ción entre L ∗ 1 y L ∞ .<br />
Teorema 10.5.3 (Ver Cohn,p.235). En <strong>la</strong>s condiciones <strong>de</strong> (10.3.1) para<br />
el espacio <strong>de</strong> medida cuasi–regu<strong>la</strong>r (X , A ∗ , µ ∗ ), <strong>la</strong> aplicación<br />
∫<br />
T : L ∞ −→ L ∗ 1, T (g)(f) = fg dµ ∗ ,<br />
para g ∈ L ∞ y f ∈ L 1 , es un isomorfismo isométrico.<br />
Debemos <strong>de</strong>cir que aunque el teorema es válido reemp<strong>la</strong>zando el espacio<br />
<strong>de</strong> medida (X , A ∗ , µ ∗ ) por (X , B(X ), µ) cuando µ es σ–finita en<br />
B(X ), esto no es cierto en general (ver Cohn, p.236).<br />
10.6. Funcionales <strong>de</strong> Radón<br />
En esta lección veremos <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción existente entre los dos conceptos<br />
<strong>de</strong> integración que habitualmente siguen los textos: el abstracto, que
342 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
es el que nosotros hemos <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>do y el topológico, <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>do por<br />
Bourbaki y que pasamos a comentar.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos funcional <strong>de</strong> Radon positivo en un espacio HLC<br />
X , a todo funcional lineal y positivo<br />
Λ: C c (X , R) −→ R,<br />
es <strong>de</strong>cir tal que si f ≥ 0 entonces Λ(f) ≥ 0.<br />
Dado un funcional <strong>de</strong> Radon positivo Λ en X , Bourbaki <strong>de</strong>fine un<br />
nuevo funcional I : S + → [0, ∞] en el espacio <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones h: X →<br />
[0, ∞] semicontinuas inferiormente,<br />
I(h) = sup{Λ(g) ∈ R : g ∈ C c (X , R), 0 ≤ g ≤ h},<br />
y <strong>de</strong>spués para cualquier función f : X → [0, ∞],<br />
I(f) = ínf{I(h) : h ∈ S + , f ≤ h},<br />
Esta I <strong>de</strong>finida en el espacio <strong>de</strong> todas <strong>la</strong>s funciones f : X → [0, ∞]<br />
tiene <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s: I(f + g) ≤ I(f) + I(g), I(af) = aI(f),<br />
para a ∈ [0, ∞).<br />
Consi<strong>de</strong>ra entonces el espacio vectorial E <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones f : X →<br />
R tales que I(|f|) < ∞, con <strong>la</strong> seminorma p(f) = I(|f|). Consi<strong>de</strong>ra<br />
entonces el espacio L 1 (X , Λ) como <strong>la</strong> c<strong>la</strong>usura <strong>de</strong> C c (X , R) en E, respecto<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> topología que <strong>de</strong>fine p, y extien<strong>de</strong> Λ a L 1 (X , Λ) <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma Λ(f) =<br />
lím Λ(f n ), para f n ∈ C c (X , R) y p(f n −f) → 0 (se <strong>de</strong>muestra que el límite<br />
existe y no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong>s f n ). A <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong> L 1 (X , Λ) <strong>la</strong>s l<strong>la</strong>ma<br />
funciones Λ–integrables e integral <strong>de</strong> f ∈ L 1 (X , Λ) a Λ(f). Dice que<br />
f : X → R es Λ–medible si para cada compacto K y cada ɛ > 0, existe<br />
un cerrado C ⊂ K, tal que f es continua en C y Λ(I K\C ) ≤ ɛ. a<strong>de</strong>más<br />
dice que A ⊂ X es Λ–integrable si I A es Λ–integrable y que es Λ–medible<br />
si I A es Λ–medible. En el siguiente resultado vemos qué re<strong>la</strong>ción existe<br />
entre los conceptos <strong>de</strong> Bourbaki y los que nosotros hemos <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>do.<br />
Teorema 10.6.1 (Ver Cohn,p.238). Sea X un espacio HLC y<br />
Λ: C c (X , R) → R,<br />
un funcional lineal y positivo. Sea L 1 (X , Λ) el espacio <strong>de</strong>finido en el<br />
párrafo anterior y (X , A ∗ , µ) el espacio <strong>de</strong> medida cuasi–regu<strong>la</strong>r asociado<br />
a Λ por (10.3.1). Entonces:
10.6. Funcionales <strong>de</strong> Radón 343<br />
(a) L 1 (X , Λ) = L 1 (X , A ∗ , µ, R) = L 1 .<br />
(b) Λ(f) = ∫ f dµ, para cada f ∈ L 1 .<br />
(c) A ⊂ X es Λ–medible sii A ∈ A ∗ .<br />
(d) f : X → R es Λ–medible sii es medible respecto <strong>de</strong> A ∗ .<br />
Observemos que si Λ : C c (X , R) → R es lineal y positivo, entonces<br />
para cada compacto K existe k = µ(K) < ∞ tal que para cualquier<br />
f ∈ C c (X , R) con sop(f) ⊂ K<br />
|Λ(f)| ≤ k‖f‖ ∞ ,<br />
y <strong>la</strong> diferencia <strong>de</strong> dos funcionales <strong>de</strong> Radón positivas tiene <strong>la</strong> misma<br />
propiedad. Esto lleva a Bourbaki a dar <strong>la</strong> siguiente <strong>de</strong>finición.<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos funcional <strong>de</strong> Radón en X a todo funcional<br />
Λ: C c (X , R) → R lineal verificando que para cada compacto K existe un<br />
0 ≤ k < ∞ tal que para cada f ∈ C c (X , R) con sop(f) ⊂ K<br />
En particu<strong>la</strong>r todo funcional<br />
|Λ(f)| ≤ k‖f‖ ∞ .<br />
Λ: C c (X , R) → R,<br />
lineal y continuo (al que le correspon<strong>de</strong> por (10.3.7) una medida real<br />
regu<strong>la</strong>r) es <strong>de</strong> Radón.<br />
Proposición 10.6.2 Todo funcional <strong>de</strong> Radon Λ : C c (X , R) → R es diferencia<br />
<strong>de</strong> dos funcionales <strong>de</strong> Radon positivos Λ = Λ + − Λ − .<br />
Demostración. La <strong>de</strong>mostración es simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> <strong>de</strong> (10.3.5), pág.335.<br />
Para cada f ≥ 0, f ∈ C c (X , R), <strong>de</strong>finimos<br />
Λ + (f) = sup{Λ(g) : g ∈ C c , 0 ≤ g ≤ f},<br />
el cual es finito pues dado el compacto K = sop(f) existe un 0 ≤ k < ∞<br />
tal que para cada g <strong>de</strong>l conjunto, |Λ(g)| ≤ k‖g‖ ∞ ≤ k‖f‖ ∞ , por tanto<br />
0 ≤ Λ + (f) ≤ k‖f‖ ∞ . Veamos que es lineal: Por una parte para c ≥ 0,<br />
Λ + (cf) = cΛ + (f) y si f 1 , f 2 ≥ 0, f i ∈ C c , entonces<br />
(10.6) Λ + (f 1 + f 2 ) = Λ + (f 1 ) + Λ + (f 2 ),<br />
pues por una parte si 0 ≤ g i ≤ f i y g i ∈ C c , 0 ≤ g 1 + g 2 ≤ f 1 + f 2<br />
siendo Λ + (f 1 + f 2 ) ≥ Λ(g 1 + g 2 ) = Λ(g 1 ) + Λ(g 2 ) y tomando supremos
344 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Λ + (f 1 + f 2 ) ≥ Λ + (f 1 ) + Λ + (f 2 ); y por otra parte si 0 ≤ g ≤ f 1 + f 2<br />
y g ∈ C c , consi<strong>de</strong>rando g 1 = mín(g, f 1 ) y g 2 = g − g 1 , tendremos que<br />
g i ∈ C c , 0 ≤ g 1 ≤ f 1 y 0 ≤ g 2 ≤ f 2 , por tanto<br />
Λ(g) = Λ(g 1 ) + Λ(g 2 ) ≤ Λ + (f 1 ) + Λ + (f 2 ),<br />
y tomando supremos tenemos <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad.<br />
Ahora para cada f ∈ C c , consi<strong>de</strong>ramos f = f + − f − y <strong>de</strong>finimos<br />
Λ + (f) = Λ + (f + ) − Λ + (f − ),<br />
observando que si g, h ≥ 0, g, h ∈ C c y f = g − h, entonces también<br />
Λ + (f) = Λ + (g) − Λ + (h), pues f + + h = g + f − y por (10.6)<br />
Λ + (f + ) + Λ + (h) = Λ + (g) + Λ + (f − )<br />
Λ + (f + ) − Λ + (f − ) = Λ + (g) − Λ + (h).<br />
⇒<br />
De esto se sigue que Λ + es lineal, pues para f, g ∈ C c como f + g =<br />
f + + g + − (f − + g − ), tendremos que<br />
Λ + (f + g) = Λ + (f + + g + ) − Λ + (f − + g − ) = Λ + (f) + Λ + (g),<br />
y para c ∈ R, Λ + (cf) = cΛ + (f). A<strong>de</strong>más es positivo y por el Teorema<br />
<strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Riesz 10.3.1 es <strong>de</strong> Radón, no obstante en este caso<br />
se sigue fácilmente ya que para cada compacto K existe un 0 ≤ k < ∞<br />
tal que para cada f con sop(f) ⊂ K<br />
|Λ + (f)| ≤ máx{Λ + (f + ), Λ + (f − )} ≤ k‖f‖ ∞ ,<br />
pues para cualquier 0 ≤ g ≤ f ± ,<br />
|Λ(g)| ≤ k‖g‖ ∞ ≤ k‖f‖ ∞ .<br />
Por último <strong>de</strong>finimos Λ − (f) = Λ + (f) − Λ(f), el cual es lineal y positivo<br />
y <strong>de</strong> Radón y se tiene el resultado.<br />
Sin embargo aunque todo funcional <strong>de</strong> Radón se pone como diferencia<br />
<strong>de</strong> dos funcionales <strong>de</strong> Radón positivos Λ = Λ + − Λ − , los cuales<br />
por (10.3.1) se representan como integrales respecto <strong>de</strong> medidas cuasi–<br />
regu<strong>la</strong>res, Λ + (f) = ∫ f dµ 1 , Λ − (f) = ∫ f dµ 2 , un funcional <strong>de</strong> Radón no<br />
se pue<strong>de</strong> poner, en general, como una integral respecto <strong>de</strong> una medida<br />
real. Como por ejemplo,<br />
Λ(f) =<br />
∫ 0<br />
−∞<br />
f dm −<br />
∫ ∞<br />
0<br />
f dm,
10.7. Producto <strong>de</strong> dos espacios HLC 345<br />
pues <strong>la</strong>s partes positiva y negativa <strong>de</strong> una medida real no pue<strong>de</strong>n ambas<br />
ser infinito. Sin embargo todo funcional <strong>de</strong> Radón sí pue<strong>de</strong> ponerse como<br />
diferencia <strong>de</strong> dos integrales respecto <strong>de</strong> medidas <strong>de</strong> Borel cuasi–regu<strong>la</strong>res.<br />
En base a esto po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir que los funcionales <strong>de</strong> Radón positivos se<br />
correspon<strong>de</strong>n con <strong>la</strong>s medidas (cuasi–regu<strong>la</strong>res), mientras que <strong>la</strong>s funcionales<br />
<strong>de</strong> Radón con <strong>la</strong>s “medidas reales a <strong>la</strong>s que admitimos que tomen<br />
el valor ∞ y el valor −∞”, por esta razón algunos autores los l<strong>la</strong>man<br />
medidas <strong>de</strong> Radon.<br />
10.7. Producto <strong>de</strong> dos espacios HLC<br />
Hemos visto que si (X 1 , A 1 , µ 1 ) y (X 2 , A 2 , µ 2 ) son espacios <strong>de</strong> medida<br />
σ–finita, entonces en (X 1 × X 2 , A 1 ⊗ A 2 ) existe una única medida µ =<br />
µ 1 × µ 2 , tal que para cada A ∈ A 1 y B ∈ A 2 , µ(A × B) = µ 1 (A)µ 2 (B).<br />
Nos preguntamos ahora como po<strong>de</strong>mos mejorar este resultado si imponemos<br />
propieda<strong>de</strong>s topológicas a los espacios X i . Sean X 1 y X 2 espacios<br />
HLC, consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong>s σ–álgebras <strong>de</strong> Borel B 1 = B(X 1 ) y B 2 = B(X 2 )<br />
y sendas medidas µ 1 y µ 2 en B 1 y B 2 , cuasi–regu<strong>la</strong>res. En este caso es<br />
fácil <strong>de</strong>mostrar que X 1 × X 2 es HLC. Pero:<br />
¿Es B 1 ⊗ B 2 = B(X 1 × X 2 )?.<br />
¿Existe µ 1 × µ 2 ?.<br />
¿Si existe, es regu<strong>la</strong>r µ 1 × µ 2 ?.<br />
Dos obstáculos nos encontramos <strong>de</strong> entrada. El primero consiste en<br />
que una medida cuasi–regu<strong>la</strong>r no es necesariamente σ–finita. El segundo<br />
que aunque B 1 ⊗ B 2 ⊂ B(X 1 × X 2 ) en general no se da <strong>la</strong> igualdad, por<br />
tanto no tiene sentido hab<strong>la</strong>r <strong>de</strong> regu<strong>la</strong>ridad <strong>de</strong> una medida <strong>de</strong>finida en<br />
B 1 ⊗B 2 . A continuación estudiamos dos formas <strong>de</strong> abordar este problema.<br />
La primera consiste en consi<strong>de</strong>rar que los X i tienen bases numerables<br />
para sus topologías, en cuyo caso B 1 ⊗ B 2 = B(X 1 × X 2 ) y si µ 1 y µ 2 son<br />
cuasi–regu<strong>la</strong>res veremos que son σ–finitas, en cuyo caso existe µ 1 × µ 2<br />
y es cuasi–regu<strong>la</strong>r. La segunda consiste en utilizar el primer teorema <strong>de</strong><br />
Representación <strong>de</strong> Riesz para construir el espacio producto.
346 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Lema 10.7.1 (Ver Cohn,p.241). Sean X 1 y X 2 Hausdorff. Entonces:<br />
a) B 1 ⊗ B 2 ⊂ B(X 1 × X 2 ) = B.<br />
b) Si E ∈ B, x ∈ X 1 , y ∈ X 2 , entonces E x ∈ B 2 y E y ∈ B 1 .<br />
c) Sea f : (X 1 × X 2 , B) → R medible, x ∈ X 1 e y ∈ X 2 , entonces f x<br />
es B 2 –medible y f y es B 1 –medible.<br />
Teorema 10.7.2 (Ver Cohn,p.242). Sean X 1 y X 2 HLC con bases numerables<br />
para sus topologías respectivas. Entonces B = B 1 ⊗ B 2 y si µ 1<br />
y µ 2 son medidas cuasi–regu<strong>la</strong>res en (X 1 , B 1 ) y (X 2 , B 2 ), entonces son<br />
σ–finitas y µ 1 × µ 2 es cuasi–regu<strong>la</strong>r en (X 1 × X 2 , B).<br />
El segundo procedimiento hemos dicho que se basa en el teorema <strong>de</strong><br />
representación <strong>de</strong> Riesz y lo hace <strong>de</strong>l siguiente modo. Consi<strong>de</strong>remos los<br />
dos espacios HLC cuasi–regu<strong>la</strong>res (X i , B i , µ i ) y X = X 1 × X 2 . Entonces<br />
para funciones h ∈ C c (X 1 , R), g ∈ C c (X 2 , R) y f : X → R, f(x, y) =<br />
h(x)g(y) se tiene que f ∈ C c (X , R) y ∫ ∫ f dµ 1 dµ 2 = ∫ ∫ f dµ 2 dµ 1 .<br />
Por otra parte <strong>la</strong>s combinaciones lineales finitas <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> este<br />
tipo son <strong>de</strong>nsas en C c (X , R). Esto pue<strong>de</strong> verse utilizando el Teorema<br />
<strong>de</strong> Weierstrass, así lo hacen Segal—Kunze, p.132 ó Lang, p.343, o directamente<br />
como hace el Cohn utilizando <strong>la</strong>s propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los espacios<br />
en cuestión. Esta forma será <strong>la</strong> que nosotros seguiremos. De esta forma<br />
podremos <strong>de</strong>finir un funcional lineal positivo Λ en C c (X , R) mediante <strong>la</strong><br />
igualdad anterior Λ(f) = ∫ f dµ 1 dµ 2 aplicando a continuación el teorema<br />
<strong>de</strong> Riesz.<br />
Lema 10.7.3 (Ver Cohn,p.243). Sean X 1 y X 2 espacios topológicos con<br />
X 2 compacto y f : X 1 × X 2 → R continua. Entonces para cada x 1 ∈ X 1<br />
y cada ɛ > 0, existe un abierto U ⊂ X 1 , con x 1 ∈ U, tal que para cada<br />
x ∈ U e y ∈ X 2 , |f(x, y) − f(x 1 , y)| ≤ ɛ.<br />
Proposición 10.7.4 (Ver Cohn,p.243). Sean (X i , B i , µ i ) espacios HLC<br />
<strong>de</strong> Borel cuasi–regu<strong>la</strong>res para i = 1, 2. Sea X = X 1 × X 2 , y f ∈ C c (X , R).<br />
Entonces:<br />
a) Para cada (x, y) ∈ X , f x ∈ C c (X 2 , R), f y ∈ C c (X 1 , R).<br />
b) Las funciones X 1 → R, x → ∫ f x dµ 2 , y X 2 → R, y → ∫ f y dµ 1 ,<br />
están en C c (X 1 , R) y C c (X 2 , R) respectivamente.<br />
c) ∫ ∫ f dµ 1 dµ 2 = ∫ ∫ f dµ 2 dµ 1 .<br />
Definimos ahora el funcional lineal y positivo<br />
∫ ∫<br />
Λ : C c (X , R) → R, Λ(f) = f dµ 1 dµ 2 ,
10.7. Producto <strong>de</strong> dos espacios HLC 347<br />
y aplicando el Teorema <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz (10.3.1), pág.331,<br />
tendremos que existe una medida cuasi–regu<strong>la</strong>r µ en B(X ), tal que<br />
Λ(f) = ∫ fdµ.<br />
Definición. En <strong>la</strong>s condiciones anteriores l<strong>la</strong>mamos a µ = µ 1 × µ 2<br />
medida (cuasi–regu<strong>la</strong>r) producto <strong>de</strong> µ 1 y µ 2 .<br />
Proposición 10.7.5 (Ver Cohn,p.245). Sean (X i , B i , µ i ), para i = 1, 2<br />
como en (10.7.4). Sea X = X 1 × X 2 , B = B(X ), µ = µ 1 × µ 2 y U abierto<br />
<strong>de</strong> X . Entonces:<br />
a) Las funciones h 1 (x) = µ 2 (U x ) en X 1 y h 2 (y) = µ 1 (U y ) en X 2 son<br />
semicontinuas inferiormente.<br />
b) µ(U) = ∫ h 1 dµ 1 = ∫ h 2 dµ 2 .<br />
Si E ∈ B(X ) y E ⊂ A × B con A ∈ B(X 1 ) y B ∈ B(X 2 ), σ–finitos por<br />
µ 1 y µ 2 respectivamente, entonces también se tiene:<br />
c) h 1 (x) = µ 2 (E x ) en X 1 y h 2 (y) = µ 1 (E y ) en X 2 son Borel medibles.<br />
d) µ(E) = ∫ h 1 dµ 1 = ∫ h 2 dµ 2 .<br />
Por último tenemos <strong>la</strong> siguiente versión <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Fubini.<br />
Teorema <strong>de</strong> Fubini 10.7.6 (Ver Cohn,p.247). Sean (X i , B i , µ i ) y (X , B, µ)<br />
como en (10.7.5). Si f ∈ L 1 (X ) y existen A ∈ B 1 y B ∈ B 2 , σ–finitos<br />
por µ 1 y µ 2 respectivamente y tales que f = 0 en X \(A × B), entonces:<br />
a) f x ∈ L 1 (X 2 ) c.s. (B 1 , µ 1 ), f y ∈ L 1 (X 1 ) c.s. (B 2 , µ 2 ).<br />
b) Las funciones h 1 ∈ L 1 (X 1 ), h 2 ∈ L 1 (X 2 ), don<strong>de</strong><br />
{∫<br />
fx dµ 2 si f x ∈ L 1 (X 2 )<br />
h 1 (x) =<br />
0 en caso contrario<br />
{∫<br />
f y dµ 1 si f y ∈ L 1 (X 1 )<br />
h 2 (y) =<br />
0 en caso contrario<br />
c) ∫ f dµ = ∫ ∫ f dµ 1 dµ 2 = ∫ ∫ f dµ 2 dµ 1 .<br />
<strong>la</strong>
348 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
10.8. Producto no numerable <strong>de</strong> espacios<br />
Vamos a seguir dos vías distintas, aunque ambas topológicas, para<br />
construir una medida en el producto <strong>de</strong> una cantidad no numerable <strong>de</strong><br />
espacios medibles (X t , A t ). En <strong>la</strong> primera, en <strong>la</strong> que seguiremos el Ash,<br />
consi<strong>de</strong>raremos que los espacios X t son po<strong>la</strong>cos.<br />
Definición. Diremos que un espacio topológico X es po<strong>la</strong>co si es separable<br />
y metrizable por una métrica completa.<br />
En <strong>la</strong> segunda, en <strong>la</strong> que seguiremos el Tjur, haremos uso <strong>de</strong>l primer<br />
teorema <strong>de</strong> representación <strong>de</strong> Riesz y los espacios X t serán Hausdorff y<br />
compactos.<br />
Sean (X t , A t ), con t ∈ T una familia <strong>de</strong> espacios medibles. Sea X =<br />
∏<br />
Xt , es <strong>de</strong>cir el conjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s aplicaciones x : T → ∪X t , tales que<br />
para cada t ∈ T , x(t) ∈ X t .<br />
Definición. Para cada subconjunto finito <strong>de</strong> T , I = {t 1 , . . . , t n }, <strong>de</strong>notemos<br />
por<br />
X I = X t1 × · · · × X tn , A I = A t1 ⊗ · · · ⊗ A tn ,<br />
L<strong>la</strong>maremos cilindro con base B ⊂ X I al conjunto B(I) = {x ∈ X :<br />
(x(t 1 ), . . . , x(t n )) ∈ B}.<br />
Diremos que B(I) es un cilindro medible si B ∈ A I , y diremos que<br />
B(I) es un producto finito <strong>de</strong> medibles si B = B 1 ×· · ·×B n , con B i ∈ A ti .<br />
Denotaremos con A T = ∏ A t a <strong>la</strong> mínima σ–álgebra <strong>de</strong> X = X T<br />
que contiene a los cilindros medibles (observemos que estos forman un<br />
álgebra).<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos σ–álgebra producto <strong>de</strong> los espacios medibles<br />
(X t , A t ), a <strong>la</strong> única σ–álgebra A <strong>de</strong>l producto X , que verifica <strong>la</strong>s siguientes<br />
condiciones:<br />
a) Para cada s ∈ T <strong>la</strong> proyección π s : X → X s , π s (x) = x(s) es<br />
medible.<br />
b) Dado cualquier otro espacio medible (Ω, F) una aplicación F :<br />
Ω → X es medible sii lo son todas <strong>la</strong>s F t = π t ◦ F , para t ∈ T .<br />
Se verifica que <strong>la</strong> σ–álgebra A T satisface ambas propieda<strong>de</strong>s.
10.8. Producto no numerable <strong>de</strong> espacios 349<br />
Nuestra intención es construir una medida sobre A = A T , que sea<br />
consistente con <strong>la</strong> dada para T finito o numerable.<br />
Definición. Sean I ⊂ J ⊂ T . Definimos <strong>la</strong> proyección <strong>de</strong> J en I, como<br />
<strong>la</strong> aplicación<br />
π JI : X J → X I , π JI (x) = x |I<br />
Es fácil <strong>de</strong>mostrar que π JI es medible respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s σ–álgebras<br />
<strong>de</strong>finidas anteriormente A J y A I y que si I ⊂ J ⊂ K ⊂ T , entonces<br />
π KI = π JI ◦ π KJ<br />
Definición. Diremos que una función f : X → R es función <strong>de</strong> un número<br />
finito <strong>de</strong> variables si existe I ⊂ T finito y f I : X I → R, tales que<br />
f = f I ◦ π T I .<br />
Definición. Sea S ⊂ P(T ) una colección <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> T . Diremos<br />
que <strong>la</strong>s medidas µ I en los espacios medibles (X I , A I ), para I ∈ S,<br />
satisfacen <strong>la</strong> condición <strong>de</strong> consistencia o que son consistentes si dados<br />
J, I ∈ S, con J ⊂ I se tiene que µ J = π IJ∗ (µ I ), es <strong>de</strong>cir para cada<br />
B J ∈ A J , µ J (B J ) = µ I [π −1<br />
IJ (B J)].<br />
Si µ es una medida en (X , A), po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir una medida µ I =<br />
π T I∗ (µ) en cada (X I , A I ), para I ⊂ T , es <strong>de</strong>cir µ I (B I ) = µ[π −1<br />
T I (B I)],<br />
para cada B I ∈ A I .<br />
En este caso <strong>la</strong>s medidas µ I para I ∈ P(T ) son consistentes. Como<br />
también son consistentes <strong>la</strong>s µ I para I ∈ S don<strong>de</strong> S recorre los conjuntos<br />
finitos <strong>de</strong> T . El objetivo <strong>de</strong> esta lección es probar que, bajo ciertas<br />
condiciones topológicas, también se tiene el recíproco.<br />
Lema 10.8.1 (Ver Cohn,p.207). Sea X Hausdorff tal que cada abierto<br />
es unión numerable <strong>de</strong> cerrados y sea µ una medida finita en B(X ),<br />
entonces para cada E ∈ B(X ),<br />
µ(E) = ínf{µ(A) : E ⊂ A, A abierto}<br />
= sup{µ(C) : C ⊂ E, C cerrado}.<br />
Teorema 10.8.2 (Ver Cohn,p.258). Sea X un espacio po<strong>la</strong>co. Entonces<br />
cada medida finita en B(X ) es regu<strong>la</strong>r.<br />
Teorema 10.8.3 (Ver Ash,p.191; Cohn,p.256). Sea (X n , d n ) una sucesión<br />
<strong>de</strong> espacios metrizables y separables y sea X = ∏ X n , entonces<br />
B(X ) = ∏ B(X n ).
350 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Po<strong>de</strong>mos enunciar el resultado fundamental <strong>de</strong> esta lección.<br />
Teorema <strong>de</strong> Extensión <strong>de</strong> Kolmogorov I 10.8.4 (Ver Ash,p.191). Sea<br />
X t un espacio po<strong>la</strong>co para cada t ∈ T y consi<strong>de</strong>remos para cada I ⊂ T<br />
finito, una probabilidad P I en el espacio (X I , B(X I )), que sean consistentes.<br />
Entonces existe una única probabilidad P en (X T , B T ), tal que<br />
para cada I ⊂ T finito π T I∗ (P ) = P I .<br />
Veamos ahora <strong>la</strong> otra versión <strong>de</strong>l resultado.<br />
Proposición 10.8.5 (Ver Tjur,p.7). Para cada t ∈ T sea X t Hausdorff y<br />
compacto y sea X = ∏ X t . Entonces el espacio C f (X ) <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones<br />
continuas reales, <strong>de</strong> un número finito <strong>de</strong> variables en X , es <strong>de</strong>nso en<br />
C(X ) con <strong>la</strong> norma <strong>de</strong>l supremo.<br />
Teorema <strong>de</strong> Extensión <strong>de</strong> Kolmogorov II 10.8.6 (Ver Tjur,p.27) Para<br />
cada t ∈ T sea X t Hausdorff y compacto y sea µ I para cada I ⊂ T finito,<br />
una medida regu<strong>la</strong>r en (X I , B(X I )) consistentes. Entonces existe una<br />
única medida regu<strong>la</strong>r µ en (X , B(X )), tal que para cada I ⊂ T finito,<br />
µ I = π T I∗ (µ).<br />
Un caso particu<strong>la</strong>rmente importante, satisfaciendo <strong>la</strong>s hipótesis <strong>de</strong><br />
este teorema, se tiene cuando en cada espacio medible (X t , B(X t )) hay<br />
<strong>de</strong>finida una medida regu<strong>la</strong>r µ t . Pues para cada I ⊂ T finito, po<strong>de</strong>mos<br />
<strong>de</strong>finir en (X I , B(X I )) <strong>la</strong> medida regu<strong>la</strong>r producto µ I (ver <strong>la</strong> pág.347,<br />
don<strong>de</strong> lo hemos hecho para 2), y son consistentes. No obstante en este<br />
caso si <strong>la</strong>s µ t son probabilida<strong>de</strong>s, <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> µ vendría dada sin<br />
necesidad <strong>de</strong> hacer consi<strong>de</strong>raciones topológicas (ver <strong>la</strong> Nota (3.7.7) <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
página 153 <strong>de</strong>l tema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto). Para terminar <strong>la</strong> lección<br />
<strong>de</strong>bemos <strong>de</strong>cir que una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s razones que dan importancia a este resultado,<br />
es que sirve como base para el estudio <strong>de</strong> los procesos estocásticos,<br />
que son familias <strong>de</strong> variables aleatorias <strong>de</strong>finidas sobre un espacio probabilístico.
10.9. <strong>Medida</strong> <strong>de</strong> Haar en grupos compactos 351<br />
10.9. <strong>Medida</strong> <strong>de</strong> Haar en grupos compactos<br />
Definición. Un Grupo topológico es un espacio topológico G que tiene<br />
una estructura <strong>de</strong> grupo, para el que <strong>la</strong>s operaciones <strong>de</strong> grupo son<br />
continuas<br />
G × G →G,<br />
(x, y) → xy,<br />
G →G, x → x −1 ,<br />
o equivalentemente que lo es <strong>la</strong> aplicación G × G → G, (x, y) → xy −1 .<br />
Definición. Un grupo localmente compacto es un grupo topológico HLC.<br />
Un grupo compacto es un grupo topológico Hausdorff compacto.<br />
La medida <strong>de</strong> Haar es una generalización <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue<br />
en R n a un grupo localmente compacto G, en el sentido <strong>de</strong> que es una<br />
medida µ en los borelianos <strong>de</strong> G, regu<strong>la</strong>r e invariante por tras<strong>la</strong>ciones<br />
(por <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha ó por <strong>la</strong> izquierda, que en general será distinto a menos<br />
que el grupo sea abeliano), es <strong>de</strong>cir tal que para cada boreliano B y cada<br />
x ∈ G —si es invariante por <strong>la</strong> izquierda—, µ(B) = µ(xB), para todo x.<br />
Nosotros <strong>de</strong>mostraremos <strong>la</strong> existencia y unicidad <strong>de</strong> tal medida en<br />
un grupo compacto como consecuencia <strong>de</strong> un Teorema <strong>de</strong> punto fijo <strong>de</strong><br />
Kakutani y <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Riesz.<br />
Definición. Sea (X , ‖ ‖) un espacio normado, diremos que una familia<br />
O <strong>de</strong> operadores lineales F : X → X , es equicontinua en A ⊂ X , si para<br />
cada entorno abierto U <strong>de</strong> 0, hay un entorno abierto V <strong>de</strong> 0, tales que<br />
si x, y ∈ A y x − y ∈ V , entonces F (x − y) ∈ U, para toda F ∈ O.<br />
Teorema <strong>de</strong> punto fijo <strong>de</strong> Kakutani 10.9.1 (Ver Mukherjea-Pothoven,p.453).<br />
Sea X un espacio normado, K ⊂ X compacto y convexo y O un grupo<br />
<strong>de</strong> operadores lineales <strong>de</strong> X equicontinuos en K, tales que F (K) ⊂ K<br />
para cada F ∈ O. Entonces existe x ∈ X tal que F (x) = x para toda<br />
F ∈ O.<br />
Veamos antes <strong>de</strong> pasar a <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Haar, algunos<br />
resultados que necesitaremos sobre grupos topológicos.<br />
Proposición 10.9.2 Sea G un grupo topológico y x ∈ G. Entonces <strong>la</strong>s<br />
aplicaciones y → xy, y → yx, y → y −1 son homeomorfismos <strong>de</strong> G.
352 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Proposición 10.9.3 (Ver Mukherjea-Pothoven,p.455). Sea G un grupo<br />
topológico y e ∈ G el neutro. Entonces son equivalentes:<br />
a) G es T 0 .<br />
b) G es T 1 .<br />
c) G es T 2 .<br />
d) {e} es <strong>la</strong> intersección <strong>de</strong> todos los abiertos que lo contienen.<br />
e) {e} es cerrado.<br />
Proposición 10.9.4 (Ver Mukherjea-Pothoven,p.455).Sea G un grupo topológico,<br />
entonces toda f ∈ C c (G, R) es uniformemente continua.<br />
A continuación y como consecuencia <strong>de</strong> (10.9.4) y <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong><br />
Ascoli—Arzelá (ver Ash, p.396), veremos que para G grupo compacto,<br />
el espacio normado C(G) <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones reales continuas en G con <strong>la</strong><br />
norma <strong>de</strong>l supremo y f ∈ C(G) fijo, <strong>la</strong> envolvente convexa <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones<br />
f s (x) = f(sx), con s ∈ G, es <strong>de</strong>nsa en un compacto <strong>de</strong> C(G).<br />
Teorema 10.9.5 (Ver Mukherjea-Pothoven,p.456) Sea G un grupo compacto<br />
y f ∈ C(G). Si<br />
C f = {<br />
n∑<br />
a i f si ∈ C(G) : n ∈ N,<br />
i=1<br />
0 ≤ a i ≤ 1, ∑ a i = 1, f si (x) = f(s i x), s i ∈ G},<br />
entonces Adh(C f ) es un compacto <strong>de</strong> C(G), con <strong>la</strong> topología <strong>de</strong> <strong>la</strong> norma<br />
<strong>de</strong>l supremo.<br />
Como consecuencia <strong>de</strong> (10.9.5) y <strong>de</strong>l Teorema <strong>de</strong> Kakutani (10.9.1)<br />
tenemos el siguiente resultado.<br />
Teorema 10.9.6 (Ver Mukherjea-Pothoven,p.457). Sea G un grupo compacto.<br />
Existe una única probabilidad regu<strong>la</strong>r P en B(G) tal que para cada<br />
f ∈ C(G) y s ∈ G se tiene<br />
∫ ∫ ∫ ∫<br />
f dP = f s dP = f s dP = (f ◦ i)dP<br />
para f s (x) = f(sx), f s (x) = f(xs) y i(x) = x −1 . A esta medida P <strong>la</strong><br />
l<strong>la</strong>mamos probabilidad <strong>de</strong> Haar <strong>de</strong> G.
10.10. La integral <strong>de</strong> Daniell 353<br />
Teorema 10.9.7 Sea G un grupo compacto y P su probabilidad <strong>de</strong> Haar.<br />
Entonces:<br />
a) Para cada B ∈ B(G) y x ∈ G, P (B) = P (xB) = P (Bx) =<br />
P (B −1 ), para B −1 = {x −1 : x ∈ B}.<br />
b) Para cada abierto V <strong>de</strong> G, P (V ) > 0.<br />
10.10. La integral <strong>de</strong> Daniell<br />
Hay otra forma <strong>de</strong> introducir el concepto <strong>de</strong> integral, sin utilizar para<br />
ello el concepto <strong>de</strong> medida. La i<strong>de</strong>a fundamental consiste en consi<strong>de</strong>rar<br />
<strong>la</strong> integral como un funcional lineal sobre un cierto espacio vectorial <strong>de</strong><br />
“funciones elementales”, que bajo ciertas hipótesis apropiadas podremos<br />
exten<strong>de</strong>r a una c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> funciones más amplia, a fin <strong>de</strong> que los teoremas<br />
fundamentales <strong>de</strong> convergencia sean válidos. Este proceso fue llevado a<br />
cabo por Daniell, en 1918, para el caso en el que <strong>la</strong>s funciones elementales<br />
consi<strong>de</strong>radas eran C c (R, R) y el funcional <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Riemann.<br />
Partiendo <strong>de</strong> esto, <strong>la</strong> extensión que se obtiene son <strong>la</strong>s funciones Lebesgue<br />
integrables y <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Lebesgue. Este proceso fue generalizado<br />
por Stone. Nuestra intención en esta lección es estudiar este proceso <strong>de</strong><br />
extensión y analizar su conexión con <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida.<br />
Definición. Por un retículo vectorial L en un conjunto X enten<strong>de</strong>remos<br />
un espacio vectorial <strong>de</strong> funciones f : X → R tal que:<br />
a) Si f ∈ L, entonces |f| ∈ L.<br />
Diremos que un retículo vectorial L en X es <strong>de</strong> Stone si satisface,<br />
b) Si f ∈ L entonces mín{1, f} ∈ L.<br />
Proposición 10.10.1 En un retículo vectorial L <strong>de</strong> X se tienen <strong>la</strong>s siguientes<br />
propieda<strong>de</strong>s:<br />
i) Si f, g ∈ L entonces<br />
f ∨ g = máx{f, g} = (1/2)[f + g + |f − g|] ∈ L.
354 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
ii) Si f, g ∈ L entonces<br />
f ∧ g = mín{f, g} = − máx{−f, −g} ∈ L.<br />
iii) Si f ∈ L entonces f + , f − ∈ L y f = f + − f − .<br />
Definición. Sea L un retículo vectorial. Diremos que un funcional lineal<br />
I : L → R es una integral <strong>de</strong> Daniell si es positivo, es <strong>de</strong>cir si f ∈ L y<br />
f ≥ 0 entonces I(f) ≥ 0, y satisface <strong>la</strong> condición:<br />
c) Si f n ∈ L y f n ↓ 0, entonces I(f n ) ↓ 0 ó equivalentemente si<br />
f n ∈ L, f n ↑ f y f ∈ L entonces I(f n ) ↑ I(f).<br />
El primer paso para hacer <strong>la</strong> extensión que preten<strong>de</strong>mos <strong>de</strong> este funcional,<br />
consiste en quedarnos con <strong>la</strong>s funciones f ∈ L no negativas, conjunto<br />
que <strong>de</strong>notaremos con L + . A continuación se prueba que I pue<strong>de</strong><br />
exten<strong>de</strong>rse <strong>de</strong> forma natural a los límites ascen<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong><br />
L + .<br />
Lema 10.10.2 (Ver Ash,p.171). Sean f n , g n ∈ L, tales que f n ↑ f y<br />
g n ↑ g. Si f ≤ g, entonces lím I(f n ) ≤ lím I(g n ).<br />
En base a esto <strong>de</strong>finimos el conjunto<br />
L ′ = {f = lím f n : f n ∈ L + , f n ↑ f},<br />
y exten<strong>de</strong>mos I <strong>de</strong> L + a L ′ <strong>de</strong> modo que para cada f ∈ L ′ tal que<br />
f = lím f n , con f n ∈ L + y f n ↑ f, I(f) = lím I(f n ).<br />
Esta extensión tiene <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s.<br />
Proposición 10.10.3 (Ver Ash,p.171). En <strong>la</strong>s condiciones anteriores se<br />
tiene:<br />
a) Para cada f ∈ L ′ , 0 ≤ I(f) ≤ ∞.<br />
b) Si f, g ∈ L ′ y f ≤ g entonces I(f) ≤ I(g).<br />
c) Si f ∈ L ′ y a ∈ [0, ∞), entonces af ∈ L ′ y I(af) = aI(f).<br />
d) Si f, g ∈ L ′ , entonces f + g, f ∨ g, f ∧ g ∈ L ′ y<br />
I(f + g) = I(f ∨ g) + I(f ∧ g) = I(f) + I(g).<br />
e) Si f n ↑ f, con f n ∈ L ′ , entonces f ∈ L ′ y I(f n ) ↑ I(f).
10.10. La integral <strong>de</strong> Daniell 355<br />
Definición. Diremos que un A ⊂ X es L—abierto si I A ∈ L ′ . Denotaremos<br />
el conjunto <strong>de</strong> los L—abiertos por T L y <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> función <strong>de</strong><br />
conjunto<br />
µ : T L → [0, ∞], µ(A) = I(I A ).<br />
Proposición 10.10.4 (Ver Ash,p.173). En los términos anteriores se tiene<br />
que:<br />
a) ∅, X ∈ T L , µ(∅) = 0.<br />
b) Si A, B ∈ T L entonces A∪B, A∩B ∈ T L y µ(A∪B)+µ(A∩B) =<br />
µ(A) + µ(B).<br />
c) Si A, B ∈ T L y A ⊂ B entonces µ(A) ≤ µ(B).<br />
d) Si A n ∈ T L y A n ↑ A, entonces A ∈ T L y µ(A n ) ↑ µ(A).<br />
Nota 10.10.5 En un espacio HLC X , se tiene que:<br />
“La mínima σ–álgebra que hace medibles a todas <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong><br />
C c (X ) es <strong>la</strong> σ–álgebra <strong>de</strong> Baire, <strong>la</strong> cual está generada por los compactos<br />
que son intersección numerable <strong>de</strong> abiertos”. (Ver Roy<strong>de</strong>n, p.301;<br />
Weir, p.180).<br />
Por otra parte se tiene que: “Las funciones medibles respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
σ–álgebra <strong>de</strong> Baire forman el retículo vectorial más pequeño <strong>de</strong> funciones<br />
en X que contiene a C c (X ), a <strong>la</strong>s funciones constantes y es cerrado para<br />
<strong>la</strong> convergencia puntual <strong>de</strong> sucesiones <strong>de</strong> funciones”. (Ver Weir, p.180).<br />
Si ahora pedimos que L sea un retículo vectorial <strong>de</strong> Stone tendremos<br />
una importante re<strong>la</strong>ción entre los conjuntos L–abiertos y <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong><br />
L, en un sentido que recuerda <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción anterior entre los conjuntos <strong>de</strong><br />
Baire y <strong>la</strong>s funciones continuas reales <strong>de</strong> soporte compacto en un espacio<br />
Hausdorff localmente compacto.<br />
Proposición 10.10.6 (Ver Mukherjea-Pothoven,p.394). Sea L un retículo<br />
vectorial <strong>de</strong> Stone <strong>de</strong> funciones sobre X , L ′ <strong>la</strong> extensión correspondiente<br />
y T L los conjuntos L—abiertos <strong>de</strong> X . Entonces:<br />
a) Para cada t > 0 y f ∈ L ′ , el conjunto {x ∈ X : f(x) > t} ∈ T L ,<br />
por tanto si l<strong>la</strong>mamos B(X ) = σ(T L ),<br />
f : (X , B(X )) → (R, B(R)),<br />
es medible.<br />
b) La mínima σ–álgebra que hace medibles a <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong> L es<br />
B(X ).
356 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Nuestra intención ahora es, dado (X , L, I) con L retículo vectorial<br />
<strong>de</strong> Stone e I una integral <strong>de</strong> Daniell, construir un espacio <strong>de</strong> medida<br />
(X , A, µ) con B(X ) ⊂ A, tal que L ⊂ L 1 e I(f) = ∫ f dµ, para cada<br />
f ∈ L. Para ello construimos una medida exterior, tal que para cada<br />
E ⊂ X<br />
µ ∗ (E) = ínf{µ(A) : E ⊂ A, A ∈ T L }.<br />
Observemos que si E ∈ T L entonces µ ∗ (E) = µ(E).<br />
Proposición 10.10.7 (Ver Mukherjea-Pothoven,p.394). La función <strong>de</strong> conjunto<br />
µ ∗ es una medida exterior.<br />
Hemos <strong>de</strong>mostrado en el Teorema <strong>de</strong> Extensión <strong>de</strong> Caratheodory<br />
(1.4.7), pág.21, que <strong>la</strong> familia A ∗ <strong>de</strong> los conjuntos B ⊂ X , µ ∗ —medibles,<br />
es <strong>de</strong>cir tales que para cualquier E ⊂ X ,<br />
µ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ B) + µ ∗ (E ∩ B c ),<br />
forman una σ–álgebra <strong>de</strong> X y que µ ∗ restringida a A ∗ es una medida.<br />
En nuestro caso tenemos que T L ⊂ A ∗ (ver Mukherjea-Pothoven,<br />
p.395) y por tanto B(X ) = σ(T L ) ⊂ A ∗ .<br />
Po<strong>de</strong>mos ahora enunciar el principal resultado <strong>de</strong> <strong>la</strong> lección.<br />
Teorema <strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Daniell–Stone 10.10.8 (Ver Mukherjea-<br />
Pothoven, p.396-8) . Sea L un retículo <strong>de</strong> Stone <strong>de</strong> funciones reales en<br />
X e I una integral <strong>de</strong> Daniell en L. Entonces existe una única medida λ<br />
en B(X ) —que es µ ∗ restringida a B(X )—, verificando <strong>la</strong>s condiciones:<br />
a) L ⊂ L 1 (X , B(X ), λ).<br />
b) I(f) = ∫ f dλ, para cada f ∈ L.<br />
c) Para cada E ∈ B(X ),<br />
λ(E) = ínf{µ(A) : E ⊂ A, A ∈ T L }.<br />
Dicha medida es una extensión <strong>de</strong> µ y es única aunque (c) lo modifiquemos<br />
por <strong>la</strong> siguiente condición.<br />
Proposición 10.10.9 (ver Mukherjea-Pothoven,p.398). Sea L un retículo<br />
vectorial en X e I una integral <strong>de</strong> Daniell en L. Supongamos que<br />
λ es una medida en B(X ) satisfaciendo (a), (b) <strong>de</strong>l anterior resultado<br />
(10.10.8) y:<br />
c’) Existen A n ∈ T L tales que ∪A n = X y λ(A n ) < ∞.<br />
Entonces λ es única.
10.11. Bibliografía y comentarios 357<br />
10.11. Bibliografía y comentarios<br />
Este capítulo es una especie <strong>de</strong> cajón <strong>de</strong> sastre en el que hemos colocado<br />
aquellos resultados, a nuestro enten<strong>de</strong>r mas importantes, en los que<br />
se re<strong>la</strong>cionan <strong>la</strong> topología y <strong>la</strong> medida. No obstante hay muchas cuestiones<br />
re<strong>la</strong>tivas a este tópico que no hemos incluido y que esperamos cubrir<br />
con <strong>la</strong>s referencias y comentarios que a continuación <strong>de</strong>tal<strong>la</strong>mos. Por lo<br />
que respecta a <strong>la</strong> confección directa <strong>de</strong>l tema, <strong>la</strong> bibliografía básica es <strong>la</strong><br />
siguiente:<br />
Ash, R.B.: “Real Analysis and Probability”. Ac.Press, 1972.<br />
Cohn, D.L.: “Measure theory”. Birkhauser (Boston), 1980.<br />
Lang, S.: “Real Analysis”. Addison–Wesley, 1969.<br />
Muhkerjea, A. and Pothoven, K.: “Real and functional Analysis”. Plenum Press,<br />
1978.<br />
Roy<strong>de</strong>n, H.L.: “Real Analysis”. McMil<strong>la</strong>n Pub., 1968.<br />
Rudin, W.: “Real and complex analysis”, Tata McGraw–Hill, 1974.<br />
Segal, I.E. and Kunze, R.A.: “Integrals and operators”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1978.<br />
Tjur, T.: “Probability based on Radon Measures”. J.Willey, 1980.<br />
Weir, A.J.: “General integration and measure. Vol.II ”. Cambridge Univ. Press,<br />
1974.<br />
Como bibliografía complementaria consi<strong>de</strong>ramos el<br />
Dinculeanu, N.: “Integration on locally compact spaces”. Noordhoff, 1974.<br />
que es un grueso tratado, continuación <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong>l mismo autor “Vector<br />
measures”, y en el que se estudia <strong>la</strong> integración <strong>de</strong> funciones f : X → E<br />
don<strong>de</strong> X es Hausdorff localmente compacto y E es <strong>de</strong> Banach. La importancia<br />
<strong>de</strong> los espacios localmente compactos en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida<br />
queda justificada, en pa<strong>la</strong>bras <strong>de</strong> este autor en el prefacio <strong>de</strong> su libro,<br />
por <strong>la</strong>s siguientes tres razones:<br />
1.- Los espacios localmente compactos tienen <strong>la</strong> propiedad <strong>de</strong> que <strong>la</strong>s medidas<br />
<strong>de</strong>finidas sobre ellos poseen propieda<strong>de</strong>s simi<strong>la</strong>res a <strong>la</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong><br />
Lebesgue en R. Una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s características principales <strong>de</strong> estos espacios es <strong>la</strong><br />
existencia <strong>de</strong> una rica c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> subconjuntos con propieda<strong>de</strong>s muy importantes:<br />
Los compactos. Otra importante característica es <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> una familia<br />
localmente numerable (ver p.190 <strong>de</strong>l libro) <strong>de</strong> compactos disjuntos cuya unión
358 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
es casi igual a todo el espacio. Esto permite establecer teoremas clásicos como<br />
Radón—Nikodym ó Fubini sin hacer restricciones sobre <strong>la</strong> medida.<br />
2.- Los espacios localmente compactos son al mismo tiempo suficientemente<br />
generales como para que una teoría <strong>de</strong> integración, <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>da en ellos, sea<br />
aplicable en distintas áreas <strong>de</strong>l Análisis, como por ejemplo en Análisis armónico<br />
o <strong>la</strong> teoría potencial.<br />
3.- Por último, <strong>la</strong> integración sobre espacios abstractos pue<strong>de</strong> siempre ser<br />
reducida a <strong>la</strong> integración sobre espacios localmente compactos.<br />
Esta última razón pue<strong>de</strong> leerse también en <strong>la</strong> p.2 <strong>de</strong>l libro<br />
Nachbin, L.: “The Haar integral”. Krieger, 1976.<br />
en <strong>la</strong> que aña<strong>de</strong> su autor que tal reducción pue<strong>de</strong> hacerse en cierto sentido<br />
en base a un cierto resultado <strong>de</strong> Kakutani <strong>de</strong>l que no da referencia.<br />
Desconocemos tal resultado, no obstante remitimos al lector al capítulo<br />
VIII, p.233 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Segal—Kunze, sobre teoría <strong>de</strong> integración<br />
algebraica, en <strong>la</strong> que se da un resultado en esta linea <strong>de</strong> interés en teoría<br />
<strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>s. Tal resultado se basa en <strong>la</strong>s i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> Gelfand <strong>de</strong><br />
representación <strong>de</strong> un anillo conmutativo como un espacio <strong>de</strong> funciones<br />
continuas sobre su espectro.<br />
En los libros <strong>de</strong> Tjur, p.23 y Lang, p.339, po<strong>de</strong>mos encontrar un<br />
interesante resultado válido en los espacios localmente compactos, en<br />
el que se construye una (única) medida en todo el espacio, a partir <strong>de</strong><br />
una familia <strong>de</strong> medidas en abiertos <strong>de</strong>l espacio que lo recubren, con <strong>la</strong><br />
propiedad <strong>de</strong> que en <strong>la</strong> intersección <strong>de</strong> dos abiertos <strong>de</strong> <strong>la</strong> familia <strong>la</strong>s correspondientes<br />
medidas coinci<strong>de</strong>n, <strong>de</strong> tal manera que <strong>la</strong> medida obtenida<br />
restringida a cada abierto nos da <strong>la</strong> <strong>de</strong>l abierto. En el Segal—Kunze,<br />
p.132, se <strong>de</strong>muestra un teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto para σ–anillos <strong>de</strong><br />
Baire, que complementa el dado por nosotros en (10.7.2). En este teorema<br />
se establece que el producto <strong>de</strong> σ–anillos <strong>de</strong> Baire es un σ–anillo<br />
<strong>de</strong> Baire —ver también Halmos, p.222—, y que el producto <strong>de</strong> medidas<br />
regu<strong>la</strong>res es regu<strong>la</strong>r. Su prueba hace uso, como comentamos en <strong>la</strong><br />
lección 7, <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Stone-Weierstrass. Si el espacio tiene una base<br />
numerable para su topología, entonces los σ–anillos <strong>de</strong> Borel y <strong>de</strong> Baire<br />
coinci<strong>de</strong>n (ver Segal—Kunze, p.54). En el Roy<strong>de</strong>n, p.314 se <strong>de</strong>muestra<br />
que toda medida <strong>de</strong> Baire regu<strong>la</strong>r pue<strong>de</strong> exten<strong>de</strong>rse a una medida <strong>de</strong><br />
Borel cuasi–regu<strong>la</strong>r, tal que cada Borel <strong>de</strong> medida finita pue<strong>de</strong> ponerse<br />
como diferencia simétrica <strong>de</strong> un Baire y un Borel <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong>.<br />
En el libro <strong>de</strong> Segal—Kunze, “se sugiere. . . ”, en pa<strong>la</strong>bras <strong>de</strong> Contantinescu—Weber,<br />
“. . . pero no se <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>, <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición abstracta<br />
<strong>de</strong> integral. . . ”, que utilizan en su libro
10.11. Bibliografía y comentarios 359<br />
Constantinescu,C. and Weber,K.: “Integration theory, Vol.I, Measure and integral”.<br />
J.Wiley, 1985.<br />
en el que <strong>la</strong> intención <strong>de</strong> sus autores es unificar los dos aspectos en los<br />
que se ha venido consi<strong>de</strong>rando <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> integración en <strong>la</strong> segunda<br />
mitad <strong>de</strong>l siglo XX: el abstracto y el topológico. Hemos visto en algunos<br />
resultados <strong>de</strong>l tema, y lo comentábamos a propósito <strong>de</strong> <strong>la</strong>s razones <strong>de</strong><br />
Dinculeanu sobre su preferencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría topológica, que cuando<br />
el espacio tiene buenas propieda<strong>de</strong>s topológicas, ambas teorías llevan<br />
prácticamente a los mismos resultados esenciales. Pero para espacios<br />
topológicos mas complicados <strong>la</strong> teoría topológica lleva a resultados mas<br />
fuertes. La unificación <strong>de</strong> estas dos vías propuesta por estos autores se<br />
basa en una <strong>de</strong>finición alternativa para <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría abstracta,<br />
<strong>de</strong> tal manera que incluye a <strong>la</strong> antigua, en el sentido <strong>de</strong> que aumentan<br />
<strong>la</strong>s funciones integrables y <strong>la</strong>s que antes lo eran siguen teniendo <strong>la</strong> misma<br />
integral. A<strong>de</strong>más ambas <strong>de</strong>finiciones coinci<strong>de</strong>n si el espacio es σ–finito.<br />
El libro <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong> los conceptos siguiendo el marco <strong>de</strong> i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> Daniell.<br />
En el libro <strong>de</strong><br />
Oxtoby,J.C.: “Measure and Category”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1971.<br />
hay dos temas principales —ambos re<strong>la</strong>cionando <strong>la</strong> topología con <strong>la</strong><br />
medida—, que son: El teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> categoría <strong>de</strong> Baire, como un<br />
método para probar <strong>la</strong> existencia (ver <strong>la</strong> lección <strong>de</strong> análisis <strong>de</strong> Fourier en<br />
C(T )). Y <strong>la</strong> dualidad entre categoría (en el sentido topológico) y medida.<br />
Hagamos un poco <strong>de</strong> historia sobre los resultados mas importantes<br />
<strong>de</strong>l tema. En 1903 Hadamard propone en <strong>la</strong> nota<br />
Hadamard: “Sur les operations fonctionelles”. C.R.Acad.Sci. Paris, 1903.<br />
el problema <strong>de</strong> encontrar una expresión analítica para los funcionales<br />
lineales y continuos <strong>de</strong> C[a, b]. Él mismo contesta <strong>la</strong> cuestión <strong>de</strong>l siguiente<br />
modo:<br />
“Dado Λ : C[a, b] → R lineal y continuo pue<strong>de</strong> ponerse <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
∫<br />
Λ(f) = lím F (x, y)f(x)dx,<br />
y→∞<br />
para F continua”.<br />
Sin embargo esta representación no es única. En 1909 Riesz da <strong>la</strong><br />
solución <strong>de</strong>finitiva en
360 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
Riesz, F.: “Sur les operations fonctionelles lineaires”. C.R.Acad.Sci. Paris, 149,<br />
974–977, 1909.<br />
utilizando <strong>la</strong> integral <strong>de</strong>finida por Stieltjes y probando el Primer Teorema<br />
<strong>de</strong> Representación <strong>de</strong> Riesz (ver Bene<strong>de</strong>tto, p.255):<br />
Λ ∈ C ∗ [a, b] sii existe g : [a, b] → R <strong>de</strong> variación acotada, tal que<br />
‖Λ‖ = v g (b) y para cada f ∈ C[a, b] se tiene Λ(f) = ∫ f dg. A<strong>de</strong>más g es<br />
única si i<strong>de</strong>ntificamos <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong> variación acotada con los mismos<br />
puntos <strong>de</strong> continuidad y en ellos se diferencien en una constante”.<br />
El nombre <strong>de</strong> medida <strong>de</strong> Radón se <strong>de</strong>be al hecho <strong>de</strong> que el autor <strong>de</strong>l<br />
artículo<br />
Radon, J.: “Theorie und Anwendungen <strong>de</strong>r absolut additiven Mengenfunctionen”.<br />
S.B. Akad. Wiss. Wien, 122, 1295–1438, 1913.<br />
da una correspon<strong>de</strong>ncia biunívoca entre <strong>la</strong>s medidas sobre un compacto<br />
X <strong>de</strong> R n y los funcionales lineales y positivos en C(X ) (no se en que<br />
términos). En 1937 S.Banach, en un apéndice titu<strong>la</strong>do “The Lebesgue<br />
integral in abstract spaces”, en <strong>la</strong>s pp. 320-330, <strong>de</strong>l libro<br />
Sacks, S.: “Theory of the integral”, 1937. Dover, 1964.<br />
extien<strong>de</strong> el resultado al caso <strong>de</strong> un espacio métrico compacto y lo hace<br />
no consi<strong>de</strong>rando una medida, sino extendiendo el funcional a un espacio<br />
<strong>de</strong> funciones que contiene a todas <strong>la</strong>s borel medibles acotadas (<strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> un boreliano A es entonces el funcional aplicado al I A ). En 1941 es<br />
Kakutani, S.: “Concrete representation of abstract (M)–Spaces. A characterization<br />
of the space of contiuous functions”. Ann.of Math., 2, 42, 994–1024, 1941.<br />
quien lo extien<strong>de</strong> al caso <strong>de</strong> un espacio Hausdorff compacto, consi<strong>de</strong>rando<br />
medidas reales en vez <strong>de</strong> medidas positivas. Recientemente han<br />
contribuido en este tema,<br />
Halmos, P.R.: “Measure Theory”. Springer–Ver<strong>la</strong>g, 1974.<br />
Hewitt, E.: “Linear functionals on spaces of continuous functions”. Fund. Math.,<br />
37, 161–189, 1950.<br />
Edwards, R.E.: “A theory of Radon measures on locally compact spaces”. Acta.<br />
Math., 89, 133–164, 1953.<br />
Sin embargo una introducción completa a <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida<br />
basada en <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Radón, no fue realizada hasta 1952 por un<br />
grupo <strong>de</strong> matemáticos franceses l<strong>la</strong>mado Nico<strong>la</strong>s Bourbaki, cuando<br />
publicó <strong>la</strong> primera edición <strong>de</strong> <strong>la</strong> obra<br />
Bourbaki, N.: “Integration, Ch.I–IX ”. Hermann, Paris, 1952–1956–1959–1963–1969.
10.11. Bibliografía y comentarios 361<br />
Todos los anteriores e incluso bastantes <strong>de</strong> los posteriores libros sobre<br />
medida e integración, están basadas en medidas abstractas con suposiciones<br />
topológicas adicionales cuando son convenientes. La aproximación<br />
Bourbakista tiene por otra parte <strong>la</strong> ventaja <strong>de</strong> suministrar una base conveniente,<br />
para pasar <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración a <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s distribuciones<br />
<strong>de</strong> L.Schwartz. Por otra parte, como el propio L.Schwartz dice<br />
en su libro<br />
Schwartz, L.: “Radon measures on arbitrary topological spaces. And cilindrical measures”.<br />
Oxford Univ. Press., 1973.<br />
“. . . el <strong>de</strong>fecto fundamental <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría Bourbakista <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong><br />
Radón consiste en que los espacios en los que están <strong>de</strong>finidas <strong>la</strong>s funciones<br />
que aparecen en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s Probabilida<strong>de</strong>s, no suelen ser localmente<br />
compactos. . .”. Por ello introduce su propio concepto <strong>de</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Radón —realmente introduce tres conceptos mutuamente re<strong>la</strong>cionados,<br />
<strong>de</strong> los que terminará quedándose con el mas conveniente—, <strong>la</strong> cual<br />
está <strong>de</strong>finida en los borelianos <strong>de</strong> un espacio Hausdorff. En sus pa<strong>la</strong>bras<br />
tal medida “. . . combina <strong>la</strong>s ventajas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos exposiciones habituales,<br />
<strong>la</strong> abstracta y <strong>la</strong> <strong>de</strong> Bourbaki, dando cohesión a muchos resultados que en<br />
<strong>la</strong> teoría abstracta se obtienen con hipótesis adicionales y manteniendo<br />
<strong>la</strong>s buenas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Radón <strong>de</strong> Bourbaki”.<br />
El teorema <strong>de</strong> existencia <strong>de</strong> Kolmogorov apareció en<br />
Kolmogorov, A.N.: “Foundations of the theory of Probability”. 1933; Reed. por<br />
Chelsea Pub. Co., 1956.<br />
para el caso en que los espacios X t = R. Una versión temprana <strong>de</strong> este<br />
resultado, en <strong>la</strong> linea <strong>de</strong>l dado por Tjur ó por Bourbaki fue dada por<br />
Daniell,P.J.: “Functions of limited variation in an infinite number of dimensions”.<br />
Ann.Math. (2), 21, 30–38, 1920.<br />
Otra prueba <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> existencia <strong>de</strong> Kolmogorov pue<strong>de</strong> verse en <strong>la</strong><br />
pág.506 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong><br />
Billingsley, P.: “Probability and measure”. John Wiley, 1986.<br />
y en el que hace hincapié <strong>de</strong> su importancia fundamental en el estudio <strong>de</strong><br />
los procesos estocásticos (familias <strong>de</strong> variables aleatorias en un espacio<br />
<strong>de</strong> probabilidad), pues estos vienen <strong>de</strong>scritos habitualmente en términos<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s distribuciones que inducen en los espacios euclí<strong>de</strong>os, es <strong>de</strong>cir<br />
por sus distribuciones finito dimensionales, y aunque el sistema <strong>de</strong> estas<br />
distribuciones finito dimensionales no <strong>de</strong>terminan completamente <strong>la</strong>s<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l proceso, el primer paso en una teoría general es construir
362 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
un proceso que tenga un sistema dado <strong>de</strong> distribuciones finito dimensionales.<br />
En cuanto a <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Haar esta constituye un importante campo<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida, siendo una generalización extremadamente<br />
útil <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> Lebesgue en el grupo R n . La medida <strong>de</strong> Haar es una<br />
medida invariante por tras<strong>la</strong>ciones, sobre un grupo topológico Hausdorff<br />
localmente compacto. Los grupos topológicos fueron consi<strong>de</strong>rados por<br />
primera vez por Sophus Lie en el caso particu<strong>la</strong>r, pero fundamental,<br />
<strong>de</strong> los grupos analíticos, en los que mediante apropiados sistemas <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas <strong>la</strong>s operaciones <strong>de</strong>l grupo pue<strong>de</strong>n expresarse en términos <strong>de</strong><br />
funciones analíticas. A comienzos <strong>de</strong>l siglo XX, Hilbert y Brouwer<br />
consi<strong>de</strong>raron grupos topológicos mas generales que los tratados por Lie.<br />
Los fundamentos <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría general <strong>de</strong> grupos topológicos fue establecida<br />
mucho <strong>de</strong>spués, en 1926 y 1927 por Schreier y Leja. Para estudiar<br />
<strong>la</strong> estructura <strong>de</strong> ciertos grupos topológicos D.Hilbert propone en 1900<br />
el siguiente problema —conocido como quinto problema <strong>de</strong> Hilbert, <strong>de</strong><br />
una <strong>la</strong>rga serie que propuso—: ¿Es cada grupo topológico, localmente<br />
euclí<strong>de</strong>o 4 , un grupo <strong>de</strong> Lie?. En 1933<br />
Haar, A.: “Der massbegriff in <strong>de</strong>r theorie <strong>de</strong>r kontinuerlichen gruppen”. Ann. of<br />
Math., 2, 34, 147–169, 1933.<br />
da un paso fundamental hacia <strong>la</strong> solución <strong>de</strong>l problema, estableciendo <strong>la</strong><br />
existencia <strong>de</strong> una medida invariante por tras<strong>la</strong>ciones, sobre un grupo topológico<br />
localmente compacto con una base numerable <strong>de</strong> abiertos. Ese<br />
mismo año J.Von Neumann, utilizando ese resultado, resuelve afirmativamente<br />
el problema <strong>de</strong> Hilbert para grupos compactos localmente<br />
Euclí<strong>de</strong>os y en el artículo<br />
Neumann, J. Von,: “Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen”. Comp. Math.,<br />
I, 106–114, 1934.<br />
prueba que para grupos compactos <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Haar estaba únicamente<br />
<strong>de</strong>terminada salvo factores constantes. J.Von Neumann y A.Weyl<br />
generalizaron el resultado <strong>de</strong> Haar a grupos localmente compactos. En<br />
1940<br />
Weyl, A.: “L’integration dans les groupes topologiques et ses applications”. Hermann,<br />
1940.<br />
prueba que <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> una medida invariante en un grupo es una<br />
característica <strong>de</strong> los grupos localmente compactos, en el sentido <strong>de</strong> que si<br />
4 es <strong>de</strong>cir tales que cada punto tiene un entorno homeomorfo a un abierto <strong>de</strong> un<br />
R n , lo que suele l<strong>la</strong>marse variedad topológica
10.11. Bibliografía y comentarios 363<br />
un grupo topológico Hausdorff <strong>la</strong> tiene, entonces es localmente precompacto.<br />
Por otra parte <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración que aquí da Weyl <strong>de</strong> <strong>la</strong> existencia<br />
<strong>de</strong> una medida invariante por tras<strong>la</strong>ciones en un grupo localmente compacto,<br />
se basa en el Teorema <strong>de</strong> Tychonov —que es consecuencia<br />
<strong>de</strong>l axioma <strong>de</strong> elección— y aquí radica su crítica habitual, aunque su<br />
<strong>de</strong>mostración es mas corta que otras, como <strong>la</strong> que da<br />
Banach, S.: “On Haar’s Measure”. Apéndice <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Saks, pp.314–319.<br />
que está formu<strong>la</strong>da en términos <strong>de</strong> límites generalizados y que en pa<strong>la</strong>bras<br />
<strong>de</strong> Nachbin “. . . conlleva críticas simi<strong>la</strong>res a <strong>la</strong>s <strong>de</strong> Weyl. . .”. En<br />
1940<br />
Cartan, H.: “Sur <strong>la</strong> mesure <strong>de</strong> Haar”. C,R.Acad.Sci.Paris, 211, 759–762, 1940.<br />
da una prueba <strong>de</strong> este resultado sin <strong>la</strong>s críticas que acompañaron a sus<br />
pre<strong>de</strong>cesores. Cartan construye <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Haar como un cierto límite,<br />
aplicando el criterio <strong>de</strong> convergencia <strong>de</strong> Cauchy, con lo que consigue<br />
garantizar simultáneamente su existencia y su unicidad. No obstante su<br />
<strong>de</strong>mostración es mas <strong>la</strong>rga y menos simple que <strong>la</strong> <strong>de</strong> Weyl. Para una<br />
<strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> ambas remitimos al lector al libro <strong>de</strong><br />
Nachbin, L.: “The Haar integral”. Krieger, 1976.<br />
Otra <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este resultado fue dada por Montgomery y<br />
Zippin en 1955, siguiendo para ello una i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> Kakutani y Kodaira<br />
en base a <strong>la</strong> cual era suficiente establecer el resultado para grupos localmente<br />
compactos separables, pues el caso general se obtenía teniendo en<br />
cuenta que cada grupo localmente compacto tiene numerosos subgrupos<br />
invariantes y cerrados cuyos grupos cocientes son separables. Por otra<br />
parte tres años antes, en 1952, estos dos autores junto con A. Gleason<br />
dieron una contestación completa al quinto problema <strong>de</strong> Hilbert.<br />
Nosotros hemos probado <strong>la</strong> existencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Haar en un<br />
grupo compacto, siguiendo al Mukherjea–Pothoven, quienes a su vez lo<br />
hacen basándose en un resultado <strong>de</strong><br />
Kakutani, S.: “Two fixed–point theorems concerning bicompact convex sets”. Proc.<br />
Imp. Acad. Tokyo, 14, 242–245, 1938.<br />
Para otros comentarios históricos y bibliográficos sobre <strong>la</strong> medida <strong>de</strong><br />
Haar, remitimos al lector a <strong>la</strong> pág.316 <strong>de</strong>l libro<br />
Bourbaki,N.: “Elementos <strong>de</strong> historia <strong>de</strong> <strong>la</strong>s matemáticas”. Alianza Univ., 1976.<br />
En cuanto a <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración <strong>de</strong> Daniell, tenemos que en 1911<br />
Young,W.H.: “A new method in the theory of integration”. Proc.London Math.Soc.,<br />
2, T.9, 15–50, 1911.
364 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
partiendo <strong>de</strong> <strong>la</strong> integral <strong>de</strong> Cauchy sobre <strong>la</strong>s funciones continuas <strong>de</strong> soporte<br />
compacto, <strong>de</strong>fine sucesivamente <strong>la</strong> integral superior <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones<br />
semicontinuas inferiormente y <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> cualquier función, obteniendo<br />
<strong>de</strong> esta manera una <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones integrables idéntica a <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong> Lebesgue, pero por medios únicamente funcionales. En 1918<br />
Daniell,P.J.: “A general form of integral”. Ann.Math., 19, 279–294, 1918.<br />
extendió esta exposición, con algunas modificaciones, a <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong>finidas<br />
en un conjunto cualquiera, <strong>de</strong>finiendo <strong>la</strong> integral como un funcional<br />
lineal sobre una c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> funciones y <strong>de</strong>finiendo <strong>la</strong>s nociones <strong>de</strong> medida<br />
y medibilidad <strong>de</strong> funciones en términos <strong>de</strong> ese funcional. En 1940<br />
Riesz, F.: “Sur quelques notions fondamentales dans <strong>la</strong> theorie generale <strong>de</strong>s operations<br />
lineaires”. Ann.of Math., (2), t.XLI, 174–206, 1940.<br />
expone, <strong>de</strong> forma concisa y elegante, los resultados <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> los<br />
espacios or<strong>de</strong>nados que intervienen en <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> integración. Sobre este<br />
tópico remitimos al lector a los siguientes tratados:<br />
Luxemburg,W.A.J. and Zaanen,A.C.: “Riesz Spaces. Vol.I ”. North Hol<strong>la</strong>nd, 1971.<br />
Fremlin,D.H.: “Topological Riesz Spaces and Measure Theory”. Cambridge Univ.<br />
Press. 1974.<br />
Por último citemos <strong>la</strong> importante aportación <strong>de</strong><br />
Stone,M.H.: “Notes on integration I–IV ”. Proc.Nat.Acad.Sci., 34, 35, 1848–1949.<br />
que ha contribuido notablemente en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> este punto <strong>de</strong> vista.<br />
Fin <strong>de</strong>l Capítulo 10
Densida<strong>de</strong>s<br />
10.11. Bibliografía y comentarios 365<br />
Definición. L<strong>la</strong>maremos <strong>de</strong>nsidad en una variedad diferenciable V a<br />
una aplicación simétrica (por <strong>la</strong> siguiente propiedad (1))<br />
µ: D n (V) → C(V),<br />
que cumple <strong>la</strong>s siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
(1) Si para toda ω ∈ Λ n (V ) y 2n campos tangentes D i , E i ∈ D(V )<br />
se tiene<br />
|ω n (D 1 , . . . , D n )| = |ω n (E 1 , . . . , E n )|,<br />
entonces µ(D 1 , . . . , D n ) = µ(E 1 , . . . , E n ).<br />
(2) Para toda f ∈ C ∞ (V ), µ(fD 1 , . . . , D n ) = |f|µ(D 1 , . . . , D n ).<br />
De don<strong>de</strong> se sigue que:<br />
(i) (Por (2)). Si algún D i = 0, µ(D 1 , . . . , D n ) = 0.<br />
(ii) Si D i = D j , para i ≠ j, µ(D 1 , . . . , D n ) = 0, pues |ω(D 1 , . . . , D n )| =<br />
0 = |ω(0, . . . , 0)|, por tanto<br />
µ(D 1 , . . . , D n ) = µ(0, . . . , 0) = 0.<br />
Lema 10.11.1 Sea µ una <strong>de</strong>nsidad, U ⊂ V un abierto y D i , E i ∈ D(V)<br />
2n campos, tales que D i = E i en U, entonces µ(D 1 , . . . , D n ) = µ(E 1 , . . . , E n )<br />
en U.<br />
Demostración. Basta consi<strong>de</strong>rar un punto x ∈ U y una función<br />
badén φ en x, con soporte en U, entonces φD i = φE i en V, por tanto<br />
como φ(x) = 1<br />
µ(D 1 , . . . , D n )(x) = |φ(x)| n µ(D 1 , . . . , D n )(x) = µ(φD 1 , . . . , φD n )(x)<br />
= µ(φE 1 , . . . , φE n )(x) = µ(E 1 , . . . , E n )(x).<br />
Esto nos permite <strong>de</strong>finir <strong>la</strong> restricción <strong>de</strong> una <strong>de</strong>nsidad.<br />
Definición. L<strong>la</strong>mamos restricción <strong>de</strong> una <strong>de</strong>nsidad µ a un abierto U ⊂ V<br />
a <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsidad en U<br />
µ |U (D 1 , . . . , D n )(x) = µ( ̂D 1 , . . . , ̂D n )(x),<br />
para cualquier ̂D i ∈ D(V) que coincida con D i en un entorno <strong>de</strong> x.<br />
Sea (U; x i ) un entorno coor<strong>de</strong>nado, entonces µ está <strong>de</strong>terminada en<br />
U por su valor µ(∂ x1 , . . . , ∂ xn ) que es un generador <strong>de</strong>l módulo libre
366 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología<br />
D n (U), por tanto toda <strong>de</strong>nsidad µ está <strong>de</strong>terminada en U por <strong>la</strong> función<br />
β = µ(∂), pues para cada D ∈ D n (U), existe f diferenciable, tal que<br />
D = f∂ y<br />
µ(D) = |f|β.<br />
Proposición 10.11.2 Sea µ una <strong>de</strong>nsidad, x ∈ V y D, E ∈ D n (V), tales<br />
que D x = E x , entonces µ(D)(x) = µ(E)(x).<br />
Demostración. Sean D = f∂ y E = g∂, en un entorno coor<strong>de</strong>nado<br />
(U; x i ); entonces f(x) = g(x) y<br />
µ(D)(x) = f(x)µ(∂)(x) = g(x)µ(∂)(x) = µ(E)(x).<br />
Esto nos permite <strong>de</strong>finir <strong>de</strong>nsidad en un punto.<br />
Definición. L<strong>la</strong>mamos restricción <strong>de</strong> una <strong>de</strong>nsidad µ en un punto x ∈ V<br />
a <strong>la</strong> aplicación<br />
µ x : D n (V) x → R, µ x (D x ) = µ(D)(x),<br />
para cualquier D ∈ D n (V), que en x <strong>de</strong>fina D x .<br />
Nota 10.11.3 Observemos que µ x <strong>de</strong>fine una única medida <strong>de</strong> Lebesgue 5<br />
m x en T x (V), tal que µ x (D) = m x (C D ), para D = D 1 ∧ · · · ∧ D n ,<br />
D i ∈ T x (V) y C D el hipercubo <strong>de</strong>finido por los vectores D i , pues fijando<br />
un D cualquiera con los D i in<strong>de</strong>pendientes tendremos una única medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue que lo verifica para ese D y para cualquier otro E = fD,<br />
como se tiene que f = <strong>de</strong>t(a ij ), para E i = ∑ a ij D j , tendremos<br />
µ x (E) = |f|µ x (D) = | <strong>de</strong>t(a ij )|m x (C D ) = m x (C E ).<br />
Definición. Para cada x ∈ V po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar el R–espacio vectorial<br />
1–dimensional <strong>de</strong> <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Lebesgue M x <strong>de</strong> T x (V) y el fibrado<br />
M = ∪ x∈V M x , con <strong>la</strong> estructura diferenciable siguiente: Consi<strong>de</strong>remos<br />
un m x ∈ M x y un entorno coor<strong>de</strong>nado <strong>de</strong> x, (U; x i ) y para <strong>la</strong> proyección<br />
natural π : M → V, π(m x ) = x, consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas en<br />
π −1 (U),<br />
x i (m y ) = x i (y), z(m y ) = m y (C D ),<br />
5 Por medida <strong>de</strong> Lebesgue enten<strong>de</strong>mos sólo que sea invariante por tras<strong>la</strong>ciones, por<br />
tanto se sigue <strong>de</strong> 1.5.19 que para cada hipercubo C y cada constante c ∈ R existe<br />
una única medida invariante por tras<strong>la</strong>ciones m tal que m(C) = c.
10.11. Bibliografía y comentarios 367<br />
para D = ∂. Se <strong>de</strong>muestra que estas cartas <strong>de</strong>finen una única estructura<br />
diferenciable en M y que una <strong>de</strong>nsidad es una sección <strong>de</strong> este fibrado.<br />
El conjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> V , que <strong>de</strong>notaremos M(V ) forman<br />
un C(V )–módulo y M es un haz.<br />
Ejemplo.- Toda n–forma ω ∈ Λ n (V ), <strong>de</strong>fine una <strong>de</strong>nsidad<br />
µ(D 1 , . . . , D n ) = |ω(D 1 , . . . , D n )|.<br />
Ejemplo 10.11.4 Toda variedad Riemanniana (V, g) <strong>de</strong>fine una <strong>de</strong>nsidad<br />
que en cada abierto coor<strong>de</strong>nado (U; x i ) vale<br />
√<br />
µ(∂) = <strong>de</strong>t(∂ xi · ∂ xj ).
368 Capítulo 10. <strong>Medida</strong> y topología
Ejercicios difíciles<br />
Ejercicio 1 Dado un espacio medible (Ω, A) y dos medidas en él µ ≤ ν. Demostrar:<br />
a) Hay una medida λ tal que µ + λ = ν.<br />
b) Si µ es σ–finita, λ es única.<br />
Ejercicio 2 Demostrar que para (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida, <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción<br />
A ≃ B si y sólo si µ(A△B) = 0, es <strong>de</strong> equivalencia, que <strong>la</strong> aplicación<br />
ρ(A, B) = µ(A△B),<br />
es una métrica en el conjunto cociente X = {A ∈ A : µ(A) < ∞}/ ≃ y que el<br />
espacio métrico (X , ρ) es completo.<br />
Ejercicio 3 Demostrar que el espacio métrico completo <strong>de</strong>l ejercicio anterior,<br />
en el caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> Ω = [0, 1], A los borelianos <strong>de</strong>l intervalo y µ <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue, no es compacto.<br />
Ejercicio 4 Sean f, f n, g, g n integrables, tales que |f n| ≤ g n, f n → f c.s.,<br />
g n → g c.s. y ∫ g n → ∫ g. Demostrar que ∫ f n → ∫ f.<br />
Ejercicio 5 Demostrar que si f, f n ∈ L p (p < ∞) y f n → f c.s. entonces<br />
‖f n‖ p → ‖f‖ p sii ‖f n − f‖ p → 0.<br />
Ejercicio 6 Para cada 1 ≤ p ≤ ∞, ¿bajo que condiciones sobre f y g se da <strong>la</strong><br />
igualdad en <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r?, ¿y en <strong>la</strong> <strong>de</strong> Minkowsky?.<br />
Ejercicio 7 Demostrar que si µ(Ω) = 1 y f ≥ 0 es medible, entonces para<br />
k = ∫ f dµ, se verifica<br />
√ ∫ √1<br />
1 + k2 ≤ + f 2<br />
dµ ≤ 1 + k.<br />
Dar una interpretación geométrica <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s en el caso en que f = g ′<br />
y sea continua, µ = m y Ω = [0, 1].<br />
369
370 Ejercicios difíciles<br />
Ejercicio 8 Demostrar que si 1 ≤ r < p < s < ∞, entonces: a) L r ∩ L s<br />
es un espacio <strong>de</strong> Banach con <strong>la</strong> norma ‖f‖ = ‖f‖ r + ‖f‖ s y <strong>la</strong> inclusión<br />
L r ∩ L s → L p es continua. b) Que L r + L s es un espacio <strong>de</strong> Banach con <strong>la</strong><br />
norma ‖f‖ = ínf{‖g‖ r + ‖h‖ s : f = g + h} y <strong>la</strong> inclusión L p → L r + L s es<br />
continua.<br />
Ejercicio 9 i) Demostrar que para x ≥ 0, log x ≤ x − 1 y x log x ≥ x − 1.<br />
ii) Demostrar que si µ(Ω) = 1 y 0 < r < s < ∞, entonces para f ∈ L s,<br />
‖f‖ r ≤ ‖f‖ s y que para exp{−∞} = 0 y log 0 = −∞<br />
∫<br />
lím<br />
p→0 ‖f‖p = exp{ log |f| dµ}.<br />
Ejercicio 10 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y f ∈ L ∞, ‖f‖ ∞ ≠ 0, entonces para<br />
a n = ∫ |f| n dµ,<br />
a n+1<br />
lím = ‖f‖<br />
n→∞<br />
∞.<br />
a n<br />
Ejercicio 11 Demostrar <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Heisenberg para f = f 1 + if 2 : R →<br />
C, con f i ∈ C ∞ (R) y f ∈ L 2,<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
(∫ ∞<br />
) 1/2 (∫ ∞<br />
1/2<br />
|f(x)| 2 dx ≤ 2 |xf(x)| 2 dx<br />
|f ′ (x)| dx) 2 .<br />
−∞<br />
−∞<br />
Ejercicio 12 Demostrar que si f ∈ L 1(R) y g ∈ L p(R), entonces f ∗ g(x) =<br />
∫<br />
f(x − y)g(y)dy está en Lp y<br />
‖f ∗ g‖ p ≤ ‖f‖ 1‖g‖ p.<br />
Ejercicio 13 Demostrar que en un espacio <strong>de</strong> medida σ–finito (Ω, A, µ), si<br />
fg ∈ L 1 para toda f ∈ L p, entonces g ∈ L q, para q el conjugado <strong>de</strong> p.
Ejercicios resueltos<br />
Ejercicios resueltos Tema I<br />
Ejercicio 1.2.3.- Dada una aplicación F : Ω → Ω ′ , <strong>de</strong>mostrar que:<br />
(a) Si A es una σ–álgebra <strong>de</strong> Ω, A ′ = {B ⊂ Ω ′ : F −1 (B) ∈ A} lo es <strong>de</strong> Ω ′ .<br />
(b) Si A ′ es una σ–álgebra <strong>de</strong> Ω ′ , A = F −1 [A ′ ] = {F −1 (B) ⊂ Ω : B ∈ A ′ } lo<br />
es <strong>de</strong> Ω.<br />
(c) Si C ⊂ P(Ω ′ ), σ[F −1 (C)] = F −1 [σ(C)].<br />
(d) Demostrar que si (Ω, T ) y (Ω ′ , T ′ ) son espacios topológicos y F es continua,<br />
entonces F −1 (B) ∈ B(Ω), para todo B ∈ B(Ω ′ ).<br />
Ind.- (c) Aplicar el principio <strong>de</strong> los buenos conjuntos. (d) Aplicar (c).<br />
Ejercicio 1.2.4.- Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong>s siguientes extensiones <strong>de</strong> una familia C <strong>de</strong><br />
subconjuntos <strong>de</strong> Ω:<br />
Demostrar que C 3 = α(C).<br />
C 1 = {A ⊂ Ω : A ∈ C ó A c ∈ C},<br />
C 2 = {A 1 ∩ · · · ∩ A n : A i ∈ C 1, n ∈ N},<br />
C 3 = {A 1 ∪ · · · ∪ A n : A i ∈ C 2, n ∈ N}.<br />
Solución.- Por una parte tenemos que C ⊂ C 1 ⊂ C 2 ⊂ C 3 ⊂ α(C), por tanto<br />
α(C 3 ) = α(C) y basta <strong>de</strong>mostrar que C 3 es álgebra. Que ∅, Ω ∈ C 3 es obvio,<br />
A = A 1 ∪ · · · ∪ A n ∈ C 3<br />
A c = A c 1 ∩ · · · ∩ Ac n = (∪m 1<br />
j=1 B 1j) ∩ · · · ∩ (∪ mn<br />
j=1 B nj)<br />
= ∪ m 1<br />
j 1 =1 · · · [ ] ∪mn j n=1 ∩<br />
n<br />
i=1 B iji ∈ C3 ,<br />
don<strong>de</strong> los B ij ∈ C 1 . Por último es cerrado para uniones finitas.<br />
Ejercicio 1.2.5.- Sean (Ω 1, A 1), . . . , (Ω n, A n) espacios medibles. Demostrar que<br />
<strong>la</strong> familia <strong>de</strong> los productos <strong>de</strong> medibles,<br />
R = {A 1 × · · · × A n ⊂ Ω 1 × · · · × Ω n : A i ∈ A i},<br />
⇒<br />
371
372 Ejercicios resueltos<br />
es una c<strong>la</strong>se elemental (es <strong>de</strong>cir que satisface <strong>la</strong>s condiciones: (i) ∅ ∈ C, (ii) si<br />
A, B ∈ C, entonces A ∩ B ∈ C y (iii) si A ∈ C, A c es unión finita disjunta <strong>de</strong><br />
elementos <strong>de</strong> C).<br />
Solución.- ∅ ∈ R y<br />
(A 1 × · · · × A n) ∩ (B 1 × · · · × B n) = (A 1 ∩ B 1 ) × · · · × (A n ∩ B n),<br />
[A 1 × · · · × A n] c =A c 1 × Ω 2 × · · · × Ω n∪<br />
A 1 × A c 2 × · · · × Ω n ∪ . . . ∪<br />
A 1 × · · · × A n−1 × A c n ∈ A 0 .<br />
Ejercicio 1.2.6.- Demostrar que si C es una c<strong>la</strong>se elemental, <strong>la</strong> familia <strong>de</strong> uniones<br />
finitas disjuntas <strong>de</strong> conjuntos <strong>de</strong> C es el álgebra α(C).<br />
Solución.- Basta ver que <strong>la</strong> familia A 0 <strong>de</strong> uniones finitas disjuntas <strong>de</strong> conjuntos<br />
<strong>de</strong> C es álgebra, pues C ⊂ A 0 ⊂ α(C).<br />
Se tiene: ∅ ∈ C ⊂ A 0 y si R, Q ∈ A 0 , con R = ∪ m i=1 R i, R i ∈ C disjuntos y<br />
Q = ∪ k j=1 Q j, con los Q j ∈ C disjuntos, entonces<br />
R ∩ Q = ∪ m i=1 (R i ∩ Q) = ∪ m i=1 ∪k j=1 (R i ∩ Q j ) ∈ A 0 ,<br />
ya que los R i ∩ Q j ∈ C y son disjuntos. Por último es cerrado por paso al complementario,<br />
pues por <strong>de</strong>finición para R i ∈ C, R c i ∈ A 0 y para R ∈ A 0 como antes,<br />
R c = ∩ m i=1 Rc i ∈ A 0.<br />
Ejercicio 1.2.10.- ¿Pue<strong>de</strong> una σ–álgebra infinita contener sólo una colección<br />
numerable <strong>de</strong> elementos?<br />
Ind. No, porque al menos tendría una colección numerable B n <strong>de</strong> conjuntos<br />
disjuntos, cosa que vemos <strong>de</strong> tres formas: (1) De un medible no trivial A, sacamos<br />
dos A y A c , y por inducción, <strong>de</strong> n disjuntos A 1 , . . . , A n sacamos n + 1, pues o bien<br />
B = ∪A i ≠ Ω y consi<strong>de</strong>ramos A n+1 = B c o en caso contrario estos n conjuntos<br />
son una partición <strong>de</strong>l espacio y basta consi<strong>de</strong>rar cualquier medible E que no sea uno<br />
<strong>de</strong> los 2 n que se obtienen uniendo estos A i , y por tanto con intersección no trivial<br />
con alguno <strong>de</strong> los A i , al que parte en dos E ∩ A i y E c ∩ A i . (2) Si <strong>la</strong> σ–álgebra<br />
es numerable A = {A n : n ∈ N}. Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar para cada x <strong>de</strong>l espacio, el<br />
medible A x = ∩{A ∈ A : x ∈ A}, pues <strong>la</strong> intersección es numerable. Si y ∈ A x,<br />
entonces A y = A x, pues si x ∈ A n entonces y ∈ A n y por lo mismo si x ∈ A c n = Am,<br />
entonces y ∈ A m ó equivalentemente si y ∈ A n, x ∈ A n; y si y /∈ A x, A x∩A y = ∅ pues<br />
si tuviera un z, sería A x = A z = A y e y ∈ A x. Obviamente cada A n = ∪ x∈An A x,<br />
por tanto tenemos una colección numerable <strong>de</strong> conjuntos disjuntos. (3) Si tenemos<br />
una colección numerable A n ∈ A, entonces A contiene los conjuntos disjuntos <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
forma ∩ ∞ n=1 En, para En = An ó En = Ac n , los cuales no pue<strong>de</strong>n formar un conjunto<br />
finito B 1 , . . . , B m, pues entre los 2 m que se obtienen uniendo estos, tienen que estar<br />
todos los A n, que son infinitos.<br />
Ahora <strong>la</strong>s uniones arbitrarias <strong>de</strong> estos serían distintas e i<strong>de</strong>ntificando cada B n<br />
con n ∈ N, estas uniones se i<strong>de</strong>ntificarían con partes <strong>de</strong> N que es no numerable.<br />
Ejercicio 1.3.3.- Dada una medida µ y una sucesión A n ∈ A, <strong>de</strong>mostrar que<br />
∞⋃<br />
∞∑<br />
µ( A n) ≤ µ(A n).<br />
n=1<br />
n=1
373<br />
Ind. Tómense los conjuntos disjuntos B n = (A 1 ∪ · · · ∪ A n−1 ) c ∩ A n.<br />
Ejercicio 1.3.5.- Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ) y una sucesión A n ∈ A,<br />
<strong>de</strong>mostrar que:<br />
(a) µ(lím inf A n) ≤ lím inf µ(A n).<br />
(b) Que si µ(∪A n) < ∞, entonces lím sup µ(A n) ≤ µ(lím sup A n).<br />
Solución.- Sean B n = ∩ ∞ i=n A i y C n = ∪ ∞ i=n A i, entonces B n ⊂ A n ⊂ C n,<br />
µ(B n) ≤ µ(A n) ≤ µ(C n) y B n ↑ lím inf A n, C n ↓ lím sup A n.<br />
Ejercicio (Lema <strong>de</strong> Borel–Cantelli) 1.3.6.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida<br />
y C n ∈ A. Demostrar que<br />
∞∑<br />
µ(C n) < ∞ ⇒ µ(lím sup C n) = 0.<br />
n=1<br />
Ind. Sea D n = ∪ ∞ i=n C i, µ(D 1 ) < ∞, µ(D n) ↓ 0 y D n ↓ lím sup C n.<br />
Ejercicio 1.3.8.- Dada una sucesión doble x nm ∈ (−∞, ∞], tal que para cualesquiera<br />
n, m ∈ N, x nm ≤ x n+1,m y x nm ≤ x n,m+1, <strong>de</strong>mostrar que<br />
lím lím<br />
n→∞ m→∞ xnm = lím lím xnm.<br />
m→∞ n→∞<br />
Ind. Demostrar que existen los límites a n = lím m→∞ x nm, a = lím n→∞ a n,<br />
b m = lím n→∞ x nm y b = lím m→∞ b m, que x nm ≤ a n ≤ a y por tanto b ≤ a, <strong>la</strong> otra<br />
<strong>de</strong>sigualdad por simetría.<br />
Ejercicio 1.3.10.- Dado un conjunto Ω no numerable, <strong>de</strong>mostrar que<br />
A = {E ⊂ Ω : E ó E c<br />
es numerable},<br />
es σ–álgebra y en el<strong>la</strong> µ(E) = 0 si E es numerable y µ(E) = 1, si E c es<br />
numerable, es una medida.<br />
Ind. Si A n ∈ A y para todo n A n es numerable, entonces ∪A n ∈ A por ser<br />
numerable y si existe un i tal que A c i es numerable, entonces (∪An)c = ∩A c n ⊂ A c i es<br />
numerable. Y si los A n son disjuntos y todos numerables, µ(∪A n) = 0 = ∑ µ(A n), y<br />
si un A i no lo es, entonces para todo j ≠ i, A j ⊂ A c i es numerable y µ(∪An) = 1 =<br />
µ(A i ) = ∑ µ(A n).<br />
Ejercicio 1.3.11.- Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), tal que para todo<br />
E ∈ A con µ(E) = ∞ existe F ∈ A, con F ⊂ E y 0 < µ(F ) < ∞ (estas<br />
medidas suelen l<strong>la</strong>marse semifinitas), <strong>de</strong>mostrar que para todo E ∈ A con<br />
µ(E) = ∞ y todo r > 0 existe F ∈ A, con F ⊂ E y r < µ(F ) < ∞.<br />
Solución.- Basta <strong>de</strong>mostrar que<br />
sup{µ(B) : B ∈ A, B ⊂ E y µ(B) < ∞} = ∞.<br />
En caso contrario, el supremo valdría c < ∞ y para todo n ∈ N, podríamos encontrar<br />
F n ⊂ E tal que µ(F n) > c − (1/n) y consi<strong>de</strong>rando B n = ∪ n i=1 F i y su unión expansiva
374 Ejercicios resueltos<br />
B n ↑ B, tendríamos que µ(B n) ≤ c, pues B n ⊂ E y µ(B n) ≤ ∑ n<br />
i=1 µ(F i) < ∞, por<br />
tanto tomando límites µ(B) ≤ c, pero como<br />
µ(B n) ≥ µ(F n) ≥ c − 1 n ,<br />
tomando límites µ(B) ≥ c, por tanto µ(B) = c y como B ⊂ E llegamos a contradicción<br />
pues µ(E\B) = ∞ ya que µ(E) = µ(B) + µ(E\B), y por <strong>de</strong>finición existe un<br />
medible A ⊂ E\B con 0 < µ(A) < ∞, por lo que B ∪ A ⊂ E tiene medida finita<br />
mayor que c.<br />
Ejercicio 1.3.13.- Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), <strong>de</strong>finimos λ: A →<br />
[0, ∞], <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente manera<br />
λ(A) = sup{µ(B) : B ∈ A, B ⊂ A y µ(B) < ∞},<br />
<strong>de</strong>mostrar que:<br />
(a) λ es una medida semifinita.<br />
(b) Que si µ es semifinita entonces λ = µ.<br />
Solución.- (a) Es aditiva, pues para A, B ∈ A disjuntos y cualquier C ⊂ A ∪ B,<br />
con C ∈ A y µ(C) < ∞, tenemos A ∩ C ⊂ A, B ∩ C ⊂ B, con A ∩ C, B ∩ C ∈ A y<br />
µ(A ∩ C) < ∞, µ(B ∩ C) < ∞, por tanto como son disjuntos<br />
µ(C) = µ(A ∩ C) + µ(B ∩ C) ≤ λ(A) + λ(B),<br />
y como esto es válido para cualquier C, λ(A ∪ B) ≤ λ(A) + λ(B). Veamos <strong>la</strong> otra<br />
<strong>de</strong>sigualdad; para cualesquiera A ′ ⊂ A, B ′ ⊂ B, <strong>de</strong> A con medidas finitas por µ,<br />
tendremos que son disjuntos y<br />
µ(A ′ ) + µ(B ′ ) = µ(A ′ ∪ B ′ ) ≤ λ(A ∪ B),<br />
y se sigue <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad. Ahora basta <strong>de</strong>mostrar que si A n ↑ A, entonces<br />
λ(A n) → λ(A). Ahora bien como λ es no negativa y aditiva es monótona, por<br />
tanto λ(A n) ≤ λ(A n+1 ) ≤ λ(A), para todo n y si consi<strong>de</strong>ramos un B ⊂ A medible<br />
con µ(B) < ∞ y <strong>la</strong> sucesión B n = B ∩ A n ↑ B, tendremos µ(B n) → µ(B),<br />
µ(B n) ≤ µ(B) < ∞ y B n ⊂ A n, por tanto µ(B n) ≤ λ(A n), <strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
µ(B) = lím µ(B n) ≤ lím λ(A n) ≤ λ(A),<br />
y tomando sup en µ(B) se dan igualda<strong>de</strong>s y por tanto λ es medida. A<strong>de</strong>más si<br />
µ(A) < ∞, λ(A) = µ(A) y si λ(A) = ∞, existe B n ⊂ A medibles con µ(B n) < ∞ y<br />
µ(B n) → ∞, por tanto existe B n ⊂ A, con 0 < λ(B n) = µ(B n) < ∞, lo que prueba<br />
que es semifinita.<br />
(b) Es consecuencia <strong>de</strong>l ejercicio 1.3.11.<br />
Ejercicio 1.4.1.- Demostrar que <strong>la</strong> medida exterior <strong>de</strong> Lebesgue en R, se pue<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>finir en vez <strong>de</strong> con <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se C = {(a, b]}, con cualquiera <strong>de</strong> <strong>la</strong>s c<strong>la</strong>ses C 1 =<br />
{(a, b)}, C 2 = {[a, b]}, C 3 = {[a, b)}.<br />
Ind.- Para C y C 1 , <strong>de</strong>notemos<br />
∞∑<br />
∞⋃<br />
D A = { (b n − a n) : a n < b n ∈ R, A ⊂ (a n, b n]},<br />
n=1<br />
n=1<br />
∞∑<br />
D 1A = { (d n − c n) : c n < d n ∈ R, A ⊂<br />
∞⋃<br />
(c n, d n)},<br />
n=1<br />
n=1
375<br />
entonces por un <strong>la</strong>do D 1A ⊂ D A , pues (c, d) ⊂ (c, d] y por otro para cada x ∈ D A y<br />
ɛ > 0, x + ɛ ∈ D 1A , pues para x = ∑ (b n − a n), con A ⊂ ⋃ ∞<br />
n=1 (an, bn], tendremos<br />
A ⊂ ⋃ ∞<br />
n=1 (an, bn + ɛ/2n ) y <strong>la</strong> suma correspondiente a estos intervalos es ɛ + x.<br />
Ejercicio 1.4.2.- Sea µ ∗ una medida exterior en Ω y λ <strong>la</strong> medida restricción <strong>de</strong><br />
µ ∗ a <strong>la</strong> σ–álgebra A ∗. Demostrar que:<br />
(a) µ ∗ ≤ λ ∗ .<br />
(b) Si µ ∗ es <strong>la</strong> medida exterior generada por una medida µ en un álgebra<br />
A, entonces µ ∗ = λ ∗ .<br />
(c) Encontrar una medida exterior µ ∗ en Ω = {0, 1}, para <strong>la</strong> que µ ∗ ≠ λ ∗ .<br />
Ind. (a) Para A ⊂ Ω, λ ∗ (A) = ínf{ ∑ µ ∗ (A i ) : A i ∈ A ∗, A ⊂ ∪A i }, y dado uno<br />
<strong>de</strong> estos números ∑ µ ∗ (A i ),<br />
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (∪A i ) ≤ ∑ µ ∗ (A i ),<br />
por tanto µ ∗ (A) ≤ λ ∗ (A).<br />
(b) Para A ⊂ Ω, µ ∗ (A) = ínf{ ∑ µ(A i ) : A i ∈ A, A ⊂ ∪A i }, y dado uno <strong>de</strong> estos<br />
números ∑ µ(A i ), como los A i ∈ A ∗<br />
λ ∗ (A) ≤ ∑ µ ∗ (A i ) = ∑ µ(A i ),<br />
por tanto λ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A).<br />
(c) µ ∗ {0} = µ ∗ {1} = 2, µ ∗ {0, 1} = 3, por tanto A ∗ = {∅, Ω} y λ ∗ {0} = 3.<br />
Ejercicio 1.5.1.- Sean µ i : B(R) → [0, ∞], para i = 1, . . . , n medidas <strong>de</strong> Lebesgue–<br />
Stieltjes. Demostrar que existe una única medida µ: B(R n ) → [0, ∞], tal que<br />
para cada semi–rectángulo acotado (a, b],<br />
µ(a, b] = µ 1(a 1, b 1] · · · µ n(a n, b n].<br />
Ind. Considérense funciones <strong>de</strong> distribución F i que generen µ i , <strong>la</strong> función <strong>de</strong><br />
distribución F (x 1 , . . . , x n) = F 1 (x 1 ) · · · F n(x n) y <strong>la</strong> medida que genera.<br />
Ejercicio 1.5.2.- Demostrar que toda medida en B(R n ) <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes<br />
es σ–finita. Encontrar una que sea σ–finita pero no <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes.<br />
Ind. En R, µ(A) el número <strong>de</strong> racionales <strong>de</strong> A.<br />
Ejercicio 1.5.3.- Demostrar que para a < b ∈ R n y <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue<br />
n–dimensional<br />
m(a, b) = m[a, b) = m(a, b] = m[a, b].<br />
Ind. Para a, b ∈ R n , a < b, se tiene, entendiendo a−1/m el vector <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
a i − 1/m, (a − 1/m, b] ↓ [a, b], por tanto<br />
m[a, b] = lím m(a − 1/m, b] = lím ∏ (b i − a i + 1/n) = ∏ (b i − a i ) = m(a, b].<br />
y por lo mismo m[a, b] = m(a, b), pues (a, b − 1/m] ↑ (a, b).<br />
Ejercicio 1.5.4.- Demostrar que si t ∈ R y B ∈ L(R n ), entonces tB ∈ L(R n ) y<br />
m(tB) = |t| n m(B). A<strong>de</strong>más si B ∈ B(R n ), entonces tB ∈ B(R n ).
376 Ejercicios resueltos<br />
Ind. Para t > 0, m(tB) = |t| n m(B), pues m ∗ (tB) = t n m ∗ (B) y para t < 0,<br />
m ∗ (tB) = m ∗ [|t|(−B)] = |t| n m ∗ (−B) y basta <strong>de</strong>mostrar que m ∗ (−B) = m ∗ (B).<br />
Ahora bien para x i = (x i1 , . . . , x in ) ∈ R n<br />
∞∑<br />
m ∗ (B) = ínf{<br />
n∏<br />
(b mi − a mi ) : A ⊂ ∪(a i , b i ]} = a<br />
m=1 i=1<br />
∞∑ n∏<br />
m ∗ (−B) = ínf{ (d mi − c mi ) : −A ⊂ ∪(c i , d i ]}<br />
m=1 i=1<br />
∞∑ n∏<br />
= ínf{ (b mi − a mi ) : A ⊂ ∪[a i , b i )} = b,<br />
m=1 i=1<br />
siendo a = b, pues ambos son iguales a<br />
∞∑<br />
c = ínf{<br />
m=1 i=1<br />
n∏<br />
(b mi − a mi ) : A ⊂ ∪[a i , b i ]}.<br />
Veamos que a = c. Obviamente se tiene c ≤ a, y si tomamos cualquier elemento<br />
r = ∑ ∞ ∏ n<br />
m=1 i=1 (b mi − a mi ), <strong>de</strong>l conjunto cuyo ínfimo es c, con recubrimiento<br />
A ⊂ ∪[a i , b i ], entonces dado ɛ > 0 po<strong>de</strong>mos encontrar a ′ i < a i <strong>de</strong> modo que<br />
n ∏<br />
i=1 (b mi − a ′ mi ) ≤ ∏ n<br />
∑ ∏ i=1 (b mi − a mi ) + ɛ/2 m y A ⊂ ∪[a i , b i ] ⊂ ∪(a ′ i , b i], siendo<br />
n<br />
i=1 (b mi − a ′ mi ) ≤ r + ɛ, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> a ≤ r y por tanto a ≤ c. Ahora con esta<br />
fórmu<strong>la</strong> m ∗ (tB) = |t| n m ∗ (B), se <strong>de</strong>muestra fácilmente que si B ∈ L(R n ), entonces<br />
tB ∈ L(R n ). Que <strong>la</strong>s homotecias conservan Borelianos es por ser homeomorfismos.<br />
El ejercicio también se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar utilizando esto último, que los Lebesgue<br />
medibles son <strong>la</strong> compleción <strong>de</strong> los Borel y que <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue es <strong>la</strong> única<br />
medida invariante por tras<strong>la</strong>ciones que verifica m([0, 1] n ) = 1, consi<strong>de</strong>rando para ello<br />
<strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Borel µ(B) = m[tB]/|t| n .<br />
Ejercicio 1.5.5.- Demostrar que <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue es invariante por rotaciones.<br />
Ind. Sea R: R n ) → R n una rotación y consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> medida invariante por<br />
tras<strong>la</strong>ciones µ(E) = m[R(E)]. Entonces existe c > 0 tal que µ = c · m y como <strong>la</strong> bo<strong>la</strong><br />
unidad B es invariante por rotaciones µ(B) = m(B) y c = 1, pues 0 < m(B) < ∞.<br />
Ejercicio 1.6.1.- Demostrar que para p = 0, H p es <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar.<br />
Ind. Para A = {x 1 , . . . , x m} y δ < mín{d(x i , x j )}, H 0δ (A) = n.<br />
Ejercicio 1.6.2.- Sea Ω ′ ⊂ Ω y consi<strong>de</strong>remos el espacio métrico (Ω ′ , d), con<br />
<strong>la</strong> métrica inducida. Demostrar que <strong>la</strong> medida exterior <strong>de</strong> Hausdorff en Ω ′ ,<br />
H p ′ = H p|P(Ω ′ ).<br />
Ind. Para A ⊂ Ω ′ ,<br />
H ′ p,δ (A) = ínf{∑ d(A n) p : A ⊂ ∪A n ⊂ Ω ′ , d(A n) ≤ δ}<br />
= ínf{ ∑ d(B n) p : A ⊂ ∪B n ⊂ Ω, d(B n) ≤ δ} = H p,δ (A).<br />
Ejercicio 1.6.4.- Demostrar que dim H({x}) = 0, para cada x ∈ Ω.
377<br />
Ind. H 0 ({x}) = 1.<br />
Ejercicio 1.6.5.- Demostrar que dim H(∪A n) = sup dim H(A n).<br />
Ind. Si A = ∪A i , H p(A i ) ≤ H p(A) ≤ ∑ H p(A n), por tanto si p < sup dim H (A n),<br />
existe un i tal que p < dim H (A i ), por tanto H p(A i ) = ∞ = H p(A) y p ≤ dim H (A) y<br />
si sup dim H (A n) < p, H p(A n) = 0 para todo n y H p(A) = 0, por tanto dim H (A) ≤ p.<br />
Ejercicio 1.6.6.- En los subespacios <strong>de</strong> R n con <strong>la</strong> métrica euclí<strong>de</strong>a, <strong>de</strong>mostrar<br />
que <strong>la</strong> dimensión vectorial y <strong>la</strong> <strong>de</strong> Hausdorff coinci<strong>de</strong>n.<br />
Ind. Es consecuencia <strong>de</strong> los resultados anteriores y <strong>de</strong> que para un cubo Q,<br />
n–dimensional, se tiene que 0 < H n(Q) < ∞, por tanto dim H (Q) = n.<br />
Ejercicio 1.7.1.- Demostrar que para cada función f : R → R: (a) El conjunto<br />
<strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> continuidad <strong>de</strong> f, C(f) ∈ A δ y los <strong>de</strong> discontinuidad D(f) ∈ C σ.<br />
(b) Demostrar que C(f) y D(f) son borelianos.<br />
Ind. Como C(f) = D(f) c basta verlo para uno. Consi<strong>de</strong>remos para cada intervalo<br />
abierto y acotado I = (a, b), ω f (I) = sup x∈I f(x) − ínf x∈I f(x), para <strong>la</strong> que se tiene<br />
que<br />
I ⊂ J ⇒ 0 ≤ ω f (I) ≤ ω f (J),<br />
y para cada x ∈ R, sea ω f (x) = ínf x∈I ω f (I). Se sigue <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición que x es punto<br />
<strong>de</strong> continuidad <strong>de</strong> f (x ∈ C(f)) sii ω f (x) = 0 y que para cada k > 0, {x : ω f (x) < k}<br />
es abierto. Se sigue el resultado pues para A n = {x : ω f (x) < 1/n}, C(f) = {ω f =<br />
0} = ∩A n.<br />
Ejercicio 1.7.2.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y sea A µ su compleción y<br />
µ ∗ <strong>la</strong> medida exterior generada por µ. Demostrar que para cada A ⊂ Ω:<br />
µ ∗ (A) = ínf{µ(B) : B ∈ A, A ⊂ B},<br />
y que si <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> “medida interior”<br />
µ ∗(A) = sup{µ(B) : B ∈ A, B ⊂ A},<br />
entonces si A ∈ A µ se tiene que µ ∗(A) = µ ∗ (A) = µ(A) y recíprocamente si<br />
µ ∗(A) = µ ∗ (A) < ∞ entonces A ∈ A µ.<br />
Ind. Si A ∈ A µ, existen B, D ∈ A, con B ⊂ A ⊂ D y µ(D\B) = 0, por tanto<br />
µ(D) = µ(A) = µ(B) ≤ µ ∗(A) ≤ µ ∗ (A) ≤ µ(D) y se tiene <strong>la</strong> igualdad. Ahora dado<br />
A ⊂ Ω se <strong>de</strong>muestra que existen B, D ∈ A, con B ⊂ A ⊂ D, µ(B) = µ ∗(A) y<br />
µ ∗ (A) = µ(D) y si µ ∗(A) = µ ∗ (A) < ∞ entonces A ∈ A µ.<br />
Ejercicio 1.7.4.- Encontrar una medida en B(R n ) que sea σ–finita pero no<br />
regu<strong>la</strong>r.<br />
Ind. En R, µ(A) el número <strong>de</strong> racionales <strong>de</strong> A.<br />
Ejercicio 1.7.5.- Demostrar que toda medida semifinita µ: B(R n ) → [0, ∞] es<br />
regu<strong>la</strong>r interior.<br />
Ind. Se ha <strong>de</strong>mostrado que toda medida es regu<strong>la</strong>r interior en los borelianos <strong>de</strong><br />
medida finita, sea B un boreliano con µ(B) = ∞, entonces por ser semifinita hemos<br />
<strong>de</strong>mostrado que para todo n ∈ N existe un boreliano B n ⊂ B, tal que n < µ(B n) <<br />
∞, pero entonces existe un compacto K n ⊂ B n, tal que n < µ(K n) y K n ⊂ B.
378 Ejercicios resueltos<br />
Ejercicios resueltos Tema II<br />
Ejercicio 2.2.4.- Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos<br />
{x ∈ Ω : h(x) < g(x)}, {x ∈ Ω : h(x) ≤ g(x)}, {x ∈ Ω : h(x) = g(x)},<br />
son medibles.<br />
Ind. El primer conjunto es medible porque en él h < ∞, −∞ < g y en este<br />
conjunto existe g − h que es medible, ó también porque<br />
{x ∈ Ω : h(x) < g(x)} = ⋃<br />
({h(x) < r} ∩ {r < g(x)}) ,<br />
r∈Q<br />
el segundo porque su complementario lo es y el tercero es <strong>la</strong> diferencia.<br />
Ejercicio 2.2.11.- Demostrar que si f : R → R es <strong>de</strong>rivable, f y f ′ son Borel<br />
medibles.<br />
Solución.- Si f es <strong>de</strong>rivable es continua y por tanto medible, como también lo<br />
es f n(x) = n[f(x + 1/n) − f(x)] y como f n → f ′ , f ′ es medible.<br />
Ejercicio 2.2.12.- Demostrar que f = (f 1, . . . , f n): (Ω, A) → (R n , B(R n )) es<br />
medible si y sólo si cada f i lo es.<br />
Solución.- Si f es medible, f i = x i ◦ f es medible por que <strong>la</strong>s proyecciones<br />
x i : R n → R son continuas y por tanto medibles. Recíprocamente sea (a, b] un semi–<br />
rectángulo, con a < b ∈ R n , entonces<br />
f −1 (a, b] = {x ∈ Ω : a < f(x) ≤ b} =<br />
n⋂<br />
{x ∈ Ω : a i < f i (x) ≤ b i } ∈ A,<br />
i=1<br />
y como estos semi–rectángulo generan B(R n ), f es medible.<br />
Ejercicio 2.4.1.- Sean f, g : Ω → R funciones medibles tales que f = g c.s. y<br />
existe ∫ f dµ. Demostrar que entonces también existe <strong>la</strong> ∫ g dµ y coinci<strong>de</strong>n.<br />
Indicación.- Consi<strong>de</strong>remos el medible A = {x : f(x) = g(x)}, por tanto µ(A c ) =<br />
0, y como en A, f + = g + y f − = g − , tendremos por (2.4.1), que<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
f + dµ = f + + f + = f + = g + = g + + g + = g + ,<br />
A A c A A A A c<br />
y por lo mismo ∫ f − = ∫ g − .<br />
Ejercicio 2.4.2.- Sean −∞ ≤ a < b ≤ ∞ y f : (a, b) ⊂ R → R continua e<br />
integrable. Demostrar que g(x) = ∫ (a,x) f dm es diferenciable y que g′ = f.<br />
Ind.- Por ser integrable lo es |f|, y por tanto lo es en (a, x). Ahora para todo<br />
ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que si y ∈ (x − δ, x + δ) ⊂ (a, b), f(x) − ɛ ≤ f(y) ≤ f(x) + ɛ
379<br />
y para |h| < δ<br />
g(x + h) − g(x)<br />
h<br />
⇒<br />
=<br />
∫<br />
(a,x+h) f − ∫ (a,x) f<br />
f(x) − ɛ ≤<br />
h<br />
⎧<br />
⎨<br />
=<br />
⎩<br />
g(x + h) − g(x)<br />
h<br />
− ∫ (x+h,x) f<br />
, h < 0;<br />
∫ h<br />
(x,x+h) f , h > 0.<br />
h<br />
≤ f(x) + ɛ.<br />
Ejercicio 2.4.3.- Sean −∞ ≤ a < b ≤ ∞ y g : (a, b) ⊂ R → R <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1.<br />
Demostrar que para cualesquiera c < d, en (a, b), ∫ [c,d] g′ dm = g(d) − g(c).<br />
Ind.- Como g ′ es continua, es acotada en [c, x] y por tanto integrable, para<br />
x ∈ (c, b), y po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir F (x) = ∫ [c,x] g′ dm = ∫ (c,x) g′ dm. Ahora por el resultado<br />
anterior F ′ (x) = g ′ (x), por tanto F (x) = g(x) − k, con k constante y como F (c) = 0,<br />
k = g(c) y F (d) = g(d) − g(c).<br />
Ejercicio 2.4.4.- Demostrar que si f : R → R es Lebesgue integrable<br />
∫<br />
∫<br />
f dm =<br />
f dm.<br />
(−∞,∞)<br />
lím<br />
a→−∞, b→∞<br />
¿Es cierto si existe <strong>la</strong> integral pero no es finita?<br />
Solución.- λ(A) = ∫ A f dm es una carga y si An ↑ A, λ(An) → λ(A).<br />
Ejercicio 2.4.5.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y f = ∑ ∞<br />
n=1 anIAn , con<br />
a n ∈ (0, ∞) y A n ∈ A, calcu<strong>la</strong>r ∫ f dµ.<br />
Ind. ∫ ∑ f n = ∑ ∫ f n.<br />
Ejercicio 2.4.6.- Sea f ≥ 0 integrable. Demostrar que ∀ɛ > 0 existe un medible<br />
A, con µ(A) < ∞ tal que ∫ f < ∫ A f + ɛ.<br />
[a,b]<br />
Ind. A n = {1/n ≤ f} ↑ A = {0 < f}, µ(A n) < ∞ y ∫ A n<br />
f ↑ ∫ A f = ∫ f.<br />
Ejercicio 2.4.10.- Sean f, f n ≥ 0 integrables, tales que f n → f c.s. Demostrar<br />
que ∫ f n → ∫ f sii ∫ |f n − f| → 0.<br />
Ind. Por el TCD, pues −f ≤ f n −|f −f n| ≤ f, por tanto ∫ f n − ∫ |f n −f| → ∫ f.<br />
Ejercicio 2.4.12.- Sean f, f n integrables, tales que f n → f c.s. Demostrar que<br />
∫<br />
|fn − f| → 0 sii ∫ |f n| → ∫ |f|.<br />
Ind. Por el TCD pues −|f| ≤ |f n|−|f n −f| ≤ |f|, por tanto ∫ |f n|− ∫ |f n −f| →<br />
∫<br />
|f|.<br />
Ejercicio 2.4.18.- Calcu<strong>la</strong>r:<br />
∫<br />
lím<br />
n→∞<br />
[0,1]<br />
(1 + nx 2 )(1 + x 2 ) −n dm.<br />
Ind. Por el TCD, pues: 1 es integrable; 0 ≤ f n ≤ 1, ya que<br />
(1 + x 2 ) n = 1 + nx 2 + (1/2)n(n − 1)x 4 + . . . ≥ 1 + nx 2 ,<br />
y f n ↓ 0, pues<br />
(1 + x 2 ) n<br />
1 + nx 2 ≥ 1 + nx2 + (1/2)n(n − 1)x 4<br />
1 + nx 2 → ∞.
380 Ejercicios resueltos<br />
Ejercicio 2.4.20.- Sea f : R → R medible tal que e tx f(x) es integrable para<br />
todo t ∈ (a, b) ⊂ R. Demostrar que F (t) = ∫ e tx f(x) dm es diferenciable y que<br />
F ′ (t) = ∫ x e tx f(x) dm.<br />
Ind. Para cada s ∈ (a, b) existe un δ > 0 tal que [s − 2δ, s + 2δ] ⊂ (a, b). Basta<br />
<strong>de</strong>mostrar que F es diferenciable en I = (s−δ, s+δ). Existe r > 0, tal que para x > r,<br />
x ≤ e δx , por lo que el módulo <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>l integrando, |x e tx f(x)|, está acotado<br />
para t ∈ I por <strong>la</strong> función integrable<br />
⎧<br />
e (s−2δ)x |f(x)|, si x < −r,<br />
⎪⎨<br />
r e (s−2δ)x |f(x)|, si −r ≤ x ≤ 0,<br />
h(x) =<br />
r e<br />
⎪⎩<br />
(s+2δ)x |f(x)|, si 0 ≤ x ≤ r,<br />
e (s+2δ)x |f(x)|, si x > r,<br />
y el resultado se sigue <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación bajo el signo integral.<br />
Nota. Para los siguiente ejercicios pue<strong>de</strong> ser útil recordar que:<br />
lím (1 +<br />
|a 1/an)an = e,<br />
n|→∞<br />
Ejercicio 2.4.21.- Demostrar que para t > 0 y 0 ≤ α ≤ 1, (1 + (t/n) α ) n es<br />
creciente en n ≥ 1. Para 1 ≤ α, (1 − (t/n) α ) n es creciente en n ≥ t.<br />
Ind. Los dos son simi<strong>la</strong>res, veamos el segundo<br />
( ( ) t α ) n ( ( ) t α ) n+1<br />
1 −<br />
≤ 1 −<br />
⇔<br />
n<br />
n + 1<br />
(n α − t α ) n<br />
((n + 1) α − t α ) n+1 ≤ n αn<br />
(n + 1) α(n+1) ,<br />
lo cual induce a consi<strong>de</strong>rar <strong>la</strong> función en [0, n α ]<br />
f(x) =<br />
(n α − x) n<br />
((n + 1) α − x) n+1 ,<br />
y <strong>de</strong>mostrar que f ′ ≤ 0, en cuyo caso f(x) ≤ f(0).<br />
Ejercicio 2.4.22.- Demostrar que<br />
∫<br />
(a)<br />
(b)<br />
lím<br />
n→∞<br />
lím<br />
n→∞<br />
[1,n]<br />
∫<br />
[0,1]<br />
(<br />
1 − t n<br />
) n<br />
log t dm =<br />
(<br />
1 − t n<br />
) n<br />
log t dm =<br />
∫<br />
∫<br />
[1,∞)<br />
[0,1]<br />
e −t log t dm.<br />
e −t log t dm.<br />
Ind. (a) Se pue<strong>de</strong> hacer utilizando el ejercicio (2.4.21) y el TCM pues 0 ≤<br />
I (1,n) (1 − (t/n)) n log t y (1 − (t/n)) n es creciente para 0 ≤ t ≤ n.<br />
También se pue<strong>de</strong> hacer utilizando el TCD, probando que<br />
|I (1,n) (1 − (t/n)) n log t| = I (1,n) (1 − (t/n)) n log t ≤ e −t t,<br />
y <strong>de</strong>mostrando que e −t t es integrable. (b) Se sigue <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> (a), utilizando<br />
el TCM y teniendo en cuenta que como en (0, 1) el log t es negativo, <strong>la</strong> sucesión<br />
(1 − (t/n)) n log t ≤ 0 y es <strong>de</strong>creciente.
381<br />
Ejercicio 2.4.23.- Sea f no negativa e integrable, con 0 < ∫ f dµ = c < ∞ y<br />
sea 0 < α < ∞. Demostrar que<br />
⎧<br />
∫ [ ( ) α ] ⎪⎨ ∞, si 0 < α < 1,<br />
f<br />
lím n log 1 + dµ = c, si α = 1,<br />
n→∞<br />
n ⎪⎩<br />
0, si 1 < α < ∞.<br />
Ind. La sucesión 0 ≤ f n = n log[1 + (f/n) α ], es creciente para α ≤ 1, por el<br />
ejercicio (2.4.21) y<br />
⎧<br />
[ ( ) f α ] n [<br />
]<br />
1 (n/f)<br />
α n(f/n)<br />
α ⎪⎨ ↓ 0, si α > 1.<br />
1 + = 1 +<br />
n<br />
(n/f) α , n 1−α = 1, si α = 1.<br />
⎪ ⎩<br />
↑ ∞, si α < 1.<br />
y f n ↑ f para α = 1 y f n ↑ ∞ para α < 1, en cuyo caso el resultado se sigue <strong>de</strong>l<br />
TCM. Para α ≥ 1, f n ≤ αf, pues para x ≥ 0 y α ≥ 1, 1 + x α ≤ (1 + x) α (ya que si<br />
h(x) = (1 + x) α − x α − 1, h(0) = 0 y h ′ (x) > 0), y<br />
y se aplica el TCD.<br />
e fn =<br />
[<br />
1 +<br />
( f<br />
n<br />
) α ] n<br />
≤<br />
(<br />
1 + f n<br />
) nα<br />
↑ e αf ,<br />
Ejercicio 2.4.24.- Demostrar que si f es µ–integrable, entonces para cada ɛ > 0,<br />
existe un δ > 0, tal que<br />
∫<br />
µ(E) < δ ⇒ |f| dµ < ɛ.<br />
Ind. Sea λ(A) = ∫ A |f| dµ, que es una medida finita y Bn = {|f| > n}, entonces<br />
B n ↓ B = {|f| = ∞}, por tanto λ(B n) → λ(B) = ∫ B |f| dµ = 0, por tanto existe un<br />
N ∈ N, tal que para n ≥ N, λ(B n) ≤ ɛ/2. Ahora bien<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
|f| dµ = |f| dµ + |f| dµ ≤ ɛ<br />
E<br />
E∩B n<br />
2 + nµ(E),<br />
y basta tomar δ ≤ ɛ/2n.<br />
E<br />
E∩B c n<br />
∫<br />
Ejercicio 2.4.25.- Demostrar que si f : R → R es Lebesgue integrable F (x) =<br />
f dm es uniformemente continua.<br />
(−∞,x]<br />
Ind. Aplicar el ejercicio anterior.<br />
Ejercicio 2.4.26.- Demostrar que si F : (Ω, A, µ) → (Ω ′ , A ′ ) es medible, µ F =<br />
F ∗µ, para µ F (B) = µ[F −1 (B)], es una medida, l<strong>la</strong>mada medida imagen, para<br />
<strong>la</strong> que se verifica que si g es medible en Ω ′ y B ∈ A ′ , entonces<br />
∫ ∫<br />
g dµ F = (g ◦ F ) dµ.<br />
B<br />
F −1 (B)<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.
382 Ejercicios resueltos<br />
Ind. Para indicadores se sigue <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición, para funciones simples por aditividad,<br />
para funciones no negativas por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona,<br />
pág.91 y para funciones con integral <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición.<br />
Ejercicio 2.4.27.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y f una función medible<br />
no negativa. Si <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> medida λ(A) = ∫ f dµ, <strong>de</strong>mostrar que para cada<br />
A<br />
función medible g<br />
∫ ∫<br />
g dλ = gf dµ,<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
Ind. Demuéstrese para indicadores, funciones simples, funciones no negativas y<br />
en general.<br />
Ejercicio 2.4.28.- (a) Demostrar que si f : [0, ∞) → R es medible, entonces<br />
para t > 0<br />
∫<br />
∫<br />
t f(tx) dm = f dm.<br />
[0,∞)<br />
[0,∞)<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
(b) Demostrar que si f : [0, t] → R es medible, entonces para t > 0<br />
∫<br />
∫<br />
t f(tx) dm = f dm.<br />
[0,1]<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s integrales existe también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
Ind. Aplíquese el ejercicio (2.4.26), para F (x) = tx, viendo que t · m F = m.<br />
Ejercicio 2.4.29.- Teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable. Sea F : (a, b) ⊂ R →<br />
(c, d) ⊂ R un difeomorfismo creciente <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1, con inversa G. Demostrar que<br />
<strong>la</strong> medida imagen <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue por G es m G(A) = ∫ F ′ dm y que<br />
A<br />
∫<br />
∫<br />
g dm = g ◦ F · F ′ dm.<br />
(c,d)<br />
(a,b)<br />
para toda función medible g : (c, d) → R, en el sentido <strong>de</strong> que si existe una<br />
también <strong>la</strong> otra y son iguales.<br />
Solución.- Como F ′ > 0 y es medible por el ejercicio (2.2.11), po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar<br />
por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> carga (2.4.1), <strong>la</strong> medida λ(A) = ∫ A F ′ dm. Ahora bien para<br />
x ≤ y en (c, d) se sigue <strong>de</strong>l ejercicio (2.4.3), que<br />
[0,t]<br />
m G (x, y] = m(G −1 (x, y]] = m(F (x), F (y)] = F (y) − F (x)<br />
∫<br />
= F ′ dm = λ(x, y]<br />
[x,y]<br />
siendo F <strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución asociada a ambas, que por tanto coinci<strong>de</strong>n en<br />
todo boreliano por <strong>la</strong> unicidad. Lo segundo es consecuencia <strong>de</strong> lo primero y <strong>de</strong> los<br />
ejercicios (2.4.26) y (2.4.27). Observemos que si F es <strong>de</strong>creciente F ′ es negativa y el<br />
resultado se sigue igualmente poniendo −F ′ , es <strong>de</strong>cir |F ′ |.
383<br />
Ejercicio 2.4.30.- (a) Demostrar por inducción que ∫ (0,∞) xn e −x dm = n!.<br />
(b) Demostrar que para t > 0, ∫ (0,∞) e−tx dm = 1/t y admitiendo que po<strong>de</strong>mos<br />
<strong>de</strong>rivar bajo el signo integral tantas veces como queramos, utilizar esta<br />
igualdad para <strong>de</strong>mostrar (a).<br />
Ind.- (b) Aplicando los ejercicios (2.4.3) y (2.4.4),<br />
∫<br />
∫<br />
−1 = (e −tx ) ′ dm = (−t) e −tx dm.<br />
[0,∞)<br />
[0,∞)<br />
(También se pue<strong>de</strong> ver utilizando (2.4.28)). Ahora, para F (t) = ∫ [0,∞) e−tx dm = 1/t<br />
tendremos<br />
∫<br />
F (n (t) = (−x) n e −tx = (−1) n n!t −n−1 .<br />
[0,∞)<br />
Ejercicio 2.4.31.- Sea f : [0, 1] → R continua, tal que f(0) = 0 y existe f ′ (0 + ) ∈<br />
R. Demostrar que f(x)x −3/2 es Lebesgue integrable.<br />
Ind.- Existe g continua en [0, 1], tal que f(x) = xg(x), por tanto g está acotada,<br />
|g| ≤ M y |f(x)x −3/2 | = |g(x)|/ √ x ≤ M/ √ x que es integrable.<br />
Ejercicio 2.4.32.- Calcu<strong>la</strong>r:<br />
(a) lím n→∞<br />
∫[0,∞) (1 + (x/n))−n sen(x/n) dm.<br />
(b) lím n→∞<br />
∫[0,∞) n sen(x/n)[x(1 + x2 )] −1 dm.<br />
(c) lím n→∞<br />
∫[a,∞) n(1 + n2 x 2 ) −1 dm, en función <strong>de</strong> a.<br />
Ind. (a)= 0 por TCD, pues <strong>la</strong> sucesión (1 + (x/n)) n es creciente —y converge a<br />
e x —, por tanto, |(1+(x/n)) −n sen(x/n)| ≤ (1+(x/2)) −2 , y esta última es integrable.<br />
(b)=π/2 pues | sen t/t| ≤ 1 y por el ejercicio (2.4.3), ∫ (0,x) dm/(1 + x2 ) = arctan(x)<br />
y para (c) se hace el cambio t = nx.<br />
Ejercicio 2.4.33.- Dadas <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong>finidas en (0, ∞)<br />
f(t) =<br />
( ∫ 2 ∫<br />
e<br />
e dm) −t2 (x 2 +1)<br />
−x2 , g(t) =<br />
dm,<br />
[0,t]<br />
[0,1] x 2 + 1<br />
<strong>de</strong>mostrar que: (a) f(t) + g(t) = π/4. (b) ∫ (0,∞) e−x2 dm = √ π/2.<br />
Ind. (1) Por (2.4.2), (2.4.28) y (2.4.21), f ′ (t) + g ′ (t) = 0. (2) Por (2.4.19),<br />
lím t→∞ g(t) = 0.<br />
Ejercicio 2.4.34.- Demostrar que para b = (a + 1)/2<br />
∫<br />
{<br />
e −r2 r a Γ(b), si a es par;<br />
dm =<br />
0, si a es impar.<br />
R<br />
Indicación.- Para a par, <strong>la</strong>s integrales en (−∞, 0) y en (0, ∞) son iguales y para a<br />
impar son contrarias. Ahora por el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable para x = r 2 = G(r)
384 Ejercicios resueltos<br />
(ver 2.4.29)), y por <strong>la</strong> función factorial, (2.4.22), pág.100), <strong>la</strong> integral <strong>de</strong>l enunciado<br />
es para b = (a + 1)/2<br />
∫<br />
∫<br />
2 e −r2 r a dm = e −x x a−1<br />
2 dm = Π(b − 1) = Γ(b).<br />
(0,∞)<br />
(0,∞)<br />
Ejercicio 2.4.35.- Dada f(t) = ∫ [0,∞) e−x2 cos 2xt dm, <strong>de</strong>mostrar que satisface<br />
f ′ (t) + 2tf(t) = 0 y que f(t) = (1/2) √ πe −t2 .<br />
Ind. El integrando es integrable porque en módulo está acotada por e −x2 que lo es<br />
por el ejercicio anterior. Ahora como (e −x2 ) ′ = −2xe −x2 , tendremos por (2.4.4), que<br />
∫<br />
(0,∞) 2xe−x2 = 1, por tanto (e −x2 sen 2xt) ′ = (−2x)e −x2 sen 2xt + e −x2 (2t) cos 2xt<br />
es integrable por ser suma <strong>de</strong> integrables y<br />
∫<br />
∫<br />
0 = (e −x2 sen 2xt) ′ = (−2x)e −x2 sen 2xt+e −x2 (2t) cos 2xt = f ′ (t)+2tf(t).<br />
[0,∞)<br />
(0,∞)<br />
Por tanto f(t) = f(0)e −t2 y por el resultado anterior f(0) = √ π/2.<br />
Ejercicio 2.4.36.- Demostrar:<br />
(1) ∫ (−∞,∞) x2n e −x2 dm = (2n)! √ π/4 n n!.<br />
(2) Para a ≥ 0, ∫ (−∞,∞) e−x2 cos ax dm = √ π e −a2 /4 .<br />
(3) Para p > 0, ∫ [0,1] xp−1 (x − 1) −1 log x dm = ∑ ∞<br />
n=0 1/(p + n)2 .<br />
Ind. (1) Por inducción <strong>de</strong>rivando x 2n+1 e −x2 y utilizando los ejercicios (2.4.3),<br />
(2.4.4) y (2.4.33).<br />
(2) e z = ∑ z n<br />
n! , eix = cos x+i sen x, por tanto cos x = ∑ ∞<br />
n=0 (−1)n x 2n /(2n)!. Por<br />
(1) ∑ ∫ |f n| < ∞, para f n = (−1) n e −x2 (ax) 2n /(2n)!, por tanto ∫ ( ∑ f n) = ∑ ∫ f n.<br />
(3) 1/(1 − x) = ∑ ∞<br />
n=0 xn ,<br />
(x n+p log x −1 ) ′ = (n + p)x n+p−1 log x −1 − x n+p−1 ,<br />
por tanto ∫ [0,1] xn+p−1 log x −1 dm = 1/(p + n) 2 .<br />
Ejercicio 2.4.37.- Demostrar que <strong>la</strong> función f : (0, 1) → R, f(x) = x r log n x −1 ,<br />
para −1 < r y n ≥ 0 es Lebesgue integrable y que<br />
∫<br />
x r log n x −1 n!<br />
dm =<br />
(1 + r) . n+1<br />
(0,1)<br />
Ind. En primer lugar aunque los integrandos no son acotados, son no negativos,<br />
por lo que <strong>la</strong>s integrales existen, aunque aun no sabemos que sean finitas. Las<br />
<strong>de</strong>notamos I n. Por L’Hopital se tiene <strong>de</strong>rivando n veces que<br />
(10.7) lím xr+1 log n x −1 log n y<br />
= lím<br />
x→0 + y→∞ y r+1 = lím n!<br />
y→∞ (r + 1) n = 0.<br />
yr+1 Ahora para n = 0, como (x r+1 ) ′ = (r + 1)x r y lím x→0 + x r+1 = 0, I 0 = 1/(r + 1) y<br />
por inducción se tiene que todas <strong>la</strong>s I n son finitas, pues<br />
(x r+1 log n x −1 ) ′ = (r + 1)x r log n x −1 − x r n log n−1 x −1
385<br />
por tanto integrando y teniendo en cuenta (10.7) —y los ejercicios (2.4.3) y (2.4.4)—<br />
I n =<br />
n<br />
r + 1 I n!<br />
n−1 = · · · =<br />
(r + 1) n+1 .<br />
Ejercicio 2.4.38.- Demostrar que <strong>la</strong> función g : [1, ∞) → R, g(x) = e −x x k ,<br />
para k ∈ R es Lebesgue integrable.<br />
Ind. Basta <strong>de</strong>mostrarlo para N ∈ N, pues si k ≤ N, como x ≥ 1, tendremos<br />
∫<br />
∫<br />
0 ≤ e −x x k ≤ e −x x N por tanto 0 ≤ e −x x k ≤ e −x x N .<br />
[1,∞)<br />
[1,∞)<br />
Denotemos con I N <strong>la</strong> última integral y veamos por inducción que son finitas. Por<br />
(2.4.1) y (2.4.3), se tiene<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
I 0 = e −x = lím e −x = − lím (e −x ) ′ = e −1 .<br />
[1,∞) d→∞ [1,d]<br />
d→∞ [1,d]<br />
∫<br />
∫<br />
I N+1 = e −x x N+1 = [(N + 1) e −x x N − (e −x x N+1 ) ′ ] =<br />
[1,∞)<br />
∫<br />
[1,∞)<br />
= lím [(N + 1) e −x x N − (e −x x N+1 ) ′ ] =<br />
d→∞ [1,d]<br />
= (N + 1)I N + e −1 .<br />
Por inducción obtenemos que I N < ∞.<br />
Ejercicio 2.4.39.- Sea k ∈ R y r > 0. Demostrar que<br />
∫<br />
x k dm < ∞ ⇔ −1 < k<br />
∫<br />
[0,r]<br />
[r,∞)<br />
x k dm < ∞ ⇔ k < −1<br />
Ind. Es una simple consecuencia <strong>de</strong> que para 0 < a < b<br />
∫ {<br />
x k b k+1 −a k+1<br />
, k + 1 ≠ 0<br />
= k+1<br />
[a,b] log b/a, k + 1 = 0 , lím<br />
y <strong>de</strong> que lím b→∞ log b = ∞ y lím a→0 + log a = −∞.<br />
a→0 + ak+1 =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
∞, k + 1 < 0<br />
1, k + 1 = 0<br />
0, 0 < k + 1<br />
Ejercicio 2.4.40.- Demostrar que si f n : I → R son Riemann–integrables y<br />
f n → f uniformemente, entonces f es Riemann–integrable.<br />
Ind. f n es continua salvo en un Borel medible nulo A n. Por tanto todas <strong>la</strong>s f n<br />
son continuas fuera <strong>de</strong>l Borel medible nulo A = ∪A n y por tanto f, pues<br />
|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f n(x)| + |f n(x) − f n(y)| + |f n(y) − f(y)|.<br />
Ejercicio 2.4.41.- Sea C = [a, b] ∩ Q = {c n} y f : I = [a, b] → R, f(x) = 0 si x<br />
es irracional, x ∈ C c ; y f(c n) = 1/n. Demostrar que f es Riemann–integrable<br />
y calcu<strong>la</strong>r su integral.
386 Ejercicios resueltos<br />
Ind. f es continua fuera <strong>de</strong>l medible nulo C, pues si x es irracional 0 ≤ f(z) ≤ ɛ<br />
para los z <strong>de</strong>l entorno <strong>de</strong> x V x = {c 1 , . . . , c n} c y 1/n ≤ ɛ.<br />
Ejercicio 2.4.42.- (a) Demostrar que si f tiene integral impropia <strong>de</strong> Riemann,<br />
entonces es continua c.s. (m), pero no recíprocamente. (b) Si f ≥ 0 y es acotada<br />
en cada compacto, entonces se tiene <strong>la</strong> equivalencia.<br />
Ind. (a) Se sigue <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> caracterización, pues es Riemann integrable en<br />
cada intervalo acotado y por tanto en él es continua c.s. El recíproco no es cierto para<br />
f(x) = x, ni siquiera para f acotada, f = I [0,∞) − I (−∞,0) .<br />
(b) Por el Teorema <strong>de</strong> caracterización f es Riemann integrable en cada intervalo<br />
[a n, b n], para cualesquiera a n → −∞ y b n → ∞ y f es lebesgue medible en [a n, b n].<br />
A<strong>de</strong>más f n = fI [an,bn] ↑ f y f es Lebesgue medible y ∫ b n<br />
a n<br />
f(x)dx = ∫ f n ↑ ∫ f, por<br />
el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona.<br />
Ejercicio 2.4.43.- Sea f : R → R no negativa, con integral impropia <strong>de</strong> Riemann<br />
finita, <strong>de</strong>mostrar que f es Lebesgue medible e integrable y <strong>la</strong>s dos integrales<br />
coinci<strong>de</strong>n. Dar un contraejemplo si quitamos <strong>la</strong> no negatividad.<br />
Ind. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> sucesión f n = fI [−n,n] , para <strong>la</strong> que f n ↑ f, entonces es<br />
Lebesgue medible por serlo <strong>la</strong>s f n y por el Teorema <strong>de</strong> caracterización y el Teorema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona<br />
∫ ∞<br />
∫ n<br />
∫ ∫<br />
f(x)dx = lím f(x)dx = lím f<br />
−∞<br />
n→∞<br />
−n<br />
n→∞ ndm = f dm,<br />
existe<br />
Si quitamos <strong>la</strong> no negatividad es falso pues por ejemplo para<br />
∞∑ (−1) n<br />
f =<br />
n<br />
I [n−1,n),<br />
n=1<br />
∫ ∞<br />
∞∑<br />
f(x)dx =<br />
0<br />
n=1<br />
(−1) n<br />
n ,<br />
y es finita y sin embargo no es Lebesgue integrable, pues no lo es |f|, ya que ∫ |f|dm =<br />
∑ (1/n) = ∞.<br />
Ejercicios resueltos Tema III<br />
Ejercicio 3.2.1.- Sean Ω 1 y Ω 2 espacios topológicos. Demostrar que:<br />
(a) B(Ω 1) ⊗ B(Ω 2) ⊂ B(Ω 1 × Ω 2).<br />
(b) Si sus topologías tienen bases numerables, B(Ω 1) ⊗ B(Ω 2) = B(Ω 1 × Ω 2).<br />
Solución.- (a) Como <strong>la</strong>s proyecciones π i : Ω 1 × Ω 2 → Ω i son continuas son<br />
B(Ω 1 × Ω 2 )–medibles, por tanto dados A ∈ B(Ω 1 ) y B ∈ B(Ω 2 ),<br />
y se sigue <strong>la</strong> inclusión <strong>de</strong> (a).<br />
A × B = π −1<br />
1 (A) ∩ π−1<br />
2 (B) ∈ B(Ω 1 × Ω 2 ),
387<br />
(b) Si C i es una base numerable <strong>de</strong> <strong>la</strong> topología T i <strong>de</strong> Ω i ,<br />
C = {U × V : U ∈ C 1 , V ∈ C 2 } ⊂ B(Ω 1 ) ⊗ B(Ω 2 ),<br />
es una base numerable <strong>de</strong> <strong>la</strong> topología producto T , por tanto<br />
T ⊂ σ(C) ⊂ B(Ω 1 ) ⊗ B(Ω 2 ),<br />
y se sigue el resultado.<br />
Ejercicio 3.2.4.- Sea f : R 2 → R, tal que f x es Borel medible para cada x y f y<br />
continua para cada y. Demostrar que f es Borel medible.<br />
Ind.- Basta observar que <strong>la</strong> sucesión <strong>de</strong> funciones medibles<br />
f n(x, y) =<br />
∞∑<br />
i=−∞<br />
f(i/n, y)I (<br />
i−1<br />
n<br />
, n i ](x),<br />
verifica f n → f, pues f n(x, y) = f(x n, y), para un x n = i/n tal que |x n − x| ≤ 1/n.<br />
Ejercicio 3.3.1.- Demostrar que para cada r > 0 y A ∈ B(R n ) es medible <strong>la</strong><br />
función <strong>de</strong> R n , f(x) = m[A ∩ B[x, r]] y <strong>de</strong>mostrar que ∫ f dm = r n · m(A) ·<br />
m[B[0, 1]].<br />
Ind.- Es consecuencia <strong>de</strong> (3.3.6), pág.127, pues A ∩ B[x, r] es <strong>la</strong> sección por x <strong>de</strong>l<br />
medible <strong>de</strong> R 2n ,<br />
E = R n × A ∩ {(z, y) ∈ R 2n : ‖z − y‖ ≤ r})<br />
(obsérvese que el conjunto <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha es cerrado). Ahora m[E y ] = m[B[y, r]]I A =<br />
r n m[B[0, 1]]I A y el resultado se sigue <strong>de</strong>l mismo teorema.<br />
Ejercicio 3.4.2.- Sea f : (0, 1) → R Lebesgue integrable. Demostrar que g(x) =<br />
∫<br />
dm es medible, integrable y que ∫ g dm = ∫ f dm.<br />
(0,1) (0,1)<br />
(x,1)<br />
f(y)<br />
y<br />
Indicación.- Consi<strong>de</strong>remos E = {(x, y) ∈ (0, 1) 2 : x ≤ y} y µ 1 = µ 2 = m en<br />
(0, 1), entonces h(x, y) = I E f(y)/y es medible y<br />
∫<br />
∫<br />
(<br />
∫<br />
|h y | dµ 1 ) dµ 2 =<br />
∫<br />
|f(y)/y|µ 1 (E y) dµ 2 =<br />
|f| dm < ∞<br />
y aplicando Fubini, g(x) = ∫ h x dm es medible y ∫ g dµ 1 = ∫ h dm 2 = ∫ f dµ 2 .<br />
Ejercicio 3.6.1.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f : Ω → R<br />
medible y no negativa. Demostrar que <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> f es medible<br />
y que µ × m(E) = 0.<br />
E = {(x, y) ∈ Ω × [0, ∞] : y = f(x)} ∈ A ⊗ B(R),
388 Ejercicios resueltos<br />
Ind. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong>s funciones medibles π 2 (x, y) = y y h(x, y) = f(x), entonces<br />
E = {h = π 2 } y como m(E x) = 0, µ × m(E) = 0.<br />
Ejercicio 3.6.2.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f : Ω → R<br />
medible y no negativa. Demostrar que <strong>la</strong> función F (y) = µ{f −1 (y)} es medible<br />
y F = 0 c.s.<br />
Ind. En los términos <strong>de</strong>l ejercicio anterior F (y) = µ(E y ) y 0 = µ × m(E) =<br />
∫<br />
F (y) dm.<br />
Ejercicio 3.6.4.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita, f : Ω → [0, ∞]<br />
medible y 1 ≤ p < ∞. Demostrar que<br />
∫<br />
∫<br />
f p dµ =<br />
[0,∞)<br />
pt p−1 µ{f > t} dm,<br />
y que si µ{f > t} ≤ e −t , entonces ∫ f p dµ ≤ Π(p).<br />
Ind. Si <strong>de</strong>finimos G: [0, ∞) → [0, ∞), G(t) = t 1/p y λ = G ∗m, entonces se<br />
tiene que λ(A) = ∫ A ptp−1 dm, pues ambas medidas en A son <strong>de</strong> Lebesgue Stieltjes<br />
y coinci<strong>de</strong>n en los intervalos acotados [a, b] = G[a p , b p ]<br />
∫ b<br />
∫<br />
λ[a, b] = m[a p , b p ] = b p − a p = pt p−1 dt = pt p−1 dm.<br />
a<br />
[a,b]<br />
Ahora por el Teorema <strong>de</strong> Fubini y para <strong>la</strong> función medible h(t) = µ{f > t}<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
f p dµ = µ{f p > s} dm = h ◦ G dm<br />
[0,∞)<br />
[0,∞)<br />
∫<br />
∫<br />
= h dλ = pt p−1 µ{f > t} dm.<br />
[0,∞)<br />
[0,∞)<br />
Para lo último obsérvese que ∫ ∞<br />
0 (tp e −t ) ′ = 0.<br />
Ejercicio 3.6.5.- Demostrar que para una rotación o una tras<strong>la</strong>ción 6 T : R n →<br />
R n , el centro <strong>de</strong> masas C(B) <strong>de</strong> un boreliano B satisface T [C(B)] = C[T (B)].<br />
Ind. Una tras<strong>la</strong>ción o una rotación T , conserva <strong>la</strong>s medidas <strong>de</strong> Hausdorff, (T ∗(H k ) =<br />
H k ), por tanto<br />
∫<br />
T (B)<br />
x i [C(T (B))] =<br />
x ∫<br />
i dH k<br />
B<br />
=<br />
x i ◦ T dH k<br />
,<br />
H k [T (B)] H k (B)<br />
y si T (x) = x + a es una tras<strong>la</strong>ción, x i ◦ T = x i + a i y x i [C(T (B))] = x i [C(B)] +<br />
a i = x i [T (C(B))]; y si T (p) = ( ∑ a ij p j ) es una rotación, x i ◦ T = ∑ a ij x j y<br />
x i [C(T (B))] = ∑ a ij x j [C(B)], por tanto C[T (B)] = T [C(B)].<br />
6 Debemos observar que este resultado no es cierto para isomorfismos en general,<br />
salvo que dim H (B) = n (ver el ej. (5.5.7), pues sólo sabemos que H k [T (B)] =<br />
J(T )H k [B], para T : R k → R n .
389<br />
Ejercicio 3.6.7.- Dado el polinomio <strong>de</strong> R n , p(x) = ∏ n<br />
i=1 xa i<br />
i , 0 ≤ ai ∈ N,<br />
<strong>de</strong>mostrar que para b i = (a i + 1)/2 y σ <strong>la</strong> medida en <strong>la</strong> esfera unidad, <strong>de</strong>finida<br />
en (3.6.7)<br />
∫<br />
{ ∏ 2 ni=1<br />
Γ(b i )<br />
p(x) dσ = Γ( ∑ b i<br />
, si todo a<br />
) i es par;<br />
S n−1<br />
0, si ∃i : a i es impar.<br />
.<br />
Indicación.- Por el ejercicio (2.4.34), el teorema <strong>de</strong> Fubini y el teorema (3.6.8)<br />
n∏<br />
(∫<br />
) (∫<br />
)<br />
Γ(b i ) = e −x2 x a 1<br />
dm 1 · · · e −x2 x an dm 1<br />
i=1<br />
R<br />
R<br />
∫<br />
= e − ∑ ∫ ∫<br />
x 2 i p(x) dm = e −r2 p(ry)r n−1 dσ dm<br />
(∫<br />
= p(y) dσ<br />
S<br />
(∫<br />
= p(y) dσ<br />
S<br />
) ( ∫<br />
(0,∞)<br />
S<br />
e −r2 r ∑ a i +n−1 dm<br />
(0,∞)<br />
) 1<br />
(∑ )<br />
2 Γ bi .<br />
)<br />
Ejercicios resueltos Tema IV<br />
Ejercicio 4.2.4.- Sea (Ω, A, λ) un espacio medible con una carga. Demostrar:<br />
(a) g es λ–integrable si y sólo si es |λ|–integrable.<br />
(b) Si g es λ–integrable, ∣ ∣ ∫ g dλ ∣ ∣ ≤<br />
∫<br />
|g| d|λ|.<br />
(c) Existe una medida µ y una función medible f, con integral respecto <strong>de</strong> µ,<br />
tal que para todo E ∈ A, λ(E) = ∫ E f dµ.<br />
Ind. (c) Consi<strong>de</strong>rar una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn, P, N, f = I P − I N y µ = |λ|.<br />
Ejercicio 4.2.9.- Sea λ una carga en un espacio medible (Ω, A), <strong>de</strong>mostrar que<br />
n∑<br />
|λ|(A) = sup{ |λ(E i)| : E i ∈ A, disjuntos, ∪E i = A},<br />
i=1<br />
¿Es cierto el resultado si ponemos ∑ ∞<br />
i=1<br />
en lugar <strong>de</strong> sumas finitas?.<br />
Ind. Sean E 1 , . . . , E n ∈ A medibles y disjuntos, tales que ∪E i = A entonces<br />
n∑<br />
n∑<br />
|λ(E i )| ≤ |λ|(E i ) = |λ|(A),<br />
i=1<br />
i=1<br />
por tanto |λ|(A) es una cota superior para el supremo. Veamos que se alcanza, para<br />
ello sea P, N una <strong>de</strong>scomposición <strong>de</strong> Hahn<br />
|λ|(A) = λ + (A) + λ − (A) = |λ(A ∩ P )| + |λ(A ∩ N)|,<br />
y el resultado se sigue pues A ∩ P , A ∩ N es una partición <strong>de</strong> A.
390 Ejercicios resueltos<br />
Ejercicio 4.3.1.- Sea (Ω, A) un espacio medible con una medida compleja λ =<br />
λ 1 +iλ 2 = λ + 1 −λ− 1 +iλ+ 2 −iλ− 2 , <strong>de</strong>mostrar que λ± i ≤ |λ| ≤ λ + 1 +λ− 1 +λ+ 2 +λ− 2 .<br />
Ind. λ ± i ≤ λ + i + λ− i = |λ i | ≤ |λ| ≤ |λ 1 | + |λ 2 | = λ + 1 + λ− 1 + λ+ 2 + λ− 2 .<br />
Ejercicio 4.4.2.- Sean µ y ν medidas σ–finitas, con ν ≪ µ y sea λ = µ + ν.<br />
Demostrar que ν ≪ λ y si f = dν/dλ, entonces 0 ≤ f < 1 c.s (µ) y que<br />
dν/dµ = f/(1 − f).<br />
Ind. Existe g = dν/dµ, con 0 ≤ g < ∞, entonces g + 1 = dλ/dµ y f(g + 1) =<br />
dν/dµ, por tanto g = f(g +1) c.s. (µ) y 0 ≤ f = g/(g +1) < 1 c.s. (µ) y g = f/(1−f)<br />
c.s.(µ).<br />
Ejercicio 4.4.3.- Sean λ y µ medidas σ–finitas en (Ω, A), <strong>de</strong>mostrar que son<br />
equivalentes <strong>la</strong>s condiciones:<br />
(a) µ ≪ λ y λ ≪ µ.<br />
(b) {A ∈ A : µ(A) = 0} = {A ∈ A : λ(A) = 0}.<br />
(c) Existe una función medible g : Ω → (0, ∞), tal que λ(A) = ∫ g dµ. A<br />
Ind. (a)⇔(b) es trivial.<br />
(a)⇒(c) Por el Teorema <strong>de</strong> Radon–Nikodym 0 ≤ dλ/dµ < ∞ y por el ejercicio<br />
anterior<br />
1 = dµ<br />
dµ = dµ dλ<br />
dλ dµ ,<br />
por tanto dλ/dµ es invertible c.s. y por tanto positiva c.s.<br />
(c)⇒(a) Como existe g −1 y es no negativa tiene integral y si consi<strong>de</strong>ramos ν(A) =<br />
∫<br />
A g−1 dλ, tendremos que<br />
dν<br />
dµ = dν dλ<br />
dλ dµ = g−1 g = 1 ⇒ ν = µ.<br />
Ejercicio 4.4.4.- Demostrar que si (Ω, A, µ) es un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita,<br />
existe una medida finita λ, que tiene los mismos conjuntos nulos que µ.<br />
Ind. Sea A n una partición <strong>de</strong> Ω, con 0 < µ(A n) < ∞ (observemos que los <strong>de</strong><br />
medida nu<strong>la</strong> los po<strong>de</strong>mos unir a cualquier otro A n <strong>de</strong> medida positiva) y sea<br />
g =<br />
∞∑<br />
n=1<br />
1<br />
2 n µ(A n) I A n<br />
,<br />
entonces el resultado se sigue <strong>de</strong>l ejercicio anterior para λ(A) = ∫ A g dµ.<br />
Ejercicio 4.4.5.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida finita y f : Ω → C integrable.<br />
Demostrar que si S es un cerrado <strong>de</strong> C, tal que para cada E ∈ A con<br />
µ(E) > 0, se tiene<br />
∫<br />
1<br />
f dµ ∈ S<br />
µ(E) E<br />
entonces f(x) ∈ S c.s.<br />
Ind. Hay que <strong>de</strong>mostrar que µ[f −1 (S c )] = 0, ahora bien como S c es abierto es<br />
una unión numerable <strong>de</strong> discos cerrados y basta <strong>de</strong>mostrar que para cualquiera <strong>de</strong>
391<br />
ellos D[z, r], µ[f −1 (D[z, r])] = 0. Supongamos que no, que E = f −1 (D[z, r]), tiene<br />
µ(E) > 0, entonces llegamos a un absurdo, pues<br />
∫<br />
∣ ∫<br />
r <<br />
1<br />
∣∣∣<br />
∣ f dµ − z<br />
µ(E)<br />
∣ = 1<br />
(f − z) dµ<br />
E<br />
µ(E)<br />
∣ ≤ 1 ∫<br />
|f − z| dµ ≤ r.<br />
E<br />
µ(E) E<br />
Ejercicio 4.4.6.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida. Demostrar que {λ ∈<br />
M(A, R) : λ ≪ µ}, es un subespacio vectorial cerrado <strong>de</strong>l espacio <strong>de</strong> Banach<br />
M(A, R).<br />
Ind. Veamos que su complementario es abierto. Sea M µ = {λ ∈ M(A, R) : λ ≪<br />
µ} y λ ∈ M − M µ, entonces existe A ∈ A, tal que µ(A) = 0 y λ(A) ≠ 0, entonces<br />
para 0 < r ≤ |λ(A)| y ‖ν − λ‖ < r, ν ∈ M − M µ, pues<br />
y por tanto ν(A) ≠ 0.<br />
|ν(A) − λ(A)| ≤ ‖ν − λ‖ < r,<br />
Ejercicio 4.4.7.- Sean ν 1 ≪ µ 1 en (Ω 1, A 1) y ν 2 ≪ µ 2 en (Ω 2, A 2), medidas<br />
σ–finitas. Demostrar que ν 1 × ν 2 ≪ µ 1 × µ 2 y que<br />
d(ν 1 × ν 2) dν1<br />
(x, y) = (x) dν2 (y).<br />
d(µ 1 × µ 2) dµ 1 dµ 2<br />
∫ Solución.- Sea E ∈ A tal que µ(E) = µ 1 × µ 2 (E) = 0, entonces como µ(E) =<br />
µ2 (E x) dµ 1 , µ 2 (E x) = 0 c.s. µ 1 , por tanto c.s. ν 1 y ν 2 (E x) = 0 c.s. ν 1 , por tanto<br />
ν(E) = ν 1 × ν 2 (E) = ∫ ν 2 (E x) dν 1 = 0.<br />
Ahora si f = dν 1 /dµ 1 , g = dν 2 /dµ 2 y h(x, y) = f(x)g(y), entonces como h ≥ 0,<br />
tiene integral y<br />
∫<br />
ν(E) =<br />
∫ ∫<br />
= (<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
ν 2 (E x) dν 1 = ( g dµ 2 ) dν 1 =<br />
E x<br />
∫<br />
I Ex h x dµ 2 ) dµ 1 = h dµ.<br />
E<br />
∫<br />
( g dµ 2 )f dµ 1<br />
E x<br />
Ejercicio 4.5.1.- Demostrar que si λ 1 y λ 2 son complejas y λ 1 ⊥ λ 2, entonces<br />
|λ 1 + λ 2| = |λ 1| + |λ 2|.<br />
Ind. Existe un medible A tal que para cada medible B, λ 1 (B) = λ 1 (B ∩ A) y<br />
λ 2 (B) = λ 2 (B ∩ A c ), a<strong>de</strong>más<br />
|λ 1 + λ 2 |(B) = |λ 1 + λ 2 |(B ∩ A) + |λ 1 + λ 2 |(B ∩ A c )<br />
= |λ 1 |(B ∩ A) + |λ 2 |(B ∩ A c ) = |λ 1 |(B) + |λ 2 |(B),<br />
pues si A i ⊂ B∩A, |λ 1 (A i )+λ 2 (A i )| = |λ 1 (A i )| y si A i ⊂ B∩A c , |λ 1 (A i )+λ 2 (A i )| =<br />
|λ 2 (A i )|. Termínelo el lector.
392 Ejercicios resueltos<br />
Ejercicios resueltos Tema V<br />
Ejercicio 5.5.1.- Calcu<strong>la</strong>r el área y el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> elipse y elipsoi<strong>de</strong> respectivamente<br />
x 2<br />
a + y2<br />
2 b = 1, x 2<br />
2 a + y2<br />
2 b + z2<br />
2 c = 1. 2<br />
Ind. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> aplicación lineal<br />
T : R 2 → R 2 ,<br />
(x, y) →<br />
( ( )<br />
a 0 x<br />
0 b)<br />
y<br />
=<br />
( ) ax<br />
,<br />
by<br />
que para E = {(x, y) ∈ R 2 : x2<br />
b 2 ≤ 1}, y B = {(x, y) : x 2 + y 2 ≤ 1}, T (B) = E,<br />
por tanto<br />
m[E] = m[T (B)] = | <strong>de</strong>t T |m[B] = abπ.<br />
a 2 + y2<br />
Ejercicio 5.5.2.- Una bicicleta <strong>de</strong> longitud L hace un recorrido en el que nunca<br />
gira a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha. Si el ángulo total girado es ϕ, <strong>de</strong>mostrar que el área que barre<br />
es 7 ϕL 2 /2.<br />
Demostración. Consi<strong>de</strong>remos un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas cartesiano, con el origen<br />
en el punto <strong>de</strong>l que parte y siendo el semieje x positivo <strong>la</strong> dirección en <strong>la</strong> que<br />
sale. Parametricemos <strong>la</strong> curva trayectoria (x(t), y(t)), por el tiempo t ∈ [0, T ] y tal<br />
que x(0) = y(0) = y ′ (0) = 0 y sea θ : [0, T ] → [0, ϕ] el ángulo <strong>de</strong> <strong>la</strong> pendiente a <strong>la</strong><br />
curva en cada punto (x(t), y(t)), por tanto tal que x ′ sen θ − y ′ cos θ = 0, el cual es<br />
creciente por <strong>la</strong> hipótesis.<br />
La región barrida es<br />
B = F [[0, T ] × [0, L]],<br />
F (t, r) = (x(t) + r cos θ(t), y(t) + r sen θ(t)),<br />
siendo |DF | = rθ ′ , por tanto<br />
∫ T ∫ L<br />
m[B] = rθ ′ (t) drdt = L 2 ϕ/2.<br />
0 0<br />
Ejercicio 5.5.3.- Curva <strong>de</strong> Agnesi 8 : Dada una circunferencia <strong>de</strong> radio a/2<br />
tangente al eje x y centro en el eje y y dada <strong>la</strong> tangente parale<strong>la</strong> al eje x en<br />
el punto (0, a), se consi<strong>de</strong>ra el lugar geométrico <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no (x, y),<br />
obtenidos <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente forma: Se traza <strong>la</strong> recta que une el origen con el punto<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> tangente <strong>de</strong> abscisa x, es <strong>de</strong>cir (x, a) y se consi<strong>de</strong>ra <strong>la</strong> or<strong>de</strong>nada y <strong>de</strong>l<br />
punto <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> esta recta con <strong>la</strong> circunferencia.<br />
Demostrar que el área subyacente a <strong>la</strong> curva es 4 veces el área <strong>de</strong>l círculo<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> construcción. Que <strong>la</strong> curva tiene dos puntos simétricos en los que pasa <strong>de</strong><br />
ser convexa a concava y <strong>la</strong>s verticales en esos puntos divi<strong>de</strong>n el área subyacente<br />
7 En particu<strong>la</strong>r si <strong>la</strong> bicicleta vuelve al punto <strong>de</strong> partida, el área que barre es<br />
constante e igual a <strong>la</strong> <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> radio L.<br />
8 Ver comentarios en <strong>la</strong> pág.231
393<br />
en tres regiones <strong>de</strong> igual área y que los pies <strong>de</strong> esas verticales en el eje x <strong>de</strong>finen<br />
con el punto máximo (0, a) <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva un triángulo equilátero. Encontrar el<br />
centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>la</strong> región entre <strong>la</strong> curva y el eje x. Encontrar el centro<br />
<strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva.<br />
Demostrar que el volumen que genera al girar<strong>la</strong> respecto <strong>de</strong>l eje x es 2<br />
veces el <strong>de</strong>l toro que genera el círculo.<br />
Demostración. Se tiene por cálculo inmediato que<br />
y =<br />
a 3<br />
x 2 + a 2 .<br />
El área es para tan θ = t = x/a, para <strong>la</strong> que (1 + t 2 )dθ = dt = dx/a<br />
∫ ∞ a 3<br />
∫ ∞<br />
∫<br />
−∞ x 2 + a 2 dx = 1<br />
π/2<br />
a2<br />
−∞ t 2 + 1 dt = a2 dθ = a 2 π.<br />
−π/2<br />
mientras que el volumen encerrado por <strong>la</strong> superficie <strong>de</strong> revolución es por el teorema <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> medida producto y teniendo en cuenta por el cambio anterior que cos 2 θ = 1/(1+t 2 )<br />
∫ ∞<br />
∫ ∞<br />
πy 2 a 2<br />
∫ π/2<br />
(x) dx = π<br />
−∞<br />
−∞ (1 + t 2 ) 2 dx = πa3 cos 2 θ dθ = π2 a 3<br />
−π/2<br />
2 ,<br />
siendo el volumen <strong>de</strong>l toro por el Teorema <strong>de</strong> Pappus el producto <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l círculo<br />
πa 2 /4 por <strong>la</strong> longitud, πa, <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva que genera el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
circunferencia (0, a/2).<br />
Ahora por el Teorema <strong>de</strong> Pappus po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> figura como<br />
el producto <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región entre <strong>la</strong> curva y el eje x, que lo hemos calcu<strong>la</strong>do<br />
antes y vale a 2 π, multiplicado por <strong>la</strong> longitud 2πr <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva que genera el centro<br />
<strong>de</strong> gravedad (0, r) <strong>de</strong> <strong>la</strong> región, por tanto 2π 2 a 2 r = π 2 a 3 /2 y r = a/4.<br />
Por último el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva es (0, 0). (Obsérvese que <strong>la</strong> curva<br />
tiene longitud ∞).<br />
Ejercicio 5.5.6.- (a) Demostrar que el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio r es 4πr 2 .<br />
(b) Demostrar que el área <strong>de</strong>l casquete esférico <strong>de</strong> radio r y altura h es 2πrh.<br />
Ind. Basta <strong>de</strong>mostrar (b). La proyección <strong>de</strong>l casquete es el círculo <strong>de</strong> radio k =<br />
√<br />
2rh − h 2 , pues k 2 + (r − h) 2 = r 2 , y su área es para z(x, y) = √ r 2 − x 2 − y 2 y<br />
U = {x 2 + y 2 ≤ k 2 }<br />
∫<br />
U<br />
√1 + z 2 x + z2 y dx dy = r ∫<br />
U<br />
dx dy<br />
√<br />
r 2 − x 2 − y 2 ,<br />
y por el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable para F = (f 1 , f 2 ): V = (0, k) × (0, 2π) → R 2 ,<br />
F (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ), como F (V ) = U = {x 2 + y 2 ≤ k 2 } y J(DF (ρ,θ) ) =<br />
|f 1ρ f 2θ − f 1θ f 2ρ | = ρ,<br />
∫<br />
r<br />
F (V )<br />
∫<br />
dx dy<br />
√<br />
r 2 − x 2 − y = r 2<br />
V<br />
ρ dρ dθ<br />
[√ ] k<br />
√<br />
r 2 − ρ = −2π r r 2 − ρ 2 = 2π r h.<br />
2 0<br />
Ejercicio 5.5.7.- Demostrar que si T : R n → R n es un isomorfismo, el centro<br />
<strong>de</strong> masas C(B) <strong>de</strong> un boreliano B, con 0 < m(B) < ∞, satisface C[T (B)] =<br />
T [C(B)].
394 Ejercicios resueltos<br />
Ind. Es simi<strong>la</strong>r al ejercicio (3.6.5), teniendo en cuenta que m[T (B)] = | <strong>de</strong>t T |m[B]<br />
y por tanto T ∗m = | <strong>de</strong>t T | −1 m, por tanto<br />
∫<br />
T (B)<br />
x i [C(T (B))] =<br />
x ∫<br />
i dm T (B)<br />
=<br />
x ∫<br />
i d(T ∗m)<br />
B<br />
=<br />
x i ◦ T dm<br />
.<br />
m[T (B)]<br />
m[B]<br />
m(B)<br />
Ejercicio 5.5.8.- Dado en el p<strong>la</strong>no un triángulo T 2 <strong>de</strong> vértices ABC, consi<strong>de</strong>remos<br />
los tres conjuntos: T 2 (<strong>la</strong> envolvente convexa <strong>de</strong> los vértices), T 1 = ∂T 2<br />
formado por los tres <strong>la</strong>dos y T 0 = {A, B, C} formado por los tres vértices.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el centro <strong>de</strong> masas <strong>de</strong> cada uno. ¿coinci<strong>de</strong>n?<br />
Ind. Por el ejercicio (3.6.5), pág.146, po<strong>de</strong>mos suponer que nuestro triángulo<br />
tiene coor<strong>de</strong>nadas A = (0, 0), B = (b 1 , b 2 ) y C = (0, c). En tal caso (si b 1 > 0) <strong>la</strong><br />
abscisa <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> T 2 es<br />
∫<br />
∫<br />
T xdH<br />
2<br />
2 T xdm<br />
= 2 2<br />
H 2 (T 2 ) m 2 (T 2 )<br />
=<br />
=<br />
∫ b1<br />
0 (c − x c<br />
b 1<br />
)x dx<br />
b 1 c/2<br />
∫ b1<br />
∫ c+x b 2 −c<br />
b 1<br />
0<br />
x dxdy<br />
x b 2<br />
b1<br />
b 1 c/2<br />
= b 1 − 2b 1 /3 = b 1 /3 = x( A + B + C )<br />
3<br />
un cálculo simi<strong>la</strong>r para <strong>la</strong> or<strong>de</strong>nada (ó dado que hay rotaciones que nos intercambian<br />
<strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas) se tiene que el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> T 2 es el baricentro <strong>de</strong>l triángulo<br />
A + B + C<br />
.<br />
3<br />
Calculemos ahora el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> un segmento P Q <strong>de</strong> extremos P = (p 1 , p 2 )<br />
y Q = (q 1 , q 2 ), para x 1 y x 2 <strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas, σ(t) = tQ + (1 − t)P y |σ ′ (t)| = |Q − P |<br />
∫<br />
P Q x ∫<br />
i dH 1 1<br />
0<br />
=<br />
(tq ∫<br />
i + (1 − t)p i )|Q − P | dH 1<br />
1 0<br />
=<br />
(tq i + (1 − t)p i )|Q − P | dt<br />
H 1 (P Q)<br />
H 1 (P Q)<br />
m 1 (P Q)<br />
∫ 1<br />
= (tq i + (1 − t)p i ) dt = p i + q i<br />
,<br />
0<br />
2<br />
es <strong>de</strong>cir que el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> P Q es (P + Q)/2.<br />
Veamos ahora el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> T 1 el cual es unión <strong>de</strong> los segmentos AB, BC<br />
y CA, con H 1 (A) = H 1 (B) = H 1 (C) = 0, por tanto se sigue <strong>de</strong>l ejercicio (3.6.6),<br />
pág.146, que para |A − C| = c, |A − B| = d y |B − C| = e<br />
C(T 1 ) =<br />
c A + C<br />
+<br />
c + d + e 2<br />
d A + B<br />
+<br />
c + d + e 2<br />
e<br />
c + d + e<br />
B + C<br />
.<br />
2<br />
el cual es el incentro <strong>de</strong>l triángulo formado por los puntos medios <strong>de</strong> los <strong>la</strong>dos <strong>de</strong><br />
nuestro triángulo.<br />
Por último el <strong>de</strong> T 0 también es el baricentro, pues<br />
∫<br />
T x<br />
0<br />
i dH 0<br />
= x ( )<br />
i(A) + x i (B) + x i (C) A + B + C<br />
= x i .<br />
H 0 (T 0 )<br />
3<br />
3<br />
En <strong>de</strong>finitiva C(T 2 ) = C(T 0 ) = (A + B + C)/3 y C(T 1 ) es distinto.
395<br />
Ejercicio 5.5.9.- Demostrar que para t, s > −1<br />
∫<br />
Π(t)Π(s) = Π(t + s + 1) x t (1 − x) s dm.<br />
Indicación.- Por Fubini (3.4.3) y el Teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable (5.5.9),<br />
para F : A = (0, ∞) 2 → B = (0, 1) × (0, ∞), F (x, y) = (x/(x + y), x + y) = (u, v),<br />
J(DF ) = 1/(x + y)<br />
∫ ∫<br />
Π(t)Π(s) =<br />
x t e −(x+y) y s dm dm<br />
(0,∞) (0,∞)<br />
∫<br />
= x t y s e −(x+y) dm 2<br />
A<br />
∫<br />
x t y s<br />
=<br />
A (x + y) t+s (x + y)t+s e −(x+y) dm 2<br />
∫<br />
= u t (1 − u) s v t+s+1 e −v dm 2<br />
B<br />
∫<br />
= Π(t + s + 1) x t (1 − x) s dm.<br />
(0,1)<br />
Ejercicio 5.5.10.- Dado α > 0, l<strong>la</strong>maremos α–integral fraccional <strong>de</strong> una función<br />
continua f → [0, ∞) → R, a <strong>la</strong> función<br />
∫<br />
[0,x]<br />
I αf(x) =<br />
(x − t)α−1 f(t) dm<br />
. (Sol.)<br />
Γ[α]<br />
(0,1)<br />
Demostrar que para α, β > 0, I α ◦ I β = I α+β .<br />
Indicación.- Por el ejercicio anterior (5.5.9) y<br />
I α+β f(x)<br />
I α(I β f)(x) =<br />
Γ[α]Γ[β] ∫ [0,x] (x − t)α+β−1 f(t) dm<br />
Γ[α + β] ∫ ( ∫ )<br />
[0,x] (x − t)α−1 [0,t] (t − s)β−1 f(s) dm dm<br />
( ∫ ) ( ∫<br />
(0,1) xt (1 − x) s dm [0,x] (x − t)α+β−1 f(t) dm)<br />
= ∫<br />
( ∫ )<br />
[0,x] (x − t)α−1 [0,t] (t − s)β−1 f(s) dm dm<br />
( ∫ ) ( ∫<br />
(0,1) xt (1 − x) s dm [0,x] (x − t)α+β−1 f(t) dm)<br />
= ∫<br />
E (x − t)α−1 (t − s) β−1 f(s) dm 2<br />
( ∫ ) ( ∫<br />
(0,1) xt (1 − x) s dm [0,x] (x − t)α+β−1 f(t) dm)<br />
=<br />
∫ ( ∫ )<br />
[0,x] f(s) [s,x] (x − t)α−1 (t − s) β−1 dm dm<br />
( ∫ ) ( ∫<br />
(0,1) xt (1 − x) s dm [0,x] (x − t)α+β−1 f(t) dm)<br />
= ∫ ( ∫ )<br />
[0,x] f(s) [0,1] uα−1 (1 − u) β−1 (x − s) α+β−1 dm dm<br />
para E = {(t, s) ∈ [0, x] 2 : s ≤ t} y el cambio <strong>de</strong> variable u = (x − t)/(x − s).
396 Ejercicios resueltos<br />
Ejercicios resueltos Tema VI<br />
Ejercicio 6.2.2.- Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida σ–finita y f : Ω → C<br />
medible. Demostrar que µ f (B) = µ[f −1 (B)] es una medida en B(C), y que si<br />
f ∈ L ∞, entonces<br />
K = {z ∈ C : µ f [B(z, ɛ)] > 0, ∀ɛ > 0},<br />
es un compacto, don<strong>de</strong> B(z, ɛ) = {z ′ : |z ′ − z| < ɛ} y que<br />
‖f‖ ∞ = sup{|z| : z ∈ K}.<br />
Solución.- Veamos que K c es abierto. Sea z ∈ K c , entonces existe ɛ > 0 tal<br />
que µ f [B(z, ɛ)] = 0, pero entonces B(z, ɛ) ⊂ K c , pues <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> es abierta y dado<br />
z ′ ∈ B(z, ɛ), existe un δ > 0, tal que B(z ′ , δ) ⊂ B(z, ɛ), por tanto µ f [B(z ′ , δ)] = 0 y<br />
z ′ ∈ K c . Ahora veamos que K es acotado, para ello veamos que si z ∈ K, |z| ≤ ‖f‖ ∞<br />
ó equivalentemente que si ‖f‖ ∞ < |z|, entonces z /∈ K, lo cual es obvio pues z está en<br />
el abierto B[0, ‖f‖ ∞] c y por tanto existe un ɛ > 0 tal que<br />
B(z, ɛ) ⊂ B[0, ‖f‖ ∞] c ⇒ µ f (B(z, ɛ)) ≤ µ f (B[0, ‖f‖ ∞] c ) = µ(|f| > ‖f‖ ∞) = 0,<br />
(por ser el espacio σ–finito), por tanto z ∈ K c .<br />
Ahora veamos que el supremo es ‖f‖ ∞. Para ello hemos visto <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad “≤”,<br />
veamos <strong>la</strong> otra, para lo cual basta <strong>de</strong>mostrar que para todo ɛ > 0 hay puntos <strong>de</strong> K<br />
en <strong>la</strong> rosquil<strong>la</strong> compacta<br />
C = {z : ‖f‖ ∞ − ɛ ≤ |z| ≤ ‖f‖ ∞}.<br />
En caso contrario para cada z ∈ C existiría un ɛ z > 0, tal que µ f (B(z, ɛ z)) = 0 y<br />
por compacidad C se rellena con una colección finita <strong>de</strong> estas bo<strong>la</strong>s y µ f (C) = 0, por<br />
tanto<br />
µ{|f| ≥ ‖f‖ ∞ − ɛ} = µ f {|z| ≥ ‖f‖ ∞ − ɛ} = 0<br />
lo cual es absurdo.<br />
Ejercicio 6.2.3.-<br />
L p ⊂ L r + L s.<br />
Demostrar que si 0 < r < p < s ≤ ∞, entonces L r ∩ L s ⊂<br />
Solución.- Sea A = {|f| ≤ 1}, entonces si f ∈ L r ∩ L s, y s < ∞<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
|f| p dµ = |f| p dµ + |f| p dµ<br />
A c A<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
≤ |f| s dµ + |f| r dµ ≤ |f| s dµ + |f| r dµ < ∞,<br />
A c A<br />
y si s = ∞, |f| ≤ ‖f‖ ∞ c.s. (ver ejercicio (6.1.2)) y ∫ A c |f| p ≤ ‖f‖ p ∞µ(A c ) < ∞,<br />
pues µ(A c ) < ∞ por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Tchebycheff. Para <strong>la</strong> segunda inclusión, f =<br />
I A f + I A c f ∈ L p, I A f ∈ L s, I A c f ∈ L r.
397<br />
Ejercicio 6.2.4.- Demostrar que si 0 < r < s < ∞ y f ∈ L r ∩ L s, entonces<br />
f ∈ L p, para todo p ∈ [r, s]; que <strong>la</strong> función<br />
∫<br />
φ(p) = log |f| p dµ,<br />
es convexa en [r, s] y que ‖f‖ p ≤ máx{‖f‖ r, ‖f‖ s}.<br />
Solución.- Sean r ≤ a < b ≤ s y t ∈ [0, 1], entonces basta <strong>de</strong>mostrar que<br />
es <strong>de</strong>cir que, para c = ta + (1 − t)b,<br />
∫<br />
(∫<br />
|f| c dµ ≤<br />
e φ[ta+(1−t)b] ≤ e tφ(a)+(1−t)φ(b) ,<br />
) t (∫<br />
|f| a dµ<br />
|f| b dµ) 1−t<br />
,<br />
y esto es consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> Desigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r, pues para p = 1/t y q = 1/(1−t),<br />
obviamente conjugados y <strong>la</strong>s funciones g p = |f| a , h q = |f| b , tendremos que g ∈ L p,<br />
h ∈ L q, y<br />
gh = |f| a p + b q = |f| ta+(1−t)b = |f| c ,<br />
a<strong>de</strong>más tomando ahora a = r y b = s y un valor intermedio c = tr + (1 − t)s,<br />
tendremos que<br />
(∫<br />
1/c (∫ ) t/c (∫ ) (1−t)/c<br />
‖f‖ c = |f| dµ) c ≤ |f| r dµ |f| s dµ<br />
= ‖f‖ tr/c<br />
r ‖f‖ (1−t)s/c<br />
s ≤ máx{‖f‖ r, ‖f‖ s}.<br />
Ejercicio 6.2.5.- Demostrar que un espacio normado E es completo sii para<br />
cada sucesión x n ∈ E<br />
∑<br />
‖xn‖ < ∞ ⇒ ∑ x n es convergente.<br />
Solución.- ⇒) Sea ∑ ‖x n‖ < ∞, entonces v n = ∑ n<br />
i=1 x i es <strong>de</strong> Cauchy y tiene<br />
límite por ser el espacio completo.<br />
⇐) Sea v n <strong>de</strong> Cauchy e y n una subsucesión suya tal que ‖y n+1 − y n‖ ≤ 2 −n ,<br />
entonces para x n = y n+1 − y n, ∑ ‖x n‖ es convergente, por tanto también es convergente<br />
∑ x n = x y como y n = y 1 + ∑ n−1<br />
i=1 x i, tiene límite así como v n.<br />
Ejercicio 6.2.7.- Demostrar que si f, g ∈ L p para 0 < p < 1, entonces<br />
‖f + g‖ p ≤ 2 1 p −1 (‖f‖ p + ‖g‖ p)<br />
Ind. Por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad (a + b) r < a r + b r , para 0 < r < 1 y a, b > 0 y por <strong>la</strong><br />
concavidad <strong>de</strong> x p<br />
∫<br />
|f + g| p ∫<br />
dµ |f| p dµ + ∫ (<br />
|g| p (∫<br />
dµ |f| p ) 1/p (∫<br />
+ |g| p ) )<br />
1/p p<br />
≤<br />
≤<br />
.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Ejercicio 6.2.8.- Demostrar que si f ∈ L p para algún 0 < p < ∞, entonces<br />
‖f‖ r → ‖f‖ ∞, cuando r → ∞.
398 Ejercicios resueltos<br />
Solución.- Si f ∈ L p ∩ L ∞, entonces<br />
{|f| > 0} es σ–finito y {|f| > ‖f‖ ∞} es loc. nulo,<br />
por tanto su intersección A = {|f| > ‖f‖ ∞} es nulo y para r ≥ p<br />
(∫<br />
1/r (∫<br />
) 1/r<br />
‖f‖ r = |f| p |f| dµ) r−p = |f| p |f| r−p dµ<br />
A c<br />
(∫ ) 1/r<br />
≤ ‖f‖ ∞<br />
(r−p)/r |f| p dµ = ‖f‖ (r−p)/r<br />
∞ ‖f‖ p/r<br />
p < ∞,<br />
A c<br />
y haciendo r → ∞ se sigue que lím sup ‖f‖ r ≤ ‖f‖ ∞. Ahora para cada ɛ > 0,<br />
B = {|f| > ‖f‖ ∞ − ɛ} no es localmente nulo, por tanto µ(B) > 0 y<br />
(∫<br />
1/r<br />
µ(B) 1/r (‖f‖ ∞ − ɛ) ≤ |f| dµ) r ≤ ‖f‖ r,<br />
B<br />
por lo que µ(B) < ∞ y haciendo r → ∞, tendremos que<br />
‖f‖ ∞ − ɛ ≤ lím inf ‖f‖ r,<br />
y el resultado se sigue. Si por el contrario ‖f‖ ∞ = ∞, entonces para todo n, µ{|f| ><br />
n} > 0 y<br />
( ∫ 1/r<br />
µ{|f| > n} 1/r n ≤<br />
|f| dµ) r ≤ ‖f‖ r,<br />
{|f|>n}<br />
y haciendo r → ∞, tendremos que n ≤ lím inf ‖f‖ r y el resultado se sigue.<br />
Ejercicio 6.2.9.-<br />
Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y 0 < r < s < ∞, entonces<br />
L s ⊂ L r y que para f ∈ L s<br />
‖f‖ r ≤ ‖f‖ sµ(Ω) 1 r − 1 s .<br />
Ind. Sea f ∈ L s, entonces para p y q conjugados, con 1 < p = s/r, f r ∈ L p y<br />
como 1 ∈ L q, tendremos por <strong>la</strong> Desigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r que f r · 1 = f r ∈ L 1 , es <strong>de</strong>cir<br />
f ∈ L r y a<strong>de</strong>más<br />
∫<br />
(∫<br />
|f| r ≤ ‖f r ‖ p · ‖1‖ q =<br />
|f| rp dµ) 1/p<br />
µ(Ω) 1/q ,<br />
el resto es simple. Otra forma es utilizando <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r generalizada<br />
ej.(6.2.6), tomando t tal que 1/s + 1/t = 1/r, f 1 = f y f 2 = 1, por tanto ‖f‖ r ≤<br />
‖f‖ s‖1‖ t = ‖f‖ sµ(Ω) 1 r − 1 s .<br />
Ejercicio 6.2.10.- Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y f n, f son medibles, entonces:<br />
(a) Si f n → f c.s., entonces f n → f en medida (es <strong>de</strong>cir que para todo<br />
ɛ > 0, µ{|f n − f| > ɛ} → 0).<br />
(b) Si f n → f en L p (con 1 ≤ p ≤ ∞), entonces f n → f en medida.<br />
Solución.- (a) Observemos que f n(x) no converge a f(x) sii existe un ɛ > 0, tal<br />
que para todo N ∈ N, hay un n ≥ N, para el que |f n(x) − f(x)| > ɛ, por lo tanto<br />
0 = µ{f n ↛ f} = µ{∪ ɛ>0 ∩ ∞ N=1 ∪∞ n=N |fn − f| > ɛ},
399<br />
y para cada ɛ > 0 y A n(ɛ) = {|f n − f| > ɛ}, como <strong>la</strong> medida es finita se tiene (ver<br />
ejercicio 1.3.5)<br />
lím sup µ{A n(ɛ)} ≤ µ{lím sup A n(ɛ)} = 0 ⇒ lím µ{A n(ɛ)} = 0.<br />
(b) Para p < ∞, por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Tchebycheff<br />
µ{A n(ɛ)} ≤ ‖fn − f‖p p<br />
ɛ p → 0,<br />
y para p = ∞, dado el ɛ > 0, basta consi<strong>de</strong>rar N tal que para n ≥ N, ‖f n − f‖ ∞ < ɛ,<br />
pues<br />
µ{|f n − f| > ɛ} ≤ µ{|f n − f| > ‖f n − f‖ ∞} = 0.<br />
Ejercicio 6.2.11.- Demostrar <strong>la</strong> Desigualdad <strong>de</strong> Jensen, es <strong>de</strong>cir que si<br />
µ(Ω) = 1, f : Ω → (a, b) es medible e integrable y ϕ: (a, b) → R es convexa,<br />
entonces ϕ (∫ f dµ ) ≤ ∫ ϕ ◦ f dµ.<br />
Solución.- Las funciones convexas tienen <strong>la</strong> propiedad <strong>de</strong> que para todo x 0 ∈<br />
(a, b) existe una función afín, h(x) = px + c, tal que h(x) ≤ ϕ(x) y h(x 0 ) = ϕ(x 0 ).<br />
Tomemos x 0 = ∫ f dµ, y veamos en primer lugar que x 0 ∈ (a, b), para ello observemos<br />
que para a = −∞, como f es integrable, a < x 0 , por lo que también si b = ∞ es<br />
x 0 < b. En el caso finito, pongamos b < ∞, si fuera x 0 = b, como f < b, b − f > 0 y<br />
tiene integral nu<strong>la</strong>, lo cual implicaría que b − f = 0 c.s., lo cual es absurdo. Ahora el<br />
resultado es evi<strong>de</strong>nte pues tomando <strong>la</strong> función h correspondiente tendremos que<br />
(∫ )<br />
(∫ )<br />
ϕ f dµ = ϕ(x 0 ) = h(x 0 ) = px 0 + c = p f dµ + c<br />
∫<br />
∫<br />
= (pf + c) dµ =<br />
∫<br />
h[f] dµ ≤<br />
ϕ[f] dµ.<br />
Ejercicio 6.2.12.- Demostrar que si µ(Ω) = 1 y f, g son medibles y positivas<br />
y tales que fg ≥ 1, entonces ( ∫ f dµ) · ( ∫ g dµ) ≥ 1.<br />
Solución.- 1/f ≤ g y por <strong>la</strong> Desigualdad <strong>de</strong> Jensen, para ϕ(x) = 1/x,<br />
∫ ∫<br />
1 1<br />
∫ ≤ f dµ f dµ ≤ g dµ.<br />
Ejercicio 6.2.13.- Demostrar que si 0 < r < s ≤ ∞, entonces l r ⊂ l s.<br />
Solución.- Si f = {x n} ∈ l r, entonces ∑ |x n| r < ∞, en particu<strong>la</strong>r tendremos<br />
que |x n| r → 0 y por tanto |x n| ≤ M está acotada, por lo que f ∈ l ∞ y también se<br />
tiene que<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
∑ ∞<br />
|x n| s = |x n| r |x n| s−r ≤ M s−r |x n| r < ∞.<br />
n=1<br />
n=1<br />
Ejercicio 6.4.1.- Sea g ∈ L ∞, <strong>de</strong>mostrar que para 1 ≤ p < ∞, si f ∈ L p,<br />
gf ∈ L p, que <strong>la</strong> aplicación G: L p → L p, G(f) = gf, es lineal y continua y que<br />
‖G‖ = ‖g‖ ∞.<br />
Solución.- Si f ∈ L p y g ∈ L ∞, entonces |fg| ≤ |f|‖g‖ ∞ c.s., por tanto |fg| p ≤<br />
|f| p ‖g‖ p ∞ c.s. y ‖G(f)‖ p ≤ ‖g‖ ∞‖f‖ p, por tanto G es acotada y ‖G‖ ≤ ‖g‖ ∞, veamos<br />
n=1
400 Ejercicios resueltos<br />
<strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad, para ello sea ɛ > 0, entonces {|g| > ‖g‖ ∞ − ɛ} no es localmente<br />
nulo y tiene un subconjunto medible A, con 0 < µ(A) < ∞, por tanto f = I A ∈ L p,<br />
‖f‖ p = µ(A) 1/p y<br />
∫<br />
(‖g‖ ∞ − ɛ)µ(A) 1/p ≤ ( |fg| p ) 1/p = ‖G(f)‖ p ≤ ‖G‖‖f‖ p.
Otros Ejercicios<br />
Ejercicio 10.11.1 Demostrar que si M ⊂ P(Ω) es una c<strong>la</strong>se monótona, también<br />
lo son<br />
{A ∈ M : A c ∈ M}, {A ∈ M : ∀B ∈ C, A ∩ B ∈ M},<br />
para cualquier C ⊂ P(Ω).<br />
Ejercicio 10.11.2 Sea C ⊂ P(Ω), <strong>de</strong>mostrar que son equivalentes 9 <strong>la</strong>s siguientes<br />
propieda<strong>de</strong>s:<br />
1) Si A, B ∈ C, entonces A ∪ B, A\B ∈ C<br />
2) Si A, B ∈ C, entonces A ∩ B, A∆B ∈ C.<br />
3) Si A, B ∈ C, entonces A ∪ B, A∆B ∈ C.<br />
Ind. Recor<strong>de</strong>mos que A∆B = (A c ∩ B) ∪ (A ∩ B c ).<br />
(1)⇒ (2), pues A∆B = (B\A) ∪ (A\B) ∈ C y A ∩ B = (A ∪ B)\(A∆B) ∈ C.<br />
(2)⇒ (3), pues si E ∩ F = ∅, E∆F = E ∪ F y A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A∆B) =<br />
(A ∩ B)∆(A∆B), pues <strong>la</strong> segunda unión es disjunta.<br />
(3)⇒ (1), pues A\B = (A ∪ B)∆B y si A ⊂ B entonces A∆B = B\A.<br />
Ejercicio 10.11.3 Demostrar que para cada A ⊂ R,<br />
ínf{ ∑ (b n − a n) : A ⊂ ∪(a n, b n]} = ínf{ ∑ (b n − a n) : A ⊂ ∪[a n, b n)}.<br />
Ejercicio 10.11.4 ¿Es <strong>la</strong> unión <strong>de</strong> σ–álgebras σ–álgebra?. ¿Y <strong>la</strong> intersección?<br />
Ejercicio 10.11.5 ¿Cuales son los más pequeños intervalos (a, b] cuyas uniones<br />
finitas o numerables forman σ(C), para <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se C = {(0, 1/n] : n ∈ N} en<br />
(0, 1]?.<br />
Solución. (1/(n + 1), 1/n].<br />
9 A tal colección se <strong>la</strong> l<strong>la</strong>ma anillo.<br />
401
402 Otros Ejercicios<br />
Ejercicio 10.11.6 Describir σ(C), para <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se<br />
C = {A ⊂ N : 2n ∈ A, ∀n ∈ N}.<br />
Ejercicio 10.11.7 Dar todas <strong>la</strong>s medidas exteriores en el conjunto Ω = {0, 1}.<br />
I<strong>de</strong>m en Ω = {0, 1, 2}.<br />
Ejercicio 10.11.8 Sea Ω un conjunto infinito y<br />
C = {∅, Ω, {x}(∀x ∈ Ω)}, ρ: C → [0, ∞], ρ(∅) = 0, ρ(Ω) = ∞, ρ({x}) = 1.<br />
Dar <strong>la</strong> medida exterior generada por ρ y <strong>la</strong> σ–álgebra A ∗.<br />
Ejercicio 10.11.9 Demostrar que para cada E ⊂ N, µ ∗ (E) = n/(n + 1) si<br />
E tiene n elementos y µ ∗ (E) = ∞ si E es infinito, es una medida exterior.<br />
Encontrar A ∗.<br />
Ejercicio 10.11.10 Sea µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar en (R, P(R)) y sea µ A(B) =<br />
µ(A ∩ B): ¿Es µ A <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes, para A = N?. Si lo es, ¿cual es su<br />
función <strong>de</strong> distribución?. I<strong>de</strong>m para A = {1/n : n ∈ N}.<br />
Ejercicio 10.11.11 Dado un conjunto finito Ω dar el mínimo y máximo <strong>de</strong><br />
{card A : A σ–álgebra <strong>de</strong> Ω}.<br />
Ejercicio 10.11.12 Sean A n conjuntos medibles tales que µ(A n) ≤ 2 −n . Demostrar<br />
que casi seguro todo punto está a lo sumo en un número finito <strong>de</strong><br />
conjuntos A n.<br />
Ejercicio 10.11.13 Sea (Ω 1, A 1, µ 1) un espacio <strong>de</strong> medida y F : Ω 1 → Ω 2 una<br />
aplicación, <strong>de</strong>mostrar que A 2 = {B : F −1 (B) ∈ A 1} es una σ–álgebra y<br />
µ 2 = F ∗µ 1, es <strong>de</strong>cir µ 2(B) = µ 1(F −1 (B)) una medida y que si el primer<br />
espacio es completo, también lo es el segundo.<br />
Ejercicio 10.11.14 Sea C = {[a, b) : a < b ∈ R} y F = {(a, b] : a < b ∈ R}.<br />
Demostrar que σ(C) = σ(F). ¿Qué σ–álgebra es?.<br />
Ejercicio 10.11.15 Demostrar que B(R n ) = σ(C), para<br />
C = {{x i ≤ b} : i ∈ {1, . . . , n}, b ∈ R}.<br />
Ejercicio 10.11.16 Sea F una función <strong>de</strong> distribución en R. Demostrar que el<br />
conjunto <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> discontinuidad <strong>de</strong> F es numerable y el <strong>de</strong> continuidad<br />
es <strong>de</strong>nso.
403<br />
Solución. Si µ es su medida asociada, tenemos que F es continua en x sii µ{x} =<br />
0. Ahora dados a < b ∈ R y n ∈ N, el conjunto {x ∈ (a, b] : µ{x} ≥ 1/n} es finito,<br />
pues µ(a, b] = F (b) − F (a) < ∞; por tanto su unión, {x ∈ (a, b] : µ{x} > 0} a lo<br />
sumo es numerable, como también el conjunto <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> discontinuidad <strong>de</strong> F ,<br />
{x ∈ R : µ{x} > 0} y su complementario (los puntos <strong>de</strong> continuidad) es <strong>de</strong>nso, pues<br />
los entornos no son numerables.<br />
Ejercicio 10.11.17 Sea F una función <strong>de</strong> distribución continua en R y µ su<br />
medida <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes asociada. Demostrar que µ(A) = 0 para A numerable<br />
y que hay conjuntos medibles A que no contienen ningún abierto y<br />
satisfacen µ(A) > 0.<br />
Ejercicio 10.11.18 Sea F : R → R una función <strong>de</strong> distribución continua y µ <strong>la</strong><br />
medida <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes que <strong>de</strong>fine. ¿Es µ(a, b) > 0 para todo a < b ∈ R?;<br />
¿es µ{x} = 0 para todo x ∈ R?.<br />
Ejercicio 10.11.19 Sea µ una medida en los Borelianos <strong>de</strong> R, tal que µ(0, 1] =<br />
1, µ{0} < ∞ y µ(tA) = |t|µ(A), para cualesquiera t ∈ R y A boreliano.<br />
Demostrar que µ = m.<br />
Ind. µ{0} = 0 y µ es finita en los acotados pues µ[−1, 0) = µ((−1)(0, 1]) = 1 y<br />
µ[−1, 1] = µ[−1, 0) + µ{0} + µ(0, 1] = 2 + µ{0},<br />
µ[−n, n] = µ[−n, 0) + µ{0} + µ(0, n] = 2n + µ{0}<br />
µ[−n, n] = µ(n[−1, 1]) = 2n + nµ{0}],<br />
por tanto es <strong>de</strong> LS y µ{x} = 0 para todo x, pues en caso contrario µ{tx} = |t| n µ{x}<br />
y los intervalos tendrían medida infinita. Por último tiene función <strong>de</strong> distribución<br />
F (x) = µ(0, x] = x, para x ≥ 0 y F (x) = −µ(x, 0] = −µ[x, 0) = x, para x < 0, por<br />
tanto es <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lebesgue.<br />
Ejercicio 10.11.20 Demostrar que F (x, y) = x, si x ≤ y y F (x, y) = y si y ≤ x<br />
es una función <strong>de</strong> distribución en R 2 ¿don<strong>de</strong> está concentrada toda <strong>la</strong> masa <strong>de</strong><br />
su medida <strong>de</strong> L–S asociada, y <strong>de</strong> qué forma?.<br />
Ejercicio 10.11.21 Demostrar que si a > 0 y F y G son funciones <strong>de</strong> distribución<br />
en R n , con medidas <strong>de</strong> L–S asociadas µ F y µ G, entonces aF y F + G<br />
también lo son y<br />
µ F +G = µ F + µ G, µ aF = aµ F .<br />
Ejercicio 10.11.22 Dar una función <strong>de</strong> distribución asociada a <strong>la</strong> medida en<br />
R 2 cuya masa está concentrada en <strong>la</strong> recta x + y = 0 uniformemente, es <strong>de</strong>cir<br />
que cada segmento <strong>de</strong> esa recta mi<strong>de</strong> su longitud.
404 Otros Ejercicios<br />
Solución. F (x, y) = (x + y) √ 2I {x+y≥0} .<br />
Ejercicio 10.11.23 Dar una función <strong>de</strong> distribución asociada a <strong>la</strong> medida en<br />
R 2 cuya masa está concentrada en <strong>la</strong> recta x = 0 uniformemente, es <strong>de</strong>cir que<br />
cada segmento <strong>de</strong> esa recta mi<strong>de</strong> su longitud.<br />
Solución. F (x, y) = yI [0,∞) (x).<br />
Ejercicio 10.11.24 Sea V ⊂ R abierto no vacío, K compacto y m <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> Lebesgue. ¿Es cierto que m(V ) > 0?, ¿y que m(K) < ∞?, ¿y para una<br />
medida µ <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes?<br />
Ejercicio 10.11.25 Demostrar que en R n <strong>la</strong> dimensión vectorial y <strong>de</strong> Hausdorff,<br />
<strong>de</strong> sus subespacios, coinci<strong>de</strong>n y calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> dimensión <strong>de</strong> Hausdorff <strong>de</strong> H = {x :<br />
|h(x)| = 1}, para h: R n → R lineal.<br />
Ejercicio 10.11.26 Consi<strong>de</strong>remos en un espacio normado (E, ‖ ‖) <strong>la</strong> métrica<br />
inducida d(x, y) = ‖x−y‖. Demostrar que en cada p<strong>la</strong>no π todos los triángulos<br />
T , con una base fija y <strong>la</strong> misma altura (distancia <strong>de</strong>l tercer vértice a <strong>la</strong> recta<br />
base) tienen <strong>la</strong> misma medida <strong>de</strong> Hausdorff H 2(T ).<br />
Solución. La distancia es invariante por tras<strong>la</strong>ciones, por tanto también <strong>la</strong>s medidas<br />
<strong>de</strong> Hausdorff, por lo que H 2 es <strong>de</strong> Lebesgue y para <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue es<br />
conocido.<br />
Ejercicio 10.11.27 Sea E ∈ L(R), tal que 0 < m(E) < ∞. Demostrar que<br />
para cada 0 < r < 1, existe un intervalo abierto (a, b), tal que<br />
r · m(a, b) < m[(a, b) ∩ E].<br />
Solución. m es regu<strong>la</strong>r exterior por tanto existe un abierto V tal que E ⊂ V<br />
y m(V ) < m(E)/r. Ahora todo abierto <strong>de</strong> R es unión numerable y disjunta <strong>de</strong><br />
intervalos abiertos V = ∪I n, m(V ) = ∑ m(I n) < ∑ m(E ∩ I n)/r y algún intervalo<br />
<strong>de</strong>be satisfacer <strong>la</strong> propiedad.<br />
Ejercicio 10.11.28 Sea E ∈ L(R), tal que 0 < m(E) < ∞. Demostrar que<br />
E − E = {x − y : x, y ∈ E} es un entorno <strong>de</strong>l origen.<br />
Solución. Por el ejercicio anterior existe un intervalo abierto I = (α, β) = (a −<br />
2ɛ, a + 2ɛ), tal que (3/4)m(I) < m(I ∩ E), veamos que (−ɛ, ɛ) ⊂ E − E. Para ello<br />
sea |x| < ɛ, hay que ver que x + E corta a E, para lo cual basta ver que x + (E ∩ I)<br />
corta a E ∩ I. En caso contrario su unión es disjunta y mi<strong>de</strong> 2m(E ∩ I) y está en<br />
(x+I)∪I = (α+x, β+x)∪(α, β) = (α, β+x) (si x ≥ 0), que mi<strong>de</strong> |x|+m(I) = |x|+4ɛ,<br />
y en <strong>de</strong>finitiva llegamos a una contradicción, pues<br />
6ɛ = (3/2)m(I) < 2m(I ∩ E) ≤ x + m(I) ≤ 5ɛ.
405<br />
Ejercicio 10.11.29 ¿Es todo conexo <strong>de</strong> R Boreliano. Es todo convexo <strong>de</strong> R n<br />
Boreliano?<br />
Ind. En R si porque todo conexo y todo convexo es un intervalo. Para n > 1<br />
no, por ejemplo en el p<strong>la</strong>no si consi<strong>de</strong>ramos el círculo abierto unidad B y por <strong>la</strong><br />
proyección estereográfica <strong>la</strong> antiimagen E <strong>de</strong> un no–boreliano <strong>de</strong> R, tendremos que<br />
B ∪ E no es boreliano y es convexo.<br />
Ejercicio 10.11.30 ¿Es todo convexo <strong>de</strong> R n Lebesgue medible?.<br />
Ind. Si es <strong>de</strong> interior vacío está en un hiperp<strong>la</strong>no, que tiene medida nu<strong>la</strong>, por<br />
tanto es Lebesgue medible. En general como <strong>la</strong> intersección <strong>de</strong> convexos es convexo,<br />
<strong>la</strong>s bo<strong>la</strong>s son convexas y todo convexo se pone como unión expansiva <strong>de</strong> convexos<br />
acotados, basta <strong>de</strong>mostrar que <strong>la</strong> frontera <strong>de</strong> un convexo acotado es <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong>,<br />
lo cual se sigue <strong>de</strong> que <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> una función f : A ⊂ R n−1 → R es <strong>de</strong> medida<br />
nu<strong>la</strong>, para A <strong>la</strong> proyección en {x n = 0} <strong>de</strong>l convexo y f una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dos funciones cuya<br />
gráfica esté en <strong>la</strong> frontera.<br />
Ejercicio 10.11.31 En el espacio (N, P(N)) consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> probabilidad P (n) =<br />
1/2 n (n = 1, 2, . . .) y <strong>de</strong>finimos <strong>la</strong> función f : N → K = {0, 1, 2, . . . , k − 1},<br />
f(n) = n mód (k) y <strong>la</strong> probabilidad inducida en K, µ(B) = P (f −1 (B)). Calcu<strong>la</strong>r<br />
µ(m), para cada m ∈ K.<br />
Ejercicio 10.11.32 Sea f medible e integrable en ((0, 1), B(0, 1), m). Demostrar<br />
que para todo polinomio p, pf también es integrable y calcu<strong>la</strong>r el lím ∫ x n f dm.<br />
Demostración. Si p = a 0 + a 1 x + · · · + a nx n , |pf| ≤ ( ∑ |a i |)|f|, que es integrable.<br />
Por otra parte como f es finita c.s., y 0 < x < 1, |x n f| ≤ |f| y x n f ↓ 0 c.s., y el<br />
límite pedido es 0 por el TCD.<br />
Ejercicio 10.11.33 Demostrar que el volumen <strong>de</strong>l cono generado por un boreliano<br />
p<strong>la</strong>no y un punto exterior al p<strong>la</strong>no es 1/3 <strong>de</strong>l area <strong>de</strong>l Boreliano por <strong>la</strong><br />
altura <strong>de</strong>l punto respecto <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no.<br />
Demostración. Por una tras<strong>la</strong>ción y un giro po<strong>de</strong>mos suponer que el p<strong>la</strong>no es<br />
perpendicu<strong>la</strong>r al eje z y que el punto es el origen. Si <strong>la</strong> altura es h y el Boreliano<br />
p<strong>la</strong>no es A, entonces el cono es<br />
C = {(tx, ty, th) : (x, y) ∈ A, t ∈ [0, 1]},<br />
por tanto C z = ∅, si z /∈ [0, h] y si z ∈ [0, h],<br />
C z = {(tx, ty) : (x, y) ∈ A, th = z} = z h A,<br />
y por el Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto y el ejercicio (2.4.3)<br />
∫<br />
m[C] = m 2 [ z A<br />
[0,h] h ] dm = m 2(A)<br />
h<br />
∫[0,h]<br />
2 z 2 dm = m 2(A)<br />
h.<br />
3
406 Otros Ejercicios<br />
Ejercicio 10.11.34 Sea f : [0, 1] → R + , tal que f = 0 en Q y f(x) = n si en<br />
<strong>la</strong> representación <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> x hay n ceros exactamente tras <strong>la</strong> coma <strong>de</strong>cimal.<br />
Demostrar que f es medible y calcu<strong>la</strong>r ∫ fdm.<br />
Ind. f = ∑ nI [10 −n−1 ,10 −n )∩I , ∫ f = (9/100) ∑ n(1/10) n−1 = 1/9.<br />
Ejercicio 10.11.35 Sea f : [0, 1] → R + , tal que f = 0 en el conjunto ternario<br />
<strong>de</strong> Cantor K y f = n en cada intervalo <strong>de</strong> K c <strong>de</strong> longitud 3 −n . Demostrar que<br />
f es medible y calcu<strong>la</strong>r ∫ fdm.<br />
Ind. f = ∑ nI En1 ∪E n,2 n−1 , ∫ f = ∑ n2 n−1 3 −n = (1/3) ∑ n(2/3) n−1 = 3.<br />
Ejercicio 10.11.36 Sea f : (0, 1) → R + , tal que f = 0 en Q y en los irracionales<br />
f(x) = [1/x], para [y] <strong>la</strong> parte entera <strong>de</strong> y. Demostrar que f es medible y<br />
calcu<strong>la</strong>r ∫ fdm.<br />
Ind. f = ∑ mI (1/m+1,1/m]∩I , ∫ f = ∑ 1/(m + 1) = ∞.<br />
Ejercicio 10.11.37 Sea f 2n−1 = I [0,1] , f 2n = I [1,2] , en (R, B(R), m). ¿Se pue<strong>de</strong><br />
aplicar el Lema <strong>de</strong> Fatou ?, ¿Se da <strong>la</strong> igualdad al aplicar el Lema <strong>de</strong> Fatou?<br />
Ejercicio 10.11.38 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida, A n ∈ A y f(x) =<br />
∑<br />
n∈N x<br />
a n, con a n ≥ 0 y N x = {n ∈ N : x ∈ A n}. Demostrar que f es medible<br />
y calcu<strong>la</strong>r su integral en general y en particu<strong>la</strong>r para a n = 2 n y µ(A n) = 1/n!.<br />
Solución. f = ∑ a nI An , ∫ f = ∑ ∞<br />
n=1 2n /n! = e 2 − 1.<br />
Ejercicio 10.11.39 Sean 0 ≤ f n ≤ f medibles y f n → f. Demostrar que<br />
∫<br />
fn → ∫ f.<br />
Solución. Por Fatou ∫ f = ∫ lím inf f n ≤ lím inf ∫ f n y si ∫ f = ∞ es obvio en<br />
caso contrario por TCD.<br />
Ejercicio 10.11.40 Sea 0 ≤ f medible y f n = mín{f, n}, <strong>de</strong>mostrar que ∫ f n ↑<br />
∫<br />
f.<br />
Ind. Por TCM pues f n ↑ f.<br />
Ejercicio 10.11.41 Sean 0 ≤ g ≤ f medibles y ∫ g < ∞, <strong>de</strong>mostrar que<br />
∫ ∫ ∫<br />
f − g = (f − g).
407<br />
Ejercicio 10.11.42 Sea a n ↓ 0 y f n(x) = a n/x, para x ≥ 1. Demostrar que<br />
existe el lím f n = f, ¿es ∫ f ndm → ∫ fdm?<br />
Ejercicio 10.11.43 Para cada B ∈ B(R) <strong>de</strong>finimos<br />
∫<br />
1<br />
µ(B) =<br />
1 + x dm,<br />
B∩(0,∞)<br />
<strong>de</strong>mostrar que µ es una medida <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes, hal<strong>la</strong>r una función <strong>de</strong><br />
distribución suya y encontrar una función medible f no nu<strong>la</strong> en (0, ∞) y tal<br />
que ∫ f dµ < ∞ y ∫ f dm = ∞.<br />
Ind. F (x) = ∫ x<br />
0<br />
1<br />
1+x dm = ∫ x+1<br />
1<br />
1<br />
dt = log(x + 1); f(x) = 1/(x + 1).<br />
t<br />
∫<br />
Ejercicio 10.11.44 Sean f, f n : R → [0, ∞) medibles, tales que f n<br />
fn dm = ∫ f dm < ∞, <strong>de</strong>mostrar que<br />
→ f y<br />
∫ x<br />
−∞<br />
f n dm →<br />
∫ x<br />
−∞<br />
f dm,<br />
Solución. Para a = ∫ x<br />
−∞ f, b = ∫ ∞<br />
x f, an = ∫ x<br />
−∞ fn y bn = ∫ ∞<br />
x fn, a + b =<br />
a n + b n y por Fatou a + b ≤ lím inf a n + lím inf b n ≤ lím sup a n + lím inf b n ≤<br />
lím sup(a n + b n) = a + b.<br />
Ejercicio 10.11.45 Sea f ∈ L 1(R), tal que para n, m ∈ N,<br />
∫ ∫<br />
f n dm = f m dm,<br />
probar que existe un boreliano B, tal que f = I B c.s.<br />
Solución. Sea A = {|f| < 1}, B = {f = 1}, C = {f = −1} y D = {|f| > 1}.<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
f 2n + f 2n + f 2n + f 2n = f + f + f + f.<br />
A<br />
B<br />
C<br />
D<br />
A B C D<br />
Como 0 ≤ I D f 2n ↑ ∞, por TCM y ser f integrable m(D) = 0, por tanto ∫ A f 2n +<br />
m(B) + m(C) = ∫ A f + m(B) − m(C) y como |I Af 2n | ≤ |f|, por TCD ∫ A f 2n → 0<br />
y como es constante pues m(B) y m(C) son finitos por ser f integrable, ∫ A f 2n = 0,<br />
por tanto f 2n = 0 c.s. en A, es <strong>de</strong>cir f = 0 c.s. en A, por último m(B) + m(C) =<br />
m(B) − m(C), por tanto m(C) = 0 y f = I B c.s.<br />
Ejercicio 10.11.46 Para funciones <strong>de</strong> Ω → R, ¿qué afirmaciones son verdad?<br />
(justifica <strong>la</strong>s respuestas):<br />
(a) Si f es medible entonces f + y f − son medibles.<br />
(b) Si f + g es medible entonces f ó g es medible.<br />
(c) Si g es medible y 0 ≤ f ≤ g entonces f es medible.<br />
(d) Si f + g y f − g son medibles entonces f y g son medibles.
408 Otros Ejercicios<br />
Ind. (d) es verdad, sin embargo observemos que si f, g : Ω → [−∞, ∞] no lo es<br />
necesariamente, ni siquiera si f es medible tiene por qué serlo g, por ejemplo: f = ∞,<br />
g no medible finita.<br />
Ejercicio 10.11.47 Para funciones <strong>de</strong> Ω → R, ¿qué afirmaciones son verdad?<br />
(justifica <strong>la</strong>s respuestas):<br />
(a) |f| es medible ⇒ f + y f − son medibles.<br />
(b) f + y f − son medibles ⇒ f medible.<br />
(c) f es medible ⇒ |f| es medible.<br />
(d) |f| es medible ⇒ f es medible.<br />
Ejercicio 10.11.48 Sean f, g integrables, ¿es máx(f, g) integrable?, ¿es mín(f, g)<br />
integrable?<br />
Ind. Sea A = {f < g} y B = A c , entonces máx(f, g) = fI B + gI A .<br />
Ejercicio 10.11.49 Dada una función medible f en un espacio <strong>de</strong> medida σ–<br />
finita (Ω, A, µ), <strong>de</strong>mostrar que existe una sucesión <strong>de</strong> funciones simples s n → f,<br />
tales que |s n| ≤ |f| y µ{s n ≠ 0} < ∞.<br />
Ejercicio 10.11.50 ¿Es cierto que si {f ≤ r} es medible para todo r irracional<br />
entonces f es medible?. ¿Y para todo r racional?<br />
Ejercicio 10.11.51 Demostrar que toda función continua es Borel medible y<br />
que si V ⊂ R n es abierto y f ∈ C ∞ (V ), f y todas sus <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong><br />
todos los or<strong>de</strong>nes son Borel medibles en V .<br />
Ejercicio 10.11.52 Sea (Ω 1, A 1, µ 1) un espacio <strong>de</strong> medida y F : Ω 1 → Ω 2 una<br />
aplicación, <strong>de</strong>mostrar que A 2 = {B : F −1 (B) ∈ A 1} es una σ–álgebra y<br />
µ 2 = F ∗µ 1, es <strong>de</strong>cir µ 2(B) = µ 1(F −1 (B)) una medida y que g : Ω 2 → R tiene<br />
integral si y sólo si <strong>la</strong> tiene g ◦ F y ∫ g ◦ F dµ 1 = ∫ g dµ 2.<br />
Ejercicio 10.11.53 Sea f : R → [0, ∞) Riemann integrable, con ∫ ∞<br />
f(t)dt =<br />
−∞<br />
1. Demostrar que F (x) = ∫ x<br />
f(t)dt es una función <strong>de</strong> distribución uniformemente<br />
−∞<br />
continua.<br />
Ejercicio 10.11.54 Sea A = [0, 1] ∩ Q = {a 1, a 2, . . .} y para cada n ≥ 1 sea<br />
A n = {a 1, . . . , a n}. Demostrar que <strong>la</strong>s funciones en [0, 1], f n = I An , son Riemann<br />
integrables, que existe f = lím f n y justificar si es o no Riemann integrable<br />
f y si son Lebesgue integrables <strong>la</strong>s f n y <strong>la</strong> f.<br />
Ejercicio 10.11.55 Sea (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida y f = ∑ ∞<br />
n=1 anIAn ,<br />
con a n ∈ (0, ∞) y A n ∈ A disjuntos, calcu<strong>la</strong>r ∫ f −1 dµ.
409<br />
Ejercicio 10.11.56 Para <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue en R y f integrable ¿es cierto<br />
que<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
f dm + f dm = f dm?<br />
[a,b]<br />
[b,c]<br />
[a,c]<br />
¿es cierto para cualquier medida?, ¿para cuales?.<br />
Ejercicio 10.11.57 (a) Sean f, g medibles, <strong>de</strong>mostrar que {f = g} es medible.<br />
(b) Sea f medible y f = g c.s. ¿es necesariamente g medible?, ¿y si el espacio<br />
es completo?.<br />
(c) Sean f ≤ g ≤ h, con f y h medibles tales que f = h c.s. ¿es necesariamente<br />
g medible?, ¿y si el espacio es completo?.<br />
Ejercicio 10.11.58 Sean f, g : R → R monótonas crecientes, ¿es f − g Borel<br />
medible?<br />
Ejercicio 10.11.59 Sea µ una probabilidad en los borelianos <strong>de</strong> [0, ∞), tal que<br />
µ{(0, ∞)} ̸= 0, sea F (x) = µ[0, x] su función <strong>de</strong> distribución y sea para f(x) =<br />
x y x ≥ 0<br />
∫<br />
[0,x]<br />
G(x) =<br />
f dµ<br />
∫[0,∞) f dµ .<br />
Demostrar que para todo x ≥ 0, G(x) ≤ F (x).<br />
Solución. Multiplicando respectivamente por a = µ[0, x] y por b = µ(x, ∞), <strong>la</strong>s<br />
<strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s x µ(x, ∞) ≤ ∫ (x,∞) f dµ e ∫ [0,x] f dµ ≤ x µ[0, x], tendremos<br />
∫<br />
∫<br />
b f dµ ≤ x a b ≤ a f dµ<br />
[0,x]<br />
(x,∞)<br />
y como a + b = 1, sumando a ∫ [0,x] f dµ, se tiene que<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
f dµ ≤ a f dµ = µ([0, x]) f dµ.<br />
[0,x]<br />
(0,∞)<br />
[0,∞)<br />
Ahora por una parte ∫ [0,∞) f dµ > 0, pues en caso contrario f = 0 c.s. es <strong>de</strong>cir<br />
0 = µ{f ≠ 0} = µ(0, ∞) y µ{0} = 1. Por último si ∫ [0,∞) f dµ = ∞, G(x) = 0, pues<br />
∫<br />
[0,x] f dµ ≤ xµ([0, x]) ≤ x < ∞.<br />
Ejercicio 10.11.60 Sea λ una carga en un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), tal que<br />
si µ(A) < ∞ entonces |λ(A)| < ∞. Demostrar que λ ≪ µ sii para cada ɛ > 0,<br />
existe un δ > 0 tal que si µ(E) < δ entonces |λ(E)| < ɛ.<br />
Ind. Primero λ ≪ µ sii |λ| ≪ µ y si existe un ɛ > 0 tal que para todo n<br />
existe un E n con µ(E n) < 1/2 n y |λ|(E n) ≥ |λ(E n)| ≥ ɛ entonces A n ↓ A para<br />
A n = ∪ ∞ i=n En y A = lím sup En y |λ|(A 1) = |λ(A 1 ∩ P )| + |λ(A 1 ∩ N)| < ∞ pues<br />
µ(A 1 ∩ P ), µ(A 1 ∩ N) ≤ µ(A 1 ) < ∞, y µ(A) = lím µ(A n) = 0 por tanto |λ|(A) = 0 y<br />
0 < ɛ ≤ |λ|(E n) ≤ |λ|(A n) → 0.
410 Otros Ejercicios<br />
Ejercicio 10.11.61 Sea λ una medida finita en un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ)<br />
y<br />
f : [0, ∞] → [0, ∞], f(x) = sup{λ(E) : µ(E) ≤ x},<br />
<strong>de</strong>mostrar que f es monótona creciente y que si f(0) = 0 entonces f es continua<br />
en 0.<br />
Ejercicio 10.11.62 Sean f n µ–integrables y f medible tal que lím ∫ |f n−f| = 0.<br />
Demostrar que f es integrable y que si<br />
∫<br />
∫<br />
µ(A n∆A) → 0 ⇒ f n dµ → f dµ.<br />
A n A<br />
Ind. f = (f − f n) + f n. Sea g n = I An f n, g = I A f y consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> medida<br />
finita λ(E) = ∫ E |f|dµ, entonces<br />
∫<br />
∫<br />
∣ f n dµ − f dµ<br />
∣ ≤ ‖gn − g‖ 1 ≤ ‖g n − I An f‖ 1 + ‖I An f − I A f‖ 1<br />
A n A<br />
≤ ‖f n − f‖ 1 + λ(A n∆A) → 0,<br />
pues λ((A n∆A) → 0 ya que para B m = {|f| > m}, B m ↓ B = {|f| = ∞} y µ(B) = 0,<br />
por tanto λ(B) = 0 <strong>de</strong> don<strong>de</strong> λ(B m) → 0 y<br />
λ(A n∆A) = λ((A n∆A) ∩ B m) + λ((A n∆A) ∩ B c m) ≤ λ(B m) + mµ(A n∆A).<br />
Ejercicio 10.11.63 Sean (Ω 1, A 1, µ 1) y (Ω 2, A 2, µ 2) espacios <strong>de</strong> medida σ–<br />
finita tales que el espacio <strong>de</strong> medida producto es completo. Demostrar que<br />
si existe B ∈ A 2 no vacío con µ 2(B) = 0, entonces A 1 = P(Ω 1).<br />
Solución. Sea A ⊂ Ω 1 , entonces A × B está en el medible Ω 1 × B con medida<br />
µ 1 (Ω 1 )µ 2 (B) = 0, por tanto A × B es medible en el producto y su sección por un<br />
y ∈ B (que es medible) es A.<br />
Ejercicio 10.11.64 Demostrar que si dos medidas complejas µ, λ coinci<strong>de</strong>n en<br />
un álgebra A 0, entonces coinci<strong>de</strong>n en σ(A 0).<br />
Solución. Supongamos primero que son medidas reales, entonces µ = µ + − µ − y<br />
λ = λ + − λ − con <strong>la</strong> cuatro medidas finitas y tales que <strong>la</strong>s medidas finitas (positivas)<br />
µ + +λ − y λ + +µ − coinci<strong>de</strong>n en A 0 , por tanto en σ(A 0 ) por el Teorema <strong>de</strong> extensión<br />
<strong>de</strong> Hahn. Se sigue que también µ y λ. El caso complejo se sigue <strong>de</strong>l real.<br />
Ejercicio 10.11.65 Demostrar que dadas dos medidas complejas µ 1 en (Ω 1, A 1)<br />
y µ 2 en (Ω 2, A 2), existe una única medida compleja en el espacio producto<br />
(Ω 1 × Ω 2, A 1 ⊗ A 2), tal que para cada producto <strong>de</strong> medibles A × B<br />
µ 1 × µ 2(A × B) = µ 1(A)µ 2(B),
411<br />
y que para cada medible E <strong>de</strong>l producto satisface<br />
∫<br />
∫<br />
µ 1 × µ 2(E) = µ 1(E y ) dµ 2 = µ 2(E x)dµ 1.<br />
Solución. La unicidad es obvia por el ejercicio anterior pues dos medidas complejas<br />
que coinci<strong>de</strong>n en un álgebra coinci<strong>de</strong>n en <strong>la</strong> σ–álgebra que genera. Ahora para<br />
<strong>la</strong> existencia basta observar en el caso real que <strong>la</strong> medida real<br />
satisface <strong>la</strong> propiedad, pues<br />
µ = µ + 1 × µ+ 2 + µ− 1 × µ− 2 − µ− 1 × µ+ 2 − µ+ 1 × µ− 2 ,<br />
µ(A × B) = (µ + 1 (A) − µ− 1 (A))(µ+ 2 (B) − µ− 2 (B)) = µ 1(A)µ 2 (B).<br />
Para el caso complejo (consi<strong>de</strong>rando que <strong>la</strong>s medidas son µ = µ 1 +iµ 2 y λ = λ 1 +iλ 2 )<br />
se consi<strong>de</strong>ra <strong>la</strong> medida compleja<br />
µ 1 × λ 1 − µ 2 × λ 2 + i(µ 1 × λ 2 + µ 2 × λ 1 ).<br />
Ejercicio 10.11.66 Considérese el toro T <strong>de</strong> revolución obtenido al hacer girar<br />
una circunferencia <strong>de</strong> radio r alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> una recta <strong>de</strong> su p<strong>la</strong>no, <strong>de</strong> <strong>la</strong> que su<br />
centro dista R. Calcu<strong>la</strong>r su volumen y su área.<br />
Solución. Veamos el volumen: Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> circunferencia en el p<strong>la</strong>no yz con<br />
centro en el eje y y eje <strong>de</strong> giro el eje z y hagamos <strong>la</strong> sección por cada z entre −r y r<br />
obteniendo una corona <strong>de</strong> área<br />
π([R + √ r 2 − z 2 ] 2 − [R − √ r 2 − z 2 ] 2 ) = 4πR √ r 2 − z 2 ,<br />
por tanto por el teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto<br />
∫ r<br />
∫ r √<br />
m 3 [T ] = m 2 [T z] dz = 4πR r 2 − z 2 dz<br />
−r<br />
−r<br />
∫ 1 √<br />
= 4πRr 2 1 − x 2 dx = (2πr)(πR 2 ),<br />
−1<br />
pues<br />
∫ π/2<br />
∫ π/2<br />
∫ 1 √<br />
π = cos 2 t dt + sen 2 t dt = 2 1 − x 2 dx.<br />
−π/2<br />
−π/2<br />
−1<br />
Veamos el área: El casquete superior <strong>de</strong>l toro se obtiene como gráfica <strong>de</strong> <strong>la</strong> función<br />
<strong>de</strong>finida en <strong>la</strong> corona B = {(x, y) : R − r ≤ ρ ≤ R + r}, para ρ = √ x 2 + y 2<br />
f(x, y) = h(ρ) =<br />
√<br />
r 2 − (R − ρ) 2 ,<br />
para <strong>la</strong> que<br />
1 + f 2 x + f 2 y = r 2<br />
r 2 − (R − ρ) 2 ,
412 Otros Ejercicios<br />
por tanto el área <strong>de</strong>l toro es para F (x, y) = (x, y, f(x, y)) y para el cambio <strong>de</strong> variable<br />
R + tr = ρ<br />
∫ √<br />
2γ 2 H 2 [F (B)] = 2 1 + fx 2 + fy 2 dm 2<br />
B<br />
∫ 2π ∫<br />
√ R+r r<br />
= 2<br />
2<br />
0 R−r r 2 − (R − ρ) 2 ρdρdθ<br />
∫<br />
√<br />
1 r<br />
= 4π<br />
2<br />
−1 r 2 − t 2 (R + tr)r dt<br />
r2 ∫ 1<br />
= 4πrR<br />
−1<br />
1<br />
√ dt = (2πr)(2πR).<br />
1 − t 2<br />
Ejercicio 10.11.67 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong>l trozo <strong>de</strong> una hélice que con pendiente<br />
1 está sobre el cilindro x 2 + y 2 = r 2 y cuya proyección da una vuelta.<br />
Ejercicio 10.11.68 Demostrar que <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada respecto <strong>de</strong>l radio, <strong>de</strong>l volumen<br />
n–dimensional <strong>de</strong> <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> <strong>de</strong> R n <strong>de</strong> radio r es el área n − 1–dimensional <strong>de</strong> su<br />
esfera.<br />
Ejercicio 10.11.69 Sea f > 0 integrable en Ω. Demostrar que ∫ f 1/n dµ →<br />
µ(Ω).<br />
Solución. Sea A = {f < 1}, entonces en A f 1/n ↑ 1 y en A c , f 1/n ↓ 1, entonces<br />
por el TCM ∫ A f 1/n → µ(A) y como en A c , f 1/n ≤ f, por el TCD ∫ A c f 1/n → µ(A c ).<br />
Ejercicio 10.11.70 Demostrar que si f, g > 0 son integrables en un espacio <strong>de</strong><br />
medida µ finita<br />
∫<br />
f 1/n dµ<br />
lím ∫<br />
g<br />
1/n<br />
dµ = 1.<br />
Ejercicio 10.11.71 Demostrar que <strong>la</strong>s medidas µ{n} = a n, λ{n} = b n <strong>de</strong>finidas<br />
en P(N), con a n, b n ∈ R y 0 = ínf a n < ínf b n, son σ–finitas, que µ ≪ λ y<br />
calcu<strong>la</strong>r dµ/dλ.<br />
Ind. µ(A) = ∫ A fdλ, en particu<strong>la</strong>r µ(n) = f(n)λ(n), y f(n) = an/bn.<br />
Ejercicio 10.11.72 (a) Demostrar que si f n → f en L p, entonces ‖f n‖ p →<br />
‖f‖ p.<br />
(b) Demostrar que si f n → f en L p y g n → g en L q, con p y q conjugados,<br />
entonces f ng n → fg en L 1.
413<br />
Ind. (a) −‖f n − f‖ p ≤ ‖f n‖ p − ‖f‖ p ≤ ‖f n − f‖ p. (b) ‖f ng n − fg‖ 1 = ‖f n(g n −<br />
g) + (f n − f)g‖ 1 y se concluye por Minkowski, Hol<strong>de</strong>r y (a).<br />
Ejercicio 10.11.73 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> proyección estereográfica <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia<br />
unidad <strong>de</strong>s<strong>de</strong> p, F : S 1\{p} ⊂ R 2 → R y H 1 <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Hausdorff<br />
en S 1. Demostrar que <strong>la</strong> medida imagen µ = F ∗H 1 es <strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes<br />
(µ(B) = H 1[F −1 (B)]). Dar una función <strong>de</strong> distribución.<br />
Solución. H 1 es <strong>la</strong> medida uniforme en <strong>la</strong> circunferencia, es <strong>de</strong>cir <strong>la</strong> <strong>de</strong> los ángulos<br />
y como <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> un arco que visto <strong>de</strong>s<strong>de</strong> p tiene ángulo α, es 2α, tendremos que<br />
F (x) = 2 arctan(x/2) es <strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución que verifica F (0) = 0. Como µ es<br />
finita, <strong>la</strong> que se anu<strong>la</strong> en −∞ es µ(−∞, x] = π + F (x).<br />
Ejercicio 10.11.74 Sea X HLC (Hausdorff localmente compacto) y µ una medida<br />
en B(X ), regu<strong>la</strong>r interior en los abiertos. Demostrar que <strong>la</strong> unión A <strong>de</strong><br />
todos los abiertos <strong>de</strong> medida cero por µ, es un abierto con µ(A) = 0. Su<br />
complementario se l<strong>la</strong>ma soporte <strong>de</strong> µ, A c = sop(µ).<br />
Solución. Por ser µ regu<strong>la</strong>r interior en el abierto A = ∪A i<br />
µ(A) = sup{µ(K) : K compacto, K ⊂ A} = 0,<br />
pues existen i 1 , . . . , i n, K ⊂ ∪A ij y µ(K) ≤ ∑ µ(A ij ) = 0.<br />
Ejercicio 10.11.75 Sea X HLC y µ una medida cuasi–regu<strong>la</strong>r en B(X ). Demostrar:<br />
(a) Si f : X → [0, ∞) es continua entonces ∫ f dµ = 0 sii f = 0 en el sop(µ).<br />
(b) x ∈ sop(µ) sii para toda f ∈ C c(X ) no negativa, tal que f(x) > 0, se<br />
tiene ∫ f dµ > 0.<br />
Solución. (a) “⇒”: Si ∫ f dµ = 0, por Tchebycheff {f > 0} es <strong>de</strong> medida nu<strong>la</strong> y<br />
como es abierto {f > 0} ⊂ A.<br />
“⇐”: ∫ f dµ = ∫ sop(µ) f dµ = 0<br />
(b) “⇒”: Si x ∈ sop(µ) y f ∈ C c(X ) es no negativa y tal que f(x) > 0, existe un<br />
ɛ > 0, tal que x ∈ U = {f > ɛ} y como U es abierto µ(U) > 0, pues en caso contrario<br />
U ⊂ A y x /∈ A. Por tanto ∫ f dµ ≥ ∫ U f dµ ≥ ɛµ(U) > 0.<br />
“⇐”: Si x ∈ A por Urysohn existe f ∈ C c(X ) con I {x} ≤ f ≤ I A y sop(f) ⊂ A,<br />
por tanto f(x) = 1, pero f = 0 en sop(µ), por tanto ∫ f dµ = 0.<br />
Ejercicio 10.11.76 Sea F : U ⊂ R 2 → R 3 , dada por<br />
F (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
414 Otros Ejercicios<br />
Demostrar que el área <strong>de</strong> F (U) es 10<br />
∫<br />
√<br />
(xuy v − x vy u) 2 + (x uz v − x vz u) 2 + (y uz v − y vz u) 2 dudv.<br />
U<br />
Solución. Para<br />
se tiene que<br />
( )<br />
A t xu y<br />
=<br />
u z u<br />
,<br />
x v y v z v<br />
<strong>de</strong>t(A t A) = (x 2 u + y 2 u + z 2 u)(x 2 v + y 2 v + z 2 v) − (x ux v + y uy v + z uz v) 2<br />
= (x uy v − x vy u) 2 + (x uz v − x vz u) 2 + (y uz v − y vz u) 2 .<br />
Ejercicio 10.11.77 Calcu<strong>la</strong>r<br />
∫ ( √<br />
4<br />
√<br />
1<br />
2 − x + x + √ 2<br />
x + · · ·)<br />
dm.<br />
0<br />
√<br />
Solución. Para x > 0 x + √ x + √ x + · · · = (1 + √ 1 + 4x)/2, pues es <strong>la</strong> raíz<br />
positiva <strong>de</strong>l polinomio t 2 = x + t. También se pue<strong>de</strong> resolver aplicando el TCM a<br />
f n(x) para f 1 (x) = √ x y f n+1 (x) = √ x + f n(x), pues es creciente y acotada por<br />
h(x) = (1 + √ 1 + 4x)/2, que satisface h(x) 2 = x + h(x) —se ve por inducción,<br />
f 1 (x) 2 = x < x + h(x) = h(x) 2 y f n+1 (x) 2 = x + f n(x) < x + h(x) = h(x) 2 —.<br />
( ) 1 2<br />
2 − fn(x) = 1 4 − fn(x) + x + f n−1(x),<br />
y <strong>la</strong> integral vale ∫ 4<br />
0 (1/4) + x = 1 + 8 = 9.<br />
Ejercicio 10.11.78 Dado un espacio medible (Ω, A) y dos medidas en él µ ≤ ν.<br />
Demostrar:<br />
a) Hay una medida λ tal que µ + λ = ν.<br />
b) Si µ es σ–finita, λ es única.<br />
c) Que en general λ no es única, pero siempre hay una mínima.<br />
Ind. (a) Definimos<br />
⎧<br />
⎪⎨ ν(A) − µ(A), si µ(A) < ∞,<br />
∑<br />
λ(A) = [ν(An) − µ(A n)], si A es µ–σ–finita,<br />
⎪⎩<br />
∞, si A no es µ–σ–finita.<br />
10 En términos vectoriales<br />
D 1 = F ∗∂ u = x u∂ x + y u∂ y + z u∂ z,<br />
D 2 = F ∗∂ v = x v∂ x + y v∂ y + z v∂ z,<br />
∫<br />
⇒ área[F (U)] = |D 1 × D 2 |.<br />
U
415<br />
don<strong>de</strong> en el segundo caso <strong>la</strong>s A n ∈ A son disjuntas, µ(A n) < ∞ y A = ∪A n, para lo<br />
cual hay que <strong>de</strong>mostrar que ∑ [ν(A n) − µ(A n)] no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los A i , sólo <strong>de</strong> A, es<br />
<strong>de</strong>cir si A = ∪B i es otra partición, entonces<br />
∑<br />
[ν(A i )−µ(A i )] = ∑ [ ∑ ν(A i ∩ B j ) − ∑ µ(A i ∩ B j )]<br />
i<br />
i j<br />
j<br />
= ∑ ∑<br />
[ν(A i ∩ B j ) − µ(A i ∩ B j )]<br />
i j<br />
= ∑ ∑<br />
[ν(A i ∩ B j ) − µ(A i ∩ B j )] = ∑ [ν(B j ) − µ(B j )].<br />
j i<br />
j<br />
ahora si los A i son disjuntos y µ(A i ) < ∞, entonces por <strong>de</strong>finición λ(∪A i ) = ∑ λ(A i )<br />
y si A = ∪A i es µ–σ–finita pero los A i no son finitos, entonces existen B n disjuntos<br />
medibles tales que µ(B n) < ∞ y A = ∪B n, entonces por lo anterior λ(A i ) =<br />
∑<br />
n λ(A i ∩ B n) y ∑ λ(A i ) = ∑ i,n λ(A i ∩ B n) = λ(A); y si ∪A i no es µ–σ–finita,<br />
entonces algún A i tampoco lo es y λ(∪A i ) = ∞ = ∑ λ(A i ).<br />
(b) Si hay dos, µ + λ = µ + λ ′ y si B n ∈ A es una partición µ–σ–finita <strong>de</strong> Ω,<br />
entonces para todo A ∈ A y A n = A ∩ B n,<br />
λ(A) = ∑ λ(A n) = ∑ λ ′ (A n) = λ ′ (A),<br />
pues µ(A n) + λ(A n) = µ(A n) + λ ′ (A n) y µ(A n) < ∞.<br />
(c) Veamos que otra posible medida (que es <strong>la</strong> mínima) es<br />
λ(E) = sup{ν(A) − µ(A) : A ⊂ E, µ(A) < ∞}.<br />
En primer lugar es aditiva, sean A, B disjuntos y sea D ⊂ A ∪ B, con µ(D) < ∞,<br />
entonces<br />
ν(D) − µ(D) = ν(D ∩ A) + ν(D ∩ B) − µ(D ∩ A) − µ(D ∩ B) ≤ λ(A) + λ(B),<br />
y tomando sup tenemos λ(A ∪ B) ≤ λ(A) + λ(B). Para <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad tomemos<br />
A ′ ⊂ A y B ′ ⊂ B, con µ(A ′ ), µ(B ′ ) < ∞, entonces A ′ y B ′ son disjuntos y<br />
ν(A ′ ) − µ(A ′ ) + ν(B ′ ) − µ(B ′ ) = ν(A ′ ∪ B ′ ) − µ(A ′ ∪ B ′ ) ≤ λ(A ∪ B),<br />
y tomando sup tenemos <strong>la</strong> otra <strong>de</strong>sigualdad.<br />
Veamos <strong>la</strong> numerable aditividad, para ello basta ver que si A n ↑ A, entonces<br />
λ(A n) → λ(A). Ahora bien sabemos que λ(A n) ≤ λ(A) y <strong>la</strong> sucesión es creciente por<br />
tanto tiene límite. Sea E ⊂ A tal que µ(E) < ∞, entonces<br />
ν(E) − µ(E) = lím[ν(A n ∩ E) − µ(A n ∩ E)] ≤ lím λ(A n) ≤ λ(A),<br />
y tomando sup tenemos lím λ(A n) = λ(A).<br />
Ahora si µ(E) = ∞, entonces ν(E) = ∞ y obviamente µ(E) + λ(E) = ν(E) y si<br />
µ(E) < ∞, ν(E) − µ(E) ≤ λ(E), por tanto se da <strong>la</strong> igualdad pues<br />
ν(E) ≤ λ(E) + µ(E) = sup{ν(E ′ ) + µ(E) − µ(E ′ ) : E ′ ⊂ E, µ(E ′ ) < ∞} ≤ ν(E),<br />
pues µ(E ′ ) < ∞ y por tanto<br />
ν(E ′ ) + µ(E) − µ(E ′ ) = ν(E ′ ) + µ(E\E ′ ) ≤ ν(E ′ ) + ν(E\E ′ ) = ν(E).
416 Otros Ejercicios<br />
Ejercicio 10.11.79 Dado un espacio <strong>de</strong> medida (Ω, A, µ), consi<strong>de</strong>remos el espacio<br />
métrico asociado (ver ejercicios Tema I), (X , ρ), para X = A/ ≃, con <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción<br />
<strong>de</strong> equivalencia A ≃ B sii µ(A△B) = 0, y <strong>la</strong> métrica ρ(A, B) = µ(A△B).<br />
Demostrar que para una medida compleja λ<br />
en cuyo caso λ es continua.<br />
“⇐”<br />
Solución.- “⇒”<br />
λ ≪ µ ⇔ λ se extien<strong>de</strong> a X .<br />
A ∼ B ⇒ µ(A∆B) = 0 ⇒ µ(A ∩ B c ) = µ(A c ∩ B) = 0<br />
⇒ λ(A ∩ B c ) = λ(A c ∩ B) = 0 ⇒ λ(A) = λ(B).<br />
µ(A) = 0 ⇒ A ∼ ∅ ⇒ λ(A) = λ(∅) = 0.<br />
Para ver que es continua basta <strong>de</strong>mostrar que si A ∈ X , ∀ɛ > 0, existe δ > 0 tal<br />
que si<br />
ρ(A, B) < δ ⇒ |λ(A) − λ(B)| < ɛ,<br />
Ahora bien sabemos que λ ≪ µ equivale a que ∀ɛ > 0, existe δ > 0 tal que si<br />
y para E = A∆B, tendremos<br />
µ(E) < δ ⇒ |λ|(E) < ɛ,<br />
|λ(A) − λ(B)| = |λ(A ∩ B c ) − λ(A c ∩ B)| ≤ |λ(A ∩ B c )| + |λ(A c ∩ B)|<br />
≤ |λ|(A∆B) < ɛ.<br />
Ejercicio 10.11.80 Demostrar que para (Ω, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida, el espacio<br />
métrico (X , ρ) <strong>de</strong>l ejercicio (10.11.79), es completo.<br />
Solución.- Sea A n ∈ X <strong>de</strong> Cauchy y consi<strong>de</strong>remos para cada n ∈ N un m n, tal<br />
que para j, k ≥ m n, ρ(A j , A k ) ≤ 2 −n , a<strong>de</strong>más elijamos m n creciente y m n → ∞.<br />
Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> subsucesión B n = A mn y C n = B n∆B n+1 , para <strong>la</strong> que µ(C n) ≤<br />
2 −n , por tanto ∑ µ(C n) < ∞ y para C c = lím sup C n, µ(C c ) = 0 y para cada x ∈<br />
C = lím inf Cn c , existe un m ∈ N, tal que para todo n ≥ m, x ∈ Cc n = {I B n<br />
= I Bn+1 },<br />
por tanto existe c.s. el lím I Bn , por tanto<br />
I lím inf Bn = lím inf I Bn<br />
c.s.<br />
= lím sup I Bn = I lím sup Bn ,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> A = lím inf B n ≃ lím sup B n = B. De esto se sigue que para cada D ∈ A<br />
µ(D∆A) = µ(D ∩ A c ) + µ(D c ∩ A) = µ(D ∩ A c ∩ B c ) + µ(D c ∩ A)]<br />
= µ(D ∩ B c ) + µ(D c ∩ A)<br />
= µ[D ∩ (lím inf B c n)] + µ[D c ∩ (lím inf B n)]<br />
≤ µ[lím inf(D∆B n)] ≤ lím inf µ(D∆B n),<br />
Veamos que ρ(A n, A) → 0, como<br />
0 ≤ ρ(A n, A) ≤ ρ(A n, B m) + ρ(B m, A),
417<br />
basta <strong>de</strong>mostrar que µ(B m∆A) → 0 y esto es obvio pues por lo anterior<br />
0 ≤ µ(B m∆A) ≤ lím inf<br />
n→∞ µ(Bm∆Bn).<br />
Ejercicio 10.11.81 Demostrar que el espacio métrico completo <strong>de</strong>l ejercicio<br />
anterior en el caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> Ω = [0, 1], A los borelianos <strong>de</strong>l intervalo y µ<br />
<strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue, no es compacto.<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1/2<br />
1/4 3/4<br />
1/8 3/8 5/8 7/8<br />
1<br />
.<br />
A 1<br />
1<br />
.<br />
A 2<br />
1<br />
.<br />
A 3<br />
Ind. Considérese <strong>la</strong> sucesión A n, para <strong>la</strong> que ρ(A i , A j ) = 1/2,<br />
Ejercicio 10.11.82 Sean f, f n, g, g n integrables, tales que |f n| ≤ g n, f n → f<br />
c.s., g n → g c.s. y ∫ g n → ∫ g. Demostrar que ∫ f n → ∫ f.<br />
Ind. (Si x n e y n son acotadas, lím inf(x n + y n) ≤ lím sup x n + lím inf y n). Aplicando<br />
el Lema <strong>de</strong> Fatou a 0 ≤ g n − f n y 0 ≤ g n + f n<br />
∫ ∫ ∫<br />
∫<br />
g − f = (g − f) = lím(g n − f n) ≤<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
≤ lím inf (g n − f n) ≤ g − lím sup f n,<br />
∫ ∫ ∫<br />
∫<br />
g + f = (g + f) = lím(g n + f n) ≤<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
≤ lím inf (g n + f n) ≤ g + lím inf f n.<br />
Ejercicio 10.11.83 Demostrar que si f, f n ∈ L p (p < ∞) y f n → f c.s. entonces<br />
‖f n‖ p → ‖f‖ p sii ‖f n − f‖ p → 0.<br />
Solución.- Como |g 1 + g 2 | p ≤ α p(|g 1 | p + |g 2 | p ), para α p = 1 si p ≤ 1 y α p = 2 p<br />
si p > 1, tendremos que <strong>la</strong> implicación ⇒ se sigue <strong>de</strong> que |f n − f| p ≤ α p(|f n| p + |f| p )<br />
y <strong>de</strong>l ejercicio 4; y <strong>la</strong> implicación ⇐ se sigue <strong>de</strong>l mismo ejercicio y <strong>de</strong> que |f n| p ≤<br />
α p(|f n − f| p + |f| p ).
418 Otros Ejercicios<br />
Ejercicio 10.11.84 Para cada 1 ≤ p < ∞, ¿bajo que condiciones sobre f y g<br />
se da <strong>la</strong> igualdad en <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r?, ¿y en <strong>la</strong> <strong>de</strong> Minkowsky?<br />
Solución.- La <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r es para p = 1 y q = ∞ consecuencia <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad |fg| ≤ |f|‖g‖ ∞ c.s. y se da <strong>la</strong> igualdad en Hol<strong>de</strong>r sii |fg| = |f|‖g‖ ∞<br />
c.s. lo cual equivale a que en {f ≠ 0}, g = ‖g‖ ∞ c.s. Para 1 < p, q < ∞, Hol<strong>de</strong>r es<br />
consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad cd ≤ c p /p + d q /q, para c = |f|/‖f‖ p y d = |g|/‖g‖ q,<br />
lo cual equivale a λ log a + (1 − λ) log b ≤ log(λa + (1 − λ)b), para a = c p = |f| p /‖f‖ p p,<br />
b = d q = |g| q /‖g‖ q q, λ = 1/p, y se da <strong>la</strong> igualdad en Hol<strong>de</strong>r sii se da <strong>la</strong> igualdad c.s<br />
a = b, es <strong>de</strong>cir existe una constante k (que a <strong>la</strong> fuerza es ‖f‖ p p/‖g‖ q q) tal que c.s.<br />
|f| p = k|g| q .<br />
La <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Minkowsky para p = 1 es consecuencia <strong>de</strong> que |f +g| ≤ |f|+|g|<br />
y se da <strong>la</strong> igualdad sii |f + g| = |f| + |g| c.s., lo cual en cada punto x equivale a que<br />
los vectores f(x) y g(x) sean proporcionales con una proporción positiva, por tanto<br />
sii existe una función medible h ≥ 0 tal que f = hg. Para 1 < p < ∞ Minkowsky es<br />
consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad anterior y <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r aplicada una vez a f y (f +g) p−1 y<br />
otra aplicada a g y a (f +g) p−1 , por tanto por un <strong>la</strong>do existe una función h ≥ 0 tal que<br />
f = hg y por otra existe una constante k 1 tal que |f| p = k 1 |f + g| (p−1)q = k 1 |f + g| p<br />
y una k 2 tal que |g| p = k 2 |f + g| p , en <strong>de</strong>finitiva existe una constante k ≥ 0 tal que<br />
f = kg c.s.<br />
Ejercicio 10.11.85 Demostrar que si µ(Ω) = 1 y f ≥ 0 es medible, entonces<br />
para k = ∫ f dµ, se verifica<br />
√ ∫ √1<br />
1 + k2 ≤ + f 2<br />
dµ ≤ 1 + k.<br />
Dar una interpretación geométrica <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s en el caso en que f = g ′<br />
y sea continua, µ = m y Ω = [0, 1].<br />
Solución.- La segunda <strong>de</strong>sigualdad es obvia pues para t ≥ 0, 1 + t 2 ≤ (1 + t) 2 ,<br />
por tanto √ 1 + f 2 ≤ 1+f. Para <strong>la</strong> segunda como f es límite ascen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> funciones<br />
simples, por el TCM basta <strong>de</strong>mostrarlo para f = ∑ a i I Ai simple y este caso se sigue<br />
<strong>de</strong> ‖ ∑ λ i x i ‖ 2 ≤ ∑ λ i ‖x i ‖ 2 , para λ i = µ(A i ) y x i = (1, a i ) ∈ R 2 .<br />
Si f = g ′ <strong>la</strong> segunda expresión es <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva (creciente) y = g(x), <strong>la</strong><br />
primera es <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> cuerda que une sus extremos, y <strong>la</strong> última es <strong>la</strong> suma <strong>de</strong><br />
los catetos <strong>de</strong>l triángulo rectángulo con hipotenusa <strong>la</strong> cuerda.<br />
Ejercicio 10.11.86 Demostrar que si 1 ≤ r < p < s < ∞, entonces:<br />
a) L r ∩ L s es un espacio <strong>de</strong> Banach con <strong>la</strong> norma ‖f‖ = ‖f‖ r + ‖f‖ s y <strong>la</strong><br />
inclusión L r ∩ L s → L p es continua.<br />
b) Que L r + L s es un espacio <strong>de</strong> Banach con <strong>la</strong> norma ‖f‖ = ínf{‖g‖ r +<br />
‖h‖ s : f = g + h} y <strong>la</strong> inclusión L p → L r + L s es continua.<br />
Solución.- (a) Que es normado se sigue <strong>de</strong> serlo L r y L s y que es continua es<br />
obvio por el ejercicio (6.2.4), pues ‖f‖ p ≤ máx{‖f‖ r, ‖f‖ s} ≤ ‖f‖. Veamos que es<br />
completo:
419<br />
Sea f n <strong>de</strong> Cauchy, entonces f n es <strong>de</strong> Cauchy en L r en el que tiene límite g ∈ L r<br />
al que a<strong>de</strong>más converge c.s. una subsucesión g n <strong>de</strong> f n. Ahora bien f n es <strong>de</strong> Cauchy<br />
también en L s y también tiene límite h ∈ L s (así como g n que es una subsucesión<br />
<strong>de</strong> una sucesión convergente), al que converge c.s. una subsucesión <strong>de</strong> g n, que como<br />
tiene límite c.s., h = g c.s. están en L r ∩ L s y ‖f n − g‖ → 0.<br />
(b) Veamos que es norma: Si ‖f‖ = 0, existen g n ∈ L r y h n ∈ L s, tales que<br />
‖g n‖ r → 0, ‖h n‖ s → 0 y f = g n + h n, por tanto f = 0 c.s. pues<br />
µ{|f| > ɛ} ≤ µ{|g n| > ɛ/2} + µ{|h n| > ɛ/2} → 0,<br />
por <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Tchebycheff. La <strong>de</strong>sigualdad triangu<strong>la</strong>r se sigue <strong>de</strong><br />
‖f 1 + f 2 ‖ ≤ ‖g 1 + g 2 ‖ r + ‖h 1 + h 2 ‖ s ≤ ‖g 1 ‖ r + ‖h 1 ‖ s + ‖g 2 ‖ r + ‖h 2 ‖ s,<br />
para cualquier <strong>de</strong>scomposición f i = g i + h i , con g i ∈ L r y h i ∈ L s. Que es <strong>de</strong><br />
Banach se sigue <strong>de</strong>l ejercicio anterior, pues basta <strong>de</strong>mostrar que si f n ∈ E = L r + L s<br />
verifica ∑ ‖f n‖ < ∞, entonces ∑ f n converge. Tomemos f n = g n + h n, con ‖g n‖ r +<br />
‖h n‖ s ≤ ‖f n‖ + 2 −n , entonces ∑ ‖g n‖ r y ∑ ‖h n‖ s son convergentes, por tanto lo<br />
son ∑ g n = g ∈ L r y ∑ h n = h ∈ L s, pero entonces ∑ f n = g + h, pues<br />
m∑<br />
m∑<br />
m∑<br />
‖ f n − g − h‖ ≤ ‖ g n − g‖ r + ‖ h n − h‖ s.<br />
n=1<br />
n=1<br />
Veamos que <strong>la</strong> inclusión es continua en 0. Para ello dado ɛ > 0, sea δ tal que<br />
δ p/r + δ p/s ≤ ɛ (observemos que x p/r + x p/s → 0 cuando x → 0 + ), entonces si<br />
‖f‖ p ≤ δ, para A = {f ≥ 1}, g = fI A y h = fI A c ,<br />
(∫ ) 1/r<br />
‖f‖ ≤ ‖g‖ r + ‖h‖ s = |f| r +<br />
A<br />
(∫<br />
n=1<br />
) 1/s<br />
|f| s ≤ ‖f‖ p/r<br />
p<br />
A c<br />
+ ‖f‖ p/s<br />
p ≤ ɛ.<br />
Ejercicio 10.11.87 (i) Demostrar que para x > 0, log x ≤ x−1 y x log x ≥ x−1.<br />
(ii) Demostrar que si µ(Ω) = 1 y 0 < r < s < ∞, entonces para f ∈ L s,<br />
‖f‖ r ≤ ‖f‖ s y que para exp{−∞} = 0 y log 0 = −∞<br />
∫<br />
lím<br />
p→0 ‖f‖p = exp{ log |f| dµ}.<br />
Sol. (i) F (x) = log x es cóncava, pues F ′′ < 0, por tanto su gráfica está por<br />
<strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> su tangente en x = 1, es <strong>de</strong>cir log x ≤ x − 1. G(x) = x log x es convexa,<br />
pues G ′′ > 0.<br />
(ii) Que ‖f‖ r ≤ ‖f‖ s se sigue <strong>de</strong>l ejercicio (6.2.9), a<strong>de</strong>más por (i)<br />
log |f|p<br />
‖f‖ p ≤ |f|p<br />
p ‖f‖ p − 1<br />
p<br />
⇒<br />
⇒<br />
∫<br />
∫<br />
log |f|p<br />
‖f‖ p ≤ 0<br />
p<br />
log |f| ≤ log ‖f‖ p = log ∫ |f| p<br />
p<br />
∫<br />
|f| p ∫<br />
− 1 |f| p ∫<br />
− 1<br />
≤<br />
=<br />
→ log |f|,<br />
p<br />
p<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> última convergencia se sigue <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia monótona extendido<br />
(página 95), pues para x ≥ 0,<br />
p −1 x<br />
↓ p (p→0) log x, ya que para x = 0 el
420 Otros Ejercicios<br />
límite es −∞ y para x > 0 por una parte el límite es <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada en p = 0 <strong>de</strong><br />
h(p) = x p y h ′ (p) = x p log x; y por otra <strong>la</strong> función g(p) = xp −1<br />
es creciente, pues<br />
p<br />
g ′ (p) = pxp log x−x p +1<br />
p 2 ≥ 0, ya que por (i) para a = x p , a log a ≥ a − 1.<br />
Ejercicio 10.11.88 Demostrar que si µ(Ω) < ∞ y f ∈ L ∞, f ≠ 0, entonces<br />
para a n = ∫ |f| n dµ,<br />
a n+1<br />
lím = ‖f‖<br />
n→∞<br />
∞.<br />
a n<br />
Sol. Se sigue <strong>de</strong>l ejercicio 6.2.8, tomando límites en <strong>la</strong>s <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>s<br />
µ(Ω) − 1<br />
n+1 ‖f‖ n+1 ≤ a n+1<br />
a n<br />
≤ ‖f‖ ∞,<br />
∫ don<strong>de</strong> <strong>la</strong> segunda es por ser µ(Ω) < ∞, |f| ≤ ‖f‖ ∞ c.s., f ∈ L p para todo p y<br />
|f| n+1 ∫<br />
≤ ‖f‖ ∞ |f| n . La primera es consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Hol<strong>de</strong>r<br />
para p = (n + 1)/n y q = n + 1 su conjugado, aplicada a |f| n ∈ L p y 1 ∈ L q, pues<br />
∫ (∫<br />
n/n+1<br />
a n = |f| n ≤ |f| dµ) n+1 µ(Ω) 1/q .<br />
Ejercicio 10.11.89 Demostrar <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> Heisenberg para f = f 1 +<br />
if 2 : R → C, con f i ∈ C ∞ (R) y f ∈ L 2,<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
(∫ ∞<br />
) 1/2 (∫ ∞<br />
1/2<br />
|f(x)| 2 dx ≤ 2 |xf(x)| 2 dx<br />
|f ′ (x)| dx) 2 .<br />
−∞<br />
−∞<br />
Solución.- Si ‖f ′ ‖ 2 = 0, f ′ = 0 y f es constante, por tanto f = 0 por estar<br />
en L 2 y si ‖xf‖ 2 = 0, f = 0. Ahora si una <strong>de</strong> esas normas es infinito y <strong>la</strong> otra<br />
∫ positiva el resultado es obvio y si f ′ , xf ∈ L 2 , entonces por Hol<strong>de</strong>r xff ′ ∈ L 1 y<br />
|xff ′ | ≤ ‖xf‖ 2 ‖f ′ ‖ 2 . Ahora bien |f| 2 = f1 2 + f 2 2, por tanto para h = x|f|2 , h ′ =<br />
|f| 2 + 2x(f 1 f 1 ′ + f 2f 2 ′ ) = |f|2 + 2x Re(ff ′ ) e integrando<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
|f| 2 = −2 x Re(ff ′ ) ≤ 2 |x Re(ff ′ )|<br />
∫<br />
≤ 2 |xff ′ | ≤ 2‖xf‖ 2 ‖f ′ ‖ 2 .<br />
pues 0 = h(∞) − h(−∞), ya que h ′ es integrable por tanto µ(A) = ∫ A h′ es una<br />
medida real finita y para cualesquiera sucesiones a n → ∞ y b n → −∞<br />
∫ an<br />
∫ ∞<br />
0 ≤ h(a n) = h ′ dx → h ′ dx = α,<br />
0<br />
0<br />
∫ 0 ∫ 0<br />
0 ≤ −h(b n) = h ′ dx → h ′ dx = −β,<br />
b n −∞<br />
pues h(0) = 0; por tanto existen los límites<br />
h(∞) = lím h(x) = α ≥ 0, h(−∞) = lím h(x) = β ≤ 0,<br />
x→∞ x→−∞
421<br />
y si α > 0 consi<strong>de</strong>ramos 0 < r < α y un a, tal que para x ≥ a, h(x) ≥ r, en cuyo caso<br />
∫ ∞<br />
∫ ∞<br />
∞ > x 2 |f(x)| 2 dx ≥ r x dx = ∞.<br />
a<br />
a<br />
por tanto α = 0. I<strong>de</strong>m para β.<br />
Ejercicio 10.11.90 Demostrar que si f ∈ L 1(R) y g ∈ L p(R), entonces f ∗<br />
g(x) = ∫ f(x − y)g(y)dy está en L p y<br />
‖f ∗ g‖ p ≤ ‖f‖ 1‖g‖ p.<br />
Solución.- Para p = 1 está visto. Para p = ∞, como m{|g| > ‖g‖ ∞} = 0,<br />
tenemos que f ∗ g(x) es finito pues el integrando es integrable ya que<br />
∫<br />
|f(x − y)g(y)|dy ≤ ‖g‖ ∞‖f‖ 1 < ∞,<br />
y se tiene que |f∗g(x)| ≤ ‖g‖ ∞‖f‖ 1 , por tanto ‖f∗g‖ ∞ ≤ ‖g‖ ∞‖f‖ 1 . Para 1 < p < ∞<br />
consi<strong>de</strong>remos su conjugado q y como por Fubini se tiene<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫<br />
[ |f(x − y)||g(y)| p dy]dx = [ |f(x − y)||g(y)| p dx]dy = ‖f‖ 1 ‖g‖ p p < ∞,<br />
tendremos que c.s. ∫ |f(x−y)||g(y)| p dy es finita, por lo que h x(y) = |f(x−y)| 1/p |g(y)|<br />
está en L p c.s. en x y como k x(y) = |f(x − y)| 1/q está en L q para cada x, tendremos<br />
por Hol<strong>de</strong>r que c.s. en x<br />
∫<br />
∫<br />
|f(x − y)||g(y)|dy ≤ ‖k x‖ q‖h x‖ p = ‖f‖ 1/q<br />
1 [ |f(x − y)||g(y)| p dy] 1/p < ∞,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que el producto f ∗ g es finito c.s. en x y<br />
∫<br />
∫<br />
[ |f(x − y)||g(y)|dy] p ≤ ‖f‖ p/q<br />
1 |f(x − y)||g(y)| p dy<br />
e integrando en x se tiene por <strong>la</strong> primera <strong>de</strong>sigualdad<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫<br />
[ |f(x − y)||g(y)|dy] p dx ≤ ‖f‖ p/q<br />
1 [ |f(x − y)||g(y)| p dydx = ‖f‖ p 1 ‖g‖p p ,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que ‖f ∗ g‖ p ≤ ‖f‖ 1 ‖g‖ p.<br />
Ejercicio 10.11.91 Demostrar que <strong>la</strong> esfera unidad <strong>de</strong> L 1([0, 1], B[0, 1], m), no<br />
tiene puntos extremales y que en <strong>la</strong> <strong>de</strong> L p, para 1 < p < ∞, todos lo son.<br />
Solución.- Sea ‖f‖ 1 = 1, por tanto ∫ [0,1] |f| dm = 1 y consi<strong>de</strong>remos x ∈ (0, 1)<br />
tal que<br />
∫<br />
|f| dm = 1 ∫<br />
[0,x) 2 = |f| dm,<br />
[x,1]<br />
entonces f = (g + h)/2, para <strong>la</strong>s funciones, g = 2fI [0,x) y h = 2fI [x,1] , <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera<br />
unidad <strong>de</strong> L 1 .
422 Otros Ejercicios<br />
Sea ahora ‖f‖ p = 1 y supongamos que existen 0 < t < 1 y g, h ∈ L p, <strong>de</strong> norma<br />
1, tales que f = tg + (1 − t)h. Entonces por <strong>la</strong> convexidad en R <strong>de</strong> φ(x) = x p<br />
|f| p ≤ (t|g| + (1 − t)|h|) p ≤ t|g| p + (1 − t)|h| p ,<br />
siendo <strong>la</strong>s integrales <strong>de</strong> los extremos iguales a 1, por tanto iguales <strong>la</strong>s tres y <strong>la</strong>s dos<br />
ultimas funciones son iguales c.s. Pero para reales a, b ≥ 0<br />
(ta + (1 − t)b) p = ta p + (1 − t)b p ⇔ a = b<br />
por tanto tenemos que |g| = |h|, c.s. y como <strong>la</strong>s dos primeras funciones también son<br />
iguales c.s., tendremos |f| = |g| = |h|. Ahora como f = tg + (1 − t)h, si h(x) = g(x)<br />
entonces coinci<strong>de</strong>n con f(x) y si h(x) = −g(x) ≠ 0, f(x) = (2t − 1)g(x) y como<br />
|f(x)| = |g(x)| ̸= 0, t = 1, siendo 0 < t < 1. Por lo tanto f = g = h, c.s.<br />
Ejercicio 10.11.92 Demostrar que en un espacio <strong>de</strong> medida σ–finito (Ω, A, µ),<br />
si g es medible tal que fg ∈ L 1 para toda f ∈ L p, entonces g ∈ L q, para q el<br />
conjugado <strong>de</strong> p.<br />
Solución.- Para p = ∞ es obvio tomando f = 1. Para p < ∞ sabemos que<br />
existe s ′ n ∈ S, tal que |s ′ n| ≤ |g| y s ′ n → g y para A n ↑ Ω, con µ(A n) < ∞, sea<br />
s n = s ′ n I A n<br />
∈ ˜S ⊂ L q (tanto si q = ∞ como si q < ∞), tal que |s n| ≤ |g| y s n → g.<br />
Ahora sea T n ∈ L ∗ p, T n(f) = ∫ fs n → T (f) = ∫ fg (por el TCD) para toda f ∈ L p<br />
y como estos funcionales están puntualmente acotados<br />
∫ ∫<br />
|T n(f)| ≤ |fs n| ≤ |fg|, ∀n,<br />
se tiene por el Teorema <strong>de</strong> Banach–Steinhaus (ver Ash, pág.143) que están uniformemente<br />
acotados, sup ‖T n‖ = k < ∞, por tanto T es acotado pues |T n(f)| ≤<br />
‖T n‖‖f‖ p ≤ k‖f‖ p y<br />
|T (f)| = lím |T n(f)| ≤ k‖f‖ p,<br />
se sigue que T ∈ L ∗ p y existe g ′ ∈ L q tal que ∫ fg = T (f) = ∫ fg ′ para toda f ∈ L p,<br />
en particu<strong>la</strong>r para f = I B∩An , se sigue que en cada A n g = g ′ c.s., por tanto en Ω.<br />
Ejercicio 10.11.93 Sean f, g : Ω → C integrables.<br />
(a) Demostrar que |f 2 + g 2 | 1/2 es integrable.<br />
(b) Demostrar que h = |f| r |g| s es integrable para cualesquiera r, s > 0<br />
tales que r + s = 1 y que<br />
‖h‖ 1 ≤ ‖f‖ r 1‖g‖ s 1.<br />
Ind.- (a) |f 2 + g 2 | ≤ |f| 2 + |g| 2 ≤ (|f| + |g|) 2 .<br />
(b) Aplicar Hol<strong>de</strong>r a p = 1/r, q = 1/s. |f| r ∈ L p y |g| s ∈ L q.<br />
Ejercicio 10.11.94 Demostrar que en un espacio <strong>de</strong> medida finita, para todo<br />
0 < s < r < ∞, L r ⊂ L s y que si f n, f ∈ L r,<br />
‖f n − f‖ r → 0 ⇒ ‖f n − f‖ s → 0.
423<br />
Ind.- Aplicar Hol<strong>de</strong>r a p = r/s, q su conjugado, |f n − f| s ∈ L p y 1 ∈ L q.<br />
Ejercicio 10.11.95 Sea G un grupo aditivo y (G, A, µ) un espacio <strong>de</strong> medida<br />
invariante por tras<strong>la</strong>ciones por <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, es <strong>de</strong>cir tal que µ(A + a) = µ(A)<br />
para cada medible A y cada a ∈ G. Demostrar que para cada f : G → R<br />
medible y a ∈ G. ∫<br />
∫<br />
f(x)dµ = f(x − a)dµ,<br />
G<br />
en el sentido <strong>de</strong> que si una integral existe también <strong>la</strong> otra y coinci<strong>de</strong>n.<br />
Ind.- Sígase <strong>la</strong> técnica habitual <strong>de</strong> funciones indicador, simples, TCM, etc.<br />
G<br />
Ejercicio 10.11.96 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> función reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> Riemann, f : [0, 1] →<br />
[0, 1],<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 si x ∈ [0, 1] es irracional,<br />
f(x) = 1 si x = 0,<br />
⎪⎩ 1<br />
si x = p ∈ [0, 1] y (p, q) = 1.<br />
q q<br />
(a) Demostrar que f es Borel medible.<br />
(b) Demostrar que C(f), los puntos <strong>de</strong> continuidad <strong>de</strong> f, son los irracionales<br />
<strong>de</strong> [0, 1].<br />
Demostración. (a) Sea B ∈ B([0, 1]), entonces f −1 (B) es unión disjunta <strong>de</strong> los<br />
borelianos<br />
f −1 (B ∩ {0}), f −1 (B ∩ {1}), f −1 (B ∩ {1/q : q ∈ N}),<br />
pues el primero es vacío ó los irracionales, el segundo vacío ó {0} y el tercero es unión<br />
(a lo sumo numerable) <strong>de</strong> conjuntos f −1 ({1/q}), los cuales son finitos pues para cada<br />
q a lo sumo hay un número finito <strong>de</strong> p ∈ N, tales que p/q ∈ [0, 1].<br />
(b) Sea x = p/q ∈ [0, 1] racional y 0 < ɛ < 1/q, entonces como para todo δ > 0<br />
existe un irracional y ∈ (x − δ, x + δ), tendremos que |f(x) − f(y)| = |f(x)| = 1/q > ɛ,<br />
por lo que f no es continua en x. Sea x ∈ [0, 1] irracional y 0 < ɛ, entonces como<br />
hay un número finito <strong>de</strong> naturales q ≤ 1/ɛ y para cada uno también un número finito<br />
<strong>de</strong> naturales p, tales que p/q ∈ [0, 1], tendremos un conjunto finito <strong>de</strong> racionales<br />
x 1 , . . . , x n ∈ [0, 1], tales que f(x i ) ≥ ɛ, por tanto como x tiene un entorno que no<br />
contiene a ningún x i , tendremos que en todo punto suyo y, |f(x) − f(y)| = f(y) < ɛ.<br />
Ejercicio 10.11.97 Demostrar que en R tanto para µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue<br />
como µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar en los naturales se tiene para todo a > 0<br />
(∫ a 2<br />
x dµ)<br />
=<br />
0<br />
∫ a<br />
0<br />
x 3 dµ.
424 Otros Ejercicios<br />
Demostración. Para µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue es ∫ a<br />
0 x = a2 /2 y ∫ a<br />
0 x3 = a 4 /4.<br />
Para <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> contar se <strong>de</strong>muestra por inducción que para n = [a]<br />
(1 + · · · + n) 2 = 1 + · · · + n 3 ,<br />
pues para s n = 1 + · · · + n = n(n + 1)/2, z n = s 2 n es <strong>la</strong> expresión <strong>de</strong> <strong>la</strong> izquierda y si<br />
<strong>de</strong>notamos con b n <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha<br />
z n+1 − z n = s 2 n+1 − s 2 n = (s n+1 − s n)(s n+1 + s n) = (n + 1)(2s n + (n + 1))<br />
= (n + 1)(n(n + 1) + n + 1) = (n + 1) 3 = b n+1 − b n,<br />
siendo b 1 = z 1 y si b n = z n, entonces b n+1 = z n+1 .<br />
Ejercicio 10.11.98 Si <strong>de</strong>notamos con p 1 · · · p k <strong>la</strong> envolvente convexa <strong>de</strong> los<br />
puntos p i, <strong>de</strong>mostrar que <strong>la</strong> medida n–dimensional <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> P =<br />
p 1 · · · p n+1, <strong>de</strong>finida por n + 1 puntos p i ∈ R n (que no están en un hiperp<strong>la</strong>no)<br />
es<br />
m n(P ) = mn−1(B) · h ,<br />
n<br />
para <strong>la</strong> base n − 1–dimensional B = p 1 · · · p n, que está en un hiperp<strong>la</strong>no a<br />
distancia h <strong>de</strong> p n+1. Como consecuencia si <strong>de</strong>notamos con h i <strong>la</strong> distancia <strong>de</strong><br />
p i+1 al subespacio generado por p 1, . . . , p i, <strong>de</strong>mostrar que<br />
m n(P ) =<br />
h1 · · · hn<br />
.<br />
n!<br />
Demostración. Por una tras<strong>la</strong>ción y un giro po<strong>de</strong>mos suponer que p n+1 = 0 y<br />
B ⊂ {x n = h}, entonces para <strong>la</strong> sección P t = {(x 1 , . . . , x n−1 ) : (x 1 , . . . , x n−1 , t) ∈ P }<br />
∫ h<br />
∫ h t n−1<br />
m n[P ] = m n−1 [P t]dt = m n−1 [B]<br />
0<br />
0 h n−1 dt = m n−1(B) · h<br />
.<br />
n<br />
El resto por inducción.<br />
Ejercicio 10.11.99 Dada una sucesión creciente <strong>de</strong> medidas µ n ≤ µ n+1 y µ =<br />
lím µ n en un espacio medible (Ω, A). Demostrar que si E n ∈ A y µ n(E n) = 0,<br />
entonces µ(lím sup E n) = 0.<br />
y<br />
Ind. Sea B n = ∪ ∞ i=n E i y B n ↓ B = lím sup E n. Entonces para m ≥ n, B m ⊂ B n<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
0 ≤ µ n(B m) ≤ µ n(B n) ≤ µ n(E i ) ≤ µ i (E i ) = 0<br />
i=n<br />
i=n<br />
0 = µ n(B m) ⇒ µ n(B) = 0 ⇒ µ(B) = 0.<br />
Ejercicio 10.11.100 Dadas dos sucesiones crecientes <strong>de</strong> medidas en un espacio<br />
medible (Ω, A), µ n ≤ µ n+1, λ n ≤ λ n+1 y <strong>la</strong>s medidas µ = lím µ n y λ = lím λ n<br />
tales que µ es σ–finita y para todo n λ n ≪ µ n. Demostrar que λ ≪ µ y que<br />
lím dλn<br />
dµ n<br />
= dλ<br />
dµ .
425<br />
Ind. Lo primero es obvio. Ahora como µ n ≪ µ, sea g n = dµ n/dµ y como para<br />
todo A ∫<br />
∫<br />
g n dµ = µ n(A) ≤ µ n+1 (A) = g n+1 dµ ↑ µ(A),<br />
A<br />
A<br />
tenemos por (2.4.27), pág.102, y ser µ σ–finita que existe g medible tal que g n ≤<br />
g n+1 ↑ g c.s.(µ). Ahora por el TCM µ(A) = ∫ A g dµ, por tanto g = 1 c.s. (µ). Ahora<br />
si l<strong>la</strong>mamos f n = dλ n/dµ n, tendremos<br />
∫<br />
∫<br />
f ng n dµ = f n dµ n = λ n(A) ≤ λ n+1 (A) =<br />
A<br />
A<br />
∫<br />
∫<br />
= f n+1 dµ n+1 = f n+1 g n+1 dµ,<br />
A<br />
A<br />
por tanto f ng n ≤ f n+1 g n+1 ↑ f c.s.(µ) y como λ n ↑ λ, por el TCM, f = dλ/dµ, por<br />
tanto f n → f c.s. (µ).<br />
Ejercicio 10.11.101 Demostrar que toda función convexa en un intervalo abierto<br />
real es continua.<br />
Indicación. Obvio haciendo un dibujo, pues dados tres puntos <strong>de</strong>l intervalo<br />
a < x < b y los puntos correspondientes en <strong>la</strong> gráfica A = (a, f(a)), X = (x, f(x)) y<br />
B = (b, f(b)), tendremos por ser f convexa que X está bajo <strong>la</strong> recta AB y <strong>de</strong>l mismo<br />
modo si y ∈ (a, x) ∪ (x, b), el punto correspondiente Y está entre el par <strong>de</strong> rectas<br />
pasando por X, AX y BX y tenemos que si y → x, Y → X.<br />
Ejercicio 10.11.102 (a) Sea A ∈ B(R) tal que para todo q ∈ Q, q + A =<br />
A. Demostrar que: (i) Si r = m[[0, 1] ∩ A], entonces para todo boreliano B,<br />
m[B ∩ A] = r · m[B]. (ii) que r = 0 ó r = 1 y (iii) que m[A] = 0 ó m[A c ] = 0.<br />
(b) Demostrar que si B ∈ B(R), con m[B] > 0, entonces casi seguro todo<br />
número real está en <strong>la</strong> unión ∪ r∈Q (B + r).<br />
Ind. (a) La medida µ(B) = m[A ∩ B], verifica<br />
µ(B + q) = m(A ∩ (B + q)) = m((A + q) ∩ (B + q)) = m(A ∩ B) = µ(B),<br />
por tanto<br />
( m<br />
µ<br />
n , m + 1<br />
n<br />
pues r = µ(0, 1] = n · µ(0, 1/n] y por tanto<br />
( m<br />
µ<br />
n , m + k ]<br />
= µ<br />
n<br />
] (<br />
= µ 0, 1 ]<br />
= r · 1<br />
n n ,<br />
(<br />
0, k ]<br />
= r · k<br />
n n ,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> µ(a, b] = r·m(a, b] para a, b ∈ Q. Ahora para a real basta tomar una sucesión<br />
<strong>de</strong> racionales a n ↓ a, pues (a n, b] ↑ (a, b] y µ(a n, b] → µ(a, b] y para b ∈ R, basta tomar<br />
una sucesión <strong>de</strong> racionales b n ↓ b, pues (a, b n] ↓ (a, b]. En <strong>de</strong>finitiva se tiene que <strong>la</strong>s<br />
medidas µ y r · m coinci<strong>de</strong>n en los semiintervalos reales y por el teorema <strong>de</strong> extensión<br />
en todos los borelianos, µ(B) = r · m(B). Ahora bien m(A) = µ(A) = r · m(A) y<br />
tenemos dos posibilida<strong>de</strong>s:<br />
(1) Si m(A) ≠ 0, r = 1 y µ = m, por tanto m(A c ) = µ(A c ) = m(A ∩ A c ) = 0.<br />
(2) Si m(A) = 0, µ(B) = m(B ∩ A) = 0 y r = 0.<br />
(b) Considérese el boreliano A = ∪ r∈Q (B+r) = Q+B, el cual satisface A+q = A<br />
para todo q ∈ Q y es tal que m[A] ≥ m[B] > 0. Se sigue <strong>de</strong> (aiii) que m(A c ) = 0.
426 Otros Ejercicios<br />
Ejercicio 10.11.103 Demostrar que para cualquier número real positivo r > 0<br />
y f : [0, 1] → R medible e integrable<br />
∫<br />
10<br />
1<br />
f(x)<br />
r∫ dx ≤<br />
0<br />
r f(x) dx.<br />
Ind. Aplicar <strong>la</strong> Desigualdad <strong>de</strong> Jensen, teniendo en cuenta que ϕ(x) = r x =<br />
e x log r , es convexa.<br />
Ejercicio 10.11.104 Calcu<strong>la</strong>r el área y el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> pseudoesfera <strong>de</strong> radio<br />
R.<br />
Ind. La tractriz 11 (fig.10.1) es <strong>la</strong> curva <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no que pasa por (R, 0) y cuya<br />
tangente en cada punto corta al eje y en un punto que dista <strong>de</strong>l anterior R y <strong>la</strong><br />
pseudoesfera <strong>de</strong> radio R es <strong>la</strong> superficie <strong>de</strong> revolución alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje y, <strong>de</strong> <strong>la</strong> tractriz<br />
y <strong>de</strong> su imagen especu<strong>la</strong>r respecto <strong>de</strong>l eje x.<br />
c<br />
R<br />
y<br />
x<br />
R<br />
Figura 10.1. Tractriz<br />
Por tanto <strong>la</strong> tractriz satisface y ′ (x) 2 = (R 2 − x 2 )/x 2 y si consi<strong>de</strong>ramos <strong>la</strong> aplicación<br />
F : B = (0, R) × (0, 2π) → R 3 , F (x, θ) = (x cos θ, x sen θ, y(x)), tendremos que<br />
J[DF ] = √ <strong>de</strong>t(A t A) = R, pues<br />
( ) ⎛ ⎞<br />
A t cos sen y ′ cos −x sen<br />
A =<br />
⎝sen<br />
x cos ⎠ =<br />
−x sen x cos 0<br />
y ′ 0<br />
( ) ( )<br />
1 + y ′2 0 R 2<br />
0 x 2 = x 2 0<br />
0 x 2<br />
por tanto el área <strong>de</strong> media tractriz (<strong>la</strong> mitad superior), vale<br />
∫<br />
∫<br />
γ 2 H 2 [F (B)] = |J[DF ]| dm 2 = 2π R dm 1 = 2πR 2 ,<br />
B<br />
(0,R)<br />
por lo tanto el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> pseudoesfera <strong>de</strong> radio R es 4πR 2 ,(<strong>la</strong>s dos partes), <strong>la</strong><br />
misma que <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio R.<br />
11 Ver <strong>la</strong> tractriz en los <strong>Apuntes</strong> <strong>de</strong> Ecuaciones diferenciales, http://matematicas.<br />
unex.es/~ricarfr/EcDiferenciales/LibroEDLat.pdf
427<br />
Para el volumen <strong>de</strong>notaremos con y = f(x) nuestra tractriz (para que no haya<br />
confusión), por tanto f ′ (x) = − √ R 2 − x 2 /x, <strong>de</strong>notaremos con g su inversa y con E<br />
el volumen generado. Por tanto haciendo el cambio x = g(y), tendremos que<br />
∫<br />
∫<br />
m 3 [E] = m 2 [E y] dm y = πg(y) 2 dm y =<br />
(0,∞)<br />
(0,∞)<br />
∫<br />
∫<br />
= π x 2 f ′ (x) dm x = π x √ R 2 − x 2 dm x<br />
(0,R)<br />
(0,R)<br />
= − π 3 (R2 − x 2 ) 3/2] R<br />
= πR3<br />
0 3 ,<br />
por lo tanto el volumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> pseudoesfera <strong>de</strong> radio R es 2πR 3 /3 ¡<strong>la</strong> mitad <strong>de</strong>l<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio R!.<br />
Figura 10.2. Pseudoesfera y Esfera <strong>de</strong> igual radio<br />
Ejercicio 10.11.105 Demostrar que el volumen <strong>de</strong> un tronco <strong>de</strong> pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
base cuadrada, entre dos bases cuadradas <strong>de</strong> areas A y B a una altura h es 12<br />
h<br />
3 (A + B + √ AB).<br />
Ind. Si el vértice <strong>de</strong> <strong>la</strong> pirámi<strong>de</strong> está a distancia r <strong>de</strong> <strong>la</strong> base pequeña A = a 2 y<br />
por tanto a h + r <strong>de</strong> <strong>la</strong> base gran<strong>de</strong> B = b 2 , tendremos por semejanza que<br />
h + r<br />
b<br />
por lo que r = ha/(b − a) y el volumen es<br />
1<br />
3 ((h + r)B − rA) = 1 3<br />
= r a ,<br />
( hbB<br />
b − a − haA<br />
b − a<br />
)<br />
= h 3 (b2 + a 2 + ab).<br />
Ejercicio 10.11.106 En R n consi<strong>de</strong>remos el hipertetraedro T <strong>de</strong>finido por n+1<br />
puntos x i elegidos <strong>de</strong>l siguiente modo: x 1 cualquiera; x 2 a distancia π <strong>de</strong> x 1;<br />
x 3 a distancia π <strong>de</strong> <strong>la</strong> recta que contiene a x 1, x 2; x 4 a distancia π <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no<br />
que contiene a x 1, x 2, x 3; etc... Demostrar que el volumen n–dimensional <strong>de</strong> T<br />
es el volumen 2n–dimesional <strong>de</strong> <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> unidad <strong>de</strong> R 2n .<br />
12 Este problema es uno <strong>de</strong> los que se encuentran en el Papiro <strong>de</strong> Moscú, uno<br />
<strong>de</strong> los mas antiguos documentos egipcios (junto con el <strong>de</strong> Rhind) con problemas<br />
matemáticos (ver <strong>la</strong> introducción, pág.1).
428 Otros Ejercicios<br />
Ind. Aplicar (10.11.98).<br />
Ejercicio 10.11.107 Consi<strong>de</strong>remos en los borelianos <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera unidad <strong>de</strong> R n ,<br />
S n−1 = {x : ‖x‖ 2 = ∑ x 2 i = 1}, una medida ν y en (0, ∞) <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Borel<br />
∫<br />
λ(A) = ρ n−1 dρ,<br />
A<br />
y para el homeomorfismo G: (0, ∞) × S n−1 → R n \{0}, G(ρ, y) = ρy, sea<br />
µ = G ∗(λ × ν). Demostrar: (a) para t > 0, µ(tE) = t n µ(E) y (b) que µ es<br />
invariante por rotaciones sii ν lo es.<br />
Ind. (a) Como λ(tA) = t n λ(A) se tiene para F = G −1 ,<br />
∫<br />
∫<br />
µ(tE) = λ × ν[F (tE)] = λ[F (tE) y ] dν = λ[tF (E) y ] dν = t n µ(E).<br />
(b) Para cada rotación R y t ∈ (0, ∞), F [R(E)] t = R[F (E) t], por tanto si ν es<br />
invariante por R, también µ, pues<br />
∫<br />
µ[R(E)] = ν[R[F (E) t]] dλ,<br />
<strong>la</strong> otra implicación es obvia.<br />
Ejercicio 10.11.108 Sea f : [0, ∞) → [0, ∞) medible, tal que f(x) y xf(x) sean<br />
integrables. Demostrar que para t ∈ [0, ∞]<br />
x(t) =<br />
∫ t<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ t<br />
f(x) dm<br />
f(x) dm ≥ y(t) = xf(x) dm<br />
∫<br />
0<br />
∞<br />
xf(x) dm .<br />
0<br />
y que <strong>la</strong> curva 13 <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no σ(t) = (x(t), y(t)) es continua y convexa.<br />
Indicación.- La continuidad (uniforme) <strong>de</strong> x(t) e y(t) se sigue <strong>de</strong>l ejercicio<br />
(2.4.25). La curva está en el cuadrado unidad, pues x(t), y(t) ∈ [0, 1] y σ(0) = (0, 0),<br />
σ(1) = (1, 1), por tanto basta <strong>de</strong>mostrar que es convexa, pues en tal caso estará por<br />
13 Las funciones x e y tienen interpretación práctica. Por ejemplo en economía si<br />
µ[a, b] = ∫ b<br />
a f(x) dm es el número <strong>de</strong> personas <strong>de</strong> una pob<strong>la</strong>ción con renta entre a y<br />
b, entonces ∫ ∞<br />
0 f(x) dm es el número <strong>de</strong> personas <strong>de</strong> esa pob<strong>la</strong>ción, ∫ t<br />
0 xf(x) dm es <strong>la</strong><br />
renta total que tienen <strong>la</strong>s personas con renta menor o igual que t y ∫ ∞<br />
0 xf(x) dm es <strong>la</strong><br />
renta total <strong>de</strong> <strong>la</strong> pob<strong>la</strong>ción, por tanto x(t) representa el porcentaje <strong>de</strong> <strong>la</strong> pob<strong>la</strong>ción con<br />
renta menor o igual que t, e y(t) representa el porcentaje <strong>de</strong> <strong>la</strong> renta total que tienen<br />
los que tienen renta menor o igual que t respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong> renta <strong>de</strong> toda <strong>la</strong> pob<strong>la</strong>ción.<br />
Con esta interpretación es obvio que y(t) ≤ x(t), pues si hay n individuos con rentas<br />
r i ≤ t y m con rentas r n+j ≥ t, entonces ∑ n<br />
i=1 r i/n ≤ t ≤ ∑ m<br />
j=1 r n+j/m, lo cual<br />
implica que m ∑ n<br />
i=1 r i ≤ n ∑ m<br />
j=1 r n+j, es <strong>de</strong>cir que (n + m) ∑ n<br />
i=1 r i ≤ n ∑ n+m<br />
i=1 r i<br />
y esto equivale a que y(t) = ( ∑ n<br />
i=1 r i)/( ∑ n+m<br />
i=1 r i) ≤ n/(n + m) = x(t).
429<br />
<strong>de</strong>bajo <strong>de</strong>l segmento que une esos dos puntos y por tanto se verificará <strong>la</strong> <strong>de</strong>sigualdad<br />
pedida.<br />
Sean x(a) < x(b) < x(c), como x es monótona creciente eso implica que a < b < c,<br />
entonces x(b) = λx(a) + (1 − λ)x(c), obviamente para<br />
∫ c<br />
x(c) − x(b)<br />
λ =<br />
x(c) − x(a) = b f(x) dm<br />
∫ c<br />
a f(x) dm<br />
y basta ver que y(b) ≤ λy(a) + (1 − λ)y(c), es <strong>de</strong>cir λ(y(c) − y(a)) ≤ y(c) − y(b) o<br />
equivalentemente<br />
∫ c<br />
b<br />
(∫ b<br />
f(r) sf(s) +<br />
a<br />
∫ c ∫ c ∫ c ∫ c<br />
f(r) sf(s) ≤ f(s) rf(r) ⇔<br />
b a<br />
a b<br />
∫ c ) (∫ b ∫ c<br />
sf(s) ≤ f(s) +<br />
b<br />
a<br />
b<br />
∫ c ∫ b ∫ b ∫ c<br />
f(r) sf(s) ≤ f(s) rf(r) ⇔<br />
b a<br />
a b<br />
∫<br />
∫<br />
f(r)sf(s) ≤<br />
f(s)rf(r)<br />
[b,c]×[a,b]<br />
[b,c]×[a,b]<br />
) ∫ c<br />
f(s) rf(r)<br />
b<br />
⇔<br />
y esta última es obvia, pues s ∈ [a, b] y r ∈ [b, c], por tanto s ≤ r.<br />
α<br />
sen α<br />
1<br />
α<br />
α<br />
1 segmento circu<strong>la</strong>r<br />
sector circu<strong>la</strong>r<br />
Figura 10.3. Arco, segmento y sector <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia.<br />
Ejercicio 10.11.109 Calcu<strong>la</strong>r el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> un arco <strong>de</strong> circunferencia.<br />
Ind. Consi<strong>de</strong>remos F : θ ∈ I = (−α, α) → F (θ) = (cos θ, sen θ) y el arco A =<br />
F (I) (ver fig.10.3), entonces si C(A) = (a, b) es su centro <strong>de</strong> masa, tendremos que<br />
a =<br />
∫<br />
A x dH ∫ α<br />
1 −α cos θ dθ<br />
=<br />
= sen α<br />
∫<br />
H 1 (A) 2α α , b = A y dH 1<br />
H 1 (A)<br />
= 0.<br />
Ejercicio 10.11.110 Calcu<strong>la</strong>r los centros <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> (a) un segmento y (b) <strong>de</strong><br />
un sector circu<strong>la</strong>r.<br />
Ind. Denotemos con C el segmento <strong>de</strong> circunferencia entre −α y α (ver fig.10.3)<br />
y con A = C ∪ T el sector circu<strong>la</strong>r entre −α y α, para T el triángulo isosceles<br />
correspondiente <strong>de</strong> ángulo 2α, entonces se tiene (haciendo el cambio y = cos t y
430 Otros Ejercicios<br />
consi<strong>de</strong>rando (sen cos) ′ = cos 2 − sen 2 = 1 − 2 sen 2 )<br />
m 2 [T ] = sen α cos α,<br />
∫ 1 √<br />
∫ α<br />
m 2 [C] = 2 1 − y 2 dy = 2 sen 2 t dt = α − sen α cos α,<br />
cos α<br />
0<br />
∫<br />
∫ 1<br />
ydm 2 = 2 y √ 1 − y 2 dy = − 2 ] 1<br />
C<br />
cos α 3 (1 − y2 ) 3/2 = 2<br />
cos α 3 sen3 α<br />
∫<br />
∫ cos α<br />
ydm 2 = 2 y 2 tan α dy = 2<br />
T<br />
0<br />
3 tan α cos3 α = 2 3 sen α cos2 α,<br />
(a) El centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>l segmento está a distancia <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia<br />
∫<br />
C ydm 2<br />
m 2 [C]<br />
= 2 sen 3 α<br />
3 α − sen α cos α<br />
(b) El centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>l sector está a distancia <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> <strong>la</strong> circunferencia<br />
∫<br />
A ydm ∫<br />
2 C<br />
=<br />
ydm 2 + ∫ T ydm 2<br />
m 2 [A] m 2 [C] + m 2 [T ]<br />
=<br />
2<br />
3 sen3 α + 2 3 sen α cos2 α<br />
α − sen α cos α + sen α cos α = 2 sen α<br />
3 α .<br />
Ejercicio 10.11.111 Calcu<strong>la</strong>r el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie <strong>de</strong> un casquete<br />
esférico.<br />
Ind. Consi<strong>de</strong>remos el casquete F [B] <strong>de</strong> altura h en <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio 1, parametrizado<br />
por F : (x, y) ∈ B = B[0, r] → (x, y, z(x, y)) ∈ R 3 (ver fig.10.4), siendo<br />
h<br />
r<br />
1<br />
1<br />
Figura 10.4. Casquete esférico.<br />
(1 − h) 2 + r 2 = 1, r 2 = (2 − h)h y z(x, y) = √ 1 − x 2 − y 2<br />
entonces si C(F [B]) = (a, b, c) es su centro <strong>de</strong> masa, tendremos que <strong>de</strong>rivando x 2 +
431<br />
y 2 + z 2 = 1, x + zz x = 0 e y + zz y = 0, por tanto z 2 + z 2 zx 2 + z2 zy 2 = 1 y<br />
∫<br />
F (B)<br />
a =<br />
x dH 2<br />
= 0,<br />
H 2 (F (B))<br />
∫<br />
F (B)<br />
b =<br />
y dH 2<br />
= 0,<br />
H 2 (F (B))<br />
∫<br />
√<br />
F (B)<br />
c =<br />
z dH 2<br />
∫B z ◦ F 1 + zx 2 + zy 2 dH 2<br />
=<br />
H 2 (F (B))<br />
H 2 (F (B))<br />
∫ √<br />
B z 2 + z 2 zx 2 + z2 zy 2 dH 2<br />
=<br />
= H 2(B)<br />
H 2 (F (B))<br />
H 2 (F (B))<br />
=<br />
m 2 (B)<br />
γ 2 H 2 (F (B)) = πr2<br />
2πh = 1 − h 2 .<br />
don<strong>de</strong> el área 2πRh <strong>de</strong>l casquete <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio R y altura h, se vió en el<br />
ejercicio (5.5.6).<br />
Ejercicio 10.11.112 Calcu<strong>la</strong>r el centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> (a) un segmento<br />
esférico (b) un sector esférico.<br />
A<br />
z<br />
h<br />
1-h<br />
1<br />
Figura 10.5. Segmento esférico.<br />
Ind. (a) Consi<strong>de</strong>remos el segmento esférico A, <strong>de</strong>finido por un casquete <strong>de</strong> altura<br />
h en <strong>la</strong> esfera <strong>de</strong> radio 1 y cuyo paralelo es horizontal, entonces su centro <strong>de</strong> masa<br />
tiene distancia al centro <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera<br />
∫<br />
A z dm 3<br />
m 3 [A]<br />
= π ∫ ]<br />
1<br />
1−h z(1 − z 2 1 z2 ) dz<br />
π ∫ 1<br />
1−h (1 − z2 ) dz = 2 − z4 4<br />
1−h<br />
] 1<br />
z − z3 3<br />
1−h<br />
1<br />
2 − 1 4 − (1−h)2 + (1−h)4<br />
2 4<br />
=<br />
1 − 1 3<br />
− (1 − h) +<br />
(1−h)3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
=<br />
− 1 4 − 1−2h+h2 + 1−4h+6h2 −4h 3 +h 4<br />
2 4<br />
− 1 3 + h + 1−3h+3h2 −h 3<br />
3<br />
= 3 −2h 2 + 6h 2 − 4h 3 + h 4<br />
4 3h 2 − h 3 = 3 (2 − h) 2<br />
4 3 − h
432 Otros Ejercicios<br />
A<br />
h<br />
B<br />
z<br />
1-h<br />
1<br />
Figura 10.6. Sector esférico.<br />
(b) Veamos ahora <strong>la</strong> distancia <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>l sector E (<strong>de</strong>finido por<br />
un casquete <strong>de</strong> altura h) al centro <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfera, para E = A ∪ B, siendo B el cono<br />
correspondiente, <strong>de</strong> altura a = 1 − h<br />
∫<br />
E z dm 3<br />
=<br />
m 3 [E]<br />
∫<br />
A z dm 3 + ∫ B z dm 3<br />
m 3 [A] + m 3 [B]<br />
= π ∫ 1<br />
a z(1 − z2 ) dz + π ∫ a<br />
0 z 1−a2<br />
a 2 z 2 dz<br />
π ∫ 1<br />
a (1 − z2 ) dz + π ∫ a 1−a 2<br />
0 a 2 z 2 dz<br />
] 1 + 1−a2<br />
a<br />
=<br />
=<br />
z 2 2 − z4 4<br />
z − z3 3<br />
]<br />
z 4 a<br />
a 2 4<br />
0<br />
] a<br />
0<br />
] 1<br />
a + 1−a2<br />
a 2 z 3 3<br />
1<br />
2 − 1 4 − a2<br />
2 + a4<br />
4 + (1 − a2 ) a2<br />
4<br />
1 − 1 3 − a + a3<br />
3 + (1 − a2 ) a 3<br />
= 3 4 · 1 − a2<br />
2 − 2a = 3 4 · 1 + a = 3 2 4<br />
1<br />
4 − a2<br />
4<br />
=<br />
1 − 1 3 − a + a 3<br />
)<br />
(<br />
1 − h 2<br />
Ejercicio 10.11.113 Tenemos una caja con bo<strong>la</strong>s b<strong>la</strong>ncas y negras. Si extraemos<br />
dos al azar, <strong>la</strong> probabilidad <strong>de</strong> que sean b<strong>la</strong>ncas es 1/2. ¿Cuantas bo<strong>la</strong>s<br />
hay <strong>de</strong> cada, si sabemos (1) que hay 10 o menos bo<strong>la</strong>s, (2) que hay mas <strong>de</strong> 10<br />
y menos <strong>de</strong> 100?.<br />
Solución.- Sean n el número <strong>de</strong> b<strong>la</strong>ncas, m el <strong>de</strong> negras y N = n + m el número<br />
total <strong>de</strong> bo<strong>la</strong>s. El número <strong>de</strong> posibles parejas <strong>de</strong> b<strong>la</strong>ncas es n(n − 1)/2 y el total <strong>de</strong><br />
parejas es N(N − 1)/2, por tanto<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se sigue que<br />
n(n − 1)<br />
N(N − 1) = 1 2 ,<br />
2n(n − 1) = (n + m)(n − 1 + m) = n(n − 1) + 2nm − m + m 2<br />
n 2 − n = m 2 − m + 2nm,<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> que n > m y por tanto n = m + a, <strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
(n − m)(n + m − 1) = 2nm<br />
a(2m + a − 1) = 2(m + a)m, 2ma + a(a − 1) = 2m 2 + 2am, m 2 =<br />
a(a − 1)<br />
.<br />
2<br />
Ahora bien los únicos valores <strong>de</strong> a entre 1 y 50, para los que a(a−1)/2 es un cuadrado<br />
son:
433<br />
a = 2, para <strong>la</strong> que m = 1, n = 3 y N = 4,<br />
a = 9, para <strong>la</strong> que m = 6, n = 15 y N = 21 y<br />
a = 50, para <strong>la</strong> que m = 35, n = 85 y N = 120.<br />
Por lo tanto <strong>la</strong> respuesta a <strong>la</strong> primera pregunta es N = 4 y a <strong>la</strong> segunda es<br />
N = 21.
Índice alfabético<br />
(Ω, A), 6<br />
(Ω, A, µ), 13<br />
(R, B(R), m), 61<br />
(R, L(R), m), 61<br />
A n ↓ A, 9<br />
A n ↑ A, 9<br />
DF x, 207<br />
F ∗µ, 128<br />
Hf(x), 190<br />
J(T ), 203<br />
L 2 , 184<br />
L p, 240<br />
M i , 108<br />
P f (x, r), 189<br />
S ∞, 317<br />
Ω, 5<br />
α(C), 6<br />
α P , 108<br />
β P , 108<br />
δ x, 13<br />
ínf ∫ ∅, 19, 20, 42<br />
Ω h dµ, 85<br />
∫ b<br />
a f(x) dx, 109<br />
λ ≪ µ, 168<br />
λ + , 161<br />
λ 1 ⊥ λ 2 , 161, 179<br />
lím sup A n, lím inf A n, 9<br />
| P |, 108<br />
| λ |, 161<br />
| µ |, 165<br />
µ 1 × µ 2 , 123<br />
µ 1 × µ 2 , 346, 347<br />
‖ T ‖, 248<br />
‖ µ ‖, 166<br />
‖ f ‖ ∞, 234<br />
‖ f ‖ ′ ∞, 327<br />
‖ f ‖ p, 233<br />
π s, 348<br />
π JI , 349<br />
σ x =, 281<br />
σ(C), 6<br />
sup ∅, 20, 42, 86<br />
c 0 , 299<br />
d(A), 20<br />
d(∅) p , 20<br />
dλ/dµ, 174<br />
m i , 108<br />
v F , 194<br />
x ⊥ y, 278<br />
A, 5<br />
A 1 ⊗ · · · ⊗ A n, 119<br />
A 1 × · · · × A n, 119<br />
A B , 51<br />
A I , 348<br />
A T , 348<br />
B(Ω), 6<br />
C 0 (X ), 329<br />
C c(X ), 322<br />
E ′ , 250<br />
E ∗ , 250<br />
E ∗∗ , 250<br />
F(A), 77<br />
L(R), 29<br />
L(R n ), 35<br />
L 1 , 85<br />
L 1 (Ω, K), 85<br />
L 1 [Ω, A, µ, K], 85<br />
L ∞, 234<br />
L ∞(Ω, K), 234<br />
L p, 233<br />
L p(T ), 295<br />
L p(Ω, A, µ, K), 233<br />
L 1loc , 189<br />
M(C), 10<br />
M + r , 335<br />
N , 234<br />
434
ÍNDICE ALFABÉTICO 435<br />
N ∗ , 234<br />
S, 77, 244<br />
˜S, 244<br />
T L , 355<br />
X I , 348<br />
λ − , 161<br />
abierto re<strong>la</strong>tivamente compacto, 320<br />
absoluta continuidad<br />
<strong>de</strong> medidas, 88, 168<br />
Agnesi, M.C.(1718–1799), 231<br />
álgebra <strong>de</strong> Banach, 307<br />
anillo, 5, 401<br />
aplicación<br />
cerrada, 291<br />
<strong>de</strong> c<strong>la</strong>se 1, 207<br />
<strong>de</strong> c<strong>la</strong>se ∞, 207<br />
<strong>de</strong> c<strong>la</strong>se m, 207<br />
diferenciable, 207<br />
medible, 74<br />
aplicación lineal tangente, 207<br />
Axioma<br />
<strong>de</strong> Arquíme<strong>de</strong>s, 3<br />
<strong>de</strong> eleccion, 62, 70<br />
base<br />
<strong>de</strong> un cilindro medible, 149<br />
<strong>de</strong> un espacio topológico, 7<br />
ortonormal, 282<br />
Bernoulli, D.(1700–1782), 313<br />
borelianos, 6<br />
c.s., 54<br />
carácter, 306<br />
carga, 50<br />
casi seguro, 54<br />
centro<br />
<strong>de</strong> masa, 140, 221<br />
cilindro, 149, 348<br />
medible, 348<br />
producto finito, 149<br />
c<strong>la</strong>se<br />
elemental, 11, 372<br />
monótona, 9<br />
coeficientes<br />
<strong>de</strong> Fourier, 278<br />
compactificación<br />
<strong>de</strong> Alexandrov, 321<br />
por un punto, 321<br />
compleción, 245<br />
complemento ortogonal, 278<br />
condición<br />
<strong>de</strong> consistencia, 349<br />
<strong>de</strong> Dini, 314<br />
conjunto<br />
L—abierto, 355<br />
µ ∗ –medible, 21<br />
convexo, 280<br />
<strong>de</strong> Cantor, 60<br />
<strong>de</strong> primera categoría, 291<br />
<strong>de</strong> segunda categoría, 291<br />
<strong>de</strong>nso en ningún <strong>la</strong>do, 291<br />
Lebesgue medible, 29<br />
<strong>de</strong> R n , 35<br />
localmente nulo, 234<br />
medible, 6<br />
nulo, 53<br />
negativo, 158<br />
nulo, 158<br />
positivo, 158<br />
convergencia<br />
casi seguro (c.s.), 261<br />
casi uniforme, 261<br />
en L p, 261<br />
en medida, 261<br />
coor<strong>de</strong>nadas<br />
esféricas, 215<br />
hiperesféricas, 218<br />
po<strong>la</strong>res, 215<br />
cubo<br />
semicerrado a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, 30<br />
unidad, 30<br />
curva<br />
<strong>de</strong> Agnesi, 223, 392<br />
curvas <strong>de</strong> Julia, 67<br />
<strong>de</strong>lta <strong>de</strong> Dirac, 13<br />
<strong>de</strong>nsidad, 216, 365<br />
<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> Radon–Nikodym, 174<br />
<strong>de</strong>scomposición<br />
<strong>de</strong> Hahn, 158<br />
<strong>de</strong> Jordan, 161<br />
<strong>de</strong>scomposición<br />
<strong>de</strong> Jordan, 183<br />
<strong>de</strong>sigualdad<br />
<strong>de</strong> Bessel, 279<br />
<strong>de</strong> Cauchy–Schwarz, 238, 276<br />
<strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r, 237<br />
<strong>de</strong> Jensen, 399<br />
<strong>de</strong> Minkowsky, 238
436 ÍNDICE ALFABÉTICO<br />
<strong>de</strong> Tchebycheff, 101, 262<br />
isoperimétrica, 286<br />
diámetro <strong>de</strong> A, d(A), 20<br />
difeomorfismo, 207<br />
diferencia simétrica <strong>de</strong> conjuntos, 53<br />
dimensión<br />
aritmética, 66<br />
<strong>de</strong> Hausdorff, 65<br />
<strong>de</strong> Krull, 66<br />
<strong>de</strong> recubrimientos, 66<br />
<strong>de</strong> retículos, 66<br />
graduada, 66<br />
inductiva, 65<br />
dimensión<br />
<strong>de</strong> Hausdorff, 42<br />
Dirichlet, G.L. (1805–1859), 313<br />
distancia, 20<br />
dual topológico, 250<br />
ecuación<br />
<strong>de</strong>l calor, 316<br />
encoge suavemente, 192<br />
espacio<br />
completo, 13<br />
<strong>de</strong> Banach, 290<br />
<strong>de</strong> Hilbert, 276<br />
<strong>de</strong> medida, 13<br />
<strong>de</strong> Schwartz, S ∞, 317<br />
HLC, 319<br />
métrico, 20<br />
medible, 6<br />
producto, 119<br />
normado cociente, 330<br />
prehilbertiano, 275<br />
reflexivo, 251<br />
topológico<br />
separable, 66<br />
topológico<br />
Hausdorff, 319<br />
localmente compacto, 13, 319<br />
po<strong>la</strong>co, 348<br />
esquinas <strong>de</strong>l rectángulo, 31<br />
Eucli<strong>de</strong>s (300 AC), 1<br />
exponentes conjugados, 236<br />
familia<br />
<strong>de</strong> funciones dirigida superiormente,<br />
339<br />
Fatou, Pierre, 66<br />
forma<br />
<strong>de</strong> volumen, 216<br />
Fourier, J.(1768–1830), 313<br />
fractales, 67<br />
función<br />
λ–integrable, 162<br />
absolutamente continua, 230<br />
función<br />
absolutamente continua, 184, 194<br />
<strong>de</strong> Cantor, 81<br />
<strong>de</strong> distribución<br />
en R, 25<br />
en R n , 31<br />
<strong>de</strong> un número finito <strong>de</strong> variables,<br />
349<br />
<strong>de</strong> variación acotada, 194<br />
en J, 194<br />
esencialmente acotada, 234<br />
factorial, 100<br />
Gamma, 100<br />
integrable, 85<br />
compleja, 85<br />
Lebesgue medible, 74<br />
localmente integrable, 189<br />
maximal <strong>de</strong> Hardy–Littlewood,<br />
190<br />
medible, 74<br />
que se anu<strong>la</strong> en −∞, 194<br />
que se anu<strong>la</strong> en el ∞, 329<br />
Riemann integrable, 109<br />
semicontinua<br />
inferiormente, 322<br />
superiormente, 322<br />
simple, 77<br />
funcional<br />
<strong>de</strong> Radón, 343<br />
positivo, 342<br />
lineal multiplicativo, 308<br />
funciones medibles<br />
equivalentes, 240<br />
grupo<br />
localmente Euclí<strong>de</strong>o, 362<br />
grupo topológico, 351<br />
localmente compacto, 351<br />
Hipótesis ergódica<br />
<strong>de</strong> Boltzman, 267<br />
<strong>de</strong> Maxwell–Boltzman, 273<br />
HLC, 319
ÍNDICE ALFABÉTICO 437<br />
i<strong>de</strong>ntidad<br />
<strong>de</strong> Parseval, 282<br />
igualdad <strong>de</strong> po<strong>la</strong>rización, 277<br />
indicador <strong>de</strong> A, I A , 77<br />
inmersión, 209<br />
integral<br />
<strong>de</strong> Daniell, 354<br />
<strong>de</strong> Riemann, 109<br />
impropia, 110<br />
<strong>de</strong> una función medible, 85<br />
<strong>de</strong> una función simple, 83<br />
fraccional, 224, 395<br />
respecto <strong>de</strong> una<br />
carga, 162<br />
medida, 85<br />
medida compleja, 176<br />
interpretación geométrica<br />
<strong>de</strong> J(T ), 207<br />
<strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminante, 205<br />
isometría, 250<br />
isomorfismo, 250<br />
Julia, Gaston, 66<br />
l.c.s., 234<br />
límite superior (inferior) <strong>de</strong> A n, 9<br />
Lagrange, 313<br />
LaP<strong>la</strong>ce, 313<br />
Legendre, 313<br />
Lema<br />
Borel–Cantelli, 328<br />
<strong>de</strong> Fatou, 96<br />
<strong>de</strong> Urysohn, 322<br />
<strong>de</strong> Zorn, 282, 341<br />
Ley<br />
<strong>de</strong>l paralelogramo, 277<br />
localmente casi seguro, 234<br />
longitud<br />
<strong>de</strong> una curva, 45<br />
<strong>de</strong> una poligonal, 45<br />
Man<strong>de</strong>lbrot, Benoit, 67<br />
matriz<br />
Jacobiana, 208<br />
medida, 12<br />
aditiva, 13<br />
compleja, 164<br />
regu<strong>la</strong>r, 326<br />
concentrada en un conjunto, 179<br />
cuasi–regu<strong>la</strong>r, 324<br />
<strong>de</strong> contar, 13<br />
<strong>de</strong> Haar, 13, 351<br />
<strong>de</strong> Hausdorff, 14, 65, 205<br />
<strong>de</strong> subvarieda<strong>de</strong>s, 207, 212, 213<br />
en R n , 42<br />
p–dimensional, 41<br />
<strong>de</strong> Lebesgue, 13<br />
en R, 29<br />
<strong>de</strong> Lebesgue–Stieltjes, 13<br />
en R, 25<br />
en R n , 31<br />
<strong>de</strong> Radon, 345<br />
<strong>de</strong> transicion, 124<br />
<strong>de</strong>lta <strong>de</strong> Dirac, 13<br />
exterior, 18<br />
<strong>de</strong> Hausdorff, 20<br />
métrica, 38<br />
imagen, 105, 128, 266, 381<br />
producto, 123<br />
real, 161, 164<br />
regu<strong>la</strong>r, 57, 325<br />
exterior, 57, 324<br />
interior, 57, 324<br />
semifinita, 17, 59<br />
σ–finita, 13<br />
medidas singu<strong>la</strong>res, 161, 179<br />
núcleo <strong>de</strong> Fejer, 305<br />
norma, 276, 288<br />
operaciones en R<br />
producto y cociente, 75<br />
suma y or<strong>de</strong>n, 50<br />
ortogonalidad, 278<br />
ortonormal, 278<br />
Papiro <strong>de</strong> Moscú, 1, 427<br />
parametrización, 209<br />
Parseval (i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong>), 282<br />
parte positiva (negativa)<br />
<strong>de</strong> una carga, 161<br />
<strong>de</strong> una función, 74<br />
partición<br />
finita <strong>de</strong> un intervalo, 107<br />
polinomio trigonométrico, 296<br />
Principio<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> acotación uniforme, 291<br />
<strong>de</strong> los buenos conjuntos, 7, 10,<br />
58, 121, 124<br />
probabilidad, 13
438 ÍNDICE ALFABÉTICO<br />
producto<br />
<strong>de</strong> convolución, 144, 156, 300,<br />
302, 308, 318<br />
<strong>de</strong> medidas, 311<br />
<strong>de</strong> medidas<br />
cuasi–regu<strong>la</strong>res, 346, 347<br />
finito <strong>de</strong> medibles, 119, 348<br />
interior, 275<br />
punto recurrente, 268<br />
rectángulo, 29<br />
semicerrado a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha, 29<br />
restricción <strong>de</strong> una medida, 51<br />
restricción <strong>de</strong>nsidad en un punto, 366<br />
retículo vectorial, 353<br />
segundo axioma <strong>de</strong> numerabilidad, 7<br />
semi–intervalos, 29<br />
semi-rectángulo, 29<br />
semicubo, 30<br />
unidad, 30<br />
seminorma, 288<br />
σ–álgebra, 5<br />
<strong>de</strong> Baire, 355<br />
<strong>de</strong> Borel, 6<br />
producto, 119<br />
no numerable, 348<br />
numerable, 149<br />
σ–compacto, 319<br />
simetrización <strong>de</strong> Steiner, 226<br />
soporte<br />
<strong>de</strong> una función, 321<br />
<strong>de</strong> una medida, 339<br />
subespacio invariante por tras<strong>la</strong>ciones,<br />
306<br />
subvariedad diferenciable, 208<br />
sucesión f n <strong>de</strong> Cauchy<br />
casi seguro, 261<br />
casi unif., 261<br />
en medida, 261<br />
<strong>Teoría</strong> Ergódica, 268<br />
Teorema<br />
clásico <strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto,<br />
122, 127<br />
<strong>de</strong> aditividad, 92<br />
<strong>de</strong> aproximación, 53<br />
<strong>de</strong> Baire, 49, 290<br />
<strong>de</strong> Banach–Steinhaus, 291<br />
<strong>de</strong> caracterización, 109<br />
<strong>de</strong> convergencia <strong>de</strong> Vitali, 264<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición<br />
<strong>de</strong> Hahn, 159<br />
<strong>de</strong> Jordan, 161<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>scomposición<br />
<strong>de</strong> Lebesgue, 180<br />
<strong>de</strong> extensión<br />
<strong>de</strong> Caratheodory, 21<br />
<strong>de</strong> Hahn, 23<br />
<strong>de</strong> extensión<br />
<strong>de</strong> Caratheodory, 123<br />
<strong>de</strong> Hahn, 123, 126, 147<br />
<strong>de</strong> Kolmogorov I, 350<br />
<strong>de</strong> Kolmogorov II, 350<br />
<strong>de</strong> Fejer, 314<br />
<strong>de</strong> Fubini, 129, 136, 215<br />
clásico, 132<br />
<strong>de</strong> Hahn–Banach, 251, 288<br />
complejo, 288<br />
<strong>de</strong> Inversion, 303<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> aplicación abierta, 291<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se monótona, 10, 125,<br />
198<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia<br />
dominada, 96, 98, 99, 109, 114,<br />
115, 176, 177, 245, 264, 269,<br />
300, 339<br />
monótona, 91, 92, 95, 96, 130,<br />
170, 213, 255, 266, 382<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> medida producto, 124<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> proyección, 280<br />
<strong>de</strong> Lebesgue, 200<br />
<strong>de</strong> Lusin, 327<br />
<strong>de</strong> ortonormalización <strong>de</strong> Gramm–<br />
Schmidt, 282<br />
<strong>de</strong> Particiones <strong>de</strong> <strong>la</strong> unidad, 324<br />
<strong>de</strong> Pitágoras, 278<br />
<strong>de</strong> P<strong>la</strong>ncherel, 304, 307<br />
<strong>de</strong> punto fijo <strong>de</strong> Kakutani, 351<br />
<strong>de</strong> Radon–Nikodym, 183, 184, 200<br />
I, 170<br />
II, 172<br />
III, 173<br />
<strong>de</strong> Recurrencia <strong>de</strong> Poincare, 268<br />
<strong>de</strong> representación<br />
<strong>de</strong> Daniell-Stone, 356<br />
<strong>de</strong> Riesz, 351<br />
<strong>de</strong> Riesz I, 331<br />
<strong>de</strong> Riesz II, 337<br />
po<strong>la</strong>r <strong>de</strong> una medida, 174, 176
ÍNDICE ALFABÉTICO 439<br />
<strong>de</strong> Riesz, 281<br />
<strong>de</strong> Riesz–Fischer, 280<br />
<strong>de</strong> Unicidad, 303<br />
<strong>de</strong> Vitali–Hahn–Saks, 290<br />
<strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> variable, 214<br />
<strong>de</strong>l gráfico cerrado, 292<br />
Ergódico<br />
maximal, 266<br />
puntual, 267<br />
fundamental <strong>de</strong>l cálculo, 73, 114,<br />
183, 201<br />
tractriz, 426<br />
transformación<br />
conservando <strong>la</strong> medida, 266<br />
ergódica, 267<br />
transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier, 156<br />
en L 1 , 300<br />
en L 1 (T ), 298<br />
en L 2 (T ), 297<br />
<strong>de</strong> Fourier–Stieltjes, 309<br />
valor promedio <strong>de</strong> f en <strong>la</strong> bo<strong>la</strong> B(x, r),<br />
189<br />
variables aleatorias, 74<br />
variación<br />
<strong>de</strong> una carga, 161<br />
variación<br />
<strong>de</strong> una función, 194<br />
en un intervalo, 194<br />
<strong>de</strong> una medida compleja, 165<br />
total <strong>de</strong> una medida compleja,<br />
166