BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI
buletinul institutului politehnic din iaşi - Universitatea Tehnică ...
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2 Niooleta Negoescu<br />
continue telle que f(x) = 0 et f ( y) = 1, ∀y∈<br />
F.<br />
Les espaces de Tychonoff s’appellent aussi espaces complètement<br />
réguliers. Il est evident que espace complètement régulier (espace T 1 ) est aussi<br />
3 2<br />
un espace régulier (espace T 3 ) et tout espace régulier est aussi un espace T 2<br />
(séparé Hausdorff).<br />
D é f i n i t i o n 2. Un espace topologique X s’appelle pseudocompact si<br />
X est un espace de Tychonoff et chaque function réelle continue, définie sur X<br />
est bornée.<br />
Observations 1. Tout espace compact est aussi un espace pseudocompact;<br />
l’affirmation réciproque n’est pas vraie, cependant dans un espace métrique les<br />
notions d’espace compact et pseudocompact coincident.<br />
2. Le produit cartesien de deux espaces de Tychonoff est aussi un espace<br />
de Tychonoff, mais le produit cartesien de deux espaces pseudocompacts n’est<br />
pas toujours un espace pseudocompact.<br />
L e m m e (Engelking, 1968). Un espace de Tychonoff est<br />
pseudocompact si et seulement si toute function rélle, continue sur X attaint ses<br />
bornes.<br />
D é f i n i t i o n 3. On appelle pseudométrique sur un ensemble<br />
arbitraire, nonvide X une application μ : X × X →<br />
+<br />
qui a les proprétés<br />
suivantes:<br />
i) μ( xx , ) = 0, ∀x∈<br />
X;<br />
ii) μ( xy , ) = μ( yx , ), ∀xy , ∈ X;<br />
iii) μ( xy , ) ≤ μ( xz , ) + μ( zy , ), ∀xyz , , ∈ X.<br />
Observation 3. La pseudométrique μ est une function continue. Dans ce<br />
qui suit nous présentons trios resultants de point fixe en partant des notes de L.<br />
B. Cirić (1974), S. N. Lal et Mohan Das (1982) et de Nicoleta Negoescu (1998;<br />
1989).<br />
T h é o r è m e 1. Soient X un espace de Tychonoff pseudocompact,<br />
T : X → X un opérateurs continu sur X et μ : X × X → une pseudométrique<br />
qui satisfont à l’inégalité<br />
min{ μ( Tx, Ty), μ( xTx , ), μ( yTy , )} + βmin{ μ( xTy , ), μ( yTx , )} < αμ( xy , )<br />
pour x, y ∈X , x ≠ y, 0< α < 1 et β ∈<br />
+<br />
.<br />
D é m o n s t r a t i o n. Soit l’application φ:<br />
X →<br />
+<br />
définie par<br />
φ( p=μ ) ( p,Tp ) por ∀p∈X.<br />
φ est une application continue car elle est la<br />
(1)