FISIKA KUANTUM

FISIKA KUANTUM
4 SKS
1

BAB 1
PENDAHULUAN
Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses
menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.
Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangat
berhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya.
Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampu
memberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlah
fenomena “berskala-kecil” seperti sifat radiasi dan interaksi
radiasi-materi.
Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulang
lagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagai
pengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.
2

1.1 Radiasi Benda-hitam
Benda-hitam: penyerap semua radiasi
elektromagnet yang mengenainya, atau pengemisi
semua radiasi elektromagnet yang dimiliknya.
Berdasarkan termodinamika, distribusi panjang
gelombang spektrumnya hanya bergantung pada
temperatur tidak pada jenis bahan benda-hitam.
Stefan (1879): total energi yang dipancarkan
adalah:
E = ( 4σ
/ c)
T
4
σ adalah konstanta dan c=3x10 8 m/s adalah
kecepatan cahaya dalam ruang hampa.
E(λ)
T1>T2
T 1
T 2
Eksp λ
Raleigh-Jean
Wien
Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimum
berbanding lurus dengan 1/T.
λ max T=konstan; disebut hukum pergeseran Wien
3

Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnet
diemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.
Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalam
benda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:
2
8πν
E ( ν)
= u(
ν)
u(ν)= energi rata-rata osilator dengan frekuensi ν.
3
c
Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u(ν)=kBT di mana
kB=1,3806 x 10 -23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c=λ ν,
8π
E(
λ ) = k
4
λ
B
T
Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjang
gelombang yang besar.
4

Max Planck (1900):
Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan dengan
medan radiasi.
Suatu osilator dengan frekuensi ν hanya bisa memiliki energi:
ε n
= nhν
; n = 0,1,2,.....
h=6,624 x 10 -34 Js disebut konstanta Planck, dan hν disebut kuantum
energi.
Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi ν adalah:
u(
ν)
=
∑ ε
n=
0
∑
n=
0
Akhirnya diperoleh:
n
exp( −ε
exp( −ε
n
n
/ k
/ k
B
B
T )
T )
hν
u ( ν ) =
exp( hν / k
B
T
)
− 1
2
8πν
hν
E( ν)
=
3 / k T
e h υ B
c −1
Inilah rumusan Planck yang sesuai kurva
radiasi benda hitam secara lengkap.
5

Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan
exp(hυ/k B T)=exp[hc/(λ k B T)] ≈1+ hυ /k B T
2
8πν
hν
E( ν ) =
3 υ / k T
c
e h B
−1
=
8πν
3
c
2
k
B
T
persamaan dari Raleigh-Jeans.
Persamaan dapat diungkapkan dalam λ sebagai berikut:
8πhc
E( λ)
5 /
λ
1
=
k T
e hc λ B
Misalkan x=hc/λk B T, maka
E(
λ)
8πk
5 5
B
=
4 4 x
c
h
T
e
x
5
−1
−1
Untuk memperoleh E(λ) maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,
−
e x
+
1 x −1
=
5
0
x=4,9651
λT=hc/(4,9651 kB)=2,8978x10 -3 mK.
hukum pergeseran Wien
6

1.2 Efek Foto Listrik
hv
logam
K
Dalam pengamatan ternyata:
(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapat
melepaskan elektron, dan
(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam,
semakin banyak elektron yang dilepaskan.
7

1.3 Dualisme Gelombang-Partikel
Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentang
cahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagi
karena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.
Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimana
permukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi
ν ≥ W /
h
W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).
Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagai
kuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=hν.
Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatu
partikel diungkapkan sebagai berikut:
⎛
⎜
⎝
E
c
2
⎞
⎟
⎠
=
p
2
+ m
2
o
c
2
p adalah momentum partikel, dan m o adalah massa
diam partikel bersangkutan
Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya E=hυ,
maka momentum foton adalah
E h
p = = . Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya.
c λ
8

Arthur H. Compton (1924)
Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan oleh
elektron bebas.
sinar-X datang
λ’
θ
sinar-X terhambur
λ
φ
elektron terhambur
Jika λ dan λ’ adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur,
dan m e adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:
'
λ − λ =
h
m
e
c
( 1 − cos θ )
Dapat dibuktikan dengan hukum kekekalan
momentum dan energi
h/m e
c=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.
λ’>λ
energi foton terhambur (E’) lebih kecil daripada energi foton datang (E).
9

Louis de Broglie :
Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat “mendua”, tetapi juga
partikel.
Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikel
yang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjang
gelombang:
λ =
h
p
.
Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.
Clinton Davisson dan Lester Germer (1927):
Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektron
ketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya.
Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudut
untuk ‘gelap’ pertama adalah θ, maka berlaku
a sinθ= λ
berkas
elektron
θ
10

Momentum p=mv dan energi E=p 2 /2m=½mv 2
Kecepatan fasa:
v f
=λυ=(h/p)(E/h)=E/p=p/2m=½v.
Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.
Yang penting adalah kecepatan grup, yakni
v g
=dω/dk, di mana ω=2πυ dan k=2π/λ.
Dengan E=p 2 /2m,
v g
=dω/dk=dE/dp=p/m=v.
x
Kecepatan grup dari gelombang partikel
sama dengan kecepatan partikel itu
sendiri.
Δx
11

1.2 Spektroskopi Atom Hidrogen
Johann Balmer (1885):
Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garis
spektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:
1 ⎛ 1 1 ⎞
= R⎜
−
2 2
⎟
λ n ⎝ 2 n ⎠
Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum,
1
λ
n
⎛ 1 1 ⎞
= R⎜
− ⎟;
2 2
⎝ m n ⎠
dengan R =1.097x107 m -1 disebut konstanta Rydberg.
n > m
Dengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3,
4, … dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, …
Bagaimana sebenarnya struktur atom?
Ernest Rutherford (1911):
Berdasarkan percobaan hamburan partikel-α, menyarankan struktur atom terdiri dari inti
bermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya.
Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuan
Rutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.
12

BAB 2
DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM
2.1 Persamaan Gelombang
Tinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengan
kedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktu
adalah ψ(x,t).
Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:
2
∂ ψ ( x,
t)
=
2
∂x
1
v
2
∂
ψ ( x,
t)
2
∂ t
Misalkan ψ ( x,
t ) = ψ ( x ) φ ( t )
2 2
2
v d ψ ( x)
1 d φ(
t)
2
=
= − ω
2
2
ψ ( x)
dx φ(
t)
dt
2
v adalah kecepatan fasa
2
d φ ( t)
2
+ ω φ(
t)
= 0 φ ( t)
= A sin ( ωt
+ δ )
2
d t
2
2
d ψ(
x)
ω
+ ψ(
x)
= 0
2 2
dx v
⎛ 2π
⎞ ⎛ 2π
⎞
ψ ( x)
= Csin⎜
x⎟ + Dcos⎜
x⎟
⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠
13

ω=2πυ, υ adalah frekuensi dan δ adalah konstanta; karena v adalah kecepatan
merambat maka panjang gelombang λ=v/υ.
Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas,
pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, ψ(0)=0
maka D=0,
⎛ 2π
⎞
ψ ( x)
= C sin ⎜ x⎟
⎝ λ ⎠
Selanjutnya jika di x=L, ψ (L)=C sin(2πL/λ)=0 maka sin(2πL/λ)=0, sehingga:
maka:
2L
λ
ψ n
= n;
n =
1, 2,.....
⎛ nπ ⎞
( x)
= Csin⎜
x⎟
⎝ L ⎠
⎛ nπ
⎝ L
Akhirnya: ψ n
( x,
t)
= Bsin⎜
x⎟sin(
ωt + δ)
n disebut nomor modus normal.
⎞
⎠
14

2.2 Persamaan Schrödinger
Tinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p di
dalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah
jumlah energi kinetik dan potensial:
2
p
E = + 2 m
V
p
=
2m(
E −V
)
Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu
E E
v = =
p 2m(
E − V )
Misalkan ψ(x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:
∂
ψ ( x,
t)
2
∂x
2
=
2m(
E
E
− V )
2
∂
ψ ( x,
t)
2
∂ t
2
Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensi
tetap. Untuk itu ψ(x,t) memenuhi
ψ ( x,
t)
= ψ ( x)
e
−iω
t
15

Mengingat
E = hω
dan
2
∂ ψ(
x,
t)
2m(
E −V)
= − ψ(
x,
t)
2
2
∂x
h
h = h/
2π
Akhirnya diperoleh persamaan:
2
∂ ψ ( x)
2m
+ ( E −V
) ψ ( x)
= 0
2
∂x
h
Untuk tiga dimensi persamaan Schrödinger ini adalah:
2 2m
∇ ψ ( x,
y,
z)
+ ( E −V)
ψ ( x,
y,
z)
= 0
2
h
Persamaan Schrodinger 1-dimensi
Bagian waktu exp(-iωt) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh,
dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrödinger yang tak bergantung
waktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi.
V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkan
fungsi gelombang ψ(x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusi
yang harus dicari dari persamaan tersebut.
16

Persamaan Schrödinger di atas dapat dituliskan sebagai berikut
Hˆ
ψ ( x)
=
Eψ
( x)
(*)
dengan
2
H ˆ h 2
= − ∇ + V
2m
disebut hamiltonian partikel, yakni operator energi
total dari partikel.
Dalam bahasa matematik, E adalah harga eigen dari operator H dengan fungsi
eigen ψ(x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen.
Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang ψ(x,t) dalam hal. 14 adalah:
∂ψ
( x,
t)
= −iωψ(
x,
t)
∂t
Karena E=ħω maka diperoleh
ih
∂ψ
( x,
t)
∂t
=
Eψ
( x,
t)
Hˆ
ψ(
x,
t)
∂ψ
( x,
t)
= ih
∂t
Ini disebut persamaan Schrödinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel .
17

2.3 Sifat-sifat suatu Fungsi Gelombang
Untuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu, ψ(x),
2
ψ ( x)
dx disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.
ψ ( x)
2
rapat peluang partikel berada di x
Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:
∞
∫
−∞
∞
*
2
ψ ( x)
ψ ( x)
dx = ∫ψ
( x)
dx = 1 ψ* adalah konjugasi dari ψ.
−∞
Fungsi ψ(x) yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi,
sedangkan disebut rapat peluang.
Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni:
• tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, ψ(x)
memiliki hanya satu harga saja.
• fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan
• fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ±∞;
18

Contoh:
⎛ nπ
⎞
ψ(
x)
= Csin⎜
x⎟
⎝ L ⎠
L
2 2 2⎛
nπ
⎞
ψ(
x)
dx = C ∫sin
⎜ x⎟dx
= 1
⎝ L ⎠
∞
∫
−∞
0
sin 2 θ=(1-cos2θ)/2, maka hasil integral di atas adalah C 2 (L/2)=1 sehingga
Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah
C = 2/
L
ψ ( x)
2 ⎛ nπ
⎞
= sin ⎜ x⎟
L ⎝ L ⎠
Jika ψ(x) adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi {ϕ n (x)}, maka
penulisannya secara umum adalah seperti:
ψ ( x ) = ∑c n
ϕn
( x)
n
c n adalah koefisien bagi fungsi ϕ n (x) yang bisa ril atau
kompleks.
c
∞
*
= ∫ ϕ m(
x)
ψ(
x dx Jika ϕ n
(x) adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi dan
m
)
−∞
ortogonal satu sama lain.
19

Jika fungsi-fungsi {ϕ n (x)} selain ternormalisasi juga ortogonal (disebut ortonormal)
satu sama lain maka berlaku
∞
∫ ϕ *
m
( x)
ϕ
n
( x)
dx =
−∞
δ
mn
=1; m=n
=0; lainnya
Jika ψ(x) fungsi yang dinormalisasi, maka
δ disebut kronecker delta
Jadi,
∞
∫
−∞
ψ
*
(
*
∑c n
c n
n
x)
ψ(
x)
dx
= 1
= 1
∑
m,
n
c
*
m
c
∞ n ∫
−∞
φ
*
m
( x)
φ
n
( x)
dx = 1
∑
m,
n
c
*
m
c
n
δ
mn
= 1
Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket seperti
dan konjugasinya dalam bra seperti
φ n
φ n
Integral overlap dituliskan seperti:
∞
∫ ϕ *
k
( x)
ϕl
( x)
dx =
−∞
ϕ
k
ϕ
l
20

Ortogonalisasi Schmidt
Andaikan φ 1 dan φ 2 adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadap
lainnya.
Misalkan ϕ 1 =φ 1 , lalu pilih ϕ 2 =φ 2 +αφ 1 . Besarnya α dihitung atas dasar ϕ 1 dan ϕ 2
yang ortogonal satu sama lain.
*
*
*
∫ϕ1ϕ
2dx
∫φ1
φ2dx
+ α ∫ φ1
φ1dx
=
α =
−
∫
∫
φ
φ
= 0
*
1
*
1
φ dx
2
φ dx
1
2.4 Operator Fisis
Setiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnya
operator bagi energi total adalah Ĥ seperti diperlihat dalam persamaan:
2
H ˆ h 2
= − ∇ + V
2m
Operator energi potensial
Operator energi kinetik
21

Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut:
1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya;
2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai
eigen adalah ril.
Persamaan harga eigen:
Hˆ
ψ ( x)
=
Eψ
( x)
fungsi eigen partikel
nilai eigen; energi partikel
operator energi total; disebut hamiltonian partikel
3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya
memenuhi persamaan
operator besaran fisis
∞
*
∫ψ
( x)
Aˆ
ψ(
x)
dx
−∞
A av
=
∞
*
ψ ( x)
ψ(
x)
dx
∫
−∞
fungsi keadaan partikel
harga rata-rata besaran fisis
22

Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi
Andaikan:
∞
∫
−∞
*
A av
= ψ ( x)
Aˆ
ψ ( x)
dx
Aˆ
ϕ ( x)
= a
n
n
ϕ ( x)
ψ ( x ) = ∑c n
ϕn
( x)
n
Jika {ϕ n
} adalah fungsi-fungsi yang ortonormal
A
av
=
=
=
∑
mn
∑
n
∫
c
c
*
m
*
n
c
c
n
n
a
a
n
n
n
*
ψ ( x)
Aˆ
ψ(
x)
dx =
∫
*
m
n
∑
mn
c
*
m
ϕ ( x)
ϕ ( x)
dz=
c
n
∫
∑
mn
ϕ ( x)
Aˆ
ϕ ( x)
dx
c
*
m
*
m
c
n
a δ
Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku
*
x Aˆ
x dx Aˆ
*
ψ ( ) ψ(
) = [ ψ(
x)]
ψ(
x)
dx
∫
∫
Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator
hermitian.
n
n
mn
23

Operator momentum:
Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyai
momentum linier p x = ħk dengan k=2π/λ. Fungsi gelombang partikel itu adalah .
φ ( x)
=
ikx
ae
Bagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen p x = ħk ?
Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:
φ ( x)
=
ikx
ae
ˆ
p x
ˆ
p x
ϕ ( x)
hkϕ(
x)
Jadi operator momentum linier adalah:
ˆ
p x
=
= −ih
hk
ϕ ( x)
dϕ(
x)
dx
⎛ d ⎞
ϕ(
x)
= ⎜ − i h ⎟ϕ(
x)
⎝ dx ⎠
d
≡−ih
dx
Secara umum, operator momentum:
pˆ
= − ih
∇
Ingat, energi kinetik:
2
ˆ
pˆ
K =
x =
2m
1
2m
⎛
⎜ − ih
⎝
d
dx
⎞
⎟⎜
⎛ − ih
⎠⎝
2 2
d ⎞ h d
⎟ = −
dx⎠
2m
dx
2
24

Jika
Komutator:
Tinjau dua buah operator: Â dan Bˆ
Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornya
seperti
[ Aˆ,
Bˆ]
= AB ˆ ˆ − BA ˆ ˆ
[ Aˆ
, Bˆ
] =
0
Kedua operator disebut komut.
Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan d/dx ! Gunakan fungsi ϕ(x)
sebagai alat bantu:
d
dϕ
( x)
d
[ x,
] ϕ ( x)
= x[
] − [ xϕ
( x)]
dx
dx dx
dϕ
( x)
dϕ
( x)
= x − ϕ ( x)
− x
dx
dx
= −ϕ
( x)
⎡ d ⎤
⎢ x, ⎥ = −1
⎣ dx ⎦
⎡ d
⎢
⎣ dx
⎤
x ⎥
⎦
Jadi: Buktikan: , = 1
25

Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyai
fungsieigen yang sama.
Aˆ
ψ = aψ
; Bˆ
ψ = bψ
s
AB ˆ ψ − BA ˆ ˆψ
= baψ
− abψ
=
AB ˆ ˆ − BA ˆ ˆ =
0 →
[ ] Aˆ,
Bˆ
= 0
0
26

2.5 Persamaan Gerak Heisenberg
Secara umum jika A av adalah harga rata-rata operator besaran fisis dengan fungsi
gelombang ψ(x,t) maka:
∞
∫
−∞
*
A av
= ψ ( x,
t)
Aˆ
ψ(
x,
t)
dx
Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah
Mengingat:
∂ψ
∂t
*
dA av
dt
Hˆ
Aψ + ψ
∞⎛
⎞
∫⎜
∂Aˆ
*
* ∂ψ
∂ψ
= ⎟
ψ ψ + Aψ ˆ *
+ ψ Aˆ
dx
−∞⎝
∂t
∂t
∂t
⎠
*
∂ψ
( x,
t)
* ∂ψ
( x,
t)
( x)
= i
dan Hψ ˆ ( x)
= −ih
∂t
∂t
ψ h [ ]
ψ
Aˆ
∂
∂t
1
= − ψ
ih
HAψ ˆ ˆ 1
+ ψ
ih
AHψ ˆ ˆ =
Â
1
ψ
ih
1
ih
[ ] [ AH ˆ ˆ − HAψ ˆ ˆ = ψ Aˆ,
Hˆ
]ψ
ˆ *
*
*
*
*
maka
dA ⎛
∫
⎟ ⎞
⎜
∂Aˆ
av * 1
= ψ
+ [ Aˆ,
Hˆ
] ψ dx
dt ⎝ ∂t
ih
⎠
27

Jadi, dA av dAˆ
*
= ψ ψ dx
dt
∫
dt
dengan d Aˆ
∂Aˆ
1
= + [ Aˆ,
Hˆ
]
dt ∂t
ih
d A ˆ
dt
∂A
ˆ
∂t
Operator turunan dari
Turunan dari Â
Jika operator  komut dengan Hˆ , maka
Â
dA ˆ
dt
∂A
= ˆ
∂t
dA
Jika operator  ˆ selain komut dengan Ĥ, juga tak bergantung waktu: = 0
dt
Besaran fisis seperti itu disebut tetapan gerak dari partikel (kekal dalam
pengertian klasik).
28

29
2.6 Representasi Matriks
ψ aψ
A =
ˆ
Tinjau persamaan harga eigen:
∑
=
=
N
i
i
c i
1
φ
ψ
Misalkan:
∑
∑ =
j
j
j
j
j
j
c
a
A
c
φ
ˆφ
∑ ∫
∑ ∫ =
j
j
i
j
j
j
i
j
d
c
a
d
A
c
τ
φ φ
τ
φ
φ
*
* ˆ
maka
Kalikan dari dengan
i
ij
j
j
ac
A
∑c =
N
N
NN
N
N
N
N
N
N
N
N
ac
c
A
c
A
c
A
ac
c
A
c
A
c
A
ac
c
A
c
A
c
A
ac
c
A
c
A
c
A
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
.
..........
.......
..........
..........
..........
..........
.
..........
.
..........
.
..........
2
2
1
1
3
3
2
32
1
31
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
0
...
)
(
.......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
)
(
...............
)
(
....
..........
)
(
3
2
1
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
N
NN
N
N
N
N
N
N
c
c
c
c
a
A
A
A
A
A
a
A
A
A
A
A
a
A
A
A
A
A
a
A
*
φ i

Jika elemen-elemen A ij diketahui maka harga a dapat ditentukan sebagai solusi
dari polinom yang diperoleh dari determinan:
( A
A
A
11
21
31
− a)
( A
( A
− a)
..................
..................
..................
.......... .......... .......... .................
A
N1
A
A
32
22
N 2
A
A
N3
12
− a)
A
33
A
13
23
..................(
A
NN
A
A
A
1N
2N
3N
− a)
= 0
Contoh
Â
=
⎛0
⎜
⎝1
1⎞
⎟
0⎠
⎛−
a
⎜
⎝1
1 ⎞⎛c
⎟
⎜
− a⎠⎝c
1
2
⎞
⎟
⎠
=
0
− a
1
1 =
− a
0
a 2 -1=0, a 1
=-1 dan a 2
=1.
Dengan a 1
diperoleh c 1 = -c 2 =1/√2
dengan a 2
diperoleh c 1 =c 2 =1/√2
ψ
1
1
=
2 1
φ
( φ − ) 2
1
ψ = ( φ + ) 2
2 2 1
φ
30

31

BAB 3
SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANA
Persamaan Schrödinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatu
partikel 2 2
2 2
h d ψ
⎛ h d ⎞
+ ( E − V ) ψ = 0
2
2m
⎜ − + V ψ = Eψ
dx
m dx
⎟
2
⎝ 2 ⎠
dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.
3.1 Potensial Tangga
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Di
x=0 elektron itu menghadapi potensial tangga sebesar V o .
Jika energi total elektron, E< V o , secara klasik elektron
akan terpantul sepenuhnya.
V
E
V o
0
Bagaimana menurut kuantum?
Di daerah x

Di daerah x>0, V=V o ; misalkan fungsi gelombang elektron adalah ψ 2 (x)
2
h
2m
e
d
ψ
2
2
2
dx
+ ( E−V
) ψ
o
2
= 0
Karena E 0
;
x
<
0
33

Kerapatan peluang elektron di x>0 dapat dihitung dengan menggunakan ψ 2 (x):
ψ ( x)
2
2
=
k
2
4k
+ K
2
2
A
2
e
−2Kx
4E
=
V
Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya,
elektron masih mempunyai peluang berada di x>0.
Peluang itu menuju nol jika V o >>E, atau di x=∞.
⏐C/A⏐ 2 = 4k/(k 2 +K 2 )=4E/V o adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapat
diramalkan.
3.2 Potensial Tangga Persegi
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-
positif. Eleketron menghadapi potensial tangga
seperti:
V(
x)
= Vo
; 0 ≤ x ≤ a
= 0; x < 0, x > a
Sepanjang perjalanannya energi total elektron, E< V o .
Karena V=0, fungsi gelombang elektron sebagai solusi persamaan Schrodinger
dalam daerah x

Dalam daerah 0

Ilustrasi fungsi gelombang-fungsi gelombang:
ψ 1 (x)
ψ 2 (x)
ψ 3 (x)
0
a
x
2
2
2 2
B / A merupakan koefisien pantulan di x=0 dan F / A adalah koefisien transmisi di
x=a. Jadi, secara kuantum elektron dapat menerobos potensial penghalang meskipun
energinya lebih kecil daripada potensial penghalang. Fenomena inilah yang disebut
sebagai efek terobosan (tunnel effect).
Terobosan partikel berlangsung dalam peluruhan radioaktif. Suatu
partikel-α (= inti atom He) mengalami gaya dorong elektrostatik inti
hingga jarak 10 -8 μm dari inti Uranium. Kurang dari jarak itu gaya
bersifat tarikan dan berbentuk sumur potensial seperti diperlihatkan
dalam Gb. Partikel-α dalam sumur itu dapat menerobos
penghalang (tarikan) dan selanjutnya terdorong keluar.
Eksperimen menunjukkan bahwa energi partikel itu lebih kecil
daripada penghalang.
V(r)
E
r
36

3.3 Sumur Potensial Persegi Tak Terhingga
Andaikanlah suatu elektron dalam pengaruh potensial
berbentuk sumur tak terhingga berdimensi-1 seperti
V=∞
berikut:
V(
x)
= 0; −a
< x < a
= ∞;
x ≥ a,
x ≤ −a
-a 0 a x
Elektron terperangkap dalam daerah –a

*
Harga C dan D dihitung melalui normalisasi fungsi, yakni: ψ n
( x)
ψ ( x)
dx = 1
Hasilnya adalah C=D=1/√a, sehingga fungsi-fungsi eigen adalah:
1 ⎛nπ
⎞
1 ⎛nπ
⎞
ψ n
( x)
= cos⎜
x⎟;
n = 1,3,5...... . ψ n
( x)
= sin⎜
x⎟;
n = 2,4,6 .......
a ⎝2a
⎠
a ⎝2a
⎠
a
∫
−a
n
ψ 3
⏐ψ 3 ⏐ 2
ψ 2
⏐ψ 2 ⏐ 2
ψ 1
⏐ψ 1 ⏐ 2
-a 0 a x
-a 0 a x
Fungsi-fungsi ini membentuk set ortonormal; artinya: ∫ ψ =
Selanjutnya, diperoleh harga eigen energi:
E
n
2 2
2⎛
π h ⎞
= n ⎜ ⎟
; = 1,2,3,....
2
8
n
⎝ mea
⎠
Energi ini berharga diskrit (tidak kontinu, tapi
bertingkat-tingkat) ditandai oleh bilangan
kuantum n.
*
n
( x)
ψ
n'
( x)
dx δ
nn'
ψ 4
ψ 3
ψ 2
ψ 1
E 4
=16E 1
E 3
=9E 1
E 2
=4E 1
E1
38

3.4 Sumur Potensial Persegi Terhingga
Misalkan elektron terperangkap dalam sumur
potensial terhingga seperti:
V
( E

Jika energi elektron E

ψ 3
ψ 2
ψ 1
ψ o
-a 0 a
x
Jelas bahwa meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun karena
E

3.5 Sumur Potensial Persegi dengan Dinding
Misalkan pertikel berada dalam sumur potensial
terhingga seperti:
V(
x)
= ∞;
x ≤ 0
= −V
o;
0 < x < a
= 0; x ≥ a
Di x=0, potensial itu ∞ sehingga elektron tidak mungkin berada di daerah x

Persamaan Schrödinger di daerah x>a adalah:
h
−
2
d ψ
2
m e
2
2
2
dx
d
ψ
2
dx
2
2
2
− Eψ
2
− K ψ = 0
2
= 0
K
=
2 2
m
h
e
2
E
ψ 2
( x)
=
D e
−Kx
Syarat kontinu di x=a harus memenuhi ψ 1 =ψ 2 dan dψ 1 /dx=dψ 2 /dx. Jadi,
Csinka
= De
−Ka
kCcoska
= −KDe
−Ka
D=
C
2
k exp( 2Ka)
2 2
k + K
dan
ka ctg ( ka)
=
−Ka
Di pihak lain:
k
a
+ K
a
2 2 2 2 2
m V a
e o
2
Dari kedua persamaan ini diperoleh grafik berikut:
=
h
2
43

Dari rumusan k dan K, tingkat-tingkat energi
elektron adalah:
Ka
( ka)
n=1
+ ( Ka)
=
2 2 2
m V
e o
2
h
a
2
E
n
=
k
2
n
h
2m
e
2
−V
o
atau
E
n
2
K
n
h
= −
2m
Di mana k n dan K n diperoleh berdasarkan titiktitik
potong dalam gambar. Jadi, energi
elektron diskrit, karena elektron terperangkap
dalam sumur potensial.
e
2
0
π/2 π
3π/2
n=2
2π
ka
Untuk V o a 2

3.6 Osilator Harmonis Sederhana
Dalam mekanika klasik, osilator harmonis sederhana adalah benda yang bergerak
osilasi dengan simpangan kecil dalam pengaruh gaya konservatif:
r
F
=
− m ω
2
r
x
m adalah massa, dan ω adalah 2π x frekuensi; gerak osilasi berbentuk sinusoida
dengan amplitudo A adalah:
V
x ( t ) = A sin ω t
Dengan gaya konservatif tersebut, energi
potensial yang dimiliki benda adalah:
V
r
x
r
1 2 2
( x)
= −∫
F.
dx =
2
mω x
0
Energi total sebagai jumlah energi potensial (V)
dan energi kinetik (K) diperlihatkan dalam:
E=½mω 2 A 2
-A 0 A x
K(x)=E-V(x)
V(x)=½mω 2 x 2
E
=
1 2
A 2
2
mω
Jadi, secara klasik osilator memiliki energi tunggal.
45

Bagaimana pandangan fisika kuantum?
Persamaan Schrödinger untuk suatu partikel berosilasi adalah:
2
d ψ(
x)
2m
+ ( E −V)
ψ(
x)
= 0
2 2
dx h
2
2
( E −
1
mω
x ) ψ ( ) = 0
d ψ ( x)
2m
2
+ x
2 2 2
dx h
mω
2E
Lakukan penyederhanaan: a = ; c = ; z =
h hω
d
2
ψ ( z)
2
+ ( c − z ) ψ ( z)
= 0
2
dz
ax
Persamaan ini dapat diselesaikan dalam dua tahap.
Tahap pertama: untuk z yang besar c dapat diabaikan: (appr. Asimtotik)
ψ(
z)
∝ e
−z
2
/ 2
Tahap berikutnya, nyatakan fungsi lengkap seperti:
ψ(
z)
= H ( z)
e
− z
2
/ 2
46

Persamaan Schrodinger menjadi:
2
d H ( z)
dH
− 2z
+ ( c −1)
H = 0
2
dz dz
merupakan persamaan diferensial Hermite. Solusinya adalah polinom Hermite
sebagai berikut:
2
−z
( e );
n = 0,1,2,.......... ..
n
2
n z d
H
n
( z)
= ( −1)
e
n
n = 1 1) 0, 1, 2, ......
2
dz
( c − =
sehingga fungsi-fungsi eigen (keadaan) adalah:
1 2
− z
1
2
ψn ( z)
= Nn
Hn
( z)
e ; Nn
=
n 1/ 2
2 n!
π
1 2 2
− a x
a
2
ψ
n( x)
= Nn
Hn(
ax)
e ; Nn
=
ψ ( x)
a ( z)
n 1/ 2
n
= ψ
n
2 n!
π
di mana adalah faktor normalisasi dan n merupakan bilangan kuantum .
Contoh fungsi-fungsi keadaan:
1 1 2
− − z
2 2
H o
( z)
= 1
ψ ( z)
= π e
H ( z)
2z
1
=
o
ψ 1( z)
= 2π
2
H
2
( z)
= 4z
− 2
1
1 2
1
−
2 2 − z
2
ψ ( z)
= π (2z
−1)
e
2
2
−
1
2
ze
−
1
2
z
2
Fungsi-fungsi eigen ini membentuk
set yang ortonormal.
47

Dari
c
=
2E
hω
dan
n = 1 ( c − 1)
2
diperoleh energi eigen (keadaan) bersangkutan:
E n
= ( n + 1 ) 2
hω;
n = 0,1,2,......
Terlihat bahwa, karena partikel terperangkap dalam potensial V, maka energinya diskrit.
Frekuensi osilator lebih kurang sama dengan frekuensi bunyi; oleh sebab itu,
ω h disebut fonon. Jadi, fungsi keadaan ψ n dikatakan mengandung n buah fonon.
Untuk lebih jelasnya, fungsi-fungsi keadaan
diperlihatkan dalam gambar. Fungsi keadaan
ψ
o
( z)
=
π
−
1
2
e
−
1
2
z
2
V
ψ 2
ψ 1
ψ o
E 1
E 2
disebut keadaan dasar dengan energi E o =½ħω.
E o
z
48

Sifat-sifat penting polinom Hermite:
(i). Hubungan rekursif:
(ii). Sifat ortogonalitas:
H
1 ( z)
= 2z
H n ( z)
2n H n−1
( z)
n+ −
dHn
( z)
= 2n H
dz
∞
∫
−∞
e
− z
2
H
m
( z)
H
n−
n
1(
z)
( z)
dz =
2
n
n!
π
Dengan sifat-sifat di atas, diperoleh sifat-sifat fungsi keadaan:
1/ 2
δ
mn
(i) Hubungan rekursif:
(ii) Sifat ortonormalitas:
ψ
n+
2
n
1( z)
= zψn
( z)
− ψn−
1(
z)
n + 1 n + 1
dψn
( z)
=
dz
n
ψ
2
n−
∞
∫ ψ m
( z)
ψ
n
( z)
dz =
−∞
n + 1
1(
z)
− ψn+
1(
z)
2
δ
mn
49

Contoh:
1. Hitunglah gaya pegas rata-rata.
F
Fave = −mω
ψ n ( x)
xψ
n ( x)
dx = −ω
mhω
ψ n ( z)
zψ
n ( z)
dz
2. Hitunglah harga rata-rata energi potensial.
V
=
2
= −mω
x
1
2
2
∞
∫
−∞
mω
2
x
2
∞
∫
2
2
2
Vave =
1
mω ψn
( x)
x ψn
( x)
dx
1
2
= 2 hω
ψn
( z)
z ψn
( z)
dz
−∞
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
3. Hitunglah harga rata-rata energi kinetik
K
K
2 2
h d
= −
2
2m
dx
ave
2
h
= −
2m
∞
∫
−∞
ψ
n
⎡ d
( x)
⎢
⎣dx
2
2
ψ
n
⎤
( x)
⎥dx
=
⎦
−
1
2
hω
∞
∫
−∞
ψ
n
⎡ d
( z)
⎢
⎣dz
2
2
ψ
n
⎤
( z)
⎥dz
⎦
50

Ungkapan lain dari osilator harmonik
2
d ψn( z)
2
+ ( c − z ) ψ ( z)
= 0
2
n
dz
⎛
2E
d
n
c =
⎜−
dz
hω
⎝
Misalkan:
aˆ
=
1 d
( z+
); aˆ
2 dz
aˆ + aˆ
+
=
1 d
( z−
);
2 dz
⎛ d ⎞ −
⎝ dz⎠
+
ˆ ψ
1 1
n = ⎜z
⎟ψ
= +
2
n
n ψn
+ 1
a
2
2
+ z
2
⎞
⎟ψ
⎠
( z)
= 2( n
1
2
n
+
) ψ
n
( z)
2
+
+ d
2a ˆ aˆ
+ 1 ≡ 2aa
ˆ ˆ −1
= − + z
2
dz
aψ ˆ
n
d
dz
2
aˆ
+
aa ˆ ˆ
= 1 ( z + ) ψ =
2
n
nψn−
1
aψ ˆ
+
ψ
n
n
=
nψ
n
= ( n + 1) ψ
Operator mempunyai nilai eigen n dengan fungsi keadaan ψ n ; karena n menyatakan
jumlah fonon dalam keadaan ψ n
maka operator ini disebut operator okupasi.
Karena
Selanjutnya,
1 +
1
hω
2aa
ˆ ˆ −1)
ψ ( z)
= hω(
n ) ψ ( z )
2
+
maka hω
aa ˆ ˆ − 1 )
(
n
+
2
( 2
merupakan operator hamiltonian.
+
Terlihat, operator â mengubah ψ n menjadi ψ n+1 ; artinya menambah jumlah fonon.
Dengan alasan itu operator ini disebut operator kreasi, sedangkan â disebut
operator anihilasi.
n
51
n

3.8 Transisi dan Aturan Seleksi
Suatu medan listrik yang berosilasi, jika berinteraksi dengan elektron, akan menggeser
posisi elektron dari posisi stasionernya. Pergeseran itu akan menimbulkan suatu momen
dipol . Selanjutnya, dipol itu berinteraksi dengan medan menimbulkan Hamiltonian
Misakan medan listrik: E=E o cos ωt dan dipol listrik elektron: μ=er
Interaksi dipol dan medan menimbulkan Hamiltonian:
Hˆ
D
r r
= μ.
E
r
= eE
o
r
.
cos ωt
Interaksi itu memungkinkan elektron bertransisi (berpindah keadaan) dari keadaan awal ψ i
ke keadaan akhir ψ f . Probabilitas transisi diungkapkan sebagai berikut:
di mana
P
if
∝
∝
∝
e
e
∫
∑
α
r
*
ψ ( r)[
E
∫
i
*
i
ψ ( r)[
E
E
2
oα
M
( x)
*
Mif = e∫ ψ i
( r)
xψ
f
( r)
dv
o
.
r ] ψ
ox
( α )
2
if
f
. x + E
;
( r)
dv
oy
2
y + E
α = x,
y,
z
oz
z]
ψ
f
( r)
dv
disebut komponen-x dari momen transisi.
Transisi dari suatu keadaan ψ i ke keadaan ψ f disebut terlarang (forbidden) jika M if =0;
sebaliknya transisi diperbolehkan (allowed) jika M if ≠0.
2
52

Contoh:
Dalam sistem dengan sumur potensial tak hingga, buktikan bahwa momen transisi
elektron tidak sama dengan nol jika ⏐m±n⏐sama dengan suatu bilangan ganjil.
M
( x )
mn
∫
= e ψ * xψ
Periksa m,n=2,4,6…., m − n = genap
a
⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞
M
mn
= e
1 π
∫sin⎜
x⎟sin⎜
π x⎟
x dx Misalkan πx/2a=θ
a
−a
⎝ 2a
⎠ ⎝ 2a
⎠
π / 2
π / 2
π /
4a
2a
⎡
M mn
= e ∫sin
mθ
sin nθ
θ dθ
= e ⎢ ∫ cos[( m − n)
θ ] θ dθ
−
2
∫
π
m
n
dx
2
⎤
( ) ( ) cos[( m + n)
θ θ dθ
⎥
⎦
]
2
π
−π
/ 2
−π
/ 2
−π
/ 2
⎣
π / 2
∫
−π
/ 2
cos[( m ± n)
θ]
θdθ
= 0 +
cos[( m ± n)
θ]
( m ± n)
2
sin[( m ± n)
θ]
= θ
m ± n
π / 2
−π
/ 2
Periksa m,n=1,3,5….,
= 0 → M
m − n =
mn
π / 2
= 0
genap
−π
/ 2
−
π / 2
∫
−π
/ 2
sin[( m ± n)
θ]
dθ
m ± n
M
mn
=
1
e
a
a
∫
−a
⎛ mπ
cos⎜
⎝ 2a
⎞ ⎛ nπ
x⎟cos⎜
⎠ ⎝ 2a
⎞
x⎟xdx
⎠
53

54
( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
= ∫ ∫
∫
−
−
−
2
/
2
/
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2 ]
)
cos[(
]
)
cos[(
2
cos
cos
4
π
π
π
π
π
π
mn
θ
θd
θ
n
m
θdθ
θ
n
m
π
a
e
θdθ
nθ
mθ
π
a
e
M
0
)
(
]
)
cos[(
0
]
)
sin[(
]
)
sin[(
]
)
cos[(
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
=
±
±
+
=
±
±
−
±
±
=
±
−
−
−
−
∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
n
m
θ
n
m
dθ
n
m
θ
n
m
n
m
θ
n
m
θ
θdθ
θ
n
m
0
=
M mn
Periksa m=1,3,5…., n=2,4,6….
ganjil
n
m =
−
∫
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
a
mn
xdx
x
a
nπ
x
a
mπ
a
e
M
2
sin
2
cos
1
( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
= ∫ ∫
∫
−
−
−
2
/
2
/
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2 ]
)
sin[(
]
)
sin[(
2
sin
cos
4
π
π
π
π
π
π
mn
θ
θd
θ
n
m
θdθ
θ
n
m
π
a
e
θdθ
nθ
mθ
π
a
e
M
2
2
/
2
/
2
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
)
(
2
)
(
]
)
sin[(
0
]
)
cos[(
]
)
cos[(
]
)
sin[(
n
m
n
m
θ
n
m
dθ
n
m
θ
n
m
n
m
θ
n
m
θ
θdθ
θ
n
m
π
π
π
π
π
π
π
π
±
=
±
±
+
=
±
±
+
±
±
−
=
±
−
−
−
−
∫
∫

4a
⎡ 1 1 ⎤
M mn
= e ⎢ − ⎥ ≠ 0;
m ± n =
2
2
2
π ⎣(
m + n)
( m − n)
⎦
ganjil
ψ 6
ψ 5
ψ 4
ψ 3
ψ 2
ψ 1
Transisi dari keadaan dasar ψ 1 ke keadaan lebih tinggi
Contoh:
Periksalah momen transisi antara dua keadaan suatu osilator.
ψ
−1
z
2
2
n
( z)
= Nn
H
n
( z)
e ; Nn
=
2
n
1
n!
π
1/ 2
M
∞
mn ∫
)
−∞
h
= e ψ
m
( x)
xψ
n
( x dx M
mn
= e ψ
m
( z)
zψ
n
( z)
dz
mω
∞
∫
−∞
55

zψ
M
n
n + 1 n
( z)
= ψn+ 1(
z)
+ ψn−
1(
z)
2 2
∞
∞
h ⎡ n + 1
n
= e ⎢ ∫ψm(
z)
ψn+
1(
z)
dz + ∫ψm(
z)
ψn−
meω
⎣ 2
2
−∞
−∞
mn 1
)
⎤
( z dz⎥
⎦
∞
∫
−∞
ψ
m
( z)
ψ
n+
1
( z)
dz = 1
jika
m = n + 1→
M
n+
1, n
= e
( n + 1) h
2m ω
e
∞
∫
−∞
ψ
m
( z)
ψ
n−1
( z)
dz = 1
jika
m = n −1→
M
n−1,
n
= e
nh
2m ω
e
Jelas, aturan seleksi adalah ⏐m-n⏐=1
Dari contoh di atas jelas bahwa
~ x =
⎛0
⎜
⎜ x
⎜
⎝
0
10
x
0
x
01
21
0
x
0
12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
∞
∫ ψ m ( x)
xψ
n ( x)
dx
−∞
punya harga jika ⏐m-n⏐=1.
56

BAB 4
MOMENTUM SUDUT ELEKTRON TUNGGAL
4.1 Operator Momentum Sudut
Dalam mekanika klasik, momentum r sudut suatu partikel merupakan perkalian vektor
r r
posisi dan vektor momentum, L =
xp
Komponen-komponennya merupakan operator-operator dari partikel tersebut:
Lˆ
x
=
yp ˆˆ
z
− zp ˆˆ
y
;
Lˆ
y
= zp ˆˆ
x
− xp ˆˆ ;
z
Lˆ
z
= xp ˆˆ
y
− yˆ
pˆ
x
Lˆ
x
∂ ∂ ˆ ∂ ∂
( ); ( ); ˆ ∂ ∂
= −ih
y −z
Ly
=−ih
z −x
Lz
=−ih
( x − y )
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
Selain itu, momentum kuadrat adalah operator juga:
z
L ˆ
+
2 ˆ2
ˆ2
ˆ 2
= Lx
+ L
y
Lz
Dalam koordinat bola berlaku hubungan berikut:
θ
r
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z =
r cos θ
2 2 2 2
z
r = x + y + z ; cosθ
=
; tgφ =
2 2 2
x + y + z
y
x
x
ϕ
y
57

Lˆ
x
Lˆ
Lˆ
z
Lˆ
y
2
∂
∂
= ih(sinϕ
+ ctgθ
cosϕ
)
∂θ
∂ϕ
∂
∂
= −ih(cosϕ
−ctgθ
sinϕ
)
∂θ
∂ϕ
= −ih
= −h
2
∂
∂ϕ
⎡
⎢
⎣
1
sin
Komutator-komutator:
2
∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ ⎤
⎜sinθ
⎟ +
2 2 ⎥
θ ∂θ
⎝ ∂θ
⎠ sin θ ∂ϕ
⎦
Buktikan sendiri !!
[ Lˆ
, Lˆ
] = ih Lˆ
; [ Lˆ
, Lˆ
] = ihLˆ
; [ Lˆ
, Lˆ
] = ihLˆ
x
y
z
y
z
x
z
x
y
[ Lˆ
2 , Lˆ
j
] = 0, j = x,
y,
z.
[ ˆ , Lˆ
] = hLˆ
L z
±
±
[ Lˆ
, Lˆ
] = 2h
ˆ
+
−
L z
±
Lˆ = Lˆ
± i ˆ
±
x
L y
Buktikan sendiri !!
58

4.2 Komponen-z
Harga eigen dan fungsi eigen operator Lˆ z dapat ditetapkan sebagai berikut. Misalkan Φ(ϕ)
adalah fungsi eigen bersangkutan dengan harga eigen L z sehingga:
ˆ
L z
Karena
Lˆ zΦ
= L
z
Φ
harga eigen
operator
∂ ∂Φ
= −ih − ih
= LzΦ
Φ ∝ exp( iL z ϕ / h)
∂φ
∂ϕ
Φ( ϕ ) = Φ(
ϕ + 2π
)
exp(
iL φ/
h)
= exp[ iL ( φ+
2π)/
h]
= exp( iL φ/
h)exp(
i2πL
Jadi:
z
z
maka
exp ( i2πL
z
/ h)
= cos(2πL
z
/ h)
+ isin(2πL
z
/ h)
= 1
2π
L z
= 0, ± 2π
, ± 4π
,..... = ;
l
= 0, ± 1, ± 2,.....
h
L m h m
z l Φ = 1
m
exp( im ϕ)
l l 1/
2π
z
z
/ h)
2π adalah faktor normalisasi
L z sebagai komponen momentum sudut pada sumbu-z ternyata merupakan besaran yang
diskrit atau terkuantisasi. Dalam eksperimen, sumbu-z dinyatakan sebagai sumbu di mana
arah medan magnet statik ditetapkan. Oleh sebab itu m l disebut bilangan kuantum
magnetik.
59

4.3 Momentum Sudut Total
Harga eigen dan fungsi eigen operator ˆL 2 ditentukan sebagai berikut. Andaikan
Y(θ,ϕ) adalah fungsi eigen dengan harga eigennya L 2 :
ˆ 2
2
L Y ( ϕ,
θ ) =
− h
2
sin
L Y ( ϕ,
θ )
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞
⎢ ⎜sinθ
⎟ +
⎣sinθ
∂θ
⎝ ∂θ
⎠
sin
2
2 2
2 ∂ Y ∂Y
L sin
θ + sinθ
cosθ
+
2
2
∂θ
∂θ
1
2
2
∂ ⎤
Y =
2 ⎥
θ ∂ϕ
⎦
h
θ
Y
L
2
Y
2
∂ Y
= −
2
∂ϕ
Untuk pemisahan variable misalkan Y( θ,
ϕ)
= P(
θ)
Φ(
ϕ)
1 ⎛
sin
P
⎜
⎝
∂
∂
∂θ
sin
2
2 2
2 P
P
1
θ + sinθ
cosθ
+ P⎟
2
2
∂θ
⎛
2
2
2 ∂
∂P
L sin
⎜
sin θ + sinθ
cosθ
+
2
2
⎝ ∂θ
∂θ
h
L
h
θ
θ ⎞
P⎟
= m
⎠
P
2
2
l
2
⎞ ∂ Φ
⎟ = − = m
2
⎠ Φ ∂ϕ
Persamaan ini identik dengan persamaan Legendre terasosiasi dengan:
P
2
l
∂
2
P
2
∂θ
∂P
⎛ L
+ ctgθ
+ ⎜
∂θ
⎝ h
2
2
2
m ⎞
l
− ⎟
sin 2 P
θ ⎠
= 0
L
2
2
= h l(
l + 1);
l
≥
m
l
60

P
m
l
P
l
o
o
o
P1
1
P1
P o
2
P
1
2
m
l
( −1)
( w)
=
l
2 l!
( θ )
( θ )
( θ )
=
=
( θ ) =
( θ )
=
1
2
1;
−
cos
− sin
(3cos
θ
(1 − w
θ
2
)
1
2 2
θ − 1);
= 3cosθ
sin θ ; P
2
2
m
l
⎛
⎜
⎝
( θ )
d
dw
⎞
⎟
⎠
l+
m
l
= 3(1 − cosθ
)
2 l
( w −1) ; w = cosθ
2
L z
=ħ
L z
=0
L z
=-ħ
z
m l
=1
L = h 2
m l
=-1
m l
=0
l adalah bilangan bulat positif 0, 1, 2, …..; bilangan ini disebut bilangan kuantum orbital.
Untuk suatu harga l ada (2 l +1) buah harga m l, yakni m l = -l , -(l -1),...,-1, 0, 1,..., (l-1),
l. L z =m l ħ adalah hasil proyeksi L pada sumbu-z..
Akhirnya, diperoleh fungsi eigen bagi operator:
⎡ 2l
+ 1 ( l − m l )! ⎤ ml
Y ( θ , ϕ ) ≡ Ylm
( θ , ϕ ) =
P ( θ ) ( ϕ )
l
⎢
⎥ l Φ ml
⎣ 2 ( l + m l )! ⎦
yang biasa disebut fungsi harmonik bola (spherical harmonics).
1 / 2
ˆL 2
Sifat ortogonalitas:
π 2π
*
∫∫( Yl
m
) Y
l l'
m'
sin θ dθ
dϕ
= δ
l
ll '
δ
ml
m'
0 0
l
61

62
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
−
−
+
= +
−
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
m
m
m
Y
m
Y
m
Y
θ ,
1
2
2
1,
2
2
3
2
1)
(
1
2
1
2
1
cos
2.
⎥
⎥
⎦
⎤
+
+
±
+
±
−
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
±
+
±
−
±
1
1,
1
1,
3
2
1)
2)(
(
1
2
1)
)(
(
1
2
1
sin
3.
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
lm
lm
l
m
m
m
m
i
Y
m
m
Y
m
m
Y
θ e ϕ
Tiga sifat penting dari fungsi ini adalah
ϕ
θ
π
θ
θ
π
θ
π
θ
i
e
Y
Y
Y
±
± −
=
=
=
sin
8
3
)
(
;
cos
4
3
)
(
;
4
1
)
(
1
1
10
00
ϕ
ϕ
θ
π
θ
θ
π
θ
θ
π
θ
i
i
e
Y
e
Y
Y
2
2
2
2
1
2
2
20
sin
32
15
)
(
sin2
32
15
)
(
1);
(3cos
16
5
)
(
±
±
±
±
=
= −
−
=
Beberapa contoh fungsi harmonik bola adalah
l
l
l
l
ll
l
l
'
'
'
'
0
2
0
*
sin
)
(
.
1 m
m
m
π
π
m
δ
δ
θ dθ dφ
Y
Y =
∫∫

Dengan fungsi dan harga eigen seperti di atas, persamaan harga eigen adalah:
ˆ2
2
lm
= h
L Y
Lˆ
Y
z
l
lm
l
=
l
l(
l + 1) Y
m hY
lm
l
;
lm
m
l
l
;
l = 0,1,2,....
= ± l,
± ( l −1),......
Persamaan-persamaan di atas menunjukkan kuantisasi momentum sudut.
Orbital-orbital elektron dibentuk dari fungsi-fungsi Y l ml
dalam bentuk ril.
l
= 0;
l = 1;
p
p
p
x
y
s ≡ Y oo
z
≡Y
≡
1o
−1
≡ ( Y
2
i
( Y
2
11
11
+ Y
−Y
1−1
1−1
) =
) =
3
sinθ
cosϕ
4π
3
sinθ
sinϕ
4π
l = 2
d
d
d
d
d
z
xz
yz
2
2
≡ −
≡
≡
2
x −y
xy
≡ Y
≡
20
1
( Y
2
i
( Y
2
−i
( Y
2
21
22
21
1
( Y
2
−Y
22
−Y
+ Y
2−1
+ Y
2−2
2−1
) =
2−2
) =
) =
) =
15
sinθ
cosθ
cosϕ
4π
15
sinθ
cosθ
sinϕ
4π
15
sin
16π
15
sin
16π
2
2
θ cos
θ sin
2
ϕ
2
ϕ
63

x
z
y
x
x
s
z
z
z
s untuk l =0,
y
y
y
p untuk l =1
x
x
p p
x
p y
z
d untuk l =2
z
z
z
z
z
y
y
y
y
y
x
x
x
x
d z2
d xy
d yz
d x2-y2
d xy
Dalam pembentukan molekul dari beberapa atom, ikatan antar atom berlangsung
melalui orbital-orbital tersebut di atas.
64

4.4 Operator Tangga
Sehubungan dengan operator Lˆ
±
fungsi harmonik bola Y l , m
.
l
akan dikemukakan karakteristik operasinya terhadap
[ ˆ , Lˆ
= hLˆ
L z
ˆ
ˆ
±
] ±
l
±
= ˆ ˆ ˆ
ˆ
L
z
L+ Ylm
( L+
Lz
+ hL+
) Ylm
= ( ml
+ 1) hL+
Lˆ
z
Lˆ
(
ˆ
ˆ
−
Ylm
+ 1
= L−Lz
− hL−
Ylm
+ 1
=
−Y l , m
l
+ 1
ˆ
)
l
l
m
l
hLˆ
L ˆ
+
Y lml adalah fungsi eigen dari Lˆ
z
Lˆ
adalah fungsi eigen dengan harga eigen m l ħ.
l
Andaikan
Lˆ
+
Yl
m
=
l
CY
lm
l
+ 1
dan
−
Y
Y
lm
lm
l
l
+ 1
dengan harga eigen (m l +1)ħ. Demikian pula
L ˆ Y = CY
− lm
+ 1
l
lm
l
Tapi
Lˆ Lˆ
Y ˆ = C
−
l
+
lm
l
= CL
−Yl
m + 1
l
ˆ Lˆ
Yl
m
( Lˆ
2
Lˆ
2
z hLˆ
2
2
− + = − − z)
Yl
m
= [ h l(
l+
1) −ml
( ml
+ 1) h
L ] Y
l
2
Y
lm
l
lm
l
65

C = h l( l + 1) − ml
( ml
+ 1) Lˆ
+
Yl
= h l(
l + 1) −ml
( ml
+ 1) Yl
1
Dengan cara yang sama diperoleh
Lˆ
Y
−
m
l
lm
l
= h
l(
l + 1) −m
l
( m
l
−1)
Y
m +
l
lm
−1
Kedua persamaan di atas bukan persamaan harga eigen, karena operator-operator itu
menggeser bilangan kuantum m l .
Operator Lˆ + menambah bilangan kuantum m l
menjadi m l
+1, sedangkan Lˆ
−
menguranginya dari m menjadi m l
-1. Oleh sebab itu, kedua operator itu disebut
sebagai operator tangga (step operator).
l
66

Tentukanlah matriks L +
untuk l=1
~
*
( L ) Y
, '
Lˆ
Y
,
sinθ
dθ
dϕ
= h l(
l + 1) − m ( m 1 δ
' , 1
= ∫ l
l
m l l
+
)
' , l m + l m
l l
+
m m
l
l
m +
l = 1 → m
m'
l
l
, m'
= −1
→ m
l
l
= −1,
0, 1
= −2(tidak
ada)
m'
m'
l
l
= 0 → m
= 1 → m
l
l
= −1
= 0
→
→
(1)
( L+
) = h
0, −1
(1)
( L ) = h 2
+
1,0
2
-1 0 1
~
L (1)
+
=
-1
0
1
⎛ 0
⎜
⎜h
2
⎜
⎝ 0
0
0
h 2
0⎞
⎟
0⎟
⎟
0
⎠
67

BAB 5
ATOM HIDROGEN DAN SEJENISNYA
5.1 Atom Hidrogen dan Sejenisnya
Hamiltonian (operator energi) elektron adalah
Hˆ
=
2
h
−
2m
∇
2
Ze
−
4
2
e
πε o
r
+Ze
r
-e
Misalkan ψ(r,θ,ϕ) adalah fungsi gelombangnya, maka persamaan Schrödinger
untuk elektron adalah:
2 2m
∇ ψ +
2
h
e
2
⎛ Ze ⎞
⎜E
+ = 0
4
⎟ψ
⎝ πεor
⎠
Karena potensial ini bersifat sentral maka perlu dilakukan transformasi ke
koordinat bola, yakni
2
2
2
∇ 2
⎛ ∂ 2 ∂ 1 ∂ ctgθ
∂ 1 ∂
≡
⎜ + + + +
2
2 2 2
2 2
⎝ ∂r
r ∂r
r ∂θ
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
2
⎞
⎟
⎠
68

Tetapi,
sehingga
Lˆ
2
= −h
2
2
∂ ψ 2
+
2
∂r
r
⎛
2
∂
⎜
⎝ ∂θ
2
∂ψ
+
∂r
∂
+ ctg θ +
∂θ
2m
h
e
2
⎛
⎜
E +
⎝
sin
1
2
2
Ze
4πε
r
∂
2
θ ∂ϕ
o
−
2
⎞
⎟
⎠
Lˆ
2m
2
e
r
2
⎞
⎟
ψ =
⎠
0
Misalkan ψ(r,ϕ,θ)= R(r)Y(ϕ,θ) dimana
Y ( ϕ,
θ )
= Y
lm
∂
2
∂r
R
2
+
2
r
∂R
∂r
+
2m
h
e
2
2 2
⎛ Ze h l(
l + 1)
⎜ E + −
2
⎝ 4πε
o
r 2m
e
r
⎞
⎟R
⎠
=
0
V
eff
=
2 2
Ze h l(
l + 1)
− +
2
4πε
r 2m
r
o
Merupakan potensial efektif yang dimiliki elektron, yakni
penjumlahan potensial Coulomb dan kinetik rotasi. Jelas
terlihat, bahwa elektron mengalami sejenis sumur potensial
dengan dinding. Jadi, elektron itu terikat dalam medan inti
sehingga energinya diskrit.
e
2
h l(
l + 1)
2
2m e
r
2
Ze
−
4πε o
r
r
69

Misalkan
ρ =
2Z
na
o
r;
n
2
=
2
Z e
8πε
a
o
2
o
E
;
a
o
=
4πε
oh
2
m e
e
2
=
0,53A
o
maka
2
d R 2 dR ⎛ n 1 l(
l+
1) ⎞
+ + ⎜ − − ⎟R
= 0
2
2
dρ
ρ dρ
⎝ρ
4 ρ ⎠
Misalkan solusinya,
R(
ρ)
= ρ s
L ( ρ)
e
−ρ
/ 2
2
d L
dL
ρ + L
2
dρ
dρ
[ 2( s+
1) −ρ] + [( n−s−1)
+ s(
s+
1) −l(
l+
1)] = 0
Agar memberikan solusi yang baik dipilih s(s+1)-l (l +1)=0 atau s= l , sehingga
2
d L
ρ
2
dρ
dL
+ L
dρ
[ 2( l + 1) − ρ] + ( n −l
−1)
= 0
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan diferensial Laguerre terasosiasi, yang
solusinya merupakan polinom-polinom:
70

L
L
q
p
p
( ρ)
= ( −1)
( ρ)
= e
ρ
q
p
d
p
dρ
q
d
L
q
dρ
p
p
( ρ e
( ρ);
−ρ
);
p = n+
l,
q = 2l
+ 1
Laguerre
Laguerre terasosiasi
dimana n dan adalah bilangan-bilangan bulat positif yang harus memenuhi
syarat:
n ≥ ( l+
1); n = 1,2,3,.....
Syarat ini menunjukkan bahwa untuk suatu harga n ada n buah harga l .
71

72
.
120
)
(
2;
3,
),
( 4
24
)
(
1;
3,
)
6
3(6
)
(
0;
3,
,
18
)
(
1;
2 ,
),
2 ( 2
)
(
0;
2 ,
1,
)
(
0;
1,
2
=
=
=
−
=
=
=
+
−
=
=
=
=
=
=
−
=
=
=
=
=
=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
5
5
3
4
1
3
3
3
1
2
1
1
L
L
L
L
L
L
l
l
l
l
l
l
n
n
n
n
n
n
( )
1
2
,
!
)!
(
1
2
)
(
)
( '
'
0
1
+
=
+
=
+
+
+
=
∫
∞
−
+
l
l q
n
p
p
q
p
q
p
d
e
p
p
q
p
q
p
q
δ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
L
L
Syarat ortogonalitas:

73
'
3
1
2
'
0
1
2
2
2
1)!
(
)!]
[(
2
)
(
)
( nn
n
n
n
n
n
d
e
δ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
+
=
+
+
∞
+
+
−
+
∫
l
l
l
l
l
l
l
L
L
)
(
)
(
1
2
2
/
ρ
ρ
ρ
ρ +
+
−
=
l
l
l
l
l
n
n
n
e
N
R
L
'
0
2
1
2
'
1
2
2
'
'
2
'
0
)
(
)
(
)
(
)
(
nn
n
n
n
n
nn
n
n
d
e
N
N
d
R
R
δ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
δ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=
=
∫
∫
∞
+
+
+
+
−
∞
l
l
l
l
l
l
l
l
l
L
L
Sifat ortonormal dari R:
3
3
2
)!]
[(
2
1)!
(
1
1)!
(
)!]
[(
2
l
l
l
l
l
l
+
−
−
=
→
=
−
−
+
n
n
n
N
n
n
n
N
n
n

74
)
(
)
(
1
2
2
/
ρ
ρ
ρ
ρ +
+
−
=
l
l
l
l
l
n
n
n
e
N
R L 3
)!]
[(
2
1)!
(
l
l
l
+
−
−
=
n
n
n
N n
Akhirnya diperoleh:
)
(
2
)
(
1
2
ρ
+
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
l
l
l
l
l
l
n
na o
Zr
o
n
n
e
r
na
Z
N
r
R
L
;
3
2
3/
)!]
[(
2
1)!
(
2
l
l
l
+
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
n
n
na
Z
N
o
n
atau dengan ρ=(2Z/na o )r .
,
2
)
(
/
2
3/
10
a o
Z
o
e
a
Z
r
R
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
( )
,
6
2
1
)
(
,
2
2
2
1
)
(
/2
3/2
21
/2
3/2
20
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
e
a
Z
r
R
e
a
Z
r
R
o
o
( )
( )
2
/
2
2
3/
32
2
/
2
3/
31
2
/
2
2
3/
30
30
9
1
)
(
,
4
6
9
1
)
(
,
6
6
3
9
1
)
(
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
e
a
Z
r
R
e
a
Z
r
R
e
a
Z
r
R
o
o
o

Energi keadaan:
E
n
=
−
2
Z e
8πε
a
o
2
o
n
2
=
−
Z
n
2
2
(13,6 eV
)
Untuk atom hidrogen di mana Z=1, rumusan ini sama dengan postulat Bohr.
Bilangan n disebut bilangan kuantum utama. Untuk suatu harga n ada n buah
harga l, yakni l=n-1, n-2,….,0.
2 2
2
L = h l(
l+
1) = h ( n−1)
n Untuk n>>: L = nh
Ini sesuai dengan Bohr; jadi postulat Bohr
berlaku hanya untuk n>>
75

76
Fungsi gelombang lengkap dari elektron: )
,
(
)
(
)
,
,
( ϕ
θ
ϕ
θ
ψ
l
l
l
l
l
m
n
m
n
Y
r
R
r =
;
2
2
4
1
;
1
/2
3/2
200
/
3/2
100
o
o
a
Zr
o
o
a
Zr
o
e
a
Zr
a
Z
e
a
Z
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
π
ψ
π
ψ
;
sin
8
1
;
cos
2
4
1
/2
3/2
1
21
/2
3/2
210
ϕ
θ
π
ψ
θ
π
ψ
i
a
Zr
o
o
a
Zr
o
o
e
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
o
o
±
−
±
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
;
2
2
4
1
;
1
/2
3/2
200
2
/
3/2
100
1
o
o
a
Zr
o
o
s
a
Zr
o
s
e
a
Zr
a
Z
e
a
Z
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
≡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
≡
π
ψ
ψ
π
ψ
ψ
.
sin
sin
2
4
1
;
cos
sin
2
4
1
;
cos
2
4
1
2
/
2
3/
2
2
/
2
3/
2
2
/
2
3/
210
2
ϕ
θ
π
ψ
ϕ
θ
π
ψ
θ
π
ψ
ψ
o
o
o
a
Zr
o
o
py
a
Zr
o
o
px
a
Zr
o
o
pz
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
Untuk hidrogen Z=1.
s
p z
y
x
y
z
x
y
z
x
z
x
y
z
p x
p y
Disebut orbital atom

Jadi keadaan suatu elektron dapat dikarakterisasikan oleh tiga bilangan
kuantum n, l dan m l.
.
Selanjutnya, dengan fungsi-fungsi tersebut di atas, harga rata-rata
besaran fisis elektron dapat ditentukan melalui persamaan berikut:
dv
A
av
=
∫
ψ
*
nlm
l
Aˆ
ψ
nlm
l
2
= r dr sinθ dθ
dϕ;
0 ≤ r ≤ ∞;0
≤ θ ≤ π;
0 ≤ ϕ ≤ 2π
dv
Contoh:
(1/
3 ∞
π
2π
1 1 r ao r)
= *
⎛ ⎞
−2
/
2
av, 1s
∫ψ1s
(1/ r)
ψ1
sdv
=
⎜ e (1/ r)
r dr sin d d = 1/
a
⎟
∫ ∫ θ θ ∫ ϕ
π
o 0
0
0
∞
4
* 1 −3
−2r
/ a 3
3 3! a
o − o
rav,1
s
= ∫ψ
1s
rψ
1sdv
= 4πa
o ∫ e r dr = 4ao
=
4
π
2
0
⎝
⎠
3a
2
o
a
o
Jelas bahwa (1/r) av
≠1/r av
.
77

5.2 Efek Relativitas
Dalam teori relativitas khusus energi suatu elektron yang bergerak dengan
momentum p dan memiliki energi potensial V dituliskan seperti:
E
=
c
m
2
e
c
2
+
p
2
+ V
− m c
e
2
Jika momentum p

Dalam fisika kuantum, koreksi harus dihitung secara rata-rata. Harga
rata-rata misalnya pada keadaan adalah:
ψ nlml
ΔE
c
= −
1
3
8m
c
e
2
( p
4
)
av
= −
1
3
8m
c
e
2
∫ ψ
*
nlm
l
4 *
p ψ
nlm
l
dv
ΔE
c
=
E
n
2
α
n
2
e
α =
4πε o
hc
⎛
⎜
⎝
≈
3
4
1
−
n l +
1
137
1
2
⎞
⎟
⎠
Parameter α disebut konstanta struktur halus (fine structure), dan ⎟E n
⎟ adalah
harga absolut energi elektron.
Terlihat bahwa energi koreksi itu bergantung pada bilangan kuantum n dan l.
Jadi, jika efek relativitas diperhitungkan, maka koreksi energi akan memisahkan
fungsi-fungsi yang terdegenerasi.
79

5.3 Probabilitas Transisi
Probabilitas transisi sebanding dengan kuadrat transisi momen dipol:
Misalnya,
Mengingat z=r cos θ, maka
∫
M
( z )
if
= e ψ *
i
zψ
f
dv
( z)
*
M e ψ zψ
dv
if
∫
=
nl
ml
n'
l'
m'
l
M
( z)
if
= ∫[
R
nl
( r)
Y
lm
l
( θ,
ϕ)][
R
n'
l'
( r)
Y
l'
m
l'
( θ,
ϕ)]
r
3
dr cosθ
sinθ
dθ
dϕ
M
( z)
if
=
N
nl
N
∞
∫
n'
l'
0
⎛ 2Zr
⎞
⎜
⎟
⎝ nao
⎠
l
⎛ 2Zr
⎜
⎝ n'
ao
⎞
⎟
⎠
l'
e
−
Zr ⎛
⎜
a ⎝
o
1 1
+
n n'
⎞
⎟
⎠
L
2l+
1
n+
l
( r)
L
2l'
+ 1
n' + l'
( r)
r
3
dr
×
∫
cosθ
Y
lm
l
( θ,
ϕ)
Y
l'
m
l'
sinθ
dθ
dϕ
Integral di atas mempunyai harga tidak sama dengan nol jika l’=l±1, m l’
=m l.
Δn
= 0,1, 2,.......
Δl
= ± 1
Δm
= 0, ± 1
l
80

M
( x )
if
∫
*
= e ψ
nl
m
xψ
l n'
l ' m ' l
dv
x=r sin θ cos ϕ= ½ r sin θ (e iϕ +e -iϕ ),
∫
sin θ cosϕ
Y
lm
l
( θ,
ϕ)
Y
l'
m'
l'
sinθ
dθ
dϕ
= α δ
1
l'
l−1
δ
m'
m + 1
l
l
+ α δ
2
l'
l+
1
δ
m'
m −1
l
l
+ β δ
1
l'
l−1
δ
m'
m −1
l
l
+ β δ
2
l'
l+
1
δ
m'
m −1
l
l
Integral mempunyai harga jika l’=l±1, ml’=ml±1.
Hal yang sama akan diperoleh untuk
(y)
M if
dengan y=r sin θ sin ϕ= (-½ i)r sin θ (eiϕ-e-iϕ).
Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa syarat transisi adalah:
Δn
= 0,1, 2,.......
Δl
= ± 1
Δm
l
= 0, ± 1
81

5.4 Efek Zeeman; Spin Elektron
r
v
-e
Momentum sudut elektron:
Elektron yang bergerak mengitari inti dengan jari-jari r dan
kecepatan v, menimbulkan arus listrik: I = ev / 2π
r
Arus listrik itu menginduksikan momen magnet:
μ = Iπ
r
2 =
1
2 evr
L
=
r m
Jadi, hubunganantara momen magnet dan momentum sudut:
Dalam bentuk vektor:
r
μ
L
⎛ eh
= −
⎜
⎝ 2m
e
e
v
r
⎞ L
⎟
⎠ h
βe
= −
h
β e
=9,2732x10 -24 joule/tesla disebut magneton
Bohr elektron.
r
L
-e
r
μ =
L
e
2me
μ L
L
82

Total Hamiltonian elektron di dalam medan magnet B (pada sb-z):
Hˆ
Hˆ
= Hˆ
B
o
= −
+ Hˆ
r
B
r
β
r
r
e
μ
L
. B = L.
B =
h
β
eB
Lˆ
h
= Hamiltonian elektron dalam medan magnet
z
z
S
B r -eL r
Ĥ
o
= Hamiltonian elektron tanpa medan magnet
Dengan fungsi keadaan elektron
Hˆ ψ = Hˆ
ψ + Hˆ
nlm
l
=
E
o
nlm
l
B
ψ
ψ nlm
nlm
l
l
β
eB
ψ
nlm
+ Lˆ l
z
ψ
nlm
= ( E
l n
+ β
eBml
) ψ
h
n
μ r L
nlm
l
U
β e
Bm l
adalah pergeseran energi sebagai dampak kehadiran medan B.
Pergeseran ini disebut efek Zeeman.
83

Contoh,
untuk l=0, m l =0
Untuk l=1, m l
=-1,0,1
berdegenerasi-4
E 2
ψ 200
,ψ 210
, ψ 211
, ψ 21-1
ψ 210
ψ 211
ψ 200
E 2
E B
2
+ βe ψ 21-1
E B 2
− βe ψ 100
E 1
ψ 100
E 1
B=0
B≠0
Transisi:
Δn
= 0,1, 2,.......
Δl
= ± 1
Δm
= 0, ± 1
l
Pada B=0 teramati satu transisi saja;
Pada B≠0 termati empat transisi.
84

Spin elektron
Pengamatan lebih teliti terhadap beberapa garis spektra menunjukkan
garis-garis itu sebenarnya tidak tunggal tetapi doblet.
Karena kecilnya pecahan doblet itu, G.E.Uhlenbeck dan S.Goudsmit
(1926) menyatakan bahwa elektron sendiri memiliki momentum sudut
intrinsik yang disebut spin.
Spin memiliki bilangan kuantum s=½, sehingga bilangan kuantum
magnetiknya m s
=½, -½.
Operator-operator spin adalah
α
dengan fungsi spin dan
ˆ
S z
Sˆ
2
⎪⎧
α
⎨
⎪⎩ β
⎪⎧
α
⎨
⎪⎩ β
⎪⎧
= ⎨
⎪⎩ −
=
3
4
1
2
h
h α
;
h β
1
2
2
⎪⎧
α
⎨ ;
⎪⎩ β
Sˆ z
, Sˆ
2
β
, S ˆ
+
dan Sˆ
−
dengan operasi:
Sˆ
Sˆ
+
−
⎪⎧
α
⎨
⎪⎩ β
⎪⎧
α
⎨
⎪⎩ β
=
=
⎧0
⎨
⎩h
α
⎩ ⎨⎧
h β
0
85

Karena spin adalah momentum sudut juga, maka terhadap momentum
sudut spin harus ditambahkan terhadap momentum sudut : L r
r
J
r r
L+
S
= Momentum sudut total
Bilangan kuantum bagi momentum sudut total adalah
l
l
=
=
0,
l = 1,
2,
j
j
j
=
=
=
1
2
1
2
3
2
,
,
3
2
5
2
j = l ±
s
Bilangan kuantum magnetiknya:
= ± j, ± ( j − 1),........
.....
j
j
j
=
=
=
1
2
3
2
5
2
→ m
→ m
→ m
j
j
j
=
=
=
3
2
5
2
m j
2
1
2
, −
,
,
1
2
3
2
1
2
, −
,
1
2
1
2
, −
, −
1
2
3
2
, −
3
2
, −
5
86

Momen magnet spin tak dapat diturunkan sebagaimana momen magnet
orbital; sebagai analogi
r
μ
S
=
−
β
h
e
g s
r
S
g s
= 2,0024 untuk elektron bebas.
Momen magnet total adalah
r r r β r r
e
μ J = μ L+
μ S=
− ( L + g sS)
h
r β r r
e
β r r
e
μJ
≈ − ( L + 2S)
= − ( J + S)
h
h
< J
r μ >
r μ
J
r μL
r μ
S
S r
L r
J r
r
< μ
J
r r r
⎛ μJ
. J ⎞ J
>= ⎜ ⎟
J
⎝ ⎠ J
β r
e
= − gJ
J
h
βe
= −
h
r r r
( J + S).
J r
J
2
J
g J
r r r
( J + S).
J
=
2
J
= 1+
j(
j + 1) + s(
s+
1) −l(
l+
1)
2j(
j + 1)
87

Hˆ
B
=
=
r
− < μ
β
h
e
g
J
J
r
> . B
BJˆ
z
Karena
Jˆ ˆ + ˆ
z
= Lz
Sz
z
maka fungsi-fungsi eigen dari operator Ĵ adalah
Y
lm
l
sm
≡
Y
lm
χ
s l sm s
χ
sm
s
⎪⎧
α
= ⎨
⎪⎩ β
Jˆ
z
Y
lm
l
sm
≡
m
j
hY
lm
s lsm s
m +
j
= m l
m s
ψ
Fungsi harus dilengkapi dengan bilangan kuantum spin menjadi .
nlm l
ψ
nlm sm
l
s
Hˆ
ψ
nlm sm
l
= Hˆ
ψ
s
n
o
nlm sm
βeB
= Enψ
nlm sm
+ g
s
J
Jˆ
l
h
= ( E + β g Bm ) ψ
e
l
J
+ Hˆ
ψ
s
j
B
nlm sm
z
nlm
sm
l
l
ψ
s
s
nlm sm
l
s
88

ψ 211½½
ψ 211½-½
ψ 200 ,ψ 210 , ψ 211 , ψ 21-1
ψ 210½½ ψ 200½½
E 2
ψ 100
ψ 210½-½ ψ 200½-½
ψ 21-1½½
ψ 21-1½-½
E 1
ψ 100½½
B=0
B≠0
ψ 100½-½
89

BAB 6
TEORI GANGGUAN TAK BERGANTUNG WAKTU
Dalam banyak masalah meskipun Hamiltonian sistem sudah diketahui,
persamaan itu tidak bisa diselesaikan, misalnya karena adanya interaksi
elektron-elektron atau karena adanya medan luar. Untuk masalah seperti itu
harus digunakan teori gangguan.
6.1 Gangguan pada Sistem Tak Berdegenerasi
(0)
Andaikan pada awalnya sistem memiliki Hamiltonian Ĥ dengan fungsifungsi
eigen ortonormal yang telah diketahui:
{ ψ
n0 ( ) }
Hˆ
(0)
ψ
(0)
n
=
E
(0)
n
ψ
(0)
n
∫
ψ
(0)*
n
ψ
(0)
m
dv
= δ
mn
;
E
(0)
n
≠ E
(0)
m
Sistem nondegenerate
90

Misalkan Hamiltonian sistem mendapat tambahan, misalnya Ĝ

Setiap φ (m) dan setiap ε (m) tidak bergantung pada γ, dan setiap φ (m) dipilih
(0)
orthogonal terhadap ψ n . Substitusi persamaan (6.4) ke persamaan (6.3)
menghasilkan:
Hˆ ψ = Hˆ
(0)
( + γ Gˆ
) ψ = E ψ
n
n
n
n
H
⎛
⎜ψ
n
⎝
m ( m)
⎞ ⎛ (0) m ( m)
⎞ ⎛ (0) m ( m)
⎞⎛
(0)
+ ∑γ
φn
⎟ + γ G⎜ψ
n
+ ∑γ
φn
⎟ = ⎜ En
+ ∑γ
ε
n
⎟⎜ψ
n
+ ∑γ
m=
1 ⎠ ⎝ m=
1 ⎠ ⎝ m=
1 ⎠⎝
m=
1
( 0) (0)
ˆ m ( m)
n
Samakan kiri dan kanan bagi yang berkoefisien γ n yang sama
( )
(0) (0) (0)
0
Hˆ
− ψ = 0
1.
γ
E n
( ˆ )
( 0) (0) (1) ˆ (0) (1) (0)
1
H −E n
φ = −Gψ
+ ε ψ
2.
γ
n
( ˆ )
( 0) (0) (2) ˆ (1) (2) (0) (1) (1) 2
H − E n
φ = −Gφ
+ ε ψ + ε φ
3.
γ
n
n
( )
(0) (0) (3) (2) (3) (0) (2) (1) (1) (2) 3
H ˆ −E ˆ
n
φ =−Gφ
+ ε ψ + ε φ + ε φ .
4.
γ
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
φ
⎞
⎟
⎠
92

Koreksi order-1
2.
(0)* (0) (0)
∫ψ
n
[ H − En
] φn
(0) (0) (0)*
∫{ ( H − En
) ψ
n
}
ε
(1)
φ
(1)
n
dv = −
(1)
n
(0)
n
(0)
n
dv = −G
=
∫
ψ
∫
ψ
nn
Gˆ
ψ
Gˆ
ψ
+ ε
(0)
n
(0)
n
(1)
n
dv + ε
dv = G
nn
(1)
n
∫
ψ
(0)
n
ψ
(0)
n
dv
Koreksi order-1 bagi E n
(o)
Misalkan:
φ
(1)
n
= ∑c ψ → c
nm
m(
≠n)
(0)
m
nm
harus ditentukan
∑
( 0) (0) (0)
(0) (1) (0)
( Hˆ
− E ) ψ = −Gˆ
ψ + ε ψ
2.
cnm
n m
n n n
m≠n
∑
m≠n
c
nm
(0) (0)
( E − E )
m
n
ψ
(0)
m
= −Gˆ
ψ
(0)
n
+ ε
(1)
n
ψ
(0)
n
∑
m≠n
c
nm
(0) (0) (0)* (0)
(0)* (0) (1)
( Em
− En
) ∫ψ
k
ψ
m
dv = −∫ψ
k
Gˆ
ψ
n
dv+
εn
∫
ψ
(0)*
k
ψ
(0)
n
dv
93

∑
c
m(
≠n)
nm
[ E − E ] δ = −G
+ ε
(0)
m
(0)
n
km
kn
(1)
n
δ
kn
Fihak kiri mempunyai harga jika m=k, sedangkan suku kedua sebelah kanan
sama dengan nol karena k≠n.
c
nk
(0) (0)
Gkn
( Ek
− En
) = −Gkn
→ cnk
=
(0) (0)
E
n
− E
k
φ
(1)
n
=
∑
k ( ≠n)
E
(0)
n
Gkn
− E
(0)
k
ψ
(0)
k
Koreksi order-1 bagi
ψ n
(o)
Terlihat, aproksimasi ini tidak berlaku jika
(sistem berdegenarasi).
E =
(0) (0)
k
E n
94

95
Koreksi order-2
( ) dv
dv
dv
G
dv
E
H
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(1)
(0)*
(1)
(0)
(0)*
(2)
(1)
(0)*
(2)
(0)
(0)
0)*
( ˆ
ˆ
.
3 φ
ψ
ε
ψ
ψ
ε
φ
ψ
φ
ψ
∫
∫
∫
∫ +
+
= −
−
{ }
∑
∑
∑
∫
∫
∑
∫
≠
≠
≠
≠
−
=
→
+
= −
+
+
= −
−
)
(
(0)
(0)
(2)
(2)
)
(
)
(
(0)
(0)*
(1)
(2)
(0)
(0)*
)
(
(2)
(0)*
(0)
(0)
0
ˆ
]
[
n
m
m
n
mn
nm
n
n
nm
n
m
nm
n
m
m
n
nm
n
n
m
n
n
m
nm
n
n
n
n
E
E
G
G
G
c
dv
c
dv
G
c
dv
E
E
ε
ε
ψ
ψ
ε
ε
ψ
ψ
φ
ψ
(0)
(0)
k
n
kn
nk
E
E
G
c
−
=
Koreksi
order-2 bagi
ψ n (o)

96
∑
≠
=
)
(
(0)
(2)
n
m
m
nm
φ n a ψ
Misalkan
( ) )
(1
(1)
(0)
(2)
(1)
(0)
(0)
(0)
)
(
ˆ
ˆ
.
3 n
n
n
n
n
m
n
n
m
nm
G
E
H
a
φ
ε
ψ
ε
φ
ψ +
+
= −
−
∑
≠
( )
τ
φ
ψ
ε
τ
ψ
ψ
ε
τ
φ
ψ
τ
ψ
ψ
d
d
d
G
d
E
H
a
n
l
n
n
l
n
n
l
m
n
l
n
m
nm
(1)
(0)*
(1)
(0)
(0)*
(2)
(1)
(0)*
(0)
(0)
(0)
(0)*
)
(
ˆ
ˆ
∫
∫
∫
∫
∑
+
+
= −
−
≠
lm
n
m
nm
n
lm
n
m
nm
lm
n
l
n
m
nm
c
G
c
E
E
a
δ
ε
δ
∑
∑
∑
≠
≠
≠
+
= −
−
)
(
(1)
)
(
(0)
(0)
)
(
)
(
∑
∑
≠
≠
−
+
−
= −
+
= −
−
)
(
(0)
(0)
(0)
(0)
)
(
(1)
(0)
(0)
)
(
n
m
l
n
nl
nn
m
n
lm
mn
n
m
nl
n
lm
nm
n
l
nl
E
E
G
G
E
E
G
G
c
G
c
E
E
a
ε
a nm harus ditentukan

97
2
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
)
(
)
)(
( l
n
nl
nn
n
m
l
n
m
n
lm
mn
nl
E
E
G
G
E
E
E
E
G
G
a
−
−
−
−
= ∑
≠
∑∑
≠ ≠ ⎭ ⎬⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
−
−
=
)
(
(0)
2
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(2)
)
(
)
)(
(
n
l
l
l
n
nl
nn
n
m
l
n
m
n
lm
mn
n
E
E
G
G
E
E
E
E
G
G
ψ
φ
(2)
(1)
(0)
(2)
(1)
(0)
n
n
n
n
n
n
n
n
E
E
ε
ε
φ
φ
ψ
ψ
+
+
=
+
+
=
Fungsi gelombang dan energi sistem terganggu:

6.2 Efek Stark
Pengaruh medan listrik statik terhadap tingkat-tingkat energi suatu atom
disebut efek Stark.
Atom hidrogen ditempatkan dalam medan listrik statis F yang diandaikan
sejajar sumbu-z. Interaksi elektron dengan medan itu adalah:
r r
G = er. F = eFrcosθ
Koreksi order-1 bagi
(0)
E 1
1)
(0)
ε ( = G = ∫ ψ G ˆψ
n
nn
n
(0)
n
dv
ψ
1s
≡ψ
100
=
1 −3/2
−r
/
ao
e
π
a o
;
(1)
ε
1
= eF ∫ ψ 1sr
cos θ ψ
1
s
dv
−3
∞
π
2π
ao
−2r
/ 3
= eF ∫ e
a o
r dr∫
cosθ
sinθ
dθ
∫ dϕ
=
π
0
0
0
0
98

99
Koreksi order-1 terhadap
(0)
ψ 1s
( )
[ ( )
( ) ( ) ]
pz
o
pz
s
pz
py
s
py
px
s
px
s
s
s
s
E
E
eF
a
dv
r
dv
r
dv
r
dv
r
E
E
eF
2
(0)
2
(0)
1
(0)
2
(0)
1
(0)
2
(0)
2
(0)
1
(0)
2
(0)
2
(0)
1
(0)
2
(0)
2
(0)
1
(0)
2
(0)
2
(0)
1
(1)
1
0,745
cos
cos
cos
cos
ψ
ψ
θψ
ψ
ψ
θψ
ψ
ψ
θψ
ψ
ψ
θψ
ψ
φ
−
=
+
+
+
−
=
∫
∫
∫
∫
(0)
)
(
(0)
(0)
(1)
k
n
k
k
n
kn
n
E
E
G
ψ
φ
∑
≠
−
= )
(0
ψ 1s
(0)
2
(0)
2
(0)
2
(0)
2 ,
,
, pz
py
px
s
ψ
ψ
ψ
ψ
(0)
E 2
(0)
E 1
;
2
2
4
1 2
/
2
3/
200
2
a o
r
o
o
s
e
a
r
a
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
≡
π
ψ
ψ
.
sin
sin
2
4
1
;
cos
sin
2
4
1
;
cos
2
4
1
2
/
2
3/
2
2
/
2
3/
2
2
/
2
3/
210
2
ϕ
θ
π
ψ
ϕ
θ
π
ψ
θ
π
ψ
ψ
o
o
o
a
Zr
o
o
py
a
Zr
o
o
px
a
Zr
o
o
pz
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
;
1 /
2
3/
100
1
a o
r
o
s
e
a
−
−
=
≡
π
ψ
ψ
(1)
1
(0)
1 s
s
φ
ψ +

Koreksi order-2 terhadap
(0)
E 1
ε
(2)
n
=
∑
m(
≠n)
E
G
nm
(0)
n
G
− E
mn
(0)
m
=
∑
m(
≠n)
E
(0)
n
G
2
nm
− E
(0)
m
ε
( 2 )
1
=
E
e
( 0 )
1
2
2
F
− E
( o )
2
( 0 )
( 0 ) 2 ( 0 )
( 0 )
{[ ψ
1s
r cos θψ
2 s
dv ] + [ ψ
1s
r cos θψ
2 px
dv ]
∫
+
[ ] [ ] 2
}
2
( 0 )
( 0 )
( 0 )
( 0 )
ψ
1s
r cos θψ
2 py
dv + ψ
1s
r cos θψ
2 pz
dv
∫
∫
∫
2
ε
e
F
2 2
(2)
2
1
= ( 0,745a
)
(0) ( o)
o
E1
− E2
Maka energi yang terkoreksi adalah:
E
1
=
E
(0)
1
−
(0,745ao
)
E − E
(0)
2
2
e
(0)
1
2
F
2
(0) 0,745aoeF
(0)
Fungsi terkoreksi hingga order-1 adalah ψ
1s
= ψ
1s
− ψ
(0) (0) 2 pz
E − E
2
1
100

(0)
E 2
ψ
(0) (0) (0) (0)
2 s
, ψ
2 px,
ψ
2 py
, ψ
2 pz
Harap dihitung sendiri
(0)
E 1
(0)
ψ 1s
ψ = ψ + φ
(0) (1)
1s
1s
1s
E
(0) (2)
1
= E1
+ ε1
G=0 G=erF cosθ
101

6.4 Gangguan pada Sistem Berdegenerasi
Untuk sistem yang mengandung fungsi-fungsi berdegenerasi, gangguan
harus diselesaikan dengan metoda variasi sebagai berikut.
Misalkanlah
Ĥ
adalah hamiltonian sistem yang terganggu.
Nyatakan suatu fungsi gelombang ψ dari
fungsi-fungsi yang belum terganggu {φ n
}.
Ĥ
sebagai kombinasi linier dari
∫
ψ
N
= ∑ c n
n=
1
*
n m
φ * nφ
m
di mana kita dapat menghitung:
φ H ˆ φ dτ
=
∫
φ
n
d τ =
S
nm
H
nm
102

Misalkan E energi sistem, sehingga:
E
=
∫
∫
ψ
ψ
H ψ dv
* ˆ
ψ dv
*
∑
n
c
2
n
H
nn
+ * ⎛ 2
∑ = ⎜∑
+ ∑
*
cncmHnm
E cnSnn
cnc
n≠m
⎝ n
n≠m
m
S
nm
⎞
⎟
⎠
Untuk memperoleh energi E minimum, variasi terhadap semua koefisien
c harus nol; misalnya turunan terhadap c k
:
Hasilnya:
c
k
H
kk
+
∑
n≠k
c
∂E
∂
n
H
c k
nk
=
0
⎛
= E⎜c
⎝
k
S
kk
+
∑
n≠k
c
n
S
nk
⎞
⎟
⎠
103

104
( ) ( ) 0
=
−
+
−
∑
n≠k
nk
nk
n
kk
kk
k
ES
H
c
ES
H
c
( ) 0
=
−
∑
n
nk
nk
n
ES
H
c
Setelah digabubng, hasilnya
0
...
...
.....
.......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.
..........
.
..........
...
..........
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
3
33
33
32
32
31
31
2
2
23
23
22
22
21
21
1
1
13
13
12
12
11
11
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
N
NN
NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
c
c
c
c
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
ES
H
S
H
ES
H
ES
H
Dalam bentuk matriks:
disebut persamaan
sekuler

( H − ES ) ( H − ES ) .......... ( H −ES
)
11
( H − ES ) ( H − ES ).........( H −ES
)
21
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .............
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .............
( H −ES
) ( H − ES ).........
( H − ES )
N1
11
21
N1
12
22
N2
12
22
N2
1N
2N
NN
1N
2N
NN
= 0
disebut determinan sekuler.
Karena mempunyai order-N maka dari persamaan tersebut akan diperoleh
N buah harga energi: E 1
, E 2
,….,E N
.
Selanjutnya, substitusi setiap harga energi E k
ke persamaan sekuler
menghasilkan satu set harga-harga koefisien, yakni c k1
, c k2
, ….,c kN
dengan
mana
N
∑
E k
→ψ
= c
∑
k
n=
1
*
Normalisasi: c c S = 1
n , m
kn
km
nm
kn
φ
n
105

Jika fungsi-fungsi {φ n
} bersifat ortonormal:
∫ n
φ m
dv = δ nm
φ * 0
⎛ H11
− E H12
H13
............. H1N
⎞⎛c
⎜
⎟
1
⎜
⎜ H
21
H
22
− E H
23.............
H
2N
⎟⎜c2
⎜
⎟
31 32 33
.......... ⎜
⎜
H H H − E H
3N
⎟ c3
⎜
⎜......................................................
⎟⎜...
⎜
⎟⎜
⎜......................................................
⎟⎜
...
⎜
1
2
3........
⎟
⎝ H
N
H
N
H
N
H
NN
− E ⎠⎝c
N
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟ =
⎟
⎟
⎟
⎠
disebut persamaan sekuler
H
11
H
H
− E
21
31
............. H
............. H
− E..........
H
......................................................
......................................................
H
N1
H
22
H
H
H
12
− E
32
N 2
H
H
H
33
H
13
23
N 3
........ H
NN
1N
2N
3N
− E
= 0
disebut determinan sekuler.
N
∑
*
E k
→ψ = c φ
c δ = 1
k
n=
1
kn
n
∑
n , m
kn
c km
nm
106

Kelanjutan efek Stark
ˆ ˆ (0)
H = H +
eFr cosθ
φ =
∫
H
H
H
1
= ψ
2s , φ2
= ψ
2 pz
, φ3
= ψ
2 px,
φ4
ψ
2 py
φ
k
φ l
dv = δ kl
kl
11
12
ˆ )
∫ φ
k
Hφl
dv = ∫φ
k
+
( Hˆ
(0
eFr cos θ )
= φ dv
= H
= H
22
21
=
H
33
= H
44
=
E
(0)
2
= −3eFa o Lain-lainnya =0.
l
Determinan sekuler
( E
(0)
2
−3eFa
0
0
− E)
o
−3eFa
( E
(0)
2
0
0
o
− E)
( E
0
0
(0)
2
0
− E)
( E
0
0
0
(0)
2
− E)
= 0
107

( E
(0)
2
−E)
4
−(3eFa
)
o
2
( E
(0)
2
−E)
2
= 0
( E
(0)
2
−E)
2
(0) 2
2
[(
E −E)
−(3eFa
) ]
2
o
= 0
( E
(0)
2
−E)
2
= (3eFa
)
o
2
→E
1
= E
(0)
2
−3eFa
o
,
E
2
= E
(0)
2
+ 3eFa
o
( E
(0)
2
−E)
2
= 0→E
3
= E
4
= E
(0)
2
Substitusi E 1
menghasilkan c 1
=c 2
=1/√2
substitusi E 2
menghasilkan c 1
=-c 2
=1/√2.
Karena E 3
dan E 4
sama dengan harga
asalnya maka fungsinya juga sama
dengan asalnya.
ψ =
ψ
1
2
ψ = φ = ψ
3
4
=
1
( φ1
+ φ2)
=
2
1
( φ1
−φ2
) =
2
3
ψ = φ = ψ
4
2 px
,
2 py
1
( ψ
2
1
( ψ
2
2s
2s
+ ψ
−ψ
2 pz
2 pz
),
),
108

ψ 2
E 2 =E 2
(0)
+3eFa o
E 2
(0)
ψ 2s ψ 2pz ψ 2px ψ 2py
ψ 1
ψ 3 , ψ 4
E 3 =E 4 =E 2
(0)
E 1 =E 2
(0)
-3eFa o
E 1s
(0)
ψ 1s
E
1s
=
E
(0)
1s
−
(0,745a
E
(0)
2
o
)
− E
2
e
(0)
1s
2
F
2
1
ψ1
= ( ψ
2s
+ ψ
2 pz
),
2
1
ψ
2
= − ( ψ
2s
−ψ
2 pz
),
2
ψ = ψ ,
3
ψ = ψ
4
2 px
2 py
ψ
1s
−
0,745a
E
(0)
2
− E
eF
o
(0)
1
ψ
2 pz
109

BAB 7
TEORI GANGGUAN BERGANTUNG WAKTU
7.1 Gangguan Bergantung Waktu
Hamiltonian total:
ˆ ˆ (0)
H = H ( r)
+ Gˆ(
r,
t)
Gangguan bergantung waktu
Keadaan yang tidak terganggu (keadaan stasioner):
ˆ (0) (0)
(0) (0
ψ ( r)
E
)
j
=
j
ψ
j
H
( r)
Persamaan Schrödinger bergantung waktu:
ih
∂ψ
(0)
j
( r,
t)
(0) (0)
(0)
(0)
= H ψ
j
( r,
t)
→ψ
j
( r,
t)
= ψ
j
∂t
( r)
e
iE
(0)
j
t
110

Karena H bergantung waktu, maka energi menjadi tidak stasioner, sehinga
untuk menentukan fungsi gelomang diperlukan cara yang berbeda dengan
( r,
t)
persamaan eigen biasa. Misalkan fungsi gelombang bagi H adalah { }
ψ i
ih
∂ψ
i
( r,
t)
∂t
=
=
Hˆ
[ Hˆ
ψ
(0)
i
( r,
t)
( r)
+
Gˆ
( r,
t)]
ψ
i
( r,
t)
(0 )
Misalkan ψ ( r )
i
adalah keadaan awal, dan karena kehadiran gangguan
Selanjutnya fungsi ψ i
(r,t) dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsifungsi
lainnya:
(0)
ψ
i
( r , t)
= ∑ aik
( t)
ψ
k
( r,
t)
k
ih
∑
k
∂a
( t)
ψ
k
∂t
(0)
ik ( 0)
∂ψ
k
( r,
t)
( r,
t)
+ ih∑
aik
( t)
k ∂t
∑
k
∑
a t Hˆ
(0) (0)
(0)
( ) ψ ( r,
t)
+ a ( t)
G(
r,
t)
ψ ( r,
t)
ik
=
k
k
ik
k
111

∂a
ik
( t)
(0)
(0 )
i h∑ ψ
k
( r,
t)
= ∑ a
ik
( t)
G ( r,
t)
ψ
k
( r,
t)
∂t
k
(0)
Misalkan pada akhirnya, sistem berada pada ψ ( r,
t)
k
∂aik
( t)
(0)* (0)
(0)*
(0)
i h∑ ∫ψ
f
( r,
t)
ψ
k
( r,
t)
dvdt = ∑ aik
( t)
∂
∫ψ
f
( r,
t)
G(
r,
t)
ψ
k
( r,
t)
dv
t
k
∂aif
( t)
(0)*
(0)
i h = ∑ aik
( t)
∂
∫ψ
f
( r,
t)
G(
r,
t)
ψ
k
( r,
t)
dv
t
k
k
f
maka
Pada permulaan diandaikan sistem berada sepenuhnya pada keadaan
sehingga a ii
=1 dan semua a ik
=0.
Asumsikan, beberapa saat sejak gangguan dimulai, a ii
masih mendekati 1
sedangkan semua a ik

113
Misalkan: )
(
)
(
)
,
(
( 0 )
t
r
G
t
r
G
ϕ
=
h
h
h
h
h
h
h
/
)
(
(0)
/
)
(
(0)
(0)
(0)*
/
(0)
(0)
/
(0)*
0 )
(
0 )
(
0 )
(
0 )
(
0 )
(
0 )
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
ˆ
)
(
1
)
(
)
(
)
(
ˆ
)
(
1
t
E
E
i
fi
t
E
E
i
i
f
t
iE
i
t
iE
f
i
f
i
f
i
f
e
t
G
i
e
t
dv
r
r
G
r
i
dv
e
r
t
r
G
e
r
i
−
−
−
=
=
=
∫
∫
ϕ
ϕ
ψ
ψ
ψ
ϕ
ψ
∫
=
∂
∂
dv
t
r
t
G r
t
r
i
t
t
a
i
f
if
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
)
( )
(0
(0)
ψ
ψ
h
h
h
/
)
(
0
( 0)
( 0)
)
(
(0)
)
(
t
E
E
i
T
o
fi
if
if
i
f
e
t
dt
i
G
a
T
a
−
∫
=
−
ϕ

a
if
( T )
−
a
if
(0)
=0
=
G
o
fi
ih
T
∫
0
dt ϕ(
t)
e
i(
E
( 0)
f
−E
( 0)
i
) t / h
ω
fi
=
E − E
(0)
f
h
(0)
i
a
if
( T )
=
G
o
fi
ih
T
∫
0
ϕ(
t)
e
iω
t
fi
dt
Peluang bertransisi dari keadaan stasioner awal
(0)
stasioner akhir
ψ f
( r)
(0)
ψ i
( r)
ke keadaan
P
if =
1
a if (T )
T
2
G(r,t)
(0)
ψ f
( r)
(0)
E f
(0)
ψ i
( r)
(0)
E i
114

Gangguan oleh medan EM
r r
= ε o
cosωt
ε
Interaksi medan dengan momen dipol:
r
ε
G ˆ r
( r,
t)
= μ.
= ( e
o
r cos θ ) cos ωt
ˆ )
ε
(0
G ( r ) = e
o
r cos θ ; ϕ ( t)
= cos ωt
ε
G
o
fi
ε
= e ∫ ψ ( r)
rcosθ
ψ ( r)
dv=
e
o
(0)*
f
(0)
i
ε
o
M
fi
a
if
( T )
=
=
e
ε
o
ε
M
ih
fi
T
∫
0
dt
cos ωt
e
iω
t
i(
ω fi + ω ) T
i(
ω fi −ω
) T
e
o
M
fi
⎡e
− 1 e − 1⎤
⎢
+
⎥
i 2h
⎢⎣
ω
fi
+ ω ω
fi
− ω ⎥⎦
fi
115

Dalam kasus absorpsi di sekitar ω =ω fi
, suku pertama dapat diabaikan.
P
fi
=
1
T
a
if
( t)
2
=
e
2
ε
2
o
M
2
4h
T
fi
2
sin
2
[( ω
[( ω
fi
fi
− ω)
T
− ω) / 2]
/ 2]
2
ψ f
ψ i
(a)
ψ i
(b)
ψ f
116