MATLAB – PODSTAWY ZNAKI SPECJALNE FUNKCJE SPECJALNE

1
MATLAB – PODSTAWY
ZNAKI SPECJALNE
= – symbol przypisania
[ ] – tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
{ } – indeksy struktur i tablic komórkowych
( ) – nawiasy do określania kolejności działań, do ujmowania indeksów
tablic, do ujmowania argumentów wejściowych funkcji
. – kropka dziesiętna
... – kontynuacja polecenia w następnej linii
, – separator indeksów tablicy, argumentów funkcji, poleceń
; – koniec wiersza macierzy, rezygnacja z wypisywania wyniku na ekranie
% – początek komentarza w danej linii
: – generowanie wektorów, indeksowanie macierzy
‘ – początek i koniec łańcucha znaków, operator transpozycji, operator
sprzężenia zespolonego
FUNKCJE SPECJALNE
pi – 3.14159265...
realmin
– najmniejsza liczba rzeczywista
realmax
– największa liczba rzeczywista
Inf
– nieskończoność
NaN
– Not–a–Number
ans
– zmienna robocza
Inf – nieskończoność jest generowana przez dzielenie liczby różnej od 0 przez zero,
lub przez działanie na wartościach, które wykraczają po za największą możliwą
wartość rzeczywistą określoną przez funkcję realmax.
NaN jest generowana przy próbie wykonania działań typu 0/0 lub Inf–Inf

2
ZMIENNE LICZBOWE W MATLAB-IE dzielą się na dwa typy:
typ całkowity ze znakiem (int8, int16, int32, int64) i
typ całkowity bez znaku (uint8, uint16, uint32, uint64)
typ rzeczywisty pojedynczej precyzji (single) oraz typ
rzeczywisty podwójnej precyzji (double)
Defaultowym (domyślnym) typem numerycznym dla zmiennych MATLAB-a jest typ
double!
Typ Zakres zmiennych typu rzeczywistego
single –3.40282e038 3.4283e+038
double –2.22507e+308 1.79769e+308
Jeśli zmienna x ma wartość
>> x = 12.56
x =
12.5600
Instrukcja
>> int16(x)
ans =
13
konwertuje wartość x na liczbę całkowitą.
ans – oznacza zmienną utworzoną automatycznie przez MATLAB–a, gdy dane
wyrażenie nie zostało przypisane żadnej zmiennej. Por. z przykładem poniżej:
>> x = 12.56
x =
12.5600
>> y = int16(x)
y =
13

3
RÓŻNE FORMATY ZAPISU LICZBY RZECZYWISTEJ NA PRZYKŁADZIE
LICZBY π
Format Typ Postać
short stałoprzecinkowy 3.1416
long stałoprzecinkowy 3.14159265358979
short e zmiennoprzecinkowy 3.1416e+000
long e zmiennoprzecinkowy 3.141592653589793e+000
rat ułamkowy 355/113
>> format long, pi
ans =
3.14159265358979
>> format long e, pi
ans = 3.141592653589793e+000
ZMIENNE W MATLAB–ie
Zmiennym nadaje się nazwy. Nazwa może się składać:
• z liter, cyfr i znaku podkreślenia
• z dowolnej liczby znaków, ale tylko około 63 są rozróżnialne przez
MATLAB-a
Nazwa musi zaczynać się od litery !
UWAGA!
MATLAB rozróżnia wielkość liter w nazwie zmiennej !!! Dla MATLAB-a zmienne A i
a to dwie różne zmienne!

4
PODSTAWOWĄ STRUKTURĄ DANYCH W MATLAB-IE JEST TABLICA
Tablica (array) – to forma gromadzenia i przechowywania danych w pamięci
komputera. Tablicom nadaje się nazwy. Dane przechowywane w tablicy nazywają się
jej elementami. Położenie elementu w tablicy określone jest za pomocą indeksów.
MATLAB dopuszcza tablice wielowymiarowe!
Macierz (matrix) – jest szczególnym przypadkiem tablicy dwuwymiarowej!
⎛2
⎜
⎜5
A = ⎜0
⎜
⎜1
⎜
⎝0
7
4
2
0
7
7
2
7
7
9
0
9
10
0
2
10⎞
⎟
9 ⎟
7 ⎟
⎟
4 ⎟
10
⎟
⎠
– tablica A(5 x 5) – macierz
B = 10 – tablica B(1 x 1) – skalar
STANDARDOWE FUNKCJE MATEMATYCZNE

5
OPERATORY ARYTMETYCZNE W MATLAB–ie w odniesieniu do
MACIERZY
Operatory działań na macierzach:
A+B A-B A*B
A/B A\B A^B A’
Operator Opis
+ Dodawanie, jednoargumentowy operator plus
- Odejmowanie, jednoargumentowy operator minus
* Mnożenie macierzy
/ Prawostronne dzielenie macierzy
\ Lewostronne dzielenie macierzy
^
Potęgowanie macierzy
‘ Transponowanie macierzy
Wyjaśnienie. Jeśli:
⎛8
1 6⎞
⎛1
1 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
A = ⎜3
5 7⎟
B = ⎜1
2 3⎟
⎜ ⎟
⎝4
9 2
⎜ ⎟
⎠
⎝1
3 6⎠
* Mnożenie macierzy
⎛ 8⋅1+
1⋅1+
6⋅1
⎜
C = A* B = ⎜ 3⋅1+
5⋅1+
7 ⋅1
⎜
⎝4
⋅1+
9 ⋅1+
2 ⋅1
8⋅1+
1⋅
2 + 6⋅3
3⋅1+
5⋅2
+ 7 ⋅3
4 ⋅1+
9 ⋅ 2 + 2 ⋅3
8⋅1+
1⋅3
+ 6⋅6
⎞
⎟
3⋅1+
5⋅3
+ 7 ⋅6
⎟
4 ⋅1+
9 ⋅3
+ 2 ⋅6⎟
⎠
n
cij = ∑aikbkj,
i,
j = 1,2,...
n
k = 1
/ Prawostronne dzielenie macierzy
B / A = B ⋅ A
−1
\ Lewostronne dzielenie macierzy
A \ B = A
−1
⋅ B
Związek między działaniami na macierzach B/A I A\B
B / A = ( A'\
B'
)'
^
Potęgowanie macierzy – podniesienie macierzy A do potęgi p
Przypadki:
p liczba całkowita >0
p liczba całkowita

6
OPERATORY ARYTMETYCZNE W MATLAB–ie w odniesieniu do TABLIC.
NOTACJA KROPKOWA
Operatory działań na tablicach:
A+B A-B A.*B
A./B A.\B A.^B A.’
Operator Opis
+ Dodawanie, jednoargumentowy operator plus
- Odejmowanie, jednoargumentowy operator minus
.* Mnożenie tablic
./ Prawostronne dzielenie tablic
.\ Lewostronne dzielenie tablic
.^ Potęgowanie tablic
.’ Transponowanie tablicy
‘ Sprzężenie zespolone
Wyjaśnienie. Jeśli
⎛8
⎜
A = ⎜3
⎜
⎝4
1
5
9
6⎞
⎟
7⎟
2⎟
⎠
⎛1
⎜
B = ⎜1
⎜
⎝1
1
2
3
1⎞
⎟
3⎟
6⎟
⎠
D =
A. * B
⎛8⋅1
⎜
= ⎜ 3⋅1
⎜
⎝4
⋅1
1⋅1
5⋅
2
9 ⋅3
6⋅1⎞
⎟
7 ⋅3⎟
2 ⋅6⎟
⎠
cij = aijbij
i. j = 1,2,...
n
DZIELENIE TABLICOWE
PRAWOSTRONNE A./B
a
C
P
= A.
/ B ⇔ cij
=
b
ij
ij
LEWOSTRONE A.\B
b
C
L
= A.
\ B ⇔ cij
=
a
ij
ij
SPOSOBY OKREŚLANIA TABLIC W MATLAB-ie
• Dane do tablicy są wprowadzane z klawiatury
• Tablica jest wczytywana z zewnętrznego pliku z danymi
• Tablicę może wygenerować użytkownik aplikacji wg ściśle określonego
algorytmu, za pomocą napisanej przez siebie funkcji
• Tablica może zostać wygenerowana za pomocą odpowiedniej funkcji MATLAB-a

7
ZADAWANIE TABLICY Z KALWIATURY
• Wprowadź dane oddzielając elementy danego wiersza macierzy spacjami lub
przecinkami
• Użyj znaku średnika by zaznaczyć koniec wiersza
• Otocz wprowadzoną listę elementów nawiasami [ ]
Dla macierzy
⎛8
1 6⎞
⎜ ⎟
A = ⎜3
5 7⎟
napiszemy >>A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]
⎜ ⎟
⎝4
9 2⎠
FUNKCJE MATLAB–a DO GENEROWANIA TABLIC
(n – liczba wierszy, m – liczba kolumn)
• magic(n) – generuje macierz magiczną
• pascal(n) – generuje macierz Pascala stopnia n
• eye(n,n) – generuje macierz jednostkową nxn
• ones(n,m) – generuje tablicę nxm złożona z samych jedynek
• zeros(n,m) – generuje tablicę nxm złożoną z samych zer
• rand(n,m) – generuje tablicę nxm o elementach będących liczbami
losowymi o rozkładzie równomiernym z przedziału (0,1)
• randn(n,m) – generuje tablicę nxm złożoną z liczb będących liczbami
losowymi o rozkładzie normalnym
PODSTAWOWE FUNKCJE DZIAŁAŃ NA TABLICACH
Y = sum(A)
gdy:
A – wektor, funkcja sum zwraca jako Y sumę elementów wektora
A – tablica, funkcja sum zwraca jako Y wektor sum w kolumnach tablicy
Y = prod(A)
gdy:
A – wektor, funkcja zwraca jako Y iloczyn elementów wektora
A – tablica, funkcja zwraca jako y wektor iloczynów elementów w kolumnach
Y = diag(A)
Funkcja zwraca jako Y wektor z przekątnej głównej macierzy A
Y = det(A) funkcja zwraca jako Y wartość wyznacznika macierzy kwadratowej

8
Y = tril(A)
Funkcja zwraca jako macierz dolną trójkątną z macierzy A
Y = triu(A)
Funkcja zwraca jako Y macierz górną trójkątną z macierzy A
Y = inv(A)
Funkcja zwraca pod nazwą Y macierz odwrotną do macierzy A
Y = max(A)
gdy:
A jest wektorem funkcja zwraca wartość Y będącą max elementem wektora A
A jest macierzą funkcja zwraca wektor wierszowy Y o elementach będących max z
poszczególnych kolumn
Y = min(A)
gdy:
A jest wektorem funkcja zwraca wartość Y będącą min elementem wektora A
A jest macierzą funkcja zwraca wektor wierszowy Y o elementach będących min z
poszczególnych kolumn tablicy A
Y = mean(A)
gdy:
A jest wektorem funkcja zwraca pod nazwą Y średnią arytmetyczną jego elementów
A jest macierzą - zwraca wektor wierszowy Y o elementach będących średnimi
arytmetycznymi elementów poszczególnych kolumn tablicy A
Y = sort(A) lub Y = sort(A,’ascend’)
gdy:
A jest wektorem funkcja zwraca jako Y wektor uporządkowany rosnąco
A jest macierzą - sortuje każdą kolumnę A rosnąco
Y = sort(A, ‘descend’)
j.w. tylko dla uporządkowania malejącego
NORMY:
Y = norm(A,p)
p =1 - max suma modułów w kolumnach
A = max
1
1≤
j≤n
n
∑
i=
1
a
ij

9
p = inf max suma modułów w wierszach A
A
inf
= max
1≤i≤n
∑
j=
1
p=‘fro’ – norma Frobeniusa
n
a
ij
Jeśli
A
=
n
∑∑
a
fro ij
i= 1 j=
1
n
2
⎛1
1 1⎞
⎜ ⎟
A = ⎜1
2 3⎟
wówczas
⎜ ⎟
⎝1
3 6⎠
>> A_1=norm(A,1)
A_1 =
10
>> A_inf=norm(A,'inf')
A_inf =
10
>> A_fro=norm(A,'fro')
A_fro =
7.9373
SZYBKIE TWORZENIE TABLIC – OPERATOR DWUKROPEK ( : )
Tworzenie wektora wierszowego:
>> a= 1:5 % Tworzenie wektora wierszowego (to jest komentarz)
a=
1 2 3 4 5
>> b=1:2:10
b =
1 3 5 7 9
>>c = 1:-2.5:-10

10
c =
1.0000 -1.5000 -4.0000 -6.5000 -9.0000
Transponowanie wektora wierszowego:
>> c=c'
c =
1.0000
-1.5000
-4.0000
-6.5000
-9.0000
>> n = (1:5)’ % Tworzy wektor wierszowy i transponuje
n =
1
2
3
4
5
>> potegi = [n n.^2 n.^3 2.^n ] % Tablica kwadratów, sześcianów i potęg liczby 2 ...
% dla w/w tablicy n
potegi =
1 1 1 2
2 4 8 4
3 9 27 8
4 16 64 16
5 25 125 32
Utworzenie tablicy wartości lnx dla danego zakresu x:
>> x = (1:0.2:2)'
x =
1.0000
1.2000
1.4000
1.6000
1.8000
2.0000
>> lnx = log(x)
lnx =
0
0.1823
0.3365
0.4700
0.5878
0.6931
lub

11
>> lnx = [x log(x)]
lnx =
1.0000 0
1.2000 0.1823
1.4000 0.3365
1.6000 0.4700
1.8000 0.5878
2.0000 0.6931
ZNAK (: ) W WYRAŻENIACH INDEKSOWYCH
Wyrażenia indeksowe odnoszą się do części macierzy lub tablicy. Zapis:
A(1:k,j)
oznacza k pierwszych elementów z j-tej kolumny tablicy A.
sum(A(1:4,4))
oznacza sumę elementów leżących w 4. kolumnie tablicy A.
Dwukropek odnosi się do wszystkich elementów w wierszu lub kolumnie
macierzy / tablicy
Słowo kluczowe end odnosi się do ostatniego wiersza lub kolumny tablicy.
sum(A(:,end)) oznacza sumę wszystkich elementów leżących w ostatniej kolumnie
tablicy A.
Na przykład:
A =
1 5 7
3 5 9
1 3 4
0 6 7
>> s=sum(A(1:3,2))
s =
13 – suma trzech pierwszych elementów z drugiej kolumny macierzy A.
>> suma_3=sum(A(3:end,end))
suma_3 =
11 – suma elementów w ostatniej kolumnie macierzy A z wierszy od 3 do
ostatniego