BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI

2 Niooleta Negoescu
continue telle que f(x) = 0 et f ( y) = 1, ∀y∈
F.
Les espaces de Tychonoff s’appellent aussi espaces complètement
réguliers. Il est evident que espace complètement régulier (espace T 1 ) est aussi
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un espace régulier (espace T 3 ) et tout espace régulier est aussi un espace T 2
(séparé Hausdorff).
D é f i n i t i o n 2. Un espace topologique X s’appelle pseudocompact si
X est un espace de Tychonoff et chaque function réelle continue, définie sur X
est bornée.
Observations 1. Tout espace compact est aussi un espace pseudocompact;
l’affirmation réciproque n’est pas vraie, cependant dans un espace métrique les
notions d’espace compact et pseudocompact coincident.
2. Le produit cartesien de deux espaces de Tychonoff est aussi un espace
de Tychonoff, mais le produit cartesien de deux espaces pseudocompacts n’est
pas toujours un espace pseudocompact.
L e m m e (Engelking, 1968). Un espace de Tychonoff est
pseudocompact si et seulement si toute function rélle, continue sur X attaint ses
bornes.
D é f i n i t i o n 3. On appelle pseudométrique sur un ensemble
arbitraire, nonvide X une application μ : X × X →
+
qui a les proprétés
suivantes:
i) μ( xx , ) = 0, ∀x∈
X;
ii) μ( xy , ) = μ( yx , ), ∀xy , ∈ X;
iii) μ( xy , ) ≤ μ( xz , ) + μ( zy , ), ∀xyz , , ∈ X.
Observation 3. La pseudométrique μ est une function continue. Dans ce
qui suit nous présentons trios resultants de point fixe en partant des notes de L.
B. Cirić (1974), S. N. Lal et Mohan Das (1982) et de Nicoleta Negoescu (1998;
1989).
T h é o r è m e 1. Soient X un espace de Tychonoff pseudocompact,
T : X → X un opérateurs continu sur X et μ : X × X → une pseudométrique
qui satisfont à l’inégalité
min{ μ( Tx, Ty), μ( xTx , ), μ( yTy , )} + βmin{ μ( xTy , ), μ( yTx , )} < αμ( xy , )
pour x, y ∈X , x ≠ y, 0< α < 1 et β ∈
+
.
D é m o n s t r a t i o n. Soit l’application φ:
X →
+
définie par
φ( p=μ ) ( p,Tp ) por ∀p∈X.
φ est une application continue car elle est la
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