BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI

Bul. Inst. Polit. Iaşi, t. LVIII (LXII), f. 2, 2012 3
composition de deux functions continues T et μ . X est un espace de Tychonoff
pseudocompact et alors chaque function réelle continue sur X est fornée et
attaint ses bornes (sur X). Donc il existe un point u∈ X tel que
φ( u) = inf{ φ( p): p∈X}.
Nous montrerons que u est un point fixe de T et pour cela nous supposons
que u n’est pas un point fixe de T; donc Tu ≠ u et nous prenons x = Tu et y = u
dans l’inégalité (1) en obtenant
min{ μ( T x, Tu), μ( Tu,
T
0< α < 1
2 2
u), μ( uTu , )} + βmi n{ μ( Tu,
Tu), μ( uT , 2 u)}
< αμ( uTu , ).
Alors ils existent les deux cas suivants:
2
min{ ( , )
2 2
a) Si μ uTu μ( Tu, T u)} = μ( Tu,
T u ), on a μ( Tu) < αμ( uTu , ) où
donc
μ TuTu
2
( , ) μ( uTu , )
< et φ(
Tu) < φ( u ), une contradiction.
2 2
b) Si min{ μ( uTu , ) μ( Tu, T u)} = μ(
Tu, T u ), alors μ( uTu , ) 0 u est un fixe unique pour T et pour
β− α<
0 il suit que le point fixe de T n’est pas unique
Maintenant nous nous occuperens des points fixes des suites d’opérateurs
continues d’un certain type de contractivité Tn
: X → X.
T h é o r è m e 2. Soient X un espace de Tychonoff pseudocompact,
μ : X × X →
+
une pseudométrique et ( Tn),
T
n: X→X , n∈ , une suite
d’opérateurs continues sur X qui est convergente (simplement) à une function
continue T: X×
X.
Si chaque opérateurs T n satisfait à l’inégalité (1) pour
n∈ , ∀x, y∈X,
x ≠ y, 0< α < 1, β ∈
+
, β > 0, alors la suite (u n ) des point
fixes des opérateurs T n est convergente au point fixe u ∈ X unique de l’ opérateurs
T.
D é m o n s t r a t i o n. En procédant de la meme manière qul celle du
Théorème 1, il suit qu’il existe un point fixe u n de chaque T n pour β > α .
Alors il nous reste a montrer que μ( u , ) n
u → 0 pour n →∞. Si u n = u
pour une infinite de n, le résultat est demontré.
Si u n = u pour une infinite de n, nous obtenons