Vaje 2 Funkcije več spremenljivk 2)
Vaje 2: Funkcije vec spremenljivk
Vaje 2: Funkcije vec spremenljivk
- No tags were found...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Vaje</strong> 2: <strong>Funkcije</strong> <strong>več</strong> <strong>spremenljivk</strong><br />
Naloge na vajah:<br />
Nivojnice in definicijsko območje<br />
1. Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcij<br />
f (x, y) =<br />
√<br />
4x − y<br />
2<br />
ln (1 − x 2 − y 2 )<br />
in g (x, y) = ln (x ln (y − x)) .<br />
2. S pomočjo nivojnic skiciraj grafa funkcij<br />
f (x, y) =<br />
1<br />
x 2 + y 2 in g (x, y) =<br />
x<br />
x 2 + y 2 .<br />
3. Naj bo funkcija f : R 3 → R definirana s predpisom f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 1.<br />
Graf funkcije f predstavi z nivojnicami in skiciraj prerez grafa nad ravnino z = 0.<br />
4. Naj bo funkcija f podana spredpisom<br />
f (x, y) = arcsin ( 2y ( 1 − x 2) − 1 ) .<br />
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.<br />
(b) Graf funkcije f predstavi s pomočjo nivojnic. Nariši nivojnice N −<br />
π , N 0, N π<br />
2 2<br />
ter nakaži trend pri nivojnicah N a za − π ≤ a ≤ π.<br />
2 2<br />
5. Dana je funkcija f (x, y) = y (x 2 − 1) .<br />
(a) Graf funkcije f predstavi s pomočjo nivojnic.<br />
(b) Skiciraj prerez grafa nad premico, ki poteka skozi točki A (−2, 1) in B (2, −1) .<br />
(c) Kako bi po grafu funkcije f prišel iz točke A ′ (−2, 1, 3) v točko B ′ (2, −1, −3) ,<br />
da se med potjo ne bi nikdar vzpenjal.<br />
Krivulje v polarnih koordinatah<br />
6. V ravnini skiciraj krivulje, ki so podane v polarni obliki r = f (ϕ) :<br />
(a) r = 1;<br />
(b) r = a |sin 2ϕ| , a > 0;<br />
(c) r = a (1 − cos ϕ) , a > 0.<br />
7. Lemniskata je množica točk v ravnini katerih produkt razdalj od gorišč F 1 (a, 0) in<br />
F 2 (−a, 0), kjer je a > 0, je enak a 2 .<br />
(a) Dokaži, da je lemniskata implicitno podana kot (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ) .<br />
(b) S pomočjo polarnih koordinat skiciraj lemniskato.<br />
1
8. Skiciraj krivulji, ki sta podani implicitno kot<br />
(<br />
x 2 + y 2) 2<br />
= 2x<br />
3<br />
Zveznost funkcij dveh <strong>spremenljivk</strong><br />
in<br />
(<br />
x 2 + y 2) 2<br />
= 2xy .<br />
9. Ali so naslednje funkcije zvezne v točki (0, 0)?<br />
10. Dokaži, da velja:<br />
1. Izračunaj limiti<br />
f (x, y) =<br />
{<br />
g (x, y) =<br />
h (x, y) =<br />
{ 2xy<br />
; (x, y) ≠ (0, 0)<br />
x 2 +y 2<br />
0 ; (x, y) = (0, 0)<br />
{<br />
sin xy<br />
lim<br />
(x,y)→(0,0) xy<br />
x 2 −y 2<br />
x 2 +y 2 x sin<br />
1<br />
x 2 +y 2 ; (x, y) ≠ (0, 0)<br />
0 ; (x, y) = (0, 0)<br />
2x 2 y<br />
x 4 +y 2 ; (x, y) ≠ (0, 0)<br />
0 ; (x, y) = (0, 0)<br />
= 1 in lim (1 + xy) 1<br />
xy = e .<br />
(x,y)→(0,0)<br />
lim<br />
x,y→0<br />
sin 2 x sin 3 y<br />
1 − cos (x 2 + y 2 )<br />
in<br />
(<br />
lim 1 + sin 2 x ) y<br />
x 2 +y 2 .<br />
x,y→0<br />
11. Določi medsebojni odnos števil n, m in p, da bo obstajala limita<br />
lim<br />
x,y→0<br />
x m y n<br />
(x 2 + y 2 ) p .<br />
Samostojno reši: [1, Naloge: 456, 465, 470], [2, Naloge: 145, 170 , 174] in [3, IX.<br />
Naloge: 65, 66, 68].<br />
Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog:<br />
1. Določi in skiciraj definicijsko območje funkcije<br />
√<br />
2z − x2 − y<br />
f (x, y, z) =<br />
2 + 1<br />
ln (1 − x 2 − y 2 − z 2 ) .<br />
2. Funkcija dveh <strong>spremenljivk</strong> je podana s predpisom<br />
(√ )<br />
f (x, y) = arcsin x2 − y 2 − x .<br />
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.<br />
2
(b) Graf funkcije f predstavi z nivojnicami. Skiciraj nivojnice: N −<br />
π<br />
2 , N 0, N π<br />
2 ter<br />
nakaži trend še pri nivojnicah N a , kjer je − π 2 ≤ a ≤ π 2 .<br />
3. Funkcija dveh <strong>spremenljivk</strong> je podana s predpisom<br />
f (x, y) = −x + √ x 2 − y 2 .<br />
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.<br />
(b) Graf funkcije f predstavi z nivojnicami. Skiciraj nivojnice: N −1 , N 0 , N 1 , ter<br />
nakaži trend pri nivojnicah N a , kjer je a > 0 oziroma a < 0.<br />
(c) Skiciraj prerez grafa nad abcisno osjo.<br />
4. Funkcija dveh <strong>spremenljivk</strong> je podana s predpisom:<br />
f (x, y) = arcsin 1 − xy .<br />
x<br />
(a) Poišči in skiciraj definicijsko območje funkcije f.<br />
(b) Graf funkcije f predstavi z nivojnicami. Skiciraj nivojnice: N π , N − π , N 0,<br />
2 2<br />
N −<br />
π , N π .<br />
6 6<br />
(c) S pomočjo diferenciala izračunaj približno vrednost f (1.1, 0.95) .<br />
5. Naj bo f : R 2 → R funkcija. Predpostavimo, da je f (x, y 0 ) zvezna funkcija za vsak<br />
y 0 ∈ R. Denimo, da obstaja L > 0, da funkcija f zadošča pogoju<br />
|f (x, y 1 ) − f (x, y 2 )| ≤ L |y 1 − y 2 |<br />
za vse (x, y 1 ) , (x, y 2 ) ∈ R 2 . Dokaži, da je f zvezna funkcija.<br />
6. Funkcija dveh <strong>spremenljivk</strong> je podana s predpisom:<br />
{ xy sin<br />
1<br />
; (x, y) ≠ (0, 0)<br />
f (x, y) =<br />
x 2 +y 2<br />
a ; (x, y) = (0, 0)<br />
(a) Določi število a tako, da bo funkcija f zvezna v točki (0, 0) .<br />
(b) Ali je parcialni odvod ∂f zvezen v točki (0, 0)?<br />
∂x<br />
7. Funkcija dveh <strong>spremenljivk</strong> je podana s predpisom<br />
{ xy ln (x<br />
f (x, y) =<br />
2 + y 2 ) ; (x, y) ≠ (0, 0)<br />
a ; (x, y) = (0, 0)<br />
(a) Določi število a tako, da bo funkcija f zvezna v točki (0, 0) .<br />
(b) Ali je parcialni odvod ∂f zvezen v točki (0, 0)?<br />
∂x<br />
Literatura<br />
[1] M. Dobovišek, M. Hladnik, M. Omladič: Rešene naloge iz Analize I, DMFA, Ljubljana<br />
1992.<br />
[2] B. Hvala: Zbirka izpitnih nalog iz analize, DMFA, Ljubljana 1996.<br />
[3] P. Mizori-Oblak: Matematika II. del, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana 1992.<br />
3