Rinforzo a flessione Esempi numerici

Rinforzo a flessione
• Il rinforzo a flessione è necessario per elementi
strutturali soggetti a momento flettente di calcolo
maggiore della corrispondente resistenza
• Il rinforzo a flessione mediante materiali compositi
èeseguitomedianteapplicazionediunoo più
lamine ovvero uno o più strati di tessuto al lembo
teso dell’elemento da rinforzare
2

Rinforzo a flessione:
Deformazione massima nel rinforzo
−γ f : coefficienti parziali per materiali e prodotti
MATERIALE/PRODOTTO
Lamine e tessuti FRP
APPLICAZIONE TIPO A
1.20
APPLICAZIONE TIPO B
1.50
Applicazione tipo A: sistemi
di rinforzo prefabbricati in
condizioni di controllo di
qualità ordinario,
applicazione di tessuti a
mano con elevato controllo
di qualità
Applicazione tipo B: applicazione di
tessuti a mano in condizione di
qualità ordinario, applicazione di
qualsiasi sistema di rinforzo in
condizioni di difficoltà ambientale
o operativa
5

Rinforzo a flessione:
Deformazione massima nel rinforzo
−ε f,max : deformazione massima per delaminazione intermedia
(Modalità 2)
ε = k ⋅
f,max
cr
f
E
fdd
f
- k cr : coefficiente pari a 3
- E f : Modulo Elastico FRP
- f fdd : tensione di progetto nel rinforzo
f
fdd
=
γ
fd
1 2Ef
Γ
⋅ γ t
c
f
Fk
6

Rinforzo a flessione:
Tensione di progetto nel rinforzo
− f fdd : tensione di progetto nel rinforzo
f
fdd
=
γ
fd
1 2Ef
Γ
⋅ γ t
c
f
Fk
Γ Fd
: Valore di progetto energia
Γ = 0.03⋅k ⋅ f ⋅ f
Fk
specifica di frattura b ck ctm
[forze in N , lunghezze in mm]
f ck : Valore caratteristico resistenza a compressione calcestruzzo
f ctm : Valore medio resistenza a trazione del calcestruzzo
γc: coefficiente parziale del calcestruzzo (fornito da Normativa vigente)
7

Rinforzo a flessione:
Tensione di progetto nel rinforzo
Γ = 0.03⋅k ⋅ f ⋅ f
Fk
b ck ctm
k b : Fattore di tipo geometrico
b : larghezza della trave
b f
: larghezza rinforzo
bf
2 −
b b
kb
= ≥ per ≥ .
b
b
f
1+
400
f
1 0 33
[lunghezze in mm]
se b f /b

Rinforzo a flessione:
Calcolo del Momento Resistente
As2 Α εc0
h
d
d
d
2
1
ε co
εcu ε x = =ξ ξ d
1
2
ε s εy,d >ε yd
tf
b f εfd
ε fd
b
ε0
As1 Α b f
Af A f
ε o
εs2 ε σs2 σ s2
σc σ c
σs1 f yd
σf
σ f
M
Zona 1: Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di
progetto nelle fibre
Zona 2: Rottura per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio teso
snervato
9

Zona 1:
• FRP:
ε = ε
f
Rinforzo a flessione:
Calcolo del Momento Resistente
fd
• Cls lembo compresso:
ε ( ) x
= ε + ε ⋅ ≤
c fd o ( )
cu
h−
x
ε
• Acciaio compresso:
d − x
ε = ( ε + ε ) ⋅
s1 fd o
(h − x)
• Acciaio teso:
x − d2
ε = ( ε + ε ) ⋅
s2 fd o
( h−
x )
h
d
d
d
2
1
As2 Α ε co
εcu ε x = =ξ ξ d
1
2
ε s εy,d >ε yd
tf
b f εfd
ε fd
b
ε0
As1 Α b f
Af A f
E’ superfluo verificare l’entità della
deformazione dell’acciaio teso:
ε o
εc0
εs2 ε I valori usuali della deformazione limite
delle fibre ε fd
, e del calcestruzzo, ε cu
sono tali da escludere in genere
l’attingimento della deformazione limite
dell’acciaio
10

Rinforzo a flessione:
Calcolo del Momento Resistente
• I coefficienti adimensionali ψ e λ rappresentano, rispettivamente,
l’intensità del risultante degli sforzi di compressione e la distanza
di quest’ultimo dall’estremo lembo compresso, rapportati
nell’ordine a b⋅x⋅f cd ed a x.
• Nelle zone 1 e 2 l’entità della deformazione esibita dalle barre
d’acciaio in trazione è sempre superiore a quella di progetto, ε yd
Le tensioni di lavoro dell’acciaio sono sempre pari a f yd
• Per evitare che allo stato limite ultimo l’acciaio teso sia in campo
elastico, il coefficiente adimensionale ξ=x/d non deve eccedere il
valore limite ξ lim
ξ
lim
=
εcu
ε + ε
cu
yd
13

Rinforzo a Flessione: Condizioni di carico
M sd = 7.4 kNm
15

Dati: Sezione non rinforzata
Calcestruzzo:
R ck
= 20 Mpa
f cd = 11.0 Mpa
Geometria:
b = 500 mm
h = 200 mm
d = 30 mm
Rinforzo a Flessione
Acciaio:
f yk
= 440 Mpa
E s = 210 Gpa
f yd
= 374 Mpa
ε yd
= 0.00182
A s1
= 1Φ10 =79 mm 2
40
160
A s2 = 2Φ10 =157 mm 2
Eq. equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave
0 = ψ ⋅b⋅x⋅ f + σ ⋅A −σ
⋅A
cd s1 s1 s2 s2
Eq. equilibrio rotazione intorno all’asse baricentrico armatura tesa
M b x f (d x) A (x d ) A (d d ) . kNm
= ψ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −λ⋅ + ⋅σ ⋅ − + ⋅σ
⋅ − = 97
u cd s1 s1 1 s2 s2 2
500
100
x = 24. 6mm
16

Rinforzo a flessione: Calcolo delle Sollecitazioni
8,00
Carichi Permanenti
Travetto
0.4 kN/m
Soletta
0.5 kN/m
Pignatte
0.35 kN/m
Massetto
0.38 kN/m
Intonaco
0.15 kN/m
Pavimento
0.30 kN/m
Impermeabilizzazione 0.15 kN/m
TOT
2.2 kN/m
5,00 5,00
Sovraccarichi Accidentali
Copertura non praticabile 1.0 kN/m
MASSETTO
PAVIMENTO
20 5
50
10 40
INTONACO
1.4*Carichi Permanenti
3.1 kN/m 1.5*Sovraccarichi Accidentali 1.5kN/m
M sd = 11.1 kNm
17

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
500
160
40
50
100
18

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di k b
b = 100 mm
b f
= 50 mm
b f / b = 0.5
k
b
=
bf
2 −
b
= 1.15 > 1 OK
bf
1+
400
Calcolo di Γ Fd
f ck
= 0.83 R ck
= 16.60 Mpa
f ctm
= flessione = 0.27 x (R ck
)^(2/3) = 2.0 Mpa
γ c = 1.6
Γ = 0.03⋅k ⋅ f ⋅ f = 0.2
Fk b ck ctm
19

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di f fdd
k c = 3
γ Rd = flessione = 1.00
E f = 170000 Mpa
t f = spessore totale rinforzo = 1 x 1.4 = 1.4 mm
Γ Fd = 0.20
f
fdd
f Fk
= =
γ
fd
⋅
1
γ
c
2E
Γ
t
f
434MPa
20

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di ε fd
η a = 0.95
ε fu = 0.018
γ f = 1.2 (Applic. Tipo A)
ε
fu
ηa
= γ
f
0.0144
k cr
= 3
f fdd
= 434 Mpa
E f = 170000 Mpa
ffdd
ε = k ⋅ = 00026 .
f,max cr
E
f
⎧ ε ⎫
fu
εfd = min ⎨ηa , εf,max
⎬=
0.0026
⎩ γ
f ⎭
21

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo del Momento Ultimo
Regione di rottura: 1
Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibre
x = profondità asse neutro = 29.7 mm
ξ = x/h = 0.149
ψ = 0.6745
λ = 0.3765
σ s2
= 374 Mpa
σ f
= 434 Mpa
Mu = 14.9 kN m
22

Rinforzo a Flessione: Travetto Solaio
Sezione originale:
Sezione rinforzata:
Mu = 9.70 kN m
Mu = 14.90 kN m
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in
termini di capacità di resistenza a flessione pari al 53% della
capacità originaria
23

Rinforzo a Flessione (2): Calcolo del Momento Ultimo
500
160
40
50
100
24

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di k b
b = 100 mm
b f
= 50 mm
b f / b = 0.5
k
b
=
bf
2 −
b
= 1.15 > 1 OK
bf
1+
400
Calcolo di Γ Fd
f ck
= 0.83 R ck
= 16.60 Mpa
f ctm
= flessione = 0.27 x (R ck
)^(2/3) = 2.0 Mpa
γ c = 1.6
Γ = 0.03⋅k ⋅ f ⋅ f = 0.2
Fk b ck ctm
25

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di f fdd
k c = 3
γ Rd = flessione = 1.00
E f = 230000 Mpa
t f = spessore totale rinforzo = 1 x 0.166 = 0.166 mm
Γ Fd = 0.20
f
fdd
f Fk
= =
γ
fd
⋅
1
γ
c
2E
Γ
t
f
1467MPa
26

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo di ε fd
η a = 0.95
ε fu = 0.021
γ f = Applic. Tipo A= 1.2
ε
fu
ηa
= γ
f
0.0166
k cr
= 3
f fdd
= 1467 Mpa
E f = 230000 Mpa
ffdd
ε = k ⋅ = 0.
0063
f,max cr
E
f
⎧ ε ⎫
fu
εfd = min ⎨ηa , εf,max
⎬=
0.0063
⎩ γ
f ⎭
27

Rinforzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo
Calcolo del Momento Ultimo
Regione di rottura: 1
Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibre
x = profondità asse neutro = 26.35 mm
ξ = x/h = 0.1317
ψ = 0.6228
λ = 0.3681
σ s2
= 374 Mpa
σ f
= 1467 Mpa
Mu = 11.7 kN m
28

Rinforzo a Flessione (2): Travetto Solaio
Sezione originale:
Sezione rinforzata:
Mu = 9.70 kN m
Mu = 11.70 kN m
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in
termini di capacità di resistenza a flessione pari al 21% della
capacità originaria
29

Rinforzo a Flessione: Trave
Calcestruzzo:
R ck
= 20 Mpa
f cd
= 11.0 Mpa
Acciaio:
f yk
= 440 Mpa
E s
= 210 Gpa
f yd
= 374 Mpa
ε yd = 0.00182
Geometria:
b = 300 mm A s1
= 2Φ16 =402 mm 2
h = 500 mm A s2
= 4Φ16 =804 mm 2
d = 30 mm M sd = 123.08 kNm
0 = ψ ⋅b⋅x⋅ f + σ ⋅A
b = 89. 40mm
Eq. equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave
cd s2 s2
Eq. equilibrio rotazione intorno all’asse baricentrico armatura tesa
M = ψ ⋅b⋅x⋅ f ⋅( d −λ⋅ x) + A ⋅σ
⋅( d − d ) = 132. 00kNm
u cd s2 s2 2
500
300
2Ø16
4Ø16
30

Rinforzo a Flessione: Esempi Numerici
Trave
M sd = 184.9 kNm
300
2Ø16
500
4Ø16
2 strati
31

Rinforzo a Flessione: Trave
Calcolo di k b
b = 300 mm
b f
= 300 mm
b f / b = 1.0
k
b
=
bf
2 −
b
= 0.76 < 1
[] 1
bf
1 40
+
0
Calcolo di Γ Fd
f ck
= 0.83 R ck
= 16.60 Mpa
f ctm
= flessione = 0.27 x (R ck
)^(2/3) = 2.00 Mpa
γ c = 1.6
Γ = 0.03⋅k ⋅ f ⋅ f = 0.17
Fk b ck ctm
32

Rinforzo a Flessione: Trave
Calcolo di f fdd
k c = 3
γ Rd = flessione = 1.00
E f = 390000 Mpa
t f = spessore totale rinforzo = 2 x 0.329 = 0.658 mm
Γ Fd = 0.17
f
fdd
f Fk
= =
γ
fd
⋅
1
γ
c
2E
Γ
t
f
893MPa
33

Rinforzo a Flessione: Trave
Calcolo di ε fd
η a = 0.95
ε fu = 0.011
γ f = 1.2 ( Applic. Tipo A)
ε
fu
ηa
= γ
f
0.0090
k cr
= 3
f fdd
= 893 Mpa
E f = 390000 Mpa
ffdd
ε = k ⋅ = 00023 .
f,max cr
E
f
⎧ ε ⎫
fu
εfd = min ⎨ηa , εf,max
⎬=
0.0023
⎩ γ
f ⎭
34

Rinforzo a Flessione: Trave
Calcolo del Momento Ultimo
Regione di rottura: 1
Rottura per raggiungimento deformazione elastica limite di progetto nelle fibre
x = profondità asse neutro = 181 mm
ξ = x/h = 0.3616
ψ = 0.8095
λ = 0.4160
σ s2
= 374 Mpa
σ f
= 893 Mpa
Mu = 197.8 kN m
35

Rinforzo a Flessione: Trave
Sezione originale:
Sezione rinforzata:
Mu = 132.0 kN m
Mu = 197.8 kN m
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in
termini di capacità di resistenza a flessione pari al 50% della
capacità originaria
36

Rinforzo a Taglio
Esempi numerici
37

Rinforzo a Taglio
Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:
V = min { V ;V +V
rd Rd,max cd wd}
=127kN
Resistenza biella compressa
di calcestruzzo:
V = ⋅ f ⋅b ⋅d
Rd ,max
0,30
cd w
V
Rd ,max
= 373
kN
Somma contributo calcestruzzo più
contributo armatura a taglio
V = 0,60⋅ f ⋅b ⋅d⋅δ
0,90d
Vwd = Asw ⋅ fywd
⋅ ⋅ +
s
Vcd
cd ctd w
= 74kN
Vwd
( sinα
cosα
)
= 53kN
38

Rinforzo a Taglio: Trave tipo U-Jacket
300
300
500
39

Rinforzo a Taglio
Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.:
{ }
V = min V + V + V , V
Rd Rd,ct Rd,s Rd,f Rd,max
V Rd,ct
V Rd,s
V Rd,f
V Rd,max
contributo del calcestruzzo
contributo dell’armatura trasversale di acciaio, “da valutarsi in
accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”
contributo del rinforzo di FRP
resistenza della biella compressa di calcestruzzo, “da valutarsi in
accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente”.
40

Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket
1 w
V = ⋅
Rd,f 0,9 ⋅d⋅ f ⋅
fed 2 ⋅t
⋅
f (cot θ + cot β ) ⋅
γ
p
Rd
f
f
γ Rd
coefficiente parziale per modello di resistenza pari a 1,20 (CNR Punto 3.4.1 Tabella 3.3)
d altezza utile della sezione
h w
larghezza della membratura resistente a taglio
t f spessore del rinforzo di FRP
β angolo di inclinazione delle fibre rispetto all’asse dell’elemento
θ angolo di inclinazione delle fessure da taglio rispetto all’asse dell’elemento
(in mancanza di determinazione più accurata, si può assumere θ= 45°)
w f
larghezza delle strisce
passo delle strisce
p f
I valori di w f
e di p f
devono essere misurati ortogonalmente alla direzione delle fibre e, nel caso
di strisce poste in adiacenza o di fogli, il rapporto è pari ad 1,0.
41

Rinforzo a Taglio: Rinforzo Continuo tipo U-Jacket
f
fed
⎡ 1
= f ⋅ − ⋅
fdd ⎢
⎣
⋅sin
β
e
1 3 min 0,9 ;
l
{ ⋅ dh}
w
⎤
⎥
⎦
[tensione di progetto del rinforzo]
f
fdd
1 2⋅Ef
⋅Γ
= ⋅
γ ⋅ γ t
f,d
c
f
Fk
Γ = 0.03⋅k ⋅ f ⋅ f
Fk
b ck ctm
sin( θ + β )
nel caso di rinforzi continui, b = b= min{0,9 ⋅d; h } ⋅
f
w
sinθ
essendo h w l’altezza dell’anima della trave.
l
e
=
E ⋅t
f
2⋅
f
f
ctm
[lunghezze in mm]
Punto 4.3.3.3: “Nel caso di disposizione ad U ed in avvolgimento, gli spigoli
della sezione dell’elemento da rinforzare a contatto con il materiale composito
devono essere arrotondati, in modo da evitare il tranciamento del rinforzo. Il
raggio di curvatura,dell’arrotondamento deve essere non minore di 20 mm.”
42

Rinforzo a Taglio
Calcolo di k b
b f = b = min(423;300)=300
k
b
=
bf
2 −
b
=0.76

Rinforzo a Taglio
Calcolo di f fdd
k c = 3
γ Rd = Taglio = 1.20
γfd = (Applic. Tipo A) = 1.20
E f
= 390000 Mpa
t f = spessore totale rinforzo = 1 x 0.329 = 0.329 mm
Γ Fk = 0.17
f
fdd
f Fk
= =
γ
fd
⋅
1
γ
c
2E
Γ
t
f
421MPa
44

Rinforzo a Taglio
l
e
E
2⋅
⋅t
f
f f
= =
ctm
185mm
f
1
2⋅E
⋅Γ
f Fk
fdd
= ⋅ =
γ
t
f,d
⋅ γc
f
⎡ 1 l ⋅sin
β ⎤
e
f = f ⋅ 1 337
fed fdd ⎢ − ⋅ ⎥ = MPa
⎣ 3 min{ 0,9 ⋅ dh ;
w}
⎦
421MPa
1 wf
V = ⋅
Rd,f 0,9 ⋅d⋅ f ⋅
fed 2 ⋅t ⋅
f (cot θ + cot β ) ⋅ = 78 kN
γ
p
Rd
{ }
V = min V + V + V , V
Rd Rd,ct Rd,s Rd,f Rd,max
f
V
= 74
Rd,ct
kN
V
= kN V = kN V = 373kN
Rd,max
Rds
53
Rd,f
78
{ }
V = min 373;205 = 205kN
Rd
45

Rinforzo a Taglio
Sezione originale:
Sezione rinforzata:
Vrd = 127 kN m
Vrd= 205 kN m
L’utilizzo del rinforzo ha apportato un incremento in
termini di capacità di resistenza a taglio pari al 62% della
capacità originaria
Tale valore è superiore a quello consentito dalla norma che prevede un
valore di incremento massimo di resistenza pari al 60% di quello della
sezione non rinforzata.
46