Brevet Blanc

Collège Victor Hugo – Puiseaux
Brevet Blanc n°2 – Epreuve de mathématiques
Année Scolaire 2011-2012
Brevet Blanc
Deuxième Session
Epreuve de Mathématiques
Durée : 2 heures
Matériel autorisé : calculatrice, matériel de géométrie
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Activités Numériques (12 points)
Exercice 1 :
Brevet Blanc n°2 – Epreuve de mathématiques
1. Déterminer le PGCD de 240 et 375.
On utilise l'algorithme d'Euclide :
a b r a=b×q+r
375 240 135 375=240×1+135
240 135 105 240=135×1+105
135 105 30 135=105×1+30
105 30 15 105=30×3+15
30 15 0 30=15×2+0
donc PGCD(240 ; 375) = 15
2. Déterminer la fraction irréductible égale à 240
375 .
Pour rendre la fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD :
240
375 = 240÷15
375÷15 = 16
25
Exercice 2 :
On considère le programme de calcul :
• Choisir un nombre
• Calculer le carré de ce nombre
• Multiplier par 10
• Ajouter 25.
1. Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est
exact.
• 2
• 2² = 4
• 4×10=40
• 40+25=65
2. On choisit √2 comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ?
• √2
• (√2)²=2
• 2×10=20
• 20+25=45
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3. Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair, alors le résultat est pair.
A-t-elle raison ? Justifier.
D'après la question 1. c'est faux. Pour 2 on obtient 65.
4. Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-elle raison ?
Justifier.
Le carré d'un nombre est toujours positif ; multiplié par 10, le résultat reste positif et en ajoutant 25, le résultat
final est toujours positif.
Exercice 3 :
On a posé à des élèves de 3 e la question suivante :
« Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre x, on a : 5 x²−10 x+2=7 x−4 ? »
• Léa a répondu : « Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace x par 3, on a :
5×3²−10×3+2=17 et 7×3−4=17 »
• Myriam a répondu : « Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace x par 0, on a :
5×0²−10×0+2=2 et 7×0−4=−4 »
Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée
dans l'exercice.
Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.
C'est Myriam qui a raison car elle a trouvé une valeur pour laquelle il n'y a pas égalité donc pour n'importe
quelle valeur du nombre x on n'a pas l'égalité.
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Activités Géométriques (12 points)
Exercice 1 :
1. Constructions :
a) Tracer un triangle PUR rectangle en R, tel que RU = 8 cm et UP =12 cm.
Placer le point E sur le segment [RU] tel que UE = 3 cm.
b) Tracer la perpendiculaire à (RU) passant par E. Elle coupe [UP] en N.
2. Calculer la longueur RP. Justifier. (On donnera une valeur arrondie au dixième).
Dans le triangle RUP rectangle en R, l'égalité de Pythagore est vérifiée donc :
RU² +RP²=PU²
8²+RP²=12²
64+RP²=144
RP²=144−64
RP²=80
RP=√80
RP≈8,9
3. Démontrer que les droites (EN) et (RP) sont parallèles.
(EN) et (RP) sont perpendiculaires à (RU) or si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles
sont parallèles donc (EN) et (RP) sont parallèles.
4. Calculer la longueur UN. Justifier.
(RE) et (PN) sont sécantes en U.
(EN) et (RP) sont parallèles.
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D'après le théorème de Thalès, on a :
UE
UR = UN
UP = EN
RP
3
8 =UN 12 = EN
√80
donc UN = 3×12 =4,5
8
Exercice 2 :
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La distance entre le phare P du cap N'Doua et le ponton O de la tribu de Ouara est égale à environ 4,65 km.
Un bateau B se trouve au large de ce ponton.
Le triangle OPB est rectangle en B et des visées ont permis d'établir que l'angle ÔPB est égal à 30 °.
1. Montrer que la distance séparant le bateau B du ponton O est égale à 2 325 m.
Le triangle OPB est rectangle en B.
4,65 km = 4650 m
sin ÔPB= OB
OP
sin 30°= OB
4650
OB=4650×sin 30°
OB=2325
La distance séparant le bateau B du ponton O est de 2325 m.
2. Sachant que le bateau B se déplace à 15,5 km/h, déterminer le temps (en minutes) qu'il lui faudra pour
rejoindre le ponton O.
On rappelle que : vitesse= distance
temps
vitesse= distance
temps
15,5= 2,325
temps
Or 0,15×60=9 min
Le bateau va mettre 9 min.
Cette figure est donnée à titre indicatif et n'est pas en vraie grandeur.
2325 m = 2,325 km
donc temps= 2,325
15,5 =0,15 h
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Problème (12 points)
Partie A : lectures graphiques
La distance d’arrêt est la distance qu’il faut pour immobiliser un véhicule sur la plus courte distance possible.
Sur le graphique en annexe, on a représenté les distances d’arrêt en fonction de la vitesse pour une voiture sur
route sèche et sur route mouillée.
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes.
1. La distance d’arrêt est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier.
La représentation graphique n'est pas une droite donc la distance d'arrêt n'est pas proportionnelle à la vitesse.
2. Une voiture roule sur route sèche.
a) Quelle est la distance d’arrêt lorsque l’on roule à 90 km/h ? (laisser des traces graphiques.) 40 m
b) A quelle vitesse correspond une distance d’arrêt de 100m ? (laisser des traces graphiques.) 142,5 km/h
3. Une voiture roule sur route mouillée.
Quelle est la distance d’arrêt lorsque l’on roule à 90 km/h ? (laisser des traces graphiques.) 80 m
4. Recopier et compléter le tableau suivant :
Vitesse (en km/h) 40 60 90
Distance d'arrêt sur route sèche 7,5 17,5 40
Distance d'arrêt sur route mouillée 15 35 80
A la lecture de ce tableau, deux quantités semblent proportionnelles. Lesquelles ?
Les distances d'arrêt sur route sèche et mouillée semblent proportionnelles.
Partie B : avec la formule
La distance d’arrêt d d’un véhicule peut être calculée par la formule :
d = v²
254× f
où d est la distance d’arrêt en mètre, v la vitesse en km/h et f est le coefficient d’adhérence des pneus sur le
sol (il dépend notamment de l’état de la chaussée et de la route).
Sur route sèche, f = 0,8 et sur route mouillée, f = 0, 4.
1. Il pleut. Une voiture roule sur autoroute à 130 km/h. Calculer la distance d’arrêt.
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Il pleut, la route est mouillée donc f = 0,4.
d = 130²
254×0,4
d = 16900
101,6
d ≈166
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La distance d'arrêt à 130 km/h sur route mouillée est d'environ 166 m.
2. La route est sèche. Montrer que la vitesse correspondant à une distance d’arrêt de 50 mètres est
d’environ 100 km/h.
Sur route sèche f = 0,8
50= v²
254×0,8
50= v²
203,2
v² =50×203,2
v² =10160
v=√10160
donc v≈100
Sur route sèche, la vitesse correspondant à une distance d'arrêt de 50 m est bien d'environ 100 km/h.
Partie C : distance totale de freinage
Un conducteur a besoin d’un temps de réaction pour identifier une situation. Pendant ce temps, le véhicule
parcourt une certaine distance appelée distance de réaction. Dans des conditions normales, le temps de
réaction est de 1 seconde. La distance de freinage est la somme de la distance de réaction et de la distance
d’arrêt.
1. La route est sèche. Une voiture roule à 90 km/h. En utilisant la formule : vitesse= distance
temps
la distance de réaction à un mètre près. En déduire la distance totale de freinage.
, déterminer
Le temps de réaction est de 1 seconde.
90 km/h représente 0,025 km/s car on divise 90 par 3600 pour passer des heures aux secondes.
Or v= d t
c'est-à-dire 0,025= d 1
soit d=0,025 km c'est-à-dire 25 m.
Sur route sèche, la distance d'arrêt est de 40 m.
La distance totale de freinage est de 25 + 40 = 65 m.
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2. Soit v la vitesse du véhicule en km/h. la distance d R de réaction (en mètres) est donnée par la
formule :
d R
(v)= 5 18 v
Recopier et compléter le tableau suivant puis représenter dans le repère en annexe la fonction d R.
v (en km/h) 0 36 90
d R (en km) 0 10 25
3. Une voiture roule sur autoroute à 130 km/h (la route est sèche). Le conducteur aperçoit un obstacle dans
ses phares à 100 m devant lui. Il doit alors faire un freinage d’urgence.
Aura-t-il le temps de s’arrêter ? Justifier.
d R
(130)= 5 18 ×130 donc d R(130)≈36 m
d A
(130)= 130²
254×0,8 donc d A(130)≈83m
La distance totale de freinage est donc environ 36 + 83 = 119 m : il n'aura pas le temps !
4. Il pleut. Une voiture roule à 90 km/h et le conducteur est fatigué. Son temps de réaction est de 2
secondes. Calculer la distance totale de freinage.
D'après la question 1) Partie C, pour 90 km/h, il réagit en 25 m or il met 2 s c'est-à-dire deux fois plus de
temps pour réagir donc il met 50 m.
D'après le tableau de la question 4) Partie A, sa distance d'arrêt sur route mouillée à 90 km/h est de 80 m.
La distance totale de freinage est donc 80 + 50 = 130 m.
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Annexe à rendre avec la copie
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