de la 6 Rencontre du Non-Linéaire

Y. Pomeau et R. Ribotta
Compte-rendus
de la
6 e Rencontre du Non-Linéaire
Paris 2003

Non Linéaire Publications
Bât. 510 Université de Paris-sud, 91405 ORSAY cedex
pnl@lps.u-psud.fr
http://pnl.lps.u-psud.fr/pnl
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Dépôt légal : 04.03
ISBN 2-9516773-2-4
EAN 9782951677326

RENCONTRES DU NON LINÉAIRE
Institut Henri Poincaré, PARIS,
13-14 mars 2003
Nous remercions vivement Michel Broué, Directeur de
l’Institut Henri Poincaré pour son aide à l’organisation
de ces Rencontres, et le CNRS/SPI pour son soutien
financier par le GDR ”Physique Non Linéaire”.
LesRencontresannuellesduNonLinéaire sont organisées par :
Serge Aubry
Pierre Collet
Pierre Coullet
Pierre Glorieux
Vincent Hakim
Alain Joets
Christophe Letellier
Laurent Larger
Yves Pomeau
Roland Ribotta
Jean-Claude Saut
Bernard Schmitt
Labo. Léon Brillouin - CEA Saclay
Centre Phys. Théor.- Polytechnique
INLN Univ. Nice-Sophia-Antipolis
Labo. PhLAM - Univ. Lille1
Labo. Phys. Stat.- ENS - Paris
Labo. Phys. Solides - Orsay
Coria - Rouen
Labo. Duffieux - Besançon
Labo. Phys. Stat.- ENS Paris
Labo. Phys. Solides - Orsay
Labo. Anal. Num. EDP - Orsay
Labo. Topologie - Univ. Bourgogne. Dijon
Ces compte-rendus et ceux des années précédentes sont disponibles
auprès de :
Non Linéaire Publications
Bât. 510, Université de Paris-sud, 91405 ORSAY cedex
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le serveur :
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Renseignements :
pnl@lps.u-psud.fr,

i
Sommaire
Dynamiques non-linéaires d’une aimantation soumise à une excitation par
feedback électronique en Résonance Magnétique Nucléaire en phase liquide
D. Abergel, A. Louis-Joseph ............................................. 1
Etude d’un système de Taylor-Couette ouvert
A. Ait Aider, S. Skali, J.-P. Brancher .................................... 7
Instabilités de membranes biologiques inhomogènes
J.M. Allain, M. Ben Amar .............................................. 13
Observation expérimentale et modélisation de bursting dans les oscillateurs
paramétriques optiques
A. Amon, M. Nizette, M. Lefranc et T. Erneux ............................ 19
Instabilités laser spatio-temporelles dans un milieu à élargissement homogène
D. Amroun, M. Brunel, C. Letellier, H. Leblond, F. Sanchez ................. 25
Une application du contrôle d’états instables dans un système optique
d’intérêt pratique:le laser impulsionnel (pico- ou femto-seconde) avec
pertes saturables
N. Joly et S. Bielawski .................................................. 31
Modélisation globale de systèmes chaotiques :vers une extension de la bibliothèque
de modèles
M-A Boiron, J-M Malasoma ............................................ 37
Ondes stationnaires et progressives dans la convection de Rayleigh-Bénard
en géométrie cylindrique
K. Boronska, L. S. Tuckerman ........................................... 43
Mécanismes d’induction en magnétohydrodynamique
M. Bourgoin, R. Volk, P. Odier et J.-F. Pinton ............................ 47
Influence de la non localité spatiale sur la dynamique photo-induite d’un
film de cristal liquide nématique
E. Brasselet, B. Doyon, T. V. Galstian, L. J. Dubé ......................... 53

ii
Caractérisation d’instabilités dans un plasma cylindrique magnétisé delaboratoire
F. Brochard, E. Gravier, G. Bonhomme ................................... 59
Étude de chaos sur le laser àélectrons libres de Super-ACO
C. Bruni, G. L. Orlandi, D. Garzella, R. Bartolini, M.E. Couprie ............ 65
Violation du théorème fluctuation-dissipation pendant le vieillissement d’un
verre de polymère
L. Buisson, S. Ciliberto, A. Garcimartín .................................. 71
Cordes vibrantes avec obstacles
H. Cabannes, L. Pasol .................................................. 77
Interactions des spirales contrapropagatives observées dans un écoulement
de Couette-Taylor non-newtonien.
O. Crumeyrolle, N. Latrache, I. Mutabazi ................................. 83
Interaction entre couche d’Ekman et vortex de Taylor
O. Czarny, E. Serre, P. Bontoux, R. M. Lueptow .......................... 89
Etude expérimentale de la propagation d’une flamme sur un combustible
liquide
E. Degroote et P.L. Garcia-Ybarra ....................................... 95
Criticalidad de la propagación de una llama sobre combustibles líquidos
E. Degroote et P.L. Garcia-Ybarra ....................................... 98
Estimation d’attracteurs étranges, robustesse par rapport aux petites variations
des paramètres
S.Derivière & Aziz Alaoui ...............................................101
Application de l’acoustique non linéairedanslecontrôle non destructif :mesure
du paramètre non linéaire de la silice par une méthode de modulation
de phase
S. Dos Santos, M. Vila, F. Vander-Meulen, L. Haumesser et O. Bou Matar ....107
Excitation des solitons et des états liés de solitons dans un canal en eau
peu profonde
A.B. Ezersky, J. Brossard, F. Marin et I. Mutabazi .........................113
Observation d’ondes solitaires dépressions à la surface d’une fine couche de
fluide
E. Falcon, C. Laroche et S. Fauve ........................................119
Oscillations chaotiques de la phase optique pour la sécurisation des télécommunications
optiques haut-débit
E. Genin, L. Larger, J.P. Goedgebuer .....................................125

iii
Instabilité deflambementlorsduséchage de gouttes polymères
Y. Gorand, L. Pauchard, G. Calligari, J.P. Hulin, C. Allain .................131
Verrouillage en phase de paires de solitons optiques dans un laser àfibre
Ph. Grelu, F. Belhache et J.M. Soto-Crespo ............................... 137
Route vers la synchronisation chaotique dans des systèmes d’applications
couplées
P. Guiraud ............................................................143
Déformations dynamiques spontanées dans des cylindres de gel:un exemple
de processus chimiomécanique
V. Labrot, F. Gauffre, P. De Kepper, J. Boissonade ........................ 149
Dispersion anormale des spirales dans le système de Couette-Taylor
N. Latrache, A. Ezersky, I. Mutabazi ..................................... 155
Solutions analytiques et numériques d’un système dynamique en magnétohydrodynamique
idéale
A. Laurian, S. Bouquet .................................................161
Signature topologique de chaos déterministe dans un oscillateur paramétrique
optique
A. Amon et M. Lefranc .................................................167
Un modèle stochastique pour l’écoulement de Von-Karman
N. Leprovost, L. Marié, B. Dubrulle ......................................173
Un modèle chaotique pour l’activité solaire
C. Letellier, J. Maquet, L.A. Aguirre, R. Gilmore & T. Dudok de Wit ........ 179
Information et réseaux complexes dans la société
Luis López et Miguel A. F. Sanjuán ......................................185
Généralisation des équations de Ku, de Moore et Spiegel et de Auvergne
et Baglin
J.-M. Malasoma, M.-A. Boiron ..........................................191
Transport de moment cinétique dans l’écoulement de von Kármán
L.Marié, F. Daviaud ................................................... 197
Structures résonnantes dans des systèmes à deux longueurs d’ondes compétitives
S. Métens, P. Borckmans ............................................... 203
Une relation de von Kármán en Magnétohydrodynamique hélicitaire
T. Gomez, H. Politano, A. Pouquet ...................................... 207
L’instabilité centrifuge d’une colonne de plasma en champ magnétique.
Comparaison avec une situation analogue en mécanique des fluides
I. Nanobashvili, P. Devynck, Th. Pierre, A. Escarguel, G. Leclert, D. Guyomarc’h 212

iv
Nonlinéarités Géantes de Cristaux Liquides Nématiques Dopés par les Colorants:Effets
de Surface et de Volume
A. Petrosyan et S. Residori ............................................. 217
Sélection des vecteurs d’ondes lors de la déstabilisation d’une structure
hexagonale
C. Pirat, L. Gil ........................................................223
Modélisation d’ondes non linéaires en convection tournante :effets des conditions
limites et de la topologie
Emmanuel Plaut .......................................................229
Etude du phénomène d’explosion pour l’équation de Schrödinger non linéaire
critique
P.Raphaël, F.Merle .................................................... 235
Excitation et dynamique des structures localisées optiques.
S. Residori, T. Nagaya, A. Petrossian .................................... 241
Etude théorique du laser à fibre dopée erbium en anneau unidirectionnel
fonctionnant en régime soliton.
M. Salhi, H. Leblond et F. Sanchez .......................................247
Approche globale et locale du “rhéochaos” dans un fluide complexe
J.-B. Salmon, S. Manneville, A. Colin, D. Roux ........................... 253
Diffusion Dirigée d’atomes froids dans un réseau optique symétrique
L. Sanchez-Palencia, M. Schiavoni, F. Renzoni et G. Grynberg ...............259
Structures fractales et capacité deprédiction dans certains systèmes dynamiques
non linéaires
Jacobo Aguirre et Miguel A. F. Sanjuán ...................................265
Croissance lente d’une fissure par activation thermique.
S. Santucci, L. Vanel, S. Ciliberto ........................................271
Évolution des fonctions densité de probabilité desincréments de vitesse en
turbulence homogène et inhomogène
C. Simand Vernin, F. Chillà, J.-F. Pinton ................................ 277
Papier froissé. Approche unidimentionnelle.
E. Sultan, A. Boudaoud .................................................283
Etude de la formation de structures spatio-temporelles dans un oscillateur
paramétrique optique à miroirs sphériques
M. Le Berre, E. Ressayre et A. Tallet .....................................289
Solutions analytiques et boucles de rétroaction de systèmes chaotiques
C. Letellier, O. Vallée ................................................. 295

v
Intermittence des instabilités petite échelle dans la convection de Rayleigh-
Bénard forcée par un écoulement cisaillant
V. Vidal, C. Crambes et A. Davaille ......................................301
Calcul des bifurcations et des branches bifurquées par une méthode asymptotique
numérique
Boutyour, H. Zahrouni, M. Potier-Ferry, M. Boudi .........................307

encontre du non-linéaire 2003 1
Dynamiques non-linéaires d’une aimantation soumise à une excitation
par feedback électronique en Résonance Magnétique Nucléaire en phase
liquide
D. Abergel 1 et A. Louis-Joseph 2
1) Laboratoire de Chimie, Ecole Normale Supérieure,
24, rue Lhomond, 75005 Paris
2) Département de Chimie, Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau CEDEX
Daniel.Abergel@ens.fr
Résumé
La description des expériences de résonance magnétique nucléaire (RMN) àhaut
champ en phase liquide repose sur des équations essentiellement linéaires. Dans le cas
par exemple de spins non couplés la dynamique de l’aimantation macroscopique est
correctement décrite par les équations de Bloch [1]. Cependant, dans le cas d’une forte
aimantation (générée par un grand nombre de spins, i.e. le solvant en pratique, et en
présence d’un champ d’induction intense B 0 )etd’uncircuitdedétection de facteur
de qualité Q élevé, l’interaction entre l’aimantation et le circuit de détection provoque
l’apparition d’un champ RF de rétroaction B R D de la bobine de détection suffisamment
intense pour influer sur la dynamique de l’aimantation, et donnant lieu au
phénomène parasite de “radiation damping”[2]. Pour éliminer les effets de ce champ parasite
dont l’existence altère souvent la qualité des expériences, l’approche développée
au laboratoire DCSO de l’Ecole Polytechnique [3] a été de construire un dispositif de
feedback électronique afin de créer dans l’échantillon un champ correcteur permettant
de contrôler (annulation, amplification ou inversion de l’effet). Outre ses applications
dans la pratique de la RMN à haute résolution, ce dispositif a permis d’observer des
comportements non conventionnels de l’aimantation et de concevoir un type nouveau
d’impulsion sélectives directement liés à la non linéarité des équations du mouvement,
qui seront passés en revue dans cet article.
1 Introduction
Dans les conditions habituelles des expériences de résonance magnétique nucléaire à
haut champ et en phase liquide, la dynamique d’un ensemble de spins non couplés entre
eux (en dehors d’interactions à l’origine de phénomènes de relaxation) est bien décrite par
les équations de Bloch [1]. Dans ces conditions, le comportement des spins correspond à
un mouvement de précession de l’aimantation macroscopique autour d’un vecteur champ
magnétique combiné à l’atténuation de ses composantes longitudinale et transversales avec
les temps de relaxation respectifs T 1 et T 2 . Cependant, dans certaines circonstances, ce
caractère linéaire de l’évolution de l’aimantation disparaît : c’est le cas en présence du
phénomène d’amortissement par rayonnement cohérent, connu sous le vocable anglais de
“radiation damping” [2], qui résulte de l’interaction de l’aimantation avec le circuit de
détection du spectromètre, ou également lorsque les effets de champ dipolaire sont importants
[4]. En effet, ces deux phénomènes, bien que d’origines très différentes, provoquent
l’apparition d’un champ magnétique qui est fonction des composantes de l’aimantation.
On s’intéressera ici uniquement aux questions liés au radiation damping. Les conséquences
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

2 D. Abergel, A. Louis-Joseph
pratiques dans le domaine de la spectrométrie de RMN à haut champ sont souvent une
altération de la qualité des expériences, ainsi que l’apparition de signaux anormaux dans
certaines expériences de RMN bidimensionnelles [5]. Dans le but initial de contrôler le
radiation damping en RMN à haute résolution afin d’améliorer la qualité de certaines
expériences, un système de feedback électronique avait été mis au point au laboratoire
DCSO de l’Ecole Polytechnique [3]. Par ailleurs, certaines manifestations et applications
directement liées au caractère non linéaire du dispositif sont également apparues, que nous
allons passer en revue dans la suite de cet article. Dans le paragraphe 2, les phénomènes de
radiation damping et le principe du système de feedback seront très brièvement exposés.
Dans le paragraphe 3, le concept d’impulsion sélective asservie auto-calibrée sera présenté.
La section 4 exposera certaines observations récentes de dynamique non conventionnelle.
Enfin, la possibilité de solutions chaotiques sera discutée dans ce contexte.
2 Présentation succinte du Radiation Damping et de son
contrôle en RMN haute résolution en phase liquide
Soit une aimantation M plongée dans un champ magnétique d’induction B 0 et soumise
à un champ de radiofréquence (RF) B 1 . Lorsque l’aimantation est écartée d’un angle
θ par rapport àsapositiond’équilibre, la projection dans le plan xy est M xy et la précession
de M crée une fém induite, dans la bobine de détection, proportionnelle àladérivée de
M xy . Le courant parcourant la bobine est alors à l’origine d’un champ B RD situé dans
le plan xy, perpendiculaire et proportionnel à M xy et le mouvement est décrit par les
équations de Bloch modifiées [6] :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Ṁ x = δM y − γµ 0ηQ
M z M x
2
Ṁ y = −δM x − ω 1 M z − γµ 0ηQ
M z M y
2
Ṁ z = ω 1 M y + γµ 0ηQ
(Mx 2 + My 2 )
2
(1)
où δ = ω rf − ω 0 est le déplacement de fréquence dans le repère tournant, γ est le rapport
gyromagnétique et B 1 = ω 1 /γ un champ de radiofréquence parallèle à l’axe x du repère
tournant, η est le facteur de remplissage et Q le facteur de qualité delasonde.Danscecas
simple où B 1 = 0, l’aimantation évolue sur une sphère et la solution exprimée en fonction
des angles (θ, φ) est:
tan(θ/2) = tan(θ 0 /2) exp [−γµ 0 ηQM(t 0 )(t − t 0 )/2] (2)
L’action de B RD est donc de ramener le vecteur d’aimantation vers sa postion d’equilibre
en se déplaçant sur la sphère de rayon M(t 0 ), l’intensité de l’aimantation au temps initial.
A chaque instant, le champ B RD est proportionnel à la composante transverse de
l’aimantation. Il a été démontré qu’endétectant cette dernière, en lui imposant des corrections
de phase et de gain par une électronique appropriée et en la réintroduisant dans
le circuit détection/excitation, on peut ainsi générer un champ de compensation B FB
dans l’échantillon, permettant d’annuler B RD ,maiségalement de l’amplifier ou encore de
l’inverser, ce qui permet de réaliser une inversion de l’aimantation.

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1.0
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1.0
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
Dynamique non linéaire en RMN 3
......... .. ........................ .. ..... .... .. ..................................................................................... .. .......... ........ .................. .. ....
................................................................................................
.
.. ............. .......... .. ..................................... ............ ..................... .. .......
................................................................................................................................
.................................................................
B FB
B RD
M
B FB
m t
(a)
(b)
(c)
Fig. 1: Effet du radiation damping après une impulsion d’un angle variable θ 0 . Les traces correspondent
respectivement aux composantes M x (trait plein) et M z (pointillés). On remarque le
maximum de M x lorsque l’aimantation passe par le plan xy (M z =0). a) θ 0 = π/2; b)θ 0 =0.98π.
c) Le champ de radiation damping est en retard de π/2 radians par rapport la composante transversale
de l’aimantation. Deux exemples de champ de feedback sont représenté, respectivement opposé
à B RD (ψ = π/2 : annulation du radiation damping) et amplification du radiation damping (ψ
entre 0 et −π)
3 Application : le concept d’impulsions asservies auto-calibrées
En combinant les champs B RD et B FB dans un seul terme dans les équations du mouvement,
le champ global de contre-réaction que subit M peut s’écrire B cr = γGM t e −iψ ,
avec M t = M x + iM y .
La dynamique de l’aimantation en présence d’un champ de feedback obéit donc aux
équations de Bloch modifiées suivantes (en tenant compte de la relaxation T 1 et T 2 ):
⎧
⎨
⎩
Ṁ x = δM y + γGM z (M x sinψ − M y cosψ) − M x /T 2
Ṁ y = −δM x − ω 1 M z + γGM z (M x cosψ + M y sinψ) − M y /T 2 (3)
Ṁ z = ω 1 M y − γGsinψ(Mx 2 + My 2 ) − (M z − M 0 )/T 1
Dans le cas du radiation damping seul, on a ψ = −π/2 etG = µ 0 ηQ/2. Lors d’une
expérience de RMN impulsionnelle par transformée de Fourier [7], des impulsions de radiofréquence
sont très fréquemment utilisées pour amener l’aimantation de l’axe z vers le
plan xy, ou l’inverse. On impose pour cela un champ RF B 1 pendant une durée τ p telle
que γB 1 τ p = π/2 ouπ. Remarquons cependant que le but est le plus souvent d’amener
l’aimantation dans une direction donnée de l’espace. On peut dire que le radiation damping
représente un cas très particulier d’une impulsion quiamènerait l’aimantation vers +z
par un mouvement de précession autour du champ B RD . Remarquons également qu’elle
s’y maintient, puisqu’alors le champ de contre-réaction est nul, la composante dans le plan
transverse de M étant nulle. Enfin, notons le fait important que ceci reste vrai quelle que
soit la position initiale de l’aimantation.
Impulsions π [8] - Si on applique un champ de feedback de sens opposé à B RD et plus
intense que ce dernier, l’effet sera une précession amenant l’aimantation vers −z. Dans
cette situation où ψ =+π/2 la solution pour θ s’écrit en effet (on néglige la relaxation) :
tan(θ/2) = tan(θ 0 /2) exp [γGM(t 0 )(t − t 0 )] (4)
Par conséquent, la trajectoire de l’aimantation se termine de façon asymptotique au pôle
sud de la sphère de rayon M(t 0 ). Comme ceci reste vrai quelque soient les angles (θ 0 ,φ0)

4 D. Abergel, A. Louis-Joseph
M i
M i
M i
m t
?
?
M i
M f
M f
(a) Impulsion π (inversion)
(b) Impulsion π/2
(basculement vers le
plan xy)
Fig. 2: Impulsions asservies auto-calibrées : pour une même calibration de phase de correction et
de gain de rétroaction, deux états initiaux différents de l’aimantation aboutissent au même état
final.
définissant la position initiale de l’aimantation, on peut appeler cette impulsion π autocalibrée.
Impulsions π/2 [9] - S’il est relativement aisé de comprendre que l’on puisse générer des
impulsions π asservies et auto-calibrées au sens vu plus haut, dans la mesure où lechamp
de feedback s’annule lorsque la projection de l’aimantation dans le plan transversal xy
est nulle, il est en revanche plus difficile de concevoir une impulsion de même nature
(asservie et auto-calibrée) qui amènerait l’aimantation dans le plan xy (impulsion π/2)
alors que le champ de feedback y est à son maximum d’intensité. La solution proposée
est d’introduire un champ RF B 1 constant dans le repère tournant. On montre, par la
recherche des points fixes et l’étude de leur stabilité, que sous certaines conditions il existe
en effet une solution stationnaire dans le plan. Cependant, ces résultats reposent sur le
modèle simplifié etsil’onprendencomptelesphénomènes de relaxation T 1 et T 2 , une
étude numérique est nécessaire. Il est très intéressant de remarquer que pour des valeurs
raisonnables des différents paramètres expérimentaux, l’aimantation se stabilise de façon
transitoire dans le plan xy. La confirmation expérimentale de ces prédictions est présentée
dans la figure 3
4 Dynamique non linéaire de l’aimantation : rôledelarelaxation
Reviviscences du signal On considère à nouveau le cas où B 1 =0.L’élément important
àconsidérer est l’effet de la relaxation longitudinale T 1 . En effet, l’action d’un
champ de feedback qui tend à aligner l’aimantation avec la direction −z se trouve en
compétition avec le processus de relaxation T 1 qui rétablit l’équilibre thermodynamique
des populations, et ramène l’aimantation vers +z. On peut montrer que selon la valeur
des paramètres expérimentaux (T 1 , T 2 , phase et gain du feedback, ...), l’évolution se fait
soit vers l’équilibre thermodynamique soit vers un mouvement de précession autour d’un
champ stationnaire. De plus, l’évolution transitoire est faite de battements tout àfaitinhabituels
donnant lieu à des reviviscences du signal de précession libre qui s’atténuent avec
la constante de temps T 1 .Cesprédictions sont partiellement confirmées par les expériences
où l’on observe bien une reviviscence du signal mais pas de décroissance. Ces prédictions
sont illustrées sur la Figure 4. L’introduction de l’hypothèse supplémentaire de l’existence

0.866
0.692
0.519
0.345
0.171
−0.002
−0.176
−0.350
−0.523
−0.697
−0.871
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. . . .. .. . . .
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
×
.. ..
...
..
...
.
. ...
....... .
..... ....
....................
..... ...
..
0.7
0.5
0.3
0.1
−0.1
−0.3
−0.5
−0.7
−0.9
Dynamique non linéaire en RMN 5
Z
1
0
........
..... .......
..........
..................
..........
.........
.
..
....
.⊕
.
.
..
......................... ..
. ..................................................................
. ....
.. . ....... . ................
. . ... . . ................ ...
..
.. .
........................................................ .. .. ..
−1
−1
0
X
1
−1
0
Y
1
(a)
(b)
Fig. 3: a)Simulation de la dynamique de l’aimantation soumise à l’irradiation combinée d’un
champ de rétroaction et d’un champ RF constant. T 1 =3s, T 2 = 400msSmodifiées b)Spectres
obtenus après irradiation simultanée par champ de RF constant B 1 et champ de feedback B FB .
Chaque trace correspond au spectre obtenu après une irradiation d’une durée croissante. Après
une oscillation de la phase du signal des spectres obtenus pour des durées d’évolution plus courtes
(< 100ms), reflètant la précession autour du champ résultant durant la période d’irradiation, les
spectresacquièrent ensuite une phase et un intensité constantes, pour des durées d’irradiation de
plusieurs dizaines de ms.
champ B 0 inhomogène a finalement permis d’expliquer ces différences.
0 4 8 12 16 20 24 28 32
(a) Pas d’ihnomogénéité
deB
(b) ihnomogénéité de
0
0 4 8 12 16 20 24 28 32
(c) Expérience
B 0
time(s)
Fig. 4: Composantes longitudinale (bleu) et M x (noir) de l’aimantation soumise àunchampde
feedback amenant l’aimantation vers −z. a)Ladurée de la première inversion est de quelques
dizaines de ms. Puis, la composante transversale reste très faible et lorsque sous l’effet de T 1 ,la
condition γG|M| >T 2 est réalisée, une seconde inversion est réalisée, et ainsi de suite. b) En
présence d’inhomogéniéités de B 0 , on n’observe pas la décroissance caractéristique en T 1 .c)Signal
expérimental. La durée d’observation est de 32s
5 Conclusion : Dynamique chaotique en RMN à haute résolution?
Dans cet article, nous avons passé en revue un certain nombre de situations dans
lesquelles une aimantation adoptait des comportements dynamiques non linéaires. Des
simulations ont permis de déterminer des configurations de paramètres pour lesquelles,
en présence d’un champ de radiofréquence B 1 ,leséquations de Bloch modifiées peuvent
donner lieu à des solutions chaotiques [10], ce qui ne semble pas être le cas si B 1 =0.
Ceci est intéressant dans la mesure où, dans le contexte de la RMN en phase liquide, ce

6 D. Abergel, A. Louis-Joseph
système tridimensionnel d’équations différentielles est le plus simple pouvant donner lieu
à des comportements chaotiques. Cependant, la présence d’inhomogénéités du champ B 0 ,
importante àconsidérer en pratique, introduit un changement dans la dimensionnalité
du problème, car on considère alors un ensemble d’isochromats, dont les aimantations
individuelles sont couplées entre elles de façon non linéaire, ce qui rend en principe possible
l’existence de comportements chaotiques, y compris en l’absence de radiofréquence B 1 .Ces
aspects sont l’objet de recherches en cours.
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(a)
(b)
Fig. 5: Illustrations de dynamiques chaotique des équations de Bloch non linéaires a) sensibilité
aux conditions initiales : l’attracteur chaotique est représenté enpointillés et les losanges correspondent
aux images de conditions initiales de l’aimantation contenues dans une boîte de 10 −3 M 0
de côté; b) diagramme de bifurcation en fonction de la phase du cham de feedback. Les maxima
de la composante M x de l’aimantation sont représentés en fonction de la phase ψ du champ de
feedback.
Références
[1] A. Abragam,Principles of Nuclear Magnetism, Oxford University Press (1961)
[2] N. Bloembergen and R.V. Pound,Phys. Rev.,95, 8 (1954)
[3] A. Louis-Joseph, D. Abergel and J.-Y. Lallemand, Journal of Biomolecular NMR, 5,
212 (1995)
[4] G. Deville, M. Bernier and J. M. Delrieux Phys. Rev. B, 19 (1979) 5666.
[5] M.A. McCoy and W.S.Warren, Journal of Chemical Physics, 93,858 (1990)
[6] S. Bloom, Journal of Applied Physics,28, 800 (1957)
[7] R. R. Ernst, G. Bodenhausen and A. Wokaun, Principles of Nuclear Magnetic Resonance
in One and Two Dimensions, Oxford University Press, London (1987)
[8] D. Abergel, A. Louis-Joseph and J.-Y. Lallemand, Chemical Physics Letters,262, 465
(1996)
[9] D. Abergel, A. Louis-Joseph and J.-Y. Lallemand, Journal of Chemical Physics,112,
6365 (2000)
[10] D. Abergel, Physics Letters A,302, 17 (2002)

encontre du non-linéaire 2003 7
Etude d’un système de Taylor-Couette ouvert
A. Ait Aider 1,2 ,S.Skali 2 et J.-P. Brancher 2
1 Département de Mécanique, Université de Tizi Ouzou, Algérie
2 LEMTA, INPL, 2 Avenue de Forêt de Haye, 54504 Vandoeuvre Cedex
aitaider@yahoo.com
Résumé
Dans l’étude que nous présentons, l’écoulement ne fait pas le tour complet de
l’espace annulaire ; il rentre dans ce dernier et le quitte continûment dans un cas et il
est forcé de se renverser, partiellement ou totalement, dans les deux autres cas. Nous
distinguons trois zones où se produisent simultanément des phénomènes physiques
différents : l’entrée, la sortie et la partie centrale de l’écoulement. Nous faisons nos
observations dans chacune de ces zones, pour les mêmes valeurs des paramètres de
contrôle, de façon à obtenir une image complète de l’écoulement. Nous décrivons les
mécanismes de formation des structures auxquelles donnent naissance les instabilités
et, en faisant varier les paramètres de contrôle de l’écoulement jusqu’à le mener en
turbulence, nous traçons sa carte dynamique.
1 Introduction
Notre étude est menée par visualisation dans un système qui permet de produire trois
écoulements distincts :
1. L’écoulement est obtenu par pompage d’un fluide autour de l’espace annulaire alors
que les cylindres sont maintenus fixes : de nombreux travaux sont consacrés àce
problème, étudié pourlapremière fois par Dean[1].
2. Le fluide est entraîné par le cylindre intérieur qui tourne. La présence d’un diaphragme
force l’écoulement à se renverser. Un système similaire où l’espace entre
deux cylindres coaxiaux n’est pas complètement rempli de fluide, utilisé pour la
première fois par Brewster et al.[2], est repris par de nombreux chercheurs durant la
dernière décennie particulièrement Mutabazi et al.[3].
3. Le pompage du fluide autour de l’espace annulaire est combiné à la rotation du
cylindre intérieur. Depuis l’étude expérimentale et théorique initiée par Brewster
et al. [4], les quelques travaux consacrés à cet écoulement furent théoriques et ne
s’intéressèrent qu’aux conditions critiques de la formation des cellules.
2 Montage expérimental
Le système que nous considérons consiste en un canal comportant une partie rectangulaire
et une partie courbe. La partie rectangulaire est scindée en deux étages. Quand
l’écoulement arrive par un étage, il ressort par l’autre. Les deux étages sont séparés par
une plaque de Téflon. L’arrivée et la sortie du fluide peuvent être interverties. Le canal
courbe est constitué dans sa partie convexe par un cylindre autonome, pouvant tourner
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

8 A. Ait Aider, S. Skali, J.-P. Brancher
dans un sens ou dans l’autre; sa partie concave est moulée à chaud à partir d’une plaque
de Plexiglass de façon à lui donner une forme cylindrique. Ce qui nous donne un système
de cylindres coaxiaux dont l’espace annulaire est prolongé dans le canal droit d’une façon
quasi continue par une plaque de Téflon se terminant par un diaphragme qui épouse le
contour du cylindre intérieur sans pour autant gêner sa rotation. Le diaphragme empêche
l’écoulement de faire une rotation complète autour du cylindre intérieur. L’écoulement,
quand il n’est pas refoulé, est évacué directement dans le canal droit. Le canal rectangulaire
de dimensions 10 cm × 18 cm a une profondeur de 0.6 cmquiestégale àlalargeur
de l’espace annulaire formé par des cylindres de rayons R 1 =3.85 cm et R 2 =4.45 cm
donnant un rapport d’aspect égal à 16.6; le rapport des rayons est η =0.865. La rotation
du cylindre intérieur est assurée par un moteur Multifix relayé par un système de transmission
par courroie et poulies. Le débit de l’écoulement qui arrive par le canal d’entrée est
assuré par une pompe. Il est régulé par une vanne et un by-pass; sa valeur est contrôlée par
un débitmètre électromagnétique Endress+Hauser. Le fluide évacué par le canal sortie est
récupéré dans un bac de recirculation où il est agité en permanence de façon àempêcher
le dépôt des particules en suspension permettant la visualisation.
3 Résultats expérimentaux
3.1 Ecoulement de Dean ouvert
Nous avons réalisé une planche photographique qui nous permet de suivre l’écoulement
du régime laminaire jusqu’à la turbulence faible. Les photographies sont prises àenviron
330 o .L’écoulement est paramétré par le nombre de Dean :
De = V √
qd d
ν R 1
où V q est la vitesse débitante, d est la largeur de l’espace annulaire et ν la viscosité
cinématique du fluide utilisé. Les photographies montrent que les cellules de Dean obéissent
à un processus différent de celui qui fait naître les cellules de Taylor dans le cas d’un
système fermé de cylindres coaxiaux. Les cellules de Taylor se manifestent d’abord aux
extrémités de l’espace annulaire (cellules d’Ekman) avant de se répandre vers le centre.
Elles occupent alors tout l’espace et sont axisymétriques et stationnaires pour le cas d’un
espace annulaire tendant vers l’infini ou enroulées en spirale pour de faibles rapports d’aspect.
Dans le cas présent, les cellules se manifestent d’abord entre 50 o

Etude d’un système de Taylor-Couette ouvert 9
légères ondulations sont révélées par les photos. Les premières rides sont décelées au voisinage
du nombre critique calculé par Dean. Ce dernier avait trouvé que pour un système
fermé les cellules se forment à De = 36. Ces cellules seraient du même type que celles de
Taylor sauf que leur taille serait inférieure à celle de la largeur de l’espace annulaire et
qu’elles se situeraient du côté du cylindre extérieur. Il est probable que dans le cas qui nous
concerne, système ouvert, l’instabilité, quand bien même elle naît à De = 36, ne puisse
se transformer en cellules que bien après et à presque 330 o de l’amorce de l’écoulement.
Et ce serait cette rupture de symétrie qui serait à l’origine du mouvement oscillatoire
constaté. Ce n’est qu’à partir de De = 52 que les cellules apparaissent sur le corps de
l’écoulement et le remplissent complètement à De = 58. C’est cette dernière valeur que
nous considérerons comme nombre critique de Dean. Au-delà deDe c = 58, tout l’espace
annulaire est occupé. L’écoulement cellulaire est pleinement développé. Il se présente sous
forme de rouleaux animés d’un mouvement de translation axiale de z = 10 vers z = 0 puis
de z = 0 vers z = 10. Au fur et à mesure que les cellules deviennent plus vigoureuses,
leur translation axiale prend l’allure d’un mouvement d’accordéon. Elles se scindent en
deux puis se compriment pour se reconstituer et repartent en sens inverse : c’est le mouvement
de fusion-scission. A partir de De = 60, les cellules deviennent ondulées. Les oscillations
axiales sont devenues plus faibles mais une oscillation radiale rend deux cellules
contrarotatives alternativement rondes et énergétiques puis plates et molles. Ce régime
d’écoulement correspond aux ”twisting vortices” observées numériquement par Finlay et
al.[6]. Ce dernier a montré dans ses calculs que le régime cellulaire devrait être suivi par un
régime d’ondes circonférentielles mais que ces dernières ne pourraient prendre forme que si
l’écoulement parcourt plus d’une circonférence. Dans notre cas les ondes circonférentielles
se forment nettement sans pour autant donner lieu àunrégime ondulatoire totalement
et régulièrement établi comme dans le Taylor-Couette classique. On remarquera sur les
photographies reportées sur la planche que les structures tourbillonnaires convectées par
l’écoulement moyen dans le canal droit conservent leur cohérence, leur temps de traversée
du canal devenant plus faible que celui de la diffusion moléculaire d 2 /ν. La photographie
3 montre la formation de grosses cellules dont la taille est égale à5/3 delalargeurdel’espace
annulaire. Ce qui expliquerait leur forte instabilité : elles éclatent et se reconstituent
sans cesse.
3.2 Visualisation de l’écoulement de Taylor-Dean
Pour De = 0, nous faisons varier le nombre de Taylor :
Ta = Ω √
1R 1 d d
ν R 1
où Ω 1 est la vitesse de rotation du cylindre intérieur.
Ecoulement observé à l’entrée (où le cylindre tournant pénètre dans l’espace
annulaire)
Dès Ta=12, une cellule fine horizontale se dessine à θ =0 o . C’est une ligne brillante
qui délimite en quelque sorte la zone d’écoulement. Elle constitue une barrière de potentiel
empêchant les particules fluides de traverser vers le canal droit. En fait, il s’agit d’une ligne
de concentration de vorticité créée par la couche interne en mouvement qui rencontre, en
se repliant, la couche externe de vitesse nulle. A Ta=51, une protubérance se forme à

10 A. Ait Aider, S. Skali, J.-P. Brancher
1 2
3
4
6
5
Fig. 1: Les 3 premières photographies, prises à θ = 330 o , montent le processus d’apparition
des cellules de Dean. La 4eme photo représente l’instabilité ”siphon double évier” qui se
développe à l’entrée de l’écoulement de Taylor-Dean. La 5eme est prise sur le corps de
l’écoulement. La dernière montre les rouleaux enchevêtrés àlasortie.

Etude d’un système de Taylor-Couette ouvert 11
(z = 10, θ = 0 o ) sur la ligne claire, suivie peu après, à Ta=64, d’une autre à(z =
0, θ =0 o ). Des cellules très fines et obliques, des ondes rétrogrades, se dessinent autour
d’elles. Ta=193, les ondes rétrogrades stationnées autour des protubérances se mettent àse
propager en diagonale. Ta=387, le mouvement fluide qui descend par l’entonnoir a l’allure
torrentielle. Il semble se détacher des parois et tomber dans le vide. C’est le phénomène de
cavitation. L’écoulement qui arrive par le convergent acquière une grande vitesse qui lui
permet de contourner les tourbillons et remonter vers le corps. Une partie de l’écoulement
est entraînée dans leur mouvement par les tourbillons ” siphon ” dont les centres oscillent
entre −1

12 A. Ait Aider, S. Skali, J.-P. Brancher
4 Conclusions
L’étude que nous venons de présenter conforte et complète par des résultats nouveaux
les travaux antérieurs consacrés àdesécoulements similaires.
Références
[1] Dean, W.R., Fluid motion in a curved channel, Proc. R. Soc. Lond.A121, 402-420,
1928.
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[7] Chandrasekar, S. Hydrodynamic and Hydromagnétic Stability, Oxford University, London,
1961.

encontre du non-linéaire 2003 13
Instabilités de membranes biologiques inhomogènes
J.-M. Allain et M. Ben Amar
Laboratoire de Physique Statistique
Ecole Normale Supérieure
24, rue Lhomond, 75231 Paris cedex 05
jean-marc.allain@lps.ens.fr
Résumé
La découverte d’une organisation latérale à la surface des membranes biologiques,
due à de petites structures appelées ’rafts’ a motivé de nombreux travaux à la fois biologiques
et physico-chimiques. Une expérience récente sur un système modèle a montré
une déformation spectaculaire avec l’éjection des ’rafts’ présents. Nous présentons ici
une interprétation physique de cette instabilité de la phase ’raft’. Une approche basée
sur l’énergie du système et incluant la présence de protéines est utilisée pour obtenir
les équations de forme et étudier les instabilités possibles. Ce modèle conduit à
deux situations différentes suivant la nature des protéines : un régime d’instabilité
mécanique, quand les protéines sont fortement couplées à la membrane, obtenu pour
des basses concentrations et un régime à forte concentration, probablement inaccessible
expérimentalement.
1 Introduction
Dans une vision classique mais très simplifiée, la membrane cellulaire est constituée
d’une bicouche de lipides dans un état fluide servant de solvant pour les protéines membranaires
[1]. Bien sûr, la membrane biologique est un système beaucoup plus complexe.
Il est maintenant clairement établi qu’il existe des inhomogénéités latérales [2] dues àdes
structures appelées ”rafts”. L’étude de ces structures est un sujet central en biologie cellulaire
ainsi qu’en immunologie, virologie [3, 4, 5]. Les rafts sont des zones de petite taille
et de composition différente du reste de la membrane, riches en cholestérol et en sphingolipides,
la composition exacte ainsi que la nature des sphingolipides restant encore mal
connues. Cette différence de composition, combinée avec la taille limitée du raft, permet
de confiner des protéines spécifiques dans une zone de petite taille. Les ”rafts” peuvent
alors être utilisés soit pour faciliter des réactions chimiques soit comme réservoir. Il est
alors possible d’imaginer un scénario utilisant les rafts pour transporter des protéines d’un
point à un autre de la cellule [6]. En particulier, si certaines protéines spécifiques courbent
la membrane et induisent une instabilité deforme,alorsleraftpeutêtre séparé dela
membrane initiale et transporté dans la cellule. Dans la suite de ce papier, nous traiterons
théoriquement l’instabilité du raft induite par l’absorption de protéines.
La mise au point de systèmes modèles contenant des rafts [7] permet un meilleur
contrôle des paramètres expérimentaux par rapport aux systèmes vivants. Par exemple,
ils ont permis d’étudier les effets combinés de la composition et de la température sur
l’existence des rafts [8]. Plus récemment, l’absorption de protéines particulières a montré
une instabilité spectaculaire [9] : le simple ajout de ces protéines conduit àl’éjection d’un
ou deux ”rafts” de la membrane.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

14 J.M. Allain, M. Ben Amar
Plusieurs études précédentes se sont intéressées aux changements de forme des membranes
mais en se restreignant au cas d’une membrane à une seule phase. En particulier, il
aété montré que la température [10] ou une différence de surface entre les deux couches de
la membrane [11] pouvaient changer la forme d’équilibre. Des études antérieures ont aussi
considérés l’agrégation de protéines à la surface d’une membrane homogène [12]. Dans la
suite, nous nous attacherons àdécrire de manière théorique l’instabilité mécanique liée à
l’absorption de protéines (décrites par des défauts ponctuels coniques) sur une membrane
élastique dans un système bi-phasique.
2 Description de la membrane
Le modèle présenté ici s’inspire de l’expérience de [9]. Il peut facilement être adapté à
d’autres situations. Nous considérons ici une vésicule constituée de molécules amphiphiles
difficiles à solubiliser. La membrane est suffisamment étirée pour avoir une tension de surface
effective non nulle [13], maintenant la surface constante. Le raft est une phase liquide
ordonnée l o au sein d’une membrane liquide désordonnée l d [14]. La membrane liquide
pouvant être décrite pour les déformations hors de son plan, comme une coque élastique,
le raft sera décrit de façon similaire mais avec des constantes physiques différentes. Les
deux phases son caractérisées par deux énergies similaires F i , chacune avec son propre jeu
de constantes physiques. Les quantités restant constantes au cours de l’expérience sont
imposées par des multiplicateurs de Lagrange, d’où l’expression suivante :
F i =
[
Σ i + λ i φ +
∫S κ (
i
αi
i
2 H2 +Λ i Hφ +
2 (φ − φ eq) 2 + β )]
i
2 (∇φ)2 dS (1)
où H est la courbure moyenne de la surface et φ la concentration en protéines sur la surface.
Σ i (resp. λ i ) est le multiplicateur de Lagrange associé à la conservation de la surface (resp.
du nombre de protéines). Physiquement, Σ i est une tension de surface. En conséquence,
c’est une grandeur positive. La signification physique de λ i étant moins claire, son signe
n’est pas connu à priori. Le terme en H 2 est une énergie élastique classique, décrivant
correctement les membranes biologiques [15] sans les termes d’asymétrie de la surface et
sans la courbure gaussienne. Le terme d’asymétrie est négligé ici car les deux couches de
la membrane possèdent les même propriétés mécaniques et la même surface. Le terme
Gaussien de topologie ne sera pas pris en compte dans ce problème pour simplifier les
calculs. Comme proposé par S. Leibler [16], la courbure moyenne est aussi couplée àla
concentration en protéines, la constante de couplage étant Λ i . Les protéines n’ayant pas
la même forme que les autres composants de la membrane, elles courbent la membrane
localement. Les protéines se comportent alors comme des défauts coniques et leur effet
sera caractérisé par la suite par un rayon de courbure spontané R p . Le dernier terme
de l’énergie est un développement de Landau de l’énergie nécessaire pour absorber des
protéines à la surface (α i ) et pour maintenir des gradients de concentrations (β i ) proches
de la concentration d’équilibre φ eq .
L’énergie totale du système non homogène est la somme des énergies libres de chaque
phase et d’au moins deux termes d’ensemble. D’abord, comme une interface mince C
existe entre le raft et la partie désordonnée, celle-ci peut être décrite par une ligne, le coût
énergétique de la transition étant donné par une tension de ligne σ. Ensuite, l’aspect semiperméable
de la membrane rend les variations de volume de la vésicule très importantes en
cas de variations de composition du milieu extérieur. Aussi, le volume est supposé rester

Instabilités de membranes biologiques inhomogènes 15
constant pendant l’absorption de protéines sinon la membrane étirée se déchirerait, ce qui
n’est pas observé. Ceci est exprimé par l’introduction du multiplicateur de Lagrange −P .
P représente la différence de pression osmotique entre les deux faces de la membrane.
Aussi l’énergie libre est :
∫ ∫
F TOT = F lo + F ld + σ dl − P dV (2)
C
avec C la frontière entre les deux phases.
3 Formes d’équilibres
Une solution du problème dans l’état initial est la combinaison de deux sphères
de rayons R 1 et R 2 , une pour chaque phase (voir fig. 1). L’utilisation des coordonnées
ϕ
θ 1
(1)
θ
2
(2)
Fig. 1: Paramétrage de la vésicule dans sa forme initiale.
sphériques semble bien adaptée : chaque phase est décrite par son propre jeu de coordonnées
(r, θ, ϕ). Nous avons trouvé que chaque phase devait satisfaire les conditions :
λ ′ iR i =2Λ i φ i − α i R i φ i (3)
2Σ ′ iRi 2 − PRi 3 +2Λ i φ i R i − α i φ 2 i Ri 2 =0
avec φ i la concentration initiale et homogène en protéines dans la phase i et les changement
de variables Σ ′ i =Σ i + α i φ 2 eq i
/2etλ ′ i = λ i − α i φ eqi .Deplus,lesdeuxsphères sont reliées
par deux conditions de raccord liant R 1 à R 2 et θ 1 à θ 2 ,où θ i est l’angle polaire au niveau
du raccord dans la phase i. Le lien entre θ 1 et R 1 est donné par le rapport entre les surfaces
des deux phases.
Une perturbation de la sphère (i) estR = R i (1 + u(θ; ϕ)) ; une perturbation de la
concentration en protéines est φ = φ i (1 + v(θ; ϕ)). Il est possible de développer l’énergie
au second ordre en u et v. Lerésultat est une intégrale (non donnée ici) fonction de u, ∇u,
∆u, v et ∇v. Nous faisons l’hypothèse que la tension de ligne n’est pas modifiée par la
perturbation et nous nous plaçons dans une gamme de paramètres physiques tels qu’il n’y
a pas d’instabilité de la forme initiale en raison de la tension de ligne, le cas d’une variation
de la tension de ligne ayant déjàété discuté [17]. L’énergie étant exprimée en fonction de u

16 J.M. Allain, M. Ben Amar
et v, il est alors possible d’utiliser une approche variationnelle pour trouver les équations
d’Euler-Lagrange (équations E-L) et les conditions aux limites. Les équations E-L donnent
lesformesd’énergie extremales. Deux équations E-L sont obtenues, au premier ordre dans
la perturbation contenant des termes d’ordre zéro et un en fonction de l’amplitude de la
perturbation. Les termes d’ordre zéro redonnent les conditions d’existence (3).
Nous nous sommes intéressés au cas de perturbations axisymétriques u et v. Elles ne
dépendent alors que de l’angle polaire θ. La linéarité duproblème permet de décomposer
la perturbation sur la base des polynômes de Legendre. On déduit alors des équations E-L
un lien entre les l’amplitude a il de la perturbation du rayon et celle b il de la concentration
en protéines :
Λ i (l(l +1)− 2)
b il =
φ i R i (α i + β i (l +1)l/Ri 2)a i l
(4)
De là, il est possible de déduire, dans chaque phase, un seuil d’instabilité par élimination
des amplitudes dans les équations E-L :
(
Λ 2 i (q 2 − 2/Ri 2 )= Σ ′ i − α i
2 φ2 i + κ i q 2) (α i + β i q 2 ) (5)
où q 2 = l(l +1)/Ri 2. Pour β i = 0, nous retrouvons le résultat de [18] pour une vésicule
homogène sans diffusion. Quand β i ≠ 0, ce seuil est fortement dépendant des propriétés
physiques de la membrane ainsi que de la concentration moyenne en protéines. Aussi,
les deux phases ne deviennent pas instables àlamême concentration en protéines, le
premier seuil d’instabilité atteint correspondant alors au seuil du système complet. Aussi,
les conditions de raccordement sont satisfaites par la solution d’ordre zéro. Aussi, u, v,
∇u et ∇v s’annulent àlafrontière. Ceci détermine le mode instable ainsi que le lien entre
les deux amplitudes des perturbations.
La seule énergie extérieure est l’énergie thermique kT et la longueur caractéristique
de la phase (i) estR i . Ceci permet d’introduire des paramètres adimensionnés : ˜q = l(l+1),
˜κ i = κ i /kT , ˜Σ ′ i =Σ iRi 2/kT , ˜Λ i =Λ i /(kTR i ), ˜α i = α i /(Ri 2kT) et ˜β i = β i /(Ri 2L2 ckT) où
L c est une longueur caractéristique du gradient chimique. La concentration en protéines
est alors remplacée par Ri 4φ2 i qui représente le nombre de protéines dans la phase i.
La concentration en protéine est le paramètre de contrôleleplussimpleà changer
expérimentalement. L’équation 5 donne pour tous les modes une concentration limite φ l
telle que, pour φ ≤ φ l l’état initial est stable et pour φ ≥ φ l , le mode peut devenir instable.
Dans la relation 5, la concentration en protéine a un effet équivalent à une diminution de
la tension de surface, ce qui est un effet notoirement déstabilisateur. A partir de l’équation
5, il est possible d’identifier deux régimes en fonction de la valeur de la constante sans
dimension
c = Λ2 i (α i +2β i /Ri 2)
κ i αi
2
Cette constante compare l’intensité del’intéraction protéine-membrane (Λ i )àlarésistance
de la membrane (κ i )etàl’énergie d’absorption des protéines (α i ).
Dans le régime d’interaction faible (c ≤ 1), la concentration limite est une fonction
croissante de q (voir fig. 2). Aussi, l’instabilité estobtenuepourlemodedepluspetit
q possible (q = 2). La nature exacte de la déformation (oblate ou prolate) sera donnée
paruncalculautroisième ordre. D’après la définition de Σ ′ i , la concentration requise pour
déstabiliser la membrane est supérieure à la concentration d’équilibre dans ce régime. Toutefois,
absorber une concentration supérieure àlaconcentrationd’équilibre risque d’être
difficile, les protéines risquant de se solubiliser dans le milieu extérieur. Aussi, ce régime de

Instabilités de membranes biologiques inhomogènes 17
p^2
400
300
200
100
5 10 15 20 q
Fig. 2: Concentration seuil en fonction du mode de la perturbation pour deux valeurs de Λ i
différentes. La concentration seuil, notée p, est donnée en échelle arbitraire. Les valeurs des autres
constantes sont : ˜α i =1, ˜κ i =1, ˜Σ ′ i =60, ˜β i (L c /R i ) 2 =0.01. La courbe en trait plein correspond
à un fort effet de courbure (˜Λ i =1.7, c =3.0). La courbe pointillée correspond à un faible effet de
courbure : ˜Λ i =0.01, c =10 (−4) .
couplage faible risque d’être difficile à observer et les protéines vont pouvoir rester stocker
dans la membrane.
Dans le régime d’interaction forte, la concentration limite présente un minimum (voir
fig. 2). Ceci entraîne que la concentration limite est inférieure à la concentration d’équilibre,
rendant plus facile l’obtention de l’instabilité.Deplus,lepremiermodeà satisfaire les
conditions d’instabilité n’estpasforcément le plus petit : par exemple, pour les valeurs
choisies, on attend un mode proche de q ≈ 10. Aussi, il est possible que la membrane
présente un comportement plus complexe qu’une transition prolate/oblate pour certaines
protéines. La combinaison de ces deux régimes permet probablement à la cellule vivante
de concentrer des protéines dans une zone particulière de la membrane comme le raft sans
déstabiliser l’ensemble et d’utiliser d’autres protéines spécifiques pour contrôler l’éjection
de cette zone.
4 Conclusions
L’étude du rôle des rafts pour la biologie cellulaire est un sujet très dynamique actuellement.
Parmi les sujets encore peu explorés, l’implication des rafts dans le transport
intracellulaire peut être étudié grâce aux systèmes modèles. En étudiant un tel système,
nous prédisons l’existence d’une instabilité mécanique conduisant à un ”budding”. Cette
instabilité est rendue possible par l’absorption spécifique de protéines sur l’une ou l’autre
des deux parties de la membrane. Nous avons utilisé une approche énergétique, la membrane
étant essentiellement une plaque courbée élastique et les protéines ayant pour rôle
d’introduire des défauts coniques ponctuels à la surface. Cette approche conduit àunseuil
d’instabilité dépendant des constantes physiques de chaque phase.

18 J.M. Allain, M. Ben Amar
Références
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Science 175, 720-731, (1972).
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encontre du non-linéaire 2003 19
Observation expérimentale et modélisation de bursting dans les
oscillateurs paramétriques optiques
Axelle Amon 1 , Michel Nizette 2 ,MarcLefranc 1 et Thomas Erneux 2
1 Laboratoire de Physique des Lasers, Atomes, Molécules,
Université de Lille 1, F-59655 Villeneuve d’Ascq, France
2 Université Libre de Bruxelles, Optique Nonlinéaire Théorique,
Campus Plaine, C. P. 231, 1050 Bruxelles, Belgium
marc.lefranc@univ-lille1.fr
Résumé
Différents types d’oscillations en rafales (bursting) ontété observés expérimentalement
dans un oscillateur paramétrique optique (OPO), avec des fréquences allant
de quelques MHz à quelques centaines de MHz. Les régimes observés sont bien reproduits
numériquement à l’aide d’un modèle décrivant l’interaction de deux modes
transverses de l’OPO en présence d’effets thermiques, et le cycle d’oscillations peut
être facilement analysé à l’aide d’un portrait de phase à deux dimensions. Nous nous
sommes intéressés en particulier au cas où lafréquence rapide est élevée. Il est alors
possible de construire par analyse perturbative une solution approchée des équations
de l’OPO. Cette analyse nous fournit des estimations de la fréquence d’oscillations
ainsi que du seuil d’apparition du régime multimode.
1 Introduction
Le phénomène dit de bursting, que l’on pourrait traduire par “ oscillations en rafales ”
ou encore “ en salves ”, est caractérisé par des bouffées d’oscillations rapides séparées par
des intervalles d’évolution lente du système [1, 2, 3]. C’est un comportement courant dans
les systèmes biologiques, qui permet par exemple aux neurones de communiquer entre eux.
L’analyse mathématique de ce type d’oscillations est considérablement simplifiée lorsqu’on
peut considérer qu’elles résultent de l’interaction d’une variable rapide et d’une variable
lente, et lorsque la réponse de la variable rapide aux fluctuations de la variable lente peut
être analysée dans un portrait de phases à deux dimensions [4, 5]. Un cas typique est celui
d’oscillations de relaxation évoluant autour d’un cycle de bistabilité dont une des branches
est une solution périodique variant rapidement. Bien que cette situation soit fréquemment
rencontrée en biologie, il n’est curieusement pas facile d’en trouver un exemple en optique.
Or, comme nous le montrons ici, un OPO soumis à des effets thermiques peut fournir des
exemples particulièrement simples de ce type de dynamique.
Les OPO sont des sources de lumière cohérente, dont les propriétés les destinent
à de nombreuses applications [7], et qui sont basés sur la conversion paramétrique de
fréquence. A l’intérieur de la cavité résonante de l’OPO est placé un cristal non linéaire
dans lequel interagissent un champ de pompe injecté et les deux champs engendrés par
effet paramétrique, dont la fréquence est largement accordable. Comme les lasers, les OPO
sont des systèmes non linéaires et sont donc susceptibles de présenter des instabilités et du
chaos, mais leur dynamique a été jusqu’ici moins étudiée. Bien que l’existence de régimes
périodiques et chaotiques ait été prédite pour un OPO triplement résonnant il y a plus
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

20 A. Amon, M. Nizette, M. Lefranc et T. Erneux
de quinze ans, ce n’est que récemment que des instabilités périodiques ont été mises en
évidence expérimentalement [8, 1, 10, 11].
En particulier, des instabilités observées àdesfréquences de quelques kHz ont pu être
expliquées par d’infimes variations de la température du cristal, et décrites de manière
convaincante par un modèle opto-thermique [1, 10]. Le mécanisme de l’instabilité estde
type Van der Pol. Dans certaines conditions, le graphe de l’intensité délivrée par l’OPO en
fonction de la longueur de cavité présente un cycle de bistabilité (Fig. 1). Sous l’influence
des variations de la température du cristal et donc de la longueur de cavité, l’OPO parcourt
le cycle de bistabilité dans les deux directions, se réchauffant lorsque du rayonnement est
émis sur la branche haute et se refroidissant lorsque le système s’éteint et parcourt la
branche basse (Fig. 1). Des oscillations rapides àdesfréquences de quelques MHz ont
Fig. 1: Oscillations de relaxation autour d’un cycle de bistabilité. La variable lente (ici la
température) varie suivant la direction horizontale. D’après [1].
également été décrites, et un mécanisme basé sur l’interaction de deux modes transverses
[12] a étéproposé [11]. Lorsque cette instabilité se combine avec l’instabilité opto-thermique
mentionnée plus haut, les oscillations rapides apparaissent en rafales séparées par des
périodes d’inactivité. Comme le montre la Figure 2, dont les signaux ont été obtenus
dans une configuration similaire à celle de nos travaux précédents [1, 10, 11], une grande
diversité de formes de signaux peut être observée dans les expériences. Si les fréquences
hautes des régimes des figures 2(a) et 2(b) sont comparables (3 et 1 MHz), celle du régime
de la figure 2(c) est beaucoup plus élevée et approche les 130 MHz. Les fréquences basses
étant quasiment identiques pour les trois régimes, c’est celui de la Fig. 2(c) pour lequel
le rapport entre la fréquence haute et la fréquence basse est le plus élevé, et qui est donc
le plus susceptible de se prêter à une analyse perturbative. C’est donc celui auquel nous
nous intéressons ici.
2 Le modèle
Dans la référence [11], les oscillations rapides observées dans l’expérience avaient été
reproduits de manière convaincante par des simulations du système d’équations suivant :
A ′ p = γ [ −(1 + iσ p )A p − A 2 1 − χA 2 2 − 2χ 12 A 1 A 2 + E ] (1)
A ′ 1 = −(1 + iσ 1 )A 1 + A p A ∗ 1 + χ 12 A p A ∗ 2 (2)
A ′ 2 = −(1 + iσ 2 )+χA p A ∗ 2 + χ 12 A p A ∗ 1 (3)
où A p et les A i sont définies comme les amplitudes lentement variables du champ de
pompe E p = A p (t) × exp(iω p t − ik p z) et des signaux E j = A j (t) × exp(iω p t/2 − ik p z/2)
correspondant aux deux modes. Les paramètres σ p,i sont les désaccords en fréquence des
trois champs par rapport àlarésonance de cavité la plus proche, ramenés aux temps de
vie des champs respectifs. Les constantes χ et χ 12 caractérisent respectivement les forces

28
26
24
22
20
18
16
14
150 151 152 153 154 155
Time (µs)
125
120
115
110
105
100
95
90
85
80
75
200 200.01 200.02 200.03 200.04 200.05 200.06 200.07 200.08 200.09 200.1
Time (µs)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
170 171 172 173 174 175
Time (µs)
Bursting dans les oscillateurs paramétriques optiques 21
70
60
(a)
Signal intensity (arb. units)
Signal intensity (arb. units)
50
40
30
20
10
Signal intensity (arb. units)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Time (µs)
(b)
Signal intensity (arb. units)
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Time (µs)
140
120
(c)
Signal intensity (arb. units)
Signal intensity (arb. units)
100
80
60
40
20
0
50 100 150 200 250 300 350 400
Time (µs)
Fig. 2: Évolution temporelle de l’intensité dusignaldélivré par l’OPO pour trois régimes
différents. Pour chaque tracé, un agrandissement montre les oscillations rapides durant
des intervalles temporels (a) de 5 µs autour de t = 150 µs; (b) de 5 µs autour de t = 170
µs; (c) de 100 ns autour t = 200µs.
des interactions non linéaires du mode 2 avec lui même et avec le mode 1, relativement à
celle de l’interaction du mode 1 avec lui-même.
Les effets thermiques dans le cristal sont pris en compte en supposant que les désaccords
dépendent linéairement de la variation de température θ [1] :
σ p =∆ p − 2θ/γ et σ j =∆ j − θ (4)
où ∆ p et ∆ j sont les désaccords àéchauffement nul. L’évolution de θ est liée à l’absorption
des champs dans le signal et est décrite de manière phénoménologique par l’équation
suivante :
[
(
θ ′ = ε −θ + α |A p | 2 + β |A 1 | 2 + |A 2 | 2)] . (5)
où α et β sont proportionnels aux coefficients d’absorption du cristal. La constante ε ≪ 1
fixe l’échelle de temps des processus thermiques ; sa petitesse encourage à se ramener à
l’étude du modèle non perturbé (ε =0),où θ joue le rôle de paramètre. Le diagramme
de bifurcation de ce modèle obtenu pour un certain jeu de paramètres est montré àla
figure 3(a), qui représente l’intensité du signal en fonction de la variable θ. On y voit une
branche de solutions périodiques qui naît d’une première bifurcation de Hopf à θ H1 ≃ 22.5,
passe par un point limite correspondant à une bifurcation noeud-col de cycles limites

22 A. Amon, M. Nizette, M. Lefranc et T. Erneux
(a)
(b)
Fig. 3: (a) Diagramme de bifurcation des équations (1)-(4), θ étant considéré comme
un paramètre. L’intensité I s ≡|A 1 | 2 + |A 2 | 2 est représentée en fonction de θ. Lazone
grisée est délimitée par les lignes de maxima et de minima d’une branche de solutions
périodiques reliant deux bifurcations de Hopf de la solution nulle et son extrémité droite
correspond à une bifurcation noeud-col de cycles limites. Les paramètres sont E =17.5,
χ 1 =1, χ 2 =0.7, χ 12 =0.4, ∆ p =1.5, ∆ 1 =12.5, ∆ 2 =35.5 and γ =10. (b) Simulation
numérique du modèle complet (1)-(5) pour ε =10 −3 , α =0,andβ =4.
(θ ≃ 26.5) et rejoint finalement une autre bifurcation de Hopf, sous-critique celle-là, à
θ H2 ≃ 25.7. La simulation numérique des équations (1)-(5) montre que leurs solutions
suivent très précisément le diagramme de bifurcation précédemment obtenu (Fig. 3(b)),
avec démarrage des oscillations rapides quand le système saute sur la branche haute du
cycle et disparition lorsqu’il retombe àzéro. L’existence d’oscillations de relaxation dépend
de manière cruciale de la nature sous-critique de la bifurcation de Hopf à θ H2 ≃ 25.7 etde
la bifurcation noeud-col inverse à l’extrémité droite du diagramme de bifurcation. En effet,
ce sont ces deux bifurcations qui déclenchent la commutation d’une branche à l’autre.
3 Analyse perturbative
La section précédente a montré que le comportement des solutions du modèle complet
peut être analysé en termes de commutations entre les branches stationnaires du modèle
réduit (1)-(3) (Fig. 3). Cela motive une étude analytique complémentaire de ce dernier.
Nous nous intéressons ici aux régimes associés à une valeur élevée de la fréquence de
battement :
∆σ s = |σ 2 − σ 1 | , (6)
qui est par définition l’écart entre les pulsations de résonance des deux modes du signal
(Fig. 4). Nous verrons qu’il s’agit des régimes pour lesquels la fréquence rapide est
élevée, comme celui de la Fig. 2(c). Dans cette hypothèse, on observe du bursting quand
le désaccord moyen du signal
σ s = 1 2 (σ 1 + σ 2 ) (7)
et le désaccord de pompe σ p sont tous les deux petits devant ∆σ s . Cela correspond au cas
où lafréquence porteuse du signal ω p /2 est située au milieu des fréquences de résonance
des deux modes. Nous avons donc effectué une analyse perturbative des équations (1)-(3)

Bursting dans les oscillateurs paramétriques optiques 23
½ ¾
Ô
Ô
¾
Ô
Ê ½
Ê ¾
Ê Ô
Fig. 4: Situation où les courbes de résonance des deux modes sont approximativement
symétriques par rapport àlafréquence ω p /2. Onaalors|σ 2 + σ 1 |≪|σ 2 − σ 1 |. D’après
[11]
dans laquelle nous supposons que |σ j | =0(η −1 ) ≫{|σ p | , |σ s |} = O(1), où η est un petit
paramètre. Nous en résumons ici les points essentiels. Un développement en échelles de
temps multiples montre qu’à l’ordre le plus bas et dans la limite des temps longs, les
amplitudes des champs en présence sont données par:
où a s (t) eta p (t) sont solutions des équations
A j (t) = a s (t)e i(σs−σj)t + O(η) (8)
A p (t) = a p (t)+O(η) (9)
a ′ s = −(1 + iσ s )a s + χ 12 a p a ∗ s, (10)
a ′ p = γ [ −(1 + iσ p )a p − 2χ 12 a 2 s + E ] . (11)
dont on voit qu’elles sont équivalentes àunproblèmemonomodededésaccord σ s et de
constante non linéaire χ 12 . Comme le montrent les expressions (8) et (9), les amplitudes
a s (t) eta p (t) caractérisent la solution obtenue lorsqu’on moyenne les équations (1)-(3) par
rapport aux oscillations rapides qui découlent des valeurs élevées des |σ j |,etdécrivent
donc le comportement aux temps longs.
Ce résultat est remarquable car il montre d’une part que les deux modes sont décrits
en première approximation par une amplitude commune, ce qui laisse prévoir des propriétés
quantiques particulières, et d’autre part que le comportement aux temps longs ne dépend
pas de la fréquence de battement ∆σ s donnée par (6), mais seulement du désaccord moyen
σ s . Cela indique que contrairement à ce que l’on pourrait penser naïvement, les oscillations
multimodes peuvent survenir même lorsque les courbes de résonance des deux modes sont
bien séparées et ne se recouvrent pas. Le seuil d’apparition du régime multimode s’obtient
facilement à partir du modèle (10)-(11) et est donné par
√
(1 + σp)(1 2 + σs)
2
E>E th =
(12)
χ 12
Il est alors possible de comparer ce seuil à celui des régimes où l’émission s’effectue sur un
seul des deux modes et de déterminer quel comportement le système va sélectionner.
Enfin, on montre en poussant l’analyse perturbative à l’ordre suivant que l’expression
de l’intensité totaledusignalsemetsouslaforme:
I s = F 0 (t)+η [F 1 (t) exp(i(σ 2 − σ 1 )t)+c.c.] (13)
où les fonctions F k (t) varient lentement. L’expression (13) montre clairement que la fréquence
des oscillations rapides est ∆σ s /2π = |σ 2 − σ 1 | /2π, ce qui confirme que notre analyse s’applique
aux régimes avec une fréquence haute élevée, comme celui de la figure 2(c).

24 A. Amon, M. Nizette, M. Lefranc et T. Erneux
4 Conclusion
Lorsque dans un OPO les oscillations rapides résultant de l’interaction de deux
modes transverses se combinent aux oscillations lentes engendrées par des instabilités
opto-thermiques, on peut observer des régimes de bursting tout à fait similaires à ceux qui
apparaissent dans de nombreux systèmes biologiques. Grâce àlaséparation des échelles
de temps, il est possible d’étudier les oscillations dans un portrait de phase à deux dimensions
dont les axes sont la variable rapide (l’intensité du signal) et la variable lente (la
température) : ces oscillations suivent précisément le diagramme de bifurcation du système
non perturbé (pour lequel la variable lente est un paramètre).
Dans le cas où les courbes de résonance des deux modes en interaction sont bien
séparées, et où ladifférence des deux désaccords est grande devant le désaccord moyen, une
analyse perturbative des oscillations rapides est possible. Elle montre que le comportement
moyenné sur des temps longs est gouverné par un problème monomode qui ne dépend
que du désaccord moyen et non du recouvrement des résonances. Ce résultat montre
qu’un régime multimode peut s’établir alors même que les modes impliqués ne peuvent
être résonants individuellement. Enfin, l’analyse perturbative indique que la fréquence des
oscillations rapides est égale àlafréquence de battement entre les résonances des deux
modes.
Références
[1] A. Goldbeter, Biochemical Oscillations and Cellular Rhythms, Cambridge University
Press (Cambridge, 1996).
[2] J. Keener and J. Sneyd, Mathematical Physiology, Interdisciplinary Appl. Mathematics,
Vol 8 (Springer, Berlin, 1998).
[3] F.C. Hoppensteadt and E.M. Izhikevich, Weakly Connected Neural Networks, Appl.
Math. Sciences 126 (Springer, Berlin, 1997).
[4] A. Sherman and J. Rinzel, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 89, 2471 (1992).
[5] R. Bertram, M. J. Butte, T. Kiemel and A. Sherman, Bull. Math. Biol. 57, 413 (1995).
[6] A. Amon, M. Nizette, M. Lefranc and T. Erneux, “Bursting oscillations in optical
parametric oscillators”, soumis à Phys. Rev. A (02/2003).
[7] M. Ebrahimzadeh, R.C. Eckardt, M.H. Dunn (Eds.), J. Opt. Soc. Am. B 16 (1999).
[8] C. Richy, K.I. Petsas, E. Giacobino, C. Fabre, L. Lugiato, Observation of bistability
and delayed bifurcation in a triply resonant optical parametric oscillator, J. Opt. Soc.
Am. B 12, 456 (1995).
[9] P. Suret, D. Derozier, M. Lefranc, J. Zemmouri, and S. Bielawski, Self-pulsing instabilities
in an optical parametric oscillator: experimental observation and modeling of
the mechanism, Phys. Rev. A 61, 021805 (R) (2000).
[10] P. Suret, M. Lefranc, D. Derozier, J. Zemmouri, and S. Bielawski, Opt. Lett. 15, 1415
(2001).
[11] P. Suret, M. Lefranc, D. Derozier, J. Zemmouri, and S. Bielawski, Fast oscillations in
an optical parametric oscillator, Opt. Comm. 200, 369 (2001).
[12] C. Schwob, P.F. Cohadon, C. Fabre, M.A.M. Marte, H. Ritsch, A. Gatti, L. Lugiato,
Transverse effects and mode couplings in OPOs, Applied Phys. B 66, 685 (1998).

encontre du non-linéaire 2003 25
Instabilités laser spatio-temporelles dans un milieu àélargissement
homogène
D. Amroun 1a , M. Brunel 1a , C. Letellier 1b ,H.Leblond 2 et F. Sanchez 2
1) (a) Groupe d’Optique et d’Optronique
(b) Groupe d’Analyse TOpologique et de MOdélisation de SYstèmes Dynamiques
UMR 6614 CORIA, Université deRouen
Avenue de l’Université, BP 12, 76801 Saint-Etienne du Rouvray Cedex, France
2) Laboratoire POMA, UMR 6136, Université d’Angers
2 bd Lavoisier, 49045 Angers Cedex 01, France
dalila.amroun@coria.fr, marc.brunel@coria.fr
Résumé
Nous étudions la dynamique spatio-temporelle d’un laser monomode àélargissement
homogène lorsque la diffraction est prise en compte. Une intégration numérique des
équations de Maxwell-Bloch modélisant ce système est effectuée. Différents régimes
sont obtenus selon les domaines d’instabilités étudiés. Un régime quasipériodique est
observé au dessus du second seuil laser pour des désaccords de fréquence négatif (à
fort taux de pompage) alors qu’une dynamique temporelle et spatiale plus complexe
se produit pour des désaccords de fréquence positifs (à faible taux de pompage). Un
premier lien est établi entre les caractéristiques temporelles et spatiales du système.
Nous montrons ensuite que les équations de Maxwell-Bloch modifiées par la correction
du champ local (CCL) admettent toujours en présence de diffraction des solutions
en ondes progressives transverses comme lorsque la CCL n’est pas prise en compte.
L’analyse des solutions montre un comportement dynamique proche de ceux décrits
précédemment.
1 Modèle théorique et solutions stationnaires
On considère ici un ensemble d’atomes à deux niveaux en interaction avec une onde
électromagnétique quasi-résonante. Ce système est décrit théoriquement par les équations
de Maxwell-Bloch normalisées, qui prennent en compte la diffraction dans la direction
transverse x [1,2,3,4]:
⎧ [
∂d
∂τ = −γ d − r + 1 ]
2 (ep∗ + e ∗ p) ,
⎪⎨
∂p
= −(1 − iδ)p + ed,
(1)
∂τ
⎪⎩
∂e
∂τ = −σ(e − p)+iA ∂2 e
∂x 2 .
Les quantités d, p et e sont obtenues après normalisation de l’inversion de population
D, de la polarisation macroscopique P et du champ électrique E [5, 6].
On définit σ = γ l /(2γ ⊥ ), γ = γ ‖ /γ ⊥ où γ l est l’inverse de la durée de vie du photon
dans la cavité etγ ‖ , γ ⊥ sont les taux de relaxation de l’inversion et de la polarisation
respectivement; r est le taux de pompage; δ =(ω − ω 0 )/γ ⊥ est le désaccord normalisé
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

26 D. Amroun, M. Brunel, C. Letellier, H. Leblond, F. Sanchez
entre la fréquence du champ ω et la fréquence de résonance atomique ω 0 .Letempsτ
est normalisé par rapport àladurée de vie de la cohérence à travers τ = γ ⊥ t. A est
le paramètre de diffraction . Nous choisirons les paramètres : σ =0.01, γ =0.2, ce qui
correspond à une configuration relativement de bonne cavité comme en [4], et A =0.05.
La première solution stationnaire du système (1) est l’état éteint e = p =0etd = r
(laser éteint). Lorsque le pompage dépasse le premier seuil laser, la solution laser est de la
forme d = d, p = p exp i(kx +Ωτ), e = e exp i(kx +Ωτ) où e, p et d sont donnés en [6].
La pulsation de l’onde plane Ω et le nombre d’onde k satisfont à la relation de dispersion
:
δσ − Ak2
Ω= . (2)
1+σ
Il a été démontré que le nombre d’onde k selectionné par le laser au dessus du premier
seuil vaut k 0 = ± √ −δ/A qunad δ0, correspondant à une solution spatialement homogène [4].
200
150
Instable
r (u.a)
100
50
0
Onde progressive
k 0 =0
Etat homogène
k 0
=0
Stable
Premier Seuil Laser
Instable
−4 −2 0 2
4
δ
Fig. 1: Diagramme de stabilité dans le plan (δ, r). Les autres paramètres sont : (σ =0.01,
γ =0.2, A =0.05).
La figure 1 résume le diagramme de stabilitédelasolutionlaser.Leseuildelasolution
laser (premier seuil laser) est indiqué dans un souci de clarté. L’analyse de stabilitédecette
solution permet de tracer les zones d’instabilité conformément àlaméthode standard
décrite en [4].
2 Simulations numériques au delà du second seuil laser
Nous avons effecuté l’intégration numérique du système (1) pour étudier les régimes
instables au delà du second seuil laser. Deux types de dynamiques sont présentés pour
deux ensembles de valeurs du désaccord de fréquence δ et du taux de pompage r.
2.1 Désaccords de fréquence positifs et faibles taux de pompage
Considérons l’instabilité qui apparaît pour des désaccords de fréquence δ positifs et
faibles taux de pompage r. La figure 2a représente l’intensité laserI(x =0,τ)=|e(x =
0,τ)| 2 en fonction de τ en x = 0 lorsque δ =3etr = 25. On peut observer des intervalles de

Instabilités laser spatio-temporelles 27
temps durant lesquels l’intensité est presque constante (“phases laminaires”), interrompus
par des bouffées. Pendant ces phases, la solution est très proche d’une évolution sinusoidale
des champs. Le spectre de Fourier temporel montre que chaque “phase laminaire”
correspond à une oscillation sinusoidale bien définie à pulsation unique Ω.
Figure 3
Amroun et al.
Intensité laser (u. a)
30
20
A
B
C
10 D
D
A A A
B
B
C
C
D
D
0
E
E
E
E
0 5 10 15 20 25
τ
×10 4
Amplitudes de Fourier (u.a)
300
250
200
150
100
50
0
5
0
k/2π
A
C
B
−5
0
D
2
4
τ
6
8
x 10 4
(a) Evolution temporelle
(b) Spectre de Fourier spatial
Fig. 2: Evolution de l’intensité laser I(τ) en fonction du temps au point x = 0 (a);
évolution des composantes du spectre de Fourier spatial pour la premièrepartiedelasérie
temporelle (0

28 D. Amroun, M. Brunel, C. Letellier, H. Leblond, F. Sanchez
35
30
25
"Phases laminaires"
14
13,5
20
I n+10
15
10
5
E
D
C
B
A
I 13 n+10
12,5
B
0
0 5 10 15 20 25 30 35
I n
12
12 12,5 13 13,5 14
I n
(a) Application de 10ème retour
(b) Processus de réinjection
Fig. 3: Application de dixième retour à une section de Poincaré de l’attracteur reconstruit
par les coordonnées dérivées de I(x =0,τ) (a). Agrandissement du processus de réinjection
montrant les départs des différentes phases laminaires (b).
ques effectuées avec δ = −2 etr = 100 révèlent que le champ électrique évolue sur
un attracteur qui est un tore (Fig. 4a). Ceci est caractéristique d’une dynamique quasipériodique.
En effet, on constate sur le spectre de Fourier temporel la présence de deux
fréquences principales incommensurables ν 1 et ν 2 ainsi que des combinaisons linéaires
2ν 2 − ν 1 et ν 2 − 2ν 1 (Fig. 5). Leur présence résulte d’un couplage nonlinéaire cubique dans
les équations du système, repésentant le terme de saturation du gain [6].
30
700
Y
20
10
0
-10
-20
-30
-10 -5 0 5 10
X=Re(e)
Amplitudes de Fourier (u.a)
600
500
400
300
200
100
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
k/2π
(a) Portrait de phases
(b) Spectre de Fourier spatial
Fig. 4: Attracteur dans l’espace des phases reconstruit à l’aide des coordonnées dérivées
du champ électrique Re[e(x =0,τ)] (a). Spectre de Fourier spatial en fonction du vecteur
d’onde k, invariant au cours du temps (b). Les paramètres sont δ = −2, r = 100.
La dynamique spatiale correspond à une solution à deux vecteurs d’onde (Fig. 4b)
qui n’évolue pas au cours du temps. Chacune des composantes est associée à l’une des
deux fréquences ν 1 et ν 2 , satisfaisant ainsi la relation de dispersion (2). Il existe ainsi
un lien étroit entre la structure spatiale et le comportement temporel. Dans ce régime,

Instabilités laser spatio-temporelles 29
Densité Spectrale de Puissance (dB)
1×10 5
1×10 4
1×10 3
1×10 2
ν 1 ν 2
ν 2
−2ν 1
2ν 2
−ν 1
1×10 1
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Fréquence
Fig. 5: SpectredeFouriertemporeldeRe[e(x =0,τ)]. Deux combinaisons linéaires des
fréquences principales ν 1 et ν 2 sont identifiées sur ce spectre.
le laser émet simultanément dans deux direction en champ lointain, et la dynamique est
complètement différente de la précédente. En particulier, la structure spatiale semble être
beaucoup plus “robuste”.
3 Dynamique en présence d’interactions dipôle-dipôle
En présence d’interactions dipôle-dipôle (milieux denses), les équations de Maxwell-
Bloch modifiées par la correction du champ local (CCL) [9] s’écrivent après normalisation :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
[
∂d
∂τ = −γ d − r + 1 ]
2 (ep∗ + e ∗ p) ,
∂p
[
∂τ = − 1 − i(δ − ( γ ]
l
3ω )d) p + ed,
(3)
∂e
∂τ = −σ(e − p)+iA ∂2 e
∂x 2 .
L’état éteint e = p =0etd = r reste solution de ce système. L’analyse de stabilité
linéaire de cet état montre qu’il existe des solutions pour toutes les valeurs de δ. Le vecteur
d’onde k 0 sélectionné par le laser vaut k 0 = ±√
γl
3ω − δ/A lorsque δ< γ l
3ω et k 0 = 0 lorsque
δ > γ l
. Physiquement, le laser modifie très légèrement sa direction d’émission quand
3ω
3ω
δ< γ l
. Par ailleurs, la CCL a pour conséquence l’existence d’une deuxième solution laser
dont le seuil est plus élevé que celui de la première [5, 9]. Cependant, l’analyse de stabilité
des solutions révèle que la deuxième solution n’est pas stable et que c’est plutot l’état “off”
qui redevient stable au delà de son seuil. En pratique, cette restabilisation n’est jamais
observée car le seuil de la seconde solution est très grand.
Après calcul de la matrice de stabilité linéaire de la solution laser, on obtient un
diagramme de stabilité proche de celui de la figure 1 [9]. La dynamique est ainsi presque
inchangée par la CCL, ce qui est confirmé par les simulations numériques effectuées dans
les domaines stables et instables de la solution laser.
4 Conclusion
Nous avons étudié numériquement la dynamique spatio-temporelle d’un laser monomode
àélargissement homogène. L’étude analytique combinée aux simulations numériques

30 D. Amroun, M. Brunel, C. Letellier, H. Leblond, F. Sanchez
au dessus du second seuil ont permis de comprendre l’interdépendance entre les comportements
spatial et temporel. Pour des désaccords de fréquence positifs et de faibles taux
de pompage, nous avons établi un lein entre l’évolution temporelle de l’intensité laser et
celle du spectre spatial. Ainsi, un comportement intermittent de type II avec une phase
laminaire assez complexe construite sur cinq orbites périodiques instables est relié à une
séquence de cinq vecteurs d’onde differents. L’analyse de stabilité linéaire permet de prévoir
l’évolution totale du spectre spatial avec une précision relativement bonne. En pratique,
le laser modifie spontanément sa direction d’émission en un nombre fini de directions et
selon une séquence bien définie.
Pour des désaccords de fréquence négatifs et de forts taux de pompage, l’instabilité
spatio-temporelle se traduit par une émission laser bi-angulaire en champ lointain. La dynamique
est plus simple : c’est un régime quasi périodique caractérisé par deux fréquences
principales, chacune étant associée à un vecteur d’onde spatial spécifique.
Par ailleurs, en présence d’interactions dipôle-dipôle (milieux actifs denses) les équations
de Maxwell-Bloch modifiées admettent encore les ondes planes progressives comme
solutions. Comme conséquence de la correction du champ local, l’angle d’émission du laser
est très peu modifié. La dynamique des régimes stables et instables change peu en présence
de ces interactions.
Références
[1] L. A. Lugiato, C. Oldano, L. M. Narducci, J. Opt. Soc. Am. B 5, 879 (1988).
[2] P. Coullet, L. Gil, F. Rocca, Opt. Commun., 73, 403 (1989).
[3] P. K. Jakobsen, J. Lega, Q. Feng, M. Staley, J. V. Moloney, A. C. Newell, Phys. Rev.
A 49, 4189 (1994).
[4] P. K. Jakobsen, J. V. Moloney, A. C. Newell, R. Indik, Phys. Rev. A 45, 8129 (1992).
[5] M. Fromager, M. Brunel, F. Sanchez, Phys. Rev. A 61, 053804, (2000).
[6] D. Amroun, M. Brunel, C. Letellier, H. Leblond, F. Sanchez, Interplay between spatial
and temporal dynamics in homogeneously broadened single-mode lasers, soumisà
Phys. Rev. A.
[7] C. Letellier, P. Werny, J- M. Malasoma, R. Gilmore, Phys. Rev. E 66, 036220 (2002).
[8] J.-Y. Huang, J.-J. Kim, Phys. Rev. A 36, 1495 (1987).
[9] D. Amroun, M. Brunel, H. Leblond, F. Sanchez, Space-time laser instabilities in homogeneously
broadened dense media, accepté dans J. Mod. Opt., (2003).

encontre du non-linéaire 2003 31
Une application du contrôle d’états instables dans un système optique
d’intérêt pratique: le laser impulsionnel (pico- ou femto-seconde) avec
pertes saturables
Nicolas Joly et Serge Bielawski
Laboratoire de Physique des Lasers, Atomes et Molécules,
Centre d’Études et de Recherches Lasers et Applications,
Université des sciences et Technologies de Lille
F-59655 Villeneuve d’ascq CEDEX, France.
serge.bielawski@univ-lille1.fr
Résumé
1 Introduction
La réalisation d’une grande partie des lasers pico et femto-seconde commerciaux actuels
et en développement repose sur l’utilisation de miroirs non-linéaires réalisés à partir
d’absorbants saturables à semiconducteurs (SESAMs [1]). Or il apparaît que la nonlinéarité
de ces composants —particulièrement efficace pour obtenir les impulsions désirées— est
responsable d’une déstabilisation de ces lasers, empêchant ainsi un fonctionnement correct.
Cette instabilité entraîne des oscillations géantes de la puissance de sortie (le “Q-switch”).
Pour éviter ces instabilités, les stratégies habituelles consistent à choisir des zones de
paramètres où les instabilités n’apparaissent pas. Cette contrainte a deux conséquences
génantes. D’une part, comme le Q-switch peut être évité en augmentant la densité de
puissance sur le miroir non-linéaire (en focalisant fortement le faiseau laser à cet endroit),
on travaille souvent près du seuil de dommage du miroir non-linéaire. D’autre part, comme
la région accessible de l’espace des paramètres est restreinte, l’optimisation du fonctionnement
(par exemple la réduction de la durée des impulsions ou l’augmentation du taux de
répétition) est délicate. De plus ces intabilités ont tendance à apparaître précisément dans
des lasers utilisant des matériaux actifs extrèmement prometteurs comme les verres ou
cristaux dopés à l’Ytterbium ou l’Erbium, dont la lageur de la courbe de gain est compatible
avec la production d’impulsions femtoseconde (quelques dizaines de fs), un excellent
rendement et un pompage par diode laser.
Or, dans le domaine de la dynamique des lasers, il est connu depuis le début des années
90, qu’il est possible de stabiliser des lasers sur des états (orbites périodiques ou états
stationnaires[2]) habituellement instables, en utilisant une contre-réaction électronique.
Le but de ce travail théorique et numérique est double. D’abord, nous montrons
qu’une technique de contrôle relativement simple àimplémenter (et déjà testée dans le
cas des lasers continus [2]) permet de stabiliser l’état où le laser produit des impulsions
brèves de manière régulière. D’autre part, nous montrons que la stabilisation de l’état
désiré n’est pas une condition suffisante pour que le contrôle fonctionne avec succès En
effet, dans de nombreux l’etat stationnaire stabilisé coexiste avec une orbite périodique en
présence de contrôle, et une application naïve du contrôle mène généralement le laser sur
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

32 N. Joly et S. Bielawski
l’orbite périodique non-désirée. Pour mettre le laser dans l’état stationnaire désiré, une
solution est de choisir un chemin judicieux dans l’espace des paramètres.
2 Stabilisation de l’état stationnaire
Nous considérons ici une contre-réaction sur la puissance de pompe proportionnelle
àladérivée de l’intensité de sortie du laser. Ce choix est motivé par le fait qu’une étude
théorique et expérimentale [2] a montré l’efficacité de cette technique dans le cas des lasers
continus (monomodes et multimodes).
2.1 Principe
L’instabilité
Une étude théorique préliminaire du problème est relativement simple à effectuer, si
on considère le modèle simplifié de laser “classe B” suivant:
I ˙ = f I (I,D)=(D − k(I))I + ηD (1)
Ḋ = f D (I,D)=γ [A − D − DI] , (2)
où I(t) etD(t) sont des variables positives sans dimension associées repectivement au
nombre de photons total à l’intérieur du laser et à son inversion de population. A est
le taux de pompage (puissance de pompe divisé par la puissance au seuil du laser). Le
temps est normalisé par rapport au temps de vie des photons dans la cavité. γ est un petit
paramètre représentant le temps caractéristique du milieu actif (γ ≪ 1 pour matériaux
dopé aux terres rares qui nous intéressent ici). k(I) représente les pertes introduites par
le miroir non-linéaire. Dans l’approximation de pertes instantanées, k(I) est typiquement
de la forme:
k(I) =a/(1 + bI), (3)
où a représente l’épaisseur d’absorbant saturable traversé, et b est lié à la focalisation
dans l’absorbant (b est inversement proportionnel au carré de la taille du faisceau). η est
le coefficient d’émission spontanée. Sa valeur très faible (typiquement inférieure à10 −9 )a
peu d’influence sur la stabilité. Nous prendrons donc η = 0, sauf lorque nous étudierons
numériquement le démarrage du laser.
En l’absence de miroir non-linéaire k(I) = 0, il existe pour A > 0unseulétat
stationnaire non-trivial stable (I >0): I = I st = A − 1, D =1.Enprésence de miroir nonlinéaire
k(I) ≠0,nousn’écrirons pas les expressions des états stationnaires I st ,D st ,qui
sont plus complexes. Le point important est que la présence de k(I) ≠ 0 affecte fortement
la stabilité du laser. Le laser ne sera stable que si:
− ∂k
∂I

Contrôle des lasers implusionnels 33
La stabilisation
Modèle des équations du bilan Nous allons tester une méthode de contrôle permettant
la stabilisation du système quelque soit les valeurs des paramètres du laser (en
particulier a, b et γ).
Si on applique une contre réaction sur la puissance de pompe de la forme:
A(t) =A 0 + βI, ˙
(5)
l’état stationnaire désiré est stable si:
−β >−β th = 1 ∂k
γ ∂I + γ I st +1
. (6)
I st
Il est donc toujours possible de choisir une valeur de β permettant la stabilisation.
ModèledeHaus Dans un deuxième temps, il est important de tester la contre-réaction
sur un modèle plus complet permettant de calculer l’évolution des impulsions brèves. Nous
avons utilisé l’équation de Haus, dans lequel nous avons introduit l’évolution de l’inversion
de population. Cette équation décrit l’évolution du champ E n (θ) à chaque aller-retour n
de l’onde dans la cavité. En général, on peut effectuer un “passage en continu” où on
remplace la variable discrète n par une variable continue T . Pour un laser en anneau, les
équations deviennent alors [3]:
[ ]
E T = − 1+k(|E| 2 ) E + N(E + E θθ ) − iDE θθ (7)
[
∫ L
) ]
N T = γ A −
(1+L −1 |E| 2 dθ N , (8)
avec E = E(θ, T) le champ dans la cavité, et N = N(T ) l’inversion de population. Le
temps lent T est normalisé par rapport au temps de vie du champ dans la cavité. Le
temps rapide θ est normalisé par rapport au temps de cohérence γ ⊥ du milieu. L est le
temps d’aller-retour du champ dans la cavité. D caractérise la dispersion de la cavité.
Nous considérons que le détecteur est suffisemment rapide pour détecter l’instabilité
(à desfréquences typiques de l’ordre du kHz au MHz), mais ne résoud pas les impulsions
brèves (sa bande passante est inférieurautauxderépétition des impulsions, au moins de
l’ordre de la dizaine de MHz):
0
A(T )=A 0 [1 + βI T (T )] , (9)
quand 1 + βI T (T ) > 0etA(T ) = 0 dans l’autre cas, avec:
∫ L
I(T )=L −1 |E(θ, T)| 2 dθ. (10)
0
La figure 1 représente un exemple d’évolution du laser lorsque le contrôle est appliqué à
partir d’une situation où le laser est sujet à l’instabilité Q-switch. En réalisant l’intégration
numérique pour différentes valeurs des paramètres, nous avons toujours pu trouver une
valeur de β permettant la stabilisation. De plus, comme pour le cas de la section précédent,
il suffisait chaque fois de dépasser un seuil: −β >β th > 0, et il n’y a apparemment pas de
limite supérieure. L’avantage potentiel de cette technique est de dissocier le problème de
la stabilité de celui de l’optimisation des paramètres du laser. Une fois le laser stabilisé,
on dispose d’une région plus importante de l’espace des paramètres pour l’optimisation.
Ceci doit permettre par exemple de diminuer plus facilement la durée des impulsions [3].

34 N. Joly et S. Bielawski
Ì ´Ñ×µ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
250
200
­ ´Ô×µ
150
100
50
ÓÒØÖÓÐ Ç«
ÓÒØÖÓÐ ÇÒ
0
0 50 100
ÒÙÑÖ Ó ÖÓÙÒ ØÖÔ× ´Ü½¼ ¿ µ
150
Fig. 1: Suppression du Q-switch dans le modèle (7,8) quand le feedback est appliqué, à
partir d’une situation où le laser produit des impulsions brèves en étant sujet à l’instabilité
Q-switch. a =0.01, b =0.01, γ =1.4 × 10 −4 , A =8, D =4.5 × 10 −3 .. L’échelle de gris
correspond à l’intensité du chanp |E(θ, T)| 2 . Cette figure peut être interprétée comme une
vue stroboscopique de la forme de l’impulsion E n (θ) à chaque aller-retour n dans la cavité.
3 Echec du contrôle en présence de limitations des perturbations
possibles — choix d’un chemin adéquat dans l’espace
des paramètres
Expérimentalement, les variations possibles de notre paramètre de contrôle principal
A sont limitées:
A(t) =0isiA 0 + f(t) < 0 (11)
sinon :
A(t) =A 0 + f(t) iff min

Contrôle des lasers implusionnels 35
On constate numériquement que les limitations imposées —bien que n’empéchant pas
la stabilisation— ne permettent plus la destruction de l’orbite périodique Q-switch, et on
a un comportement bistable entre l’orbite périodique et l’état stationnaire stabilisé. De
plus, lorsque cette bistabilité existe, on constate numériquement que l’application de la
contre-réaction (instantanément ou lentement) mêne à l’echec (un exemple de balayage
lent de β est représenté sur la Figure. 2a-f). Mettre en marche le laser (A 0 =0pourt

36 N. Joly et S. Bielawski
Á Á ÑÜ
ÑÜ
5
5
600
4
(a) (b)
4
3
¼ (e)
400
3
2
Á ÑÜ Á ÑÜ
2
2
1
200
1
0
0 20 40 60 80 100
A
0
0
5
0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 6
4
¼
¼
3
(f)
600 (c)
1
5
(d)
0
4
0 20 40 60 80 100
4
400
3
B’’
3.5
2
3
2.5
200
(g)
1
Á 2
B’
A’’
1.5
0
0
1
0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 6
0.5
0
0 20 40 60 80 100
¼ ¼
Fig. 3: (a) et (c): diagrammes de bifurcation avec et sans contrôle respectivement. ­Ø (b) et
(d) sont des agrandissements de (a) et (c). (e-g): réussite du contrôle (1,2), en balayant
lentement A 0 .
dans les lasers pico- et femto- seconde. L’utilisation de cette technique devrait permettre de
d’avoir accès à un domaine beaucoup plus grand de l’espace des paramètres, en particulier
dans les lasers dont le mileu amplificateur possède un grand temps de vie comme les cristaux
et verres dopés Yb 3+ et Er 3+ . Ceci devrait permettre (i) d’optimiser plus facilement
les propriétés de ces lasers (comme la durée des impulsions), et (ii) de diminuer les densités
de puissance sur les miroirs non-linéaires. Nous avons également montré numériquement
que les limitations des variations de la puissance de pompe mènent fréquemment àunéchec
du contrôle si celui-ci est appliqué demanière naïve. Pour atteindre effectivement l’état
stationnaire stabilisé, on peut simplement choisir un chemin adéquat dans l’espace des
paramètres. Une solution efficace consiste à appliquer la contre-réaction, puis àaugmenter
lentement la puissance de pompe. Des expériences préliminaires ont déjà été effectuées
sur un laser Nd:YVO 4 [4]. Il reste à tester les techniques présentées (en en particulier la
technique de balayage de la puissance de pompe [5]) sur lasers problématiques, basés sur
des matériaux dopés Yb 3+ et Er 3+ .
Références
[1] F.X.Kärtner, J. Aus der Au and U. Keller, IEEE J. Quantum Electron. 4 159 (1998).
[2] S. Bielawski, M. Bouazaoui, D. Derozier, and P. Glorieux, Phys. Rev. A 47, 3276
(1993).
[3] N. Joly and S. Bielawski, Opt. Lett. 26, 692 (2001)
[4] T. R. Schibli and U. Morgner and F. X. Kärtner, Opt. Lett. 26 148 (2001).
[5] N. Joly and S. Bielawski, Opt. Commun., àparaître (2003)

encontre du non-linéaire 2003 37
Modélisation globale de systèmes chaotiques :
vers une extension de la bibliothèque de modèles
Marie-Aurélie Boiron Jean-Marc Malasoma
Laboratoire Géomatériaux DGCB-URA CNRS 1652
ENTPE, rue Maurice Audin, 69518 Vaulx-en-Velin cedex
boiron@entpe.fr
Résumé
L’établissement d’une bibliothèque de modèles sous la forme de systèmes d’équations
différentielles ordinaires est un outil puissant dans le cadre de la modélisation globale
de systèmes chaotiques. Nous montrons que la bibliothèque quadratique utilisée actuellement
est incomplète, en exhibant un modèle n’y appartenant pas.
1 Introduction
En 1987, plusieurs auteurs [1, 2] ont montré qu’il était possible d’obtenir un système
d’équations différentielles ordinaires permettant de reproduire le comportement d’un système
chaotique à partir d’une série chronologique de ses variables. Cependant, expérimentalement,
il est difficile voire impossible d’avoir accès à toutes ces variables. En 1990 [3], une
telle modélisation a été réalisée grâce à l’observation de certaines des variables du système
chaotique. Dans le cas où une seule variable est enregistrée, Gouesbet et ses collaborateurs
[4,5,6]ontdéveloppé une technique de modélisation globale qui repose sur une reconstruction
de l’attracteur chaotique par plongement différentiel de la série chronologique.
Ensuite, la recherche d’un modèle sous la forme d’un système d’équations différentielles
ordinaires permet par intégration numérique de reproduire cet attracteur. La structure
générale de ce système est choisie, a priori, de telle sorte qu’elle ne donne lieu qu’à l’estimation
d’une seule fonction F de plusieurs variables.
Par exemple, dans le cas d’une dimension de plongement égale à3,lemodèle recherché
prend la forme de Cauchy suivante :
⎧
⎨
⎩
Ẋ = Y
Ẏ = Z
Ż = F (X, Y, Z)
ou sous la forme d’une équation scalaire : Ẋ .. = F (X, Ẋ,Ẍ) (1)
La fonction F est estimée, habituellement, par interpolation sur une base tronquée de
polynômes. La sélection des monômes conservés dans cette troncature constitue le point
délicat de la méthode. Pour cette raison, plus récemment, une bibliothèque de modèles
quadratiques a été introduite [7] dont la structure générale est la suivante :
⎧
⎨
⎩
ẋ = p 1 (x, y, z)
ẏ = p 2 (x, y, z)
ż = p 3 (x, y, z)
où p 1 , p 2 et p 3 sont des polynômes de degré 2. La variable x est choisie comme variable
de reconstruction et on écrit l’équation (1) pour X = h(x, y, z) =x. Par construction de
(2)
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

38 M-A Boiron, J-M Malasoma
la bibliothèque, chacun de ces systèmes est équivalent, via un changement de variables
rationnel, à une équation de la forme (1) , dont les termes sont ainsi tous connus.
La bibliothèque actuelle [7] a été obtenue avec l’hypothèse restrictive ẋ = p 1 (x, y). Afin de
montrer qu’elle doit être complétée, nous effectuons une classification des polynômes p 1
admissibles. Nous insérons, ensuite, les modèles déjà établis dans ce nouveau classement.
Enfin, nous exhibons un exemple de système n’appartenant pas à la bibliothèque donnée
en [7].
2 Formes admissibles de p 1
La variable x est utilisée pour la reconstruction et ne doit pas être modifiée par des
translations. Par contre, il est possible d’agir sur les variables y et z par de telles opérations
ou des permutations. Nous nous intéressons à la forme de ẋ = p 1 (x, y, z) où p 1 est un
polynômededegré2soitẋ = a 0 +a 1 x+a 2 y+a 3 z +a 4 x 2 +a 5 xy+a 6 xz +a 7 y 2 +a 8 yz+a 9 z 2 .
Nous montrons qu’il existe seulement huit formes de fonction p 1 à partir desquelles on peut
retrouver, via une translation ou une permutation sur y et z, n’importe quelle fonction p 1
polynomiale et de degré deux. Listons donc ces huit types :
a 2 y + a 4 x 2 a 2 ≠0 1 a 0 + a 2 y + a 5 xy a 5 ≠0 2
a 3 z + a 5 xy a 3 ≠0 a 5 ≠0 3 a 3 z + a 4 x 2 + a 7 y 2 a 3 ≠0a 7 ≠0 4
a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 8 yz a 8 ≠0 5 a 0 + a 2 y + a 5 xy + a 9 z 2 a 5 ≠0a 9 ≠0 6
a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 7 y 2 a 7 ≠0 7 a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 7 y 2 + a 9 z 2 a 7 a 9 > 0 8
Pour établir un tel résultat, nous raisonnons sur les coefficients a 5 , a 6 , a 7 , a 8 et a 9 . Chacun
de ces coefficients est soit nul, soit non nul ce qui génère 32 cas. Pour des raisons de place,
nous ne traitons que trois exemples.
–Lecoefficienta 5 n’est pas nul mais a 6 , a 7 , a 8 et a 9 sont nuls.
ẋ = a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 2 y + a 3 z + a 5 xy
On pose ỹ = y + a 4
x + a 1a 5 − a 2 a 4
.
a 5 a 2 5
L’équation en ẋ se réécrit : ẋ = α 0 +α 2 ỹ+a 3 z+a 5 xỹ. Deux cas sont alors à examiner :
– a 3 =0d’où ẋ = α 0 + a 2 ỹ + a 5 xỹ , expression qui correspond au type 2.
– a 3 ≠ 0. Sous cette hypothèse, on translate z suivant : ˜z = z + a 2
ỹ + α 0
.On
a 3 a 3
obtient alors ẋ = a 3˜z + a 5 xỹ et on reconnaît le type 3.
– Deux coefficients ne sont pas nuls : a 5 ≠0eta 8 ≠0.p 1 prend donc la forme suivante :
ẋ = a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 2 y + a 3 z + a 5 xy + a 8 yz.
On effectue le changement de variables : ỹ = y + a 3
et ˜z = z + a 5
x + a 2
. On obtient
a 8 a 8 a 8
alors : ẋ = α 0 + α 1 x + a 4 x 2 + a 8 ỹ˜z qui coïncide avec la forme 5 présentée dans le
tableau.
– Trois coefficients ne sont pas nuls : a 5 ≠0,a 6 ≠0eta 9 ≠ 0 ce qui génère la forme
p 1 suivante. ẋ = a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 2 y + a 3 z + a 5 xy + a 6 xz + a 9 z 2 .
On pose le changement de variables suivant : ỹ = y + a 6
z + a 4
x + a 1a 5 − a 2 a 4
et
a 5 a 5 a 2 5
˜z = z + a 3a 5 − a 2 a 6
2a 5 a 9
. Dans ces nouvelles variables, ẋ s’écrit ẋ = α 0 + a 2 ỹ + a 5 xỹ + a 9˜z 2
et s’identifie à la forme 6 du tableau.

Modélisation globale de systèmes chaotiques 39
Parmi les huit cas listés ci dessus, nous remarquons que deux ne sont pas admissibles. En
effet, dès lors qu’un système différentiel polynomial comporte une première équation de
type 7 (ẋ = a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 7 y 2 )ou8(ẋ = a 0 + a 1 x + a 4 x 2 + a 7 y 2 + a 9 z 2 ), il ne peut
pas être équivalent àunsystème différentiel sous forme de Cauchy, suivant un changement
de variables rationnel. Nous retenons donc les six autres types comme étant des types de
fonction p 1 acceptables.
3 Application à la bibliothèque existante
Nous discriminons les modèles dynamiques (systèmedetroiséquations différentielles
ordinaires polynomiales et quadratiques) suivant la forme de l’équation en ẋ. Nous qualifions
désormais un modèle de type i si sa fonction p 1 est du type i présenté dans la
section précédente. Dans la suite, nous listons les modèles déjà établis dans [7] et nous
mentionnons àqueltypedemodèle ils appartiennent.
– La fonction p 1 des modèles notés dans [7] A 1 , A 2 et A 5 correspond àẋ = a 2 y + a 4 x 2
(type 1) si on effectue une translation sur y. Cesmodèles sont donc de type 1 et nous
les réécrivons en les accompagnant de la liste des termes présents dans la fonction
F associée au modèle.
A 1
⎧
⎨
⎩
ẋ = a 2 y + a 4 x 2
ẏ = b 0 + b 1 x + b 2 y + b 4 x 2 + b 5 xy + b 6 xz + b 7 y 2
ż = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 xz + c 7 y 2 + c 8 yz + c 9 z 2
Le système A 1 peut se mettre sous une forme de Cauchy via un changement de
variables rationnel. La fonction F comporte alors des termes inclus dans la liste
suivante en fonction de la valeur des coefficients du modèle A 1 initial :
{ 1
L 1 =
X , 1, Y X , Z 2
X ,X,Y,Z,Y X , YZ
X , Z2
X ,X2 ,XY,XZ,Y 2 ,YZ, Y 3
X , Y 2 Z
X ,X3 ,X 2 Y,X 2 Z,
XY 2 ,XYZ,Y 3 , Y 4
}
X ,X4 ,X 3 Y,X 3 Z, X 2 Y 2 ,XY 3 ,X 5 ,X 4 Y,X 3 Y 2 ,X 6 ,X 5 Y,X 7
Le modèle A 2 comporte la même fonction p 1 quelemodèle A 1 mais l’expression de
ẏ diffère :
A 2
⎧
⎨
⎩
ẋ = a 2 y + a 4 x 2
ẏ = b 0 + b 1 x + b 2 y + b 3 z + b 4 x 2 + b 5 xy + b 7 y 2
ż = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 xz + c 7 y 2 + c 8 yz + c 9 z 2
Un tel système d’équations aux dérivées ordinaires est aussi équivalent àunsystème
de la forme (1). L’équation scalaire (1) est composée des monômes suivants :
L 2 = { 1,X,Y,Z,X 2 ,XY,XZ,Y 2 ,YZ,Z 2 ,X 3 ,X 2 Y,X 2 Z, XY 2 ,XYZ,Y 3 ,Y 2 Z, X 4 ,X 3 Y,
X 3 Z, X 2 Y 2 ,X 2 YZ,XY 3 ,Y 4 ,X 5 ,X 4 Y,X 4 Z, X 3 Y 2 ,X 2 Y 3 ,X 6 ,X 5 Y,X 4 Y 2 ,X 7 ,X 6 Y,X 8}
Le dernier modèle de la bibliothèque existante [7], dont la fonction p 1 est du type 1
est le modèle A 5 .Laformedep 1 est, ici, plus contrainte : a 4 doit être nul.
A 5
⎧
⎨
⎩
ẋ = a 2 y
ẏ = b 0 + b 1 x + b 2 y + b 4 x 2 + b 5 xy + b 7 y 2 + b 8 yz
ż = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 xz + c 7 y 2 + c 8 yz + c 9 z 2

40 M-A Boiron, J-M Malasoma
Voici la liste des termes de la fonction F associée au modèle A 5 :lenombredetermes
est réduit par rapport aux deux cas précédents puisque la forme de p 1 est plus simple.
{ 1
L 5 =
Y , X Y , 1, Z Y , X2
Y ,X,XZ Y
,Y,Z,Z2 Y , X3
Y ,X2 , X2 Z
Y
,XY,XZ,Y2 ,YZ, X4
Y ,
X 3 ,X 2 Y,XY 2 ,Y 3}
–Lesmodèles A 3 , A 4 et A 6 sont répertoriés comme modèles de type 2 car leur première
équation est du type 2 : ẋ = a 0 + a 2 y + a 5 xy si on modifie la variable y par une
translation. Comme précédemment, nous rappelons les expressions de ces modèles
en juxtaposant la liste des termes présents dans l’équation scalaire F associée.
A 3
⎧
⎨
⎩
ẋ = a 0 + a 5 xy
ẏ = b 0 + b 1 x + b 2 y + b 4 x 2 + b 5 xy + b 6 xz + b 7 y 2
ż = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 xz + c 7 y 2 + c 8 yz + c 9 z 2
Comme pour les trois cas précédents, un changement de variables rationnel permet
de montrer l’équivalence entre ce modèle A 3 et un systèmedelaforme1.Nous
écrivons alors la fonction standard associée qui est constituée de tout ou partie des
termes suivants :
{ 1
L 3 =
X 4 , 1
X 3 , Y X 4 , 1
X 2 , Y X 3 , Z
X 3 , Y 2
X 4 , 1 X , Y X 2 , Z
X 2 , Y 2
X 3 , YZ
X 3 , Y 3
X 4 , 1, Y X , Z X , Y 2
X 2
YZ
X 2 , Y 3
X 3 , Y 2 Z
X 3 , Y 4
2
X 4 ,X,Y,Z,Y X , YZ
X , Y 3
}
X 2 ,X2 ,XY,XZ,Y 2 ,X 3 ,X 2 Y,X 4
La forme p 1 du modèle A 4 est un cas particulier du type 2, puisqu’il faut ajouter la
condition a 2 =0.
A 4
⎧
⎨
⎩
ẋ = a 0 + a 5 xy
ẏ = b 0 + b 1 x + b 2 y + b 3 z + b 4 x 2 + b 5 xy + b 7 y 2
ż = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 xz + c 7 y 2 + c 8 yz + c 9 z 2
Dans ce cas également, il est possible de mettre le système d’équations différentielles
ordinaires sous la forme d’un système de Cauchy dont la fonction F comporte les
termes suivants :
{ 1
L 4 =
X 3 , 1
X 2 , Y X 3 , 1 X , Y X 2 , Z
X 2 , Y 2
X 3 , 1, Y X , Z X , Y 2
X 2 , YZ
X 2 , Y 3
X 3 ,X,Y,Z,Y 2
X , YZ
X , Z2
X ,
Y 3
X 2 , Y 2 Z
X 2 , Y 4
X 3 ,X2 ,XY,XZ,Y 2 ,YZ, Y 3
X ,X3 ,X 2 Y,X 2 Z, XY 2 ,X 4 ,X 3 Y,X 5 }
Enfin, le dernier modèle de la bibliothèque telle qu’elle est présentée en [7] s’identifie
au type 2 du fait de sa forme p 1 de type 2. Il a fallu ici imposer à la fois a 0 =0et
a 2 =0.
A 6
⎧
⎨
⎩
ẋ = a 5 xy
ẏ = b 0 + b 1 x + b 2 y + b 4 x 2 + b 5 xy + b 7 y 2 + b 8 yz
ż = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 xz + c 7 y 2 + c 8 yz + c 9 z 2
Du fait de la simplification de la fonction p 1 et comme pour le modèle A 5 , le nombre
de termes de la fonction F associée au modèle A 6 est limité:
{ X
2
L 6 =
Y ,X,XZ Y
,Y,Z,Z2 Y , Y 2
X , YZ
X , Y 3
X 2 , X3
Y ,X2 , X2 Z
Y
,XY,XZ,Y2 , X4
Y ,X3 , X3 Z
Y ,
}
X 2 Y, X5
Y ,X4 , X6
Y

Modélisation globale de systèmes chaotiques 41
Ainsi, nous remarquons que tous les modèles de la bibliothèque existante ne correspondent
qu’à deux types de modèles associés aux deux sous-cas 1 et 2 de la forme p 1 . Il reste donc
quatre formes p 1 admissibles qui peuvent créer quatre nouveaux types de modèles. Pour
chacun d’eux, nous avons exhibé des systèmes possédants le type de fonction p 1 associée.
Dans la partie suivante, pour des raisons de place, nous ne donnons qu’un seul exemple
de système chaotique qui présente une nouvelle forme pour la fonction p 1 .
4 Un exemple de système dynamique n’appartenant pas à
la bibliothèque établie
Nous exposons dans cette section un modèle de type 6 et nous montrons qu’il n’est pas
équivalent aux modèles de type 1 et 2 de la section précédente. Voici le système d’équations
différentielles définissant ce modèle : sa fonction p 1 est de type 6.
⎧
⎨
⎩
ẋ = − 2 xy +2z 2
ẏ = − 2 − 2 x − αy+ z +2y 2
ż = 0.5 x − 0.5αz+ xy − z 2 + yz
Le paramètre de bifurcation α est fixé àlavaleur0.8603 pour que le régime asymptotique
du modèle étudié soit chaotique.
(3)
0
0
z
−0.4
−0.8
y
−0.5
0
−0.5
y
−1
−1
x
−0.5
0
−1
−1.0 −0.5 0
x
0
0
z
−0.4
z
−0.4
−0.8
−0.8
−1 −0.5 0
x
−1 −0.5 0
y
Fig. 1: Portrait de phase et projections de l’attracteur chaotique simulé à partir des conditions
suivantes : α =0.8603, x 0 = −1, y 0 = −0.2, z 0 = −0.75
Sur la figure précédente, nous présentons différentes projections de l’attracteur chaotique
obtenu. Remarquons que ce modèle appartient à la bibliothèque puisqu’il est équivalent

42 M-A Boiron, J-M Malasoma
au système de Cauchy suivant via un changement de variables rationnel :
Ẋ = Y
Ẏ = Z
Ż =
Z 3
4XY 2 + 3αZ2
4XY − αY 2
2X − YZ
2X + α3 Y
4X + 3α2 Z
4X
− 16X5
Y 2 − 48X4
Y 2
+ 12X3 Z
Y 2 − 48X3
Y 2 + 24X2 Z
Y 2 − 3XZ2
Y 2 − 16X2
Y 2 + 12XZ
Y 2 − 3Z2
Y 2
+ 12αX3
Y
− 4X2 Z
Y
+ 24αX2 −
Y
− 3α 2 + ( −3α 2 +2α ) X +
(4 + 6α)XZ
Y
(− α2
2 +6 )
(4)
+ Z2
Y
+ 12αX − 6αZ
Y Y
Y − α 2 Z +2αX2 +9XY + Y 2
Pourtant, nous notons qu’il n’est équivalent à aucun des six modèles appelés A 1 ...A 6 et
présentés dans la section 3. Précisons alors la notion d’équivalence utilisée : deux systèmes
sont dits équivalents s’ils peuvent se mettre sous la forme ẋ .. = F (x, ẋ, ẍ) aveclamême
fonction F . Nous constatons que la fonction F 4 associée au modèle 3 comprend un terme
en
Z3
XY 2 , terme qui est absent dans les six listes L 1... L 6 de termes associées au modèles
de la bibliothèque telle qu’elle est présentée en [7] . Avec la définition de l’équivalence
que nous avons choisie, nous concluons donc que le modèle de type 6 présenté n’estpas
équivalent à un de ces six modèles.
5 Conclusion
L’exemple de modèle chaotique présenté dans la partie précédente appartient logiquement
à la bibliothèque car il est équivalent àunsystème différentiel sous forme de
Cauchy via un changement de variables rationnel. Pourtant il n’est équivalent à aucun
des six modèles qui constitue la bibliothèque jusqu’à présent. Ainsi, apparaît clairement
la nécessité de la compléter.
Références
[1] J. P. Crutchfield, B.S. Mc Namara, Equations of motion from data series, Complex
systems, 1,417-452 (1987).
[2] J. Cremers, A. Hübber, Construction of differential equations from experimental data,
Zeitung Naturforsch, 42a,797-802 (1987).
[3] J. L. Breeden, A. Hübber, Reconstructing equation of motion from experimental data
with unobserved variables, Phys. Rev. A,42,5817-5826 (1990).
[4] G. Gouesbet, J. Maquet, Construction of phenomenological models from numerical
scalar time series ,PhysicaD,58, 202 (1992).
[5] G. Gouesbet, C. Letellier, Global field reconstruction by using a multivariate polynomial
L 2 approximation on nets, Phys. Rev. E, 49, 4955-4972, (1994).
[6] C. S. M. Lainscsek, F. Shürrer, J. Kadtke, A general form for global dynamical data
models for three-dimensional systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 8,899-
914, (1998).
[7] C. S. M. Lainscsek, C. Letellier, F. Shürrer, Ansatz library for global modeling with
structure selection, Physical Review E, 64 (2001).

encontre du non-linéaire 2003 43
Ondes stationnaires et progressives dans la convection de
Rayleigh-Bénard en géométrie cylindrique
K. Boronska, L. S. Tuckerman
LIMSI-CNRS, BP 133, 91403 ORSAY Cedex, FRANCE
kasia@limsi.fr, laurette@limsi.fr
Résumé
La convection de Rayleigh-Bénard en géométrie cylindrique peut avoir diverses
structures près du seuil. Pour un rapport d’aspect et un nombre de Prandtl particuliers,
un état axisymétrique convectif subit une bifurcation secondaire de Hopf vers un état
ayant nombre d’onde azimutal m = 3. Nous avons étudié le comportement nonlinéaire
au-delà de cette bifurcation, et découvert que des ondes stationnaires donnent place à
des ondes progressives.
1 Introduction
La convection de Rayleigh-Bénard est l’écoulement produit dans une cavité soumise
à un gradient thermique verticale, mesuré par le nombre de Rayleigh Ra. Bien que la
convection de Rayleigh-Bénard soit un sujet classique, la variété de motifs et de comportements
dynamiques qu’elle peut engendrer continue à surprendre [1, 2]. Un exemple
est la convection en boîte cylindrique, qui peut apparaître sous forme d’un système de
rouleaux concentriques, ou bien prendre une forme non-axisymétrique. L’analyse linéaire
de la structure au seuil de la convection a été faite [3] il y a 20 ans pour une gamme de
valeurs de Γ ≡ rayon/hauteur. Les écoulements secondaires ont été étudiés pendant les
dix dernières années [4, 5, 6] pour quelques ensembles de paramètres Γ et Pr ≡ viscosité
/ diffusivité thermique.
Wanschura et al. ont calculé pourΓ=1.47, Pr = 1 une instabilité oscillatoire (bifurcation
de Hopf) vers un mode ayant un nombre d’onde azimutal m = 3. Une bifurcation
de Hopf en présence de symétrie O(2), c’est-à-dire dans un cercle ou cylindre où aucune
phase ni direction n’est préférée, donne lieu à une concurrence entre ondes stationnaires et
ondes progressives. Nous avons voulu déterminer les motifs engendrés par cette bifurcation
dans ce cas.
2 Equations et Méthodes Numériques
Le système est régi par les équations de Navier-Stokes et de Boussinesq :
∂u
∂t +(u ·∇) u = −∇p + Pr∆u + Ra P r he z (1)
∂h
∂t + u ·∇h = u z +∆h (2)
∇·u = 0 (3)
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

44 K. Boronska, L. S. Tuckerman
ou u est la vitesse et h est la différence entre le champ de température et la solution
conductive. Les conditions aux limites sont :
u =0 à r =Γ età z = ±1/2 (4)
h =0 à z = ±1/2 (5)
∂h
=0
∂r
à r =Γ (6)
Les champs u et h sont représentés par des polynômes de Chebyshev en r et en z et des
séries de Fourier en θ :
f (r, z, θ, t) = ∑ ˆf jkm (t) C j (r/Γ)C k (2z)e imθ + c.c. (7)
j,k,m
Les équations sont alors intégrées par une méthode classique pseudospectrale, oùl’évolution
due aux termes nonlinéaires est calculée dans l’espace physique avec une discrétisation
Adams-Bashforth et celle due aux termes linéaires est calculée dans l’espace spectrale
avec une discrétisation de Crank-Nicolson. Le nombre de points ou de fonctions de base
utilisé estN r = 36, N θ = 80, N z = 18. Une méthode de matrice d’influence est utilisée
pour imposer l’incompressibilité àlaprécision machine [7].
3 Résultats
Pour Γ = 1.47 et Pr = 1, la solution conductive subit une bifurcation vers la convection
axisymétrique stationnaire à Ra = 1900. Cet écoulement a la forme de rouleaux
concentriques (figure 1). Puis, à Ra = 25000, cet état convectif subit à son tour une bifurcation
de Hopf ; les vecteurs propres correspondants ont un nombre d’onde azimutal
m =3.
Fig. 1: Champ de température pour un état axisymétrique.
Au stade linéaire, l’évolution temporelle du mode m =3estdécrite par
a + f + (r, z)e imθ−ωt + a − f − (r, z)e imθ+ωt + a ∗ +f ∗ +(r, z)e −imθ+ωt + a ∗ −f ∗ −(r, z)e −imθ−ωt (8)
où ± désigne une propagation respectivement vers θ croissant ou décroissant, f ± (r, z) sont
deux vecteurs propres complexes, et a ± décrivent leurs amplitudes et phases, qui sont
arbitraires au stade linéaire, donnant une évolution dans une espace à quatre dimensions.
L’ajout des termes nonlinéaires restreint le nombre de solutions à trois [8] :
f + ∼ f + (r, z)e imθ−ωt + f+(r, ∗ z)e −imθ+ωt (9)
f − ∼ f − (r, z)e imθ+ωt + f−(r, ∗ z)e −imθ−ωt (10)
f S ∼ f + + f − (11)
Ceux-ci sont les ondes f + se propageant vers la droite, les ondes f − se propageant vers la
gauche, et les ondes stationnaires f S qui sont une superposition exacte des deux précédentes.

Ondes stationnaires et progressives dans la convection de Rayleigh-Bénard 45
Fig. 2: Diagramme de phases illustrant les cas où les ondes stationnaires sont stables
(gauche) et où les ondes progressives sont stables (droite).
De ces solutions possibles, ou les deux types d’ondes progressives sont stables (figure 2a),
ou les ondes stationnaires (figure 2b), ou aucune solution n’est stable.
Nous observons, d’abord, des ondes stationnaires, illustrées par les figures 3 et 4.
Quand nous intégrons suffisamment longtemps, ces ondes cèdent la place à des ondes
progressives, illustrées par les figure 5 et 6. Tous les états ont une périodicité spatiale de
2π/3. De plus, les ondes stationnaires ont six axes de symétrie de réflexion, tandis que
cette symétrie est brisée dans les ondes progressives.
L’explication de ce comportement est que les ondes stationnaires sont stables quand
une symétrie de réflexion est imposée, et faiblement instables dans le cas contraire. Les
conditions initiales étant symétriques, l’écoulement évolue rapidement vers les ondes stationnaires,
puis lentement vers les ondes progressives, qui sont stables.
t=t 0
t=t 5
t=t 9
t=t 14
t=t 18
t=t 23
t=t 28
t=t 32
t=t 37
température
θ
Fig. 3: Ondes stationnaires — température en fonction de l’angle pour une hauteur et un
rayon fixés (courbes pour différents instants de temps).
Fig. 4: Evolution de la température pendant une phase d’ondes stationnaires.

46 K. Boronska, L. S. Tuckerman
t=t 0
t=t 5
t=t 9
t=t 14
t=t 18
t=t 23
t=t 28
t=t 32
t=t 37
température
θ
Fig. 5: Ondes progressives — température en fonction de l’angle.
Fig. 6: Evolution de la température pendant une phase d’ondes progressives.
Références
[1] V. Croquette, Convective pattern dynamics at low Prandtl number, Contemporary
Physics, Part I: 30, 113 ; Part II: 30, 153 (1989).
[2] E. Bodenschatz, W. Pesch & G. Ahlers, Recent Developments in Rayleigh-Bénard
Convection, Annu. Rev. Fluid Mech. 32, 709 (2000).
[3] J.C. Buell & I. Catton, The effect of wall conduction on the stability of a fluid in a
right circular clinder heated from below, Journal of Heat Transfer 105, 255 (1983).
[4] M. Wanschura, H.C. Kuhlmann & H.J. Rath, Three-dimensional instability of axisymmetric
buoyant convection in cylinders heated from below, J. Fluid Mech. 326, 399
(1996).
[5] R.Touihri,H.BenHadid&D.Henry,On the onset of convective instabilities in cylindrical
cavities heated from below. I. Pure thermal case, Phys. Fluids 11, 2078 (1999).
[6] B. Hof, P.G.J. Lucas & T. Mullin, Flow state multiplicity in convection, Phys. Fluids
11, 2815 (1999).
[7] L.S. Tuckerman, Divergence-free velocity fields in nonperiodic geometries, J. Comput.
Phys. 80, 403 (1989).
[8] M. Golubitsky & I. Stewart, Hopf bifurcation in the presence of symmetry, Arch. Rat.
Mech. 87, 107 (1985).

encontre du non-linéaire 2003 47
Mécanismes d’induction en magnétohydrodynamique
M. Bourgoin, R. Volk, P. Odier et J.-F. Pinton
École normale supérieure de Lyon
46 Allée d’Italie, 69364, Lyon Cedex 07
mickael.bourgoin@ens-lyon.fr
Résumé
Nous proposons une approche perturbative des équations d’induction magnétohydrodynamique
permettant d’interpréter les mécanismes d’induction se produisant
dans un écoulement conducteur et de déterminer numériquement la structure spatiale
du champ magnétique induit. Le paramètre du développement perturbatif est le
nombre de Reynolds magnétique R m ; il mesure l’importance relative des effets inductifs
et des effets dissipatifs. Par cette approche nous avons pu identifier et expliquer
clairement des mécanismes donnant lieu à des effets d’induction souvent dominés par
des contributions non-linéaires en R m .Cesmécanismes suggèrent la possibilité d’une
instabilité dynamo de type “α”Ω.
Introduction
La présence simultanée d’un champ magnétique et d’un conducteur en mouvement
est à l’origine du phénomène d’induction. L’une des manifestations les plus remarquables
de cet effet est l’instabilité dynamo, où le mouvement du conducteur et la structure du
champ magnétique sont tels que ce dernier est auto-entretenu et qu’une fraction d’énergie
mécanique est constamment convertie en énergie magnétique.
Un exemple de dynamo est donné par le montage homopolaire
formé d’un disque conducteur en rotation et d’un circuit judicieusement
bouclé (voir figure ci-contre) : un champ magnétique
axial engendre une force électromotrice induite ⃗u × ⃗ B 0 , radiale,
à l’origine d’un courant dans le circuit qui crée à son tour un
champ axial assurant l’auto-entretien (pour une vitesse de rotation
du disque suffisante.)
Dynamo homopolaire
C’est un mécanisme de ce type qui serait à l’origine du champ magnétique des
planètes. Le conducteur en mouvement est dans ce cas le fer liquide du noyau planétaire.
La situation est alors bien plus complexe que pour les circuits rigides, car le conducteur
est un fluide homogène et aucune contrainte n’impose la géométrie des courants et champs
induits ni celle de l’écoulement. Des dynamos fluides expérimentales où l’écoulement est
contraint par des parois internes et des canalisations ont été récemment obtenues [1][2].
De nombreuses études numériques ont montré qu’une instabilité dynamo est aussi possible
dans le cas d’un écoulement non-contraint. Toutefois peu de travaux proposent une description
détaillée des mécanismes d’induction magnétohydrodynamique sous-jacents dont
la compréhension peut s’avérer déterminante pour les projets de dynamo expérimentale
tels que l’expérience VKS [3].
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

48 M. Bourgoin, R. Volk, P. Odier et J.-F. Pinton
1 Les équations MHD
L’évolution du champ magnétique B, ⃗ dans un fluide de conductivité σ, et celle de
l’écoulement, décrit par le champ de vitesse ⃗u sont régies par le système d’équations
⃗∇· ⃗B =0 ∂ tB ⃗ = ∇× ⃗
(⃗u × B ⃗ )
+ λ△B ⃗ (1)
⃗∇·⃗u =0 ∂ t ⃗u = − 1 ⃗ (
ρ∇p + ⃗u · ⃗∇
) ( )
⃗u + ν△⃗u + 1 ⃗∇× ⃗
µ 0
B × B ⃗ (2)
où p est la pression, λ =(µ 0 σ) −1 la diffusivité magnétique et ν la viscosité du fluide.
L’équation d’induction et l’équation de Navier-Stokes sont couplées par le terme d’induction
∇× ⃗ (
⃗u × B ⃗ )
( )
et la force de Lorentz 1 ⃗∇ ⃗
µ 0
B × B, ⃗ rendant la résolution du
problème complet généralement très complexe. Nous nous intéresserons ici àdesrégimes
où le champ magnétique reste suffisamment faible de sorte que la force de Lorentz reste
négligeable par rapport aux autres forces hydrodynamiques. Dans cette approche, dite
cinématique, le champ de vitesse est supposé donné et seul le problème magnétique défini
par (1) doit être résolu.
Le champ magnétique évolue selon deux contributions : l’induction (résultant de la
présence de B ⃗ dans un conducteur en mouvement) et la diffusion (due à la dissipation Joule
des courants induits.) L’importance relative de ces deux effets antagonistes est mesurée
par le nombre de Reynolds magnétique :
(∣ ( ∣∣
R m = induction O ∇× ⃗ ⃗u × ⃗ )∣)
∣∣
B
diffusion = ∣
O(λ ∣△B
⃗ ∣
= UL
(3)
∣) λ
où L et U sont respectivement l’échelle et la vitesse typiques de l’écoulement.
L’équation d’induction peut alors être adimensionnée et écrite sous la forme
)
∂ t
⃗˜B = Rm∇× ⃗
(⃗ũ ×
⃗˜B + △ ⃗˜B (4)
où l’on a posé ⃗˜B ⃗ = B
β
et ⃗ ũ = u U
, β étant l’amplitude de champ magnétique typique.
Dans les régimes de grand R m , le terme d’induction est dominant.
2 Les mécanismes d’induction
Afin de comprendre les propriétés fondamentales des mécanismes d’induction, intéressons-nous
momentanément au problème d’un fluide infiniment conducteur. L’équation
d’induction s’écrit alors simplement selon l’une des trois formes équivalentes suivantes :
∂ t
⃗ B = ⃗ ∇×(⃗u × ⃗ B) (5) ; Dt ⃗ B = ⃗ B · ⃗ ∇⃗u (6) ; ∂t ⃗ B =( ⃗ B · ⃗ ∇)⃗u − (⃗u · ⃗ ∇) ⃗ B (7)
On peut alors remarquer que la forme ( (6) est ) identique à la loi d’évolution d’une ligne
matérielle de particules de fluide D tδl ⃗ = ⃗δl · ∇ ⃗ ⃗u. Dans la limite de conductivité infinie,
les lignes de champs magnétiques suivent donc parfaitement le mouvement du fluide. Cette
tendance des lignes de champ àévoluer comme le fluide constitue la base des phénomènes

Mécanismes d’induction en magnétohydrodynamique 49
d’induction en magnétohydrodynamique. L’expression (7) précise ce mécanisme en distinguant
deux contributions : le transport des gradients magnétiques par la vitesse moyenne
et la déformation des lignes de champs magnétiques par les gradients de vitesse.
Considérons àprésent le problèmedelaréponse magnétique d’un écoulement de
liquide conducteur soumis à un champ magnétique extérieur B ⃗ 0 . La description de la
dynamo homopolaire suggère une approche mécaniste de l’induction où le champ initial
⃗B 0 induit un champ B ⃗ 1 qui induit à son tour un champ B ⃗ 2 et ainsi de suite. L’instabilité
dynamo est obtenue si un bouclage apparaît dans ce schéma itératif. Nous nous proposons
d’approfondir cette approche.
Dans la limite des faibles nombres de Reynolds magnétiques on peut envisager un
développement perturbatif en puissance de R m pour le champ induit B ⃗ ind (tel que B ⃗ =
⃗B 0 + B ⃗ ind )etnes’intéresser qu’au terme linéaire B ⃗ 1
⃗B ind = B ⃗ 1 + B ⃗ 2 + ···+ B ⃗ k + ··· avec ∣B ⃗ ∣ )
∣∣
k = O
(R m
k (8)
Pour les temps courts (devant le temps de diffusion) B ⃗ 0 ( évolue selon le mécanisme
de transport-déformation associé au terme d’induction R m∇ ⃗ ⃗u × B ⃗ 0
).Ceprocessusva
ensuite être freiné par la diffusion de sorte que les lignes de champs vont cesser progressivement
de suivre l’écoulement pour atteindre un état stationnaire où la diffusion et
l’induction se compensent exactement. B ⃗ 1 est alors solution de l’équation de Poisson
△B ⃗ (
1 = −R m∇ ⃗ ⃗u × B ⃗ )
0 (9)
Si on augmente progressivement le nombre de Reynolds magnétique, la tendance des
lignes de champs magnétique àévoluer comme l’écoulement va être accentuée, B ⃗ 1 sera à
son tour transporté etdéformé pour induire B ⃗ 2 selon la même équation de Poisson (9)
où B ⃗ 0 est remplacé dansletermesourceparB ⃗ 1 . Le processus peut être itéré afin de
décrire les effets d’ordre supérieur dont la contribution devient importante à mesure que
R m augmente. Ceci nous permet de définirlanotiondemécanisme d’induction comme
l’itération du mécanisme élémentaire permettant de passer de B ⃗ k à B ⃗ k+1 selon l’équation
de Poisson
△B ⃗ (
k+1 = −R m∇ ⃗ ⃗u × B ⃗ )
k (10)
Le terme source associé àchaqueitération a toujours la même expression formelle
et correspond au mécanisme de transport-déformation par le champ de vitesse. Ainsi
défini, chaque maillon élémentaire d’induction permet de donner une description à la fois
rigoureuse et intuitive du mécanisme d’induction globale.
3 Application à l’induction dans les écoulements von Kármán
3.1 Effet Ω : Rotation différentielle
L’écoulement de von Kármán est obtenu par l’entraînement du fluide à l’aide de
deux disques coaxiaux en rotation dans une cuve cylindrique. En régime contrarotatif,
l’écoulement présente une forte rotation différentielle (figure 1.) : le gradient axial de la
vitesse azimutale va déformer les lignes d’un champ magnétique axial appliqué B ⃗ 0 pour
engendrer un champ induit azimutal. Au premier ordre, ce mécanisme s’écrit △B θ1 =
R m B 0 ∂ z u θ et assure une conversion linéaire d’un champ axial en un champ azimutal

50 M. Bourgoin, R. Volk, P. Odier et J.-F. Pinton
Fig. 1: Écoulement VK
contra-rotatif
Fig. 2: Effet Ω : conversion axial → azimutal
(figure 2). Les effets d’ordres supérieurs sont mineurs. On peut en effet montrer que pour
un champ de vitesse axisymmétrique la conversion d’un champ magnétique azimutal en
un champ axial est impossible.
3.2 Effet “α”: Hélicité
Nous considérons maintenant le cas d’un écoulement engendré par un seul disque en
rotation. Cet écoulement présente une forte hélicité globale (figure 3). Si l’on applique
alors un champ transverse ⃗ B 0 selon O x ,desmécanismes d’induction quadratiques peuvent
être identifiés. La première itération est associée au terme source B 0 ∂ x ⃗u. Des arguments de
symétries [4] montrent que ce terme n’a pas de composante axiale dans le plan yOz. Une
composante axiale d’ordre un existe en revanche dans le plan xOz, due àladéformation
du champ initial par le gradient radial de la vitesse axial (figure 4). Ce champ ainsi induit
à l’ordre 1 sera ensuite transporté par la vitesse azimutale pour donner une composante
axiale d’ordre 2 dans le plan yOz (figure 4). Ce mécanisme n’est autre que celui suggéré
par E. Parker pour une structure hélicitaire. Il est à l’origine de l’induction non-linéaire
mesurée dans l’expérience VKS dans cette même configuration [4]. La figure 5 montre
deux lignes de champ magnétique choisies de ⃗ B 2 , obtenues par la résolution numérique
du schéma itératif. La composante axiale induite dans yOz y est clairement visible. Nous
avons également représenté (figure 6) des lignes de courant électrique associées à ces lignes
de champ. Ces représentations suggèrent deux remarques :
– La structure spatiale du champ induit est en réalité bien plus complexe que l’analyse
purement locale ne le suggère. Ceci montre l’importance de considérer l’induction
comme un processus global.
–Ladensité de courant associée au champ magnétique axial induit à l’ordre 2 est
dirigée selon ⃗ B 0 . Ceci justifie l’appellation d’effet “α”, où l’emploi des guillemets
rappelle que ce mécanisme est ici associé à l’hélicité globale de l’écoulement et non
pas aux petites échelles du champ de vitesse comme c’est le cas pour l’effet α dans
le cadre de la théorie du champ moyen.
3.3 Bouclage “α”Ω
Considérons enfin le cas d’un écoulement contrarotatif en présence d’un champ transverse.
La figure 8 montre l’évolution du champ magnétique induit mesuré au point (x=0,
y=0.5, z=0) dans l’expérience VKS dans le cas d’un écoulement contrarotatif en présence

Mécanismes d’induction en magnétohydrodynamique 51
R
R
R
y
z
x
Fig. 4: effet “α” : conversion non-linéaire transverse → axial
Fig. 3: Écoulement
VK à un disque.
Fig. 5: lignes de champ
magnétique calculées à l’ordre
2( ⃗ B 2 ).
Fig. 6: densité de courant
calculée à l’ordre 2,
⃗j 2 // ⃗ B 0
de B ⃗ 0 //⃗u x [6]. On remarque que la composante induite selon ⃗u x évolue linéairement et
tend àêtre négative (opposée à B 0x ) pour les faibles R m alors que cette tendance s’inverse
lorsqu’on augmente R m . Le champ de vitesse contrarotatif peut être schématisé comme
deux écoulements à un disque, juxtaposés et séparés par une couche de fort cisaillement
où l’écoulement est essentiellement radial et rentrant. Le comportement linéaire de B ⃗ indx
aux faibles R m correspond à la “compression” du champ transverse par l’écoulement radial
rentrant. Par ailleurs, un champ axial quadratique est induit par effet “α” dansles
regions de forte hélicité. Grâce à la diffusion, ce champ axial est aussi présent au niveau du
plan médian. Pour des régimes de suffisamment grand R m ce champ d’ordre 2 sera ensuite
déformé par la rotation différentielle pour induire un champ d’ordre 3 dans le même sens
que B ⃗ 0 (figure 7). On tient alors un mécanisme de bouclage où, le champ induit venant
collaborer avec le champ initial, une instabilité dynamo pourrait croître. Toutefois, les
expériences en sodium montre qu’au-delà d’un certain R m le champ induit cesse d’augmenter
puis décroît vers zéro si on augmente davantage R m . C’est un autre mécanisme
qui intervient alors : l’expulsion du champ par le fluide conducteur en rotation rapide [5].
On peut alors se demander quel est la raison de l’inefficacité du bouclage. Il est pour cela
intéressant de regarder de plus près quelques propriétés de la structure spatiale du champ
induit par ce mécanisme. La figure 9 montre que la composante B indx à l’ordre 3 est effectivement
positive au voisinage du centre de l’écoulement (là où la rotation différentielle
et l’effet Ω sont forts), alors qu’elle est négative près des bords et s’annule vers z = ±0.5
(là où l’hélicité et donc l’effet “α” sont maximaux). Cette différence de localité des deux
effets est probablement à l’origine de l’inefficacité du bouclage “α”Ω dans les configurations
d’écoulements étudiées. L’introduction de rotation différentielle dans les régions de
forte hélicité devrait permettre d’améliorer l’efficacité du bouclage afin de voir l’instabilité
croître avant que l’expulsion ne devienne importante.

52 M. Bourgoin, R. Volk, P. Odier et J.-F. Pinton
"α"
Ω
y
z
x
Bind // B0
Fig. 7: Bouclage “α”Ω : conversion transverse → transverse d’ordre 3
Fig. 8: Mesures d’induction dans
l’expérience VKS [6]
Fig. 9: ⃗ B2 axial, ⃗ B 3 transverse, et
contour de ⃗ B 3x
Conclusion
La définition d’un mécanisme d’induction comme un processus itératif où lemotifde
base est donné par l’équation (10) permet de décrire de façon à la fois intuitive (par des raisonnements
locaux) et rigoureuse (par la résolution numérique de la structure spatiale du
champ induit) les phénomènes d’induction magnétohydrodynamique. Cette approche appliquée
à l’induction dans les écoulements von Kármán permet d’identifier et d’interpréter
des mécanismes particuliers tels que l’effet Ω (linéaire en R m ) et l’effet α (quadratique en
R m ). Un bouclage de ces effets suggère alors la possibilité d’une dynamo “α”Ω. L’étude
de la structure spatiale des champs induits montre l’importance de considérer l’induction
comme un phénomène global, pour lequel une approche purement locale reste forcément
incomplète. Des orientations en vue de favoriser l’instabilité dynamo peuvent alors être
dégagées.
Références
[1] R. Stieglitz, U. Müller Naturwissenschaften, 87(9), 381-390, (2000)
[2] Gailitis A. et al., Phys. Rev. Lett., 84, 4365, (2000)
[3] M. Bourgoin et al., Phys. Fluids, 14, 3046 (2002)
[4] F. Pétrélis et al., Phys. Rev. Let., submitted
[5] P. Odier, J.-F. Pinton and S. Fauve, EPJB, 16, 373 (2000)
[6] L. Marié et al., Magnetohydrodynamics 38, 156-169 (2002)

encontre du non-linéaire 2003 53
Influence de la non localité spatiale sur la dynamique photo-induite
d’un film de cristal liquide nématique
E. Brasselet 1 ,B.Doyon 2 ,T.V.Galstian 2 et L. J. Dubé 3
1 Laboratoire de Photonique Quantique et Moléculaire
61, Avenue du président Wilson, ENS de Cachan, 94235 Cachan Cedex
2 Département de Physique, de Génie Physique, et d’Optique
Université Laval, Cité Universitaire, Québec, Canada G1K 7P4
3 Laboratoire de Dynamique des Ions, des Atomes, et des Molécules
Université Pierre et Marie Curie, 4 Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France
ebrassel@lpqm.ens-cachan.fr
Résumé
On étudie un film de cristal liquide nématique homéotrope soumis à une onde
lumineuse de polarisation circulaire à incidence normale. Le comportement dynamique
d’un tel système ainsi que l’origine physique des phénomènes associés sont tout d’abord
présentés dans la limite de l’onde plane infinie. Cependant, la dimension finie du
faisceau est une réalité expérimentale et nous présentons en deuxième partie l’influence
de la dimension finie du faisceau d’excitation sur la dynamique moléculaire photoinduite
par une onde de polarisation circulaire. De plus, nous montrons comment
un tel processus est contrôlé par les effets de non localité transverse. De nombreux
régimes dynamiques tels que des régimes périodiques, quasi-périodiques, intermittents,
auto-organisés et possiblement chaotiques n’ayant pas été rapportés auparavant sont
observés.
1 Introduction
On étudie un film de cristal liquide nématique transparent (pour la longueur d’onde
utilisée) homéotrope soumis à une onde lumineuse de polarisation circulaire à incidence
normale. Pour un tel échantillon à ancrage homéotrope les molécules en forme de bâtonnets
sont ancrées perpendiculairement aux parois préalablement traitées chimiquement. En
l’absence de lumière, toutes les molécules sont donc alignées parallèlement àlanormale
aux parois. Dans le cas où le cristal liquide a une anisotropie optique positive, les molécules
de cristal liquide ont tendance à s’aligner parallèlement au champ électrique et une fluctuation
d’orientation pourra éventuellement être amplifiée si l’intensité lumineuse est suffisamment
grande pour compenser les forces de rappel élastiques. Lorsque la compensation
est obtenue, on parle de transition de Fréedericksz optique (I tot = I F ), par analogie avec le
cas statique [6]. Cependant, contrairement au cas statique, le fort couplage avec la lumière
via la biréfringence du matériau (typiquement de l’ordre de 0.2) conduit à des effets dynamiques
spécifiques au cas d’une excitation lumineuse, comme le transfert de moment
angulaire de la lumière au cristal liquide. Un tel dépôt de moment angulaire s’explique en
considérant le champ lumineux excitateur qui se propage dans le milieu réorienté (Θ≠0,
voir l’angle Fig. 3) biréfringent voit sa polarisation, et donc le moment angulaire qu’il porte,
se modifier. Ainsi le dépôt continu de moment angulaire va donner naissance au phénomène
de précession collective (Φ ∝ Ωt, voir l’angle Fig. 3), l’ensemble des molécules de cristal
liquide étant en rotation autour de la direction de propagation de la lumière [2]. La non
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

54 E. Brasselet, B. Doyon, T. V. Galstian, L. J. Dubé
uniformité du transfert de moment angulaure va générer quant à elle des déformations de
torsion [7] (∂ z Φ ≠ 0, voir l’angle Fig. 3), responsable de l’échange d’énergie entre les ondes
ordinaire et extraordinaire tout au long de la propagation de la lumière dans le milieu.
Nous nous sommes intéressés àlamodélisation de la dynamique du système, représentée
par le champ de vecteur unitaire n(x, y, z, t) représentant l’orientation des molécules au
voisinage du point (x, y, z) à l’instant t, etàl’étude expérimentale de cette dynamique. La
comparaison entre la théorie et l’expérience a permis d’identifier le rôle de la non localité
spatiale longitudinale et transversale sur la dynamique et de proposer une interprétation
physique des différents phénomènes observés.
2 Cas limite de l’onde plane infinie
La modélisation de la dynamique du cristal liquide soumis à un faisceau lumineux
estunproblème a priori complexe, même si les équations fondamentales gouvernant le
système, i.e. les équations de Maxwell et l’expression de l’énergie libre du système, sont
connues. La résolution du système est grandement facilitée dans le cas limite d’une onde
excitatrice plane et infinie où l’on peut garder uniquement la coordonnée spatiale z correpondant
à la direction de propagation de la lumière. Dans le cas d’une polarisation
incidente circulaire, différentes approches ont été proposées [8, 9] et rendent compte du
phénomène de précession lié àladéposition de moment angulaire. Cependant, de telles approches
basées sur le découplage du temps et de l’espace dans l’expression des déformations
moléculaires ne décrivent correctement les observations expérimentales qu’au voisinage de
la transition de Fréedericksz. En particulier, le phénomène de nutation qui caractérise une
amplitude de réorientation dépendante du temps associé à une précession non uniforme
(en effet dans ce cas le transfert de moment angulaire dépend du temps) n’est pas décrit.
Nous avons résolu les équations du système sans l’hypothèse de découplage spatio-temporel
en décomposant les déformations sur la base de Fourier des angles θ et φ caractérisant
l’orientation du directeur, n =(sinθ, cos θ sin φ, cos θ cos φ). Les équations du mouvement
du directeur sont alors obtenues en écrivant l’équilibre des couples agissant sur le cristal
liquide: les couple élastique, électromagnetique et visqueux, Γ el,α +Γ em,α +Γ visq,α =0,où
α = θ ou α = φ [10]. Le calcul de la propagation de la lumière dans le milieu inhomogène
réorienté satisfaisant aux équations de Maxwell est obtenu en utilisant le formalisme introduit
par Berreman [11]. Nous avons montré qu’il suffisait de ne retenir que les deux
premiers modes de chaque angle pour décrire convenablement le système, l’introduction
de modes supérieurs n’apportant pas de modifications qualitatives au comportement du
cristal liquide [1]. La Figure 1 montre le diagramme de réorientation en fonction de l’intensité
totale incidente normaliséeauseuildelatransitiondeFréedericksz, Ĩ = I tot/I F .
Le déphasage ∆ est une quantité qui ne dépend que de l’amplitude de la réorientation Θ
(Fig. 3) et correspond au déphasage entre l’onde ordianaire et extraordinaire en absence
d’échange de phase entre ces ondes.
D’après la Figure 1, où l’intensité laser est prise comme paramètre de bifurcation,
on observe successivement une bifurcation de Hopf sous critique associée au phénomène
de précession moléculaire [2] à Ĩ = 1, l’apparition d’un phénomène de nutation via une
transition du second ordre [3] à Ĩ = ĨB et enfin une transition du premier ordre avec
une hysteresis géante [4] à Ĩ = Ĩ∗ . La transition intermédiaire à Ĩ = ĨB a pour origine
l’asymétrie des déformations moléculaires tandis que la transition à Ĩ = Ĩ∗ est reliée à
l’existence des déformations de torsion [1]. L’introduction de la longueur de cohérence ξ,
qui correspond à la distance caractéristique sur laquelle le cristal liquide moyenne effi-

Non localité spatiale et dynamique photo induite des nématiques 55
Fig. 1: Déphasage ∆ théorique (en gris) en fonction de l’intensité normalisée Ĩ dans le
régime de faible réorientation ( ∆ ≤ 2π ) pour différentes approches (Réf. [8] en pointillé
et Réf. [9]en continu).
cacement les non uniformités spatiales, et sa comparaison àladistancecaractéristique
de non uniformité dans la déposition de moment angulaire de la lumière au cristal liquide
permet de comprendre l’apparition de fluctuations orientationnelles significatives
au-dessus de la transition de Fréedericksz. Pour des intensités suffisament fortes, de telles
fluctuations d’orientation permettent de franchir la barrière de potentiel correspondant à
la branche instable u 1 (Fig. 1) initiant ainsi la transition à Ĩ = Ĩ∗ .Lescénario dynamique
est représenté par la Figure 2 représentant l’espace des phase I x,y (t + τ) enfonctionde
I x,y (t) et les spectres de Fourier des quantités ∆(t)etI x,y (t). On peut montrer que ces deux
dernières quantités sont reliées explicitement aux degrés de liberté polaire Θ et azimutal Φ
respectivement. L’apparition d’une forte nutation à Ĩ = ĨB se caractérise par l’apparition
d’une fréquence dans le spectre de ∆(t) (Fig. 2c). Le couplage entre les différents degrés de
liberté est alors mis en évidence par l’observation de l’apparition des harmoniques f ∆ ±f Φ
dans le spectres de I x,y (t) (Fig. 2c).
3 Cas d’une excitation de dimension finie
Dans la réalité expérimentale, l’excitation lumineuse est une gaussienne de diamètre
égal à d =2w 0 à e −2 ,où w 0 est le rayon du faisceau. En général, d est de l’ordre de
grandeur ou inférieur àl’épaisseur L du film de cristal liquide puisque pratiquement l’intensité
nécessaire pour l’obtention de la transition de Fréedericksz optique est de l’ordre
du kW/cm 2 en régime continu. Etant capable de décrire quantitativement la dynamique
photo-induite à l’aide d’un modèle de type onde plane infinie, il est légitime de se demander
quelle est la limite de validité d’une telle approximation. Soit δ = d/L le rapport entre
le diamètre du faisceau et l’épaisseur du film, δ →∞étant la limite de l’onde plane infinie.
Nous avons réalisé des expériences dans le cas où δ

56 E. Brasselet, B. Doyon, T. V. Galstian, L. J. Dubé
Fig. 2: Scénario dynamique théorique pour L = 100µm en prenant 4 modes pour chaque
angle θ et φ. De gauche à droite, l’espace des phases I x,y (t + τ) en fonction de I x,y (t) et
les spectres de Fourier des quantités ∆(t) et I x,y (t). Ledélai est pris égal à τ =1.5τ NLC
où τ NLC est un temps caractéristique de réorientation du cristal liquide. Typiquement,
pour l’échantillon utilisé, τ NLC =10s. Lesfréquences sont données en unités de τ −1
NLC .
(a) Ĩ =1.20; (b)Ĩ =1.45; (c)Ĩ =1.50; (d)Ĩ =1.60; (e)Ĩ =1.70.

Non localité spatiale et dynamique photo induite des nématiques 57
Fig. 3: (a) Schéma du montage expérimental. Ar + : laser Ar + à la longueur d’onde 514.5
nm; BS: séparatrice; λ/4: lame quart d’onde; L: lentille; NLC: cristal liquide nématique; d:
diaphragme; PBS: séparateur polarisant; D i : photodetecteurs. (b) Définition du directeur
n avec la représentation utilisant les angles (Θ, Φ) où Θ=(e z , n) et Φ=(e x , n − n z ).
montrer que c’est la grande sensibilité dusystème aux effets de non localité transverse
pour δ

58 E. Brasselet, B. Doyon, T. V. Galstian, L. J. Dubé
Fig. 4: A gauche: espaces des phases expérimentaux I x,y /I tot (t + τ) en fonction de
I x,y /I tot (t) pour L = 100µm, δ =0.37 et τ =8s. A droite: les séquences temporelles
correspondantes. (a) Ĩ =1.45; (b)Ĩ =1.50; (c)Ĩ =1.55.
approximative en incluant le paramètre δ de façon perturbative avant d’obtenir une théorie
dynamique 3D plus complète.
Références
[1] E. Brasselet, B. Doyon, T. V. Galstian and L. J. Dubé, Phys. Rev. E 67, 03xxxx
(2003).
[2] E. Santamato, B. Daino, M. Romangoli, M. Settembre and Y. R. Shen, Phys. Rev.
Lett. 57, 2423 (1986).
[3] E. Brasselet, B. Doyon, T. V. Galstian and L. J. Dubé, Phys. Lett. A 299, 212 (2002).
[4] E. Brasselet and T. V. Galstian, Opt. Comm. 186, 291 (2000).
[5] I. C. Khoo, T. H. Liu and P. Y. Yan, J. Opt. Soc. Am. B 4, 115 (1987).
[6] W. Fréedericksz and V. Zolina, Zh. Russ. Fiz. Khim. O-Va Chast. Fiz. 62, 457 (1930);
W. Fréedericksz and V. Zolina, Trans. Faraday Soc. 29, 919 (1933).
[7] E. Brasselet and T. V. Galstian, Opt. Comm. 200, 241 (2001).
[8] L. Marrucci, G. Abbate, S. Ferraiuolo, P. Maddalena, and E. Santamato, Phys. Rev.
A 46,4859 (1992).
[9] A. S. Zolot’ko and A. P. Sukhorukhov, JETP Lett.52, 63 (1990).
[10] N. V. Tabiryan, A. V. Sukhov and B. Ya Zel’dovich, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 136, 1
(1986).
[11] D. Berreman, J. Opt. Soc. Am. 62, 502 (1972).

encontre du non-linéaire 2003 59
Caractérisation d’instabilités dans un plasma cylindrique magnétisé de
laboratoire
F. Brochard , E. Gravier et G. Bonhomme
LPMIA, Université HenriPoincaré, BP 239 - 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy cedex
frederic.brochard@lpmi.uhp-nancy.fr
Résumé
Ce travail s’inscrit dans le cadre de la recherche sur la fusion thermonucléaire
contrôlée par confinement magnétique. La réussite d’une telle recherche passe par le
contrôle des instabilités responsables d’un transport turbulent non diffusif en travers
des lignes de champ magnétique. L’objet de cette étude est de caractériser dans une
colonne cylindrique les instabilités à l’origine de ce transport, par l’étude de vitesses
de rotations caractéristiques déduites de profils expérimentaux. On montre ainsi que
selon la valeur du champ magnétique il est possible de faire la distinction entre deux
types d’instabilités. L’ajout d’un diaphragme à l’entrée de la colonne de plasma permet
également, en accentuant les gradients de densité et de potentiel, de préciser l’influence
des forts gradients sur les instabilités.
1 Introduction
La fusion thermonucléaire contrôlée vise à reproduire sur terre en milieu confiné les
réactions extrêmement exoénergétiques de fusion de noyaux d’hydrogène. Dans une étoile,
la réaction est provoquée par l’effondrement gravitationnel de l’astre, qui comprime les
noyaux les uns contre les autres. Sur terre, la voie la plus prometteuse pour parvenir à
réaliser la fusion est celle dite du confinement magnétique, dans laquelle le combustible à
l’état de plasma, c’est-à-dire de gaz ionisé, est confiné à l’intérieur d’une enceinte par un
champ magnétique. Le principal problème à l’heure actuelle vient du fait qu’un plasma de
fusion est un milieu hautement instable du fait des très hautes températures qui y règnent
(environ 10 8 K) : les fluctuations qui s’y produisent croissent de façon non contrôlée au
cours du temps, et ont pour désastreux effet de s’opposer au confinement imposé parle
champ magnétique. Une bonne connaissance de ces instabilités est donc primordiale pour
parvenir à les contrôler, et améliorer ainsi la qualité du confinement. Dans les plasmas
magnétisés confinés, il existe des instabilités universelles pouvant conduire àdesscénarios
de bifurcation vers le chaos spatio-temporel [1]. Dans cette étude, nous nous intéressons à
la caractérisation de deux de ces instabilités.
2 Protocole expérimental
Les études sont réalisées dans l’enceinte à plasma cylindrique MIRABELLE (fig.1)[2].
Le plasma est créé dans une chambre source par collision sur des atomes d’argon d’électrons
arrachés par thermoémission à des filaments. Les principaux paramètres de contrôle sont
d’une part l’intensité du champ magnétique et d’autre part différentes tensions de décharge.
Les mesures sont effectuées dans la section centrale de la machine, soumise à un champ
magnétique uniforme et constant parallèle à l’axe du cylindre et variant de 0 à 110 mT.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

60 F. Brochard, E. Gravier, G. Bonhomme
Fig. 1: La machine à plasma Mirabelle
Fig. 2: Images des fluctuations de potentiel flottant dans une section cylindrique, montrant la
rotation d’un mode m=2
La mesure de la vitesse de phase de l’onde se fait en utilisant un couple de sondes, l’une
fixe et l’autre mobile, toutes deux situées dans une section plane de la colonne. Lorsque le
signal enregistré par la sonde fixe atteint la valeur de référence choisie, une série temporelle
est enregistrée par la sonde mobile, successivement en différentes positions avec un pas de
1cm. Cette méthode, appelée échantillonnage conditionnel, permet ainsi de reconstituer à
posteriori l’évolution spatio-temporelle des fluctuations (fig.2) lorsque ces dernières sont
périodiques, d’identifier leur nombre d’onde azimutal, et de déterminer leur vitesse de rotation.
Les valeurs des vitesses de rotation caractéristique sont quant à elles déduites des
profils expérimentaux de densité et de potentiel plasma. Pour cela on enregistre les caractéristiques
courant/tension d’une sonde de Langmuir par pas de 5mm sur un diamètre
du plasma.
3 Ondes de dérive et instabilités centrifuges
• Les ondes de dérive :
Dans une colonne cylindrique, l’existence d’un gradient radial de pression induit des courants
diamagnétiques pour assurer l’équilibre des pressions au sein du plasma. La vitesse
de dérive, appelée dérive diamagnétique, associée à ces courants donne naissance à des oscillations
collectives, les ondes de dérive. Dans le cas d’un plasma cylindrique présentant un
gradient de pression radial, un premier modèle simplifié [3], couramment employé, indique

Caractérisation de modes instables dans un plasma de laboratoire 61
que la vitesse de phase azimutale des ondes de dérive est égale àladérive diamagnétique :
−→ V φ = −→ V De = k BT e
en e
−→ ∇ne × −→ B
B 2 (1)
où k B est la constante de Boltzmann, T e la température électronique, n e la densité
électronique, e la charge du proton et B l’intensité du champ magnétique.Cemodèle
néglige notamment la propagation axiale, les collisions, et les gradients de température.
Dans cette étude nous utilisons également un second modèle [4], plus précis car prenant
en compte l’effet d’inertie des ions dans le plan perpendiculaire au champ magnétique :
V φ = V De
σ = V De ∗ avec σ =1+ρ 2 sk θ (2)
Dans cette dernière formulation, on a utilisé ρ s , rayon de Larmor ionique àlatempérature
électronique, et k θ , vecteur d’onde azimutal. Ce dernier paramètre est relié aumode
azimutal m par la relation k θ = m/r, rétant la position radiale où se situe l’instabilité.
Il est intéressant de noter qu’il existe une très forte analogie entre les ondes de dérive et
les ondes de Rossby en hydrodynamique, la force de Lorentz étant l’équivalent en plasma
magnétisé de la force de Coriolis [5].
• Les instabilités centrifuges :
Lorsqu’une perturbation apparaît dans la direction azimutale, le champ électrique azimutal
−→ E θ issu de la perturbation combiné avec le champ magnétique donne aux particules
une dérive radiale −→ V Er = −→ E θ × −→ B/B 2 qui vient renforcer la perturbation. Si en outre il
existe un champ électrique radial −→ E r , celui-ci agit de mêmeaveclechampmagnétique
pour donner naissance à une dérive azimutale à la vitesse −→ V Eθ = −→ E r × −→ B/B 2 appelée
vitesse de dérive électrique. En provoquant la rotation du plasma, cette dérive est responsable
d’une force centrifuge qui va propager l’instabilité. Cette instabilité centrifuge est
l’analogue de l’instabilité de Rayleigh-Taylor observée en hydrodynamique [6], où la force
centrifuge joue le rôle du champ de pesanteur.
• Identification des instabilités :
Pour certains paramètres de plasma et certaines localisations radiales, les vitesses de dérive
électrique et diamagnétique peuvent être du même ordre de grandeur (pour Mirabelle, typiquement
entre 0 et 3000m/s), si bien qu’il n’est pas possible de dire quelle instabilité
est présente uniquement en regardant sa vitesse de propagation. Identifier l’instabilité dominante
est précisément le but de notre étude. La connaissance des profils de potentiel
plasma, de densité etdetempérature électronique, obtenus à partir des enregistrements de
caractéristiques, doivent ainsi nous permettre de calculer numériquement V E et V De ,que
l’on pourra comparer à la vitesse de propagation déduite de l’observation de l’évolution
temporelle des fluctuations par échantillonnage conditionnel. Une vitesse de propagation
égale à la vitesse diamagnétique, éventuellement corrigée par l’effet Doppler dû à la rotation
imposée par la rotation −→ E × −→ B , sera le signe d’une instabilité d’ondesdedérive. Une
vitesse de propagation égale àladérive électrique traduira quant à elle la présence d’une
instabilité centrifuge.
4 Résultats
Il est possible de modifier le comportement du plasma à travers un grand nombre de
paramètres accessibles à l’expérimentateur, mais celui qui est le plus remarquable pour

62 F. Brochard, E. Gravier, G. Bonhomme
notre étude est l’intensité du champ magnétique. Pour différentes conditions de décharge,
nous déterminons les vitesses de dérive diamagnétique et électrique à partir des profils
expérimentaux, ainsi que la vitesse de propagation en mesurant la période de rotation
des fluctuations sur les films obtenus par échantillonnage conditionnel. Cette méthode ne
peut toutefois pas être employée pour certaines valeurs élevées du champ magnétique,
supérieures à70mT,à cause des perturbations provoquées par le déplacement de la sonde
mobile. Puisque la propagation est presque exclusivement azimutale, et que pour de telles
valeurs de champ on peut supposer que seul un mode azimutal m=1 peut subsister, un
calcul d’auto-corrélation des séries temporelles est alors utilisépourdéterminer la valeur de
la vitesse de propagation. Dans chaque cas, on prend soin d’évaluer les différentes vitesses
à la position radiale correspondant au maximum d’amplitude relative des fluctuations, et
qui coïncide avec la région où les gradients de densité sont les plus importants.
La figure 3 représente les différentes vitesses lorsqu’il n’y a pas de diaphragme entre
la chambre source et la colonne de plasma. Pour plus de lisibilité, seules les incertitudes
sur les vitesses diamagnétique et électrique sont reportées, les incertitudes sur la vitesse de
propagation n’excédant jamais 10%. Pour des valeurs de champ magnétique supérieures
à 60 mT, on constate un bon accord entre la vitesse de propagation et la vitesse de
dérive diamagnétique, tandis que la vitesse de dérive électrique est très inférieure ou nulle,
indiquant que nous sommes en présence d’instabilités d’ondes de dérive. En revanche,
pour des valeurs inférieures du champ magnétique, la vitesse diamagnétique donnée par
l’équation (1) augmente considérablement, et malgré l’incertitude conséquente il n’est
plus possible de faire le lien avec la vitesse de propagation. L’accord entre vitesse de
propagation et dérive électrique n’est pas meilleur pour toute valeur de B supérieure à25
mT, ce qui doit donc signifier qu’il ne s’agit pas non plus d’instabilités centrifuges. Notons
que contrairement à la vitesse diamagnétique, la vitesse de dérive électrique peut changer
de direction en fonction des paramètres de plasma. Cela s’explique simplement par le fait
que les gradients de densité sont toujours orientés des parois vers l’axe, tandis que les
gradients de potentiel plasma peuvent être orientés dans un sens ou dans l’autre selon les
conditions et le régime de plasma.
La figure 4 reprend la figure 3 en remplaçant la vitesse diamagnétique (1) par la vitesse
corrigée définie par l’expression (2). On constate que cette dernière s’accorde beaucoup
mieux avec la vitesse de propagation. Pour des valeurs élevées du champ B, le paramètre
σ estvoisinde1,etdonclesdeuxmodèles donnent des résultats très voisins. En revanche,
à bas champ, ce paramètre augmente et corrige notablement la vitesse diamagnétique.
On peut comprendre cela en se souvenant que le second modèle tient compte de l’inertie
des ions, et cette inertie est d’autant plus importante que les particules sont moins biens
confinées, ce qui est bien le cas lorsque l’intensité du champ magnétique diminue. Avec
ce second modèle, on peut donc affirmer que les instabilités observées pour des valeurs de
champ supérieures à25mTsontdesondesdedérive, et que la dérive électrique n’intervient
pas. Pour des valeurs de B comprises entre 15 et 25 mT, il semble en revanche, au vue de
la coïncidence entre vitesse électrique et vitesse de propagation, que l’on observe des instabilités
centrifuges, bien que les incertitudes ne permettent pas d’écarter l’hypothèse d’une
subsistance des ondes de dérive. Pour des valeurs inférieures de B, le rayon de gyration
des particules devient supérieur ou de l’ordre de la longueur caractéristique du plasma, et
il n’est en toute rigueur plus réaliste d’appliquer la théorie des ondes de dérive. Dans les
conditions habituelles de fonctionnement, le profil de densité s’apparente à une gaussienne
de largeur à mi-hauteur comprise entre 8 cm et 12 cm. L’ajout d’un diaphragme de 5 cm de
diamètre entre la chambre source et la section centrale de la machine réduit cette largeur

Caractérisation de modes instables dans un plasma de laboratoire 63
Fig. 3: Vitesse de phase et vitesses de dérive diamagnétique V de et électrique V E en fonction de
l’amplitude du champ magnétique
Fig. 4: Vitesses de phase, vitesses de dérive diamagnétique corrigée V ∗
de et électrique V E en fonction
de l’amplitude du champ magnétique
à 4-6 cm environ (fig.5), ce qui conduit à l’existence de plus forts gradients. Cependant,
ces forts gradients s’accompagnent également d’incertitudes considérablement accrues, en
particulier sur la valeur de la vitesse de dérive électrique, rendant une analyse fine très
délicate. Pour l’heure, la résolution spatiale des mesures ne permet pas de trancher entre
l’une ou l’autre instabilité, quelle que soit la valeur du champ magnétique. De nouvelles
mesures sont en cours pour tâcher d’y remédier. Au centre de la colonne, là où les gradients
sont faibles, on constate toutefois un bon accord entre la vitesse de propagation
et la somme des vitesses de dérive électrique et diamagnétique, ce qui semble suggérer
que la dynamique d’ensemble du plasma pourrait être dictée par la dynamique au centre
de la colonne, où une instabilité d’onde de dérive verrait sa vitesse de phase corrigée par
l’effet Doppler dû à la rotation −→ E × −→ B . On peut enfin noter que sous certaines conditions,
pour des valeurs du champ magnétique inférieures à 30 mT, un cisaillement de vitesse est
enregistré àlapériphérie du diaphragme. Ce cisaillement peut provoquer l’apparition de
structures spirales dans le plasma [7]. Les enregistrements ont par ailleurs montré que ces
structures pouvaient tout aussi bien résulter d’une accélération que d’un ralentissement
de la rotation du plasma dans l’ombre du diaphragme.

64 F. Brochard, E. Gravier, G. Bonhomme
Fig. 5: Profils de densité (à gauche) et de potentiels plasma (à droite), sans diaphragme (en
haut) et avec diaphragme (en bas), pour un champ magnétique égal à34mT.NB:leséchelles
horizontales varient de -80 à +80 mm sans diaphragme à +/ − 50 mm avec diaphragme.
5 Conclusion
Les premiers résultats de cette étude montrent que le dispositif utilisé permet de distinguer
entre l’instabilité d’ondes de dérive et l’instabilité centrifuge. Pour de faibles valeurs
du champ magnétique les instabilités centrifuges semblent dominer, mais les incertitudes
ne permettent pas d’exclure la présence d’instabilités d’ondes de dérive. En revanche les
mesures montrent indubitablement qu’à fort champ magnétique la dérive électrique s’annule,
le comportement du plasma étant alors dominé par les instabilités d’ondes de dérive.
L’étude aura également permis de montrer que pour des valeurs de champ faibles ou intermédiaires
il est important d’utiliser un modèle d’ondes de dérive prenant en compte
l’inertie des ions dans la direction perpendiculaire au champ magnétique. L’insertion d’un
diaphragme a enfin montré qu’il était possible d’accroître très simplement les gradients
et le cisaillement de vitesse, et ainsi de poursuivre l’étude de leurs effets sur la machine
Mirabelle, ce qui fait l’objet des travaux en cours.
Références
[1] T. Klinger et al., 1997, Physical Review Letters, 79, p.3913.
[2] T. Pierre, G. Leclert et F. Braun, 1987, Rev. Sci. Inst. 58 (6),
[3] F.F.Chen, 1966,Introduction to plasma physics, Plenum Press, p.61 ,
[4] A. Hasegawa, C.G. Maclennan, Y. Kodama, 1979, Phys. Fluids 22 (11), p.2124.
[5] M.V. Nezlin, E.N. Snezhkin,1992,Rosby vortices, spiral structures, solitons, Springer-
Verlag, p.43-66.
[6] M. Lesieur, 1997,Turbulence in fluids, Kluwer Academic Publishers, p.73.
[7] T. Pierre et al, 2002, 5ème rencontre du non-linéaire, Non Linéaire Publications,
p.201.

encontre du non-linéaire 2003 65
Étude de chaos sur le laser àélectrons libres de Super-ACO
C. Bruni 1 ,D.Garzella 1,2 ,G.L.Orlandi 1,2 ,R.Bartolini 3 ,M.E.Couprie 1,2
1) Laboratoire pour l’Utilisation du Rayonnement Électromagnétique, Bâtiment
209D, Université Paris Sud, BP34, 91 898 Orsay cedex, France
2) CEA/DSM/DRECAM/SPAM, Bâtiment 522, 91 191 Gif-sur-Yvette, France
3) ENEA, Divisione Fisica Applicata, Centro Ricerche Frascati, Roma, Italia
christelle.bruni@lure.u-psud.fr
Résumé
Le laser àélectrons libres implanté sur l’anneau de stockage Super-ACO peut
adopter un régime chaotique suite à une modulation de son gain. Ce gain dépend du
désaccord entre la fréquence d’aller-retour du rayonnement synchrotron stocké dans
la cavité optique, et la fréquence de passage des électrons dans le milieu amplificateur.
Les premiers résultats de l’étude expérimentale systématique des séquences et des
conditions d’apparition du chaos seront présentés. Les résultats d’un modèle théorique
empirique, qui reproduit la dynamique naturelle du laser en fonction du désaccord, sont
confrontés aux résultats expérimentaux. Les séquences théoriques et expérimentales
sont en accord, ce qui permet une comparaison des attracteurs.
1 Introduction
Les lasers àélectrons libres (LEL) sont des sources de lumière cohérentes et accordables.
L’amplification résulte de l’interaction d’un faisceau d’électrons relativistes avec
une onde électromagnétique. Le faisceau d’électrons relativistes est généralement fourni par
un accélérateur linéaire ou un anneau de stockage. L’onde électromagnétique est générée
par émission de rayonnement synchrotron au passage du faisceau d’électrons dans le champ
magnétique périodique permanent d’un onduleur. Ce rayonnement est stocké par une cavité
optique. Lorsque le paquet d’électrons et l’onde lumineuse interagissent, le rayonnement
peut être amplifié audétriment de l’énergie cinétique des électrons conduisant à
l’effet laser [1].
Le LEL de Super-ACO (Cf. Tableau 1) est situé sur une section droite d’un anneau
de stockage. La largeur rms de la distribution longitudinale des paquets d’électrons est
désignée par σ τ , et celle de la distribution en énergie, qui est plus communément appelée
la dispersion en énergie, par σ γ .Unélectron est repéré dans le paquet par sa position longitudinale
s par rapport au sommet de la distribution. L’échange d’énergie entre les paquets
d’électrons et l’onde lumineuse provoque une augmentation de la dispersion en énergie [2].
Le LEL reproduit la structure temporelle du faisceau d’électrons pulsée à haute cadence.
La dynamique du laser àl’échelle macro-temporelle (échelle de la milliseconde) dépend de
la condition de synchronisation entre l’onde lumineuse et le paquet d’électrons àchaque
passage dans le milieu amplificateur. Selon le désaccord entre la fréquence d’aller-retour
de l’onde lumineuse dans la cavité optique et la fréquence de passage des électrons dans
le milieu amplificateur, le laser apparaît continu ou pulsé à 300 Hz environ [3].
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

66 C. Bruni, G. L. Orlandi, D. Garzella, R. Bartolini, M.E. Couprie
Energie des électrons 800 MeV Puissance extraite 50-300 mW
Longueur des paquets σ τ 80-180 ps Longueur d’onde λ 350 nm
Espacement entre deux paquets 120 ns Largeur spectrale ∆λ/λ 1-2 10 −4
Largeur temporelle du laser (FWHM) 20-50 ps Waist du mode TEM 00 505 µm
Tab. 1–Caractéristiques des paquets d’électrons et du LEL de Super-ACO
2 Réponse du laser suite à la modulation de son gain
Pour une distribution longitudinale gaussienne des paquets d’électrons dans l’anneau
de stockage, le gain du processus d’amplification s’écrit :
g(s) =g 0 e − (s+δ)2
2στ 2 (1)
g 0 étant le gain maximum au démarrage du laser [4]. Sur le LEL de Super-ACO, une
modulation sinusoïdale d’amplitude A et de fréquence F est appliquée expérimentalement
au désaccord du laser, B étant une constante :
δ(t) =A cos(2πFt)+B (2)
Les structures macro-temporelles de l’intensité du laser sont recueillies par un photomultiplicateur
et échantillonnées à 50000 points sur 2 secondes par l’oscilloscope Lecroy
(LT264M, 350 MHz, 1GS/s). Elles sont ensuite analysées à l’aide du logiciel Igor, afin de
mettre en évidence la réponse du laser à la modulation.
2.1 Description de la séquence expérimentale
La modulation est appliquée une fois le laser réglé le plus proche possible de l’accord
parfait (B=0). L’amplitude est augmentée de façon continue. La figure 1 illustre les
différents régimes adoptés par le laser pour une fréquence de modulation de 520 Hz, et
pour une amplitude croissante de la modulation allant de 4.7 à 107.7 fs.
La figure 1a1 représente la structure macro-temporelle du laser, c’est-à-dire l’intensité
I(t) du laser (gris foncé) en fonction du temps, ainsi que la modulation (gris clair). Le laser
est pulsé àlapériode de la modulation mais avec des amplitudes variant à chaque macroimpulsion.
La transformée de Fourier du signal, effectuée directement sur l’oscilloscope (Cf.
figure 1a2) montre un pic àlafréquence de la modulation. Le soulèvement du spectre et
les pics secondaires des fréquences 2f/3 et f/3 sont caractéristiques d’un régime chaotique
de dominante en fréquence f/3 (3T), nommé régime 3C [5] [11]. La figure 1a3 décrit
l’attracteur reconstruit dans l’espace des phases I(t), I(t+τ), I(t+2τ), τ étant un retard
quelconque choisi ici empiriquement afin de refléter au mieux la dynamique du système.
Ces trois variables sont supposées indépendantes. On peut montrer que cet espace est
équivalent à celui donné par l’intensité du laser I(t), la dispersion en énergie σ γ (t), et
le désaccord δ(t) [7]. L’attracteur de la figure 1a3 montre une surface qui n’emplit pas
tout l’espace : le régime est bien chaotique. Sur la section de Poincaré (Cf. figure 1a4) de
l’attracteur (Cf. figure 1a3) qui est la représentation I(t+2τ) en fonction de I(t), à I(t+τ)
constant pour les trajectoires de l’attracteur entrantes dans le plan I(t+τ), les points
n’emplissent pas tout l’espace, et forment un quartier de lune. Les figures 1a1, 1a2, 1a3 et
1a4 définissent la réponse du laser pour une amplitude de 4.7 fs, àsavoirlerégime 3C.

Etude de chaos sur le LEL de Super-ACO 67
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
0.01
0.02
0.03
f
a1
0.8
50
a2
a3 0.6 a4
40
0.4
f/3
0.2
30
0.0
20
-0.2
-0.4
10
-0.6
0.04 0.05 0 200 400 600 800
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
b1 b2
b3 b4
0.05
50
40
30
20
10
0
200
2f/3
400
f
600
800
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.4 -0.2 0.0 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
0.01
0.02
0.03
f/2
f
c1
50
0.8
c2
c3 0.6
40
0.4
c4
30
0.2
20
0.0
-0.2
10
-0.4
0.04 0.05 0 200 400 600 800
-0.6
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
50
40
30
20
10
0
f/2
200
400
f
d1 d2
d3 d4
600
800
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.4 -0.2 0.0 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
0.01
0.02
0.03
f/2
f
e1 50
0.8
e2
e3 0.6 e4
40
0.4
0.2
30
0.0
20
-0.2
-0.4
10
-0.6
0.04 0.05 0 200 400 600 800
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
0.01
0.02
0.03
f
f1
50
0.8
f2
f3 0.6 f4
40
0.4
0.2
30
0.0
20
-0.2
-0.4
10
-0.6
0.04 0.05 0 200 400 600 800
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Fig. 1: Différents régimes du laser observés expérimentalement pour F=520 Hz et B ≃ 0
(équation 2). a) régimes 3C, A=4.7 fs, b) régime 3C, A=10.2 fs, c) régime 2C, A=13 fs,
d) régime 2T, A=36.7 fs, e) régime 2C, A=51.7 fs, et f) régime 1T, A=107.7 fs. Pour
chaque régime sont représentés la structure macro-temporelle du laser (gris foncé) sur 50
ms accompagnée de la modulation (gris clair) (1), la transformée de Fourier de l’intensité
du laser (2), l’attracteur (3) (τ=0.23/F), ainsi que la section de Poincaré (4). Le gain
maximum initial du laser était de 1.5 % , et les pertes de la cavité optique de 1 %.

68 C. Bruni, G. L. Orlandi, D. Garzella, R. Bartolini, M.E. Couprie
Les figures 1b1, 1b2, 1b3 et 1b4 décrivent à nouveau un régime 3C. Le soulèvement
du spectre de la figure 1b2 est plus important que celui de la figure 1a2, ce qui montre une
évolution du chaos. La surface de l’attracteur (Cf. figure 1b3) est élargie comme le montre
la section de Poincaré (Cf. figure 1b4).
Pour A=13 fs, la structure macro-temporelle et le spectre soulevé (Cf. figure 1c2)
de dominante en fréquence f/2 indiquent un régime chaotique de dominante f/2, soit un
régime 2C. L’attracteur et la section de Poincaré (Cf. figure 1c3 et 1c4) présentent une
surface qui s’étale davantage selon I(t+2τ) par rapport au régime 3C.
Les macro-impulsions du cas d ont une intensité égale aux variations d’intensité du
laser près, et elles sont pulsées au double de la période de la modulation, dont le pic en
fréquence f/2 est dominant : régime 2T (Cf. figure 1d2). Une des caractéristiques du régime
périodique, soit une courbe fermée dans l’espace des phases [5] est visible sur l’attracteur
(Cf. figure 1d3). Un regroupement de points apparaît nettement sur la section de Poincaré
(Cf. figure 1d4), le deuxième regroupement étantunpeuplusétendu, et le nombre de
points le composant moins nombreux.
Dans le cas e, l’intensité des macro-impulsions devient inégale et la pulsation n’est
plus régulière et égale au double de la période de la modulation. Le spectre se soulève
à nouveau en gardant une dominante de la fréquence f/2. L’attracteur (Cf. Figure 1e3)
montre l’évolution de la courbe fermée (Cf. figure 1d3) en une surface dont la concavité
est supérieure aux différents régimes chaotiques des cas a, b et c. La figure 1e4 présente
une dispersion des points non uniforme dans l’espace de la section de Poincaré. Le laser
répond àlamodulationavecunrégime 2C.
Pour le cas f, la structure macro-temporelle présente un laser pulsé àlapériode de
la modulation, avec des intensités inégales, ce qui laisse présager un régime chaotique.
Mais le spectre (Cf. Figure 1f2) n’est pas soulevé et montre un pic àlafréquence de la
modulation. Le régime est donc 1T. Le fait que le laser est sur le point de s’éteindre
explique la nature bruitée de la structure macro-temporelle, de l’attracteur ainsi que de
la section de Poincaré (Cf. Figure 1f2, 1f3 et 1f4).
Pour une modulation de 520 Hz, le laser est d’abord pulsé àlapériodedelamodulation
(régime 1T), puis il devient chaotique avec une dominante de la fréquence f/3 (régime
3C). Ensuite, il y a une évolution du chaos de type 3C vers le chaos de type 2C. Le laser
devient périodique 2T, puis à nouveau chaotique de type 2C. Le dernier régime auquel
répond le laser pour cette séquence est le régime 1T. Il faut noter que le LEL est très
sensible aux perturbations secteur (50 Hz) et ses harmoniques. Une telle perturbation de
100 Hz était présente lors des acquisitions de la figure 1; ce qui peut expliquer le caractère
parfois bruité des attracteurs et des sections de Poincaré.
Cette étude systématique expérimentale, réalisée pour d’autres fréquences de modulation,
montre généralement des régimes périodiques séparés par du chaos. Une évolution
est présente dans le chaos. Le plus souvent, pour amplitude voisine de celle d’un régime
périodique, le chaos présentera une dominante en fréquence du régime périodique voisin.
Pour une fréquence de modulation de 320 Hz, la séquence expérimentale est : 1T, 3C, 3T,
2C, 2T; pour 470 Hz, le régime 3T disparaît pour donner la séquence : 1T, 3C, 2C, 2T.
Ces trois fréquences (320, 470 et 520 Hz) ont tendance à montrer que pour des fréquences
inférieures àlafréquence naturelle du laser, les séquences correspondent pour la plupart
àdesrégimes périodiques, tandis que pour des fréquences supérieures les séquences sont
de type cascade inverse.

Etude de chaos sur le LEL de Super-ACO 69
2.2 Description de la séquence théorique
Dans cette section, la séquence obtenue numériquement (Cf. Figure 2) est comparée à
la séquence expérimentale (Cf. Figure 1). La dynamique du laser en présence de désaccord
peut être simulée grâce àdeséquations d’évolution de l’intensité du laser et de la dispersion
en énergie passage par passage des électrons dans le milieu amplificateur [8]. La modulation
est appliquée lorsque l’état d’équilibre du laser à l’accord parfait est atteint. Il adopte alors
un régime transitoire précédant l’évolution de l’intensité considérée pour l’interprétation
des simulations.
4
3
2
1
0
10
20
30
40
a1 a2 a3 4
a4
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0
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500 1000 1500 2000 2500 3000
0 1 2 3 4
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0
0
10
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d1
f
d2 d3 d4
50
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200
0
-200
-400
0
500 1000 1500 2000 2500 3000
14
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10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
Fig. 2: Différents régimes du laser obtenus numériquement pour F=520 Hz, et B=0
(équation 2). a) régime 1T, A=24 fs, b) régime Chaotique, A=36 fs, c) régime 2T, A=
48 fs, d) régime Chaotique, A= 96 fs. Pour chaque régime sont représentés la structure
macro-temporelle du laser (gris foncé) sur 50 millisecondes accompagnée de la modulation
(gris clair) (1), la transformée de Fourier de l’intensité du laser(2), l’attracteur (3)
(τ=0.03/F), ainsi que la section de Poincaré (4). Le gain maximum initial du laser était
de 2 %, et les pertes de la cavité optique de 0.5 %.
La figure 2a1 illustre la structure macro-temporelle théorique du laser pour un désaccord
de 24 fs. Toutes les macro-impulsions ont la même intensité etsontpulsées àla
fréquence de la modulation : c’est un régime 1T. Ceci est confirmé par la transformée de
Fourier (Figure 2a2) réalisée sous Igor. L’attracteur (Figure 2a3) est une courbe fermée,
et un seul regroupement de points est présent sur la section de Poincaré (Cf. Figure 2a4).
Le deuxième régime observé est chaotique (Cf. figure 2b1 et 2b2). L’attracteur (Cf. Figure
2b3) est une surface qui forme une dispersion des points sur la section de Poincaré (Cf.
Figure 2b4). Pour des amplitudes croissantes sont observés un régime 2T, puis un régime
chaotique. La nature non bruitée des signaux numériques donne naissance à des attracteurs

70 C. Bruni, G. L. Orlandi, D. Garzella, R. Bartolini, M.E. Couprie
bien plus marqués par rapport aux attracteurs expérimentaux. Ce qui se voit surtout pour
les régimes 1T et 2T.
Qualitativement les séquences expérimentales et théoriques sont similaires pour une
fréquence de 520 Hz : le régime1Tbifurqueenunrégime chaotique, qui bifurque en
un régime 2T, pour devenir à nouveau chaotique, et bifurquer en un régime 1T. Le même
accord est réalisée pour une fréquence de 320 Hz dont la séquence théorique est : 1T, Chaos,
3T, Chaos et 2T. Cependant, les séquences expérimentales ne présentent que des régimes
chaotiques à dominante en fréquence. Pourtant la séquence théorique laisse présager des
régimes périodiques séparés par du chaos, ainsi qu’une évolution dans le chaos comprenant
du chaos de type 2C et de 3C.
3 Conclusion
Les études de chaos sur les lasers àélectrons libres, entrepris depuis les années 90
[9], montrent l’interêt de ce type particulier de laser pour la physique des systèmes non
linéaires. Les développements récents montrent un bon accord entre les simulations et
l’expérience, et devraient permettre une caractérisation plus fine des régimes non linéaires
qui sont observés. Ces études pourraient déboucher sur un contrôle de la dynamique du
laser, comme par exemple, celle conduisant aux régimes pulsés naturels.
Références
[1] JMJ.Madey, Stimulated Emission of Brehmmstrahlung in a periodic magnetic field,
Jour. Appl. Phys., 42 (5), 1906-1913 (1971).
[2] M. Billardon et al., Saturation Mechanism for a Storage ring Free Electron laser,
PRL, 69, 2368 (1992).
[3] ME. Couprie et al., Possible microstructure in the Super-ACO FEL pulse, EPAC
2000.
[4] ME. Couprie et al., Etude théorique de chaos sur la laser àélectrons libres de Super-
ACO , publications des journées du non linéaire 2002.
[5] D. Hennequin, Chaos dans un laser CO 2 à modulation interne, thèsededoctorat,
Université de Lille, 1986.
[6] D. Dangoisse et al., Chaos in a CO 2 laser with modulated parameters : Experiments
and numerical simulations, PRA36, 4775 (1987).
[7] J. D. Farmer, Physica, 4D, 336 (1982).
[8] G. De Ninno et al.,Chaotic dynamics in a storage ring free electron laser, EPJ, D,
To be published.
[9] M. Billardon, Storage ring Free Electron laser and chaos, PRL65, 713 (1990).

encontre du non-linéaire 2003 71
Violation du théorème fluctuation-dissipation pendant le vieillissement
d’un verre de polymère
L. Buisson, S. Ciliberto, A. Garcimartín
Departamento de Fisica, Facultad de Ciencias, Universidad de Navarra, E-31080
Pamplona, Spain.
Ecole Normale Supérieure de Lyon, Laboratoire de Physique , UMR5672,
46, Allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, France
lbuisson@ens-lyon.fr
Résumé
La relation fluctuation-dissipation (RFD) est mesurée via les propriétés diélectriques
d’un verre de polymère (le polycarbonate) dans la gamme 20mHz −100Hz. Après une
trempe en-dessous de la température de transition vitreuse, le théorème fluctuationdissipation
est fortement violé. L’amplitude et la persistence dans le temps de cette
violation sont des fonctions décroissantes de la fréquence. Aux fréquences plus grandes
que 1Hz, elle persiste environ 3h. L’origine de cette violation est une dynamique hautement
intermittente caractérisée par de grandes fluctuations. La pertinence de ces
résultats est discutée à partir de théories récentes.
Lorsque les matériaux vitreux sont trempés depuis une température supérieure àlatempérature
de transition vitreuse T g à une température inférieure à T g ,chaqueréponse fréquentielle
de ces matériaux dépend du temps t w écoulé depuis la trempe: ils vieillissent [1]. Une
question grandement étudiée, est de savoir comment la température de ces sytèmes peut
être définie. De récentes théories [2] basées sur la description des verres de spin par une
approche en champ moyen proposent d’étendre le concept de température en utilisant la
Relation Fluctuation-Dissipation (RFD) qui généralise pour les systèmes faiblement hors
d’équilibre le Théorème Fluctuation-Dissipation. (Pour une revue voir les ref. [3, 4]). A
l’équilibre, TFD relie la densité spectrale de fluctuation d’une variable V àlaréponse
χ Vq (f) deVà une perturbation de sa variable conjuguée àlafréquence f:
S(f) = 2K B T
πf
Im [χ Vq (f)] (1)
où S(f) =< |V (f)| 2 > est la densité spectrale de fluctuation de V , K B est la constante
deBoltzmann,Tlatempérature du système et Im [χ Vq (f)] est la partie imaginaire de
χ Vq (f). Lorsque le système n’est pas à l’equilibre, TFD, ie eq.1,n’est plus valable. A cause
de la dépendance lente en t w des fonctions de réponse, il a été proposé d’utiliser une
RFD qui généralise eq.1 et qui peut être utilisée pour définir une température effective
T eff (f,t w )dusystème [4]:
T eff (f,t w )=
S(f,t w ) πf
Im [χ Vq (f,t w )] 2K B
(2)
Il est clair que si l’éq.1 est satisfaite T eff = T ,sinonT eff devient une fonction décroissante
de t w et de f. Le sens physique de l’éq.2 est qu’il y a une échelle de temps (par exemple
t w ) qui permet de séparer les processus lents des rapides. En d’autres termes, les modes
à basses fréquences, tels que ft w < 1, relaxent vers l’équilibre plus lentement que ceux
à hautes fréquences qui relaxent plus vite vers la température du bain thermique. Ce
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

72 L. Buisson, S. Ciliberto, A. Garcimartín
comportement surprenant a été observé dans plusieurs modèles numériques du vieillissement
[5]-[10], ce qui montre que l’éq.2 est une bonne définition de la température au
sens thermodynamique [4]. L’analyse expérimentaledeladépendance de T eff (f,t w )par
rapport à f et t w est très utile pour pouvoir distinguer les différents modèles de vieillissement
car les violation du TFD dépendent du modèle ([4]-[10]). Récemment, quelques
rares expériences ont analysé ces problèmes dans des matériaux réels [11], [12], [13]. La
violation du TFD mesurée dans une expérience sur les verres de spins [13] semble être en
accord avec les prédictions théoriques. Par contre, les expériences faites par des mesures
diélectriques dans le glycérol [11] et dans un verre colloïdal [12] présentent seulement un
accord qualitatif avec la théorie. En effet, chaque expérience montre que la persistence
dans le temps de la violation est bien plus longue que ce qui est prédit. L’amplitude de la
violation est de plusieurs ordres de grandeur dans un verre colloïdal et plus petite dans le
glycérol. Pour approfondir le problème, nous avons réalisé des mesures sur une large bande
fréquentielle (20mHz, 100Hz) de la susceptibilité diélectrique et du bruit de polarisation
dans un verre de polymère. Dans cet article, nous présentons des résultats qui montre une
forte violation du TFD dans un verre de polymère trempé depuis son état fondu en-dessous
de sa température de transition vitreuse. T eff définie par l’éq.2 relaxe lentement vers la
température du bain. La violation est observée même pour ft w >> 1 et persiste sur plus
de 3h pour f>1Hz. Le polymère utilisé est le bisphenol A polycarbonate (Makrofol DE
1-1 C), avec T g ≃ 419K, produit par Bayer en feuille. Ce matériau a été choisi car il a une
très large plage de température où il vieillit [1] et il est totallement amorphe. Plusieurs
études de la susceptibilité diélectrique de ce matériaux existent, mais personne ne s’est
intéressé à mesurer le bruit thermique.
Dans notre expérience, le polycarbonate est utilisé comme le diélectrique d’une capacité.
La capacité est composée de 14 capacités cylindriques en parallèle. Chaque capacité
est constituée de deux électrodes en aluminium de 12µm d’épaisseur et par un disque de
polycarbonatede12cmdediamètre et de 125µm d’épaisseur. Les 14 capacités sont sandwichées
ensemble et placées entre deux plaques d’aluminium qui contiennent la circulation
d’air pour réguler la température de l’échantillon à quelques pourcents près. Ce montage
est mécaniquement très stable et donne des résulats très reproductibles (mieux que 1%)
même après de nombreuses trempes. La capacité est placée à l’intérieur de deux écrans
de Faraday qui l’isolent du bruit externe. Des trempes rapides d’environ 50K/min sont
obtenues en injectant des vapeurs d’azote dans le circuit d’air à l’intérieur des plaques
d’aluminium. A chaque expérience, l’échantillon est chauffé à T i = 433K pendant 4 heures
pour réinitialiser son histoire thermique. Puis il est trempé de 433K à T f = 333K en
2 minutes environ. L’origine des temps t w est prise à l’instant où latempérature de la
capacité vaut T g = 419K, quidépend bien sûr de la vitesse de trempe. Cependant un
ajustement de T g de quelques degrés va décaler l’axe du temps d’au plus 30s sans affecter
nos résultats.
L’impédance électrique de la capacité estZ(f,t w )=R/(1 + i 2π fRC)oùCest
la capacité etRlarésistance en parallèle qui compte pour la susceptibilité diélectrique
complexe. Pour la mesurer, on utilise un analyseur diélectrique Novocontrol. La fig1 (a)
et (b) représentent les valeurs de R et de C en fonction de f à T i et à T f pour t w ≥ 200s.
Lorsque l’on baisse la température, R augmente et C décroît. A T f le vieillissement est
faible et lent. Donc pour t w > 200s l’impédance peut être considérée constante sans
affecter nos résultats. Des données tracées sur la fig.1 (a) et (b), on trouve que R =
10 10 (1 ± 0.05) f −1.05±0.01 ΩetC = (21.5 ± 0.05)nF . Sur la fig1(a), on a aussi tracé
la résistance totale à l’entrée de l’amplificateur qui est le parallèle de l’impédance de

Violation du TFD 73
la capacité etdeR i . On voit que pour T f l’impédance d’entrée de l’amplificateur est
négligeable pour f>10Hz, alors qu’il faut la prendre en compte pour les fréquences plus
basses. Le spectre de bruit de notre impédance S Z (f,t w )est:
R (Ω)
(a)
10 10
10 8
10 6
10 −2 10 0
f (Hz)
10 2
10 12
C (nF)
25
24
23
22
21
(b)
20
10 −2 10 0
f (Hz)
10 2
Fig. 1: (a) Résistance électrique du polycarbonate R en fonction de la fréquence mesurée
à T i = 433K (⊳) età T f = 333k (◦). L’effet de la resistance d’entrée de 4GΩ est aussi
montré à T = 433K (□) età T = 333K (∗). b) Capacité du polycarbonate en fonction de
la fréquence mesurée à T i = 433K (⊳) età T f = 333k (◦).
S Z (f,t w )= 4 K B T eff (f,t w ) R
1+(2πfRC) 2 (3)
où T eff est la température effective de l’échantillon. Pour mesurer S Z (f,t w ), nous avons
fabriqué un amplificateur de tension différentielle basé sur un JFET(2N6453 InterFET
Corporation) faible bruit, que l’on a polarisé avec une résistance de 4GΩ. Au-dessus de
2Hz,lebruitentensionenentrée de l’amplificateur est de 5nV/ √ (Hz) etlebruiten
courant est d’environ 1fA/ √ (Hz). Le signal de sortie de l’amplificateur est directement
acquis par une carte NI4472. Il est facile de montrer que le spectre mesuré à l’entrée de
l’amplificateur est:
S V (f,t w )= 4 K B RR i ( T eff (f,t w ) R i + T R R)
S ξ (f) RR i
(R + R i ) 2 +(2πfRR i C) 2 +
(R + R i ) 2 +(2πfRR i C) 2 + S η(f) (4)
où T R est la température de R i , S η et S ξ sont respectivement le spectre de bruit en tension
et le spectre de bruit en courant de l’amplificateur. Pour obtenir la précision statistique
désirée sur S V (f,t w ), on moyenne les résultats de plusieurs expériences. La fig.2 représente
l’évolution de S V (f,t w )après une trempe. Chaque spectre est obtenu en moyennant sur
une fenêtre temporelle démarrant à t w et augmentant avec t w pour réduire les erreurs pour
les grands t w .Puis,lesrésultats de 7 trempes ont été moyennés. Pour le temps d’attente
le plus long (t w =1jour) le TFD est satisfait. Le TFD est fortement violé pour les temps
courts sur toute la gamme de fréquences. Puis les hautes fréquences relaxent sur le TFD,
alors qu’il y a une persistance àplusbassesfréquences. La quantité delaviolationpeut
être estimée à partir du meilleur fit de T eff (f,t w )dansl’équation4 où tous les autres
paramètres sont connus. Pour t w grand, T eff = T sur toute la gamme de fréquences. En
insérant les valeurs dans l’éq3 et en utilisant le S V mesuré pour t w =1jour, ontrouve
T eff ≃ 333K, à l’intérieur des barres d’erreurs. Pour t w petit, T eff ≃ T f pour f>f o (t w ).
Pour f < f o (t w ), T eff (f,t w ) ∝ f −A(tw) ,avecA(t w ) ≃ 1. Pour ces fréquences, on peut
approximer T eff par:
f
T eff (f,t w )=T f [1 + (
f o (t w ) )A(tw) ] (5)

74 L. Buisson, S. Ciliberto, A. Garcimartín
T eff
(f,t w
) (K)
10 5
10 4
10 3
10 6 f (Hz)
f o
(t w
) (Hz)
10 1 t w
(s)
(b)
10 0
10 −1
10 2 10 3 10 4
S V
( f, t w
) (V 2 /Hz)
10 −12 f (Hz)
10 −13
10 −14
10 −15
10 −16
FDT
t w
= 200 s
t w
=259 s
t w
=1120 s
t w
=1 day
(a)
10 2
10 −1 10 0 10 1 10 2
10 −1 10 0 10 1 10 2
Fig. 2: (a) Densité spectrale de puissance du bruit S V (f,t w ) mesurée à T f = 333K et
pour différents t w . Les spectres sont la moyenne sur sept trempes. La ligne continue est la
prédiction du TFD. Les lignes pointillées sont le fit obtenu en utilisant l’eq.4 et eq.5 (voir le
textepourlesdétails). (b) Température effective vs fréquences à T f = 333K pour différents
temps de vieillissement: (⊳) tw = 200 s, (∗) tw = 260s, • tw = 2580s, (×)t w = 6542s,
(◦)t w = 1 jour. Les lignes continues sont les fits obtenus en utilisant l’eq.5. La ligne
horizontal straight est la prediction du TFD . La ligne en pointillée correspond à la limite
où la violation du TFD peut être détectée. Dans l’insert, la fréquence f o (t w ),définie dans
l’eq.2,est tracée en fonction de t w . La ligne continue n’est pas le fit, mais cela correspond
à f o (t w ) ∝ 1/t w .
où A(t w )etf o (t w ) sont les deux paramètres du fit. On trouve pour toutes les séries de
données que 1 10 4 s,ontrouve
que f o < 1Hz. Ainsi,onnepeutplussuivrel’évolution de T eff car la contribution du
bruit expérimental devient trop importante sur S V , comme on peut le voir sur la fig.3(b)
avec l’augmentation des barres d’erreurs pour t w =1jour et pour f < 0.1Hz. Avant
de discuter ces résultats expérimentaux,on peut les comparer à l’expérience faite à une
fréquence dans le glycérol [11]. Dans cette expérience, T eff aété mesurée seulement à7
Hz. Ainsi, on étudie comment T eff (7Hz,t w )dépend de t w à 7Hz dans notre expérience.
Le temps d’évolution de T eff (7Hz,t w ) est tracé enfonctiondet w dans la fig.3a). Le
temps d’évolution de T eff (2Hz,t w ) est aussi tracé pour montrer la différence importante
de T eff pour ces deux fréquences. Considérons uniquement l’évolution à 7Hz. Comme
dans l’expérience de la ref.[12], on confirme le fait que la violation est observée même si
ft w >> 1, ce qui est contraire aux prédictions théoriques. La violation la plus importante

Violation du TFD 75
est pour les temps courts après la trempe où T eff est de façon surprenante très grande:
environ 800K à 7Hz et t w = 300s. Dans l’expérience sur le glycérol les premières données
ne sont que pour t w > 1000s. Ainsi si l’on considère seulement les données telles que
t w > 1000s on trouve des résultats assez proches de ceux de la ref.[11]. En effet, pour
t w = 1000s, on trouve dans notre expérience que (T eff − T f )/(T g − T f ) ≃ 2.4. Les données
sur le glycérol donne (T eff − T f )/(T g − T f ) ≃ 1. Ainsi, la violation relative du TFD à7Hz
est assez proche dans le polycarbonate et dans le glycérol. En effet sur la fig.3, l’évolution
temporelle de T eff (2Hz,t w )estégalement tracée et l’ordre de grandeur de la violation est
bien plus important qu’à 7Hz. Pour comparer avec les prédictions [3] [2] théoriques, on
1200
1000
(a)
5
(b)
T eff
(f,t w
) (K)
800
600
400
R(t,t w
)
4
3
2
[ C(t,t w
) − C(t w
,t w
) ] / K B
6 x 104 [ −C(t,t w
) + C(t w
,t w
) ] / K B
−2
−4
0 x 108
200
10 2 10 3 t (s) w
10 4 10 5
−6
1
10 −2 10 0 10 2
(t −t w
)./t o
0
0 1 2 3 4 5 6
x 10 8
Fig. 3: a) Température effective à 7Hz (◦) et 2Hz (⊳) mesurée en fonction de t w à T f =
333K. b)Tracédelaréponse intégrée R(t, t w ) en fonction de −C(t, t w )+C(t w ,t w ) pour
différents t w . Les symboles correspondent aux données suivantes: (◦) tw = 256s, (•)t w =
353s, (♦)t w = 4200s, (⊳)t w = 6542s. Les lignes sont obtenues par les meilleures fits (voir
texte pour les détails). Dans l’insert C(t, t w ) − C(t w ,t w ) est tracé comme une fonction du
temps pour différents tw = 250s; 353s; 503s; 1120s; 1624s; 2583s; 4200s. Les fonctions de
corrélation ont été superposées en scalant t − t w par un temps caractéristique t o (t w ) qui
est une fonction croissante de t w .
trace la réponse intégrée R(t, t w )enfonctiondelacorrélation C(t, t w ). On obtient C(t, t w )
en insérant T eff (f,t w ) dans la transformée de Fourier de l’éq3. R(t, t w )peutêtre calculé
en faisant la transformée de Fourier de Real [Z (f , t w )]. La RFD prend alors la forme[2]:
−C(t, t w )+C(t w ,t w )=K B T eff (t, t w ) R(t, t w ) (6)
Dans l’insert de la fig.3, pour t w > 300s laformedeladécroissance de C(t, t w ) reste
essentiellement la même. En effet, les données pour différents t w peuvent être rescalées sur
une même courbe maîtresse en traçant C(t, t w )enfonctionde(t−t w )/t o (t w ), où t o (t w )est
une fonction croissante de t w : on a approximativement t o (t w ) ∝ log(t w ) pour t w > 500s.
L’auto-similarité des fonctions C(t, t w ), trouvée dans les données diélectriques, est une
carctéristique de la représentation universelle du vieillissement [3, 5, 7], qui a aussi été
observée dans l’expérience faite sur les verres de spin et sur les fonctions de structure
d’un gel colloïdal mesurées par diffusion dynamique de lumière[17]. Ainsi, nos résultats
confirment la représentation du vieillissement appliquée aussi aux mesures diélectriques
sur les polymères. Pour mieux comprendre ce vieillissement, on a tracé sur la fig.3, R(t, t w )
en fonction de (−C(t, t w )+C(t w ,t w ))/K B pour différents t w . La pente de ce graphe est
donnée par 1/T eff . Les symboles correspondent aux données alors que les lignes pointillées

76 L. Buisson, S. Ciliberto, A. Garcimartín
sont obtenues en insérant le meilleur fit de T eff dans l’éq.5 dans l’éq.3. Il est clair que les
données pour les petits C(t, t w ) converge asymptotiquement vers une ligne droite horizontale,
ce qui signifie que le système a une T eff infinie. Ce qui confirme les mesures faites
pendant la transition sol-gel[12] et la simulation numérique des phénomènes de croissance
de domaines[8]. Pour mieux comprendre l’origine d’une déviation si importante dans notre
expérience, nous avons analysé le signal du bruit. Le signal est caractérisé par de grands
évènements intermittents qui produisent un spectre à basse fréquence proportionnel à f −α
avec α ≃ 2. Cette dynamique fortement intermittente est similaire à celle observée par
des mesures diélectriques locales [16] et par des mesures de spectroscopie d’ondes diffusantes
[17]. Ce type de comportement peut être interprété parlemodèle en pièges [18], qui
prédit une violation non triviale du TFD associée à une dynamique intermittente produite
par des sauts entre deux pièges. Dans notre cas, ces sauts peuvent être expliqués par la
présence dans le bruit diélectrique de sauts très grands et très rares avec une relaxation
lente après un saut. En conclusion, nous avons observé une très grande violation du FDT
durant le vieillissement d’un verre polymérique. Cette violation importante est produite
par des évènements rares de fortes amplitudes. Ces observations semblent être cohérentes
avec la prédiction du modèle en pièges et montre l’importance d’une étude expérimentale
de la RFD généralisée dans les systèmes hors équilibre.
Références
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Amsterdam, 1978).
[2] L.Cugliandolo, J.Kurchan, Phys.Rev.Lett., 71, 173, (1993).
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Fields, ed A.P. Young (World Scientific, Singapore 1998).
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Phys.Rev.Lett.,78, 4581 (1997);
[6] G. Parisi, Phys.Rev.Lett.,79, 3660 (1997).
[7] L. Berthier, J.L. Barrat, J. Kurchan, Phys. Rev. E, 61, 5464 (2000).
[8] A. Barrat, Phys.Rev. E 57, 3629 (1998).
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31, 2611 (1998).
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[12] L. Bellon, S. Ciliberto, C. Laroche, Europhys. Lett., 53, 511 (2001).
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[15] L. Cipelletti, S. Manley, R.C. Ball, D.A. Weitz, Phys.Rev.Lett. 84, 2275 (2000).
[16] E. Vidal Russel, N.E. Israeloff, Nature 408,695 (2000).
[17] L. Cipelletti, et al., submitted to J. Phys. Condens. Matter (2002)
[18] J.P. Bouchaud,D.S. Dean,J.Phys.I France,5, 265 (1995). E.Bertin,J.P.Bouchaud,
cond-mat/0112187

encontre du non-linéaire 2003 77
Cordes vibrantes avec obstacles
Henri Cabannes et Laurentiu Pasol
Laboratoire de Modélisation en Mécanique,
Université Pierre et Marie Curie, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France.
Laboratoire de Physique Thermique,
Ecole Supérieure de Physique et Chimie, 10 rue Vauquelin, 75005 Paris, France.
henri.cabannes@normalesup.org
Résumé
Nous étudions les mouvements d’une corde vibrante en présence de divers obstacles.
Les mouvements sont a deux dimensions ; les équations sont linéaires durant les phases
d’oscillations libres, et non linéaires durant les contacts. La corde étant initialement au
repos, pour divers obstacles, nous avons obtenu des formules, qui déterminent le mouvement
de la corde. Ces formules sont des généralisations des formules obtenues par
Fourier, en 1807, et qui concernaient les oscillations libres. A partir de ces formules,
nous avons écrit des programmes et réalisé des logiciels, qui permettent d’observer les
mouvements de la corde, comme dans un film. Dans notre article nous indiquons les formules
avec les références relatives à leurs démonstrations. Dans mon exposé oral, j’expliquerai
comment ces formules ont été obtenues et je présenterai les mouvements, qui
peuvent aussi être observés sur le site : http://lapasserelle.com/henri cabannes.
1 Introduction
Si les premières recherches relatives aux mouvements d’une corde vibrante sont dues
à d’Alembert, et ont été publiées en 1761 [1], la prise en considération des contraintes
unilatérales, c’est-à-dire l’étude des cordes vibrantes en présence d’obstacles a été envisagée
pour la première fois par Amerio et Prouse en 1975 [2]. Ces auteurs ont prouvé l’existence
de la solution lorsque l’obstacle est rectiligne parallèle àlapositiond’équilibre de la corde.
Ces résultats ont été étendus au cas des obstacles concaves par Michèle Schatzman [3].
Le cas des obstacles convexes est beaucoup plus difficile, par suite de la possibilité d’un
contact persistant entre la corde et l’obstacle [4]. En fait nous avons obtenu des formules
explicites pour représenter le mouvement d’une corde vibrante en présence d’un obstacle
ponctuel fixe ou d’un obstacle rectiligne fixe, lorsque la corde est initialement au repos.
L’idée principale consiste à introduire un changement de variables, qui permet de passer
du cas d’une corde pincée à des cas beaucoup plus généraux [4]. Nous avons toutefois été
obligés de nous limiter aux cas des cordes initialement au repos, car dans le changement
de variables utilisé apparaît une seule fonction arbitraire.
Nous considérons, dans un système de référence orthonormé Oxu, une corde vibrante
initialement au repos, et dont les extrémités sont fixes aux points (x = ±1/2,u =0);la
position de la corde à l’instant t est u(x, t) et les programmes calculent les postions de
la corde à partir d’une position initiale donnée. Dans les deux premiers cas considérés, le
programme dessine la ligne correspondant à la position de la corde à l’instant t, ensuite
efface cette ligne et dessine la nouvelle ligne correspondant àlapositionà l’instant t +∆t.
Dans les deux derniers cas, la fonction u(x, t) est donnée explicitement. Le résultat comme
un film de cinéma.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

78 H. Cabannes, L. Pasol
2 Vibrations en présence d’un obstacle ponctuel fixe. [5],
[6], [7], [8].
L’obstacle fixe est situé aupointx =0,u = −h, 0≤ h

Cordes vibrantes avec obstacles 79
nulle pour −(1/2) ≤ x ≤ a

80 H. Cabannes, L. Pasol
4 Vibrations en présence d’un obstacle curviligne fixe : cas
du rebond. [12].
Dans le cas d’un obstacle curviligne fixe, le mouvement de la corde ne peut pas être
représenter par des formules explicites, analogues aux formules (1), (2) ou (3) obtenues
dans les deux sections précédentes. Toutefois, nous avons pu prouver, [4], que la corde
rebondit toujours sur les parties concaves d’un obstacle, tandis que sur les parties convexes
elle rebondit en général, mais peut s’enrouler dans des cas exceptionnels [12].
Lorsque l’obstacle fixe est une sinusoïde u = φ(x): φ(x) =λ · sin(2πnx), n étant un
entier, il est possible, dans certains cas, d’obtenir des formules explicites pour la fonction
u(x, t) qui représente le mouvement de la corde. Nous avons indiqué, [11], les résultats
détaillés pour n = 1, lorsque la corde est initialement au repos dans la position u(x, 0) =
u 0 (x) =cos(πx). Avant le premier contact, le mouvement de la corde est l’oscillation libre
u(x, t) =w(x, t) =cos(pix) · cos(πt). L’instant t = τ(x) du premier contact est donné par
la relation : t = τ(x) =(1/π) · arccos {2λ · cos(πx)}.
Pour |2λ| ≤1, ce premier contact correspond à un rebond et, après ce premier contact
le mouvement de la corde est défini par la fonction :
u(x, t) =w(x, t) − 1 − 4λ2 G(x, t) (4)
2λ
{ (1 + 4λ 2 }
)sin(πx) − 4λ cos(πt)
G(x, t) =πx − arctan
(1 − 4λ 2 ) cos(πx)
pour |2λ| ≤(1/3), l’instant du second contact est t =2− τ(x) ; ce second contact correspond
encore à un rebond, et après ce second rebond le mouvement de la corde est de
nouveau l’oscillation libre u(x, t) =w(x, t) =cos(pix) · cos(πt), si bien que le mouvement
est périodique de période 2.
Fig. 3: Exemples à gauche : rebond, à droite : enroulement

Cordes vibrantes avec obstacles 81
5 Vibrations en présence d’un obstacle curviligne : cas de
l’enroulement. [12], [13].
Considérant le même obstacle u = φ(x) =λ · sin(2πx) et la corde étant toujours
au repos dans la position u(x, 0) = u 0 (x) = cos(πx), on obtient, pour λ = −(1/2)
l’enroulement de la corde sur la partie convexe de l’obstacle et le rebond sur la partie
concave, ensuite le déroulement sur la partie convexe ; malheureusement il n’a pas été
possible d’obtenir, après la fin du déroulement, des formules explicites pour la fonction
u(x, t). Si on choisit les mêmes conditions initiales, mais si on considère le nouvel obstacle
u = φ(x) =(1/3) · cos(3πx), le mouvement de la corde est une fonction périodique du
temps, de période T =(4/3),avecunesuited’enroulementsetdedéroulements sur la
partie convexe de l’obstacle.
6 Conclusion
L’étude des mouvements des cordes vibrantes est un ancien problème. L’étude des
oscillations libres est un problème linéaire ; et les formules correspondantes ont étéétablies
par Fourier en 1807. Le cas des oscillations en présence d’obstacles a été considéré pour
la première fois par Amerio en 1975, [2]. On se trouve en présence d’un problème nonlinéaire,
dans lequel la non-linéarité apparaît au moment du contact de la corde avec
l’obstacle. Dans les cas d’une corde initialement au repos, il a été possible d’obtenir des
formules explicites, formules (1), (2) et (3), qui sont des généralisations des formules de
Fourier, mais sont naturellement beaucoup plus complexes. Pour les cas étudiés dans les
sections 2 et 3, laconséquence de la présence de l’obstacle est que périodicité, que l’on
rencontre dans le cas des oscillations libres, disparaît, mais les mouvements correspondants
sont des fonctions presque-périodiques du temps. En outre les solutions obtenues dans ces
deux sections sont des solutions globales en temps. De nombreaux résultats obtenus sur
le problème des cordes vibrantes en présence d’obstacles ont été exposé dans le cadre du
Colloque Euromech 209, [14]. L’étude des cas d’une corde qui n’est pas au repos à l’instant
initial est un problème qui demeure ouvert.
Références
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[2] L. Amerio, G. Prouse, Study of the motion of a string vibrating against a straight
fixed obstacle, Rendiconti di Matematica, Serie VI, 8, 563-584, (1975).
[3] M. Schatzman, An hyperbolique problem of second order with unilateral constraints:
the vibrating string with a concave obstacle, Publication Université Paris VI, n o 78031,
thèse de doctorat, (1980).
[4] H. Cabannes, Cordes vibrantes avec obstacles, Acustica,55, 14-20, (1984).
[5] C. Reder, Etude qualitative d’un problème hyperbolique avec contraintes unilatérales,
Thèse de troisième cycle de l’Université de Bordeaux, (1983).
[6] H. Cabannes, Mouvements périodiques d’une corde vibrante en présence d’un obstacle
ponctuel, Journal de Mécanique, 20, 41-58, (1981).
[7] ] H. Cabannes, Motion of a String Vibrating Against a Fixed Point-Mass Obstacle,
C. R. Acad. Sc. Paris, série II, 298, 613-616, (1984).

82 H. Cabannes, L. Pasol
[8] H. Cabannes, Periodic Motions of a String, vibrating against a fixed Point-Mass Obstacle,
Mathematical Methods in Applied Sciences, 6, 55-67, (1984).
[9] H. Cabannes, Motion of a string in the Presence of a Straight Rectilinear Obstacle,
C. R. Acad. Sc. Paris, série II, 295, 637-640, (1982).
[10] A. Haraux, H. Cabannes, Almost periodic motion of a string vibrating against a
straight fixed obstacle, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 7,
129-141, (1983).
[11] H. Cabannes, Mouvement d’une corde vibrante en présence d’un obstacle rectiligne
fixe, Journal de Mécanique Théorique et Appliquée, 3, 397-414, (1984).
[12] H. Cabannes, Mouvement d’une corde vibrante en présence d’un obstacle convexe : un
problème àfrontière libre, C.R.Acad.Sc.Paris,série II, 301, 125-129, (1985).
[13] H. Cabannes, Motion of a Vibrating String in the presence of a Convexe Obstacle :
A Free Boundary problem, Mathematical Methods in Applied Sciences, 9, 276-297,
(1987).
[14] H. Cabannes, C. Citrini, Vibrations with unilateral constraints, Proceedings of the
Euromech Colloquium 209, Tecnoprint, Via del Legatore 3, Bologna, Italy, (1980).

encontre du non-linéaire 2003 83
Interactions des spirales contrapropagatives observées dans un
écoulement de Couette-Taylor non-newtonien.
O. Crumeyrolle, N. Latrache, I. Mutabazi
Laboratoire de Mécanique, Physique et Géosciences
Université du Havre, 25 rue Philippe Lebon, BP 540, 76058 Le Havre Cedex
Olivier.Crumeyrolle@univ-lehavre.fr
Résumé
L’écoulement d’une solution de polyoxyéthylène dans l’eau avec des concentrations
de 500 ppm ou plus, confiné danslesystème de Couette–Taylor avec le seul cylindre
intérieur en rotation, devient instable et donne lieu à un motif formé de deux spirales
contrapropagatives fortement couplées avec leurs harmoniques spatiale et temporelle.
La démodulation complexe des motifs permet d’extraire les propriétés spatiales et
temporelles des différents modes ainsi que les modulations de basse fréquence et de
grande longueur d’onde associées aux défauts observés dans le motif. Le fort couplage
de modes critiques est attribué àlapropriété derhéofluidification de la solution car
il n’a été observé ni pour des solutions sans rhéofluidification, où l’on a des rubans,
ni pour les spirales interpénétrantes dans le système de Couette-Taylor contrarotatif
avec solution newtonienne.
1 Introduction
Le système de Couette–Taylor consitué d’unécoulement confiné entre deux cylindres
coaxiaux en rotation différentielle, est le siège de plusieurs modes d’instabilités qui ont fait
l’objet de plusieurs études dans le cas de liquides newtoniens ([1]). Le système présente
un grand nombre de symétries dont la brisure est accompagnée par une succession de
bifurcations entre des états associés àdesrégimes d’écoulements ([2]). Dans un liquide
newtonien, à partir d’une vitesse de rotation critique, l’écoulement de base de Couette
(azimutal et axisymétrique) est déstabilisé par l’excès de la force centrifuge sur le gradient
radial de pression et donne lieu àunécoulement formé de paires de rouleaux contrarotatifs
axisymétriques stationnaires appelés rouleaux de Taylor. La vitesse de rotation critique
et le nombre d’onde critique dépendent faiblement du rapport d’aspect et du rapport des
rayons du système. En augmentant la vitesse de rotation du cylindre intérieur, les rouleaux
de Taylor deviennent instables et sont remplacés par des rouleaux ondulés périodiques dans
le temps. De par sa simplicité, le système de Couette-Taylor constitue un système modèle
d’étude de la transition vers la turbulence dans des systèmes confinés.
L’intéret industriel pour les écoulements non newtoniens (hydrocarbures, huiles, polymères
fondus,...) a sucité de nombreux travaux sur les écoulement viscoélastiques. En
effet, les écoulements non newtoniens présentent des comportements très différents des
écoulements newtoniens, par exemple la variation de la viscosité avec le cisaillement imposé.
La transition vers la turbulence dans ces écoulements reste un problème très ouvert
d’une part à cause de la difficulté intrinsèque de mécanisme de la turbulence mais aussi
à cause de l’intervention de plusieurs paramètres dans le mécanisme de destabilisation
des écoulements. Nous utilisons la configuration de Couette–Taylor lorsque le cylindre
extérieur est au repos, pour étudier la transition vers la turbulence dans une solution
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

84 O. Crumeyrolle, N. Latrache, I. Mutabazi
diluée de polymères. Les premiers travaux d’étude expérimentale et théorique sur les instabilités
de l’écoulement viscoélastique de Couette–Taylor remontent àplusde30ans
(ex: [3]) et ont montré lerôle du comportement rhéologique sur les modes d’instabilités
(variation des paramètres critiques et de la nature du mode d’instabilité). Par exemple,
l’étude des solutions de polymère de grande élasticité dans des solvants très visqueux
dans Couette–Taylor a permis de mettre en évidence des modes d’instabilité purement
élastiques par [4] aussi bien pour de très faible vitesses de rotation que pour des situations
où la force centrifuge n’est pas déstabilisatrice (quand le cylindre extérieur tourne
alors que l’intérieur fixe). Ces modes sont oscillants avec une longueur d’onde deux fois
plus petite que celle des rouleaux de Taylor dans une solution newtonienne. L’origine de
ces modes d’instabilité aété attribuée àlagrandeélasticité de solutions. Des expériences
([5])etmodèles théoriques récents ([6]) ont montré que les solutions fortement visqueuses
pouvaient aussi donner lieu àdesmodes thermoélastiques induits par le chauffage interne,
ces modes sont axisymétriques et oscillants.
Notre étude s’intéresse aux solutions diluées avec des solvants de faible viscosité,
dans lequelles les échelles de temps des forces inertielles et des effets viscoélastiques sont
comparables en vue d’observer des modes inertio-élastiques. De tels modes peuvent être
observés avec l’écoulement de Couette–Taylor de solutions de polyoxyéthylène de forte
masse molaire dans l’eau [7]. Avec des solutions de polymère à longue chaîne linéaire (masse
molaire en millions de g/mol) dans un solvant newtonien, il est possible d’obtenir des effets
viscoélastiques importants même pour de faibles concentrations, et on peut modifiier les
propriétés viscoélastiques en jouant sur les propriétés du couple polymère-solvant.
2 Dispositif expérimental
La cellule de Couette-Taylor employée est constituée de deux cylindres coaxiaux
horizontaux. Le cylindre intérieur, de rayon a = 44,6 mm est en Delrin noir. Le cylindre
extérieur est en Plexiglass et a pour rayon b =50,50 mm. L’entrefer est large de
d = b − a =5,9 mm et s’étend sur une longeur totale utile de L = 275 mm. Lerapport
des rayons vaut a/b =0,883 tandis que le rapport d’aspect vaut L/d =64,6. Le cylindre
extérieur est maintenu fixe tandis que la rotation du cylindre intérieur est imposé parun
servomoteur.
Les solutions de polymère sont réalisées en dispersant le prémélange de polyoxyéthylène
et d’alcool isopropylique dans le volume d’eau. Les proportions finales en volume dans
la solution sont de 95% d’eau et 5% d’alcool isopropylique. La solution repose pendant
5 jours dans un réfrigérateur. Après une nuit àtempérature ambiante, la solution est
homogénéisée à l’aide d’un agitateur magnétique pour minimiser la présence d’agrégats.
Pour visualiser les écoulements, on ajoute aux solutions 2% en volume de Kalliroscope
AQ1000. Le Kalliroscope AQ1000 est une solution de fines plaquettes réfléchissantes
anisotropes dont les dimensions sont d’environ 30 µm × 6 µm × 0,07 µm. Ces plaquettes
s’orientent avec la direction de plus fort cisaillement dans l’écoulement et leur orientation
révèle les strucutures dans l’écoulement. Une caméra CCD linéaire enregistre une ligne
parallèle à l’axe des cylindres. Le signal d’intensité lumineuseréfléchie par les plaquettes
permet d’obtenir des propriétés spatiotemporelles des structures liées aux modes d’instabilité
del’écoulement. La superposition chronologique des lignes enregistrées à intervalles
de temps égaux fournit un diagramme spatio-temporel I(x,t) à partir duquel les propriétés
des structures dans l’écoulement sont extraites par traitement du signal. En particulier,
à l’aide de la technique de démodulation complexe (filtre et transformée de Hilbert) du

Spirales contrapropagatives en Couette-Taylor non-newtonien. 85
0
x
23 cm
t
205 s
Fig. 1: Diagramme spatiotemporel du mode d’instabilité juste au dessus du seuil : ɛ =0,003.
signal I(x,t), on obtient la variation de l’amplitude A(x, t) et de la phase Φ(x, t) de laquelle
on déduit les variations spatiales de l’amplitude, du nombre d’onde et de la fréquence.
3 Modes d’instabilités
Nous décrivons des motifs observés au voisinage du seuil d’instabilité dans des solutions
avec de concentrations de 500 et 600 ppm. L’acquisition spatio-temporelle au seuil
d’apparition, visible (Fig. 1), révèle une dynamique riche en modes. Le mode critique est
constitué de deux spirales contrapropagatives et des ondes stationnaires. En effet, le spectre
de Fourrier 2D révèle l’existence de 4 pics correspondant à deux ondes contrapropagatives
et à deux modes harmoniques (un stationnaire dans le temps et l’autre homogène dans
l’espace). Le signal peut se mettre sous la forme :
{
I(x, t) =Re A(x, t)e i(qx−ωt) + B(x, t)e i(qx+ωt) + U ω (x, t)e 2i[ωt+φ(t,x)] + U q (x, t)e 2iqx} .
Le filtrage et la démodulation complexe permet de séparer les différents modes et de les
étudier séparément. Les parties réelles de chaque mode sont représentées sur la figure 2 et
les amplitudes correspondantes sur la figure 3. On constate que le mode droit occupe l’essentieldelamoitié
droite du système ainsi qu’une bande près de bord gauche. Inversement
le mode gauche occupe la moitié gauche du système et une bande proche du bord droit.
Il y a donc recouvrement des modes contrapropagatif près des bords tandis qu’une nette
séparation de ces deux modes est observée au centre du système occupé parlesmodes
harmoniques. Ce recouvrement de modes est bien illustré sur le graphe des amplitudes
spatiales moyennées dans le temps (Fig. 4). Le profil temporel d’amplitude moyenné dans
l’espace du motif montre que les ondes gauche et droite sont en déphasage alors que les
modes harmoniques sont en phase. Le motif possède des défauts d’amplitude ainsi que des
trous induits par des modulations de basse fréquence.
L’extraction de la distribution spatiale de la fréquence (Fig. 5) montre que la fréquence
dans la partie gauche du système est légèrement supérieure à celle dans la partie droite,
mais que dans une même zone, les modes contrapropagatifs possèdent la même fréquence.
On peut attribuer ces modulations basse fréquence près du centre au couplage non linéaire

86 O. Crumeyrolle, N. Latrache, I. Mutabazi
Fig. 2: Différents modes composant le motif observé au voisinage du seuil: le mode A noté
(q, ω), lemodeB noté (−q, ω), le mode harmonique temporel U ω noté (0, 2ω) et le mode
harmonique spatial U q noté (2q, 0).
Fig. 3: Diagramme spatio-temporel de l’amplitude des différents modes composant le motif
observé au voisinage du seuil.

Spirales contrapropagatives en Couette-Taylor non-newtonien. 87
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
(q,ω)
(-q,ω)
0
0 5 10 15 20 25
1
0.9
0.8
0.7
X (cm)
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
(0,2ω)
(2q,0)
0.1
0 5 10 15 20 25
Fig. 4: Profil moyenné dans le temps de l’amplitude des principaux modes composant le
motif
X (cm)
5.78
5.76
Onde Gauche
Onde Gauche
Onde Droite
Onde Droite
5.74
5.72
f *
5.7
5.68
5.66
5.64
5.62
0 5 10 15 20 25
X (cm)
Fig. 5: Fréquence adimensionnée f ∗ = ωd 2 /(2π · ν eau ) des modes propagatifs.

88 O. Crumeyrolle, N. Latrache, I. Mutabazi
entre les modes gauche et droit et àlanécessité de raccordé lesrégimes à gauche et àdroite
de l’expérience.
Au–delà du seuil d’apparition, l’écoulement devient rapidement plus complexe, avec
une augmentation de moins de 10% de la vitesse de rotation du cylindre intérieur, on
atteint des régimes chaotiques.
4 Discussion et conclusion
Au seuil de l’nstabilité dans une solution diluée de polyoxethylène à 500 et 600 ppm,
les modes critiques sont fortement couplés pour donner lieu aux modes harmonique spatial
et temporel. Dans une solution purement newtonienne contenue dans le système de
Couette-Taylor en contrarotation, on observe des spirales interpénétrantes ([1]) mais sans
couplage non linéaire comme celui observé dans notre expérience. On peut attribuer ce ouplage
à une propriété due àlaviscoélasticité de la solution. Avec des modèles de fluide de
type Maxwell ou Oldroyd-B, les travaux numériques de [8] prédisent, pour le premier mode
d’instabilité, la possibilité d’observer en régime inertio-élastique, des spirales ou un mode
”ruban” correspondant à la superposition (addition simple sans couplage) de deux spirales
contrapropagatives de même amplitude. Dans une solution faiblement rhéofluidifiante, [9]
ont observé des modes critiques sous forme de rubans. Nos résultats suggèrent que le fort
couplage de modes observés au seuil est induit par la propriété derhéofluidification (diminution
de la viscosité en fonction du taux de cisaillement) des solutions utilisées dans
notre expérience. La description des modes au voisinage du seuil peut se faire à l’aide du
modèle de Landau–Ginziburg avec une équation complémentaire pour décrire le champ
des modes harmoniques généré par le couplage des modes fondamentaux.
Références
[1] C. D. Andereck, S.S. Liu, H.L. Swinney Flow regimes in a circular Couette system
with independently rotating cylinders. J. Fluid Mech. 164, 155–183, (1986).
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AIChE J. 15(3), 450–454, (1969).
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Viscoelastic Taylor–Couette Flows. Phys. Rev. Lett. 84(22), 5130–5133, (2000).
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stability of viscoelastic Taylor–Couette flow. Phys. Fluids 11(11), 3217-3226, (1999).
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Couette–Taylor instability modes in dilute and semidilute polymer solutions Phys.
Fluids 14(5), 1681-1688, (2002).
[8] R. Sureshkumar, A.N. Beris, M. Avgousti 1994 Non-axisymmetric subcritical bifurcation
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flow Europhys. Lett. 43(2), 165–170, (1998).

encontre du non-linéaire 2003 89
Interaction entre couche d’Ekman et vortex de Taylor
O. Czarny 1 , E. Serre 1 ,P.Bontoux 1 et R. M. Lueptow 2
1 LMSNM, FRE 2405, CNRS-Université d’Aix-Marseille
IMT-La Jetée, Technopôle de Château-Gombert
38 Rue Joliot-Curie, 13451 Marseille Cedex 20
2 Department of Mechanical Engineering, NorthWestern University
Evanston, Illinois, 60208, USA
czarny@l3m.univ-mrs.fr, r-lueptow@northwestern.edu
Résumé
Dans un système de Taylor-Couette confiné, les parois terminales génèrent des
couches limites qui interagissent avec linstabilité centrifuge. Nous avons examiné linteraction
entre les couches dEkman (ou de Bödewadt) créées par les parois, et les
tourbillons de Taylor, au voisinage du seuil de transition entre lécoulement de Couette
et lécoulement instable de Taylor. Loutil retenu est une simulation numérique directe
par méthode spectrale de haute précision. Le système de base, de faible hauteur, est
de type rotor-stator, avec cylindre interne en rotation ; il est caractérisé par un rapport
de rayon η =0.75 et un rapport daspect L = 6. Dans un deuxième temps, nous
avons pu mettre en évidence dans le cas contrarotatif des écoulements complexes de
type Wavy Vortex Flow, Interpenetrating Spirals et Wavy Spirals. Les effets de parois
(confinement, adhérence) sur la structure spatio-temporelle des solutions sont testés.
1 Introduction
Le système de Taylor-Couette, qui met en jeu un écoulement cisaillé entre deux cylindres
coaxiaux, est un problème canonique pour les études de stabilité desécoulements
tournants. Les effets des parois terminales sont éliminés de plusieurs manières : dans les
approches théoriques, en supposant les cylindres infiniment longs ; expérimentalement, en
utilisant des dispositifs à long rapport daspect (rapport entre la hauteur des cylindres
et lépaisseur de fluide entre les cylindres) ; numériquement, en utilisant des conditions limites
périodiques dans la direction axiale. Depuis les travaux pionniers de Taylor ([11]), la
configuration rotor-stator a été lobjetdetrès nombreuses études. Pour de longs rapports
daspect, la transition sopèreselonunscénario bien identifié au fur et à mesure que la
vitesse de rotation du cylindre interne augmente : écoulement stable de Couette, vortex de
Taylor, vortex ondulés,vortexà ondulations modulées, et vortex turbulents (Fenstermacher
et al [6] ; Andereck et al, [1]). La mise en rotation de la paroi externe engendre une très
large variété de nouveaux motifs dans le cadre de cylindres longs : >, > pour des cylindres corotatifs ; spirales interpénétrantes, spirales ondulées,
turbulence spirale pour des cylindres contrarotatifs. Beaucoup détudes ont été consacrées
à ces écoulements : expérimentalement pour de longs rapport daspect (Coles,[3] ; Snyder,
Snyder) ou numériquement, pour des cylindres de longueur infinie (Jones, [7] ; Antonijoan
et Sanchez, [2]). Les parois terminales peuvent fortement influencer la structure de
lécoulement. Loin des parois terminales, lécoulement est géostrophique : la force centrifuge
est contrebalancéeparlegradientdepression,etilneseproduitaucunécoulement radial
tant que les vitesses angulaires sont suffisamment faibles. Cependant, cet écoulement
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

90 O. Czarny, E. Serre, P. Bontoux, R. M. Lueptow
géostrophique est perturbé près des disques terminaux : force centrifuge et gradient de
pression ne sont plus en équilibre, et il se produit un effet de pompage soit centripète, soit
centrifuge. La nature des écoulements près des parois terminales sinscrit dans la famille
des écoulements dEkman, de Bödewadt ou de von Karman. Dans le cas de cylindres suffisamment
long pour que les effets de bord soient négligés, la transition entre lécoulement
cylindrique de Couette et les vortex de Taylor est décrite par une bifurcation supercritique
de type fourche. Mais la présence des parois terminales modifie ce scénario.Ilseproduit
en fait une transition continue depuis lécoulement de Couette jusquà lécoulement toroïdal
de Taylor, et le sens de rotation du vortex collé à la paroi terminale est déterminé par leffet
de pompage précédemment décrit. Au fur et à mesure que la vitesse de rotation augmente,
des vortex contrarotatifs se propagent vers le centre de la cavité (Sobolik et al, [10]). Une
fois le Reynolds critique atteint, linstabilité deTaylorsesuperposeaumécanisme décrit
précédemment, mais le sens de rotation des vortex reste le même. En ce sens, les parois
jouent un rôle fondamental dans la nature de lécoulement de Taylor-Couette. Nous
nous proposons dexaminer comment les effets de bord influencent linstabilité centrifuge
de Taylor pour des cavités de petit rapport daspect. La méthode numérique retenue est
la simulation numérique directe par méthode spectrale de type Chebyshev-Fourier (Raspo
et al, [8])
2 Géométrie et méthode numérique
On considère une cavité annulaire comprises entre deux cylindres concentriques de
hauteur 2h, de rayons ri
∗ (interne) et re ∗ (externe). Le cylindre interne est animé dune
vitesse de rotation Ω i , et le cylindre externe dune vitesse Ω e .Lécoulement est décrit par
les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible, en coordonnées cylindriques
(r∗,θ,z∗) dans un référentiel fixe. Les paramètres caractéristiques du problème sont les
nombres de Reynolds Re i =Ω i ri ∗d/ν et Re e =Ω e red/ν ∗ (où d = re ∗ − ri ∗ ), le rapport de
rayon η = ri ∗/r∗ e, et le rapport daspect L =2h/d. Leséchelles dadimensionnement en
espace, temps et vitesse sont d (ou h), Ω −1
i
,etΩ i ri ∗ . Les coordonnées radiale et axiale sont
normalisées de manière à pouvoir être représentées par des polynômes de Chebyshev : r =
(2r ∗ − re ∗ − ri ∗)/d, r ∈ [−1; 1],z = z∗ /h, z ∈ [−1; 1]. On impose aux frontières du domaine
des conditions dimperméabilité et de non-glissement. Les disques terminaux pourront être
solidaires du cylindre interne (Cl.1), du cylindre externe (Cl.2), ou être considérés comme
une surface glissante pure, modélisant simplement une surface libre (Cl.3) ; une condition
mixte (Cl.4), avec une surface libre dun côté, et un disque tournant de lautre ; est également
testée (Czarny et al, [4] ; Czarny et al, [5]). Par la suite, on considèrera L compris entre 4
et 6, et un rapport de rayon η =0.75.
3 Configuration rotor-stator (cylindre interne en rotation
La nature de la condition limite aux disques et la valeur du nombre de Reynolds
conditionnent de manière importante le scénario de la première bifurcation. Pour L =6et
η =0.75, la transition se produit pour Re i,crit =85.8. On définit ɛ = Re i /Re i,crit . Dans le
cas de disques terminaux fixés soit au cylindre externe (Ω D = 0), soit au cylindre interne
(Ω D =Ω i ), la vitesse radiale près des disques augmente progressivement avec ɛ, àcause
des tourbillons marginaux, et ce , même très en dessous de Re i,crit .Lécoulement est plus
de deux fois plus intense près du disque pour Cl.2 que pour Cl.1 (fig. 1, 2). Cest seulement

Interaction Ekman-Taylor 91
dans le cas des conditions Cl.3 que cette vitesse radiale change brusquement de 0 vers une
valeur finie à ɛ = 1 (fig. 3). Linteraction entre la couche limite marginale et linstabilité de
Fig. 1: Projection du champ de vitesse sur un plan méridional, autour du seuil de transition
Couette / Taylor. Les disques terminaux sont fixés au cylindre externe, immobile. La ligne
verticale de gauche est le cylindre interne, celle de droite le cylindre externe.
Fig. 2: Projection du champ de vitesse sur un plan méridional, autour du seuil de transition
Couette / Taylor. Les disques terminaux sont fixés au cylindre interne, en rotation. La
ligne verticale de gauche est le cylindre interne, celle de droite le cylindre externe.
Taylor provoque également une déformation des tourbillons marginaux pour Cl.1 et Cl.2:
ces derniers peuvent avoir jusquà 30
4 Résultats tridimensionnels
La figure 4 montre un écoulement de type wavy vortex pour une configuration contrarotative,
avec Re i = 750, Re e = −250, et Ω D =Ω e . Pour L = 6, les structures sont
caractérisées par une longueur donde axiale l/d =1.5 cohérente avec les valeurs comprises
entre 1.67 et 1.76 obtenues par Andereck et al. (1986). Pour L = 5, la structure
demeure similaire, avec l/d =1.67. La figure 5 montre la dépendance de la vitesse donde
γ =
C−r∗ e Ω e
ri ∗Ω , en fonction de L. C est la vitesse de londe principale dans un repère
i−re ∗ Ωe
fixe. On constate une très bonne concordance entre nos résultats et ceux présents dans

92 O. Czarny, E. Serre, P. Bontoux, R. M. Lueptow
Fig. 3: Vitesse radiale maximale à proximité du disque terminal, en fonction du taux de
rotation ɛ. Triangles, Ω D =0;Carrés, Ω D =Ω i ; O, surface libre; x, valeur près de la
surface libre, en conditions Cl.4; *, valeur près du disque tournant, en conditions Cl.4.
la littérature.
Pour Re i = 330,Re e = −500, on obtient un écoulement de spirales in-
Fig. 4: Ecoulement ”Wavy Vortex” pour Re i = 750,Re e = −250,L = 6, Ω D = Ω e .
Isosurface de la vitesse azimutale
terpénétrantes, dont la structure est similaire à celle observée pour de rapports daspect
plus long par Andereck et al. (1986) (cf fig. 6) : des spirales dinclinaison de signe opposé,
lune à5? et lautre à9?, sentrecroisent dans toute la cavité, excepté près des bords, où un
seul type de spirale demeure. La projection de la vitesse sur un plan méridien montre que
ces rouleaux sont confinés dans la couche instable, près du cylindre interne, comme trouvé
expérimentalement par Andereck et al. Lestimation de lépaisseur de la couche instable, en
utilisant le profil analytique de Couette, donne 0.36d, en accord avec nos résultats. Cependant,
les rouleaux dus au pompage dEkman sétendent sur toute la cavité. Une réduction du
rapport daspect à L =5.2 affaiblit la vorticité du mouvement , et pour L =5,lerégime samortit,
seuls demeurent les rouleaux dEkman. Revenant à L = 6, si lon augmente la vitesse
du cylindre interne à Re i = 375, Re e = −500, lécoulement spiral acquiert un caractère ondulatoire
(fig. 7). Les rouleaux ne sont plus confinés dans la couche instable, mais peuvent
avoir un diamètre allant de 0.4d à d. Le signal en temps au milieu de la cavité présente un
spectre large, sans réelle fréquence dominante La figure 8 montre linfluence de la condition
limite sur les disques terminaux. A partir de lécoulement illustré par la fig. 7, les conditions
sont modifiées pour obtenir progressivement Ω D =Ω i . Les structures se stabilisent

Interaction Ekman-Taylor 93
Fig. 5: Ecoulement ”Wavy Vortex” pour Re i = 750,Re e = −250,L = 6, Ω D = Ω e .
Comparaison entre les vitesses obtenues pour londe principale et quelques résultats de la
littérature.
et présentent sur un plan méridien de fortes similitudes avec le wavy vortex flow, dont
un mode azimutal k = 5 dominant ; mais la visualisation des isosurfaces trahit clairement
la nature spirale de lécoulement. La comparaison des historiques de vitesse montre une
restabilisation du signal, avec lapparition dun comportement pseudopériodique, comportant
deux fréquences fondamentales incommensurables, f/f e =0.086 et 0.57. Les rouleaux
dEkman sont quant à eux perturbés par un mode 11, différent du mode 5 au centre. Cette
différence entre le mode central et le mode terminal est observable expérimentalement
(Coles, 1965).
Fig. 6: Ecoulement > pour Re i = 330,Re e = −500,L=6.
Isosurface de la vitesse azimutale

94 O. Czarny, E. Serre, P. Bontoux, R. M. Lueptow
Fig. 7: Ecoulement ”Wavy Spirals”,
Re i = 375,Re e = −500,L = 6, Ω D =
Ω e ; Isosurface de la vitesse azimutale
Fig. 8: Re i = 375,Re e = −500,L =
6, Ω D = Ω i . La condition initiale est
l’écoulement obtenu fig. 7. Isosurface de
la vitesse azimutale
Références
[1] Andereck, C.D., Liu, S.S. and Swinney, H.L. Flow regimes in a circular Couette
system with independently rotating cylinders. J. Fluid Mech. 164, 155-183 (1986).
[2] J. Antonijoan, F. Marques, and J. Sanchez, Non-linear spirals in the Taylor-Couette
Problem, Phys. Fluids 10, 829-838 (1998).
[3] Coles, D. Transition in circular Couette flow. J.FluidMech.21, 385-425 (1965).
[4] Czarny, O., Serre E., Bontoux, P. and Lueptow, R.M. Spiral and wavy vortex flows
in short counter-rotating Taylor-Couette cells. Theoret. Comput. Fluid Dynamics 16,
5-15 (2002).
[5] Czarny, O., Serre E., Bontoux, P. and Lueptow, R.M. Interaction between Ekman
pumping and the centrifugal instability in Taylor-Couette flow. Phys. Fluids, 15 -2,
467-477 (2003).
[6] Fenstermacher, P.R., Swinney, H.L. and Gollub, J.P. Dynamical instabilities and the
transition to chaotic Taylor vortex flow. J. Fluid Mech. 94, part 1, 103-128 (1979).
[7] Jones, C.A. On flow between counter-rotating cylinders. J. Fluid Mech. 120, 433-450
(1982).
[8] Raspo, I., Hugues, S., Serre, E., Randriamampianina, A. and Bontoux, P. Aspectral
projection method for the simulation of complex three-dimensional rotating flows.
Computers and Fluids 31, 745-767 (2002).
[9] Snyder, H.A. Wave-number selection at finite amplitude in rotating Couette flow. J.
Fluid Mech. 35, part 2, 273-298 (1969).
[10] Sobolik V., Izrar B., Lusseyran R. and Skali S. Interaction between the Ekman layer
and the Couette-Taylor instability. Int. J. Heat Mass Transf. 43, 4381-4393 (2000).
[11] Taylor, G.I.Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. Phil.
Trans. Roy. Soc. A 223, 289-343 (1923).

encontre du non-linéaire 2003 95
Etude expérimentale de la propagation d’une flamme sur un
combustible liquide
E. Degroote et P.L. Garcia-Ybarra
Universidad Politècnica de Madrid
C/ Pico de los Artilleros, 71; piso 1-C, 28030 Madrid
edegroote@ccupm.upm.es
Résumé
L’évolution d’une flamme sur un combustible liquide est un problème qui est loin
d’être éclairci [1, 2]; nous avons réalisé une série d’experiences dans un canal rempli
avec un combustible liquide, dans lequel nous avons mesuré la vitesse de propagation
(v f ) d’une flamme, en fonction de la température superficielle initiale (T ∞ ), et nous
observons que, sous certaines conditions, elle presente des oscillations [3, 4]. L’apparition
de touts ces phénomènes est en relation avec la création d’une zone de convection
devant la flamme, quiqui modifie sa propagation.
1 Introduction
La propagation d’une flamme sur un combustible liquide présente des caractéristiques
uniques; la phase liquide , soumise à une différence de températures produit à son tour
des différences de tension superficielles qui déplacent le combustible devant la flamme (on
observe, dans certaines conditions, la formation d’un vortex devant la flamme), produisant
ainsi une modification de la concentration du combustible dans le gaz, ce qui produit une
variation de la vitesse de propagation de la flamme v f .Cemécanisme semble instable,
et v f présentera plusiers régimes de propagation différents que nous voulons etudier experimentalement.
La structure du vortex semble complexe, mais elle a aussi été mesurée
expérimentalement.
Notre travail nous a permis de caracteriser, de façon assez précise, les différents régimes
de propagations observés pour quelques alcohols, en fonction de la température initiale
du liquide en surface (T ∞ ).
2 Dispositif expérimental
Afin d’étudier le propagation d’une flamme sur un combustible liquide, nous avons
construit un long canal (sa longueur pouvait varier entre 40 cm et 100 cm, sa largeur était
de 2,5 cm, sa profondeur 4 cm). Un système réfrigerateur placé sous le canal nous a permis
de modifier la température en surface initiale T ∞ . La totalité dusystème expérimental
était protégé par une toile metallique, ce qui nous a permis de réduire au maximum l’effet
des courants d’air sur la flamme. L’allumage du combustible liquide se produisait à une
des extremités, et la propagation de la flamme était observée, jusqu’au moment où elle
attaignait l’extremité opposée. Trois systèmes de mesures étaient utilisés:
1. Un systeme de 8 thermocouples(type Cr-Al, diamètre 25 µm) placés dans le liquide,
nous permettaient de mesurer la température initiale (T ∞ )etl’évolution temporelle
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

96 E. Degroote et P.L. Garcia-Ybarra
de la tempeérature en surface du combustible. Les mesures étaient collectées après
amplification par un système d’acquisition AD/DA sur un PC.
2. Un système classique de visualisation Teopler Schlieren, qui nous a permis dóbserves
les gradients de température à l’intérieur du liquide.
3. Un systéme de caméra-video, qui nous a permis de mesurer l’évolution temporelle
de la postion du front de flamme, ainsi que sa vitesse de propagation v f . L’ensemble
d’images était numérisé par un ordinateur.
3 Résultats experimentaux
3.1 Vitesse de propagation v f de la flamme
Avec le système expérimentel précédent, nous trouvons (au moins) trois régimes de
propagation différents, de telle façon que:
1. Si T ∞ ≥ T c la vitesse v f du front de flamme est uniforme (régime uniforme). Cette
région présente à son tour trois sous-régimes différents, soit:
(a) Pour T ∞ ≥ T as , v f est constante, avec v f ≈ 100 cm/s.
(b) Pour T fd ≤ T ∞ ≤ T as v f est uniforme, avec dv f /dT ∞ ≈ 10cm/s ◦ K 25 −
30 cm/s ≤ v f ≤ 100 cm/s.
(c) Pour T c ≤ T ∞ ≤ T fd v f est encore uniforme, mais dans ce cas nous mesurons
dv f /dT ∞ ≈ 1cm/s ◦ K.
2. Pour T h

Propagation d’une flamme sur un combustible liquide 97
3. Pour T h ≤ T ∞ ≤ T c , L est une fonction décroissante de T ∞ ; pour T ∞ = T c nous
trouvons L ≈ 1 cm, alors que, pour T ∞ = T h , L ≈ 10 cm.
4. Pour T ∞

98 rencontre du non-linéaire 2003
Criticalidad de la propagación de una llama sobre combustibles líquidos
E. Degroote et P.L. Garcia-Ybarra
Universidad Politècnica de Madrid
C/ Pico de los Artilleros, 71; piso 1-C, 28030 Madrid
edegroote@ccupm.upm.es
Résumé
La vitesse de propagation v f d’une flamme sur un combustible liquide présente
quatre températures critiques (T as ,T fd ,T c ,T h )delatempérature superficielle initiale
du liquide T ∞ , qui marquent la limite de cinq régimes de propagation différents[1, 2, 3].
L’apparition de ces températures critiques est en relation directe avec la formation
d’un vortex de combustible liquide devant la flamme. La vitesse de déplacement charactéristique
de ce liquide près de la flamme nous a permis d’expliquer l’existence
des différents régimes de propagation et d’observer des charactéristiques communes à
touts les combustibles, confirmés par nos résultats expérimentaux.
1 Vitesse de propagation d’une flamme
La vitesse de propagation v f d’une flamme sur un combustible liquide dépend essentiellement
de la temperature initiale du liquide en surface, T ∞ .Ainsi:
1. Pour des valeurs T ∞ ≥ T as , la flamme se propage à vitesse constante:
.
v f ≈ 100 cm/s
2. Pour des valeurs T as ≤ T ∞ ≤ T fd la vitesse de propagation est uniforme; le diagramme
T ∞ − v f a dans ce cas une pente
dv f /dT ∞ ≈ 10 cm/sK
3. Pour des valeurs T c ≤ T ∞ ≤ T fd , la propagation est uniforme, mais, par contre,
pente est
dv f /dT ∞ ≈ 1cm/sK
4. Une bifurcation se présente pour T ∞ = T c . Pour des températures T h ≤ T ∞ ≤ T c ,la
propagation de la flamme est oscillatoire:
1 cm/s ≤ v f ≤ 15 cm/s
5. Enfin, pour T ∞

Criticalidad de la propagación de una llama 99
2 Mesure expérimentale du vortex
Lors de la propagation de la flamme sur le combustible liquide, un courant convectif
(produit par thermocapillarité) est observé, qui se produit devant la flamme; sa dimension
horizontale L aéte mesurée expérimentalement.. Le liquide déplacé devant la flamme a
une vitesse caractéristique u s , qui peut être determinée de façon approximative [4, 5].
La comparaison des vitesses (v f ,u s ) doit nous indiquer la valeur précise de T ∞ à partir
de laquelle le courant convectif devance la flamme: (u s >v f ). A ce moment là, le liquide
se trouve réchauffé, ce qui a pour effet d’augmenter la concentration du combustible en
phase gazeuse et donc d’accélerer la flamme et, simultanément, de changer les conditions
de transfert thermique entre la phase gazeuse et le liquide.Nos résultats experimentaux
nous montrent que ce vortex commence a être observé devant la flamme près de T ∞ = T fd ,
de telle façon que:
1. Pour des valeurs T ∞ ≥ T fd , L ≈ 0 cm/s.
2. Pour des températures T c ≤ T ∞ ≤ T fd , un vortex de longueur charactéristique
L ≈ 1 cm est observé devant la flamme pour T ∞ ≈ T c , alors que, pour T ∞ ≈ T fd ,
nous trouvons L ≈ 0.1 cm.
3. Pour T h ≤ T ∞ ≤ T c , L présente de valeurs décroissantes qui atteignent L ≈ 10cm
pour T ∞ ≈ 10.0 cm.
4. Enfin, pour T ∞

100 E. Degroote et P.L. Garcia-Ybarra
simplifier le calcul de la vitesse charactéristique u s ,quidépend de la tension superficielle
σ = σ(T ∞ ). Une étude théorique en détail de la vitesse charactéristique u s ,etdesmesures
pour différentes profondeurs pourraient éclaircir l’influence de cette dimension sur
la propagation de la flamme.
Références
[1] K. Akita, Fourteenth Symposium (International) on Combustion, The Combustion
Institute, Pittsburgh, 1973.
[2] E. Degroote, P.L. Garcia-Ybarra, Eur. Phys. J. B. (Non Linear Section), 381-386
(2000).
[3] E. Degroote, P.L. Garcia-Ybarra, Experimental Chaos, 6th Experimental chaos conference,
Potsdam, Germany, AIP Conference Proceedings 622, 278.
[4] E. Degroote, P.L. Garcia-Ybarra, Proceedings of the 27th International Symposium
on Combustion 1998 (WIP), , The Combustion Institute, p 492.
[5] F. J. Higuera, J.C. Antoranz, V. Sankovitch, J.L. Castillo, E. Degroote, P.L. Garcia-
Ybarra, The Vortical Structure of Flame Spreading over Liquid Fuels, Lecture Notes
in Physics: Coherent Structures in Complex Systems, Springer, 2000, p 190.

encontre du non-linéaire 2003 101
Estimation d’attracteurs étranges, robustesse par rapport
aux petites variations des paramètres
Sara Derivière et M.A. Aziz Alaoui
Lab. de Mathématiques Appliquées,
Université duHavre,
BP 540, 76058 Le Havre cedex, FRANCE.
sara.deriviere@univ-rouen.fr, aziz@univ-lehavre.fr
Résumé
Dans ce papier, nous rappelons comment obtenir des estimations d’attracteurs
(chaotiques), estimations uniformes par rapport aux petites variations des paramètres
[1, 4]. Nous présentons ensuite une méthode permettant de déterminer les régions
de l’espace des phases, au sein de l’attracteur, non traversées par la solution (chaotique)
: des trous. En particulier, nous appliquons nos résultats à un nouveau système
chaotique [2] appartenant à la famille de Lorenz généralisée [3].
1 Introduction
L’estimation des attracteurs (chaotiques) des systèmes différentiels non-linéaires est
un problème pratique bien connu des physiciens. Après avoir étudier l’estimation des
systèmes dont les paramètres sont supposés connus et fixés [4], nous nous intéressons
maintenant àl’étude des systèmes pour lesquels les valeurs des paramètres ne sont connus
qu’avec une certaine précision.
La procédure basée sur le principe d’invariance uniforme de LaSalle [5] est efficace
dans certains cas précis, mais en général, la recherche de fonctions de Lyapunov associée à
cette méthode, souvent difficile àréaliser, diminue son champs d’application. Cependant,
des extensions de ce principe d’invariance, qui requièrent des hypothèses moins fortes,
permettent leur utilisation dans une plus large classe de problèmes, et leur application
dans de nombreux systèmes pour lesquels les valeurs des paramètres ne sont connues
qu’approximativement.
2 Principe d’invariance uniforme et extensions
L’objectif de ce paragraphe est de nous rappeler les résultats théoriques permettant
d’obtenir des estimations uniformes d’attracteurs, par rapport aux petites variations des
paramètres du système. Considérons l’équation différentielle ordinaire et autonome suivante
:
dX
= F (X, λ) (1)
dt
où X∈ IR n ,F ∈ C 1 (IR n ), et où les paramètres du système λ varient à l’interieur d’un
certain domaine Λ.
Le théorèmesuivant,donné par Rodrigues dans [1], nous permet de trouver des régions
bornées de l’espace des phases dans lequel se situe l’attracteur, ceci de façon uniforme par
rapport aux variations, dans un domaine Λ, des paramètres du système .
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

102 S.Derivière & Aziz Alaoui
Théorème 1 (Principe d’invariance uniforme) Soient F : IR n × Λ −→ IR n et V :
IR n × Λ −→ IR des fonctions de classes C 1 et a, b, c : IR n −→ IR des fonctions continues
tels que, a(X) ≤ V (X, λ) ≤ b(X) et L t V (X, λ) ≤−c(X), ∀(X, λ) ∈ IR n ×Λ, où L t V = dV
dt
désigne la dérivée orbitale de V .Considérons les ensembles
C := {X ∈ IR n : c(X) < 0} et E := {X ∈ IR n : c(X) =0} .
Supposons que sup X∈C b(X) ≤ R 0} , E := {X ∈ IR n : c(X) =0} .
Posons inf X∈C a(X) =m et soient
A m := {X ∈ IR n : a(X) ≥ m} , B m := {X ∈ IR n : b(X) ≥ m} .
Alors toute solution ϕ(t, X 0 ,λ) bornée pour t ≥ 0 converge vers le plus grand sous-ensemble
invariant inclus dans B m ∪ E, quand t →∞, ∀λ ∈ Λ.
Lemme 2 Soient k, l, g i
: IR n −→ IR, i =1, .., k des fonctions continues tels que,
k(X) ≤ sup{g i (X), i =1, ..., k}, ∀X ∈ IR n .
Posons G i := {X ∈ IR n : g i (X) > 0} et K := {X ∈ IR n : k(X) > 0}.
Supposons qu’il existe une suite S i d’homéomorphismes de IR n −→ IR n tels que G 2 =
S 1 (F 1 ), G 3 = S 3 (G 3 ), ..., G k = S k−1 (G k−1 ) et G 1 = S k (G k ) et que l(S i (X)) = l(X), ∀X, ∀i,
alors inf X∈K l(X) ≥ inf X∈Gj l(X), ∀j =1, ..., k.

Estimation d’attracteurs 103
3 Application
Considérons le système suivant qui est de la famille des systèmes de Lorenz généralisés
(voir [2] et [3] pour les caractéristiques de ces systèmes) :
ẋ = −σx − σy, ẏ = −rx − y − xz, ż = −bz + xy, (2)
où σ =9, r =17, b =1. Pour ces valeurs des paramtètres, le système (2) possède
un attracteur chaotique, voir [2]. Remarquons que ce système est différent du système
classique de Lorenz
ẋ = −10x +10y, ẏ =28x + y − xz, ż = −8/3z + xy.
Certains termes des second membres de ces deux systèmes sont de signes différents. Dans
[2], une évidence numérique sur le caractère chaotique est donnée. Il est par ailleurs
théoriquement démontré que la composante en z est strictement négative. Les points fixes
de ce système sont :
(0, 0, 0), (− √ b(r − 1), √ b(r − 1), 1 − r), ( √ b(r − 1), − √ b(r − 1), 1 − r).
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-15 -10 -5 0 5 10 15
Figure 1. Attracteur chaotique du système (2): projection sur le plan xz.
Une incertitude de ±5% est admise dans la determination de ces paramètres. Soient
σ m =8.55, σ M =9.45, r m =16.15, r M =17.85, b m =0.95 et b M =1.05, et définissons
l’ensemble Λ par :
Λ:= { λ =(σ, r, b) ∈ IR 3 }
: σ m ≤ σ ≤ σ M , r m ≤ r ≤ r M , b m ≤ b ≤ b M
Dans toute la suite, les valeurs des paramètres du système (2) pourrons varier de manière
aléatoire dans l’espace Λ.
Soient Σ l’ellipsoïde et T 1 , T 2 les hyperbolo ïdes d’axe de révolution Ox définies par :
Σ:={(x, y, z) ∈ IR 3 :0.95x 2 +8.55y 2 +8.55(z + 18) 2 ≤ 70.8 2 },
T 1 := {(x, y, z) ∈ IR 3 :1.05(y − 4) 2 +1.05(z + 16) 2 − 0.475(x +4) 2 ≥ 7.9698},
T 2 := {(x, y, z) ∈ IR 3 :1.05(y +4) 2 +1.05(z + 16) 2 − 0.475(x − 4) 2 ≥ 7.9698}.
Théorème 3 (Estimation uniforme de l’attracteur du système 2) Une estimation
de l’attracteur chaotique du système 2, robuste par rapport à la petite variation des paramètres,
est donnée par Σ\(T 1 ∪ T 2 ).
Preuve : La démonstration de ce théorème est une conséquence des propositions 1
et 2 données ci-dessous.

104 S.Derivière & Aziz Alaoui
3.1 Estimation uniforme de l’attracteur
Proposition 1 Une estimation de l’attracteur du système (2), sachant que les paramètres
varient dans Λ, est donnée par Σ : 0.95x 2 +8.55y 2 +8.55(z + 18) 2 =70.8 2
Preuve : Par un changement de variable dans le système (2) donné paru = x, v = y
et w = z + r + 1, on obtient le système suivant
⎧
⎨
⎩
˙u = −σu − σv
˙v = −ru − v − uw +(r +1)u
ẇ = −bw + uv + b(r +1)
Pour estimer l’attracteur du système (3), on utilise le Théorème 1 avec :
V (u, v, w) =bu 2 + σv 2 + σw 2 ,
v m (u, v, w) =b m u 2 + σ m v 2 + σ m w 2 ,
v M (u, v, w) =b M u 2 + σ M v 2 + σ M w 2 ,
où v m ,v M représentent respectivement les fonctions a et b du Théorème 1, i.e., v m (u, v, w) ≤
V (u, v, w, λ) ≤ v M (u, v, w). La dérivée orbitale de V est majorée par c(u, v, w) =2α 1 u 2 +
2β 1 v 2 +2γ 1 (|w| −ρ 1 ) 2 − 2µ 1 où α 1 = σ m b m , β 1 = σ m , γ 1 = σ m b m , ρ 1 = σ M b M (r M +
1)/(2σ m b m )etµ 1 = σ 2 Mb 2 M(r M +1) 2 /(4σ m b m ).
Nous allons maintenant utiliser le Lemme 1 avec h(u, v, w) = c(u, v, w), g(u, v, w) =
b(u, v, w),
f 1 = α 1 u 2 + β 1 v 2 + γ 1 (w − ρ 1 ) 2 − µ 1 , f 2 = α 1 u 2 + β 1 v 2 + γ 1 (w + ρ 1 ) 2 − µ 1 , et
C := { (u, v, w) ∈ IR 3 : c(u, v, w) < 0 } , F 1 := { (u, v, w) ∈ IR 3 : f 1 (u, v, w) < 0 } ,
d’où sup C v M ≤ sup F1
v M , et on calcule sup F1
v M par la technique des multiplicateurs de
Lagrange, en prenant comme fonction de Lagrange :
L =
(
b M u 2 + σ M v 2 + σ M w 2 + λ σ m b m u 2 + σ m v 2
)
(
+σ m b m w − σ Mb M (r M +1)
) 2 σ −
M 2 b2 M (r M +1) 2
.
2σ m b m 4σ m b m
Il reste alors àvérifier les conditions suivantes : ∂L
∂u = ∂L
∂v = ∂L
∂w = ∂L
∂λ =0,etontrouve
que sup F1
v M est atteint en (0, 0, σ Mb M (r M +1)
), et donc : sup
σ m b
F1
b = b(0, 0, σ Mb M (r M +1)
)
m σ m b m
= σ3 M b2 M (r M +1) 2
σmb 2 2 . Ainsi, du Théorème 1, on déduit que l’attracteur du système (3) est à
m
l’intérieur d’une ellipsoïde d’équation : a(u, v, w) =b m u 2 +σ m v 2 +σ m w 2 ≤ σ3 M b2 M (r M +1) 2
σmb 2 2 ,
m
donc que l’attracteur du système (2) est à l’intérieur d’une ellipsoïde d’équation :
0.95x +8.55y 2 +8.55(z + 18) 2 =70.8 2 . (4)
(3)

Estimation d’attracteurs 105
3.2 Un trou dans l’attracteur
Proposition 2 L’hyperboloïde T 1 d’équation :
1.05(y − 4) 2 +1.05(z + 16) 2 − 0.475(x +4) 2 =7.9698
est une zone, contenant le point fixe (−4, 4, −16) et non visitée par l’attracteur du système
(2). Cette estimation est robuste vis à vis des petites variations des paramètres puisqu’elle
reste valable pour toutes valeurs prises dans Λ.
Preuve : On effectue, dans le système (2), le changement de variable
X = x + √ b(r − 1), Y = y − √ b(r − 1), Z = z + r − 1
et l’on obtient : ⎧
⎨ Ẋ = −σX − σY
Ẏ = −X − Y − XZ + √ b(r − 1)Z
⎩
Ż = −bZ + XY +(X − Y ) √ b(r − 1)
Considérons maintenant les fonctions suivante :
(5)
W (X, Y, Z) =αY 2 + αZ 2 − βX 2 ,
w m = α m Y 2 + α m Z 2 − β M X 2 ≤ W ≤ w M = α M Y 2 + α M Z 2 − β m X 2 .
En suivant les mêmes étapes que précédemment pour le calcul de l’inf nous montrons, avec
α =1etβ =1/2, que l’inf est atteint en (2.39, 0.86, 3.28), d’où m = w m (2.39, 0.86, 3.28) =
7.9698 ; nous concluons, en utilisant le Théorème 2, que l’attracteur est situé dans l’espace
w M (X, Y, Z) =α M Y 2 + α M Z 2 − β m X 2 ≥ m. Si nous revenons au systèmedecoordonnées
initiales (x, y, z), cette hyperboloïde s’écrit : α M (y − √ √ b(r − 1)) 2 +α M (z +r −1) 2 −β m (x+
b(r − 1)) 2 = m, c’est-à-dire que l’attracteur se situe dans la région définie par :
1.05(y − 4) 2 +1.05(z + 16) 2 − 0.475(x +4) 2 ≥ 7.9698,
quelque soit la valeur des paramètres dans Λ.
Remarque 3: En utilisant la même méthode, il est facile de trouver une seconde région
T 2 non visitée par l’attracteur, de forme hyperboloïdale autour du point fixe (4, −4, −16)
et d’équation
1.05(y +4) 2 +1.05(z + 16) 2 − 0.475(x − 4) 2 =7.9698,
pour toutes valeurs des paramètres dans Λ.
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-60 -40 -20 0 20 40 60
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
-60 -40 -20 0 20 40 60
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Figure 2. Estimation de l’attracteur, projection sur les plans xy, xz et yz resp. L’attracteur est à
l’interieur d’une ellipsoïde et présente deux trous autour de ses points fixes non triviaux.

106 S.Derivière & Aziz Alaoui
4 Conclusion
L’étude des systèmes dynamiques chaotiques et de leurs attracteurs intéresse de nombreux
chercheurs dans plusieurs domaines des sciences : éléctricité (systèmedeChua),
météorologie (système de Lorenz), synchronisation (sécurité de communication)... Estimer
théoriquement les attracteurs de ce genre de système est un sujet important. Par ailleurs,
dans ce travail, les résultats proposé tiennent compte des petites variations des paramètres
du système étudié, ce qui rend leur application possible.
Nous avons appliqué ces résultats àunsystème de la famille de Lorenz généralisée
(qui est une famille comportant entre autre le célèbre système de Lorenz) afin d’obtenir
une estimation concrète de son attracteur qui est situé à l’intérieur d’une ellipsoïde, et à
l’extérieur de deux hyperboloïdes. Cette estimation est robuste : elle reste stable vis àvis
des petites perturbation des paramètres.
Références
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Synchronization, Robustness with Respect to Parameter Variation, Journ. Diff. Eqts.
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[3] S. Derivière et M.A. Aziz Alaoui, Estimation of Attractors and Synchronization of
Generalized Lorenz Systems, Dynamics of Cont., Discrete and Impulsive System, in
Press (2003).
[4] S. Celikovsky et G. Chen, On a Generalized Lorenz Canonical Form of Chaotic Systems,
Int. Journal of Bifurc. and Chaos, in press (2002).
[5] J.P. LaSalle, Some Extension of Lyapunov’s Second Method, IRE Trans. Circuit
Theory, vol. CT-7, pp. 520-527 (1960).

encontre du non-linéaire 2003 107
Application de l’acoustique non linéaire dans le contrôle non destructif :
mesure du paramètre non linéaire de la silice par une méthode de
modulation de phase
Serge Dos Santos, Michel Vila, Francois Vander-Meulen, Lionel Haumesser et
Olivier Bou Matar
Laboratoire UltraSons Signaux et Instrumentation (FRE 2448 CNRS)
GIP Ultrasons - Université François Rabelais
EIVL Rue de la Chocolaterie, BP3410, 41034 Blois cedex, france
dossantos@univ-tours.fr
Résumé
Une nouvelle méthode de contrôle non destructif, basée sur une idée développée
par Barrière et Royer [1], de mesure du paramètre non linéaire de la silice pure est
présentée. Cette méthode exploite l’interaction paramétrique entre deux ondes acoustiques
ultrasonores : une haute fréquence HF à 20 MHz et une basse fréquence BF à
2.5 MHz. La mesure de la nonlinéarité del’échantillon de silice est réalisée par une
mesure en contact de la modulation de phase engendrée par l’interaction paramétrique
et par la calibration de la vitesse particulaire de la BF par une méthode de réciprocité,
préalablement validée par une mesure avec un hydrophone à membrane.
1 Introduction
Dans le secteur aéronautique par exemple, le contrôle non destructif (CND) des pièces
exige des méthodes de plus en plus fiables et précises sur des matériauxdeplusenplus
complexes (composites) dans lesquels se produisent des phénomènes physiques micro voir
nanoscopiques (adhésion, délamination, micro-craks,etc.). C’est dans ce contexte technologique
que se trouvent les limites du CND utilisant les méthodes linéaires de la spectroscopie
acoustique (au demeurant de bonne qualité et pratique à mettre en œuvre).
Aussi, afin d’effectuer une détection précoce de la fatigue dans les matériaux, des
résultats théoriques et expérimentaux ont montré que le paramètre de nonlinéarité β du
matériau permettait une observation et une détection plus précoce de la dégradation de
ce matériau [2]. Ce paramètre β est relatif au comportement non linéaire du matériau
(ou du fluide) vis-à-vis de la propagation d’une onde ultrasonore. La caractérisation d’un
matériau par son paramètre β semble donc d’un intérêt primordial dans un contexte de
CND.
Cependant, compte tenu de la faible nonlinéarité desmatériaux et de la difficulté de
la mesure, il est nécessaire de mettre en place des expériences permettant non seulement
une mesure absolue et autocalibrée du β.
La méthode présentée [3] de mesure ultrasonore en contact du paramètre non linéaire
de la silice combine l’interaction paramétrique qui naît grâce àlanonlinéarité du milieu,
et une calibration par réciprocité du transducteur BF.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

108 S. Dos Santos, M. Vila, F. Vander-Meulen, L. Haumesser et O. Bou Matar
2 Interaction paramétrique de deux ondes ultrasonores
Considérons une onde ultrasonore haute fréquence sonde (ω hf ) se propageant dans un
matériau de coefficient non linéaire β et dans lequel une onde ultrasonore basse fréquence
pompe (ω bf ) se propage également et de façon colinéaire
(
(Fig.1).
)
Suivant le matériau, on
montre que β = γ+1
2
pour les liquides et β = − 3
2 + C 111
2C 11
pour les solides ; C 11 et C 111
étant les constantes élastiques du second et troisième ordre du solide, γ étant le coefficient
isentropique du liquide et c 0 la célérité. Ces deux ondes, expérimentalement générées par
deux transducteurs, sont alors en interaction non linéaire appelée interaction paramétrique
[4] . On montre que la pression p ′ hf s’écrit
p ′ hf = p hf cos
(ω hf t − −→ k hf . −→ )
u hf = p hf cos (ω hf t − φ hf ) . (1)
où −→ k hf est le vecteur d’onde et −→ u hf est le vecteur unitaire de la propagation HF. De
même, la pression BF s’exprime par
p ′ bf = p bf cos
(ω bf t − −→ k bf . −→ )
u x . (2)
Si ω hf
>> ω bf , les effets non linéaires de l’interaction paramétrique engendrent une
y
p'
bf
BF HF θ
x
Fig. 1: Interaction paramétrique entre deux ondes ultrasonores. L’onde HF est émise
dans la direction opposée −x et l’effet paramétrique commence lorsque l’on synchronise la
réflexion de la HF à la surface du transducteur BF et l’émission du pulse BF.
modification de la célérité c hf dans le milieu[5] :
– une surpression résultant de la non linéarité del’équation d’état et modifiant la
célérité de∆c 1 = (γ−1)c 0
2ρ 0
ρ ′ bf ,où ρ 0 la densité du matériau and ρ ′ bf
la perturbation
de densité due à l’onde BF donnée par ρ ′ bf = p′ bf
c 2 0
– la nonlinéarité de la convection hydrodynamique engendrant elle aussi une variation
de célérité ∆c 2 = 1
ρ 0 c 0
p ′ bf
La variation de célérité totale ∆c(x, y, t) est alors une quantité variant spatialement et temporellement
au cours de la propagation. Elle peut être évaluée dans l’axe du transducteur
(y =0)par
∆c(x, t) =∆c 2 +∆c 1 = 1+γ cos (ω bf t − k bf x) . (3)
2ρ 0 c 0
Dans des hypothèses d’ondes planes, la phase φ hf s’obtient par intégration sur la distance
d’interaction d (distance entre les transducteurs ultrasonores):
φ hf =
∫ d
0
p'
hf
ω hf
dx, (4)
c hf (x, t)

Acoustique non linéaire pour le CND 109
où c hf (x, t) =c 0 +∆c(x, t). En supposant ∆c(x, t) ≪ c 0 ,ilvientalors:
φ hf = ω hf d
c 0
∫ d
ω hf
−
0 c 2 ∆c(x, t)dx = φ L − ∆φ NL , (5)
0
où φ L s’identifie à la phase de la propagation linéaire et où ∆φ NL est donné par
∆φ NL =∆φ 0 cos
[ω bf
(t − d )]
, (6)
c 0
et le taux de modulation de phase ∆φ 0 donné par
∆φ 0 = [1 + γ]ω hf p bf d
2ρ 0 c 3 0
= dω hf v bf
c 2 0
β. (7)
L’interaction paramétrique ce traduit, pour la configuration considérée, comme ∆φ 0 donné
par Le paramètre β est alors proportionnel au rapport ∆φ 0
v bf
qu’il faut tenter d’évaluer.
3 Calibration du transducteur BF en contact
3.1 Principe
Dans le but de mesurer la vitesse particulaire v bf , une méthode expérimentale de
calibration utilisant le principe d’auto-réciprocité [6]aété utilisée (Fig.2(a)). En utilisant
les notations de [7, 8], on peut montrer que le spectre de vitesse particulaire v bf (f) est
donnée par v bf (f) =I out (f)H v (f) où
√
√
H v (f) =
√ −
1
2AZ 0 D(f)
V in (f) − Vout(f)
I out(f) I in(f)
I out (f)
est la fonction de transfert du transducteur, A le rayon effectif du transducteur, Z 0
l’impédance acoustique du matériaux, D(f) la correction de diffraction [8] et V in (f), I in (f),
V out (f) etI out (f) les spectres des courants et tensions entrant et sortant des transducteurs
(Fig.2(a)). La vitesse particulaire v bf dans le domaine temporel s’obtient alors par
une transformation de Fourier inverse.
3.2 Validation expérimentale
Un transducteur de 2.5 MHz (A =0.75”) est placé en contact avec l’échantillon de
silice et excité par un pulse BF délivré par un système émetteur constitué d’ungénérateur
HP 3314A et amplifié par un amplificateur ENI A150. Des sondes de courant et de tension
permettent de mesurer les pulses d’émission V in et I in et ceux de l’echo de réception
V out et I out . En utilisant le principe décrit précédemment, la vitesse de la BF est alors
calculée. La validation de cette méthode d’auto-calibration en contact a été faite en plaçant
le transducteur et la silice dans l’eau et en mesurant la vitesse avec un hydrophone à
membrane (Fig.2(a)). Cette vitesse est évaluée en conditions d’ondes planes, d’incidence
normale et en calculant le coefficient de transmission entre la silice et l’eau. Les courbes
présentées en Fig.3 valident la méthode d’auto-réciprocité. Une bonne concordance des
résultats existe; à la fois en amplitude et en forme d’onde quelque soit l’amplitude de la
tension d’entrée. Une différence apparaît toutefois après la première oscillation du fait de la
présence d’une onde de bord détectée par l’hydrophone mais moyennée par le transducteur
dans la méthode d’auto-réciprocité.
(8)

110 S. Dos Santos, M. Vila, F. Vander-Meulen, L. Haumesser et O. Bou Matar
P eau
E in
Silice
Em Z t
transducteur
emetteur
d
hydrophone
à membrane
(a) schéma électrique de l’auto-réciprocité
PC
GPIB
LC9430 Oscilloscope
HP 33120A générateur de fonctions
Silice
HP 3314A générateur de fonctions
TRIG
tension
d'entrée (V)
HP 3314A Générateur de fonctions
transducteur HF
transducteur BF
amplificateur RF
ENI A150
émission BF
TRIG
d
(b) mesure en contact du β
Fig. 2: Calibration par auto-réciprocité : dispositif expérimental
4 Mesures calibrées du paramètre non linéaire de la silice
Le dispositif expérimental de mesures en contact auto-calibrées du paramètre non
linéaire est présenté en Fig.2(b). Un transducteur de contact HF (diamètre 0.25”) est
excité par un train d’onde de 50 périodes et de fréquence 20 MHz. Cette onde HF se
propage dans l’échantillon de silice d’épaisseur d =1cm,estréfléchie par l’interface silice/transducteur
BF et enregistrée par un oscilloscope numérique piloté par une interface
GPIB. Simultanément, un pulse BF à 2.5 MHz est généré par un HP 3314A et amplifié
par un amplificateur de puissance ENI A150 avant d’être émis par un transducteur de
contact Technisonic. Les deux générateurs de fonctions HP sont synchronisés par un signal
de déclenchement externe généré par un HP 33120A, de telle sorte que les signaux
interagissent colinéairement et en même temps dans l’échantillon de silice durant la propagation
retour de la HF. La modulation de phase, produite par l’interaction paramétrique
de ces deux signaux est alors mesurée et extraite par l’utilisation d’un programme de

Acoustique non linéaire pour le CND 111
4
vitesse BF (mm/s)
3
2
1
0
−1
−2
(a)
onde de bord
−3
11.5 12 12.5 13 13.5 14
temps (µs)
vitesse BF (mm/s)
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
(b)
−8
11.6 11.8 12 12.2 12.4 12.6 12.8 13 13.2 13.4
temps (µs)
(a) 100mV
(b) 400mV
Fig. 3: Comparaison entre la vitesse de la BF mesurée par auto-réciprocité (trait plein)
et celle mesurée par un hydrophone à membrane (trait pointillé)
démodulation numérique. Le transducteur BF est calibré in situ avec son électronique
d’amplification. On obtient alors une relation (Fig.4(a)) entre ∆Φ, extrait par un algorithmededémodulation
numérique de phase, et ∆v bf mesuré à partir de la calibration .
Le rapport recherché ∆Φ
∆v bf
est alors extait par un ajustement linéaire des mesures réalisées
pour chaque tension (Fig.4(b)). Finalement en utilisant l’équation (7), les paramètres
géométriques et acoustiques de la silice (c 0 = 6000 m/s, ρ 0 = 2200 kg/m 3 ), on évalue le
paramètre β de la silice à β = −6.0±0.3. Cette valeur, conforme aux valeurs expérimentales
précédemment établies (Tab.1), est de surcroît évaluée avec son signe négatif provenant de
la différence de polarité des courbes ∆Φ et ∆v bf . L’incertitude est essentiellement due aux
erreurs provenant de la détermination de la pente de l’indice de modulation en fonction
de la distribution de vitesse en surface du transducteur.
Tab. 1–Comparaison des valeurs de β de la silice dans quelques travaux antérieurs
ref [9] ref[10] ref[11] ref[12] ref[13]
β -6.0±0.3 -6.2±0.1 -5.05 -6.35±0.7 -4.49 -5.03
5 Conclusion
Une méthode d’auto-calibration des transducteurs ultrasonores a été utilisée afin de
mesurer en contact le paramètre de nonlinéarité β d’un échantillon de silice pure. La
calibration par auto-réciprocité améliore cette méthode et permet de caractériser ce paramètre
sans fluide de couplage (voir par exemple notre précédente étude dans l’eau [14]).
Le paramètre non linéaire mesuré est conforme aux valeurs (au demeurant très dispersées)
données dans la littérature et valide en outre le signe négatif de celui de la silice.
La principale perspective de cette étude est une application directe de cette méthode

112 S. Dos Santos, M. Vila, F. Vander-Meulen, L. Haumesser et O. Bou Matar
4
30
−2.5
−3
taux de modulation (mrad.)
2
0
-2
∆φ
∆ v
20
10
0
-10
vitesse de la BF (mm/s)
taux de modulation (mrad.)
−3.5
−4
−4.5
−5
−5.5
−6
-4
1
1.5 2 2.5 3 3.5 4
temps (µs)
−6.5
−7
20 25 30 35 40 45
vitesse de la BF (mm/s)
(a) 100mV
(b) 50-400mV
Fig. 4: (a): Taux de modulation de phase extraite de l’onde HF (trait plein), et vitesse
particulaire de la BF (trait pointillé). La polarité opposée des deux courbes rendent compte
du signe négatif du paramètre non linéaire de la silice.(b) Taux de modulation de phase en
fonction de l’amplitude de vitesse de l’onde BF. la pente est proportionnelle à β.
à la mesure sur site industriel du paramètre non linéaire. Cette expérience pourrait être
utilisée in situ sur des pièces à contrôler. Une bonne caractérisation du paramètre β ouvre
la perspective d’un suivi de ”taux de nonlinéarité dans un matériau” souvent lié àson
vieillissement et àsadégradation.
Références
[1] C. Barriere and D. Royer, IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., Freq. Contr. 48, 1706
(2001).
[2] P.B.Nagy,Ultrasonics36, 375 (1998).
[3] O. Bou Matar, S. Dos Santos, M.Vila, and F. Vander Meulen, in Proc. of IEEE
Ultrasonic Symposium (Munich, 2002).
[4] P. J. Westervelt, J. Acoust. Soc. Am. 35, (1963).
[5] V. A. Zverev and A. I. Kalachev, Sov. Phys. Acoust. 16 n. 2, 204 (1969).
[6] E. L. Cartensen, J. Acoust. Soc. Am. 19, 961 (1947).
[7] C. J. Drost and G. J. Milanowski, IEEE Trans. Sonics & Ultrason. 27, 65 (1980).
[8] G. Kino, Acoustic Waves: Devices, Imaging, and Analog Signal Processing (Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1987).
[9] G. E. Dace, R. B. Thompson, and O. Buck, in Review of progress in the QNDE (IOP,
New york, 1992), Vol. 11, pp. 2069–2076.
[10] R. B. Thompson, O. Buck, and D. O. Thompson, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 59, 1087
(1976).
[11] W. T. Yost and J. H. Cantrell, Phys. Rev. 30, 3221 (1984).
[12] J.Y.DuquesneandD.A.Parshin,J.Appl.Phys.82, 3275 (1997).
[13] R. Graham, J. Acoust. Soc. Am. 51, 1576 (1972).
[14] O. Bou Matar et al., Proc. IEEE International Ultrasonics Symposium (2001).

encontre du non-linéaire 2003 113
Excitation des solitons et des états liés de solitons dans un canal en eau
peu profonde
A.B. Ezesrky, J.Brossard, F. Marin et I. Mutabazi
LMPG, Université duHavre
B.P. 540, 76058 Le Havre Cedex
Alexander.Ezersky@univ-lehavre.fr
Résumé
L’excitation des ondes solitaires de surface par une force extérieure est étudiée
dans une cavité en eau peu profonde. Les solitons sont généréssurlefonddumode
fondamental du résonateur. En fonction de l’amplitude et de la fréquence de la force
extérieure, nous avons observé un, deux et trois solitons sur la période temporelle du
mode fondamental de la cavité ainsi que le doublement de période et la multi-stabilité.
Les résultats sur l’interaction de solitons contra-propagatifs sont comparés avec ceux
de Maxworthy sur la réflexion d’un soliton sur une paroi. Les différences et analogies
de ces deux types d’interaction sont analysées.
1 Introduction
Les ondes solitaires ou solitons ont été observées dans plusieurs systèmes physiques:
optiques, plasma, circuits électroniques, hydrodynamiques [1]. En hydrodynamique, la
dynamique des solitons est souvent étudiée dans un système illimité dans la direction horizontale.
Dans ce cas, l’évolution et la dynamique des ondes de surface sont analysées
dans l’approximation d’une onde unique qui néglige l’interaction des ondes contra- propagatives.
Dans ce travail, nous nous intéressons àladynamiqueetà l’interaction des ondes
solitaires produites dans une cavité résonante (canal à houle). L’interaction des ondes
contra- propagatives produites par le batteur et la paroi réfléchissante doit être prise en
considération.
2 Description de l’expérience
Les expériences ont été menées dans un canal à houle de 10 m de long, 0,5 m de
large rempli d’eau à la hauteur de 0,26 m. Les ondes de surface sont excitées à l’aide d’un
batteur plan placé à une extrémité du canal et oscillant suivant un axe horizontal. L’autre
extrémité du canal donne une réflexion quasi parfaite. Le déplacement de la surface libre
η est mesuré par des sondes résistives. Une sonde est placée à proximité de l’extrémité
(réfléchissante) opposée au batteur et l’autre est placée àdifférentes positions en vue de
mesurer des séries temporelles dans la partie centrale du canal sur une longueur de 5,5 m.
Les signaux obtenus à partir de ces deux sondes (le signal de la sonde immobile servant
de référence) nous ont permis d’établir des diagrammes spatio-temporels (x,t) pour des
régimes périodiques de l’interaction des ondes de surface. Lors de l’expérience, la fréquence
d’excitation extérieure a été choisie très proche f =0.1654 Hz qui est la fréquence du
mode dont la longueur d’onde est égale à la longueur du canal. La nature des diagrammes
spatio-temporels dépend essentiellement de l’amplitude et de la fréquence de l’excitation.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

114 A.B. Ezersky, J. Brossard, F. Marin et I. Mutabazi
La figure 1 illustre les diagrammes (x-t) obtenus à partir des deux sondes et les séries
temporelles correspondantes mesurées par la sonde immobile pour les différents régimes
observés.
Fig. 1: Diagrammes (x-t) et séries temporelles: (a), (aa) a ex =3cm, f ex =0.151Hz, ; (b) (bb)
a ex =11.5 cm, f ex =0.158 Hz, ; (c), (cc)a ex =11.5 cm, f ex =0.170 Hz, ; (d) (dd) a ex =11.5 cm,
f ex =0.177 Hz ,
Pour de petites amplitudes de l’excitation on obtient des ondes stationnaires (Fig.1-
a)). Pour de grandes amplitudes, des trains d’impulsions propagatifs sont excités (Fig.1-
b,c)). Le nombre de ces trains d’impulsions varie selon la fréquence d’excitation. Pour
une fréquence inférieure à celle de résonance, 3 trains d’impulsions sont excités et pour
des fréquences supérieures, un seul train est excité ((d)). Les trains d’impulsions contrapropagatifs
interagissent. Sur la figure, on voit des régions dans lesquelles l’interaction
donne lieu à de fortes variations de vitesse de phase et même à une collision des trains
d’impulsion ( partie centrale du diagramme x-t (b)-(d)). Comme les diagramme sont tracés
uniquement pour la partie centrale du canal, nous n’avons pas pu obtenir d’informations
sur la propagation des trains d’impulsions près des extrémités du canal, là oùlaréflexion
des parois et l’interaction avec la plaque oscillante (batteur) ont lieu.
Nous avons aussi observé unphénomène de multi-stabilité des ondes non linéaires.
Pour la même amplitude et la même fréquence d’excitation mais avec des conditions ini-

Excitation des solitons 115
tiales différentes, nous avons pu observer différents régimes stables de génération d’onde
(Fig.2). L’excitation de 2 et 3 trains d’ondes sur une période temporelle (Fig. 2-a,b) ou la
génération alternée de 2 et 3 trains d’onde (Fig.2-c)ont été réalisées. Le dernier régime de
la Figure 2 (c) correspond à un doublement de période : les ondes non linéaires excitées
dans le système possède une période temporelle double de celle de la force extérieure. Nous
avons observé également la génération alternée d’un et deux trains d’onde sur une double
période. La figure 3 illustre un exemple d’un diagramme spatio-temporel d’une onde avec
doublement de période.
Fig. 2: Phénomène de multi-stabilité observé pour un forçage extérieur d’amplitude a ex =13.5
cm et de fréquence f ex =0.1645 Hz
Fig. 3: Diagramme (x-t) d’une onde avec doublement de période observé pour un forçage extérieur
d’amplitude a ex =13.5 cm et de fréquence f ex =0.1677 Hz.
3 Extraction du soliton
L’analyse détaillée des données expérimentales montre que les trains d’onde générés
dans la cavité résonnante possèdent des caractéristiques similaires à celles des solitons.
Pour prouver cette assertion, nous avons d’abord séparé lesséries temporelles en deux

116 A.B. Ezersky, J. Brossard, F. Marin et I. Mutabazi
signaux : un signal harmonique et une série d’impulsions de grande amplitude. Il est évident
qu’une telle séparation ne peut être faite en utilisant un filtrage linéaire parce que la
séquence des trains contient toujours des harmoniques de l’excitation extérieure. C’est pour
cette raison que nous avons adopté laméthode suivante pour séparer les trains d’onde :
nous avons localisé les pics de grandes amplitudes des signaux ((Fig.4-a)) et ensuite, dans
chaque intervalle, la série temporelle est remplacée par une droite (approximation linéaire)
comme illustré sur la Figure 4.a.
Fig. 4: Séparation des séries temporelles en une onde harmonique et une série de trains d’onde :
a) approximation linéaire au pied de chaque pic, b)signal après filtrage, c) séquence des solitons
extraits.
Ensuite, nous avons utilisé un filtrage linéaire pour extraire l’harmonique de fréquence
égale à celle du forçage extérieure. Le résultat du filtrage dépend bien sûr de τ 1 et τ 2 , mais
les calculs ont montré que pour des choix raisonnables de τ 1,2 ( τ 1 + τ 2 ≈ T 3 , T -période
de la force extérieure), la dispersion des caractéristiques de l’onde harmonique n’était pas
trop grande. L’extraction de l’harmonique nous a permis de déterminer les propriétés des
trains d’onde.
Nous avons trouvé par exemple que la durée des trains d’onde diminuait lorsque
l’amplitude augmentait. La forme du train d’onde est très proche du profil d’un soliton
partout sauf dans des zones de faible amplitude. Nous avons appelé ces trains d’onde des
solitons pour mettre l’accent sur le fait que la forme des trains est très semblable à celle
des solitons classiques et qu’ils sont localisés dans un intervalle de temps bien défini.
4 Comparaison avec les résultats de Maxworthy.
En vue de comparer les dynamiques spatio-temporelles de solitons se propageant
dans un résonateur et dans un système ouvert, nous avons traçé les trajectoires des points
d’amplitude maximale dans le cas d’une collision entre deux solitons. Ces trajectoires
ont les allures de lignes droites (Fig.5). Les flèches indiquent le sens de déplacement des

Excitation des solitons 117
solitons. La régression linéaire appliquée à chacune des quatre parties des trajectoires
nous a permis de montrer que les vitesses de propagation ne sont pas les mêmes pour les
différentes parties. A un instant quelconque et dans un intervalle d’espace limité iln’ya
qu’unseulmaximum.Maisilapparaît qu’à proximité delarégion de collision, dans une
zone de longueur limitée, les maxima de deux solitons se rencontrant se confondent. Nous
avons appelé la taille de cette zone, longueur de fusion (L m ).
Fig. 5: Trajectoires de solitons s’interceptant dans un résonateur : a ex =11.5 cm, f ex =0.177 Hz
Fig. 6: Trajectoire d’un soliton réfléchi par une paroi verticale. Extrait de Maxworthy [2]
De l’article de Maxworthy [2], nous avons extrait la trajectoire d’un soliton réfléchi
par une paroi verticale (figure 6). D’après dans cet article, la réflexion d’un soliton sur une
paroi verticale peut modéliser une collision frontale de deux solitons, d’égales amplitudes,
se propageant dans des directions opposées. La figure 6 montre qu’il y a un intervalle de
temps fini (appelé temps de résidence à la paroi [3]) pendant lequel le maximum est localisé
sur la paroi. La longueur de fusion et le temps de résidence décroissent avec l’amplitude du
soliton. Pour le cas de la réflexion sur la paroi, le déphasage est déterminé. Dans le cas de
l’interaction de deux solitons dans le résonateur on peut aussi déterminer le déphasage. Il

118 A.B. Ezersky, J. Brossard, F. Marin et I. Mutabazi
est montré, dans [3], que les vitesses de propagation du soliton avant et après la réflexion
sur la paroi sont légèrement différentes. Ce phénomène est interprété par la dissipation
d’énergie durant le processus de collision avec la paroi. Comme on peut le voir sur la
figure 5, les vitesses des solitons en collision dans le résonateur sont aussi différentes mais
le phénomène est beaucoup plus compliqué que dans le cas de la réflexion sur une paroi.
Dans le cas du résonateur, les solitons interagissent avec l’onde monochromatique générée
par le batteur. Cette interaction peut conduire à une amplification du soliton. Dans notre
expérience, la dissipation d’énergie lors de la collision de solitons n’a pas encore été bien
identifiée.
La principale différence entre la collision de deux solitons dans un résonateur et la
réflexion d’un soliton sur une paroi est l’existence d’une longueur de fusion au lieu d’un
temps de résidence à la paroi.
En effet, nous sommes en présence de dynamiques spatio-temporelles différentes :
l’interaction des solitons dans le résonateur correspond àunproblème aux conditions
limites déterminéeparlegénérateur de houle et la paroi. La réflexion d’un soliton sur une
paroi correspond àunproblème aux conditions initiales.
Malgré cette différence, les deux problèmes d’interaction d’ondes non linéaires possèdent
une structure spatio-temporelle presque symétrique.
5 Conlusion
Pour étudier les propriétés des solitons produits dans un cavité résonante en eau
peu profonde, nous avons utilisé la technique des diagrammes spatio-temporels. Plusieurs
régimes d’ondes solitaires ont été misenévidence en fonction de l’amplitude et de la
fréquence d’excitation. Nous nous sommes plus particulièrement intéressés au cas de la
collision de deux solitons, pour lequel nous avons déterminé la longueur de fusion qui joue
le même rôle que le temps de résidence dans le cas de la collision d’un soliton sur une paroi
de Maxworthy.
6 Remerciements
Les auteurs souhaitent remercier le Prof. P.D.Weidman pour les différentes références
sur les solitons. A. B. Ezersky remercie le Ministère Français de la Recherche et des
Nouvelles Technologies, pour lui avoir donné la possibilité, en tant que PAST, d’étudier la
dynamique des ondes non linéaires au Laboratoire de Mécanique, Physique et Géosciences
de l’Université du Havre.
Références
[1] M. Remoissenet, Waves called solitons, Springer, Berlin, Heidelberg, New York (1996).
[2] T.Maxworthy, Experiments on collision between solitary waves J.Fluid Mech., 76,
177(1976).
[3] P.D.Weidman, T.Maxworthy, Experiments on strong interaction between solitary
waves, J.Fluid Mech., 85, part 3, 417(1978)

encontre du non-linéaire 2003 119
Observation d’ondes solitaires dépressions
à la surface d’une fine couche de fluide
Eric Falcon 1 , Claude Laroche 1 et Stéphan Fauve 2
1 Laboratoire de Physique, École Normale Supérieure de Lyon,
UMR 5672, 46, allée d’Italie, 69 007 Lyon, France
2 Laboratoire de Physique Statistique, École Normale Supérieure,
UMR 8550, 24, rue Lhomond, 75 005 Paris, France
Eric.Falcon@ens-lyon.fr - http://www.ens-lyon.fr/∼efalcon
Résumé
Nous présentons l’observation d’ondes solitaires dépressions à la surface d’une
fine couche de mercure lorsque sa profondeur est suffisamment petite devant la longueur
capillaire [1]. Ces ondes, ainsi que les ondes solitaires élévations bien connues,
sont étudiées avec une nouvelle technique de mesure utilisant des capteurs inductifs.
La forme de ces ondes solitaires, leur vitesse dépendant de leur amplitude et leur
taux d’amortissement par viscosité, sont trouvés en bon accord avec les prédictions
théoriques.
Depuislapremière observation d’une onde solitaire à la surface de l’eau par Russell [2], et
son interprétation en utilisant l’équation de Korteweg-de Vries (KdV) [3], les ondes solitaires
élévations en “eau peu profonde” ont été étudiées de façon extensive [4, 5]. Il a aussi
été montré quel’équation de KdV décrit de façon générique différents types de solitons
observés dans diverses situations: en acoustique [6], magneto-acoustique [7], dans les plasmas
ioniques [8], à la suface d’un solide élastique [9], dans les fibres optiques [10], et dans
de l’eau sous la glace [11]. Korteweg et de Vries ont souligné dès leur article pionnier [3] que
les ondes solitaires peuvent impliquer une perturbation localisée soit positive (élévation),
soit négative (dépression) selon le signe de la dispersion. Cependant, jusqu’à présent, la
plupart des observations concernaient les ondes solitaires élévations. Dans le cas des ondes
à la surface des fluides, seules des ondes solitaires élévations peuvent être observées dans
la limite grande longueur d’onde, lorsque la gravité est dominante. A plus faible longueur
d’onde, lorsque la tension de surface n’est plus négligeable, les effets capillaires ont une très
forte influence sur les ondes étendues (observation d’ondes “parasites” ou “ripples” [12]),
mais aussi sur les ondes localisées telles que les ondes solitaires KdV qui sont prédites
devenir des ondes dépressions plutôt qu’élévations. Nous présentons ici la première observation
d’ondes solitaires de type dépression à la surface d’une fine couche de mercure. Au
moyen d’une analyse quantitative précise, nous avons montré qu’elles avaient une vitesse
subsonique dépendante de leur amplitude et qu’elles gardaient une forme auto-similaire
bien qu’étant amorties par dissipation visqueuse.
Le dispositif expérimental consiste en un canal horizontal de PMMA de 1.5 m de
long, et 7 cm de large, rempli de mercure jusqu’à une hauteur h: 2.12 ≤ h ≤ 8.5 mm. h est
mesuré à ± 0.02 mm au moyen d’une jauge de profondeur micrométrique. Les propiétés du
fluide sont : densité ρ =13.5 10 3 kg/m 3 , tension de surface γ =0.484 N/m, et viscosité dynamique
η =1.5 10 −3 Ns/m 2 [13]. Les ondes de surface sont engendrées par une excitation
sinusoïdale ou impulsionnelle résultant du mouvement horizontal d’un pavé rectangulaire
en PTFE, immergé dans le fluide ; et piloté par un vibreur électromagnétique (Brüel &
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

120 E. Falcon, C. Laroche et S. Fauve
Kjær, Type 4809). Les ondes sont engendrées à 1 cm du bord d’une des extrémités du
canal, et le déplacement local du fluide en réponse à cette excitation est mesuré par deux
capteurs inductifs non intrusifs (capteurs de déplacement linéaire à courant de Foucault,
Electro 4953). Les deux capteurs, de 3 mm de diamètre, sont suspendus perpendiculairement
à la surface du fluide au repos. Ils sont placés à 2.5 mm (resp. 0.5 mm) au-dessus
de la surface pour l’étude des ondes solitaires élévations (resp. dépressions). L’échelle de
sensibilité linéaire des capteurs permet une mesure de la distance entre la face du capteur
et la surface de fluide jusqu’à 2.5 mm avec une sensibilité de 5 V/mm. Le premier capteur
est situé à0.1mdugénérateur d’ondes tandis que le second est monté sur un rail mobile
horizontal à une distance x du premier, 0

Observation d’ondes solitaires dépressions 121
0.26
6
c φ
(m/s)
0.24
0.22
0.2
λ (cm)
4
2
0
5 10 15 20 25
Frequency (Hz)
0.18
5 10 15 20 25
Frequency (Hz)
Fig. 1: Vitesse de phase en fonction de la fréquence d’excitation. Mesure de la différence
de phase pour h =3.3 (+), 4.6 (◦) et8(□) mm. Les traits pleins représentent ω(k)/k
obtenu par l’Eq. (1) avec γ =0.4 N/m pour h =3.3 (courbe du bas), 4.6 (milieu) and 8
(haut) mm. Encart: Longueur d’onde vs f avec des mesures stroboscopiques additionnelles
(mêmes symboles que précédemment).
l’approximation grande longueur d’onde ou la limite “eau peu profonde” (k → 0), la vitesse
des ondes linéaires est c s = √ gh et la dispersion est petite. Quand la déflexion de la
surface libre A(x, t) estégalement petite, telle que les effets non-linéaires soient du même
ordre de grandeur que ceux des effets dispersifs, elle est déterminée au premier ordre par
l’équation de Korteweg-de Vries [3]
A t + 3 c s
2 h AA ξ + 1 ( ) 1
2 c sh 2 3 − Bo A ξξξ =0, (2)
dans le référentiel en mouvement, ξ ≡ x − ct. La solution de l’onde solitaire gravitocapillaire
de l’Eq. (2) s’écrit [3]
( )
√
x − ct
A(x, t) =A 0 sech 2 4(1− 3Bo) h
, L ≡
3
(3)
L
9A 0
avec c la vitesse de l’onde solitaire
(
c = c s 1+ A )
0
2h
, (4)
et L l’échelle de longeur de l’onde solitaire. Les Eqs. (3) et (4) montrent qu’il existe une
famille continue de solutions soliton à un paramètre A 0 (l’extremum de l’amplitude de
l’onde). De plus, lorsque 0 ≤ Bo < 1/3, nous obtenons les ondes solitaires élévations (A 0 >
0) observés depuis longtemps, avec des vitesses supersoniques (nombre de Froude F ≡
c/c s > 1) ; tandis que, pour Bo > 1/3, nous devrions trouver des ondes dépressions (A 0 <
0) avec des vitesses subsoniques (F

122 E. Falcon, C. Laroche et S. Fauve
Amplitude (mm)
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
(a)
-0.06
-0.07
-0.08
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Time (s)
0.6 0.8 1
Amplitude (mm)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
(b)
0
-0.1
-0.2 0 0.2 0.4
Time (s)
0.6 0.8 1
Fig. 2: (a) Profil de la surface libre d’une onde solitaire dépression pour h =2.12 mm et
A 0 =0.064 mm, (b) profil d’une onde solitaire élévation pour h =5.6 mm et A 0 =0.57 mm.
Traits pleins : enregistrements temporels du déplacement de la surface du fluide mesurés par
le capteur situé à (a) 300 et (b) 200 mm du générateur d’ondes. Les fronts des impulsions
se trouvent sur le côté gauche. Traits pointillés : profils théoriques des solitons KdV (a)
dépression (resp. (b) élévation) solutions de l’Eq. (3) avec γ =0.4 N/m, h =2.12 (resp.
5.6) mm et A 0 l’amplitude minimum (resp. maximum) de chaque profil expérimental,
conduisant aux paramètres d’onde suivant : Bo=0.67, L =8.2 mm, ɛ =0.03, µ =0.07,
µ/ɛ =2.2 (resp. Bo=0.1, L =9.8 mm, ɛ =0.1, µ =0.32, µ/ɛ =3.2).
expérimentale sur les ondes solitaires pour une épaisseur de la couche de fluide telle que
2.12 ≤ h ≤ 8.5 mm, d’où 0.04 ≤ Bo ≤ 0.67. Pour le mercure (l c =1.74 mm), le cas critique
Bo = 1/3 correspond à h c ≈ 3 mm. Afin d’engendrer des ondes solitaires, nous pilotons le
vibreur de façon impulsionnelle. Pour hh c ), le pavé esttiré vers l’arrière
(resp. poussé vers l’avant) horizontalement, afin d’engendrer une impulsion négative (resp.
positive) sur la surface du fluide. A une distance donnée de cette émission, le profil de la
surface libre est enregistré et montré en Fig. 2a pour une impulsion dépression (h =2.12
mm) et en Fig. 2b pour une impulsion élévation (h =5.6 mm). Les deux enregistrements
sont en bon accord avec les profils d’onde solitaire KdV dépression et élévation donnés
par l’Eq. (3) avec γ =0.4 N/m. Dès lors que A 0 est connu, le profil théorique ainsi que
la vitesse de l’onde solitaire, donnés par les Eqs. (3) et (4), n’impliquent aucun paramètre
ajustable. Les petites oscillations observées avant (resp. après) l’arrivée de l’impulsion sur
la Fig. 2a (resp. 2b) sont assimilées àdesprécurseurs [14] (resp. à la queue radiative de
phonons). Comme indiqué dans la légende de la Fig. 2, ces impulsions isolées impliquent des
paramètres d’onde qui se trouvent dans les gammes de validité nécessaire pour l’obtention
de l’équation KdV, i.e. correspondant à une petite dispersion (µ ≡ (h/L) 2 ≪ 1) et une
petite non linéarité (ɛ ≡|A|/h ≪ 1), les deux étantdumême ordre de grandeur.
A partir du générateur d’ondes et pour h =2.12 mm, nous enregistrons la propagation
d’une impulsion dépression sur des distances allant de 10 à 110 fois sa taille typique
L ≈ 1 cm. Comme le montre la Fig. 3, les profils enregistrés sont en bon accord avec l’onde
solitaire KdV depression tout au long de sa propagation. Il est à noter, cependant, que la
première impulsion enregistrée n’a pas eu suffisamment de temps pour atteindre sa forme
asymptotique, et que pour les derniers enregistrements, l’effet cumulatif de la dissipation
conduit à une légère différence avec le profil KdV. Sur les distances intermédiaires, l’encart
de la Fig. 3 montre qu’exprimés en variables −A/A 0 et tc|A 0 | 1/2 ,touslesrésultats (−) se

Observation d’ondes solitaires dépressions 123
regroupent sur une seule courbe (−−) prédite par l’Eq. (3). Cela signifie que l’impulsion se
propage sans déformation sur une distance grande devant sa taille typique, en très bon accord
avec la solution de l’équation de KdV. La vitesse de l’onde solitaire est mesurée, tout
0
-0.02
Amplitude (mm)
-0.04
-0.06
-0.08
- A / A 0
0
-0.1
-1
-30 -15 0 15 30
t c |A | 1/2 (mm 3/2 )
0
0 2 4 6 8
Time (s)
Fig. 3: Propagation d’une onde solitaire dépression pour h =2.12 mm, enregistrée à des
distances du générateur d’ondes de 0.1 à 1.1 m, par pas de 0.1 m. L’origine des temps
est déclenchée par le générateur d’ondes. Pointillés : profils théoriques des solitons KdV
dépression issus de l’Eq. (3) avec γ =0.4 N/m, h =2.12 mm et A 0 l’amplitude minimum
de chaque profil expérimental. Encart : ondes solitaires dépressions (sans dimension)
expérimentales à 0.2, 0.3, 0.4 et 0.5 m (−) etcomparées àlasolution(−−) de l’Eq. (3).
1.2
1.15
c / (g*h) 1/2
1.1
1.05
1
0.95
-0.1 0 0.1 0.2 0.3
A o
/ h
Fig. 4: Vitesse adimensionnée des impulsions, c/ √ gh vs A 0 /h pour divers paramètres
expérimentaux : Pour les ondes solitaires dépressions, h =2.12 (•) et2.72 (⋆) mm.
Pour les ondes solitaires élévations, h =3.3 (✷); 3.5 (✁), 3.8 (∗), 4.5 (⋆), 4.6 (✸),
5.1(◦), 8.5(▽) mm. (Trait plein de pente 0.5).
au long de sa propagation, en enregistrant le temps de vol entre minima (resp. maxima)
successifs de l’amplitude A 0 pour les impulsions dépressions (resp. élévations). La vitesse
adimensionnée, c/ √ gh (nombre de Froude F ), est montrée sur la Fig. 4 en fonction de
A 0 /h pour divers h correspondant à0.04 ≤ Bo ≤ 0.67. Les symboles pleins (resp. ouverts)
sont relatifs aux impulsions dépressions (resp. élévations). Pour chaque hauteur correspondant
àBo> 1/3, la vitesse de l’onde dépression est subsonique (F

124 E. Falcon, C. Laroche et S. Fauve
est supersonique (F > 1) et décroît avec le temps. Tous ces résultats se regroupent sur
une unique ligne droite prédite par l’Eq. (4) de pente 1/2 en variables sans dimension.
Nous avons présenté l’observation d’ondes de surface solitaires de type dépression dans
la limite “eau peu profonde”. Nous avons trouvé que leur forme et leur vitesse sont en
bon accord avec les solutions ondes solitaires KdV dépressions. Nous soulignons qu’aucun
paramètre ajustable n’a été utilisé lors de cette comparaison. Bien que les ondes solitaires
soient amorties par dissipation visqueuse (cf. [1]), nous avons montré qu’elles gardaient, sur
une longueur de propagation grande devant leur taille typique, une forme auto-similaire
donnée par la famille continue de solution de l’équation KdV. Ce travail se poursuit afin
d’observer une transition entre une onde solitaire élévation vers une de type dépression
lorsque la profondeur du canal diminue avec la distance de propagation.
Références
[1] E. Falcon, C. Laroche and S. Fauve, Phys. Rev. Lett. 89, 204501 (2002); aussi dans
Phys. Rev. Focus, 29 Oct. 2002 (http://focus.aps.org/story/v10/st20); et Pour La
Science, 304, 18, Février 2003.
[2] J. S. Russell, Report on Waves in 1844 British Assn. Adv. Sci. Report, London, (1845)
and in Proc. R. Soc. Edinburgh, p. 319 (1844).
[3] D. J. Korteweg and G. De Vries, Phil. Mag. 39, 422 (1895).
[4] J.L.HammackandH.Segur,J.FluidMech.65, 289 (1974).
[5] A.Bettini,T.A.MinelliandD.Pascoli,Am.J.Phys.51, 977 (1983).
[6] K. A. Naugol’nykh and L. A. Ostrovsky, Nonlinear wave processes in acoustics (Cambridge
University Press, Cambridge, 1998).
[7] T. Kakutani, H. Ono, T. Taniuti and C.-C. Wei, J. Phys. Soc. Japan 24, 1159 (1968);
T. Kakutani and H. Ono, ibid. 26, 1305 (1969).
[8] G. L. Lamb, Elements of soliton theory (John Wiley, New York, 1980).
[9] A. M. Lomonosov, P. Hess and A. P. Mayer, Phys. Rev. Lett. 88, 076104 (2002).
[10] Y. S. Kivshar, Phys. Rev. A 42, 1757 (1990).
[11] T. Takizawa, J. Geophys. Res. 93, 5100 (1988), E. Părău and F. Dias, J. Fluid Mech.
460, 281 (2002).
[12] A. V. Fedorov, W. K. Melville and A. Rozenberg, Phys. Fluids 10, 1315 (1998); J. H.
Chang, R. N. Wagner and H. C. Yuen, J. Fluid Mech. 86, 401 (1978); G. Kuwabara,
T. Hasegawa and K. Kono, Am. J. Phys. 54, 1002 (1986).
[13] Handbook of Chemistry and Physics, D.R.Lide Ed., CRC Press, 80th Ed. (1999).
[14] E. Falcon, C. Laroche and S. Fauve submitted to Phys. Rev. Lett.
[15] D. M. Henderson and R. C. Lee, Phys. Fluids 29, 619 (1986).
[16] T. B. Benjamin, Quarterly of Applied Mathematics 40, 231 (1982).
[17] T. Kawahara, J. Phys. Soc. Japan 33, 260 (1972); J. K. Hunter and J.-M. Vanden-
Broeck, J. Fluid Mech. 134, 205 (1983); J. A. Zufiria, J. Fluid Mech. 184, 183 (1987);
E. S. Belinov, R. Grimshaw and E. P. Kuznetsova, Physica D 69, 270 (1993); A. R.
Champneys, J.-M. Vanden-Broeck and G. J. Lord, J. Fluid Mech. 454, 403 (2002).
[18] M. Z. Gak and E. Z. Gak in Nonlinear Oscillations, Waves and Vortices
in Fluids International Symposium (CSA, St-Petersburg, 1994), téléchargeable à
http://www.csa.ru/ftp/inst/ezgak.doc
[19] M. S. Longuet-Higgins, J. Fluid Mech. 200, 451 (1989).
[20] M. S. Longuet-Higgins and X. Zhang, Phys. Fluids 9, 1963 (1997); X. Zhang, J. Fluid
Mech. 289, 51 (1995).

encontre du non-linéaire 2003 125
Oscillations chaotiques de la phase optique pour la sécurisation des
télécommunications optiques haut-débit
É. Genin, L. Larger et J.P. Goedgebuer
Laboratoire d’Optique P.M. Duffieux, UMR 6603
Université de Franche-Comté,
16, route de Gray, 25030 Besançon
eric.genin@univ-fcomte.fr
Résumé
Dans cet article, on présente un générateur de chaos très large bande dont la variable
dynamique est la phase optique. L’étude théorique et expérimentale du système
est exposée. On montre que dans ce contexte de télécommunication sécurisée, ce montage
permet de masquer des signaux sur une bande de fréquence atteignant plusieurs
gigahertz.
1 Introduction
La croissance énorme de la quantité d’informations transmises via les réseaux de fibres
optiques pose à l’heure actuelle des problèmes de confidentialité. Les systèmes conventionnels
de cryptage de l’information sont basés sur des algorithmes informatiques coûteux en
temps de traitement des données (par exemple la méthode de cryptage àclé publique).
Une alternative à ces méthodes de cryptage est apparue au début des années 90 lorsque
Pecora et Carroll [1] ont montré une possible synchronisation de deux générateurs de
signaux chaotiques. Ce succès a permis d’entrevoir l’existence d’une nouvelle méthode
de cryptage en temps réel, le cryptage par chaos. A la fin des années 90, les premiers
systèmes de cryptage par chaos optique sont apparus [2, 3]. Néanmoins ces systèmes basés
sur des dynamiques non-linéaires à retard sont actuellement limités en bande passante
et ne peuvent donc pas être utilisés dans les lignes standards de transmission par fibre
optique à2,5Gbit/s.
Le générateur que nous proposons ici permet de masquer des signaux de plusieurs Gbit/s
voire la dizaine de Gbit/s. Ilestégalement basé sur une dynamique non-linéaire à retard
et utilise un modulateur de phase conjugué à une cavité en anneau fibrée pour réaliser la
non-linéarité et le retard temporel T. La dynamique est limitée par un filtre passe-bande
constitué d’une chaîne d’amplification et de filtrage large bande Radio-Fréquence (RF).
Le signal ainsi généré occupe un spectre qui s’étale sur plusieurs GHz.
On décrira tout d’abord le générateur de chaos et le modèle mathématique qui lui est
associé. À partir de ce modèle, on montrera la génération d’un hyperchaos. Puis, on exposera
quelques résultats expérimentaux qui seront comparés aux résultats numériques.
2 Principe
Le système opto-électronique non-linéaire à retard est constitué par les composants
optiques et électroniques suivants (cf. figure 1). Un modulateur de phase LiNbO 3 rapide
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

126 E. Genin, L. Larger, J.P. Goedgebuer
Fig. 1: Schémadel’expérience.
(bande passante : 12,5 GHz, V π ≃ 5V)estéclairé par une source laser ultra-stable à
1550 nm. Le champ électrique de sortie modulé en phase (envoyé dans la ligne de transmission
au moyen d’un coupleur 1x2) est injecté dans une cavité en anneau fibrée dont
l’intensité desortieestdétectée par une photodiode rapide. Ce signal électronique est alors
détecté, amplifié (ampli RF avec une très large bande passante de 30 kHz à18GHz) puis
appliqué surl’électrode de modulation du modulateur. Le message à masquer est ajouté
au signal chaotique juste avant l’électrode de modulation. La grande sensibilité delacavité
en anneau (1,25 mètre de long) nécessite de recourir à une source laser ultra-stable
(fluctuations autour de la longueur d’onde centrale inférieures à1MHz, largeur de raie
inférieure à 100 kHz [4]). Le rôle de la cavité en anneau fibrée est double, elle permet
de générer un retard temporel T ainsi qu’une fonction non-linéaire due aux interférences
apparaissant entre l’onde lumineuse en entrée modulée en phase et l’onde retardée. Le
système évolue alors dans un régime chaotique lorsque le gain de la boucle de rétroaction
est au-dessus d’un certain niveau. Le signal optique de sortie du générateur est alors un
signal chaotiquement modulé en phase et ne présente aucune modulation d’intensité.
3 Théorie et modélisation
Le modèle dynamique régissant les fluctuations de phase va être donné en tenant
compte de la description expérimentale faite précédemment (expérience décrite sur la figure
1). Le système utilise un modulateur de phase comme source accordable entre la variable
physique appelée ”tension électro-optique d’entrée” et la ”phase optique” du faisceau de
sortie (φ(t) =πV (t)/V π ). La non-linéaritéestréalisée au moyen d’interférences entre l’onde
modulée en phase et l’onde retardée par la cavité en anneau (Le retard T vaut nL/c, où
L est la longueur de la cavité en anneau et n, son indice de réfraction).
Rq: Les équations données dans la suite ne tiennent pas compte des pertes apparaissant
dans les différents composants.
On suppose que la source laser est monomode à1,55µm avec une stabilité de la longueur
d’onde centrale suffisante afin que les interférences qui apparaissent dans la cavité en
anneau sont uniquement liées aux modulations de phase du modulateur et pas à une
dérive de longueur d’onde du laser. Ainsi, on peut exprimer l’intensité détectée en 4, par :
|E 4 (t)| 2 = 1 2
[
β + |E 4 (t − T )| 2 − 2 √ ]
β|E 4 (t − T )| sin (φ(t) − ϕ 4 (t − T ) − φ L )
(1)

Oscillations chaotiques de la phase optique 127
et
|E 3 (t)| 2 = 1 2
[
β + |E 4 (t − T )| 2 +2 √ ]
β|E 4 (t − T )| sin (φ(t) − ϕ 4 (t − T ) − φ L )
(2)
où |E i | est l’amplitude du champ électrique en i, β la puissance en sortie du laser, φ(t) la
phase induite électro-optiquement par le modulateur, ϕ 4 (t − T ) la phase de l’onde en 4,
et φ L le déphasage dû à la propagation dans la boucle optique fibrée.
On peut donner l’expression de ϕ 3 (t) (phase au niveau du port 3) :
[√
β/2sin(φ(t)) + |E4 (t − T )|/ √ ]
2 cos(φ L + ϕ 4 (t − T ))
ϕ 3 (t) = arctan √
β/2 cos(φ(t)) −|E4 (t − T )|/ √ (3)
2sin(φ L + ϕ 4 (t − T ))
puis, ϕ 4 (t) =π/2+ϕ 3 (t) puisque les ondes sortant des ports 3 et 4 sont déphasées de π/2
dans le coupleur 2x2.
Le filtre passe-bande définit la dynamique du système. En supposant que celui-ci est
modélisé par un filtre passe-haut de fréquence de coupure f 1 = 1/(2πτ 1 )etunfiltre
passe-bas de fréquence de coupure f 2 =1/(2πτ 2 ) couplés. On peut alors écrire un système
de deux équations différentielles qui décrivent le comportement dynamique du générateur
de chaos:
dφ
= − τ 1 + τ 2
φ(t) − π U(t)+
πG P 3 (4)
dt τ 1 τ 2 V π τ 1 τ 2 V π τ 1 τ 2
dU
= V π
φ(t) (5)
dt π
où
τ 1 , τ 2 : constantes de temps relatives au filtre passe-bande,
T : retard temporel,
V π : tension demi-onde,
G : gain global du feedback opto-électronique,
P 3 ∝|E 3 (t − T )| 2
L’équation (4) est une équation différentielle à retard (EDR), alors que l’équation (5) est
une équation différentielle ordinaire (EDO). A partir de ce modèle, on a pu effectuer des
simulations numériques afin d’étudier le comportement dynamique de la phase optique en
fonction de la valeur des différents paramètres du système (et plus particulièrement G qui
est le paramètre de bifurcation, représentant le poids de la non-linéarité danslesystème
dynamique).
4 Simulations numériques
Dans le but d’intégrer le système d’équations différentielles (4) et (5) et trouver le
comportement temporel de φ(t), on utilise le schéma d’intégration de Runge-Kutta à
l’ordre 4 avec un pas constant. Un diagramme de bifurcation numérique est présenté sur
la figure 2.(a). Il a été obtenu pour λ=1549,9 nm, V π =5V et β=1 mW. L’axe des abscisses
représente le paramètre de bifurcation G et l’axe des ordonnées, pour une valeur de G,
la densité de probabilité durégime dynamique codée en niveau de gris. Pour de faibles
valeurs de G, unrégime de point fixe (G < 2000) est observé. Pour G = 2000, il y a
apparition d’un régime périodique débutant une cascade par dédoublement de période. Le
doublement de période suivant apparaît pour G = 2700 environ. Les régimes chaotiques
(qui nous intéressent dans le cadre du cryptage par chaos) interviennent à partir de G =
3500 (une série chaotique correspondante est représentée à la figure 2.(b)).

128 E. Genin, L. Larger, J.P. Goedgebuer
(a)
(b)
Fig. 2: Résultats numériques. (a). Diagramme de bifurcation numérique ; (b). Série temporelle
obtenue pour G=4000.
5 Résultats expérimentaux
Le générateur de chaos en phase précédemment modélisé etsimuléaété mis en oeuvre
expérimentalement. Plusieurs comportements dynamiques ont été misenévidence pour
différentes valeurs du gain de la rétroaction optoélectronique (paramètre de bifurcation
G).
5.1 Configuration
Les investigations ont été effectuées au moyen de composants à relativement large
bande passante, néanmoins il serait possible d’atteindre une plus large gamme de fréquence
traitée en utilisant un coupleur RF de plus large bande (celui actuellement utilisé a une
fréquence de coupure haute d’environ 1 GHz).
Dans le cas présent, on a utilisé un modulateur de phase de bande passante 12,5 GHz.
Enfait,legainglobaldelabouclederétroaction est relié àdifférents paramètres expérimentaux.
Il est inversement proportionnel à V π (ici V π =5 V, cette valeur doit être aussi
petite que possible afin d’atteindre un fort gain, et d’avoir ainsi un chaos très ”complexe”),
proportionnel au gain de l’ampli RF (environ 30 dB maximum), et aussi proportionnel
à la puissance du laser (2 mW). Ces valeurs de paramètres nous permettent,
expérimentalement, de balayer le même domaine de valeur pour G que dans le cas de la
simulation numérique. Ceci a été réalisé en faisant varier le gain de l’ampli RF, au moyen
de la tension d’accord V G .
Le signal observé expérimentalement correspond à la sortie de la photodiode visualisé
grâce à un coupleur RF 50/50.

Oscillations chaotiques de la phase optique 129
5.2 Résultats
Diagramme de bifurcation
On présente maintenant les résultats expérimentaux obtenus avec le générateur de
chaos en phase. La figure 3 représente un diagramme de bifurcation expérimental avec V G ,
le paramètre de bifurcation (qui est la tension de commande du gain du photodétecteur
rapide (V G = G/1000)). La tension V G varie entre 0 et 5,5 V comme indiqué surle
Fig. 3: Diagramme de bifurcation expérimental.
diagramme. Pour V G compris entre 0 et 2 volts, on a un régime de point fixe. Entre 2 et
2,7 volts, on est en présence d’un régime périodique de période 2. A partir de 2,7 volts, un
doublement de période apparaît puis d’un régime chaotique pour V G supérieur à 3,5 volts.
On remarque une bonne correspondance entre ce diagramme et celui de la figure 2.(a).
Série temporelle chaotique et représentation spectrale
Dans cette partie, on présente une série temporelle chaotique sur la figure 4.(a) ainsi
que le spectre correspondant sur la figure 4.(b). Cette série a été obtenue pour une tension
de commande du gain de l’amplificateur RF intégré au photodétecteur de V G =11, 16V .
La puissance en sortie du dispositif (laser + isolateur optique) est d’environ 1 mW et la
longueur d’onde d’émission du laser de 1549,9 nm. Ce régime correspond au comportement
chaotique typique dans lesquels on cache le signal à transmettre. Dans la pratique,
on ajoute un message àlatensionélectro-optique de commande du modulateur variant
chaotiquement au moyen d’un coupleur RF (on peut noter que l’amplitude du message est
environ 10 fois plus faible que celle du signal chaotique). Dans les séries temporelles, on
peut voir, à partir des échelles de temps typiques des fluctuations du signal chaotique (de
l’ordre de quelques nanosecondes), qu’il est possible de cacher un message dont le spectre
s’étale sur une bande de 1 GHz. Cette remarque est confirmée par le spectre du signal
chaotique représenté sur la figure 4.(b) où un niveau de bruit (de type bruit blanc) important
est mesuré. On remarque que la bande de fréquences traitées est limitée à1GHz qui
correspond à la bande passante du diviseur de puissance RF utilisé. Avec un diviseur de
puissance de plus large bande, la bande passante du spectre chaotique doit pouvoir être
étendue à12GHz (qui correspond àlafréquence de coupure haute du photodétecteur
rapide utilisé).

130 E. Genin, L. Larger, J.P. Goedgebuer
(a)
(b)
Fig. 4: Résultats expérimentaux. a. Série chaotique; b. Spectre.
Les trous apparaissant dans le spectre sont dûs àlacavité en anneau fibrée qui est un
filtre fréquentiel réjecteur de bande par rapport à la modulation de phase RF.
6 Conclusion
On a montré que le système proposé permet de générer un hyperchaos susceptible
de masquer des signaux allant jusqu’à 1GHz environ. Mais en utilisant des composants
appropriés, il est possible de traiter un bande de fréquence allant jusqu’à la dizaine de gigahertz.
Ceci laisse des perspectives très intéressantes quant àlaréalisation expérimentale
d’un système de cryptage par chaos très haut-débit, adapté auxtélécommunications actuelles.
La poursuite du travail va consister en la mise au point d’un générateur jumeau qui servira
de récepteur afin de réaliser le système global de cryptage par chaos.
Références
[1] L.M. Pecora, T.L. Carroll, Synchronization in chaotic systems, Phys. Rev. Lett., 64,
821 (1990).
[2] J.P. Goedgebuer, L. Larger, H. Porte, Optical cryptosystem based on synchronization
of hyperchaos generated by a delayed feedback tunable laser diode, Phys. Rev. Lett.,
80, 2249 (1998).
[3] G. D. VanWiggeren, R. Roy, Optical communication with chaotic waveforms, Phys.
Rev. Lett., 81, 3547 (1998).
[4] E. Genin, L. Larger, J.P. Goedgebuer, Mise en oeuvre d’un générateur de chaos
opto-électronique haute fréquence pour les télécommunications optiques sécurisées,
Compte-rendus de la 5ème rencontre du non-linéaire, 91-96(2002).

encontre du non-linéaire 2003 131
Instabilité de flambement lors du séchage de gouttes polymères
Y. Gorand, L. Pauchard, G. Calligari, J.P. Hulin, C. Allain
Laboratoire FAST, Bât. 502, Campus Universitaire d’Orsay
gorand@fast.u-psud.fr
Résumé
Lors du séchage de gouttes de solutions polymères concentrées, nous avons montré
que, pour certaines conditions physicochimiques, il se forme à la surface de la goutte
une ”croûte” vitreuse rigide n’empêchant toutefois pas l’évaporation. Cette croûte,
sous l’effet de la diminution de volume qu’elle enferme, va subir une instabilité de
flambement. Dans le présent travail nous montrons que, suivant les conditions initiales
d’angle de contact, l’instabilité primaire observée correspond à deux des modes
caractéristiques du flambement d’une coque.
1 Introduction
Le séchage d’une goutte déposée sur un substrat est un phénomène banal de la vie
courante (gouttes sur une vitre, séchage de la vaisselle. . . ) mais c’est aussi un problème
très important du point de vue technologique (gouttelettes d’encre, peinture en aéros. . . ).
Des comportements très différents sont observés lors du séchage suivant la nature des
constituants, leur concentration, les propriétés de mouillage du substrat, etc. Dans certains
cas, la forme finale de la goutte est simplement une auréole ou une ”crêpe” aplatie mais
dans d’autres cas elle peut adopter, comme nous le montrons ici, la forme d’un ”chapeau”
plus ou moins effondré (Fig. 1).
Fig. 1: Images en vue de profil de gouttes en fin de séchage. La concentration initiale en polymère
est de 0.40g/g pour chacune des gouttes. L’angle de contact initial θ 0 est de 25 ◦ (a), 40 ◦ (b) et
70 ◦ (c). Le diamètre de la base de contact de chaque goutte est de 4mm.
Plusieurs phénomènes interviennent dans la compréhension de cette évolution complexe
:
- l’accrochage de la ligne triple : dès le début du séchage les espèces non volatiles se
déposent sur le substrat au voisinage de la ligne triple ce qui conduit à un ancrage fort de
celle-ci. Aussi la goutte s’évapore avec une surface de contact constante avec le substrat
[1, 3].
- la formation d’une ”croûte” plus ou moins rigide ou fragile à la surface de la goutte :
en effet l’accumulation des espèces non volatiles au voisinage de la surface conduit àdes
variations très importantes des propriétés rhéologiques locales. Le milieu initialement fluide
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

132 Y. Gorand, L. Pauchard, G. Calligari, J.P. Hulin, C. Allain
peut devenir vitreux ou gélifié sous l’effet de l’augmentation de la concentration. Dans ce
dernier cas, la ”croûte” étant fragile, des fractures apparaissent sous l’effet du séchage
[2, 6].
-laprésence d’instabilités hydrodynamiques ou mécaniques : des instabilités hydrodynamiques
peuvent être induites par des gradients de concentration et de température
(l’évaporation du solvant refroidit la surface de la goutte). Ces instabilités de type Rayleigh-
BénardouBénard-Marangoni vont modifier la forme de la goutte [7, 10]. Par ailleurs
lorsqu’il se forme une ”croûte” rigide (gélifiée ou vitreuse) mais assez perméable pour permettre
l’évaporation, la surface de la goutte se comporte comme une coque enfermant un
volume qui diminue. Il en résulte une instabilité de flambement qui modifie complètement
la forme de la goutte [5] [11] [12]. Nous nous intéressons ici à des conditions expérimentales
telles que le système est stable vis-à-vis des instabilités hydrodynamiques mais instables
vis-à-vis de l’instabilité de flambement.
2 Système et méthodes expérimentales
2.1 Solutions − transition vitreuse
Les solutions utilisées sont constituées de Dextran, un polysaccharide non-ionique,
dans de l’eau pure (qualité Milli-Ro). Deux échantillons de Dextran (Sigma - Aldrich)
de masse molaire différente ont été utilisés : 77 · 10 3 g/mol (environ 200 monomères) et
37.5 · 10 3 g/mol ; aucune différence de comportement n’a été observée entre les deux. La
température de transition vitreuse du polymère pur (mesuré par DSC) est de l’ordre
de 220 ◦ C. Nous avons fait varier la fraction massique en polymère ω p entre 0.20g/g et
0.40g/g ; dans tous les cas la concentration initiale est nettement supérieure à la concentration
d’enchevêtrement des chaînes polymères − les solutions appartiennent au domaine
concentré.
La masse volumique du Dextran, 0.61g/cm 3 , est nettement inférieure à celle de l’eau
donc le système est dans une configuration stable par rapport à l’instabilité gravitationnelle
solutale. Par ailleurs la tension de surface des solutions Dextran/eau décroît avec
la concentration en polymère et donc le système est stable par rapport à l’instabilité de
surface (Bénard Marangoni) solutale.
La température de transition vitreuse d’une solution de polymère varie avec la concentration
en polymère [13]. En effet, lorsque ω p est faible, la température de transition vitreuse
de la solution est proche de celle du solvant donc très inférieure àlatempérature
ambiante. Au contraire, lorsque ω p est grand, elle est de l’ordre de celle du polymère
pur (ici de l’ordre de 220 ◦ ). Aussi pour une température d’expérience fixée, de l’ordre de
20 ◦ , il existe une concentration de transition ω pg telle que pour ω p ω pg elle est vitreuse. Au cours du séchage, la concentration
en polymère augmentant depuis sa valeur initiale jusqu’à 100% de polymère, la solution
initialement fluide devient vitreuse.
2.2 Géométrie d’étude
La géométrie de goutte posée sur un substrat présente le double avantage d’être
facile àréaliser et de donner une forme axisymétrique simple de calotte sphérique. En
pratique, des gouttes de volumes de 3mm 3 sont déposées à l’aide d’une micropipette sur
des lames de microscope (Menzel-Gläser) préalablement nettoyées. La procédure utilisée

Instabilité induite par séchage 133
pour le nettoyage (eau pure - éthanol - séchage à 100 ◦ C) nous permet en outre de faire
varier les conditions de mouillage de la solution sur le substrat et donc de faire varier
l’angle de contact initial de la goutte. Un montage comprenant deux caméras permet
l’observation video de la goutte en vue de dessus et en vue latérale. Les vues de dessus
nous permettent de vérifier l’axisymétrie de la goutte àl’état initial (juste après dépôt) et
au cours de son évolution. Les vues latérales permettent d’enregistrer le profil de la goutte ;
un soin particulier est apporté auréglage optique afin de minimiser les effets de parallaxe.
L’analyse du profil de la goutte permet de déterminer l’angle de contact θ 0 , le rayon initial
de la base R 0 qui reste constant tout au long du séchage et la hauteur de l’apex H 0 . Pour
des temps ultérieurs l’enregistrement du profil permet de suivre l’évolution de la forme de
la goutte et de mesurer la variation de l’apex au cours du temps. L’ensemble du montage
est placé dans une enceinte permettant de faire varier l’hygrométrie entre 20% et 80%.
2.3 Profilométrie
Afin d’obtenir une information plus complète sur la forme de la goutte àl’état final
(sec), nous avons réalisé des topographies détaillées à l’aide d’un profilomètre construit
au laboratoire [14]. La goutte est explorée à la fois dans les directions X et Y du plan
du substrat grâce àdesdéplacements pilotés par ordinateur avec une résolution de 10µm.
Pour chaque position X, Y la hauteur de la goutte est mesurée en déterminant la position
selon Z d’une aiguille lorsque celle-ci est amenée à son contact. En pratique une aiguille très
fine est attachée à un capteur 3 points qui déclenche pour une force supérieure à5· 10 −2 N
et qui est déplacé verticalement par un moteur pas à pas piloté. La résolution verticale
et les tests de reproductibilité ont montré que la précision sur la mesure de h(X, Y )est
de ±1µm. Nous avons vérifié par observation optique de la surface de la goutte après
passage au profilomètre que, lors de chaque point de mesure, l’enfoncement de l’aiguille
dans le polymère vitreux était très faible (comparable au rayon de courbure de l’aiguille
de contact). Par ailleurs nous avons confronté les profils obtenus par profilométrie et par
vision latérale pour une direction donnée. Un très bon accord a été trouvé.
3 Résultats et discussion
3.1 Influence de l’angle de contact
Fig. 2: Superposition des profils mesurés au cours du temps pour 3 gouttes. La durée séparant
chaque profils d’une même expérience est de 300 sec.
La Figure 2 présente les profils mesurés àdifférents instants au cours du séchage pour
3 gouttes d’angle de contact différent : θ 0 =25 ◦ ,40 ◦ ,70 ◦ ; la concentration en polymère et

134 Y. Gorand, L. Pauchard, G. Calligari, J.P. Hulin, C. Allain
Fig. 3: Diagramme spatio-temporel décrivant l’évolution de l’apex en fonction du temps pour les
3 gouttes de la figure 1.
l’hygrométrie sont les mêmes : ω p =0.40g/g, RH = 50%. Les profils ont été adimensionnés
dans la direction horizontale par le rayon initial de la base R 0 et dans la direction verticale
par la hauteur initiale de l’apex H 0 . Des comportements très différents sont observés :
- dans le cas d’un angle de contact faible (θ 0 = 25 ◦ , Figure 2-a), la goutte s’aplatit
H
régulièrement,
H 0
décroît continûment avec le temps (cf. Figure 3) et àl’état final la
goutte a la forme d’une ”crêpe” (cf. Figure 1-a).
- pour un angle de contact intermédiaire (θ 0 =40 ◦ , Figure 2-b), la goutte au cours
d’une première période s’aplatit comme dans le cas précédent, puis brusquement son sommet
remonte (cf. Figure 3) et àl’état final elle prend la forme d’un ”chapeau mexicain”
(cf. Figures 1-b).
- dans le cas d’angles très grands (θ 0 =70 ◦ , Figure 2-c), au cours d’une première
période, de la même manière que précédemment, la goutte s’aplatit puis brusquement son
sommet se met à descendre plus rapidement (cf. Figure 3) et disparaît derrière une ligne
horizontale. A l’état final la goutte forme une ”cuvette” avec un creux au centre limité par
un bord circulaire horizontal. Le creux ne peut bien sûr pas être observé envuelatérale
mais il est clairement mis en évidence en profilométrie (cf. Figures 1-c et 4). Notons que
sur la figure 2-c nous avons reporté en plus des profils enregistrés en vue latérale le profil
correspondant mesuré en profilométrie : les deux déterminations montrent un excellent
accord.
3.2 Conditions d’instabilité
Les résultats précédents montrent l’existence de deux situations suivant l’angle de
contact initial : si θ 0 est inférieur à une valeur seuil θ 0C qui, pour les conditions expérimentales
étudiées ici, vaut θ 0C =35 ◦ , la forme de la goutte varie de manière continue. Si au
contraire θ 0 est supérieur à θ 0C l’évolution de la forme de la goutte présente un changement
de régime ; en particulier au bout du temps que nous noterons t B dans la suite l’évolution
de l’apex diffère du cas précédent (cf. Figure 3). Ce changement de régime est associé à

Instabilité induite par séchage 135
une instabilité de flambement. En effet un test simple qui consiste à chercher à pipetter
la goutte montre que, tant que t

136 Y. Gorand, L. Pauchard, G. Calligari, J.P. Hulin, C. Allain
Fig. 4: Profil en trois dimensions effectué àlafinduséchage pour la goutte d’angle de contact
initial θ 0 =70 ◦ (la dimension verticale a été dilaté pour une meilleure observation).
Références
[1] E. Adachi, A. S. Dimitrov, K. Nagayama, Langmuir, 11, 1057 (1995),
[2] F. Parisse, C. Allain, J. Phys. II, 6, 111 (1996),
[3] R. D. Deegan, O. Bakajin, T. F. Dupont, G. Huber, S. R. Nagel, T. A. Witten,
Nature, 389, 827 (1997),
[4] F. Parisse, C. Allain, Physics of Fluids, 8, 9 (1996),
[5] L. Pauchard, F. Parisse, C. Allain, Phys. Rev. E., 59, 3737 (1999),
[6] C. C. Annarelli, J. Fornazero, J. Bert, J. Colombani, Eur. Phys. J., E 5, 599 (2001),
[7] H. Wang, Z. Wang, L. Huang, A. Mitra, Y. Yan, Langmuir, 17, 2572 (2001),
[8] Z.Mitov,E.Kumachva,Phys.Rev.Lett.,81, 3427 (1998),
[9] P. G. de Gennes, Eur. Phys. J., E 6, 421 (2001),
[10] V. X. Nguyen, K. J. Stebe, Phys. Rev. Lett., 88, 164501 (2002),
[11] L. Pauchard, C. Allain, àparaître dans C.R.A.S. série VI ”Hydrodynamics and Physics
of Soft Objects”,
[12] L. Pauchard, C. Allain, soumis à Euro. Phys. Lett.,
[13] D. J. Plazek, K. L. Ngai, The glass temperature, in Physical Properties of Polymer
Handbook, Part 12 AIP Press (1996).
[14] J. M. Boffa, C. Allain and J. P. Hulin, Eur. Phys. J., AP 2, 281 (1998),
[15] S. Timoshenko, J. M. Gere, Theory of Elastic Stability (2nd ed. New York, McGraw-
Hill) (1961).

encontre du non-linéaire 2003 137
Verrouillage en phase de paires de solitons optiques dans un laser àfibre
Ph. Grelu, F. Belhache et J.M. Soto-Crespo(*)
Laboratoire de Physique de l’Université de Bourgogne, UMR 5027,
9, Avenue A. Savary, 21078 Dijon Cedex.
(*) Instituto de Optica, C.S.I.C., Serrano 121, 28006 Madrid.
Philippe.Grelu@u-bourgogne.fr
Résumé
Nous présentons un modéle numérique de laser à fibre à blocage de modes passif,
qui permet de simuler la formation d’états liés constitués de paires de solitons
déphasés de ± 90 degrés. Ces comportements dynamiques obtenus numériquement
sont en accord avec nos résultats expérimentaux précédents. Le modéle numérique
proposé indique également que les deux solitons ne se verrouillent en phase que pour
certaines séparations, ces dernières formant un ensemble discret.
1 Fonctionnement multi-impulsionnel en cavité
1.1 Introduction
Lasers à fibre à modes bloqués et lignes de transmisssion par fibre optique sont
des exemples de systèmes dynamiques dissipatifs, qui acceptent des solutions sous la
forme d’impulsions stables ou de trains d’impulsions [1, 2]. Les comportements multiimpulsionnels
ont été observés à plusieurs reprises dans les lasers à blocage de modes
passifs, plus particuliérement avec des lasers à fibres optiques [3, 4, 5, 6, 7]. Nous avons
montré récemment la possibilité d’obtenir expérimentalement des états liés comportant
deux impulsions verrouillées en phase, que l’on peut appeler paire de solitons dissipatifs,
dans un laser à fibre dopée erbium à blocage de modes passif [5, 6]. Sur la base de l’analyse
de stabilité del’équation de Ginzbürg-Landau quintique complexe, des paires de solitons
ayant une difference de phase de ± 90 degrés avaient été prédites [1], et il nous semblait
avoir obtenu expérimentalement ce type de solution stable. Cependant, l’équation
de Ginzbürg-Landau quintique complexe ne reste qu’un modèle relativement éloigné du
systéme expérimental, aussi nous avons choisi ici de développer un modèle numérique
reprenant l’essentiel des ”ingrédients” physiques intervenant dans notre laser àfibreà
blocage de modes passif, dont nous rappelons la constitution dans les lignes qui suivent.
1.2 Laser àfibreà blocage de modes passif
La partie amplificatrice du laser est constituée d’une longueur de 1,5 mètre de fibre
dopée erbium, pompée autour de 980 nm par un système de diodes laser monomodes
multiplexées, permettant d’obtenir une puissance de pompage allant jusqu’à 400 mW. La
fibre dopée se situe en régime de dispersion normal (D=-40 ps/nm/km) à la longueur
d’onde d’émission du laser, voisine de 1535 nm. Le cavité laser est en anneau, aussi la
fibre dopée est-elle suivie d’un isolateur optique permettant d’assurer le fonctionnement
unidirectionnel du laser. Après l’isolateur se trouve une longueur de 4,5 mètres de fibre
télécom standard, donc située en régime de dispersion anormal (D=+17 ps/nm/km), dont
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

138 Ph. Grelu, F. Belhache et J.M. Soto-Crespo
le rôle consiste d’une part à compenser la dispersion normale de la fibre dopée, et d’autre
part à accumuler davantage d’effet non-linéaire sur un tour de cavité. Le blocage de mode
repose sur l’évolution non-linéaire de polarisation : l’etat de polarisation àlasortiede
la fibre télécom dépend de l’intensité crête. En plaant un jeu de lames quart d’onde
et demi-onde suivies d’un cube séparateur de polarisation, à la suite duquel l’une des
composantes de polarisation est réinjectée dans la fibre dopée, on peut sélectionner un
mode de fonctionnement laser favorisant les intensités crêtes élevées. C’est ainsi que le
blocage de modes opère, et produit des impulsions dont la durée est comprise entre 200
et 600 femtosecondes. En augmentant la puissance de pompage, on observe des régimes
multi-impulsionnels pouvant comporter jusqu’à une vingtaine d’impulsions coexistant dans
la cavité. Nous nous sommes intéressés plus particuliérement aux états doublets, c’est-àdire
comportant deux impulsions qui interagissent entre elles. C’est afin de décrire leur
dynamique que nous avons développé lemodèle suivant.
2 Modélisation numérique du laser àfibre
Les fibres optiques utilisées présentent une faible biréfringence linéaire (longueur de
battement de l’ordre du mètre), qui intervient aussi dans le mécanisme de blocage de modes
passif. Le blocage de modes passif se produit au moyen de l’évolution non-linéaire de la
polarisation, suivie d’une discrimination intracavité desétats de polarisation, au moyen
d’un élément polariseur. Cependant, afin de simplifier la modélisation et d’augmenter la
rapidité de calcul, tous les effets de biréfringence linéaire sont regroupés dans la fibre
passive.
La modélisation de notre cavité laser se compose des éléments suivants disposés en
série :
– une fibre dopée erbium possédant une dispersion normale, une non-linéarité Kerr,
ainsi qu’un gain laser saturable et de bande passante donnée. La propagation est
modélisée par une équation scalaire.
– une fibre passive (fibre télécom standard) caractérisée par une dispersion anormale,
une biréfringence linéaire et une non-linéarité Kerr. La propagation est modélisée
par deux équations couplées, représentant les deux composantes de polarisation orthogonales
du champ. Le passage entre le champ scalaire et le champ vectoriel se
fait en attribuant une polarisation circulaire à l’entrée de la fibre passive, de même
énergie que celle du champ scalaire obtenu àlafindelafibredopée.
– un polariseur dont l’axe est orientable par rapport aux axes neutres de la fibre passive.
Ce polariseur introduit des pertes sélectives en fonction de l’état de polarisation
obtenu à la fin de la propagation dans la fibre passive. C’est en orientant précisément
ce polariseur que l’on obtient le blocage de modes.
Le champ transmis par le polariseur est réinjecté dans la fibre dopée. On peut ainsi propager
le champ sur un certain nombre de tours de cavité, avant d’observer la formation d’impulsions
et de suivre leurs interactions. Notons que l’on introduit aussi des pertes linéaires
locales dans la cavité, qui représentent les pertes réelles dues aux soudures entre fibres,
au passage dans l’isolateur optique et, concernant la partie à l’air libre, au découplage et
recouplage du champ dans la fibre.

Modélisation numérique 139
La propagation du champ dans la fibre dopée erbium est modélisée par l’équation
suivante :
iE z + D 2 E tt +Γ| E | 2 E = ig(Q)E + iβE tt , (1)
où E représente l’enveloppe normalisée du champ scalaire, β l’importance du filtrage
spectral qui correspond pour l’essentiel à la bande passante limitée du gain laser (β >0).
Les autres paramètres sont définis comme suit :
D = β 2(EDF)
β 2(SMF)
, (2)
où β 2(EDF) et β 2(SMF) représentent respectivement les coefficients de dispersion chromatique
dans la fibre dopée erbium et dans la fibre passive,
Γ= A eff(EDF)
A eff(SMF)
, (3)
où A eff(EDF) et A eff(SMF) sont les aires effectives du mode fondamental pour les deux
types de fibres.
La fonction g(Q) représente la gain laser pour un milieu actif qui possède un temps de
récupération beaucoup plus grand que le temps de parcours de la cavité, et par conséquent
ne dépend pas explicitement du temps dans ce modèle traitant de la propagation d’impulsions
dans le domaine pico- ou subpicoseconde. Le gain saturable est modélisé par :
g(Q) =
g 0(z)
1+ Q , (4)
E sat
où E sat est l’énergie de saturation, tandis que Q représente l’énergie intracavité, donnée
par :
∫ ∞
Q = | E | 2 dt. (5)
−∞
Afin de prendre en compte la déplétion du gain laser le long de la fibre dopée, on peut
prendre un gain non saturé g 0 variable suivant la position z le long de la fibre. Au premier
ordre en z, cela donne :
g 0 (z) =g 0i + (g 0i − g 0f )z
, (6)
L EDF
où g 0i et g 0f sont les gains petits signaux aux extrémités de la fibre dopée.
Le champ subi éventuellement une perte locale (typiquement -1dB) puis est injecté
dans la fibre passive comme suit :
(U, V )= √ 1 (1,i) ∗ E, (7)
2
définissant un état de polarisation circulaire à l’entrée de la fibre passive.
La propagation des champs dans la fibre passive est calculée au moyen des deux
équations couplées suivantes :
iU z + γU + 1 2 U tt+ | U | 2 U + 2 3 | V |2 U + 1 3 V 2 U ∗ =0, (8)
iV z − γV + 1 2 V tt+ | V | 2 V + 2 3 | U |2 V + 1 3 U 2 V ∗ =0. (9)

140 Ph. Grelu, F. Belhache et J.M. Soto-Crespo
où γ correspond àlabiréfringence linéaire de la fibre. Après propagation dans la fibre
passive, le champ transmis par le polariseur est :
E ′ = U cos θ + V sin θ. (10)
La propagation se poursuit jusqu’à ce qu’une solution stationnaire soit formée. Typiquement,
il faut une centaine de tours de cavité pour former une ou plusieurs impulsions, et
plusieurs milliers de tours pour que les impulsions se verrouillent en phase. Par ailleurs, le
verrouillage en phase n’est obtenu pour certains jeux de paramétres.
3 Résultats numériques : verrouillage en phase. Ensembles
discrets d’états liés.
Lorsque deux impulsions se forment dans la cavité, on peut suivre leur mouvement
relatif dans l’espace des phases (ρ ; α), où ρ représente la distance (ou, de manière quivalente,
le temps) qui sépare les deux impulsions, tandis qu’ α représente leur phase relative.
Dans certains cas, un état lié seformepeuà peu, avec la stabilisation de la séparation
entre ces impulsions qui se trouve associée à un verrouillage précis de leur phase relative.
Une telle situation est illustrée par la figure 1. Notons que la phase relative obtenue est
voisine de π/2, ce qui est compatible avec les résultats expérimentaux que nous avions
obtenus [3, 4, 5]. Les paramètres utilisés dans la simulation numérique sont mentionnés
dans le cadre de la figure.
3.142
phase difference (radians)
g oi
=1.5, g of
=2, E L
=2
L Er
=1.5, L SMF
=4.5
Γ =3, γ =0.09
β =0.085, θ =68 o , D=-2
0
17 distance(ρ )
18
Fig. 1: Formation d’un doublet verrouilé en phase.
Il est ensuite intéressant d’analyser les caractéristiques du champ stationnaire solution.
La figure 2a représente, dans le domaine temporel, l’amplitude (en traits pleins) et
la phase (en pointillés) du champ. On constate que les deux impulsions sont identiques
dans leurs profils d’amplitude et de phase, ce qui conduit, dans une certaine mesure, à

Modélisation numérique 141
les qualifier de ”solitons dissipatifs”. La différence de phase de π/2 entre les deux sommets
d’amplitude est conforme ànosrésultats expérimentaux. Cette différence de phase
avait aussi été obtenue dans le cadre de l’analyse de stabilité del’équation de Ginzbürg-
Landau quintique complexe scalaire qui, àdéfaut de représenter fidèlement la propagation
du champ dans une cavité laser telle que la notre, décrit des dynamiques possédant de
nombreux points communs avec celles que nous avons observées expérimentalement.
0.2
(a)
2π
10
Intensity profile
0.1
π
Phase profile
Spectral Intensity
5
(b)
0
0
−20 0 20
t
0
−0.4 0 0.4
ω
Fig. 2: (a) Amplitude et phase temporelles et (b) Intensité spectrale du doublet lié
La figure 2b présente le spectre de l’état lié stationnaire. Les franges spectrales et
l’asymétrie du spectre sont en corresponance avec le verrouillage en phase précis de π/2.
Pour terminer, nous présentons une caractéristique trés particulière de la dynamique, qui
consiste à former des doublets liés pour des séparations trés précises des deux impulsions,
séparations devant appartenir à un ensemble discret. Cette propriété est mise en évidence
numériquement si l’on injecte comme condition initiale deux impulsions séparées par une
distance et une phase initialement arbitraires. L’état final obtenu après quelques milliers
de tours de cavité est un doublet caractérisé par une phase relative voisine de π/2, et
une séparation ne pouvant prendre que certaines valeurs discretes, régulièrement espacées,
comme le montre la figure 3.
4 Conclusion
Au cours de ce travail, nous avons détaillé unmodèle numérique pour le laser àfibre
dopée à blocage de modes passif. Les ”ingrédients” physiques de ce modèle sont, rappelonsle,
la dispersion chromatique, la non-linéarité Kerr, une faible biréfringence linéaire, ainsi
qu’un gain saturable associé àlaprésence de filtrage spectral. Le blocage de modes est
obtenu par évolution non-linéairedel’état de polarisation dans la fibre, suivie par le
passage à travers un polariseur dont le choix de l’orientation permet le blocage de modes.
Nous avons obtenu numériquement un blocage de modes à deux impulsions, et ces deux
impulsions interagissent de manière à former une paire liée de solitons dissipatifs, comme
nous l’avions mis en évidence expérimentalement au cours de nos travaux précédents [5, 6].
Nous avons ensuite montré numériquement la propriété de verrouilage discret des paires

142 Ph. Grelu, F. Belhache et J.M. Soto-Crespo
π
θ (radians)
0
11 12 13 14 15 16 17 18
ρ
Fig. 3: Discrétisation des séparations possibles pour les états liés doublets
liées de solitons dissipatifs. Une confirmation expérimentale de cette prédiction numérique
est actuellement en cours dans notre laboratoire.
Références
[1] N.N. Akhmediev, A. Ankiewicz, and J.M. Soto-Crespo, Stable soliton pairs in optical
transmission lines and fiber lasers, J. Opt. Soc. Am. B15, 515 (1998).
[2] N. Akhmediev, F. Zen and P. Chu, Pulse-pulse interaction in dispersion-managed
finber systems with nonlinear amplifiers, Opt. Commun. 201, 217 (2002).
[3] A.B. Grudinin, D.J. Richardson and D.N. Payne Energy quantisation in figure eight
laser, Electron. Lett. 28, 67 (1992).
[4] D.Y. Tang, W.S. MAn, H.Y. Tam and P.D. Drummond Observation of bound states
of solitons in a passively mode-locked fiber laser, Phys. Rev. A 64, 33814 (2001).
[5] F. Belhache, F. Gutty, Ph. Grelu et J.M. Soto-Crespo, Impulsions subpicosecondes
verrouillées en phase dans un laser à fibre dopée à blocage de modes passif, Compterendus
de la 5ème Rencontre du Non-Linéaire pp. 19-24 (2002).
[6] Ph. Grelu, F. Belhache, F. Gutty and J.M. Soto-Crespo, Phase-locked soliton pairs
in a stretched-pulse fiber laser, Opt. Lett. 27, 966 (2002).
[7] Ph. Grelu, F. Belhache, F. Gutty and J.M. Soto-Crespo, Relative phase locking of
pulses in a passively mode-locked fiber laser, àparaître dans J. Opt. Soc. Am. B
(2003).

encontre du non-linéaire 2003 143
Route vers la synchronisation chaotique dans des systèmes
d’applications couplées
Pierre Guiraud
Centre de Physique Théorique
CNRS Luminy, Case 907
13288 Marseille CEDEX 09
guiraud@cpt.univ-mrs.fr
Résumé
1 Introduction
Les réseaux d’applications couplées (CML) sont des modèles, à espace et temps discrets,
pour des systèmes étendus non linéaires. Leurs applications sont diverses, de la
physique du solide [6] à la biologie [7]. Ils consistent en la donnée d’un réseau S au sein
duquel chaque site est soumis à un potentiel local (non linéaire) et interagit avec le reste
du réseau via un couplage (linéaire). Un des CML les plus étudiés est l’archétype des
systèmes de réaction-diffusion, ce CML est défini par les itérations suivamtes:
u t+1
s =(1− ɛ)f(u t s)+ ɛ 2 (f(ut s−1)) + 2f(u t s)+f(u t s+1)) s ∈ S, (1)
où f est une application d’un intervalle I ⊂ R dans lui-même, l’application locale, et
ɛ ∈ [0, 1] est le paramètre de couplage. De part leur nature discrète, les CML fournissent,
à priori, un cadre d’étude mathématique de phénomènes spatio-temporels plus simple que
celui de leurs analogues à temps et/ou espace continu.
L’analyse de CML avec applications locales chaotiques a fourni quelques résultats
rigoureux sur les changements de la dynamique en fonction de l’intensité du couplage. En
particulier, à faible couplage, l’existence du chaos spatio-temporel (i.e mesure absolument
continue invariante et décroissance des corrélations sous l’action des translations temporelles
et spatiales) a été prouvépourlapremière fois dans le désormais célèbre article [3].
En outre, l’application d’outils et de techniques de la mécanique statistique, en utilisant le
formalisme thermodynamique, a fourni une description détaillée de ce régime de faible couplage
(des propriétés ergodiques jusqu’au principe de grandes déviations, en passant par
l’analyse du spectre de l’opérateur de transfert, voir [1] pour les derniers développements
à ce sujet). Par convention, on appelle ce régime de faible couplage, où les propriétés du
système découplé sontpréservées,lerégime découplé.
Lorsque le couplage augmente, on s’attend àcequecerégime découplé soit détruit
par transition de phase (le système symbolique associé étant un modèle sur réseau de
dimension au moins égale à 2). Cependant, en dépit d’études numériques [2] et d’une
preuve de l’existence d’une telle transition dans un CML spécialement conçu à cet effet [5],
l’existence de cette transition n’a pas étédémontrée en toute généralité. Plus généralement,
la dynamique de CML chaotiques reste, au delà durégime découplé, quasiment méconnue.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

144 P. Guiraud
1
0
0 1/2
1
Fig. 1: L’application locale f.
Une description alternative des changements de la dynamique avec le couplage est
possible à l’aide d’objets purement topologiques, par exemple la complexité ou l’entropie
topologique. L’effet diffusif du couplage laisse à penser que ces quantités doivent décroître
avec celui-ci. (En particulier, on dira avoir quitté lerégime découplé lorsque l’entropie
du CML n’est plus maximale.) A notre connaissance, il n’existe aucune démonstration de
cette décroissance.
Néanmoins, pour un réseau à 2 sites et pour une certaine classe d’applications locales,
telle que celle de la figure 1, nous avons obtenu un résultat dans cette direction [4]. En
bref, considérons le CML à deux sites défini par
⎧
⎨
⎩
u t+1
0 = (1− ɛ)f(u t 0 )+ɛf(ut 1 )
ɛ ∈ [0, 1/2] (2)
u t+1
1 = (1− ɛ)f(u t 1 )+ɛf(ut 0 )
où
⎧
⎨ ax si x2. (3)
Il résulte de l’analyse de ce systèmeavecdesméthodes de dynamique symbolique, exposées
ci-après, que pour tout ɛ ∈ [0, 1/2] l’entropie topologique de ce CML est comprise entre
deux fonctions décroissantes constantes par morceaux avec un nombre infini de plateaux,
comme indiqué figure 2.
Cette figure montre en particulier le régime découplé, i.e l’intervalle [0,ι a ], où l’entropie
topologique est égale à celle du système découplé (lesbornesinférieure et supérieure
sont confondues) et le régime de fort couplage (ɛ a , 1/2] où l’entropie vaut celle du système
synchronisé (ou du système local). Entre ces deux régimes, l’entropie est comprise entre
deux valeurs, la borne inférieure étant connue explicitement. Ces résultats sont la conséquence
d’une analyse fine de la dynamique symbolique du système qu’il doit être possible d’étendre
àdesréseaux à plus de 2 sites, voire des réseaux infinis.
Dans la suite, je présenterai les principales étapes de l’analyse du système (2) développée
dans [4] pour le domaine [0,ɛ a ) ainsi que des résultats originaux pour le domaine (ɛ a , 1/2).

Route vers la synchronisation dans des CML 145
log 4
h 3
h 2
h 1
log 2
h 4
0
ι a
ε a
1/2
ε
Fig. 2: Bornes supérieure et inférieure de l’entropie topologique du CML en fonction du
couplage (voir Théorème).
2 Analyse de la dynamique
Les résultats présentés dans [4] sont valables pour des applications locales, dilatantes,
croissantes par morceaux, plus générales que celles de la figure 1. En effet, la linéarité par
morceaux de f n’est pas nécessaire si on admet une perte de précision sur la figure 2. Pour
des raisons de simplicité nous nous restreindrons au cas affine par morceaux et renvoyons
à [4] pour le cas général.
2.1 Description symbolique
Nous allons étudier le système dynamique généré par l’application F ɛ de R 2 dans R 2
définie à travers (2) (i.e u t+1 = F ɛ (u t )). Le principal outil de notre étude est la dynamique
symbolique. La mise en place d’un tel formalisme nécessite l’introduction d’une partition
de l’espace des phases. Nous divisons R 2 en 4 quarts de plan, indexés par les symboles
θ 0 θ 1 ∈{00, 01, 10, 11} suivant la position des coordonnées par rapport aux droites u 0 =1/2
et u 1 =1/2 despoints(u 0 ,u 1 ) du plan (cf figure 3). Les symboles 00 et 11 sont dits
homogènes, les symboles 10 et 01 sont dits inhomogènes.
Une fois la partition définie, nous associons à tout point de u ∈ R 2 une suite de
symboles, appelée code de u, notée θ(u) ={θ t (u)} t∈N ∈{00, 01, 10, 11} N := Ω où θ t (u) est
lesymboledel’élément de la partition qui contient F t ɛ (u).
L’intérêt du codage de la dynamique est qu’il permet de caractériser les orbites à
partir de suites symboliques. Pour le système présent, nous avons démontré que toute suite
symbolique vérifiant une certaine condition est le code d’un point du plan dont l’orbite
reste bornée. Cette condition, connue explicitement dans le cas affine par morceaux, est
appelée condition d’admissibilité et l’ensemble des points du plan dont les orbites sont
bornées s’appelle le répulseur de F ɛ .
Précisément, le résultat est l’existence d’une bijection φ ɛ de l’ensemble des suites

146 P. Guiraud
u 1
D
u 0
01
11
1/2
00
10
0
1/2
Fig. 3: La partition de R 2 et la diagonale u 0 = u 1 .
admissibles vers le répluseur de F ɛ telle que,
F ɛ ◦ φ ɛ = φ ɛ ◦ σ| Aɛ
.
où (σθ) t = θ t+1 est l’opérateur de décalage et A ɛ l’ensemble des suites de Ω vérifiant la
condition d’admissibilité:
⎧
(a − 1) +∞ ∑ (
)
a
⎪⎨
−(k+1) l (k)
0 θt+k s + l (k)
1 θt+k 1−s < 1/2 si θs t =0
⎪⎩
k=0
(a − 1) +∞ ∑
k=0
(
)
a −(k+1) l (k)
0 θt+k s + l (k)
1 θt+k 1−s 1/2 si θs t =1
où,
l (k)
0 =(1+(1− 2ɛ) −k )/2 et l (k)
1 =(1− (1 − 2ɛ) −k )/2
pour tout k ∈ N.
2.2 Description de la dynamique en régime dilatant
t ∈ N, s ∈{0, 1},
Nous avons ramené l’étude des orbites bornées de F ɛ à celle des suites symboliques
vérifiant la condition d’admissibilité. L’analyse de cette condition permet d’estimer A ɛ
dans le domaine de couplage où la dynamique du CML est dilatante (i.e ɛ ∈ [0,ɛ a )).
Pour ɛ ∈ [0,ι a ), nous avons entièrement déterminé l’ensemble des suites admissibles:
A ɛ =Ω.Audelàdeι a , nous n’avons qu’une estimation de A ɛ . Cette estimation se fait
à l’aide d’une famille d’ensembles, la famille {Ω n } n∈N . Les suites d’un ensemble Ω n ne
contiennent jamais un mot constitué deplusden symboles 10 (ou 01) consécutifs, sauf si
la suite ne contient que ce symbole jusqu’à ce mot. Ce sont les suites pour lesquelles il ne
peut exister t ∈ N tel que θ t ...θ t+n = (10) n+1 (resp θ t ...θ t+n = (01) n+1 )qu’à condition
que θ k =10(resp θ k = 01) pour tout k

Route vers la synchronisation dans des CML 147
Théorème. Il existe:
– une fonction décroissante continue àdroiten :(ι a ,ɛ a ) → N telle que lim n(ɛ) =+∞ et
ɛ→ιa
lim n(ɛ) =0,
ɛ→ɛ a
– une fonction continue à gauche n :(ι a ,ɛ a ) → N telle que lim n(ɛ) =+∞ et lim n(ɛ) =2,
ɛ→ιa ɛ→ɛa
telles que pour tout ɛ ∈ (ι a ,ɛ a ),ona
Ωn(ɛ) A ɛ ⊂ Ω n(ɛ) .
Nous avons vu que dans le régime découplé (ɛ ∈ [0,ι a )), A ɛ ne varie pas et vaut
Ω, c’est àdire“=Ω ∞ ” dans le langage de la famille {Ω n }.Audelàdeι a ,leThéorème
montre que A ɛ n’est plus égal àΩ ∞ mais A ɛ ⊂ Ω n(ɛ) et n(ɛ) décroît depuis l’infini quand
ɛ augmente, c’est à dire qu’il y a de moins en moins de suites admissibles. Cette perte est
cependant limitée comme l’indique la borne inférieure Ωn(ɛ) A ɛ . (Le symbole vient
de ce qu’il existe des suites admissibles n’appartenant pas àΩn(ɛ).
En d’autres termes, le temps de séjour dans le quart de plan associé ausymbole10
(ou 01) diminue progressivement quand le couplage augmente (sauf pour les conditions
initiales dans ces ensembles). En particulier, les suites de Ω 0 , qui n’entrent jamais dans
ces quarts de plan, sont toujours admissibles.
De la compacité deΩ n et la continuité deφ ɛ ,ilrésulte que l’entropie topologique de
F ɛ dans son répulseur est comprise entre hn(ɛ) et h n(ɛ) où h n est l’entropie topologique
de Ω n . La figure 2 représente les graphes des fonctions ɛ ↦→ hn(ɛ) (la borne inférieure) et
ɛ ↦→ h n(ɛ) (la borne supérieure).
2.3 Fort couplage
Au delà deɛ a , la condition d’admissibilité change. D’après la figure 2, on s’attend àce
que les suites admissibles restent dans Ω 2 . L’analyse de la nouvelle condition d’admissiblité
montre que, non seulement ceci est vrai, mais A ɛ est contenu dans un sous-ensemble de
Ω 1 .
Proposition. Toute suite de Ω contenant deux symboles 10 ou deux symboles 01 consécutifs
ou séparés par un mot homogène n’est pas admissible quelque soit ɛ ∈ (ɛ a , 1/2].
Inversement, les suites pour lesquelles les symboles 10 et 01 s’alternent, séparées ou non
par un mot homogène, peuvent être admissibles pour certaines valeurs de ɛ. Par exemple,
la suite ((10)(01)) ∞ est le code d’une orbite de période 2 pour tout ɛ ∈ (ɛ a , 1/2].
Une conséquence de cette proposition est que l’entropie topologique du système est,
pour tout ɛ ∈ (ɛ a , 1/2], égale à celle du système symbolique où tous les symboles sont
homogènes, c’est à dire celle du CML restreint à la diagonale D de R 2 .
Références
[1] J.B. Bardet, Large deviations results for spatially extended dynamical systems, PhD
Thesis, Université de Lausanne 2002.
[2] C. Boldrighini, L.A. Bunimovich, G. Cosimi, S. Frigio, and A. Pellegrinotti, Ising-type
and other transitions in one-dimensional coupled map lattices with sign symmetry, J.
Statist. Phys. 102 (2000) 1271-1283.
[3] L.A. Bunimovich and Ya.G. Sinai, Spacetime chaos in coupled map lattices, Nonlinearity
1 (1988) 491-516.

148 P. Guiraud
[4] B. Fernandez and P. Guiraud, Route to chaotic synchronisation in coupled map lattices:
rigorous results, Discrete Contin. Dynam. Sys. Ser. B, à paraitre.
[5] G. Gielis and R.S. Mackay, Coupled map lattices with phase transition, Nonlinearity
13 (2000) 867-888.
[6] D.A. Kessler, H. Levine and W.N. Reynolds, Coupled map lattices for crystal growth,
Phys. Rev. A 42 (1990) 6125-6128.
[7] R.V. Solé, J. Bascompte and J. Valls, Nonequilibrium dynamics in lattice ecosystèmes:
Chaotic stability and dissipatives structures, Chaos 2 (1992) 387-395.

encontre du non-linéaire 2003 149
.
Déformations dynamiques spontanées dans des cylindres de gel: un
exemple de processus chimiomécanique
V. Labrot, Fabienne Gauffre, Patrick De Kepper, Jacques Boissonade
Centre de recherche Paul Pascal, avenue Albert Schweitzer 33600 Pessac
labrot@crpp.u-bordeaux.fr
Résumé
Nous proposons un système chimiomécanique qui, placé dans un environnement
homogène et constant, peut subir des variations spontanées de volume et de forme.
Ceci est obtenu expérimentalement en couplant une réaction chimique non linéaire, la
réaction Chlorite-Tétrathionate (CT), maintenue hors d’équilibre, à un cylindre de gel
pH-sensible, c’est-à-dire, répondant par des variations de volume et de transparence
aux changements de pH. La réaction présente une autocatalyse acide et donne lieu à
des variations de pH de grande amplitude. Bien que non oscillante en milieu homogène,
elle développe des motifs de réaction-diffusion dynamiques complexes (ondes, oscillations
de concentration locale) qui entraînent des déformations dynamiques au sein
d’un gel sensible au pH (oscillation de volume, propagation d’ondes de déformation).
Les changements de taille du gel peuvent également opérer une rétroaction sur l’état
chimique du système.
1 Introduction
Les gels stimulables sont des réseaux de polymères réticulés capables de répondre, par
des changements de volume, à des stimuli externes comme par exemple: une variation de la
température [1], du pH [2], de la composition du solvant [1] ou encore du champ électrique
ou magnétique [3]. Cette faculté à changer de volume en absorbant ou relargant du solvant
leur confère des applications interessantes dans le domaine médical ; notamment dans
l’élaboration de systèmes de relargage [4] ou d’actionneurs (muscles artificiels)[5]. Depuis
peu, quelques équipes à travers le monde tentent d’appliquer les concepts de la physique
et de la chimie des systèmes non linéaires à des systèmes chimiomécaniques constitués de
matériaux chimiosensibles couplés àdesréactions chimiques. La production de rythmes
et de formes issus de ce couplage a par exemple été réalisée à partir d’un gel sensible au
pH couplé à une réaction présentant des oscillations de pH [6,7]. Siegel et al. ont élaboré
un système capable de générer des instabilités oscillantes à partir du couplage entre une
réaction enzymatique non oscillante et une membrane dont la perméabilité est variable en
fonction du pH [8]. Nous proposons ici un nouveau système chimiomécanique expérimental
produisant des oscillations de volume et des ondes de déformation par couplage d’une
réaction autocatalytique avec un gel de polymère sensible aux variations de pH.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

150 V. Labrot, F. Gauffre, P. De Kepper, J. Boissonade
2 Réalisation d’un système chimiomécanique expérimental
2.1 Comportement dynamique de la réaction Chlorite-Tétrathionate
La réaction Chlorite-Tétrathionate (CT) est autocatalysée par les protons [9]. Comme
toute réaction autocatalytique, elle possède une période d’induction plus ou moins longue
suivie d’une bascule brutale vers l’état thermodynamique. Dans un réacteur continuement
alimenté enréactifs et continuement agité (CSTR), cette réaction peut être maintenue
hors d’équilibre dans deux états stables différents. Le premier est obtenu pour un flux
d’alimentation élevéoutrès basique, quand le temps d’induction de la réaction est plus long
que le temps de résidence dans le réacteur. La réaction est dans ce cas maintenue dans un
état éloigné del’état d’équilibre thermodynamique correspondant àunpHélevé (pH≈10).
On qualifie cet état “d’état Flux” (F). Le deuxième état est obtenu spontanément pour
des flux d’alimentation faibles ou peu basiques, quand le temps d’induction de la réaction
est plus court que le temps de résidence dans le CSTR. La réaction est alors quasi-totale.
Le contenu du réacteur est dans un état acide (pH≈2), qualifié d’état Thermodynamique
(T).
Considérons la situation où est immergé dans le CSTR maintenu dans l’état basique F
un gel inerte (ou tout autre matériau poreux). Au fur et à mesure que les réactifs diffusent
de l’interface vers l’intérieur du gel, ils réagissent entre eux. Deux profils de pH peuvent
alors apparaître dans l’épaisseur du gel. Si l’échange diffusif entre le gel et le réacteur se
fait plus rapidement que le temps d’induction de la réaction, l’avancement de la réaction
dans le gel est très faible et celui-ci reste entierement aussi dans un état basique ; on a
alors un profil de pH quasiment plat. Dans le cas contraire où l’avancement de la réaction
est plus rapide que le renouvellement du gel en réactifs frais, la réaction “a le temps” de se
dérouler dans le gel et le gel passe dans un état acide. Près de l’interface, par continuité,
la composition chimique du gel est la même que celle du réacteur ; le profil de pH dans le
gel présente alors un front raide séparant deux compositions chimiques différentes. Le gel
est donc globalement dans un état dit “mixte”, noté “FT”. Ces deux profils peuvent être
simultanément stables pour un même jeu de paramètres (taille du gel, flux d’alimentation
et concentration en réactifs). Ce phénomène porte le nom de “bistabilité spatiale”[10].
Un nouveau type d’instabilité de réaction-diffusion a pu être observé pour cette
réaction. En effet, bien qu’elle ne puisse osciller dans des conditions homogènes, la réaction
CT présente des comportements dynamiques complexes telles que ondes d’excitabilité et
oscillations [11,12]. Contrairement à la bistabilité spatiale qui provient directement de la
cinétique d’autocatalyse, l’origine de ces oscillations et de cette excitabilité nevientpas
directement de mécanismes cinétiques locaux mais sont induits à travers des différences
de coefficients de diffusion entre les espèces réactives [13].
Nous avons choisi d’étudier le couplage de la réaction CT avec un hydrogel stimulable
car: (i) il existe une différence de pH importante (8 unités) entre les états F et T de la
réaction (ce qui permet d’engendrer de fortes variations de volume au sein d’un gel sensible
au pH); (ii) l’état chimique dépend directement de la taille du système (un changement
de volume peut donc créer une rétroaction sur la chimie du système); (iii) elle conduit à
des phénomènes oscillants et excitables dans un gel pour des conditions limites fixées.
2.2 Réponse du gel aux variations de pH
Nous utilisons un gel de copolymères à base de poly(acide acrylique), (poly(AAc)),
et de poly(N-isopropylacrylamide), (poly(NIPAAm)). Les monomères AAc induisent la

Système chimiomécanique autonome 151
L/L 0
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
2 4 6 8 10 12
pH
Fig. 1: Variation du taux de gonflement
linéaire du gel en fonction du pH à35 ◦ C. Les
carrés pleins signifient que le gel est turbide.
pH electrode
chemical outlet
gel
0000 1111
000000000000000
000000000000000
000000000000000
000000000000000
000000000000000
111111111111111
111111111111111
111111111111111
111111111111111
111111111111111
000000000000000
000000000000000
000000000000000
111111111111111
111111111111111
111111111111111
000000000000000
000000000000000
000000000000000
000000000000000
111111111111111
111111111111111
111111111111111
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
chemical inlet
magnetic stirrer
Fig. 2: Représentation en coupe du CSTR.
sensibilité au pH [14]. Ils sont, en effet, chargés en milieu basique ; la pression osmotique
exercée par les contre-ions ainsi que les interactions électrostatiques entre les fonctions
acrylates maintiennent le gel dans un état gonflé de volume important. En milieu acide,
les monomères AAc sont au contraire protonés, le réseau n’est pas chargé etlegelse
trouve dans un état effondré de faible volume. Le poly(NIPAAm) donne le caractère thermosensible
au gel. Ce polymère possède une température critique inférieure de solubilité
(“LCST”) de l’ordre de 33 ◦ C, au delà de laquelle les chaînes de polymère s’agrègent.
Des études du taux de gonflement en fonction du pH et de la température ont été
effectuées sur des gels de poly(NIPAAm-co-AAc) cylindriques. On observe des variations
maximales de volume comprises entre pH≈2 etpH≈10 pour des températures proches
de 33 ◦ C. De plus, au delà de cette température, les gels effondrés sont turbides. Cette
caractéristique est un excellent moyen de distinguer les parties du gel gonflées ou effondrées.
La Figure 1 représente la variation en fonction du pH, du taux de gonflement linéaire L/L 0
d’un gel cylindrique de poly(NIPAAm) chargé à 10% molaire en acide acrylique et à35 ◦ C.
L et Lo sont respectivement la longueur du cylindre dans les conditions de l’expérience et
celle dans l’eau à20 ◦ C). On remarque que ce taux augmente avec le pH et marque une
transition autour de pH=5.3.
2.3 Couplage du gel avec la réaction
Le réacteur utilisé est un CSTR qui permet de maintenir le cylindre de gel dans un
bain de réactifs (Figure 2). Il est composé de trois cavités cylindriques verticales reliées
entre elles. Le gel cylindrique est collé verticalement sur un bouchon de Plexiglas et suspendu
en haut du cylindre central. Un barreau aimanté, situé au bas de ce cylindre crée
par un effet de turbine une forte circulation du mélange réactionnel et assure une bonne
homogénéité de la solution dans le réacteur tout en maintenant le gel dans l’axe du cylindre.
Le réacteur est alimenté par quatre solutions : une solution basique de chlorite
de sodium, une solution basique de tétrathionate de potassium et deux solutions d’hydroxyde
de sodium de concentrations différentes. Ces réactifs sont injectés par des pompes
de précision et prémélangés, juste avant leur introduction dans le CSTR, au niveau du
barreau aimanté. Le CSTR est thermorégulé à35 ◦ Cdefaçon à ce que le gel soit transpa-

152 V. Labrot, F. Gauffre, P. De Kepper, J. Boissonade
Fig. 3: Onde d’excitabilité turbide
dans un cylindre de gel pH-sensible.
Intervalle de temps entre chaque
cliché: 110 minutes. Echelle (barre
blanche): 3mm.
Fig. 4: Séquence d’image des changements dynamiques
de forme du gel sensible au pH dans le régime
oscillant obtenu par ombroscopie. Intervalle de temps
entre chaque cliché, de a à f: 0, 20, 30, 40, 44, 60
minutes. Echelle (barre blanche): 3mm.
rent lorsqu’il est gonflé et turbide lorsqu’il est effondré. Le pH dans le réacteur est mesuré
à l’aide d’une électrode àpH.L’état du gel est filmé avecunecaméra noir et blanc, est
enregistré à l’aide d’un magnétoscope, soit directement à travers les parois du réacteur en
Plexiglas, soit en utilisant une technique d’ombroscopie qui permet de mieux distinguer
les contractions locales du gel.
2.4 Diagramme d’état du système chimiomécanique
Le couplage est réalisé en immergeant dans le CSTR, où alieularéaction CT, le
gel de poly(NIPAAm) chargé à 10% molaire d’acide acrylique. Le réacteur est maintenu
dans l’état F (basique) ; la composition de cet état est, dans ce cas, très peu différente de
celle de l’alimentation. On utilise la valeur de la concentration en hydroxyde de sodium
[OH − ] 0 dans le flux total d’alimentation comme paramètre de contrôle. Quand le cylindre
de gel est préalablement trempé dans une solution neutre ou basique puis introduit dans
le CSTR, il est clair et gonflé, quelle que soit la valeur du paramètre de contrôle. Le temps
d’induction de la réaction CT, dans nos conditions expérimentales, est en effet quasiment
infini. Pour commencer les expériences, le cylindre de gel est donc préalablement imbibé
d’une solution acide (pH≈2) à l’extérieur du réacteur. Le gel est alors introduit dans
le CSTR et, au bout d’un certain temps, le système atteint un état asymptotique. La
valeur de [OH − ] 0 dans l’alimentation est ensuite progressivement modifiée et pour chaque
nouvelle valeur du paramètre de contrôle, nous attendons au moins cinq heures que l’état
asymptotique s’établisse. Plusieurs observations ont alors été faites:
* Pour de fortes valeurs de [OH − ] 0 ,l’état asymptotique du gel est un état stationnaire,
transparent et gonflé. Une fois cet état atteint aucun changement d’aspect ni de forme n’a
lieu.
* Pour des valeurs de [OH − ] 0 un peu moins élevées un nouveau régime asymptotique
apparaît. Il est caractérisé par la propagation régulière d’ondes de turbidité dansungel
transparent (Figure 3). Ces ondes émergent spontanément du haut du gel et voyagent
vers le bas avec une vitesse de l’ordre du centimètre par heure. La présence de colle
sur le support, nécessaire pour maintenir le gel dans le réacteur, modifie localement son
alimentation. Le gel est alors localement et artificiellement maintenu dans un état acide qui

Système chimiomécanique autonome 153
d (mm)
2
1.5
1
0.5
0
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
[OH-] (10-6 M)
Fig. 5: Diagramme de phase hors d’équilibre du système mécanochimique. ◦ état gonflé;
× état excitable ; oscillations de volume ; état effondré; △ réacteur dans l’état T.
joue le rôle de source d’excitation. Ces ondes sont de plus accompagnées d’un étranglement
relativement important (d’un facteur de 2.5) et, dans certains cas, de la formation d’un
coude. On appelle cet état l’état excitable.
* Pour des valeurs encore plus faibles de [OH − ] 0 ,lesystèmeatteintunrégime dynamique
complexe dans lequel le gel est essentiellement effondré, avec un coeur turbide entouré
d’une fine couche transparente. Certaines parties du gel gonflent puis se contractent
de façon apparemment aléatoires (Figure 4). Le plus souvent, le gel se courbe aux endroits
de forts gradients d’épaisseur.
* Enfin, pour les plus faibles valeurs de [OH − ] 0 le gel atteint un état stationnaire
effondré, essentiellement turbide avec une fine couche transparente en surface. La longueur
du gel dans l’état effondré correspond à 40% de la taille du gel dans l’état gonflé.
Un diagramme de phase de non équilibre a étéétabli représentant l’état asymptotique
du gel en fonction de [OH − ] 0 et du diamètre des moules de préparation des gels (Figure
5).
La plupart des déformations mécaniques, décrites ci-dessus traduisent directement
les profils de concentration (acido-basique) dans le gel. On peut en effet prévoir qualitativement
de tels comportements à partir des différents profils de concentration observés
dans un gel inerte. En effet, la séquence d’états du gel sensible, obtenue en augmentant la
valeur de [OH − ] 0 (stationnaire effondré ⇒ oscillation de volume ⇒ ondes de contraction
⇒ stationnaire gonflé), se retrouve sous forme de profils de concentration au sein d’un
gel non sensible (FT stationnaire ⇒ FT oscillant ⇒ F excitable ⇒ F stationnaire) [12].
Mais une source d’excitabilité, autre que ces instabilités de réaction diffusion, peut intervenirauseind’untelsystème.
Nous pensons que les importants changements de taille
du gel peuvent aussi générer une rétroaction sur l’état chimique du système. En effet,
des expériences antérieures [12,13] ont pu mettre en évidence que dans notre gamme de
diamètres (0,5-3 mm), l’état chimique du gel dépend de sa taille. Les changements de

154 V. Labrot, F. Gauffre, P. De Kepper, J. Boissonade
taille peuvent alors entrer en jeu dans la dynamique observée. Supposons par exemple
que l’on place un cylindre de gel initialement gonflé dans des conditions telles que son
diamètre soit légèrement supérieur à d min (diamètre correspondant à la limite de stabilité
de l’état FT dans le gel). En appliquant une perturbation acide au gel, le système va
passer dans l’état FT, et comme on a pu voir, le gel va s’effondrer. Si le diamètre devient
plus petit que d min ,l’état FT devient alors instable, le contenu du gel repasse dans l’état
basique F, le gel regonfle et reste gonflé si aucune autre perturbation n’est faite. Dans un
tel processus, l’excitabilité résulte d’une instabilité chimiomécanique faisant intervenir les
changements de taille du système. Le mécanisme à l’origine de ce comportement excitable
est donc différent du mécanisme de réaction-diffusion décrit plus haut ; mais il est difficile,
au stade de nos expériences, de différencier la contribution de ces deux sources d’instabilité
dynamique.
3 Conclusion
Nous avons réalisé expérimentalement le couplage en système ouvert d’une réaction
autocatalytique non oscillante avec un gel sensible au pH. Le cylindre de gel, immergé
dans un milieu réactionnel homogène et stationnaire, présente d’importants changements
de volume et de forme bien que la réaction, elle même, ne puisse pas osciller en milieu
homogène. Nous pensons ici que la réponse mécanique du gel est une réponse directe aux
profils de concentration en proton issus des instabilités de réaction-diffusion. Cependant
l’état chimique du système dépend du diamètre du cylindre et les changements de taille
pourraient aussi opérer une rétroaction sur les processus réactionnels.
Références
[1] R. Yoshida, K. Uchida, Y. Sakurai, T. Okano, Nature, pp. 240-242, (1995).
[2] H. Kawasaki, S. Sasaki, H. Maeda, J. Chem. Phys., pp. 5089-5093, (1997).
[3] Tanaka, I. Nishio, S.-T Sun, science, pp. 467-469, (1982).
[4] Y. H. Bae, I. C. Kwon, Academic Press, pp. 93-134, (1998).
[5] M. Shahinpoor, Y. Bar-Cohen, J. O. Simpson, Mater. Struct, R15-R30, (1998).
[6] R. Yoshida, M. Tanaka, S. Onodera, J. Phys. Chem. A, pp. 7549-7555, (1997).
[7] C. J. Crook, A. Smith, R. A. L. Jones, A. Ryan, Phys. Chem. Chem. Phys., pp.
1367-1369, (2002)
[8] R. A. Siegel, C. G. J. Pitt, J. Cont. Rel., pp. 173-188, (1995).
[9] A. Tóth, I. Lagzi, D. Horváth, J. Phys. Chem, pp. 14837-14839, (1996).
[10] P. Blanchedeau, J. Boissonade, P. De Kepper, Physica D, pp. 283-299, (2000).
[11] J. Boissonade, E. Dulos, F. Gauffre, M. N. Kuperman, P. De Kepper, Faraday Discussions,
pp. 353-361, (2001).
[12] F. Gauffre, V. Labrot, J. Boissonade, P. De Kepper, E. Dulos, Soumis àJ.Phys.
Chem.
[13] M. Fuentes, M. N. Kuperman, J. Boissonade, E. Dulos, F. Gauffre, P. De Kepper,
Phys. Rev. E, 056205, (2002).
[14] M. Shibayama, F. Ikkai, S. Inamoto, J. Chem. Phys, pp. 4358-4366, (1996).

encontre du non-linéaire 2003 155
Dispersion anormale des spirales dans le système de Couette-Taylor
N. Latrache, A. Ezersky, I. Mutabazi
Laboratoire de Mécanique, Physique et Géosciences
Université du Havre, 25 rue Philippe Lebon, BP 540, 76058 Le Havre Cedex
nouredine.latrache@univ-lehavre.fr
Résumé
Nous étudions les propriétés de dispersion d’ondes spirales contrapropagatives
obsérvées dans le système de Couette-Taylor lorsque les deux cylindres sont en contrarotation.
Pour une petite supercriticalité, nous avons mesuré la vitesse de groupe en
fonction de l’amplitude pour discriminer la vitesse de groupe linéaire dans les zones
de faible amplitude, de la vitesse de groupe non linéaire dans les zones de grande
amplitude. La vitesse de groupe linéaire et la vitesse de phase sont de signes opposés
(dispersion anormale) alors que la vitesse de groupe non linéaire et la vitesse de phase
sont de même signe (dispersion normale).La dispersion anormale permet d’expliquer,
dans le cadre de la théorie de Ginzburg-Landau, la stabilité de source entre les spirales
contrapropagatives pour de faibles valeurs de la superciticalité.
1 Introduction
Le système de Couette-Taylor est constitué d’unécoulement confiné entre deux cylindres
en rotation différentielle. Il est le siège de plusieurs régimes d’écoulement dont certains
possèdent des propriétés spatio-temporelles surprenantes [1]. Nous considérons le cas
de cylindres en contra-rotation, et pour une vitesse de rotation du cylindre extérieur fixe,
nous augmentons progressivement la vitesse de rotation du cylindre intérieur. L’écoulement
laminaire de Couette est azimutal avec un profil de vitesse avec deux régions différentes
vis-à-vis des perturbations [2]. La région proche du cylindre intérieur est potentiellement
instable par rapport aux perturbations induites par la force centrifuge. La région proche
du cylindre extérieur est potentiellement stable. Lorsque la vitesse de rotation du cylindre
intérieur atteint une valeur critique, l’instabilité centrifuge se developpe dans la region
interne sous forme de spirale propagative enroulée autour du cylindre intérieur. Grâce au
grand rapport d’aspect du système et àlasymétrie de réflexion axiale de l’écoulement
de base, l’instabilité peut se manifester sous forme de deux spirales gauche et droite se
propageant dans deux sens opposés, séparées par une source stationnaire.
Les motifs d’ondes contrapropagatives séparées par des fronts (sources et puits) ont
été observés dans plusieurs systèmes physico-chimiques non linéaires : les systèmes de
Couette-Taylor [4] et de Taylor-Dean [5], la convection des mélanges binaires [6], la thermoconvection
dans une couche de liquide soumise à une gradient horizontal de température
[7]. Ces différents motifs d’ondes contrapropagatives peuvent être décrits par le système
d’équations complexes couplées de Ginzburg-Landau. Les simulations numériques des
équations complexes couplées de Ginzburg-Landau avec une vitesse de groupe non-nule
ont montré que [8, 9]:(i) pour une faible supercriticalité, les puits sont stables et les sources
sont instables, (ii) pour une supercriticalité supérieure à un seuil bien défini, on peut avoir
des sources et des puits stables, (iii) dans les systèmes étendus et pour de grande supercriticalité
les sources et les puits peuvent manifester un mouvement non-stationnaire.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

156 N. Latrache, A. Ezersky, I. Mutabazi
Nous avons déterminé expérimentalement les propriétés spatio-temporelles du motif
de spirales contrapropagatives séparées par une source pour différentes valeurs de la vitesse
de rotation du cylindre intérieur. Les motifs des spiralés sont représentés par des
diagrammes spatio-temporels dans le plan (coordonnée axiale,temps). La technique de
démodulation complexe du signal spatio-temporel permet d’accéder à l’amplitude et àla
phase. A partir de la phase, on déduit par dérivation la fréquence et le nombre d’onde,
ainsi on peut construire une relation de dispersion expérimentale. La relation de dispersion
donne la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Nous présentons les résultats sur la vitesse
en fonction de l’amplitude et montrons que le motif des spirales contrapropagatives de
Couette-Taylor possède une dispersion anormale avec la vitesse de groupe linéaire opposée
à la vitesse de phase. A notre connaissance, le phénomène de dispersion anormale bien
connu en Optique et en Electronique, n’a pas été bien caractérisé dans les expériences
d’Hydrodynamique non linéaire, alors qu’il a été mentionné dans beaucoup de travaux
théoriques sur les ondes [10]. Dans l’expérience de Couette-Taylor en contra-rotation, le
motif de spirales possède des sources stables pour de faibles valeurs de la superctiticalité.
Pour de fortes supercriticalités, les sources et les puits apparaissent, et les ondes deviennent
instables et donne lieu à un motif chaotique.
2 Dispositif expérimental et méthode de visualisation
Notre système de Couette-Taylor est constitué de deux cylindres coaxiaux horizontaux
dont l’entrefer est rempli du liquide étudié ( l’eau déminiralisée de viscosité ν =10 −2 cm 2 /s
à T =21 0 C ). Le cylindre intérieur de rayon a =4, 46 cm est en aluminium anodisé en noir
pour un meilleur contraste. Le cylindre extérieur de rayon intérieur b =5, 05 cm est en
Plexiglass. La largeur de l’entrefer est d = b−a =0, 59 cm et sa longueur utile L =27, 5cm.
Ainsi le rapport des rayons η = a/b =0, 883 et le rapport d’aspect Γ = L/d =46, 6. Les cylindres
sont entraînés par des moteurs électriques aservis. Les paramètres de contrôle sont
les nombres de Reynolds Ro =Ω o bd/ν et Ri =Ω i ad/ν où Ω o et Ω i sont respectivement
les vitesses angulaires du cylindre éxterieur et intérieur. Pour visualiser les écoulements,
on ajoute à l’eau déminiralisée 2 % en volume de Kallioroscope AQ1000, dont les fines
plaquettes réfléchissantes s’orientent selon la direction de fort cisaillement. La distribution
spatiale de l’intensité lumineuseréfléchie indique la présence de structures tourbillonnaires
organisées. Une caméra linéaire (CCD d’une ligne de 1024 pixels) placée parallèlement à
l’axe des cylindres enregistre à intervalles réguliers une ligne horizontale centrée de 23 cm
de long, soit une résolution spatiale d’environ 44,5 pixels/cm. La superposition chnologique
des lignes acquises par la caméra donne un diagramme spatio-temporel I(x, t). Nous
utilisons la technique de la démodulation complexe (filtre et transformée de Hilbert du
signal réel I(x, t)) qui consiste àséparer l’amplitude A(x, t) etlaphaseΦ(x, t) du motif. La
dérivation temporelle et spatiale de la phase donne la fréquence ω = ∂Φ/∂t et le nombre
d’onde k = ∂Φ/∂x , de cette manière on peut construire expériementalement une relation
de dispersion ω = ω(k).
3 Résultats
3.1 Ondes spirales avec une source
Le diagramme d’états observables dans le système de Couette-Taylor a été établi
par Andereck et al [1]. et les spirales existent dans la plage −1155 < Ro < −155 et

Dispersion anormale des spirales de Couette-Taylor 157
Fig. 1: Diagrame spatio-temporel des ondes spirales au voisinage du seuil : ɛ =0, 015
Fig. 2: Variation de l’amplitude des ondes gauche et droite le long de l’axe des cylindres
180

158 N. Latrache, A. Ezersky, I. Mutabazi
Fig. 3: Vitesse de groupe en fonction de l’amplitude pour les spirales gauche et droite
3.2 Vitesses de groupe linéaire et nonlinéaire
On peut adimensionner la fréquence à l’aide du temps caractéristique de diffusion et
le nombre d’onde à l’aide de la largeur de l’entrefer qui est la longueur caractéristique de
l’écoulement; la vitesse caractéristique devient ν/d. Ainsi on obtient : Ω = ωd 2 /ν et q = kd
et la vitesse de groupe adimensionnée s’écrit V g = dΩ/dq La relation de dispersion Ω = f(q)
conduit à la vitesse de groupe dans différentes zones correspondant àdifférents intervales
d’amplitude pris séparément pour chaque spirale gauche et droite, ainsi on obtient la
vitesse de groupe en fonction de l’amplitude pour chaque spirale(Fig.3)
4 Discussion des résultats
4.1 Inhomogénéité du motif
Le motif de spirales contrapropagatives observées dans le système de Couette-Taylor
est inhommogène dans la direction axiale : l’amplitude moyennée dans le temps varie dans
cette direction avec des maxima localisés au voisinage du front de phase séparant les
spirales gauche et droite alors qu’elle s’annulle aux bords de l’expérience : A(t, x =0)=
A(t, x =Γ)=0;B(t; x =0)=B(t, x = Γ) = 0. La fréquence de la spirale gauche est
différente de celle de la spirale droite, le nombre d’onde est presque constant dans les deux
zones sauf au voisinage du front de phase.
4.2 Dispersion anormale
A partir de la courbe de la vitesse de groupe en fonction de l’amplitude (Fig.3) nous
pouvons estimer une vitesse de groupe moyenne linéaire (V g = −0, 096 soit à −1, 5.10 −3
cm/s) correspondant aux faibles amplitudes et une vitesse de groupe moyenne non linéaire
(V g,nl =0, 073 équivalent à1, 14.10 −4 cm.s −1 ) correspondant aux grandes amplitudes pour
les deux spirales. L’inhommogénéité de l’amplitude du motif s’accompagne de propriétés
de dispersion différentes selon les amplitudes. Pour de faibles amplitudes, la vitesse de
groupe et la vitesse de phase sont de signes opposés pour les deux spirales : V g .V Ph < 0,
la dispersion est dite anormale. Pour de grandes amplitudes, la vitesse de groupe et la
vitesse de phase ont le même signe : V g .V Ph > 0, la dispersion est dite normale.

Dispersion anormale des spirales de Couette-Taylor 159
4.3 Stabilité de la source
La plupart des motifs d’ondes spatio-temporelles sont décrits à l’aide des équations
complexes couplées de Ginzburg-Landau [8, 9]
τ 0 ( ∂A
∂t + V ∂A
∂x )=ɛ(1 + ic 0)A + ξ 2 0(1 + ic 1 ) ∂2 A
∂x 2 − g(1 + ic 2)|A| 2 A − δ(1 + ic 3 )|B| 2 A (1)
τ 0 ( ∂B
∂t − V ∂B
∂x )=ɛ(1 + ic 0)B + ξ0(1 2 + ic 1 ) ∂2 B
∂x 2 − g(1 + ic 2)|B| 2 B − δ(1 + ic 3 )|A| 2 B (2)
où τ 0 est le temps caractéristique de relaxation des perturbations dans le système, V est
la vitesse de groupe linéaire, ξ 0 est la longueur de cohérence des perturbations, g est la
constante de saturation de Landau, δ est la constante de couplage des ondes, c 0 et c 1 sont
les constantes de dispersion linéaire et c 2 et c 3 sont les constantes de disperion non linéaire,
qui donnent des contributions non linéaires àlafréquence.
Les simulations numériques des équations complexes couplées de Ginzburg-Landau
montrent que pour de faibles valeurs de la supercriticalité, les sources sont instables et les
puits sont stables [8, 9]. Comme la vitesse de groupe figurant dans les équations complexes
de Ginzburg-Landau est la vitesse de groupe linéaire, l’application de ce résultat ànotre
cas conduirait à dire que nous sommes en présence d’un puits car les vitesses de groupes
linéaires des spirales droite et gauche sont orientés vers le front de phase. Ceci serait en
opposition avec le diagramme spatio-temporel qui montre bien le front de phase est une
source car les vitesses de phase des deux spirales sont bien dirigées vers l’extérieur du front
de phase. En fait, le front de phase est une région de forte interaction de deux spirales avec
des amplitudes assez grandes et les vitesses de groupe non linéaires c’est-à-dire les vitesses
de flux d’énergie des spirales sont dirigées vers l’extérieur du front de phase comme les
vitesses de phase. Ainsi, le front de phase observé entre les deux spirales est bien une source
stable mais ce cas ne coincide avec aucun des différents cas répertoriés dans le travail de
van Hecke et al [9] car le motif étudié présente une inhomogénéité spatiale accompagnée
d’une dispersion anormale pour de faibles amplitudes.
4.4 Profils d’amplitude des spirales au voisinage de la source
Dans la zone d’interaction (III), pour un régime stationaire ∂A/∂t =0,etennégligeant
le terme avec ∂ 2 A/∂x 2 = 0, on obtient le système complexe de Ginzburg-Landau pour des
modules de l’amplitude sous la forme suivante :
τ 0 V ∂|A|
∂x = ɛ|A|−|A|3 − δ|B| 2 |A| (3)
−τ 0 V ∂|B|
∂x = ɛ|B|−|B|3 − δ|A| 2 |B| (4)
Les solutions du système sont
( 2(δ − 1)ɛx
|A|(x) =ɛ
[1 1/2 + exp
τ 0 V
)] −1/2
et
( )[ ( (δ − 1)ɛx
2(δ − 1)ɛx
|B|(x) =ɛ 1/2 exp
1 + exp
τ 0 V
τ 0 V
)] −1/2

160 N. Latrache, A. Ezersky, I. Mutabazi
Fig. 4: Source et puits
avec ɛ = |A| 2 + |B| 2 . Les profils des amplitudes |A| et |B| de la figure 4, montrent que
pour une dispersion normale (V g .V Ph > 0), l’existence du puits entre les deux ondes, et
pour une dispersion anormale (V g .V Ph < 0), la source est présente entre les deux ondes.
Dans notre cas, la dispersion est anormale donc le front de phase représente une source.
5 Conclusion
Nous avons étudié la dynamique spatiotemporelle du motif d’ondes spirales résultant
de la première bifurcation supercritique dans le système de Couette-Taylor en contrarotation.
Le motif présente une inhommogénéité spatiale associée la variation de l’amplitude
le long de l’axe des cylindres et à l’existence d’une source séparant les spirales
gauche et droite. La dépendence de la vitesse de groupe avec l’amplitude a montré que
dans les zones de faible amplitude, il y avait une dispersion anormale alors que dans les
zones de grande amplitude, la dispersion était normale. Il semble que le phénomène de
dispersion anormale n’avait pas été rapporté dans les études expérimentales sur les motifs
des ondes. La théorie générale de Ginzburg-Landau permet une bonne interprétation de
ce phénomène de dispersion.
Références
[1] C.D. Andereck, S.S. Liu and H.L. Swinney, J. Fluid Mech. 164, 155 (1986).
[2] P.G. Drazin, W.H. Reid, Hydrodynamic Stability , Cambridge University Press (1991).
[3] S.Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability , Oxford Science Press
(1961).
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[5] P. Bot and I. Mutabazi, Eur.Phys.J.B13, 141 (2000).
[6] P. Kolodner, Phys. Rev. A 46, 6452 (1992).
[7] N. Garnier, A. Chiffaudel, Phys.Rev.Lett., 86, 75 (2001).
[8] P. Coullet, T. Frish, F. Plaza, Physica D 62,75 (1993)
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Baltimore and London, (1999).

encontre du non-linéaire 2003 161
Solutions analytiques et numériques d’un système dynamique en
magnétohydrodynamique idéale
A. Laurian et S. Bouquet
CEA/DAM Ile-de-France
Département de Physique Théorique et Appliquée
91680 Bruyères-le-Châtel
aude.laurian@cea.fr
Résumé
On étudie l’expansion des restes de supernova (RSn) dans le milieu interstellaire
(MIS) magnétisé. On modélise le système à l’aide des équations de la magnétohydrodynamique
(MHD) idéale. Une méthode de redimensionnement est utilisée pour en trouver des
solutions analytiques. Elles sont instationnaires, bidimensionnelles et auto-semblables.
Un code fournit des solutions numériques du problème étudié. Les solutions numériques
et analytiques sont comparées et les avantages ainsi que les limites du code sont mis
en lumière.
1 Introduction
Lorsqu’une supernova explose, elle éjecte de la matière àtrès grande vitesse dans le
MIS. Très peu dense, celui-ci freine les jets de matière et une discontinuité decontact
apparaît, instable au sens de Rayleigh-Taylor [1],[2]. Au bout d’un temps très long, les
éjectas prennent la forme de doigts puis de filaments [3]. Si l’IRT permet d’expliquer en
partie la structure des RSn, il faut aussi tenir compte des effets magnétiques provenant
du champ magnétique résiduel du MIS et des champs auto-générés. Une relation complexe
s’instaure entre hydrodynamique et électromagnétisme et une description MHD des RSn
s’impose. L’influence de l’IRT a été étudiée pour des fluides incompressibles, magnétisés
ou non [4], [5]. La phase linéaire de l’IRT dans le cas compressible a notamment étéétudiée
analytiquement dans le cas hydrodynamique [6] et dans le cas MHD [7]. On s’intéresse à
l’influence de l’IRT sur les RSn compressibles dans le cadre de la MHD. A cette fin, on
étudie l’évolution des RSn dans le MIS magnétisé. On trouve des solutions analytiques
décrivant la dynamique du plasma. Ces solutions enrichissent la théorie actuelle et permettent
de valider un code de MHD [1].
2 Les équations de la MHD idéale
Le champ magnétique résiduel du MIS (environ 100µG) influence l’évolution des
RSn. Au cours de leur mouvement, ils génèrent un champ magnétique qui interagit avec
le champ extérieur. Un modèledeMHDidéale permet, dans un premier temps, de décrire
l’interaction complexe qui s’instaure entre hydrodynamique et électromagnétisme au sein
des RSn. Le plasma en expansion est supposé polytropique. De plus, on suppose que
–saviscositéestnégligeable
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

162 A. Laurian, S. Bouquet
– sa diffusivité magnétique est négligeable
–ilestélectriquement neutre
– sa vitesse est non relativiste
Sous ces hypothèses, il vérifie les équations suivantes:
⎧
∂ t ρ + ∇.(ρ⃗v)
⎪⎨
⃗ =0
∂ t ⃗v +(⃗v. ∇)⃗v ⃗ = ⃗g + (⃗ ∇× B)× ⃗ B ⃗ ∇p
µ 0 ρ
− ⃗ ρ
⃗∇×(⃗v × B)=∂ ⎪⎩
⃗ (1)
tB
⃗
p = Kρ γ
où ρ est la densité du plasma , ⃗v la vitesse globale du plasma , p la pression hydrodynamique
, B ⃗ le champ magnétique et ⃗g la gravité.
Dans le systèmedecoordonnées cylindriques (r,θ,z), on suppose que le mouvement est
bidimensionnel (∂ z ≡ 0) et que le champ magnétique et la force de gravité ont une composante
orthogonale au plan d’évolution du plasma ( B ⃗ = B⃗e z , ⃗g = g⃗e z ). Le système (1)
devient:
⎧
∂ t ρ + 1 r ∂ r(r ρv r )+ 1 r ∂ θ(ρ v θ )=0
∂ t v r +(v r ∂ r +
⎪⎨
v θ
r
∂ θ )v r = − 1 ρ ∂ r( B2
2µ 0
+ p)+ v2 θ
r
∂ t v θ +(v r ∂ r + v θ
r
∂ θ )v θ = − 1
rρ ∂ θ( B2
2µ 0
+ p) − vr v θ
r
(2)
∂ t v z +(v r ∂ r + v θ
r
∂ θ )v z = −g
∂ ⎪⎩ t B + 1 r ∂ r(r v r B)+ 1 r ∂ θ(B v θ )=0
p = Kρ γ
On reconnaît la pression magnétique B2
2µ 0
qui apparaît naturellement avec la pression hydrodynamique
p.
3 La méthode de résolution. Lois d’échelles
Une méthode pour intégrer un système d’équations différentielles partielles (EDP) est
celle du redimensionnement [9]. Elle consiste à simplifier le système d’EDP en utilisant le
groupe de transformations homothétiques et en en calculant les invariants.
Pour chaque grandeur physique x, on note x la grandeur correspondante redimensionnée,
définie par x = a αx x,où a est le paramètre de la transformation, appelée transformation
homothétique. En injectant le terme de droite de cette expression dans les équations du
système (2) et en imposant l’invariance de celles-ci, on détermine des relations entre les
exposants α x . Puis, si x et x ′ sont deux grandeurs physiques distinctes, on a:
soit:
a =
( x
1 ( x
′ ) 1
x) αx α
=
′ x
x ′
x
x ′µ =
x
x ′µ := ̂x
où µ = αx
α ′ x .
Ainsi ̂x est clairement un invariant pour la transformation homothétique. Afin d’éviter

Solutions analytiques et numériques en MHD idéale 163
une singularité enx ′ = 0 et d’adimensionner le dénominateur, on introduit la quantité
caractéristique de l’évolution du système, Ω et on pose:
̂x =
x
1+Ωx ′µ =
x
1+Ωx ′µ
Ce procédé permet d’absorber une variable indépendanteetdoncderéduire le système
d’EDP d’un ordre. On choisit d’absorber la variable temporelle pour se ramener àun
problème stationnaire dans le nouvel espace des invariants. Le système (2) devient:
⎧
µ ρ Ω ̂r ̂ρ − µ Ω ̂r 2 ∂̂r ̂ρ + ∂̂r (̂r ̂ρ ̂v r ) + ∂̂θ(̂ρ ̂v θ )=0
Ω µ r ̂v r + (̂v r − µ Ω ̂r) ∂̂r ̂v r +
⎪⎨
̂v θ̂r ̂v ∂̂θ r = − 1̂ρ ∂̂r(̂p + ̂B 2
2 µ 0
) + ̂v θ̂r
2
Ω µ θ ̂v θ + (̂v r − µ Ω ̂r) ∂̂r ̂v θ + ̂v θ̂r ̂v ∂̂θ θ = − 1
̂r ̂ρ ∂̂θ(̂p + ̂B 2
2 µ 0
) − ̂vr ̂v θ
̂r (3)
Ω µ z ̂v z + (̂v r − µ Ω ̂r) ∂̂r ̂v z + ̂v θ̂r ̂v ∂̂θ z = −ĝ
µ ⎪⎩ B Ω ̂r ̂B − µ Ω ̂r 2 ∂̂r ̂B + ∂̂r (̂r ̂B ̂v r ) + ∂̂θ( ̂B ̂v θ )=0
̂p = K ̂ρ γ
4 Solutions analytiques
Pour résoudre le système (3), on suppose son invariance par rotation (∂̂θ
≡ 0).
4.1 Solutions unidimensionnelles
On suppose que le plasma a un mouvement radial, sa vitesse de rotation ̂v θ est nulle.
Lorsque µ = 1 2
et γ =2,lesystème (3) a pour solution:
⎧
̂v r (̂r) = Ω̂r
2
⎪⎨
̂v θ (̂r) =0
̂v z (̂r) =− ĝ
⎪⎩
Ω µ z
Ω 2 ̂ρ
4
= K d̂r(̂ρ 2 )
̂r
+ d̂r( ̂B 2 )
2µ 0̂r
̂B(̂r) arbitraire
Cette classe de solutions est très vaste car à tout profil de densité correspond un profil de
champ magnétique.
Les solutions dans l’espace physique initial sont données par la transformation homothétique
inverse.
4.2 Solutions bidimensionnelles
On considère àprésent que le plasma a un mouvement radial et qu’il est en rotation.
On obtient les solutions suivantes:
⎧
̂v r (̂r) = Ω̂r
2
⎪⎨ ̂v 2 θ (̂r) =− Ω2 ̂r 2
4
+ ̂r
2µ 0 ̂ρ d̂r( ̂B 2 )+2K ̂r d̂r ̂ρ
̂v z (̂r) =− ĝ
Ω µ z
̂ρ(̂r) arbitraire
⎪⎩ ̂B(̂r) arbitraire
Cette famille de solutions est extrêmement riche puisque trois quantités sont liées par une
unique relation.

164 A. Laurian, S. Bouquet
Pour l’étude numérique, on choisira ̂v θ (̂r) =ω̂r (rotation d’un solide) où ω est la vitesse
angulaire. De plus, on considère deux cas test qui permettent d’obtenir des solutions explicites.
Le cas (a) consiste à supposer que le champ magnétique est proportionnel àla
densité (̂B = ĉρ, c constante), le cas (b) représente ( un plasma évoluant dans un ) tube
virtuel infiniment long suivant z et de rayon R ̂ρ(̂r) =ρ 0 (1 − ̂r2 ), ρ
R 2 0 = ̂ρ(̂r =0) .
5 Validation du code
Le code [1] résoud les équations de la MHD orthogonale idéale et résistive bi-température
dans un espace bidimensionnel et en variables lagrangiennes. Il repose sur un schéma de
type Godunov d’ordre 2, conservatif et entropique. Le système d’équations du problème
est décomposé en plusieurs sous-systèmes. Les deux directions d’espace ainsi que les divers
processus physiques (advection, résistivité, diffusion thermique, effet de la gravité,...) sont
traités séparément par une méthode de “splitting”. La méthode de “Lagrange-Projection”
est utilisée sur un maillage cartésien.
5.1 Résultats
D’une manière générale, l’introduction d’une vitesse de rotation ne modifie que très
légèrement les profils de densité etdechampmagnétique, comme le montrent les figures
1à6.
Remarques sur le cas (a)
Un phénomène de diffusion numérique semble expliquer une perte de précision au niveau
de la discontinuité deladensité. Comme le montre les figures 7 et 8, un raffinement du
maillage améliorerait le suivi de la discontinuité. Par conséquent, pour les différents temps
pris en compte, la solution numérique converge vers la solution analytique, ce qui montre
la stabilité duschéma dans ce cas.
Remarques sur le cas (b)
Ce cas génère des complications. Outre la diffusion numérique citée plus haut, un problème
intrinsèque au schéma est ici mis en évidence. La solution analytique définit le champ
magnétique sur un domaine plus grand que la densité et dans cet intervalle, ainsi que
sur le bord du domaine plasma où ladensité est faible, le rapport B ρ
devient très grand.
Ce quotient apparaît dans le terme de pression magnétique B2
8πρ
qui elle, intervient dans
le calcul de la condition CFL. Cet argument permet d’expliquer les problèmes observés
au niveau de la discontinuité du champ magnétique (figures 5 et 6). De plus, le champ
magnétique devient très faible au centre du domaine, ce qui peut entrainer des imprécisions
de calcul à cet endroit du maillage. Ceci justifierait les valeurs de densité aucentredu
domaine (figures 3 et 4), surévaluées par rapport à la solution analytique. Le schéma
numérique utilisé conduit tout de même àdesrésultats proches de la solution analytique.
De plus, on pourrait traiter l’interface plasma/vide à l’aide d’une méthode de raffinement
adaptatif afin d’améliorer la précision des résultats.

Solutions analytiques et numériques en MHD idéale 165
Fig. 1: (Degaucheàdroiteetdehautenbas)Figure1:(cas(a), v θ =0) Evolution temporelle
du profil de densité. Figure 2: (cas (a), v θ ≠0) Evolution temporelle du profil de densité. Figure
3: (cas (b), v θ =0) Evolution temporelle du profil de densité. Figure 4: (cas (b), v θ ≠0) Evolution
temporelle du profil de densité. Figure 5: (cas (b), v θ =0) Evolution temporelle du profil de champ
magnétique. Figure 6: (cas (b), v θ ≠0) Evolution temporelle du profil de champ magnétique. Figure
7: (cas (a), v θ =0) Influence du maillage sur la précision du profil de densité. Figure 8: (cas (a),
v θ =0) Influence du maillage sur la précision du profil de vitesse.

166 A. Laurian, S. Bouquet
6 Conclusion
On a étudié la phase d’expansion libre des RSn dans le MIS magnétisé. De nouvelles
solutions analytiques, bidimensionnelles et instationnaires, de la MHD idéale des fluides
compressibles ont été trouvées. La méthode de redimensionnement s’est avérée efficace
bien que contraignante. La recherche de solutions analytiques décrivant un fluide compressible
non invariant par rotation enrichirait les familles de solutions trouvées ici. Le
code développé aété validé mais quelques améliorations restent à faire: rafinement du
maillage, augmentation de l’ordre du schéma, meilleure gestion de la faible densité,...
Références
[1] J M. Blondin et D C. Ellison, Rayleigh-Taylor Instabilities in Young Supernova Remnants
Undergoing Efficient Particle Acceleration, The Astrophysical Journal, vol. 560,
pp 244-253, 10 octobre 2001
[2] R A. Chevalier et J M. Blondin, Hydrodynamic Instabilities in Supernova Remnants:
Early Radiative Cooling, The Astrophysical Journal, vol. 444, pp 312-317, 1 mai 1995
[3] J. Jeff Hester et al., WFPC2 Studies of the Crab Nebula.III. Magnetic Rayleigh-Taylor
Instabilities and the Origin of the Filaments, The Astrophysical Journal, vol.456,
pp.225-233, 1 janvier 1996
[4] N. Inogamov, The Role of Rayleigh-Taylor and Richtmyer-Meshkov Instabilities in
Astrophysics: An Introduction, Gordon and Breach, 1999
[5] S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford University
Press, 1961
[6] M. Tricottet, Les Instabilités de Rayleigh-Taylor dans les supernovae de type II, Thèse
de doctorat (en cours), Commissariat à l’Energie Atomique, Département de Physique
Théorique et Appliquée, 2003
[7] S. Liberatore, Obtention de la Relation de Dispersion pour l’IRT en Fluide
Magnétisé Compressible, Communication privée, Commissariat à l’Energie Atomique,
Département de Physique Théorique et Appliquée, 2003
[8] F. Duboc, Extension de schémas de Godunov à la MHD orthogonale résistive bitempérature
et termes de champs magnétiques auto-générés, Rapport de stage CEA,
2002
[9] S. Bouquet et al., Density Bifurcation in a Homogeneous Isotropic Collapsing Star,
The Astrophysical Journal, vol. 293, pp 494-503, 15 juin 1985

encontre du non-linéaire 2003 167
Signature topologique de chaos déterministe dans un oscillateur
paramétrique optique
Axelle Amon et Marc Lefranc
Laboratoire de Physique des Lasers, Atomes, Molécules,
Université de Lille 1, F-59655 Villeneuve d’Ascq, France
marc.lefranc@univ-lille1.fr
Résumé
La plupart des méthodes de caractérisation du chaos déterministe (par exemple
dimensions fractales ou exposants de Lyapunov) exigent que le système étudié soit
parfaitement stationnaire, c’est-à-dire que ses paramètres ne fluctuent pas dans le
temps. Or, c’est une condition difficile à remplir pour un certain nombre de systèmes,
notamment en biologie. En particulier, les oscillateurs paramétriques optiques triplement
résonants sont sensibles à de faibles perturbations de la longueur de cavité et
sont affectés par des effets thermiques à forte puissance, précisément dans les conditions
où instabilités et chaos sont susceptibles d’apparaître. A notre connaissance, la
seule trace expérimentale de chaos dans ce système est fournie par une bouffée de
comportement irrégulier extraite de signaux enregistrés récemment. Nous montrons
ici qu’une analyse topologique de ces signaux permet de prouver l’existence de chaos
dans l’OPO triplement résonant en dépit de l’absence de stationnarité de nos signaux.
La procédure à suivre pour déterminer si un signal irrégulier tel que celui de la figure 1(a)
est ou non indicateur de chaos déterministe est maintenant éprouvée et bien établie. On
plonge tout d’abord la série temporelle dans un espace des phases, construit, par exemple,
par la méthode des délais ou celle des dérivées successives. Si la trajectoire ainsi obtenue
ne présente aucune structure (par exemple, elle remplit l’espace), il est alors difficile
de conclure à une dynamique déterministe. Si au contraire la dynamique est clairement
confinée sur un objet géométrique tel que l’attracteur chaotique représenté à la figure 1(b),
on est fondé à soupçonner que l’on est en présence de chaos déterministe. La nature chaotique
de la dynamique doit être confirmée au moyen de méthodes de caractérisation quantitatives.
Si on obtient par exemple une dimension fractale non entière ou un plus grand
exposant de Lyapunov positif, il est alors possible de conclure que l’on est bien en présence
de chaos déterministe.
Cependant, ces mesures du chaos exigent que la série temporelle soit parfaitement
stationnaire. En effet, elles sont basées sur l’hypothèse que des points proches dans l’espace
des phases, donc correspondant en principe àdesétats proches, doivent avoir à court terme
des évolutions voisines. Or, les propriétés de récurrence d’une évolution chaotique font que
deux points proches dans l’espace des phases sont généralement associés à des points de
la série temporelle d’autant plus distants qu’eux-mêmes sont proches.
Si l’un des paramètres de contrôle n’est plus fixe mais varie au cours du temps, la
trajectoire ne reviendra au voisinage de sa condition initiale qu’après que le paramètre a
variédemanière appréciable : on ne pourra alors plus considérer que le système est presque
dans le même état que lors de son passage précédent et rien n’assure donc qu’il évoluera de
la même manière dans les instants suivants. Les méthodes classiques d’analyse deviennent
alors inapplicables.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

168 A. Amon et M. Lefranc
Fig. 1: (a) Signaux chaotiques observés dans un laser CO 2 dont les pertes intracavité sont
modulées àunefréquence de 380 kHz. (b) Attracteur chaotique reconstruit à partir des
signaux de la figure (a).
Si le laser CO 2 à pertes modulées dont proviennent les signaux de la figure 1 est
d’une stabilité exceptionnelle (les données accumulées sur plusieurs millions de période de
base peuvent être superposées), il n’est est pas de même pour tous les systèmes optiques.
Ainsi, l’oscillateur paramétrique optique (OPO) triplement résonant est-il particulièrement
sensible à des perturbations même faibles. En effet, il s’agit ici d’un système dont la cavité
est résonante pour les trois champs en interaction et sur lequel influent donc les moindres
fluctuations de la longueur de cavité. A forte puissance, c’est-à-dire dans les conditions où
l’OPO est susceptible de présenter du chaos, ces fluctuations sont causées par des effets
thermiques dans le cristal non linéaire. Dans certaines conditions, des variations infimes de
la température (∼ 5-25 mK) et de la longueur du cristal (∼ 1-5 nm) peuvent entraîner des
modulations de 100 % de l’intensité, notamment lorsqu’elles déclenchent des oscillations
autour d’un cycle de bistabilité dans un mécanisme àlaVanderPol[1].
Le signal de la figure 2(a) a été enregistré dans un OPO fonctionnant avec une puissance
de pompe de 3.5 W, dans une situation où les effets thermiques sont importants.
On voit au premier coup d’oeil qu’il est fortement non stationnaire : l’amplitude du régime
périodique à 3 MHz qui constitue l’essentiel du fichier varie fortement au cours du temps,
et on note un intervalle de temps entre t = 780µs ett = 880µs pendant le comportement
change brusquement et devient irrégulier (Figs. 2(b)-(e)). Pour un oeil exercé, les
signaux observés durant cet intervalle suggèrent irrésistiblement une dynamique chaotique.
En effet, on distingue clairement un doublement de période à la figure 2(b), ainsi que la
même bifurcation inversée à la fin de la figure 2(e). Par ailleurs, on repère de nombreuses
séquences où le comportement est transitoirement périodique. De tels événements sont en
général la marque d’une dynamique à petit nombre de degrés de liberté car ce n’est en
effet qu’à cette condition que le système peut revenir en un temps très court près d’un
état visité antérieurement.
Comme nous l’avons vu plus haut, le caractère manifestement non-stationnaire de la
série temporelle nous interdit en principe de lui appliquer les outils usuels. Cela ne serait
pas gênant si le signal de la figure ne constituait pas à notre connaissance la seule indication
expérimentale de l’existence de régimes chaotiques dans l’OPO triplement résonant. De
tels régimes ont été prédits il y a plus de quinze ans par Lugiato et al. [2], mais aucune
expérience n’avait confirmé jusqu’ici leur existence dans les dispositifs réels. Il était donc
important d’extraire autant d’information que possible du signal de la figure 2(a) et nous

Signature de chaos dans un oscillateur paramétrique optique 169
Signal intensity (arb. units) Signal intensity (arb. units) Signal intensity (arb. units) Signal intensity (arb. units) Signal intensity (arb. units)
0.04
0.038
0.036
0.034
0.032
0.03
0.028
0.026
0.024
700 750 800 850 900
Time (µs)
0.038
0.036
0.034
0.032
0.03
0.028
0.026
0.024
780 785 790 795 800
Time (µs)
0.038
0.036
0.034
0.032
0.03
0.028
0.026
0.024
805 810 815 820 825
Time (µs)
0.038
0.036
0.034
0.032
0.03
0.028
0.026
0.024
830 835 840 845
Time (µs)
0.038
0.036
0.034
0.032
0.03
0.028
0.026
0.024
850 855 860 865 870
Time (µs)
Fig. 2: (a) Bouffée de comportement irrégulier observée dans un oscillateur paramétrique
optique. (b)-(e) Les quatre tracés sont des agrandissements du segment compris entre 780
et 870 µs.
voulu déterminer jusqu’où on pouvait aller en utilisant les méthodes d’analyse classiques.
La figure 3 montre un portrait de phase reconstruit à partir du signal de la figure 2.
Malgré la forte non-stationnarité des signaux, on y voit ce qui ressemble às’yméprendre
à un attracteur chaotique de type Rössler, ce qui semble indiquer que les trajectoires du
système évoluent relativement peu avec le paramètre. Le trait vertical de la figure 3 indique
la position de la section de Poincaré que nous utilisons dans la suite de l’analyse. Pour

170 A. Amon et M. Lefranc
(a)
X(t+τ) (arb. units)
0.035
0.03
0.025
(b)
T n (ns)
500
450
400
350
300
250
200
0 50 100 150 200 250
n
0.025 0.03 0.035
X(t) (arb. units)
Fig. 3: (a) Portrait de phase (X(t),X(t + τ)) où X(t) est la série temporelle de la figure 2
et τ =55ns. La ligne verticale indique la section de Poincaré utilisée dans la suite de
l’analyse. Le flot tourne dans le sens des aiguilles d’une montre autour du trou central.
(b) Evolution des temps de vol entre deux sections de Poincaré dans la série temporelle
des Figs. 2(b)-(e). On voit que ce graphe dessine un diagramme de bifurcation.
caractériser la n-ième intersection de la trajectoire avec le plan de section, on mesure le
temps de vol T n entre la n-ième et la (n +1)-ième intersections, une grandeur peu sensible
au bruit expérimental. La figure 3(b) montre comment T n varie le long de la bouffée
irrégulière : ce graphe montre le diagramme de bifurcation d’un système qui parcourt une
cascade de doublement de période, passe par une zone chaotique jusqu’à atteindre une
fenêtre de période 3, puis effectue le même parcours en sens inverse. L’amplitude de ce
diagramme de bifurcation donne une idée du degré de variation des paramètres de contrôle.
Afin d’évaluer le degré dedéterminisme de ces données, on trace le diagramme de
premier retour (T n ,T n+1 ) (Fig. 4(a)). Si on identifie aisément une forme paraboloïde qui
rappelle la suite logistique, un examen attentif révèle également les limites de notre approche
: les trois intersections de ce diagramme correspondent en fait à une même orbite
périodique, on discerne plusieurs points de rebroussement qui correspondent vraisemblablement
à des auto-intersections de l’attracteur... Pour atténuer l’effet des variations des
paramètres de contrôle, on se limite alors à la première zone chaotique du diagramme 3(b),
situées entre les intersections 70 et 105, et on obtient le diagramme de la figure 4(b). Si le
500
(a)
500
(b)
450
450
400
400
T n+1 (ns)
350
300
T n+1 (ns)
350
300
250
250
200
200 250 300 350 400 450 500
T n (ns)
200
200 250 300 350 400 450 500
T n (ns)
Fig. 4: Diagramme de premier retour des temps de vol entre deux sections de Poincaré.
diagramme ainsi obtenu est beaucoup moins “flou” que celui de la figure 4(a), sa structure
est beaucoup plus fragmentaire. On peut deviner la structure d’une application unimo-

Signature de chaos dans un oscillateur paramétrique optique 171
dale, mais les 35 points du diagramme ne suffisent pas àétablir de manière rigoureuse la
nature chaotique de la dynamique, encore moins de la quantifier. On est donc confronté au
principe d’incertitude suivant : il faut choisir entre beaucoup de points brouillés, ou peu
de points qui n’échantillonnent pas l’attracteur de manière satisfaisante.
Heureusement, de puissantes méthodes topologiques [3] permettent d’échapper àce
principe d’incertitude, et d’utiliser un court segment de la série temporelle pour tout àla
fois prouver l’existence d’une dynamique chaotique et la quantifier. On avait remarqué la
présence dans la série temporelle d’une grand nombre de séquences périodiques. Une fois
plongées dans l’espace des phases tridimensionnel que nous avons utilisé, ces séquences
sont associées à des courbes fermées. Or, la courbe correspondant à une orbite de période
9 extraite des signaux nous fournit l’information recherchée(Fig.5):sontypedenoeudne
peut exister que dans un système chaotique, plus précisément dans un système dont l’entropie
topologique (une mesure du chaos) est supérieure à h T ∼ 0.377057. Cette signature
confirme donc irréfutablement que l’OPO peut présenter du chaos déterministe. On sait en
(a)
0.035
X(t+τ) (arb. units)
0.03
0.025
(b)
0.025 0.03 0.035
X(t) (arb. units)
Fig. 5: (a) Courbe fermée de période 9 extraite de la trajectoire de la fig. 3. L’insert
montre des segments de trajectoire au début de l’orbite et 9 périodes plus tard. (b) Schéma
de la tresse formée par l’orbite.
effet que la manière dont sont enlacées les orbites périodiques instables d’un flot chaotique
peut être analysée au moyen de la théorie des noeuds. L’organisation topologique globale
de ces orbites, y compris leurs invariants, peut être décrite de manière systématique par
des surfaces à plusieurs branches, les gabarits, sur lesquelles les orbites périodiques peut
être projetées sans modifier aucun de leurs invariants topologiques [3].
De manière remarquable, le type de noeud d’une orbite périodique ne varie pas sur
tout le domaine d’existence de l’orbite, et permet dans de nombreux cas de l’identifier
de manière certaine, constituant donc une véritable empreinte digitale. Plus largement, le
spectre de types de noeuds d’un attracteur caractérise les mécanismes d’étirement et de
repliement qui le façonnent [3]. En particulier, certains types de noeuds, tels celui de la
figure 5, ne peuvent exister que dans un système présentant du chaos déterministe.

172 A. Amon et M. Lefranc
Cette propriété peut s’expliquer simplement. Considérons la figure 6 où sontreprésentées
deux tresses correspondant à des noeuds différents. On place à l’extrémité gauche de
la tresse un petit élastique visitant tous les brins, qu’on fait ensuite coulisser de gauche à
droite sans qu’il traverse les brins de la tresse. On peut distinguer deux cas selon qu’au
cours de son trajet vers la droite, (a) l’élastique tourne simplement autour de la tresse
sans s’allonger, ou bien (b) s’allonge inexorablement au fur et à mesure des croisements.
Supposons que la tresse soit celle d’une orbite périodique plongée dans le flot et que
(a)
a
b
b
c
b
a
c
b
(b)
c
a
c
b
b
a
c
a
b
c
a
c
c
a
b
a
Fig. 6: Illustration de la notion d’entropie topologique d’une orbite périodique.
l’élastique soit un ensemble de conditions initiales. Si l’on se trouve dans le cas (b), cet
ensemble de points va s’allonger indéfiniment et les différents points vont se séparer de
manière exponentielle : le système mélange les trajectoires, il est nécessairement chaotique.
On peut alors calculer le taux de croissance de “l’élastique” avec le temps : il s’agit de l’entropie
topologique de l’orbite, qui ne dépend que de son type de noeud. L’orbite périodique
représentée à la figure 5 est une orbite de ce type, d’entropie h T ∼ 0.377057.
On objectera à juste titre qu’il ne s’agit pas d’une véritable orbite périodique, puisque
lorsqu’elle reboucle, les paramètres du système ont varié. Cependant, nous notons que les
segments de trajectoire situés autour de ses extrémités se superposent particulièrement
bien (voir insert de la fig. 5), ce qui indique une faible variation du champ de vecteurs
durant cet intervalle de temps. On peut donc conclure par continuité à l’existence d’une
orbite périodique avec le même type de noeud dans le système non perturbé.
En conclusion, l’analyse d’une orbite périodique extraite d’une bouffée chaotique de
100 µs nous a permis de prouver de manière robuste l’existence de régimes chaotiques dans
l’OPO malgré la non-stationnarité de nos signaux. L’avantage de l’analyse topologique
par rapport aux méthodes classiques et que l’information est extraite des propriétés de
récurrence à court terme (orbites périodiques) et non à long terme, et permet donc de
restreindre l’analyse à des intervalles de temps pendant lesquels le système varie peu.
Références
[1] P. Suret et al., Phys. Rev. A 61, 021805 (R) (2000).
[2] L. A. Lugiato et al., IlNuovoCimento10D, 959 (1988).
[3] R. Gilmore and M. Lefranc, The Topology of Chaos: Alice in Stretch and Squeezeland
(Wiley, New York, 2002).

encontre du non-linéaire 2003 173
Un modèle stochastique pour l’écoulement de Von-Karman
N. Leprovost, L. Marié, B. Dubrulle
CNRS, Groupe Instabilité et Turbulence, CEA/DSM/DRECAM/SPEC, F-91191
Gif sur Yvette Cedex, France
nicolas.leprovost@cea.fr
Résumé
Un système d’équations stochastiques nous sert àdécrire l’évolution de la vitesse
de rotation d’un disque ainsi que le couple appliquédansl’écoulement de Von-Karman.
Ce dernier est étudiédefaçon analytique pour deux modes de forçage: vitesse angulaire
ou couple constant. Le principal résultat est que l’on retrouve la relation expérimentale
de [9]: dans la limite de l’inertie du disque nulle, la puissance injecté dans la turbulence
fluctue deux fois moins lorsque l’on force à couple constant comparéauforçage à vitesse
angulaire constante. Ensuite, les distributions de probabilité de la vitesse angulaire et
du couple sont comparées à des données expérimentales.
1 Introduction
Le dispositif de Von-Karman est un dispositif très étudié [4, 5, 8] autant pour sa
capacité àcréer de la turbulence que pour ses propriétés vis-à-vis de l’effet dynamo. De par
son aspect (un cylindre avec un disque en rotation à chaque extrémité), il a été surnommé
”machine à laver”. Dans un récent travail, Titon et Cadot ([9]) ont étudié la statistique de
puissance injecté quand les disques tournent àlamême vitesse mais en sens opposé dans
une gamme de Reynolds comprise entre 2 × 10 4 et 5 × 10 5 . Ils se sont focalisés sur deux
régimes: dans le premier, la vitesse angulaire de rotation du disque est gardé constante et
dans le deuxième le couple appliqué est fixé. Pour ces deux modes d’injection d’énergie, la
forme des distributions de puissance injecté s’avère indépendante du nombre de Reynolds
et est globalement gaussienne avec une légère dissymétrie. Par contre, les fluctuations de
cette même puissance (plus précisément l’écart type) dépendent de façon importante du
mode d’injection de l’énergie: elles sont deux fois plus importantes dans le premier régime
que dans le second lorsque l’inertie du disque tend vers une limite nulle.
Dans cette étude, nous proposons un modèle stochastique qui permet de reproduire ce
résultat. Dans la première partie, le modèle est discuté; ensuite, on étudie analytiquement
les deux modes d’injection de l’énergie et la relation liant les fluctuations de puissance
est mise en évidence dans l’approximation d’un bruit de faible intensité. Finalement, le
modèle est confronté à des données expérimentales .
2 Le modèle
Comme remarqué par [9], l’équation de conservation du moment cinétique pour un
disque (en incluant les pales ainsi que le fluide compris entre celles-ci) s’écrit :
I dΩ
dt =Γ m(t)+Γ f (t) (1)
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

174 N. Leprovost, L. Marié, B. Dubrulle
où Ω est la vitesse de rotation des disques, Γ m est le moment fournie par le moteur et Γ f
estlecoupledû au fluide (couple turbulent). Ce dernier peut s’écrire:
∫
Γ f ∝ u θ (z =0)u z (z =0)dS (2)
Par convention, on a placé ledisqueenz =0.u θ et u z sont les vitesses angulaires et
axiales, quantités fluctuantes à cause du caractère turbulent de l’écoulement. D’un point
de vue dimensionnel, la partie moyenne de Γ f doit être proportionnel àΩ 2 et donc on
l’écrit Γ f = cΩ | Ω |−ξ où ξ est un bruit dont les propriétés reste àdéterminer. On a
inclus une valeur absolue dans la définition de la partie déterministe de Γ f afin d’introduire
une dissymétrie entre ±Ω. En effet, près des disques et sans turbulence (ξ = 0), on doit
avoir une solution stationnaire unique pour Ω. L’équation d’évolution pour Ω peut donc
s’écrire:
I dΩ
dt =Γ m(t) − cΩ | Ω | +ξ (3)
Il nous reste àpréciser la statistique de ξ. Tout d’abord dans un souci de simplicité,
nous avons considéré le cas d’un bruit additif (ξ indépendant de Ω) mais les calculs se
généralisent assez facilement au cas d’un bruit multiplicatif. Ensuite, assez naturellement
en turbulence, nous avons choisi une corrélation en temps exponentielle: =
D
τ exp(− |t−t′ |
τ
)où < · > représente une moyenne sur les réalisations du bruit. De façon
équivalente, ξ peut être représenté par un processus de Ornstein-Uhlenbeck ([2]):
dξ
dt = − 1 τ ξ + Γ τ , (4)
où Γ est un bruit gaussien de moyenne nulle et δ-corrélé entemps.
Il faut noter qu’en utilisant un modèle quasi linéaire de turbulence ([10]), il est possible
de dériver le système d’équations 3 et 4 à partir de Navier-Stokes ([12]).
3 Résultats analytiques
Le système d’équations 3 et 4 peut être étudié analytiquement dans deux cas qui
correspondent à ceux étudiés expérimentalement par [9]: le Ω-mode dans lequel les moteurs
sont régulés à vitesse angulaire constante et le Γ-mode dans lequel le couple délivré par
les moteurs est gardé constant. Nous traitons ces régimes séparément en nous concentrant
sur l’étude de la puissance fournie par les moteurs: P =Γ m Ω.
3.1 Ω-mode
Dans ce cas, Ω = cte et l’équation 3 se réduit àΓ m =Γ f = cΩ 2 −ξ. Enconséquence, la
statistique de P se déduit directement de celle de ξ; c’est une variable aléatoire gaussienne
de moyenne cΩ 3 et de variance:
δPΩ 2 =Ω 2 D τ . (5)
3.2 Γ-mode
Dans ce cas, Γ m = cte et le calcul est un peu plus difficile. On a àrésoudre l’équations
stochastique suivante pour déterminer la distribution de probabilité deΩ:
I dΩ
dt =Γ m − c | Ω | Ω+ξ(t) (6)

Un modèle stochastique pour l’écoulement de Von-Karman 175
D’un point de vue technique, le problème vient de ce que ξ n’est pas un bruit δ-corrélé
en temps. Cependant, cette difficulté peutêtre contournée en utilisant l’approximation
UCNA (unified colored noise approximation) développé par [3, 7]. Sous cette approximation
(valable pour des temps de corrélation du bruit très grand ou très petit), l’équation
précédente peut se réécrire:
dΩ
dt = Γ m − c | Ω | Ω
+ Γ(t)
ε(Ω) ε(Ω)
(7)
avec ε(Ω) = I +2cτ | Ω |. Cette équation étant maintenant Markovienne, on peut lui
appliquer les techniques standard des processus stochastiques ([2]) et dériver la distribution
de probabilité de Ω dans le cas stationnaire:
P s (Ω) = N(I +2cτ | Ω |) exp 1 D [IΩ(Γ m − CΩ 2 θ(Ω)/3) + cτΩ 2 (Γ m θ(Ω) − cΩ 2 /2)] (8)
où θ est la fonction signe. Dans la perspective d’une comparaison avec l’Ω-mode, nous
devons calculer le moment d’ordre 2 de cette distribution ce qui n’est pas faisable dans
le cas général. Dans la section suivante, nous dérivons cette quantité (enfait,lemoment
d’ordre quelconque) dans le cas où l’intensité dubruitD est faible.
3.3 La limite du bruit de faible intensité
√On réécrit la densité de probabilité pour Ω sous une forme adimensionnalisé: avec
χ = c
Γ m
Ω, R 2 = 2D et S =
τΓ 2 √ 2I
m
cΓmτ
, on obtient pour la distribution stationnaire de χ:
P s (χ) =N(| χ | + S 4 )e− 1
R 2 [(χ2 −θ(χ)) 2 −Sχ+ S 3 θ(χ)χ3 ]
(9)
où N représente la normalisation.
On veut calculer = N ∫ +∞
−∞ f n(t) exp[− 1 R 2 Φ(t)]dt avec:
f n (t) =t n (| t | + S 4 ) (10)
Φ(t) =(t 2 − θ(t)) 2 − St + S 3 θ(t)t3 (11)
En utilisant la méthode du col (cf [1]) jusqu’au second ordre en 1 , on obtient dans
R 2
la limite R ≪ 1:
=1−
4(4 + S) n(2 − n)+O(R4 ) (12)
à partir de cette expression, on peut calculer la variance en unités adimensionalisées,
toujours dans la limite R ≪ 1 et prendre la limite S −→ 0(i.e., l’inertie du disque tend
vers 0):
− 2
2 =
R 2
2(4 + S) + O(R4 ) −→ R2
8
Et en récrivant cette équation pour Ω, on retrouve la relation expérimentalede[9]dans
la limite de l’inertie des disques nulle et du faible bruit.
(13)
δP 2 Γ =Γ 2 m[< Ω 2 > − < Ω > 2 ]=Γ 2 m
R 2
8 < Ω >2 = D 4τ < Ω >2 = 1 4 δP 2 Ω (14)

176 N. Leprovost, L. Marié, B. Dubrulle
Pour étudier l’influence de l’intensité du bruit sur la relation précédente, on a représentésur
la figure 1, α = − 2
calculé numériquement à partir de 9 en fonction de l’inertie
R 2 2
adimensionalisée,Setsimultanément l’expression dérivée de 12: dans la limite R ≪ 1,
1
α =
2(4+S)
.OnpeutvoirquepourR1, les deux quantités s’écartent sensiblement l’une
de l’autre. De plus, dans ce dernier cas α ne tend plus vers 1 8
quand S −→ 0. La relation
14 est donc valable sous la double condition: R

Un modèle stochastique pour l’écoulement de Von-Karman 177
-2
-3
ln()= ln(D/τ)+∆t/ τ
-4
ln()
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
∆t (s)
Fig. 2: Corrélation temporelle du couple turbulent a partir de laquelle on estime la valeur
du temps de corrélation et le paramètre D.
0.45
0.4
0.35
0.3
P s
(Ω)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
Ω
Fig. 3: Points: PDF de la vitesse angulaire quand le système est forcé à couple constant
(Γ m =2.8 Kg.m 2 .s −2 )etligne continue: la prédiction construite à partir des parmètres
déterminé enΩ-mode

178 N. Leprovost, L. Marié, B. Dubrulle
sont D =2.5 10 −3 Kg 2 .m 4 .s −3 and τ =0.05 s. Le dernier paramètre c est obtenu à partir
de la valeur moyenne de Γ f , qui nous donne c = 7.39 10 −4 Kg.m 2 . L’observation de
l’Ω-mode nous permet de déterminer l’ensemble des paramètres de notre modèle et donc
de prédire sans degré deliberté supplémentaire quelle sera la distribution de Ω lorsque
l’on forcera à couple constant: une distribution dont la forme est donnée par l’équation
6. La figure 3 montre les données expérimentales dans une expérience à couple constant
(Γ m =2.8 Kg.m 2 .s −2 ) et telle que la vitesse angulaire moyenne soit la même que celle de
l’Ω-mode, 50 rad.s −1 . Comme on peut le constater, l’accord entre la courbe expérimentale
et la prédiction est très bon.
5 Conclusion
Grâce àunmodèle stochastique de la turbulence dans le dispositif de Von-Karman
que nous avons testé sur des données expérimentales, nous avons été capable de retrouver
quelques caractéristiques de cet écoulement. Plus précisément, nous avons retrouvé une
observation expérimentale reliant les fluctuations de puissance injecté entre 2 modes d’injection
(équation 14). De plus, le modèle une fois calibré grâce aux données d’un mode de
forçage (Ω-mode) a permis la prédiction de la forme de la distribution de probabilité de
Ωdansl’autremodedeforçage sans recours à aucun paramètre ajustable.
Références
[1] C.M. Bender and S.A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and
engineers, Mc Graw Hill,
[2] N.G. van Kampen, Stochastic processes in physics and chemistry, North-Holland,
1981,
[3] P. Jung et P. Hänggi, Dynamical systems: a unified colored-noise approximation, Physical
review A, Vol. 35, No.10, pp. 4464-4466, 1987,
[4] R. Labbé et al., Power Fluctuations in turbulent swirling flows, Jour. Phys. II, Vol.
6, pp. 1099-1110, 1996,
[5] O. Cadot et al., Energy injection in closed turbulent flows: stirring through boundary
layers versus inertial stirring, Phys. Rev. E, Vol. 56, pp. 427–433, 1997,
[6] J-F. Pinton et al., Power Fluctiations in a closed turbulent shear flow, Phys. Rev. E,
Vol. 60, pp. R2452-R2455, 1999,
[7] S.Z. Ke et al., Phase transitions in a bistable system driven by two colored noises,
Eur. Phys. J. B, Vol. 12, pp. 119–122, 1999,
[8] S. Aumaitre et al., Large scale correlations for energy injection mechanisms in swirling
turbulent flows, Eur.Phys.J.B,Vol. 16, pp. 563-567, 2000,
[9] J.H.C. Titon et O. Cadot, The statistics of power injected in a closed turbulent flow:
constant torque forcing vs constant velocity forcing, unpublished,
[10] J.-P. Laval et al., Langevin models of turbulence: RG, DSTA or RDT ?, à paraitre
dans Phys. Fluids
[11] L. Marié et al., Numerical study of homogeneous dynamo based on experimental von-
Karman type flows, submitted to EpJ B,
[12] N. Leprovost, L. Marié etB.Dubrulle,A turbulent model of torques in von Karman
swirling flow, submitted to To EpJ B,

encontre du non-linéaire 2003 179
Un modèle chaotique pour l’activité solaire
C. Letellier 1 ,J.Maquet 1 ,L.A.Aguirre 2 ,R.Gilmore 3 et T. Dudok de Wit 4
1 CORIA UMR 6614, BP 12, 76801 Saint-Etienne du Rouvray cedex
2 UFMG, Av. Antônio Carlos 6627, 31.270-901 Belo Horizonte, Brazil
3 Physics Department, Drexel University, Philadelphia, PA 19104, USA
4 LPCE - CNRS, 3A, av. de la Recherche Scientifique, 45071 Orléans cedex 2
Christophe.Letellier@coria.fr
Résumé
La modélisation de la dynamique sous-jacente à l’activité solaire est particulièrement
importante dans la mesure où celle-ci à des influences variées sur les propriétés de
l’atmosphère terrestre. Une quantité reflétant relativement bien cette activité est
constituée par le nombre de taches solaires ou, plus exactement, l’indice de Wolf.
Une propriété importante doit être ajoutée à cet indice : une symétrie qui résulte de
l’inversion du champ magnétique à chaque cycle de 11 ans. Nous proposons ici une
technique originale pour introduire cette symétrie, ainsi que deux modèles, l’un discret,
l’autre continu, pour l’activité solaire. La procédure de modélisation est validée
sur le système de Rössler auquel est injecté un bruit multiplicatif afin de reproduire
la composante stochastique nécessairement associé à l’indice de Wolf.
L’activité solaire se traduit par des zones actives de la photosphère solaire où le champ
magnétique est intense et susceptible de provoquer des éruptions. Il existe donc une
corrélation directe entre le nombre de Wolf et l’activité solaire. La variabilité de cette
activité fût découverte par Schwabe qui remarqua un cycle de onze anns. En 1911, Hale
et ses collègues découvrirent que la polarité du champ magnétique s’inverse tous les onze
ans [1]. Bien que certains aspects du cycle solaire soient relativement bien expliqués par
l’effet dynamo, il reste incertain si ces irrégularités résultent de dynamiques déterministes
ou stochastiques. Aucune des études impliquant la théorie des systèmes dynamiques non
linéaires[2,3,4]nemontrademanière convaincante que l’activité solaire pouvait être
chaotique. Néanmoins, depuis la fin des années 80, plusieurs techniques de modélisation
globale permettent de construire des équations différentielles ou discrètes qui, par leur
intégration, génèrent des données synthétiques offrant la possibilité d’une analyse précise
de la dynamique sous-jacente [5]. Ces techniques sont suffisamment puissantes pour fournir
des modèles à partir d’un ensemble réduit de données. L’obtention de tels models est
évidemment une signature forte de l’existence d’une composante déterministe au sein de
la dynamique du système étudié.
1 Indice de Wolf et espace des phases reconstruit
Il peut paraître ambitieux de vouloir ramener la dynamique du soleil à celle de l’indice
de Wolf. Néanmoins, de nombreuses observations montrent que des grandeurs physiques
telles que le champ magnétique moyen ou l’irradiance dans le domaine de l’ultra-violet sont
remarquablement bien décrites par un tel indice. L’indice de Wolf, dont la mesure débuta
en 1750 et fut quotidienne dès 1850, est une mesure pondérée du nombre et de la superficie
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

180 C. Letellier, J. Maquet, L.A. Aguirre, R. Gilmore & T. Dudok de Wit
des taches solaires. Depuis 1947, un autre indice d’activité, le flux radio, est mesuré àla
longueur d’onde de 10,7 cm ; de nombreuses études ont montré son excellente corrélation
avec l’indice de Wolf, confirmant la pertinence de l’indice de Wolf en tant que traceur de
l’activité solaire. Aujourd’hui, on dispose ainsi d’environ 23 cycles (Fig. 1), ce qui est très
insuffisant pour la recherche de signature de dynamiques chaotiques à l’aide de calculs
de dimension ou d’exposants de Lyapunov mais nous montrerons que cela est largement
suffisant pour les techniques de modélisation globale. De plus, les données antérieures à
1850 ont été construites par Wolf et présentent une dynamique sous-jacente pourvue de
caractéristiques assez différentes de celles postérieures à cette date [6]. Notons qu’après
1850, il demeure au sein des données des fluctuations qui ne peuvent être expliquées en
termes de dynamiques déterministes de basse dimension [6]. Les tentatives connues pour
obtenir un modèle global utilisèrent l’ensemble des données, ce qui pourrait expliquer leur
succès limité [7]. Enfin les inversions du champ magnétique doivent être introduites “à la
300
250
200
R(t) 150
100
50
0
1750 1800 1850 1900 1950 2000
Temps (année)
Fig. 1: Nombre de taches solaires moyenné mensuellement utilisant l’indice de Wolf R =
k(10g + f) où g dénombre le nombre de groupes de taches solaires et f celui des taches
individuelles. Le facteur k fut introduit de manière à normaliser les différents observateurs
qui contibuèrent. Les données antérieures à 1850 ne sont pas très fiables.
main”. Ceci a été effectué par le passé en changeant le signe des cycles pairs. Le signe
de l’indice de Wolf change donc à chaque cycle de onze ans. Cette procédure présente
le désavantage de forcer les trajectoires à passer près de l’origine de l’espace des phases
lorsque l’on passe d’un cycle à l’autre. Dans cette zone, la contamination des données par
le bruit est suffisante pour interdire toute modélisation globale satisfaisante. De plus, nous
montrerons que cette procédure n’est pas appropriée.
Puisque nous nous intéressons principalement aux fluctuations àlongtermedela
dynamique solaire, nous préférons utiliser le nombre de tache moyenné mensuellement
plutôt que le nombre journalier qui présente un taux de fluctuations haute-fréquence
considérable [8]. L’espace des phases est donc reconstruit à l’aide des coordonnées décalées
{u 1 = R(t),u 2 = R(t + τ),u 3 = R(t +2τ), ...} où τ estundécalage temporel que nous
avons fixé à 15 mois, soit une valeur proche de celle utilisée précédemment [2]. Le portrait
de phase (Fig. 2a) présente encore des fluctuations de fréquence trop élevée par rapport à
celle du cycle : de plus, elles sont sans structure apparente. Nous les assimilons donc à une
composante stochastique et nous appliquons un lissage de ses fluctuations (Fig. 2b). Ceci
n’affecte pas significativement l’allure globale du portrait de phase mais cela simplifiera
considérablement la modélisation.
Le cycle de 11 ans est piloté par le cycle de 22 ans du champ magnétique De ce point
de vue, la mesure du nombre de taches solaires R(t) est reliée au champ magnétique B(t)
comme le serait l’intensité, c’est-à-dire R(t) ∝|B(t)| 2 . Notre objectif est de construire

Un modèle chaotique pour l’activité solaire 181
200
200
175
175
150
150
u 2
(t)
125
100
75
u 2
(t)
125
100
75
50
50
25
0
0 25 50 75 100 125 150 175 200
u 1
(t)
25
0
0 25 50 75 100 125 150 175 200
u 1
(t)
(a) Données non lissées
(b) Données lissées
Fig. 2: Projection plane des portraits de phase utilisant les coordonnées décalées. Le
décalage de 15 mois est inférieure à un quart de la période d’un cycle, seuil maximum
habituellement reconnu pour un plongement correct. Notez que les 23 cycles enregistrés
depuis 1749 sont ici représentés.
un modèle lié au champ magnétique. Pour être explicite, nous construisons une double
couverture [10] de l’attracteur reconstruit à partir de l’indice de Wolf (Fig. 2b). Une
double couverture possible est obtenue à l’aide de la transformation
Ψ=
∣
u 1 = R(x + iy) 2 = x 2 − y 2
u 2 = I(x + iy) 2 = 2xy
u 3 = z
où i = √ −1, R et I indiquant respectivement les parties réelle et imaginaire. Toute
double couverture obtenue à l’aide de l’inverse de cette transformation est symétrique
sous une rotation de π radians autour de l’axe z dans l’espace R 3 (x, y, z). Ici, nous avons
estimé qu’un espace de dimension trois était suffisant (ceci sera rediscuté section suivante).
L’image, sans symétrie résiduelle dans l’espace R 3 (u 1 ,u 2 ,u 3 ), et la double couverture dans
l’espace R 3 (x, y, z) sont donc reliées par un difféomorphisme local défini par la transformation
Ψ [10]. Des couvertures de topologies différentes peuvent être obtenues suivant la
position de l’axe de rotation [10, 10].
De manière à garantir la loi de Hale sur la polarité du champ magnétique, l’axe de
rotation doit être localisé au centre de la partie non visitée du portrait de phase (Fig. 2b).
Si tel n’est pas le cas, c’est-à-dire si l’axe de rotation est placé au voisinage de l’origine, la
double couverture de l’attracteur sera similaire à la configuration du système de Lorenz et
le signe du champ magnétique change chaotiquement d’un cycle à l’autre. Une projection
plane de la double couverture (Fig. 3a) est obtenue lorsque l’axe de rotation est placé au
centre de l’attracteur image (Fig. 2b), c’est-à-dire lorsque la translation u 1 ↦→ u 1 − 30,
u 2 ↦→ u 2 − 30, u 3 ↦→ u 3 est appliquée.
(1)
2 Modélisation globale à partir de données bruitées
Les techniques de modélisation globale permettent d’obtenir un système d’équations
différentielles lorsque le plongement est réalisé à l’aide des coordonnées dérivées [5]. Des
équations discrètes peuvent être obtenues en utilisant un plongement réalisé àpartirdes

182 C. Letellier, J. Maquet, L.A. Aguirre, R. Gilmore & T. Dudok de Wit
0,4
0,4
0,2
0,2
Y
0
Y
0
-0,2
-0,2
-0,4
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
(a) Couverture de l’attracteur image
-0,4
Modèle différentiel
Données observationnelles
-10 -5 0 5 10 15
X
(b) Portrait de phase du modèle
Fig. 3: Double couverture (a) obtenue à partir de l’attracteur image (Fig. 2b). La couverture
est ici reconstruite à l’aide des coordonnées dérivées à partir de la variable x afin de
permettre une comparaison directe avec le portrait de phase du modèle différentiel (b). La
couverture présente l’avantage de déplier l’attracteur et de réduire l’effet des fluctuations
stochastiques (X = x et Y =ẋ).
coordonnées décalées [11]. Un modèle différentiel est de la forme
⎧
⎨
⎩
Ẋ = Y
Ẏ = Z
Ż = F (X, Y, Z)
où X = x, Y =ẋ et Z =ẍ. Précisons que le plongement différentiel obtenu àpartirdela
variable x de la couverture présente nécessairement une symétrie centrale ce qui se traduit
par des monômes X i Y j Z k du polynôme utilisé pour l’estimation de la fonction F (X, Y, Z)
tels que i + j + k soit impair. Puisque les données antérieures à 1850 sont insuffisamment
fiables, seules les données postérieures à cette date sont utilisées. En fait, les deux premiers
cycles et demi sont suffisants pour obtenir un modèle. L’intégration du modèle est
représentée Fig. 3b. Un modèle NARMA [11] également proche de la dynamique originale
est obtenu. Le modèle différentiel est de dimension trois, justifiant ainsi la dimension de
plongement choisie. Notons qu’il n’est pas possible d’obtenir un modèle différentiel si la
dimensionalité choisie n’est pas pertinente. Ici, aucun autre modèle n’a pu être obtenu
avec des dimensions supérieures.
Ces deux modèles peuvent être respectivement intégré etitéré sur des intervalles
de temps particulièrement long (aucune instabilité numérique n’a été constatée). Toute
intégration issue de conditions initiales prises parmi les données postérieures à 1850 conduit
à une convergence vers le même attracteur. Les données synthétiques peuvent alors être
utilisées pour une caractérisation topologique très fine. Pour les deux modèles, la structure
topologique se résume à une suspension du fer-à-cheval de Smale avec une torsion globale :
en d’autres termes, l’attracteur a la topologie d’un attracteur solution du système de
Rössler auquel est ajouté une torsion globale d’un demi-tour. La suggestion d’utiliser
le système de Rössler comme un paradigme pour l’étude de l’activité solaire [4] n’était
donc pas aberrante. Etant donné que les nombres de taches solaires présentent un niveau
considérable de fluctuations haute fréquence et que nous avons été amenéà appliquer
un lissage relativement sévère, il est important de vérifier que la dynamique finalement
obtenue demeure proche de la dynamique originale. Nous ne pouvons faire cela directement
en raison du trop faible nombre de cycles disponibles. Aussi, nous utiliserons le système
(2)

Un modèle chaotique pour l’activité solaire 183
4
4
4
2
2
2
0
0
0
y(t+t)
-2
y(t+t)
-2
y(t+t)
-2
-4
-4
-4
-6
-6
-6
-8
-8 -6 -4 -2 0 2 4
y(t)
(a) Original
-8
-8 -6 -4 -2 0 2 4
y(t)
(b) Bruité
-8
-8 -6 -4 -2 0 2 4
y(t)
(c) Bruité et lissé
Fig. 4: Comportement chaotique du système de Rössler (a) pour a =0.405, b =2et c =4.
La dynamique bruitée (b) est ensuite lissée (c). Projections planes de l’espace des phases
reconstruit à l’aide des coordonnées décalées à partir de la variable y.
de Rössler intégré avec injection d’un bruit multiplicatif. Le pas de temps (δt =0.04 s) est
choisi de manière à ce que nous disposions d’environ 12×11 points par oscillations comme
pour le cycle solaire. Le lissage est le même que celui utilisé pourlesdonnées solaires.
Le niveau de bruit injecté est choisi de manière à obtenir un attracteur reconstruit à
partir de la variable y avec des oscillations haute fréquence (Fig. 4b) comparables à celles
observées sur l’attracteur associé au cycle solaire (Fig. 2a). Le décalage est le même que
celui utilisé pourl’étude du cycle solaire (τ =15δt). Il est à noter que la dynamique bruitée
et lissée (Fig. 4c) est relativement différente de celle non bruitée (Fig. 4a) : une partie des
effets du bruit multiplicatif reste présente dans les données qui vont être utilisées pour la
modélisation.
Un modèle est alors tenté à partir d’une fenêtre de 2,5 cycles (400 points) comme pour
le soleil. Le modèle présenté icirésulte du modèle discret mais des résultats similaires sont
obtenusaveclemodèle différentiel. Son itération conduit à un comportement chaotique
(Fig. 5a) très proche de la dynamique originale (Fig. 4a). Une application de premier
retour révèle une structure légèrement feuilletée de la branche décroissante (Fig. 5b),
comportement classique dès que le processus de repliement est contrarié par du bruit ou
associé à une faible dissipation. Globalement, les orbites périodiques s’inscrivent sur un
gabarit équivalent à celui de la dynamique originale. Le modèle obtenu fournit donc une
dynamique “filtrée” très proche de la dynamique originale. La procéduredemodélisation
(lissage+modélisation) est donc validée. Rappelons que le niveau de bruit injecté esttrès
important.
3 Conclusion
A partir du comptage des taches solaires depuis 1850, il a été possible d’extraire un
modèle tridimensionnel reproduisant la composante déterministe de la dynamique sousjacente.
L’intégration du modèle ne conduit pas à des oscillations de même amplitude ;
cette différence provient de la composante stochastique dont le modèle ne tient pas compte,
par nature. La composante déterministe n’est donc pas proposée de manière ad hoc comme
dans d’autres travaux [8] mais par extraction directe à partir des données observationnelles.
La composante déterministe de l’activité solaire est donc de basse dimension et chaotique :
sa topologie est celle d’un systèmedeRössler auquel est ajoutée une torsion globale d’un
demi-tour.

184 C. Letellier, J. Maquet, L.A. Aguirre, R. Gilmore & T. Dudok de Wit
y(t+t)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
y(t)
y n+1
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6
y n
(a) Portrait de phase
(b) Application de premier retour
Fig. 5: Comportement chaotique obtenu par itération du modèle discret.
Rermerciements :LacollaborationentreL.A.etC.L.estsoutenueparleCNPq
et le CNRS. R. G. est soutenu partiellement par la NSF Grant PHY 9987468. Une partie
de ce travail a été réaliséedurantunséjour de C. L. à l’Université Drexel.
Références
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sun-spots, Astr. J., 49, 153-178, 1919.
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encontre du non-linéaire 2003 185
Information et réseauxcomplexesdanslasociété
Luis López et Miguel A. F. Sanjuán
Grupo de Dinámica No Lineal y Teoría del Caos
Departamento de Matemáticas y Física Aplicadas y Ciencias de la Naturaleza
Universidad Rey Juan Carlos
Tulipán s/n, 28933 Móstoles (Madrid), Espagne
llopez@escet.urjc.es
Résumé
Dans le contexte des réseaux complexes, un modèle est développé pourlesréseaux
sociaux avec la proprieté qu’il y ait une certaine dégradation de l’information qui
traverse les réseaux. Différentes topologies d’interconexion sont analysés et un degré
de coordination moyen qui peut être associé avec une notion d’efficience est defini.
En acceptant qu’il y ait une limite pour l’information qu’une persone peut controler,
on montre qu’il existe un relation étroite entre la structure du réseaux et sa taille
maximalle.
1 Introduction
L’étude et la caractérisation des systèmes complexes par l’utilisation des réseaux
constitue des nos jours un sujet de recherche d’une activité importante,où il existe une
multitude de problèmes intéressants non résolus. Dans ce domaine, la théorie des graphes
et l’analyse des réseaux jouent un rôle exceptionnel et pour cette raison, elles gagnent une
grande popularité due à leur capacité àréduire un système à ses composants et relations
simples. C’est peut-être ce pouvoir réductionniste qui permet àlacaractérisation des
réseaux d’être présente dans différentes disciplines scientifiques et technologiques comme
dans la neurobiologie [1], l’Internet [2], le WWW [3, 4], l’économie[5],etc...
De plus, des nombreux physiciens ont centré leurs intérêts de recherche sur les réseaux
complexes, comme le démontrent les multiples articles parus ces dernières années dans la
litérature [6, 7, 8]. La plupart des récents efforts réalisés en relation avec les réseaux complexes
a été synthétisé dans l’excellent article [9]. Parmi les réseaux complexes, les réseaux
sociaux apparaissent de façon naturelle et comme dans n’importe quel autre système complexe,
ils peuvent être analysés dans le cadre de la théorie des graphes [8, 10]. Un graphe
G se compose d’un ensemble non vide d’éléments, nommés sommets, et d’une liste de
pairs non ordonnés de ces éléments dénommés arêtes. Si i et j sont des sommets de G,
alors on dit qu’une arête de la forme de (i, j), unit i à j. De nombreux systèmes complexes
intéressants sont construits avec des composants simples qui maintiennent des relations
entre eux. La représentation graphique de ces systèmes est directe, simplement en
considérant que chaque composant simple est un sommet et que chaque relation est une
arête. Toute structure sociale est composée de différents types d’éléments comme les êtres
humains, les groupes de personnes, les nations, etc., qui sont reliésselonunensemblede
règles qui définissent l’existence et le degré de leurs relations. Un exemple très connu de
réseau social est le jeu de Kevin Bacon développé par Brett Tjaden et étudié par Watts
[11] dans le contexte du phénomène small world. Danscemodèle, chaque acteur ou actrice
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

186 Luis López et Miguel A. F. Sanjuán
se considère comme le sommet d’un graphe, deux sommets sont reliés par une arête seulement
si tous les deux ont participé àunmême film. Un autre exemple intéressant a été
développé par Newman [8] étudiant les réseaux de la collaboration scientifique. Dans ce
cas, chaque sommet du graphe représente le détail d’un auteur scientifique, deux auteurs
sont unis quand ils ont participé au moins àunmême article ensemble. D’autres exemples
sont liés au réseau des contacts sexuels humains [12] et au phénomène small world [13, 14].
Par conséquent, en utilisant seulement deux ingrédients: les éléments, représentés par les
sommets, et les relations, représentées par les arêtes,ilestpossiblededéfinir n’importe
quelle classe de structure sociale. Ici, nous sommes particulièrement intéressés par l’étude
des réseaux de collaboration qui surgissent dans les communautés ou les organismes humains.
En se servant de ces techniques, notre objectif est de développer un modèlepourle
flux d’information dans les réseaux sociaux. En utilisant ce modèle, nous allons analyser
comment la topologie d’un réseau est intimement liée aux propriétés essentielles de celle-ci
comme l’efficience, la taille maximale, etc.
2 Le flux d’information dans la société
Traditionnellement, la recherche dans la théorie des graphes a été concentrée en analysant
comment les propagations de l’information d’un sommet au repos, en considérant que
l’information peut voyager par les bords sans subir aucun processus de dégradation. Cette
approche a été utile à l’heure de modéliser certains phénomènes comme la propagation
des maladies dans la communauté [15, 16], oú l’infection du virus et de la propagation des
erreurs dans les réseaux d’ordinateurs [17]. Néanmoins, nous allons voir que cette vision
n’est pas appropriée pour la propagation d’information dans les réseaux sociaux.
L’expérience nous montre que l’information obtenue d’une personne dépend en grande
partie du degré de relation qui reste avec cet individu en particulier. En effet, nous voulons
représenter les relations sociales par les bords non pesés et non dirigés, nous avons défini
le degré de relation entre deux personnes comme la distance, en nombre des sauts, entre
les deux sommets. Ainsi, si nous sommes reliés dans le premier ordre à une personne en
particulier, nous pourrons facilement en obtenir beaucoup de données. Si nous pensons
à une relation du deuxième ordre, par exemple à un ami d’un de nos amis, la quantité
d’information que nous pouvons recevoir est inférieure à celle d’un de nos amis plus proches
et ainsi de suite.
Dans l’objectif de créer un modèle approprié de cette situation, nous avons défini une
quantité que nous avons appelée degré decoordination.Ledegrédecoordinationmesure
la capacité des sommets dans un graphe afin d’échanger l’information. Une des méthodes
les plus simples pour définir ce concept est celle de considérer que le degré de coordination
est exponentiellement lié à la distance entre les sommets. De cette façon, nous avons défini
le degré γ ij de coordination entre deux sommets i et j comme
γ ij = e −ξd ij
, (1)
où d ij est la distance entre les deux sommets et ξ est une constante positive, qui mesure
la force de la relation que nous allons appeler force de coordination. Il est important de
commenter qu’il est possible de considérer une force de coordination différente pour chaque
bord du graphe, mais ceci mènerait aux graphes pondérés, que nous ne considérons pas
ici. Par conséquent, comme une première approche, ξ est considéré constant pour chaque
graphe en particulier.

Information et réseaux complexes dans la société 187
En acceptant ces hypothèses, nous pouvons définir le degré de coordination d’un
sommet d’un graphe comme la somme de tous les degrés de coordination entre ce sommet
i particulier et le reste
N∑
Γ i = γ ij , (2)
j=1
où N est l’ordre du graphe (le nombre total de sommets dans ce graphe). Cette définition
inclut le degré de coordination d’un noeud avec lui même. En utilisant la Ec.(1) le degré
de coordination d’un noeud avec lui même doit être égal à un, parce que la distance d ii
du noeud est elle même zéro, et par conséquent γ ii = e −ξd ii
= e 0 =1.Ledegré total de
coordination d’un sommet est la moyenne de la quantité d’information que le sommet est
capable de recevoir pour appartenir àceréseau particulier.
De cette façon, nous définissons le degré de coordination totale d’un graphe comme
la somme totale des degrés de coordination de tous les sommets appartenant à ce graphe.
Γ=
N∑
Γ i . (3)
i=1
Le degré de coordination total d’un graphe est la moyenne de la quantité d’information
qui s’écoule dans une organisation. Plus intéressant que le degré de coordination total d’un
graphe est le degré de coordination moyen du graphe, que nous définissons comme le degré
de coordination total divisé par son ordre
Γ=
N∑
i=1
Γ i
N . (4)
Cela nous permet de faire une interprétation intéressante du degré de coordination moyen
d’un graphe comme une moyenne de l’efficience d’une communauté ou organisation, ce
qui nous amène aussi à savoir avec quelle quantité d’information l’individu contribue àla
communauté.
3 Structure et efficience dans les organisations
Une fois le degré decoordinationmoyendéfini, il serait important de chercher comment
la structure et la taille des organisations sont reliés. Dans cette direction, nous allons
commencer à faire des recherches sur les propriétés d’une des topologies de l’interconnexion
les plus paradigmatiques: les réticules régulières bidimensionnelles. Si nous assumons que
le degré duréseau est c =4,ledegré de coordination moyen sera
Γ i =1+4
n∑
je −jξ , (5)
où 2n 2 +2n +1 = N, étant N l’ordre du graphe. Pour une réticule régulière infinie
(N →∞), cette expression peut être évaluée comme dérivée d’un progression géomètrique,
en prenant une valeur
Γ i =1+
j=1
4e−ξ
(1 − e −ξ ) 2 . (6)

188 Luis López et Miguel A. F. Sanjuán
2.2
2
Average Coordination Degree
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0 50 100 150 200 250 300
Order of the Graph (Number of members)
Fig. 1: Degré de coordination moyen Γ, pour une réticule régulière 2d avec k =4and
ξ =2. La ligne droite représente la limite Γ ∞ .
Cette expression indique que l’information qu’un sommet appartenant àceréseau reçoit
n’augmente pas de façon proportionnelle à la taille de celle-ci, sinon tend à saturer à
une valeur asyntotique finie. Ce qui nous conduit, en termes sociologiques à une interprétation
intéressante. L’efficience qui peut être vue comme le degré de coordination
moyen, ne montre pas d’augmentation considérable une fois que l’organisation atteint une
certaine taille. Cette conclusion peut s’extrapoler dans de multiples topologies d’interconnexion
telle que les réseaux small world, certaines configurations de graphes aléatoires
et hiérarchiques, etc. Cependant, d’autres topologies existent dans lesquelles la quantité
d’information peut diverger comme par exemple dans un graphe parfaitement expansif,
où onpeutdémontrer que le degré de coordination moyen prend la valeur:
Γ=1+ce −ξ
m ∑
j=0
(c − 1) j e −jξ , (7)
où m est le nombre de niveaux et vérifie N =1+c((c − 1) m+1 − 1)/(c − 2). C’est simple
de comprendre que si N →∞, cette série diverge toujours quand (c − 1)e −ξ 1.
3.1 La limite 150
En relation avec la discussion précédente, il est intéressant de contaster que certains
scientifiques proposent l’existence d’une limite naturelle pour le nombre maximum de
membres en groupes et organisations sociales. Probablement le travail le plus important
dans cette direction est celui réalisé par l’anthropologue britannique R. Dunbar [18, 19],
qui a rapporté que la taille du neocortex (une partie du cerveau relié avec les capacités
sociales et linguistiques) a un raport avec la taille maximum du groupe dans les primates.
En appliquant cette relation pour l’Homo Sapiens, on a estimé que la taille maximale du
groupe est de 147.8, c’est à dire, approximativement 150.
Les résultats de Dunbar semblent indiquer qu’il existe une limite psychologique de la
quantité d’information qu’un individu est capable de traiter. Pour autant, lorsque cette
limite est dépassée, la communauté doitêtre divisée pour qu’il ne se produise pas de

Information et réseaux complexes dans la société 189
2
1.9
1.8
Average Coordination Degree
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0 50 100 150 200 250 300
Order of the Graph (Number of members)
Fig. 2: Degré de coordination moyen Γ, pour des reseax small world 2d avec k =4et
ξ =2. La ligne droite représente la limite Γ ∞ .
saturation de cette capacité. Bien que cet argument soit très raisonnable, il échoue au
moment d’expliquer comment il est possible qu’ils existent des organisations sociales avec
un nombre de membres bien supérieur aux 150 individus. Il n’échappe à personne qu’ils
existent des sociétés avec des dizaines de milliers d’employés qui ne semblent pas souffrir
du symptôme de saturation. La réponse à cette inconnue peut se trouver dans notre modèle
de transfert d’information.
Le problème de Dunbar est d’essayer de relationner une propriété deréseau (la taille)
avec une caractéristique de ses membres (limite psychologique) sans tenir compte que
la topologie d’interconnexion peut jouer un rôle essentiel. Tel que nous l’avons vérifié, ils
existent des réseaux dans lesquels l’information reçue par l’individu se sature et ne dépasse
pas certaine limite finie indépendement de la taille de la communeauté. Cependant, il existe
d’autres topologies pour lesquelles la quantité d’information augmente au fur et àmesure
queleréseau augmente. En utilisant ces arguments, il est plausible que les topologies
d’interconnexion les plus habituelles atteignent la limite psychologique de Dunbar en une
valeur proche des 150 individus, alors que d’autre type de topologies moins optimistes font
que la taille du réseau peut grandir de façon arbitraire sans atteindre cette limite.
4 Conclusion
Dans tous les cas, l’analyse réalisée ici montre que la taille d’une organisation ne peut
être comprise seulement en termes de propriétés psychologiques de ses membres comme
l’a proposé Dunbar. La structure et les propriétés de transfert de l’informaton du réseau
peuvent aussi jouer un rôle définitif dans ce sens.
Remerciements
Nous sommes reconnaissants pour l’aide financière du Ministère de la Science et de
la Technologie de l’Espagne sous le projet BFM2000-0967, et de l’Université ReyJuan

190 Luis López et Miguel A. F. Sanjuán
Carlos sous les projets URJC-PGRAL-2001/02 et URJC-PIGE-02-04.
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encontre du non-linéaire 2003 191
Généralisation des équations de Ku, de Moore et Spiegel et de
Auvergne et Baglin
J.-M. Malasoma et M.-A. Boiron
Laboratoire Géomatériaux, DGCB URA CNRS 1652
ENTPE, Rue maurice Audin, 69518 Vaulx en Velin Cedex
malasoma@entpe.fr
Résumé
Nous étudions une famille d’équations K n généralisant les équations de Ku, de
Moore et Spiegel et de Auvergne et Baglin. L’étude de la stabilité de l’unique point
fixe de K n en fonction de l’entier n et des 3 autres paramètres de cette équation montre
que ce point peut subir une bifurcation de Hopf. En utilisant la théorie de la variété
centrale, nous déterminons analytiquement, la nature super-critique ou sub-critique
de cette bifurcation. Nous établissons ensuite deux théorèmes énonçant des conditions
nécessaires sur les paramètres de K n pour que des comportements chaotiques puissent
être observés.
1 Introduction
En 1966, c’est-à-dire seulement trois ans après la découverte du premier système
chaotique par Lorenz [1], Moore et Spiegel [2] ont modélisé la convection d’un fluide en
rotation par l’équation différentielle scalaire du troisième ordre suivante :
...
u +ü +(T − R)˙u + Tu+ Ru2 ˙u =0
où R et T sont des paramètres positifs. Ils ont montré que dans toute une région du
quartdeplandéfini par ces deux paramètres, le comportement asymptotique observé
numériquement était apériodique, suivant la terminologie utilisée par Lorenz, c’est-à-dire
chaotique.
En 1985, Auvergne et Baglin [3] ont établi que les variations relatives du rayon de
la zone d’ionisation d’une étoile variable étaient régies par une équation différentielle plus
générale mais du même type que celle de Moore et Spiegel :
...
u +ü + λ ˙u + µu + νu2 ˙u =0
où λ, µ et ν sont trois paramètres avec ν>0. Ils ont également observé des comportements
asymptotiques chaotiques pour diverses valeurs des trois paramètres.
En fait, une équation différentielle de ce type avait déjà été étudiée en 1958 par Ku et
ses collaborateurs Chen et Fukunaga [4, 5, 6] dans un contexte complètement différent. Il
s’agissait de controler un système par des boucles de rétroaction, l’équation obtenue étant
une fois encore de la même forme :
...
u + Aü + B ˙u + u − Cu2 ˙u =0
où A, B et C sont trois paramètres positifs. On ne connaît aucune solution chaotique à
l’équation de Ku, or la seule différence essentielle entre cette équation et celle de Moore
et Spiegel et de Auvergne et Baglin est le signe de la non-linéarité utilisée.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

192 J.-M. Malasoma, M.-A. Boiron
Afin d’essayer d’apporter une réponse au problème précédent, nous allons considérer
dans cette étude, une équation différentielle non-linéaire plus générale :
...
u + aü + b ˙u + cu + dun ˙u =0
où a, b, c et d ≠ 0 sont des paramètres réels tandis que n est un entier positif. Cette
équation est dissipative si a>0, explosive si a0.
Afin de déterminer la nature (super-critique ou sub-critique) de cette bifurcation de
Hopf, nous utilisons la théorie de la variété centrale. La preuve est assez technique et

Généralisation des équations de Ku et al. 193
trop longue pour tenir dans les six pages autorisées ici, mais elle sera publiée ailleurs [7].
Les principales étapes de cette méthode sont les suivantes. On suppose que α = β c’està-dire
que l’on se trouve à la bifurcation. Par un premier changement de coordonnées
(x, y, z) → (z 1 ,z 2 ,z 3 ), on se ramène àunsystème différentiel dont la matrice jacobienne
en 0 est diagonale par blocs avec un bloc carré d’ordre 2 dont les valeurs propres sont
±i √ α et un bloc d’ordre 1 égal à -1. On pose alors z = z 1 + iz 2 et y = z 3 , et on obtient
les deux équations différentielles :
{ ż = i
√ αz + G(z, ¯z,y)
ẏ = −y + H(z, ¯z,y)
dans lesquelles les non-linéairités ont pour expressions :
⎧
⎪⎨ G(z, ¯z,y) = −δ(i + √ α)
2 n+1√ α(1 + α) (z +¯z +2y)n (2y + i √ α(¯z − z))
δ
⎪⎩ H(z, ¯z,y) =
2 n+1 (1 + α) (z +¯z +2y)n (2y + i √ α(¯z − z))
On détermine ensuite le développement de Taylor de la variété centrale y = ω(z, ¯z)
au voisinage de l’origine, puis, par un nouveau changement de coodonnées, on transforme
l’équation sur cette variété centrale en sa forme normale de Poincaré ˙ξ = i √ αξ +
c k (α)¯ξ k ξ k+1 + ···. Enfin, on passe en coordonnées polaires et on obtient les résultats suivants
:
a) Pour n =2m, la bifurcation est super-critique si δ = 1 et sub-critique si δ = −1.
b) Pour n =2m + 1, la bifurcation est toujours super-critique.
3 Transition vers le chaos
Commençons par établir des conditions nécessaires sur les paramètres de l’équation
K n pour que des comportements asymptotiques chaotiques puissent être observés numériquement.
Théorème 4 Si β 0, l’équation généralisée de Ku-Moore-Spiegel K n définie par : ẋ .. +
ẍ + αẋ + βx + δx n ẋ =0ne possède pas de solutions chaotiques.
Preuve: En multipliant cette équation par x, on obtient après quelques manipulations la
relation suivante :
d
ẋ2
[xẍ + xẋ −
dt 2 + αx2 2 + δ xn+2
n +2 ]=ẋ2 − βx 2 (1)
La condition β 0 implique que la fonction du temps xẍ + xẋ − ẋ2
2 + αx2 2 + δ xn+2
n +2 soit
une fonction monotone (éventuellement constante). Elle admet par conséquent une limite
L lorsque t tend vers l’infini.
Si cette limite L est finie, alors tout attracteur de cette équation est contenu dans la
surface à deux dimensions définie par la relation : xz + xy − y2
2 + αx2 2 + δ xn+2
n +2 − L =0,
en vertu du théorème de Poincaré-Bendixon il n’est donc pas chaotique. Si au contraire,
L = ±∞, alors au moins une des trois variables x, y ou z n’est pas bornée, par conséquent

194 J.-M. Malasoma, M.-A. Boiron
l’attracteur ne peut être chaotique. En conclusion, l’équation généralisée K n n’admet pas
de solutions chaotiques si β 0.
Théorème 5 Si α 0 et δ

Généralisation des équations de Ku et al. 195
Commençons par considérer le cas n pair avec δ =1.Siα>βl’origine de l’espace des
phases est asymptotiquement stable. La bifurcation de Hopf supercritique qui se produit
lorsque α = β engendre un cycle limite asymptotiquement stable symétrique par rapport
à l’origine. Lorsque la valeur du paramètre de contrôle α diminue, ce cycle limite finit par
subir une bifurcation avec brisure de symétrie. Au cours de cette bifurcation, il perd sa
stabilité et donne naissance à deux cycles limites asymptotiquement stables, symétriques
l’un de l’autre par rapport à l’origine de l’espace des phases.
Si l’on continue de faire décroître la valeur de α, on observe deux cascades sous
harmoniques simultanées qui conduisent à des attracteurs chaotiques. Par conséquent,
en dessous d’une valeur critique de α, lesystème possède deux attracteurs chaotiques
coexistants et symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine de l’espace des phases
. La figure 1 montre les portraits de phases de ces deux attracteurs pour n =6,β =5,
δ =1etα = −1.
Si on diminue de nouveau la valeur de α, ces deux attracteurs entrent en collision
au cours d’une crise chaotique qui restaure la symétrie et l’on n’observe plus qu’un seul
attracteur chaotique symétrique comme celui de la figure 2 pour n =6,β =5,δ =1et
α = −2 Lorsquen est impair, le systèmeneprésente plus de symétrie et la bifurcation
40
20
Z
0
−20
−40
10
5
0
Y
−5
−10
−4
−2
X
0
2
4
Fig. 2: Portrait de phase de l’attracteur chaotique symétrique par rapport à l’origine pour
n =6, β =5, δ =1et α = −2
de Hopf supercritique qui se produit lorsque α = β engendre un cycle limite stable nonsymétrique.
Lorsque la valeur du paramètre α diminue, ce cycle limite subit une cascade
sous harmonique complète conduisant à des solutions chaotiques. A titre d’exemple, la
figure 3 montre un portrait de phase de l’attracteur chaotique pour n = 13, β =20et
α =0.2. Cet attracteur ne présente évidemment aucune symétrie particulière. Nous avons
effectué des simulations numériques jusqu’à des valeurs de l’entier n assez grandes et il
semble que les deux scénarii que nous venons de décrire soient généraux.

196 J.-M. Malasoma, M.-A. Boiron
100
Z
0
−100
−200
−300
10
5
0
Y
−5
−10
−1
0
X
1
2
Fig. 3: Portrait de phase de l’attracteur chaotique obtenu pour n =13, β =20et α =0.2
4 Conclusion
Nous avons considéré une famille K n d’équations généralisant les équations de Ku, de
Moore-Spiegel et de Auvergne-Baglin. L’unique point fixe de ces équations peut subir une
bifurcation de Hopf, dont nous avons déterminé, la nature super-critique ou sub-critique.
Nous établissons ensuite, des conditions nécessaires sur paramètres de K n pour que des
comportements chaotiques puissent apparaître. Lorsque ces conditions sont remplies, de
tels comportements sont effectivement observés numériquement mêmepourdesn grands.
Références
[1] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Science 20, 130-141, (1963).
[2] D. W. Moore, E. A. Spiegel, A thermally excited non-linear oscillator, Astrophys. J.
143, 871-887, (1966).
[3] M.Auvergne,A.Baglin,A dynamical instability as a driving mechanism for stellar
oscillations, Astron. Astrophys. 142, 388-392, (1985).
[4] Y. H. Ku, Analysis and Control of nonlinear Systems, Ronald Press (1958).
[5] Y. H. Ku, C. F. Chen, Stability study of a third-order servomechanism with multiplicative
feedback control, 77, part II, 131-136 (1958).
[6] Y. H. Ku, K. Fukunaga, Digital computer study of a third-order nonlinear servomechanism,
A.I.E.E. Conference paper, 58-1302 (1958).
[7] J.-M. Malasoma, M.-A. Boiron, Hopf bifurcation in generalized Ku-Moore-Spiegel
equation, enpréparation.

encontre du non-linéaire 2003 197
Transport de moment cinétique dans l’écoulement de von Kármán
L. Marié etF.Daviaud
SPEC, C.E.A. Saclay
91191 Gif-sur-Yvette Cedex
marie@drecam.saclay.cea.fr
Résumé
L’écoulement de von Kármán est l’écoulement produit dans une cuve cylindrique
par la contra-rotation de deux disques coaxiaux situés aux extrémités. Cet écoulement
aété l’objet de nombreuses études, théoriques [1], numériques [2] ainsi qu’expérimen–
tales [3, 4, 5, 6, 7], et permet de générer une turbulence développée dans un volume
réduit. Utilisant la forme du théorème d’Euler qui exprime la conservation du moment
cinétique (Th. d’Euler-Rateau), nous sommes parvenus àétablir un lien quantitatif
entre le couple fourni par les moteurs et les propriétés statistiques des fluctuations de
l’écoulement. Nous présentons cette relation, ainsi que les résultats de mesures par
Anémométrie Laser Doppler qui nous ont permis de la vérifier expérimentalement [7].
Enfin, nous présentons les résultats d’une analyse spectrale des fluctuations turbulentes
qui montre que le transport de moment cinétique dans l’écoulement de von Kármán
est principalement dû à des fluctuations lentes, correspondant à des échelles de temps
plus longues que la période de rotation des disques.
1 Introduction
Nous étudions l’écoulement de von Kármán engendré entre deux turbines mis en
contra-rotation dans une cuve cylindrique pleine d’eau. Le montage expérimental est
présenté sur la gauche de la figure 1. Le diamètre intérieur de la cuve est de 200 mm, et la
distance qui sépare les disques est de 180 mm. Les disques, d’un diamètre de 190 mm, sont
munis de pales courbées, d’une hauteur de 10 mm. Les moteurs utilisés pour entraîner les
turbines sont deux moteurs brush-less d’une puissance unitaire de 2 kW, dont les vitesses
de rotation peuvent être controlées indépendamment. Les mesures de champs de vitesses
rapportées ici ont été effectuées en contra-rotation, les deux turbines tournant à f =2 Hz,
et les mesures de fluctuations en un point ont été effectuées en contra-rotation à15Hz.Le
nombre de Reynolds cinétique de l’écoulement, défini comme Re = R 2 c2πf/ν, où R c est le
rayon du cylindre, vaut alors 1.210 5 , puis 9.410 5 . Les variateurs qui pilotent les moteurs
permettent une mesure du couple exercé sur le fluide. Les mesures de vélocimétrie ont été
effectuées avec un Vélocimètre Laser Doppler DANTEC 57N20.
2 Le bilan de moment cinétique
En considérant l’intégrale sur le volume V(z) delacomposantesurz du produit
vectoriel du vecteur position du point courant ⃗r avec l’équation de Navier-Stokes, nous
obtenons que la variation de la composante sur z du moment cinétique en O de la matière
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

198 L.Marié, F. Daviaud
Ω 2
Ω 2
Σ(z) z r
o
V(z)
θ
S(z)
v z v45
v θ
v 135
Σ b
Ω 1
Ω 1
Fig. 1: (a) Schéma du montage expérimental et du volume de contrôle utilisé. (b) Schéma des
directions de mesures de LDV.
comprise dans V(z) s’exprime comme:
∫
∫
∫
d
ρrv θ d 3 τ = − ρrv θ v z d 2 S +
dt
V(z)
Σ(z)
Σ(z)
∫
rσ θ d 2 S +
∫
+ rσ θ d 2 S +
S(z)
∫
Σ b
rσ θ d 2 S
V(z)
rf θ d 3 τ (1)
Ici ρ, f θ et σ θ sont respectivement la masse volumique, la composante azimutale des
forces de volume, et la composante azimutale des contraintes surfaciques appliquées par
l’extérieur sur V(z) au point d’intégration. En l’absence de forces de volume autres que
les forces de gravité (force de Coriolis, force de Laplace), l’intégrale de rf θ vaut 0. Une
partie des contraintes sur Σ b provient des contraintes élastiques internes à l’arbre qui
porte la turbine du bas. Le couple correspondant est égal au couple fourni par le moteur,
auquel on soustrait les couples de friction provenant des roulements et des joints. Ce
couple est noté Γ 1 . Sur le restant de Σ b ,surS(z) etsurΣ(z), les contraintes sont d’origine
visqueuse, ou proviennent du gradient de la pression. L’intégrale de la dérivée en θ de la
pression sur chacune de ces surfaces vaut 0. Nous noterons Γ v (z) le couple correspondant
aux contraintes visqueuses exercéessurlefluidesurS(z) etΣ b .Décomposant le champ de
vitesse instantané en sa moyenne temporelle V ⃗ et sa partie fluctuante ṽ telle que < ṽ>=0,
et prenant la moyenne temporelle de l’équation résultante, nous obtenons:
∫
∫
∫
ρd 2 S + ρrV θ V z d 2 S = µ r∂ z V θ d 2 S +Γ 1 +Γ v (z) (2)
Σ(z)
Σ(z)
Ici < ṽ θ ṽ z > désigne la moyenne temporelle du produit ṽ θ ṽ z ,etµ est la viscositédynamique
du fluide. Il est aisé de voir que le premier terme du membre de droite est plus petit d’un
facteur 1/Re que les termes inertiels du membre de gauche. Dans notre cas, ce terme
sera donc négligeable. Ce n’est pas le cas du terme visqueux Γ v (z), mais nous avons pu
constater a posteriori que sa contribution reste peu importante dans le bilan, au moins
dans le cas de la contra-rotation de disques munis de pales. Nous obtenons alors l’équation
de bilan du moment cinétique contenu dans V(z) sous sa forme finale:
∫
∫
Γ 1 = −Γ v (z)+ ρd 2 S + ρrV θ V z d 2 S (3)
Σ(z)
Cette équation exprime le fait que le moment cinétique fourni par le moteur au
fluide compris dans V(z) est soit transmis au contenant par viscosité (terme Γ v (z)), soit
Σ(z)
Σ(z)

Transport de moment cinétique dans l’écoulement de von Kármán 199
transporté dans l’autre partie de l’écoulement. Une fois dans l’autre partie de l’écoulement,
il peut soit être transmis au contenant, soit être reçu par la deuxième turbine, sous la forme
d’un couple résistant.
3 Vérification expérimentale de l’équation de bilan. Distribution
spatiale de la corrélation < ṽ z ṽ θ >
Pour vérifier le bilan (3), nous avons effectué des mesures de vélocimétrie laser doppler
sur une grille dans le plan Θ = 0 de la figure 1a. Nous avons effectué des mesures dans
5 configurations différentes, en faisant varier la courbure des pales et le sens de rotation
des disques. La vitesse des disques avait été fixée à 2 Hz, pour que l’eau ne s’échauffe pas
trop au cours des mesures. Pour mesurer la corrélation < ṽ θ ṽ z > avec un vélocimètre à
1 composante, nous avons effectué les mesures successivement dans les quatre directions
représentées en figure 1b. Comme v 45 ≃ (v θ +v z )/ √ 2, et v 135 ≃ (v θ −v z )/ √ 2, les variances
de v 45 and v 135 s’expriment comme: < v˜
2 45 >=(< ṽ 2 θ > + < ṽ 2 z >)/2+ < ṽ θ ṽ z > et
< v 135 ˜
2 >=(< ṽ 2 θ > + < ṽ 2 z >)/2− < ṽ θ ṽ z >. Il est donc possible, en combinant les
variances obtenues expérimentalement, d’obtenir plusieurs expressions de la corrélation
< ṽ θ ṽ z >,enchaquepoint.L’écoulement étant statistiquement axisymétrique, il est alors
possible d’évaluer numériquement les intégrales contenues dans l’équation (3).
La table 1 rassemble les valeurs moyennes en z du flux total de moment cinétique,
estimédetroismanières différentes, ainsi que les valeurs de Γ 1 obtenues par mesure directe,
dans les différentes configuration que nous avons essayées. Nous observons un très bon
accord entre les différentes estimations.
Turbines TM70 TM60a TM60a TM60b TM60b
(f + < ṽ2 z >)/2− < ṽ135 2 >,
< ṽ θ ṽ z >=< ṽ45 2 > −(< ṽ2 θ > − < ṽ2 z >)/2, < ṽ θ ṽ z >=(< ṽ45 2 > − < ṽ2 135 >)/4. Γ 1 (resp.
Γ 2 ) est le couple appliqué par le moteur 1 (resp. moteur 2), mesuré directement.
La figure 2 représente les contributions au flux de moment cinétique des deux termes
inertiels de l’équation (3) en fonction de la position de la surface Σ(z), dans le cas de
turbines TM60a, tournant dans le sens positif. On remarque que, dans le plan équatorial
de l’écoulement, le transport de moment cinétique dû àl’écoulement moyen s’annule. Des
arguments de symétrie simples, vérifiés par les mesures de vitesses, montrent en effet que
V θ et V z s’annulent toutes deux sur ce plan. A cet endroit, les fluctuations sont donc
responsables de l’intégralité du flux de moment cinétique à travers Σ(z).
La figure 3a représente la distribution spatiale de la corrélation r pour le
même jeu de turbines. Cette corrélation est importante principalement dans une région
annulaire située près du plan équatorial, au voisinage de la paroi du cylindre. En injectant
des bulles d’air dans l’écoulement, nous avons observé visuellement l’écoulement dans cette

200 L.Marié, F. Daviaud
Φ(z) (N.m)
0.06
0.04
0.02
0
−80 −40 0
z (mm)
40 80
Fig. 2: Contributions des deux termes de transport inertiel de moment cinétique au
flux Φ(z) au travers de la surface Σ(z). Les symboles ouverts (resp. pleins) correspondent
à la contribution au transport de l’écoulement moyen (resp. de l’écoulement moyen et
des fluctuations). La surface gris sombre (resp. gris clair) represente la contribution de
l’écoulement moyen (resp. des fluctuations).
région. Nous avons pu observer de grandes structures tourbillonnaires, très semblables à
celles mises en évidence par Brown et al. [10] dans une couche de mélange turbulente.
Ces structures, déjà mentionnées dans [9], se présentent sous la forme d’une succession
de grands (5–10 cm) vortex radiaux co-rotatifs, sur un fond turbulent désordonné. La
photographie de la figure 3b présente un vortex typique, dans l’écoulement produit par
les mêmes turbines, à la vitesse de contra-rotation de 15 Hz, donc pour Re ≃ 9.410 5 .
Ces vortex peuvent avoir un lent mouvement d’ensemble, apparaissent et se déstabilisent
sur des échelles de temps de l’ordre de quelques secondes. Nous les avons observés àpetit
nombre de Reynolds (Re < 1000) dans un montage plus petit utilisant de l’huile silicone
(ν =10 −4 m 2 .s −1 ). Ils semblent présents dans les simulations de [2].
r (10 −3 m 3 .s −2 )
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
50
z (mm)
0
−50
0 50
r (mm)
100
Fig. 3: (a) Distribution spatiale de la corrélation r (b) Vortex dans le plan
équatorial de l’écoulement. Le point de vue est le même que dans la figure 1. La turbine
du bas (resp. haut) tourne vers la droite (resp. gauche) de la figure, à15Hz(Re ≃ 9.4 5 ).
Le temps de pause est de 1 25s,latailleréelle est ∼ 180 mm.

Transport de moment cinétique dans l’écoulement de von Kármán 201
4 Distribution spectrale de la corrélation < ṽ z ṽ θ >
Si l’on note ̂q(ω) la transformée de Fourier temporelle de la grandeur q, onpeutécrire:
< ṽ θ ṽ z > +V θ V z = ̂v θ v z (ω =0)= ∫ ∞
−∞ ̂v θ(ω) ̂v z (−ω)dω. On a donc
< ṽ θ ṽ z > +2V θ V z =
∫ ∞
0
2R [ ̂v θ (ω) ̂v z ∗ (ω)] dω (4)
On voit que l’influence des fluctuations turbulentes aux différentes fréquences présentes
dans l’écoulement sur le transport de moment cinétique à travers Σ(z) peutêtre assez
naturellement quantifée par la partie réelle du co-spectre temporel des deux composantes
de la vitesse v θ et v z [11]. L’intégrande de l’équation (4) peut s’obtenir par combinaison
de mesures selon v 45 et v 135 :2R( ̂v θ ̂v z ∗ )=| ̂v 45 | 2 (ω) −|̂v 135 | 2 (ω). Nous avons effectué des
mesures de LDV à l’endroit de l’écoulement où lacorrélation atteint sa plus grande valeur,
avec les turbines TM60a tournant à 15 Hz. Dans chacune des directions de la figure 1b,
nous avons enregistré 20 minutes de signal de vitesse. Les turbines tournant rapidement,
la fréquence d’acquisition était proche de 1 kHz. Nous avons ensuite rééchantillonné ce
signal à 1 kHz, en utilisant un algorithme simple de sample-and-hold. Nous avons vérifié en
rééchantillonnant de la même manière un bruit blanc synthétique que les caractéristiques
spectrales du signal n’étaient pas affectées jusqu’à environ 100 Hz.
PSD, 2 R(CSD) (m 2 .s −1 )
10 −2
10 −4
10 −6
10 −1 10 0 10 1
f (Hz)
10 2
10 0
Fig. 4: Densités spectrales de puissances de v 45 (trait fin noir) et v 135 (trait fin gris) en
z =0mm, r =90mm. La ligne noire épaisse représente 2R( ̂v θ ̂v z ∗ ).Données obtenues avec
les turbines TM60a, tournant à15Hz(Re ≃ 9.410 5 ). La ligne en pointillé représente la
pente en -7/3 prédite par [13], la flèche correspond àlafréquence de rotation des turbines.
La figure 4 représente les densités spectrales de puissance de v 45 et v 135 ,ainsique
2R( ̂v θ ̂v z ∗ ). On peut remarquer que les amplitudes de | ̂v 45 | 2 et | ̂v 135 | 2 sont très différentes
au grandes échelles de temps. Ceci révèle une très forte anisotropie des grandes échelles de
l’écoulement. Aux très basses fréquences, toutes deux semblent présenter un pic diffus, aux
alentours de f =0.4 Hz. Ce pic pourrait être relié aux mouvements lents des vortex du plan
équatorial. De 1 Hz à10Hz,| ̂v 45 | 2 et | ̂v 135 | 2 décroissent, | ̂v 135 | 2 ayant une décroissance
algébrique. Aux alentours de la fréquence de rotation des disques (plutôt 10 Hz), les
deux densités spectrales de puissance adoptent une décroissance algébrique plus rapide.
Jusqu’aux environs de 30 Hz, 2R( ̂v θ ̂v z ∗ ) reste positif. Ceci est la marque d’un fort excès
d’évènements dirigés dans la direction de v 45 [12]. La courbe de 2R( ̂v θ ̂v z ∗ )suitd’assezprès
celle de | ̂v 45 | 2 jusqu’à 1 Hz, puis décroît plus rapidement. Aux alentours de la fréquence de

202 L.Marié, F. Daviaud
rotation des moteurs cette décroissance devient elle aussi algébrique. Après 30 Hz, le signe
de 2R( ̂v θ ̂v z ∗ ) ne reste plus constant. Le graphe logarithmique n’est alors plus approprié.
La décroissance semble toutefois compatible avec l’exposant -7/3 prédit (dans le domaine
des fréquences spatiales) par [13]. En calculant l’intégrale de l’équation (4) pour différentes
valeurs de la borne d’intégration supérieure, nous avons pu constater que le résultat final
est approché à moins de 10% dès que l’on prend en compte les fluctuations de fréquence
inférieure à 4 Hz, et que les fluctuations àplusde30Hzsontresponsablesdemoinsde
0.5% du flux total de moment cinétique en ce point. Nous en concluons que le transport
de moment cinétique en ce point est effectué principalement par les fluctuations lentes de
l’écoulement, aux fréquences inférieures àlafréquence de rotation des disques.
5 Conclusion
En utilisant la forme du théorème d’Euler qui exprime la conservation du moment
cinétique sous sa forme intégrale, nous avons obtenu une relation intégrale de bilan du
moment cinétique dans l’écoulement de von Kármán. Cette relation montre que (aux effets
de viscosité près, qui restent petits lorsque l’écoulement est turbulent), le moment
cinétique fourni par chacun des moteurs est intégralement transporté par advection turbulente
jusqu’à l’autre. L’expression du flux de moment cinétique fait intervenir un terme
de transport par l’écoulement moyen, ainsi qu’un terme de transport par les fluctuations
turbulentes (Tenseur de Reynolds). Nous avons effectué des mesures de vélocimétrie afin
d’estimer les différents termes de cette expression. Nous vérifions à une très bonne précision
que le couple des moteurs (obtenu par des mesures électriques) est égal au flux “convectif”
de moment cinétique dans l’expérience. Nous avons pu constater que, à mi-hauteur entre
les disques, le transport de moment cinétique est intégralement assuré par les fluctuations
turbulentes. Enfin, nous avons pu montrer que, dans cette région, 90% du transport de
moment cinétique est assuré par des fluctuations àdesfréquences inférieures àlafréquence
de rotation des disques. Nous pensons que les méthodes utilisées dans cet étude ont une
portée très générale, et peuvent être appliquées avec succès au cas d’autres écoulements
ou d’autres quantités transportées (quantité demouvement,chaleur).
Nous remercions C. Gasquet et V. Padilla pour leur participation àlaréalisation de
l’expérience.
Références
[1] P.J. Zandbergen, D. Dijkstra, Ann. Rev. Fluid Mech. 19, 465 (1987).
[2] C. Nore et al., Submitted to J. Fluid Mech.
[3] P. Tabeling et al., Phys. Rev. E 53, 1613 (1996).
[4] R. Labbé, J.-F. Pinton, S. Fauve, J. Phys. II, France 6, 1099 (1996).
[5] O. Cadot, C. Titon, submitted to Phys. Fluids.
[6] L. Marié, F. Daviaud, A. Chiffaudel, Proc. Rencontres du Non-Linéaire (2002).
[7] L. Marié, F. Daviaud, submitted to Phys. Rev. Lett.
[8] O. Cadot, thèse de doctorat, université Paris VII, (1995).
[9] G.L. Brown, A. Roshko, J. Fluid Mech. 64, 775 (1974).
[10] J.C. Kaimal et al., Quart. J. Roy. Met. Soc. 98, 563 (1972).
[11] W.W. Willmarth, S.S. Lu, J. Fluid Mech. 55, 65 (1972).
[12] J.L. Lumley, Phys. Fluids 10, 855 (1967).

encontre du non-linéaire 2003 203
Structures résonnantes dans des systèmes à deux longueurs d’ondes
compétitives
S. Métens + ,P. Borckmans ∗
+ Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée,
Université de Paris 7, Case Postale 7020, 2 Place Jussieu, 75231 Paris, France.
Laboratoire associé àlaFédération de Recherche FR2438 du CNRS
∗ Service de Chimie Physique and Center for Nonlinear Science and Complex
Systems, Université Libre de Bruxelles, CP231, Bd du Triomphe, B1050 Bruxelles,
Belgique
metens@ccr.jussieu.fr
Résumé
La formation de structures résonnantes dans des systèmes présentant une compétition
entre deux longueurs d’ondes instables est étudiée. Nous proposons un mécanisme
permettant d’expliquer l’appariton de structures de super-réseaux de rouleaux et de
carrés tels que celles observées dans les expériences de convection de Rayleigh-Bénard
soumise à une oscillation paramétrique verticale.
1 Introduction
De nombreux systèmes physico-chimiques portés hors d’équilibre présentent une riche
variété de structures spatiales bi-dimensionnelles. Typiquement, en augmentant une contrainte
extérieure, on observe une déstabilisation d’un état stationnaire homogène (e.s.h.)
initialement stable. Cette perte de stabilité apparaît pour une perturbation inhomogène
dont les nombres d’onde appartiennent à une étroite bande centrée autour d’une valeur
critique déterminée par l’analyse de stabilité linéaire de l’e.s.h de référence [1]. Cependant
de nombreux travaux expérimentaux et numériques ont aussi été consacrés àl’étude
de la formation de structures dans des systèmes pour lesquels il est possible d’exciter
des modes spatiaux correspondant à deux nombres d’ondes distincts. Dans ce cas des
interactions résonantes entre ces modes peuvent donner lieu à l’apparition de structures
quasi-périodique telles que les super-réseaux avec un ordre spatial sur deux échelles de longueurs
différentes ou à des quasi-cristaux qui perdent la périodicité translationnelle mais
montrent un ordre local orientationnel. Une telle interaction entre longueurs d’onde incommensurable
apparaît fréquemment en physique de la matière condensée, par exemple dans
les ondes de densité de charges, ou dans les cristaux liquides polaires et dans les systèmes
magnétiques [2, 3]. Ces structures ont été mises en évidence en hydrodynamique [4, 5, 6],
en optique non-linéaire [7, 8] ou en chimie [9, 10]. Dans les systèmes ne présentant pas
la symétrie d’inversion (c’est-à-dire non invariante sous un changement du signe des variables
champs de vecteurs), il a été montré que des triades résonantes de nombres d’onde
fournissent les blocs de construction pour la formation de ces structures complexes [11].
Précédemment l’importance des résonances cubique a été mentionnée dans la formation
de structures quasi-périodique dans des milieux tri-dimensionnels [12].
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

204 S. Métens, P. Borckmans
2 Systèmes àsymétrie d’inversion et super-réseaux de bandes
et de carrés
Dans ce papier nous discuterons plutôt le cas de systèmes présentant la symétrie d’inversion
pour lesquels le rôle constructif des résonances tétraédriques (les nombres d’ondes
résonants formant un tétraèdre dans l’espace de Fourier) a été mentionné dans les simulations
numériques de Rogers et al. dans le cas d’une cellule de Rayleigh-Bénard soumise
à une oscillation verticale [6]. Plus précisément nous considérons un système qui présente
deux nombres d’onde critique q H c et q S c tel que q H c 0, nous observons
tout d’abord l’apparition supercritique de rouleaux de longueur d’onde 2π/qc
H et d’amplitude
√ µ/3. Pour µ>µ I =3∆/(3 − δ), cette structure est déstabilisée au profit d’un
super-réseau de rouleaux caractérisé par trois modes (m H =1;m S = 2) tel que
)
c = c 0 + e 1 2H 1 exp (iq H 1 .r)+e 2
(S 1 exp (iq S 1 .r)+S 2 exp (iq S 2 .r) . (3)
où les nombres d’onde correspondant satisfont 2q H 1 = qS 1 − qS 2 ; ils peuvent interagir en
formant dans l’espace de Fourier un triangle isocèle de côtés de longueur qc
S et 2qc H .Les
contributions résonantes dans les équations d’amplitudes sont données par:
R H1 = −4δH ∗ 1 S ∗ 2S 1 R S1 = −4δ(H 1 ) 2 S 2 R S2 = −4δ(H ∗ 1 ) 2 S 1 (4)
l=1

Structures résonnantes dans les systèmes à deux longueurs d’ondes compétitives 205
Ces termes donnent lieu à une dynamique de phase non triviale. Posant H 1 = H exp (iφ),
S i = S exp (iψ i )(i =1, 2), la phase totale Σ = ψ 1 − ψ 2 − 2φ obéit à:
∂ t Σ = 8δ[H 2 + S 2 ]sin(Σ). (5)
Puisque δ est positif, la solution stable pour la phase totale est Σ = π. Comme dans le cas
de triade résonante, les phases dont les nombres d’onde forment dans l’espace de Fourier un
triangle isocèle s’ajustent pour favoriser l’apparition de super-réseaux. Substituant Σ = π
in eq. (2), nous obtenons les expressions des amplitudes stationnaires des structures:
H 2 =
µ(9g − 4δ)+4δ∆
8(27g − 2δ 2 )
S 2 =
µ(6 − δ) − 6∆
2(27g − 2δ 2 ) , (6)
où δ < √ 27g/2. Notons qu’au-dessus du seuil d’apparition des structures, µ>µ I =
6∆/(6 − δ), l’amplitude S suit un comportement S ≃ √ µ − µ I caractéristique d’une bifurcation
supercritique. Ces motifs spatiaux sont stables dans l’intervalle [µ I ,µ c ], avec
µ c =∆(9g +2δ 2 )/(2δ 2 − 3g(2δ − 3)). Le spectre de Fourier correspondant présente deux
et quatre pics respectivement sur le cercle de rayon q H c et q S c .
Le système peut aussi présenter des structures en super-réseaux stabilisées par des
modes dont les nombres d’onde forment des relations de résonances tétraédriques, c’est-àdire
qui satisfont aux conditions
± (q H i − q H j )=±(q S k − qS l )=0 (7)
L’exemple le plus simple correspond dans les équations 1) à m H =2avec(H 1 , H 2 )et
m S =2avec(S 1 et S 2 ). Nous ne discuterons pas de ces structures ici, elles existent sous
la forme d’une branche isolée dans le diagramme des bifurcations. Intéressons-nous plutôt
aux super-réseaux construit sur deux tétrades résonnantes comme celles rencontrées dans
une cellule de convection de Rayleigh-Benard soumise à une oscillation verticale [6]. Elles
sont caractèrisées par six modes différents (m H =2;m S = 4) qui satisfont aux conditions
±(q H 1 − qH 2 )=±(qS 1 − qS 2 )et±(qH 1 + qH 2 )=±(qS 3 − qS 4 ). Chaque mode H prend part à
deux tétrades résonantes, dans ce cas, il faut inclure les termes suivants dans les équations
d’amplitude:
R H1 = −2δ(H 2 S 1 S2 ∗ + H2 ∗ S 3 S4) ∗ R H2 = −2δ(H 1 S1S ∗ 2 + H1 ∗ S 3 S4)
∗
R S3 = −2δH 1 H 2 S 4 R S4 = −2δH1 ∗ H2 ∗ S 3 (8)
R S1 et R S2 sont toujours donnés par les équations (4). Dans l’espace réel ces structures
correspondent à des super-réseaux de carrés (SQS) caractérisé par des motif en étoiles
sur une petite échelle disposés sur un réseau carré à grande échelle. La stabilité des ces
structures quasi -périodiques relève d’une compétition entre terme cubique non résonnants
qui tendent à favoriser des structures en bandes et des termes résonants qui favorisent des
structures multi-modales. On peut montrer aue ces structures SQS sont instables dans
le cas d’une dynamique potentiel. Nous avons par conséquent étudié la formation de ces
motifs dans le modèle non-potentiel suivant:
∂u 1
∂t
∂u 2
∂t
= µu 1 − c 1 (∇ 2 + q 2 H) 2 u 1 − u 3 1 − δ 1 u 1 u 2 2
= (µ − ∆)u 2 − c 2 (∇ 2 + q 2 S) 2 u 2 − c 3 ∇.(∇u 2 (∇u 2 .∇u 2 )) − δ 2 u 2 1u 2 − gu 3 2 (9)

206 S. Métens, P. Borckmans
Dans ce modèle de type Swift-Hohenberg-Chapman-Proctor, nous avons explicitement
calculés les coefficients des équations d’amplitude:
gD H = 3, gND H = 6, γ 1 = 2δ 1 , gD S = 3(g − c 3 qS), 4 gND S 2
= (6g − c 3 qS)(4 4 + 2 cos (4α)),
gND S 3
= (6g − c 3 qS)(4 4 − 2cos(4α)), gND S 4
= (6g − c 3 qS), 4 γ 2 = 2δ 2 (10)
α étant l’angle formé entreq H c et q S c dans la tétrade résonante, les autres coefficients
g S ND i
s’obtiennent par permutations cycliques des indices . Il faut remplacer δ par δ 1 et δ 2
respectivement dans les expressions de R Hi (i =1, 2) et de R Si (i =1, ···, 4). Posant H i =
A exp (iθ i ), S i = B exp (iφ i )(i =1, ···, 4), les deux phases totales Ξ 1 = θ 1 − θ 2 − φ 1 + φ 2
et Ξ 2 = θ 1 + θ 2 − φ 3 + φ 4 obéissent à:
∂ t Ξ i = 4(B 2 δ 1 + A 2 δ 2 )sin(Ξ i ),
avec i =1, 2. Les solutions stables sont données par Ξ 1 =Ξ 2 = π. Les amplitudes des
motifs peuvent elles-aussi être calculées:
√
√
4δ 1 ∆+(21g − 13c 3 qS 4 A =
− 4δ 1)µ
µ(9 − 2δ 2 ) − 9∆)
189g − 117c 3 qS 4 − 8δ B 1 =
1δ 2 189g − 117c 3 qS 4 − 8δ (11)
1δ 2
La dépendance angulaire des coefficients permet de stabiliser ces structures, notamment
pour les valeurs suivantes des paramètres: q S =1.228, qH =1.2458, c 1 =1.5, c 2 =
1, c 3 =0.2, ∆=0.18, δ 1 =0.85, δ 2 =2, α =0.8, g=0.45.
3 Conclusion
Il serait intéressant d’étudier l’élasticité de ces structures dissipatives quasi-périodiques
afin d’identifier les modes hydrodynamiques et caractériser la nature des défauts topologiques
qui sont générés dans de tels structures lorsqu’elles sont frustrées dans par des
conditions limites incompatibles [12]. De nombreuses dislocations de super-réseaux apparaissent
en effets dans les simulations numériques des divers modèles proposés.
Références
[1] M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1983).
[2] P. Bak, Rev. Prog. Phys. 45, 587 (1982).
[3] V.L.Pokrovsky,A.L.Talapov,Theory of Icommensurate Crystals., (Harvard, Amsterdam)
(1984).
[4] W. S. Edwards and S. Fauve, Phys. Rev. E 47, 788 (1993).
[5] A. Kudrolli, B. Pier, J. P. Gollub, Physica D 123, 99 (1998).
[6] J. L. Rogers, M. F. Schatz, O. Brausch, W. Pesch, Phys. Rev. Lett. 85, 4281 (2000).
[7] E. Pampaloni et al., Phys. Rev. Lett. 78, 1042 (1997).
[8] Z. H. Musslimani, L. M. Pismen, Phys. Rev. E 62, 389 (2000).
[9] S. L. Judd and M. Silber, Physica D 136, 46 (2000).
[10] M. Bachir et al., Europhys. Lett 54, 612 (2001).
[11] R. Lifshitz and D. M. Petrich, Phys. Rev. Lett. 79, 1261 (1997).
[12] N. Komorova et al.,Phys. Rev. A 56, 803 (1997).
[13] H. S. Müller, Phys. Rev. E 49, 1273 (1994).
[14] T. Frisch, G. Sonnino, Phys. Rev. E 51, 1169 (1995).
[15] D. Levine et al. Phys. Rev. Lett. 54, 1520 (1985).

encontre du non-linéaire 2003 207
UnerelationdevonKármán en Magnétohydrodynamique hélicitaire
T. Gomez ∗ ,H.Politano ∗∗ et A. Pouquet ∗∗∗
∗ Laboratoire de Modélisation en Mécanique
8 rue du capitaine Scott, 75015 Paris
∗∗ Observatoire de la Côte d’Azur, BP4239, 06304 Nice
∗∗∗ NCAR, P.O. Box 3000, Boulder, Colorado 80307-3000.
gomez@lmm.jussieu.fr
Résumé
Nous considérons une turbulence Magnétohydrodynamique (MHD) incompressible
homogène isotrope avec une hélicité moyenne non nulle, induisant une brisure de la
symétrie miroir de l’écoulement [1]-[4]. Nous obtenons une relation exacte notée VKH–
HM (von Kármán–Howarth pour l’Hélicité Magnétique), correspondant àlaloidevon
Kármán pour les écoulements turbulents de fluide neutre [5, 6].
Cette relation a pour origine l’invariance de l’hélicité magnétique en turbulence
MHD tridimensionnelle. Elle lie de façon non triviale la dissipation de l’hélicité magnétique
à des moments d’ordre trois des composantes de la vitesse, du champ magnétique
et de son potentiel.
L’intérêt de cette nouvelle relation est de nous donner des informations sur les
phénoménes non linéaires opérant dans de tels écoulements, en particulier, elle induit
une corrélation entre les composantes transverses du potentiel magnétique et de la
force électromotrice variant linéairement en espace.
1 Introduction
L’hélicité magnétique est un invariant des équations de la MHD à diffusivité magnétique
nulle, qui s’écrit
H M = 1 〈a · b〉 ,
2
où a est le tenseur potentiel magnétique et b le pseudo–tenseur champ magnétique. Il
joue un rôle important dans la dynamique de la couronne et des eruptions solaires, ainsi
quedanslephénomène de dynamo, c’est àdirelagénération de champs magnétiques par
la turbulence. En particulier, la présence àpetiteéchelle de l’hélicité magnétique semble
jouer un rôle dans les effets de saturation non linéaire du taux de croissance du champ
magnétique (effet ”alpha”). Il est à noter que le transfert d’hélicité magnétique à travers les
échelles de l’écoulement donne lieu à une cascade inverse vers les grandes échelles. D’autre
part, H M est un invariant topologique interprétable comme une mesure du nouage des
lignes de champ magnétique [11].
2 Cinématique des écoulements hélicitaires
Le pseudo tenseur des correlations de l’hélicité magnétique s’écrit
˜R H M
ij
(x, x ′ )=〈a i (x)b j (x ′ )〉 ,
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

208 T. Gomez, H. Politano, A. Pouquet
où a(x) est un vecteur, b(x) un pseudo–vecteur; x ′ = x + r et 〈·〉 correspond a l’opérateur
moyenne d’ensemble, ou de façon équivalente à une moyenne sur un grand volume et sur
des temps longs (hypothèse d’ergodicité) [1]. D’autre part, l’homogénéité s’écrit
˜R H M
ij
(x, x ′ )= ˜R H M
ij
(r)
En supposant l’homogénéité et l’isotropie, le tenseur des corrélations du potentiel
magnétique deuxième ordre s’écrit
R aa
ij (r) =〈a i (x) a j (x ′ )〉 = A aa (r)r i r j + B aa (r)δ ij + ˜C aa (r)ɛ ijl r l , (1)
où A aa (r) etB aa (r) sont deux fonctions scalaires, ˜Caa (r) une fonction pseudo–scalaire et
où tous les coefficients tensoriels sont des fonctions paires de la distance r = |r|.
L’Hélicité magnétique est liée au terme proportionnel à ˜C aa (r). En effet, la partie
antisymétrique du tenseur ˜C aa (r)ɛ ijl r l peut aussi être écrit [4]:
∂
ɛ ijl φ(r) ,
∂r l
où φ(r) est une fonction paire pseudo–scalaire de r, telle que φ(r =0)=H M .
En utilisant la jauge de Coulomb, il reste deux fonctions génératrices liées à l’hélicité
magnétique de l’écoulement :
avec
R aa
ij (r)
ā 2 = f aa (r)δ ij + r 2
∂f aa (r)
r l
P ij (r)+ɛ ijl
∂r
r ˜saa (r) ; (2)
P ij (r) =δ ij − (r i r j )/r 2
l’opérateur de projection incompressible, ā 2 f aa (r) est la fonction de corrélation longitudinale
du potentiel magnétique, et ā est le potentiel magnétique r.m.s. .Lafonction˜s aa (r)
introduite dans l’équation précédente est telle que
R23(r) aa =r ˜C aa (r)ɛ 23L ≡ ā 2 ɛ 23L˜s aa (r) ;
où l’indice L se réfère à la direction longitudinale (le long de r), les indices 2 et 3 aux
directions transverses correspondantes dans l’espace de dimension trois.
Définissons de façon analogue le pseudo–tenseur d’ordre deux de l’hélicité magnétique
qui peut alors s’écrire
˜R H M
ij
(r) =〈a i (x)b j (x ′ )〉 = ɛ jlm
∂R aa
im (r)
∂r l
, (3)
˜R H M
ij
(r)
=
c ˜f ab (r)δ ij + r
2 2
∂ ˜f ab (r)
r l
P ij (r)+ɛ ijl
∂r
r sab (r) , (4)
où c 2 =ā¯b est une constante scalaire avec ¯b le champ magnétique r.m.s. qui est un scalaire.
Nous noterons le caractère pseudo d’un tenseur à l’aide d’un symbole tilde, à l’exception
de l’hélicité magnétique H M .
Le tenseur de corrélation d’ordre trois nécessaire àladérivation de l’équation VKH-
HM est le pseudo–tenseur écrit en terme de vitesse, champ magnétique et potentiel
magnétique :
Φ vba
ijl (r) =〈v i(x)b j (x)a l (x ′ )〉 =ã vba
11 (r)r l δ ij +ã vba
12 (r)r j δ il +ã vba
13 (r)r i δ jl

Relation de von Kármán en MHD hélicitaire 209
+ã vba
3 (r)r i r j r l + b vba
23 (r)r i ɛ jlm r m + b vba
22 (r)r j ɛ lim r m + b vba
21 (r)r l ɛ ijm r m , (5)
où les sept coefficients apparaissant dans cette définition générale sont des fonctions paires
de la distance r, comme pour le tenseur de corrélation d’ordre deux. La contrainte d’incompressibilité
mène à une relation entre ces coefficients qui permet d’écrire le tenseur à l’aide
de seulement quatre fonctions génératrices. Les formes générales des (pseudo–)tenseurs
d’ordre deux et trois en turbulence hélicitaire (sans symétrie miroir) sont détaillées dans
l’annexe de [12].
2.1 Une équation de von kármán pour l’hélicité magnétique
L’équation pour le potentiel magnétique a, qui est une forme alternative de l’équation
d’induction pour b, s’écrit :
∂ t a = v × b + η∆a , (6)
en utilisant la jauge de Coulomb ∇·a =0;où η est la diffusivité magnétique.Danslecadre
de la turbulence MHD incompressible, cette équation est couplée à celle de conservation
de la quantité de mouvement, cette dernière n’étant pas nécessaire àladémonstration
de l’invariance de l’hélicité magnétique. Il ne sera d’ailleurs pas non plus nécessairedela
considérer pour l’obtention de la relation VKH–HM.
L’équation pour l’évolution temporelle du pseudo–tenseur des corrélations du second
ordre ˜R H M
ij
(r) =〈a i (x)b j (x ′ )〉 est obtenue àpartirdel’équation (6) écrite au point x puis
x ′ = x + r. On obtient alors en fonction des tenseurs Φ ...
∂
∂t ˜R
[
H M
ij
(r) =ɛ ilm Φ vbb
lmj (r)+∂ r k
Φ vba
jki
ijl :
]
(−r) − Φvba kji (−r)
+2η ∂2 ˜R H
∂rk
2 M
ij
(r) . (7)
En utilisant la formulation générale des tenseurs d’ordre trois en turbulence hélicitaire
incompressible, on obtient après quelques manipulations algébriques en considérant i = j,
en déterminant une intégrale première puis en exprimant les coefficients en termes de
composantes parallèle (notée L) et perpendiculaire (notée 2 ou 3), l’équation VKH–HM
suivante :
∂
∂t ˜R
[
] [ H M
∂
LL (r) =4 Φ vba
r
LLL(r) − Φ vba
2
2L2(r) +2η
∂r 2 + 4 r
]
∂
∂r
˜R H M
LL
(r) . (8)
Les détails des calculs menant à l’obtention de cette relation sont développés dans l’article
[12].
2.2 Relation à la limite des temps longs et des grands nombre de Reynolds
Le fonction de structure d’ordre deux pour l’hélicité magnétique
BLL(r) ab =〈(a L (x ′ ) − a L (x)) (b L (x ′ ) − b L (x))〉
peut s’écrire à l’aide de la fonction de corrélation d’ordre deux de l’hélicité magnétique :
LL(r) =2〈a L (x)b L (x)〉−2 ˜R H M
LL
(r) . (9)
Définissons le taux de transfert de l’hélicité magnétique ˜ɛ H M
par la relation :
B ab
∂ t 〈a L (x)b L (x)〉 = 1 3 ∂ t〈a i (x)b i (x)〉 = − 2 3˜ɛH M
, (10)

210 T. Gomez, H. Politano, A. Pouquet
en utilisant la convention d’Einstein pour la sommation des indices répétés. En substituant
les équations (9) and (10) dans l’équation (8), on obtient alors la relation exacte sous une
forme alternative :
− 2 3˜ɛH M
− 1 ∂
2
∂t Bab
[ 1
LL(r) =4
r Φvba
L22(r) − 1 r Φvba 2L2(r)
]
+2η 1 [
∂
r 4 r 4 ∂ ]
∂r ∂r ˜R H M
LL (r)
. (11)
Cette relation est exacte au sens qu’aucune hypothèse n’a été ajoutée aux équations de
la dynamique MHD incompressible, en dehors de l’homogénéité et de l’isotropie. Écrivons
alors, cette relation en considérant la limite des temps longs et en se placant aux échelles
de la zone inertielle, (c’est àdireennégligeant les effets de la diffusivité magnétique). On
obtient alors :
〈v L (x)Σ i b i (x)a i (x ′ )〉−〈b L (x)Σ i v i (x)a i (x ′ )〉 = − 1 3˜ɛH M
r, (12)
qui est une forme similaire à celles obtenues dans [7] pour le scalaire passif, [8] pour l’énergie
cinétique, [3] pour l’hélicité, [6] dans le cas MHD pour l’énergie totale et la corrélation
vitesse/champ magnétique.
Notons que cette relation peut s’écrire à l’aide de la force électomotrice E t = v × b
générée par l’écoulement turbulent sous la forme :
〈 [ E t (x) × a(x ′ ) ] L 〉 = + 1 3˜ɛH M
r. (13)
De façon classique lorsque l’on considère des invariants de la dynamique, on obtient une
variation linéaire en fonction de la distance de séparation l pour des combinaisons de
corrélations d’ordre trois. Ces relations sont très utiles pour définirdefaçon non ambiguë
l’étendue de la zone inertielle dans un écoulement turbulent.
3 Conclusion
Nous obtenons une nouvelle relation exacte, satisfaite dans le cas des écoulements
hélicitaire MHD, i.e. tridimensionnels de fluides conducteurs sans symétrie miroir. L’existence
d’une telle relation est une conséquence directe de l’invariance de l’helicité magnétique
dans le cas difffusivité magnétique nulle. Il est intéressant de noter que la relation (12)
est indépendante des quantités respectives d’énergie magnétique et cinétique. Elle fournie
une contrainte sur la dynamique des écoulements turbulents qui peut aider àleuranalyse
théorique et expérimentale (e.g. dans la configuration de l’écoulement de Taylor–Couette
entre disques contrarotatifs dans le Gallium ou le Sodium [9, 10]).

Relation de von Kármán en MHD hélicitaire 211
Références
[1] G. Batchelor, The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge University Press
(1953).
[2] S. Chandrasekhar, The theory of axisymmetric turbulence, Philos. Trans. R. Soc.
London, Ser. A 242, 557 (1950).
[3] T. Gomez, H. Politano and A. Pouquet, An exact relationship for third–order structure
functions in helical flows, Phys. Rev. E 61, 5321 (2000).
[4]S.Oughton,K.H.Rädler and W. H. Matthaeus, General second-rank correlation
tensors for homogeneous magnetohydrodynamic turbulence, Phys. Rev. E 56, 2875
(1997).
[5] T. von Kármán and L. Howarth, Proc. Roy. Soc. London A 164, 192 (1938).
[6] H. Politano and A. Pouquet, A von Kármán–Howarth equation for magnetohydrodynamic
fluids and its consequences on third-order longitudinal structure and correlation
functions, Phys. Rev. E Rapid Comm. 57, R21 (1998).
[7] A.M. Yaglom, On the local structure of the temperature field in a turbulent flow, Dokl.
Akad. Nauk SSSR 69, 743 (1949).
[8] Antonia, R.A., Ould-Rouis, M., Anselmet, F., Zhu, Y. Analogy between predictions of
Kolmogorov and Yaglom J. Fluid Mech. 332, 395 (1997).
[9] R. Labbé, J.F. Pinton and S. Fauve, Study of the von Kármán flow between coaxial
corotating disks, Phys. Fluids 8, 914-922 (1996).
[10] P. Odier, J-F. Pinton and S. Fauve, Advection of a magnetic field by a turbulent
swirling flow, Phys. Rev. E 58, 7397 (1998).
[11] H. K. Moffatt, The degree of knottedness of tangled vortex lines, J. Fluid Mech 35,
117(1969).
[12] H. Politano, T. Gomez and A. Pouquet, The von Kármán-Howarth relationship for
helical MHD flows, soumisà Phys. Rev. E.

212 rencontre du non-linéaire 2003
L’instabilité centrifuge d’une colonne de plasma en champ magnétique.
Comparaison avec une situation analogue en mécanique des fluides
I. Nanobashvili, P. Devynck, Th. Pierre † , A. Escarguel † , G. Leclert † et D.
Guyomarc’h †
Département de Recherches sur la Fusion Contrôlée
C.E.N. de Cadarache, 13110 St Paul-lez-Durance
† Laboratoire PIIM, Université de Provence, 13397 Marseille Cedex 20
nanob@drfc.cad.cea.fr
Résumé
Nous mettons en évidence des structures spirales autour d’une colonne de plasma en
rotation rapide dans un champ magnétique et nous étudions l’analogie avec un système
voisin en mécanique des fluides. L’instabilité centrifuge se traduit par la présence de
modes azimutaux qui modulent très fortement la densité du plasma. Sur le bord de
la colonne, ces modes se prolongent par des bras spiraux qui s’enroulent autour de la
colonne. Le paramètre de contrôle est la vitesse angulaire de la colonne. Nous montrons
que l’accroissement du paramètre de contrôle détermine une succession de transitions
vers des modes d’ordre plus faible, partant d’un mode d’ordre 3 pour finir par un
mode d’ordre 1. Au-delà, un régime de chaos spatio-temporel s’établit dans la colonne
et autour de celle-ci. Le système est étudié en utilisant une caméra ultra-rapide.
Cette situation physique est analogue en mécanique des fluides au cas de structures
se développant dans une cuve tournante parabolique. La grande analogie entre les deux
expériences est mise en évidence ici pour la première fois. Elle incite à penser qu’elle
peut se prolonger par l’étude expérimentale de la correspondance entre les ondes de
Rossby et les ondes dérive en physique des plasmas.
En comparaison, des mesures en imagerie par réseaux de sondes sur le tokamak
Castor sont présentées et analysées. Des structures cohérentes sont mises en évidence.
Elles sont convectées autour du tore de plasma.
1 Le dispositif expérimental
Des expériences en dynamique non-linéaire ont été réalisées sur un nouveau dispositif
à plasma en champ magnétique (MISTRAL). Ce dispositif est composé d’une chambre
source de plasma de grand diamètre (140 cm) connectée à un tube (longueur 100 cm,
diamètre 40 cm) placé dans un solénoide appliquant un champ magnétique d’une intensité
maximale de 500 gauss. La colonne droite est prolongée par un demi-tore de grand rayon
60 cm qui permet d’étudier les instabilités spécifiques de cette géométrie. Le plasma est
créé parlesélectrons énergétiques issus d’une cathode formée d’une série de 32 filaments
placés dans la chambre source. Typiquement, le plasma obtenu dans la colonne droite
présente un profil radial gaussien avec une largeur de 30 cm environ. Dans les expériences
analysées ici, on place un diaphragme à l’entrée de la colonne. Ce diaphragme limite le
diamètre de la colonne à 14 cm. La colonne est limitée axialement par un disque collecteur
placé au bout de la section droite.
Nous utilisons différentes sondes électriques mobiles et des réseaux de sondes matriciels
ou disposés en couronne. Les fluctuations du courant collecté sont directement
proportionnelles aux fluctuations locales de la densité du plasma.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

L’instabilité centrifuge d’une colonne de plasma 213
Pour caractériser finement le système dynamique, il est essentiel d’obtenir des informations
aussi complètes que possibles en particulier sur la répartition spatiale des fluctuations
et sur leur évolution temporelle. Un dispositif d’imagerie avec une cadence adaptée
constitue l’outil idéal. On tire parti du caractère bidimensionnel de la turbulence dans
notre situation. Une visée axiale de la colonne intègre la lumière émise par un tube de
plasma aligné avecleslignesdechampmagnétique. Le mécanisme de l’émission spontanée
est indirect et fait intervenir le peuplement d’un niveau métastable de l’argon neutre. La
population électronique induit ensuite le rayonnement. Les fluctuations de cette émission
infrarouge sont ainsi fortement corrélées avec celles de la densité électronique du plasma.
Le développement au laboratoire d’une caméra rapide (200.000 images/sec) est en cours
et permet maintenant d’obtenir les premières informations sur le mécanisme de transition
vers le régime de chaos spatio-temporel et sur ce régime lui-même.
2 Structures spirales et instabilité centrifuge
Il existe un champ électrique radial d’équilibre de symétrie cylindrique autour de la
colonne. L’un des mécanismes fondamentaux en physique des plasmas est l’existence de
dérives induites par l’interaction entre les mouvements cyclotroniques des particules et les
champs continus ou variables appliqués. En particulier, l’application d’un champ électrique
transverse au champ magnétique induit une dérive dite ExB, oudérive électrique, qui
convecte le plasma dans la direction perpendiculaire. Ici, la dérive est azimutale et induit
une rotation de la colonne autour de son axe. Cette rotation s’effectue sans cisaillement de
vitesse si le champ électrique varie linéairement avec la position radiale. Cette situation
correspond à un profil de potentiel parabolique.
Dans notre système, nous observons qu’il existe des régimes instables cohérents très
fortement non-linéaires. Les modes m =1etm =2sontpréférentiellement excités dans
notre système. Nous avons étudié la structure spatio-temporelle de ces modes réguliers en
utilisant un couple de sondes, l’une fixe servant de référence, et l’autre mobile se déplaçant
sur une grille de pas 15 mm. La référence de phase étant choisie sur la sonde fixe, la sonde
mobile enregistre à chaque position une série temporelle correspondant à plusieurs périodes
du mode étudié et permet ainsi de reconstituer a posteriori l’evolution spatio-temporelle
des fluctuations. La figure 1 montre une carte de la densité électronique dans la colonne
dans le cas d’un mode m = 2. Cette structure tourne très rapidement autour de l’axe,
typiquement à plusieurs milliers de tours par seconde.
On distingue le plasma dense au centre et l’amorce de deux bras spiraux autour de
la colonne. L’enregistrement de l’évolution temporelle de la densité en un point derrière
le limiteur montre un signal présentant des bouffées périodiques de plasma correspondant
au passage de l’un des bras spiraux. Nous sommes en présence d’une instabilité detype
Rayleigh-Taylor dont le mécanisme est plus complexe que dans le cas d’un fluide neutre. La
force centrifuge qui s’exerce sur les ions produit une séparation de charge dans la direction
azimutale. En retour, le champ électrique induit par cette séparation de charges provoque
un mouvement radial centrifuge du plasma.
La sélection des différents modes azimutaux est conditionnée par la vitesse angulaire
du plasma central. Plus précisément, plus la colonne tourne rapidement et plus l’ordre du
mode est bas. On passe typiquement par une séquence de transitions entre les modes 3, 2,
puis 1 pour finir dans un régime de chaos spatio-temporel.
Une faible variation du paramètre de contrôle (potentiel du collecteur en bout de
colonne) provoque ensuite la transition vers un régime de chaos spatio-temporel. L’étude

214I. Nanobashvili, P. Devynck, Th. Pierre, A. Escarguel, G. Leclert, D. Guyomarc’h
18
16
Position verticale (−15 à 15 cm)
14
12
10
8
6
4
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Position horizontale (−15 à 15 cm)
Fig. 1: Structure spirale sur la carte de densité
préliminaire indique que les modes m =1etm = 2 sont excités simultanément et que leur
compétition et leur interaction non-linéaire induit ce régime de turbulence faible [1]. Les
séries temporelles enregistrées au bord du plasma présentent ainsi une forte intermittence.
Cette situation est très similaire aux régimes turbulents enregistrés en plasma de bord
de tokamak. Nous verrons plus loin dans cet exposé un exemple de turbulence dans le
tokamak Castor.
Ce système de colonne de plasma de laboratoire en champ magnétique relativement
faible étant assez complexe, il n’est pas possible d’aborder théoriquement l’analyse de cette
situation physique. A l’heure actuelle, nous ne disposons pas d’une simulation numérique
complète du système. Une première approche en simulation fluide [2] a montré que l’effet
centrifuge seul peut suffire pour rendre compte des observations sur la machine Mistral.
3 Comparaison avec un systèmeenmécanique des fluides
Il est connu depuis 30 ans qu’il existe une grande analogie entre les ondes de Rossby
dans le cas des mouvements atmosphériques à la surface des planètes. Dans ce dernier
cas, c’est la force de Coriolis qui détermine l’apparition de structures cycloniques ou anticycloniques.
Dans le cas des plasmas en champ magnétique, c’est la force de Lorentz qui
provoque l’apparition des modulations de densité se propageant autour d’une colonne de
plasma [3]. L’équation de Charney (1948) dans le cas des ondes de Rossby est tout à fait
semblable dans sa structure àl’équation de Hasegawa-Mima (1978) en plasma magnétisé.
Très peu d’expériences en physique des plasmas ont tenté de confirmer cette analogie.
Ce sont des travaux datant des années 1985-1990 [4] sur des colonnes de plasma de petit
diamètre qui restent les seules références pour les théoriciens de la turbulence des plasmas.
Parallèlement, il existe une série de travaux en mécanique des fluides réalisés par
un groupe russe de physiciens des plasmas qui établissent un lien expérimental entre les
phénomènes observés en physique des plasmas et ceux rencontrés dans les atmosphères
planétaires.
Les travaux de M. Nezlin et E. Snezhkin entre 1990 et 1995 ont porté sur l’apparition
et la stabilité de structures solitaires dans des cuves paraboliques tournantes portant une
couche liquide de faible épaisseur [5, 6]. L’un des dispositifs est particulièrement proche
de notre colonne magnétisée en physique des plasmas. Il s’agit d’une cuve parabolique au

L’instabilité centrifuge d’une colonne de plasma 215
centre de laquelle se trouve un disque animé d’un mouvement de rotation rapide. Au bord
du disque se trouve une couche de cisaillement de vitesse dans laquelle se développe une
instabilité centrifuge. Le paramètre de contrôle est la vitesse angulaire du disque central.
On observe que des bras spiraux stables se forment autour du disque central. Le
nombre de bras décroît lorsque la vitesse angulaire du disque augmente. La séquence
se termine par l’apparition de deux bras, puis d’un seul, et enfin d’un régime de chaos
spatio-temporel. Il est remarquable que les bras spiraux sont stables et correspondent àla
propagation d’une onde solitaire supersonique qui traverse la cuve depuis le disque central
en allant au bord de la cuve pendant que le nombre de Mach de l’onde solitaire augmente.
Ce phénomène est très semblable à celui enregistré autour de notre colonne de plasma en
rotation rapide. La séquence de bifurcations est tout à fait analogue.
L’instabilité qui intervient dans ces expériences est fondamentalement du type Rayleigh-
Taylor. En plasma de bord de tokamak, cette instabilité se manifeste par la courbure des
lignes de champ magnétique et par le gradient de l’intensité du champ magnétique toroidal
de confinement. Il s’agit alors de l’instabilité d’interchange qui n’existe que du coté
extérieur du tore. Le coté intérieur est stable. Il serait intéressant de transposer au cas du
tokamak l’analyse que nous développons en plasma de laboratoire dans le cas de l’instabilité
centrifuge.
En effet, les mesures par sondes en bord de tokamak montrent l’existence de structures
relativement stables et qui semblent traverser la couche de plasma de bord en contribuant
fortement au transport anormal.
4 Régimes turbulents en bord de tokamak
Les études récentes portant sur la turbulence du plasma de bord des tokamaks
s’orientent vers la mise en évidence de l’expulsion intermittente de tubes de plasma qui
sont convectés vers les parois. L’analyse s’appuie sur différents mécanismes de dérive associés
à la courbure des lignes de champ du tore de confinement et au gradient radial de
l’intensité du champ magnétique [7]. Dans les grands tokamaks, il est particulièrement difficile
d’enregistrer l’apparition et l’évolution de structures isolées en utilisant des sondes.
Seule l’imagerie d’émission permettra de faire progresser l’analyse expérimentale en tirant
parti de la grande résolution spatiale de ce diagnostic.
En revanche, dans les petits tokamaks comme Castor de l’Institut de Physique des
Plasmas de Prague, dont le grand rayon est de 40 cm et le petit rayon de 10 cm, il est
possible d’insérer des réseaux de sondes électriques. Nous présentons des mesures effectuées
en utilisant un réseau de 64 sondes disposées sur une grille 8x8. Les données montrent une
convection poloïdale de structures localisées de potentiel en accord avec le champ électrique
radial mesuré. Cependant, il est également possible de visualiser l’expulsion intermittente
de bouffées de plasma. Le mécanisme exact à l’origine de ce transport convectif intermittent
n’est pas encore compris. Il s’agit d’un problème de première importance actuellement en
physique des plasmas chauds de la fusion magnétique. L’analyse du transport anormal de
l’énergie en bord de tokamak en termes de transport diffusif est ainsi remis en cause par
ces observations.

216I. Nanobashvili, P. Devynck, Th. Pierre, A. Escarguel, G. Leclert, D. Guyomarc’h
5 Conclusion
En conclusion, l’instabilité centrifuge qui se développe autour d’une colonne de plasma
en rotation rapide induit la présence de plusieurs bras spiraux qui correspondent àun
transport convectif du plasma. Lorsque la colonne est dans un régime complexe chaotique,
ce phénomène provoque l’apparition d’un transport intermittent convectif. Le moyen de
diagnostic en cours de développement consiste mettre en oeuvre une caméra ultra-rapide.
Nous avons établi une forte analogie avec des expériences en mécanique des fluides dans le
cas de cuves paraboliques tournantes. Cette similitude doit être approfondie par d’autres
études expérimentales.
En comparaison, nous avons présenté desrésultats en turbulence du plasma de bord
du tokamak Castor. Un réseau de sondes met également en évidence dans ce cas un transport
convectif turbulent.
Références
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922 (1984).
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Chaos, 4, 277 (1994).
[4] T. Huld, A. H. Nielsen, H. L. Pecseli, and J. J. Rassmussen, Coherent structures in
two-dimensional plasma turbulence Phys. Fluids B, 3, 1609 (1991).
[5] M. Nezlin Rossby solitary vortices on giant planets and in the laboratory,Chaos 4,
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[6] M. Nezlin Self-organization of the large-scale planetary and plasma drift vortices,
Chaos 6, 309-327, (1996).
[7] S. I. Krasheninnikov, On scrape off layer plasma transport Phys. Lett. A283, 368
(2001).

encontre du non-linéaire 2003 217
Nonlinéarités Géantes de Cristaux Liquides Nématiques Dopés par les
Colorants: Effets de Surface et de Volume
Artem Petrossian (*) et Stefania Residori
Institut Non Linéaire de Nice
1361, Route des Lucioles, 06560 Sophia Antipolis
(*) Université d’ Etat de Erevan, 1 rue Manoukian, 375049 Erevan, Arménie
residori@inln.cnrs.fr
Résumé
Nous montrons que pour les nématiques dopés par les colorants la réorientation
du directeur suit une trajectoire tridimensionnelle, qui se compose d’un mouvement
dans le plan d’incidence de la lumière et d’un mouvement hors de ce même plan. Nous
attribuons ces deux composantes du mouvement respectivement aux effets de surface
et de volume.
1 Introduction
Les cristaux liquides nématiques dopés par les colorants montrent des nonlinéarités
orientationelles jusqu’à trois ordres de grandeur supérieures à celle des cristaux liquides
purs [1]. Récemment, une nonlinéarité optique extraordinairement grande a été rapportée
pour un mélange particulier du cristal liquide 5CB et de colorants (azo-dye) de Rouge de
Methyl (MR) [2]. Différentes interprétations, comme l’ effet photoréfractif, ont été données
[2], même si un’analyse des réseaux optiques a récemment exclus l’effet photoréfractifs
comme le responsable de leur formation [3]. Plus tard, Simoni et ses collaborateurs [4] ont
proposé une explication basée sur la diminution induite per la lumière de la force d’ancrage
à la surface de la cellule. Il est désormais largement admis que les modifications induites
par la lumière de la force d’ancrage à la surface de la cellule jouent un rôle fondamental
dans le processus de réorientation. Des effets de surface ont été observés pour des cellules
planaires, traitées avec des produits photo-sensibles [5, 6, 7] et photo-chromes [8], et pour
des cellules homéotropes où la photoréfractivité aété attribué aux charges de surface [9].
En outre, la réorientation en volume est plutôt associée à la photo-isomérisation
(trans-cis) des molecules de azo-dye lorsque celles-ci sont soumises à un rayonnement dans
leur bande d’absorption [10]. En général, les effets de surfaces et de volumes peuvent
contribuer simultanément, et être combinés pour des applications technologiques telles
que l’enregistrement de réseaux permanents de haute resolution [11]. Un autre effet est
l’adsorption à la surface de molecules de colorant [12]; ceci peut aussi jouer un rôle dans
la réorientation induite par les effets de surface [13].
Différents produits d’ancrage homéotrope ont été récemment testés [14]. Il a été
montré que la non-linéarité optiquegeanteestliée àladéposition d’une couche de surfactant
ionique sur les parois de la cellule. Néanmoins, beaucoup des questions restent
ouverts, comme, par example, le rôle joué par les colorants, en particulier l’influence de
leur conformation moléculaire ou le poids relatif des contributions de surface et de volume
à l’entier processus de réorientation.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

218 A. Petrosyan et S. Residori
2 Déscription de l’expérience
Nous avons étudié laréponse d’une cellule homéotrope traitée avec un surfactant ionique
et sous l’action d’un laser polarisé circulairement. Le dispositif expérimental, Fig.1,
est un dispositif de type pompe-sonde. La cellule de cristal liquide est placée à l’intersection
de deux faisceaux d’un laser Ar + ,élargis et collimatés (λ = 514 nm, diamètre du
faisceau=3 mm), qui interfèrent dans le plan x − y avec un angle α ≃ 1 o . Les deux faisceaux
pompes sont symétriques par rapport à la normale de la cellule (incidence normale).
La cellule est montée sur une platine de rotation à haute precision. Nous utilisons un laser
He-Ne de faible puissance (0.8 mW ), polarisé linéairement, a fin de détecter la variation
d’indice de réfraction dans la cellule.
Les deux faisceaux pompes sont polarisés circulairement dans la même direction.
Nous avons effectué plusieurs expériences avec différents types de cellules homéotrope et
seulement les cellules traitées par un surfactant ionique tel que le hexadecyl-trimethylammonium
bromure ou chlorure, (HTAB et HTAC) ont montré une très haute sensibilité
pour une faible intensité lumineuse des pompes (≃ 100 µW/cm 2 pour polarisation
linéaire de la pompe). Dans ce cas nous observons l’effet de réorientation mêmeavecun
seul faisceau pompe à l’incidence normale [14]. Toutes les cellules contiennent la même
concentration 0.3% MR (Aldrich Chemicals) dans 5CB (Merck) et elles ont une épaisseur
typique d =10µm. L’absorption des cellules vaut approximativement 65 cm −1 pour s et
p-polarisation de la pompe.
pump
+
Ar laser
λ/4
Power Meter
x
probe
λ/2
α
y
z
screen
PD
He-Ne
laser
n
Fig. 1: Schéma de l’expérience. PD: photo-diode; ⃗n: directeurnématique; λ/4: lameà quart d’onde.
3 Efficacité dediffraction
Nous montrons en Fig.2 une image typique de self-diffraction obtenue pour une intensité
lumineuse total de deux pompes I in =2.0 mW/cm 2 . Le temps de réponse du
système est très grand; il est nécessaire d’attendre quelques dizaines de secondes avant que
le premier ordre de diffraction apparaisse. L’efficacité de self-diffraction η s ≡ I +1 /I in est
représentée en Fig.3 ou I +1 est l’intensité mesurée pour le premier ordre de self-diffraction.

Influence des surfactants sur la réorientation optique des cristaux liquides 219
Il est important de noter qu’une fois le réseau de diffraction developpé, le signal se caractérise
par de grands fluctuations.
En effet, puisque les pompes sont polarisés circulairement, le signal de self-diffraction
est la somme des toutes les projections du directeur dans le plan transverse (plane x −
y en Fig.1); il est donc très sensible aux fluctuations le long des directions radiales et
azimuthales. Lorsqu’un un des faisceaux de pompes est arreêté, l’amplitude de fluctuation
décroît fortement et le signal se stabilise lentement sur une valeur non nulle. Ceci montre
l’existence d’un effet mémoire: le réseau se maintient lui- même sous l’effet du mécanisme
d’absorption de la lumière. Autrement dit, l’injection continue des photons mantient la
transformation trans-cis des colorants et, par consequent, le réseau. Cet effet peut être
compris qualitativement dans le cadre du modèle d’interaction (guest-host ) [15], c’est
à dire la difference d’interaction entre les molécules de colorants excitées et celles non
excitées avec les molécules du cristal liquide donne lieu à un champ moyen résponsable du
mouvement du directeur.
a)
b)
c)
Fig. 2: Self-diffraction des pompes: a) début du processus; b) réseau complètement développé; c)
diffraction d’une seule pompe sur le réseau, qui continue d’exister plusieurs minutes après que
l’autre pompe ait été bloqué.
0.10
η s
0.05
time (sec)
0.00
0 100 200 300 400 500
Fig. 3: Efficacité de self-diffraction, η s = I +1 /I in , en fonction du temps. La fléche indique le
moment où une des pompe a été bloquée.
Nous avons réalisé des experiences de type pompe-sonde avec une sonde polarisée
linéairement et nous avons analysé le comportament de composantes s et p de polarisation,
par moyen d’un polariseur croisé situéaprès la cellule. Dans le cas d’une sonde p-polarisée,

220 A. Petrosyan et S. Residori
l’intensité I p transmise après l’analyseur s’écrit [16]: I p = I 0 sin 2 (2θ)sin 2 (∆Φ/2) où I 0 est
l’intensité de la sonde, ∆Φ = (2π/λ)〈∆n(z)〉d est le déphasage total intègré sur la longueur
de la cellule ∆n(z) =n e (θ, β, z) − n 0 , n 0 et n e sont les indices ordinaire et extraordinaire
du crystal liquide. Les angles θ et β, 0

Influence des surfactants sur la réorientation optique des cristaux liquides 221
Nous avons aussi préparé une cellule planaire (directeur selon l’axe x) par traitement
de surfaces avec l’alcool poly-vinylique (PVA) et nous l’avons éclairée avec deux pompes
polarisées circulairement. Nous observons la réorientation à partir de I in =20mW/cm 2
et en un temps rélativement court (∼ 100 ms). Par la diffraction d’un faisceau sonde nous
avons verifié quelaréorientation se fait toujours dans le plan x − z, ce qui s’explique en
considérant que l’absorption de la lumière est déjà maximisée pour la composante dans le
plan d’incidence.
0.3
η θ
W - OFF
0.2
0.1
W - ON
0.0
0 250 500 750
time (sec)
Fig. 5: Réponse à une illumination en lumière blanche pour p-polarisation du faisceau sonde. Les
fléches en pointillé marquent le moment où lalumière blanche a été allumée et éteinte. La fléche
en continu indique le moment où une des pompes a été bloquée.
Enfin nous avons éclairé une cellule homéotrope avec deux pompes polarisées circulairement
et pour un’intensité total I in =1mW/cm 2 , au-dessous du seuil de réorientation,
et nous avons envoié une lumière blanche additionelle à l’aide d’une lampe halogéne. L’intensité
delalumière blanche, qui est envoyée sur la cellule dans la direction opposée à celle
du laser, est de 10 mW/cm 2 . Pour une sonde s ou p polarisée nous observons une augmentation
du signal lorsque la source de lumière blanche est allumée, comme il est montré
sur la Fig.5. Le signal diminue lorsque la lumière blanche et éteinte. Des cycles successifs
d’illumination conduisent à une augmentation continue du signal, ce qui confirme que
le mouvement du directeur est essentiellement induit par l’injection de photons dans le
système, et ceci indépendamment de la cohérence de la source de lumière.
4 Conclusions
L’ensemble des observations expérimentales met en évidence deux contributions pour
le mouvement du directeur, qui s’orient respectivement dans le plan et hors du plan d’incidence
de la lumière. Les deux composantes de réorientation sont associés àdeuxéchelles
temporelles différentes. Le mouvement relativement rapide est associé au changement de
la force d’ancrage à la surface, alors que la dynamique lente est liée àlatransformationde
conformation (trans-cis ) des colorants dans le volume de la cellule. Le dichroism des colorants
est aussi responsable des effets memoire. Une fois écrit le réseau peut être maintenu
en envoyant sur la cellule de la lumière blanche additionnelle et en arrêtant les faisceaux
pompes.

222 A. Petrosyan et S. Residori
Acknowledgements
Ce travail a été financé par l’ACI-Jeunes (2218 CDR 2) du Ministère de la Recherche.
Références
[1] I. Janossy and A.D. Lloyd, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 203, 77 (1991).
[2] I.C. Khoo, S. Slussarenko, B.D. Guenther, M.-Y. Shih, P. Chen and W.V. Wood, Opt.
Lett. 23, 253 (1998).
[3] L. Frey, M. Kaczmarek, J-M. Jonathan and G. Roosen, Opt. Materials 18, 91 (2001).
[4] F.Simoni, L. Lucchetti, D.E. Lucchetta and O. Francescangeli, Optics Express 9, 85
(2001).
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481,(1995)
[9] J.Zang, V.Ostroverkhov, K.D.Singer, V.Reshetnyak and Y.Reznikov, Opt. Lett., 25,
414 (2000).
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Phys. 28, 289 (1989); D. Voloschenko, A. Khykhnyak, Y. Reznikov and V. Reshetnyak,
Jpn. J. Appl. Phys. 34, 566 (1995).
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(1997).
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O.D. Lavrentovich, Jpn. J. Appl. Phys. 34, 566 (1995).
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and desorption in dynamic and stable grating formation in Methyl-Red doped liquid
crystals, preprint.
[14] A. Petrossian and S. Residori, Euro Phys. Lett. 60, 79 (2002); A. Petrossian and
S. Residori, Optical reorientation in dye-doped nematic liquid crystals: the role of the
anchoring conditions, accepté pour la publication sur Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2002.
[15] M. Kreuzer, L. Marucci and D. Paparo, J. Non. Opt. Phys. Mat. 9, 157 (2000).
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Wiley & Sons Limited, New York, 1983).
[17] I. Janossy and L. Szabados,Phys. Rev. E, 58, 4598 (1998).

encontre du non-linéaire 2003 223
Sélection des vecteurs d’ondes lors de la déstabilisation d’une structure
hexagonale
C. Pirat, L. Gil, C. Mathis et P. Maïssa
Institut du Non Linéaire de Nice
1361, Route des Lucioles, 06560 Sophia Antipolis
pirat@inln.cnrs.fr
Résumé
Quand un système unidimensionnel stationnaire et spatialement périodique (de
période λ) sedéstabilise en mettant en jeu une nouvelle longueur d’onde (du même
ordre de grandeur que λ), il met le plus souvent en jeu une structuration spatiale àla
longueur d’onde double. C’est le cas en convection de Rayleigh-Bénard [1], dans des
expériences de Couette-Taylor [2] et de Rayleigh-Taylor [3], en solidification dirigée
[4, 5] ou dans la simulation numérique de l’équation de Kuramoto Sivashinsky [6].
Par des arguments de type résonnance forte, on a montré [7] que c’est l’invariance
par parité qui force ce doublement de période.
En utilisant des arguments analogues, on s’intéresse ici àlasélection des vecteurs
propres (direction et norme) qui interviennent lors de la déstabilisation d’un pattern
stationnaire hexagonal [8].
Nous avons observé certains des modes prédits dans une expérience d’hydrodynamique.
1 Introduction
La déstabilisation d’un système dissipatif hors d’équilibre initialement homogène
conduisant à la structuration sous forme de motifs spatialement périodiques est un phénomène
très répandu dans la nature. A deux dimensions, on observe ainsi la formation de
rouleaux, de carrés, de patterns quasi-périodiques et d’hexagones (les plus fréquentes). Des
exemples typiques incluent la convection de Rayleigh-Bénard avec effets non-Oberbeck-
Boussinesq, la convection de Marangoni, l’optique non-linéaire ainsi que les systèmes de
réaction diffusion et leurs applications à des objets biologiques. Nous nous intéressons ici
aux instabilités de structures hexagonales qui demandent pour leur description l’introduction
d’un nouveau paramètre d’ordre et d’une nouvelle équation d’amplitude, différents de
ceux dérivés pour la description de la première bifurcation. Nous ne nous intéressons donc
pas aux compétitions entre différents motifs ou encore aux instablités de la phase. Il est
important de remarquer que notre démarchen’estpasdedériver un système d’équations
d’amplitude invariant par les symétries du problème en partant de la connaissance a posteriori
(expérimental) du vecteur d’onde selectionné à la bifurcation, ce qui a déjà été fait
à l’aide de la théorie des bifurcations équivariantes, mais bien de prédire quels seront les
vecteurs d’onde qui seront a priori mis en jeux dans la déstabilisation du pattern hexagonal.
Dans ce but, nous utilisons le language des symétries mais nous ne chercherons
pas à calculer les espaces propres critiques et leurs dimensions, associés aux bifurcations
secondaires.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

224 C. Pirat, L. Gil
2 L’exemple du cas unidimensionnel
Dans le cas des instabilités secondaires d’un motif cellulaire unidimensionnel, il est
connu que le cas le plus couramment observé est le doublement de période spatial. Nous
rappelons ici comment ce doublement de période est forcé par la symétrie de parité.
Considérons le système d’équations aux dérivées partielles
∂U
∂t = F µ(U, ∂x), (1)
où U = U(x, t) est une collection de fonctions réelles et µ un ensemble de paramètres
de contrôle. (1) est supposé invariant par translations d’espace et de temps ainsi que
par parité (P). On suppose qu’il existe également une solution stationnaire périodique
U 0 (x) =U 0 (x+λ), invariante par parité(PU 0 = U 0 ). En écrivant U(x, t) =U 0 (x)+W(x, t),
on obtient après linéarisation
∂W
= DF| U0 W, (2)
∂t
où DF est la différentielle de F au voisinage de U 0 . Les modes propres de l’instabilité de
U 0 sont alors les comportements critiques solutions de (2). On pose ensuite W = e iΩt ψ(x)
+ cc où Ωestréel ou nul et ψ satisfait à[9]
iΩψ(x) =DF| U0 ψ(x) (3)
D’après le théorème de Bloch-Floquet, les solutions de cette EDO linéaire et à coefficients
périodiques s’écrivent
ψ(x) =Ae Fx H(x) (4)
où H a la structure périodique de la solution de base et où l’exposant de Floquet F est
imaginaire pur (F = iq) pour empêcher la divergence des modes propres instables en
x = ±∞. En tenant compte de la parité, si W est solution de (2) alors PW l’est aussi, et
la solution U s’exprime
U(x, t) =U 0 (x)+Re(Ae i(Ωt−qx) H(x)+Be i(Ωt+qx) (PH)(x)+H.O.T.), (5)
où A et B sont des nombres complexes petits devant U 0 au seuil de la bifurcation secondaire.
On utilise l’invariance par translation dans le temps (t, A, B → t+δt, Ae iΩδt ,Be iΩδt )
et la transformation de parité (x, A, B →−x, B, A) pour déduire la forme des équations
d’amplitude
∂A
∂t = z 1A + z 2 B +(z 3 |A| 2 + z 4 |B| 2 )A +(z 5 |A| 2 + z 6 |B| 2 )B + z 7 A 2 B + z 8 B 2 A + ···,
∂B
∂t = z 1B + z 2 A +(z 3 |B| 2 + z 4 |A| 2 )B +(z 5 |B| 2 + z 6 |A| 2 )A + z 7 B 2 A + z 8 A 2 B + ···. (6)
Il convient ici de faire une remarque importante. Si la solution U 0 était invariante par
translation continue d’espace (ce qui n’est bien sûr pas le cas), l’invariance (x, A, B →
x + δx, Ae −iqδx ,Be iqδx ) forcerait l’annulation des coefficients z 2 , z 5 , z 6 , z 7 et z 8 . Ces coefficients
sont donc clairement reliés à la description de la résonnance forte d’une structure

Instabiliés secondaires d’une structure hexagonale 225
Fig. 1: (a) Tracé schématique d’un pattern hexagonal. ⃗a i correspondent aux translations d’espace laissant
le pattern inchangé; (b) tracé schématique des vecteurs d’onde mis en jeu dans la description de (a).
cellulaire puisqu’ils n’existent qu’à causedelapériodicité spatiale de U 0 [7]. De plus, les
amplitudes A et B étant petites au seuil de la bifurcation, les termes linéaires z 2 B et z 2 A
sont associés àlarésonnance la plus forte. Dans ce cas, l’invariance par translation discrète
impose q =(m/2)(2π/2) (m entier). Maintenant que le nombre selectionné aété identifié,
on peut continuer le raisonnement et utiliser la théorie des groupes (ici assez triviale)
pour déterminer la nature des modes instables. Dans le cas q = π/λ, correspondant au
doublement de période spatial, (6) se réécrit
( A
∂t
B
) ( )(
z1 z
=
2 A
z 1 B
z 2
)
+ ··· (7)
Les modes critiques sont alors soit symétriques (A = B), soit antisymétriques (A = −B)
[9]. Nous utilisons par la suite la même approche pour caractériser les vecteurs d’onde mis
en jeu dans la déstabilisation d’un pattern hexagonal 2D.
3 Le cas bidimensionnel
3.1 La structure hexagonale et la théorie de Bloch-Floquet
On suit exactement la même démarche que dans le cas unidimensionnel, la différence
venant des symétries du problème, plus nombreuses. On considère un système bidimensionnel,
dont la dynamique est régie par une collection d’équations aux dérivées partielles
∂U
∂t = F µ(U, ∂x, ∂y), (8)
où U = U(x, y, t) est un ensemble de fonctions réelles et où ladynamiqueF µ dépend
a priori des dérivées spatiales des composantes de U. On suppose aussi que le système
(8) est invariant par translations continues d’espace et de temps, par parité (opérateur
P ⃗v par rapport à ⃗v) et par rotation continue d’angle θ (opérateur R θ ). On fait ensuite
l’hypothèse qu’il existe un régime de paramètres pour lequel (8) possède une solution
stationnaire U 0 (x, y, t) =U 0 (x, y), invariante par translation ⃗a i U 0 (⃗r + ⃗a i )=U 0 (⃗r) (avec
⃗a i = λ (cos(i2π/3), sin(i2π/3)) , i =0, 1, 2), invariante par parité (P ⃗ai U 0 = U 0 )etpar
les rotations d’angle 2π/6 (R 2π/6 U 0 = U 0 ). Les ⃗a i et les vecteurs d’onde associés k ⃗ i sont
représentés Fig. 1. On obtient, après linéarisation une équation équivalante à(2)
∂W
∂t
= DF| U0 W. (9)

226 C. Pirat, L. Gil
Au seuil de la bifurcation secondaire, la perturbation s’écrit W(x, y, t) =Re(e iΩt ψ(x, y)) où
ψ,d’après la théorie de Bloch-Floquet s’écrit ψ = e ( F.⃗r) ⃗ χ(⃗r), χ(⃗r)possédant la même structure
hexagonale que la solution de base U 0 . L’exposant de Floquet F ⃗ est pour les mêmes
raisons qu’à 1D purement imaginaire : F ⃗ = i⃗κ. L’équation (9) est invariante par l’action
du groupe de symétrie de l’hexagone C 6v × Z 2 . C 6v contient les 12 éléments de symétrie de
l’hexagone i.e. C 6v = {g i ,i∈ [1, 12]} = {E, R 2π/6 , R 2 2π/6 , R3 2π/6 , R4 2π/6 , R5 2π/6 , P ⃗a 0
, R 2π/6 P ⃗a0 ,
R 2 2π/6 P ⃗a 0
, R 3 2π/6 P ⃗a 0
, R 4 2π/6 P ⃗a 0
, R 5 2π/6 P ⃗a 0
} et Z 2 est le groupe des translations discrètes
générées par ⃗a 0 et ⃗a 1 .Donc,siW K est un mode propre critique, il en va de même pour
g(W K )où g est l’un des 12 éléments du groupe de symétrie C 6v . Finalement, proche du
seuil secondaire, W se réécrit [8]
W(⃗r, t) =Re
{
e iΩt 12∑
les A i étant des coefficients complexes de proportionalité.
i=1
}
A i e igi(⃗κ).⃗r g i (χ)(⃗r) , (10)
3.2 La sélection des vecteurs d’onde ⃗κ
Pour caractériser les instabilités génériques secondaires d’un pattern hexagonal à
2D, ainsi que les composantes (A 1 , ..., A 12 ) dont les valeurs relatives vont gouverner les
symétries de rotation et de parité des modes propres critiques, nous supposons que les
amplitudes complexes A i varient lentement dans le temps proche du seuil. On recherche
l’équation d’évolution temporelle comme un développement de Taylor en A i et Āi.
∂A i
∂t
= ∑
p+q1
α ijpq A p jĀq j
(11)
L’invariance par translation dans le temps (t → t + δt) force (11) àêtre invariant par la
transformation de la phase A i → A i e iΩδt , et conduit à 1
∂A i
∂t
= α ij A j + T.N.L. (12)
En appelant R 12 la représentation du groupe des symétries de la solution dans l’espace
des opérateurs linéaires de (A 1 ,..., A 12 ) vers (A 1 ,..., A 12 ) et en utilisant l’equivariance
de (9) par C 6v et Z 2 ,ilvient
M H , R 12 (R 2π/6 )=0, M H , R 12 (P ⃗a0 ) = 0 (13)
M H , R 12 (T ⃗a0 )=0, M H , R 12 (T ⃗a1 ) = 0 (14)
où M H est la matrice des (α i,j ). Les équations (13) réduisent les 144 éléments complexes
de M H àseulement12différents notés m 1 ,m 2 , ..., m 12 . La condition nécessaire (14)
restreint les valeurs possibles de ⃗κ [⃗κ = κ (cos (θ), sin (θ))]. Tous les cas possibles sont
réunis dans la Table 1 où ∆θ est l’angle entre ⃗ k 0 et ⃗κ (Fig. 1).
1. Nous traitons par la suite uniquement le cas de Hopf (Ω ≠ 0), le cas stationnaire (Ω = 0) conduisant
exactement aux mêmes résultats.

Instabiliés secondaires d’une structure hexagonale 227
κ x/ 2π λ κ y/ 2π
λ √ 3
κ 2 /k0 2 κ min /k 0 △θ
I 2m 2n 3m 2 + n 2 1 0
II 2m +1 2n +1 3(m +1/2) 2 +(n +1/2) 2 1 0
III 2m +2/3 2n 3(m +1/3) 2 + n 2 1/ √ 3 π/6
IV 2m − 2/3 2n 3(m − 1/3) 2 + n 2 1/ √ 3 π/6
V 2m +1/3 2n +1 3(m +1/6) 2 +(n +1/2) 2 1/ √ 3 π/6
VI 2m − 1/3 2n +1 3(m − 1/6) 2 +(n +1/2) 2 1/ √ 3 π/6
VII 2m 2n +1 3m 2 +(n +1/2) 2 1/2 0
VIII 2m +1 2n 3(m +1/2) 2 + n 2 √
3/2 π/6
IX 2m +1/2 2n +1/2 3(m +1/4) 2 +(n +1/4) 2 1/2 0
X 2m − 1/2 2n − 1/2 3(m − 1/4) 2 +(n − 1/4) 2 1/2 0
XI 2m +1/2 2n − 1/2 3(m +1/4) 2 +(n − 1/4) 2 1/2 0
XII 2m − 1/2 2n +1/2 3(m − 1/4) 2 +(n +1/4) 2 1/2 0
constraint
XIII κ y = 2π
λ √ (2n) 3
XIV κ y = 2π
λ √ (2n+1)
3
XV κ y − √ κx = k 0 m
3
√
XVI κ y − κ x 3=k0 m
XVII κ x = 2π λ (2m)
XVIII κ x = 2π λ (2m+1)
XIX κ y + √ 3κ x = k 0 m
XX κ y + √ κx = k 0 m
3
Tab. 1– Les règles de sélection des vecteurs d’onde (m et n entiers.
4 Comparaison avec des observations
A notre connaissance, quatre observations d’instabilité secondaire d’une structure
stationnaire hexagonale ont été faites.
– Une simulation numérique de l’équation de Kuramoto-Sivashinski amortie à2D[10].
Cette équation possède une solution homogène et stationnaire qui devient instable
et laisse place à une structure hexagonale lorsque un paramètre de contrôl est varié.
Pour une valeur plus grande de ce paramètre, il apparaît une instabilité secondaire
κ = k 0 / √ 3et(∆θ = π/6) (cas III-VI).
– Une expérience d’optique [11]. Une vapeur de sodium est irradiée par un laser et un
miroir simple. En augmentant l’intensité du laser, une première bifurcation à partir
de l’état homogène fait apparaître une structure hexagonale, puis, en faisant croître
l’intensité, une deuxième instabilité hexagonale surgit, caractérisée par un nombre
d’onde plus grand (κ/k 0 =1.120 ± 0.06 et une rotation ∆θ = π/6 par rapport au
pattern de base. Il y a plusieurs candidats théoriques, comme par exemple le cas III
avec m = −1, n =0etκ/k 0 =2/ √ 3.
– Une simulation numérique en solidification dirigée [12]. En variant le les paramètres
de contrôle, on passe d’un front plan de solidification à une structure hexagonale, puis
à une déstabilisation de cette structure où trois sous-réseaux hexagonaux équivalents
émergent avec κ/k 0 = 1/ √ 3. Les cellules oscillent en phase avec une croissance
exponentielle de l’amplitude (cas III-VI).
– Enfin, une expérience d’hydrodynamique [13]. Un film visqueux sous gravitédéstabilisante
et continûment alimenté crée un réseau hexagonal de colonnes de liquide. En
jouant sur le débit, on observe des oscillations de ligne en opposition de phase dans
les trois directions du réseau (Fig. 2). Dans ce cas, κ/k 0 =1/2 et∆θ =0(casVII
avec m =0etn =0).

228 C. Pirat, L. Gil
a
1
a
2
a
0
k
0
λ’
κ
(b)
Fig. 2: (a) Vue de dessus à travers le milieu poreux, l’embase des colonnes apparaissant en
clair. Oscillations de lignes: les flèches indiquent le sens de déplacement dans une direction
du réseau (période d’oscillation T=1 s, viscosité ν =20mm 2 /s). (b) Les ⃗a i correspondent
aux translations laissant le pattern inchangé, ⃗ k 0 et ⃗κ définis dans le texte. λ ′ est la longueur
d’onde de l’instabilité secondaire.
Références
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[2] C.D, Andereck, S.S. Liu and H. L. Swinney, J. Fluid Mech. 164, 155, (1986).
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C. Counillon, L. Daudet, T. Podgorski & L. Limat, Phys. Rev. Lett. 80, 2117, (1998).
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Georgelin & A. Pocheau Phys. Rev. Lett. 79, 2698, (1997).
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[6] H. Chaté & P. Manneville, , Phys. Rev. Lett. 58, 112,(1987). C. Misbah & A. Valence,
Phys. Rev. E 49, 166, (1994).
[7] L. Gil, Physica D 147, 300, (2000).
[8] C. Pirat & L. Gil, Wave vectors selection at the threshold of a generic instability of
a hexagonal pattern, accepté à Physica D (2003).
[9] P. Coullet & G. Iooss, Phys. Rev. Lett. 64, 866,(1990).
[10] I. Daumont, K. Kassner, C. Misbah & A. Valence, Phys. Rev. E 55, 6902,(1997).
[11] R. Herrero, E.G. Westhoff, A. Aumann, T. Ackemann, Y.A. Lovgin & W. Lange,
Phys. Rev. Lett. 82, 4627 (2000).
[12] M. Plapp, M. Dejmek, Stability of hexagonal solidification patterns., soumisàPhys.
Rev. Lett., (2002).
[13] C. Pirat, P Maïssa,C.Mathis&L.Gil,Structuration bidimensionnelle d’un film
visqueux sous gravité déstabilisante avec alimentation continue. Rencontre du nonlinéaire
2002, Paris.

encontre du non-linéaire 2003 229
Modélisation d’ondes non linéaires en convection tournante :
effets des conditions limites et de la topologie
Emmanuel Plaut
LEMTA, INPL-UHP-CNRS, 2 avenue de la Forêt de Haye, 54504 Vandœuvre-lès-Nancy
emmanuel.plaut@ensem.inpl-nancy.fr
Résumé
De nouveaux modèles sont développés afin entre autres d’analyser les expériences
de Liu & Ecke concernant la dynamique d’ondes de bords en convection tournante. Ces
modèles utilisant des conditions limites de vitesse nulle sur toutes les parois conduisent
à un accord relativement bon avec ces expériences en ce qui concerne les coefficients de
l’équation de Ginzburg-Landau. De plus le cas d’une géométrie annulaire est étudié,
où je montre l’existence d’un nouvel effet non local d’origine topologique, ”oublié”
dans des travaux récents, qui pourrait être mis en évidence expérimentalement.
1 Introduction
L’étude des ondes non linéaires constitue un domaine majeur de la physique, puisque
de telles ondes apparaissent dans des systèmes très différents où elles jouent souvent un rôle
crucial. Conceptuellement, les situations les plus ”simples” sont celles où l’on peut identifier
une seule direction de propagation des ondes x alors que les directions transverses y et z
sont ”inactives” ; on est alors dans un cas ”quasi-unidimensionnel”. L’équation modèle la
plus simple est alors l’équation d’enveloppe de Ginzburg-Landau d’ordre cubique
τ(∂ t A + v g ∂ x A) = (1+ic 0 )ɛA + ξ 2 (1 + ic 1 )∂ 2 xA − γ(1 + ic)|A| 2 A (1)
gouvernant l’évolution de l’enveloppe lentement variable des ondes A(x, t). Malgré lecaractère
universel de (1) et la richesse des phénomènes qu’elle présente [1], il existe très
peu de comparaisons systématiques entre expérience et théorie basées sur (1). Ceci est dû
d’une part au fait que (1) n’est valable que pour une instabilité structurante oscillante
supercritique, ce qui exclut par exemple le cas de la convection binaire, où les instabilités
structurantes oscillantes sont sous-critiques. D’autre part le domaine de validité stricte de
(1), i.e. la limite ɛ → 0où ɛ est l’écart réduit au seuil de l’instabilité, est très difficile
àétudier expérimentalement. Enfin le calcul des coefficients de (1) à partir de modèles
physiques de base est souvent très lourd. Une tentative de comparaison intéressante s’est
focalisée récemment sur les ondes de bords obtenues en convection tournante d’un disque de
fluide (figure 1) lorsque le nombre d’Ekman E = ν/(h 2 Ω) est suffisamment petit, ν étant
la viscosité cinématique du fluide, h l’épaisseur de la couche et Ω la vitesse de rotation
angulaire [2]. Grâce àdetrès belles expériences [3], Liu et Ecke ont montré que (1) décrit
bien la dynamique de leurs ondes. Ceci a motivé lestravauxthéoriques de Kuo et Cross
[4] et Hecke et Saarloos [5], qui ont utilisé unmodèle cartésien dans lequel tout effet de
courbure est négligé. La comparaison entre les coefficients de (1) mesurés dans [3] et ceux
prédits par [4] montrée dans les deux premières lignes de la table 1 est décevante, surtout
en ce qui concerne les coefficients c 0 et c 1 de variation de la fréquence par changement
de ɛ ou du nombre d’ondes k. Cesdésaccords sont partiellement dûs au fait que, pour
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

230 Emmanuel Plaut
x
Tsup
T inf
Ω
y
z
z
x
y
g
Fig. 1: De gauche à droite : onde de bord observé par ombroscopie et après traitement d’image
par Liu et Ecke [3] ; principe de leur expérience (la ligne pointillée représente un mur interne
virtuel, qui ne devrait pas influencer les ondes de bords lorsque l’inter-rayon Γ est assez grand) ;
modèle cartésien de cette expérience, supposant des conditions limites périodiques en x =0,L;
lignes de niveaux du champ de température en milieu de couche (z =0)dans un mode linéaire
onde de bord calculé par l’auteur, avec reconstitution de la géométrie annulaire par application de
la transformation (x, y) ↦→ (r ext − y)(cos(2πx/L), sin(2πx/L)).
v g τ ξ (c 0 − c 1 )/τ γ (c 0 − c)/τ
Exp. LE 2.65 0.03 0.179 4.2 0.74 20.4
Th. KC 2.22 - 16% 0.026 - 13% 0.24 - 34% 14.4 - 242% 1.11 - 50% 19.2 - 6%
Th. P 1.91 - 28% 0.025 - 16% 0.21 - 17% 6.40 - 52% 0.53 - 29% 19.7 - 3%
Tab. 1–La première ligne montre les coefficients ou combinaisons de coefficients de l’équation
d’enveloppe (1) mesurés expérimentalements par Liu et Ecke [3]. LenombredePrandtlP =6.3
correspond àdel’eauà 25 o C, tandis que le nombre d’Ekman E =3.65 10 −3 . Ces mesures sont
comparées aux prédictions théoriques de Kuo et Cross [4] (deuxième ligne) et de l’auteur (troisième
ligne). Les pourcentages quantifient l’erreur relative entre l’expérience et les théories.
simplifier leurs calculs (plus précisément pour séparer les variables y et z), Kuo et Cross
ont, comme Hecke et Saarloos un peu plus tard, fait l’hypothèse d’un glissement possible
du fluide sur les parois horizontales situées en z = ±h/2. Je développe ici un modèle plus
physique utilisant des conditions limites de vitesse nulle sur toutes les parois. Avec cette
hypothèse, l’usage d’une méthode de Galerkin (relativement lourde) dans le plan yz s’impose
(i.e. les modes propres linéaires ne sont plus de la forme exp(ikx)F (y)G(z)), qui est
décrite dans [6]. L’intérêt est l’obtention, au terme des calculs faiblement non linéaires,
d’un accord plus raisonnable avec les expériences de Liu et Ecke, comme cela est montré
sur la dernière ligne de la table 1 (voir aussi la table 2). Un autre objet de ce travail est
de corriger les prévisions de Hecke et Saarloos [5] concernant la convection d’un canal
annulaire tournant ; je vais montrer que ces prévisions basées sur un soit-disant calcul
de l’équation d’enveloppe (1) sont erronées puisque (1) n’est pas valable dans une telle
géométrie. Dans ce qui suit, pour des raisons de place, je ne détaillerai aucun calcul ; je
renvoie le lecteur intéressé à[6].
2 Présentation du modèle cartésien utilisé
En utilisant la hauteur de la cellule h comme échelle de longueur, le domaine d’écoulement
est défini par x ∈ R, y∈ [0, Γ], z∈ [−1/2, 1/2] avec des conditions périodiques en
x =0,L (figure 1). Le temps est réduit en unité du temps de diffusion thermique h 2 /κ, κ

Ondes non linéaires en convection tournante : conditions limites - topologie 231
étant la diffusivité thermique du fluide, tandis que les températures sont réduites en unité
de κν/(αgh 3 ), α étant le coefficient de dilatation thermique. Dans l’approximation Boussinesq,
et en négligeant comme dans les études précédentes l’effet des forces centrifuges,
les équations adimensionnelles régissant l’évolution du champ de vitesse v et de l’écart de
température θ au profil de conduction pure s’écrivent
P −1 (∂ t v +(v · ∇)v)+2E −1 ẑ × v = −∇p +∆v + θẑ, (2)
∂ t θ + v · ∇θ = ∆θ + Rv z , (3)
R = αgh 3 (T inf − T sup )/(κν) étant le nombre de Rayleigh, p la pression. A cause de
la topologie annulaire multiplement connexe, l’équation de Navier-Stokes (2) n’est pas
équivalente àl’équation de la vorticité seule
P −1 (∂ t ω + ∇ × (v · ∇)v) − 2E −1 ∂ z v = ∆ω + ˆx(∂ y θ) − ŷ(∂ x θ) (4)
avec ω = ∇ × v, comme cela a été supposé par Hecke et Saarloos [7]. Il faut en effet
ajouter à (4) la condition de périodicité de la pression, i.e. la composante azimuthale de
(2) moyennée sur un tour,
P −1 (∂ t 〈v x 〉 + 〈v · ∇v x 〉) − 2E −1 〈v y 〉 = ∆〈v x 〉 (5)
en notant
〈f〉 =
1 ∫ L
fdx .
L 0
Aux conditions limites rigides v = 0 en y =0, Γ, z = ±1/2, j’adjoins d’une part des
conditions limites isothermales sur les parois horizontales, θ =0enz = ±1/2, et d’autre
part deux types de conditions limites thermiques différentes sur les murs verticaux. Dans le
modèle II, afin d’approximer les conditions des expériences de Liu et Ecke, dans lesquelles
le rapport de la conductivité thermique des murs à celle du fluide était de l’ordre de 0.25
c’est-à-dire petit, je considère les murs isolants, i.e. ∂ y θ =0eny =0, Γ. Ceci conduit
cependant à l’existence de deux familles d’ondes de bords attachées l’une (l’autre) au
mur intérieur y = Γ (extérieur y = 0). En conséquence, théoriquement, la compétition
non linéaire entre ces deux familles devrait d’abord être discutéesurlabasededeux
équations d’enveloppes couplées généralisant (1) ou (2). Puisque la forme et la validité de
telles équations fait l’objet à l’heure actuelle d’une controverse [8], il semble intéressant de
développer aussi un modèle asymétrique CI supposant un mur intérieur conducteur, i.e.
θ =0eny = Γ, et un mur extérieur isolant, i.e. ∂ y θ =0eny =0.Cemodèle dissymétrique
favorisera les ondes du bord extérieur, en cohérence avec les résultats de [9].
3 Résultats linéaires : propriétés des ondes de bords
Une analyse linéaire de la stabilité de la solution conductive θ =0, v = 0 vis-àvis
de perturbations en exp(ikx) mène aux différents modes propres du problème. Une
bifurcation oscillante structurante (avec k ≠ 0) vers des modes de bords associés à une
valeur propre temporelle de la forme σ = −iω est effectivement trouvée dès que E 0.02 ;
d’autre part il a étévérifié que la forme de ces modes ne dépend pas de Γ pourvu que Γ 3.
Par minimisation des nombres de Rayleigh neutres associés, le nombre d’onde critique k c
est calculé, ainsi que le nombre de Rayleigh critique R c et la pulsation critique ω c . Comme
cela est montré dans la table 2, un bon accord est obtenu entre les modèles II ou CI en

232 Emmanuel Plaut
R c k c ω c
Exp. LE 20850 4.65 −22.0
Th. KC 19500 - 6% 4.00 - 14% −24.0 - 9%
Th. P 19660 - 6% 4.22 - 9% −22.4 - 2%
Tab. 2–Pour les mêmes paramètres que table 1, comparaison entre les valeurs critiques mesurées
par Liu et Ecke avec celles prédites par les modèles de Kuo et Cross et ceux de l’auteur.
ce qui concerne les ondes du bord extérieur et les expériences de Liu et Ecke ; cet accord
est confirmé par la similitude des champs de température correspondants montrés sur la
figure 1. Avec le modèle CI, les ondes du bord intérieur ne sont effectivement excitées qu’à
des valeurs très supérieures du nombre de Rayleigh, i.e. près du seuil seules les ondes du
bord extérieur sont actives.
4 Equation d’enveloppe faiblement non linéaire
Cette équation a été calculée dans le régime où ɛ = R/R c − 1 ≪ 1aveclaméthode
spectrale exposée par exemple dans [10]. L’ansatz de base prend la forme
avec un paquet d’ondes actives
W = ∑
Â(k c +q)V 1 (k c +q) e −iωct ∼ ∑
q≪k c
V = (θ, v) = W + W ∗ + V ⊥ (6)
V 1 (k c + q) désignant le mode neutre de nombre d’onde k c + q, et
A(x) =
q≪k c
Â(k c +q)V 1 (k c ) e i(qx−ωct) ∼ A(x)V 1 (k c ) e −iωct ,
∑
q≪k c
Â(k c + q) e iqx
l’enveloppe. Lors de l’élimination adiabatique des modes passifs V ⊥ , il faut bien distinguer
le mode homogène indépendant de x
∑
q
Â(k c + q)Â(−k c − q) V h
2 = 〈 |A(x)| 2〉 V h
2 (7)
qui se calcule àpartirdel’équation de la chaleur 〈(3)〉, del’équation de la vorticité azimuthale
moyenne 〈(4) · ˆx〉 et de l’équation de Navier-Stokes azimuthale moyenne (5), du
mode de grande échelle
V l ⊥
= ∑ q
∑
q ′ ≠q
Â(k c + q)Â(−k c − q ′ ) V l
2 e i(q−q′ )x = ( |A(x)| 2 − 〈 |A(x)| 2〉) V l
2 (8)
quisecalculeluiàpartirdel’équation de la chaleur (3) et de l’équation de la vorticité (4).
Contrairement àcequiaété supposé par Hecke et Saarloos, le fait que l’équation non
locale (5) intervienne pour le calcul de V2 h mais par pour celui de V
l
2 conduit en général à
ce que ces modes soient différents, i.e. àcequelemode global
V g
2 = V h
2 − V l
2 (9)

Ondes non linéaires en convection tournante : conditions limites - topologie 233
0
-0.25
v x
g
v x
-0.5
v x
h
-0.75
3 2 1 0
y
Fig. 2: Composantes de vitesse azimuthale en milieu de couche (z =0)des modes homogène
A 2 0V2 h (trait fin) et global A 2 0V g
2 (trait épais) calculés pour P =6.3, Γ=3, E =0.01 et ɛ =0.1,
l’amplitude A 0 étant donnée par (14).
10
5
γ
0
10 γc
0
-5
10 δ
-5
-10
δd
-10
0.025 0.1 0.5 1 5 10
P
-15
0.025 0.1 0.5 1 5 10
P
Fig. 3: Pour Γ=1et E =0.008, les coefficients non linéaires locaux et non locaux de l’équation
d’enveloppe (11) calculée pour le modèle CI et les ondes du bord extérieur sont tracés en fonction
du nombre de Prandtl.
soit non nul. Une analyse fine [6] montre que ce mode global correspond àunécoulement
qui, équilibrant un gradient de pression uniforme dans la direction azimuthale, envahit
donc tout le canal comme montré sur la figure 2. Au bilan, après calcul du mode de courte
échelle V2 s , on aura donc
V ⊥ = 〈 |A(x)| 2〉 V g
2 + |A(x)| 2 V2 l + ( A 2 (x) V2 s exp(−2iω c t) + c.c. ) + t.o.s. , (10)
d’où parrétroaction sur les ondes actives l’équation d’enveloppe non locale
τ(∂ t A + v g ∂ x A) = (1+ic 0 )ɛA + ξ 2 (1 + ic 1 )∂xA 2 − γ(1 + ic)|A| 2 A
− δ(1 + id) 〈 |A| 2〉 A (11)
dans laquelle le terme global ∝ δ(1 + id) est engendré par couplage entre V 1 (k c )etV g
2
[11]. Physiquement il est clair que des ondes de bord localisées près de y = 0 ne peuvent
créer par advection du champ de vitesse un écoulement global fort dans un canal large ;
en effet j’observe numériquement que, toutes choses étant égales par ailleurs, lorsque Γ →
+∞ les coefficients δ et δd tendent vers 0 avec des lois de puissance en Γ −β . Ainsi dans
le cas d’un grand inter-rayon (c’est-à-dire en quelque sorte dans la ”limite simplement
connexe”) l’équation locale (1) est retrouvée, avec les coefficients de la table 1 par exemple.
Au contraire, dans le cas d’un petit inter-rayon, par exemple Γ = 1, les coefficients non
locaux peuvent être grands, à condition aussi que la diffusion visqueuse, qui tend à amortir
l’écoulement global, soit faible par rapport à la diffusion thermique (figure 3). Ceci permet
de suggérer qu’une expérience utilisant un métal liquide, de nombre de Prandtl faible,
pourrait permettre d’exhiber l’effet non local. Encore faudrait-il que celui-ci se manifeste,

234 Emmanuel Plaut
ce qui n’est pas le cas pour des ondes monochromatiques de la forme A = A q exp[i(qx−˜ωt)]
pour lesquelles 〈 |A| 2〉 = |A| 2 . Pour de telles ondes les termes non linéaires locaux et
globaux de (11) sont donc indistinguables, i.e. (11) se réduit àl’équation d’enveloppe
locale de la forme (1)
avec
τ(∂ t A + v g ∂ x A) = (1+ic 0 )ɛA + ξ 2 (1 + ic 1 )∂ 2 xA − g 3 (1 + ic 3 )|A| 2 A (12)
Une étude détaillée des solutions correspondantes,
g 3 = γ + δ, c 3 =(γc + δd)/g 3 . (13)
A q = √ [ɛ − ɛ 0 (q)]/g 3 , ˜ω = [(c 3 − c 0 )ɛ + τv g q + ξ 2 (c 1 − c 3 )q 2 ]/τ, (14)
qui n’existent que pour ɛ>ɛ 0 (q) =ξ 2 q 2 , devrait donner accès aux coefficients de (12).
Des mesures du seuil d’instabilité d’Eckhaus devraient ensuite révéler un désaccord entre
ce que l’on attendrait du modèle local (12),
et ce qui doit être d’après (11),
ɛ l E(q) = 2(1 + c2 3 )+1+c 1c 3
1+c 1 c 3
ɛ 0 (q), (15)
ɛ nl
E (q) = 2(1 + c2 )(1 + δ γ )+1+c 1c
1+c 1 c
ɛ 0 (q). (16)
Je prédis par exemple, pour un métal liquide de Prandtl P =0.02, pour Γ = 1 et E =
0.008, un rapport ɛ nl
E (q)/ɛl E
(q) de0.57 sortant largement des barres d’erreurs que l’on peut
attendre d’une expérience soignée ; je projette d’ailleurs maintenant de monter une telle
manipulation...
Références
[1] Voir par exemple H. Chaté, Nonlinearity 7, 185 (1994) ou I. S. Aranson, L. Kramer, Rev.
Mod. Phys. 74, 99 (2002).
[2]VoirparexempleL.Ning,R.E.Ecke,Phys.Rev.E47, 3326 (1993) ; H. F. Goldstein,
E. Knobloch, I. Mercader, M. Net, J. Fluid Mech. 248, 583 (1993).
[3] Y. Liu, R. E. Ecke, Phys. Rev. Lett. 78, 4391 (1997) ; Phys. Rev. E 59, 4091 (1999).
[4] E.Y.Kuo,M.C.Cross,Phys.Rev.E47, R2245 (1993).
[5] M. V. Hecke, W. V. Saarloos, Phys. Rev. E 55, R1259 (1997).
[6] E. Plaut, àparaître dans Phys. Rev. E en 2003.
[7] M. V. Hecke, Ph. D. Thesis, Universiteit Leiden (1996).
[8] Voir par exemple la discussion dans H. Riecke, L. Kramer, Physica D 137, 124 (2000).
[9] J. Herrmann, F. H. Busse, J. Fluid Mech. 255, 183 (1993).
[10] E. Plaut, F. H. Busse, J. Fluid Mech. 464, 345 (2002).
[11] Cet effet non local généralise celui mis en évidence dans un modèle bidimensionnel, donc
intrinsèquement plus simple que le modèle traité ici, par [10]. Il faut aussi signaler qu’une
analyse primaire d’un effet analogue dans le système de Taylor-Couette, c’est-à-dire dans le
cas d’une instabilité stationnaire pour lequel tous les coefficients de (11) sont réels, a été
présentée dans P. Hall, Phys. Rev. A 29, 2921 (1984).

encontre du non-linéaire 2003 235
Etude du phénomène d’explosion pour l’équation de Schrödinger non
linéaire critique
P.Raphaël et F. Merle
Université de Cergy Pontoise
2, avenue Adolphe Chauvin, 95302 Cergy Pontoise
pierre.raphael@polytechnique.org
Résumé
Nous étudions le comportement des solutions explosives de l’équation de Schrödinger
non linéaire critique iu t = −∆u−|u| 4 N u qui modèlise notamment en dimension N =2
la focalisation d’un faisceau laser dans un milieu Kerr optique, et est un exemple
générique d’équation Hamiltonienne dispersive non linéaire. Nous montrons que la
structure de focalisation est universelle au voisinage du temps d’explosion tant quant
à la vitesse de focalisation qu’au profil asymptotique.
1 Structure et symétries de (NLS)
Nous considérons l’équation de Schrödinger non linéaire critique en dimension N 1
(NLS)
{
iut = −∆u −|u| 4 N u, (t, x) ∈ [0,T) × R N
u(0,x)=u 0 (x),
u 0 : R N → C
(1)
avec u 0 ∈ H 1 = {u, ‖u‖ H 1 = (∫ |∇u| 2 + ∫ |u| 2) 1 2
< +∞}, l’espace physique naturel.
Cette équation modélise notamment en dimension N = 2 la dynamique de l’enveloppe
d’une onde plane quasi-monochromatique dans un milieu non linéaire dispersif. La variable
de temps t correspond pour le modèle physique à la direction de propagation de
l’onde. Nous renvoyons à [1] pour plus de détails.
Le phénomène attendu heuristiquement est donc, partant d’une donnée initiale générique,
la formation en temps fini d’une singularité -disons pour fixer les idées d’une masse
de Dirac- correspondant à la focalisation du faisceau. Ce travail est consacré àl’étude
mathématique de ce phénomène.
1.1 Existence locale et structure Hamiltonienne
Le caractère bien posé duproblème de Cauchy pour (1) est du à Ginibre-Velo, [2], et
étant donnée u 0 ∈ H 1 , il existe une solution u(t) ∈ H 1 de (1) sur un intervalle [0,T)avec
T = T (‖u 0 ‖ H 1). Nous disons qu’une solution explose en temps fini T si
lim ‖u(t)‖ H
t→T 1 =+∞.
(NLS) est en outre un exemple générique d’équation Hamiltonienne dispersive et admet
les invariants suivants dans l’espace physique H 1 :
– Norme L 2 : ∫ |u(t, x)| 2 = ∫ |u 0 (x)| 2 ;
– Energie: E(u(t, x)) = 1 2
∫
|∇u(t, x)| 2 − 1
2+ 4 N
∫
|u(t, x)|
2+ 4 N = E(u 0 );
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

236 P.Raphaël, F.Merle
– Moment cinétique: M(u) =Im (∫ ∇uu(t, x) ) = M(u 0 ).
Chacune de ces lois de conservation peut être déduite par la loi d’Ehrenfest des symétries
suivantes:
– Invariance translationnelle en espace-temps: si u(t, x) est solution de (1), alors u(t +
t 0 ,x+ x 0 ) aussi, ∀t 0 ,x 0 ∈ R × R N .
– Invariance de phase: si u(t, x) est solution de (1), alors u(t, x)e iγ aussi, ∀γ ∈ R.
– Invariance de Galilée: si u(t, x) est solution de (1), alors u(t, x − βt)e i β 2 ·(x− β 2 t) aussi,
∀β ∈ R N .
– Invariance par changement d’échelle: si u(t, x) est solution de (1), alors u λ (t, x) =
λ N 2 u(λ 2 t, λx) aussi, ∀λ >0.
L’exposant 4 N dans la non linéarité est dit critique car il laisse invariante la norme L2 par
le changement d’échelle:
|u λ | L 2 = |u| L 2.
1.2 Minimiseurs de l’énergie et solutions globales
Comme exhibé par Weinstein, [3], l’énergie conservée par le flot admet des minimiseurs
stricts au sens suivant: la fonctionelle J(u) = (∫ |∇u| 2 )( ∫ |u| 2 )
N
2
∫ 4 atteint son minimum sur la
|u|
+2 N
famille Q λ0 ,γ 0 ,x 0
= λ N 2
0 Q(λ 0 x + x 0 )e iγ 0
où Q(x) est l’unique solution positive tendant vers
0à l’infini de
∆Q − Q + Q 1+ 4 N =0. (2)
Notons que J(u) est invariant par les symétries de (1), et les invariants de (1) sont pour
ses minimiseurs
‖Q λ0 ,γ 0 ,x 0
‖ L 2 = ‖Q‖ L 2, E(Q λ0 ,γ 0 ,x 0
)=0, M(Q λ0 ,γ 0 ,x 0
)=0, (3)
la quantité ‖Q‖ L 2 apparaissant comme une constante universelle. Notons que la fonction
( ) 1
4
de minimisation Q est explicite en dimension N =1,Q(x) =
.
3
ch 2 (2x)
La fonctionnelle J(u) mesure la balance entre l’effet dispersif lié àl’énergie cinétique et
l’effet focalisant de la non-linéarité. La résolution du problème de minimisation permet
d’obtenir par calcul explicite l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg avec constante optimale:
(
∀u ∈ H 1 , E(u) 1 ( ‖u‖L 2
1 −
2 ‖Q‖ L 2
) 4
N
) ∫
|∇u| 2 . (4)
La structure Hamiltonienne de (1) couplée à la structure des minimiseurs de l’énergie
permet à Weinstein, [3], de conclure au théorème d’existence globale pour données petites:
Theorem 1 ([3]) Soit u 0 ∈ H 1 avec ‖u 0 ‖ L 2 < ‖Q‖ L 2, alors la solution de (1) est globale
et bornée dans H 1 .
En termes plus pédestres, si l’enveloppe de l’onde initiale est trop petite, l’effet non
linéaire n’apparaît pas et la dispersion l’emporte: pas de focalisation. La démonstration
est immédiate puisque la norme L 2 et l’énergie étant conservées au cours du temps, le
contrôle (4) appliqué à u(t) assure une borne uniforme en temps sur ∫ |∇u(t)| 2 , et donc
sur ‖u(t)‖ H 1.

Focalisation de (NLS) 237
1.3 Solitons, symétrie conforme et solution explosive explicite
La fonction de minimisation de l’énergie Q solution de (2) engendre une onde solitaire
u(t, x) =Q(x)e it solution de (1),
soit une solution globale qui ne disperse pas. Plus surprenant est l’existence d’une solution
explosive qui ne disperse pas. En effet, soit l’espace de viriel Σ = H 1 ∩{xu ∈ L 2 },(1)
y admet une symétrie supplémentaire, la transformation conforme: si u(t, x) est solution
de (1), alors v(t, x) = 1 u( 1
|t| N t , x |x|2
t
)ei 4t aussi. Apliquée à l’onde solitaire Q(x)e it , cette
2
symétrie génère une solution explosive en T = 0 explicite de (1):
S(t, x) = 1 Q( x |x|2
|t| N )e−i 4t + i t et |∇S(t)|
2 t L 2 ∼ 1 quand t → 0. (5)
|t|
En outre, cette solution ne disperse pas puisque
(∫ )
|S(t)| 2 ⇀ Q 2 δ x=0 quand t → 0. (6)
En d’autres termes, toute la masse L 2 disponible pour la focalisation vient effectivement
dans l’explosion, et aucune masse n’a été dispersée, ce qui manifestement contredit l’intuition
physique.
Notons que la symétrie conforme laissant invariante la norme L 2 , ‖S(t)‖ L 2 = ‖Q‖ L 2,etle
critère du Théorème 1 est optimal. En outre, un théorème de classification dû à F.Merle,
[4], assure que S(t) est aux symétries près la seule solution explosive de masse L 2 critique.
2 Universalité de la structure de focalisation en petite masse
sur critique
Notre étude se porte maintenant sur les solutions de masse sur-critique de (NLS),
et nous proposons une analyse perturbative dans le cadre de données initiales de petites
masse surcritique
∫ ∫ ∫
u 0 ∈B α ∗ = {u 0 ∈ H 1 , Q 2 < |u 0 | 2 < Q 2 + α ∗ },
pour une constante universelle α ∗ > 0 suffisamment petite. Dans ce cadre et en raison de
la caractérisation variationnelle du soliton, une solution explosive de (1) est orbitalement
stable autour du soliton, soit il existe des paramètres λ(t), γ(t), x(t) et une fonction ε(t)
petite dans H 1 tels qu’au voisinage de l’explosion, la solution se décompose en
u(t, x) = 1 (Q + ɛ)
λ(t) N 2
(
t, x − x(t)
λ(t)
)
e iγ(t) ,
1
λ(t) ∼ . (7)
|∇u(t)| L 2
La fonction ε(t) mesure essentiellement l’excès de masse qui “doit” disperser, les courbes
λ(t), γ(t), x(t) sont les trajectoires orbitales qui décrivent la dynamique explosive, les deux
phénomènes étant evidemment couplés. Trois questions majeures guident notre analyse des
solutions explosives:
– Y a-t-il une vitesse universelle de focalisation, soit un equivalent stable près du temps
d’explosion de |∇u(t)| L 2?

238 P.Raphaël, F.Merle
– La solution developpe-t-elle une structure universelle en espace au voisinage de l’explosion
modulo les symétries de l’équation?
– Y a -t-il quantification de la masse focalisée, ou au contraire existe-t-il d’autres
solutions que S(t) qui ne dispersent pas de masse?
Compte tenu de la décomposition géométrique (7), l’étude de la dynamique de (1) revient
à poser la question de la stabilité asymptotique des ondes solitaires modulo les symétries
de l’équation. Le problème auquel est confronté l’analyse est typique des équations dispersives
hamiltoniennes: il n’existe pas de fonctionnelles de Lyapounov -ie essentiellement
monotones au cours du temps- permettant d’assurer la convergence asymptotique vers un
objet universel simplement classifié. Bien au contraire, les trois invariants de masse L 2 ,
d’énergie et de moments sont conservés par le flot, et leur valeur est transparente aux
symétries pour les ondes solitaires en vertu de (3), donc la “présence” du soliton dans la
dynamique n’est pas détectable par la seule considération des invariants hamiltoniens.
2.1 Identité du viriel et explosion pour E 0 < 0
Une première remarque fondamentale assure l’existence de solutions explosives en
masse surcritique. En effet, la symétrie conforme induit dans l’espace de viriel Σ la loi de
conservation supplémentaire usuellement exprimée en tant qu’identité du viriel:
d 2 ∫
dt 2 |x| 2 |u(t)| 2 =16E 0 . (8)
En outre, il est élémentaire d’exhiber dans B α ∗ des données initiales d’énergie strictement
négative, donc la quantité positive ∫ |x| 2 |u(t)| 2 devant devenir négative en temps
fini par (8), la solution correspondante n’est pas globale et doit exploser en temps fini. Si
l’argument est profond et puissant, il souffre de deux inconvénients majeurs:
– Il ne dit rien de la dynamique explosive et de sa “raison” interne.
– Il est instable par perturbation de l’équation puisqu’intimement lié à l’existence de
la symétrie conforme.
2.2 Simulations numériques et constructions explicites de solutions explosives
Une première question naturelle est la suivante: existe-t-il en masse surcritique des
solutions explosant comme la solution explicite S(t)? La réponse est affirmative et dûe à
Bourgain-Wang, [5], qui construisent une solution de (1) satisfaisant
|∇u(t)| L 2 ∼ 1
T − t . (9)
Néanmoins, d’un point de vue heuristique et en raison du scaling de l’équation, une structure
universelle stable de type auto-similaire a longtemps été conjecturée, soit
u(t) ∼ 1 ( ) x − x(t)
P
e iγ(t) avec |∇u(t)|
λ(t) N 2 λ(t)
L 2 ∼ 1
λ(t) ∼ 1
√ , (10)
T − t
mais si des profils stationnaires admissibles P existent en effet, ils ne sont jamais dans
l’espace d’énergie H 1 .

Focalisation de (NLS) 239
Les simulations numériques de Landman, Papanicolaou, Sulem, Sulem, [6], suggèrent une
vitesse de focalisation stable corrigée par rapport au taux auto-similaire (10) d’abord
avancé selon la loi en double ln:
( ln|ln(T − t)|
|∇u(t)| L 2 ∼
T − t
) 1
2
pour t → T. (11)
De nombreux travaux rendent compte heuristiquement de cette déviation observée au taux
auto-similaire, nous renvoyons à [1] pour des références. Perelman, [7], a rigoureusement
construit en dimension N = 1 une solution qui satisfait effectivement cette loi.
2.3 Universalité de la structure de focalisation
Les résultats obtenus au cours de ma thèse avec F. Merle s’inscrivent dans la lignée
des résultats pionniers de Y.Martel et F.Merle sur l’équation de KdV généralisée, citons
par exemple [8], et sont avec ces derniers les seuls de ce type dans le cadre des équations
hamiltoniennes non linéaires dispersives. Les résultats suivants sont démontrés en toute
dimension modulo une conjecture spectrale reliée au soliton Q vérifiée en dimension N =1.
1.Critère d’explosion et contrôle de la vitesse de focalisation:
(
Theorem 2 ([9], [10]) Soit u 0 ∈ B α ∗ avec E 0 < 1 ∫ ) |Im( ∇u0 u 0 )| 2
2 |u 0 | L 2
, u(t) la solution
correspondante de (1), alors u(t) explose en temps fini T et on a pour t près de T :
( ) 1
ln|ln(T − t)|
|∇u(t)| L 2 C1
∗ 2
, (12)
T − t
pour une constante C1 ∗ universelle.
La condition sur l’énergie est équivalente modulo l’invariance de Galilée à E 0 < 0, et on
retrouve le critère d’explosion de la section 2.1.
2.Stabilité de la loi en double lnln et existence d’autres types de solutions:
Theorem 3 ([11]) L’ensemble des données initiales u 0 ∈B α ∗ telles que la solution correspondante
explose en temps fini avec la borne (12) est ouvert, et donc la loi (12) est
stable. En outre, si (12) n’est pas vérifiée, alors u(t) vérifie au voisinage de l’explosion
|∇u(t)| L 2 C∗ 2
T − t , (13)
pour une constante C2 ∗ universelle.
Les solutions telles que (13) a lieu correspondent au bord des solutions explosives auquel
appartient la solution explicite S(t), par opposition au bassin stable d’explosion vu
numériquement qui vérifie (12). Il n’existe néanmoins à ce jour aucune borne supérieure
de la vitesse d’explosion pour les solutions du bord.
3.Universalité du profil à l’explosion:
Theorem 4 ([12], [13]) Soi u(t) ∈ B α ∗ une solution explosive en temps fini de (1),
alors elle admet un profil universel Q à l’explosion au sens où il existe des trajectoires
1
λ(t) ∼
|∇u(t)|
, x(t), γ(t), telles que
L 2
u(t) ∼ 1
λ(t) N 2
Q( x − x(t) )e iγ(t) quand t → T.
λ(t)

240 P.Raphaël, F.Merle
Il s’ensuit la borne inférieure sur la vitesse d’explosion qui implique la non existence de
solutions auto-similaires de type (10) dans l’espace d’énergie:
√
T − t|∇u(t)|L 2 → +∞ quand t → T.
En outre, la seule solution qui ne disperse pas au sens où elle focaliserait toute sa masse
comme en (6) est S(t) aux symétries près.
Dans les notations de la décomposition (7), on a donc que l’excès de masse ε(t) esteffectivement
dispersé: ε(t) → 0 quand t → T dans un sens convenable. Ce résultat est
un premier pas vers la conjecture de quantification de la masse à l’explosion, iequela
masse envoyée dans l’explosion est exactement ‖Q‖ L 2, tout l’excès de masse étant perdu
en radiations.
Références
[1] Sulem, C.; Sulem, P.L., The nonlinear Schrödinger equation. Self-focusing and wave
collapse. Applied Mathematical Sciences, 139. Springer-Verlag, New York, 1999.
[2] Ginibre, J.; Velo, G., On a class of nonlinear Schrödinger equations. I. The Cauchy
problem, general case. J. Funct. Anal. 32 (1979), no. 1, 1–32.
[3] Weinstein, M.I., Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates,
Comm. Math. Phys. 87 (1983), 567—576.
[4] Merle, F., Determination of blow-up solutions with minimal mass for nonlinear
Schrödinger equations with critical power. Duke Math. J. 69 (1993), no. 2, 427–454.
[5] Bourgain, J.; Wang, W., Construction of blowup solutions for the nonlinear
Schrödinger equation with critical nonlinearity. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl.
Sci. (4) 25 (1997), no. 1-2, 197–215 (1998).
[6] Landman, M. J.; Papanicolaou, G. C.; Sulem, C.; Sulem, P.-L., Rate of blowup for
solutions of the nonlinear Schrödinger equation at critical dimension. Phys. Rev. A
(3) 38 (1988), no. 8, 3837–3843.
[7] Perelman, G., On the blow up phenomenon for the critical nonlinear Schrödinger
equation in 1D, to appear in Annale Henri Poincare.
[8] Martel, Y.; Merle, F., Stability of blow up profile and lower bounds for blow up
rate for the critical generalized KdV equation, Ann. of Math. (2) 155 (2002), no. 1,
235–280.
[9] Merle, F.; Raphael, P., Blow up dynamic and upper bound on the blow up rate for
critical nonlinear Schrödinger equation, preprint.
[10] Merle, F.; Raphael, P., Sharp upper bound on the blow up rate for critical nonlinear
Schrödinger equation, to appear in Geom. Funct. Ana.
[11] Raphael, P., Stability of the log-log bound for blow up solutions to critical non linear
Schrödinger equation, preprint.
[12] Merle, F.; Raphael, P., On blow up profile for critical nonlinear Schrödinger equation-
Part A: Universality, preprint.
[13] Merle, F.; Raphael, P., On Blow up Profile for critical nonlinear Schrödinger Equation-
Part B: Non Existence of Dirac Mass Blow up Solutions, preprint.

encontre du non-linéaire 2003 241
Excitation et dynamique des structures localisées optiques.
Stefania Residori, Tomoyuki Nagaya (*) et Artem Petrossian (**)
Institut Non Linéaire de Nice
1361, Route des Lucioles, 06560 Sophia Antipolis
(*) Département d’Ingénierie Electronique, Université d’Okayama, Japon.
(**) Université d’ Etat de Erevan, 1 rue Manoukian, 375049 Erevan, Arménie
residori@inln.cnrs.fr
Résumé
En présence simultanée de bistabilité et de diffraction, une valve à cristal liquide
dans une boucle de contre-réaction donne lieu à des structures localisées optiques. Nous
montrons ici des nouvelles caractéristiques de ces structures et de leur dynamique, telle
que leur apparition sur des cercles concentriques successifs
1 Introduction
Plusieurs classes des structures localisées, que l’on peut en géneral considerer comme
des solitons dissipatifs [1], sont observées en chimie [2] et dans différents systèmes physiques,
comme les milieux granulaires [3], la convection dans les fluides binaires [4] et les
ondes de surface [5, 6]. En particulier en optique les états localisés ont été largement étudiés
non seulement pour leur proprietés fondamentales mais aussi en vue de leurs potentielles
applications en photonique [7, 8, 9, 10]. Quelques fois baptisées sous le nom de solitons de
cavité, les strucutures localisées optiques ont été observées dans les photoréfractifs [11],
dans les lasers à absorbeur saturable [12], dans les valves à cristal liquide [13, 14], dans le
vapeurs de sodium [15] et récemment dans les VCSELs (laser à semiconducteur àcavité
verticale) [16].
Une valve à cristal liquide (LCLV) [17] dans une boucle de contre-réaction optique
montre un phénomène de bistabilité entredifférents états homogènes. Ceux-ci résultent
du caratère sous-critique de la transition de Fréedericksz quand le champ électrique local
dépend de l’angle de réorientation des cristaux liquides [18]. En présence simultanée de
bistabilité et de diffraction, ce même système donne lieu à des structures localisées optiques
[14]. Leur dynamique a étéétudiée récemment en fonction de la largeur de bande spectrale
du système [19]. Nous montrons ici des nouvelles caractéristiques de ces structures et de
leur dynamique, telle que leur apparition sur des cercles concentriques successifs [20, 21].
2 Déscription de l’expérience
L’expérience contient une LCLV dans une boucle de rétroaction optique. Un schéma
simplifiéestprésenté dans la Fig.1. La LCLV se compose essentiellement d’un film nématique
pris en sandwich entre une lame de verre et une lame photoconductrice sur laquelle un miroir
diélectrique est déposé. Les deux parois en contact avec le cristal liquide sont traitées
de façon à induire un ancrage planaire (directeur nématique ⃗n parallèle aux parois). Le
photoconducteur se comporte comme une résistance variable qui diminue lorsque l’intensité
lumineuse augmente.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

242 S. Residori, T. Nagaya, A. Petrossian
P in
I in
L 1
n
L 2
∆
P
fb
L = free propagation length
CCD
near field
P in
n
ψ 1
ψ 2
P fb
CCD
far field
Fig. 1: Schéma de l’expérience: la LCLV, à qui on applique une tension V 0 ,estilluminée par une
onde plane; l’onde réfléchie par le miroir de la LCLV est dirigée vers le photoconducteur grâce
à un faisceau de fibres optiques (en gris dans le dessin). ∆ est l’angle de rotation de la fibre par
rapport a la face avant de la LCLV. En bas à gauche, les orientations relatives des polarisations
de la lumière, P in et P fb , sont montrées par rapport à l’orientation du directeur nématique ⃗n.
Dans la boucle de contre-réaction optique, l’angle de rotation ∆ de la fibre optique est
fixéà60degrés, compatible avec la symétrie hexagonale, et la longueur de propagation libre
de la lumière est fixée à −10 cm. Les angles de polarisation de la lumière incidente et de
contre-réaction sont fixés à45degrés de telle sorte que un réseau hexagonale coexiste avec
la solution homogène dans la région de bistabilité prochedelatransitiondeFréedericksz
(la tension appliquée est d’environ 3 V rms , avec une fréquence de 5 kHz). Une autre
situation intéressante existe dans la limite opposée de haute tension appliquée (autour de
18 V rms ), c’est-à-dire loin de la transition de Fréedericksz. Dans ce cas, le film nématique
est déjà fortement orienté et la LCLV est proche d’une cellule homéotrope. La lumière
de contre-réaction n’induit que des petits changements autour de la position d’équilibre
et donc le comportement de la LCLV est semblable à celui que l’on observe près de la
transition de Fréedericksz. L’avantage de travailler dans ce régime de paramètres est que
la saturation de la réponse filtre toutes les sources de bruit, permettant l’apparition de
structures sur des cercles réguliers et successifs comme prévu par la simulation numérique
[22].
3 Structures localisées sur un réseau ordonné
Dans la Fig.2 nous montrons des images instantanées des structures localisées stationnaires,
disposées sur un réseau ordonné qui respect la symétrie d’ordre 6, àlafois
imposé par l’angle de rotation de la fibre (∆ = 2π/N avec N =6)etparlasymétrie
d’interaction lumière-cristaux liquides. Ces images ont été enregistrées pour une tension
appliquée àlaLCLVV 0 =18.45 V rms à une fréquence de 5 KHz. L’intensité totale incidente
est de I in =9mW/cm 2 . Un separateur de faisceau est positionné dévant la LCLV

Excitation et dynamique des structures localisées optiques 243
pour limiter l’intensité delalumière de contre-réaction à0.25 I in et donc assurer que la
LCLV ne travaille que dans sa zone de réponse linéaire. Cette condition, unie àladistance
de diffraction negative pour la propagation de la lumière, conduit la LCLV à agir comme
un milieu Kerr de type focalisant. L’extremité libre de la fibre est fixée sur une platine de
rotation de precision, qui permet de fixer l’angle ∆ avec une precision de 0.01 o .
Fig. 2: Images de champ proche des structures localisées stationnaires et ordonnées. Le différentes
distributions des structures ont été obtenues par différentes conditions initiales et pour ∆=2π/N
avec N =6.
a
c
e
g
b
d
f
h
Fig. 3: Images de champ proche des structures localisées stationnaires observées pour ∆=2π/N
avec a-b) N =3et c-d) N =4.Lemême structures acquiert une dynamique de rotation pour
∆=2π/N +0.1 o avec e-f) N =3et g-h) N =4.
La contrainte de récurrence, imposée par la rotation, fixe les structures localisées sur
des positions très regulières, qui forment les noeuds d’un réseau hautement symétrique.
Une fois crées, les structures localisées restent stables pendant plusieurs dizaines de minutes.
Il est possible de les effacer en bloquant pour quelques secondes la boucle de contreréaction.
Pour ce régime de paramètres l’état sans structures est aussi stable et il est ne-

244 S. Residori, T. Nagaya, A. Petrossian
cessaire d’introduire une pértubation pour faire apparaître les structures localisées. Cela
peut se faire par une petite augmentation de V 0 ou par l’injection dans la boucle de contreréaction
d’une lumière additionnelle de faible puissance. Normalement nous adoptons la
deuxième technique, soit par moyen d’un pointer laser, soit par moyen d’un eclairage en
lumière blanche (lampe de poche). Différents conditions initiales conduisent à des distributions
différentes de structures localisées, toutes aussi stables. Avec le pointer laser il est
possible de verifier que des positions différentes peuvent être selectionnées pour la creation
des structures localisées. Toutes ces manipulations montre que les structures observées
sont réellement des états localisés, du fait que l’entier réseau de structures est fortement
decomposable [23]. Chaque structure peut donc être consideré comme un element separé,
adressabledemanière indépendante des autres. A cause de la symétrie imposée par la
rotation, l’element de base est en fait constitué par un ensemble de N structures, qui apparaissent
toujours sur des cercles concentriques. Le centre est un point singulier qui peut
ou non être occupé par une structure localisée, en dépendance de la condition initiale.
a
b
c
d
Fig. 4: Structures localisées se disposant sur un nombre croissant des cercles concentriques.
La localisation dans le champ proche se traduit dans l’espace réciproque en une distribution
assez délocalisée des fréquences spatiales. En fait, l’observation du champ lointain
montre une diffusion autour de la composante continue (fréquence zero) et aucune structure
n’est observable malgré lehautdegrédesymétrie hexagonale présenté par le champ
proche. Nous observons la même figure de diffraction en champ lointain même si l’on
change la symétriedebasedel’entière distribution des structures . Nous l’avons verifié
pour plusieurs cas, en changeant ∆ = 2π/N pour N =3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nous montrons
dans la Fig.3 les images de champ proche pour N =3, 4. Si on introduit un petit extra
de rotation, δ =0.1 o ,demanière àceque∆=2π/N + δ, les structures se disposent
sur des cercles concentriques et acquiert un mouvement de rotation. Les cercles adjacents
tournent normalement en directions opposées.
4 Dynamique des structures localisées
Pour ∆ = 2π/N + δ, avecN =6etδ =0.1 o , nous avons fixé V 0 =18.49 V rms et
nous avons étudié la dynamique des structures localisées [21]. Pour cette valeur de V 0 les

Excitation et dynamique des structures localisées optiques 245
structures apparaissent spontanément en se développant à partir du bruit intrinsèque à
la LCLV (inhomogénéités et fluctuations). Après leur création par apparition de cercles
successifs, les structures localisées sont caractérisées par une dynamique spatio-temporelle
très riche, se développant dans les directions radiale et azimutale.
Les structures tournent le long des cercles dont le diamètre oscille. Ce mouvement
radial peut donner lieu à l’annihilation de deux cercles voisins ou, au contraire, àlacréation
de deux cercles voisins. Sur chaque cercle, le nombre de structures localisées respecte la
symétrie hexagonale, par exemple six sur le premier cercle et un multiple de six sur les
cercles successifs.
Dans la Fig.5a et b, les diagrammes spatio-temporels montrent respectivement la
rotation des structures localisées sur les cercles avec 12 et 18 structures. On peut remarquer
que les cercles tournent en directions opposées avec de vitesses différentes. Pour des temps
plus longs, les cercles peuvent se déstabiliser dans la direction radiale, comme montré dans
la Fig.5c.
c)
0
r
0
a
θ
5
3
b
10
6
t (sec)
15
20
t (sec)
Fig. 5: Diagrammes θ−t pour la rotation des structures sur les cercles a) à 12 et b) à 18 structures.
Le diagramme r − t en c) montre la dynamique radiale des cercles.
5 Conclusions
Nos résultats sont en accord avec les simulations numériques de la LCLV en absence
de bruit [22]. L’observation expérimentale est liée au comportement régulier de la LCLV
pour l’interval des paramètres choisi. Dans ce régime de paramètres, la nonlinéaritédetype
focalisant de la LCLV est à l’origine de la stabilisation des structures localisées. Néamoins,
la dynamique spatio-temporelle qui en résulte est très complexe et sujet actuellement
d’ultérieures études.
Acknowledgements
Ce travail a été financé par l’ACI-Jeunes (2218 CDR 2) du Ministère de la Recherche.

246 S. Residori, T. Nagaya, A. Petrossian
Références
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[20] S. Residori, Patterns, Fronts and Structures in a Liquid-Crystal-Light-Valve with Optical
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S.G. Pandalai Ed. (Transworld Research Network, Kerala, India), 2003.
[21] S. Residori, T. Nagaya, A. Petrossian, Localized Structures and their Dynamics, soumis
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[22] P.L. Ramazza, communication àlatroisième rencontre du réseau PHASE (European
Science Fondation), Venise, 16 -19 Octobre 2002.
[23] P. Coullet, C. Riera and C. Tresser, Phys. Rev. Lett. 84, 3069 (2000).

encontre du non-linéaire 2003 247
Etude théorique du laser à fibre dopée erbium en anneau
unidirectionnel fonctionnant en régime soliton.
M. Salhi, H. Leblond et F. Sanchez
Laboratoire des Propriétés Optiques des Matériaux et Applications
2, Bd Lavoisier, 49045 Angers cedex
mohamed.salhi@univ-angers.fr
Résumé
Nous présentons un modèle théorique caractérisant le fonctionnement du laser à
fibre dopée erbium en régime soliton. La configuration qui nous intéresse est composée
d’une fibre optique dopée erbium. Sa dispersion de vitesse de groupe est β 2 =
−0.002 ps 2 m −1 ,sonparamètre de biréfringence K =0.1 m −1 et son coefficient nonlinéaire
γ =0.002 W −1 m −1 .Lacavité est en anneau, unidirectionnelle, de longueur
L = 9 m. Le fonctionnement unidirectionnel est assuré par un isolateur optique polarisant
qui possède un coefficient de transmission β = 95%. Deux lames demi-onde
sont insérées de part et d’autre de l’isolateur. Leur rotation est équivalente à une rotation
des axes propres des deux extrémités de la fibre. La figure 1 illustre le montage
optique.
Isolateur
Fibre dopée
erbium
Coupleur 980/1550 nm
Pompe à 980 nm
Fig. 1: Montage optique
Le déclenchement du régime impulsionnel dans une telle configuration est basé
sur la rotation non-linéaire de la polarisation [1]. Par ailleurs, dans le cas des lasers à
fibre dopée ytterbium les résultats obtenus par le formalisme mathématique coincident
parfaitement avec ceux observés expérimentalement [2]. Cela nous a encouragés à
étendre celui-ci aux lasers à fibre dopée erbium [3]. Le modèle prédit le fonctionnement
du laser en fonction de l’orientation des angles des lames demi-onde. Cette théorie est
plus générale que celle donnée par Haus [4]. De plus nous sommes capable, à l’aide de
ce modèle, d’extraire les énergies des impulsions, ainsi que leur durées.
1 L’équation de propagation
1.1 Propagation de la lumièredanslafibre
Les deux composantes de l’enveloppe de l’impulsion se propagent d’une façon nonlinéaire
à l’intérieur de la fibre dopée erbium. Leur évolution est régie par deux équations
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

248 M. Salhi, H. Leblond et F. Sanchez
de Schrödinger non-linéaires couplées[2,3,5]:
i∂ z u − Ku − β (
2
2 ∂2 t u + γ u |u| 2 + Au |v| 2 + Bv 2 u ∗) = ig
i∂ z v + Kv − β 2
2 ∂2 t u + γ
(
1+ 1 )
ωg 2 ∂t
2 u, (1)
(
v |v| 2 + Av |u| 2 + Bu 2 v ∗) (
= ig 1+ 1 )
ωg 2 ∂t
2 v, (2)
où ∂ t désigne l’opérateur de dérivée partielle ∂/∂t, g en m −1 est le gain linéaire, ω g =
15.7 ps −1 est la largeur spectrale du gain, A =2/3, et B =1/3.
De point de vue physique la dispersion de la vitesse de groupe β 2 , le coefficient non-linéaire
γ, et le gain ρ = g/ω 2 g influent peu sur les composantes du champ électrique après un tour
dans la cavité. Cela nous permet de les traiter, du point de vue mathématique, comme des
perturbations. Nous avons donc le droit d’introduire un petit paramètre ε et remplacer
les quantités β 2 , γ et ρ par εβ 2 , εγ et ερ. Nous notons par (u(0),v(0)) les composantes de
l’impulsion à l’entrée de la fibre, et par (u(L),v(L)) les solutions obtenues par l’approche
perturbative après parcours sur une distance L, nous trouvons [2, 3] :
[
u(L) =u(0)e (g−iK)L + ε L
(
+iγ
1.2 L’effet du polariseur
+iγBv(0) 2 u(0) ∗ e(2g+4iK)L −1
2g+4iK
[
(
ρ − iβ 2
2
u(0) |u(0)| 2 + Au(0) |v(0)| 2) e 2gL −1
2g
]
e (g−iK)L + O ( ε 2) ,
(
v(L) =v(0)e (g+iK)L + ε L ρ − iβ 2
2
(
+iγ v(0) |v(0)| 2 + Av(0) |u(0)| 2) e 2gL −1
2g
]
e (g+iK)L + O ( ε 2) .
+iγBu(0) 2 v(0) ∗ e(2g−4iK)L −1
2g−4iK
)
∂ 2 t u(0) (3)
)
∂ 2 t v(0) (4)
A la sortie de la fibre optique les composantes de champ électrique, (u − ,v − ) ont une
polarisation elliptique à cause de la biréfringence naturelle et de la biréfringence induite
par l’effet Kerr optique. Après le passage par l’isolateur-polariseur elles se transforment
en une polarisation linéaire (u + ,v + ). Nous traduisons cela par :
u + =cosθ + f n , v + =sinθ + f n , (5)
où θ − (resp.θ + ) est l’angle entre l’axe passant du polariseur et u − (resp.u + ). f n est l’amplitude
de l’impulsion après le polariseur après le nème tour.
Par ailleurs, il est possible d’exprimer l’amplitude du champ électrique après le polariseur
au (n +1)ème tour en fonction de f n en utilisant les équations d’évolution de l’impulsion
dans la fibre et l’effet de l’isolateur. Nous obtenons :
où:
f n+1 = βe gL {Qf n + ε
[(
ρ − iβ 2
2
)
LQ)∂ 2 t f n + iP f n |f n | 2 ]}
+ O ( ε 2) , (6)
Q = cos(θ + − θ − )cosKL − i cos(θ + + θ − )sinKL, (7)

Etude théorique du laser à fibre dopée erbium 249
et:
( e 2gL − 1
P = γ
2g
+ B [
2 sin 2θ +
[
Q + A − 1
]
sin 2θ + [sin(θ + + θ − )cosKL − i sin(θ + − θ − )sinKL]
2
sin θ + cos θ − e −iKL e(2g+4iK)L − 1
2g +4iK +cosθ + sin θ − e iKL e(2g−4iK)L − 1
2g − 4iK
])
.
(8)
Nous déterminons le seuil du gain g 0 en considérant que l’impulsion a atteint l’état stationnaire,
c’est àdireque|f n+1 |=|f n |. Sachant que la partie dominante de f n+1 est donnée
à l’ordre ε 0 , alors le module de βe gL Q vaut 1. Ce qui nous donne l’expression de g 0 :
g 0 = −1
2L ln ( β 2 [ cos 2 (θ + − θ − ) − sin 2θ + sin 2θ − sin 2 KL ]) . (9)
Le gain g s’écrit donc g = g 0 + εg 1 où g 1 est l’excès de gain.
En effectuant un développement limitédee εg1L , et en remplaçant βe g0L Q par e iψ ,l’équation
(6) devient:
(
f n+1 = e iψ (1 + εg 1 L) f n + ε ρ − iβ )
2
Le iψ ∂t 2 f n + iε eiψ
2
Q Pf n |f n | 2 + O ( ε 2) . (10)
Nous jugeons plus judicieux de décrire l’évolution de l’amplitude du champ électrique f n
par une équation continue. A cet effet, pour un grand nombre de tours, nous interpolons
la suite discrète f n par une fonction continue f(z = nL) =f n . Nous obtenons:
i∂ z f = −ψ
( )
L f + iεg β2
1f + ε
2 + iρ ∂t 2 f + εDf |f| 2 , (11)
où D = −P/QL.
A l’ordre ε 0 , la solution de l’équation (11) est :
f = Fe iψz/L + O (ε) . (12)
Conformément aux principes de l’analyse multi-échelles [6] nous introduirons une variable
lente ζ = εz pour une grande distance z d’évolution de l’amplitude F . Nous écrivons alors:
( )
β2
i∂ ζ F = ig 1 F +
2 + iρ ∂t 2 F +(D r + iD i ) F |F | 2 . (13)
D r et D i sont les parties réelle et imaginaire de D. Elles correspondent à l’auto-modulation
de phase effective et au gain où à l’absorption non-linéaire effectifs. La valeur et le signe
de D i dépendent de θ − et θ + .L’équation (13) est du type de Ginzburg-Landau complexe
cubique (CGL). Elle est formellement identique à celle proposée par Haus [4].
2 Solution de CGL
2.1 Solution à amplitude constante
L’une des solutions de l’équation CGL s’écrit:
F = Ae i(kζ−Ωt) , (14)

250 M. Salhi, H. Leblond et F. Sanchez
où
Ω 2 = 1 ρ (D i|A| 2 + g 1 ), k = β 2
2ρ (D i|A| 2 + g 1 ) −D r |A| 2 . (15)
La solution donnée par l’équation (14) est indépendante du temps si et seulement si Ω = 0.
Dans ce cas les expressions de A et k sont:
√ −g1
A = , k = D r
g 1 . (16)
D i D i
Nous constatons que l’existence de cette solution est liée essentiellement au signe du produit
D i g 1 qui doit être négatif. Par ailleurs, il a été prouvé que l’instabilité modulationnelle
se produit quand le gain linéaire g 1 est négatif et le gain non-linéaire D i est positif. dans
l’autre cas elle n’a pas lieu. Ce qui prouve que la solution à amplitude constante est stable
quand l’excès de gain linéaire g 1 est positif et le gain non-linéaire D i est négatif.
2.2 Solution localisée
CGL peut s’écrire sous la forme normalisée d’Akhmediev [7]:
i∂ ζ ψ + 1 2 ∂2 τ ψ + ψ |ψ| 2 = ig 1 ψ + iDψ |ψ| 2 + iR∂ 2 τ ψ. (17)
où ψ = √ |D r |F , τ = t/ √ |β 2 |, R = ρ/|β 2 | et D = −D i /D r .
L’équation (17) admet une solution de la forme:
ψ = a(τ) 1+id e −iωζ , (18)
où
√
d = 3(1+2DR) − 9(1+2DR) 2 +8(D − 2R) 2
, ω = −g (
1 1 − d 2 +4Rd )
2(D − 2R)
2(d − R + Rd 2 . (19)
)
d représente le paramètre de chirp. L’amplitude de l’impulsion est:
a(τ) =MN sech (Mτ), (20)
où
√
M =
√
g 1
d − R + Rd 2 , N =
3d (1 + 4R 2 )
2(2R − D) . (21)
La condition nécessaire pour que les impulsions soient stables est (d − R + Rd 2 ) > 0.
Notons que pour l’instant nous ignorons la stabilité des impulsions quand le gain nonlinéaire
effectif est négatif. La figure 2 donne les zones de stabilité derégime continu
et impulsionnel en fonctions de l’orientation des angles (θ − ,θ + ). Signalons que l’on s’est
limité au plan (180 ◦ , 180 ◦ ) car le phénomène de stabilité estpériodique de période 180 ◦ .

Etude théorique du laser à fibre dopée erbium 251
180
deg
90
0
0
90
deg
180
Fig. 2: La stabilité du laser dans le plans (θ − ,θ + ). Les zones en gris représentent les régions
de stabilité derégime continu, dans ces régions nous n’avons pas d’informations sur le régime
modes bloqués, les domaines blanc représentent les régions d’auto-démarrage des impulsions, et les
régions hachuré indiquent les zones où lesdeuxrégimes continu et modes bloqué sont instables.
2.3 Les caractéristiques des impulsions
L’énergie des impulsions
Le modèle théorique que nous avons développé permet d’extraire l’énergie des impulsions
en fonction de l’orientation des angles (θ − ,θ + ) dans le cas où le gain compense les
pertes. L’expression de l’énergie s’écrit :
( ) g
′
E = − 1 W s , (22)
g 0
où g ′ =1.26 m −1 est le gain non-saturé, et W s =0.1 pJestl’énergie de saturation.
Les impulsions les plus énergétiques sont localisées autour des (0 ◦ , 0 ◦ )et(90 ◦ , 90 ◦ ). L’ordre
de grandeur de l’énergie est de 10 pJ. Il est compatible avec celui obtenu par Haus [8] dans
le régime soliton. En effet, pour une cavité de4.8 il trouve une énergie de 7 pJ.
La durée des impulsions
Dans notre configuration la durée de l’impulsion varie en fonction de l’orientation des
angles (θ − ,θ + ). L’expression de la durée de l’impulsion est:
τ 0 = 1 M . (23)
D’autre part l’énergie de l’impulsion s’écrit:
∫
E = |F | 2 dt = 2√ |β 2 |MN 2
. (24)
|D r |
Pour obtenir les durées des impulsions en ps il faut multiplier τ 0 par √ |β 2 |, nous trouvons
alors :
2|β 2 |N 2
t 0 =
. (25)
|D r |( g′
g 0
− 1)W s

252 M. Salhi, H. Leblond et F. Sanchez
E estenpJ,ett 0 en ps.
Les durées les plus courtes ne sont obtenues que pour certaines valeur de θ − et θ + .
Cela s’explique par le fait que, pour ces valeurs des angles, le sommet de l’impulsion subit
moins de pertes, contrairement aux ailes qui subissent une atténuation maximale. La durée
minimale qu’on peut avoir par ce modèle est de l’ordre de 90 fs.
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I, J. Phys. Soc. Japan. 24, 941-946, (1968).
[7] N.N. Akhmediev, A. Ankiewicz, Solitons, nonlinear pulses and beams, Chapman et
Hall, London, (97).
[8] H.A. Haus, K. Tamura, L.E. Nelson, E.P. Ippen, Stretched-pulse additive pulse modelocking
in fiber ring lasers: theory and experiment, IEEE Jour. Quant. Electron. 31,
591-598, (1995).

encontre du non-linéaire 2003 253
Approche globale et locale du “rhéochaos” dans un fluide complexe
J.-B. Salmon, Sébastien Manneville, Annie Colin et Didier Roux
Centre de Recherche Paul Pascal, avenue Albert Schweitzer 33600 Pessac
salmon@crpp.u-bordeaux.fr
Résumé
Nous rapportons ici quelques résultats sur les comportements dynamiques d’un
fluide complexe particulier: la texture oignon d’une phase lamellaire lyotrope. Ce fluide
présente des comportements asymptotiques étonnants au voisinage d’une transition
hors-équilibre, dans un écoulement de Couette. En effet, la viscosité oscille de manière
auto-entretenue sur des échelles de temps extrêmement longues (≈ 500 secondes).
Comme le montre la diffusion statique de la lumière, ce phénomène, récemment nommé
“rhéochaos”, correspond à des oscillations structurelles du fluide. Une étude utilisant
les techniques classiques de la théorie des systèmes dynamiques, montre que
ce phénomène ne correspond pas simplement à du chaos déterministe de basse dimensionnalité.
Cette étude suggère par ailleurs l’existence d’une structuration spatiotemporelle
de l’écoulement. Grâce à un montage de diffusion dynamique hétérodyne
de la lumière, nous pouvons accéder localement au profil de vitesse. Nous montrons
alors l’existence d’une structuration spatiale lors de l’instabilité: l’écoulement présente
deux bandes distinctes possédant des cisaillements locaux différents.
1 Introduction: rhéologie de la phase lamellaire lyotrope
Depuis une vingtaine d’années, la rhéologie s’est étendue àl’étude des fluides complexes.
Ces derniers sont caractérisés par une organisation supramoléculaire menant àun
couplage structure-écoulement qui est, aujourd’hui encore, difficile à appréhender. Ces
fluides sont omniprésents: boues, mayonnaise, shampoing... Comprendre les phénomènes
présents est alors un véritable enjeu tant du point de vue industriel que fondamental
[1]. L’étude menée ici porte sur un fluide particulier, la phase lamellaire lyotrope. Les
systèmes lyotropes sont obtenus par dissolution d’une molécule tensioactive dans de l’eau.
Ces molécules ont la propriété des’auto-assemblercréant ainsi toute une zoologie de
structures àl’échelle nanométrique: micelles géantes, vésicules, phase éponge...[2, 3]. La
phase lamellaire est un cas particulier de ces systèmes. Elle est composée d’une sucession
périodique de bicouches de tensioactifs (appelées aussi membranes liquides), formant
ainsi un cristal liquide de symétrie smectique A (ordre liquide dans le plan des bicouches,
ordre solide orthogonalement à ces dernières) [2, 3]. La phase lamellaire étudiée ici est un
système quaternaire composé de Sodium Dodécyl Sulfate (SDS), d’eau salée (20 g.l −1 )et
d’octanol avec les fractions massiques respectives 6.5%, 85.7% et 7.8%. A ces concentrations,
le pas smectique d, i.e. la distance entre membranes, est environ 15 nm et l’épaisseur
de la bicouche est 2 nm. La structure de ces phases àl’échelle du micromètre, est dominée
par des défauts caractéristiques (stries huileuses, disinclinaisons...). L’organisation de ces
défauts est appelée la texture de la phase lamellaire lyotrope.
Il est bien connu que le cisaillement d’une phase lamellaire permet de contrôler la
texture [4]. Notamment, il apparait àtrès faible cisaillement, une structure étonnante où
les membranes sont organisées en une assemblée compacte, monodisperse de multivésicules
emboitées, communément appelées ognons (cf. Fig. 1). Cette structure vitreuse possède
une taille caratéristique R (la taille de l’ognon) de l’ordre du micromètre variant avec le
cisaillement selon: R ∼ ˙γ −1/2 .
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

254 J.-B. Salmon, S. Manneville, A. Colin, D. Roux
Ý
Ä×Ö
Ë
Þ
Ü
Ë ¾
Ë ½
Fig. 1: Texture d’ognons désordonnés. La taille
caractéristique de ces derniers, R, est de quelques
micromètres.
ÈÅÌ
ÓÖÖÐØÓÖ
Fig. 2: Montage expérimental. SF 1 et SF 2
sont des filtres spatiaux, BS une lame semitransparente,
C un coupleur de fibres monomodes
et PMT un tube photomultiplicateur.
2 Dispositif expérimental: couplage structure-écoulement et
vélocimétrie locale
Pour étudier l’effet du cisaillement sur ce fluide complexe, nous utilisons le montage
décrit sur la Fig. 2. Ce dernier est constitué d’unrhéomètre classique et d’une cellule
de Couette transparente (cylindre intérieur mobile, rotor, derayonR 1 =24mmetcylindre
extérieur fixe, stator, R 2 =25mm).Lerhéomètre permet d’appliquer un couple
constant sur l’axe du rotor et impose ainsi une contrainte de cisaillement fixe σ au fluide.
Connaissant la vitesse de rotation du rotor, on peut déduire le cisaillement moyen ˙γ dans
l’écoulement. La température est contrôlée au sein du fluide grâce une circulation d’eau
thermostatée autour de la cellule de Couette. Par ailleurs afin de corréler les informations
rhéologiques (σ, ˙γ) à la structure du fluide, un faisceau laser polarisé (He–Ne, λ = 632 nm)
traversant la cellule de Couette, nous permet d’obtenir grâce aux figures de diffraction,
une information sur la texture du fluide àl’échelle du micromètre.
D’autre part, pour accéder localement au profil de vitesse, nous avons aussi développé
un montage de diffusion hétérodyne de la lumière autour du rhéomètre (cf. Fig. 2). Le
filtre spatial SF 1 permet de collecter la lumière diffusée par l’échantillon àunangleθ i .
Cette lumière diffusée est acheminée par fibre monomode au coupleur C ou l’on réalise
l’interférence avec une portion du faisceau laser source: c’est l’hétérodynage. L’interférence
résultante est envoyée à un photomultiplicateur puis àuncorrélateur. Ce procédé permet
d’accéder, via l’effet Doppler, à la vitesse locale des diffuseurs au sein du volume diffusant.
Ce dernier à une taille caractéristique d’environ 50 µm. Afin de mesurer le profil spatial
de vitesse, l’ensemble du rhéomètre est deplacé parallèlement au faisceau incident. Ceci
permet de déplacer le volume diffusant le long de l’entrefer de la cellule de Couette et ainsi
de remonter au profil de vitesse (pour de plus amples détails techniques, cf. Ref. [5]).

“Rhéochaos” dans un fluide complexe 255
3 Comportements dynamiques au voisinage de la transition
de feuilletage
3.1 Transition à basse température
Une courbe d’écoulement classique (σ vs. ˙γ), à T =26 ◦ Cetmesurée à contrainte
imposée, est présentée sur la Fig. 3. Afin d’atteindre un état stationnaire, chaque point
correspond à un temps d’attente de 2 heures. Comme on peut le voir sur les figures de
diffraction obtenues (Fig. 4), l’effet du cisaillement sur la texture désordonnée d’ognons,
est d’induire un ordre entre ces derniers. En effet à bas cisaillement (région A), la figure
caractéristique est un anneau, indiquant qu’il n’existe aucune corrélation spatiale entre
les ognons (Fig. 4(a)). Dès ˙γ ≈ 20 s −1 , des pics apparaissent sur l’anneau indiquant que
les ognons se retrouvent confinés sur des plans cristallins glissant les uns sur les autres
parallèllement à la vitesse. Sur chacun des plans un ordre hexagonal à longue portée est
présent (Fig. 4(b)). A plus haut cisaillement, (région C), les pics sont de plus en plus
contrastés (Fig. 4(c)). C’est la transition dite de feuilletage [6].
19
Stress (Pa)
18
17
16
15
14
A B C
(a)
(b)
13
12
10 20 30 40 50 60 70
Shear rate (s −1 )
(c)
Fig. 3: Courbe d’écoulement obtenue à T =
26 ◦ Cetà contrainte imposée. Chaque point
correspond àunétat stationnaire du cisaillement.
Fig. 4: Figures de diffraction correspondant
àlacourbed’écoulement représentée sur la
Fig. 3.
3.2 Transition à haute température
En augmentant légèrement la température (T =30 ◦ C), la courbe d’écoulement devient
radicalement différente (cf. Fig. 5). Cette dernière présente tout d’abord un cycle
d’hystèrese à contrainte imposée. Mais de manière plus surprenante encore, la courbe
présente différentes régions correspondant à des comportements dynamiques du cisaillement
[7, 8]. Les figures 6 et 7 représentent plusieurs séries temporelles correspondant
àdesrégimes distincts de la courbe d’écoulement. Ces oscillations sont corrélées àun
changement structurel du fluide: la figure de diffraction oscille entre l’état désordonné
d’ognons (Fig. 4(a), région de faible cisaillement) et l’état ordonné d’ognons (Fig. 4(c),

256 J.-B. Salmon, S. Manneville, A. Colin, D. Roux
ÊÓÒ
ËØÖ×× ´Èµ
½
ÊÓÒ
00000000
11111111
ÊÓÒ 00000000
11111111
¿
00000000
11111111
ÊÓÒ ¾00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
¼
00000000
11111111
00 11
ÊÓÒ
ÊÓÒ ½
01
01
01
01
­
¼ ­
½
ËÖ ÖØ ´× ½ µ
Fig. 5: Courbe d’écoulement classique obtenue à T =30 ◦ C.
15.5
23
Shear rate (s −1 )
15
14.5
14
13.5
13
12.5
12
Shear rate (s −1 )
22
21
20
19
18
17
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Time (s)
16
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
Time (s)
Fig. 6: Dynamique du cisaillement enregistré
dans la région 3 de la courbe d’écoulement de
la Fig. 5.
Fig. 7: Dynamique du cisaillement enregistré
dans la région 6 de la courbe d’écoulement de
la Fig. 5.
région de fort cisaillement) [7, 8]. Ces régimes dynamiques correspondent àdesétats
asymptotiques oscillants présentant une période d’environ 10 min. Ce temps est particulièrement
grand devant la période de rotation de la cellule de Couette (≈ 10 s.). Par
ailleurs, les nombres de Reynolds envisagés dans ces expériences (≈ 10 −2 ) excluent toutes
instabilités hydrodynamiques classiques. Cette instabilité montre que la complexité du
couplage structure-écoulement dans les fluides complexes peut mener à une structuration
temporelle de l’écoulement. C’est pour cette raison que ce phénomène a été récemment
nommé “rhéochaos” [9].
3.3 Approche des systèmes dynamiques
La ressemblance qualitative entre les séries temporelles présentées précédemment et
des comportements chaotiques de basse dimensionnalité estimmédiate. Cependant, àla
précision de notre expérience, aucune transition vers le chaos, notamment aucune bifurcation
de Hopf, n’a pu être mise en évidence. Par ailleurs, une étude approfondie, basée

“Rhéochaos” dans un fluide complexe 257
sur les outils classiques des systèmes dynamiques (sections de Poincaré, application de
premier retour) ne permet pas d’affirmer que les dynamiques observées correspondent à
du chaos dissipatif déterministe de basse dimensionnalité [8].
De plus, des expériences similaires, réalisées en confinant l’entrefer de la géométrie de
Couette, montrent que les dynamiques enregistrées sont différentes. Ce résultat suggère que
la dynamique peut être affectée par la présence d’une structuration spatiale de l’écoulement.
En effet, en rhéologie, la quantité mesurée est la vitesse de rotation du cylindre intérieur
du Couette. De cette grandeur globale est déduite une valeur locale, le cisaillement ˙γ, en
faisant l’hypothèse que l’écoulement est homogène (i.e. Newtonien). Si plusieurs cellules
spatiales oscillent au sein de l’entrefer de la cellule de Couette, le profil de vitesse est
dans ce cas inhomogène et la dynamique de la vitesse de rotation du cylindre intérieur
correspond à une dynamique spatio-temporelle.
4 Vélocimétrie locale lors de la transition de feuilletage
30
25
Velocity (mm.s −1 )
20
15
10
(a)
(b)
5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Position (mm)
(c)
(d)
Fig. 8: Profils de vitesse enregistrés à cisaillement
imposé, (T =30 ◦ ). (•) ˙γ =5s −1 ,
(□) ˙γ =10s −1 ,(◦) ˙γ =20s −1 ,(⋆) ˙γ =
30 s −1 .
Fig. 9: Figures de diffraction à cisaillement
imposé, (T =30 ◦ ). (a) ˙γ =10s −1 ,(b) ˙γ =
15 s −1 ,(c) ˙γ =30s −1 ,(d) ˙γ =37s −1 .
Afin de vérifier l’hypothèse d’une structuration spatiale du champ de vitesse lors
de la transition de feuilletage, nous avons décidé dans une première partie d’imposer la
vitesse de rotation de la cellule de Couette. Lorsque le cisaillement est imposé, les réponses
rhéologiques sont stationnaires: il n’existe pas d’oscillations de contrainte à cisaillement
imposé. Cependant, la phénoménologie de la transition de feuilletage est toujours présente,
i.e. ognons désordonnés à bas cisaillement et état feuilleté à haut cisaillement.
Les profils de vitesse correspondants sont présentés sur la figure 8, pour différents
cisaillements. Le premier résultat important est l’existence de glissement aux parois. En
réalité, ce glissement apparent est lié àlaprésence de films de lubrification permettant
d’absorber un cisaillement important. En supposant que ces films sont composés uniquement
d’eau, on accède aisément àl’épaisseur de ces films h, via la relation σ/η w = v s /h où

258 J.-B. Salmon, S. Manneville, A. Colin, D. Roux
σ est la contrainte locale, v s la différence de vitesse au niveau du film et η w la viscosité de
l’eau. On trouve alors, h ≈ 100 nm, ce qui est en accord avec d’autres mesures de vitesse
de glissement, notamment dans les suspensions concentrées.
Le second résultat est la présence d’une structuration spatiale lors de la transition.
Pour ˙γ

encontre du non-linéaire 2003 259
Diffusion Dirigée d’atomes froids dans un réseau optique symétrique
L. Sanchez-Palencia, M. Schiavoni, F. Renzoni et G. Grynberg
Laboratoire Kastler-Brossel, Département de Physique de l’Ecole Normale
Supérieure, 24, rue Lhomond, 75231, Paris Cedex 05, France.
lsanchez@lkb.ens.fr
Résumé
Nous mettons en évidence le phénomène de diffusion dirigée dans un potentiel
périodique symétrique. Les particules browniennes sont des atomes froids dans un
réseau optique dissipatif monodimensionnel. Une force de friction et une diffusion spatiale
des atomes sur le réseau sont induites par le processus stochastique de pompage
optique. Nous appliquons en plus une force de moyenne nulle qui brise la symétrie
temporelle du système. Nous montrons alors que les atomes sont mis en mouvement
dans une direction privilégiée du fait de la brisure de symétrie du système.
1 Introduction
Depuis maintenant près de deux siècles, les scientifiques observent et modèlent le
mouvement de particules dans des environnements bruités. Les premiers travaux à l’origine
de ce champ de recherche correspondent à l’observation par Brown [1] du mouvement
erratique de particules dans un fluide puis àlamodélisation du phénomène par Einstein
en 1905 [2]. Plus récemment, l’étude des moteurs moléculaires [3], i.e. de systèmes dans
lesquels des particules microscopiques sont mises en mouvement unidirectionnel dans des
structures périodiques, a renouvelé l’intérêt pour ces recherches et a suscité de nombreux
travaux théoriques sur le mouvement directionnel dans un environnement bruité eten
l’absence de force dans la direction du mouvement. Récemment, des moteurs moléculaires
ont été modélisés par des potentiels asymétriques (rochets) et du bruit non-gaussien [4]. Le
mouvement unidirectionnel dans un rochet peut aussi être obtenu avec du bruit gaussien
et une force périodique de moyenne nulle [4, 5, 6, 7].
Dans un travail récent [8], nous avons mis en évidence le phénomène de diffusion dirigée
(DD), i.e. le mouvement directionnel de particules soumises àunpotentiel périodique
symétrique dans un environnement bruité. Considérons la dynamique diffusive dans un
potentiel U(x) depériode spatiale λ (U(x + λ) =U(x)), en présence d’une force F (t)
de période temporelle T (F (t + T )=F (t)). On sait que si le système est symétrique
dans le sens où U(−x) =U(x) etF (t + T/2) = −F (t), il n’y a pas de transport dirigé
dans le réseau [5, 9, 10, 11]. Ainsi, pour observer un mouvement dirigé, la symétrie
spatio-temporelle du système doit être brisée. Dans un potentiel spatialement symétrique,
la symétrie du système peut être brisée en appliquant une force polychromatique contenant
des harmoniques paires et impaires. La force que nous utilisons dans ce travail a
deux composantes de pulsations ω et 2ω dont la différence de phase φ peut être ajustée.
Nous allons démontrer le phénomène de DD dans un tel système, la phase φ servant de
paramètre de contrôle pour l’amplitude et le signe du courant d’atomes dans le réseau.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

260 L. Sanchez-Palencia, M. Schiavoni, F. Renzoni et G. Grynberg
2 Description du système
Notre potentiel symétrique correspond àunréseau optique monodimensionnel lin⊥lin
[12]. La structure périodique est déterminée par l’interférence de deux faisceaux lasers
contrepropageants (L 1 et L 2 )à polarisations linéaires croisées (Fig. 1). Cette configuration
induit une modulation spatialement périodique des déplacements lumineux des différents
sous-niveaux du fondamental des atomes. De cette manière, un atome ressent un potentiel
périodique (réseau optique), dont l’amplitude et la phase dépendent de l’état interne
courant de l’atome. Ceci induit un refroidissement Sisyphe [12]. En effet, des transitions
de population par pompage optique entre les différents sous-niveaux, combinées àlamodulation
spatiale du potentiel optique conduisent à la diminution de l’énergie cinétique
des atomes qui finissent piégés dans les puits (minima) de potentiel, produisant ainsi un
réseau périodique de matière. En fait, les atomes dans les puits de potentiel continuent
d’interagir avec la lumière et subissent ainsi des cycles de fluorescence qui induisent les
transitions entre les sous-niveaux (pompage optique). Les processus aléatoires de pompage
optique induisent des transferts d’atomes entre sites de piégeage voisins. Ceci conduit à
des phénomènes de transport dans le réseau: dans un large domaine de paramètres, la
dynamique atomique correspond à une diffusion normale [13, 14].
clock in
y
out
ω
+
α(t)
2ω−φ
out
z
x
φM in
clock in
Ω
Ω
RF out
RF out
ε y
atoms
AOM 1 AOM 2
L
L
1 2
ε x
Fig. 1: Dispositif expérimental. La phase du faisceau laser L1 est −kz − ω L t + α(t) et celle du
faisceau L2 est kz − ω L t.
Afin de produire une force homogène, nous appliquons une modulation de phase α(t)
sur l’un des faisceaux lasers. Le champ électrique s’écrit alors:
{
}
⃗E = E 0 Re ⃗ɛ x exp[i(kz − ω L t)] + ⃗ɛ y exp[i(−kz − ω L t + α(t))]
(1)
où E 0 est l’amplitude du champ électrique et k et ω L sont respectivement le nombre d’onde
et la pulsation du champ lumineux. Dans le référentiel du laboratoire, cette configuration
induit un potentiel optique U(2kz − α(t)) en mouvement. Par exemple, dans le cas d’une
transition atomique J g =1/2 → J e =3/2, le bipotentiel correspondant aux sous-niveaux
du fondamental |g, m = ±1/2〉 s’écrit U ± (2kz − α(t)) avec U ± (ξ) =U 0 [−2 ± cos ξ], où U 0
est la profondeur du potentiel. Dans le référentiel en mouvement à la vitesse ˙α(t)/2k, le
potentiel est stationnaire et l’atome de masse M subit en plus une force inertielle F dans
la direction z de valeur [15]:
F = − M ¨α(t) . (2)
2k

Diffusion Dirigée dans un réseau optique 261
En prenant une modulation de phase de la forme
α(t) =α 0
[
A cos(ωt)+ B 4 cos(2ωt − φ) ]
, (3)
nous obtenons une force inertielle à deux pulsations ω et 2ω, déphasées de φ:
F = Mω2 α 0
[A cos(ωt)+B cos(2ωt − φ)] . (4)
2k
Ainsi, dans le référentiel accéléré, les atomes sont refroidis et piégés dans le réseau et subissent
une force inertielle contenant des harmoniques paires et impaires déphasées. Notre
système est donc adapté àl’étude de la DD dans une structure périodique symétrique.
3 Réalisation expérimentale
Dans nos expériences, nous utilisons des atomes de 85 Rb (transition J g =3→ J e =4)
initialement refroidis et piégés dans un piège magnéto-optique (MOT) [16]. Après avoir
éteint le MOT, les atomes sont transférés dans le réseau monodimensionnel de direction z
et des faisceaux orthogonaux à z de polarisations σ ± sont ajoutés pour assurer un ralentissement
dans les directions transverses et limiter ainsi les pertes d’atomes. La modulation
de phase (Eq. 3) est obtenue à l’aide de deux modulateurs acousto-optiques (AOM), chacun
utilisé sur un faisceau différent (Fig. 1). Les AOM sont pilotés par des générateurs
radio-fréquence (RFG) oscillant àΩ=76MHz et partageant la même horloge. L’un
des RFG est modulé en phase par un signal obtenu en mélangeant les sorties de deux
oscillateurs de pulsations ω et 2ω (ω ≃ 100 kHz) etdedifférence de phase φ. Les deux
oscillateurs ont la même horloge de référence.
Nous avons aussi réalisé des simulations de Monte-Carlo de la dynamique des atomes
dans le réseau monodimensionnel. Celles-ci sont réalisées dans l’approximation semi-classique
pour une transition atomique J g =1/2 → J e =3/2 (la plus simple pour laquelle un
mécanisme de refroidissment Sisyphe peut être obtenu). Des simulations ont été effectuées
soit en ajoutant directement une force F de la forme (4), soit en induisant une modulation
de phase α de la forme (3) sur l’un des faisceaux avec des résultats similaires.
Notons que les résultats présentés ici sont obtenus dans le régime de suivi nonadiabatique
car la fréquence ω/2π de la force ajoutée est proche de la fréquence d’oscillation
Ω v /2π des atomes dans le fond des puits de potentiel.
4 Mise en évidence de la diffusion dirigée
Nous avons étudié le comportement du nuage à l’aide d’une caméra CCD. Pour une
phase φ donnée, nous avons pris des images du nuage àdifférents instants lorsque les
atomes étaient dans le réseau. De ces images, nous avons déduit la position du centre de
masse (CM) en fonction du temps. Il convient de noter que pour la durée typique des
mesures, la position du CM du nuage d’atomes est approximativement la même dans le
référentiel du laboratoire et dans le référentiel accéléré. En effet, le réseau oscille avec
une amplitude de l’ordre de 1 µm alors que le déplacement du nuage associé àladiffusion
dirigée est de l’ordre de 100 µm. Par ailleurs, pour une fréquence typique de ω ≃ 100 kHz,
les positions, z dans le référentiel du laboratoire et z ′ = z − α(t)/(2k) dans le référentiel
accéléré, sont équivalentes lorsqu’on moyenne sur le temps typique de d’exposition de la

262 L. Sanchez-Palencia, M. Schiavoni, F. Renzoni et G. Grynberg
caméra (1 ms). Ainsi, la mesure de la position du CM du nuage dans le référentiel accéléré
(dans lequel la description en terme de potentiel statique, de force de friction et de force
ajoutée F est correcte) peut tout aussi bien être effectuée dans le référentiel du laboratoire,
sans avoir à se soucier de transformations de coordonnées.
Nous avons effectué plusieurs mesures pour des valeurs différentes de la phase φ.
Nous avons observé que le CM du nuage atomique est mis en mouvement dans la direction
z à vitesse constante comme le montre l’encart de la figure 2(gauche). Nous avons
alors déterminé la vitesse du CM en fonction de la phase φ et avons porté lesrésultats
sur la figure 2(gauche). Les résultats expérimentaux de la figure 2(gauche) démontrent
clairement le phénomène de diffusion dirigée dans un réseau périodique symétrique: les
atomes sont mis en mouvement directionnel dans une structure périodique lorsque la
symétrie temporelle du système est brisée. Les résultats similaires correspondant aux simulations
numériques, portés sur la figure 2(droite), sont en parfait accord avec les résultats
expérimentaux et confirment le mouvement directionnel pour les valeurs de φ brisant la
symétrie temporelle.
v (mm/s)
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
∆z (mm)
0.6
φ=π/2
0.0
φ=3π/2
−0.6
0 40 80 120
t (ms)
v/v r
4
2
0
−2
−4
−8
0 π/2 π 3π/2 2π
φ
0 π/2 π 3π/2 2π
φ
Fig. 2: Vitesse du CM du nuage atomique en fonction de la phase φ. Gauche: Résultats
expérimentaux. Le désaccord des lasers par rapport à la transition atomique est ∆=−36 MHz
et l’intensité d’un faisceau laser est I L =7mW/cm 2 (soit une fréquence d’oscillation des atomes
au fond des puits de potentiel de Ω v ≃ 105 kHz). Les paramètres de la modulation de phase α(t)
sont ω = 113 KHz, A =3/4, B =1et α 0 =10rad. L’encart montre le déplacement du CM
en fonction du temps ainsi que des ajustements linéaires. Droite: Résultats numériques. Les paramètres
du réseau sont U 0 = −100E r , ∆=−5Γ où Γ et E r sont respectivement la largeur de
l’état excité etl’énergie de recul. Ceux de la modulation de phase α(t) sont ω =0, 87Ω v , α 0 =8et
A = B =1/2. La vitesse du CM est en unité de la vitesse de recul v r .
La dépendance de la vitesse moyenne du CM en fonction de la phase φ, portée sur
les figures 2, peut être expliquée par un examen des symétries temporelles du système. En
effet, bien que la symétrie F (t+T/2) = −F (t) soitbrisée pour toute valeur de φ, il y a une
symétrie temporelle supplémentaire F (t) =F (−t), qui induit un courant particulaire nul
pour des valeurs particulières de φ [10]. Cette symétrie est réalisée lorque φ = nπ (avec n,
un nombre entier), et est brisée de façon maximale lorque φ =(n +1/2)π. Ceci explique
la dépendance de la vitesse du CM en fonction φ, et montre que dans notre système, φ est
le paramètre de contôle du mouvement dirigé.
Dans le but de démontrer que la DD est déterminée par la brisure de la symétrie
temporelle F (t + T/2) = −F (t), nous avons reproduit des résulats similaires à ceux qui
sont portés sur les figures 2 pour différentes valeurs des amplitudes relatives des harmoniques
de pulsations ω et 2ω de la force F (t) tout en gardant leur somme constante.
Nous prenons A =1− B donc α(t) =α 0 [(1 − B) cos(ωt) +B/4cos(2ωt − φ)], de sorte

Diffusion Dirigée dans un réseau optique 263
que F = Mω 2 α 0 /2k[(1 − B) cos(ωt) +B cos(2ωt − φ)]. Les résultats expérimentaux et
numériques sont portés sur la figure 3. Nous observons que le courant particulaire est nul
pour B = 0 ou 1 (qui correspondent à des forces F monochromatiques) et est maximal
pour B ≃ 0, 5(i.e. pour des amplitudes environ égales des deux harmoniques). Ainsi, c’est
bien la brisure de la symétrie temporelle F (t + T/2) = −F (t) qui induit le mouvement
dirigé des atomes dans le réseau.
1.2
5
4
v (mm/s)
0.8
0.4
σ v /v r
3
2
1
0.0
0.0 0.5 1.0
B
0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
B
Fig. 3: Vitesse du CM du nuage atomique en fonction de l’amplitude B de l’harmonique de
pulsation 2ω de la force F (t), sous la condition A + B =1. Les paramètres du réseau optique sont
les mêmes qu’à la figure 2. Gauche: résultats expérimentaux pour la vitesse v du CM en fonction
de B, les paramètres de la modulation de phase sont ω = 100 KHz, α 0 =12rad et φ = π/2
(cette valeur de φ assure une brisure maximale de la symétrie F (t) =F (−t)). Droite: résultats
numériques pour σ v =[ ∑ i=1,N (v φ i
−〈v〉) 2 /N ] 1/2 où v φi ,aveci =1, ..., N =20,sontlesrésultats
numériques pour la vitesse du CM du nuage à la phase φ = φ i =2π/N. Ici,ω =0, 87Ω v et α 0 =3.
Le mécanisme qui produit un courant non nul de particules à travers le réseau optique
peut être relié auphénomène général de rectification par mélange d’harmoniques, qui a été
introduit pour la première fois pour expliquer les propriétés de transport d’électrons dans
des cristaux [17], et qui a été récemment revisité dans la référence [11]. Pour le système que
nous considérons dans ce papier, le mélange des harmoniques induit un déplacement ∆z
du centre d’oscillation 〈z(t)〉 d’un atome dans un puits de potentiel par rapport au fond du
puits. Un tel déplacement est une conséquence de l’anharmonicité du potentiel optique et
est quadratique par rapport à l’amplitude de la composante de la force F (t) de pulsation ω
et linéaire par rapport à l’amplitude de la composante de pulsation 2ω: ∆z ∝ A 2 B.Ainsi,
une valeur non nulle de ∆z n’est obtenue que lorsque la force F (t) possède effectivement
une composante de pulsation ω (A ≠ 0) et une composante de pulsation 2ω (B ≠0).
Comme le taux de pompage optique Γ ′ (proportionnel au taux d’echappement depuis un
puits de potentiel) vers un puits voisin augmente avec la distance au centre du puits initial
(Γ ′ ∝ sin 2 k∆z [12]), un tel déplacement se traduit par l’asymétrie des taux d’échappement
vers le puits de gauche ou vers celui de droite et un courant particulaire non nul apparaît.
5 Conclusion
En conclusion, nous avons mis en évidence expérimentalement dans ce travail le
phénomène de diffusion dirigée dans un potentiel périodique symétrique. Ceci a été réalisé
avecdesatomesfroidsdansunréseau optique monodimensionnel. Le même type de comportement
a été obtenu précédemment dans un potentiel périodique asymétrique (rochet
atomique) [18]. Le potentiel périodique symétrique correspond à la configuration

264 L. Sanchez-Palencia, M. Schiavoni, F. Renzoni et G. Grynberg
1D-lin⊥lin de réseau optique dans laquelle deux faisceaux lasers contre-propageants produisent
le potentiel périodique et la force de friction. De plus, le processus stochastique
de pompage optique induit la diffusion spatiale des atomes dans la structure périodique.
Une force de moyenne nulle est appliquée en introduisant une modulation temporelle de
phase à l’un des faisceaux lasers. Dans un référentiel accéléré, les atomes ressentent un
potentiel statique et une force inertielle qui brise la symétrie temporelle du système. Nous
avons obtenu un mouvement dirigé du centre de masse du nuage, induit par la brisure
de symétrie temporelle du système et dont la vitesse peut être controlée précisément en
modifiant les paramètres de la modulation de phase.
Ainsi, notre système est-il bien adapté à des investigations avancées du phénomène
de diffusion dirigée, d’une part parce que les paramètres du réseau et de la force inertielle
ajoutée sont controlables et d’autre part parce que leurs effets sur le nuage d’atomes
sont directement accessibles par des mesures simples. La réalisation de la diffusion dirigée
présentée dans ce papier a été réalisée dans le régime de suivi non-adiabatique, i.e. que la
période temporelle de la force inertielle appliquée est du même ordre de grandeur que le
temps typique de la dynamique atomique dans le réseau seul (fréquence d’oscillation des
atomes au fond des puits du potentiel). Ainsi pourrait-on étudier la théorie de l’activation
résonante basée sur les susceptibilités logarithmiques [9, 19].
Références
[1] R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).
[2] A. Einstein, Ann. Phys. 17, 549 (1905).
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[19] V.N. Smelyanskiy, M.I. Dykman, H. Rabitz and B.E. Vugmeister, Phys. Rev. Lett.
79, 3113 (1997).

encontre du non-linéaire 2003 265
Structures fractales et capacité deprédiction dans certains systèmes
dynamiques non linéaires
Jacobo Aguirre et Miguel A. F. Sanjuán
Grupo de Dinámica No Lineal y Teoría del Caos
Departamento de Matemáticas y Física Aplicadas y Ciencias de la Naturaleza
Universidad Rey Juan Carlos
Tulipán s/n, 28933 Móstoles (Madrid), Espagne
msanjuan@escet.urjc.es
Résumé
Un des objectifs fondamentaux de la science est la prédiction, de telle sorte que
lorsque la prédiction se perd, on pourrait conclure qu’un des fondements de la science
tremble. La notion de système chaotique et de dépendance sensible aux conditions initiales
impliquent une certaine perte de la prédiction de l’évolution temporaire d’une
orbite. Cependant, nous ne parlons pas ici de prédiction temporelle d’une orbite, sinon
d’une dépendance extrême sur les conditions initiales que les structures fractales
imposent dans l’espace de phases, de telle sorte qu’il se produit une obstruction de
la prédiction finale de l’état final du système. Dans cet article, différentes situations
physiques sont décrites.
1 Introduction
Il ya plus d’individus qui naissent que ceux pouvant survivre. Un grain
dans la balance déterminera quel individu vivra et celui qui mourera, quelle
variété ouquellespèce augmentera en nombre, et celle qui diminuera, ou celle
qui finalement s’éteindra.
—Darwin, L’origine des espèces, ch. 14, 1859
Habituellement le phénomène de dispersion chaotique est associé àladynamique
des systèmes hamiltoniens ouverts avec des propriétés chaotiques. En général, une particule
se déplace avec un mouvement de va-et-vient pendant un certain temps dans une
région bornée appelée région de dispersion, et s’échappe par la suite vers l’infini par une
des sorties existantes. Les systèmes hamiltoniens bidimensionnels ont été étudiés par de
nombreux chercheurs, qui ont modelé ces différents phénomènes physiques. L’analyse de
l’échappement des étoiles dans les galaxies [1], la dynamique des ions dans les pièges
électromagnétiques [2], ou l’interaction entre la queue magnétique de la terre et du vent
solaire, en sont quelques applications [3]. Toutes ces applications sont des manifestations
de la dispersion chaotique, qui comprend principalement l’intéraction d’une particule avec
un système qui le disperse, de telle sorte que les conditions finales de la vitesse et de la
direction possèdent une dépendance extrême àl’égard des conditions initiales, ce qui est
un signe de comportement chaotique.
En général, il y a une valeur-seuil de l’énergie, qui s’appelle l’énergie d’échappement.
Au-dessous de cette valeur-seuil, les orbites sont liées et les particules situées dans la région
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

266 Jacobo Aguirre et Miguel A. F. Sanjuán
de dispersion ne peuvent pas s’échapper. Cependant, quand l’énergie est au-dessus de cette
valeur-seuil, plusieurs sorties apparaissent et les particules peuvent s’échapper vers l’infini
par n’importe quelle d’entre elles.
Lorsque nous venons à considérer un système hamiltonien, toute l’énergie y est
conservée, et par conséquent, nous ne pouvons pas parler d’ attracteurs, ni de bassins
d’attraction. Un bassin d’attraction est défini comme l’ensemble des conditions initiales
qui sont attirées vers un certain attracteur, et elles existent seulement dans les systèmes dissipatifs.
Quand deux attracteurs coexistent dans une certaine région de l’espace de phase,
nous avons deux bassins, qui sont séparés par une frontière de bassin. Cette frontière de
bassin pourrait être une courbe, mais elle peut également être un fractal. Tandis que nous
ne pouvons pas parler d’attracteurs dans les systèmes hamiltoniens, nous pouvons parler
de bassins d’échappement ou de sortie d’une façon analogue à ce qui signifie les bassins
d’attraction pour les systèmes dissipatifs.
Un bassin de sortie est l’ensemble de conditions initiales menant à une certaine sortie.
Ces bassins ne pourraient pas être seulement fractals, car il est possible qu’ils possèdent
la propriété plus forte de Wada [4, 5]. Nous disons qu’un bassin vérifie la propriété de
Wada, qui pourrait tenir quand il existe au moins trois bassins, quand n’importe lequel
de ses points de frontière appartient simultanément àlafrontière des deux autres bassins.
Ainsi, si un système dynamique vérifie la propriété de Wada, l’imprévisibilité est encore
plus grande que lorsque’il y a seulement des frontières de bassin fractals. Si une trajectoire
commence très près d’un point de frontière, il ne sera pas possible de prévoir à l’avance
son futur comportement, puisque ses conditions initiales pourraient appartenir à n’importe
lequel de ces trois bassins.
Le premier exemple d’un système avec cette propriété topologique a été rapportéparle
mathématicien japonais Yoneyama en 1917 [6], qui a attribué l’idée à un certain M. Wada.
Yoneyama a pris le nom de cette personne, pour indiquer ce qui est connu maintenant
comme les “lacs de Wada”, qui est un exemple plutôt utile de la façon d’établir trois régions
ayant cette propriété. Logiquement, les frontières de ces ensembles vérifient des propriétés
topologiques très peu communes. Topologiquement, la propriété de Wada est associée au
concept du continu indécomposable [4, 7, 8, 9]. De tels ensembles indécomposables sont
des ensembles compacts, métriques et connexes qui ont l’étrange proprieté que lorsqu’on
essaye de les diviser en deux pièces, on se trouve devant un nombre infini de pièces. De
plus, si un système dynamique vérifie la propriété de Wada, l’imprévisibilité est encore
plus grande que dans le cas où seulement on trouve des frontières de bassin fractales.
Une très belle expérience montrant la propriété de Wada a été récemment rapportée
[10] dans un système optique possédant la dispersion chaotique.
2 Bassins de Wada dans le système de Hénon-Heiles
En particulier, nous étudions les bassins de sortie du Hénon-Heiles hamiltonien, qui
est bien connu comme modèle d’une galaxie axisymétrique [11]. Le système de Hénon-
Heiles est fourni par l’équation
H = 1 2 (ẋ2 + ẏ2 )+ 1 2 (x2 + y 2 )+x 2 y − 1 3 y3 , (1)
et constitue un paradigme pour la dynamique non-linéaire des systèmes hamiltoniens. Il
s’agit d’un système dynamique indépendant du temps bidimensionnel, possèdant trois sorties
différentes pour des orbites au-dessus de l’énergie d’échappement, ayant une symétrie

Structures fractales et capacité deprédiction 267
de rotation 2π/3. D’ailleurs, la dynamique associée est tout àfaitimprévisible, puisque la
frontière séparant leurs bassins de sortie n’est pas une courbe lisse.
Nous avons trouvé que le systèmedeHénon-Heiles possède des bassins de Wada. En
outre, nous croyons que la propriété de Wada est une caractéristique générale pour les
systèmes hamiltoniens bidimensionnels ouverts avec trois ou plus sorties d’echappement.
En fait, ce genre de modèles est largement répandu pour la modèlisation de nombreux
problèmes astrophysiques, et les idées fondamentales d’application sont présentesdansun
certain genre de chaos transitoire.
Fig. 1: La variété instabledelaseuleorbitepériodique instable accessible croise tous
les bassins dans ce zoom du diagramme de bassin de sortie du système. Par conséquent,
l’hamiltonien de Hénon-Heiles vérifie la propriété de Wada [12].
3 Bassins de Wada dans l’oscillateur de Duffing
Un autre objectif de cet article est de prouver que l’oscillateur de Duffing présente la
propriété de Wada [13]. L’oscillateur de Duffing est un modèle bien connu d’un oscillateur
non-linéaire, et il est applicable à modeler beaucoup de systèmes de la science et de la
technologie. En réalité, on le considère comme paradigme pour la dynamique non-linéaire
des systèmes dissipatifs.
L’oscillateur de Duffing peut être utilisé comme modèle du mouvement unidimensionnel
d’une particule de masse unité à l’intérieur d’un potentiel symétrique de double
puits, avec une dissipation et un forçage périodique externe. L’équation que nous avons
employée est la suivante:
..
x +δ ẋ −αx + βx3 = γ cos ωt. (2)
La variable x(t) représente la position en fonction du temps t, où δ est le coefficient
d’amortissement. Les autres paramètres γ et ω représentent l’amplitude et le forçage externe.
Les paramètres que nous utilisons ici sont δ =0.15, α = β = ω =1etγ est

268 Jacobo Aguirre et Miguel A. F. Sanjuán
variable. La région de variation de l’amplitude est 0.24 γ 0.26, où trois attracteurs
coexistent dans l’espace des phases.
Comme il a été auparavant commenté, une des conséquences principales du fait que
ces systèmes possèdent des bassins de Wada est la difficulté intrinsèque pour prévoir, de
telle manière que nous ne pouvons pas savoir à l’avance à quel attracteur les systèmes
sont attirés pour un état initial donné. Ceci a une énorme importance, puisque nous
sommes habitués à l’idée du déterminisme classique, où une fois qu’un premier état est
fixé, automatiquement nous savons l’évolution de l’orbite. D’un point de vue expérimental,
il n’est pas possible de fixer un premier état avec la précision arbitrairement élevée, et par
conséquent, un problème sérieux se pose pour la prévision des systèmes physiques.
Ces idées supposent en fait un défi aux idées classiques du déterminisme. Une discussion
intéressante autour des conséquences physiques se dérivant de la nature de certaines
frontières de bassin fractales et la prévisibilité desystèmes physiques apparaît dans [14].
2
Y
-2
-2.2 X
2.2
Fig. 2: La figure montre un diagramme d’un bassin d’attraction de l’oscillateur de Duffing.
Une maille de 960 × 960 des points initiaux est considérée et des couleurs différentes sont
choisies pour indiquer à quel attracteur une condition initiale est conduite.
4 Les applications dans la physique et dans d’autres sciences
appliquées
Comme il a été mentionnéprécédemment, aussi bien les systèmes hamiltoniens que les
systèmes dissipatifs, peuvent possèder la propriété de Wada, avec des conséquences similaires
concernant l’imprévisibilité del’état final du système. Il y a des résultats confirmant
que la propriété s’applique aussi pour le pendule forcé [4], dans un modèle de trois billards
[15], dans les problèmes de l’advection chaotique [16, 17] des fluides et dans les modèles
écologiques [18]. Aussi, dans le domaine de la physique des plasmas, on a découvert des
applications de ces idées [19]. Il y a des applications très intéressantes en relation avec

Structures fractales et capacité deprédiction 269
2
Y
-2
-2.2 X
2.2
Fig. 3: La figure montre la variété stable et instable de l’unique orbite instable accesible
du bassin noir. Si on compare cette figure avec la figure 2, on peut constater que la varieté
instable coupe tous les bassins, et pourtant le bassin noir possède la propriété de Wada.
De cette façon, on arrive à tous les autres bassins.
la compétition des multi-espèces [20], lequel est un domaine très actif de recherche en
écologie et en biodiversité. Dans ce domaine, une forte imprévisibilité ausujetdesespèces
de survie est présente. Ceci explique peut-être la citation de Darwin.
5 D’autres problèmes
Uneautreidée d’application consiste à analyser le comportement des systèmes dynamiques
discrets que conservent l’air, et qui sont des prototypes des systèmes hamiltoniens
continus. L’idée consiste à “ouvrir” des systèmes fermés, qui physiquement peuvent
être interprétés comme une intéraction avec le monde extérieur. Par conséquent, l’espace
des phases se fractalise, et lorsque la taille des “creux” tend vers zéro, on a une fractalisation
complète, qui entraîne la perte totale d’information sur le futur du système
[21]. Comme continuation naturelle au travail effectué surlessystèmes hamiltoniens, nous
avons également exploré un nouveau type de bassins, que nous appelons les bassins incertains.
Nous croyons que lorsque la taille des sorties diminue en tendant vers zéro, alors
l’imprévisibilité augmenteénormément, de telle manière que les informations sur le futur
de ces systèmes sont perdues. C’est la première fois qu’un tel phénomène est décrit pour
les systèmes hamiltoniens [22].
6 Conclusions
Deux systèmes dynamiques paradigmatiques dans la dynamique non-linéaire sont
étudiés, l’un d’eux est un système hamiltonien, le système de Hénon-Heiles, et l’autre
dissipatif, l’oscillateur de Duffing. Nous prouvons que tous les deux possèdent des bassins
de Wada, affectant l’imprévisibilité del’état final du système, de telle manière qu’afin de
prévoir son état final, dans certains cas seulement l’approche probabiliste est possible.
D’ailleurs, plusieurs problèmes non résolus montrent l’intérêt d’explorer ces structures
fractales dans d’autres systèmes dynamiques, afin de clarifier leurs conséquences physiques.

270 Jacobo Aguirre et Miguel A. F. Sanjuán
Remerciements
Ce travail de recherches a bénéficié de l’aide de nombreuses discussions intéressantes et
fructueuses avec des nombreux scientifiques. Nous souhaitons citer James A. Yorke, Judy
Kennedy, George Contopoulos, Eric Kostelich, Elbert E. Macau, Takehiko Horita, Kazuyuki
Aihara, Celso Grebogi, Juergen Kurths, Oleksandr Popovych, Tamas Tél, Ricardo
Viana, Ibere Caldas, Rainer Klages, Fred Feudel, Kunihiko Kaneko, Misha Zaks, Suso
Kraut et Mathias Brack. Nous sommes très reconnaissants pour l’aide financière fournie
par le Ministère de la Science et de la Technologie de l’Espagne sous le projet BFM2000-
0967, et de l’Université Rey Juan Carlos sous les projets URJC-PGRAL-2001/02 et URJC-
PIGE-02-04.
Références
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encontre du non-linéaire 2003 271
Croissance lente d’une fissure par activation thermique.
S. Santucci, L. Vanel et S. Ciliberto
Laboratoire de physique, CNRS UMR 5672, Ecole Normale SupérieuredeLyon
46 allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, France
Loic.Vanel@ens-lyon.fr
Résumé
Nous décrivons la croissance lente d’une fissure par rupture fragile comme un
processus d’activation thermique où les fluctuations de contraintes permettent de
franchir le seuil de rupture par sauts irréversibles. Des prédictions analytiques en
géométrie plane sont obtenues et comparées avec des résultats numériques pour un
réseau 2d équivalent de ressorts. Un bon accord statistique est obtenu pour la courbe
de croissance et le temps de rupture final. La dépendance spécifique de la barrière
d’énergie avec le facteur d’intensité des contraintes apparaît comme une conséquence
de l’irréversibilité. De plus, le modèle fait apparaître une longueur caractéristique dont
la pertinence physique peut être testée expérimentalement.
1 Introduction
Bien que la rupture de liaisons atomiques nécessite des contraintes comparables au
module d’Young, la rupture des matériaux solides fragiles se produit habituellement en
appliquant des contraintes beaucoup plus faibles (environ trois ordres de grandeurs de
moins). Le travail pionnier de Griffith [1] a clarifié l’origine de cet apparent affaiblissement
en postulant la pré-existence de fissures dans les matériaux qui favorisent la rupture par
un effet de concentration des contraintes à la pointe. Un effet voisin tout à fait frappant est
la rupture d’un solide soumis à une contrainte inférieure au seuil de rupture expérimental,
compte tenu de la concentration des contraintes due àlaprésence de défauts. Ce comportement
physique, parfois nommé rupture sous-critique, provoque un retard au moment de
la rupture macroscopique finale, très sensible à l’amplitude de la contrainte appliquée.
Un mécanisme physique possible de l’endommagement sous-critique est l’activation
thermique, expérimentalement mis en évidence par Brenner ou Zhurkov [2, 3]. Zhurkov
décrit une cinétique de la résistance des matériaux où le temps de rupture suit une loi
d’Ahhrenius avec une barrière d’énergie décroissant avec la contrainte [3]. Pourtant, l’affirmation
que les fluctuations de température sont suffisantes pour nucléer des micro-fissures
et provoquer leur croissance est encore très débattue. Des travaux récents [4, 5, 6] ont
mis en évidence le rôle du désordre qui réduit de manière effective la barrière d’énergie.
D’autres auteurs [7, 8] ont montré comment la physique statistique permet de décrire
l’apparition de fissures par fluctuations thermiques dans un milieu homogène qui devient
métastable sous contrainte. Un ingrédient fondamental qui n’est pas suffisamment pris en
compte est l’irréversibilité de la rupture, qui conduit à une dynamique hors-équilibre.
Les fluctuations de température sont en général trop faibles pour permettre de franchir
une barrière estimée comme le coût en énergie libre pour atteindre la longueur de
fissure critique de Griffith. Mais, cette barrière d’énergie est certainement beaucoup plus
faible si les fluctuations thermiques doivent simplement permettre la rupture irréversible
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

272 S. Santucci, L. Vanel, S. Ciliberto
de liaisons atomiques les unes après les autres. L’irréversibilité aété prise en compte par
Golubovic et al [9], avec l’introduction d’une ouverture minimum au-delà de laquelle la
fissure ne peut pas se refermer. Cependant, Golubovic décrit un comportement complexe
de croissance par sauts mettant en jeu plusieurs liaisons à la fois, et trouve finalement
que le temps de rupture est déterminé par une longueur critique semblable àlaprédiction
de Griffith, mais plus petite et conduisant à un exposant différent de la loi de puissance
en contrainte pour la barrière d’énergie. Dans cet article, nous présentons une approche
différente basée sur le choix ab initio d’une distribution de fluctuations de contraintes liée
aux fluctuations thermiques. Nous considérons une situation de croissance irréversible avec
l’existence d’une fissure initiale dans une plaque. Pour clarifier notre approche, nous calculons
la barrière d’énergie correspondant ànotregéométrie à partir du concept énergétique
de Griffith. La résolution analytique du modèle permet d’obtenir la courbe de croissance
d’une fissure que nous comparons aux résultats d’une simulation numérique d’un milieu
élastique bidimensionnel en déformation anti-plane.
2 Barrière d’énergie à partir du potentiel de Griffith
Griffith prédit une taille limite de fissure, au delà de laquelle la rupture est rapide
et irréversible. Elle s’obtient àpartirdel’énergie potentielle, somme de l’énergie élastique
emmagasinée et de l’énergie de surface γ nécessaire pour ouvrir la fissure, en fonction d’un
paramètre d’ordre, la longueur de la fissure l. Pour une plaque soumise à une contrainte
σ dans la direction perpendiculaire àlafissure,l’énergie potentielle par unité d’épaisseur
de la feuille est :
U = − πl2 σ 2
4Y +2γl + U 0 (1)
où Y est le module d’Young et U 0 l’énergie élastique en l’absence de fissure. Cette énergie
est maximale pour une longueur de fissure critique l c au delà de laquelle le seul état stable
estlesolideséparé en deux. Cette modélisation montre qu’un solide sous contrainte, sans
fente, est clairement dans un état métastable dont le temps de vie dépend du temps de
nucléation d’une fissure de taille critique.
De nombreux auteurs[8, 9, 10], s’inspirant essentiellement de l’approche énergétique
de Griffith, ont montré que le temps de vie suit une loi d’Arrhénius avec une barrière
d’énergie ∆U se comportant en σ −2 et σ −4 pour une géométrie 2 et 3d respectivement.
Dans le même esprit, si l’on part d’une fente initiale stable de longueur l i , la barrière
d’énergie devient :
∆U = U(l c ) − U(l i )=γl i
(
Ki
K c
− K c
K i
) 2
= γl i f (K i ,K c ) (2)
où K i = σ √ π
2 l i et K c = σ √ π
2 l c sont les facteurs d’intensité de contrainte initial et
critique. On remarque que cette barrière d’énergie est une fonction linéaire de la longueur
de fente initiale multipliée par une fonction ne dépendant que des facteurs d’intensité de
contrainte. Ce choix pour la barrière d’énergie suppose implicitement que la fissure peut
explorer des états réversibles de longueurs de fente compris entre l i et l c , et n’est donc
pas correct si la fissure croît de manière irréversible.

Croissance lente d’une fissure 273
3 Barrière d’énergie dans le cas irréversible
Nous considérons que les fluctuations thermiques provoquent des fluctuations de
contraintes dans le matériau. A température T fixée, la distribution des fluctuations de
contraintes σ f , dans un solide homogène de volume V soumis à une charge uniaxial σ,
peut être aisément obtenue àpartirdeconsidérations simples de physique statistique[11] :
[
]
1
p(σ f ) ≃ √ exp − (σ f − σ) 2
2π〈∆σ〉 2 2〈∆σ〉 2 (3)
où 〈∆σ〉 2 = kTY/V et k la constante de Boltzmann. En présence d’une fissure, la concentration
des contraintes augmente la probabilitédecasserà la pointe de la fissure. Nous supposons,
malgré latrès forte divergence de la contrainte à la pointe, que la distribution des
contraintes reste de la forme éq. (3). Nous introduisons le facteur d’intensité de contrainte
K ≈ σ √ l, qui mesure l’amplitude de la divergence des contraintes à proximité dela
pointe de la fissure de longueur l, pour un chargement σ. Le seuil de rupture àlapointe
de la fente est donné par une valeur critique du facteur d’intensité de contrainte K c .La
probabilité cumulée d’obtenir une intensité de contrainte plus large qu’une valeur donnée
η s’écrit : P (η) = ∫ ∞
η
p (x) dx. Supposant le processus d’endommagement irréversible, la
vitesse caractéristique de la fissure devrait être proportionnelle à la probabilité d’obtenir
des fluctuations d’intensité de contrainte plus larges que η = K c :
√ [
]
dl
EkT
dt = V 1
0P (η = K c ) ≃ V 0
2π K c − K exp − (K c − K) 2
2EkT
où E est une constante dimensionnelle proportionnelle au module d’Young. La dernière
expression de l’éq. (4) est obtenue en prenant kT ≪ η 2 /2E. Nous avons aussi introduit une
vitesse caractéristique V 0 qui représente la vitesse de la fissure lorsque la condition d’avancement
est réalisée à tout instant (P = 1). Cette quantité correspond au rapport d’une
échelle de longueur microscopique (distance inter-atomique) et d’un temps caractéristique
(inverse d’une fréquence de vibration). Comme le facteur d’intensité de contrainte est fonction
de la longueur de fente l, l’éq. (4) représente une équation différentielle d’évolution de
la fissure. Cette dépendance non-linéaire de K avec l oblige de nouvelles approximations
pour résoudre cette équation. Dans un premier temps, nous introduisons une longueur de
fissure réduite φ ≡ (l − l i )/(l c − l i ) pour mesurer l’évolution de la fente lorsqu’elle croît
depuis sa longueur initiale (φ = 0) jusqu’a sa valeur critique (φ = 1). Le facteur d’intensité
de contrainte s’écrit alors :
K ≈ σ √ l = σ √ l i +(l c − l i )φ ≃ K i
[
1+ 1 2
( ) ]
lc
− 1 φ
l i
Cette dernière approximation est raisonnable puisqu’elle n’entraîne qu’une erreur de 2%
sur K tant que φ

274 S. Santucci, L. Vanel, S. Ciliberto
et φ c correspond à une longueur caractéristique de croissance λ:
φ c =
λ
l c − l i
=
l i
2EkT
(8)
K i (K c − K i ) l c − l i
On remarque que la vitesse de la fissure : dl
dt = λ
(τ−t), diverge à l’approche du temps de
vie τ, mais on s’attend à une transition vers un régime de propagation rapide apparaît où
le processus d’endommagement n’est plus due à l’activation thermique. Le temps de vie
τ (éq. (7)) obéit à une loi d’Arrhénius avec une barrière d’énergie fonction des facteurs
d’intensité de contrainte critique et initial comme pour l’éq. (2), mais ne dépend plus de la
longueur de fente initiale. Marder [12] obtient un résultat voisin pour la barrière d’énergie.
4 Résolution numérique pour un réseau2dderessorts
Pour vérifier les prédictions analytiques précédentes, nous examinons un modèle
simple de déformation anti-plane constitué d’unréseau carré de ressorts dont les noeuds
peuvent se déplacer uniquement selon un axe perpendiculaire au plan des ressorts. La
force de rappel des ressorts est proportionnelle àlavariationdudéplacement selon cet
axe. Sur deux bords opposés du réseau, nous appliquons un effort tranchant constant
(parallèle à l’axe de déplacement des ressorts) et de direction opposée sur chaque bord.
A partir d’une configuration d’équilibre, nous ajoutons, en parallèle, sur chaque ressort
une force de distribution statistique normale; nous obtenons un nouvel état d’équilibre
statique qui donne les fluctuations de forces sur chaque ressort. Ainsi, les fluctuations
de force sont couplées de façon quasi-statique avec un thermostat. En choisissant l’unité
comme valeur de la constante élastique des ressorts, le coefficient de température kT a
exactement la même valeur que la variance des fluctuations de force. Lorsque la force
sur un ressort dépasse une valeur seuil de rupture f c , le ressort est coupé. Le processus
d’endommagement est irréversible car un ressort cassé n’est jamais réparé. Une fissure
parallèle aux bords contraints est obtenue en cassant une série de ressorts. La taille du
réseau carré (100 × 100 ressorts) est choisie pour réduire les effets de taille finie et obtenir
une dépendance correcte du facteur d’intensité decontrainteaveclacontrainteappliquée
et la longueur de la fissure. L’échelle de temps correspond à une réalisation du bruit dans
tout le réseau et l’échelle de longueur est la distance entre deux noeuds du réseau.
Dans un premier temps, nous examinons la dynamique complète de croissance de la
fissure. La dispersion sur les courbes de croissance obtenues pour différentes simulations
avec température et longueur de fente initiale identique est très importante. Aussi, nous
déterminons le temps moyen pour que la fente atteigne une certaine longueur. L’examen
de la dynamique complete nous permet d’étudier la longueur de croissance caractéristique
λ qui apparaît dans notre modèle. La fig.1 représentant le temps en fonction de la longueur
de fente montre un comportement exponentiel en bon accord avec la prédiction de l’éq.(6)
et permet de mesurer la longueur caractéristique λ. Nous représentons dans l’insert de la
fig. 1, le coefficient λ/α où α =2El i /[K i (K c − K i )] en fonction de la température kT.
La dépendance linéaire de la longueur caractéristique λ avec la température kT comme
prédit par l’éq. (8) apparaît clairement pour une gamme de longueurs de fente initiale et
de contraintes appliquées. La remise àl’échelle des données pour différentes longueurs de
fente initiale est une conséquence de la dépendance linéaire de λ avec l i . La dispersion des
résultats àtempérature et longueur de fente initiale fixées, apparaît systématiquement au
dessus de la prédiction de notre modèle (voir insert fig. 1). Les approximations réalisées

Croissance lente d’une fissure 275
sous-estiment effectivement la vitesse de la fissure, provoquant de même une augmentation
de la dispersion des données lorsque la longueur critique l c grandit. Ensuite, nous pouvons
1
0.8
t/τ
0.6
0.4
λ/α
0.03
0.02
0.01
0.2
0
0 0.01 0.02 0.03
kT
0
0 2 4 6 8 10 12
(l - l i
)/λ
Fig. 1: Temps adimensionné en fonction de la longueur de fissure adimensionnée
pour différentes valeurs de l i et kT: (◦) l i = 6,kT = 2.210 −2 ;(♦) l i = 10,kT =
4.410 −3 ;(▽) l i = 10,kT = 6.610 −3 ;(□) l i = 10,kT = 1.410 −2 ; (□) l i = 16,kT =
1.410 −2 ;(∗) l i =20,kT=10 −2 . L’unique paramètre ajustable est λ. La ligne pleine correspond
àéq. (6). En insert, dépendance linéaire de λ/α avec kT pour différentes valeurs de
l i et σ :(◦) l i =6;(♦)l i =10;(□)l i =16;(∗)l i =20. La ligne pleine indique la prédiction
théorique (pente =1).
examiner l’autre paramètre important de notre modèle, le temps de vie τ. La distribution
des temps de rupture obtenues dans les simulations est une exponentielle décroissante avec
une largeur importante √ 〈∆τ 2 〉/τ ≈ 0.5. La figure 2 représente les temps de vie moyennés
sur un ensemble de 10 à 50 simulations pour des échantillons de longueurs de fente initiale
et de températures différentes. L’insert de la fig. 2 montre le logarithme de τ en fonction
de la barrière d’énergie éq. (2) divisée par la température kT. Pour une longueur de fente
initiale donnée, la remise àl’échelle en fonction de la température est correcte. Cependant,
ce modèle ne fonctionne plus lorsque la longueur de fente initiale varie. La fig. 2 montre
le logarithme de τ τ 0
en fonction de la barrière d’énergie donnée par l’éq. (7), divisée par
la température kT. Laprédiction de ce modèle apparaît excellente quelles que soient
la longueur de fente initiale et la température. En partant du potentiel de Griffitn, on
peut montrer que l’irréversibilité du processus de rupture conduit naturellement à une
dépendance de la barrière d’énergie uniquement en fonction du facteur d’intensité des
contraintes [13].
5 Conclusion
Nous avons montréqu’à partir d’une distribution normale des fluctuations de contrainte,
on peut décrire la croissance lente et irréversible d’une fissure par activation thermique
et prédire le temps de vie en fonction de la charge appliquée et la longueur de fissure
initiale. Les travaux antérieurs qui prédisent une barrière d’énergie à la Griffith[8, 9, 10]
ne réussissent pas à prendre en compte l’irréversibilité du processus de rupture, et donc

=6; kT = 1.1 10 -2
=10; kT = 3.3 10 -3
=10; kT = 5.5 10 -3
=10; kT = 1.1 10 -2
276 S. Santucci, L. Vanel, S. Ciliberto
10 4 ( K
c
- K
i
) 2 / 2 E k T
l
i
10 3
l
i
i
l
i
l
i
l
10 2
τ/τ 0
10 1
10 5
10 0
0 1000
∆ U /kT
2000
τ
10 0
10 -1
0 2 4 6 8 10
Fig. 2: Logarithme du temps de vie en fonction de la barrière d’énergie prédite par éq. (7).
La mise àl’échelle est correcte pour une gamme de température et de longueur de fissure
initiale. La ligne pleine, pente 1, estlaprédiction de l’éq. (7). En insert, logarithme du
temps de vie en fonction de la barrière d’énergie éq. (2). La mise àl’échelle des données
pour différentes longueurs de fissure initiale est mauvaise. Les droites sont un guide pour
les yeux.
ne décrivent pas nos résultats numériques. L’enjeu reste donc d’inclure de l’irréversibilité
dans un problème de minimisation d’énergie potentielle totale. Il reste àvérifier que la
divergence des contraintes à la pointe de la fissure reste compatible avec notre choix de
distribution des contraintes. Enfin, nous pouvons mettre àl’épreuve expérimentalement
la pertinence physique du modèle, notamment la dépendance de l’échelle de longueur caractéristique
λ et du temps de vie τ en fonction de la longueur de fissure initiale.
Références
[1] A.A. Griffith, Phil. Trans. Roy. Soc. London A 221, 163, (1920).
[2] S. S. Brenner S. S., J. Appl. Phys., 33, 33, (1962).
[3] S. N. Zhurkov S. N., Int. J. Fract. Mech., 1, 311, (1965).
[4] S. Roux S., Phys. Rev. E, 62, 6164, (2000).
[5] P.F. Arndt et T. Nattermann, Phys. Rev. B, 63, 134204-1, (2001).
[6] S. Ciliberto, A. Guarino et R. Scorretti, Physica D, 158, 83, (2001).
[7] R. L. Blumberg Selinger, Z.-G. Wang et W. Gelbart, Phys. Rev. A, 43, 4396, (1991).
[8] A. Buchel A. et J. P. Sethna, Phys. Rev. Lett.,77, 1520, (1996).
[9] L. Golubovic et S. Feng, Phys. Rev. A, 430, 5233, (1991).
[10] Y. Pomeau, C.R. Acad. Sci. Paris II,314, 553, (1992);C.R. Mécanique,330, 1, (2002).
[11] B. Diu et al, Physique Statistique, Herrmann, Paris, 1989.
[12] M. Marder, Phys. Rev. E, 54, 3442, (1996).
[13] S. Santucci et al, àparaître dans Europhysics Letters (2003).

encontre du non-linéaire 2003 277
Évolution des fonctions densité de probabilité des incréments de vitesse
en turbulence homogène et inhomogène
C. Simand Vernin, F. Chillà etJ.-F.Pinton
LaboratoiredePhysiquedel’ENSLyon
46, allée d’Italie, 69364 Lyon cedex 07
csimand@ens-lyon.fr
Résumé
Nous cherchons àdécrire l’évolution de la forme des distributions des incréments
de vitesse le long des échelles à partir d’une équation différentielle du second ordre,
que nous traiterons soit dans le cadre d’un formalisme de Fokker-Planck, soit dans
le cadre du modèle log-normal de la cascade turbulente. La résolution numérique de
cette équation permet de reconstruire les distributions des incréments de vitesse. La
comparaison avec les distributions calculées directement à partir du signal montre que
l’intermittence des signaux est sous-estimée par le modèle de l’équation de Fokker-
Planck, tandis que le modèle log-normal parvient à reconstruire à la fois le centre et
les ailes des distributions.
1 Introduction
Le but ici est de décrire l’intermittence de la cascade turbulente, c’est-à-dire la
déformation continue des fonctions densité de probabilité P r (v r ) des incréments de vitesse
longitudinaux v r = u(x + r) − u(x) enfonctiondel’échelle r, d’une quasi-gaussienne
à grande échelle à une forme aux ailes plus étirées à petites échelles. Nous voulons décrire
l’évolution des distributions dans leur ensemble. Les premiers moments, qui décrivent bien
le centre des distributions, ne suffisent donc pas. Dans la lignée des travaux de J. Peinke,
R. Friedrich [1], P. Marcq et A. Naert [2], nous écrivons donc directement une équation
d’évolution d’échelle en échelle pour les distributions P r (v r ) elles-mêmes, sous la forme
d’une équation différentielle aux dérivées partielles :
−r ∂P r(v r )
∂r
( )
∂ ˜D1 (r, v r )P r (v r )
= −
∂v r
+
( )
∂ 2 ˜D2 (r, v r )P r (v r )
L’évolution continue de la statistique de la variable incrément de vitesse v r le long des
échelles est donc décrite par une équation déterministe contrôlée par les fonctions ˜D 1 (r, v r )
et ˜D 2 (r, v r ). ˜D 1 est lié à l’advection de la variable v r le long des échelles, et traduit donc le
comportement des évènements majoritaires soit la partie centrale des distributions. ˜D 2 (r)
est lié àladiffusion,à l’intermittence et donc aux ailes des distributions. En partant d’une
distribution initiale et en intégrant numériquement pas à pas l’équation (1), nous pouvons
reconstruire les distributions P r (v r ) [3]. La fonction densité de probabilité P r−δr (v) à
l’échelle r − δr connaissant la fonction densité de probabilité P r (v) àl’échelle r s’obtient
par :
P r−δr (v) = P r (v) − δr
r
( )
∂ ˜D1 P r (v)
∂v
+ δr
r
∂v 2 r
( )
∂ 2 ˜D2 P r (v)
(1)
∂v 2 (2)
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

278 C. Simand Vernin, F. Chillà, J.-F. Pinton
La comparaison avec les distributions calculées directement permet de tester cette
approche pour la turbulence. Nous considèrerons successivement le cas où l’équation (1)
est vue comme une équation de Fokker-Planck et les coefficients ˜D 1 et ˜D 2 calculés à partir
de l’équation de Langevin associée, et le cas où cette équation est déduite du modèle
log-normal de l’intermittence, et les coefficients calculés à partir des cumulants.
Ceci est mis en œuvre sur des signaux de vitesse expérimentaux issus : d’une part
d’un jet turbulent qui sert ici de référence, comme typique de la turbulence homogène
et isotrope ; d’autre part d’un écoulement fermé entre deux disques coaxiaux corotatifs,
qui, lorsque les deux disques tournent àlamême vitesse, permet de former un tourbillon
axial à grande échelle, stable temporellement [4]. L’écoulement est dit en rotation globale
(RG). Les propriétés de la turbulence sont quantitativement différentes de celle de la
turbulence homogène et isotrope sur toute la gamme d’échelles de la cascade d’énergie :
la rotation globale freine le transfert d’énergie des grandes vers les petites échelles, voire
même l’inverse localement, ce qui pourrait expliquer la grande stabilité du vortex central,
assez surprenante dans un écoulement à si haut Reynolds [5].
2 Estimation des coefficients dans un formalisme d’équation
de Fokker-Planck
Dans ce cadre, l’estimation des coefficients ˜D 1 (v r ,r)et ˜D 2 (v r ,r) se fait via l’équation
de Langevin associée. La cascade turbulente est vue comme une marche aléatoiredela
variable incrément de vitesse v r le long des échelles r de la turbulence, marche constituée
d’un mouvement global d’advection en direction des petites échelles, auquel s’ajoute une
diffusion. L’équation de Langevin discrète s’écrit [2] :
− ∆v r
δr = D 1(v r ,r)δr + √ 2D 2 (v r ,r)δrf(r) (3)
La force aléatoire f(r) doit vérifier = 0et= 1 pour toutes les échelles
r. Les coefficients D 1 et D 2 sont définis de la façon suivante :
D 1 (v r ,r) = − < ∆v r
δr | v r > (4)
D 2 (v r ,r) = δr
2 < (∆v r
δr + D 1(v r ,r)) 2 | v r > (5)
et sont calculables directement à partir d’un signal expérimental. L’équation 3 peut être
non-linéaire, et la forme du bruit f(r) est inconnue apriori.
Dans le cas où lebruitf(r) estδ-corrélé et gaussien, l’équation d’évolution des distributions
P r (v r ) de la variable v r est alors une équation de Fokker-Planck de la forme (1)
où ˜D 1 (r, v r )=rD 1 (v r ,r)et ˜D 2 (r, v r )=rD 2 (v r ,r).
Pour le jet turbulent, nous obtenons les fonctions ˜D 1 (r, v r )et ˜D 2 (r, v r ) représentées
figure 1. Précisons les valeurs de certaines grandeurs caractéristiques de la turbulence de
ce jet : l’échelle de Kolmogorov vaut η = 110 µm, l’échelle de Taylor λ =4,8mm≃ 44 η,
l’échelle intégrale L int =11cm≃ 1000 η et le nombre de Reynolds basé surλ vaut
R λ ≃ 500.
Nous pouvons constater que les fonctions ˜D 1 (v r ,r) sont approximativement des droites
de pente négative qui passent par l’origine, et les fonctions ˜D 2 (v r ,r) approximativement

Évolution des PDFs des incréments de vitesse en turbulence 279
1
Jet
0.1
Jet
0.8
0.09
0.6
0.08
0.4
0.07
0.2
0.06
D 1
~
0
D 2
~
0.05
−0.2
0.04
−0.4
0.03
−0.6
0.02
−0.8
0.01
−1
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
−3 −2 −1 0 1 2 3
v r
v r
Fig. 1: Jet - Fonctions ˜D 1 (v r ,r) et ˜D2 (v r ,r) aux échelles r =0, 03; 0, 20; 0, 39; 0, 59;
0, 78; 0, 98; 1, 17; 1, 43; 1, 82; 2, 21; 2, 60; 3, 77; 4, 95; 6, 25; 8, 07; 10, 02; 14, 31; 18, 22;
28, 11; et55, 31 mm - Les flèches indiquent le sens des échelles r croissantes
des paraboles dont l’ordonnée à l’origine croît avec r. C’est pourquoi nous ajustons ces
courbes par les polynômes en v r suivants :
˜D 1 (v r ,r) = d 10 (r) − γ(r)v r (6)
˜D 2 (v r ,r) = α(r)+d 21 (r)v r + β(r)vr 2 (7)
Dans le cas particulier où ˜D 1 s’écrit ˜D 1 (v r ,r)=−γ(r)v r et ˜D 2 s’écrit
˜D 2 (v r ,r)=β(r)v 2 r, on retrouve le modèle de Kolmogorov et Obukhov 1962 (KO62) pour
une turbulence homogène et isotrope, avec, si µ est le coefficient d’intermittence, β = µ/18
et γ =1/3+µ/18. Ceci permet d’obtenir un ordre de grandeur pour ces coefficients : avec
µ = 0,25, γ ≈ 0, 36 et β ≈ 0, 014.
γ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Jet
β
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Jet
x 10−3
5
0.1
−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5
Log10(r)
0
−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5
Log10(r)
Fig. 2: Jet - γ(r) et β(r) - Deux traits pointillés verticaux repèrent la position des échelles
λ et L int
L’évolution en fonction de l’échelle r des coefficients γ(r) etβ(r) pour le jet est
présentée figure 2. γ(r) vaut1pourleséchelles les plus petites puis ce coefficient diminue
rapidement, et sa valeur moyenne pour les échelles comprises entre λ et L int vaut

280 C. Simand Vernin, F. Chillà, J.-F. Pinton
= 0, 35, donc une valeur proche de celle attendue prédite par KO62 avec µ = 0,25.
d 10 vaut -0,0016 m/s sur l’intervalle [λ, L int ], donc négligeable devant le terme en γ(r)v r .
α(r) est un coefficient non nul, linéaire en r, qui peut donc s’écrire α(r) =α 0 r avec
α 0 ≃ 1,6 m.s −2 . d 21 (r) etβ(r) sontdumême ordre de grandeur, 3 ordres de grandeur plus
petits que α. β(r) vaut entre 2.10 −3 et 3.10 −3 dans la zone inertielle, ce qui est environ 5
fois plus petit que la valeur prédite par KO62 qui est de 1,4.10 −2 .
L’ensemble de notre étude pour les deux écoulements montre que pour l’essentiel
˜D 1 ≃−γ(r)v r et ˜D 2 (r) ≃ α(r)+β(r)v 2 r. γ(r) semblebienestimé, mais β(r) a des valeurs
trop petites pour décrire correctement l’intermittence. Cela pourrait être dû aufaitque
si le bruit f(r) del’équation de Langevin (3) n’est pas δ-corrélé et gaussien, l’estimation
de D 2 par l’équation (5) et le passage à une équation de Fokker-Planck du type (1) sont
discutables.
3 Reconstruction des fonctions densité de probabilité
3.1 Modèledel’équation de Fokker-Planck
Rappelons que nous recalculons les fonctions densité de probabilité P r (v) en intégrant
numériquement l’équation aux dérivées partielles (1). L’équation (2) s’écrit dans ce cadre :
P r−δr (v) = P r (v) − δr
r
+ δr
r
(
−γ(r)P r (v)+(d 10 (r) − γ(r)v) ∂P )
r(v)
∂v
(
2β(r)P r (v)+(2d 21 (r)+4β(r)v) ∂P r(v)
∂v
+ ( α(r)+d 21 (r)v + β(r)v 2) ∂ 2 )
P r (v)
∂v 2
(8)
En pratique, nous nous donnons une ”condition initiale” : la fonction densité deprobabilité
à une grande échelle, puis les distributions sont calculées de proche en proche en
descendant les échelles. Nous comparons ensuite les distributions calculées ainsi avec les
distributions obtenues directement à partir du signal expérimental.
Nous avons réalisé cette comparaison pour le jet, et pour l’écoulement RG à une
distance d = 2,5 cm de l’axe de rotation des disques, donc au cœur du tourbillon. Pour
cette position, la turbulence n’est pas homogène et isotrope, le spectre de puissance varie
comme k −2,15 et la fonction de structure d’ordre 3 a un signe positif dans le régime inertiel.
Le jet
Nous démarrons le calcul àl’échelle intégrale L int . A cette échelle, la fonction densité
de probabilité n’est pas une gaussienne, car le moment d’ordre 3 est non nul. Nous ajustons
donc la fonction expérimentale par une fonction de forme ad hoc de sorte que les trois
premiers moments soient très proches des valeurs expérimentales [6].
La comparaison entre distributions expérimentales et distributions recalculées par
l’équation (8) est représentée figure 3. Les distributions recalculées ont l’évolution qualitative
attendue, à savoir une largeur qui diminue avec r tandis que les ailes se raidissent et se
redressent. Mais l’accord quantitatif entre les deux courbes se détériore en descendant les
échelles, surtout sur les ailes des distributions. L’intermittence est donc assez mal décrite
parcemodèle, comme le laissaient prévoir les valeurs trop petites de β(r).

Évolution des PDFs des incréments de vitesse en turbulence 281
Jet
10 2 Jet
0.5
0.4
10 0
PDFs
0.3
PDFs
10 −2
0.2
0.1
10 −4
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
v r
10 −6
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
v r
Fig. 3: Jet - Fonctions densité de probabilité aux échelles L int =0, 11 m, r =0, 0488 m,
r =0, 0281 m, r =0, 0174 m, r =0, 010 m - Calculées directement àpartirdusignal
expérimental (◦), recalculées par Langevin (*), recalculées avec le modèle log-normal (-)
L’écoulement en rotation globale
Dans ce cas, la grande échelle choisie pour le départ du calcul est l’échelle de décorrélation
L. Undépart àl’échelle L int comme pour le jet est possible, mais la gamme d’échelle
parcourue est alors très réduite, et nous avons préféré examiner le processus de reconstruction
sur une gamme suffisamment large d’échelles pour plus de pertinence. La fonction
densité de probabilité àl’échelle L est pratiquement une gaussienne pour ce qui regarde
la partie centrale, mais les ailes sont déjà redressées. Nous ajustons donc la distribution
par une fonction sensiblement du même type que pour le jet.
1.8
10 3 v r
1.6
10 2
1.4
10 1
1.2
10 0
PDFs
1
0.8
PDFs
10 −1
10 −2
0.6
10 −3
0.4
10 −4
0.2
10 −5
0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
10 −6
−3 −2 −1 0 1 2 3
v r
Fig. 4: Écoulement RG - Fonctions densité de probabilité aux échelles L = 303 mm,
r = 205 mm, r =86mm, r =56mm, r =27mm - Expérimentales (◦), recalculées par
Langevin (*), recalculées avec le modèle log-normal (-)
Pour cet écoulement également (fig. 4), plus l’on descend dans les échelles, et plus les
distributions recalculées à l’aide des coefficients de Langevin s’écartent des distributions
tirées directement du signal, particulièrement sur les ailes.

282 C. Simand Vernin, F. Chillà, J.-F. Pinton
3.2 Modèle log-normal
Nous avons voulu tester également ces reconstructions en utilisant le modèle lognormal,
modèle de cascade multiplicative infiniment divisible à noyau du propagateur
gaussien. Dans ce cadre, on peut montrer que les distributions évoluent aussi en échelles
selon une équation du type (1), avec cette fois les coefficients ˜D 1 et ˜D 2 calculés de la façon
suivante :
( ∂C1
˜D 1 (v r ,r) = −
∂lnr + 1 ∂C 2
2 ∂lnr
(
˜D 2 (v r ,r) = − 1 ∂C 2
2 ∂lnr
)
v r (9)
)
v 2 r (10)
où C 1 et C 2 sont les deux premiers cumulants du propagateur calculés par
( < |vr | q )
>
ln
< |v L | q = qC 1 (r)+ q2
>
2 C 2(r)
Pour le jet (fig. 3), comme pour l’écoulement en rotation globale (fig. 4), il apparaît
nettement une meilleure superposition entre les distributions calculées de façon directe et
les distributions reconstruites à partir des coefficients du modèle log-normal, spécialement
sur les ailes, mais également au centre.
Une bonne description de l’évolution de la forme des distributions des incréments
en fonction de l’échelle r est donc obtenue par une équation d’advection-diffusion (1), à
condition d’utiliser les coefficients ˜D 1 et ˜D 2 dérivés du modèle log-normal. Le calcul des
coefficients dans une optique Fokker-Planck, à partir d’une équation de Langevin, ou à
partir de la limite des moments conditionnés tel que proposé dans [1], ne permet pas une
estimation correcte de l’intermittence.
Références
[1] C. Renner, J. Peinke, R. Friedrich, Experimental indications for Markov properties of
small-scale turbulence, J. Fluid Mech., 433, 383-409, (2001).
[2] P. Marcq, A. Naert, A Langevin equation for turbulent velocity increments, Phys.
Fluids, 13, 9, 2590-2601, (2001).
[3] C. Simand, Étude de la turbulence inhomogène au voisinage d’un vortex intense,Thèse
de doctorat, ENS Lyon, (2002).
[4] C. Simand, F. Chillà, J.-F. Pinton, Structure, Dynamics and Turbulence Features of
a Confined Vortex, dans Vortex Structure and Dynamics, Lecture Notes in Physics,
ed. par A. Maurel et P. Petitjeans, 291-298, (1999).
[5] C. Simand, F. Chillà, J.-F. Pinton, Inhomogeneous turbulence in the vicinity of a
large coherent vortex, Europhys. Lett., 49, 3, 336-342, (2000).
[6] B. Castaing, Y. Gagne, E.J. Hopfinger, Velocity probability density functions of high
Reynolds number turbulence, PhysicaD,46, 177-200, (1990).

encontre du non-linéaire 2003 283
Papier froissé. Approche unidimentionnelle.
E. Sultan et A. Boudaoud
Laboratoire de Physique Statistique
Ecole Normale Supérieure
24 rue Lhomond, 75005 Paris
eric.sultan@lps.ens.fr
Résumé
Lorsque l’on comprime fortement une feuille de papier, on observe la formation
d’un réseau de plis. Quelle est la distribution de la taille de ces plis ? Quelle est la
plus petite échelle possible? Le problème d’élasticité associé à ces questions naturelles
est très délicat. Afin de simplifier cette étude, nous adoptons une description unidimensionnelle
: on modélise une plaque élastique comme une succession de portions
rectangulaires (les plis, reliant deux portions adjacentes, sont alors parallèles entre
eux). A chaque configuration d’une telle plaque discrétisée, on attribue une énergie
élastique à laquelle on ajoute un champ extérieur représentant le confinement. Des
méthodes numériques de minimisation donnent les formes d’équilibre de la plaque,
que l’on étudie statistiquement.
1 Introduction
Le geste simple et courant qui consiste à froisser une feuille de papier entre ses mains
pour obtenir un objet rugueux de forme sphérique met en jeu des phénomènes physiques
variés. L’autopsie d’une “boulette de papier” révèle une structure complexe de plis permanents
qui traduisent la focalisation de l’énergie élastique. En théorie de l’élasticité,
une plaque mince possède deux modes de déformation: la flexion et la traction (cf. (1)).
Comme la traction est énergétiquement très couteuse, on peut, dans un premier temps,
ne considérer que des transformations de flexion pure ce qui revient à rechercher les surfaces
isométriques à un plan satisfaisant les conditions aux limites imposées. Or, M. Ben
Amar et Y. Pomeau [1] ont démontré, d’un point de vue mathématique, que, si l’on se
donne un chemin fermé quelconque dans l’espace, il n’existe pas nécessairement une surface
développable (isométrique à un plan) s’appuyant sur ce chemin. Par conséquent, pour
des conditions aux limites particulières, les déformations de flexion pure (i.e. sans traction)
des plaques sont impossibles; la traction ne doit alors être présente que sur des portions
très localisées de la plaque appelées singularités. De nombreux travaux ont été menés pour
comprendre quantitativement l’influence de ces singularités, linéiques ou ponctuelles, sur
l’énergie des plaques élastiques. Dans le cas où ellessontisolées, des lois d’échelles ont été
obtenues. En particulier, pour le pli rectiligne (raccordement entre deux portions planes
de la plaque), Lobovsky [3] a établi, par une analyse de couche limite, que l’essentiel de
l’énergie élastique E pli était confinée dans une région de largeur w et que l’on a
w ∼ h 1/3 L 2/3 φ −1/3 et E p ≃ 1, 8 κ ( )
L 1/3
h φ
7/3
où L désigne la longueur du pli, h l’épaisseur de la plaque et φ la tangente de l’angle
dihédral associé au pli (voir schéma dans la partie 2.). D’autre part, Boudaoud et al. [2] ont
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

284 E. Sultan, A. Boudaoud
étudié, expérimentalement et numériquement, les singularités qui apparaissent dans une
plaque élastique initialement courbée dans une direction et contrainte ponctuellement. Les
bifurcations successives observées sont bien comprises à l’aide d’arguments géométriques.
En ce qui concerne les situations à singularités multiples, en particulier le cas (extrême)
du papier froissé, peu de résultats généraux ont été dégagés. Lobkovsky et Witten [4] ont
examiné l’influence des interactions entre plis sur l’énergie élastique totale d’une feuille
froissée. Plouraboué et Roux [6] ont étudié, d’un point de vue plus statistique, les propriétés
d’auto-affinité et de rugosité de feuilles de papier dépliées après avoir étéfroissées. Avant de
décrire notre approche, nous rappelons rapidement les équations de Föppl-von Kàrmàn qui
décrivent les déformations des plaques minces, nous en discutons les limitations. Ensuite,
nous donnons les lois d’échelles obtenues pour les situations à pli unique.
Dans le cadre d’une description continue, l’étude des propriétés d’une feuille de papier
est naturellement associée àlathéorie des plaques élastiques (minces, puisque le rapport
d’aspect h/L d’une feuille de papier est de l’ordre de 10 −3 ). Les équations de cette théorie
sont obtenues en particularisant celles de l’élasticité tridimensionnelle à une situation où
une des dimensions (l’épaisseur h) esttrès petite devant les deux autres. Plus précisement,
on considère une plaque élastique carrée d’épaisseur h et de côté L, dont le module d’Young
et le coefficient de Poisson sont respectivement E et ν, telle que la surface médiane au
repos soit contenue dans le plan {z =0}. Pour tout (x, y) ∈ [0,L] 2 ,ondéfinit la flèche
ζ(x, y) comme le déplacement transverse du point de la plaque initialement en (x, y, 0).
Etant donné une configuration de la plaque (c-à-d son 2d-tenseur des déformations u αβ =
1
2 ( ∂uα
∂x β
+ ∂u β
∂x α
+ ∂ζ ∂ζ
∂x α ∂x β
) et la fonction ζ), le tenseur des contraintes σ αβ ,l’énergie élatisque
s’écrit comme la somme d’une énergie de traction (∝ h)etd’uneénergie de flexion (∝ h 3 )et
se présente formellement comme le début du développement en puissances de l’épaisseur :
E = h ∫∫
σ αβ u αβ dS + κ ∫∫
((∆ζ) 2 − 2(1 − ν)[ζ,ζ])dS (1)
2
2
où [ψ, φ] = 1 ∂ 2 ψ ∂ 2 φ
2
+ 1 ∂ 2 φ ∂ 2 ψ
∂x 2 ∂y 2 2
− ∂2 ψ ∂ 2 φ ∂2
∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x∂y
,∆= + ∂2 et κ = Eh3
∂x 2 ∂y 2 12(1−ν 2 ) .
Les équations de Föppl-Von Kàrmàn s’obtiennent en écrivant les équations d’Euler-
Lagrange qui assurent la stationnarité vis-à-vis des déplacements u x ,u y et ζ de la fonctionnelle
précédente. Leur forme classique s’obtient en introduisant le potentiel d’Airy χ
définit par σ αβ = ɛ αµ ɛ βγ ∂ µ ∂ γ χ :
κ∆ 2 ζ =2h[ζ,χ] et ∆ 2 χ = −E[ζ,ζ]. (2)
L’écriture compacte (2) est trompeuse quant à la simplicité, toute apparente, de
ces équations. Insistons bien sur le fait qu’il s’agit d’équations aux dérivées partielles
non-linéaires couplées, d’ordre élevé et dont la prescription des conditions aux limites
est un exercice délicat en soi (pour une résolution numérique de ces équations, voir P.
Patricio et W. Krauth [5]). Ces constatations indiquent àl’évidence que la description

Papier froissé. Approche unidimentionnelle. 285
des configurations très confinées des plaques élastiques par les équations générales de
l’élasticité n’està l’heure actuelle pas envisageable. C’est pourquoi, nous développons ici
une approche nouvelle permettant une description statistique d’un objet élastique mince
froissé à partir de la connaissance du réseau de plis (distribution de la taille des plis, des
angles dihédraux).
2 Approche unidimensionnelle
Même au prix d’approximations supplémentaires, la description théorique d’objets
élastiques minces très confinés à partir des équations générales des plaques ne peut être
mise en pratique. Ce constat étant fait, nous utilisons, en invoquant l’importante propriété
de focalisation de l’énergie, un modèle de polyèdre (une arrête correspondant à un pli) pour
représenter les configurations d’une feuille de papier. Nous faisons de plus l’hypothèse que
les contraintes ne dépasse pas la limite élastique (pas d’effets plastiques, irreversibles). En
se restreignant àdesdéformations uniformes dans une direction (largeur), la connaissance
de l’état du système est équivalente àladonnée des 2 coordonnées de chacun des points
d’une ligne brisée (contenue dans un plan). Enfin, on impose que toute l’énergie associée à
la traction soit entièrement contenue dans les plis, ce qui revient à imposer que la longueur
totale de la plaque soit constante.
2.1 Modélisation unidimensionnelle. Energie élastique.
La modélisation que nous proposons repose d’abord sur une hypothèse de simplification
: on considère une plaque constituée de (N − 1) portions rectangulaires de longueur
l 1 ,l 2 ,...,l N−1 (avec ∑ l i ≡ L), de largeur fixe L et reliées par (N − 2) plis (tous de
longueur L). Autrement dit, on ne discrétise la plaque que dans une direction; la description
des déformations de la plaque est donc équivalente à la connaissance des coordonnées
(x i ,y i )desN sommets d’une ligne brisée que l’on notera Λ :
De plus, la discrétisation est dynamique en ce sens que la distance entre deux plis successifs
est libre.
Maintenant que les degrés de libertédusystème ont étédéfinis, on définit une fonction
énergie E dont les différentes contributions sont : une énergie élastique E el associée au plis,
un champ de confinement V conf et un potentiel inter-plis V rep répulsif. Explicitement :
E = E el + V conf + V rep
( ) L 1/3 ∑
∫
= κ
| tan ϕ i | 7/3 + λ ⃗r 2 dl + K ∑ e −li/ξ .
h
i
Λ
i
L’énergie élastique correspond à une approximation de plis indépendants. Le champ extérieur
V conf est central, centré à l’origine des coordonnées; λ fixe l’intensité du confinement.

286 E. Sultan, A. Boudaoud
Le potentiel de répulsion V rep a pour rôle d’empêcher les plis de fusionner entre eux 1 ; ξ est
une longueur que l’on prendra toujours très petite devant la longueur moyenne L/(N − 1)
(l’ordre de grandeur typique sera celui d’une couche limite, soit ξ (L 2 h) 1/3 ). Afin que
cette énergie ait au plus le même ordre de grandeur que l’énergie élastique, la valeur de
la constante K est prise égale au préfacteur de E el : K = κ(L/h) 1/3 . Les configurations
physiquement satisfaisantes réaliseront (au moins localement) un minimum de E.
2.2 Minimisation numérique. Premiers résultats.
Nous minimisons l’énergie E = E el + V conf + V rep en utilisant l’algorithme de Powell
et un algorithme de gradient conjugué. Pour initialiser ces algorithmes, nous avons utilisé
des configurations circulaires ou de type “acordeon” (angle des plis uniforme mais de sens
alterné). L’algorithme de gradient conjugué est plus rapide mais est inefficace avec des
configurations initiales très éloignées d’un minimum local; nous avons donc utilisé alternativement
les deux techniques : Powell puis le gradient conjugué pour une convergence
plus précise. De plus, pour imposer la contrainte de longueur constante, nous avons utilisé,
àchaqueévalution de l’énergie et de son gradient, des coordonnées fictives pour lesquellesla
longueur totale prend la valeur souhaitée. Les calculs ont été effectués avec N = 50,
N = 100 et N = 200 en faisant varier l’intensité λ du confinement. La figure 1 est un
résultat typique des minimisations que nous avons réalisées.
0.1
0.075
❜
0.05
0.025
0
❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜
❜❜❜❜❜❜❜
❜❜❜
❜
❜❜❜❜❜❜❜❜❜
❜
❜
❜❜❜❜❜❜❜❜
❜
-0.025
-0.05
-0.075
❜❜❜❜❜❜❜ ❜ ❜ ❜❜❜❜❜❜❜❜
❜
❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜❜
-0.1
-0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1
Fig. 1: Configuration minimisant E obtenue pour N = 120, λ =1et ξ =2.10 −4 .
L’exposant obtenu pour le rayon de gyration (voir légende FIG. 2) de la feuille froissée
peut être estimé par un raisonnement simple. En effet, si l’on suppose une distance entre les
plis monodisperse, que la distribution des angles dihédraux est uniforme et que la distance
moyenne entre un segment et l’origine vaut R, on voit facilement que l’on a cos( π 2 − ϕ) =
1. sans ce terme supplémentaire, les minimisations aboutissent à la situation suivante: la quasi totalité
des sommets de Λ s’accumulent en (0, 0), seuls le premier et le dernier sommet restent àl’écart afin que
la contrainte ∑ l i ≡ L>0 soit satisfaite. Il faut noter, si on suppose qu’on a un certain angle (≠ 180 ◦ )
entre le premier et le dernier segment, que l’énergie d’une telle configuration ne correspond pas àl’énergie
d’un pli unique; ce cas de figure, totalement non physique, doit donc absolument être évité.

Papier froissé. Approche unidimentionnelle. 287
L
2R(N−1) et V conf ≃ λR 2 L. D’autre part, en admettant alors que l’angle dihédral ϕ est
L
petit, on obtient ϕ ≃
2R(N−1) ,d’oùl’évaluation suivante pour l’énergie élastique : E el ≃
Nκ( L h )1/3 ( L
2RN )7/3 (N ≫ 1). Ainsi, cette description élémentaire pour laquelle les plis sont
tous équidistants et situés àlamême distance R du centre attractif donne, en équilibrant
l’énergie élastique et l’énergie de confinement, la relation Nκ( L h )1/3 ( L
2RN )7/3 ≃ λR 2 L ou
encore, la loi d’échelle R ∼ λ −3/13 = λ −0.23 , ce qui est en bon accord avec la valeur
calculée. Notons que le comportement précédent n’est pas valable aux confinements très
L
forts puisque, pour ce modèle, on s’attend àcequeR tende vers
2(N−1) à la limite λ → +∞
(et non par vers 0).
1
R g
0.1
❜
❜
❜
❜
❜
❜
❜
❜
❜
❜
0.01
0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
confinement λ
Fig. 2: Rayon de gyration (défini comme R g = 1 ∑
N i x2 i + y2 i ) en fonction du confinement
(isotrope) λ, échelle log-log. La droite, obtenue par ajustement, correspond àuneloide
puissance R g ∼ λ −0.203 .
Nous interessons maintenant àlaprésence éventuelle de constraste de longueur au
niveau de la distance entre deux plis adjacents. Le cas particulier de la figure 3 va dans le
sens de l’absence d’un tel contraste. Notons toutefois que le choix de ξ est décisifetdépend
sensiblement de la valeur de N : la figure 1 exhibe, au contraire, une grande dispersion
pour les longueur entre les plis.
3 Conclusion
Pour décrire la structure d’une feuille papier froissé, en particulier celle de son réseau
de plis, sans faire appel au équations générales de l’élasticité, nous proposons une modélisation
pour laquelle les plis constituent les arrêtes d’un polyèdre. En étudiant le comportement
de ce système soumis à une contrainte de confinement, nous avons obtenu une
loi d’échelle pour l’évolution du rayon de gyration en fonction de l’intensité du confinement.
Nous pensons que notre approche simplifiée permettra de prendre en compte l’effet,
très important à nos yeux, des auto-intersections, c’est-à-dire de l’interaction entre par-

288 E. Sultan, A. Boudaoud
0.3
0.25
fraction des segments
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.019 0.0195 0.02 0.0205 0.021 0.0215 0.022 0.0225
distance entre 2 plis consecutifs
Fig. 3: Distribution de la distance inter-pli (en unité L) obtenue pour N =50, λ =1et
ξ =5.10 −3 .L’échantillon est quasi monodisperse
√
: si l’on note l = L/(N − 1) la distance
1
∑
moyenne (ici =0.0204), le rapport
N i (l2 i − l2 )/l (écart-type sur distance moyenne)
vaut 0.025.
ties éloignées de la feuille. Ainsi, nous pourrons comprendre certaines propriétés comme
l’existence d’une corrélation spatiale à longue portée dans les réseaux de plis.
Références
[1] M. Ben Amar, Y. Pomeau Crumpled paper. Proc. R. Soc. A 453 (1997) 729-755.
[2] A. Boudaoud, P. Patricio, Y. Couder, M. Ben Amar, Dynamics of singularities in a
constrained elastic plate. Nature 407 (2000) 718-720.
[3] A.E. Lobkovsky, Boundary layer analysis of the ridge singularity in a thin plate. Phys.
Rev. E 53 (1996), 3750-3759.
[4] A.E. Lobkovsky, T.A. Witten, Properties of ridges in elastic membranes. Phys. Rev.
E 55 (1997), 1577-1589.
[5] P. Patricio, W. Krauth, Numerical solutions for the von Kàrmàn equations for a thin
plate. Int. J. Mod Phys. C8 (1997), 427-434.
[6] F. Plouraboué, S. Roux, Experimental study of the roughness of crumpled surfaces.
Physica A 227 (1996) 173-182.
[7] Y. Kantor, D.R. Nelson, Crumpling transition in polymerized membranes. Phys. Rev.
Lett. 58 26 (1987) 2774-2777.
[8] B. DiDonna, Scaling of the buckling of ridges in thin sheets. cond-mat/0108312 v1
(2002).

encontre du non-linéaire 2003 289
Etude de la formation de structures spatio-temporelles dans un
oscillateur paramétrique optique àmiroirssphériques
M. Le Berre, E. Ressayre et A. Tallet
Laboratoire de Photophysique Moléculaire du CNRS, Bât 210, Université de
Paris-Sud, 91405 Orsay Cédex
Andree.Tallet@ppm.u-psud.fr
Résumé
La formation de structures transverses est étudiée dans un oscillateur paramétrique
triplement résonnant proche de la confocalité. L’analyse de stabilité linéaire est développée
sur une base de modes propres de la cavité vide. Elle permet de définir les conditions
sous lesquelles le profil du signal peut présenter de multiples anneaux lorsque la
pompe possède un profil gaussien, d’interpréter les structures numériques, leur nombre
d’anneaux, leur symétrie, et leur dépendence temporelle, et de comprendre l’extrême
sensibilité à d’infimes variations de la longueur de la cavité.
1 Introduction
De récentes expériences réalisées dans des oscillateurs paramétriques optiques (OPO)
àmiroirssphériques ont mis en évidence l’émission de signaux ayant des profils transverses
complexes lorsque le cristal est pompé par un champ de profil gaussien [1, 2, 3]. Lorsque la
cavité est sous-confocale, c’est-à dire lorsque sa longueur effective est inférieure au rayon
de courbure des miroirs, les profils des signaux présentent de multiples anneaux [1].
L’objet de cet article est de traiter à la fois analytiquement et numériquement le cas
d’un OPO triplement résonant, quasi-confocal, pompé par un champ de profil gaussien [4].
Le paragraphe II développe un traitement approché de l’analyse de stabilité linéaire des
solutions stationaires, valable à priori seulement pour un faisceau pompe de grandes largeur
transverse. Les structures numériques sont généralement la superposition de plusieurs
modes de la cavité etsontanalysées à l’aide des prédictions théoriques (cf. sect. III).
Les équations de l’OPO sont les équations réduites de Maxwell dans le cristal de
longueur l c pour les amplitudes α j , avec j= p,s,id respectivement pour la pompe, le signal
et l’idler,
∂ z α p =
i
▽ 2 α p + ie −i∆kz α s α id
2n p k p
(1)
∂ z α s =
i
▽ 2 α s + ie +i∆kz α p αid ∗ 2n s k s
(2)
∂ z α id =
i
▽ 2 α p + ie +i∆kz α p αs ∗ 2n id k id
(3)
plus les conditions aux limites pour un résonateur Fabry-Pérot, non écrites ici. Dans
les équations (1-3), ▽ 2 est le laplacien transverse, k j et n j sont le nombre d’onde longitudinal
et l’indice de réfraction dans le cristal associé au faisceau j et ∆k représente le
désaccord en nombre d’onde longitudinal, soit (k p n p − k s n s − k id n id ) . Dans la suite de
cette étude les trois indices de réfraction seront supposés égaux (n j = n c ) si bien que l’on
aura ∆k =0.
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

290 M. Le Berre, E. Ressayre et A. Tallet
2 Analyse de stabilité linéaire
L’analyse de stabilité linéaire des amplitudes stationnaires A j de la pompe, du signal
et de l’idler suppose d’ajouter à ces dernières une perturbation développée sur une base
de modes propres ψ lm de la cavité linéaire àmiroirssphériques, α j = A j + ∑ e λt δA lm
j ψ lm
et αj
∗ = A ∗ j + ∑ e λt δBj
lm ψ lm . Compte-tenu de la symétrie du problème, nous choisissons,
comme modes propres, les fonctions de Laguerre - Gauss lesquelles s’écrivent en
coordonnées polaires, ψ lm (r) =a lm e −r2 ( √ 2re iϕ ) m L m l
(2r 2 ). Après un aller-retour dans la
cavité, ψ lm acquiert une phase φ lm , dite phase de Gouy
φ lm =(2l + m +1)φ 00 (4)
où φ 00 est la phase de Gouy pour le mode fondamental (TEM 00 ), et est proportionelle
àl’écart en nombre d’onde entre deux modes transverses de même nombre radial l et de
nombre azimutal m adjacent [5]. Elle s’écrit
√
L eff
φ 00 = −4 arctan(
)=−(π − δ g ) (5)
2R − L eff
où R est le rayon de courbure des miroirs et L eff , la longueur effective L eff =
R−δL−l c (1−1/n c ). Dans le cas d’un cavité quasi-confocale, avec |δL + l c (1 − 1/n c |

Structures transverses dans un OPO àmiroirssphériques 291
Γ mm′
ll ′
= δ m,m ′ ∫
rdre −(r/w in) 2 ψ lm (r)ψ l
′ m ′(r) (8)
Dans le cas d’une pompe très large, w in >> 1, les intégrales de recouvrement entre
modes de nombre radial différent sont négligeables si bien que le sytème infini d’équations
(7), se réduit àdeuxéquations. Introduisant les conditions aux limites, l ′ equation caractéristique
est donnée par
( e λd − r s e iθs+iφ lm
−2ir 2
det
sA p (0)Γ mm )
ll
+2irsA 2 ∗ p(0)Γ mm
ll
e λd − r s e −iθ id−φ lm
=0 (9)
où r s et θ s,id sont respectivement le facteur de réflectivité etledésaccord en fréquence
du signal/idler, et d =2[L − l c (n c − 1)]/c est le temps de boucle.
Au seuil, la solution donnée par l’Eq. (9) est périodique avec Im(λd) =(θ s − θ id )et
l’amplitude du champ d’entrée à l’intérieur de la cavité s’écrit
α th
lm (θ s + θ id )=
1
2r 2 sΓ mm
ll
∣
∣1 − rpe 2 i(θp+φ 00)
{
∣
(1 − rs)+2r 2 s(1 2 − cos(φ lm + θ s + θ id
)
2
}
(10)
en introduisant l’Eq. (6). L’expression ci-dessus montre que la sélection du mode (l,m)
dépend non seulement de l’intégrale de recouvrement avec le champ incident Γ mm
ll
[7, 3],
mais aussi du facteur de phase φ lm + θs+θ id
2
. D ′ ailleurs comme l’intégrale de recouvrement
décroit lentement lorsque l augmente, Γ mm
ll
∝ l −1/2 (m/l 0), c’est
essentiellement la condition de résonance
φ lm + θ s + θ id
=2kπk =0, ±1, ±2.... (11)
2
qui détermine la structure spatiale. Si plusieurs modes satisfont la condition (11),
alors le mode choisi devrait être celui qui a le plus petit nombre radial. La condition (11)
est équivalente à celle dérivée dans le cas d’une cavité planepompée par une onde plane
κ 2 + θs+θ id
2
=0,où −→ κ est le vecteur d’onde transverse. Si pour une cavité plane, une
analyse non-linéaire est nécéssairepourprédire la sélection du vecteur d’onde, l’analyse
linéaire approchée ci-dessus pour une cavité sphérique prédit déjà le nombre d’anneaux et
la symétrie du signal/idler
Dans les traitements précédents [6, 7], il est implicitement supposé que les trois
champs sont en résonance avec le mode TEM 00 ; dans ces conditions, l’amplitude au
seuil n’est fonction que de l’intégrale de recouvrement, laquelle est évidemment maximale
lorsque le signal et l’idler sont des TEM 00 ! Lorsque nous supposons que les trois
champs sont en résonance avec le mode TEM 00 , i.e. θ p,s,id = −φ 00 , nous retrouvons le
résultat de Yariv et Louisell [6, 7].
Etudions maintenant un cas non trivial. Supposons l’idler en résonance avec le mode
TEM 00 , et le signal hors résonance, soit θ id = −φ 00 ,etθ s = 0. La bifurcation est périodique
avec une période T =4d. Avec l’équation (5), la condition de résonance (15) devient
δ (k)
g
π
=
1+2m +4k
1+2m +4l
Les domaines d’instabilité donnés par (10) sont tracés dans la figure 1 en fonction de
δ g (0.175 δ g 0.2) pour 0 l 40 et m =0, 1. Pour tout autre m pair (impair) les
(12)

292 M. Le Berre, E. Ressayre et A. Tallet
domaines se déduisent de ceux tracés avec m=0 (1) car tous les modes (l, m) satisfaisant
la condition m +2l = cte ont des frontières de stabilité dont les minima sont localisés
aux mêmes δ g
(k) . Des coïncidences arrivent aussi pour des modes ayant un nombre radial
très différent mais le même nombre azimutal.Avec δg π = 1
4p+1
, cela arrive pour les modes
(p+kπ/δ g , 0) et(3p+kπ/δ g , 1) avec k =0, 1, 2Ċeci est illustré dans la figure 1 pour δg π = 1
17
,où sont reportées les frontières de stabilité pour les modes (4,0), (21,0), (38,0) d’une part
et (12,1), (29,1) d’autre part.
La figure 1 montre aussi que le processus de sélection des modes est extrèmement sensible
àdetrès petites variations de la longueur de la cavité. Cette grande sensibilité, trouvée
pour une cavité triplement résonante a été déjà miseenévidence expérimentalement dans
un dispositif à un seul champ [10].
3 Simulations
Le traitement a négligé le couplage entre modes de nombre radial différent. Mais,
on doit s’attendre, même près du seuil, à ce que les structures numériques soient la superposition
de modes. Après n aller-retours dans la cavité, elles s’écrivent alors comme
∑
clm exp(iφ lm nd)ψ lm . Leur intensité dépend donc du temps sauf si tous les modes qui se
superposent, possèdent la même phase de Gouy (mod 2π). Dans ce cas le modes sont dits
’auto-vérouillés’ et l’intensité du profil est stationnaire[11]. Ce vérouillage est prédit pour
tous les modes satisfaisant l’equation (11) pour une configuration donnée(Ilfautbiensur
que le pompage soit suffisant pour déstabiliser les modes d’ordre élevé).
Les paramètres de l’optique choisis sont ceux donnés dans la réference [1]. Le rapport
R/l c est égal à 5 et les facteurs de réflectivité sont respectivement r p = .95 et r s = .993.
La largeur de la gaussienne d’entrée w in est deux fois celle du mode TEM 00 de la pompe.
Dans un premier temps nous avons vérifié lesprédictions théoriques lorsque les trois
champs sont résonants, soit θ p,s,id = −φ 00 : les amplitudes du signal et de l’idler sont bien
des modes TEM 00 , mais l’amplitude numérique au seuil est deux fois celle prédite par la
relation (10), quelque soit la longueur effective de la cavité autour de R. Des modes d’ordre
plus élevés satisfont la condition de résonance (12) mais leur seuil √ lα th
00 (−2φ 00)est trop
élevé.
Dans le cas θ p,,id = −φ 00 ,θ s =0, les prédictions données dans la sect. II sont bien
vérifiées. A la confocalité, le signal et l’idler sont des modes TEM 00 , mais dès que la
phase de Gouy s’écarte de π, d’une quantité de l’ordre de (1-r 2 s), des structures complexes
sont observées. La bifurcation est périodique avec la période prédite, T =4d. Les profils
du signal/idler présentent des anneaux, possédant la symétrie de révolution ou une
symétrie d’ordre plus élevée, O 2n . Les valeurs des nombres radial et azimuthal que l’on
peut déduire des résultats numériques sont telles qu’elles satisfont généralement la condition
de résonance (11) mais l’amplitude numérique au seuil est toujours plus élevée que la
valeur théorique α th
lm (−φ 00).
Le premier exemple donné dans la référence [4] avec n c =1etL/R = .91, ce qui
correspond à δ g = .18, où les frontières de stabilité des modes (39,0), (38,2), présente un
minimum comme le montre Fig. 1. Très près du seuil d’instabilité, de l’ordre de cinq fois
supérieur au seuil théorique, le profil numérique de l’intensité estpériodique, de fréquence
angulaire égale à2δ g , l’intensité moyenne sur une période présente un maximum central
entouré de 39 anneaux, avec quatre lobes disposés à angles droits mais d’intensité
légèrement différente. L’ensemble de ces résultats suggère que la structure est une su-

Structures transverses dans un OPO àmiroirssphériques 293
perposition des modes (39,0), (38,2) avec d’une part les modes (39,2) et (40,0) qui sont
instables autour de δ g = .176 et d’autre part les modes (38,0) et (37,2), instables autour
de δ g = .185. Considérons d’ailleurs ce qui passe à δ g = .185, où sont localisés les minima
0.01
Input amplitude (a.u)
(b)
.175 .18 .185
π−Φοο
Fig. 1: Courbes de stabilité marginale
des frontières pour les modes (4, 0), (21, 0), (38, 0), (12, 1), (29, 1), ..., plus tous ceux avec
2l + m = cte (Voir Fig1). Près du seuil, la structure posséde la symétrie de révolution avec
trois anneaux brillants, le maximum d’intensité étant localisé hors de l’axe sur le premier
anneau et son intensité est stationnaire, voir Fig. 2a. Elle peut s’interpréter comme un
auto-vérouillage des modes (4, 0) et (3, 2). Lorsque l’on augmente l’amplitude de la pompe,
la structure, toujours d’intensité stationaire, est composée de 38 anneaux et possède la
symétrie O 4 , comme illustré dans Fig. 2b. L’analyse du profil montre qu’il y a vérouillage
entre les modes (4, 0), (21, 0), (38, 0) plus ceux associés avec m=2. En résumé, les résultats
numériques ci-dessus ont montré la pertinence de la condition de résonance obtenue avec
le traitement simplifié à un seul mode de l’analyse linéaire.
Des simulations ont aussi étéréalisées avec n c ≠1. Dans ce cas les résultats numériques
ne peuvent pas s’expliquer toujours à l’aide de la condition (11). Pour 1.7 n c 1.9,
c ′ est-à-dire 0.16 δ g .19, le mode (4,0) est stable. Pour n c =1.95, une structure
composée de 12 anneaux apparait dont l’intensité estpériodique dans le temps avec la
fréquence angulaire δ g /d. L’intensité moyenne reportée Fig. 2c possède la symétrie O 2 . La
dépendence temporelle et la symétrie peuvent être reproduites par une superposition du
mode (12, 1), instable autour de δ g = .185 et du mode (12, 0), stable d’après Eq. (10).
Cette irrégularité par rapport à nos prédictions pourrait résulter d’un couplage entre la
diffraction et la nonlinéarité dans le cristal.
a) b) c)
Fig. 2: Aspects du champ lointain

294 M. Le Berre, E. Ressayre et A. Tallet
Références
[1] M. Vaupel, A. Maître, and C. Fabre,Phys.Rev. Lett., 83,5278 (1999),
[2] S. Ducci, N. Treps, A. Maître, and C. Fabre, Phys. Rev. A, 64,023803(2001),
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19, 395(2002),
[4] M. Le Berre, E. Ressayre, and A. Tallet, soumis pour publication,
[5] A.E. Siegman, Lasers (University Science, Mill Valley, Calif. 1986),
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[9] S. Schiller, K. Schneider, and J. Mlynek, J. Opt. Soc. Am. B, 16, 1512 (1999),
[10] J. Dinjian, M.P. van Exter, and J.P. Woerdman, Opt. Commun., 188,345 (2001),
[11] E. Louvergneaux, G. Slekys, D. Dangoisse, et P. Glorieux, Phys. Rev.
A,57,4899(1998).

encontre du non-linéaire 2003 295
Solutions analytiques et boucles de rétroaction de systèmes chaotiques
C. Letellier, et O. Vallée
CORIA UMR 6614, BP 12, F-76801 Saint-Etienne du Rouvray cedex
LASEP UPRES EA 3269, BP 4043, F-18028 Bourges cedex, France
Christophe.Letellier@coria.fr
Résumé
Des équations différentielles ordinaires du troisième ordre sont analysées en combinant
l’obtention de solutions analytiques, une analyse en termes de boucles de
rétroaction et une analyse dynamique dans l’espace des phases. Une telle analyse
est particulièrement importante dans la mesure où un premier lien entre la structure
algébrique des équations et la topologie de l’attracteur peut être établi. Dans
cette contribution, des solutions analytiques particulières sont identifiées pour trois
systèmes chaotiques simples et il est montré comment ces solutions affectent le diagramme
de bifurcations. De plus, une analyse en terme de boucles de rétroaction est
utilisée pour mettre en évidence les similarités entre les trois systèmes. Une telle analyse
met également en avant le rôle proéminent des doubles nullclines dans la topologie
de l’attracteur.
Sprott a réalisé une recherche numérique de systèmes dynamiques simples générant du
chaos.Iltrouva14systèmes, chacun constitué de 6 termes et une nonlinéarité quadratique,
et 5 autres avec 5 termes et deux nonlinéarités quadratiques [1]. Une telle recherche des
équations les plus simples générant des comportements chaotiques est particulièrement
utile pour le développement d’études analytiques et, par conséquent, pour la recherche
d’un lien entre structure algébrique des équations différentielles et topologie des attracteurs
qu’elles induisent. Dans ce travail, trois systèmes chaotiques simples dont des solutions
analytiques particulières peuvent être obtenues sont étudiés. Ces solutions ont un rôle
prépondérant dans la limitation de la plage sur laquelle un comportement chaotique peut
être observé. Par ailleurs, une analyse en termes de boucles de rétroaction introduite par
Thomas [2] est proposée pour mettre en évidence l’équivalence qui peut exister entre ces
systèmes.
Le reste de cet article est organisé comme suit. La Section 1 décrit rapidement le
principe des boucles de rétroaction. Dans la Section 2, trois systèmes simples sont étudiés
et la Section 3 constitue une conclusion.
1 Analyse en boucle de rétroaction
Les interactions entre les différents termes d’un système dynamique peuvent être
définies à partir de la matrice Jacobienne. Partons d’un système dynamique ẋ i = f i (x 1 ,x 2 ,x 3 )
où (i =1, 2, 3) : il est pris de dimension 3 par soucis de simplicité. Un circuit plein de ce
système [3] est associé à l’un des produits de termes apparaissant dans l’équation caractéristique
de la matrice Jacobienne
Det(J )=J 11 J 22 J 33 − J 11 J 23 J 32 − J 22 J 31 J 13 − J 33 J 12 J 21 + J 12 J 23 J 31 + J 13 J 32 J 21 (1)
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

296 C. Letellier, O. Vallée
La relation entre les circuits pleins fonctionnels et les points singuliers a déjà été montrée
[4, 3]. Ceci est particulièrement important puisque nous savons depuis les travaux de
Poincaré que le portrait est essentiellement structuré autour des points singuliers. Il avait
été montré auparavant, dans le contexte de la description logique [5], que les circuits de
rétroaction pouvaient être fonctionnels ou non selon qu’ils étaient associés à l’existence de
point singulier ou non.
Les points singuliers sont définis comme vérifiant ẋ i =0pouri =1, 2, 3. Si nous
définissons la nullcline null xi comme l’ensemble des points définis par ẋ i =0,unpoint
singulier appartient nécessairement à l’ensemble null x1 ∩ null x2 ∩ null x3 pour un système
tri-dimensionnel. De ce fait, un point singulier est associé à un circuit plein. En fait,
il apparait qu’un second type de points structure également le portrait de phase [6]. Il
s’agit de points appartenant à l’intersection de deux nullclines, disons par exemple, à
l’intersection null x2 ∩ null x3 . Dans ce cas, cet ensemble de points n’est plus associé àun
circuit plein mais à un circuit partiel àdeuxéléments qui, pour l’exemple retenu, agit
dans le sous-espace R 2 (x 2 ,x 3 ) [6]. L’attracteur peut alors être organisé autour d’un point
singulier et d’une double nullcline qui est alors une courbe [7]. Plus précisément, les torsions
globales et locales pourraient résulter directement de la présence de ces doubles nullclines.
2 Trois systèmes chaotiques simples
2.1 Un premier système simple
Récemment, Sprott [8] a proposé lesystème dissipatif algébriquement le plus simple.
Il se présente sous la forme d’une équation différentielle du troisième ordre composée de
trois termes, y compris une nonlinéarité quadratique : ...
x= −aẍ +ẋ 2 − x. Cesystème peut
être réécrit comme l’ensemble de trois équations différentielles ordinaires
⎧
⎨ ẋ = y
ẏ = z
(2)
⎩
ż = −x + y 2 − az
où y =ẋ et z =ẍ. Lesystème (2) possède un seul point singulier F 0 localisé à l’origine de
l’espace des phases : il s’agit d’un col-foyer. La matrice Jacobienne s’écrit
⎡
· 1 ·
⎤
J ij = ⎣ · · 1 ⎦ (3)
−1 2y −a
et, par conséquent, seul le produit J 12 J 23 J 31 = −1 desondéterminant est non nul. Notons
que lorsque le système considéré est de la forme (2) où seule la troisième équation est non
triviale, un seul circuit plein peut être identifié. Ici, celui-ci est non ambigu [6, 3] et négatif.
Ce circuit est associé au point singulier F 0 . Le circuit est par conséquent fonctionnel et
essentiel pour la topologie du portrait de phase.
A ce circuit s’ajoute un circuit partiel ambigu caractérisé par le produit J 23 J 32 =2y
qui est associé aux valeurs propres : λ = −a±√ a 2 +8y
2
. Ainsi, la double nullcline null y ∩ null z
définie par x = y 2 dans le plan z =0estconstituée de foyers lorsque y

Solutions analytiques de systèmes chaotiques simples 297
8,5
2
8
1
7,5
y
0
7
x n 6,5
-1
6
-2
5,5
-3
Solution particulière
Double nullcline
0 2 4 6 8
x
5
4,5
2,02 2,04 2,06 2,08 2,1 2,12
Paramètre de contrôle a
(a) Attracteur chaotique
(b) Diagramme de bifurcations
Fig. 1: Solution du système (2) juste avant la crise de frontière. La solution particulière
et la double nullcline null y ∩ null z sont également représentées (a). Le diagramme de bifurcations
est représenté pour a variant de 2.01705 à 2.13.
Par exemple, pour a =2.01705, un attracteur chaotique est obtenu (Fig. 1a). Un
diagramme de bifurcation est également représenté (Fig. 1b). Lorsque le paramètre a est
diminué, une crise de frontière survient entre l’attracteur chaotique et la solution particulière
x P = t2 4 − a 2
du système (2). Cette solution analytique est également représentée
(Fig. 1a). Notons que cette solution particulière possède la même allure que la double
nullcline null y ∩ null z ,maistranslatée de − a 2
. En fait, la crise apparaît lorsque l’attracteur
est caractérisé par l’application unimodale associée à une dynamique symbolique
complète, c’est-à-dire que toutes les orbites périodiques qui peuvent être codées sur deux
symboles appartiennent à l’attracteur. La crise de frontière apparaît pour a ≈ 2.01705 :
pour des valeurs inférieures, le comportement est éjecté à l’infini. En effet, pour des valeurs
légèrement plus faibles de a, un comportement chaotique métastable est observé,
c’est-à-dire que la trajectoire reste au voisinage des orbites périodiques instables sur une
durée limitée. Ensuite, la trajectoire atteint la solution particulière et est éjectée à l’infini.
2.2 Un second système simple
En modifiant l’équation différentielle du troisième ordre du système précédent, Sprott
obtint l’équation ...
x= −aẍ +ẋx − x qui peut être réécrite sous la forme
⎧
⎨
⎩
ẋ = y
ẏ = z
ż = −x + xy − az
Ce système a un simple point singulier F 0 du type col-foyer qui est également localisé
à l’origine de l’espace des phases. A nouveau, seul le circuit plein associé au produit
J 12 J 23 J 31 = y − 1dudéterminant de la matrice jacobienne est non nul : il est ambigu.
Pour le point singulier localisé eny = 0, le circuit est négatif et est associé auxmêmes
valeurs propres que celles du système (2) : il s’agit d’un col-foyer avec une valeur propre
réelle négative. Il y a un circuit partiel associé au produit J 23 J 31 = x qui est lui aussi
ambigu. La double nullcline null y ∩ null z correspondante est définie par y = 1 dans le
plan z = 0. Les valeurs propres associées sont λ ± = ± √ x. Cette double nullcline est par
conséquent une droite constituée de foyers lorsque x0. Comme
(4)

298 C. Letellier, O. Vallée
pour le système (2), le repliement et la torsion globale surviennent au voisinage de la
double nullcline null y ∩ null z (Fig. 2a) où les points sont des foyers.
-4,25
2
-4,5
y
0
-2
-4,75
-5
x -5,25 n
-5,5
-4
-5,75
-6
-6 -4 -2 0 2 4
x
-6
-6,25
2,02 2,04 2,06 2,08 2,1 2,12
Paramètre de contrôle a
(a) Attracteur chaotique
(b) Diagramme de bifurcations
Fig. 2: Solution du système (2) juste avant la crise de frontière. La solution particulière
et la double nullcline null y ∩ null z sont confondues (a). Le diagramme de bifurcations est
représenté en fonction de a.
Un diagramme de bifurcations est calculé sur le même intervalle que le système
précédent, c’est-à-dire pour a ∈ [2.0168 ; 2.13]. L’attracteur chaotique existe jusqu’à ce
qu’une crise de frontière survienne, c’est-à-dire pour a>2.01705. De manière similaire au
système (2), l’attracteur entre en collision avec la solution particulière du système (4), ici
définie par x = t ; elle peut être réécrite sous la forme y = 1 (Fig. 2a). Le diagramme de
bifurcations du système (4) (Fig. 2b) est équivalent à celui du système (2). En particulier
la crise de frontière apparaît lorsque la dynamique symbolique est complète.
2.3 Le système équivariant le plus simple
Les symétries ont toujours joué unrôle prépondérant en physique, de la formulation
fondamentale de principes de base aux applications concrètes, et sont présentes au sein
d’une grande variété desystèmes. Parmi ceux-ci, il y a le bien connu système de Lorenz
et sa symétrie de rotation. Le système possédant des propriétés de symétrie le plus simple
aété proposé par Malasoma [9] et est de la forme :
⎧
⎨
⎩
ẋ = y
ẏ = z
ż = −az + xy 2 − x
Ce système est équivariant, c’est-à-dire qu’il obéit àlarelationγ · f(x) =f(γ · x) où γ est
une matrice 3 × 3définissant les propriétés de symétrie. Dans le cas présent, la matrice
⎡
−1 0 0
⎤
γ = ⎣ 0 −1 0 ⎦ (6)
0 0 −1
définit une symétrie centrale P. Ceci signifie que le champ de vecteurs f est invariant
quand les variables (x, y, z) sont transformées en (−x, −y, −z). Le système (5) a un simple
point singulier F 0 du type col-foyer localisé à l’origine de l’espace des phases.
(5)

Solutions analytiques de systèmes chaotiques simples 299
La matrice Jacobienne du système (5) s’écrit :
⎡
J ij = ⎣
· 1 ·
· · 1
y 2 − 1 2xy −a
⎤
⎦ (7)
et, comme pour les deux systèmes précédents, seul le produit J 12 J 23 J 31 = y 2 − 1estnon
nul. Le circuit plein associé àcesystème est ambigu. Le point singulier F 0 est localisé
dans le domaine de l’espace des phases où le circuit plein est négatif (|y| < 1). Ceci est
en accord avec le fait qu’un col-foyer est caractérisé par une valeur propre réelle négative.
Ce circuit plein est donc fonctionnel dans le domaine |y| < 1. Un circuit partiel associé
au produit J 23 J 32 =2xy est également identifié ; il correspond à deux doubles nullclines
null y ∩ null z définies par y = ±1 dansleplanz = 0. Les valeurs propres associées sont
λ = −a±√ a 2 +8xy
2
. Les doubles nullclines y = ±1 sont donc constituées de foyers lorsque
x
8
) et de cols autrement. Les propriétés de symétrie sont par
conséquent retrouvées dans la structure des doubles nullclines. A nouveau, le repliement et
la torsion globale sont localisées au voisinage des segments des doubles nullclines constitués
de points avec des valeurs propres complexes.
1,5
7,5
1,0
5,0
0,5
2,5
y
0,0
v
0,0
-2,5
-0,5
-5,0
-1,0
-7,5
-1,5
-4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0
x
-10,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5
u
(a) Attracteur chaotique
(b) Diagrammes
de bifurcations
(c) Attracteur image
Fig. 3: Solution du système (5) juste avant la crise de frontière. Les solutions particulières
et les doubles nullclines null y ∩ null z sont confondues (a). Les diagrammes de bifurcations
des systèmes original et image sont respectivement représentés en fonction de a. Le portrait
de phase du système image (c) est équivalent à celui du système (2).
Le diagramme de bifurcations de ce système est représenté Fig.3bpoura variant sur
l’intervalle [2.027717 ; 2.2]. Lorsque a est diminué, deux cascades simultanées de doublements
de période sont observées, l’une étant symétrique de l’autre sous l’action de γ. Une
seule est représentée Fig. 3b. Ensuite, deux attracteurs chaotiques co-existent dans l’espace
des phases jusqu’à ce qu’ils n’en forment plus qu’un à travers une crise par émergeance
d’attracteurs pour a ≈ 2.0644. Lorsque a

300 C. Letellier, O. Vallée
système dynamique équivalent sous un difféomorphisme local. Ceci peut être obtenu sous
le changement de coordonnée (u, v, w) ↦→ (x 2 − y 2 , 2xy, z). L’attracteur image (Fig. 3c)
présente alors une structure équivalent à celle du système (2) (Fig. 1a) : le système image
se traduit par des caractéristiques équivalentes au système (2) en terme de point singulier
et de double nullcline. En particulier, l’attracteur chaotique disparaît par une crise de
frontière avec la solution analytique u = v2
4
− 1 (Fig. 3c) lorsque la dynamique symbolique
est complète. Ces trois systèmes appartiennent donc tous à une même classe de systèmes.
3 Conclusion
Trois systèmes simples générant des comportements chaotiques pour lesquels des solutions
particulières sont obtenues ont été étudiés. Dans ces trois cas, la solution particulière
est responsable de la destruction de l’attracteur chaotique à travers une crise de frontière.
L’analyse en circuit de rétroaction a montré que les solutions particulières sont étroitement
reliées aux double nullclines. Enfin, le troisième système, qui présentent une symétrie centrale,
est ramené au premier cas par l’utilisation du système image correspondant. De ce
fait, ces trois systèmes appartiennent à une même classe de systèmes dynamiques.
Références
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[8] J. C. Sprott & S. J. Linz, Algebraically simple chaotic flows, Int. J. Chaos Theor.
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E, 63, 16206, 2001.

encontre du non-linéaire 2003 301
Intermittence des instabilités petite échelle dans la convection de
Rayleigh-Bénard forcée par un écoulement cisaillant
V. Vidal, C. Crambes et A. Davaille
Laboratoire de Dynamique des Systèmes Géologiques
Institut de Physique du Globe
4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France
vidal@ipgp.jussieu.fr
Résumé
La convection petite échelle apparaît sous une couche limite thermique froide
lorsque le nombre de Rayleigh local excède une valeur critique Ra δ [1]. Son interaction
avec un écoulement cisaillant est étudiée expérimentalement dans une cuve
chauffée par une paroi latérale et refroidie par le dessus. Deux échelles de mouvement
sont observées: une cellule de convection grande échelle sur l’ensemble de la cuve et,
pour un nombre de Rayleigh suffisamment élevé, un mouvement de convection petite
échelle. Ces instabilités sont piégées dans la zone de cisaillement et suivent un chemin
hélicoïdal dont l’axe est orienté dans la direction du cisaillement. La présence de ces
instabilités sous la lithosphère terrestre serait en mesure d’expliquer certaines observables
géophysiques telles que la présence de linéations à courte longueur d’onde dans
le champ de gravité terrestre.
1 Introduction
La tectonique des plaques est une preuve de la convection thermique du manteau terrestre.
Les plaques qui se forment puis s’éloignent des dorsales océaniques, et enfin plongent
dans le manteau supérieur au niveau des zones de subduction sont les couches limites thermiques
associées à la plus grande échelle de la convection mantellique. Lorsqu’un fluide est
refroidi par le dessus, il va développer des instabilités de type Rayleigh-Bénard àlabasede
la couche limite thermique supérieure froide. Cette convection petite échelle est susceptible
de se produire lorsque la partie supérieure du manteau terrestre se refroidit en s’éloignant
de la dorsale. Elle se superpose alors au mouvement grande échelle de la tectonique des
plaques. En présence d’un cisaillement horizontal, la convection de Rayleigh-Bénard tend
à s’organiser pour minimiser l’interférence convective avec le mouvement à grande échelle,
formant des rouleaux de convection longitudinaux, ou rouleaux de Richter [1, 2, 3]. Les
mécanismes de ce phénomène sont cependant encore mal connus.
Nous avons étudié expérimentalement l’interaction entre la convection àpetiteéchelle
qui se développe sous une couche limite thermique froide avec un écoulement cisaillant,
pour des fluides à haut nombre de Rayleigh.
2 Dispositif expérimental
Nos expériences sont réalisées dans deux cuves en plexiglas de dimensions 30×30×10
cm et 40 × 30 × 20 cm (longueur, largeur et hauteur respectivement). La paroi supérieure
et l’une des parois verticales latérales sont des plaques de cuivre maintenues àtempérature
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

302 V. Vidal, C. Crambes et A. Davaille
constante (on refroidit et on chauffe respectivement) par des bains thermostatés (Fig.1).
Le fond de la cuve correspond à une condition limite adiabatique, ou est maintenu àla
même température froide que la plaque supérieure selon la cuve utilisée. Différents types de
laser λ=532nm
lentille
cylindrique
plan de lumière
T sup
T lat
T inf ou
condition adiabatique
observation
Fig. 1: Dispositif expérimental. Le plan de lumière laser peut être vertical ou horizontal, et
la visualisation des isothermes se fait également dans un plan vertical parallèle à la plaque
verticale chaude (à 90 ◦ du schéma ci-dessus).
fluides ont été utilisés dans nos expériences: des mélanges d’eau et d’hydroxyéthylcellulose
(polymère de viscosité constante), des sirops de sucre (forte dépendance en température
de la viscosité) et de la cire (présentant une transition de phase, i.e. un saut de viscosité
infini). Les nombres de Rayleigh sont compris entre 10 4 et 10 8 , et les nombres de Prandtl
sont grands (> 1000).
Desprofilsdetempérature verticaux sont enregistrés au cours du temps à l’aide d’une
canne de thermocouples pouvant être placée àdifférentes distances de la plaque verticale
chaude. Nous utilisons également une technique de visualisation non perturbative : des
cristaux liquides micro-encapsulés sont introduits en petite quantité dans le fluide étudié.
Cette méthode, développée à l’origine pour observer le champ de température par éclairage
en lumière blanche et analyse du spectre [4], est ici améliorée. On éclaire la cuve par un
plan de lumière monochromatique (laser solide Nd:YVO 4 , λ=532nm), ce qui permet de
ne visualiser qu’une isotherme bien particulière, correspondant aux propriétés optiques
des cristaux liquides introduits. On atteint ainsi des précisions de l’ordre de 0.1 ◦ C. Quatre
types de cristaux liquides sont utilisés, permettant de visualiser les isothermes 10 ◦ C, 24 ◦ C,
31 ◦ Cet40 ◦ C. Toutes les observations sont faites dans le régime stationnaire.
3 Les deux échelles de convection
La première observation est la présence d’un rouleau de convection grande échelle,
d’axe parallèle à la plaque latérale chaude, avec présence d’un coeur de température
constant T m au centre de ce rouleau. Une étude expérimentale par interférométrie différentielle
dans un cas similaire [5] prédit une dépendance de w/h, où w est la largeur du
rouleau de convection grande échelle et h la hauteur de la cuve, en Ra σ lat . Ra lat désigne
icilenombredeRayleighlatéral Ra lat = αg(T lat − T sup )h 3 /κν, où α est le coefficient
de dilatation thermique, g l’accélération de la pesanteur, κ la diffusivité thermique et ν
la viscosité cinématique. σ est un coefficient déterminé expérimentalement. Cette relation
empirique prévoit la formation d’un unique rouleau de convection grande échelle dans

Instabilités petite échelle en convection forcée par un écoulement cisaillant 303
toutes nos expériences, ce que l’on observe effectivement. Cependant, on observe également
dans certains cas la formation d’un rouleau secondaire, près de la plaque verticale chaude.
Ce rouleau correpond toujours à l’ordre 0 de la convection, au même titre que le rouleau
grande échelle étendu sur l’ensemble de la cuve. Il apparaît lorsque le nombre de Rayleigh
latéral dépasse une valeur critique de 8.10 5 (Fig.2a).
(a)
30
(b)
m=1
a=3
a=2
25
w/h
10 1 Ra lat
10 0
Tlat-Ti [ o C]
20
m=1
10 -1
15
10 -2
10 5 10 6 10 7 10 8
10
10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8
Ra z
Fig. 2: Caractéristiques de la convection grande échelle. (a) Régime de formation d’un rouleau
secondaire pour des expériences réalisées dans la cuve de rapport d’aspect a=3 avec des
mélanges d’hydroxyéthylcellusole (étoiles) et dans la cuve de rapport d’aspect a=2 avec des
mélanges d’hydroxyéthylcellulose (croix), du sirop de glucose (carrés) et du sirop de sucre
inverti (losanges). (b) Vérification de la loi de similitude: pour le sirop de glucose, très
visqueux (carrés), on a toujours m1).
On peut expliquer sa formation par la déstabilisation de la couche limite latérale, due
à une stratification de l’environnement suffisamment importante pour forcer un écoulement
vers le bas dans la partie extérieure de la couche limite [6]. Les équations de couche limite
pour une convection 2D proche d’une paroi verticale s’écrivent:
uw x + ww z = νw xx + αg(T − Ti)
uT x + wT z = κT xx
où u et w sont les composantes de la vitesse selon les directions horizontale x et verticale
z respectivement, T la température locale et T i (z) latempérature du fluide ambiant [7].
La température du fluide ambiant peut être écrite comme
T i = T lat − ∆TRa −m
z
où ∆T = T lat − T sup est l’échelle caractéristique de température et Ra z = αg∆Tz 3 /κν le
nombre de Rayleigh local. L’introduction de la variable de similitude ξ = Ra 1/4(1−m)
z x/z et
de la fonction courant ψ telle que u = −ψ z et w = ψ x montre que ψ augmente avec z pour
0 m1 [6]. La figure 2b montre l’évolution de (T lat − T i )
en fonction de Ra lat : le rouleau de convection secondaire (pour la convection à l’ordre 0)

304 V. Vidal, C. Crambes et A. Davaille
apparaît lorsque la pente excède la valeur critique m = 1. C’est donc la déstabilisation de
la couche limite associée à la paroi verticale chaude qui est responsable de sa formation.
Le rouleau secondaire précédemment décrit reste cependant limité à une région proche
de la plaque verticale, et ne semble pas modifier le comportement des autres échelles de
convection.
Pour des nombres de Rayleigh suffisamment grands, des instabilités àpetiteéchelle
se forment sous la couche limite supérieure froide à une distance x f de la plaque verticale
chaude, et sont cisaillées par l’écoulement grande échelle. Elles correspondent aux instabilités
classiques de Rayleigh-Bénard, qui se développent sous une couche limite thermique
froide [8]. Elles apparaissent quand le nombre de Rayleigh local dans la couche limite
thermique instable atteint une valeur critique Ra δ = αg(T m − T )δi 3/κν m [8]. Deux régimes
ont été observés. Dans le premier régime, les instabilités sont piégées dans la zone de
cisaillement et s’enroulent en formant les rouleaux de Richter. Dans le deuxième régime,
visible lorsque la vitesse de cisaillement est plus faible, le champ de température n’est pas
stationnaire au cours du temps, mais reflète le décrochement périodique de panaches froids
qui se font emporter par l’écoulement grande échelle sans s’enrouler.
(a)
10 -1 Ra
10
9
(b)
λ=δ c
8
τ/(h 2 /κ)
10 -2
10 -3
10 -4
10 -5
10 4 10 5 10 6 10 7 10 8
Longueur d'onde λ (cm)
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
Epaisseur de la zone de cisaillement δ c (cm)
Fig. 3: Périodicité de la convection petite échelle. (a) temporelle : τ ∝ Ra −0.81 ;ladroite
en pointillés correspond à τ ∝ Ra −2/3 . (b) spatiale : la longueur d’onde des corrugations
est directement proportionnelle àl’épaisseur de la zone cisaillante δ c .
L’étude de la périodicité τ de formation de ces instabilités montre que :
τ = d2
πκ
( ) 2
Rac 3
Ra
Cette relation est vérifiée expérimentalement (Fig.3a). Ces instabilités présentent également
une périodicité spatiale : leur longueur d’onde est directement proportionnelle à la largeur
de la zone de cisaillement δ c (Fig.3b).

Instabilités petite échelle en convection forcée par un écoulement cisaillant 305
4 Etude statistique des séries temporelles
L’étude de l’asymétrie de la dérivée temporelle de la température est une méthode
utilisée pour caractériser les fluctuations générées par la propagation de fronts thermiques
en turbulence dure [10]. Ce régime particulier de turbulence se caractérise par la présence
d’un écoulement grande échelle cohérent dans la cellule de convection, auquel se superpose
les instabilités générées par le gradient vertical de température. Il est donc intéressant de
faireleparallèle avec des expériences en écoulement cisaillant forcé. L’asymétrie moyenne
de la dérivée de la température est mesurée par sa skewness S ′ ,définie par:
〈 ( ∂T
) 3
〉
S ′ =
〈 ( ∂T
∂t
∂t
) 2
〉 3/2
Contrairement au régime de turbulence dure, la dérivée de la skewness en convection
forcée par un écoulement cisaillant ne présente pas la forme caractéristique d’un front
thermique. L’enroulement des instabilités petite échelle dans la direction longitudinale
(front thermique montant puis descendant) empêche toute caractérisation de ces instabilités
par l’étude de l’asymétrie moyenne de l’écoulement à une distance donnée de la
plaque verticale chaude. On peut cependant calculer le minimum du paramètre τ θ ,échelle
de temps thermique définie par
〈(T −〈T 〉) 2〉 1/2
τ θ =
〈 ( ∂T
) 2
〉 1/2
∂t
21
10 -2 Ra
20
T [ o C]
19
18
17
τ θ min
/(L 2 /κ)
10 -3
16
10 -4
15
et fonction de la distance à la plaque froide supérieure [10]. Cette quantité, adimensionnée
par le temps de diffusion thermique pour la cuve (h 2 /κ), correspond à l’inverse
de la puissance dissipative Q [11]. Même si la structure cohérente des fluctuations ther-
14
450 500 550 600 650 700 750
t [min]
10 -5
10 5 10 6 10 7 10 8
Fig. 4: Etude statistique des séries temporelles. (a) Exemple de signal de température. (b)
Echelle de temps thermique normalisée par le temps de diffusion. La droite en trait plein
correspond à Ra −0.71 , celle en pointillé à Ra −2/3 .
miques n’est pas analogue au régime de turbulence dure, on retrouve cependant la loi

306 V. Vidal, C. Crambes et A. Davaille
d’échelle τ θMIN ∝ Ra −2/3 . Ce comportement semble donc indépendant de la structure de
l’écoulement (rouleaux ou panaches turbulents), et caractéristique des instabilités thermiques
de couche limite.
5 Conclusion et implications géophysiques
Nos expériences cherchent à caractériser de manière précise le comportement des instabilités
qui se développent sous une couche limite thermique froide, lorsqu’elles sont
cisaillées par un écoulement à plus grande échelle. Ces instabilités sont périodiques dans
l’espace (rouleaux longitudinaux) et dans le temps. L’analogie avec la convection dans
le manteau terrestre ne peut se faire qu’à condition que la vitesse dans l’asthénosphère
soit plus grande que la vitesse dans la lithosphère. Cette condition peut être remplie soit
par l’existence d’une expansion latérale liée à une dorsale océanique, soit par la présence
d’un panache mantellique (point chaud). Si tel est le cas, nos expériences montrent qu’une
convection petite échelle peut se développer sous la lithosphère, et rester piégée dans
l’asthénosphère. Elle forme alors des rouleaux de Richter, d’axe parallèle au mouvement
des plaques, qui auraient une longueur d’onde de 150-300 km. Ce phénomène est susceptible
d’être à l’origine des linéations de courte longueur d’onde (quelques centaines de
kilomètres) observées dans les anomalies du géoïde et du champ de gravité dans certaines
régions du Pacifique [12].
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encontre du non-linéaire 2003 307
Calcul des bifurcations et des branches bifurquées par
une méthode asymptotique numérique
E.H. Boutyour*, H. Zahrouni**, M. Potier-Ferry** et M. Boudi***
*Faculté des Sciences et Techniques, Université Hassan I, B.P. 577, Settat Maroc.
boutyour@lpmm.univ-metz.fr
** Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux, UMR 7554, ISGMP,
Université de Metz, Ile du Saulcy 57045 METZ. zahr@lpmm.univ-metz.fr
*** Ecole Mohamadia d’Ingénieurs, Université Mohamed V, B.P. 765, Bd Ibn
Sina, Agdal Rabat Maroc.
zahr@lpmm.univ-metz.fr
Résumé
Dans ce travail, on s’intéresse au problème de flambage et post-flambage des structures
élastiques en grands déplacements et grandes rotations par une méthode asymptotique
numérique. Les points de bifurcation sont détectés par deux méthodes : la
première utilise un indicateur de bifurcation et la seconde est basée sur les pôles des
approximants de Padé. Partant du point de bifurcation, le premier pas de la branche
bifurquée est calculé en utilisant un système augmenté. Le reste de la branche bifurquée
est déterminé delamême façon que la branche fondamentale.
L’efficacité de l’algorithme proposé aété démontrée sur plusieurs tests, on se limitera
ici à une seule application.
1 Introduction
Le flambage est un phénomène d’instabilité courant en mécanique des structures, il
apparait lorsque les charges appliquées atteignent un certain niveau critique. Il concerne
plusieurs secteurs industriels de génie civil, aéronautiques, navales, nucléaires... La sécurité
des installations exige la compréhension et la maîtrise du phénomène d’instabilité pour le
bon dimensionnement des structures. Il est alors nécessaire de développer des algorithmes
capables de calculer : les branches de solution, les charges critiques et le postflambage
pour prévoir l’effet des imperfections sur la structure et les risques de claquage. Dans la
littérature des éléments finis, ce problème est résolu par une méthode incrémental-itérative
de type Newton-Raphson. Cela nécessite des temps de calcul importants avec des difficultés
numériques au voisinage des points singuliers [2] [10] [11].
Une alternative à ces procédures est la méthode asymptotique numérique (ANM) basée sur
l’association d’une technique de perturbation et de la méthode des éléments finis [7]. Les
inconnues du problème sont développées en séries entières permettant de transformer le
problème non linéaire initial en une séquence de problèmes linéaires résolus par la méthode
des éléments finis [5]. Pour augmenter le rayon de validité de la solution asymptotique, la
représentation en séries entières est remplacée par les appriximants de Padé [6], et pour
obtenir une large description de la solution, une technique de continuation est utilisée [8].
Dans cette étude, on se propose d’étendre la méthode au calcul de flambage des structures
présentant de grandes rotations. Pour la détection des bifurcations, on utilise deux techniques:
la première est basée sur les pôles des approximants de Padé et la deuxième utilise
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

308 Boutyour, H. Zahrouni, M. Potier-Ferry, M. Boudi
un indicateur de bifurcation bien adapté à la MAN [3]. Le premier pas de la branche bifurquée
est recherché parundéveloppement asymptotique partant du point de bifurcation.
Comme l’opérateur tangent est singulier en ce point, on utilise un système augmenté. Le
reste de cette branche est déterminé par une MAN classique et les bifurcations secondaires
sont détectées.
Pour illustrer la robustesse et l’efficacité de notre algorithme, on traitera un exemple
présentant un préflambage nonlinéaire et des bifurcations.
2 Formulation
La formulation de coque utilisée dans ce travail est détaillée dans les articles [4] [16].
Les inconnues cinématiques sont représentées par le déplacement de la surface moyenne et
par son vecteur directeur. Cette formulation utilise une loi de comportement tridimensionnelle
sans condensation en ajoutant une déformation linéaire dans l’épaisseur. Cette extra
variable est introduite via le concept E.A.S. de Simo et Rifai [12]. Le principe consiste
à ajouter une déformation ˜γ indépendante du déplacement u et orthogonal au champ de
contraintes S :
∫
γ − Bu =˜γ , ( t S :˜γ) dv =0 (1)
où Bu = γ l (u)+γ nl (u, u) estladéformation de Green Lagrange qui peut être décomposée
en une partie linéaire et une partie quadratique.
La stationnarité de la fonctionnelle de Hu-Washizu permet d’écrire le problème non linéaire
suivant :
R(U, λ) =L(U)+Q(U, U) − λF =0 (2)
où U = ( u, ˜γ,S ) est un vecteur inconnu mixte, L(.) unopérateur linéaire, Q(., .) un
opérateur quadratique, F vecteur chargement extérieur et R représente le vecteur résidu.
3 Calcul des branches de solution par la MAN
La méthode asymptotique numérique consiste à chercher les branches de solution
du problème non linéaire (2) sous forme de série entière par rapport à un paramètre de
controle ’a’. Cette série, tronquée à l’ordre n, estdéveloppée au voisinage d’une solution
initiale (U 0 ,λ 0 ):
n∑
n∑
U(a) − U 0 = a i U i λ(a) − λ 0 = a i λ i (3)
i=1
En substituant ces développements dans l’équation (2) et en égalisant les termes de même
puissance, nous transformons le problème non linéaire (2) en une séquence de problèmes
linéaires résolus par la méthode des éléments finis. Le rayon de validité de la représentation
par séries peut être amélioré en utilisant des approximants de Padé [6]:
v
n−1
∑
n−1
∑
U(a) − U 0 = f i (a)a i U i λ(a) − λ 0 = f i (a)a i λ i (4)
i=1
où f i (a) sont des fractions rationnelles de même dénominateur. Pour suivre toute la
branche solution, une technique de continuation asymptotique est utilisée [8]. Le rayon
de validité de la solution de (4) est défini par la valeur maximale ’a mp ’ du paramètre ’a’
i=1
i=1

Calcul des bifurcations par MAN 309
en exigeant que la différence relative entre les déplacements à deux ordres consécutifs doit
rester inférieure à une valeur δ :
δ = ‖u n(a mp ) − u n−1 (a mp )‖
(5)
‖u n (a mp ) − u 0 ‖
Récemment, un prédicteur d’ordre élevé aété associé à un correcteur d’ordre élevé [9].
4 Détection des points de bifurcation
4.1 Analyse des pôles des approximants de Padé
Une première méthode simple pour détecter les points de bifurcation est obtenue par
une simple analyse, a posteriori, de la représentation rationnelle (4). Cochelin avait déjà
indiqué qu’un point de bifurcation correspond à une racine du dénominateur des fractions
f n (a) [6].Eneffet,lareprésentation rationnelle (4) présente plusieurs pôles et il est facile
de reconnaître si un pôle caractérise un point de bifurcation. Premièrement, il représente
le plus petit pôle réel. Deuxièmement, la qualité de la solution (4) reste très bonne au delà
du pôle. Troisièmement, la matrice de rigidité tangente est singulière en ce point.
Autrement dit, la représentation rationnelle donne d’une part la courbe de réponse avant
et après la bifurcation et d’autre part la position exacte du point de bifurcation. Notons
que ce n’est pas facile d’obtenir les mêmes résultats par une représentation en séries (3).
En effet, le rayon de convergence des séries coincide généralement avec le plus petit pôle
réel ou complexe [8]. Cependant, une méthode plus ou moins fiable pour la détection des
points de bifurcation par les séries a été discuté dans les travaux [3] [13]. Elle est basée
sur la technique que nous présentons dans la section suivante.
4.2 Indicateur de bifurcation
Soit f une force de perturbation fictive appliquée à la structure dans une position
d’équilibre donnée. ∆µ représente l’intensité de cette force et ∆U = ( ∆u, ∆˜γ,∆S )
sa réponse associée. En superposant la force appliquée et la force de perturbation et en
négligeant les termes de second ordre, on obtient le problème tangent dont les inconnues
sont ∆U et ∆µ :
L t (∆U) =∆µf (6)
où L t (.) =L(.)+2Q(U, .) est l’opérateur tangent au point d’équilibre considéré. Pour que
(6) admette une solution unique, on se donne une condition supplémentaire [3] :
〈〈∆u − ∆u 0 , ∆u 0 〉〉 =0 (7)
où représente le produit scalaire associé, ici, à l’opérateur tangent L 0 t calculé au
point de départ. On choisit ∆U 0 solution du problème suivant :
L 0 t (∆U 0 )=f (8)
Les équations (6) et (7) constituent un problème linéaire en ∆U et ∆µ qui sera résolu par
la MAN de la même façon que le calcul des branches. L’approximation de ∆µ(a) esttrès
précise à l’intérieur du rayon de validité [0,a mp ]. Les points de bifurcation et les points
limites correspondent exactement aux valeurs de la charge appliquée pour lesquelles L t est
singulier, ou d’une manière équivalente aux racines de l’indicateur ∆µ :
∆µ(a) =0 (9)

310 Boutyour, H. Zahrouni, M. Potier-Ferry, M. Boudi
5 Calcul du post-flambage
Ayant calculé le point de bifurcation par les procédures exposées dans les sections (4.1
et 4.2), on se propose de déterminer les branches bifurquées partant de ce point. Comme
l’opérateur tangent est singulier, le premier pas de la branche bifurquée est calculé par
une procédure spécifique utilisant un système augmenté [1].Lesdifférentes tangentes au
point de bifurcation sont obtenues par la résolution d’une équation quadratique appelée
classiquement équation de bifurcation [14] [15]. Le reste de la branche bifurquée est calculé
delamême manière que la branche fondamentale. Dans tous les cas, la solution est
recherchée par les séries entières améliorées par les approximants de Padé.
6 Application numérique
La méthode proposée a été appliquée à plusieurs exemples, on se limitera ici àunseul
test présentant des bifurcations avec un préflambage non linéaire. Il s’agit d’un arc profond,
simplement appuyé sur les deux bords et soumis à une charge ponctuelle F (figure : 1).
Les caractéristiques géométriques et matérielles sont données par : épaisseur h =0.34641,
largeur l = 10, angle d’ouverture α = 145 o , module d’ Young E =0.2886751346.10 8 et de
coefficient de Poisson ν =0.
L’arc présente un préflambage symétrique non linéaire et une première bifurcation avec
un mode antisymétrique (bifurcation symétrique stable). La structure est discrétisée par
20 éléments quadratiques de coque : 8 noeuds par élément et 618 d.d.l. au total.
La figure (2a) illustre l’évolution de l’indicateur de bifurcation en fonction de la charge
pour différents ordres.
L’indicateur s’annule pour λ 1 =3.353 qui coincide aussi avec le pôle des approximants
de Padé. Le premier point de bifurcation est donc détecté par les deux procédures et la
charge correspondante est exactement la même que celle trouvée par Wriggers et al. [15].
La bifurcation est obtenue au premier pas, soit une seule décomposition de la matrice de
rigidité tangente. Le rayon de validité de la solution obtenue par les approximants de Padé
n’est pas limité parlepôle, la solution reste bonne au delà du point de bifurcation.
Connaissant le mode de flambage, toutes les tangentes au point de bifurcation ainsi que
les branches bifurquées sont déterminées. Une deuxième bifurcation B2 estdétectée, elle
correspond à λ 2 = −0.278. La deuxième branche bifurquée est donc déterminée.
La figure (2b) représente la réponse de l’arc, les points sur les courbes définissent les fins de
pas. Ainsi, la branche fondamentale est obtenue avec seulement 4 pas, la première branche
bifurquée avec 7 pas et la deuxième avec 3 pas. L’ordre de troncature utilisé estn = 15,
le paramètre δ =10 −6 ,lerésidu relatif le long de la branche reste inférieur à10 −3 .
Notons qu’au delà du point limite L2, la première branche bifurquée devient instable et
le phénomène de claquage peut avoir lieu.
7 Conclusions
Nous avons présenté une méthode asymptotique numérique pour le calcul des bifurcations
et des branches bifurquées des structures élastiques en grands déplacements et
grandes rotations. Les points de bifurcation sont détectés par deux techniques:
- La première consiste à analyser les pôles des approximants de Padé. Cette technique ne
demande pas de calculs supplémentaires mais exige un ordre de troncature élevé etne

Calcul des bifurcations par MAN 311
Z
F
E A = 100 E I
E I = 1.E+6
R = 100.
X
α
Fig. 1: Arc profond en appuis simples
1
∆µ
0.8
0.6
order 3
10
λ
8
6
4
2
B1
L2
L1
* S
0.4
0.2
order 10
validity range
order 15
0
-2
-4
B2
0
-6
-8
-0.2
0 1 2 3 λc 4 5 6 7 8
λ
(a)
-10
0
-50
-100
(b)
-150
-200
u3
-250
Fig. 2: Arc profond: (a) comportement de l’indicateur de bifurcation. (b) courbes de
réponse
donne pas le mode de flambage.
- La deuxième utilise un indicateur de bifurcation bien adapté à la MAN. Elle emploie
le même opérateur tangent que celui de la branche, le coût est ainsi réduit au calcul des
seconds membres.
Les tangentes au point de bifurcation sont déterminées en résolvant l’équation de bifurcation.
Le premier pas de la branche bifurquée est déterminé en utilisant un système
augmenté, le reste de la branche est obtenu par une MAN classique.
Références
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method to compute the post-buckling behaviour of elastic plates and shells.
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312 Boutyour, H. Zahrouni, M. Potier-Ferry, M. Boudi
[4] Büchter, N., Ramm, E., Roehl, D. Three dimensional extension of non-linear
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encontre du non-linéaire 2003 313
Liste des auteurs
Abergel D. ............................. 1
Aguirre J. ............................ 265
Aguirre L.A........................... 179
Ait Ader A. ............................ 7
Allain C. ............................. 131
Allain J.M. ............................ 13
Amon A. .......................... 19,167
Amroun D. ............................ 25
Aziz Alaoui M.A. .................... 101
Bartolini R. ........................... 65
Belhache F. .......................... 137
Ben Amar M. ......................... 13
Bielawski S. ........................... 31
Boiron M.-A. ..................... 37, 191
Boissonade J. ........................ 149
Bonhomme G. ........................ 59
Bontoux P. ............................ 89
Borckmans P. ........................ 203
Boronska K. ........................... 43
Bou Matar O. ........................ 107
Boudaoud A. ......................... 283
Boudi M. ............................ 307
Bourgoin M. .......................... 47
Bouquet S. ........................... 161
Boutyour E.H. ....................... 307
Brancher J.P. .......................... 7
Brasselet E. ........................... 53
Brochard F. ........................... 59
Brossard J. .......................... 113
Brunel M. ............................. 25
Bruni C. .............................. 65
Buisson L. ............................ 71
Cabannes H. .......................... 77
Calligari G. .......................... 131
Chillà F. ............................. 277
Ciliberto S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71, 271
Colin A. ............................. 253
Couprié M.E. ......................... 65
Crambes C. .......................... 301
Crumeyrolle O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Czarny O. ............................. 89
Davaille A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Daviaud F. ........................... 197
De Kepper P. ........................ 149
Degroote E. ....................... 95, 98
Derivière S............................ 101
Devynck P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Dos Santos S. ........................ 107
Doyon B. ............................. 53
Dubé L.J. ............................. 53
Dubrulle B. .......................... 173
Dudok de Wit T. .................... 179
Erneux T. ............................. 19
Escarguel A. ......................... 212
Ezesrky A.B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113, 155
Falcon E. ............................ 119
Fauve S. ............................. 119
Galstian T.V. ......................... 53
Garcia-Ybarra P.L. ................ 95, 98
Garcimartin A. ........................ 71
Garzella D. ........................... 65
Gauffre F. ........................... 149
Genin E. ............................. 125
Gil L. ................................ 223
Gilmore R. ........................... 179
Goedgebuer J.P. ..................... 125
Gomez T. ............................ 207
Gorand Y. ........................... 131
Gravier E. ............................ 59
Grelu P. ............................. 137
Grynberg G. ......................... 259
Guiraud P. ........................... 143
Guyomarc’h D. ...................... 212
Haumesser L. ........................ 107
Hulin J.-P. ........................... 131
Joly N. ................................ 31
Labrot V. ............................ 149
Larger L. ............................ 125
Laroche C. ........................... 119
Latrache N. ...................... 83, 155
Laurian A. ........................... 161
Le Berre M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Leblond H. ....................... 25, 247
Leclert G. ............................ 212
Lefranc M. ........................ 19,167
Leprovost N. ......................... 173
c○ Non Linéaire Publications, Bât.510, Université de Paris-sud, 91405 Orsay

Letellier C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 179, 295
Lopez L. ............................. 185
Louis-Joseph A. ........................ 1
Lueptow R.M. ........................ 89
Malasoma J.M. ................... 37, 191
Manneville S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Maquet J. ............................ 179
Marié L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173, 197
Marin F. ............................. 113
Merle F. ............................. 235
Métens S. ............................ 203
Mutabazi I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 113, 155
Nagaya T. ........................... 241
Nanobashvili I. ....................... 212
Nizette M. ............................ 19
Odier P. ............................... 47
Orlandi G.L. .......................... 65
Pasol L. ............................... 77
Pauchard L. ......................... 131
Petrossian A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217, 241
Pierre Th. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Pinton J.-F. ...................... 47, 277
Pirat C. .............................. 223
Plaut E. ............................. 229
Politano H. .......................... 207
Potier-Ferry M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Pouquet A. .......................... 207
Raphael P. ........................... 235
Renzoni F. ........................... 259
Residori S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217, 241
Ressayre E. .......................... 289
Roux D. ............................. 253
Salhi M. ............................. 247
Salmon J.B. .......................... 253
Sanchez F. ....................... 25, 247
Sanchez-Palencia L. .................. 259
Sanjuán M.A.F. . . . . . . . . . . . . . . . . . 185, 265
Santucci S. ........................... 271
Schiavoni M. ......................... 259
Serre E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Simand Vernin C. .................... 277
Skali-Lami S. ........................... 7
Soto-Crespo J.-M. .................... 137
Sultan E. ............................ 283
Tallet A. ............................. 289
Tuckerman L. ......................... 43
Vallée O. ............................. 295
Vander-Meulen F. .................... 107
Vanel L. ............................. 271
Vidal V. ............................. 301
Vila M. .............................. 107
Volk R. ............................... 47
Zahrouni H. .......................... 307